第五章 向量代数与空间解析几何
高等数学 向量代数与空间解析几何题【精选文档】
第五章向量代数与空间解析几何5。
1。
1 向量的概念例1 在平行四边形中，设＝a，＝b.试用a和b表示向量、、和,这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a＋b＝＝2即－(a＋b）＝2于是＝（a＋b)。
因为＝－，所以（a＋b）。
图5－8又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量(图5－11（a)）,计算单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）。
（a）（b）图5－11解该斜柱体的斜高｜v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为｜v｜cos，体积为A｜v｜cos=A v·n。
从而，单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量为P= A v·n.例3 设的三条边分别是a、b、c(图5－15)，试用向量运算证明正弦定理证明注意到CB=CA+AB，故有CBCA=(CA+AB) CA=CACA+ABCA=ABCA=AB(CB+BA） =ABCB图5－15于是得到CBCA=ABCA =ABCB从而 |CBCA|=|ABCA| =｜ABCB|即ab sin C＝cb sin A＝ca sin B所以5。
2 点的坐标与向量的坐标例1 已知点A(4，1，7）、B(-3，5,0）,在y轴上求一点M，使得|MA｜=|MB｜。
解因为点在y轴上,故设其坐标为，则由两点间的距离公式,有解得，故所求点为例2 求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为所以，即△为等腰三角形。
5.2。
2 向量运算的坐标表示例3 设有点，，求向量的坐标表示式.解由于，而，,于是即例4 已知两点A(4，0,5）和B（7，1，3)，求与方向相同的单位向量e。
解因为＝–＝（7，1,3）－（4，0，5）＝（3，1，–2），所以＝，于是 e.例5 求解以向量为未知元的线性方程组其中a＝(2，1，2），b=(—1，1，-2).解解此方程组得x=2a–3b , y =3a–5b以a，b代入，即得x=2(2,1,2)–3(–1,1，–2）=（7,–1,10)y=3(2，1,2)–5（–1,1,–2)=(11,–2,16)。
向量代数与空间解析几何5课件
引 我们学过平面直角坐标系，平面上的点都对应平 面直角坐标系上的一个二维坐标.那么，在空间中， 如何建立坐标系，以表示空间点呢？
一、空间直角坐标系及点的坐标
为了沟通空间图形与方程的关系，需要建立空间 点与有序数组之间的联系．为此，我们引进空间直角 坐标系．
在空间中取定一点 O 作为原点, 通过该点做三 条相互垂直的数轴, 分别称为 x 轴、 y 轴和 z 轴, 统 称为坐标轴.
d x2y2z2.
例1 在 z 轴上求一点 M , 使点 M 到点 A ( 1, 0, 2 ) 和点 B ( 1, - 3, 1 ) 的距离相等.
解 因为所求的点 M 在 z 轴上, 故点 M 的坐 标应为 ( 0 , 0 , z ) . 根据题意, 有
( 0 1 ) 2 ( 0 0 ) 2 ( z 2 ) 2 ( 0 1 ) 2 ( 0 3 ) 2 ( z 1 ) 2 , 解得 z = – 3 , 即点 M 的坐标是 ( 0 , 0 , – 3 ) .
各卦限内, 点的坐标符号为
Ⅰ: ( + , + , + ) , Ⅲ: ( – , – , + ) , Ⅴ: ( + , + , – ) , Ⅶ: ( – , – , – ) ,
Ⅱ: ( – , + , + ) , Ⅳ: ( + , – , + ) , Ⅵ: ( – , + , – ) , Ⅷ: ( + , – , – ) .
二、空间中两点间的距离 对空间中两点 M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) 和 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , 可用其坐标表示它们之间的距离 d . 过 M 1 , M 2 两点各做三个分别垂直于三条坐标 轴的平面. 这 6 个平面围成以 M 1 , M 2 为顶点的长 方体, 见图 6 – 4 .
空间解析几何与向量代数
空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数是数学中的两个重要分支，它们分别从几何和代数的角度，研究了空间中点、线、面的性质，以及向量的运算与性质。
本文将介绍空间解析几何与向量代数的基本概念、性质以及它们在数学和物理中的应用。
一、空间解析几何空间解析几何是以坐标系为基础，利用代数方法研究空间中点、线、面的性质与相互关系的数学学科。
它的基本概念包括平面直角坐标系、空间直角坐标系，以及点、直线、平面的方程等。
1. 点的坐标在平面直角坐标系中，点的坐标用有序实数对(x, y)表示；在空间直角坐标系中，点的坐标用有序实数三元组(x, y, z)表示。
通过坐标，可以确定点在坐标系中的位置。
2. 直线的方程空间解析几何中，直线的方程有多种表示形式，常见的有点向式、对称式和一般式。
在点向式中，直线上的任意一点可以用一个固定点和一个方向向量表示；在对称式中，直线上的任意一点满足一个关系式；一般式则是通过线的法向量与截距来表示。
这些方程形式各有特点，在不同的问题中有不同的用途。
3. 平面的方程平面的方程也有多种表示形式，常见的有点法式和一般式。
在点法式中，平面上的任意一点满足一个关系式，并且平面的法向量可以通过法线上的两个点相减并取正交向量得到；一般式则是通过平面的法向量与截距来表示。
同样，不同的方程形式适用于不同类型的问题。
二、向量代数向量代数是关于向量的计算与运算的数学学科，它以向量作为基本研究对象，研究向量的性质、向量之间的关系以及向量的运算规则等。
1. 向量的表示向量可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。
在空间中，一个向量可以写成一个实数三元组，例如向量v(x, y, z)表示从原点指向点(x, y, z)的有向线段。
向量的长度用模表示，记作|v|。
2. 向量的运算向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和内积运算。
向量的加法和减法遵循平行四边形法则和三角形法则；数量乘法将向量的模与一个实数相乘，改变了向量的长度和方向；内积运算结果是一个实数，满足交换律和分配律。
同济大学高等数学教案第五章向量与空间解析几何
高等数学教学教案第五章向量与空间解析几何授课序号012(x =b ，即b b a=，、向量的运算, 见图5-14. 以向量的终点为起点，b 向量的终点为终点的对角线向量为向量的差()b -.设λ是一个数，向量a a λ=，方向与0a =是零向量；a a a λ=，方向与1=-时，(又设α、β、γ为与三坐标轴正向之间的夹角分别为向量a cos a α=cos a cos a 、cos γ称为向量a 的方向余弦，通常用它表示向量的方向(()21a x y y =--22xa a ++(aa=、数量积 给定向量a 与b ，我们做这样的运算：a 与b 及它们的夹角与，即cos cos a b a b a b α== Pr j Pr j a b b a b b a ==； 2cos ,a a a a a a a ⋅==；）若0a ≠，0b ≠，则0a b ⋅=⇔、向量积 若由向量a 与b 所确定的一个向量c 满足下列条件：()()()y z z y x z z x x y y x a b a b i a b a b j a b a b k =---+-)x y zxyzi j k a a a j k a a a b b b += 向量的混合积(,x a a =a =a a cos AB θ=.定理2 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在轴上的投影的和(()4,3,1M 、()7,1,2M 及例4设()111,,A x y z 和AM MB=，y 和z .例5 设3m=,4k j -(2) a b的夹角θ; (3)b.液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为（液体的比重为ν都垂直的单位向量授课序号021212cos n n A A n n A B θ⋅==+)2-、(2 M授课序号03，其中(s m =12s s s s m ⋅=(),,A B C ，则n ，因此Am n +=.授课序号04。
