三角函数最值问题解法归纳
三角函数最值问题的常见类型及解法
三角函数最值问题的常见类型及解法作者：陈德堂来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2010年第04期摘要:归纳出三角函数最值问题常见的七种类型及解法。
关键词:三角函数;最值中国分类号:G424 文献标识码:A文章编号:1992-7711(2010)4-015-02一、形如y=a sin x+b cos x型的函数(化归思想)特点是含有正、余弦函数,并且是一次式.解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数.应用公式y=a2+b2sin(x+φ)即可,其中tanφ=ba.然后利用三角函数的有界性求最值.例1.求函数y=sin x+3cos x,x∈\π2\〗的最值.分析:由于a sin x+b cos x=a2+b2sin(x+φ),其中tanφ=ba,此结论在运用是时需注意自变量x的取值范围.所以y=sin x+3cos x=2sin(x+π3)因为0≤x≤π2;所以x+π3∈\π3,5π6\〗由三角函数的图象或单调性可知y min=1,y max=2.二、形如y=a sin x+b sin x cos x+c cos x2型的函数(化归思想)特点是含有sin x,cos x的二次式,处理方式是降幂,再化为型一的形式来解.例2.求y=sin2+2sin x cos x+3cos2x的最小值,并求y取最小值时的x 的集合.解:y=sin2x+2sin x cos x+3cos2x=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=2+2sin(2x+π4)当sin(2x+π4)=-1时,y取最小值2-2,此时x的集合{x|x=kπ-38π,k∈Z}.三、形如y=a sin2x+b cos c+c型的函数(化归思想和换元思想)特点是含有sin x,cos x,并且其中一个是二次,处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数,再应用换元法,转化成二次函数来求解.例3.求函数y=cos2x-2a sin x-a(a为常数)的最大值M.解:y=1-sin2x-2a sin x-a=-(sin x+a)2+a2+1-a令sin x=t,则y=-(t+a)2+a2+1-a,(-1≤t≤1)(1)若-a1时, 在t=-1时,取最大值M=a.(2)若-1(3)若-a>1,即a四、形如y=a sin x+cb cos x+d型的函数(化归思想或数形结合思想)特点是一个分式,分子、分母分别会有正、余弦的一次式.几乎所有的分式型都可以通过分子,分母的化简,最后整理成这个形式,它的处理方式有多种.例4.求函数y=2-sin x2-cosx的最大值和最小值.解法1:原解析式即:sin x-y cos x=2-2y,即sin(x+φ)=2-2y1+y2,∵|sin(x+φ)|≤1,∴2-2y1+y2≤1,解出y的范围即可.解法2:2-sin x2-cos x表示的是过点(2, 2)与点(cos x,sin x)的斜率,而点(cos x,sin x)是单位圆上的点,观察图形可以得出在直线与圆相切时取极值.解法3:应用万能公式设t=tan x2,则y=2t2-2t+23t2+1,即(2-3y)t2-2t+2-y=0,根据Δ≥0解出y的最值即可.五、形如y=sin x cos x型的函数(化归思想或不等式思想)它的特点是关于sin x,cos x的二次式,此类函数用均值不等式求解大为简捷.例5.在直角三角三角形中,两锐角为A和B,则sin A sin B()A.有最大值12和最小值0B.有最大值12,但无最小值C.既无最大值也无最小值D.有最大值1,但无最大值解法1:∵A+B=π2,0∴sin A>0,cos A>0,即sin A cos A>0,又sin AsinB=sin A cos A=12sin2A≤12.故选B.解法2:sin A sin B≤sin2A+sin2B2=sin2A+cos2A2=12.又∵A,B≠0,∴选B.六、含有sin x与cos x的和与积型的函数式(换元思想)其特点是含有或经过化简整理后出现sin x±cos x与sin x cos x的式子,处理方式是应用(sin x±cos x)2进行转化,转化为二次函数的问题.例6.求y=2sin x cos x+sin x+cos x的最大值.解:令sin x+cos x=t(-2≤t≤2),则1+2sin x cos x=t2,所以2sin x cos x=t2-1,所以y=t2-1+t=(t+12)2-54,根据二次函数的图象,解出的最大值是1+2.七、形如y=sin x+a sin x型的函数(分类讨论思想)若0由以上的几种形式可以归纳出解三角函数最值的基本方法:一是应用正弦、余弦函数的有界性来求;二是利用二次函数闭区间内求最大、最小值的方法;此外可以利用重要不等式或利用数形结合的方法来解决.。
三角函数最值问题求法
三角函数最值问题求法三角函数是高中数学中常见的一种函数类型，它与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。
在解决三角函数最值的问题时，我们通常需要根据特定的条件和信息来确定函数的最大值或最小值。
下面将详细介绍三角函数最值问题的求解方法。
1.函数的定义域和值域分析：在解决三角函数最值问题之前，我们首先要对函数的定义域和值域进行分析。
不同的三角函数具有不同的定义域和值域，对于正弦函数和余弦函数，其定义域是整个实数集，值域是[-1,1]；而对于正切函数，其定义域是除去kπ（k∈Z）的全体实数，值域是整个实数集。
2.函数的周期性利用：三角函数具有周期性的特点，即对于一些三角函数f(x)，存在正整数T，使得对于任意实数x，有f(x+T)=f(x)。
利用函数的周期性特点，我们可以通过分析一个周期内的变化趋势，从而确定函数的最值。
常见的周期为π或2π。
在具体求解过程中，我们可以通过将函数的自变量进行换元，使其处于一个周期内进行分析。
3.导数的求解和极值点分析：如果一个三角函数是连续的，并且在一些区间内可导，则可以通过求导数的方法来确定指定区间上的局部最值。
我们可以通过求导数并令其等于零，求解出导数为零的点，然后通过第一、第二导数的正负性进行判断，得出函数的极值点和最值。
同时，我们还可以利用导数的符号变化来确定驻点和极值点的位置。
4.图像分析法：对于特定的三角函数问题，我们可以通过观察函数的图像来推测函数的最值。
通过绘制函数的图像，并结合定义域和值域的分析，我们可以直观地判断出函数在一些区间上的最值。
对于常见的正弦函数、余弦函数和正切函数，我们可以通过观察其图像的特点，确定函数在一个周期内的最值位置。
5.利用特殊三角函数的性质：在求解三角函数最值问题时，我们可以利用特殊的三角函数性质来进行分析。
例如，正弦函数和余弦函数在定义域内是交错递增和递减的，因此我们可以通过分析数值的正负性来确定函数在一些区间上的最值。
而正切函数在定义域上的周期是π，其在相邻两个零点之间是增函数还是减函数，从而确定函数的极值点。
三角函数的最值习题精选精讲
三角函数的值域或最值常见的三角函数最值的基本类型有：（1）y=asinx+b （或y=acosx+b ）型，利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。
（2）y=asinx+bcosx 型，引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。
Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。
（3）y=asin 2x+bsinx+c （或y=acos 2x+bcosx+c ），型，可令t=sinx （t=cosx ）,-1≤t ≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。
（4）Y=d x c b x a ++sin sin （或y=dx bx a ++cos cos ）型，解出sinx （或cosx ）,利用()1cos 1sin ≤≤x x 或去解；或用分离常数的方法去解决。
（5）y=d x c b x a ++cos sin （y=dx c bx a ++sin cos ）型，可化归为sin （x+ϕ）g （y ）去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c 时，还可利用数形结合的方法去处理上。
（6）对于含有sinx±cosx,sinxcosx 的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t,2≤t ,将sinxcosx 转化为t 的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。
一、利用三角函数的有界性．求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为sin()y A x k ωϕ=++的形式．在化简过程中常常用到公式：22sin cos sin(),tan ,ba xb x x aab ϕϕϕ+=++=其中由及点(a,b)的位置确定. 例1 、(2000年高考)已知：2123sin cos 12sin y x x x x R =+⋅+∈，，求y 的最大值及此时x 的集合． 解：∵2123sin cos 12sin y x x x =+⋅+1cos 2315sin 21sin(2)44264x x x π+=++=++，∴当sin(2)16x π+=时，max 157244y=+= ．此时，2262x k πππ+=+，即6x k ππ=+． 所以y 的最大值为74，此时x 的集合为{|}6x x k k Z ππ=+∈，．例2、求函数1cos 3cos xy x-=+的值域．解： 1cos 3cos x y x -=+⇒(1)cos 2y x +=-⇒2cos 1x y=-+，由|cos |1x ≤得2||11y -≤+， |1|2y +≥即，解得31y y ≤-≥或，所以函数1cos 3cos xy x-=+的值域是3][1-∞-∞ （，，+）二、利用二次函数最值性质求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为2sin sin y x b x c a =++的形式．例3、求函数278cos 2[,]63sin y x x x ππ=--∈-，的值域． 解：278c o s 2s i n y x x =--＝278cos 2(1)cos x x ---＝223,(cos 2)x --∵[,]63x ππ∈-，∴1cos [1]2x ∈，，∴3[1]2y ∈-，．例4、（90年高考）求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最小值． 解：设sin cos x x t +=，[22]t ∈-，，则21sin cos 2x x t -=，所以()y f t =＝211,2(1)t ⋅-+([2,2])t ∈-，当1[22]t =-∈-，时，y 有最小值1-．三、利用均值不等式*利用均值不等式求三角函数时，一定要注意均值不等式中的使用条件：一正、二定、三相等．例6、当0x π<<时，求sin 2cos xy x=+的最大值．解：设2223tan 0,(0),,23233x t t t x y t t π=><<=≤=⋅+则（当且仅当tan 32xt ==时取等号）。
如何解答三角函数最值问题
解题宝典三角函数最值问题的类型很多.要提高解答三角函数最值问题的效率，需要掌握不同类型三角函数最值问题的特点，对三角函数式进行合理的化简或转化，充分利用三角函数的性质与图象来解题.本文重点探讨一下几类常见三角函数最值问题的解法.一、f ()x =A sin ()ωx +φ+k 型对于形如f ()x =A sin ()ωx +φ+k 、f ()x =A cos(ωx +φ)+k 、f ()x =A tan ()ωx +φ+k 的三角函数最值问题，一般要利用三角函数y =sin x 、y =cos x 、y =tan x 的性质和图象来求其最值.例1.求函数y =12sin æèöø2x +π3在区间[-π4，π6]上的最值.解：∵x ∈[-π4，π6]，∴-π6≤2x +π3≤2π3，由正弦函数y =sin x 的图象可知-12≤sin æèöø2x +π3≤1，-14≤12sin æèöø2x +π3≤12，∴函数y =12sin æèöø2x +π3在区间[-π4，π6]上的最大值是12，最小值是-14.解答形如f ()x =A sin ()ωx +φ+k 、f ()x =A cos(ωx +φ)+k 、f ()x =A tan ()ωx +φ+k 的三角函数最值问题，要首先从y =sin x 、y =cos x 、y =tan x 的性质和图象入手，在y =sin x 、y =cos x 、y =tan x 图象的基础上作相应的变换，找出对应的最值点、与坐标轴的交点、对称轴等，从而快速确定函数在定义域内的最值.二、f ()x =λsin x +μcos x +t 型对于f ()x =λsin x +μcos x +t (λ、μ不全为0，t ∈R)型三角函数的最值问题，应先把函数式进行恒等变换，利用辅助角公式，将其转化为f ()x =λ2+μ2⋅sin(x +φ)+t （其中cos φ=λλ2+μ2，sin φ=μλ2+μ2，tan φ=μλ）的形式，或转化为f ()x =μ2+λ2cos(x +φ)+t 的形式；然后根据正弦或余弦函数的有界性来求其最值.例2.在直角坐标系中，曲线C 的参数方程是ìíîïïïïx =1-t 21+t 2,y =4t 1+t 2,(t 为参数)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是2ρcos θ+3ρsin θ+11=0，求曲线C 上的点到直线l 的最短距离.解：将参数方程设为{x =cos α,y =2sin α,(α为参数,-π<α<π)根据点到直线的距离公式，可得曲线C 上任意一点(cos α,2sin α)到直线l 的距离为d =||||||4cos æèöøα-π3+117，当α=-2π3时，||||||4cos æèöøα-π3+11取得最小值7，则曲线C 到l 的最短距离是7.目标式2cos α+23sin α+11形如f ()x =λsin x+μcos x +t ，要求三角函数的最值，需要先利用辅助角公式进行恒等变换，将目标式转化成余弦函数式4cos æèöøα-π3；然后再根据余弦函数的有界性求其最值.三、f ()x =k sin 2x +m sin x +n (k ≠0)型对于形如f ()x =k sin 2x +m sin x +n (k ≠0)、f ()x =k cos 2x +m cos x +n (k ≠0)的三角函数最值问题，一般采用换元法求解.首先令sin x =t 、cos x =k ，得到二次函数；再利用二次函数和正余弦函数的性质求最值.例3.求函数f ()x =sin æèöø2x +3π2-3cos x的最小值.解：f ()x =sin æèöø2x +3π2-3cos x=-2cos 2x -3cos x +1，令cos x =t ，t ∈[-1,1]，得y =-2t 2-3t +1=-2æèöøt +342+178，当t =1时，函数最小值是-4.原函数可化成f ()x =k cos 2x +m cos x +n 的形式，于是通过换元，将三角函数式转化为关于t 的二次函数式，这样便可直接根据二次函数的性质求最值.在解题时，需重点关注二次函数的定义域，此时二次函数的定义域受三角函数cos x =t 的单调性和有界性影响.四、f ()x =λsin x +t μcos x +n 或f ()x =μcos x +nλsin x +t(λμ≠0)型对于此类三角函数最值问题，一般有两种解法.