三角函数最值的求解策略(解析版)
三角函数中的最值问题(4种方法)
三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
解三角形中最值问题的求解策略
所以数列S n n是一个常数列,故S nn=S 11=1,即S n =n ,所以S n =n 2(n ȡ2)㊂因为S 1=a 1=1也满足上式,所以S n =n 2㊂(2)由(1)知S n =n 2,所以b n =(-1)n㊃2n +1S n +n =(-1)n ㊃2n +1n 2+n =(-1)n㊃1n +1n +1㊂所以T 2n =-1+12+12+13-13+14 +14+15 - -12n -1+12n+12n +12n +1=-1+12n +1=-2n 2n +1㊂点评:解决此类结构不良的开放性问题,补充条件完整是解题的第一步,基于条件的补充,形成一个完整的题目,与正常试题的解答基本一致㊂解决此类开放性问题时,往往又分为选择条件型与探索条件型,基于不同的开放性条件加以合理选择,进而进行分析与求解,可以有效考查同学们分析问题㊁解决问题的能力,对理解能力㊁探究能力㊁创新能力与应用意识等的考查也是积极和深刻的㊂数列解答题中的存在性㊁探索性㊁应用性与开放性等创新试题的创设,巧妙融入数列的基本概念㊁基本性质与基本公式,借助两个特殊数列(等差数列与等比数列)的模型构建与应用,融入函数与方程㊁不等式等其他知识,通过合理的数学运算,巧妙的逻辑推理,全面考查数学 四基 及数学能力,成为高考试题中一个常考常新的基本点㊂(责任编辑 王福华)ʏ江西师范大学附属中学 胡祝齐作为高考中的主干知识之一的解三角形,其中最值(或取值范围)问题的设置与考查是最为常见的一类综合应用问题,也是高考中的一个热点与重点问题㊂求解解三角形中的最值问题,往往离不开三角函数㊁几何直观㊁基本不等式㊁坐标应用,以及函数与导数等思维及其知识应用,合理转化,巧妙处理,实现解三角形中最值问题的求解㊂一、三角函数思维例1 在平面四边形A B C D中,A B ʅA C ,且AB =AC ,AD =2C D =22,试求B D 的最大值㊂分析:根据题设条件,合理引入 角参 ,结合解三角形中的正弦定理与余弦定理的应用,构建关于边长B D 的平方的三角关系式,结合三角函数中的辅助角公式,利用三角函数的图像与性质来确定最值问题㊂图1解:依题意,可知A B =A C ,A D =22,C D =2,作出图形,如图1所示,设øA D C =θ㊂在әA D C 中,利用正弦定理有A C s i n θ=C Ds i n øD A C,所以A C s i n øD A C =C D s i n θ=2s i n θ;利用余弦定理有A C 2=A D 2+C D 2-2A D ㊃C D c o s θ=12-82c o s θ㊂在әA D B 中,利用余弦定理有B D 2=A B 2+A D 2-2A B ㊃A D c o s øD A B =A C 2+A D 2-2A C ㊃A D c o s øD A C +π2=12-82c o s θ+8+42A C s i nøD A C =20-82c o s θ+82s i n θ=20+16s i n θ-π4ɤ02 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年1月20+16=36,当且仅当øA D C =θ=3π4时等号成立,所以B D 的最大值为6㊂点评:三角函数思维确定最值问题,主要是利用三角函数的图像与性质,通过三角函数的有界性来应用㊂解题的关键是合理引入 角参 ,构建所求元素的三角关系式,综合三角恒等变换公式化为单一的正弦型(或余弦型)函数,进而利用正弦(或余弦)函数的有界性来达到目的㊂二㊁几何直观思维例2 在әA B C 中,D ,E分别是线段A C ,B D 的中点,øB AC =120ʎ,A E =4,试求әA B C 面积的最大值㊂分析:根据题设条件,回归解三角形的平面几何本质,将三角形的面积加以转化,进而将问题转化为 定边对定角所对应点的轨迹问题 ,通过数形结合与几何直观,得以确定几何图形的运动变化规律与对应变量的关系,进而来确定对应三角形面积的最值问题㊂图2解:如图2所示,取A D 的中点F ,连接E F ,而E 是线段B D 的中点,则有E F ʊA B ,A B =2E F ,øA F E=图360ʎ㊂由图2知S әA B C =2S әA B D =8S әA E F ㊂而A E =4,øA F E =60ʎ,由 定边对定角 的几何意义可得点F 的轨迹是圆O 中的优弧A E ,如图3所示,则当F H ʅA E ,即点F 位于点F 0处时,S әA E F 取得最大值,对应的әA E F 是边长为4的等边三角形,所以S әA B C =8S әA E Fɤ8ˑ34ˑ42=323,即әA B C 面积的最大值为323㊂点评:几何直观思维确定最值问题,主要是利用解三角形自身的几何直观本质与内涵,通过平面几何法的转化,数形结合处理,更加直观有效地分析与解决问题㊂解题的关键是借助解三角形中相关知识的内涵与实质,对比相应的平面几何图形㊁几何意义等,通过几何直观分析来应用㊂三㊁基本不等式思维例3 在әA B C中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足a +c =3b ,试求t a n A 2+t a n C2的最小值㊂分析:根据题设条件,通过解三角形中的正弦定理化边为角,结合三角关系式的构建,借助和差化积公式及倍角公式的应用确定两半角正切值的乘积,进而利用基本不等式思维来求解对应的最值问题㊂解:已知a +c =3b ,由正弦定理可知s i n A +s i n C =3s i n B =3s i n (A +C )㊂根据和差化积公式及倍角公式,可得2s i nA +C 2c o s A -C 2=6s i nA +C2㊃c o s A +C 2,即c o s A -C 2=3c o s A +C2,展开得c o sA 2c o s C 2+s i n A 2s i n C2=3c o sA 2c o s C 2-s i n A 2s i nC 2,整理得2s i nA 2s i n C 2=c o s A 2c o s C2,两边同时除以c o sA 2c o s C 2,可得t a n A 2t a n C 2=12㊂由于t a nA 2>0,t a n C2>0,利用基本不等式,可得t a nA 2+t a n C 2ȡ2t a n A 2t a n C2=2,当且仅当t a n A 2=t a n C 2=22时等号成立㊂所以t a nA 2+t a n C 2的最小值为2㊂点评:基本不等式思维确定最值问题,主要是利用涉及三角形中的角或边的关系式的 定和 或 定积 的结构特征,利用基本不等式进行放缩来达到最值的确定㊂解题的关键是利用解三角形进行统一化处理,或统一化边,或统一化角,结合仅含边或角的关系式的变形与应用来达到目的㊂四㊁坐标应用思维例4 在әA B C中,内角A ,B ,C 所12解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年1月对的边分别为a ,b ,c ,且满足a =2,c =2b ,试求әA B C 面积的最大值㊂分析:根据题设条件,合理构建平面直角坐标系,将三角形的边长关系转化为平面解析几何中两点间的距离问题,引入动点的坐标应用,结合动点轨迹的确定,数形直观确定相应动点的位置,进而确定相应的最值问题㊂图4解:如图4所示,以B C 的中点O 为坐标原点,B C 边所在的直线为x 轴,B C 边的中垂线所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则B (-1,0),C (1,0)㊂设A (x ,y ),依题知c =2b ,则有c 2=2b 2,即A B 2=2A C 2,结合两点间的距离公式可得(x +1)2+y 2=2[(x -1)2+y 2],整理化简得(x -3)2+y 2=8(y ʂ0)㊂由图4可知,当点A 到B C 边的距离的最大值为22时,әA B C 的面积最大,此时(S әA B C )m a x =12ˑ2ˑ22=22㊂点评:坐标应用思维确定最值问题,主要是利用平面直角坐标系的构建,结合解三角形中的边或角的关系转化为平面解析几何中的轨迹问题,借助坐标思维来分析与应用㊂解题的关键是在坐标应用场景中,确定与三角形相关的边或角的轨迹等相关问题,抓住图形直观或几何意义来转化与应用㊂五、函数与导数思维例5 已知әA B C中,内角A ,B ,C所对的边分别是a ,b ,c ,若1t a n A +1t a n B=3,试求b a +ab的最大值㊂分析:根据题设条件,借助 形 的视角构建相关线段之间的比例,又借助 数 的视角构建所求关系式的代数表达式,进而通过函数的构建与求导处理,利用函数与导数思维来处理函数的单调性,并结合函数的图像与性质来确定相应的最值问题㊂解:如图5所示,过点C 作C D ʅA B 交图5A B 于点D ,设C D =h ,A D =x ,B D =y ,则c =x +y ㊂结合三角函数的定义,可得1t a n A +1t a n B =x h +y h=ch=3,即c =3h ㊂设t =x h >0,可得b 2a 2=x 2+h2(3h -x )2+h2=t 2+1t 2-6t +10=f (t ),求导可得f '(t )=-6t 2+18t -6(t 2-6t +10)2㊂令f '(t )=0,解得t =3+132>1,则知f (t )m a x =f 3+132㊂对于双勾函数b a +a b =t +1t,其在区间(1,+ɕ)上为增函数,所以当t =3+132时,b a +a b 取得最大值为3+132+23+13=13㊂点评:函数与导数思维确定最值问题,主要是利用整体化思维引入相关参数,合理构建涉及所求边或角的函数关系式,利用函数与导数思维来分析与求解㊂解题的关键是合理构建函数关系式,通过导数及其应用来确定对应的最大值或最小值㊂本题就是借助 数 与 形 两者的综合思维与视角,来协同合作,共同完成任务㊂在实际求解解三角形中的最值问题时,合理融合解三角形中的正㊁余弦定理,三角形的面积公式,三角形的基本性质等,巧妙 串联 起初中平面几何与高中解三角形等知识之间的联系,合理应用解三角形与三角函数㊁方程与不等式㊁函数与导数㊁平面几何与平面解析几何等基本知识,借助相应的数学思维方法与对应的技巧策略,实现最值问题的求解,从而有效养成良好的数学思维品质,提升数学解题能力,拓展数学应用与创新思维㊂(责任编辑 王福华)22 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年1月。
三角函数最值问题求法
三角函数最值问题求法三角函数是高中数学中常见的一种函数类型，它与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。
在解决三角函数最值的问题时，我们通常需要根据特定的条件和信息来确定函数的最大值或最小值。
下面将详细介绍三角函数最值问题的求解方法。
1.函数的定义域和值域分析：在解决三角函数最值问题之前，我们首先要对函数的定义域和值域进行分析。
不同的三角函数具有不同的定义域和值域，对于正弦函数和余弦函数，其定义域是整个实数集，值域是[-1,1]；而对于正切函数，其定义域是除去kπ（k∈Z）的全体实数，值域是整个实数集。
2.函数的周期性利用：三角函数具有周期性的特点，即对于一些三角函数f(x)，存在正整数T，使得对于任意实数x，有f(x+T)=f(x)。
利用函数的周期性特点，我们可以通过分析一个周期内的变化趋势，从而确定函数的最值。
常见的周期为π或2π。
在具体求解过程中，我们可以通过将函数的自变量进行换元，使其处于一个周期内进行分析。
3.导数的求解和极值点分析：如果一个三角函数是连续的，并且在一些区间内可导，则可以通过求导数的方法来确定指定区间上的局部最值。
我们可以通过求导数并令其等于零，求解出导数为零的点，然后通过第一、第二导数的正负性进行判断，得出函数的极值点和最值。
同时，我们还可以利用导数的符号变化来确定驻点和极值点的位置。
4.图像分析法：对于特定的三角函数问题，我们可以通过观察函数的图像来推测函数的最值。
通过绘制函数的图像，并结合定义域和值域的分析，我们可以直观地判断出函数在一些区间上的最值。
对于常见的正弦函数、余弦函数和正切函数，我们可以通过观察其图像的特点，确定函数在一个周期内的最值位置。
5.利用特殊三角函数的性质：在求解三角函数最值问题时，我们可以利用特殊的三角函数性质来进行分析。
例如，正弦函数和余弦函数在定义域内是交错递增和递减的，因此我们可以通过分析数值的正负性来确定函数在一些区间上的最值。
