广东省中山市普通高中2018届高考数学一轮复习模拟试题11
广东省中山市普通高中2018届高考数学一轮复习模拟试题02
一轮复习数学模拟试题02共150分,时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集{x N x U *∈=<}6,集合{}{}1,3,3,5A B ==,则()U C AB 等于A .{}4,1B .{}5,1C .{}4,2D .{}5,22.复数z 满足12i z i ⋅=-,则z =.2.2.12.12A iB iC iD i ---+-3.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的全面积为 A .π4 B .π2 C .π3D .23π4.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,它的第1、5、17公比是 A .2B .12C .3D .45.阅读右侧程序框图,为使输出的数据为31应填的数字为 A .5 B .4 C .6 D .76. 如右图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(ω﹥0,2π﹤φ﹤π)的部分图像,其中,A B 两点之间的距离为5,那么()1f -= A .2 BC. D .2-7.直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是A .相离B .相切C .相交D .不确定8.已知O 为坐标原点,点M 坐标为(2,1)-,在平面区域020x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩上取一点N ,则使MN 为最小值时点N 的坐标是A .)0,0(B .)1,0(C .)2,0(D .)0,2( 9.函数221ln )(x x x f -=的图象大致是A. B . C . D .10. 已知函数()2,f x x bx c =++其中04,04b c ≤≤≤≤.记函数满足()()21213f f ≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩的事件为A ,则事件A 的概率为 A .58 B .12 C .38 D .14第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,第14、15小题任选一题作答,多选的按第14小题给分,每小题5分,共20分.11. 不等式162-+x x ﹤0的解集是 。
广东省普通高中2018届高考数学一轮复习模拟试题(含答案)02
一轮复习数学模拟试题02满分150分,考试用时120分钟. 第一部分 选择题(共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若全集U=R ,集合}01x 3x |x {N },4x |x {M 2<+-=>=,则)N C (M U ⋂等于( ) A. }2x |x {-< B . }3x 2x |x {≥-<或 C. }3x |x {≥ D. }3x 2|x {<≤-2.与函数)1lg(10-=x y 的图象相同的函数是 ( )A. 1-=x yB. 1-=x yC.112+-=x x y D. 211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x y3.若a ∈R ,则2a =是()()120a a --=的( ).A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件4.在下列图象中,二次函数y =ax 2+bx 与指数函数y =(ab )x的图象只可能是( )5.对于定义在R 上的函数)(x f y =,若),,(0)()(b a R b a b f a f <∈<∙且,则函数)(x f y =在区间),(b a 内( )A .只有一个零点B .至少有一个零点C .无零点D .无法判断6.二次函数()x f 满足()()22+-=+x f x f ,又()30=f ,()12=f ,若在[0,m ]上有最大值3,最小值1,则m 的取值范围是( )A. ()+∞,0B. [)+∞,2C. (]2,0D. [2,4]7.设奇函数f (x )的定义域为R , 且)()(x f x f =+4, 当x ] ,[64∈时f (x)=12+x, 则f (x )在区间] ,[02-上的表达式为( ) A .12+=xx f )( B .124--=+-x x f )( C .124+=+-x x f )( D .12+=-x x f )(8. 正实数12,x x 及函数()f x 满足)(1)(14x f x f x-+=,且12()()1f x f x +=,则12()f x x +的最小值为 ( ) A . 4B . 2C . 54 D .41 第二部分 非选择题(共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,满分30分.9.已知命题P: “对任何2,220x R x x ∈++>”的否定是_____________________ 10.函数2()lg(31)f x x =+的定义域是____________11.设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________.12.下列命题:(1)梯形的对角线相等;(2)有些实数是无限不循环小数;(3)有一个实数x ,使0322=++x x ;(4)y x y x ≠⇔≠22或y x -≠;(5)命题“b a 、都是偶数,则ba +是偶数”的逆否命题“若b a +不是偶数,则b a 、都不是偶数”;(6)若p 或q ”为假命题,则“非p 且非q ”是真命题;(7)已知c b a 、、是实数,关于x 的不等式02≤++c bx ax 的解集是空集,必有0>a 且0≤∆。
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十一)答案
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十一)答案1.B 【解析】由题意知z =2i 1ii 1i i i+++==-,故选B . 2.C 【解析】易知B ={−2,−1,0,1,2},又{|0}A x x =≥,则A ∩B ={0,1,2},故选C . 3.B 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,由13S =1137()1321322a a a +⨯⨯==182,解得7a =14,所以9112a a -=2(7a +2d )−(7a +4d )=7a =14,选B .4.C 【解析】由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线y =x 并平移,知当直线过点B 时,z 取得最大值,由210280-+=⎧⎨+-=⎩x y x y ,得B(3,2),故z 的最大值为1,故选C .5.B 【解析】圆2220+-=x y y 可化为22(1)1+-=x y ,故圆心坐标为(0,1),又弦AB的中点坐标为13(,)22-,故弦AB 的垂直平分线的斜率为−1,故所求直线方程为x +y −1=0.6.D 【解析】从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02,故选出的第6个红色球的编号为02.7.C 【解析】 通解 由11(1)+=+n x n,得1ln (1)ln(1)=++x n n ,由1(1)=+ny n,得1ln ln(1)=+y n n l ,则ln 1ln +=x n y n ,又11(1)11(1)+++==+n n x n n y n n,因而ln =y y, ln ln =x y y x ,即x y =y x ,故选C . 优解 11(1)+=+n x n=11()++n n n ,1(1)=+n y n =1()+nn n, yx =1(1)()1()++⨯+n n n n n n =11()1()++⨯+n n n nn n=x y ,故选C . 8.A 【解析】由22,0()ln ,0⎧-+⎪=⎨>⎪⎩≤x x x f x x x x,作出函数|()|=y f x 的大致图象如图所示,当0>x时,2ln 1ln ()()-''==x x f x x x ,令()0'=f x ,得=x e,此时1|()|=f e e,|()|f x 在(e ,+∞)上单调递减,1|()|()<=f x f e e,且当x 趋近于+∞时,|()|f x 趋近于0,数形结合知,满足|()|f x =a 有4个解时,a 的取值范围为(0,1e).9.B 【解析】 由()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π,知其最小正周期为π,因而2ω=;()f x 的最大值为()6πf ,因而sin()13πϕ+=,又||2πϕ<,所以6πϕ=,()sin(2)6π=+f x x .由26π+x =k π(k ∈Z )得122ππ=-+k x (k ∈Z ),因而(712π,0)不是函数()f x 的图象的对称中心,由262ππ+=x +k π(k ∈Z ),得62ππ=+k x (k ∈Z ),因而76π=x 是函数()f x 的图象的对称轴;由2π+2k π≤3262ππ+≤x +2k π(k ∈Z ),得6π+k π≤x ≤23π+k π(k ∈Z ),所以函数()f x 在[6π,23π]上单调递减.故选B .10.D 【解析】解法一 设00(,)P x y (00>x ),由题意知1||||=PO OF ,因而22200+=x y c ,又2112= PQ F F ,所以02=c x ,则22034=c y .又00(,)P x y 在双曲线上,因而22144-=a b,得1=e ,故选D .解法二如图,由题意知12||||||==PO OF OF ,则12∆PF F 为直角三角形,又2112=PQ F F ,所以∠POy =30°,则∠12PF F =30°,1||=PF ,2||=PF c ,2-=c a ,因而离心率1=e ,故选D .11.B 【解析】如图,由题意知当平面ABD ⊥平面BCD 时,三棱锥A −BCD 的体积最大,此时BC 为三棱锥A −BCD 的外接球中小圆1O 的直径,作小圆1O 的另一条直径DE ,则AD ⊥DE ,连接EA ,则EA 为外接球的直径,2223=+=EA DE AD ,即外接球的半径为2,其体积34()322π=⨯=V ,故选B .12.C 【解析】由题意可构造函数2()(1)()ϕ=-x x f x ,则2()2(1)()(1)()ϕ''=-+-x x f x x f x(1)[2()(1)()]'=-+-x f x x f x ,当1<x 时,()ϕ'x >0,因而()ϕx 在(−∞,1)上为增函数,由于函数()f x ,2(1)=-y x 的图象关于直线x =1对称,因而()ϕx 在(1,+∞)上为减函数,则不等式2(2017)(2018)(2)++>x f x f 化为(2018)(2)ϕϕ+>x , 因而|20181|1+-<x ,解得−2 018<x <−2 016,故选C .13.30【解析】6(+ax的展开式的通项为1+r T =66C ()-⋅r r r ax =36626C --r r ra x , 当3632-=r 时,2=r ,此时246C 60=a ,解得22=a , 而当3602-=r 时,4=r ,则常数项为426C 30=a .14.[1,3]【解析】通解 由题意知∠DAB =45°,且| AB |=1,设|PD |=x ,则0≤x ≤1,=+ AP AD PD ,=+=+BP BC CP AD CP ,因而2()()⋅=--⋅--=+⋅+⋅+⋅ PA PB AD DP AD CP AD AD CP AD DP DP CP−x )cos 135°cos 45°−x (1−x )=2x +x +1=213()24++x ∈[1,3]. 优解以B 为坐标原点,AB 及BD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,由题意知B (0,0),A (−1,0),设P (x ,1),其中0≤x ≤1,则⋅ P A P B =(−1−x ,−1)·(−x ,−1)=2x +x +1=213()24++x ∈[1,3]. 15.4π+8【解析】由三视图,可得该几何体为一棱长为2的正方体切掉两个底面半径为1,高为2的二分之一圆柱后剩余的部分,因而其侧面积为S =2π×1×2+2×2×2=4π+8. 16.[−5,−3]【解析】若55=c a ,则55>a b ,则前面不会有{}n b 的项,∵{}n b 单调递增,{}n a 单调递减,∴i b (i =1,2,3,4)<5b <5a <i a (i =1,2,3,4),∴55>a b ,即025>+k ,得4<-k ,∴当n ≥6时,必有≠n n c a ,即=n n c b ,此时应有65≥b a ,即6+k ≥1,得k ≥−5, ∴−5≤k <−4.若55=c b ,则55≥b a ,同理,前面不能有{}n b 的项,即454>≥a b b ,∵{}n a 单调递减,{}n b 单调递增,∴当n ≥6时,55>>≥n n b b a a ,∴当n ≥6时,=n n c b .由55≥b a ,即5+k ≥1,得k ≥−4,由45≥a b ,即2≥5+k ,得k ≤−3,∴−4≤k ≤−3.综上得,−5≤k ≤−3,即实数k 的取值范围是[−5,−3]. 17.【解析】(1)222cos cos +=+-A C b a c a c b ,可化为222cos cos +=+-c A a C bac a c b , 由余弦定理得,222cos cos +=+-c A a C bac a c b ,即2cos (cos cos )+=B c A a C b (2分)由正弦定理得,2cos (sin cos sin cos )sin +=B C A A C B , ∴2cos sin()sin +=B A C B .(4分)在∆ABC 中,sin()sin +=A C B 且sin 0≠B , ∴1cos 2=B ,∴B =60°, 又A +B +C =180°,∴A +C =2B ,因而A ,B ,C 成等差数列.(6分)(2)1sin 2∆===ABC S ac B ,因而6=ac .(8分) 又222222cos 6=+-=+-=≥b a c ac B a c ac ac , 当且仅当a =c 时取等号,因而b ,此时a =c ,∆ABC 为正三角形.(12分)18.【解析】(1)每名同学的不同选报方法有3种,因而4名同学的不同选报方法总数为43,记“甲、乙2名同学都选报A 专业”为事件M ,不同的选报方法数为23,则所求概率为P (M )=243139=.(4分)(2) 甲、乙2名同学没有选报同一专业,则不同的选报方法总数为223A 354⨯=.(6分) (i)记“这3个专业恰有1个专业没人选报”为事件N ,其选报方法数为223A 224⨯=,则所求概率为P (N )=244549=.(8分) (ii)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,P (ξ=0)=222A 245427⨯=,P (ξ=1)=1312222C 2C A 24549⨯+⨯=, P (ξ=2)=221122222C A C C 21543+⨯=, P (ξ=3)=12C 225427⨯=, 因而ξ的分布列为Eξ=0×427+1×49+2×3+3×27=3,(11分)Dξ=2222444441422(0)(1)(2)(3)32739333273-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.(12分)19.【解析】(1)由题意知,EC ⊥BC ,FC ⊥DC .∵折起后E 、F 重合于点P ,∴PC ⊥BC ,PC ⊥DC ,又BC ∩DC =C , ∴PC ⊥平面ABCD .∵BD ⊂平面ABCD ,∴BD ⊥PC .(2分)又在四边形ABCD 中,∠BAC =∠DAC ,AB =AD ,∴BD ⊥AC ,又AC ∩PC =C , ∴BD ⊥平面P AC ,又BD ⊂平面PBD ,∴平面PBD ⊥平面P AC .(6分)(2)由(1) 知PC ⊥平面ABCD ,以C 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则C (0,0,0), B (−12,0),−12,0),A (0,−2,0),M (0,−1,从而BD0,0), MD=(2,12,−2). 设平面MBD 的法向量为m =(x ,y ,z ),(8分)则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ BD MD m m,即010222=+-=⎪⎩x y z ,则x =0,令y =3,则z故m =(0,3为平面MBD 的一个法向量.(10分)又BA ⊥平面PBC ,因而平面PBC 的一个法向量为 BA−32,0).∴cos<m , BA >=||⋅⋅BABA m |m |=−34, 设平面PBC 与平面MBD 所成的二面角为θ, ∴sin θ=4,即平面PBC 与平面MBD所成二面角的正弦值为4.(12分) 20.【解析】(1)2=p, 由椭圆的对称性,知E 为椭圆的右焦点,连接MF , 由椭圆的定义知|MF |+|ME |=4,则|MF |=4−7533=.(2分) 设(,)M M M x y ,过点M 作准线的垂线,垂足为H , 由抛物线的定义知|MF |=|MH |=53,因而==M y ,43=-M x p ,代入22214+=x y b中,得2248193+=p b2=p 联立, 得p =2,2b =3,所以椭圆的方程为22143+=x y ,抛物线的方程为24=-y x .(6分) (2)由(1)知E (1,0),若直线l 的斜率存在,设直线方程为(1)=-y k x ,由22143(1)⎧+=⎪⎨⎪=-⎩x y y k x 得2222(34)84120+-+-=k x k x k . 