一余涛涛38解题宝典是解析法，将函数f ()x =μcos x +nλsin x +t化成f ()x =μλ.cos x +n μsin x +t λ，再用换元法，令k =cos x +n μsin x +t λ，这样就得到线性函数f ()k =μλ.k （λμ≠0）,即可根据线性函数的单调性求最值；或将k 看作是单位圆上的一个动点(sin x ,cos x )与定点(-t λ,-nμ)连线的斜率的最值，通过数形结合来解题.二是利用三角函数的有界性，通过恒等变形，将函数式转化成整式，再根据辅助角公式和三角函数的有界性来求最值.例4.求函数f ()x =sin x -1cos x +1的最大值.解法一：设P ()x ,y 是圆x 2+y 2=1上的动点，点A ()-1,1，k 是P 、A 两点所在直线的斜率，则PA 的直线方程是y -1=k (x +1),整理得kx -y +k +1=0.可知当直线与圆相切时，直线PA 的斜率最大，∵圆心到PA 直线的距离d ==1，解得k =0，∴f ()x =sin x -1cos x +1的最大值是0.解法二：将y =sin x -1cos x +1(x ≠(2k +1)π)变形，可得y +1=sin x -y cos x =1+y 2sin (x +φ),即sin ()x +φ=y +11+y 2，而||||||||y +11+y2=|sin (x +φ)|≤1，得||y +1≤1，则y ≤0,即函数()x =sin x -1cos x +1的最大值是0.解法一主要是运用了解析法，将函数最值问题转化为求单位圆x 2+y 2=1上的动点P (x ,y )与定点A (-1,1)连线斜率的最值，通过数形结合求得最值.解法二主要是利用正弦函数的有界性，通过三角恒等变换，将函数式转化为sin ()x +φ，再根据正弦函数的有界性|sin (x +φ)|≤1，建立关于y 的不等式，从而求得y 的最值.五、f ()x =λsin x +nμsin x 型对于形如f ()x =λsin x +nμsin x 、f ()x =λcos x +n μcos x 、f ()x =λtan x +n μtan x(λ、μ、n 为常数)的三角函数最值问题，通常利用基本不等式来求最值.当不能使用基本不等式求解时，可设t =sin x ，将原函数变为f ()t =λt +n μt ，再利用对勾函数的单调性求最值.还可以利用导数法来求最值.例5.当π4≤x ≤π2时，求函数f ()x =cos x +1cos x 的最小值.解法一：函数可变形为f ()x =cos x +12cos x+12cos x ，由基本不等式得cos x +12cos x≥2，当且仅当cos x=12cos x （即x =π4）等号成立,∵12cos x ≥，∴f ()x.解法二：∵π4≤x ≤π2，∴0<cos x ≤,令t =cos x ，∴0<t ≤,∴f ()t =t+1t为减函数，∴当t =时，f ()t =t +1t 有最小值解法三：对函数求导数，可得f ′()x =sin 3xcos 2x，∵π4≤x ≤π2，∴f ′()x >0，由此可判断出函数f ()x =cos x +1cos x在区间[π4，π2]x =π4时，函数f ()x =cos x +1cos x 取得最小值.解法一主要运用了基本不等式a +b ≥2ab(a >0,b >0)，由于cos x +12cos x为两式的和，且其积为定值，在两式相等时可取等号，这就满足了运用基本不等式的应用条件：一正、二定、三相等.解法二主要运用对勾函数f ()x =x +ax的性质.运用对勾函数的性质求最值，需熟记对勾函数的单调性和最值点.解法三主要运用到导数法来求得最值.可见，求解三角函数最值问题是有规律可循的.（1）一般是从三角函数的解析式入手，明确其结构特征，充分利用函数的性质与图象来寻找解题思路；（2）对于比较复杂的三角函数式，需要利用诱导公式、同角的三角函数关系式、两角和差公式、二倍角公式等进行恒等变换，将函数式化简或转化成单一的三角函数式来求最值；（3）在求三角函数最值时，可灵活运用换元法、基本不等式法、解析法、三角函数的有界性进行解题.掌握这些方法与规律就能有效提高求三角函数最值问题的效率.（作者单位：江苏省无锡市洛社高级中学）39。
三角函数最值问题的常见类型及解法
＝
６ 含 有 ｓ ｘ与 ＣＳ ｉ ｎ ＯＸ的 和 与 积 型 的 函数 式
（ 元思 想 ） 换
其 特 点是 含 有 或 经过 化 简 整 理 后 出 现 ｓ ｘ４ ｉ － ｎ
ＣＳ ＯＸ与 ｓ ｘ ｏｘ的式 子 ， 理 方 式 是 应 用 （ ｉ ｉ ｃｓ ｎ 处 ｓ ｘ± ｎ
的一次式． 几乎所有的分式型都可以通过分子 ， 分母 的化简 ， 最后 整 理 成 这 个 形 式 ， 的处 理 方 式 有 多 它
种．
侈 求 Ｙ＝ｓ ＋２ｉ ｃｓ ４ ２ ｉ ｎ ｓ ｘｏｘ＋３ｏ 的最 ／ ｎ ｃｓ Ｊ 、
值， 并求 Ｙ 取最小值时的 的集合．
解 ： ｓ ＋ ｓ ｘ ｏｘ＋３ ｏ Ｙ ｉ ｎ ２ ｉ ｃｓ ｎ ｃｓ
＝
＝
’ ａ・ ｙ
．
，
√ １ ＋ｙ‘ ２＋ ｉ ２ ＋ ｎ
Ｉ ｎ ＋ Ｉ ， （ ） ≤１ ｓ ｉ
・
５ ・ ９
《 数学之友》
２０ ０ ８年第 １ ７期
・
．
．
三 ≤１解 出Ｙ的范围即可． ，
√ ｌ＋Ｙ‘
解法二： ｎ ｓ Ｂ ｓ Ａｉ ￣ ｉ ｎ＜
（ ） 一ａ＜ 一１时 ， ａ＞１时 ， ｔ 一１时 ， １若 即 在 ＝ 取 最大值 Ｍ ＝ａ ． （ ） 一１ 一 ≤１ 即 一１ ≤１ ， ｔ 一 ２若 ≤ ａ ， ≤ａ 时 在 ＝ ａ
所 ）ｓ＋ ｓ２ 子， 以 ＝ｘ ｘ ） ，ｉ 。＝ｉ ｎ ｓ ｎ
因 ０ 詈所 子 ［， ， 为 ≤≤ ，以 ＋ ∈子 】
解．
可 ， 中 ｔ ＝ ． 后 利 用 三 角 函数 的 有 界 性 求 其 ａ ｎ 然
高考数学一轮复习三角函数与解三角形中的最值(范围)问题
，∵函数f（x）＝cos（2x＋φ）（0＜φ＜π）在区间
π π
− ,
6 6
上单调递
π
− ≥ 0,
π
π
π
2π
减，∴ − + , + ⊆[0，π]，即ቐ 3π
解得 ≤φ≤ .令f（x）＝cos
3
3
3
3
+ ≤ π,
3
π
π π
（2x＋φ）＝0，则2x＋φ＝ ＋kπ（k∈Z），即x＝ － ＋ （k∈Z），又函数f
4
解：（2）f（x）＝－
1 2 5
sin−
＋ ＋a.
2
4
17
, 5
4 ⇒൝4
()max ≤
由题意得ቐ
()min ≥ 1
17
,
4 ⇒2≤a≤3，
+ ≤
−1 ≥ 1
即实数a的取值范围是[2，3].
三角形中的最值（范围）问题
考向1 利用三角函数的性质求最值（范围）
【例4】 △ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
重难专攻（四）
三角函数与解
三角形中的最值（范围）问题
三角函数与解三角形中的最值（范围）问题是高考的热点，主要涉及：
（1）三角函数式的最值（范围）问题；（2）利用三角函数性质求某些量的最
值（范围）；（3）三角形中的最值（范围）（周长、面积等），其求解方法多
样，一般常用方法有：（1）利用三角函数的单调性（正、余弦函数的有界性）
3
3
答案
3
3
－
3
3
2
1+ 2
，
｜解题技法｜
sin+
（word完整版）高中三角函数最值问题难题
（word完整版）⾼中三⾓函数最值问题难题⾼中三⾓函数最值问题难题⼀、直接应⽤三⾓函数的定义及三⾓函数值的符号规律解题例1：求函数y ＝xx x x x x x x cot |cot ||tan |tan cos |cos ||sin |sin +++的最值分析：解决本题时要注意三⾓函数值的符号规律，分四个象限讨论。
解：（1）当x 在第⼀象限时，有sin cos tan cot 4sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=（2）当x 在第⼆象限时，有sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=----（3）当x 在第三象限时，有sin cos tan cot 0sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=--（4）当x 在第四象限时，sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x=+++=----综上可得此函数的最⼤值为4，最⼩值为-2. ⼆、直接应⽤三⾓函数的有界性（sin 1,cos 1x x ≤≤）解题例1：（2003北京春季⾼考试题）设M 和m 分别表⽰函数cos 13x -1y=的最⼤值和最⼩值，则M m +等于（）（A ）32（B ）32-（C ） 34-（D ）-2解析：由于cos y x =的最⼤值与最⼩值分别为1,-1,所以,函数cos 13x -1y=的最⼤值与最⼩值分别为32-,34-,即M m +＝32-+（34-）=-2,选D.例2：求3sin 1sin 2x y x +=+的最值（值域）分析：此式是关于sin x 的函数式，通过对式⼦变形使出现12sin 3yx y -=-的形式，再根据sin 1x ≤来求解。
解：3sin 1sin 2x y x +=+，即有sin 23sin 1sin 3sin 12y x y x y x x y +=+?-=-12(3)sin 12sin 3yy x y x y --=-?=-。
三角函数最值问题(典型题型)
三角函数最值问题求解三角函数最值问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形，还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识．这类问题往往概念性较强，具有一定的综合性和灵活性，下面结合例子给出几种求最值的方法，供大家学习时参考。
1、利用三角函数的单调性求最值例1：求函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(-⋅-= ⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈2,0πx 的最值 解:x x x x x x x x f 2sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos )(2222-=--+=)42cos(2π+=x 45424,20ππππ≤+≤∴≤≤x x ,由余弦函数的单调性及图像知： 当442ππ=+x ， 即0=x 时 ，)42cos(π+x 取最大值22； 当ππ=+42x ，即83π=x 时，)42cos(π+x 取最小值-1； 故2)(,1)(min max -==x f x f方法评析：本题虽然含有的三角函数的项的次数不尽相同，但最终能通过变形变为形如θθcos sin b a +的形式，再用辅助角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 化为标准形式结合三角函数的单调性加以解决，这是一种最常见的求最值的方法。
2、利用三角函数的有界性或数形结合求最值例2：求1cos 2sin --=x x y 的最小值 解：(方法一)由1cos 2sin --=x x y 得：y x y x -=-2cos sin ，y x y -=-+∴2)sin(12ϕ 即212)sin(y yx +-=-ϕ，故11212≤+-≤-y y ，解之得43≥y ， 故y 的最小值为43 方法评析：通过变形，借助三角函数的有界性求函数最值是一种很常见的方法，一般在分式型且对自变量无特殊限制条件下使用。
(方法二)设),(),sin ,(cos 21M x x P ,则1cos 2sin --=x x y 表示单位圆上的动点P 与平面内定点M 连线的斜率，当斜率存在时，设过P 、M 两点的直线方程为)1(2-=-x k y ，由距离公式得1122=+-k k ，解之得43=k ，结合图形可知函数的最小值为43。
三角函数最值问题常见解法
三角函数最值问题的几种常见解法一 、配方法若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。
例1 函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值为（ ）.A ． 2B . 0C . 41- D . 6 [分析]本题可通过公式x x 22cos 1sin -=将函数表达式化为2cos 3cos 2+-=x x y ，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t ，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t 当t=1时,即cosx=1时，0min =y ,选B.例2 求函数y=5sinx+cos2x 的最值[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。
()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππ 二 、引入辅助角法例3已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。
[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。
解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ三 、利用三角函数的有界性在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。
三角函数最值问题的十种常见解法
三角函数最值问题的十种常见解法解法一：利用图像性质求解利用三角函数的图像性质，首先将函数图像画出来，观察函数在指定区间上的最大值和最小值所对应的点的坐标。
解法二：使用导数求解通过对三角函数进行求导，然后将导数等于零进行求解，可以得到函数的关键点，进而通过函数的变化趋势确定最值。
解法三：使用平均值不等式求解根据平均值不等式的性质，可以得到三角函数的最值。
例如，对于正弦函数sin(x)，可以利用平均值不等式得到最值。
解法四：使用二次函数的性质求解将三角函数转化为二次函数的形式，然后利用二次函数的性质求解最值。
例如，可以将正弦函数sin(x)转化为二次函数的形式。
解法五：使用三角函数的周期性质求解三角函数的周期性质可以帮助我们确定最值所在的区间。
通过观察函数的周期性质，可以得到函数的最大值和最小值。
解法六：使用三角函数的反函数求解利用三角函数的反函数，可以将问题转化为求解反函数的最值问题。
通过对反函数的最值进行求解，可以得到原函数的最值。
解法七：使用三角函数的恒等式求解利用三角函数的恒等式，可以将复杂的三角函数转化为简单的形式，进而求解最值问题。
例如，可以利用和差公式将三角函数的角度转化为相对简单的形式。
解法八：使用三角函数的基本关系求解利用三角函数的基本关系，可以将复杂的三角函数转化为简单的形式，进而求解最值问题。
例如，可以利用正切函数和余切函数的基本关系求解最值。
解法九：使用三角函数的积分求解通过对三角函数进行积分，可以得到函数的积分表达式，并通过积分表达式求解最值。
例如，可以通过对正弦函数进行积分得到函数的积分表达式。
解法十：使用泰勒级数展开求解利用泰勒级数展开，可以将三角函数转化为幂级数形式，进而求解最值问题。
通过计算前几项幂级数的和，可以得到函数的近似值，并进一步求解最值。
微专题三角函数与解三角形中最值问题
【分析】 在对称轴处取得最值有 ，结合 ，可得 ，易得曲线 的解析式为 ，结合其对称中心为 可得 即可得到 的最小值.
【解析】∵直线 是曲线 的一条对称轴. ，又 . .∴平移后曲线 为 .曲线 的一个对称中心为 . .
，注意到 ，故 的最小值为 .故选：C.
例题9：某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
1．（2020·黑龙江高三）若函数 的图像向左平移 个单位得到函数 的图像.则 在区间 上的最小值为（）
A． B． C． D．
【分析】注意平移是针对自变量x，所以 ，再利用整体换元法求值域（最值）即可.