[专题]北大版高等数学第五章向量代数与空间解析几何答案习题53.docx
![[专题]北大版高等数学第五章向量代数与空间解析几何答案习题53.docx](https://img.taocdn.com/s3/m/8dbfc7a2aa00b52acfc7cad3.png)
习题5・31•指出下列平面位置的特点：(1)5x - 3z +1 = 0(2)x + 2y - 7z = 0(3)y + 5 = 0(4)2)，- 9z = 0(5)x-y-5 = 0(6)x = 0. 解⑴平行于屛由.⑵过原点.⑶平行于平面.⑷ 过兀轴.(5)平行于z轴•⑹0〃平面.2.求下列各平面的方程：⑴平行于y轴且通过点(1,-5,1)和(3,2,-2);(2)平行于O私平面且通过点(5,2,-8);(3)垂直于平面兀-4y + 5z = 1且通过点(-2,7,3)及(0,0,0);⑷垂直于Oyz平面且通过点(5,-4,3)及(-2,1,8).1j k解⑴—(0 ,l,0),* = (2,7,-3),n= 0 1 0 =(-3,0,-2).27-3_3O_1)_2(Z_1)=0,3JC +2Z_5=0.⑵y = 2.i j k(3)a = (1,-4,5), 6 = (-2,7,3),n = 1 -4 5 = (-47,-13,-1).-2 7 347x+13y+ 1 = 0.i j k(4)“ = (1,0,0),〃 = (-7,5,5),〃= 1 0 0 =(0,-5,5) = 5(0, -1,1).-7 5 5_(y + 4) + (z_3) = 0,y_z + 7 = 0.3.求通过点A(2,4,8), B(-3,1,5)及C(6,—2,7)的平面方程.解 a = (一5, —3,—3),〃 = (4,-6,-1).i j kn= -5 -3 -3 =(-15,-17,42),4 -6 -1一15(兀一2) —17(y — 4) + 42(z — 8) = 0,15x + 17y —42z + 238 = 0.4.设一平而在各坐标轴上的截距都不等于零并相等,且过点(5, -7, 4),求此平而的方程.解—+ —+ — = 1, —H—+ — = l,a = 2, x + y + z — 2 = 0.a, a a a a a5已知两点4(2,-1,-2)及〃(8,7,5),求过B且与线段AB垂直的平面.解〃 =(6, & 7).6(x-8) + 8(y-7) + 7(z-5) = 0,6x + 8y + 7z-139 = 0.6.求过点(2,0, -3)且与2兀-2y + 4z + 7 = 0,3x+y-2z + 5二0垂直的平面方程.i j k解 n= 2 -24 =(0,16,8) = 8(0,2,l).2y + (z + 3) = 0,y + z + 3 = 0. 3 1 -27.求通过兀轴且与平面9兀-4y-2z + 3 = 0垂直的平面方程. 解 By + Cz=0,—4B —2C = 0,取B = 1,C = —2,y —2z = 0.8•求通过直纟划:｛；；工：二5地:仁鳥平行的平面方程. i j ki j k 解a = 1 0 2 = (-6,1,3), 6 = 1 -1 0= (1,1,1), 0 3-10 1 -1 i j kn - -6 13 =(-2,9,-7).用z ()= 0代入厶的方程，得x° =4,>\} =-8/3.1 1 1 -2(x-4) + 9(^ + 8/3)-7(z) = 0,-2x + 9y-7z + 32 = 0.x = 3r + 89.求直线厶：* +彳=•' +1 = __与直线/ ：< y = f + l 的交点坐标,3 24 _ 小， z = + 6并求通过此两直线的平面方程.解求两条直线交点坐标：3r + 8 + 3 / + 1 + 1 2/ + 6 —2 \\ t t A 163 24 3 2 23 i j kn= 3 2 4 = (0,6, -3) = 3(0,2, -l).2(y +1) - (z - 2) = 0,2y - z + 4 = 0.3 1 2 10•求通过两直线厶=^ = 凹和厶：土 = □=三的平面方程. 1 2 -1 1 -4 2 -2i j k解 两直线平行•平面过点(1,-1,-1)和(-2,2,0).川=2 — 1 1 = (—4,—5,3).-33 1一4(兀一 l)-5(y + l) + 3(z + l) = 0,-4x — 5y + 3z + 2 = 0.11证明两直线厶：口和是异面直线*-121 - 0 1 -2证首先，两直线的方向向量(-1,2,1)和(0,1,-2)不平行.x 二 _2l 2< y 二1+t —―二匕〜 力+ 3J = 5』= 0,矛盾.故两直线无公共点.-1 2 1 X Q = 一& 儿=一一牛交点(一8占弓)两-直线不平行，又无交点，故是异面直线. 12.将下列直线方程化为标准方程及参数方程：[2x+y-z + l = 0 [x-3z + 5 = 0(1* ⑵彳[3x - y + 2z - 8 = 0; [y - 2z + 8 = 0.i j k解(1)〃= 2 1 -1 =(1,-7,-5).3-12V — 7 + 1 = 0⑴中令兀0=0,{ 解Z得儿=6,Zo=7・-y+ 2z-8 = 0;标准方程—q・1 -7 -5x = t参数方程：< y = 6-lt,-oo <t < +oo.z = l-5ti j k(2)(1加=1 0 -3 =(3,2,1).0 1 -2⑵中令z° = 0,直接得x° = -5, y Q = -8.标准方程出二凹二工3 2 1x ——5 + 3t参数方程：* >' = -8 + 2r,-co<t < +oo.z = t13•求通过点(32-5)及乂轴的平面与平面3x-y-7z + 9 = 0的交线方程・ ■I j k解地第一个平面的法向量〃二1 0 0 =(0,5,2), 3 2 -5平面方程5y + 2z = 0.直线方程严+ 2*°[3 兀-y-7z + 9 = 0.i j k直线的方向向量a =0 5 2 =(一336-15) = 3(-112-5)・3 -1 -7直线方程:r 匕14 •当D 为何值时,直线产？ £弓与0z 轴相交?[x + 4y-z + D = 0解直线F ：y + 2z-6弓与Oz 轴相交O 存在(0,0,勺)在此直线上，[x + 4y-z + £> = 0f2z o -6 = O <=> < u> £> =知=3. Ho+o=o15.试求通过直线人：£一2"：弓并与直线Z. = 2平行的平面方程.[3y — z + 8 = 0 *•匕 _y + 6 = 0i J k解厶的方向向&a = 1 0 -2 =(6丄3).0 3-1i J 平面的法向量/i =6 1 1 1 Q 在的方程中令z ()二0得X 。
向量代数与空间解析几何—向量代数(高等数学课件)
设＝ ＋ ＋ , ＝ ＋ ＋ ，则
由于 × ＝ × ＝ × ＝0， × ＝， × ＝， × ＝，
× ＝－， × ＝－， × ＝－.
