高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的概念及表示学业分层测评 苏教版必修4

学业分层测评(十四) 向量的概念及表示
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．已知非零向量a∥b ，若非零向量c∥a ，则c 与b 必定________．
【解析】 平行向量主要考虑方向相同或相反，依题意可知，c ，b 同向或者反向，所以c 与b 必定平行(或共线)．
【答案】 平行(或共线)
2．如图(1)，某人想要从点A 出发绕阴影部分走一圈，他可按图(2)中提供的向量行走，则这些向量的排列顺序为________．
图2­1­7
【答案】 a e d c b
3．已知a ，b 为两个向量，给出以下4个条件：
①|a |＝|b |；②a 与b 的方向相反；③|a |＝0或|b |＝0；④a 与b 都是单位向量． 由条件________一定可以得到a 与b 平行．
【解析】 长度相等或都是单位向量不能得到a∥b ，但方向相反或其中一个为零向量可以说明a∥b .故填②③.
【答案】 ②③
4．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →
是共线向量，则
m ＝________.
【解析】 ∵AB →与BC →不共线，且m ∥AB →，m ∥BC →
， ∴m ＝0. 【答案】 0
5．如图2­1­8所示，已知AD ＝3，B ，C 是线段AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有________．
图2­1­8
【解析】 满足条件的向量有以下几类：
模长为2的向量有：AC →，CA →，BD →，DB →
； 模长为3的向量有：AD →，DA →
. 【答案】 AC →，CA →，BD →，DB →，AD →，DA →
6．给出以下5个条件： ①a ＝b ； ②|a |＝|b |； ③a 与b 的方向相反； ④|a |＝0或|b |＝0； ⑤a 与b 都是单位向量．
其中能使a 与b 共线的是________．(填所有正确的序号) 【解析】 根据相等向量一定是共线向量知①正确； |a |＝|b |但方向可以任意，∴②不成立；
a 与
b 反向必平行或重合，∴③成立；
由|a |＝0或|b |＝0，得a ＝0或b ＝0.根据0与任何向量共线，得④成立；两单位向量的模相等但方向不定，∴⑤不成立．
【答案】 ①③④
7．如图2­1­9，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是AD 与BC 的中点，则在以A ，
B ，
C ，
D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →
方向相反的向量为
________．
图2­1­9
【解析】 ∵AB ∥EF ，CD ∥EF ， ∴与EF →方向相反的向量为CD →，BA →. 【答案】 CD →，BA →
8．如图2­1­10所示，四边形ABCD 和四边形ABDE 都是平行四边形．
图2­1­10
(1)与向量ED →
相等的向量有________；
(2)若|AB →|＝3，则向量EC →
的模等于________．
【解析】 相等向量既模相等，又方向相同，所以与ED →相等的向量有AB →，DC →
. 若|AB →
|＝3， 则|ED →|＝|DC →
|＝3， 所以，|EC →
|＝2×3＝6. 【答案】 (1)AB →，DC →
(2)6 二、解答题
9．一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地．
图2­1­11
(1)在如图2­1­11所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的方位. 【导学号：06460041】 【解】 (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →
如图所示． (2)由题意知AD →＝BC →
，
∴AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB →＝DC →
，则B 地相对于A 地的方位是“北偏东60°，6千米”．
10．如图2­1­12所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．
图2­1­12
(1)写出与AO →
相等的向量； (2)写出与AO →
共线的向量；
(3)向量AO →与CO →
是否相等？
【解】 (1)与AO →相等的向量有：OC →，BF →，ED →
.
(2)与AO →共线的向量有：OA →，OC →，CO →，AC →，CA →，ED →，DE →，BF →，FB →. (3)向量AO →与CO →不相等，因为AO →与CO →
的方向相反，所以它们不相等．
能力提升]
1．已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD →
|＝________ . 【解析】 结合菱形的性质可知|BD →
|＝3×2＝2 3. 【答案】 2 3
2．如图2­1­13所示，四边形ABCD 是边长为3的正方形，把各边三等分后，连结相应分点，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC →
平行且长度为22的向量个数有________．
图2­1­13
【解析】 图中共有4个边长为2的正方形，每个正方形中有符合条件的向量2个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量，方向相反)，故满足条件的向量共有8个．
【答案】 8个
3．如图2­1­14所示，已知四边形ABCD 是矩形，O 为对角线AC 与BD 的交点，设点集M ＝{O ，A ，B ，C ，D }，向量的集合T ＝{PQ →
|P ，Q ∈M ，且P ，Q 不相等}，则集合T 有________个元素．
图2­1­14
【解析】 以矩形ABCD 的四个顶点及它的对角线交点O 五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有5×4＝20(个)．但这20个向量不是各不相等的，它们有12个向量各不相等，即为AO →(OC →)，OA →(CO →)，DO →(OB →)，AD →(BC →)，DA →(CB →)，AB →(DC →)，BA →(CD →)，BO →
(OD →)，AC →，CA →，BD →，DB →
，由元素的互异性知T 中有12个元素．
【答案】 12
4．如图2­1­15，在正方形ABCD 中，M ，N 分别为AB 和CD 的中点，在以A ，B ，C ，D ，
M ，N 为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？
图2­1­15
【解】 不妨设正方形的边长为2，则以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的向量中：①模为2的相等向量共有8对，AB →＝DC →，BA →＝CD →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，AD →＝MN →，DA →＝NM →
，
BC →
＝MN →，CB →＝NM →.
②模为1的相等向量有12对，其中与AM →同向的有MB →，DN →，NC →
，这四个向量组成相等的向量有6对，即AM →＝MB →，AM →＝DN →，AM →＝NC →，MB →＝DN →，MB →＝NC →，DN →＝NC →，同理与AM →
反向的也有6对．
③模为5的相等向量共有4对，AN →＝MC →，NA →＝CM →，MD →＝BN →，DM →＝NB →
.。