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,∴1x +2x =22834+k k,1x ·2x =2241234-+k k .(8分) 假设点N 存在,其坐标为(m ,0),其中− 2≤m ≤2,1122(,)(,)⋅=-⋅-NA NB x m y x m y =1212()()(1)(1)-⋅-+-⋅-x m x m k x k x = 22221212(1)()()+-++++k x x m k x x m k=222222224128(1)()3434-+-+++++k k k m k m k k k=2222(485)31234--+-+m m k m k .若⋅ NA NB 为定值,则满足2248531243---=m m m ,得118=m ,定值为13564-.(10分) 当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =1,不妨设其与椭圆22143+=x y 的交点为A (1,32),B (1,−32),又N (118,0), 则⋅ NA NB =(−38,32)·(−38,−32)=13564-.(11分)综上,在椭圆的长轴上存在点N (118,0),使得⋅ NA NB =13564-,为定值.(12分)21.【解析】(1)由题意得()'f x =(1ln )+m x ,令()'f x =0,得1=x e.(2分)当m >0时,在(0,1e)上,()'f x <0,则()f x 单调递减,在(1e,+∞)上,()'f x >0,则()f x 单调递增;当m <0时,在(0,1e)上,()'f x >0,则()f x 单调递增,在(1e,+∞)上,()'f x <0,则()f x 单调递减.(4分)综上,当m >0时,()f x 的单调递减区间为(0,1e ),单调递增区间为(1e,+∞);当m <0时,()f x 的单调递减区间是(1e ,+∞),单调递增区间是(0,1e).(5分) (2)原问题等价于当x ∈(0,2]时,min max ()()>f x g x , 当m >0时,由(1)知min 111()()ln1==++mf x f m e e e e=1. 2()2(2)'=+=+ax ax ax g x xe ax e x ax e .(i)当a ≥0时,()'g x >0,即()g x 在(0,2]上单调递增, 因而2()(2)41=>≤a g x g e ,不合题意.(7分) (ii)当a <0时,由()'g x =0,得2=-x a, 若−2a≥2,即−1≤a <0,()'g x ≥0在(0,2]上恒成立,因而()g x 在(0,2]上单调递增, 2()(2)4=≤a g x g e ,由241<a e ,得a <−ln 2,因而−1≤a <−ln 2.(9分) 若−2a <2,即a <−1,()g x 在(0,−2a ]上单调递增,在(−2a,2]上单调递减, 因而()g x ≤g(−2a )=224-e a ,由224-e a<1,得a <−2e ,由于−2e>−1,所以a <−1. (11分)综上所述,实数a 的取值范围为(−∞,−ln 2).(12分)22.【解析】(1)由题意,知圆C 的直径为|AB |=2,圆心的直角坐标为C ,12),极坐标为C (1,6π),且圆C 过点O .设圆C 上任意一点Q 的极坐标为Q (ρ,θ),如图,连接QC ,OC ,OQ ,则∠COQ =θ−6π.解法一 在△OCQ 中,222||||||2||||cos()6πθ=+--QC OQ OC OQ OC ,即2112cos()6πρρθ=+--,化为2cos()6πρθ=-,即圆C 的极坐标方程为2cos()6πρθ=-.解法二 延长OC 交圆C 于点D ,连接DQ ,在Rt △ODQ 中,2cos()6πρθ=-,即圆C 的极坐标方程为2cos()6πρθ=-.(5分)(2)解法一 因为直线l 与圆C 过原点O 的切线m 垂直,所以直线l 的倾斜角为6π,又直线l 过P (0,−1),故可设直线l的参数方程为112⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩x y t (t 为参数),将(1)中圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为220+-=x y y ,与直线l 的参数方程联立,得22311(1)(1)04222+-+--+=t t t ,即2320-+=t t . 设M ,N 对应的参数分别为1t ,2t ,则1t =1,2t =2或1t =2,2t =1, 则|MN |= |1t −2t |=1.解法二 因为直线l 与圆C 过原点O 的切线垂直,所以直线l 的倾斜角为6π,斜率为l 过P (0,−1),故直线l的方程为1=-y x−3y −3=0.圆心C12)到直线l的距离==d ,所以|MN.(10分) 23.【解析】设()|1||2|=+--f x x x ,则()f x =3,121,123,2-⎧⎪--<<⎨⎪⎩≤-≥x x x x ,∴()f x 的最大值为3.∵对任意实数x ,|x +1|−|2−x |≤a 都成立,即()f x ≤a , ∴a ≥3.设()h x =|x +1|+|2−x |=21,13,1221,2-+-⎧⎪-<<⎨⎪-⎩≤≥x x x x x ,11 则()h x 的最小值为3.∵对任意实数x ,|x +1|+|2−x |≥a 都成立, 即()h x ≥a ,∴a ≤3.∴a =3.(2)由(1)知a =3.221222++-+≥m n a m mn n ∵2221122()()2()+-=-+-+-+-m n m n m n m mn n m n , 且m >n >0, ∴21()()()-+-+-m n m n m n ≥=3,∴221222++-+≥m n a m mn n .。
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十一)(含答案)
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十一)本试卷分必考和选考两部分.必考部分一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的. 1.已知复数z 满足(i)i 2i z -⋅=+,则z =A .1+iB .1−iC .−1−iD .−1+i 2.已知集合{|0}A x x =≥,2{|4,}B x x x =∈Z ≤,则A ∩B =A .{0,−1,−2}B .{−1,−2}C .{0,1,2}D .{1,2} 3.已知等差数列{}n a 的前13项和为13S =182,则9112a a -=A .7B .14C .21D .284.已知x ,y 满足320210280--⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤x y x y x y ,则目标函数=-z x y 的最大值为A .0B .12C .1D .2 5.已知直线l 截圆2220+-=x y y 所得的弦AB 的中点坐标为13(,)22-,则弦AB 的垂直平分线方程为A .x −y −1=0B .x +y −1=0C .x −y +1=0D .x +y +1=06.福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02,…,33的33个个体组成,某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号,选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个红色球的编号为49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A .23B .09C .17D .02 7.设*∈N n ,11(1)+=+n x n,1(1)=+ny n,则下列结论成立的是A .xy >y x B .x y <yx C .xy =yx D .x ,y 的大小关系与n 的取值有关8.已知22,0()ln ,0⎧-+⎪=⎨>⎪⎩≤x x x f x x x x,执行如图所示的程序框图,则输出的结果a 所在的范围为A .(0,1e ) B .(0,1e] C .(0,e ) D .(0,e ] 9.已知()sin()ωϕ=+f x x (0ω>,||2πϕ<),其图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π,若对任意的x ∈R ,()()6π≤f x f ,则下列结论不正确的是A .函数()f x 的最小正周期为πB .函数()f x 的图象关于点(712π,0)对称 C .函数()f x 的图象关于直线76π=x 对称D .函数()f x 在区间[6π,23π]上单调递减10.已知双曲线22221-=x y a b(a >0,b >0)的左、右焦点分别为1F ,2F ,P 为双曲线右支上一点,1∆POF 为等腰三角形,过P 作y 轴的垂线,延长后交双曲线的左支于点Q ,若2112=PQ F F ,则双曲线的离心率为 AB 3C 2+1D 311.已知等腰直角三角形ABC 2,BD 为底边上的高,沿BD 将三角形ABD 折起,当三棱锥A −BCD 的体积最大时,该三棱锥外接球的体积为 A .2π B .32C .43D .5π 12.已知函数()f x 的定义域为R ,其图象关于直线x =1对称,其导函数为()'f x ,当x <1时,2()(1)()0'+-<f x x f x ,则不等式2(2017)(2018)(2)++>x f x f 的解集为 A .(−∞,−2 016) B .(−∞,−2 018)C .(−2 018,−2 016)D .(−∞,−2 018)∪(−2 016,+∞) 二、填空题:本题共4小题,每小题5分. 13.已知6(ax x的展开式中含3x 项的系数为60,则展开式的常数项为 . 14.如图,在平行四边形ABCD 中,||2=AD ,向量AD 在AB 方向上的投影为1,且0⋅=BD DC ,点P 在线段CD 上,则0⋅=PA PB 的取值范围为.15.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面积为.16.已知数列{}n a 的通项公式为52-=nn a ,数列{}n b 的通项公式为=+n b n k ,设,,⎧=⎨>⎩≤n n nn n n nb a bc a a b ,若在数列{}n c 中,5≤n c c 对任意的n ∈N *恒成立,则实数k 的取值范围是 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知∆ABC 的三个内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c , 且222cos cos +=+-A C ba c a c b. (1)求证:A ,B ,C 成等差数列; (2)若∆ABC的面积为2,求b 的最小值,并判断此时∆ABC 的形状. 18.(本小题满分12分)某高校进行自主招生考试,有A 、B 、C 3个专业可供选报,每名考生必须选报且只能报其中1个专业,且选报每个专业的概率相等.现有甲、乙、丙、丁4名同学决定参加该校的自主招生考试,且每名同学对专业的选报是相互独立的.(1)求甲、乙2名同学都选报A 专业的概率; (2)已知甲、乙2名同学没有选报同一专业, (i)求这3个专业恰有1个专业没人选报的概率;(ii)这4名同学中选A 专业的人数记为ξ,求随机变量ξ的分布列、数学期望和方差. 19.(本小题满分12分)在如图1所示的平面图形中,ABEC 与ADFC 为全等的平行四边形,∠BAC =∠DAC =30°,AB =AD BE =DF =2,将△EBC 和△FDC 分别沿BC 、DC 折起,使E 、F 重合于点P ,如图2.(1)求证:平面PBD ⊥平面P AC ;(2)若M 为P A 的中点,求平面PBC 与平面MBD 所成二面角的正弦值. 20.(本小题满分12分)如图,已知椭圆1C :22214+=x y b(b >0)的左焦点F 与抛物线2C :22=-y px (p >0)的焦点重合,M 是1C 与2C 在第二象限内的交点,抛物线的准线与x 轴交于点E ,且7||3=ME .(1)求椭圆1C 及抛物线2C 的方程;(2)过E 作直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点,则在椭圆的长轴上是否存在点N ,使得⋅NA NB 为定值?若存在,求出点N 的坐标及定值;若不存在,请说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数()f x =ln 1++mmx x e(m ≠0),()g x =2ax x e (a ∈R ). (1)求函数()f x 的单调区间;(2)当m >0时,若对任意的1x ,2x ∈(0,2],1()f x >2()g x 恒成立,求实数a 的取值范围.选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4─4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,A (0,1),B 30),以AB 为直径的圆记为圆C ,圆C 过原点O 的切线记为m ,若以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 的极坐标方程;(2)若过点P (0,−1),且与直线m 垂直的直线l 与圆C 交于M 、N 两点,求|MN |. 23.(本小题满分10分)选修4─5:不等式选讲已知a 是常数,对任意实数x ,不等式|1||2||1||2|+--++-≤≤x x a x x 都成立. (1)求a 的值;(2)设m >n >0,求证:221222++-+≥m n a m mn n .2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十一)答案1.B 【解析】由题意知z =2i 1ii 1i i i+++==-,故选B . 2.C 【解析】易知B ={−2,−1,0,1,2},又{|0}A x x =≥,则A ∩B ={0,1,2},故选C . 3.B 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,由13S =1137()1321322a a a +⨯⨯==182,解得7a =14,所以9112a a -=2(7a +2d )−(7a +4d )=7a =14,选B .4.C 【解析】由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线y =x 并平移,知当直线过点B 时,z 取得最大值,由210280-+=⎧⎨+-=⎩x y x y ,得B(3,2),故z 的最大值为1,故选C .5.B 【解析】圆2220+-=x y y 可化为22(1)1+-=x y ,故圆心坐标为(0,1),又弦AB 的中点坐标为13(,)22-,故弦AB 的垂直平分线的斜率为−1,故所求直线方程为x +y −1=0.6.D 【解析】从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02,故选出的第6个红色球的编号为02. 7.C 【解析】 通解 由11(1)+=+n x n,得1ln (1)ln(1)=++x n n ,由1(1)=+ny n,得1ln ln(1)=+y n n l ,则ln 1ln +=x n y n ,又11(1)11(1)+++==+n n x n n y n n, 因而ln ln =x xy y, ln ln =x y y x ,即x y =y x ,故选C . 优解 11(1)+=+n x n=11()++n n n ,1(1)=+n y n =1()+nn n,yx =1(1)()1()++⨯+n n n n n n =11()1()++⨯+n n n n n n=xy ,故选C . 8.A 【解析】由22,0()ln ,0⎧-+⎪=⎨>⎪⎩≤x x x f x x x x,作出函数|()|=y f x 的大致图象如图所示,当0>x 时,2l n 1l n ()()-''==x x f x x x ,令()0'=f x ,得=x e ,此时1|()|=f e e,|()|f x 在(e ,+∞)上单调递减,1|()|()<=f x f e e ,且当x 趋近于+∞时,|()|f x 趋近于0,数形结合知,满足|()|f x =a 有4个解时,a 的取值范围为(0,1e).9.B 【解析】 由()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π,知其最小正周期为π,因而2ω=;()f x 的最大值为()6πf ,因而sin()13πϕ+=,又||2πϕ<,所以6πϕ=,()sin(2)6π=+f x x .由26π+x =k π(k ∈Z )得122ππ=-+k x (k ∈Z ),因而(712π,0)不是函数()f x 的图象的对称中心,由262ππ+=x +k π(k ∈Z ),得62ππ=+k x (k ∈Z ),因而76π=x 是函数()f x 的图象的对称轴;由2π+2k π≤3262ππ+≤x +2k π(k ∈Z ),得6π+k π≤x ≤23π+k π(k ∈Z ),所以函数()f x 在[6π,23π]上单调递减.故选B .10.D 【解析】解法一 设00(,)P x y (00>x ),由题意知1||||=PO OF ,因而22200+=x y c ,又2112=PQ F F ,所以02=c x ,则22034=c y .又00(,)P x y 在双曲线上,因而22223144-=c c a b,得31=e ,故选D .