北京中考数学29题新定义综合练习
2017年北京中考二模数学第29题(新定义代几综合题) (6区汇总)
2017年北京中考二模数学第29题(新定义代几综合题) （6区汇总）1.(2017北京昌平中考二模_29)（8分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大时，称∠MPN为点P 关于⊙C的“视角”．（1）如图，⊙O的半径为1，○1已知点A（0，2），画出点A关于⊙O的“视角”；若点P在直线x = 2上，则点P关于⊙O的最大“视角”的度数；○2在第一象限内有一点B（m，m），点B关于⊙O的“视角”为60°，求点B的坐标；○3若点P在直线2y x=+上，且点P关于⊙O的“视角”大于60°，求点P的横坐标Px的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（0，-1），若线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°，直接写出点C的横坐标Cx的取值范围．xx2.(2017北京通州中考二模_29)（8分）我们规定：平面内点A 到图形G 上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d ，点A 到图形G 上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D ，定义点A 到图形G 的距离跨度为R =D -d .（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy 中，图形G 1为以O 为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G 1的距离跨度： A (1,0)的距离跨度 ； B (21-,23)的距离跨度 ； C (-3,-2)的距离跨度 ；②根据①中的结果，猜想到图形G 1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是 .（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，图形G 2为以D (-1,0)为圆心，2为半径的圆，直线)1(-=x k y 上存在到G 2的距离跨度为2的点，求k 的取值范围。
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，射线x y OP 33:=（0≥x ），⊙E 是以3为半径的圆，且圆心E 在x 轴上运动，若射线OP 上存在点到⊙E 的距离跨度为2，直接写出圆心E 的横坐标x E 的取值范围3.(2017北京房山中考二模_29)（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是(1，0)，(7，0).（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB=45°，则称点P为线段AB 的“等角点”. 显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆.①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和⊙C的半径；②y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”?如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；（2）当点P在y轴正半轴上运动时，∠APB是否有最大值？如果有，说明此时∠APB最大的理由，并求出点P的坐标；如果没有，也请说明理由.4.(2017北京朝阳中考二模_29)（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r(r＞0)的⊙O和点P，给出如下定义：若r≤PO≤，则称P为⊙O的“近外点”．（1）当⊙O的半径为2时，点A(4，0)，B (52-，0)，C(0，3)，D (1，-1)中，⊙O的“近外点”是；（2）若点E（3，4）是⊙O的“近外点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径为2时，直线3y b=+（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“近外点”，直接写出b的取值范围.5.(2017北京海淀中考二模_29)（8分）在平面直角坐标系xOy 中，对于P ，Q 两点给出如下定义：若点P 到两坐标轴的距离之和等于点Q 到两坐标轴的距离之和，则称P ，Q 两点为同族点．下图中的P ，Q 两点即为同族点．（1）已知点A 的坐标为（3-，1），①在点R （0，4），S （2，2），T （2，3-）中，为点A 的同族点的是 ； ②若点B 在x 轴上，且A ，B 两点为同族点，则点B 的坐标为 ； （2）直线l ：3y x =-，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，①M 为线段CD 上一点，若在直线x n =上存在点N ，使得M ，N 两点为同族点，求n 的取值范围；②M 为直线l 上的一个动点，若以（m ，0为半径的圆上存在点N ，使得M ，N 两点为同族点，直接写出m 的取值范围．6.(2017北京石景山中考二模_29)（8分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(,)a b ，点P 的变换点P '的坐标定义如下：当a b >时，点P '的坐标为(,)a b -；当a b ≤时，点P '的坐标为(,)b a -. （1）点(3,1)A 的变换点A '的坐标是 ；点(4,2)B -的变换点为B '，连接OB ，OB '，则BOB '∠= °； （2）已知抛物线2(2)y x m =-++与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E .点P 在抛物线2(2)y x m =-++上，点P 的变换点为P '.若点P '恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP D '是菱形，求m 的值；（3） 若点F 是函数26y x =--（42x --≤≤）图象上的一点，点F 的变换点为F '，连接FF '，以FF '为直径．．作⊙M ，⊙M 的半径为r ，请直接写出r 的取值范围.备用图1 备用图2备用图3 备用图4。
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完整版)北京中考数学新定义题目汇总28.对于平面内的圆C和圆C外一点Q，定义如下：若过点Q的直线与圆C存在公共点，记为点A、B，设$k=\frac{AQ+BQ}{CQ}$，则称点A（或点B）是圆C的“k相关依附点”。
特别地，当点A和点B重合时，规定$AQ=BQ$，$k=\frac{2AQ^2}{CQ^2}$。
已知在平面直角坐标系$xOy$中，$Q(-1,0)$，$C(1,0)$，圆C的半径为$r$。
1) 当$r=2$时。
①若$A_1(0,1)$是圆C的“k相关依附点”，则$k$的值为$\frac{3}{2}$。
② $A_2(3,0)$是否为圆C的“2相关依附点”：否。
2) 若圆C上存在“k相关依附点”点M。
①当$r=1$，直线QM与圆C相切时，$k$的值为$2$。
②当$k=3$时，$r$的取值范围为$[\sqrt{\frac{3}{2}},2]$。
3) 若存在$r$的值使得直线$y=-3x+b$与圆C有公共点，且公共点是圆C的“3相关依附点”，则$b$的取值范围为$[-2\sqrt{2},2\sqrt{2}]$。
28.在平面直角坐标系$xOy$中，点M的坐标为$(x_1,y_1)$，点N的坐标为$(x_2,y_2)$，且$x_1\neq x_2$，$y_1\neq y_2$，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于$x$轴，$y$轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”。
1) 已知点$A(2,0)$，$B(0,23)$，则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为$60^\circ$。
2) 若点$C(1,2)$，点$D$在直线$y=5$上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，则直线$CD$的表达式为$y=5$。
3) 圆O的半径为2，点$P(m,1)$。
若在圆O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，则$m$的取值范围为$[-1,3]$。
28.对于平面上两点A、B，定义如下：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A、B的“确定圆”。
北京中考第29题新定义问题.docx
新定义问题练习25、在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点Pi(xi,yj与卩血2』2)的“非常距离”，给出如下定义：若丨x-x2 I M I yi-y2 I ,则点匕与点P2的“非常距离”为丨x,-x2 | ；若丨Xl-x2 I < I yi-y2 I ,则点Pi与点P2的“非常距离"为丨yi-y2 I。
例如：点匕(1,2),点P2(3,5),因为I 1-3 I < I 2-5 I ,所以点Pi与点P2的“非常距离” 为I 2—5 | =3,也就是图1中线段P】Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线PiQ与垂直于x轴的直线P2Q的交点)。
(1)已知点A(-|,0), B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；3(2)已知C是直/线丫=只+3上的一个动点，①如图2,点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3, E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标。
25.对于平而总角处标系xOy中的点P和。
C,给出如下定义：若0C±存在两个点A, B,使得ZAPB=60°，则称P为(DC的关联点。
已知点 D (-, - ), E (0, -2), F ( 2^3 , 0)2 2(1)当OO的半径为1时，①在点D, E, F中，00的关联点是____________ ；②过点F作直线交y轴正半轴于点G,使ZGFO=30°,若直线上的点P(m r 7?)是OO的关联点，求加的取值范围；(2)若线段EF上的所冇点都是某个圆的关联点，求这个鬪的半径厂的取值范围。