而正切函数在定义域上的周期是π，其在相邻两个零点之间是增函数还是减函数，从而确定函数的极值点。
三角函数最值的求解策略
．
） ２ ２Ｖ ＿ －一二 二 ＿ ＇＿
－
，
ｙ ａ ｉ ＋ ｃ ｓ ＝ ｓｎｘ ｂ ｏ 型
，
Ｖ 十 １）
特点是含有正余 弦函数 ， 并且是一次式． 求解策 略 ： 利用ａｉ ｘ ｂ ｏ － ｓ ＋ ｃｓ 、 ｎ
点 在 圆 内则 构 成 的 角 为钝 角 ： 该 点 在 圆 外则 构 成 的 角 为锐 角． 若
解： 如图９ 以０ ， 为圆心 、 ／ 、一 为半径作 圆．
因为 、 ＞ ， 以该圆与椭 圆有 四个交点Ｐ、 ２ 、 ／ ２所 Ｉ＇ ／、
解 法２ 诱 （ ， ）Ｐ ｃＳ ， ｎ ， ： ２ ２ ， （Ｏ ｓ ）则 ＝ 坠 ． ｉ 二
例 当詈 时求 数（ ｓ ＋－Ｏ的 １ 一 ≤≤ ，函 厂）ｎ ￣－Ｓ 最 ２ ｉ ｖ ＣＸ ＝ ／ ３
大值和最小值．
即 为过，用丽 ４ 点的斜率． 、 所以要求函数ｙ ＝＝ 二
成 的角 为 直 角 ． 椭 圆上 点 Ｐ 、 间 以及 Ｉ 之
、
Ｐ之 间 的 点 同 时 在 圆 内 ， ４
ｐ ／一
要 的作用 ，它们让我们很 清晰的观察 到了点尸 从不存在 到存在 、
从 少到多的过程 ， 把原本不太容易下手 的问题变得简洁．
故 以它们为顶点连接 、 构 成 的角为钝角 ， 符合 题意．
２１ ０ ２年 ４月
课 程 解读
材 法
三角 函数的最值 问题是三角函数知识的综合应用 ， 是对ｉ角
函数 的概 念 、 图像 和性质 ， 以及 对诱导公 式 、 同角ｉ角 函数基本
三 、 ＝—ｓｎ ｘ＋ ｃ型 ｖ ａｉ
三角函数最值问题的十种常见解法-6.18
拼搏的你，背影很美！三角函数最值问题的十种常见解法三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。
解决三角函数的最值问题不仅会用到三角函数的基本定义、单调性、奇偶性、周期性、有界性和三角函数图像，而且还会用到三角函数的多种恒等变化。
同时，在三角函数的最值问题中常常涉及到初等函数、不等式、方程、几何等方面问题；常用公式1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。
2. 辅助角公式sin cos ),sin a x b x x ϕφφ+=+==3．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。
4．半角公式sin2α=cos 2α=tan 2α= （sin 1cos tan21cos sin ααααα-==+）5. 万能公式22222tan1tan 2tan222sin ,cos ,tan 1tan 1tan 1tan 222ααααααααα-===++-拼搏的你，背影很美！题型一：sin y a x b =+或cos y a x b =+型函数 策略：转化为一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法，即利用sin 1x ≤或cos 1x ≤便可求解，max min ,y a b y a b =+=-+。
评析:①必须注意字母a 的符号对最值的影响;②必须注意自变量x 对最值的影响。
例1：求函数2cos 1y x =-的值域解析：此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =， 由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈-巩固：求sin()cos 6y x x π=-，(,)43x ππ∈的值域解析：111sin()cos sin(2)sin sin(2)6266264y x x x x ππππ⎡⎤=-=--=--⎢⎥⎣⎦ ∵(,)43x ππ∈，∴2(,)632x πππ-∈，∴sin(2)(62x π-∈∴11,)44y -∈拼搏的你，背影很美！题型二：sin cos y a x b x =+型，引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。
解三角函数最值的常用方法
求解三角函数最值的常用方法 核心提示：三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。
解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。
求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。
一.使用配方法求解三角函数的最值
例1
．已知函数的最大值为1，求的值
解：
结论
：将三角函数转化为二次函数也是求最值的通法之一，应当注意，整理成
时，要考虑
的取值及的条件，才能正确求出最值。
二.使用化一法求解三角函数的最值
例2
．求函数的值域。
分析
：降幂后发现式中出现了
和，这时再化成一个角的三角函数便可求
得。
解：
结论：化一法由“化一次”、“化一名”、“化一角”三部分组成，其中“化一次”使用到降幂公式、“化一名”使用到推导公式、“化一角”使用到倍角公式及三角函数的和差公式等，因此需要大家熟练掌握相关公式并灵活运用。
三.使用基本不等式法求解三角函数的最值
例3.求函数的值域
解：
四.使用数形结合法求解三角函数的最值
例4．求函数的值域
解：
五.使用换元法求解三角函数的最值
例5．求函数的最值。
分析：解此题的途径是用逆求将函数式变形，用y表示与x有关的三角函数，利用三角函数的有界性求最值。
解：。
三角函数最值问题的十种常见解法
三角函数最值问题的十种常见解法解法一：利用图像性质求解利用三角函数的图像性质，首先将函数图像画出来，观察函数在指定区间上的最大值和最小值所对应的点的坐标。
解法二：使用导数求解通过对三角函数进行求导，然后将导数等于零进行求解，可以得到函数的关键点，进而通过函数的变化趋势确定最值。
解法三：使用平均值不等式求解根据平均值不等式的性质，可以得到三角函数的最值。
例如，对于正弦函数sin(x)，可以利用平均值不等式得到最值。
解法四：使用二次函数的性质求解将三角函数转化为二次函数的形式，然后利用二次函数的性质求解最值。
例如，可以将正弦函数sin(x)转化为二次函数的形式。
解法五：使用三角函数的周期性质求解三角函数的周期性质可以帮助我们确定最值所在的区间。
通过观察函数的周期性质，可以得到函数的最大值和最小值。
解法六：使用三角函数的反函数求解利用三角函数的反函数，可以将问题转化为求解反函数的最值问题。
通过对反函数的最值进行求解，可以得到原函数的最值。
解法七：使用三角函数的恒等式求解利用三角函数的恒等式，可以将复杂的三角函数转化为简单的形式，进而求解最值问题。
例如，可以利用和差公式将三角函数的角度转化为相对简单的形式。
解法八：使用三角函数的基本关系求解利用三角函数的基本关系，可以将复杂的三角函数转化为简单的形式，进而求解最值问题。
例如，可以利用正切函数和余切函数的基本关系求解最值。
解法九：使用三角函数的积分求解通过对三角函数进行积分，可以得到函数的积分表达式，并通过积分表达式求解最值。
例如，可以通过对正弦函数进行积分得到函数的积分表达式。
解法十：使用泰勒级数展开求解利用泰勒级数展开，可以将三角函数转化为幂级数形式，进而求解最值问题。
通过计算前几项幂级数的和，可以得到函数的近似值，并进一步求解最值。
第34讲 求三角函数最值(值域、范围)的基本方法(解析版)-高考数学二轮复习
第34讲 求三角函数最值（值域、范围）的基本方法一、知识与方法求三角函数的值域,必须熟练地根据题型确定求值域的方法,实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题,而三角函数的最大值、最小值与函数的值域,实质是一个问 题的两个方面.常见的方法如下.(1)利用sin x 和cos x 的有界性直接求值域或最值. (2)转化为二次函数,通过配方法求值域或最值.(3)把所给三角函数式变换成sin()y A x ωϕ=+的形式求值域或最值. (4)通过换元法转化为代数函数求值域或最值,求解时注意新元的范围.(5)解与tan x 有关的二次式时,利用tan y x =∈R 这一条件,使用判别式求值域或最值. (6)数形结合法,可以直观地找到最高点、最低点以及相应x 的值.或转化为利用其隐含 的几何意义求值域或最值.(7)基本不等式法(利用公式时注意构造“和为定值”或“积为定值",并贯彻“一正二定三相等”原则).二、典型例题【例1】(1)求函数2sin 22cos y x x =-的最值;(2)求函数13sin 3sin xy x+=+的最值,并求出相应的x 值;(3)设44sin 2sin cos cos y x x x x =+-,若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求()f x 的最大值和最小值.【分析】第(1)问,化函数解析式为sin()y A x k ωϕ=++的形式,利用三角函数的有界性求最值.第(2)问,可运用万能公式转化为一元二次方程,使用判别式法,但计算量较大,故通常可运用“分离常数法”,通过讨论求最值;或运用“反解”转化为解不等式求值域从而获得最值.第(3)问,化简,利用指定区间内三角函数的有界性与单调性求最值.【解析】(1)由题意得2sin 22cos sin 2cos 21214y x x x x x π⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭,sin 21,4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭故当sin 214x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时,max 1y =当sin 214x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时,min 1y =.（2）【解法一】（分离常数法）13sin 93sin 8833sin 3sin 3sin x x y x x x++-===-+++ ∵1sin 1,x -∴当sin 1x =,即2()2x k k ππ=+∈Z 时,max1y =;当sin 1x =-,即2()2x k k ππ=-∈Z 时,mn1y =-.【解法二】（反解且利用正弦函数有界性) 以y 表示sin x 得13sin 3yx y -=-. 13|sin |1, 1.|31||3|3yx y y y -∴∴---两边平方得22(31)(3)y y --,即210y -,故11y -.∴当2()2x k k ππ=+∈Z 时,max1y =;当2()2x k k ππ=-∈Z 时,min 1y =-.(3)()()()442222sin 2cos sin sin 2cos sin cos sin sin 2y x x x x x x x x x =--=--+=-cos 224x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵30,2,2444x x ππππ∴--∴当242x ππ-=,即38x π=时,max y =当244x ππ-=-,即0x =时,man1y =-.【例2】(1)已知02a,求函数(sin )(cos )y x a x a =++的最值;(2)求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值;(3)求()44332cos sin cos sin x x y x x-=-的最值,并求出相应的x 值.【分析】第（1）问，原函数解析式展开后同时含有sin cos x x +与sin cos x x ，运用关系 式2(sin cos )12sin cos x x x x +=+,若令sin cos t x x =+,则可转化为t 的二次函数求最值,但必须注意换元后新元t 的取值范围；第（2）问对解析式降幂转化为二次函数型，运用配方法”求最值;第(3)问,化简后可能会出现sin cos x x +的形式,采用“换元法”,并运用基本不等式求最值,注意运用基本不等式时必须符合“一正二定三相等",并据此进行分类讨论. 【解析】 （1）2(sin )(cos )sin cos (sin cos )y x a x a x x a x x a =++=+++.设sin cos x x t +=,则21||2,sin cos 2t t x x -∴=.