因此 × = − − − + − .
即 = × .
2. 向量积的运算律
1.二元极限定义
向量积满足下列运算律：
（1）结合律
× = × = × ()；
（2）分配律
+ × = × + × ．
值得注意的是：向量的向量积一般不满足交换律.一般有： × = − ×
3. 向量积的坐标表达式
向量的运算
1.二元极限定义
3.向量与数量的乘法
设λ是一实数，向量与λ的乘积仍然是一个向量：
当＞0时，λ的方向与的方向相同，它的模等于 的λ倍；
当λ＜0时，λ的方向与的方向相反，它的模等于 的 倍。
当λ＝0时，λ还是零向量。
v
由此不难得到以下结论：向量与非零向量共线的充要条件是：存
（3）分配律
+ ∙=∙+∙
3. 数量积的坐标表达式
设＝ ＋ ＋ ，＝ ＋ ＋ ，则
· ＝（ ＋ ＋ ） · （ ＋ ＋ ）
= · ＋ · ＋ · ＋ · + ·
在唯一实数λ，使=λ.
向量的运算
1.二元极限定义
3.向量与数量的乘法
向量与数量的乘法满足结合律、分配律：
λ（μ）＝（λμ）; （结合律）
（λ＋μ）＝λ＋μ;（分配律）
λ（＋）＝λ＋λvv.（分配律）
其中,λ,μ均为实数。
向量的线性运算
向量代数与空间解析几何
向量代数与空间解析几何在数学中，向量代数与空间解析几何是两个重要的分支。
它们分别研究了向量以及在空间中的几何问题。
本文将介绍向量代数以及空间解析几何的基本概念和应用。
一、向量代数1. 向量的定义与性质向量是带有方向和大小的量，通常用有向线段表示。
向量有很多种表示方法，如坐标表示、向量符号表示等。
向量运算包括加法、减法、数乘等，遵循相应的运算规则。
向量的性质包括共线、对称性、平行四边形法则等。
2. 向量的内积与外积向量的内积（点积）和外积（叉积）是向量代数中的重要运算。
内积表示了两个向量之间的夹角关系，具有交换律和分配律等性质。
外积表示了两个向量之间的垂直关系，其大小等于由两个向量所决定的平行四边形的面积。
3. 向量的坐标表示与线性组合向量可以通过坐标表示在坐标系中，分别用行向量和列向量表示。
向量的线性组合是指将多个向量按一定比例相加得到新的向量。
线性组合有重要的几何意义，可以表示平面或空间上的任意点。
二、空间解析几何1. 点、直线与平面空间解析几何研究了点、直线和平面在空间中的性质和相互关系。
点在空间中由坐标表示，在三维坐标系中是一个有序三元组。
直线可以通过点和方向向量表示，平面可以通过点和法向量表示。
2. 直线与平面的位置关系直线和平面有多种位置关系，包括相交、平行、重合、相交于一点等。
这些关系可以通过直线或平面的方程进行判断和计算。
同时，直线与平面之间也存在着夹角的概念，用于描述它们之间的夹角关系。
3. 空间几何体的体积与面积在空间解析几何中，体积和面积是重要的度量指标。
常见的几何体包括球、圆柱、圆锥、棱台等。
通过合适的公式和方法，可以计算出这些几何体的体积和表面积。
三、应用向量代数与空间解析几何在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有广泛的应用。
1. 物理学中的力学分析向量代数可以用来描述物理学中的力和运动，如力的合成与分解、速度和加速度的分析等。
空间解析几何则可以用来描述物体在空间中的位置和运动轨迹。
向量代数与空间解析几何考研笔记
向量代数与空间解析几何考研笔记向量代数与空间解析几何是数学中的重要分支，它们在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应用。
以下是关于向量代数与空间解析几何的考研笔记，供您参考：1. 向量代数基础向量的定义：向量是一个有方向和大小的几何量，通常用有向线段表示。
向量的模：向量的模是表示该向量大小的数值，记作∣a∣。
向量的加法：向量的加法是按照平行四边形的法则进行的。
向量的数乘：实数与向量的乘法称为数乘，其实数称为标量因数。
向量的点乘：两个向量的点乘是一个标量，其值等于两个向量的对应分量之积的和。
向量的叉乘：两个向量的叉乘是一个向量，其方向垂直于作为运算两向量的平面。
2. 空间直角坐标系空间直角坐标系的建立：通过三个互相垂直的平面建立空间直角坐标系。
点的坐标：空间中一点P可以用三维坐标来表示，记作(x, y, z)。
向量的坐标：一个向量的坐标等于其各分量分别乘以对应的单位向量的坐标。
3. 向量函数与空间曲线向量函数的定义：向量函数是由一个或多个自变量和向量构成的函数关系。
空间曲线的参数方程：空间曲线的参数方程是由参数t确定的点的坐标来表示的。
向量函数的导数与空间曲线的切线：向量函数的导数可以用来表示空间曲线的切线。
4. 向量场与梯度、散度、旋度向量场的定义：向量场是由空间中某一点处的向量构成的函数关系。
梯度、散度和旋度的定义：梯度表示标量场中某点的增减性；散度表示矢量场的散开程度；旋度表示矢量场的旋转程度。
5. 空间曲面与曲线在坐标面上的投影空间曲面的参数方程：空间曲面的参数方程由两个参数t1和t2确定。
空间曲线在坐标面上的投影：通过消去参数t1或t2可以将空间曲线投影到坐标平面上。
6. 向量运算的几何意义与向量的应用向量运算的几何意义：向量的加法、数乘、点乘和叉乘等运算都有明确的几何意义。
向量的应用：向量在物理、工程等领域有着广泛的应用，如力、速度、加速度、电场强度等都可以用向量来表示。
以上是关于向量代数与空间解析几何的考研笔记，希望对您有所帮助。
考研数学之高等数学讲义第五章（考点知识点+概念定理总结）
82 第五章 向量代数与空间解析几何§5.1 向量代数(甲)内容要点内容要点一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 二、向量概念二、向量概念®a ＝®i x +®j y +®k z坐标()z y x ,,模®a ＝222z y x ++ 方向角g b a ,,方向余弦g b a cos ,cos ,cosa cos ＝222zy x x ++ ；b cos ＝222zy x y ++ ；g cos ＝222zy x z ++三、向量运算三、向量运算设®a ()11,1,z y x ；®b ()22,2,z y x ；®c ()33,3,z y x 1． 加（减）法加（减）法®a ±®b ＝()2121,21,z z y y x x ±±± 2． 数乘数乘 ()111,,z y x a l l l l =®3． 数量积（点乘）（ⅰ）定义®a ·®b =®a®b ÷øöçèæ®®Ðb a ,cos （ⅱ）坐标公式®a ·®b =21x x +21y y +21z z （ⅲ）重要应用®a ·®b =0Û®a ^®b4．