25. (8分)(2014・北京)对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0,对于任意的函数值y,都满足-MVySM,则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M屮，其最小值称为这个两数的边界值.例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1.（1）分别判断函数尸丄（x>0）和y=x+l （ - 4<x<2）是不是冇界函数？若是冇界函数，x求其边界值；（2）若函数y=-x+l （a<x<b, b>a）的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求b的取值范围；（3）将函数y=x2（ - l<x<m, m>0）的图彖向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t,3. （2012*陕西）如果一条抛物线y=ax2+bx+c （a#））与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.（1） _______________________________________ “抛物线三角形"一定是三角形；（2）若抛物线y=-x2+bx （b>0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，AOAB是抛物线y=-x2+b\ （$>0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD?若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说（2012-无锡）对于平面直角坐标系中的任意两点P]（x】, y,）, P2（x2, y2）,我们把|x r x2|+|y r y2| 叫做Pi、P2两点间的直角距离，记作d （P], P2）.（1）已知O为坐标原点，动点P （x, y）满足d （O, P） =1,请写出x与yZ间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画岀所有符合条件的点P所组成的图形；（2）设P（）（xo，y（））是一定点，Q（X, y）是宜线y=ax+b上的动点，我们把d （P（）, Q）的最小值叫做Po到直线y=ax+b的直角距离.试求点M （2, 1）至U直线y=x+2的直角距离.11 、01X11.(2012*厦门)如图，在平面直角坐标系中,己知点A (2, 3)、B (6, 3),连接AB.如果点P在直线y=x-l上，且点P到直线AB的距离小于1,那么称点P是线段AB的“临近点”.7 5(1)判断点C 是否是线段AB的“临近点”，并说明理由；2 2(2)若点Q (m, n)是线段AB的“临近点"，求m的取值范围.6-5~4-r A B3 - ••2-1--Fo- -1 ~2―3~4~5~6^ -1L1(12- (2012・兰州)如图，概念：若双曲线尸一(k>0)与它的其中一条对称轴y=x相交于xA、B两点，贝IJ线段AB的长度为双|11|线尸士(k>0)的对径.X(1)求双曲线尸丄的对径.(2)若双曲线y=± (k>0)的对径是10^2 ,求k的值.兀(3)仿照上述概念，概念双曲线尸-(k<0)的对径.(2012-台州)概念：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离.已知0 (0, 0), A (4, 0), B (m, n), C (m+4, n)是平面直角坐标系中四点.(1)根据上述概念，当m=2, n=2时，如图1,线段BC与线段OA的距离是 _________ ；当m=5, n=2时，如图2,线段BC与线段OA的距离(即线段AB长)为____________________________________________________________________________ ；(2)如图3,若点B落在圆心为A,半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d, 求d 关于m的函数解析式.(3)当m的值变化吋，动线段BC与线段OA的距离始终为2,线段BC的屮点为M,①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为(0, 2), m>0, n>0,作MN丄x轴，垂足为H,是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与AAOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.。
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26.定义：对于线段MN和点P，当PM=PN，且∠MPN≤120°时，称点P为线段MN的“等距点”.特别地，当PM=PN，且∠MPN=120°时，称点P为线段MN的“强等距点”.如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为.(1)若点B是线段OA的“强等距点”，且在第一象限，则点B的坐标为（，）；(2)若点C是线段OA的“等距点”，则点C的纵坐标t的取值范围是；(3)将射线OA绕点O顺时针旋转30°得到射线l，如图2所示．已知点D在射线l上，点E在第四象限内，且点E既是线段OA的“等距点”，又是线段OD的“强等距点”，求点D坐标.26．如图，在平面直角坐标系中，已知点A (2，3)、B (6，3)，连接AB ．如果对于平面内一点P ，线段AB 上都存在点Q ，使得PQ ≤1，那么称点P 是线段AB 的“附近点”． （1）请判断点D （4.5，2.5）是否是线段AB 的“附近点”； （2）如果点H (m ，n )在一次函数256-=x y 的图象上，且是线段AB 的“附近点”，求m 的取值范围；（3）如果一次函数b x y +=的图象上至少．．存在一个“附近点”，请直接写出b 的取值范围．29. 直线与四边形的关系我们给出如下定义：如图1，当一条直线与一个四边形没有公共点时，我们称这条直线和这个四边形相离.如图2，当一条直线与一个四边形有唯一公共点时，我们称这条直线和这个四边形相切. 如图3，当一条直线与一个四边形有两个公共点时，我们称这条直线和这个四边形相交．（1） 如图4,矩形AOBC 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，OA=3，OB=2，直线y=x+2与矩形AOBC 的关系为 ． （2） 在（1）的条件下，直线y=x+2经过平移得到直线y=x+b ，当直线y=x+b ，与矩形AOBC 相离时，b 的取值范围是 ； 当直线y=x+b ，与矩形AOBC 相交时，b 的取值范围是 ． （3） 已知P （m ，m+2），Q （3，m+2），M （3，1），N （m ，1），当直线y=x+2与四边形PQMN相切且线段QN 最小时，利用图5求直线QN 的函数表达式．ABDCABDCABDC图1 图2 图329．对于平面直角坐标系中的任意点(,)P x y ，点P 到x ，y 轴的距离分别为d 1，d 2我们把d 1+d 2称为点P 的直角距离．记作d ，即12d d d =+．直线y =－2x +4分别与x ，y 轴交于点A ，B ，点P 在直线上．（1）当P 为线段AB 的中点时，d =________；（2）当d =3时，求点P 的坐标；（3）若在线段AB 上存在无数个P 点，使d 1+ad 2=4（a 为常数），求a 的值．26．在平面直角坐标系xOy 中，过象限内一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”.如右图，过点H （-3,6）分别作x 轴，y 轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAHB 的周长与面积相等，则点H （3,6）是“和谐点”.（1）H 1（1,2）, H 2（4,-4）, H 3（-2,5）这三个点中的“和谐点”为 ； （2）点C (-1,4)与点P （m ，n ）都在直线y x b =-+上，且点P 是“和谐点”.若m ＞0，求点P 的坐标．x29．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（a ，b ），点P 的“变换点”P ’的坐标定义如下：当a b ≥时，P ’点坐标为（b ，－a ）；当a b <时，P ’点坐标为（a ，－b ）． （1）求A （5，3），B （1，6），C （－2，4）的变换点坐标； （2）如果直线l 与x 轴交于点D （6，0），与y 轴交于点E （0，3）直线l 上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W ， 请画出图形W ，并简要说明画图的思路；（3）若直线y =kx －1（k ≠0）与图形W 有两个交点，请直接 写出k 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图1，矩形ABCD为△DEF的投影矩形，其投影比BCkAB ．图1 图2备用图（1）如图2，若点A（1，3），B（3，5），则△OAB投影比k的值为．（2）已知点C（4，0），在函数24=-（其中2y xx<）的图象上有一点D，若△OCD 的投影比2k=，求点D的坐标．（3）已知点E（3，2），在直线1=+上有一点F（5，a）和一动点P，若△PEF的y x投影比12<<，则点P的横坐标m的取值范围________________（直接写出答案）．k。
北京中考数学29题新定义综合练习
.寒假作业之新定义1．在平面直角坐标系xOy 中，对于点 P（ x， y）（x≥0）的每一个整数点，给出以下定义：假如 P'( x , y ) 也是整数点，则称点P ' 为点P的“整根点”．比如：点（ 25，36 ）的“整根点”为点（5，6）.（1）点 A（ 4，8）， B（ 0， 16），C（25，－ 9）的整根点能否存在，若存在请写出整根点的坐标；（2）假如点 M 对应的整根点M '的坐标为（ 2， 3），则点 M 的坐标；（3）在座标系有一张口朝下的二次函数y ax24x(a≠0），假如在第一象限的二次函数图像部（不在图像上），若存在整根点的点只有三个y恳求出实数 a 的取值围 .xO备用图.2..如图，对于平面直角坐标系xOy 中的点 P 和线段 AB，给出以下定义：假如线段 AB 上存在两个点 M，N，使得∠ MPN=30 °，那么称点 P 为线段 AB 的陪伴点．y4P32A M N B1–1O1234x–1（ 1）已知点A（-1 ， 0），（1，0）及D（1， -1 ），E53，（0，3），B,F22①在点 D，E，F 中，线段 AB 的陪伴点是；②作直线 AF，若直线 AF 上的点 P（ m，n）是线段 AB 的陪伴点，求m 的取值围；（2）平面有一个腰长为 1 的等腰直角三角形，若该三角形边上的随意一点都是某条线段a.的陪伴点，请直接写出这条线段 a 的长度的围．y4321-4 -3 -2 -1 O1234 x-1-2-3-43. 若抛物线 L：y ax 2bx c a，b，c是常数，且 abc 0 与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L 的极点在直线 l 上，则称此抛物线 L 与直线 l 拥有“一带一路”关系，而且将直线l 叫做抛物线L 的“路线”，抛物线 L 叫做直线 l 的“带线”.(1) 若“路线l”的表达式为y2x 4 ，它的“带线”L的极点在反比率函数 y 6(x＜0)的图象上，求x“带线L”的表达式；(2)假如抛物线y mx22mx m 1 与直线y nx 1拥有“一带一路”关系，求m,n的值；(3)设(2) 中的“带线”与它的“路线”在y 轴上的交点为. 已知点P为“带线”上的点，当以点L l A L P 为圆心的圆与“路线”l相切于点 A 时，求出点 P 的坐标 .y 321–2–1O123x –1备用图′4．在平面直角坐标系xOy 中，定义点 P（ x,y）的变换点为 P (x+y, x-y) ．(1)如图 1，假如⊙ O 的半径为2 2，①请你判断M (2,0)，N (-2,-1) 两个点的变换点与⊙ O 的地点关系；′②若点 P 在直线 y=x+2 上，点 P 的变换点 P在⊙O 的，求点 P 横坐标的取值围 .(2)如图 2，假如⊙O 的半径为 1,且 P 的变换点 P’在直线 y=-2x+6 上，求点 P 与⊙O 上随意一点距离的最小值．5.在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为 x 1, y 1 ，点 Q 的坐标为 x 2 , y 2 ，且 x 1 x 2 ，y 1 y 2 ，若 P,Q 为某 个菱形的两个相对极点，且该菱形的一边与x 轴平行，则称该菱形为点 P,Q 的“相关菱形”，以下图为点 P, Q 的“有关菱形”的表示图．（ 1）已知点 A 的坐标为 0,1 ，点 B 的坐标为 3,4 ，且点 A, B 的“有关菱形”为形，则此“有关菱形”的周长为；（ 2）若点 C 的坐标为0,3 ，点 D 在直线 y 43 上，且 C, D 的“有关菱形”有一个角为60o ，求点 D 的坐标；（ 3）⊙ O 的半径为 3 ，点 M 的坐标为 m,3 3（此中 m 0 ），若在⊙ O 上存在一点 N ，使 m得点 M , N 的“有关菱形”有一个角为60o ，直接写出 m 的取值围．Word 资料.6.阅读资料：①直线l 外一点P到直线l的垂线段的长度，叫做点P到直线l的距离，记作d（，）P l②两条平行线 l1，l 2，直线上 l1随意一点到直线 l2的距离，叫做这两条平行线 l1，l2之间的距离，记着 d（l1，l2）；③若直线 l1， l2订交，则定义d（l1，l2）=0④对于同一条直线 l ，我们定义 d（ l ， l ） =0。