解法二如图,由题意知12||||||==PO OF OF ,则12∆PF F 为直角三角形,又2112=PQ F F , 所以∠POy =30°,则∠12PF F =30°,1||3=PF c ,2||=PF c , 32-=c c a ,因而离心率31=e ,故选D .11.B 【解析】如图,由题意知当平面ABD ⊥平面BCD 时,三棱锥A −BCD 的体积最大,此时BC 为三棱锥A −BCD的外接球中小圆1O 的直径,作小圆1O 的另一条直径DE ,则AD ⊥DE ,连接EA ,则EA 为外接球的直径,2223=+=EA DE AD 334333π=⨯=V ,故选B .12.C 【解析】由题意可构造函数2()(1)()ϕ=-x x f x ,则2()2(1)()(1)()ϕ''=-+-x x f x x f x(1)[2()(1)()]'=-+-x f x x f x ,当1<x 时,()ϕ'x >0,因而()ϕx 在(−∞,1)上为增函数,由于函数()f x ,2(1)=-y x 的图象关于直线x =1对称,因而()ϕx 在(1,+∞)上为减函数,则不等式2(2017)(2018)(2)++>x f x f 化为(2018)(2)ϕϕ+>x ,因而|20181|1+-<x ,解得−2 018<x <−2 016,故选C .13.30【解析】6(+ax x 的展开式的通项为1+r T =66C ()(-⋅r rr ax x=36626C --r r r a x , 当3632-=r 时,2=r ,此时246C 60=a ,解得22=a , 而当3602-=r 时,4=r ,则常数项为426C 30=a .14.[1,3]【解析】通解 由题意知∠DAB =45°,且|AB |=1,设|PD |=x ,则0≤x ≤1,=+AP AD PD ,=+=+BP BC CP AD CP ,因而2()()⋅=--⋅--=+⋅+⋅+⋅PA PB AD DP AD CP AD AD CP AD DP DP CP(1−x )cos 135°2x cos 45°−x (1−x )=2x +x +1=213()24++x ∈[1,3]. 优解以B 为坐标原点,AB 及BD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,由题意知B (0,0),A (−1,0),设P (x ,1),其中0≤x ≤1,则⋅PA PB =(−1−x ,−1)·(−x ,−1)=2x +x +1=213()24++x ∈[1,3]. 15.4π+8【解析】由三视图,可得该几何体为一棱长为2的正方体切掉两个底面半径为1,高为2的二分之一圆柱后剩余的部分,因而其侧面积为S =2π×1×2+2×2×2=4π+8.16.[−5,−3]【解析】若55=c a ,则55>a b ,则前面不会有{}n b 的项,∵{}n b 单调递增,{}n a 单调递减,∴i b (i =1,2,3,4)<5b <5a <i a (i =1,2,3,4),∴55>a b ,即025>+k ,得4<-k ,∴当n ≥6时,必有≠n n c a ,即=n n c b ,此时应有65≥b a ,即6+k ≥1,得k ≥−5,∴−5≤k <−4.若55=c b ,则55≥b a ,同理,前面不能有{}n b 的项,即454>≥a b b ,∵{}n a 单调递减,{}n b 单调递增,∴当n ≥6时,55>>≥n n b b a a ,∴当n ≥6时,=n n c b .由55≥b a ,即5+k ≥1,得k ≥−4,由45≥a b ,即2≥5+k ,得k ≤−3,∴−4≤k ≤−3.综上得,−5≤k ≤−3,即实数k 的取值范围是[−5,−3]. 17.【解析】(1)222cos cos +=+-A C b a c a c b ,可化为222cos cos +=+-c A a C bac a c b , 由余弦定理得,222cos cos +=+-c A a C bac a c b, 即2cos (cos cos )+=B c A a C b (2分)由正弦定理得,2cos (sin cos sin cos )sin +=B C A A C B , ∴2cos sin()sin +=B A C B .(4分)在∆ABC 中,sin()sin +=A C B 且sin 0≠B , ∴1cos 2=B ,∴B =60°, 又A +B +C =180°,∴A +C =2B ,因而A ,B ,C 成等差数列.(6分) (2)1333sin 242∆===ABC S ac B ac ,因而6=ac .(8分) 又222222cos 6=+-=+-=≥b a c ac B a c ac ac , 当且仅当a =c 时取等号,因而b 6,此时a =c 6,∆ABC 为正三角形.(12分)18.【解析】(1)每名同学的不同选报方法有3种,因而4名同学的不同选报方法总数为43,记“甲、乙2名同学都选报A 专业”为事件M ,不同的选报方法数为23,则所求概率为P (M )=243139=.(4分)(2) 甲、乙2名同学没有选报同一专业,则不同的选报方法总数为223A 354⨯=.(6分)(i)记“这3个专业恰有1个专业没人选报”为事件N ,其选报方法数为223A 224⨯=,则所求概率为P (N )=244549=.(8分) (ii)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,P (ξ=0)=222A 245427⨯=, P (ξ=1)=1312222C 2C A 24549⨯+⨯=, P (ξ=2)=221122222C A C C 21543+⨯=, P (ξ=3)=12C 225427⨯=, 因而ξ的分布列为Eξ=0×427+1×49+2×13+3×227=43,(11分) Dξ=2222444441422(0)(1)(2)(3)32739333273-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.(12分) 19.【解析】(1)由题意知,EC ⊥BC ,FC ⊥DC .∵折起后E 、F 重合于点P ,∴PC ⊥BC ,PC ⊥DC ,又BC ∩DC =C , ∴PC ⊥平面ABCD .∵BD ⊂平面ABCD ,∴BD ⊥PC .(2分)又在四边形ABCD 中,∠BAC =∠DAC ,AB =AD ,∴BD ⊥AC ,又AC ∩PC =C , ∴BD ⊥平面P AC ,又BD ⊂平面PBD ,∴平面PBD ⊥平面P AC .(6分)(2)由(1) 知PC ⊥平面ABCD ,以C 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则C (0,0,0), B,−12,0),−12,0),A (0,−2,0),M (0,−13,从而BD =(30,0),MD 312,). 设平面MBD 的法向量为m =(x ,y ,z ),(8分)则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩BD MD m m ,即303130222=+-=⎪⎩x x y z ,则x =0,令y =3,则z 3, 故m =(0,33为平面MBD 的一个法向量.(10分)又BA ⊥平面PBC ,因而平面PBC 的一个法向量为BA =(32,−32,0). ∴cos<m ,BA >=||⋅⋅BABA m |m |=−34,设平面PBC 与平面MBD 所成的二面角为θ,∴sin θPBC 与平面MBD(12分) 20.【解析】(1)242-=pb , 由椭圆的对称性,知E 为椭圆的右焦点,连接MF , 由椭圆的定义知|MF |+|ME |=4,则|MF |=4−7533=.(2分) 设(,)M M M x y ,过点M 作准线的垂线,垂足为H , 由抛物线的定义知|MF |=|MH |=53, 因而22756()()333=-=M y ,43=-M x p, 代入22214+=x y b 中,得2248193+=p b 242-=pb 联立, 得p =2,2b =3,所以椭圆的方程为22143+=x y ,抛物线的方程为24=-y x .(6分) (2)由(1)知E (1,0),若直线l 的斜率存在,设直线方程为(1)=-y k x ,由22143(1)⎧+=⎪⎨⎪=-⎩x y y k x 得2222(34)84120+-+-=k x k x k . 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,∴1x +2x =22834+k k,1x ·2x =2241234-+k k .(8分) 假设点N 存在,其坐标为(m ,0),其中− 2≤m ≤2,1122(,)(,)⋅=-⋅-NA NB x m y x m y =1212()()(1)(1)-⋅-+-⋅-x m x m k x k x =22221212(1)()()+-++++k x x m k x x m k=222222224128(1)()3434-+-+++++k k k m k m k k k=2222(485)31234--+-+m m k m k .若⋅NA NB 为定值,则满足2248531243---=m m m ,得118=m ,定值为13564-.(10分) 当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =1,不妨设其与椭圆22143+=x y 的交点为A (1,32),B (1,−32),又N (118,0), 则⋅NA NB =(−38,32)·(−38,−32)=13564-.(11分) 综上,在椭圆的长轴上存在点N (118,0),使得⋅NA NB =13564-,为定值.(12分)21.【解析】(1)由题意得()'f x =(1ln )+m x ,令()'f x =0,得1=x e.(2分)当m >0时,在(0,1e)上,()'f x <0,则()f x 单调递减,在(1e,+∞)上,()'f x >0,则()f x 单调递增;当m <0时,在(0,1e)上,()'f x >0,则()f x 单调递增,在(1e,+∞)上,()'f x <0,则()f x 单调递减.(4分)综上,当m >0时,()f x 的单调递减区间为(0,1e ),单调递增区间为(1e,+∞);当m <0时,()f x 的单调递减区间是(1e ,+∞),单调递增区间是(0,1e).(5分)(2)原问题等价于当x ∈(0,2]时,min max ()()>f x g x , 当m >0时,由(1)知min 111()()ln1==++mf x f m e e e e=1. 2()2(2)'=+=+ax ax ax g x xe ax e x ax e .(i)当a ≥0时,()'g x >0,即()g x 在(0,2]上单调递增, 因而2()(2)41=>≤ag x g e,不合题意.(7分)(ii)当a <0时,由()'g x =0,得2=-x a, 若−2a≥2,即−1≤a <0,()'g x ≥0在(0,2]上恒成立,因而()g x 在(0,2]上单调递增, 2()(2)4=≤a g x g e ,由241<a e ,得a <−ln 2,因而−1≤a <−ln 2.(9分)若−2a <2,即a <−1,()g x 在(0,−2a ]上单调递增,在(−2a,2]上单调递减, 因而()g x ≤g(−2a )=224-e a ,由224-e a <1,得a <−2e,由于−2e>−1,所以a <−1. (11分)综上所述,实数a 的取值范围为(−∞,−ln 2).(12分)22.【解析】(1)由题意,知圆C 的直径为|AB |=2,圆心的直角坐标为C(2,12),极坐标为C (1,6π),且圆C 过点O .设圆C 上任意一点Q 的极坐标为Q (ρ,θ),如图,连接QC ,OC ,OQ ,则∠COQ =θ−6π.解法一 在△OCQ 中,222||||||2||||cos()6πθ=+--QC OQ OC OQ OC ,即2112cos()6πρρθ=+--,化为2cos()6πρθ=-, 即圆C 的极坐标方程为2cos()6πρθ=-.解法二 延长OC 交圆C 于点D ,连接DQ ,在Rt △ODQ 中,2cos()6πρθ=-,即圆C 的极坐标方程为2cos()6πρθ=-.(5分) (2)解法一 因为直线l 与圆C 过原点O 的切线m 垂直,所以直线l 的倾斜角为6π,又直线l 过P (0,−1),故可设直线l 的参数方程为32112⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩x y t (t 为参数),将(1)中圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2230+-=x y x y ,与直线l 的参数方程联立,得223131(1)3(1)0422+-+---+=t t t ,即2320-+=t t .设M ,N 对应的参数分别为1t ,2t ,则1t =1,2t =2或1t =2,2t =1, 则|MN |= |1t −2t |=1.解法二 因为直线l 与圆C 过原点O 的切线垂直,所以直线l 的倾斜角为6π,斜率为33,又直线l 过P (0,−1),故直线l的方程为13=-y xx −3y −3=0.圆心C(2,12)到直线l的距离==d ,所以|MN.(10分) 23.【解析】设()|1||2|=+--f x x x ,则()f x =3,121,123,2-⎧⎪--<<⎨⎪⎩≤-≥x x x x ,∴()f x 的最大值为3.∵对任意实数x ,|x +1|−|2−x |≤a 都成立,即()f x ≤a , ∴a ≥3.设()h x =|x +1|+|2−x |=21,13,1221,2-+-⎧⎪-<<⎨⎪-⎩≤≥x x x x x ,则()h x 的最小值为3.∵对任意实数x ,|x +1|+|2−x |≥a 都成立, 即()h x ≥a , ∴a ≤3. ∴a =3. (2)由(1)知a =3.221222++-+≥m n a m mn n∵2221122()()2()+-=-+-+-+-m n m n m n m mn n m n , 且m >n >0,∴21()()()-+-+-m n m n m n ≥321()()()---m n m n m n =3, ∴221222++-+≥m n a m mn n .。
广东省中山市普通高中2018届高考数学三轮复习冲刺模拟试题201805300317
高考数学三轮复习冲刺模拟试题13解析几何02三、解答题1.已知中心在坐标原点,焦点在x 轴上的椭圆过点3)P ,且它的离心率21=e . (Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=:交椭圆于N M ,两点,若椭圆上一点C 满足OC ON OM λ=+,求实数λ的取值范围.2.椭圆E:22a x +22by =1(a>b>0)离心率为23,且过P(6,22).(1)求椭圆E 的方程; (2)已知直线l 过点M(-21,0),且与开口朝上,顶点在原点的抛物线C 切于第二象限的一点N,直线l 与椭圆E 交于A,B 两点,与y 轴交与D 点,若→AD =λ→AN ,→BD =μ→BN ,且λ+μ=25,求抛物线C 的标准方程.OxyMN3.已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴的距离的差都是1.(Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线,都有FA FB ⋅﹤0?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.4.设点P 是曲线C:)0(22>=p py x 上的动点,点P 到点(0,1)的距离和它到焦点F 的距离之和的最小值为45 (1)求曲线C 的方程(2)若点P 的横坐标为1,过P 作斜率为)0(≠k k 的直线交C 与另一点Q,交x 轴于点M,过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N,问是否存在实数k,使得直线MN 与曲线C 相切?若存在,求出k 的值,若不存在,说明理由.5.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12,直线l 过点(4,0)A ,(0,2)B ,且与椭圆C 相切于点P .(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)是否存在过点(4,0)A 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ,使得23635AP AM AN =⋅?若存在,试求出直线m 的方程;若不存在,请说明理由.6.设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为12,F F ,上顶点为A ,在x 轴负半轴上有一点B ,满足112BF F F =,且2AF AB ⊥. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)D 是过2F B A 、、三点的圆上的点,D 到直线033:=--y x l 的最大距离等于 椭圆长轴的长,求椭圆C 的方程;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于N M 、两点,线段MN 的中垂线 与x 轴相交于点)0,(m P ,求实数m 的取值范围.1F 2F xy AOB7.已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,一条渐近线方程为x y 34=,右焦点)0,5(F ,双曲线的实轴为21A A ,P 为双曲线上一点(不同于21,A A ),直线P A 1,P A 2分别与直线59:=x l 交于N M ,两点 (1)求双曲线的方程;(2)FN FM ⋅是否为定值,若为定值,求出该值;若不为定值,说明理由.8.(本小题满分13分)如图F 1、F 2为椭圆1:2222=+by a x C 的左、右焦点,D 、E 是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率23=e ,2312-=∆DEF S .若点),(00y x M 在椭圆C 上,则点),(0by a x N 称为点M 的一个“椭点”,直线l 与椭圆交于A 、B 两点,A 、B 两点的“椭点”分别为P 、Q.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)问是否存在过左焦点F 1的直线l ,使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.