向量积（叉乘）（ⅰ）定义®a ´®b ＝®®ba ÷øöçèæ®®Ðb a ,sin ®a ´®b 与®a 和®b 皆垂直，且®a ，®b ，®a ´®b 构成右手系构成右手系83（ⅱ）坐标公式®a ´®b =222111z y x z y x k j i®®®（ⅲ）重要应用®a ´®b =®0Û®a ，®b 共线共线5、混合积、混合积 （ⅰ）定义（ⅰ）定义（®a ，®b ，®c ）＝（®a ´®b ）·®c （ⅱ）坐标公式（®a ，®b ，®c ）=333222111z y x z y x z y x （ⅲ）÷øöçèæ®®®c b a ,,表示以®a ，®b ，®c 为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积§5.2 平面与直线（甲）内容要点（甲）内容要点一、一、 空间解析几何空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。
空间解析几何与向量代数教案
空间解析几何与向量代数教案第一章：空间直角坐标系1.1 空间直角坐标系的定义与性质学习空间直角坐标系的定义与性质，理解坐标轴的相互关系。
通过实例演示空间直角坐标系的建立与表示方法。
1.2 点、向量与坐标学习点在空间直角坐标系中的表示方法，理解坐标与点的关系。
学习向量的定义与表示方法，掌握向量的坐标表示。
第二章：向量代数2.1 向量的基本运算学习向量的加法、减法、数乘运算，掌握运算规则与性质。
学习向量的点积与叉积运算，理解其几何意义与计算方法。
2.2 向量的数量积与角度学习向量的数量积（点积）的定义与性质，掌握计算方法。
学习向量的夹角（角度）的定义与计算方法，理解其几何意义。
第三章：空间解析几何3.1 直线与方程学习直线的解析几何表示方法，理解直线方程的定义与形式。
学习直线的点斜式、截距式、一般式方程，掌握方程的转换方法。
3.2 平面与方程学习平面的解析几何表示方法，理解平面方程的定义与形式。
学习平面的点法式、截距式、一般式方程，掌握方程的转换方法。
第四章：空间几何图形4.1 直线与平面的位置关系学习直线与平面的平行、相交、垂直位置关系的定义与判定方法。
学习直线与平面交线的求法，理解交线的几何性质。
4.2 平面与平面的位置关系学习平面与平面的平行、相交、垂直位置关系的定义与判定方法。
学习平面与平面交线的求法，理解交线的几何性质。
第五章：空间解析几何的应用5.1 空间距离与角度学习空间两点间的距离公式，掌握距离的计算方法。
学习空间两点间的夹角公式，理解夹角的计算方法。
5.2 空间解析几何在几何中的应用学习空间几何问题的解析几何方法，解决线与线、线与面、面与面的交点问题。
学习空间几何图形的面积、体积的计算方法，应用解析几何知识解决实际问题。
第六章：空间向量与线性方程组6.1 向量组的线性组合学习向量组的线性组合的定义与性质，理解线性组合与向量加法的关系。
学习向量组的线性相关的概念，掌握线性相关的判定方法。
向量代数与空间解析几何
空间解析几何的应用
空间解析几何在物理学中的应用
描述物体运动轨迹和方向
解释重力、电磁场等现象
用于研究光速、波的传播等
描述量子力学中的波函数
空间解析几何在计算机图形学中的应用
建模：利用空间解析几何构建三维模型实现复杂形状的描述和设计。
渲染：通过空间解析几何的方法实现光照、阴影、纹理等效果的渲染提高图像的真实感和质感。
动画：利用空间解析几何描述物体的运动轨迹和形态变化实现逼真的动画效果。
交互：利用空间解析几何的方法实现用户与三维场景的交互例如旋转、缩放、移动等操作。
空间解析几何在机器人学中的应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
路径规划：基于空间解析几何的方法规划机器人的移动路径
机器人姿态描述：利用空间向量和矩阵表示机器人的姿态和位置
向量的向量积的坐标表示：向量=(1,2,3)向量b=(b1,b2,b3)则向量和向量b的向量积的坐标表示为×b=(2b3-3b2,3b1-1b3,1b2-2b1)。
向量的混合积的坐标表示：对于三个三维向量、b和c向量和向量b的混合积的坐标表示为(×b)·c其中"·"表示点乘。混合积的结果是一个标量其值等于三个向量的行列式值乘以三个向量的模长。
向量的模和向量的数量积的坐标表示
添加标题
向量的模坐标表示：向量=(x1,y1,z1)则向量的模为||=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)
向量的数量积坐标表示：向量=(x1,y1,z1)向量b=(x2,y2,z2)则向量和向量b的数量积为·b=x1*x2+y1*y2+z1*z2
添加标题
向量的向量积和向量的混合积的坐标表示
向量代数和空间解析几何
向量代数和空间解析几何向量代数和空间解析几何是数学中非常重要的概念，既可以处理经典几何问题，又可以用于表达数学模型。
它们在科学技术、计算机图形学、矩阵计算等方面都有着广泛的应用。
向量代数是计算机科学家和数学家在处理空间问题时最常使用的方法。
它利用向量来描述空间中的点、直线和平面。
向量代数可以用来计算空间的大小、形状、方向、坐标变换等概念。
向量代数涉及的内容主要有线性代数系统、矩阵运算、向量空间等。
它在科技计算机图形学、建模和科学仿真中被广泛使用。
空间解析几何是在几何学中一类研究空间几何结构的重要分支学科。
它被广泛应用于工程、机械、制图学等方面，是解决建筑、室内装潢、雕塑、建筑园林设计、制图学等问题的基础学科。
主要内容有平面几何和立体几何，包括平面的直线、圆弧、多边形等，立体的点、直线、面等概念。
空间解析几何主要用来解决解空间几何图形的问题，是几何学中一类重要的问题。
向量代数和空间解析几何之间有着千丝万缕的联系，它们都是分析和处理空间几何图形的重要工具。
向量代数主要用来解决空间的大小、形状、方向等问题，而空间解析几何则主要用于处理空间中的点、直线和平面等结构。
它们的结合可以清楚的表示空间的量化和定义，是建立数学模型的基础和工具。
向量代数和空间解析几何在科技、计算机图形学、建模和科学仿真方面都有着广泛的应用。
它们可以帮助我们更准确地表示和分析空间问题，为解决实际问题提供帮助，在进一步提高科学技术水平中发挥着重要的作用。
综上所述，向量代数和空间解析几何是数学中重要的概念，可以在科学技术、计算机图形学、矩阵计算等方面得到广泛应用，为解决实际问题提供帮助，在进一步提高科学技术水平中发挥着重要的作用。
它们的结合可以更为清楚地表示和分析空间几何图形，为建立数学模型提供基础。
杨超第5章-向量代数和空间解析几何