西城初三数学新定义试卷
一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列新定义中，符合数学概念的是（）A. 某数的因数个数称为该数的“因数度”B. 任意一个正整数称为“自然数”C. 一个数与其相反数的和称为该数的“和数”D. 任意两个数相加得到的结果称为该数的“和数”2. 设新定义的运算“”满足ab = a^2 + b^2，则（32）4的值为（）A. 37B. 49C. 25D. 813. 在新定义的几何图形“圆环”中，内圆半径为r，外圆半径为R（R>r），则圆环的面积为（）A. πR^2 - πr^2B. πR^2 + πr^2C. 2πR^2 - 2πr^2D. 2πR^2 + 2πr^24. 设新定义的数列{an}满足an = 2^(n-1)，则数列{an}的第10项为（）A. 2^9B. 2^10C. 2^11D. 2^125. 在新定义的运算“÷”中，a÷b = a - b，则（5÷3）÷2的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 下列新定义中，符合集合性质的是（）A. 所有不大于5的自然数组成的集合B. 所有正奇数组成的集合C. 所有偶数组成的集合D. 所有不小于0的实数组成的集合7. 设新定义的运算“+”满足a+b = ab，则（2+3）+4的值为（）A. 6B. 8C. 9D. 128. 在新定义的几何图形“平行四边形”中，对边平行且相等，对角线互相平分，则该图形的面积公式为（）A. 底×高B. 底×（底+高）C. 对角线乘积的一半D. 对角线乘积9. 设新定义的数列{an}满足an = n^2 - 3n + 2，则数列{an}的前5项和为（）A. 15B. 25C. 35D. 4510. 在新定义的运算“×”中，a×b = a/b，则（4×2）×3的值为（）A. 4/6B. 6/4C. 2/3D. 3/2二、填空题（每题5分，共50分）11. 设新定义的运算“@”满足a@b = a - b，则2@3@4的值为______。
中考数学复习提分专练：新定义问题(有答案)
2021届中考数学复习提分专练：新定义问题一、单选题1.龙在电脑中设置了一个运算程序：输入数a ，加“⊗”键，再输入数b ，得到运算222a b ab a b =⊗+.若23a b =-=，，则输出的值为( ).A.9-B.12-C.24-D.62.我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知9046A BD CF ∠=︒==，，，则正方形ADOF 的边长是（ ）AB ．2CD ．4二、填空题3.规定一种运算:*ab a b a b =+,计算()2*3-的值__________.4.如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径.在另两个顶点间作一段圆弧.三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为a ，则勒洛三角形的周长为 .5.如图，在四边形ABCD 中，,AB CB AD CD ==，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.筝形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O .以点B 为圆心，BO 长为半径画弧，分别交,AB BC 于点,E F .若301ABD ACD AD ∠=∠=︒=，，则EF 的长为_________（结果保留π）.三、解答题6.定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数.如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--.已知113a =-， （1）2a 是1a 的差倒数，求2a ；（2）3a 是2a 的差倒数，求3a ；（3）4a 是3a 的差倒数，…，依次类推1n a +是n a 的差倒数，直接写出2019a .7.我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”.（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究：如图①，在等邻角四边形ABCD 中，DAB ABC ∠=∠，,AD BC 的中垂线恰好交于AB 边上一点P ，连接,AC BD ，试探究AC 与BD 的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展：如图②，在Rt ABC △与Rt ABD △中，90C D ∠=∠=︒，3BC BD ==，5AB =，将Rt ABD △绕着点A 顺时针旋转角(0)BAC αα︒<∠<∠，得到Rt ''AB D △（如图③），当凸四边形'AD BC 为等邻角四边形时，求出它的面积.8.定义:一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且AC 垂直平分BD .(1)请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质:性质1: ;性质2: .(2)若//AB CD ，求证：四边形ABCD 为菱形.9.定义：若四边形中某个顶点与其它三个顶点的距离相等，则这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点.（1）判断：一个内角为120°的菱形 等距四边形.（填“是”或“不是”）（2）如图，在5×5的网格图中有A B 、两点，请在答题卷给出的两个网格图上各找出C D 、两个格点，使得以A B C D 、、、为顶点的四边形为互不全等的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”，并写出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长.端点均为非等距点的对角线长为 端点均为非等距点的对角线长为（3）如图，已知ABE △与CDE △都是等腰直角三角形，90AEB DEC ∠=∠=︒，连结AD AC BC ，，，若四边形ABCD 是以A 为等距点的等距四边形，求BCD ∠的度数.参考答案1.答案：C由222a b ab a b ⊗=+得22(2)32(2)3(2)3-⊗=⨯-⨯+-⨯计算，得(2)32(2)943-⊗=⨯-⨯+⨯计算得(2)324-⊗=-故选C.2.答案：B设正方形ADOF 的边长为x ，由题意得：46BE BD CE CF ====，，10BC BE CE BD CF ∴=+=+=，在Rt ABC △中，222AC AB BC =+，即222(6)(4)10x x +++=，整理得，210240x x +-=，解得：2x =，或12x =-（舍去）， 2x ∴=，即正方形ADOF 的边长是2；故选：B ．3.答案：6 根据新定义得到2(3)2(3)2(3)⨯-+*-=-,再分别进行分子与分母,然后进行除法运算即可. 解答:解:2(3)62(3)62(3)1⨯--*-===+--. 故答案为6.4.答案：πa如图.ABC △是等边三角形， 60,A B C ∴∠=∠=∠=°,AB BC CA a ===AB ∴的长=BC 的长=CA 的长=60ππ,1803a a = ∴勒洛三角形的周长为π3π3a a ⨯=.5.答案：π2本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、特殊角的三角函数值、全等三角形的判定及性质、弧长公式.,,AD CD AB CB BD ==∴是线段AC 的垂直平分线.在Rt AOD中，30,1,cos301DAC ACD AD AO AD ∠=∠==∴=⋅=︒︒又在Rt AOB中，330,tan 302AO ABD OB ∠=∴︒==︒=.在Rt AOB 和Rt COB 中，AB CB =,Rt Rt (HL),OB OB AOB COB ABD =∴≅∴∠=30CBD ∠=︒，即360ππ260,1802EF ABC l ⋅∠=︒∴==，即EF 的长为π2. 6.答案：（1）解：根据题意，得21131441()33a ===--. （2）根据题意，得311431144a ===-. （3）由12341311,,4,34143a a a a =-====--，…，知每3个数循环一次 20193673÷=，20194a ∴=.7.答案：（1）矩形（2）AC BD =.理由如下：如图①，连接,PD PC .PE 是AD 的中垂线，PF 是BC 的垂线，,PA PD PC PB ∴==,PAD PDA PBC PCB ∴∠=∠∠=∠，2DPB PAD ∴∠=∠，2APC PBC ∠=∠而PAD PBC ∠=∠，APC DPB ∴∠=∠(SAS)APC DPB ∴≅△△，AC BD ∴=（3）（I ） 如图②，当''AD B D BC ∠=∠时，延长'AD ，CB 交于E ，'','ED B EBD EB ED ∴∠=∠∴=设'EB ED x ==由勾股定理可得'4AC AD ==在Rt ACE △中，222AC CE AE +=2224(3)(4)x x ∴++=+，解得 4.5x =过点'D 作'D F CE ⊥于点F ，'90EFD C ∴∠=∠=︒又,'E E ED F EAC ∠=∠∴△△''D F ED AC AE ∴=，即' 4.544 4.5D F =+，解得36'17D F =. 114(3 4.5)1522ACE S AC EC ∴=⨯=⨯⨯+=△， '113681' 4.5221717BD E S BE D F =⨯=⨯⨯=△， ''81415101717ACE BD E ACBD S S S ∴=-=-=四边形△△ （II ）如图③，当'90D BC ACB ∠=∠=︒时，过点'D 作'D E AC ⊥于点E .∴四边形'ECBD 是矩形.'3ED BC ∴==.在Rt 'AED △中，222''AE ED AD +=AE ∴=='11'322AED S AE ED ∴=⨯==△'(4312ECBD S CE CB =⨯=⨯=-矩形''1212AED ECBD ACBD S S S ∴=+=-=矩形四边形△'8.答案：(1)由筝形的定义得:对角线互相垂直，即AC BD ⊥，是轴对称图形，对称轴为直线AC .故答案为对角线互相垂直，是轴对称图形.(2)证明:AC 垂直平分BD ，AB AD ∴=，BO DO =，BC DC =，//AB CD ，ABO ODC ∠=∠，在ABO △和CDO △中，ABO ODC BO DO AOB COD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA AOB COD ∴≅△△，AB CD ∴=，AB CD BC AD ∴===，∴四边形ABCD 为菱形.9.答案：（1）是（2）（3）解：连接BD∵ABE △与CDE △都是等腰直角三角形∴,DE EC AE EB ==,DEC BEC AEB BEC ∠+∠=∠+∠即 AEC DEB ∠=∠∴AEC BED ≅△△∴AC BD = ∵四边形ABCD 是以A 为等距点的等距四边形∴AD AB AC ==∴AD AB BD ==∴ABD △是等边三角形∴60DAB ∠=︒∴ 604515DAE DAB EAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒∵,,AD AC DE EC AE AE ===∴AED AEC ≅△△∴15CAE DAE ∠=∠=︒∴30DAC CAE DAE ∠=∠+∠=︒, 30BAC BAE CAE ∠=∠-∠=︒ ∵,AB AC AC AD == ∴18030752ACB ︒-︒∠==︒,18030752ACD ︒-︒∠==︒ ∴7575150BCD ACB ACD ∠=∠+∠=︒+︒=︒。
中考数学：新定义创新型综合压轴问题真题+模拟(原卷版北京专用)
中考数学新定义创新型综合压轴问题【方法归纳】新定义＂型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。
它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂；（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。