【解析】由已知 ，
，又 ，故 ，
，所以 的最小值为 .
2．（2020·河北正定中学高三）已知函数 （ ）的部分图象如图所示，且 ，则 的最小值为（）
0
0
5
0
(Ⅰ)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
(Ⅱ)将 图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到 的图象．若 图象的一个对称中心为 ，求 的最小值．
【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得 .数据补全如下表：
0
0
5
0
0
且函数表达式为 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得 ．
因为 的对称中心为 ， ．令 ，解得 ， ．
5．（2020北京高三）将函数 图像上的点 向左平移 ( )个单位长度得到点 ．若 位于函数 的图像上，则
A． ， 的最小值为 B． ， 的最小值为
C． ， 的最小值为 D． ， 的最小值为
【解析】因为点 在函数 的图象上，所以 ，
又 在函数 的图象上，所以 ，则 或 ， ，得 或 ， ．又 ，故 的最小值为 ，故选A．
求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。
（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。
例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。
解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。
作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。
结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。
微专题31 三角函数的最值问题求解策略(解析版)
微专题31 三角函数的最值问题求解策略【方法技巧与总结】三角函数的最值问题主要涉及三角恒等变形，其主要思想是通过适当的三角变形或换元，将复杂的三角问题转化为基本三角函数或基本初等函数问题，再通过三角函数的有界性或求函数最值的方法进行处理．【题型归纳目录】题型一：恒等变形的应用，形如sin cos y a x b x =+ 题型二：二次函数型，形如2sin sin y a x b x c =++题型三：形如2(sin cos )(sin cos )(sin cos )y a x x b x x c x x =++++⋅ 题型四：分式结构，形如sin cos a x by c x d+=+【典型例题】题型一：恒等变形的应用，形如sin cos y a x b x =+例1．（2022秋•景洪市校级期中）求函数sin 3y x x =+的周期，最大值和最小值． 【解析】解：化简可得sin 3y x x =+ 132(sin )2x x =+2(cos sin sin cos )33x x ππ=+ 2sin()3x π=+ ∴原函数的周期为2T π=，最大值为2，最小值为2-例2．（2022秋•镇江期末）已知函数()2sin (sin 3)1f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的最小正周期和增区间；（2）当[0x ∈，]2π时，求函数()f x 的最大值和最小值．【解析】解：（1）()2sin (sin 3)1f x x x x =-22sin 23sin cos 1x x x =+- 3sin 2cos2x x =-2sin(2)6x π=-，22T ππ∴==， 令2[262x k πππ-∈-，2][26k x k ππππ+⇒∈-，]3k ππ+，k Z ∈． ∴函数的增区间为：[6k ππ-，]3k ππ+，k Z ∈（2）[0x ∈，]2π时2[66x ππ⇒-∈-，5]6π；∴当266x ππ-=-即0x =时，()1min f x =-，当262x ππ-=即3x π=时，()2max f x =．例3．（2022•浙江模拟）已知函数()(3cos )cos f x x x x m =++的最大值为2． （Ⅰ）求()12f π的值；（Ⅱ）当[0x ∈，]2π时，求[()1][()1]12y f x f x π=-+-的最值以及取得最值时x 的集合．【解析】解：（Ⅰ）2()(3cos )cos 3cos cos f x x x x m x x x m =++=++31cos212sin(2)262x x m x m π+=++=+++的最大值为2， 1122m ∴++=，可得12m =， ()sin(2)16f x x π∴=++，3()sin(2)1sin 11121263f ππππ∴=⨯++=+=+．（Ⅱ）当[0x ∈，]2π时，3113[()1][()1]sin(2)sin(2)(2cos2)(sin 22)126322y f x f x x x x x x x πππ=-+-=++=+ 22333122sin 2cos2sin 42x x x x x =+=， 当8x π=时，即{|}8x x x π∈=时，32max y += 当38x π=时，即3{|}8x x x π∈=时，32min y -=．变式1．（2022秋•六枝特区校级月考）已知函数11()sin 322f x x x =．（1）求()f x 的最小正周期和对称轴； （2）当[6x π∈，9)4π时，求()f x 的最大值和最小值． 【解析】解：（1）函数111()sin 3cos 2sin()2223f x x x x π==-；故函数的最小正周期为2412ππ=， 令1232x k πππ-=+，()k Z ∈，整理得523x k ππ=+，()k Z ∈． 故函数的对称轴方程为523x k ππ=+，()k Z ∈． （2）由于[6x π∈，9)4π时， 所以119[,)23424x πππ-∈-，故12sin()[23x π-∈．当6x π=时，函数取得最小值为2，当56x π=时，函数取得最大值为1． 变式2．已知函数cos 4()22)4x f x x π=++，求： （1）函数的周期；（2）当x 为何值时函数()f x 取得最大值？最大值为多少？ 【解析】解：（1）cos 4()22)4x f x x π=++2222(cos2sin 2)22x x =-sin2cos22x x =++2)24x π=++，故22T ππ==；（2）令22()42x k k z πππ+=+∈，解得：8x k ππ=+，故()8x k k z ππ=+∈时，()f x 取得最大值22题型二：二次函数型，形如2sin sin y a x b x c =++例4．（2022秋•梅州期末）函数2cos sin y x x =-+的值域为( ) A ．[1-，1]B ．5[4-，1]-C ．5[4-，1]D ．[1-，5]4【解析】解：2cos sin y x x =-+， 2sin sin 1x x =+-， 215(sin )24x =+-，当12sinx =-时，54min y =-．当sin 1x =时95.144max y =-=， 故函数的值域为：5[,1]4-．故选：C ．例5．（2022春•衡水期中）函数2sin sin 1y x x =+-的值域为( ) A ．[1-，1]B ．5[4-，1]-C ．5[4-，1]D ．[1-，54【解析】解：2sin sin 1y x x =+-，令sin x t =，则有21y t t =+-，[1t ∈-，1]， 函数的对称轴：12t =-，开口向上，当12t =-及1t =时，函数取最值，代入21y t t =+-可得5[4y ∈-，1]．故选：C ．例6．（2022•湖南一模）函数11cos2sin 22y x x =-+-的值域为( )A ．[1-，1]B ．5[4-，1]C ．5[4-，1]-D ．[1-，5]4【解析】解：函数222111115cos2sin (12sin )sin sin sin 1(sin )222224y x x x x x x x =-+-=--+-=+-=+-1sin 1x -，∴当1sin 2x =-时，函数y 有最小值为54-．sin 1x =时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为5[4-，1]，故选：B ．变式3．（2022秋•天河区校级月考）函数()cos26cos()2f x x x π=+-的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】解：2()cos26cos()2sin 6sin 12f x x x x x π=+-=-++，令sin t x =，[1t ∈-，1]，则函数()f x 可转化为关于t 的二次函数2261y t t =-++，[1t ∈-，1]， 图象开口向下，对称轴为32t =， 所以函数2261y t t =-++在[1-，1]上单调递增， 所以当1t =时，函数取得最大值为5， 故选：B ．变式4．（2022•浙江）已知4k <-，则函数cos2(cos 1)y x k x =+-的最小值是( ) A ．1 B ．1-C ．21k +D ．21k -+【解析】解：2cos2(cos 1)2cos cos 1y x k x x k x k =+-=+--令cos t x =，则221(11)y t kt k t =+---是开口向上的二次函数，对称轴为14kx =-> 当1t =是原函数取到最小值1 故选：A ．变式5．（2022秋•崇川区校级期中）已知函数41()(sin cos )cos42f x m x x x =++在[0,]2x π∈时有最大值为72，则实数m 的值为 1 ．【解析】解：函数41()(sin cos )cos42f x m x x x =++21(12sin cos )cos42m x x x =++221(12sin 2sin 2)(12sin 2)2m x x x =+++-21(1)sin 22sin 22m x m x m =-+++． ①当1m =时，函数化为：12sin 212x ++．当sin21x =时，函数取得最大值，172122++=．满足题意． ②当1m >时，函数化为：21(1)(sin 2)121m mm x m m -++---，当sin21x =时，函数取得最大值，可得171222m m m -+++=，解得1m =，不满足题意． ③当12m时，[1,1]1m m ∈--，当sin 21m x m =--时，函数取得最大值，此时17212m m -=-，解得34m =，不满足题意． ④当112m <<时，sin21x =时函数取得最大值，此时有171222m m m -+++=，解得1m =不满足题意．综上，1m =． 故答案为：1．变式6．已知函数444()2(sin cos )(sin cos )f x x x m x x =+++在[0x ∈，)2π上的最大值为5，求实数m 的值．【解析】解：设sin a x =，cos b x =，且[0x ∈，)2π，则2222sin cos 1a b x x +=+=，1sin cos sin 22ab x x x ==，102ab∴； 444()2()()f x a b m a b ∴=+++222222222[()2](2)a b a b m a b ab =+-+++2224()(12)ab m ab =-++ 2224()[144()]ab m ab ab =-+++ 24(1)()42m ab mab m =-+++，当1m =时，()432sin 23f x ab x =+=+，在4x π=时取到最大值5，符合题意；当1m ≠时，21()4(1)[]12(1)1m f x m ab m m =-++---， 由抛物线性质，知：当1m >时，111()()4(1)42415242max f x f m m m m ==-⨯+⨯++=+=，解得1m =，不符条件，舍去； 当1m <时，若102(1)2mm -，则102m ， 1()[]152(1)1max m f x f m m ==-=--，解得34m =，不符条件，舍去；若112m <<，则1()()4152max f x f m ==+=，解得1m =，不符条件，舍去；若0m <，则()(0)25max f x f m ==+=，解得3m =，不符条件，舍去；综上，只有一个解1m =；即()f x 在[0x ∈，)2π上的最大值为5时，1m =．题型三：形如2(sin cos )(sin cos )(sin cos )y a x x b x x c x x =++++⋅例7．（2022春•习水县校级期末）函数sin cos sin cos y x x x x =++，[0x ∈，]3π的最大值是 122．【解析】解：令sin cos 2)4t x x x π=+=+，[0x ∈，]3π，可得[44x ππ+∈，7]12π，1sin()[42x π∴+∈，1]，2[2t ∴∈2]，21sin cos 2t x x -=． ∴函数2211sin cos sin cos (1)122t y x x x x t t -=++=+=+-，故当2t =y 取得最大值为122，故答案为：122．例8．求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值．【解析】解：令sin cos 2)4t x x x π=+=+，则22t-，则21sin cos 2t x x -=，故22111(1)1(22)222y t t t t=+-=+--，对称轴是1t =-，故当2t =y 有最大值122．例9．（2022春•香洲区校级期中）已知sin cos x x t -= （Ⅰ）用t 表示33sin cos x x -的值；（Ⅱ）求函数sin cos sin cos y x x x x =-+，[0x ∈，]π的最大值和最小值．（参考公式：3322()())a b a b a ab b -=-++【解析】解：由sin cos x x t -=，得212sin cos x x t -=，即21sin cos 2t x x -=，（Ⅰ）233313sin cos (sin cos )(1sin cos )(1)22t t t x x x x x x t ---=-+=+=； （Ⅱ）由题设知：2)4t x π=-，3444x πππ--，2sin()14x π-， 2221111(1)12222t y t t t t -∴=+=-++=--+，且[1t ∈-，2]，∴当1t =时，1max y =；当1t =-时，1min y =-．变式7．已知[6x π∈-，]2π，求函数(sin 1)(cos 1)y x x =++的最大值和最小值．【解析】解：函数(sin 1)(cos 1)y x x =++ sin cos sin cos 1x x x x =+++，令sin cos 2)4t x x x π=++，[6x π∈-，]2π，[412x ππ∴+∈，3]4π，62sin()[4x π-∴+∈1]， 31[t -∴∈2]， 又212sin cos t x x =+，21sin cos 2t x x -∴=， 22111(1)22t y t t -∴=++=+，对称轴：1t =-， 区间31[-，2]在对称轴的右边，为递增区间． 213123(2min y ++∴==， 21322(21)22max y +==． 变式8．设sin cos a x x =，sin cos b x x =+．（1）求a ，b 的关系式；（2）若(0,)2x π∈，求sin cos sin cos y x x x x =++的最大值．【解析】解：（1）sin cos b x x =+，22(sin cos )12sin cos 12b x x x x a ∴=+=+=+；（2）由（1）21(1)2a b =-，2)(14b x π=+∈2]．2211(1)(1)122y a b b b b =+=-+=+-，2b ∴=sin cos sin cos y x x x x =++的最大值为122． 题型四：分式结构，形如sin cos a x by c x d+=+例10．求函数3(sin 2)5sin 2x y x +-=+的值域．【解析】解：由3(sin 2)553sin 2sin 2x y x x +-==-++． 当sin 1x =时，43max y =， 当sin 1x =-时，2min y =-．∴函数的值域为4[2,]3-．例11．已知[0x ∈，2)π，求函数1cos sin 2xy x -=+的值域．【解析】解：1cos sin 2xy x -=+sin 21cos y x y x ∴+=-， sin cos 12y x x y ∴+=-，∴21)12y x y θ++=-，其中2tan 1yθ=+2sin()1x yθ∴++，[0x ∈，2)π， (,2)x θθπθ∴+∈+ 1sin()1x θ∴-+， 212111y y-∴-+，解得403y即函数的值域为[0，4]3．例12．求函数sin 2sin 1x y x =+，[6x π∈，]2π的值域．【解析】解：函数11sin sin 11222sin 12sin 124sin 2x x y x x x +-===-+++，[6x π∈，]2π 可得4sin 2[4x +∈，6]，111[,]4sin 264x ∈+，sin 11[,]2sin 143x y x =∈+．变式9．用至少2种方法求函数sin cos 2xy x =-的值域．【解析】解：方法1: cos 20x -≠，(cos 2)sin y x x ∴-= sin cos 2x y x y ⇔-=- ⇔21)2y x y θ++=-⇔2sin()1x y θ+=+，sin()[1x θ+∈-，1]，∴22111y y --+，解得333y ， ∴函数的值域为：33[． 方法22222tan212tan222:11322212x x x tan y x x tan tan xtan +==--+-+，令tan ()2x t t R =∈，则2213ty t =-+， 当0t =时，0y =， 当0t ≠时，213y t t=-+，13(,23][23,)t t+∈-∞-+∞，33[y ∈⋃． ∴函数的值域为：33[． 