高等数学第五章向量代数和空间解析几何第一节与向量有关的基本概念主讲人：杨超老师1 向量的定义既有大小又有方向的量称为向量（或矢量）。
2 向量的表示{}(,,),,OM M x y z x y z x y z ==++ 若向量，点的坐标就称为向量的坐标，且有向量，通常记作。
a a a i j k 3 向量的模的定义||向量的大小（长度）称作向量的模，记作。
a4 零向量的定义00.模为的向量称为零向量，记作零向量的方向可认为是任意的.5 单位向量的定义01x y z =++ 模为的向量称为单位向量，通常用表示与同方向的单位向量。
例如，则a a a i j k 022*******,,x y z x y z x y z x y z ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬++++++⎪⎪⎩⎭a a a6 共线向量的定义方向相同或相反的向量称为共线向量。
7 共面向量的定义平行于同一平面的向量称为共面向量。
8 向量的夹角的定义,,(,)π 从同一点出发的两个向量，它们所成的两个角中不超过的那个角称为的夹角，记为。
a b a b a b (,),,,θ=≠≠00设则当时有a b a b 222222cos ||||x x y y z zx y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++⋅==++++a ba b 9 向量的方向角和方向余弦的定义,,,,αβγ 若向量为非零向量，它与三个坐标向量的夹角称为向量的方向角.a i j k a 222222222222cos cos ||||cos ||cos cos cos 1x y z x x yy x y z x y zz z x y zαβγαβγ=++====++++==++++= 例如，则，，，且满足a i j k a a a cos ,cos ,cos αβγ方向角的余弦称为向量的方向余弦.()()1212124,2,13,0,2.M M M M x y M M 例：已知两点和，试求向量在轴上的投影、在轴上的分向量、的模、方向余弦及方向角第二节向量的运算及性质高等数学第五章向量代数和空间解析几何主讲人：杨超老师1 向量的加减运算1+-（）几何表示：以的终点作为的起点，从的起点到的终点所作的向量称为与的和，记作；以的终点作为起点，从的终点为终点所作的向量称为与的差，记作；a b a b a b a b b a a b a b 1 向量的加减运算{}{}121212122,,z ,1,2,,.j j j j j j j x y z x y j x x y y z z =++=±=±±±（）坐标表示：设，则a i j k = a a 3(i)(ii)()()（）运算法则：交换律：分配律：a +b =b +a a +b +c =a +b +c2 数乘运算100λλλλλλλ=><（）几何表示：是一个向量，其模，而方向性规定为：若，则与同向，若，则与反向。
向量代数与空间解析几何教案
向量代数与空间解析几何教案
一、矢量代数与空间解析几何教学目标
（一）知识与技能目标
1.掌握实数张量的基本概念及性质。
2.掌握空间解析几何的基本概念及定义，掌握空间解析几何的性质及关系。
3.理解空间解析几何的基本概念及定义，理解矢量代数的基本概念及定义。
4.掌握矢量代数的基本概念及定义，掌握矢量代数的基本算法及实例分析。
5.掌握常见的几何形状和曲线的推导运算，推导图形的两点之间的距离及角度等。
（二）过程与方法目标
1.掌握数学建模的基本要素，学习建模的方法及过程。
2.养成独立学习、自主思考的习惯，练习解题能力及应用能力。
3.加强个别学习，形成组织学习，自学，互学相结合的学习模式。
二、教学内容
（一）矢量代数
1.实数张量的定义及基本性质：实数张量是一种关系的概括，它描述了一组数字之间的关系，它的基本性质包括变换的对称性、可加性和逆变换。
2.矢量代数的定义及基本性质：矢量代数是由实数张量和实数矩阵组成的数学模型，它可以用来刻画几何物体的几何特征，矢量代数的基本性质包括平行性、正交性和判定性。
向量代数与空间解析几何相关概念和例题
空间解析几何与向量代数向量及其运算目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；重点与难点重点：向量的概念及向量的运算。
难点：运算法则的掌握过程：一、向量既有大小又有方向的量称作向量通常用一条有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小.有向线段的方向表示向量的方向•向量的表示方法有两种：a、AB向量的模：向量的大小叫做向量的模，向量a、AB的模分别记为|a'|、|AB| .单位向量：模等于1的向量叫做单位向量.零向量：模等于0的向量叫做零向量.记作0规定：0方向可以看作是任意的，相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量平行向量(亦称共线向量)：两个非零向量如果它们的方向相同或相反.就称这两个向量平行记作a // b规定：零向量与任何向量都平行，二、向量运算向量的加法向量的加法：设有两个向量a与b.平移向量使b的起点与a的终点重合.此时从a 的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和.记作a+b .即c=a+b .当向量a与b不平行时.平移向量使a与b的起点重合.以a、b为邻边作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a b向量的减法：设有两个向量a与b .平移向量使b的起点与a的起点重合.此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。
T T T T TAB =AO OB =0B -CA .2、向量与数的乘法向量与数的乘法的定义：向量a与实数，的乘积记作 a .规定■ a是一个向量.它的模它的方向当■ >0时与a相同.当■ <0时与a相反，(1) 结合律，(七)=±a)=C；L)a ；(2) 分配律(kj a = 'a；'(a b) =■ a …b例1在平行四边形ABCD中.设AB =a . AD二b试用a和b表示向量MA’、MB’、MC‘、MD .其中M是平行四边形对角线的交点----- ■> ----- i ---- i A解：a 〜b = AC = 2 AM 于是MA = （a 亠b）,因为MC —MA” .所以MC =1（a b）.又因 T b = BD =2 MD .所以MD =2（b_a）.由于MB =—MD“ .所以MB‘=2（a—b）.定理1设向量a式0.那么.向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数，.使b二，a,三、空间直角坐标系过空间一个点O,作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点。