参考答案三、解答题1.解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x由已知得:2222243112a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩解得 2286a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的标准方程为: 22186x y += (Ⅱ) 因为直线l :y kx t =+与圆22(1)1x y -+=相切所以22112(0)1t kt k t t k+-=⇒=≠+把t kx y +=代入22186x y +=并整理得: 222(34)8(424)0k x ktx t +++-=┈7分 设),(,),(2211y x N y x M ,则有 221438k ktx x +-=+ 22121214362)(k tt x x k t kx t kx y y +=++=+++=+ 因为,),(2121y y x x OC ++=λ, 所以,⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktC 又因为点C 在椭圆上, 所以,222222222861(34)(34)k t t k k λλ+=++ 222222221134()()1t kt tλ⇒==+++ 因为 02>t 所以 11)1()1(222>++tt 所以 202λ<<,所以 λ的取值范围为 (20)(0,2)2. 【解析】解. (1)2311-222b e e a b a ===∴=,,,222214x y b b+=代入椭圆方程得:,222440x y b +-=化为 点P(6,22)在椭圆E 上222624028b b a +-=∴==,,22182x y ∴+=椭圆E 方程为,(2)设抛物线C 的方程为20y ax a =>(),直线与抛物线C 切点为 200(,)x ax ,200002,2,2()y ax l ax l ax ax x x '=∴=-直线的斜率为的方程为y- 0000002211(,0),2(),(,)022l ax ax x N x ax x -∴-=--∴<直线过在第二象限,解得01x =-,(1,)N a ∴-,l 直线的方程为:2y ax a =--代入椭圆方程并整理得:2222(116)16480(1)a x a x a +++-=1122(,)(,)A x y B x y 设、则12x x 、是方程(1)的两个根,221212224816116116a a x x x x a a --=+=++则,由λ=,μ=,111x x +=λ,221x x +=μ 21212122121212281611174x x x x x x a x x x x x x a λμ++++===+++++-+ 52λμ+=∴,228165742a a +=-,解得330,66a a a =±>∴=,223,236y x x y ∴==抛物线C 的方程为其标准方程为3.本题主要考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的性质等基础知识,同时考查推理运算的能力.解:(I)设P ),(y x 是直线C 上任意一点,那么点P(y x ,)满足:)0(1)1(22>=-+-x x y x化简得)0(42>=x x y(II)设过点M(m,0))0(>m 的直线l 与曲线C 的交点为A(11,y x ),B(22,y x ) 设l 的方程为m ty x +=,由⎩⎨⎧=+=x42y mty x 得0442=--m ty y ,0)(162>+=∆m t .于是⎩⎨⎧-==+m y y t y y 442121 ①又),1(),,1(2211y x y x -=-=01)()1)(1(021********<+++-=+--⇔<⋅y y x x x x y y x x②又42y x =,于是不等式②等价于⋅421y 01)44(422212122<++-+y y y y y 01]2)[(4116)(2122121221<+-+-+⇔y y y y y y y y ③由①式,不等式③等价于22416t m m <+- ④对任意实数t,24t 的最小值为0,所以不等式④对于一切t 成立等价于0162<+-m m ,即223223+<<-m由此可知,存在正数m,对于过点M(m ,0)且与曲线C 有A,B 两个交点的任一直线,都有0<⋅FB FA ,且m 的取值范围是)223,223(+-4.解:(1)依题意知4521=+p ,解得21=p ,所以曲线C 的方程为2x y = (2)由题意设直线PQ 的方程为:1)1(+-=x k y ,则点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,11k M 由⎩⎨⎧=+-=21)1(xy x k y ,012=-+-k kx x ,得()2)1(,1--k k Q , 所以直线QN 的方程为)1(1)1(2+--=--k x kk y 由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=--22)1(1)1(x y k x kk y ,0)1(11122=--+-+k k x k x得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛----211,11k k k k N所以直线MN 的斜率为k k k k k k k k k MN2211111111⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--= 过点N 的切线的斜率为⎪⎭⎫ ⎝⎛--k k 112 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--k k k k k 112112,解得251±-=k 故存在实数k=251±-使命题成立. 5. (Ⅰ)由题得过两点(4,0)A ,(0,2)B 直线l 的方程为240x y +-=.因为12c a =,所以2a c =,3b c =. 设椭圆方程为2222143x y c c +=,………2分由2222240,1,43x y x y c c+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得,224121230y y c -+-=.又因为直线l 与椭圆C 相切,所以 ………4分………6分………8分又直线:240l x y +-=与椭圆22:143x y C +=相切,由22240,1,43x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得31,2x y ==,所以3(1,)2P …………10分则2454AP =. 所以3645813547AM AN ⋅=⨯=. 又22221122(4)(4)AM AN x y x y ⋅=-+-+2222221122(4)(4)(4)(4)x k x x k x =-+--+-212(1)(4)(4)k x x =+--21212(1)(4()16)k x x x x =+-++22222641232(1)(416)3434k k k k k -=+-⨯+++2236(1).34k k =++ 所以223681(1)347k k +=+,解得24k =±.经检验成立. 所以直线m 的方程为24)4y x =±-.………14分 6. 【解】(Ⅰ)连接1AF ,因为2AF AB ⊥,211F F BF =,所以112AF F F =,即2a c =,故椭圆的离心率21=e (其他方法参考给分) (Ⅱ)由(1)知,21=a c 得a c 21=于是21(,0)2F a , 3(,0)2a B -,Rt ABC ∆的外接圆圆心为11(,0)2F a -),半径21||2r F B a ==D 到直线033:=--y x l 的最大距离等于2a ,所以圆心到直线的距离为a ,所以a a =--2|321|,解得2,1,3a c b =∴==所求椭圆方程为13422=+y x . (Ⅲ)由(Ⅱ)知)0,1(2F , l :)1(-=x k y⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 代入消y 得 01248)43(2222=-+-+k x k x k 因为l 过点2F ,所以0∆>恒成立设),(11y x M ,),(22y x N 则2221438k k x x +=+,121226(2)34ky y k x x k-+=+-=+ MN 中点22243(,)3434k kk k -++ 当0k =时,MN 为长轴,中点为原点,则0m =当0k ≠时MN 中垂线方程222314()3434k k y x k k k +=--++. 令0y =,43143222+=+=∴k k k m 230k >,2144k +>, 可得410<<∴m 综上可知实数m 的取值范围是1[0,)47. (1)221916x y -= (2)1209(3,0),(3,0),(5,0)(,),(,)5A A F P x y M y -设11024(3,),(,)5A P x y A M y ∴=+ 因为1,,A P M 三点共线002424(3)05515yx y y y x ∴+-=∴=+ 924(,)5515y M x ∴+,同理96(,)5515yN x --1624166(,),(,)55155515y yFM FN x x ∴=-=--+-2225614425259y FM FN x ⋅=-⋅-221699y x =- 0FM FN ∴⋅=8.解:(1)由题意得23==a c e ,故ab ac 21,23==,231)231(412)23(21)(2122-=-⨯=⨯-=⨯-⨯=∆a a a a b c a S DEF , 故42=a ,即a=2,所以b=1,c=3,故椭圆C 的标准方程为1422=+y x .百度文库 - 让每个人平等地提升自我- 11 - (2)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为3-=x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14322y x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=213y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=213y x ,不妨令)21,3(),21,3(---B A , 所以对应的“椭点”坐标)21,23(),21,23(---Q P .而021≠=⋅OQ OP . 所以此时以PQ 为直径的圆不过坐标原点. ②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为)3(+=x k y联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)3(22y x x k y ,消去y 得:041238)14(2222=-+++k x k x k 设),(),,(2211y x B y x A ,则这两点的“椭点”坐标分别为),2(),,2(2211y x Q y x P ,由根与系数的关系可得:14382221+-=+k k x x ,144122221+-=k k x x 若使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点,则OP ⊥OQ ,而),2(),,2(2211y x y x ==,因此0=⋅, 即042221212121=+=+⨯y y x x y y x x 即141222+-k k =0,解得22±=k 所以直线方程为2622+=x y 或2622--=x y。
2018届广东省中山市普通高中毕业班高考数学复习模拟试题(11) Word版 含答案
2018届广东省中山市普通高中毕业班高考数学复习模拟试题(11)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项正确,每小题选出答案后.1.“α=β=π/2”是“sinαsinβ=1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知集合A={x│≥0},集合B={y│y=sinx,x∈R},则B∩CRA=A.ΦB.{1}C.{-1}D.{-1,1}3.的展开式中第五项是A.80B.240C.-32D.-1924.函数f(x)=x+lgx-3的零点所在区间为A.(3,+∞)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)5.在△ABC中,内角A、B、C所对边的长分别为a,b,c,2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,则角A的大小为A.30°B.60°C.120°D.150°6.在△ABC中,O是中线AM上一个动点,若AM=4,则的最小值是A.-4B.-8C.-10D.-127.在半径为R的球内有一内接圆柱,设该圆柱底面半径为r,当圆柱的侧面积最大时,rR为A.1/4B.1/2C.D.8.已知a1,a2,…,an∈(0,+∞),且=2013,则的最小值是A.2013/4B.2013/2C.2013D.40269.设平面点集A={(x,y)│(y-x)(y-1/x)≥0},B={(x,y)│0≤y≤},则A∩B所表示的平面图形的面积为A.π/2B.C.D.10.已知函数f(x)在R上可导,下列四个选项中正确的是A.若f(x)>f'(x)对x∈R恒成立,则ef(1)<f(2)B.若f(x)<f'(x)对x∈R恒成立,则f(-1)>f(1)C.若f(x)+f'(x)>0对x∈R恒成立,则ef(2)<f(1)D.若f(x)+f'(x)<0对x∈R恒成立,则f(-1)>f(1)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中相应的横线上.11.已知复数z=1-i,则=.12.某程序的流程图如图所示,若使输出的结果不大于38,则输入的整数i的最大值为.13.抛物线=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线与抛物线交于A、B两点,抛物线的准线与x轴交于点K,则(1)以AB为直径的圆与抛物线准线的位置关系为(填“相交”、“相切”或“相离”);(2)△KAB的面积的最小值为.14.如图,为美化环境,某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛,花坛分为两部分,中间小圆部分种植草坪,周围的圆环分为n(n≥3,n∈)部分;现将红、黄、蓝三种不同颜色的花种植在圆环中的各部分,要求三种花色齐全且相邻两部分花色不同。
广东省普通高中2018届高考数学三轮复习冲刺模拟试题(35)201805300323
广东省中山市普通高中2017-2018学年高一数学1月月考试题一选择题(本大题共12个小题,每题5分共60分)1.设集合A={x|1<x <4},集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩(C R B )=( )A .(1,4)B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪(3,4) 2.设a =π0.3,b =log π3,c =30,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a >b >cB .b >c >aC .b >a >cD .a >c >b3.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A. 1y x =+ B. 2y x =- C. 1y x=D. ||y x x = 4. 若f (x )=x 2-x +a ,f (-m )<0,则f (m +1)的值为( )A .正数B .负数C .非负数D .与m 有关5.若函数⎩⎨⎧>≤+=1,lg 1,1)(2x x x x x f ,则f(f(10)= ( )A.lg101B.1C.2D.06 设)(x f 是定义在R 上的一个函数,则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定是( )A 奇函数B 偶函数C 既是奇函数又是偶函数D 非奇非偶函数7 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩,若()3f x =,则x 的值是( )A 1B 1或32 C 1,32或 D8.若函数f (x )=(a 2-2a -3)x 2+(a -3)x +1的定义域和值域都为R ,则a 的取值范围是( )A .a =-1或a =3B .a =-1C .a =3D .a 不存在9 下列函数与x y =A 2x y = B xx y 2=x a a y log =10、偶函数)(x f y =在区间[0,4]上单调递减,则有( )A 、)()3()1(ππ->>-f f fB 、)()1()3(ππ->->f f fC 、)3()1()(ππf f f >->-D 、)3()()1(ππf f f >->-11、若函数)(x f 满足)()()(b f a f ab f +=,且n f m f ==)3(,)2.(,则)72(f 的值为( ) A 、n m +B 、n m 23+C 、n m 32+D 、23n m +12.当0<a <1时,函数①y =a |x |与函数②y =log a |x |在区间(-∞,0)上的单调性为( )A .都是增函数B .都是减函数C .①是增函数,②是减函数D .①是减函数,②是增函数二填空题(本大题共4小题,每题4分共16分)13.函数y =(13)x -3x在区间[-1,1]上的最大值为________.14.化简11410104848++的值等于_________15.已知函数f (x )=x 2-2x +2的定义域和值域均为[1,b ],则b =________.16.函数y =lg x +1x -1的定义域为________.三、解答题(本大题共6个题,17-21题每题12分,22题14分共74分,要求写出必要的过程) 17(本小题12分)设A={x }01)1(2{,04222=-+++==+a x a x x B x x ,其中x ∈R,如果A ⋂B=B ,求实数a 的取值范围。