∴222211()122t y at a t a a -⎡⎤=++=++-⎣⎦.当t a =-时,2min12a y -=,当t =时,2max 12y a =+. (2)(换元且利用配方法)2474sin cos 4cos4cos y x x x x =-+-()22222272sin 24cos 1cos 72sin 24cos sin 72sin 2sin 2(sin 21) 6.x x x x x x x x x =-+-=-+=-+=-+设sin 2,[1,1]u x u =∈-,由于2(1)6z u =-+在[1,1]-中的最大值为max z =2(11)610--+=,最小值为2min (11)66z =-+=.故当sin 21x =-,即3()4x k k ππ=+∈Z 时,max 10y =;当sin 21x =,即(4x k k ππ=+∈Z)时,min6y =.(3)(换元且利用基本不等式)()()22222cos sin (cos sin )(cos sin )(cos sin )cos cos sin sin x x x x x x y x x x x x x+-+==-++22(cos sin )4(cos sin )4(cos sin )1sin cos 22sin cos 1(cos sin )x x x x x x x x x x x x +++==++++设cos sin (22)4t x x x tπ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，代人(1)式,得241t y t =+.当0t =时,2401t y t ==+;当0t ≠时,24411t y t t t==++,当02t <时,4212yt =⋅,即1t =,也即cos 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,得2x k π=或2()2x k k ππ=+∈Z 时,max2y =.当20t <时,422()y t -=--,即1t=-,也即cos 4x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭2-,得2x k ππ=+或2()2x k k ππ=-∈Z 时,min2y =-.【例3】1,,a a θ>均为实数,试求当θ变化时,函数(sin )(4sin )1sin a y θθθ++=+的最小值.【分析】对于分式函数,分子为二次式、分母为一次式(反之亦可),则对二次式为一次式配方,通过換元法转化为函数(0)ay x a x=+>的形式,利用此“耐克”函数的单调性求原函数的最值. 【解析】2(sin )(4sin )sin (4)sin 43(1)(sin 1)21sin sin 1sin 1a a a a y a θθθθθθθθ+++++-===+++++++令sin 1t θ=+,则02t <.设3(1)()a gt t t-=+,则()gt 在(0,)+∞内的单调区间分界点为,即当t ∈时,()g t 为减函数;当)t ∈+∞时,()g t 为增函数. 当01)2<,即713a <时,()g t 的最小值为,此时原函数的最小值为2a +;2>时,则有(0,2]⊆.∴()g t 在该区间上的最小值为31(2)2a g +=. 即当73a >时,原函数的最小值为315(1)222a a a ++++=. 综上所述,当713a <时,原函数的最小值为2a +;当73a >时,原函数的最小值为5(1)2a +. 三、易错提示【例1】若22sin 2sin 2cos αβα+=,求22sin sin αβ+的最大值与最小值.【错解】由已知得221sin cos sin 2βαα=-,则有 ()222222111sin sin sin cos sin cos 1cos (cos 1)1222αβαααααα+=+-=+-=--+∴当cos 1α=时,22sin sin αβ+取得最大值1,当cos 1α=-时,22sinsin αβ+取得最小值1-.【评析及正解】最小值求错了,错的原因就是未注意正弦函数的有界性,即cos α的值并非是[1,1]-. 正确的解法如下： 由已知得221sin cos sin 2βαα=-,则有 ()222222111sin sin sin cos sin cos 1cos (cos 1)1222αβαααααα+=+-=+-=--+又由22sin 2sin 2cos αβα+=知222cos 2cos 12sin 0ααβ+-=,解之得1cos 1α.故22sinsin αβ+的最大值与最小值分别为1和2-.【例2】求函数21sin 1sin sin xy x x+=++的最大值和最小值.【错解】 原式可化为2sin(1)sin 10,y x y x y y +-+-=∈R .当0y =时,sin 1x =-,有意义. 当0y ≠时,2(1)4(1)0y y y ∆=---,即(31)(1)0y y +-.解得113y -且0y ≠.【分析】上述解法忽视了一个重要的细节,即根的判别式0∆只能保证关于sin x 的方程2sin (1)sin 10y x y x y +-+-=有宋根,但是不能保证实根在[1,1]-内,因此0∆只是方程2sin (1)sin 10y x y x y +-+-=有解的必要条件而不是充要条件,即由0∆求出的y 的范围有可能被扩大了. 【正确的解法】如下： 原式可化为2sin(1)sin 10,y x y x y y +-+-=∈R .当0y =时,sin 1x =-,有意义.当0y ≠时,2(1)4(1)0y y y ∆=---,即(31)(1)0y y +-,解得113y -,且0y ≠,因此可得,113y -.当13y =-时,原方程变为2sin 4sin 40x x ++=,此时sin 2[1,1]x =-∉-,13y ∴≠-当1y =时,sin 0[1,1]x =∈-,有意义. 另一方面,∵分子1sin 0x +,分母22131sin sin sin 024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭,∴21sin 01sin sin xy x x+=++.因而man 0y =∴函数21sin 1sin sin xy x x+=++的最大值为1,最小值为0. 四、难题攻略【例】(1)函数21()cos sin ,0,242a f x a x x x π⎡⎤=--++∈⎢⎥⎣⎦的最大值为2,求a 的值; (2)已知函数()2sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,若不等式()f x m 对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立,求实数m 的最大值. 【分析】第(1)问是已知三角函数的最值求参数的值,可将所给解析式化为关于cos x 的二次函数形式,借助二次函数的性质或图像求解,通过换元cos ,t x x =∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则新元[0,1]t ∈,则对称轴相对于区间[0,1],分类讨论的思想方法的应用是解题的重要环节.第(2)问是对题型的“辐射”和拓展,由不等式恒成立探求参数的最值. 【解析】 (1)函数()2211()cos sin cos 1cos 2424a af x a x x a x x =--++=--++-= 221cos 224a a a x -⎛⎫--++⎪⎝⎭令cos t x=,由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可知01t .则221(),0224a a ag t t -⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭1t(i)当02a ,即0a 时,22max1[()](0)02224a a a g t g -⎛⎫==--++= ⎪⎝⎭.解得6a =-.(ii)当012a <<,即02a <<时,2max 1[()]2224a a a g t g -⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 解得2a =-或3a =,均舍去.(iii)当12a ,即2a 时,22max 1[()](1)12224a a a g t g -⎛⎫==--++= ⎪⎝⎭. 解得103a =. 综上所述6a =-或103a =. (2)∵50,22666xx ππππ∴--,因而1sin 2 1.()26x f x π⎛⎫--= ⎪⎝⎭2sin 22[1,4],16x m π⎛⎫-+∈∴ ⎪⎝⎭.即m 的最大值为1.五、强化训练1.(1)求函数sin 1()cos 2x f x x -=+的最大值和最小值;(2)求函数22sin sin 1cos sin 3y αααα++=--的最值.【解析】(1) 【解法一】设 sin 1()cos 2-==+x y f x x 得, cos 2sin 1+=-y x y x即 sin cos 21,)21ϕ-=++=+x y x y x y , 即sin()ϕ+=x ∵,1sin()1ϕ∈∴-+x x R , 即1化简得,2340+y y , 解得403-y . 故 ()f x 的最大值为 0, 最小值为 43-. 【解法二】由斜率的几何意义知,sin 1cos 2-+x x 表示单位圆221+=x y 上的点(cos ,sin )A x x 与 (2,1)-B 之 间的斜率.设过点 (2,1)-B 的直线 l 的方程为 : 1(2)-=+y k x , 即 210-++=kx y k .由直线 l 与单位圆有公共点得, 2|21|11+=+k d k , 解得 403-k ,故 ()f x 的最大值为 0, 最小值为 43-. (2) 【解法一】 (代数法）去分母并运用同角三角比函数可化为 (+y 1)2sin(1)sin 210αα++++=y y , 由于1≠-y , 因而可化为;21121sin .241α+⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭y y 由 1sin 1α-, 得 113sin 222α-+, 即得 210sin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭94∴12190414+-+y y . 解不等式得 3347--y . mn max 33,47∴=-=-y y【解法二】(几何法） 设点 ()22cos sin ,sin sin αααα-+A , 点 (3,1)-B , 则 y 表示AB 两点连线的斜率, 点 A 的轨迹方程是 22cos sin sin sin αααα⎧=-⎨=+⎩x y 即 1+=x y . 由于 22155cos sin sin ,1244ααα⎛⎫=-=-++∴- ⎪⎝⎭x x .故点A 的轨迹为线段 551:11,(1,2),,444⎛⎫⎛⎫+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭MN x y xM N . 如图所示. min max 3333,,744733,47=-=-∴--∴=-=-BN BM k k y y y2.如图4-15所示,某污水处理厂要在一正方形污水处理池ABCD 内修建一个三角形隔离区以投放净化物质,其形状为三角形APQ ,其中P 位于边CB 上,Q 位于边CD 上,已知20m,6AB PAQ π=∠=,设PAB θ∠=,记()ABCDPAQS f S θ=正△,当()f θ越大,则污水净化效果越好.(1)求()f θ关于θ的函数解析式,并求定义域;(2)求()f θ的最大值,并指出此时θ的值. 【解析】(1)0,0,434πππθθ<<<-<.12420201100400,,sin ,()100cos 26cos cos cos 33cos cos 34cos cos ,,.3124ππθπθππθθθθπθθπππθθθ∆∴<<===⋅===⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭APQ AP AQS AP AQ f (2)22()2cos cos cos 2212sin 21,26363πππθθθθθθθθπ⎛⎫=+=+=++<+< ⎪⎝⎭f ,当2θ 62ππ+=, 即 6πθ=时, max ()3θ=f .3.