[实用]向量代数与空间解析几何课件PPT文档
![[实用]向量代数与空间解析几何课件PPT文档](https://img.taocdn.com/s3/m/7a46667fdaef5ef7bb0d3ca4.png)
z
R
k M 1•
向 向向
•M 2
量 量量 在 在在
Q x yz
x
P
o
j
i
N
轴
y上
axx2x1
的 投
轴 上 的 投
轴 上 的 投
ay y2y1
az z2z1 影 影
影
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
利用坐标作向量的线性运算
a { ax,ay,az},b{bx,by,bz},
a b { a x b x , a y b y ,a z b z }
( a x b x ) i ( a y b y ) j ( a z b z ) k a b { a x b x , a y b y ,a z b z }
按基本单位向量的坐标分解式：
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
在三个坐标轴上的分向量：a x i,a yj,a zk ,
向量的坐标： ax, ay, az,
向量的坐标表达式：
a { a x ,a y ,a z}
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 } 特殊地： O M {x ,y ,z}
三、向量的坐标表示
1. 起点在原点的向量(向径)OM
z zC
设点 M(x,y,z)
以 i, j,k分别表示沿x, y, z
k
轴正向的单位向量, 称为基本单
位向量. rOM = OA + AN +NM
高等数学向量代数与空间解析几何总结
高等数学向量代数与空间解析几何总结高等数学是大学数学学科的一门重要基础课程，其中向量代数与空间解析几何是其重要的内容之一、本文将对向量代数与空间解析几何的主要内容进行总结，让我们一起来了解一下吧！向量代数是研究向量的代数性质和运算法则的数学分支，旨在通过研究向量的各种运算进行分析与求解问题。
空间解析几何则是研究点、线、面等几何对象在三维空间中的位置关系和几何性质的学科。
首先，我们先来了解一下向量代数的基本概念和运算法则。
在向量代数中，向量是具有大小和方向的量，通常用一个有向线段表示。
向量的加法是指两个向量相加，得到一个新的向量，其结果是由两个向量的平行四边形法则确定的。
向量的乘法有数量乘法和点乘法两种形式。
数量乘法是指数与向量相乘，得到一个新的向量，其长度与原向量的长度相乘，方向与原向量相同或相反。
点乘法是指两个向量进行点乘，得到一个实数结果，其大小等于两个向量的长度相乘再乘以它们的夹角的余弦值，方向与夹角为锐角的原向量相同，为钝角时与原向量相反。
向量代数的运算法则包括交换律、结合律和分配律。
接下来，我们来了解一下空间解析几何的基本内容。
空间解析几何主要研究三维空间中的点、直线和平面的位置关系和几何性质。
其中，点是空间中没有大小、没有方向的对象，用坐标表示。
直线是由无数个点组成的无限延伸的几何对象，可以通过两点确定一条直线，也可以通过点和方向向量确定一条直线。
平面是由无数个点组成的无限延伸的几何对象，可以通过三个点确定一个平面，也可以通过点和法向量确定一个平面。
空间解析几何要求我们掌握点与点之间的距离、点与直线之间的关系、直线与直线之间的关系、点与平面之间的关系、直线与平面之间的关系等内容。
对于这些关系，我们可以通过向量的性质和运算进行解决。
在向量代数与空间解析几何中，还有一些重要的概念与定理需要了解。
例如，向量的模长是指向量的长度，可以通过向量的坐标和勾股定理求得。
向量的单位向量是指长度为1的向量，可以通过将向量的坐标除以其模长得到。
向量代数与空间解析几何
向量代数与空间解析几何在数学中，向量代数与空间解析几何是两个重要的概念，它们在许多领域都有着广泛的应用。
虽然向量代数和空间解析几何是两个独立的概念，但它们之间存在着密切的联系和相互支持的关系。
向量代数向量代数是研究向量的数学分支，它主要研究向量的运算和性质。
在向量代数中，向量被定义为具有大小和方向的量，通常用箭头来表示。
向量在空间中可以进行加法、减法、数乘等运算，而这些运算都满足一定的代数规律。
向量代数对于分析和描述空间中的各种物理现象和运动非常重要。
许多力学和动力学问题都可以通过向量代数来解决，从而为实际应用提供了有效的数学工具。
空间解析几何空间解析几何是研究空间中点和曲线的几何性质的数学分支，它主要通过代数方法来描述和研究空间中的几何对象。
在空间解析几何中，点可以用坐标来表示，而曲线可以用方程来描述。
通过空间解析几何，我们可以准确描述空间中的各种几何对象，如直线、平面、曲线等，从而使几何问题更加直观和形象化。
空间解析几何在工程学、物理学和计算机图形学等领域都有着广泛的应用。
向量代数与空间解析几何的关系虽然向量代数和空间解析几何是两个独立的数学分支，但它们之间是密不可分的。
首先，向量可以用坐标表示，而坐标又是空间解析几何的基本概念之一。
通过向量代数的运算规律，我们可以更方便地描述和计算空间中的几何对象。
其次，向量代数中的向量空间和空间解析几何中的空间有着相同的数学结构。
通过向量空间的性质，我们可以进一步研究和理解空间中点和向量的几何关系，从而推广和应用解析几何的方法。
总的来说，向量代数和空间解析几何是两个相互支持、相互促进的数学分支，它们共同构建了我们对空间中几何对象的深刻认识和理解。
总结向量代数与空间解析几何是数学中两个重要的概念，它们在各种领域都有着广泛的应用。
通过向量代数和空间解析几何的研究，我们可以更好地理解和描述空间中的各种几何对象，从而为实际问题的求解提供了有效的数学工具。
虽然向量代数和空间解析几何是独立的数学分支，但它们之间存在着密切的联系和相互支持的关系，共同构建了我们对空间几何的理解和认识。
向量代数与空间解析几何课件
空间曲线
空间中的曲线可以由三个 参数方程表示，例如球面 和抛物面。
曲面
曲面可以由两个或三个参 数方程表示，例如球面和 圆柱面。
空间解析几何中的常见问题与解决方法
求解点到直线的距离
使用点到直线距离公式，将点坐标和直线方程代入公式计 算。