广东省中山市普通高中毕业班2018届高考数学一轮复习模
一轮复习数学模拟试题03一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.)1.在同一坐标系中,函数x y 2=与xy )21(=的图象之间的关系是( ).A .关于y 轴对称B .关于x 轴对称C .关于原点对称D .关于直线x y =对称 2.下列函数中,在区间),0(+∞上是增函数的是( ).A .2x y -=B . 22-=x yC .xy )21(= D .xy 1log 2= 3.下列函数中为偶函数的是( ).A . 2()1f x x x =+-B . ||)(x x x f =C . 1()lg 1x f x x +=-D . 22()2x xf x -+=4. 函数)0(||log 31≠∈=x R x x y 且 为( ).A .奇函数且在)0,(-∞上是减函数B .奇函数且在)0,(-∞上是增函数C .偶函数且在),0(+∞上是减函数D .偶函数且在),0(+∞上是增函数 5.函数33)(3--=x x x f 有零点的区间是( )A .)0,1(-B .)1,0(C .)2,1(D .)3,2(6.设0.5log 6.7a =,2log 4.3b =,2log 5.6c =,则c b a ,,的大小关系为( ).A . a c b <<B . b c a <<C . c b a <<D . a b c <<7. 设)(x f 是周期为2的函数,当10≤≤x 时,)1(2)(x x x f -=,则)25(f =( )A .21-B .41- C. 41 D. 218.一次函数b ax y +=与二次函数c bx ax y ++=2在同一坐标系中的图象大致是( )9. 如果函数c bx x y ++=2对任意的实数x ,都有)()1(x f x f -=+,那么( )A .)2()0()2(f f f <<-B .)2()2()0(f f f <-<C .)2()0()2(-<<f f fD .)2()2()0(-<<f f f10.《优化方案》系列丛书第三年的销量比第一年的销量增长了%44,若每年的平均增长率相同(设为x ),则以下结论正确的是( )A .%22>xB .%22<xC .%22=xD .x 的大小由第一年的销量确定二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.) 11. 计算25lg 41lg-= . 12. 已知关于x 的二次方程01222=+++m mx x ,若方程有两根,其中一根在区间)0,1(-内,另一根在区间)2,1(内,m 的范围是 .13.设函数⎩⎨⎧>≤-=).0(),0()(2x x x x x f 若4)(=a f ,则实数=a .14. 函数)0(≥-=x x x y 的值域为 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (12分)已知函数12)(-=x x f . (1)用函数的单调性的定义证明)(x f 在),1(+∞上是减函数.(8分) (2)求函数)(x f 在]6,2[上的最大值和最小值。
精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 E单元 不等式(2011)和答案
大纲理数3.E1下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( ) A.a>b+1 B.a>b-1C.a2>b2D.a3>b3大纲理数3.E1 A 【解析】对A项,若a>b+1,则a-b>1,则a>b;若a>b,不能得到a>b+1.对B项,若a>b-1,不能得到a>b;对C项,若a2>b2,可得(a+b)(a-b)>0,不能得到a>b;对D项,若a3>b3,则a>b,反之,若a>b,则a3>b3,a3>b3是a>b成立的充分必要条件,故选A.大纲文数5.E1下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( ) A.a>b+1 B.a>b-1C.a2>b2D.a3>b3大纲文数5.E1A 【解析】对A项,若a>b+1,则a-b>1,则a>b;若a>b,不能得到a>b+1.对B项,若a>b-1,不能得到a>b;对C项,若a2>b2,可得(a+b)(a-b)>0,不能得到a>b;对D项,若a3>b3,则a>b,反之,若a>b,则a3>b3,a3>b3是a>b成立的充分必要条件,故选A.课标文数6.E1若a,b为实数,则“0<ab<1”是“b<1a”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件课标文数6.E1 D 【解析】 当0<ab <1,a <0,b <0时,有b >1a ;反过来b <1a,当a <0时,则有ab >1,∴“0<ab <1”是“b <1a”的既不充分也不必要条件.课标理数9.E2不等式|x+1|-|x-3|≥0的解集是________.课标理数9.E2 {x|x≥1} 【解析】由|x+1|≥|x-3|两边平方得x2+2x+1≥x2-6x+9,即8x≥8,解得x≥1.课标理数4.E2不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是( )A.B.C.(-∞,-5]∪∪D 【解析】当|x-5|+|x+3|=10时,求出x1=6,x=-4,画出数轴,显然当x≥6或x≤-4时,满足|x-5|+|x+3|≥10.2课标理数1.A1,E3已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是( )A.(-∞,-1]B.D.(-∞,-1]∪C 【解析】由P∪M=P,可知M⊆P,而集合P={x|-1≤x≤1},所以-1≤a≤1,故选C.课标文数1.A1,E3已知全集U=R,集合P={x|x2≤1},那么∁U P=( ) A.(-∞,-1)B.(1,+∞)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)课标文数1.A1,E3D 【解析】因为集合P={x|-1≤x≤1},所以∁U P={x|x<-1或x>1},故选D.课标文数6.E3若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( )A.(-1,1) B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)课标文数6.E3C 【解析】由方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,得Δ=m 2-4>0,解得m <-2或m >2,故选C.课标文数5.E3 不等式2x 2-x -1>0的解集是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,1 B .(1,+∞)C .(-∞,1)∪(2,+∞) D.⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-12∪(1,+∞)课标文数5.E3 D 【解析】 不等式2x 2-x -1>0化为(x -1)(2x +1)>0,解得x <-12或x >1,故选D.课标文数1.E3 设集合M ={x |(x +3)(x -2)<0},N ={x |1≤x ≤3},则M ∩N =( )A .C .(2,3]D .课标文数1.E3 A 【解析】 由解不等式知识知M ={x |-3<x <2},又N ={x |1≤x ≤3},所以M ∩N ={x |1≤x <2}.课标文数6.E5 设变量x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤1,x -y ≤1,x ≥0,则x +2y 的最大值和最小值分别为( )A .1,-1B .2,-2C .1,-2D .2,-1课标文数6.E5 B 【解析】 画出可行域(如图所示阴影部分).可知当直线u =x +2y 经过A (0,1),C (0,-1)时分别对应u 的最大值和最小值.故u max =2,u min =-2.课标理数4.E5 设变量x ,y 满足|x |+|y |≤1,则x +2y 的最大值和最小值分别为( )A .1,-1B .2,-2C .1,-2D .2,-1课标理数4.E5 B 【解析】 法一:特殊值验证:当y =1,x =0时,x +2y =2,故排除A ,C ;当y =-1,x =0时,x +2y =-2,故排除D ,答案为B.法二:直接求解:如图,先画出不等式|x |+|y |≤1表示的平面区域,平移目标函数线易知当直线x +2y =u 分别经过点B ,D 时对应u 的最小值和最大值,所以u min =-2,u max =2.大纲文数4.E5 若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤6,x -3y ≤-2,x ≥1,则z =2x +3y 的最小值为( )A .17B .14C .5D .3大纲文数4.E5 C 【解析】 通过约束条件画出可行域,可知z 的最小值为5,故选C.课标理数8.E5,F3 已知O 是坐标原点,点A (-1,1),若点M (x ,y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥2,x ≤1,y ≤2上的一个动点,则OA→·OM →的取值范围是( )A .B .C .D .课标理数8.E5,F3 C 【解析】 画出不等式组表示的平面区域(如图1-2), 又OA →·OM →=-x +y ,取目标函数z =-x +y ,即y =x +z ,作斜率为1的一组平行线,图1-2当它经过点C (1,1)时,z 有最小值,即z min =-1+1=0; 当它经过点B (0,2)时,z 有最大值,即z max =-0+2=2. ∴ z 的取值范围是,即OA →·OM →的取值范围是,故选C.课标文数21.E5,C9 设函数f (θ)=3sin θ+cos θ,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴非负半轴重合,终边经过点P (x ,y ),且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32,求f (θ)的值;(2)若点P (x ,y )为平面区域Ω:⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥1,x ≤1,y ≤1上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f (θ)的最小值和最大值.课标文数21.E5,C9 【解答】 (1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ=32,cos θ=12.于是f (θ)=3sin θ+cos θ=3×32+12=2.(2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC )如图1-7所示,其中A (1,0),B (1,1),C (0,1).图1-7于是0≤θ≤π2.又f (θ)=3sin θ+cos θ=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π6,且π6≤θ+π6≤2π3, 故当θ+π6=π2,即θ=π3时,f (θ)取得最大值,且最大值等于2;当θ+π6=π6,即θ=0时,f (θ)取得最小值,且最小值等于1.课标理数 5.E5 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2,y ≤2,x ≤2y给定.若M (x ,y )为D 上的动点,点A 的坐标为(2,1),则z =OM→·OA →的最大值为( ) A .4 2 B .3 2 C .4 D .3 课标理数5.E5图1-1C 【解析】 z =OM →·OA →=(x ,y )·(2,1)=2x +y ,画出不等式组表示的区域(如图1-1),显然当z =2x +y 经过B (2,2)时,z 取最大值,即z max =2+2=4.课标文数 6.E5 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2,y ≤2,x ≤2y给定.若M (x ,y )为D 上的动点,点A 的坐标为(2,1),则z =OM→·OA →的最大值为( ) A .3 B .4 C .3 2 D .4 2 课标文数6.E5图1-1B 【解析】 z =OM→·OA →=(x ,y )·(2,1)=2x +y ,画出不等式组表示的区域(如图1-1),显然当z =2x +y 经过B (2,2)时,z 取最大值,即z max =2+2=4.课标理数8.E5 已知向量a =(x +z ,3),b =(2,y -z ),且a ⊥b .若x ,y 满足不等式|x |+|y |≤1,则z 的取值范围为( )A .B .C .D .课标理数8.E5 D 【解析】 因为a =()x +z ,3,b =()2,y -z ,且a ⊥b ,所以a·b =2()x +z +3()y -z =0,即2x +3y -z =0.又||x +||y ≤1表示的可行域如图中阴影部分所示(包含边界).图1-1所以当2x +3y -z =0过点B ()0,-1时,z min =-3;当2x +3y -z =0过点A ()0,1时,z max =3.所以z ∈[]-3,3.课标文数8.E5 直线2x +y -10=0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,y ≥0,x -y ≥-2,4x +3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A .0个B .1个C .2个D .无数个课标文数8.E5 B【解析】 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,y ≥0,x -y ≥-2,4x +3y ≤20表示的可行域,如图阴影部分所示(含边界).图1-1因为直线2x +y -10=0过点A ()5,0,且其斜率为-2,小于直线4x +3y =20的斜率-43,故只有一个公共点()5,0.课标理数7.E5 设m >1,在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ,y ≤mx ,x +y ≤1下,目标函数z =x +my 的最大值小于2,则m 的取值范围为( )A .(1,1+2)B .(1+2,+∞)C .(1,3)D .(3,+∞)课标理数7.E5 A【解析】 先画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ,y ≤mx ,x +y ≤1.表示的可行域,如图1-1.图1-1直线x +y =1与y =mx 的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1m +1,m m +1.由图可知,当x =1m +1,y =m m +1时,目标函数z =x +my 有最大值小于2,则有1m +1+m ×mm +1<2,得1-2<m <1+ 2.又因为m >1,故m 的取值范围为1<m <1+2,故选A.课标文数14.E5 设m >1,在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ,y ≤mx ,x +y ≤1下,目标函数z =x +5y 的最大值为4,则m 的值为________.课标文数14.E5 3【解析】 先画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ,y ≤mx ,x +y ≤1表示的可行域:如右图1-3:图1-3直线x +y =1与y =mx 的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1m +1,m m +1,得到当x =1m +1,y =m m +1时目标函数z =x +5y 有最大值4,则有1m +1+5×mm +1=4,得m =3.课标理数13.E5 若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x +y ≤9,6≤x -y ≤9,则z =x +2y 的最小值为________.课标理数13.E5 -6 【解析】 作出可行域如图阴影部分所示, 由⎩⎪⎨⎪⎧y =-2x +3,y =x -9解得A (4,-5). 当直线z =x +2y 过A 点时z 取最小值,将A (4,-5)代入, 得z =4+2×(-5)=-6.图1-6课标文数14.E5 若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x +y ≤9,6≤x -y ≤9,则z =x +2y 的最小值为________________________________________________________________________.课标文数14.E5 -6 【解析】 作出可行域如图阴影部分所示, 由⎩⎪⎨⎪⎧y =-2x +3,y =x -9解得A (4,-5). 当直线z =x +2y 过A 点时z 取最小值,将A (4,-5)代入, 得z =4+2×(-5)=-6.图1-6课标文数7.E5 设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -5≤0,x -y -2≤0,x ≥0,则目标函数z =2x+3y +1的最大值为( )A .11B .10C .9D .8.5课标文数7.E5 B 【解析】 画出x ,y 的可行域,如图1-1阴影部分,直线x +2y -5=0与直线x -y -2=0交于点A (3,1),当z =2x +3y +1过A 点时,使得z =2x +3y +1取得最大值,z max =2×3+3+1=10.