已知函数()cos 2sin (0)f x x a x b a =++<. (1)若当x ∈R 时,()f x 的最大值为98,最小值为2-,求实数,a b 的值; (2)若2,1a b =-=,设函数()sin 2g x m x m =+,且当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, ()()f x g x >恒成立,求实数m 的取值范围.【解析】(1) 22()2sin 1,1sin 1,0,48⎛⎫=--+++-< ⎪⎝⎭a a f x xb x a∴ 当 104-<a 时, 2maxmin 9()1,()1288=++==+-=-a f x b f x a b 解得 1=-a 或 9=a (舍去). ∵1,0=-=a b ; 当14<-a 且 max mn 9()1,()128=-+-==+-=-f x a b f x a b , 解得 2516=-a (舍去). 综上所述 1,0=-=ab . (2) 【解法一】2()2sin 2sin 2=--+f x x x , 当 2,63ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时, 22sin 2sin 2(sin 2)--+>+x x m x 恒成 立, 22sin 2sin 2sin 2--+<+x x m x . 令sin 2=+u x , 则51123.62,6223⎛⎫⎛⎫<-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u m u u u u .即 2,3<-∴m m 的取值范围是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解法二】2()2sin 2sin 2=--+f x x x , 当 2,63ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时， 22sin 2sin 2(sin 2)--+>+x x m x 恒成立. 令 sin =t x ,则2()2222=+++-h t t t mt m , 则()0<h t 在 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立, 则2(1)0,,3101,25⎧<⎧<-⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫< ⎪⎪⎪<⎝⎭⎩⎪⎩h m h m即 23<-∴m m 的取值范围是 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭。
求三角函数最值及值域常用的策略
师说新语３３２０１９年第２５期求三角函数最值及值域常用的策略◎ 任彩霞/平遥现代工程技术学校三角函数的最值问题是三角函数中重要的一个知识点，题型较多、方法较碎，是同学们学习的一个难点，由于题型灵活，容易考查思维能力，因而也是高考中热点题型，现对三角函数最值求法中常见的策略加以归类，常用方法加以总结，以达快速正确求解。
一、利用三角函数的有界性求最值1、形如y=asinx+bcosx+c 型，引入辅助角公式化为22b a +sin(x+φ)+c ，再求值域。
例1、求函数f(x)=2sinx+cos(x+3π)的值域解：f(x)=2sinx+21cosx －23sinx=（2－23）sinx+21cosx=)sin()21()232(22φ++−x ，故f(x)∈[]2、形如y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 型，通过降幂转化为Asinx+Bcosx ，再求值域。
例2、f(x)=23asinx·cosx-2asin 2x+1（a>0）的值域解：f(x)= 3asin2x+acos2x-a+1=2asin(2x+6π)-a+1∵a>0，sin(2x+6π)-a+1∴f(x)∈[-3a-1，a+1]二、用换元法化为二次函数求值域1、形如y=sin 2x+bsinx+c 型，令sinx=t 转化为二次函数再求值域。
例3、k<-4，求y=cos 2x+k(cosx-1)的值域解：y=2cos 2x-1+kcosx-k y=2cos 2x+kcosx-k-1，设t=cosx ，t ∈[-1,1]则y=2t2+kt-k-1，对称轴x=－4k，由于k<-4，则－4k >1，故当t=1时，ymin=1，当t=－1时，ymax=1－2k ，即y ∈[1,1-2k]2、形如y=asinx·cosx+b （sinx ±cosx ）+c 型，令sinx ±cosx=t转化为二次函数在]2,2[−上的值域问题例4、求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx 的值域。
三角函数的最值的求解策略
三角函数的最值的求解策略上海市卢湾高级中学 赵杨柳三角函数的最值（值域）是三角函数的重要性质之一，也是学习中的难点之一，三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与代数中的二次函数、不等式及某些几何知识的联系也很密切。
也是高考考查的热点。
下面对三角函数值域（最值）的几种常用类型略作归纳，供同学们参考。
一、()sin fx a x b =+（或()cos f x a x b =+）型处理方法：利用三角函数的有界性，即sin 1x ≤或cos 1x ≤，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。
例1 函数()cos fx a x b =+（a 、b 为常数），若71y -≤≤， 求sin cos b x a x +的最大值. 剖析：函数()cos fx a x b =+的最值与a 的符号有关，故需对a 分类讨论.解：当0a >时，17a b a b +=⎧⇒⎨-+=⎩4,3a b ==-；当0a =时，不合题意； 当0a <时，⇒⎩⎨⎧-=+=+-71b a b a 4,3a b =-=-.当4,3a b ==-时，sin cos b x a x +=－3sin x +4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=－34）； 当4,3a b =-=-时，sin cos b x a x +=－3sin x －4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=34）.∴sin cos b x a x +的最大值为5.例2．已知函数()b a x x a x a x f++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，值域为[5,1]-，求常数a 、b 的值.解：∵()cos 2sin 222cos 223fx a x x a ba x a bπ=--++⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭ .∵ 20π≤≤x ，∴ 32323πππ≤-≤-x ，∴ 1 32cos 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx .当0a >时，()3b f x a b ≤≤+. ∴ ⎩⎨⎧-==+.513b b a ，解得⎩⎨⎧-==.52b a ，当0a <时，3()a b f x b +≤≤.∴ ⎩⎨⎧=-=+.153b b a ，解得 ⎩⎨⎧=-=.12b a ，故a 、b 的值为 ⎩⎨⎧-==52b a 或⎩⎨⎧=-=12b a感悟：分类讨论是重要的数学思想方法，本例若不对常数a 进行讨论，将会出错。
微专题31 三角函数的最值问题求解策略(解析版)
微专题31三角函数的最值问题求解策略【方法技巧与总结】三角函数的最值问题主要涉及三角恒等变形，其主要思想是通过适当的三角变形或换元，将复杂的三角问题转化为基本三角函数或基本初等函数问题，再通过三角函数的有界性或求函数最值的方法进行处理．【题型归纳目录】题型一：恒等变形的应用，形如sin cos y a x b x =+题型二：二次函数型，形如2sin sin y a x b x c=++题型三：形如2(sin cos )(sin cos )(sin cos )y a x x b x x c x x =++++⋅题型四：分式结构，形如sin cos a x by c x d+=+【典型例题】题型一：恒等变形的应用，形如sin cos y a x b x=+例1．（2022秋•景洪市校级期中）求函数sin y x x =+的周期，最大值和最小值．【解析】解：化简可得sin y x x =+12(sin )22x x =+2(cossin sin cos )33x x ππ=+2sin(3x π=+∴原函数的周期为2T π=，最大值为2，最小值为2-例2．（2022秋•镇江期末）已知函数()2sin (sin )1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期和增区间；（2）当[0x ∈，2π时，求函数()f x 的最大值和最小值．【解析】解：（1）()2sin (sin )1f x x x x =+-22sin cos 1x x x =+-2cos 2x x=-2sin(26x π=-，22T ππ∴==，令2[262x k πππ-∈-，2][26k x k ππππ+⇒∈-，]3k ππ+，k Z ∈．∴函数的增区间为：[6k ππ-，3k ππ+，k Z ∈（2）[0x ∈，]2π时2[66x ππ⇒-∈-，56π；∴当266x ππ-=-即0x =时，()1min f x =-，当262x ππ-=即3x π=时，()2max f x =．例3．（2022•浙江模拟）已知函数()cos )cos f x x x x m =++的最大值为2．（Ⅰ）求()12f π的值；（Ⅱ）当[0x ∈，2π时，求[()1][()1]12y f x f x π=-+-的最值以及取得最值时x 的集合．【解析】解：（Ⅰ）2()cos )cos cos cos f x x x x m x x x m=++=++1cos 212sin(2)2262x x m x m π+=++=+++的最大值为2，1122m ∴++=，可得12m =，()sin(216f x x π∴=++，(sin(2)1sin 111212632f ππππ∴=⨯++=+=．（Ⅱ）当[0x ∈，2π时，[()1][()1]sin(2)sin(2)1263112cos 2)(22)22y f x f x x x x x x x πππ=-⋅+-=++=++22122sin 2cos 2sin 44442x x x x x =++=，当8x π=时，即{|}8x x x π∈=时，max y ；当38x π=时，即3{|}8x x x π∈=时，24min y =．变式1．（2022秋•六枝特区校级月考）已知函数11()sin 22f x x x =-．（1）求()f x 的最小正周期和对称轴；（2）当[6x π∈，9)4π时，求()f x 的最大值和最小值．【解析】解：（1）函数111()sin 2sin()2223f x x x x π=-=-；故函数的最小正周期为2412ππ=，令1232x k πππ-=+，()k Z ∈，整理得523x k ππ=+，()k Z ∈．故函数的对称轴方程为523x k ππ=+，()k Z ∈．（2）由于[6x π∈，94π时，所以119[,23424x πππ-∈-，故1sin()[,1]232x π-∈-．当6x π=时，函数取得最小值为2-，当56x π=时，函数取得最大值为1．变式2．已知函数cos 4()2)4xf x x π=++，求：（1）函数的周期；（2）当x 为何值时函数()f x 取得最大值？最大值为多少？【解析】解：（1）cos 4()2)4xf x x π=++2=+sin 2cos 22x x =++)24x π=++，故22T ππ==；（2）令22()42x k k z πππ+=+∈，解得：8x k ππ=+，故()8x k k z ππ=+∈时，()f x 取得最大值2+题型二：二次函数型，形如2sin sin y a x b x c =++例4．（2022秋•梅州期末）函数2cos sin y x x =-+的值域为()A ．[1-，1]B ．5[4-，1]-C ．5[4-，1]D ．[1-，5]4【解析】解：2cos sin y x x =-+，2sin sin 1x x =+-，215(sin )24x =+-，当12sinx =-时，54min y =-．