求解两直线交点
将两直线的方程联立求解，得到交点的坐标。
判断两线是否平行或垂直
向量的数量积
01
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积，记作a·b
。
02
向量数量积的性质
数量积满足交换律、结合律、数乘律和分配律。
03
向量数量积的应用
在物理学中，向量数量积常用于描述力的做功、动量等物理量；在解析
几何中，向量数量积可用于计算向量的长度和向量的投影等。
向量的向量积
02
空间几何基础
空间直角坐标系
空间直角坐标系的定义
坐标轴上的单位向量
空间直角坐标系是三维空间中的一个 固定坐标系，由三个互相垂直的坐标 轴组成，分别为x轴、y轴和z轴。
与x轴、y轴和z轴正方向同向的单位向 量分别记为i、j、k，它们的模都为1， 且满足i×j=k，j×k=i，k×i=j。
空间点的坐标表示
在空间直角坐标系中，任意一点P的 位置可以用三个实数x、y、z来表示， 这三个实数称为点P的坐标。
向量的线性组合
向量线性组合的定义
如果向量a和b满足a=λb（λ为实数），则称向量a是向量b的线性 组合。
向量线性组合的性质
线性组合满足交换律、结合律和数乘律。
向量线性组合的应用
在物理学、工程学等领域中，向量线性组合常用于描述力的合成与 分解、速度和加速度的合成等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五章 向量代数与空间解析几何这一章在卷面上一般只有4-6分，往往是一个选择题，两个填空题或者是两个选择题，一个填空题。
下面我们就把考试中最易出现的考点给大家小结一下. 一.向量的数量积与向量积首先要清楚两种积的定义及常用的运算法则，如： ()2...cos ;.;..;....a b a b a a a a b b a a b c a b a c θ===+=+r r r r r r r r r r r r r r u r r u r r()..sin ;0;.;.a b a b a a a b b a a b c a b a c θ⨯=⨯=⨯=-⨯⨯+=⨯+⨯r r r r r r r r r r r r r r r r r r例1.设3,232,a i k b i j k =-=-+r r r r r r u r 求a b ⨯r r . 解：013130301389.322223232i j ka b i j k i j k --⨯=-=-+=------r r r r r r r r r r r例2.设{}{}2,1,,,2,3a m b n ==-r r，且a r ∥b r ，求,.m n 解：由于a r ∥b r，因此有21,23m n ==-解得3, 4.2m n =-=-， 例3.求垂直于{}2,2,1a =r 与{}4,5,3b =r的单位向量. 解：由向量积的定义可知，向量c a b =⨯r r r 是既垂直于a r 又垂直于b r的向量，因此所求单位向量即为1.c c ±rrc a b =⨯r r r 2121222212.534345453i j ki j k i j k ==-+=-+r r r r r r r r r3,c ==r 因此1122,,333c c⎧⎫±=±±⎨⎬⎩⎭r m r 为所求单位向量.例4.求以()()()1,2,3,3,4,5,2,4,7A B C 为顶点的ABC ∆的面积.解：12ABC S AB AC∆=⨯==u u ur u u u r其中222462,124ij kAB AC i j k AB AC ⨯==-+⨯=r r r u u u r u u u r r r r u u u r u u u r二.两向量间关系的判定要知道两向量间位置关系的判定方法，即 a r ⊥.0;b a b ⇔=r r ra r ∥0.b a b ⇔⨯=⇔r r r r 对应分量成比例.例5.判定下列各组向量间的关系（1）{}{}1,2,3,2,4,6.a b =-=--r r（2）{}{}1,2,3,3,3,1.a b =-=r r（3）{}{}1,2,3,1,3,2.a b =-=r r解：（1）注意两个向量对应分量之间的比例关系可知，a r ∥b r;（2）所给两向量的对应分量不成比例，故不平行。
再考虑.0a b =r r ，故a r ⊥b r ; （3）所给两向量的对应分量不成比例，故不平行；而.0a b ≠r r ，故a r 也不垂直于b r.例6.设1,2,a b ==r r且a r ⊥b r ，求()()3223a b a b +⨯-r r r r .解：由于 ()()()322369469413,a b a b a a a b b a b b a b a b a b +⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯-⨯=-⨯r r r r r r r r r r r r r r r r r r 故()()322313.sin 1312126.2a b a b a b π+⨯-==⨯⨯⨯=r r r r r r例7.试确定常数λ，使得{}{}1,2,3,2,4,a b λ==r r 满足（1）,a b ∧⎛⎫⎪⎝⎭r r 为锐角；（2）,a b ∧⎛⎫⎪⎝⎭r r 为钝角；（3）垂直；（4）同向.解：（1）由于.cos ,a b a b a b ∧⎛⎫==⎪⎝⎭r r r r r r （1）当1030,λ+>即103λ>-时，cos ,0,a b ∧⎛⎫> ⎪⎝⎭r r ,a b ∧⎛⎫⎪⎝⎭r r 为锐角； （2）当1030,λ+<即103λ<-时，cos ,0,a b ∧⎛⎫< ⎪⎝⎭r r ,a b ∧⎛⎫⎪⎝⎭r r 为钝角； （3）当1030,λ+=即103λ=-时，cos ,0,a b ∧⎛⎫= ⎪⎝⎭r r a r ⊥b r ；（4）当103λ+=，即6,λ=cos ,cos 01,a b ∧⎛⎫== ⎪⎝⎭r r 此时，a r 与b r 同向;（5）当103λ+=，即6,λ=cos ,cos 01,a b ∧⎛⎫== ⎪⎝⎭r r 此时，a r ∥b r .例8.问λ为何值时，以2a b +r r 与a b λ+r r为邻边的平行四边形的面积为6.解：由于 ()()()()2220202,a b a b a a a b b a b b a b a b a b λλλλλ+⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯=+⨯-⨯+=-⨯r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r 故()()22.sin ,22 6.a b a b a b a b λλλ∧⎛⎫+⨯+=-=-= ⎪⎝⎭r r r r r r r r故121, 5.λλ=-=例9.已知向量{}2,,6c k =-r 同时垂直于{}{}2,1,1,1,1,2a b =-=-r r，求k 值.解：c r 同时垂直于,a b r r，则c r ∥a b ⨯r r 。