解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。
北京中考最后一题的新定义主要涉及函数与圆的有关新定义问题，属于函数的范畴，已经考过“对应点”、“关联线段”、“平移距离”“闭距离”、“相关矩形”、“反称点”、“有界函数”、“关联点”等新定义。
在平时的教学过程中要从细节中挖掘出数学的本质特征，引领学生找到解决问题的思想方法。
解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决。
【典例剖析】【例1】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点P向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图，点M(1,1),点N在线段OM的延长线上，若点P(−2,0),点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；OM;②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=12(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t(1<t<1)，若P为⊙O外2一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）【例2】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′,C′分别是B,C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A,B1,C1,B2,C2,B3,的横､纵坐标都是整数．在线段B1C1,B2C2,B3C3中，⊙O 的以点A为中心的“关联线段”是______________；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0,t)，其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB=1,AC=2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC长．【真题再现】1．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′,B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦P 1P 2和P 3P 4，则这两条弦的位置关系是 ；在点P 1,P 2,P 3,P 4中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =√3x +2√3上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1，求d 1的最小值；（3）若点A 的坐标为(2,32)，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 2，直接写出d 2的取值范围．2（2019·北京·中考真题）在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE⌢上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE⌢为△ABC 的中内弧．例如，下图中DE ⌢是△ABC 的一条中内弧．（1）如图，在Rt △ABC 中，AB =AC =2√2，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．画出△ABC 的最长的中内弧DE⌢，并直接写出此时DE ⌢的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，B(0,0)，C(4t,0)(t >0)，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．①若t =12，求△ABC 的中内弧DE⌢所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围；②若在△ABC 中存在一条中内弧DE⌢，使得DE ⌢所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．3．（2018·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d （M ，N ）．已知点A （−2，6），B （−2，−2），C （6，−2）．（1）求d （点O ，△ABC ）；（2）记函数y =kx （−1≤x ≤1，k ≠0）的图象为图形G ，若d （G ，△ABC ）=1，直接写出k 的取值范围；（3）⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为1．若d （⊙T ，△ABC ）=1，直接写出t 的取值范围． 4.（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 存在一点Q ，使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点．（1）当⊙O 的半径为2时，①在点P 1(12,0),P 2(12,√32),P 3(52,0) 中，⊙O 的关联点是_______________． ②点P 在直线y=-x 上，若P 为⊙O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y=-x+1与x 轴、y 轴交于点A 、B ．若线段AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．5．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2），且x 1≠x 2，y 1≠y 2，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与，Q 的“相关矩形”．下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A 的坐标为（1，0）．①若点B 的坐标为（3，1）求点A ，B 的“相关矩形”的面积；②点C 在直线x=3上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；（2）⊙O 的半径为，点M 的坐标为（m ，3）．若在⊙O 上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．6．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．，0），T（1，√3）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求①分别判断点M（2，1），N（32其坐标；②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；x+2√3与x轴、y轴分别交于点A，B，若（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣√33线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．7．（2014·北京·中考真题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．(x>0)和y=x+1(−4<x≤2)是不是有界函数？若是有界函数，（1）分别判断函数y=1x求其边界值；（2）若函数y=−x+1(a⩽x⩽b,b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2(−1≤x≤m，m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值≤t≤1？是t，当m在什么范围时，满足348．（2013·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得∠APB=60°，则称P 为⊙C 的关联点．已知点D （，），E （0，－2），F （，0）（1）当⊙O 的半径为1时，①在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是 ；②过点F 作直线交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO=30°，若直线上的点P （m ，n ）是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围．【模拟精练】一、解答题1．（2022·北京朝阳二模）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，AB =1，且A ，B 两点中至少有一点在⊙O 外．给出如下定义：平移线段AB ，得到线段A ′B ′（A ′，B ′分别为点A ，B 的对应点），若线段A ′B ′上所有的点都在⊙O 的内部或⊙O 上，则线段AA ′长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．(1)如图1，点A 1，B 1的坐标分别为（－3，0），（－2，0），线段A 1B 1到⊙O 的“平移距离”为___，点A 2，B 2的坐标分别为（－12，√3），（12，√3），线段A 2B 2到⊙O 的“平移距离”为___；(2)若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d的最小值；(3)如图2，若点A坐标为（1，√3），线段AB到⊙O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形（不需证明）．2．（2022·北京北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段PQ给出如下定义：若线段PQ与⊙O有两个交点M，N，且PM=MN=NQ，则称线段PQ是⊙O的“倍弦线”．(1)如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段AB，AD，CB，CD中，⊙O的“倍弦线”是_____________；(2)⊙O的“倍弦线”PQ与直线x=2交于点E，求点E纵坐标y E的取值范围；(3)若⊙O的“倍弦线”PQ过点(1,0)，直线y=x+b与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．3．（2022·北京大兴·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和直线y=1，给出如下定义：若点P在直线y=1上，且以点P为顶点的角是45°，则称点P为直线y=1的“关联点”．(1)若在直线x=1上存在直线y=1的“关联点”P．则点P的坐标为_____；(2)过点P(2,1)作两条射线，一条射线垂直于x轴，垂足为A；另一条射线、交x轴于点B，若点P为直线y=1的“关联点”．求点B的坐标；(3)以点O为圆心，1为半径作圆，若在⊙O上存在点N，使得∠OPN的顶点P为直线y=1的“关联点”．则点P的横坐标a的取值范围是________．4．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形G及过定点P(3,0)的直线l，有如下定义：过图形G上任意一点Q作QH⊥l于点H，若QH+PH有最大值，那么称这个最大值为图形G关于直线l的最佳射影距离，记作d(G,l)，此时点Q称为图形G关于直线l的最佳射影点．(1)如图1，已知A(2,2)，B(3,3)，写出线段AB关于x轴的最佳射影距离d(AB,x轴)=____________；(2)已知点C(3,2)，⊙C的半径为√2，求⊙C关于x轴的最佳射影距离d（⊙C，x轴），并写出此时⊙C关于x轴的最佳射影点Q的坐标；(3)直接写出点D(0,√3)关于直线l的最佳射影距离d(点D,l)的最大值．5．