当sin 1x =时95.144max y =-=，故函数的值域为：5[,1]4-．故选：C ．例5．（2022春•衡水期中）函数2sin sin 1y x x =+-的值域为()A ．[1-，1]B ．5[4-，1]-C ．5[4-，1]D ．[1-，54【解析】解：2sin sin 1y x x =+-，令sin x t =，则有21y t t =+-，[1t ∈-，1]，函数的对称轴：12t =-，开口向上，当12t =-及1t =时，函数取最值，代入21y t t =+-可得5[4y ∈-，1]．故选：C ．例6．（2022•湖南一模）函数11cos 2sin 22y x x =-+-的值域为()A ．[1-，1]B ．5[4-，1]C ．5[4-，1]-D ．[1-，5]4【解析】解：函数222111115cos 2sin (12sin )sin sin sin 1(sin 222224y x x x x x x x =-+-=--+-=+-=+-1sin 1x - ，∴当1sin 2x =-时，函数y 有最小值为54-．sin 1x =时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为5[4-，1]，故选：B ．变式3．（2022秋•天河区校级月考）函数()cos 26cos()2f x x x π=+-的最大值为()A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】解：2()cos 26cos()2sin 6sin 12f x x x x x π=+-=-++，令sin t x =，[1t ∈-，1]，则函数()f x 可转化为关于t 的二次函数2261y t t =-++，[1t ∈-，1]，图象开口向下，对称轴为32t =，所以函数2261y t t =-++在[1-，1]上单调递增，所以当1t =时，函数取得最大值为5，故选：B ．变式4．（2022•浙江）已知4k <-，则函数cos 2(cos 1)y x k x =+-的最小值是()A ．1B ．1-C ．21k +D ．21k -+【解析】解：2cos2(cos 1)2cos cos 1y x k x x k x k =+-=+--令cos t x =，则221(11)y t kt k t =+--- 是开口向上的二次函数，对称轴为14kx =->当1t =是原函数取到最小值1故选：A ．变式5．（2022秋•崇川区校级期中）已知函数41()(sin cos )cos 42f x m x x x =++在[0,2x π∈时有最大值为72，则实数m 的值为1．【解析】解：函数41()(sin cos )cos 42f x m x x x=++21(12sin cos )cos 42m x x x=++221(12sin 2sin 2)(12sin 2)2m x x x =+++-21(1)sin 22sin 22m x m x m =-+++．①当1m =时，函数化为：12sin 212x ++．当sin 21x =时，函数取得最大值，172122++=．满足题意．②当1m >时，函数化为：21(1)(sin 2)121m mm x m m -++---，当sin 21x =时，函数取得最大值，可得171222m m m -+++=，解得1m =，不满足题意．③当12m 时，[1,1]1m m ∈--，当sin 21m x m =--时，函数取得最大值，此时17212m m -=-，解得34m =，不满足题意．④当112m <<时，sin 21x =时函数取得最大值，此时有171222m m m -+++=，解得1m =不满足题意．综上，1m =．故答案为：1．变式6．已知函数444()2(sin cos )(sin cos )f x x x m x x =+++在[0x ∈，2π上的最大值为5，求实数m 的值．【解析】解：设sin a x =，cos b x =，且[0x ∈，)2π，则2222sin cos 1a b x x +=+=，1sin cos sin 22ab x x x ==，102ab ∴；444()2()()f x a b m a b ∴=+++222222222[()2](2)a b a b m a b ab =+-+++2224()(12)ab m ab =-++2224()[144()]ab m ab ab =-+++24(1)()42m ab mab m =-+++，当1m =时，()432sin 23f x ab x =+=+，在4x π=时取到最大值5，符合题意；当1m ≠时，21()4(1)[]12(1)1m f x m ab m m =-++---，由抛物线性质，知：当1m >时，111()()4(1)42415242max f x f m m m m ==-⨯+⨯++=+=，解得1m =，不符条件，舍去；当1m <时，若102(1)2m m - ，则102m ，1()[]152(1)1max m f x f m m ==-=--，解得34m =，不符条件，舍去；若112m <<，则1()()4152max f x f m ==+=，解得1m =，不符条件，舍去；若0m <，则()(0)25max f x f m ==+=，解得3m =，不符条件，舍去；综上，只有一个解1m =；即()f x 在[0x ∈，)2π上的最大值为5时，1m =．题型三：形如2(sin cos )(sin cos )(sin cos )y a x x b x x c x x =++++⋅例7．（2022春•习水县校级期末）函数sin cos sin cos y x x x x =++，[0x ∈，]3π的最大值是12【解析】解：令sin cos )4t x x x π=+=+，[0x ∈，3π，可得[44x ππ+∈，7]12π，1sin([42x π∴+∈，1]，2[2t ∴∈，21sin cos 2t x x -=．∴函数2211sin cos sin cos (1)122t y x x x x t t -=++=+=+-，故当t =时，函数y 取得最大值为12，故答案为：12．例8．求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值．【解析】解：令sin cos )4t x x x π=+=+，则t ，则21sin cos 2t x x -=，故22111(1)1(222y t t t t =+-=+- ，对称轴是1t =-，故当t =时，y 有最大值12．例9．（2022春•香洲区校级期中）已知sin cos x x t -=（Ⅰ）用t 表示33sin cos x x -的值；（Ⅱ）求函数sin cos sin cos y x x x x =-+，[0x ∈，]π的最大值和最小值．（参考公式：3322()())a b a b a ab b -=-++【解析】解：由sin cos x x t -=，得212sin cos x x t -=，即21sin cos 2t x x -=，（Ⅰ）233313sin cos (sin cos )(1sin cos )(1)22t t t x x x x x x t ---=-+=+=；（Ⅱ）由题设知：)4t x π=-，3444x πππ--，sin()124x π∴-- ，2221111(1)12222t y t t t t -∴=+=-++=--+，且[1t ∈-，∴当1t =时，1max y =；当1t =-时，1min y =-．变式7．已知[6x π∈-，]2π，求函数(sin 1)(cos 1)y x x =++的最大值和最小值．【解析】解：函数(sin 1)(cos 1)y x x =++sin cos sin cos 1x x x x =+++，令sin cos 4t x x x π=+=+，[6x π∈-，2π，[412x ππ∴+∈，3]4π，sin()[44x π∴+∈，1]，t ∴∈，又212sin cos t x x =+，21sin cos 2t x x -∴=，22111(1)22t y t t -∴=++=+，对称轴：1t =-，区间1[2-在对称轴的右边，为递增区间．212min y ∴==2131)22max y +=+=．变式8．设sin cos a x x =，sin cos b x x =+．（1）求a ，b 的关系式；（2）若(0,2x π∈，求sin cos sin cos y x x x x =++的最大值．【解析】解：（1）sin cos b x x =+，22(sin cos )12sin cos 12b x x x x a ∴=+=+=+；（2）由（1）21(1)2a b =-，(14b x π=+∈．2211(1)(1)122y a b b b b =+=-+=+-，b ∴=sin cos sin cos y x x x x =++的最大值为12+．题型四：分式结构，形如sin cos a x b y c x d+=+例10．求函数3(sin 2)5sin 2x y x +-=+的值域．【解析】解：由3(sin 2)553sin 2sin 2x y x x +-==-++．当sin 1x =时，43max y =，当sin 1x =-时，2min y =-．∴函数的值域为4[2,]3-．例11．已知[0x ∈，2)π，求函数1cos sin 2xy x -=+的值域．【解析】解：1cos sin 2x y x -=+sin 21cos y x y x ∴+=-，sin cos 12y x x y ∴+=-，∴)12x y θ+=-，其中tan θ=sin()x θ∴+=，[0x ∈，2)π，(,2)x θθπθ∴+∈+1sin()1x θ∴-+，11∴-，解得403y即函数的值域为[0，4]3．例12．求函数sin 2sin 1x y x =+，[6x π∈，2π的值域．【解析】解：函数11sin sin 11222sin 12sin 124sin 2x x y x x x +-===-+++，[6x π∈，2π可得4sin 2[4x +∈，6]，111[,]4sin 264x ∈+，sin 11[,]2sin 143x y x =∈+．变式9．用至少2种方法求函数sin cos 2xy x =-的值域．【解析】解：方法1:cos 20x -≠，(cos 2)sin y x x ∴-=sin cos 2x y x y⇔-=-⇔)2x y θ+=-⇔sin()x θ+=，sin()[1x θ+∈-，1]，∴11--，解得33y -，∴函数的值域为：[．方法22222tan212tan222:11322212x x x tan y x x tan tanxtan +==--+-+，令tan ()2x t t R =∈，则2213ty t =-+，当0t =时，0y =，当0t ≠时，213y t t=-+，13(,)t t+∈-∞-+∞，[,0)(0,33y ∈-⋃．∴函数的值域为：[33-．故答案为：[33-．变式10．（1）求cos 2cos 1xy x =+值域（2）求1sin 3cos xy x+=+的值域．【解析】解：（1）由cos 2cos 1xy x =+可得，cos 12y x y =-，由于1cos 1x - ，即为||112yy- ，即2(1)(31)0(12)y y y --- ，解得1y 或13y，则值域为(-∞，1][13，)+∞；（2）1sin 3cos xy x+=+，3cos 1sin y y x x ∴+=+，即sin cos 31x y x y -=-，∴)31x y θ+=-，sin()x θ∴+=，又1sin()1x θ-+ ，11∴-，解得304y ，即函数1sin 3cos x y x +=+的值域是[0，3]4．【过关测试】一．选择题1．（2022秋•湖州期末）函数sin (cos sin )y x x x =-，x R ∈的值域是()A ．1[2-，3]2B ．11[]22-+C ．31[,]22-D ．11[]22---+【解析】解：函数21111sin (cos sin )sin cos sin sin 2cos 2sin(2)222242y x x x x x x x x x π=-=-=-+=+-．1sin(214x π-+ ∴21212222y --- ．故选：D ．2．函数sin(2)()3y x x R π=-∈的值域为()A ．[1-，1]B ．[2-，2]C ．1[2-，1]2D ．(1,1)-【解析】解：函数sin(2)()3y x x R π=-∈的值域为[1-，1]，故选：A ．3．