图1-1图1-6课标文数12.E5 如图1-6所示,点(x ,y )在四边形ABCD 内部和边界上运动,那么2x -y 的最小值为________.课标文数12.E5 1 【解析】 由图象知函数在点A (1,1)时,2x -y =1;在点B (3,2)时,2x -y =23-2>1;在点C (5,1)时,2x -y =25-1>1;在点D (1,0)时,2x -y =2-0=2>1,故最小值为1.大纲文数10.E5 某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A 地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元,派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元,该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润z =( )A .4650元B .4700元C .4900元D .5000元大纲文数10.E5 C 【解析】 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x ,y ,则根据条件得x ,y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤12,2x +y ≤19,10x +6y ≥72,x ≤8,y ≤7,x ∈N *,y ∈N *,目标函数z =450x +350y -z .作出约束条件所表示的平面区域,然后平移目标函数对应的直线450x +350y -z =0知,当直线经过直线x +y =12与2x +y =19的交点(7,5)时,目标函数取得最大值,即z =450×7+350×5=4900.大纲理数9.E5 某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A 地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元,派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润z =( )A .4650元B .4700元C .4900元D .5000元大纲理数9.E5 C 【解析】 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x ,y ,则根据条件得x ,y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤12,2x +y ≤19,10x +6y ≥72,x ≤8,y ≤7,x ∈N *,y ∈N *,目标函数z=450x +350y .作出约束条件所表示的平面区域,然后平移目标函数对应的直线450x +350y -z =0知,当直线经过直线x +y =12与2x +y =19的交点(7,5)时,目标函数取得最大值,即z =450×7+350×5=4900.课标文数2.E5 设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1,x +y -4≤0,x -3y +4≤0,则目标函数z =3x-y 的最大值为( )A .-4B .0 C.43D .4课标文数 2.E5 D 【解析】 作出可行域,如图1-1所示.联立⎩⎪⎨⎪⎧x +y -4=0,x -3y +4=0, 解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =2. 当目标函数z =3x -y 移至(2,2)时,z =3x -y 有最大值4.图1-1课标理数5.E5 设实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -5>0,2x +y -7>0,x ≥0,y ≥0,若x ,y 为整数,则3x +4y 的最小值是( )A .14B .16C .17D .19课标理数5.E5 B 【解析】 可行域如图所示:图1-3联立⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -5=0,2x +y -7=0,解之得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =1.又∵边界线为虚线,且目标函数线的斜率为-34,∴当z =3x +4y 过点(4,1)时,有最小值16.课标文数3.E5 若实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -5≥0,2x +y -7≥0,x ≥0,y ≥0,则3x +4y 的最小值是( )A .13B .15C .20D .28课标文数3.E5 A 【解析】 可行域如图阴影部分所示.联立⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -5=0,2x +y -7=0,解之得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =1.∴当z =3x +4y 过点(3,1)时,有最小值13.课标文数7.B10,E6 某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元,若每批生产x 件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )A .60件B .80件C .100件D .120件课标文数7.B10,E6 B 【解析】 记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f (x ),则f (x )=800+x8×x ×1x=800x +x 8≥2800x ×x8=20,当且仅当800x =x8,即x =80件(x >0)时,取最小值,故选B.课标文数10.B12,E6 若a >0,b >0,且函数f (x )=4x 3-ax 2-2bx +2在x =1处有极值,则ab 的最大值等于( )A .2B .3C .6D .9课标文数10.B12,E6 D 【解析】 f ′(x )=12x 2-2ax -2b , ∵f (x )在x =1处有极值,∴f ′(1)=0,即12-2a -2b =0,化简得 a +b =6, ∵a >0,b >0,∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 22=9,当且仅当a =b =3时,ab 有最大值,最大值为9,故选D.课标理数10.N4,E6 设x ,y ∈R ,且xy ≠0,则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+4y 2的最小值为________.课标理数10.N4,E6 9 【解析】 方法一:⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+4y 2=1+4x 2y 2+1x 2y 2+4≥5+24x 2y 2×1x 2y 2=9,当且仅当4x 2y 2=1x 2y 2时,“=”成立.方法二:利用柯西不等式:⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+4y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ×1x +1y ×2y 2=9,当且仅当4x 2y 2=1x 2y 2时,等号成立.课标文数3.E6 设0<a <b ,则下列不等式中正确的是( ) A .a <b <ab <a +b 2B .a <ab <a +b 2<bC .a <ab <b <a +b 2D.ab <a <a +b 2<b课标文数3.E6 B 【解析】 因为0<a <b ,由基本不等式得ab <a +b 2,a <b ,故a +b 2<b +b 2=b ,a =aa <ab ,故答案为B.课标理数16.E6 设x ,y 为实数,若4x 2+y 2+xy =1,则2x +y 的最大值是________.课标理数16.E6 2105【解析】 ∵4x 2+y 2+xy =1,∴(2x +y )2-3xy =1,即(2x +y )2-32·2xy =1,∴(2x +y )2-32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +y 22≤1,解之得(2x +y )2≤85,即2x +y ≤2105.课标文数16.E6 若实数x ,y 满足x 2+y 2+xy =1,则x +y 的最大值是________.课标文数16.E6 23【解析】 ∵x 2+y 2+xy =1,∴(x +y )2-xy =1,即(x +y )2-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +y 22≤1,∴(x +y )2≤43,x +y ≤233.大纲理数7.E6 已知a >0,b >0,a +b =2,则y =1a +4b的最小值是( )A.72 B .4 C.92D .5 大纲理数7.E6 C 【解析】 1a +4b =12(a +b )1a +4b =125+b a +4a b ≥125+2b a ·4a b=92. 当且仅当⎩⎨⎧b a =4a b ,a +b =2即a =23,b =43时取到等号.∴y min =92.大纲文数7.E6 若函数f (x )=x +1x -2(x >2)在x =a 处取最小值,则a =( )A .1+ 2B .1+ 3C .3D .4大纲文数7.E6 C 【解析】 ∵x >2, ∴f (x )=x +1x -2=(x -2)+1x -2+2≥2(x -2)·1x -2+2=4,当且仅当x -2=1x -2,即x =3时取等号.大纲文数15.E6 若实数a ,b ,c 满足2a +2b =2a +b ,2a +2b +2c =2a +b +c ,则c 的最大值是________________________________________________________________________.大纲文数15.E6 2-log 23 【解析】 2a +b =2a +2b ≥22a +b ,当且仅当a =b 时,2a +b ≥4取“=”.由2a +2b +2c =2a +b +c 得2a +b +2c =2a +b ·2c ,∴2c=2a +b2a +b -1=1+12a +b -1≤1+14-1=43,故c ≤log 243=2-log 23.课标文数20.D5,E7设b >0,数列{a n }满足a 1=b ,a n =nba n -1a n -1+n -1(n ≥2).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n ,2a n ≤b n +1+1.课标文数20.D5,E7 【解答】 (1)由a 1=b >0,知a n =nba n -1a n -1+n -1>0,n a n =1b +1b ·n -1a n -1. 令A n =n a n ,A 1=1b ,当n ≥2时,A n =1b +1b A n -1=1b +…+1b n -1+1b n -1A 1 =1b +…+1b n -1+1b n. ①当b ≠1时,A n =1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1b n 1-1b=b n -1b n (b -1),②当b =1时,A n =n .∴a n=⎩⎨⎧nb n (b -1)b n -1,b ≠1,1,b =1.(2)证明:当b ≠1时,欲证2a n =2nb n (b -1)b n-1≤b n +1+1,只需证2nb n ≤(b n +1+1)b n -1b -1.∵(b n +1+1)b n -1b -1=b 2n +b 2n -1+…+b n +1+b n -1+b n -2+…+1=b n⎝⎛⎭⎪⎫b n +1b n +b n -1+1b n -1+…+b +1b>b n (2+2+…+2) =2nb n ,∴2a n =2nb n (b -1)b n-1<1+b n +1. 当b =1时,2a n =2=b n +1+1. 综上所述2a n ≤b n +1+1.大纲理数22.B12,E8 (1)设函数f (x )=ln(1+x )-2xx +2,证明:当x >0时,f (x )>0;(2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为p .证明:p <⎝ ⎛⎭⎪⎫91019<1e 2.大纲理数22.B12,E8 【解答】 (1)f ′(x )=x 2(x +1)(x +2)2.当x >0时,f ′(x )>0,所以f (x )为增函数,又f (0)=0.因此当x >0时,f (x )>0. (2)p =100×99×98×…×8110020.又99×81<902,98×82<902,…,91×89<902, 所以p <⎝ ⎛⎭⎪⎫91019.由(1)知:当x >0时,ln(1+x )>2xx +2.因此,⎝ ⎛⎭⎪⎫1+2x ln(1+x )>2.在上式中,令x =19,则19ln 109>2,即⎝ ⎛⎭⎪⎫10919>e 2.所以p <⎝ ⎛⎭⎪⎫91019<1e 2.课标文数22.B12,E8 设函数f (x )=x -1x-a ln x (a ∈R ).(1)讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )有两个极值点x 1和x 2,记过点A (x 1,f (x 1)),B (x 2,f (x 2))的直线的斜率为k .问:是否存在a ,使得k =2-a ?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.课标文数22.B12,E8 【解答】 (1)f (x )的定义域为(0,+∞).f ′(x )=1+1x 2-a x =x 2-ax +1x 2.令g (x )=x 2-ax +1,其判别式Δ=a 2-4.①当|a |≤2时,Δ≤0,f ′(x )≥0.故f (x )在(0,+∞)上单调递增. ②当a <-2时,Δ>0,g (x )=0的两根都小于0. 在(0,+∞)上,f ′(x )>0. 故f (x )在(0,+∞)上单调递增.③当a >2时,Δ>0,g (x )=0的两根为x 1=a -a 2-4,x 2=a +a 2-4.当0<x <x 1时,f ′(x )>0;当x 1<x <x 2时,f ′(x )<0;当x >x 2时,f ′(x )>0. 故f (x )分别在(0,x 1),(x 2,+∞)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减.(2)由(1)知,a >2.因为f (x 1)-f (x 2)=(x 1-x 2)+x 1-x 2x 1x 2-a (ln x 1-ln x 2),所以,k =f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2=1+1x 1x 2-a ·ln x 1-ln x 2x 1-x 2.又由(1)知,x 1x 2=1,于是 k =2-a ·ln x 1-ln x 2x 1-x 2.若存在a ,使得k =2-a ,则ln x 1-ln x 2x 1-x 2=1.即ln x 1-ln x 2=x 1-x 2.亦即x 2-1x 2-2ln x 2=0(x 2>1).(*)再由(1)知,函数h (t )=t -1t-2ln t 在(0,+∞)上单调递增,而x 2>1,所以x 2-1x 2-2ln x 2>1-11-2ln1=0.这与(*)式矛盾. 故不存在a ,使得k =2-a .课标文数21.B12,E8 设f (x )=ln x ,g (x )=f (x )+f ′(x ). (1)求g (x )的单调区间和最小值; (2)讨论g (x )与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的大小关系;(3)求a 的取值范围,使得g (a )-g (x )<1a对任意x >0成立.课标文数21.B12,E8 【解答】 (1)由题设知f (x )=ln x ,g (x )=ln x +1x.∴g ′(x )=x -1x2.令g ′(x )=0得x =1,当x ∈(0,1)时,g ′(x )<0,故(0,1)是g (x )的单调减区间. 当x ∈(1,+∞)时,g ′(x )>0,故(1,+∞)是g (x )的单调增区间, 因此,x =1是g (x )的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点. 所以g (x )的最小值为g (1)=1. (2)g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =-ln x +x .设h (x )=g (x )-g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =2ln x -x +1x ,则h ′(x )=-(x -1)2x2. 当x =1时,h (1)=0,即g (x )=g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ,当x ∈(0,1)∪(1,+∞)时,h ′(x )<0,h ′(1)=0. 因此,h (x )在(0,+∞)内单调递减, 当0<x <1时,h (x )>h (1)=0. 即g (x )>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x .当x >1时,h (x )<h (1)=0, 即g (x )<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x .(3)由(1)知g (x )的最小值为1,所以,g (a )-g (x )<1a,对任意x >0成立⇔g (a )-1<1a,即ln a<1,从而得0<a<e.课标理数19.E9(1)设x ≥1,y ≥1,证明x +y +1xy ≤1x +1y+xy .