（2022·北京·清华附中一模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM=QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．(1)如图1，已知点A(0,3)，B(2,3)；①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是______，最大值是______；,0)，P2(1,4)，P3(−3,0)这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是______．②在P1(32(2)如图2，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为（5，0）．若点E(x,2)在第一象限，且点D 与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；(3)如图3，已知点H(−3,0)，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点C(a,b)（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC=5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若HK上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．6．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”．如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．(1)当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是；(2)当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求CP的值．OQ 7．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果线段OP与图形W无公共点，则称点P为关于图形W的“阳光点”；如果线段OP与图形W有公共点，则称点P为关于图形W的“阴影点”．(1)如图1，已知点A（1，3），B（1，1），连接AB．①在P1（1，4），P2（1，2），P3（2，3），P4（2，1）这四个点中，关于线段AB的“阳光点”是；②线段A1B1∥AB，A1B1上的所有点都是关于线段AB的“阴影点”，且当线段A1B1向上或向下平移时，都会有A1B1上的点成为关于线段AB的“阳光点”，若，A1B1的长为4，且点A1在B1的上方，则点A1的坐标为．(2)如图2，已知点C（1，√3），⊙C与y轴相切于点D，若⊙E的半径为3，圆心E在直线2l：y=−√3x+4√3上，且⊙E的所有点都是关于⊙C的“阴影点”，求点E的横坐标的取值范围；(3)如图3，⊙M的半径为3，点M到原点的距离为5，点N是⊙M上到原点距离最近的点，点Q和T是坐标平面的两个动点，且⊙M上的所有点都是关于△NQT的“阴影点”直接写出△NQT的周长的最小值．8．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”，已知O（0，0），A（1，√2），B （m，n），C（m，n+2）是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，完成下面的问题：①当m＝2√2，n=√2时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是；②当m＝2√2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是√2，则n的取值范围是；(2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为√2的圆上，当n≥√2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为√2，线段BC的中点为M．直接写出点M随线段BC运动所走过的路径长．9．（2022·北京市师达中学模拟预测）如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少．．一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy中，点E，F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．(1)分别以点A（1，0），B（1，1），C（3，2）为圆心，1为半径作圆，得到⊙A，⊙B和⊙C，其中是∠EOF的角内圆的是；(2)如果以点D（t，2）为圆心，以1为半径的⊙D为∠EOF的角内圆，且与直线y=x有公共点，求t的取值范围；(3)点M在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点P（2，2√3）的圆为∠EMO的角内相切圆，直接写出∠EOM的取值范围．10．（2021·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度．（1）已知点N（2，0），在点M1(0,2√3)，M2(1,√3)，M3(2,3)中，对线段ON的可视度为360º的点是______．（2）如图2，已知点A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）．①直接写出点E对四边形ABCD的可视度为______°；②已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45°，求a的值．11．（2022·北京四中模拟预测）在平面内，对点组A1，A2，...，An和点P给出如下定义：点P与点A1，A2，...，An的距离分别记作d1，d2，...，dn，数组d1，d2，...，dn的中位数称为点P对点组A1，A2，...，An的中位距离．例如，对点组A1（0，0），A2（0，3），A3（4，1）和点P（4，3），有d1＝5，d2＝4，d3＝2，故点P对点组A1，A2，A3的中位距离为4．(1)设Z1（0，0），Z2（4，0），Z304），Y（0，3），直接写出点Y对点组Z1，Z2，Z3的中位距离；(2)设C1（0，0），C2（8，0），C3（6，6），则点Q1（7，3），Q2（3，3），Q3（4，0），Q4（4，2）中，对点组C1，C2，C3的中位距离最小的点是，该点对点组C1，C2，C3的中位距离为；(3)设M（1，0），N(0,√3)，T1（t，0），T2（t+2，0），T3（t，2），若线段MN上任意一点对点组T1，T2，T3的中位距离都不超过2，直接写出实数t的取值范围．12．（2020·北京·人大附中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于平面中的点P，Q和图形M，若图形M上存在一点C，使∠PQC=90°，则称点Q为点P关于图形M的“折转点”，称△PCQ为点P关于图形M的“折转三角形”（1）已知点A(4,0)，B(2,0)①在点Q1(2,2)，Q2(1,−√3)，Q3(4,−1)中，点O关于点A的“折转点”是______；②点D在直线y=−x上，若点D是点O关于线段AB的“折转点”，求点D的横坐标x D的取值范围；（2）⊙T的圆心为(t,0)，半径为3，直线y=x+2与x，y轴分别交于E，F两点，点P为⊙T 上一点，若线段EF上存在点P关于⊙T的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t的取值范围．13．（2020·北京市陈经纶中学分校三模）平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W，若图形W上存在一点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称点M与图形W是“中心轴对称”的对于图形W1和图形W2，若图形W1和图形W2分别存在点M和点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称图形W1和图形W2是“中心轴对称”的．特别地，对于点M和点N，若存在一条经过原点的直线l，使得点M与点N关于直线l对称，则称点M和点N是“中心轴对称”的．（1）如图1，在正方形ABCD中，点A(1,0)，点C(2,1)，①下列四个点P1(0,1)，P2(2,2)，P3(−12,0)，P4(−12,−√32)中，与点A是“中心轴对称”的是________；②点E在射线OB上，若点E与正方形ABC D是“中心轴对称”的，求点E的横坐标x E的取值范围;（2）四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为G(−2,2)，H(2,2)，J(2,−2)，K(−2,−2),一次函数y=√3x+b图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段与四边形GHJK是“中心轴对称”的，直接写出b的取值范围．14．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点Q，给出如下定义：将图形G绕点Q顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形G关于点Q的“垂直图形”，例如，图1中线段OD为线段OC关于点O的“垂直图形”．(1)线段MN关于点M(1,1)的“垂直图形”为线段MP．①若点N的坐标为(1,2)，则点P的坐标为__________；②若点P的坐标为(4,1)，则点N的坐标为__________；(2)E(−3,3),F(−2,3),H(a,0)．线段EF关于点H的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点的对应点为F′．①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．15．（2022·北京丰台·xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B 为⊙O上任意一点，给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，p=0），最大值为q，那么把p+q的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d（A，2⊙O）(1)如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数①d（D，⊙O）＝__________；②若点M在线段EF上，求d（M，⊙O）的取值范围；(2)若点N在直线y=√3x+2√3上，直接写出d（N，⊙O）的取值范围；(3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，⊙O）的最小值为1，最大值为√10，直接写出m的最小值和最大值．16．（2022·北京平谷·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d(P,Q)．已知点A(−2,2)，B(2,2)，连接AB．(1)d（点O，AB）＝；(2)⊙O半径为r，若d(⊙O,AB)=0，直接写出r的取值范围；(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°(0°<α<180°)，得到点A′．①当α=30°时d(⊙O,A′)=0，求出此时r的值；②对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A′)=0，直接写出r的范围．17．（2022·北京密云·二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P(2,3)与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．(1)如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．②点M(m,0)为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．