（2022春•渝中区校级期中）函数2sin sin 1()y x x x R =-+∈的值域是()A ．3[4，3]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．1[2，3]【解析】解：令sin x t =，则22131()24y t t t =-+=-+，[1t ∈-，1]，由二次函数性质，当12t =时，y 取得最小值34．当1t =-时，y 取得最大值3，3[4y ∴∈，3]故选：A ．4．（2022秋•武冈市校级期中）函数23()sin ,([0,])42f x x x x π=+-∈的最大值是()A ．1B 34-C ．34D ．14【解析】解：2231()44f x sin x x cos x x =+-=-+，令cos t x =，[0x ∈，]2π，cos [0t x ∴=∈，1]，则原函数化为214y t =-++，其对称轴方程为2t =，∴当2t =时，y 有最大值为1．故选：A ．5．（2022秋•鄂尔多斯期中）设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos (θ=)A ．5B ．5C ．5-D ．5【解析】解：由题意可得()sin 2cos )f θθθθθ=-=-=∴1θθ-=．再结合22sin cos 1θθ+=，求得sinθ=cos θ==故选：C ．6．（2022秋•贵阳期末）当02x π<<时，函数2228()sin 2cos x sin x f x x+=的最小值为()A ．2B ．C ．4D ．【解析】解：当02x π<<时，tan 0x >，∴函数2222282cos 8sin 1()4tan 4sin 22sin cos tan cos x sin x x x f x x x x x x ++===+= ，当且仅当1tan 2x =时，取等号，故()f x 的最小值为4，故选：C ．7．（2022秋•镜湖区校级期末）已知函数2()sin 2sin xf x x =+，则()f x 的最大值为()A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解析】解：24()sin 24sin 2sin 2sin x f x x x x ==++-++，令sin 2t x =+，[1t ∈，3]，则44y t t=+-，由对勾函数的性质可知44y t t =+-在[1，2]上单调递减，在(2，3]上单调递增，当1t =时，1y =，3t =时，13y =，所以函数()f x 的最大值为1．故选：D ．8．（2022秋•诸暨市校级月考）已知当4x π=-时，函数()sin cos f x a x x =+取到最大值，则3(4f x π+是()A ．奇函数，在0x =时取到最小值B ．偶函数，在0x =时取到最小值C ．奇函数，在x π=时取到最小值D ．偶函数，在x π=时取到最小值【解析】解：由于当4x π=-时，函数()sin cos f x a x x =+取到最大值，故22a +=，解得1a =-，故()cos sin 4f x x x x π=-=+，所以3()cos()cos 4f x x x ππ+=+=-，故函数3(4f x π+为偶函数，在0x =时，函数取得最小值1-．故选：B ．二．填空题9．（2022春•南关区校级期中）函数21sin 2sin 2y x x =+，x R ∈的值域是．【解析】解：函数2111cos 211sin 2sin sin 2(sin 2cos 2)sin(2)2222222224x y x x x x x x π-=+=+=+-=+-，1sin(2)14x π-- ，sin(22242x π∴-- ，∴12122222y -+，故函数的值域为11[]2222++，故答案为11[2222-++．10．（2022•江西）设()3cos3f x x x =+，若对任意实数x 都有|()|f x a ，则实数a 的取值范围是．【解析】解：不等式|()|f x a 对任意实数x 恒成立，令()|()||3cos3|F x f x x x ==+，则()max a F x ．()3cos32sin(3)6f x x x x π=+=+2()2f x ∴- 0()2F x ∴ ()2max F x =2a ∴ ．即实数a 的取值范围是2a 故答案为：2a ．11．（2022秋•南昌期末）若6x π=是函数()3sin 2cos 2f x x a x =+的一条对称轴，则函数()f x 的最大值是．【解析】解：()3sin 2cos 2)f x x a x x θ=+=+（其中tan )3aθ=，又6x π=是函数的一条对称轴，262k ππθπ∴⨯+=+，即6k πθπ=+，k Z ∈．由3tan 3tan()3tan 66a k ππθπ==+==，=∴函数()f x 的最大值是．故答案为：．12．（2022秋•阆中市校级月考）函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的值域为．【解析】解：22317()cos 23cos 2cos 3cos 12(cos 48f x x x x x x =--=--+=-++，1cos 1x - ，∴当cos 1x =时，()4min f x =-，故函数()f x 的最小值为4-，∴当3cos 4x =-时，()f x 最大为178，故函数()f x 的最小值为178，()f x ∴的值域为[4-，178．故答案为：[4-，17]8．13．函数(2sin )(2cos )y x x =+-的最大值是．【解析】解：函数(2sin )(2cos )y x x =+-42(sin cos )sin cos x x x x =+--，设sin cos t x x =-，则)[4t x π=-∈；212sin cos t x x =-，21sin cos 2t x x -∴=，2211342(2)222t y t t -∴=+-=++，当[t ∈时，函数y 单调递增；t ∴=y 取得最大值是92+．故答案为：92+．14．函数2cos xy x=-的值域是．【解析】解：由2cos xy x=-cos 2x y x y +=，∴)2x y α+=，sin()x α∴+=1∴ ，解得11y - 故答案为：[1-，1]．15．（2022•湖南）若(0,)2x π∈则2tan tan()2x x π+-的最小值为．【解析】解：12tan tan()2tan 2tan x x x xπ+-=+(0,)2x π∈，tan 0x ∴>，12tantan x x ∴+= （当且仅当tan 2x =时，等号成立）故答案为：16．（2022春•蚌埠期末）当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值为．【解析】解：2221cos28sin 8sin 2cos 4sin ()sin 22sin cos cos x x x x x f x x x x x+++===+当且仅当224sin cos x x =时等号成立．故答案为：417．（2022秋•东城区期末）已知函数()sin f x x x =+，则()f x 的最大值为．【解析】解：函数()sin 2sin(3f x x x x π=+=+，()f x ∴的最大值为2，故答案为：2．18．（2022秋•台江区校级期末）当04x π<<时，函数221sin ()cos sin sin x f x x x x-=⋅-的最小值是．【解析】解：222cos 1()sin cos sin tan tan x f x x x x x x==--．当04x π<<时，tan (0,1)x ∈，2111tan tan 244x x ⇒--= ，()4f x ∴ ．19．（2022秋•杭州期末）函数()2sin(26f x x π=-在[4x π∈-，]4π上的最大值为．【解析】解：[4x π∈-，]4π，2(2)[63x ππ∴-∈-，3π，2sin(2)[26x π∴-∈-，∴函数()2sin(2)6f x x π=-在[4x π∈-，]4π三．解答题20．（2022春•石门县校级期末）已知函数()4f x x π=+，x R ∈．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间和单调递减区间；（3）当[0x ∈，2π，求()f x 值域．【解析】解：（1）由解析式得3ω=，则函数的最小正周期223T ππω==．（2）由232242k x k πππππ-++ ，k Z ∈，得323244k x k ππππ-+ ，k Z ∈，即2234312k k x ππππ-+ ，k Z ∈，即函数的单调递增区间为2[34k ππ-，2]312k ππ+，k Z ∈，由3232242k x k πππππ+++，k Z ∈，得225312312k k x ππππ++ ，k Z ∈，即函数的单调递减区间为2[312k ππ+，25]312k ππ+，k Z ∈．（3）当[0x ∈，2π时，3[0x ∈，3]2π，3[44x ππ+∈，7]4π，则当342x ππ+=时，函数()f x 取得最大值，此时()2f x π==，当3342x ππ+=时，函数()f x 取得最小值，此时3()2f x π==即()f x 值域为[．21．（1）求函数34cos(2)3y x π=-+，[3x π∈-，]6π的最大值和最小值及相应的x 值．（2）求函数2cos 2sin 2y x x =+-，x R ∈的值域．（3）若函数2()sin cos 2f x x a x =-++，[0x ∈，2π的最小值为12，求a 的值．【解析】解：（1）34cos(23y x π=-+，[3x π∈-，6π，2[33x ππ+∈-，2]3π，∴当203x π+=时取最小值，最小值为1-，即6x π=-，2233x ππ+=时取最大值，最大值为5，即6x π=，6x π∴=-时，y 取最小值为1-，6x π=时，y 取最大值为5；（2）2cos 2sin 2y x x =+-，2sin 2sin 1x x =-+-，令sin x t =，[1t ∈-，1]，221y t t ∴=-+-，[1t ∈-，1]，由二次函数图象可知，对称轴为1，y ∴在定义域[1-，1]上单调递增，y 的值域为[4-，0]，∴函数2cos 2sin 2y x x =+-，x R ∈的值域[4-，0]；（3）2()sin cos 2f x x a x =-++，[0x ∈，]2π，2()cos cos 1f x x a x ∴=++，[0x ∈，]2π，令cos x t =，[0t ∈，1]，2()1f t t at ∴=++，[0t ∈，1]，由二次函数性质可知：0a <，当对称轴12at =->，即2a <-时，∴最小值为f （1）12=，322a ∴=->-，不成立，当012a- ，20a - ，当2at =-取最小值，2a ∴=-．22．（2022秋•南阳期中）已知函数22()2cos ()sin 3f x x x π=-+-．（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）若函数()()(02g x f x πϕϕ=+<<的图像关于点(,1)2π中心对称，求()y g x =在[,]63ππ上的值域．【解析】解：（1）2222211cos(2)cos 2cos sin 2sin 1cos 2211cos 21cos 21cos 233322()2cos ()sin 2223222222x x x x x x x x f x x x ππππ++-+-+---=-+-=--=--=--1cos 2211cos 231222cos 2212sin 2)1)122423x x x x x x x x π--+-=--=++=++=++，即())123f x x π=++，令222,232k x k k Z πππππ-++∈ ，解得5,1212k x k k Z ππππ-+∈ ，所以函数的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈．（2）因为()())]1sin(22)12323g x f x x x ππϕϕϕ=+=+++=+++，又()g x 的图像关于点(,1)2π中心对称，所以2,3k k Z ππϕπ++=∈，解得21,32k k Z πϕπ=-+∈，因为02πϕ<<，所以3πϕ=，所以())1sin 2122g x x x π=++=-+，当[,63x ππ∈时，22[,33x ππ∈，所以sin 2[2x ∈，所以1()[1]24g x ∈-，即()y g x =在[,]63ππ上的值域为1[1]4．