故答案为：33[．变式10．（1）求cos 2cos 1xy x =+值域（2）求1sin 3cos xy x+=+的值域．【解析】解：（1）由cos 2cos 1xy x =+可得，cos 12y x y =-，由于1cos 1x -，即为||112yy-， 即2(1)(31)0(12)y y y ---，解得1y 或13y， 则值域为(-∞，1][13，)+∞；（2）1sin 3cos xy x+=+，3cos 1sin y y x x ∴+=+，即sin cos 31x y x y -=-，∴21)31y x y θ++=-，2sin()1x yθ∴++，又1sin()1x θ-+， 231111y y-∴-+，解得304y ， 即函数1sin 3cos x y x +=+的值域是[0，3]4．【过关测试】 一．选择题1．（2022秋•湖州期末）函数sin (cos sin )y x x x =-，x R ∈的值域是( ) A ．1[2-，3]2B ．1212[22C ．31[,]22-D ．1212[22-- 【解析】解：函数211121sin (cos sin )sin cos sin sin 2cos2)22242y x x x x x x x x x π=-=-=-+=+-．1sin(2)14x π-+∴2121222y --． 故选：D ．2．函数sin(2)()3y x x R π=-∈的值域为( )A ．[1-，1]B ．[2-，2]C ．1[2-，1]2D ．(1,1)-【解析】解：函数sin(2)()3y x x R π=-∈的值域为[1-，1]，故选：A ．3．（2022春•渝中区校级期中）函数2sin sin 1()y x x x R =-+∈的值域是( ) A ．3[4，3]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．1[2，3]【解析】解：令sin x t =，则22131()24y t t t =-+=-+，[1t ∈-，1]，由二次函数性质，当12t =时，y 取得最小值34．当1t =-时，y 取得最大值3，3[4y ∴∈，3]故选：A ．4．（2022秋•武冈市校级期中）函数23()sin 3cos ,([0,])42f x x x x π=-∈的最大值是( )A ．1B 334C ．334- D ．14【解析】解：2231()3cos 3cos 44f x sin x x cos x x =-=-+， 令cos t x =，[0x ∈，]2π，cos [0t x ∴=∈，1]，则原函数化为2134y t t =-+，其对称轴方程为3t =， ∴当3t =时，y 有最大值为1． 故选：A ．5．（2022秋•鄂尔多斯期中）设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos (θ= )A 25B 5C ．25D ．5 【解析】解：由题意可得()sin 2cos 5()555f θθθθθ=-=∴155θθ=．再结合22sin cos 1θθ+=， 求得sin 5θ=25cos 5θ== 故选：C ．6．（2022秋•贵阳期末）当02x π<<时，函数2228()sin 2cos x sin xf x x +=的最小值为( )A ．2B ．23C ．4D ．43【解析】解：当02x π<<时，tan 0x >，∴函数2222282cos 8sin 11()4tan 24tan 4sin 22sin cos tan tan cos x sin x x x f x x x x x x x x++===+⨯，当且仅当1tan 2x =时，取等号， 故()f x 的最小值为4， 故选：C ．7．（2022秋•镜湖区校级期末）已知函数2()sin 2sin xf x x =+，则()f x 的最大值为( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解析】解：24()sin 24sin 2sin 2sin x f x x x x ==++-++，令sin 2t x =+，[1t ∈，3]，则44y t t=+-， 由对勾函数的性质可知44y t t =+-在[1，2]上单调递减，在(2，3]上单调递增， 当1t =时，1y =，3t =时，13y =， 所以函数()f x 的最大值为1． 故选：D ．8．（2022秋•诸暨市校级月考）已知当4x π=-时，函数()sin cos f x a x x =+取到最大值，则3()4f x π+是()A ．奇函数，在0x =时取到最小值B ．偶函数，在0x =时取到最小值C ．奇函数，在x π=时取到最小值D ．偶函数，在x π=时取到最小值【解析】解：由于当4x π=-时，函数()sin cos f x a x x =+取到最大值，故2221a +=+1a =-， 故()cos sin 2)4f x x x x π=-+，所以3()cos()cos 4f x x x ππ+=+=-，故函数3()4f x π+为偶函数，在0x =时，函数取得最小值1-． 故选：B ． 二．填空题9．（2022春•南关区校级期中）函数21sin 2sin 2y x x =+，x R ∈的值域是 ．【解析】解：函数2111cos2122212sin 2sin sin 2(2))222224x y x x x x x x π-=+=+==-，1sin(2)14x π--，222sin(2)242x π-， ∴12122222y -+， 故函数的值域为2121[]22+， 故答案为2121[]22+． 10．（2022•江西）设()33cos3f x x x =+，若对任意实数x 都有|()|f x a ，则实数a 的取值范围是 ． 【解析】解：不等式|()|f x a 对任意实数x 恒成立， 令()|()|33cos3|F x f x x x ==+， 则()max a F x ．()3sin3cos32sin(3)6f x x x x π=+=+2()2f x ∴- 0()2F x ∴ ()2max F x =2a ∴．即实数a 的取值范围是2a 故答案为：2a ．11．（2022秋•南昌期末）若6x π=是函数()3sin 2cos2f x x a x =+的一条对称轴，则函数()f x 的最大值是 ．【解析】解：2()3sin 2cos 29)f x x a x a x θ=+=++（其中tan )3aθ=，又6x π=是函数的一条对称轴，262k ππθπ∴⨯+=+，即6k πθπ=+，k Z ∈．由3tan 3tan()3tan 366a k ππθπ==+==299323a ++=∴函数()f x 的最大值是3故答案为：2312．（2022秋•阆中市校级月考）函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的值域为 ． 【解析】解：22317()cos23cos 2cos 3cos 12(cos )48f x x x x x x =--=--+=-++，1cos 1x -，∴当cos 1x =时，()4min f x =-，故函数()f x 的最小值为4-，∴当3cos 4x =-时，()f x 最大为178，故函数()f x 的最小值为178， ()f x ∴的值域为[4-，17]8． 故答案为：[4-，17]8． 13．函数(2sin )(2cos )y x x =+-的最大值是 ． 【解析】解：函数(2sin )(2cos )y x x =+- 42(sin cos )sin cos x x x x =+--，设sin cos t x x =-，则2)[24t x π-∈-2]；212sin cos t x x =-，21sin cos 2t x x -∴=， 2211342(2)222t y t t -∴=+-=++，当[2t ∈-2]时，函数y 单调递增； 2t ∴=y 取得最大值是9222． 故答案为：9222． 14．函数3sin xy 的值域是 ．【解析】解：由3sin xy =3cos 2x y x y +=，∴23)2y x y α++=，2sin()3x yα∴+=+2|13y+，解得11y -故答案为：[1-，1]．15．（2022•湖南）若(0,)2x π∈则2tan tan()2x x π+-的最小值为 ．【解析】解：12tan tan()2tan 2tan x x x xπ+-=+(0,)2x π∈，tan 0x ∴>，112tan 22tan 22tan tan x x x x ∴+⋅2tan x =时，等号成立） 故答案为：2216．（2022春•蚌埠期末）当02x π<<时，函数21cos28sin ()sin 2x xf x x ++=的最小值为 ．【解析】解：2221cos28sin 8sin 2cos 4sin cos ()4sin 22sin cos cos sin x x x x x x f x x x x x x+++===+当且仅当224sin cos x x =时等号成立． 故答案为：417．（2022秋•东城区期末）已知函数()sin 3f x x x =+，则()f x 的最大值为 ．【解析】解：函数()sin 3cos 2sin()3f x x x x π==+，()f x ∴的最大值为2，故答案为：2．18．（2022秋•台江区校级期末）当04x π<<时，函数221sin ()cos sin sin xf x x x x -=⋅-的最小值是 ． 【解析】解：222cos 1()sin cos sin tan tan x f x x x x x x==--． 当04x π<<时，tan (0,1)x ∈，2111tan tan 244x x⇒--=， ()4f x ∴．19．（2022秋•杭州期末）函数()2sin(2)6f x x π=-在[4x π∈-，]4π上的最大值为 ．【解析】解：[4x π∈-，]4π， 2(2)[63x ππ∴-∈-，]3π， 2sin(2)[26x π∴-∈-3]，∴函数()2sin(2)6f x x π=-在[4x π∈-，]4π3 3 三．解答题20．（2022春•石门县校级期末）已知函数()2)4f x x π=+，x R ∈．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间和单调递减区间；（3）当[0x ∈，]2π，求()f x 值域．【解析】解：（1）由解析式得3ω=， 则函数的最小正周期223T ππω==． （2）由232242k x k πππππ-++，k Z ∈，得323244k x k ππππ-+，k Z ∈，即2234312k k x ππππ-+，k Z ∈， 即函数的单调递增区间为2[34k ππ-，2]312k ππ+，k Z ∈， 由3232242k x k πππππ+++，k Z ∈， 得225312312k k x ππππ++，k Z ∈， 即函数的单调递减区间为2[312k ππ+，25]312k ππ+，k Z ∈． （3）当[0x ∈，]2π时，3[0x ∈，3]2π，3[44x ππ+∈，7]4π， 则当342x ππ+=时，函数()f x 取得最大值，此时()222f x π=，当3342x ππ+=时，函数()f x 取得最小值，此时3()222f x π==- 即()f x 值域为[2-2]．21．（1）求函数34cos(2)3y x π=-+，[3x π∈-，]6π的最大值和最小值及相应的x 值．（2）求函数2cos 2sin 2y x x =+-，x R ∈的值域．（3）若函数2()sin cos 2f x x a x =-++，[0x ∈，]2π的最小值为12，求a 的值．【解析】解：（1）34cos(2)3y x π=-+，[3x π∈-，]6π， 2[33x ππ+∈-，2]3π， ∴当203x π+=时取最小值，最小值为1-，即6x π=-，2233x ππ+=时取最大值，最大值为5，即6x π=，6x π∴=-时，y 取最小值为1-，6x π=时，y 取最大值为5；（2）2cos 2sin 2y x x =+-， 2sin 2sin 1x x =-+-，令sin x t =，[1t ∈-，1]，221y t t ∴=-+-，[1t ∈-，1]， 由二次函数图象可知，对称轴为1， y ∴在定义域[1-，1]上单调递增，y 的值域为[4-，0]，∴函数2cos 2sin 2y x x =+-，x R ∈的值域[4-，0]；（3）2()sin cos 2f x x a x =-++，[0x ∈，]2π，2()cos cos 1f x x a x ∴=++，[0x ∈，]2π，令cos x t =，[0t ∈，1]，2()1f t t at ∴=++，[0t ∈，1]， 由二次函数性质可知：0a <， 当对称轴12at =->，即2a <-时， ∴最小值为f （1）12=， 322a ∴=->-，不成立，当012a-，20a -， 当2at =-取最小值，2a ∴=-．22．（2022秋•南阳期中）已知函数22()2cos ()sin 3f x x x π=-+-．（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）若函数()()(0)2g x f x πϕϕ=+<<的图像关于点(,1)2π中心对称，求()y g x =在[,]63ππ上的值域．【解析】解：（1）22222131cos(2)cos 2cos sin 2sin 1cos 2211cos 21cos 21cos 233322()2cos ()sin 2223222222x x x x x x x x f x x x ππππ++-+-+---=-+-=--=--=--13cos 2211cos 2333313222cos 221(2sin 2)1)122423x x x x x x x x π-+-=--=+=++=++，即3())13f x x π++， 令222,232k x k k Z πππππ-++∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+∈，所以函数的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈． （2）因为33()())]12)133g x f x x x ππϕϕϕ=+=+++=+++， 又()g x 的图像关于点(,1)2π中心对称， 所以2,3k k Z ππϕπ++=∈，解得21,32k k Z πϕπ=-+∈， 因为02πϕ<<，所以3πϕ=，所以33())121g x x x π=++=+， 当[,]63x ππ∈时，22[,]33x ππ∈，所以3sin 2[x ∈，所以31()[1,]4g x ∈， 即()y g x =在[,]63ππ上的值域为31[1]4．23．（2022春•浦东新区校级期中）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =-． （1）求函数()y f x =的最小正周期和严格递减区间；（2）若()()1g x f x =+，[0,]2x π∈，求函数2()()2g x y g x =+的值域．【解析】解：（1）2()2sin cos 2cos sin 2(1cos2)2)14f x x x x x x x π=-=-+=--，所以最小正周期22T ππ==， 令2(242x k πππ-∈+，32)2k ππ+，k Z ∈，则3(8x k ππ∈+，7)8k ππ+，k Z ∈， 故最小正周期为π，严格递减区间为3(8k ππ+，7)8k ππ+，k Z ∈． （2）()()12)4g x f x x π=+-，因为[0,]2x π∈，所以2[44x ππ-∈-，3]4π，所以()[1g x ∈-2]，故2()2(()2)442[2()2()2()2g x g x y g x g x g x +-===-∈-+++，222]-+．24．（2022秋•硚口区期末）已知函数22()(sin cos )233f x x x x =+- （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求函数()12y f x π=+，[0,]2x π∈的值域．【解析】解：（1）由三角函数公式化简可得： 1cos2()1sin 22332xf x x +=+-sin 23cos212sin(2)13x x x π=+=-+， 由222232k x k πππππ--+可得5,1212k x k k Z ππππ-+∈，()f x ∴的单调递增区间为：5[,],1212k k k Z ππππ-+∈；（2）由（1）可得()2sin(2)1126y f x x ππ=+=-+，2x π，∴52666x πππ--，∴1sin(2)126x π--，03y ∴∴函数的值域为：[0，3]25．（2022春•柳州期末）已知函数2()(sin cos )cos(2)16f x x x x π=+++-．求：（1）函数()f x 的最小正周期；（2）方程()0f x =的解集；（3）当[,]44x ππ∈-时，函数()y f x =的值域．【解析】解：（1）函数231()(sin cos )cos(2)11sin 2sin 2162f x x x x x x x π=+++-=+--sin 23sin(2)23x x x π==+，故它的最小正周期为22ππ=．（2）由()0f x =，可得sin(2)03x π+=，23x k ππ∴+=，k Z ∈， 求得26k x ππ=-，k Z ∈，故方程()0f x =的解集为{|26k x x ππ=-，k Z ∈}． （3）当[,]44x ππ∈-时，2[36x ππ+∈-，5]6π，1sin(2)[32x π∴+∈-，1]， 故函数()y f x =的值域为1[2-，1]． 26．（2022秋•汶上县校级月考）已知函数()2sin(2)6f x x aa R π=++∈，a 是常数 （1）求5()3f π的值 （2）若函数()f x 在[,]44ππ-3a 的值． 【解析】解：（1）()2sin(2)6f x x a π=++，a R ∈， 510()2sin()2336f a a πππ∴=++=-+⋯（3分） （2）因为[4x π∈-，]4π， 2[63x ππ∴+∈-，2]3π， 3sin(2)[6x π∴+∈，1]⋯（6分） 3()2a f x a ∴-+⋯（9分）即2max y a =+，3min y a =，由已知得323a a -++=31a ∴⋯（12分）27．（2022春•兴庆区校级期末）已知函数2()2cos 2222x x x f x =． （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[π-，0]上的值域．【解析】解：（1）211cos 2()2cos 22sin 2sin()222224x x x x f x x x π-=-=+， ()f x ∴的最小正周期为221ππ=． （2）[x π∈-，0]，3[44x ππ∴+∈-，]4π，sin()[14x π∴+∈-2，22sin()[14x π∴+-，0]，故()f x 的值域为2[1--． 28．求函数cos 21y x +- 【解析】解：函数cos 21y x =+-，sin 1cos 20x y x y y ∴-=+-=，即sin cos (21)1x y x y -=+， 21)(21)1y x y θ++=+，即2(21)1sin()1y x y θ-++=+． 根据|sin()|1x θ+，求得2(21)111y y -++，平方化简可得2(222)2(21)y y -， 即(1)0y y -，解得1y ，或0y ，即函数的值域为{|1x y ，或0}y ．。