(2)已知一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．18．（2022·北京门头沟·二模）我们规定：如图，点H在直线MN上，点P和点P′均在直线MN的上方，如果HP=HP′，∠PHM=∠P′HN，点P′就是点P关于直线MN的“反射点”，其中点H为“V点”，射线HP与射线HP′组成的图形为“V形”．在平面直角坐标系xOy中，(1)如果点P(0,3) ，H(1.5,0)，那么点P关于x轴的反射点P′的坐标为；(2)已知点A(0,a) ，过点A作平行于x轴的直线l．①如果点B(5,3) 关于直线l的反射点B′和“V点”都在直线y=−x+4上，求点B′的坐标和a的值；②⊙W是以(3,2) 为圆心，1为半径的圆，如果某点关于直线l的反射点和“V点”都在直线y=−x+4上，且形成的“V形”恰好与⊙W有且只有两个交点，求a的取值范围．19．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则称点C为图形G的“友好点”．(1)已知点O(0,0)，M(4,0)，在点C1(0,4)，C2(1,4)，C3(2,−1)中，线段OM的“友好点”是_______；(2)直线y=−x+b分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点C(2,1)为线段PQ的“友好点”，求b 的取值范围；(3)已知直线y=x+d(d>0)分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O的“友好点”，直接写出d的取值范围．20．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点R和线段PQ，给出如下定义：M为线段PQ上任意一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段PQ的长，则称点R为线段PQ的“等距点”．(1)已知点A(5,0)．①在点B1(−3,4)，B2(1,5)，B3(4,−3)，B4(3,6)中，线段OA的“等距点”是______；②若点C在直线y=2x+5上，并且点C是线段OA的“等距点”，求点C的坐标；(2)已知点D(1,0)，点E(0,−1)，图形W是以点T(t,0)为圆心，1为半径的⊙T位于x轴及x 轴上方的部分．若图形W上存在线段DE的“等距点”，直接写出t的取值范围．21．（2022·北京市十一学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意一点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)已知，点A(−4√2,2)，B(2√2,2)．①原点O到线段AB上一点的最大距离为_______，最小距离为_______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为4，求m的取值范围；(2)已知OM=7，等边△DEF的三个顶点均在半径为3的⊙M上．求△DEF的“全距”d的取值范围．22．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M、N 可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系(1)如图1，点C(√3,0),D(0,−1),E(0,1)，点P在线段CE上运动（点P可以与点C，E重合），连接OP,DP．①线段OP的最小值为__________，最大值为__________；线段DP的取值范围是__________；②在点O，点D中，点__________与线段EC满足限距关系；(2)在（1）的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；(3)⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．23．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于△ABC和直线l给出如下定义：若△ABC的一条边关于直线l的对称线段PQ是⊙O的弦，则称△ABC是⊙O 的关于直线l的“关联三角形”“关联轴”．(1)如图1，若△ABC是⊙O的关于直线l的“关联三角形”，请画出△ABC与⊙O的“关联轴”（至少画两条）；(2)若△ABC中，点A坐标为(2,3)，点B坐标为(4,1)，点C在直线y=−x+3的图像上，存在“关联轴l”使△ABC是⊙O的关联三角形，求点C横坐标的取值范围；(3)已知A(√3,1)，将点A向上平移2个单位得到点M，以M为圆心MA为半径画圆，B，C为⊙M 上的两点，且AB=2（点B在点A右侧），若△ABC与⊙O的关联轴至少有两条，直接写出OC 的最小值和最大值，以及OC最大时AC的长．24．（2022·北京市十一学校二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．(1)已知点A（6，8），在点Q1(5,0)，Q2(−2,4)，Q3(9,5)中，________是点A的“直角点”；(2)已知点B（-4，4），C（3，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；(3)在（2）的条件下，已知点D（m-1，0），E（m，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，求m的取值范围．25．（2022·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意―点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P 到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)如图，点A(−√3,1)，B(√3,1)．①原点O到线段AB上一点的最大距离为______，最小距离为______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为1，求m的取值范围；(2)已知OM＝2，等边△DEF的三个顶点均在半径为1的⊙M上．请直接写出△DEF的“全距”d 的取值范围．26．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x 轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．(1)已知点A(1，2)，求点A的“关联三角形”的面积；(2)如图，已知点B(m，n)，⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T 有公共点，直接写出m的取值范围；(3)已知⊙O的半径为r，OP=2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．27．（2022·北京一七一中一模）已知平面直角坐标系xOy中，对于线段MN及P、Q，若∠MPN= 45°且线段MN关于点P的中心对称线段M′N′恰好经过点Q，则称Q是点P的线段MN−45°对经点.(1)设点A(0,2)，①Q1(4,0)，Q2(2,2)，Q3(2+√7,1)，其中为某点P的线段OA−45°对经点的是___________.②选出①中一个符合题意的点Q，则此时所对应的对称中心P的坐标为.③已知B(0,1)，设⊙B的半径是r，若⊙B上存在某点P的线段OA−45°对经点，求r的取值范围.(2)已知C(0,t)，D(0,−t)(t>0)，若点Q(4,0)同时是相异两点P1，P2的线段CD−45°对经点，直接写出t的取值范围.28．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，已知点A，过点A 作直线MN．对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与⊙O有两个交点时，则称MN是⊙O的“双关联直线”，与⊙O有一个交点P时，则称MN是⊙O的“单关联直线”，AP⊙O的“单关联线段”．(1)如图1，A(0,4)，当MN与y轴重合时，设MN与⊙O交于C，D两点．则MN是⊙O的“______的值为______；关联直线”（填“双”或“单”）；ACAD(2)如图2，点A为直线y=−3x+4上一动点，AP是⊙O的“单关联线段”．①求OA的最小值；②直接写出△APO面积的最小值．29．（2022·北京市燕山教研中心一模）对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR使得S△PQR=PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ 的“等幂点”．(1)已知A(2,0)．①在点P1(2,4),P2(1,2),P3(−4,1),P4(1,−4)中，线段OA的“等幂点”是____________；②若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；(2)已知点C的坐标为C(2,−1)，点D在直线y=x−3上，记图形M为以点T(1,0)为圆心，2为半径的⊙T位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形”△CDE 为锐角三角形，直接写出点D的横坐标x D的取值范围．30．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，对于平面上任一点P，我们定义：若在⊙O上存在一点A，使得点P关于点A的对称点点B在⊙O内，我们就称点P为⊙O的友好点．(1)如图1，若r为1．①已知点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，0）中，是⊙O的友好点的是；②若点P（t，0）为⊙O的友好点，求t的取值范围；(2)已知M（0，3），N（3，0），线段MN上所有的点都是⊙O的友好点，求r取值范围．。
2014-2023年北京市中考真题数学试题汇编：新定义
M ， N 间的“闭距离”，记作d （ M ， N ）．
已知点 A （ −2 ，6）， B （ −2 ， −2 ）， C （6， −2 ）． （1）求d （点 O ， ABC ）； （2）记函数 y = kx （ −1 ≤ x ≤ 1， k ≠ 0 ）的图象为图形 G ，若d （ G ， ABC ） = 1，直接写出 k 的取值范
（1）如图，点 A, B1, C1, B2 , C2 , B3, C3 的横､纵坐标都是整数．在线段 B1C1, B2C2 , B3C3 中， O 的以点 A 为中心 的“关联线段”是______________；
（2） ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 A(0,t ) ，其中 t ≠ 0 ．若 BC 是 O 的以点 A 为中心的“关联线
P' ，点 P' 关于点 N 的对称点为 Q ，称点 Q 为点 P 的“对应点”． (1)如图，点 M (1,1), 点 N 在线段 OM 的延长线上，若点 P(−2, 0), 点 Q 为点 P 的“对应点”．
①在图中画出点 Q ； ②连接 PQ, 交线段 ON 于点T.求证： NT = 1 OM ;
6
5 5
,
0
．对于线段
MN
上一点
S，存在
O
的弦
PQ
，使得点
S
是弦
PQ
的“关联
点”，记 PQ 的长为 t，当点 S 在线段 MN 上运动时，直接写出 t 的取值范围． 2．（2022·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M (a,b), N. 对于点 P 给出如下定义：将点
P 向右 (a ≥ 0) 或向左 (a < 0) 平移 a 个单位长度，再向上 (b ≥ 0) 或向下 (b < 0) 平移 b 个单位长度，得到点
初三数学总复习29题定义新概念
点的坐标是 2, 5 ． （1）①点
3,1 的限变点的坐标是___________；
2 图象上某一个点的限变点，这个点是____________； x
10.（房山一模 29） 【探究】如图 1，点 N m,n 是抛物线 y1
1 2 x 1 上的任意一点，l 是过点 0, 2 且与 4
x 轴平行的直线，过点 N 作直线 NH⊥l，垂足为 H.