(2)1<a ≤b ≤c ,证明log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c .课标理数19.E9 【解析】 本题考查不等式的基本性质,对数函数的性质和对数换底公式等基本知识,考查代数式的恒等变形能力和推理论证能力.【解答】 (1)由于x ≥1,y ≥1,所以x +y +1xy ≤1x +1y +xy⇔xy (x +y )+1≤y +x +(xy )2. 将上式中的右式减左式,得 - =-=(xy +1)(xy -1)-(x +y )(xy -1) =(xy -1)(xy -x -y +1) =(xy -1)(x -1)(y -1).既然x ≥1,y ≥1,所以(xy -1)(x -1)(y -1)≥0,从而所要证明的不等式成立.(2)设log a b =x ,log b c =y ,由对数的换底公式得 log c a =1xy ,log b a =1x ,log c b =1y,log a c =xy .于是,所要证明的不等式即为x +y +1xy ≤1x +1y+xy .其中x=log a b≥1,y=log b c≥1.故由(1)立知所要证明的不等式成立.课标理数21.B12,E9(1)已知函数f(x)=ln x-x+1,x∈(0,+∞),求函数f(x)的最大值;(2)设a k,b k(k=1,2,…,n)均为正数,证明:①若a1b1+a2b2+…+a n b n≤b1+b2+…+b n,则ab11ab22…ab nn≤1;②若b1+b2+…+b n=1,则1n≤bb11bb22…bb nn≤b21+b22+…+b2n.课标理数21.B12,E9【解答】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),令f′(x)=1x-1=0,解得x=1,当0<x<1时,f′(x)>0,f(x)在(0,1)内是增函数;当x>1时,f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)内是减函数.故函数f(x)在x=1处取得最大值f(1)=0.(2)证明:①由(1)知,当x∈(0,+∞)时,有f(x)≤f(1)=0,即ln x≤x-1. ∵a k,b k>0,从而有ln a k≤a k-1,得b k ln a k≤a k b k-b k(k=1,2,…,n),于是由①得⎝ ⎛⎭⎪⎫1nb 1b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1nb 2b 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1nb n b n ≤1, 即1bb 11bb 22…bb nn ≤nb 1+b 2+…+b n =n ,∴bb 11bb 22…bb nn ≥1n. (ii)再证bb 11bb 22…bb nn ≤b 21+b 22+…+b 2n ,记S =∑k =1n b 2k ,设a k =b k S (k =1,2,…,n ), 则∑k =1n a k b k =1S ,于是由①得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1S b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2S b 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫b n S b n ≤1, 即bb 11bb 22…bb nn ≤Sb 1+b 2+…+b n =S ,∴bb 11bb 22…bb nn ≤b 21+b 22+…+b 2n .综合(i)(ii),②得证.课标文数20.B12,E9 设函数f (x )=x 3+2ax 2+bx +a ,g (x )=x 2-3x +2,其中x ∈R ,a 、b 为常数,已知曲线y =f (x )与y =g (x )在点(2,0)处有相同的切线l .(1)求a 、b 的值,并写出切线l 的方程;(2)若方程f (x )+g (x )=mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2,其中x 1<x 2,且对任意的x ∈,f (x )+g (x )<m (x -1)恒成立,求实数m 的取值范围.课标文数20.B12,E9 【解答】 (1)f ′(x )=3x 2+4ax +b ,g ′(x )=2x -3. 由于曲线y =f (x )与y =g (x )在点(2,0)处有相同的切线,故有f (2)=g (2)=0,f ′(2)=g ′(2)=1.由此得⎩⎪⎨⎪⎧8+8a +2b +a =0,12+8a +b =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-2,b =5. 所以a =-2,b =5,切线l 的方程为x -y -2=0.(2)由(1)得f (x )=x 3-4x 2+5x -2,所以f (x )+g (x )=x 3-3x 2+2x .依题意,方程x (x 2-3x +2-m )=0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2, 故x 1、x 2是方程x 2-3x +2-m =0的两相异的实根.所以Δ=9-4(2-m )>0,即m >-14. 又对任意的x ∈,f (x )+g (x )<m (x -1)恒成立.特别地,取x =x 1时,f (x 1)+g (x 1)-mx 1<-m 成立,得m <0.由韦达定理,可得x 1+x 2=3>0,x 1x 2=2-m >0,故0<x 1<x 2.对任意的x ∈,有x -x 2≤0,x -x 1≥0,x >0,则f (x )+g (x )-mx =x (x -x 1)(x -x 2)≤0,又f (x 1)+g (x 1)-mx 1=0,所以函数f (x )+g (x )-mx 在x ∈的最大值为0.于是当-14<m <0时,对任意的x ∈,f (x )+g (x )<m (x -1)恒成立. 综上,m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-14,0.大纲理数10.E9 设m ,k 为整数,方程mx 2-kx +2=0在区间(0,1)内有两个不同的根,则m +k 的最小值为( )A .-8B .8C .12D .13大纲理数10.E9 D 【解析】 设f (x )=mx 2-kx +2,由f (0)=2,知f (x )的图象恒过定点(0,2).因此要使已知方程在区间(0,1)内有两个不同的根,即f (x )的图象在区间(0,1)内有两个不同的交点,必有⎩⎪⎨⎪⎧m >0,f (1)=m -k +2>0,0<k 2m <1,Δ=k 2-8m >0,即⎩⎪⎨⎪⎧m >0,k >0,m -k +2>0,2m -k >0,k 2-8m >0, 在直角坐标系mOk 中作出满足不等式平面区域,如图1-4所示,设z =m +k ,则直线m +k -z =0经过图中的阴影中的整点(6,7)时,z =m +k 取得最小值,即z min =13.图1-4。
广东省中山市普通高中2018届高考数学三轮复习冲刺模拟试题: (11) Word版含答案
高考数学三轮复习冲刺模拟试题11立体几何02三、解答题1.如图,四棱柱1111D C B A A B C D -的底面A B C D是平行四边形,且1=AB ,2=BC ,060=∠ABC ,E 为BC 的中点, ⊥1AA 平面ABCD .(Ⅰ)证明:平面⊥AE A 1平面DE A 1;(Ⅱ)若E A DE 1=,试求异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角1--C A D E 的余弦值.2.如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中∠ACB=90°,M,N 分别为A 1B,B 1C 1的中点,BC=AA 1=2AC=2,求证:(1)求三棱柱C 1-A 1CB 的体积;(2)求直线A 1C 与直线MB 1所成角的余弦值;(3)求平面B 1MN 与平面A 1CB 所成锐二面角的余弦值.3.已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC,⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD,且PA=AD=DC=21AB=1,M 是PB 的中点. (Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD; (Ⅱ)求AC 与PB 所成角的余弦值;ABCDE1A 1B 1C 1D(Ⅲ)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值.4.如图,已知四棱锥E-ABCD 的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE=2(1)求证:平面EAB⊥平面ABCD (2)求二面角A-EC-D 的余弦值5.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,12AA =,E 为1BB 中点.(Ⅰ)证明:1AC D E ⊥;(Ⅱ)求DE 与平面1AD E 所成角的正弦值;(Ⅲ)在棱AD 上是否存在一点P ,使得BP ∥平面1AD E ?若存在,求DP 的长;若不存在,说明理由.D 1C 1B 1A 1ED CBA6. (本小题满分13分)在如图所示的多面体中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD//EF,EF//BC.BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G为BC的中点。
2018届高考数学一轮复习模拟试题11
一轮复习数学模拟试题11一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项正确,每小题选出答案后.1.“α=β=π/2”是“sinαsinβ=1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知集合A={x│≥0},集合B={y│y=sinx,x∈R},则B∩CRA=A.ΦB.{1}C.{-1}D.{-1,1}3.的展开式中第五项是A.80B.240C.-32D.-1924.函数f(x)=x+lgx-3的零点所在区间为A.(3,+∞)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)5.在△ABC中,内角A、B、C所对边的长分别为a,b,c,2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,则角A的大小为A.30°B.60°C.120°D.150°6.在△ABC中,O是中线AM上一个动点,若AM=4,则的最小值是A.-4B.-8C.-10D.-127.在半径为R的球内有一内接圆柱,设该圆柱底面半径为r,当圆柱的侧面积最大时,rR为A.1/4B.1/2C.D.8.已知a1,a2,…,an∈(0,+∞),且=2013,则的最小值是A.2013 /4B.2013/2C.2013D.40269.设平面点集A={(x,y)│(y-x)(y-1/x)≥0},B={(x,y)│0≤y≤},则A∩B所表示的平面图形的面积为A.π/2B.C.D.10.已知函数f(x)在R上可导,下列四个选项中正确的是A.若f(x)>f'(x)对x∈R恒成立,则ef(1)<f(2)B.若f(x)<f'(x)对x∈R恒成立,则f(-1)>f(1)C.若f(x)+f'(x)>0对x∈R恒成立,则ef(2)<f(1)D.若f(x)+f'(x)<0对x∈R恒成立,则f(-1)>f(1)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中相应的横线上.11.已知复数z=1-i,则=.12.某程序的流程图如图所示,若使输出的结果不大于38,则输入的整数i的最大值为.13.抛物线=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线与抛物线交于A、B两点,抛物线的准线与x轴交于点K,则(1)以AB为直径的圆与抛物线准线的位置关系为(填“相交”、“相切”或“相离”);(2)△KAB的面积的最小值为.14.如图,为美化环境,某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛,花坛分为两部分,中间小圆部分种植草坪,周围的圆环分为n(n≥3,n∈)部分;现将红、黄、蓝三种不同颜色的花种植在圆环中的各部分,要求三种花色齐全且相邻两部分花色不同。
广东省中山市普通高中2018届高考数学一轮复习模拟试题08
一轮复习数学模拟试题08一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知全集R U =,集合A ={y | y =2x,x ∈R },则A C U =A .∅B .(0,+∞)C . (-∞,0]D .R2.已知a ,b 是实数,则“⎩⎨⎧>>32b a ”是“5>+b a ”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件3.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A .4 B .5 C .6 D .74. 已知直线l ,m 和平面α, 则下列命题正确的是A .若l ∥m ,m ⊂α,则l ∥αB .若l ∥α,m ⊂α,则l ∥mC .若l ⊥m ,l ⊥α,则m ∥αD .若l ⊥α,m ⊂α,则l ⊥m 5.已知是虚数单位,复数ii+3= A .i 103101+ B .i 103101+- C .i 8381+- D .i 8381--6. 函数y =sin (2x +π4)的图象可由函数y =sin 2x 的图象 A .向左平移π8个单位长度而得到 B .向右平移π8个单位长度而得到C .向左平移π4个单位长度而得到D .向右平移π4个单位长度而得到7.若实数x ,y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 则2x +4y 的最小值是A .6B .4C .2-D .6-8. 对于直角坐标平面内的任意两点11(,)A x y 、22(,)B x y ,定义它们之间的一种“距离”: ‖AB ‖=1212x x y y -+-,给出下列三个命题:①若点C 在线段AB 上,则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;(第3题图)(第15题图)②在△ABC 中,若∠C =90°,则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖; ③在△ABC 中,‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖. 其中真命题的个数为A. 0B. 1C. 2D.3二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. (一)必做题(9-13题) 9.函数=y xxsin 的导函数='y . 10.在递增等比数列{a n }中,4,2342=-=a a a ,则公比q = .11.某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团):学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查,按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人,结果合唱社被抽出12人,则这三个社团人数共有_______________. 12.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知C =3π,3=b ,若△ABC 的面积为233 ,则c = .13.如图,F 1,F 2是双曲线C :22221x y a b-=(a >0,b >0) 的左、右焦点,过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ,B 两点.若 | AB |: | BF 2 | : | AF 2 |=3 : 4 : 5,则双 曲线的离心率为 .(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系x O y 中, 已知曲线1C :⎩⎨⎧-=+=t y t x 212 , (为参数)与曲线2C :⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x ,(θ为参数)相交于两个点A 、B ,则线段AB 的长为 . 15.(几何证明选讲选做题)如图,PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线, 若PA=5,AB=7,CD=11,AC=2,则BD 等于 .xy OA BF 1F 2(第13题图)三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)设向量a =)sin ,2(θ,b =)cos ,1(θ,θ为锐角. (1)若a ·b =136,求sin θ+cos θ的值;(2)若a ∥b ,求sin(2θ+π3)的值. 17.(本小题满分12分)某中学校本课程共开设了A ,B ,C ,D 共4门选修课,每个学生必须且只能选修1门选修课,现有该校的甲、乙、丙3名学生:(1)求这3名学生选修课所有选法的总数;(2)求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率; (3)求A 选修课被这3名学生选择的人数的数学期望.18.(本小题满分14分)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形(1)求证:N B C BC 11//平面; (2)求证:BN 11C B N ⊥平面; (3)设M 为AB 中点,在BC 边上找一点P ,使MP //平面1CNB ,并求PCBP的值.19.