23．（2022春•浦东新区校级期中）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =-．（1）求函数()y f x =的最小正周期和严格递减区间；（2）若()()1g x f x =+，[0,]2x π∈，求函数2()()2g x y g x =+的值域．【解析】解：（1）2()2sin cos 2cos sin 2(1cos 2))14f x x x x x x x π=-=-+=--，所以最小正周期22T ππ==，令2(242x k πππ-∈+，32)2k ππ+，k Z ∈，则3(8x k ππ∈+，7)8k ππ+，k Z ∈，故最小正周期为π，严格递减区间为3(8k ππ+，7)8k ππ+，k Z ∈．（2）()()14g x f x x π=+=-，因为[0,]2x π∈，所以2[44x ππ-∈-，3]4π，所以()[1g x ∈-，故2()2(()2)442[2()2()2()2g x g x y g x g x g x +-===-∈-+++，2-+．24．（2022秋•硚口区期末）已知函数22()(sin cos )f x x x x =+-+（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求函数()12y f x π=+，[0,]2x π∈的值域．【解析】解：（1）由三角函数公式化简可得：1cos 2()1sin 22xf x x +=+-+sin 2212sin(2)13x x x π=+=-+，由222232k x k πππππ--+ 可得5,1212k x k k Z ππππ-+∈ ，()f x ∴的单调递增区间为：5[,],1212k k k Z ππππ-+∈；（2）由（1）可得()2sin(2)1126y f x x ππ=+=-+，02x π，∴52666x πππ-- ，∴1sin(2)126x π-- ，03y ∴ ∴函数的值域为：[0，3]25．（2022春•柳州期末）已知函数2()(sin cos )cos(216f x x x x π=+++-．求：（1）函数()f x 的最小正周期；（2）方程()0f x =的解集；（3）当[,]44x ππ∈-时，函数()y f x =的值域．【解析】解：（1）函数21()(sin cos )cos(2)11sin 2cos 2sin 21622f x x x x x x x π=+++-=++--sin 22sin(2)223x x x π=+=+，故它的最小正周期为22ππ=．（2）由()0f x =，可得sin(2)03x π+=，23x k ππ∴+=，k Z ∈，求得26k x ππ=-，k Z ∈，故方程()0f x =的解集为{|26k x x ππ=-，k Z ∈}．（3）当[,]44x ππ∈-时，2[36x ππ+∈-，56π，1sin(2)[32x π∴+∈-，1]，故函数()y f x =的值域为1[2-，1]．26．（2022秋•汶上县校级月考）已知函数()2sin(2)6f x x aa R π=++∈，a 是常数（1）求5(3f π的值（2）若函数()f x 在[,]44ππ-a 的值．【解析】解：（1）()2sin(26f x x a π=++，a R ∈，510()2sin(2336f a a πππ∴=++=-+⋯（3分）（2）因为[4x π∈-，]4π，2[63x ππ∴+∈-，2]3π，sin(2)[62x π∴+∈-，1]⋯（6分）()2a f x a +⋯ （9分）即2max y a =+，min y a =，由已知得2a a +++=1a ∴=-⋯（12分）27．（2022春•兴庆区校级期末）已知函数2()cos222x x xf x =．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[π-，0]上的值域．【解析】解：（1）211cos ()cos sin sin()2222242x x x x f x x x π-=-=-=+-，()f x ∴的最小正周期为221ππ=．（2）[x π∈-，0]，3[44x ππ∴+∈-，]4π，sin()[14x π∴+∈-，2]2，sin()[1422x π∴+---，0]，故()f x 的值域为[1,0]2--．28．求函数y =【解析】解：函数y =，sin 1cos 0x y x y ∴-=+-=，即sin cos 1)1x y x y -=+，)1)1x y θ+=+，即sin()x θ+．根据|sin()|1x θ+ ，求得1 ，平方化简可得22)1)y y - ，即(1)0y y - ，解得1y ，或0y ，即函数的值域为{|1x y ，或0}y ．。
三角函数最值问题的十种常见解法
三角函数最值问题的十种常见解法t=sinx+cosx，则y=t+sinx*cosx，利用关系式sinx*cosx≤1可得y≤t+1，而t的取值范围为[-√2,√2]，当t=√2时，y取得最大值√2+1.五.利用导数法求极值对于一些复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解.例如对于y=2sinx+3cosx+4sin2x，求其最大值.分析]解：y'=2cosx-3sinx+8cos2x，令y'=0，得cosx=3/10或cosx=-1/2，代入原式可得y的最大值为(7+8√6)/5.六.利用三角函数的周期性对于周期函数，可以利用其周期性来求解最值问题.例如对于y=3sin(2x+π/6)+4cos(2x-π/3)，求其最大值.分析]解：由于sin和cos函数都是周期为2π的函数，因此可以将y化简为y=3sin2x+4cos2x+3√3，利用三角函数的性质可得y的最大值为7+3√3.七.利用三角函数的单调性对于单调函数，可以利用其单调性来求解最值问题.例如对于y=2sinx+3cosx，求其最小值.分析]解：y的导数y'=2cosx-3sinx，y'的符号与sinx和cosx的符号相同，因此y在[π/2,π]上单调递减，在[0,π/2]上单调递增，因此y的最小值为y(π/2)=2.八.利用三角函数的对称性对于一些具有对称性的三角函数，可以利用其对称性来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：y=sin2x+cos2x=1，因此y的最大值为1，最小值也为1.九.利用三角函数的积分性质对于一些三角函数的积分性质，可以利用其求解最值问题.例如对于y=sin2x/x，求其最大值.分析]解：y'=2cos2x/x-sin2x/x²，令y'=0，得x=tanx，代入原式可得y的最大值为2.十.利用三角函数的平均值不等式对于一些三角函数，可以利用其平均值不等式来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：由平均值不等式可得(sin2x+cos2x)/2≥sinx*cosx，因此y的最大值为1，最小值也为1.sin x+\cos x=1+2\sin x\cos x$，设$t=\sin x+\cos x$，则$2\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$，$\therefore y=\frac{t+\frac{t^2-1}{2}}{2}=\frac{t^2+t-1}{4}$，其中$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。
解答三角函数最值问题的措施
解题宝典三角函数最值问题的综合性较强，不仅考查了三角函数知识，还考查了求最值的方法.三角函数的最值受函数名称、角的范围、参数的取值等影响，因此在解题时，我们需仔细审题，全面分析三角函数式中的函数名称、角、参数等，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想来解题.下面介绍解答三角函数最值问题的几种常用方法.一、采用配方法若函数解析式中只含有一种三角函数名称，且次数是2次，可将给定的函数式化简成二次函数式并配方，再根据三角函数和二次函数的性质对问题进行求解.在解题时，要充分考虑函数的定义域和单调性.例1.求函数y =2cos 2x +5sin x -4的最值.解：由sin 2x +cos 2x =1可得y =2cos 2x +5sin x -4=2()1-sin 2x +5sin x -4=-2sin 2x +5sin x -2，将其配方可得y =-2æèöøsin x -542+98，因为-1≤sin x ≤1，所以函数是单调递增的.故当sin x =-1,x =2k π-π2（k ∈Z ）时,y min =-9.当sin x =1,x =2k π+π2（k ∈Z ）时,y max =1.我们首先将函数式变形为只含有正弦函数的式子，然后配方，结合正弦函数的有界性和二次函数的单调性，确定二次函数的定义域和最值.二、运用反函数法反函数法主要利用了函数的值域与反函数的定义域等价的性质.在解题时，我们需首先求出函数的反函数，然后挖掘函数式中的隐含信息，求得反函数的定义域，结合原函数的定义域，求出原函数的最值.例2.求函数y =2cos x +12cos x -1的最值.解：将原函数变形可得cos x =y +12y -2，因为||cos x ≤1，所以||cos x =||||||y +12y -2≤1，解得y ≥3或y ≤13.运用反函数法求最值较为简单，但反函数法的适用范围较窄，只适用于方便求得反函数的问题.三、借助化一法化一法主要用于求解解析式中同时含有正、余弦函数的问题.在解题时，我们首先要运用二倍角公式、两角和差的正余弦公式、诱导公式进行三角恒等变换，将所给的函数式化简，然后利用辅助角公式a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +φ)，将函数式化为只含有一种函数名的形式，再根据正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.例3.已知函数y =12cos 2xx ∙cos x +1()x ∈R ,求函数的最大值.解：由cos 2x =1+cos 2x2,2sin x ∙cos x =sin 2x得y =12cos 2x +x ∙cos x +1=12∙1+cos 2x 2∙sin 2x 2+1=14cos 2x +2x +54=12sin æèöø2x +π6+54.所以当2x +π6=2k π+π2，即x =k π+π6()k ∈Z 时，y 取得最大值，最大值为y max =74.本题不仅考查了同学们的运算能力，还考查了进行三角恒等变换的技巧.我们需灵活运用二倍角公式、辅助角公式才能将函数式化简.四、数形结合数形结合法是解答函数问题的常用方法.在解题时，我们需根据函数的解析式画出相应的图形，结合函数图象的变化趋势，讨论函数的单调性、对称性以及最值.例4.求函数y =sin x2+cos x的最值.解：将原函数可变形可得y =sin x -cos x -()-2，可将该式看作点A ()cos x ,sin x 和点B ()-2,0的连线的斜率，而点A 是单位圆x 2+y 2=1上的动点.由图可知，当直线为圆的切线时，直线的斜率有最值.所以最大值为y max ，最小值为y min =.由sin 2x +cos 2x =1可联想到在单位圆上的点(cos x ,sin x )，于是构造单位圆，根据圆的切线的性质来求得函数的最值.以上几种方法都是求解三角函数最值问题的常见方法.其中化一法和数形结合法使用较多，适用范围较广；而配方法、反函数法虽较为简单，但适用范围较窄.(作者单位:江苏省沭阳高级中学)黄金晶40。
高考三角函数最值的求解策略
法 求 解．
（ ） 型 ２除 了 可 以联 想 斜 率 公 式 、 析 法 求 解 以 ２类 解
ｓ２ ￣ｏｃ￣ ： ｓ ｃ 号＋。 ｓ号 ｉｏ ｃ２ ２ （ ｎ￣ ｓｘ ｘ ｏ 。 ｃ２ ｉ ） ｓ ｓ ｎ
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目多而不胜枚举． 笔者试 图以课本 和高考 中求三角 函数 的最值为例 ， 谈解决此类 问题 的策略． 谈
一
（ 求 函数 ， ） 最 小 正周 期 ； Ｉ） （ 的
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解题 方法 与技 巧 蒜 慧
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高 考 三 角 函 数 最 值 的 求 解 策 略