数学-三角函数中的最值问题(4种方法)
三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x)在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin2 +1,当x∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62a f x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22xπ∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法
高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一．转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.例1．求函数2cos 1y x =-的值域[分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈-二. 转化sin()y A x b ωϕ=++(辅助角法)观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为.[分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值.()f x ≤三. 转化二次函数(配方法)若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.例3． 求函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值.[分析]利用22sin cos 1x x +=将原函数转化为2cos 3cos 2+-=x x y ，令cos t x =，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t Θ当t=1时,即cosx=1时，0min =y四. 引入参数转化（换元法）对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与sinxcosx 的函数，运用关系式(),cos sin 21cos sin 2x x x x ±=± 一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.例4. 求函数sin cos sin .cos y x x x x =++的最大值.[分析]解：令().cos sin 21cos sin 2x x x x +=+，设sin cos .t x x =+则[]()t t y t t x x +-=∴-∈-=21,2,221cos sin 22，其中[]2,2-∈t 当.221,14sin ,2max +=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x t π 五. 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.例5. 已知()π,0∈x ，求函数1sin 2sin y x x =+的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设()1sin ,01,2x t t y t t =<≤=+≥=2t =. 六．利用函数在区间内的单调性 例6.已知()π,0∈x ，求函数x x y sin 2sin +=的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解. 设()t t y t t x 1,10,sin +=≤<=，在（0，1）上为减函数，当t=1时，3min =y .七．转化部分分式例7．求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域[分析] 此为dx c b x a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解. 解法一：原函数变形为1cos ,1cos 221≤-+=x x y Θ，可直接得到：3≥y 或.31≤y 解法一：原函数变形为()()∴≤-+∴≤-+=,1121,1cos ,121cos y y x y y x Θ3≥y 或.31≤y 八． 数形结合由于1cos sin 22=+x x ，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得. 例8． 求函数()π<<--=x xx y 0cos 2sin 的最小值. [分析] 法一：将表达式改写成,cos 2sin 0x x y --=y 可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率.由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小.设过点A 的切线与半圆相切与点B,则.0<≤y k AB 可求得.3365tan -==πAB k 所以y 的最小值为33-（此时3π=x ）. 法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=()φ++x b a sin 22（即引入辅助角法）和有界性来求解.九． 判别式法例9．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最值. [分析] 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法.解：()()()()222tan tan 1tan tan 11tan 1tan 101,tan 0,x x y x x y x y x y y x x k k ππ-+=++∴-+++-=∴===∈1≠y 时此时一元二次方程总有实数解()()()().3310313,014122≤≤∴≤--∴≥--+=∆∴y y y y y 由y=3，tanx=-1，()3,4max =∈+=∴y z k k x ππ 由.31,4,1tan ,31min =+=∴==y k x x y ππ 十． 分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论.例10.设()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a). 解：().214sin sin 2+-+-=a x a x x f 令sinx=t,则,10≤≤t ()().21442214222+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-==a a a t a at t x f t g （1） 当12≥a ，即()t g a ,2≥在[0，1]上递增， ()();21431-==a g a M （2） 当,120≤≤a 即20≤≤a 时，()t g 在[0，1]上先增后减，();214422+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a g a M （3） 当,02≤a 即()t g a ,0≤在[0，1]上递减，()().4210a g a M -== ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+-≥-=∴0,42120,21442,21432a a a a a a a a M以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见.解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在.挑战自我：1.求函数y=5sinx+cos2x 的最值2.已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.3.已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值.参考答案：1.[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一. ()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππΘ 2.[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解.解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ∴ f(x)的最小正周期为π，最大值为21+.3.[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式. 解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=+=42212sin 2cos 1cos sin 2sin 22πx sn x x x x x x f。
微专题 三角函数的范围与最值(解析版)(1)
微专题三角函数的范围与最值【秒杀总结】一、三角函数f(x)=A sin(ωx+φ)中ω的大小及取值范围1.任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即k T2(k∈Z)；2.任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即k T2(k∈Z)；3.任意对称轴与对称中心之间的距离为14周期加半周期的整数倍，即T4+k T2(k∈Z)；4.f(x)=A sin(ωx+φ)在区间(a,b)内单调⇒b-a≤T2且kπ-π2≤aω+φ≤bω+φ≤kπ+π2(k∈Z)5.f(x)=A sin(ωx+φ)在区间(a,b)内不单调⇒(a,b)内至少有一条对称轴，aω+φ≤kπ+π2≤bω+φ(k∈Z)6.f(x)=A sin(ωx+φ)在区间(a,b)内没有零点⇒b-a≤T2且kπ≤aω+φ≤bω+φ≤(k+1)π(k∈Z)7.f(x)=A sin(ωx+φ)在区间(a,b)内有n个零点⇒(k-1)π≤aω+φ<kπ(k+n-1)π<bω+φ≤(k+n)π(k∈Z) ．二、三角形范围与最值问题1.坐标法：把动点转为为轨迹方程2.几何法3.引入角度，将边转化为角的关系4.最值问题的求解，常用的方法有：(1)函数法；(2)导数法；(3)数形结合法；(4)基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．【典型例题】例1.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，cos A=725，△ABC的内切圆的面积为16π，则边BC长度的最小值为( )A.16B.24C.25D.36【答案】A【解析】因为△ABC的内切圆的面积为16π，所以△ABC的内切圆半径为4．设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．因为cos A=725，所以sin A=2425，所以tan A=247．因为S△ABC=12bc sin A=12(a+b+c)×4，所以bc=256(a+b+c)．设内切圆与边AC切于点D，由tan A=247可求得tan A 2=34=4AD，则AD =163．又因为AD =b +c -a 2，所以b +c =323+a ．所以bc =256323+2a =253163+a ．又因为b +c ≥2bc ，所以323+a ≥2253163+a ，即323+a 2≥1003163+a ，整理得a 2-12a -64≥0．因为a >0，所以a ≥16，当且仅当b =c =403时，a 取得最小值．故选：A ．例2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)，其中ω>0，|φ|≤π2,-π4为f (x )的零点：且f (x )≤f π4 恒成立，f (x )在-π12,π24区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是( )A.11 B.13C.15D.17【答案】C【解析】由题意，x =π4是f (x )的一条对称轴，所以f π4 =±1，即π4ω+φ=k 1π+π2,k 1∈Z ①又f -π4 =0，所以-π4ω+φ=k 2π,k 2∈Z ②由①②，得ω=2k 1-k 2 +1，k 1,k 2∈Z 又f (x )在-π12,π24 区间上有最小值无最大值，所以T ≥π24--π12 =π8即2πω≥π8，解得ω≤16，要求ω最大，结合选项，先检验ω=15当ω=15时，由①得π4×15+φ=k 1π+π2,k 1∈Z ，即φ=k 1π-13π4,k 1∈Z ，又|φ|≤π2所以φ=-π4，此时f (x )=sin 15x -π4 ，当x ∈-π12,π24 时，15x -π4∈-3π2,3π8 ，当15x -π4=-π2即x =-π60时，f (x )取最小值，无最大值，满足题意.故选：C例3.(2023·高一课时练习)如图，直角ΔABC 的斜边BC 长为2，∠C =30°，且点B ,C 分别在x 轴，y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方．设OA =xOB +yOC ，(x ,y ∈R )，记M =OA ⋅OC，N =x +y ，分别考查M ,N 的所有运算结果，则A.M 有最小值，N 有最大值B.M 有最大值，N 有最小值C.M 有最大值，N 有最大值D.M 有最小值，N 有最小值【答案】B【解析】依题意∠BCA =30∘,BC =2,∠A =90∘，所以AC =3,AB =1.设∠OCB =α，则∠ABx =α+30∘,0∘<α<90∘，所以A 3sin α+30∘ ,sin α+30∘，B 2sin α,0 ,C 0,2cos α ，所以M =OA ⋅OC =2cos αsin α+30∘ =sin 2α+30∘ +12，当2α+30∘=90∘,α=30∘时，M 取得最大值为1+12=32.OA =xOB +yOC ，所以x =3sin α+30∘ 2sin α,y =sin α+30∘2cos α，所以N =x +y =3sin α+30∘2sin α+sin α+30∘ 2cos α=1+32sin2α，当2α=90∘,α=45∘时，N 有最小值为1+32.故选B .例4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =a sin x +b cos x +cx 图象上存在两条互相垂直的切线，且a 2+b 2=1，则a +b +c 的最大值为( )A.23 B.22C.3D.2【答案】D【解析】由a 2+b 2=1，令a =sin θ,b =cos θ，由f x =a sin x +b cos x +cx ，得f x =a cos x -b sin x +c =sin θcos x -cos θsin x +c =sin θ-x +c ，所以c -1≤f x ≤c +1由题意可知，存在x 1,x 2，使得f (x 1)f (x 2)=-1，只需要c -1 c +1 =c 2-1 ≥1，即c 2-1≤-1，所以c 2≤0，c =0，a +b +c =a +b =sin θ+cos θ=2sin θ+π4≤2所以a +b +c 的最大值为2.故选:D .例5.(2023·全国·高三专题练习)已知m >0，函数f (x )=(x -2)ln (x +1),-1<x ≤m ,cos 3x +π4,m <x ≤π,恰有3个零点，则m 的取值范围是( )A.π12,5π12 ∪2,3π4B.π12,5π12 ∪2,3π4C.0,5π12 ∪2,3π4D.0,5π12 ∪2,3π4【答案】A【解析】设g x =(x -2)ln (x +1)，h x =cos 3x +π4，求导g x =ln (x +1)+x -2x +1=ln (x +1)+1-3x +1由反比例函数及对数函数性质知g x 在-1,m ,m >0上单调递增，且g 12<0，g 1 >0，故gx 在12,1 内必有唯一零点x 0，当x ∈-1,x 0 时，g (x )<0，g x 单调递减；当x ∈x 0,m 时，g (x )>0，g x 单调递增；令g x =0，解得x =0或2，可作出函数g x 的图像，令h x =0，即3x +π4=π2+k π,k ∈Z ，在0,π 之间解得x =π12或5π12或3π4，作出图像如下图数形结合可得：π12,5π12∪2,3π4，故选：A例6.