(本题满分14分)已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x ,左、右两个焦点分别为1F 、2F ,上顶点),0(b A,8 侧视图俯视图421F AF ∆为正三角形且周长为6.(1)求椭圆C 的标准方程及离心率;(2)O 为坐标原点,P 是直线A F 1上的一个动点,求||||2PO PF +的最小值,并求出此时点P 的坐标.20.(本小题满分14分)已知函数21()22f x ax x =+,()g x lnx =. (1)如果函数()y f x =在[1,)+∞上是单调减函数,求a 的取值范围;(2)是否存在实数0a >,使得方程()()(21)g x f x a x '=-+在区间1(,)e e内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出a 的取值范围;若不存在,请说明理由.21.(本题满分14分)已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且(2)4n n n a a S += *()n ∈N . (1)求1a 的值及数列{}n a 的通项公式;(2)求证:33331231111532n a a a a ++++<*()n ∈N ; (3)是否存在非零整数λ,使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅-<对一切*n ∈N 都成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.(第15题图)参考答案一、选择题:CABD AADB 二、填空题: 9.函数=y xxsin 的导函数='y . 10.在递增等比数列{a n }中,4,2342=-=a a a ,则公比q = .11.某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团):学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查,按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人,结果合唱社被抽出12人,则这三个社团人数共有_______________. 12.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知C =3π,3=b ,若△ABC 的面积为233 ,则c = .13.如图,F 1,F 2是双曲线C :22221x y a b-=(a >0,b >0) 的左、右焦点,过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ,B 两点.若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |=3 : 4 : 5,则双 曲线的离心率为 .(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系x O y 中, 已知曲线1C :⎩⎨⎧-=+=t y t x 212 , (为参数)与曲线2C :⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x ,(θ为参数)相交于两个点A 、B ,则线段AB 的长为 . 15.(几何证明选讲选做题)如图,PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线, 若PA=5,AB=7,CD=11,AC=2,则BD 等于 .9、2sin cos xxx x - 10、2 11、150 12、 7 13、13 14、 4 15、 6xy OA BF 1F 2(第13题图)三、解答题:12+12+14+14+14+14=80 16.(本小题满分12分)设向量a =)sin ,2(θ,b =)cos ,1(θ,θ为锐角. (1)若a ·b =136,求sin θ+cos θ的值;(2)若a ∥b ,求sin(2θ+π3)的值. 17.(本小题满分12分)某中学校本课程共开设了A ,B ,C ,D 共4门选修课,每个学生必须且只能选修1门选修课,现有该校的甲、乙、丙3名学生:(1)求这3名学生选修课所有选法的总数;(2)求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率; (3)求A 选修课被这3名学生选择的人数的数学期望.18.(本小题满分14分)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形(1)求证:N B C BC 11//平面; (2)求证:BN 11C B N ⊥平面; (3)设M 为AB 中点,在BC 边上找一点P ,使MP //平面1CNB ,并求PCBP的值.19.(本题满分14分)已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x ,左、右两个焦点分别为1F 、2F ,上顶点),0(b A ,21F AF ∆为正三角形且周长为6.(1)求椭圆C 的标准方程及离心率;8 主视图 侧视图俯视图4(2)O 为坐标原点,P 是直线A F 1上的一个动点,求||||2PO PF +的最小值,并求出此时点P 的坐标.20.(本小题满分14分)已知函数21()22f x ax x =+,()g x lnx =. (1)如果函数()y f x =在[1,)+∞上是单调减函数,求a 的取值范围;(2)是否存在实数0a >,使得方程()()(21)g x f x a x '=-+在区间1(,)e e内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出a 的取值范围;若不存在,请说明理由.21.(本题满分14分)已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且(2)4n n n a a S += *()n ∈N . (1)求1a 的值及数列{}n a 的通项公式;(2)求证:33331231111532n a a a a ++++<*()n ∈N ; (3)是否存在非零整数λ,使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅-<对一切*n ∈N 都成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.三、解答题: 16.(本小题满分12分)解:(1) 因为a ·b =2+sin θcos θ=136,所以sin θcos θ=16. ……………… 3分所以 (sin θ+cos θ)2=1+2 sin θcos θ=43.又因为θ为锐角,所以sin θ+cos θ=233. ……………… 6分(2) 解法一 因为a ∥b ,所以tan θ=2. ……………… 8分 所以 sin2θ=2 sin θcos θ=2 sin θcos θ sin 2θ+cos 2θ= 2 tan θ tan 2θ+1=45, cos2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θ sin 2θ+cos 2θ=1-tan 2θ tan 2θ+1=-35.……………… 10分 所以sin(2θ+π3 )=12sin2θ+32cos2θ=12×45+32×(-35 )=4-3310. ……………… 12分 解法二 因为a ∥b ,所以tan θ=2. ……………… 8分 所以 sin θ=255,cos θ=55.因此 sin2θ=2 sin θcos θ=45, cos2θ=cos 2θ-sin 2θ=-35. (10)分所以sin(2θ+π3 )=12sin2θ+32cos2θ=12×45+32×(-35 )=4-3310 . ……………… 12分17、(本小题满分12分)解析:(Ⅰ)每个学生有四个不同选择,根据乘法法则,选法总数N=64444=⨯⨯ …… 3分 (Ⅱ) 恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为1694442332432223242=⨯⨯⨯⨯⨯==A C C P ……………… 7分(Ⅲ) 设A 选修课被这3名学生选择的人数为ξ,则ξ=0,1,2,3P(ξ=0)=64274333= P(ξ=1)=6427433213=⋅C P(ξ=2)=64943313=⋅C P(ξ=3)= 6414333=C ……………… 9分ξ的分布列是………… 10分43641364926427164270=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………… 12分18.解:(1)证明: 该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,∴1,,BB BC BA 两两互相垂直。
2018届高考数学一轮复习模拟试题: 11 含答案
一轮复习数学模拟试题11第Ⅰ卷 选择题(共60分)一.选择题:(本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.)1.若函数()1f x x =-A ,函数()lg(1)g x x =-,[2,11]x ∈的值域为B ,则A B I 为A (,1]-∞B (,1)-∞C [0,1]D [0,1)2.已知等比数列}{n a 的公比为正数,且23952a a a =g ,21a =,则1a = ( ) A.21B. 22C.2 D.23.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形, 俯视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积是( )43 B 12π33 4.将参加夏令营的600名学生编号为:001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为( )A .26,16,8B .25,17,8C .25,16,9D .24,17,95函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为( )A 3,1-B 2,2-C 33,2- D 32,2-6已知12,F F 是椭圆221169x y +=的两个焦点,经过点2F 的直线交椭圆于点,A B ,若||5AB =,则11||||AF BF +等于( )A 11B 10C 9D 16 7 设02x π<<,则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件正视图俯视图侧视图第8题C 充要条件D 既不充分也不必要条件8 右图给出的是计算111124620++++L 的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是( )A 10i >B 10i <C 20i >D 20i <9.对于复数,,,a b c d ,若集合{,,,}S a b c d =具有性质“对任意,x y S ∈,必有xy S ∈”,则当2211a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩时,b c d ++等于( )A .1B .-1C .0D .i10已知向量(,),(1,2),(,)a m n b c k t ===v v v ,且//,,||10a b b c a c ⊥+=v v v v v vmt 的取值范围是( )A (,1]-∞B (0,1]C [1,1]-D (1,1)- 11.已知函数()()xf x y x R e=∈满足'()()f x f x >,则(1)f 与(0)ef 大小关系是( ) A (1)(0)f ef < B (1)(0)f ef > C (1)(0)f ef = D 不能确定 12.已知函数()y f x =是定义在R 上的增函数,函数(1)y f x =-的图像关于点(1,0)对称。
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一轮复习数学模拟试题11
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项正确,每小题选出答案后.
1.“α=β=π/2”是“sinαsinβ=1”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.已知集合A={x│≥0},集合B={y│y=sinx,x∈R},则B∩CRA=
A.ΦB.{1}C.{-1}D.{-1,1}
3.的展开式中第五项是
A.80B.240C.-32D.-1924.函
数f(x)=x+lgx-3的零点所在区间为
A.(3,+∞)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)5.在△ABC中,内角A、B、C所对边的长分别为a,b,c,2asinA=(2b
+c)sinB+(2c+b)sinC,则角A的大小为
A.30°B.60°C.120°D.150°
6.在△ABC中,O是中线AM上一个动点,若AM=4,则的最小值是A.-4B.-8C.-10D.-12
7.在半径为R的球内有一内接圆柱,设该圆柱底面半径为r,当圆柱的侧面积最大时,rR为
A.1/4B.1/2C.D.
8.已知a1,a2,…,an∈(0,+∞),且=2013,
则的最小值是
A.2013 /4B.2013/2C.2013D.40269.设平面点集A={(x,y)│(y-x)(y-1/x)≥0},B={(x,y)│0≤
y≤},则A∩B所表示的平面图形的面积为
A.π/2B.C.D.
10.已知函数f(x)在R上可导,下列四个选项中正确的是
A.若f(x)>f'(x)对x∈R恒成立,则ef(1)<f(2)
B.若f(x)<f'(x)对x∈R恒成立,则f(-1)>f(1)
C.若f(x)+f'(x)>0对x∈R恒成立,则ef(2)<f(1)
D.若f(x)+f'(x)<0对x∈R恒成立,则f(-1)>f(1)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中相应的横线上.
11.已知复数z=1-i,则=.
12.某程序的流程图如图所示,若使输出的结果不大于38,则输入的整数i的最大值为.
13.抛物线=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线与抛物线交于A、B两点,抛
物线的准线与x轴交于点K,则(1)以AB为直径的圆与抛物线准线的位置关系
为(填“相交”、“相切”或“相离”);(2)△KAB的面积的最小值为.14.如图,为美化环境,某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛,花坛分为两部分,
中间小圆部分种植草坪,周围的圆环分为n(n≥3,n∈)部分;现将红、黄、蓝三种不同颜色的花种植在圆环中的各部分,要求三种花色齐全且相邻两部分花色不同。
设圆环分为n部分时,共有种种法;例如=6,=18,则(1)=;(2)将用含有的式子表示为(n≥3,n∈).
15.选做题:请在下面两道题中选做一道题,如果两道题都选,则按第一道题作答结果计分.
(1)如图,圆O是△ABC的外接圆,过C点的切线交AB的延长线于点D,CD=,
AB=BC=3,则AC的长为.
(2)在极坐标系中,曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1(ρ>0,0≤θ<2π)的交点的极坐标为.
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)图像的对称轴方程及最小值;
(2)已知f(α-π/8)=,α∈(0,π/4),求f(α/2)的值.
17.(本小题满分12分)在等差数列{}中,=3,其前n项和为Sn;在各项均为正数的等比数列{bn}中,b1=1,且b2+S2=12,S5=5b3.
(1)求{}与{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}满足cn=,求数列{cn}前n项和Tn,并证明Tn<0(n∈).
18.(本小题满分12分)甲盒中有4个红色乒乓球,1个白色乒乓球和2个黄色乒乓球,乙盒中有3红色乒乓球,2个白色乒乓球和2个黄色乒乓球(这些球除颜色外无差异).(1)某同学从甲盒中随机取出一球放入乙盒,记事件A为从甲盒中取出的球为红色乒乓球;再从乙盒中随机取出一球,记事件B为从乙盒中取出的球为红色乒乓球.求P(B)及P(B│A);
(2)若该同学从甲盒中取出一球放入乙盒,再从乙盒中取出一球放入甲盒;记此时甲盒中黄色乒乓球的个数为X,乙盒中黄色乒乓球的个数为Y,令ξ=X-Y,求ξ的分布列和期望.
19.(本小题满分12分)已知几何体A-BCED的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.
(1)若几何体A-BCED的体积为40/3,求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,求直线AB与平面ACD所成角的正弦值;
(3)是否存在实数a,使得二面角A-DE-B的平面角是45°,若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分13分)已知圆C:=8及点F(1,0),P为圆C上一动
点,在同一坐标平面内的动点M满足:,││=││.
(1)求动点M的轨迹E的方程;
(2)过点F作直线l与(1)中轨迹E交于不同两点R,S,设=λ,λ∈[-2,-1),求直线l的纵截距的取值范围.
21.(本小题满分14分)已知函数f(x)=xlnx-x.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)对于给定的常数a,b(0<a<b),在区间(lna,lnb)上求常数c,
使最小,并求该最小值;
(3)设(2)中所求最小值为φ(a,b),求证:φ(a,b)<ln2.。