甘 肃定 西陇 西县 第二 中学（ ４ １ ０ 陈 ７８０ ）
三角 函数是 高中数学教材 中一种重要 函数 ， 是高 也
考 中对 基 础 知识 和基 本 技 能 的 考 查 的 重 有些高考 题直 接给 出 的是 这种 情形 ， 只考查
能化为一 角一 式就 可 以解 决 问题 ）再 利用 基本 初等 三 ，
ＣＳ，≤ Ｏ ０ ＜等 ， 厂 的最大值为（ Ｘ 则 （）
Ａ． １ Ｂ． ２ ｃ． ＋ １ Ｄ．
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求三角函数最值的四种常用解题方法
求三角函数最值的四种常用解题方
法(总3页)
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求三角函数最值的常用解题方法
一.使用配方法求解三角函数的最值
例1．已知函数的最大值为1，求的值
解：
结论：将三角函数转化为二次函数也是求最值的通法之一，应当注意，整理成
时，要考虑的取值及的条件，才能正确求出最值。
二.使用化一法求解三角函数的最值
例2．求函数的值域。
分析：降幂后发现式中出现了和，这时再化成一个角的三角函数便可求得。
2
解：
结论：化一法由“化一次”、“化一名”、“化一角”三部分组成，其中“化一次”使用到降幂公式、“化一名”使用到推导公式、“化一角”使用到倍角公式及三角函数的和差公式等，因此需要大家熟练掌握相关公式并灵活运用。
三.使用基本不等式法求解三角函数的最值
例3.求函数的值域
3
解：
解：
四.使用换元法求解三角函数的最值
例4．求函数的最值。
分析：解此题的途径是用逆求将函数式变形，用y表示与x有关的三角函数，利用三角函数的有界性求最值。
解：
4。
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三角函数最值的求解策略【高考地位】三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。
解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。
求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。
在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 【方法点评】方法一 化一法使用情景：函数表达式形如 f (x )a sin 2 xb cos 2 xc sin x cos xd 类型解题模板：第一步 运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如 ya sin xb cos xc 形式；第二步 利用辅助角公式a sin x b cos xa sin(x) 化为只含有一个函数名的形式；第三步 利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.x4x cos4例1 已知函数 fx 在 x 0 ，2上的最x，则 f大值与最小值之差为 ．【答案】3i n 2 2 s i n x2x66 , 76，即为换元思想，把2x6 看作一个整体，利用 ysin x 的单调性即可得出最值，这是解决 y a sin xb sin x 的常用做法．【变式演练1】设当x时，函数 f (x )2sin xcos x 取得最大值，则cos__________．【变式演练2】已知函数 f (x ) 4cos x sin(x )1(0) 的最小正周期是．6(1)求 f (x ) 的单调递增区间；3(2)求 f (x ) 在[ ， ]上的最大值和最小值．【答案】58 8【答案】(1) 6 k , 3k k Z ； (2) 最大值2 、最小值 622所以 f x 在8 , 38上的最大值和最小值分别为2 、 6 2 2 .考点：1、三角函数的恒等变换；2、函数 yA sinx 的性质；【变式演练3】已知函数 f (x ) sin xa cos x 图象的一条对称轴是 x，且当 x(2) 当 3,88x时， 72,612 12x2sin 262fx x,4时，函数g(x) sin x f (x) 取得最大值，则cos．【答案】5【解析】考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角恒等变换．2 x sin2 x) 2cos2(x ) 1的定义域为[0,]. 【变式演练4】已知 f (x) 3(cos4 2 (1)求 f (x) 的最小值.(2)ABC中, A 45 ,b 32 ,边a的长为函数3 3 f (x) 的最大值,求角 B 大小及ABC的面积.【答案】(1)函数 f (x) 的最小值 3 ；(2) ABC的面积S 9(3 1) .【解析】考点：1、三角恒等变形；2、解三角形.x x) 3cos 2 x 3 .【变式演练5】已知函数 f (x) cos(2（I）求 f (x) 的最小正周期和最大值；2（II）求 f (x) 在[ , ]上的单调递增区间．6 3【答案】（I） f (x) 的最小正周期为，最大值为1；（II）[, 5]．6 12【解析】试题分析：（I ）利用三角恒等变换的公式，化简 f x sin(2x ) ，即可求解 f (x )35的最小正周期和最大值；（II ）由 f (x ) 递增时，求得kx k(kZ )，12125即可得到 f (x ) 在[ , ]上递增．6 12 试题解析： f (x ) （-cos x )()31cos2x 3221sin2x3 cos2x sin(2x)223（I ） f (x ) 的最小正周期为，最大值为1；（II ） 当 f (x ) 递增时，2k2x 2k (k Z )，2 325即kxk(kZ ),12125 所以， f(x ) 在[ ,]上递增 6 12 25即 f (x ) 在[ , ]上的单调递增区间是[ , ]6 3 6 12考点：三角函数的图象与性质．方法二 配方法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子 解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步 利用函数单调性求解三角函数的最值. 第三步 得出结论.例2 函数 f (x ) cos 2x2sin x 的最小值为．函数 ycos 2 xa sin xa 22 a5有最大值2，【变式演练6】已知求实数a 的值．【答案】 a【解析】 试题分析： ysin 2 x a sin x a 2 2 a 6 ，令sin x t ,t 1,1，则 yt 2ata 22 a6 ，对称轴为ta ，【答案】考点：三角函数的最值．【点评】解本题的关键是利用换元法转化为关于sin x的二次函数，根据sin x 的取值范围[－1，1]，利用对称轴进行分类讨论求出最大值，解出a的值．【变式演练7】函数 f x sin x cos x 2sin x cos x x4, 4 的最小值是__________．【答案】1【解析】f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈ 4 , 4 ，化简f（x）=（sinx+cosx）2+sinx+cosx﹣1设sinx+cosx=t，则t=２sin（x）x+ ，那么函数化简为：g（t）=t2+t﹣1．∵x∈ 4 , 4t 1．∵函数g（t）=t2+t﹣1．∴x+ ∈[0，]，所以：04 ２１开口向上，对称轴t=－，∴0 t 1是单调递增．２当t=0时，g（t）取得最小值为-1．求函数y 74sin x cos x4cos2 x4cos4 x的最大值与最小值.方法三直线斜率法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步利用函数单调性求解三角函数的最值.第三步得出结论.【点评】若函数表达式可化为形如 yat t 21（其中t 1，t 2 为含有三角函数的式子）， b则通过构造直线的斜率，通过数与形的转化，利用器几何意义来确定三角函数的最值.【高考再现】） f (x )1.【2017全国III 文，6】函数的最大值为（例 3 求函数2 sin2 cosx yx的最值 .【答案】2 sin 2 cosx y x的最大值为4 3，最小值为 4 3.【变式演练 8 】求函数 21sin 1 sinx yx在区间 [0,) 2上的最小值 . 【答案】 1sin(x )cos(x )A． B．1C．D．【答案】A所以选A.【考点】三角函数性质【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y A sin(x )B的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征2.【2016高考新课标1卷】已知函数 f (x )sin(x+)(0，),x 为24418，536单调,则的最大 f (x ) 的零点, x为 y f (x ) 图像的对称轴,且 f (x ) 在值为( )（A ）11 （B ）9（C ）7 （D ）5【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖, 是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:① fx A sin x A 0,0的单调区间长度是半个周期;②若 f xA sinx A0,0的图像关于直线 xx 0 对称,则 fx 0A 或fx 0A .3. 【2016年高考北京理数】将函数 ysin(2x ) 图象上的点P ( ,t ) 向左平移s3 4（s 0 ） 个单位长度得到点P '，若P '位于函数 ysin2x 的图象上，则（）A.t1 ，s 的最小值为B.t 3，s 的最小值为2626C.t1，s 的最小值为D.t3，s 的最小值为2 323【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，t sin(2) 1，故此时P '所对应的点为(,1) ，此4 3212 2时向左平移 - 个单位，故选A.4 126考点：三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换4.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 y 3sin(x )k ，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值6为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C5.【2015高考安徽，理10】已知函数 f xsinx（，，均为正的常数）的最小正周期为，当 x2时，函数 fx取得最小值，则下列结论正3 确的是（ ）（A ） f2f2f（B ） f 0 f 2 f2（C ） f2ff2（D ） f 2 f 0 f2【答案】A【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出，通过最值判断出，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可.6.【2015高考湖南，理9】将函数f (x) sin 2x的图像向右平移(0 )个单2位后得到函数g(x) 的图像，若对满足 f(x1) g(x2) 2 的x1，x2，有x1x2 min ，3 则（）5 A. B. C. D.12 3 4 6【答案】D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以f (x) A sin(x ) 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.7.【2017全国II文，13】函数f (x) 2cos x sin x 的最大值为 .【答案】1 【解析】试题分析：化简三角函数的解析式：f x 1cosx 3cosxcos x 3cos x14 cos x2321，x 0,2可得：cos x0,1，当cos x3时，函数 f x 取得最大值1。
2【考点】 三角变换，复合型二次函数的最值。
【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关 二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。