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =cos ωx -π3(ω>0)在π6,π4 上单调递增，且当x ∈π4,π3 时，f x ≥0恒成立，则ω的取值范围为( )A.0,52 ∪223,172B.0,43 ∪8,172C.0,43 ∪8,283D.0,52 ∪223,8【答案】B【解析】由已知，函数fx =cos ωx -π3(ω>0)在π6,π4 上单调递增，所以2k 1π-π≤ωx -π3≤2k 1πk 1∈Z ，解得：2k 1πω-2π3ω≤x ≤2k 1πω+π3ωk 1∈Z ，由于π6,π4 ⊆2k 1πω-2π3ω,2k 1πω+π3ω k 1∈Z ，所以π6≥2k 1πω-2π3ωπ4≤2k 1πω+π3ω，解得：12k 1-4≤ω≤8k 1+43k 1∈Z ①又因为函数f x =cos ωx -π3(ω>0)在x ∈π4,π3上f x ≥0恒成立，所以2k 2π-π2≤ωx -π3≤2k 2π+π2k 2∈Z ，解得：2k 2πω-π6ω≤x ≤2k 2πω+5π6ωk 2∈Z ，由于π4,π3 ⊆2k 2πω-π6ω,2k 2πω+5π6ω k 2∈Z ，所以π4≥2k 2πω-π6ωπ3≤2k 2πω+5π6ω，解得：8k 2-23≤ω≤6k 2+52k 2∈Z ②又因为ω>0，当k 1=k 2=0时，由①②可知：ω>0-4≤ω≤43-23≤ω≤52，解得ω∈0，43；当k 1=k 2=1时，由①②可知：ω>08≤ω≤283223≤ω≤172，解得ω∈8，172.所以ω的取值范围为0,43 ∪8,172.故选：B .例7.(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若sin (A +C )=2S b 2-a2，则tan A +13tan (B -A )的取值范围为( )A.233,+∞ B.233,43C.233,43D.233,43【答案】C【解析】在△ABC 中，sin (A +C )=sin B ,S =12ac sin B ，故题干条件可化为b 2-a 2=ac ，由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，故c =2a cos B +a ，又由正弦定理化简得：sin C =2sin A cos B +sin A =sin A cos B +cos A sin B ，整理得sin (B -A )=sin A ，故B -A =A 或B -A =π-A (舍去)，得B =2A △ABC 为锐角三角形，故0<A <π20<2A <π20<π-3A <π2 ，解得π6<A <π4，故33<tan A <1tan A +13tan (B -A )=tan A +13tan A ∈233,43故选：C例8.(2023·上海·高三专题练习)在钝角△ABC 中，a ,b ,c 分别是△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边，点G 是△ABC 的重心，若AG ⊥BG ，则cos C 的取值范围是( )A.0,63B.45,63C.63,1D.45,1【答案】C【解析】延长CG 交AB 于D ，如下图所示：∵G 为△ABC 的重心，∴D 为AB 中点且CD =3DG ，∵AG ⊥BG ，∴DG =12AB ，∴CD =32AB =32c ；在△ADC 中，cos ∠ADC =AD 2+CD 2-AC 22AD ⋅CD=52c 2-b 232c 2=5c 2-2b 23c 2；在△BDC 中，cos ∠BDC =BD 2+CD 2-BC 22BD ⋅CD =52c 2-a 232c 2=5c 2-2a 23c 2；∵∠BDC +∠ADC =π，∴cos ∠BDC =-cos ∠ADC ，即5c 2-2a 23c 2=-5c 2-2b 23c 2，整理可得：a 2+b 2=5c 2>c 2，∴C 为锐角；设A 为钝角，则b 2+c 2<a 2，a 2+c 2>b 2，a >b ，∴a 2>b 2+a 2+b 25b 2<a 2+a 2+b 25，∴b a 2+15+15b a 2<1b a 2<1+15+15b a2，解得：b a 2<23，∵a >b >0，∴0<b a <63，由余弦定理得：cos C =a 2+b 2-c 22ab =25⋅a 2+b 2ab =25a b +b a >25×63+36 =63，又C 为锐角，∴63<cos C <1，即cos C 的取值范围为63,1.故选：C .例9.(2023·全国·高三专题练习)设锐角△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若A =π3,a =3，则b 2+c 2+bc 的取值范围为( )A.(1，9] B.(3，9]C.(5，9]D.(7，9]【答案】D 【解析】因为A =π3,a =3，由正弦定理可得asin A=332=2=b sin B =csin 2π3-B ，则有b =2sin B ,c =2sin 2π3-B ，由△ABC 的内角A ,B ,C 为锐角，可得0<B <π2,0<2π3-B <π2,，∴π6<B <π2⇒π6<2B -π6<5π6⇒12<sin 2B -π6 ≤1⇒2<4sin 2B -π6≤4， 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ⇒3=b 2+c 2-bc ,因此有b 2+c 2+bc =2bc +3=8sin B sin 2π3-B+3=43sin B cos B +4sin 2B +3=23sin2B -2cos2B +5=5+4sin 2B -π6∈7,9 故选：D .例10.(2023·上海·高三专题练习)某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O 的圆，已知圆O 的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形MN ,NP ,PQ ,QM 为亲水木平台区域(四边形MNPQ 是矩形，A ，D 分别为MN ,PQ 的中点，OA =OD =50米)，亲水玻璃桥以点A 为一出入口，另两出入口B ，C 分别在平台区域MQ ,NP 边界上(不含端点)，且设计成∠BAC =π2，另一段玻璃桥F -D -E 满足FD ⎳AC ,FD =AC ,ED ⎳AB ,ED =AB ．(1)若计划在B ，F 间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；(附：2≈1.414,3≈1.732)(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．(玻璃桥总长为AB +AC +DE +DF ，宽度、连接处忽略不计)．【解析】(1)由题意，OA =50,OM =100，则MQ =100,AM =503,∠BAC =π2，设∠MAB =θ,∠NAC =α=π2-θ．若C ，P 重合，tan α=100503=23,tan θ=1tan α=32=MB503，得MB =75，∴75<MB <100,32<tan θ<23,MB =AM ⋅tan θ=503tan θ，NC =AN ⋅tan α=503tan θ,而MF =CP =100-NC =100-503tan θ，∴BF =MB -MF =503tan θ+1tan θ -100≥100(3-1)，当tan θ=1(符合题意)时取等号，又100(3-1)>70，∴可以修建70米长廊．(2)AB =AM cos θ=503cos θ,AC =AN cos α=503sin θ，则AB +AC =503cos θ+503sin θ=503(sin θ+cos θ)sin θcos θ．设t =sin θ+cos θ=2sin θ+π4 ，则t 2=1+2sin θcos θ，即sin θcos θ=t 2-12．AB +AC =1003t t 2-1=1003t -1t，由(1)知32<tan θ<23，而33<32<1<23<3，∴∃θ使θ+π4=π2且π4<θ+π4<3π4，即1<t ≤2,0<t -1t ≤22，∴AB +AC =1003t -1t≥1006，当且仅当t =2,θ=π4时取等号．由题意，AB +AC =DE +DF ，则玻璃桥总长的最小值为2006米，∴铺设好亲水玻璃桥，最少需2006×0.3=606万元．例11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足b sin A =a sin B +π3(1)设a =3，c =2，过B 作BD 垂直AC 于点D ，点E 为线段BD 的中点，求BE ⋅EA的值；(2)若△ABC 为锐角三角形，c =2，求△ABC 面积的取值范围．【解析】(1)b sin A =a sin B +π3，由正弦定理得：sin B sin A =sin A sin B +π3 =12sin A sin B +32sin A cos B ，所以12sin A sin B -32sin A cos B =0，因为A ∈0,π ，所以sin A ≠0，所以12sin B -32cos B =0，即tan B =3，因为B ∈0,π ，所以B =π3，因为a =3，c =2，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2-2ac cos B =9+4-6=7，因为b >0，所以b =7，其中S △ABC =12ac sin B =12×3×2×32=332，所以BD =2S △ABC AC =337=3217，因为点E 为线段BD 的中点，所以BE =32114，由题意得：EA =ED +DA =BE +DA，所以BE ⋅EA =BE ⋅BE +DA =BE 2+0=2728.(2)由(1)知：B =π3，又c =2，由正弦定理得：a sin A =c sin C =2sin A +π3，所以a =2sin A sin A +π3 =2sin A 12sin A +32cos A =41+3tan A，因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈0,π2C =2π3-A ∈0,π2，解得：A ∈π6,π2 ，则tan A ∈33,+∞，3tan A ∈0,3 ，1+3tan A∈1,4 ，故a =41+3tan A∈1,4 ，△ABC 面积为S =12ac sin B =32a ∈32,23 故△ABC 面积的取值范围是32,23.【过关测试】一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知a ,b ∈R ，设函数f 1(x )=cos2x ，f 2(x )=a -b cos x ，若当f 1(x )≤f 2(x )对x ∈[m ,n ](m <n )恒成立时，n -m 的最大值为3π2，则( )A.a ≥2-1 B.a ≤2-1C.b ≥2-2D.b ≤2-2【答案】A【解析】设t =cos x ，x ∈[m ,n ]，因为n -m 的最大值为3π2>π=T2，所以x ∈[m ,n ]时，t =cos x 必取到最值，当n -m =3π2时，根据余弦函数对称性得cos m +n 2=1⇒m +n2=2k π,k ∈Z ，此时cos m =cos m +n 2-n -m 2=cos 2k π-3π4 =cos 3π4=-22cos n =cos m +n 2+n -m 2 =cos 2k π+3π4 =cos 3π4=-22或者cos m +n 2=-1⇒m +n 2=π+2k π,k ∈Z ，此时cos m =cos m +n 2-n -m2 =cos 2k π+π-3π4 =-cos 3π4=22cos n =cos m +n 2+n -m 2=cos 2k π+π+3π4 =-cos 3π4=22由f 1(x )≤f 2(x )⇒2cos 2x -1≤a -b cos x ⇒2cos 2x +b cos x -1+a ≤0，设t =cos x ，x ∈[m ,n ]时 2t 2+bt -1+a ≤0对应解为t 1≤t ≤t 2，由上分析可知当t 1=-22，t 2≥1或t 1≤-1，t 2=22时，满足n -m 的最大值为3π2，所以t 1t 2≤-22，即-1+a 2≤-22，所以a ≥2-1.-b 2=t 1+t 2≥1-22或-b 2=t 1+t 2≤-1+22，即b ≤2-2或b ≥2-2，故选：A .2.(2023·全国·高三专题练习)△ABC 中，AB =2，∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆圆心，是OC ⋅AB+CA ⋅CB的最大值为( )A.0 B.1C.3D.5【答案】C【解析】过点O 作OD ⊥AC ,OE ⊥BC ，垂足分别为D ，E ，如图，因O 是△ABC 外接圆圆心，则D ，E 分别为AC ，BC 的中点，在△ABC 中，AB =CB -CA ，则|AB |2=|CA |2+|CB|2-2CA ⋅CB ，即CA ⋅CB =|CA |2+|CB|2-22，CO ⋅CA =CO CA cos ∠OCA = CD ⋅ CA =12CA 2，同理CO ⋅CB =12|CB |2，因此，OC ⋅AB +CA ⋅CB =OC ⋅CB -CA+CA ⋅CB =CO ⋅CA -CO ⋅CB +CA ⋅CB=12|CA |2-12|CB |2+|CA |2+|CB |2-22=|CA |2-1，由正弦定理得：|CA |=|AB|sin B sin ∠ACB =2sin B sin π4=2sin B ≤2，当且仅当B =π2时取“=”，所以OC ⋅AB +CA ⋅CB的最大值为3.故选：C3.(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC 中，若3sin A cos A a +cos Cc=sin B sin C ，且3sin C +cos C =2，则a +b 的取值范围是( )A.23,4 B.2,23C.0,4D.2,4【答案】A【解析】由3sin C +cos C =2sin C +π6 =2，得C +π6=π2+2k π，k ∈Z ，∵C ∈0,π2 ，∴C =π3．由题cos A a +cos C c =sin B sin C 3sin A，由正弦定理有cos A a +cos Cc =b ⋅323a=b 2a ，故cos A sin A +cos C sin C =b 2sin A，即cos A ⋅sin C +sin A ⋅cos C =b sin C 2=3b 4，故sin A +C =sin B =3b 4，即b sin B =433，由正弦定理有a sin A=b sin B =c sin C =433，故a =433sin A ，b =433sin B ，又锐角△ABC ，且C =π3，∴A ∈0,π2 ，B =2π3-A ∈0,π2 ，解得A ∈π6，π2 ，∴a +b =433(sin A +sin B )=433sin A +sin 2π3-A =433sin A +32cos A +12sin A =4sin A +π6，∵A ∈π6，π2，∴A +π6∈π3，2π3 ，sin A +π6 ∈32，1 ，∴a +b 的取值范围为23,4 ．故选：A ．4.(2023·全国·高三专题练习)设ω∈R ，函数f x =2sin ωx +π6 ,x ≥0,32x 2+4ωx +12,x <0,g x =ωx ．若f (x )在-13,π2 上单调递增，且函数f x 与g (x )的图象有三个交点，则ω的取值范围是( )A.14,23B.33,23C.14,33D.-43,0 ∪14,23【答案】B 【解析】当x ∈0,π2 时，ωx +π6∈π6,πω2+π6 ，因为f (x )在-13,π2 上单调递增，所以πω2+π6≤π2-4ω3≤-132sin π6≥12 ，解得14≤ω≤23，又因函数f x 与g (x )的图象有三个交点，所以在x ∈-∞,0 上函数f x 与g (x )的图象有两个交点，即方程32x 2+4ωx +12=ωx 在x ∈-∞,0 上有两个不同的实数根，即方程3x 2+6ωx +1=0在x ∈-∞,0 上有两个不同的实数根，所以Δ=36ω2-12>0-ω<032×02+6ω×0+1>0 ，解得ω>33，当ω∈33,23时，当x ≥0时，令f x -g x =2sin ωx +π6-ωx ，由f x -g x =1>0，当ωx +π6=5π2时，ωx =7π3，此时，f x -g x =2-7π3<0，结合图象，所以x ≥0时，函数f x 与g (x )的图象只有一个交点，综上所述，ω∈33,23.故选：B .5.(2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)已知函数f (x )=sin ωx +π3 (ω>0)在π3,π上恰有3个零点，则ω的取值范围是( )A.83,113 ∪4,143 B.113,4 ∪143,173C.113,143 ∪5,173D.143,5 ∪173,203【答案】C 【解析】x ∈π3,π，ωx +π3∈π3ω+π3,πω+π3 ，其中2πω≤π-π3<4πω，解得：3≤ω<6，则π3ω+π3≥4π3，要想保证函数在π3,π 恰有三个零点，满足①π+2k 1π≤π3ω+π3<2π+2k 1π4π+2k 1π<πω+π3≤5π+2k 1π，k 1∈Z ，令k 1=0，解得：ω∈113,143 ；或要满足②2k 2π≤π3ω+π3<π+2k 2π2k 2π+3π<πω+π3≤2k 2π+4π，k 2∈Z ，令k 2=1，解得：ω∈5,173；经检验，满足题意，其他情况均不满足3≤ω<6条件，综上：ω的取值范围是113,143 ∪5,173.故选：C6.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=sin ωx +π4(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①f (x )在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点；②f (x )的最小正周期可能是π2；③ω的取值范围是134，174；④f (x )在区间0,π15上单调递增．其中所有正确结论的序号是( )A.①④ B.②③C.②④D.