①计算: m=0 时，NH=; m=4 时，NO=. ②猜想: m 取任意值时，NONH(填“＞”、“＝”或“＜”). 【定义】我们定义：平面内到一个定点 F 和一条直线 l（点 F 不在直线 l 上）距离相等的点的集合叫做抛物 线，其中点 F 叫做抛物线的“焦点”，直线 l 叫做抛物线的“准线”.如图 1 中的点 O 即为抛物线 y1 的“焦点”， 直线 l: y 2 即为抛物线 y1 的“准线”.可以发现“焦点”F 在抛物线的对称轴上. 【应用】 （1）如图 2，“焦点”为 F(-4，-1)、“准线”为 l 的抛物线 y2
y
1 O 1
x
类型三 8.（西城一模 29）给出如下规定：两个图形 G1 和 G2，点 P 为 G1 上任一点，点 Q 为 G2 上任一点，如果线 段 PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形 G1 和 G2 之间的距离． 在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点． （1）点 A 的坐标为 A(1,0) ，则点 B(2,3) 和射线 OA 之间的距离为________，点 C (2,3) 和射线 OA 之间的 距离为________； （2）如果直线 y=x 和双曲线 y
2022北京中考数学题型专练：新定义压轴题
2022北京中考数学题型专练：新定义压轴题一、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（,B C ''分别是,B C 的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233,,,,,,A B C B C B C 的横､纵坐标都是整数．在线段112233,,B C B C B C 中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是______________；（2）ABC 是边长为1的等边三角形，点()0,A t ，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC 中，1,2AB AC ==．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．2．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A B ''（,A B ''分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34PP ，则这两条弦的位置关系是 ；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =+AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围． 3．在△ABC 中，D ，E 分别是ABC 两边的中点，如果DE 上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE 为△ABC 的中内弧．例如，下图中DE 是△ABC 的一条中内弧．（1）如图，在Rt △ABC 中，AB AC D E ==，分别是AB AC ，的中点．画出△ABC 的最长的中内弧DE ，并直接写出此时DE 的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点()()()()0,20,04,00A B C t t >，，，在△ABC 中，D E ，分别是AB AC ，的中点．①若12t =，求△ABC 的中内弧DE 所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ②若在△ABC 中存在一条中内弧DE ，使得DE 所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．4．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d （M ，N ）． 已知点A （2-，6），B （2-，2-），C （6，2-）．（1）求d （点O ，ABC ）；（2）记函数y kx =（11x -≤≤，0k ≠）的图象为图形G ，若d （G ，ABC ）1=，直接写出k 的取值范围； （3）T 的圆心为T （t ，0），半径为1．若d （T ，ABC ）1=，直接写出t 的取值范围．5．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点．已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝12x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．6． A ，B 是⊙C 上的两个点，点P 在⊙C 的内部．若∠APB 为直角，则称∠APB 为AB 关于⊙C 的内直角，特别地，当圆心C 在∠APB 边（含顶点）上时，称∠APB 为AB 关于⊙C 的最佳内直角．如图1，∠AMB 是AB 关于⊙C 的内直角，∠ANB 是AB 关于⊙C 的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy 中．（1）如图2，⊙O 的半径为5，A （0，﹣5），B （4，3）是⊙O 上两点．①已知P 1（1，0），P 2（0，3），P 3（﹣2，1），在∠AP 1B ，∠AP 2B ，∠AP 3B ，中，是AB 关于⊙O 的内直角的是 ；②若在直线y =2x +b 上存在一点P ，使得∠APB 是AB 关于⊙O 的内直角，求b 的取值范围．（2）点E 是以T （t ，0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T 与x 轴交于点D （点D 在点T 的右边）．现有点M （1，0），N （0，n ），对于线段MN 上每一点H ，都存在点T ，使∠DHE 是DE 关于⊙T 的最佳内直角，请直接写出n 的最大值，以及n 取得最大值时t 的取值范围．7．对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M于点N可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，点P在线段DE上运动(点P可以与点D，E重合)，连接OP，CP．①线段OP的最小值为_______，最大值为_______；线段CP的取值范直范围是_____；②在点O，点C中，点____________与线段DE满足限距关系；(2)如图2，⊙O的半径为1，直线y b=+(b>0)与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与⊙O满足限距关系，求b的取值范围；(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．8．对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ ，给出如下定义：若存在PQR 使得2PQR SPQ =，则称PQR 为线段PQ的“等幂三角形”，点R 称为线段PQ 的“等幂点”．（1）已知(3,0)A ．①在点1234(1,3),(2,6),(5,1),(3,6)P P P P --中，是线段OA 的“等幂点”的是_____________；②若存在等腰OAB 是线段OA 的“等幂三角形”，求点B 的坐标；（2）已知点C 的坐标为(2,1)C -，点D 在直线3y x =-上，记图形M 为以点(1,0)T 为圆心，2为半径的T 位于x 轴上方的部分，若图形M 上存在点E ，使得线段CD 的“等幂三角形”CDE △为锐角三角形，直接写出点D 的横坐标D x 的取值范围．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知正方形ABCD ，其中,,,0,A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，M ，N 为该正方形外两点，1MN =．给出如下定义：记线段MN 的中点为P ，平移线段MN 得到线段M N ''，使点,M N ''分别落在正方形ABCD 的相邻两边上，或线段M N ''与正方形的边重合（,,M N P '''分别为点M ，N ，P 的对应点），线段PP '长度的最小值称为线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”．（1）如下图，平移线段MN ，得到正方形ABCD 内两条长度为1的线段1122,M N M N ，则这两条线段的位置关系是_______；若12,P P 分别为1122,M N M N 的中点，在点12,P P 中，连接点P 与点_______的线段的长度等于线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”；（2）如图，已知点1,02E ⎫+⎪⎪⎝⎭，若M ，N 都在直线BE 上，记线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若线段MN 的中点P 的坐标为(2)2，，记线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．10．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 和点P ，给出如下定义：将图形M 绕点P 顺时针旋转90︒得到图形N ，图形N 称为图形M 关于点P 的“垂直图形”．例如，图1中点D 为点C 关于点P 的“垂直图形”．（1）点A 关于原点O 的“垂直图形”为点B ．①若点A 的坐标为(0,2)，则点B 的坐标为_______；②若点B 的坐标为(2,1)，则点A 的坐标为_______．（2）(3,3),(2,3),(,0)E F G a --．线段EF 关于点G 的“垂直图形”记为E F ''，点E 的对应点为E '，点F 的对应点为F '．①求点E '的坐标（用含a 的式子表示）；②若O 的半径为2，E F ''上任意一点都在O 内部或圆上，直接写出满足条件的EE '的长度的最大值．11．在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点P ，Q 和图形W ，如果在图形W 上存在点M ，N （M ，N 可以重合）使得PM QN =，那么称点P 与点Q 是图形W 的一对平衡点．（1）如图1，已知点(0,3)A ，()2,3B ；①设点O 与线段AB 上一点的距离为d ，则d 的最小值是 ，最大值是 ； ②在13,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2(1,4)P ，3(3,0)P -这三个点中，与点O 是线段AB 的一对平衡点的是 ； （2）如图2，已知O 的半径为1，点D 的坐标为(5,0)．若点(,2)E x 在第一象限，且点D 与点E 是O 的一对平衡点，求x 的取值范围；（3）如图3，已知点(3,0)H -，以点O 为圆心，OH 长为半径画弧交x 的正半轴于点K ．点(,)C a b （其中0b ≥）是坐标平面内一个动点，且5OC =，C 是以点C 为圆心，半径为2的圆，若HK 上的任意两个点都是C 的一对平衡点，直接写出b 的取值范围．12．在△ABM 中，∠ABM ＝90°，以AB 为一边向△ABM 的异侧作正方形ABCD ，以A 为圆心，AM 为半径作⊙A ，我们称正方形ABCD 为⊙A 的“关于△ABM 的友好正方形”，如果正方形ABCD 恰好落在⊙A 的内部（或圆上），我们称正方形ABCD 为⊙A 的“关于△ABM 的绝对友好正方形”，例如，图1中正方形ABCD 是⊙A 的“关于△ABM 的友好正方形”．（1）图2中，△ABM 中，BA ＝BM ，∠ABM ＝90°，在图中画出⊙A 的“关于△ABM 的友好正方形ABCD ”．（2）若点A在反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）上，它的横坐标是2，过点A作AB⊥y轴于B，若正方形ABCD为⊙A的“关于△ABO的绝对友好正方形”，求k的取值范围．（3）若点A是直线y＝﹣x+2上的一个动点，过点A作AB⊥y轴于B，若正方形ABCD为⊙A的“关于△ABO的绝对友好正方形”，求出点A的横坐标m的取值范围．13．在△ABC中，以AB边上的中线CD为直径作圆，如果与边AB有交点E（不与点D重合），那么称DE为△ABC的C﹣中线弧．例如，如图中DE是△ABC的C﹣中线弧．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC存在C﹣中线弧，其中点A与坐标原点O重合，点B的坐标为（2t，0）（t＞0）．