又{}211531,5,3.112i j ka b i j k ⨯=-=--=---r r r r r r r rc r ∥15310.26a b k k --⨯⇔==⇒=--r r三.平面方程要熟知平面有三种形式的方程，即： （1）点、法式方程假设平面π过点()0000,,M x y z 且和非零向量{}C B A ,,=垂直，则其方程。
()()()0000A x x B y y C z z -+-+-={}C B A ,,=称为平面π的法线向量，简 称法向量，下面举一个例子.例10.求过三点()()()1232,1,4,1,3,2,0,2,3M M M ---的平面方程.解：由于{}{}12133,4,6,2,3,1M M M M =-=--u u u u u u r u u u u u u r，取=1213149.M M M M i j k ⨯=+-u u u u u u r u u u u u u r r r r所以，据平面的点法式方程，（代入2M ）得：()()()0239114:=+--++z y x π，即.015914:=--+z y x π问题：若取=n 1312M M M M ⨯u u u u u u r u u u u u u r可以吗？；若代入1M 方程的形式一样吗？ （2）平面的一般式方程0=+++D Cz By Ax .注意到任给一个三元方程0=+++D Cz By Ax ---（2），（A,B,C 不全为零），它一 定表示一张平面.注意：特殊位置平面的方程特点：（1）0=++Cz By Ax （D=0,平面过原点）； （2）0=++D Cz By （A=0,平面平行于x 轴）； （3）0=++D Cz Ax （B=0,平面平行于y 轴）； （4）0=++D By Ax （C=0,平面平行于z 轴）； （5）0=+D Cz （A=B=0,平面平行于xoy 平面）. 例11.求过x 轴及点()04,3,1M --的平面方程.解：取=n {}00,1,3OM i ⨯=-u u u u u r r，所以，据平面的点法式方程，（代入()0,0,0O ）得： .030:=+-z y x π例12.设平面π与三个坐标轴的交点分别为()()()()0,0,0,0,,0,00,≠abc c R b Q a P ，求π的方程.解：取={}ab ac bc ,,=⨯，所以，据平面的点法式方程 ()()()000:=-+-+-z ab y ac a x bc π，（4）方程（4）两端同除以abc ，并整理，得：1=++czb y a x ，这就是平面的第三种形式的方程，即截距式方程.专升本经常考察两平面间的位置关系，先回顾一下判断依据设有两平面{}111111111:0,,,;A x B y C z D n A B C π+++==u r{}222222222:0,,,.A x B y C z D n A B C π+++==u u r（1）相交 （设12,ππ的夹角为θ）1212|.|cos ||||n n n n θ==u r u u r u r u u r（2）平行1111212222////A B Cn n A B C ππ⇔⇔==u r u u r ；（3）垂直1212121212//0n n A A B B C C ππ⊥⇔⊥⇔++=u r u u r； （4）重合11112222.A B C D A B C D === 例13.一平面过两点()()121,1,1,0,1,1M M -且垂直于平面.0:=++z y x π求其方程.解：设所求平面的法向量为.据已知，12,n n n M M π⊥⊥r u u r r u u u u u u r，故可取 =n {}12,1,1M M n π⨯==--u u u u u r u u r.所以，据平面的点法式方程，（代入()1,1,1）得：.02:=--z y x π记住一个重要公式：点到平面的距离公式点()0000,,M x y z 到0:=+++D Cz By Ax π-的距离为d =.不用举例子，同学们自己看在辅导书上找例子. 四.空间直线及其方程要熟知空间直线三种形式的方程： （1）点、向式方程假设空间直线L 过点()0000,,M x y z 且和非零向量{}p n m ,,=平行，则其方程为000:x x y y z z L m n p---==（1） 注意：（a ）其实，方程（1）是一个方程组，它应该这样来理解：L ：0000,.x x y y mn y y z z np --⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，即L 是两平面之交线.（b ）称（1）为直线L 的点、向式方程。
{}p n m ,,=称为直线L 的方向向量，简称方向；m,n,p 叫做直线L 的方向数.（c ）要注意到直线L 的方向有无数多个，但直线的化简后方程是唯一的，为什么？特别地，的方向余弦{}γβαcos ,cos ,cos 也是L 的一组方向数.（d ）又称（1）式为直线的标准式或对称式方程.（e ）要求m,n,p 不全为零，但可以部分为零.如：m=0,这时方程（1）变为：0000x x y y z z n p---==----（2） （2）式应该理解为：0000,.x x y y z z n p -=⎧⎪--⎨=⎪⎩；又如：m=n=0,这时，（1）式变为：00000x x y y z z p---==---（3） （3）式应该理解为：000,0.x x y y -=⎧⎨-=⎩例14．求过两点()()121,2,1,2,3,0M M --的直线方程.解：由于{}123,1,1M M =-u u u u u u r， 取={}123,1,1M M =-u u u u u u r所以，据直线的点向式方程，（代入1M ）得： .111231:+=-=--z y x L 问：如果代入的是2M ，方程是否会有所不同？例15．求过点()03,1,2M -且通过直线.12354:zy x L =+=-的平面的方程. 解：在直线上取一点()14,3,0M -，可取{}018,9,22n s M M =⨯⨯=--r r u u u u u u u u r， 所以，据平面的点法式方程： 0592298:=---z y x π。