②③④【答案】B【解析】由函数f (x )=sin ωx +π4 (ω>0)， 令ωx +π4=π2+k π,k ∈Z ，则x =1+4k π4ω,k ∈Z 函数f (x )在区间[0,π]上有且仅有4条对称轴，即0≤1+4k π4ω≤π有4个整数k 符合，由0≤1+4k π4ω≤π，得0≤1+4k4ω≤1⇒0≤1+4k ≤4ω，则k =0,1,2,3，即1+4×3≤4ω<1+4×4，∴134≤ω<174，故③正确；对于①，∵x ∈(0,π)，∴ωx +π4∈π4,ωπ+π4，∴ωπ+π4∈7π2,9π2当ωx +π4∈π4,7π2时，f (x )在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点；当ωx +π4∈π4,9π2时，f (x )在区间(0,π)上有且仅有4个不同的零点；故①错误；对于②，周期T =2πω，由134≤ω<174，则417<1ω≤413，∴8π17<T ≤8π13，又π2∈8π17,8π13，所以f (x )的最小正周期可能是π2，故②正确；对于④，∵x ∈0,π15 ，∴ωx +π4∈π4,ωπ15+π4 ，又ω∈134，174 ，∴ωπ15+π4∈7π15,8π15 又8π15>π2，所以f (x )在区间0,π15 上不一定单调递增，故④错误．故正确结论的序号是：②③故选：B7.(2023·全国·高三专题练习)函数y =sin ωx -π6ω>0 在0,π 有且仅有3个零点，则下列说法正确的是( )A.在0,π 不存在x 1，x 2使得f x 1 -f x 2 =2B.函数f x 在0,π 仅有1个最大值点C.函数f x 在0,π2上单调进增D.实数ω的取值范围是136,196 【答案】D【解析】对于A ,f (x )在0,π 上有且仅有3个零点，则函数的最小正周期T <π ，所以在0,π 上存在x 1,x 2 ，且f (x 1)=1,f (x 2)=-1 ，使得f x 1 -f x 2 =2，故A 错误；由图象可知，函数在0,π 可能有两个最大值，故B 错误;对于选项D ,令ωx -π6=k π,k ∈Z ，则函数的零点为x =1ωk π+π6 ,k ∈Z ,所以函数在y 轴右侧的四个零点分别是：π6ω,7π6ω,13π6ω,19π6ω，函数y =sin ωx -π6ω>0 在0,π 有且仅有3个零点，所以13π6ω≤π19π6ω>π，解得ω∈136,196 ，故D 正确；由对选项D 的分析可知，ω的最小值为136，当0<x <π2 时，ωx -π6∈-π6,11π12 ，但-π6,11π12 不是0,π2的子集，所以函数f x 在0,π2上不是单调进增的，故C 错，故选：D .8.(2023·上海·高三专题练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin (A +C )cos B b +cos C c =sin A sin C ，B =π3，则a +c 的取值范围是( )A.32,3B.32,3C.32,3 D.32,3【答案】A【解析】由题知sin (A +C )cos B b+cos C c=sin A sin C ，B =π3∴sin B cos B b +cos C c =sin Asin C 即cos B b +cos C c =23sin A3sin C由正弦定理化简得∴c ⋅cos B +b ⋅cos C =23bc sin A 3sin C=23ab3∴sin C cos B +cos C sin B =23b sin A3∴sin (B +C )=sin A =23b sin A3∴b =32∵B =π3∴a sin A =b sin B =c sin C =1∴a +c =sin A +sin C =sin A +sin 2π3-A =32sin A +32cos A =3sin A +π6∵0<A <2π3∴π6<A +π6<5π6∴32<3sin A +π6≤3即32<a +c ≤3故选：A .二、多选题9.(2023秋·山东济南·高三统考期中)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且tan A +B 1-tan A tan B =3ca cos B，则下列结论正确的是( )A.A =π6B.若b -c =33a ，则△ABC 为直角三角形C.若△ABC 面积为1，则三条高乘积平方的最大值为33D.若D 为边BC 上一点，且AD =1,BD :DC =2c :b ，则2b +c 的最小值为977【答案】BCD【解析】对于A ，因为tan A +B 1-tan A tan B =3c a cos B ，所以tan A +tan B =3ca cos B，则由正弦定理得3sin C =sin A cos B tan A +tan B =sin A cos B ⋅sin A cos B +cos A sin Bcos A cos B =sin A ⋅sin A +B cos A =sin A ⋅sin Ccos A ，则3sin C cos A =sin A sin C ，因为0<C <π，所以sin C >0，故tan A =3，又0<A <π，所以A =π3，故A 错误；对于B ，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-bc ，因为b -c =33a ，即b =33a +c ，代入上式得a 2=33a +c 2+c 2-33a +c c ，整理得3c 2+3ac -2a 2=0，解得a =3c 或a =-32c (舍去)，则b =2c ，所以b 2=a 2+c 2，故B 正确；对于C ，设AB ,AC ,BC 边上的高分别是CE ,BF ,AD ，则由三角形面积公式易得AD =2a ,BF =2b ,CE =2c ，则AD ×BF ×CE 2=8abc2，因为1a +1b +1c ≥331abc ，当且仅当1a =1b=1c ，即a =b =c 时，等号成立，此时S =12bc sin A =34b 2=1，得b 2=433，所以AD ×BF ×CE 2=8abc2≤33，故C 正确；对于D ，因为BD :DC =2c :b ，所以AD =AB +BD =AB+2c b +2c BC =AB +2cb +2c AC -AB=b b +2c AB +2c b +2cAC，可得1=b 2(b +2c )2c 2+4c 2(b +2c )2b 2+22bc (b +2c )2cb cos60°，整理得b +2c 2=7b 2c 2，故1c +2b=7，所以2b +c =2b +c ×171c +2b =172b c +2c b +5 ≥1722b c ⋅2c b+5=977，当且仅当2b c =2c b 且1c +2b=7，即b =c =377时，等号成立，所以2b +c ≥977，即2b +c 的最小值为977，故D 正确.故选：BCD .10.(2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习)已知函数f x =sin2x1+2cos 2x，则下列说法中正确的是( )A.f x +π =f xB.f x 的最大值是33C.f x 在-π2,π2上单调递增D.若函数f x 在区间0,a 上恰有2022个极大值点，则a 的取值范围为60643π,60673π【答案】ABD 【解析】f x =sin2x 1+2cos 2x =sin2x 1+21+cos2x 2=sin2x2+cos2x ，A 选项：f x +π =sin 2x +2π 2+cos 2x +2π=sin2x 2+cos2x =f x ，A 选项正确；B 选项：设f x =sin2x2+cos2x=t ，则sin2x -t cos2x =2t =1+t 2sin 2x +φ ≤1+t 2，解得t 2≤13，-33≤t ≤33，即t max =33，即f x 的最大值为33，B 选项正确；C 选项：因为f -π2 =f π2 =0，所以f x 在-π2,π2 上不单调，C 选项错误；D 选项：f x =2cos2x 2+cos2x -sin2x -2sin2x 2+cos2x 2=4cos2x +22+cos2x2，令f x =0，解得cos2x =-12，即x =π3+k π或x =2π3+k π，k ∈Z ，当x ∈π3+k π,2π3+k π ，k ∈Z 时，f x <0，函数单调递减，当当x ∈2π3+k π,4π3+k π ，k ∈Z 时，f x >0，函数单调递增，所以函数f x 的极大值点为π3，4π3，⋯，π3+n-1π，又函数f x 在区间0,a上恰有2022个极大值点，则a∈π3+2021π,π3+2022π，即a∈6064π3,6067π3，D选项正确；故选：ABD.11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，有以下四个命题中正确的是( )A.Sa2+2bc的最大值为3 12B.当a=2，sin B=2sin C时，△ABC不可能是直角三角形C.当a=2，sin B=2sin C，A=2C时，△ABC的周长为2+23D.当a=2，sin B=2sin C，A=2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为3-13【答案】ACD【解析】对于选项A：Sa2+2bc =12bc sin Ab2+c2-2bc cos A+2bc=12×sin Abc+cb+2-2cos A≤-14×sin Acos A-2(当且仅当b=c时取等号).令sin A=y，cos A=x，故Sa2+2bc≤-14×yx-2，因为x2+y2=1，且y>0，故可得点x,y表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数z=yx-2上，表示圆弧上一点到点A2,0点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点H12,32，即A=60∘时，取得最小值-3 3，故可得z=yx-2∈-33,0，又Sx2+2bc≤-14×yx-2，故可得Sa2+2bc≤-14×-33=312，当且仅当A=60∘，b=c，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A正确；对于选项B：因为sin B=2sin C，所以由正弦定理得b=2c，若b是直角三角形的斜边，则有a2+c2= b2，即4+c2=4c2，得c=233，故选项B错误；对于选项C，由A=2C，可得B=π-3C，由sin B=2sin C得b=2c，由正弦定理得，bsin B=csin C，即2csinπ-3C=csin C，所以sin3C=2sin C，化简得sin C cos2C+2cos2C sin C=2sin C，因为sin C≠0，所以化简得cos2C=3 4，因为b=2c，所以B>C，所以cos C=32，则sin C=12，所以sin B=2sin C=1，所以B=π2，C=π6，A=π3，因为a=2，所以c=233，b=433，所以△ABC的周长为2+23，故选项C正确；对于选项D，由C可知，△ABC为直角三角形，且B=π2，C=π6，A=π3，c=233，b=433，所以△ABC的内切圆半径为r=122+233-433=1-33，所以△ABC的面积为12cr=12×233×1-33=3-13所以选项D正确，故选：ACD12.(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且c-b=2b cos A，则下列结论正确的有( )A.A=2BB.B的取值范围为0,π4C.a b的取值范围为2,2D.1tan B-1tan A+2sin A的取值范围为533,3【答案】AD【解析】在△ABC中，由正弦定理可将式子c-b=2b cos A化为sin C-sin B=2sin B cos A，把sin C=sin A+B=sin A cos B+cos A sin B代入整理得，sin A-B=sin B，解得A-B=B或A-B+B=π，即A=2B或A=π(舍去).所以A=2B.选项A正确.选项B：因为△ABC为锐角三角形，A=2B，所以C=π-3B.由0<B<π2,0<2B<π2,0<π-3B<π2解得B∈π6,π4，故选项B错误.选项C ：a b =sin A sin B =sin2Bsin B =2cos B ，因为B ∈π6,π4 ，所以cos B ∈22,32，2cos B ∈2,3 ，即ab的取值范围2,3 .故选项C 错误.选项D ：1tan B -1tan A +2sin A =sin A -B sin A sin B +2sin A =1sin A +2sin A .因为B ∈π6,π4，所以A =2B ∈π3,π2 ，sin A ∈32,1.令t =sin A ，t ∈32,1，则f t =2t +1t.由对勾函数的性质知，函数f t =2t +1t 在32,1上单调递增.又f 32 =533，f 1 =3，所以f t ∈533,3 .即1tan B -1tan A+2sin A 的取值范围为533,3 .故选项D 正确.故选：AD .三、填空题13.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=sin ωx +π6,ω>0，若f π4 =f 5π12 且f (x )在区间π4,5π12 上有最小值无最大值，则ω=_______．【答案】4或10【解析】∵f (x )满足f π4 =f 5π12 ，∴x =π4+5π122=π3是f (x )的一条对称轴，∴π3⋅ω+π6=π2+k π，∴ω=1+3k ，k ∈Z ，∵ω>0，∴ω=1,4,7,10,13,⋯.当x ∈π4,5π12时，ωx +π6∈π4ω+π6,5π12ω+π6 ，y =sin x 图像如图：要使f (x )在区间π4,5π12上有最小值无最大值，则：π2≤π4ω+π6<3π23π2<5π12ω+π6≤5π2⇒4≤ω<163 或5π2≤π4ω+π6<7π27π2<5π12ω+π6≤9π2⇒283≤ω<525 ，此时ω=4或10满足条件；区间π4,5π12 的长度为：5π12-π4=5π12-3π12=π6，当ω≥13时，f (x )最小正周期T =2πω≤2π13<π6，则f (x )在π4,5π12 既有最大值也有最小值，故ω≥13不满足条件.综上，ω=4或10.故答案为：4或10.14.(2023·全国·高三专题练习)函数f x =3sin ωx +φ ω>0,φ <π2，已知f π3 =3且对于任意的x ∈R 都有f -π6+x +f -π6-x =0，若f x 在5π36,2π9上单调，则ω的最大值为______.【答案】5【解析】因为函数f x =3sin ωx +φ ω>0,φ <π2 ，f π3=3，所以f π3=33sin ω·π3+φ =3，所以πω3+φ=π2+k π(k ∈Z )，φ=π2-k π3+k 1π(k 1∈Z ),因为于任意的x ∈R 都有f -π6+x +f -π6-x =0，所以f -π6+x =-f -π6-x ，所以sin x -π6 ⋅ω+φ =-sin -ω⋅x +π6 +φ ，所以sin ωx -ωπ6+φ =sin ωx +ωπ6-φ ，所以ωx -ωπ6+φ=ωx +ωπ6-φ+2k 2π(k 2∈Z )或ωx -ωπ6+φ+ωx +ωπ6-φ=k 3π(k 3∈Z )，所以φ=ωπ6+k 2π(k 2∈Z )或2ωx =k 3π(k 3∈Z )，即x =k 3π2ω(k 3∈Z )(舍去)，所以φ=ωπ6+k 2π(k 2∈Z )，因为φ=π2-k π3+k 1π(k 1∈Z )，所以π2-k π3+k 1π=ωπ6+k 2π(k 1∈Z )，即ω=1+2(k 1-k 2)，令t =k 1-k 2，所以ω=1+2t (t ∈Z )，f x 在5π36,2π9上单调，所以π12≤T 2=πω，所以ω≤12，而ω=1+2t (t ∈Z )，当ω=11，φ=-π6，所以f x =3sin 11x -π6 ，函数在5π36,2π9不单调，舍去；当ω=9，φ=3π2+k π(k ∈Z )，舍去；当ω=7，φ=π6，所以f x =3sin 7x +π6 ，函数在5π36,2π9 不单调，舍去；当ω=5，φ=-π6，所以f x =3sin 5x -π6 ，函数在5π36,2π9 单调，所以ω的最大值为5.故答案为：5.15.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)，其中ω>0，|φ|≤π2，-π4为f (x )的零点，且f (x )≤f π4恒成立，f (x )在区间-π12,π24 上有最小值无最大值，则ω的最大值是_______【答案】15【解析】由题意知函数f x =sin ωx +φ ω>0，φ ≤π2 ，x =π4为y =f (x )图象的对称轴，x =-π4为f (x )的零点，∴2n +14•2πω=π2，n ∈Z ，∴ω=2n +1．∵f (x )在区间-π12，π24 上有最小值无最大值，∴周期T ≥π24+π12 =π8，即2πω≥π8，∴ω≤16．∴要求ω的最大值，结合选项，先检验ω=15，当ω=15时，由题意可得-π4×15+φ=k π，φ=-π4，函数为y =f (x )=sin 15x -π4，在区间-π12，π24 上，15x -π4∈-3π2，3π8 ，此时f (x )在x =-π12时取得最小值，∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15.故答案为：15.16.(2023·全国·高三对口高考)在△ABC 中，AB =3cos x ,cos x ,AC =cos x ,sin x ，则△ABC 面积的最大值是____________【答案】34【解析】S △ABC =12AB⋅AC sin AB ,AC =12AB 2⋅AC 21-cos 2AB ,AC =12AB 2⋅AC 2-AB ⋅AC 2=124cos 2x -3cos 2x +sin x cos x 2=123cos x sin x -cos 2x =12sin 2x -π6 -12 ≤34，当sin 2x -π6 =-1时等号成立.此时2x -π6=-π2，即x =-π6时，满足题意.故答案为：34.17.(2023·高一课时练习)用M I 表示函数y =sin x 在闭区间I 上的最大值．若正数a 满足M [0,a ]≥2M [a ,2a ]，则a 的最大值为________．【答案】1312π【解析】①当a ∈0,π2时，2a ∈[0,π),M [0,a ]=sin a ,M [a ,2a ]=1，若M [0,a ]≥2M [a ,2a ]，则sin a ≥2，此时不成立；②当a ∈π2,π时，2a ∈[π,2π),M [0,a ]=1,M [a ,2a ]=sin a ，若M [0,a ]≥2M [a ,2a ]，则1≥2sin a ⇒sin a ≤12，又a ∈π2,π ，解得a ∈5π6,π ；③当a ∈π,3π2时，2a ∈[2π,3π),M [0,a ]=1,M [a ,2a ]=sin2a ，若M [0,a ]≥2M [a ,2a ]，则1≥2sin2a ⇒sin2a ≤12，又a ∈π,3π2 ，解得a ∈π,13π12；④当a ∈3π2,+∞时，2a ∈[3π,+∞)，M [0,a ]=1，M [a ,2a ]=1，不符合题意.综上所述，a ∈5π6,13π12 ，即a 的最大值为1312π.故答案为：1312π18.(2023·上海·高三专题练习)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知a =2，b cos C -c cos B =4，π4≤C ≤π3，则tan A 的最大值为_______.【答案】12【解析】在△ABC 中，因为a =2，b cos C -c cos B =4，所以b cos C -c cos B =4=2a ，所以sin B cos C -sin C cos B =2sin A 所以sin B cos C -sin C cos B =2sin (B +C )，所以sin B cos C -sin C cos B =2sin B cos C +2cos B sin C ，所以sin B cos C +3cos B sin C =0，所以sin B cos C +cos B sin C +2cos B sin C =0，所以sin (B +C )+2cos B sin C =0，所以sin A +2cos B sin C =0，所以由正弦定理得a +2c cos B =0，所以cos B =-1c<0，所以角B 为钝角，角A 为锐角，所以要tan A 取最大值，则A 取最大值，B ,C 取最小值，从而b ,c 取最小值．又b cos C =c cos B +4=c ×-1c +4=3,∴cos C =3b，由π4≤C ≤π3，得12≤cos C ≤22,∴12≤3b≤22，∴32≤b ≤6，由cos B =a 2+c 2-b 22ac =-1c,∴b 2-c 2=8,∴10≤c ≤27,∴tan A 取最大值时，b =32,c =10，此时由余弦定理可得cos A =b 2+c 2-a 22bc =18+10-42×32×10=255，从而求得tan A =1cos 2A-1=12，即tan A 最大值为12．故答案为：1219.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，若∠BAC =120°，点D 为边BC 的中点，AD =1，则AB⋅AC的最小值为______.【答案】-2【解析】AB ⋅AC =AD +DB ⋅AD +DC=AD 2+AD ⋅DC +DB +DB ⋅DC，因为D 为边BC 的中点，AD =1，故AB ⋅AC =1-DB 2，故求DB 的最大值.设DB =DC =x ，AC =a ,AB =c ，则由余弦定理，cos ∠BDA =x 2+12-c 22x ，cos ∠CDA =x 2+12-b 22x，因为∠BDA +∠CDA=180∘，故x 2+12-c 22x +x 2+12-b 22x=0，即2x 2+2=b 2+c 2，又2x 2=b 2+c 2+bc ≥3bc ，故2x 2+2=4x 2-bc ，即2x 2=2+bc ≤2+43x 2，此时x 2≤3，故AB ⋅AC =1-x 2≥-2，当且仅当b =c 时取等号.即AB ⋅AC的最小值为-2故答案为：-220.(2023·全国·高三专题练习)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c =2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________．【答案】3【解析】因为△ABC 的面积为1，所12bc sin A =12b ×2b sin A =b 2sin A =1，可得b 2=1sin A，由BC =AC -AB ，可得|BC |2=|AC |2+|AB |2-2AC ⋅AB =b 2+c 2-2bc cos A =b 2+2b2-2b ×2b cos A =5b 2-4b 2cos A =5sin A -4cos A sin A =5-4cos Asin A，设m =sin A -4cos A +5=-14×sin A cos A -54，其中A ∈(0,π)，因为sin A cos A -54=sin A -0cos A -54表示点P 54,0 与点(cos A，sinA )连线的斜率，如图所示，当过点P 的直线与半圆相切时，此时斜率最小，在直角△OAP 中，OA =1,OP =54，可得PA =34，所以斜率的最小值为k PA =-tan ∠APO =-43，所以m 的最大值为-14×-43 =13，所以|BC |2≥3，所以|BC |≥3，即BC 的最小值为3，故答案为：3．21.(2023·全国·高三专题练习)已知θ>0，对任意n ∈N *，总存在实数φ，使得cos (nθ+φ)<32，则θ的最小值是___【答案】2π5【解析】在单位圆中分析，由题意，nθ+φ的终边要落在图中阴影部分区域(其中∠AOx =∠BOx =π6)，必存在某个正整数n ，使得nθ+φ终边在OB 的下面，而再加上θ，即跨越空白区域到达下一个周期内的阴影区域内，∴θ>∠AOB =π3，∵对任意n ∈N *要成立，所以必存在某个正整数n ，使得以后的各个角的终边与前面的重复(否则终边有无穷多，必有两个角的终边相差任意给定的角度比如1°，进而对于更大的n ,次差的累积可以达到任意的整度数，便不可能在空白区域中不存在了)，故存在正整数m ,使得2m πθ∈N *，即θ=2m πk ，k ∈N *，同时θ>π3，∴θ的最小值为2π5,故答案为：2π5.22.(2023·上海·高三专题练习)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)，其中ω>0，0<φ<π，f (x )≤f π4恒成立，且y =f (x )在区间0,3π8上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．【答案】6,10【解析】由已知得：f (x )≤f π4恒成立，则f (x )max =f π4 ，π4ω+φ=π2+2k π,k ∈Z ⇒φ=π2-πω4+2k π,k ∈Z ，由x ∈0,3π8 得ωx +φ∈φ,3π8ω+φ ，由于y =f (x )在区间0,3π8上恰有3个零点，故0<φ<π3π<3π8ω+φ≤4π，则0<π2-πω4+2k π<π3π<3πω8+π2-πω4+2k π≤4π，k ∈Z ，则8k -2<ω<8k +220-16k <ω≤28-16k,k ∈Z ,只有当k =1时，不等式组有解，此时6<ω<104<ω≤12 ，故6<ω<10，故答案为：6,1023.(2023·全国·高三专题练习)已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A >B ，若sin C =2cos A sin B +725，则tan B 的取值范围为_______．【答案】34,247【解析】∵sin C =2cos A sin B +725，∴sin A +B =sin A cos B +cos A sin B =2cos A sin B +725，即sin A -B =725，∵又A >B ，且A ,B 都为锐角，故cos A -B =2425，tan A -B =724，因为锐角三角形ABC ，所以tan A >0,tan B >0,tan C >0,所以tan A =tan A -B +B =tan A -B +tan B 1-tan A -B ⋅tan B =724+tan B1-724⋅tan B >0所以1-724⋅tan B>0,所以tan B<247，又因为tan C=-tan A+B=tan A+tan Btan A⋅tan B-1>0所以tan A⋅tan B-1=724+tan B1-724⋅tan B⋅tan B-1>0所以12tan2B+7tan B-12>0，解得tan B>34或tan B<-43(舍去)故34<tan B<247.故答案为：3 4,247.24.(2023·全国·高三专题练习)若函数f x =43x-13sin2x+a cos x在-∞,+∞内单调递增，则实数a的取值范围是___________.【答案】-423,423【解析】因函数f(x)在-∞,+∞内单调递增，则∀x∈R，f (x)=43-23cos2x-a sin x≥0，即a sin x≤43-23cos2x，整理得a sin x≤43sin2x+23，当sin x=0时，则0≤23成立，a∈R，当sin x>0时，a≤43sin x+23sin x，而43sin x+23sin x=232sin x+1sin x≥432，当且仅当2sin x=1sin x，即sin x=22时取“=”，则有a≤423，当sin x<0时，a≥43sin x+23sin x，而43sin x+23sin x=-23(-2sin x)+1-sin x≤-432，当且仅当-2sin x=1-sin x，即sin x=-22时取“=”，则有a≥-423，综上得，-423≤a≤423所以实数a的取值范围是-423,423.故答案为：-423,42325.(2023秋·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考期末)设函数f x =2sinωx+φ-1(ω>0)，若对于任意实数φ，f x 在区间π4,3π4上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是________．【答案】4,16 3【解析】令f x =0，则sinωx+φ=12，令t=ωx+φ，则sin t12，。
三角函数最值问题的十种常见解法
三角函数最值问题的十种常见解法t=sinx+cosx，则y=t+sinx*cosx，利用关系式sinx*cosx≤1可得y≤t+1，而t的取值范围为[-√2,√2]，当t=√2时，y取得最大值√2+1.五.利用导数法求极值对于一些复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解.例如对于y=2sinx+3cosx+4sin2x，求其最大值.分析]解：y'=2cosx-3sinx+8cos2x，令y'=0，得cosx=3/10或cosx=-1/2，代入原式可得y的最大值为(7+8√6)/5.六.利用三角函数的周期性对于周期函数，可以利用其周期性来求解最值问题.例如对于y=3sin(2x+π/6)+4cos(2x-π/3)，求其最大值.分析]解：由于sin和cos函数都是周期为2π的函数，因此可以将y化简为y=3sin2x+4cos2x+3√3，利用三角函数的性质可得y的最大值为7+3√3.七.利用三角函数的单调性对于单调函数，可以利用其单调性来求解最值问题.例如对于y=2sinx+3cosx，求其最小值.分析]解：y的导数y'=2cosx-3sinx，y'的符号与sinx和cosx的符号相同，因此y在[π/2,π]上单调递减，在[0,π/2]上单调递增，因此y的最小值为y(π/2)=2.八.利用三角函数的对称性对于一些具有对称性的三角函数，可以利用其对称性来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：y=sin2x+cos2x=1，因此y的最大值为1，最小值也为1.九.利用三角函数的积分性质对于一些三角函数的积分性质，可以利用其求解最值问题.例如对于y=sin2x/x，求其最大值.分析]解：y'=2cos2x/x-sin2x/x²，令y'=0，得x=tanx，代入原式可得y的最大值为2.十.利用三角函数的平均值不等式对于一些三角函数，可以利用其平均值不等式来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：由平均值不等式可得(sin2x+cos2x)/2≥sinx*cosx，因此y的最大值为1，最小值也为1.sin x+\cos x=1+2\sin x\cos x$，设$t=\sin x+\cos x$，则$2\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$，$\therefore y=\frac{t+\frac{t^2-1}{2}}{2}=\frac{t^2+t-1}{4}$，其中$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。
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三角函数最值问题—解题9法
三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常
涉及的问题。
这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。
解决这一类问
题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另
一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。
下面
就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：
一配方法
若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定
的函数化归为二次函数的最值问题来处理。
例1函数的最小值为（）.
A． 2 B . 0 C . D . 6
[分析]本题可通过公式将函数表达式化为，因含有cosx
的二次式，可换元，令cosx=t，则配方，得, 当t=1时,即cosx=1时，,选B.
例2 求函数y=5sinx+cos2x的最值
[分析]：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。
二引入辅助角法
例3已知函数当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。
[分析] 此类问题为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型求解。
解：
三利用三角函数的有界性
在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。
例4求函数的值域
[分析] 此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。
或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。
解法一：原函数变形为，可直接得到：或
解法一：原函数变形为或
例5已知函数，求函数f(x)的最小正周期和最大值。
[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。
解：
f(x)的最小正周期为，最大值为。
四引入参数法（换元法）
对于表达式中同时含有sinx+cosx，与sinxcosx的函数，运用关系式
一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。
例6 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值。
[分析]解：令sinx+cosx=t，则
，其中
当
五利用基本不等式法
利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区。
例7 求函数的最值。
解：=
当且仅当即时，等号成立，故。
六利用函数在区间内的单调性
例8已知，求函数的最小值。
[分析] 此题为型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。
设，在（0，1）上为减函数，当t=1时，。
七数形结合
由于，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得。
例9 求函数的最小值。
[分析] 法一：将表达式改写成y可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率。
由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小。
设过点A的切线与半圆相切与点B,则
可求得
所以y的最小值为（此时）.
法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=（即引入辅助角法）和有界性来求解。
八判别式法
例10求函数的最值。
[分析] 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。
解：
时此时一元二次方程总有实数解
由y=3，tanx=-1，
由
九分类讨论法
含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。
例 11设，用a表示f(x)的最大值M(a).
解：令sinx=t,则
当，即在[0，1]上递增，
当即时，在[0，1]上先增后减，
当即在[0，1]上递减，
以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见。
解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在。