（1）当t＝2时，①在点C1（﹣3，2），C2（0，C3（2，4），C4（4，2）中，满足条件的点C是；②若在直线y＝kx（k＞0）上存在点P是△ABC的C﹣中线弧DE所在圆的圆心，其中CD＝4，求k的取值范围；（2）若△ABC的C﹣中线弧DE所在圆的圆心为定点P（2，2），直接写出t的取值范围．14．在△ABC 中，点P 是∠BAC 的角平分线AD 上的一点，若以点P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与△ABC 的交点不．少于．．4个，点P 称为△ABC 关于∠BAC 的“劲度点”，线段 PA 的长度称为△ABC 关于∠BAC 的“劲度距离”． （1）如图，在∠BAC 平分线AD 上的四个点1P 、2P 、3P 、4P 中，连接点A 和点 的线段长度是△ABC 关于∠BAC 的“劲度距离”．（2）在平面直角坐标系中，已知点M （0，t ），N （4，0）．①当t =5时，求出△MON 关于∠MON 的“劲度距离”1d 的最大值．d ≤MON 关于∠MON 的“劲度距离”，请直接写出t 的取值范围．15．对于平面内的图形G 1和图形G 2，记平面内一点P 到图形G 1上各点的最短距离为d 1，点P 到图形G 2上各点的最短距离为d 2，若d 1＝d 2，就称点P 是图形G 1和图形G 2的一个“等距点”．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（6，0），B （0，（1）在C （4，0），D （2，0），E （1，3）三点中，点A 和点B 的等距点是 ；（2）已知直线 y =2．①若点A 和直线y =2的等距点在x 轴上，则该等距点的坐标为 ；②若直线y =b 上存在点A 和直线y ＝2的等距点，求实数b 的取值范围；（3）记直线AB 为直线l 1，直线l 2：y = ，以原点O 为圆心作半径为r 的⊙O ．若⊙O 上有m 个直线l 1和直线l 2的等距点，以及n 个直线l 1和y 轴的等距点（m ≠0，n ≠0），当 m ≠n 时，求r 的取值范围．16．对于平面内的点M ，如果点P ，点Q 与点M 所构成的MPQ 是边长为1的等边三角形，则称点P ，点Q 为点M 的一对“关联点”，进一步地，在MPQ 中，若顶点M ，P ，Q 按顺时针排列，则称点P ，点Q 为点M 的一对“顺关联点”；若顶点M ，P ，Q 按逆时针排列，则称点P ，点Q 为点M 的一对“逆关联点”．已知(1,0)A ，（1）在3(0,0),(0,1),(2,0),,2O B C D ⎛ ⎝⎭中，点A 的一对关联点是____，它们为点A 的一对___关联点（填“顺”或“逆”）；（2）以原点O 为圆心作半径为1的圆，已知直线:l y b =+．①若点P 在⊙O 上，点Q 在直线l 上，点P ，点Q 为点A 的一对关联点，求b 的值；②若在⊙O 上存在点R ，在直线l 上存在两点()11,T x y 和()22,S x y ，其中12x x >，且点T ，点S 为点R 的一对顺关联点，求b 的取值范围．17．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点()()1122,,,M x y N x y ，若1212x x y y k -+-=（k 为常数且0k ≠），则称点M 为点N 的k 倍直角点．根据以上定义，解决下列问题：（1）已知点(1,1)A①若点(2,3)B -是点A 的k 倍直角点，则k 的值是___________；②在点(2,3),(1,1),(0,2),(0,0)C D E O --中是点A 的2倍直角点的是_______；③若直线2y x b =-+上存在点A 的2倍直角点，求b 的取值范围；（2）T 的圆心T 的坐标为(1,0)，半径为r ，若T 上存在点O 的2倍直角点，直接写出r 的取值范围． 18．在平面直角坐标系O x y 中，任意两点()11,P x y ，()22,Q x y ，定义线段PQ 的“直角长度”为2121PQ d x x y y =-+-．（1）已知点(3,2)A ．① OA d =________；② 已知点(,0)B m ，若6AB d =，求m 的值；（2）在三角形中，若存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”，则称该三角形为“和距三角形”．已知点(3,3)M ．① 点(0,)(0)D d d ≠．如果OMD 为“和距三角形”，求d 的取值范围；② 在平面直角坐标系xOy 中，点C 为直线4y x =--上一点，点K 是坐标系中的一点，且满足1CK =，当点C 在直线上运动时，点K 均满足使OMK △为“和距三角形”，请你直接写出点C 的横坐标C x 的取值范围．19．如图，直线l 和直线l 外一点P ，过点P 作PH l ⊥于点H 任取直线l 上点Q ，点H 关于直线PQ 的对称点为点H '，标点H '为点P 关于直线l 的垂对点．在平面直角坐标系xOy 中，（1）已知点(0,2)P ，则点(0,0),(2,2),(0,4)O A B 中是点P 关于x 轴的垂对点的是_______；（2）已知点(0,)M m ，且0m >，直线443y x =-+上存在点M 关于x 轴的垂对点，求m 的取值范围； （3）已知点(,2)N n ，若直线y x n =+上存在两个点N 关于x 轴的垂对点，直接写出n 的取值范围，20．在平面直角坐标系xOy 中，对于图形Q 和∠P ，给出如下定义：若图形Q 上的所有的点都在∠P 的内部或∠P 的边上，则∠P 的最小值称为点P 对图形Q 的可视度．如图1，∠AOB 的度数为点O 对线段AB 的可视度．（1）已知点N （2，0），在点1M ，2M ，3(2,3)M 中，对线段ON 的可视度为60º的点是______． （2）如图2，已知点A （-2，2），B （-2，-2），C （2，-2），D （2，2），E （0，4）．①直接写出点E 对四边形ABCD 的可视度为______°；②已知点F （a ，4），若点F 对四边形ABCD 的可视度为45°，求a 的值．21．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和线段MN ，如果点A ，O ，M ，N 按逆时针方向排列构成菱形AOMN ，且AOM α∠=，则称线段MN 是点A 的“α-相关线段”．例如，图1中线段MN 是点A 的“30-相关线段”．（1）已知点A 的坐标是(0,2)．①在图2中画出点A 的“30-相关线段”MN ，并直接写出点M 和点N 的坐标；②若点A 的“α-相关线段”经过点，求α的值；（2）若存在,()αβαβ≠使得点P 的“α-相关线段”和“β-相关线段”都经过点(0,4)，记PO t =，直接写出t 的取值范围．参考答案1．（1）22B C ；（2）t =3）当min 1OA =时，此时BC =max 2OA =时，此时BC =． 【分析】（1）以点A 为圆心，分别以112233,,,,,AB AC AB AC AB AC 为半径画圆，进而观察是否与O 有交点即可； （2）由旋转的性质可得AB C ''△是等边三角形，且B C ''是O 的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解；（3）由BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，则可知,B C ''都在O 上，且1,2AB AB AC AC ''====，然后由题意可根据图象来进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得：通过观察图象可得：线段22B C 能绕点A 旋转90°得到O 的“关联线段”，1133,B C B C 都不能绕点A 进行旋转得到； 故答案为22B C ；（2）由题意可得：当BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”时，则有AB C ''△是等边三角形，且边长也为1，当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：设B C ''与y 轴的交点为D ，连接OB '，易得B C y ''⊥轴， ∴12B D DC ''==，∴OD =AD ==∴OA =∴t =当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的OA =∴t =（3）由BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，则可知,B C ''都在O 上，且1,2AB AB AC AC ''====，则有当以B '为圆心，1为半径作圆，然后以点A 为圆心，2为半径作圆，即可得到点A 的运动轨迹，如图所示：由运动轨迹可得当点A 也在O 上时为最小，最小值为1，此时AC '为O 的直径，∴90AB C ''∠=︒，∴30AC B ''∠=︒，∴cos30BC B C AC '''==⋅︒=由以上情况可知当点,,A B O '三点共线时，OA 的值为最大，最大值为2，如图所示：连接,OC B C '''，过点C '作C P OA '⊥于点P ，∴1,2OC AC OA ''===，设OP x =，则有2AP x =-，∴由勾股定理可得：22222C P AC AP OC OP '''=-=-，即()222221x x --=-， 解得：14x =，∴C P '= ∴34B P OB OP ''=-=，在Rt B PC ''中，B C ''==∴BC =综上所述：当min 1OA =时，此时BC max 2OA =时，此时BC =． 【点睛】本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键．2．（1）平行，P 3；（23）232d ≤≤【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；（2）过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交弦CD 于点F ，分别求出OE 、OF 的长，由1d OE OF =-得到1d 的最小值；（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点A 32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O 内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离2d 的最大值即点A ，B 点的位置，由此得出2d 的取值范围．【详解】解：（1）平行；P 3；（2）如图，线段AB 在直线y =+CD ，CD ∥AB ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交弦CD 于点F ，OF ⊥CD ，令0y =，直线与x 轴交点为（-2，0），直线与x 轴夹角为60°，∴2sin 60OE ︒==由垂径定理得：OF ==∴1d OE OF =-=（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A32,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可；点A到O的距离为52 AO==．如图，平移距离2d的最小值即点A到⊙O的最小值：53122-=；平移距离2d的最大值线段是下图AB的情况，即当A1,A2关于OA对称，且A1B2⊥A1A2且A1B2=1时.∠B2A2A1=60°，则∠OA2A1=30°,∵OA2=1,∴OM=12, A2∴MA=3,AA 2=∴2d 的取值范围为：232d ≤≤ 【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键．3．（1）π；（2）①P 的纵坐标1p y ≥或12P y ≤；②0t <≤【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE=2，最长中内弧即以DE 为直径的半圆，DE 的长即以DE 为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE 的中垂线上，，①当12t =时，要注意圆心P 在DE 上方的中垂线上均符合要求，在DE 下方时必须AC 与半径PE 的夹角∠AEP 满足90°≤∠AEP ＜135°；②根据题意，t 的最大值即圆心P 在AC 上时求得的t 值．【详解】解：（1）如图2，以DE 为直径的半圆弧DE ，就是△ABC 的最长的中内弧DE ，连接DE ，∵∠A=90°，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，114,42sin 22∴=====⨯=AC BC DE BC B ， ∴弧DE 122ππ=⨯=； （2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE 的垂直平分线上，连接DE ，作DE 垂直平分线FP ，作EG ⊥AC 交FP 于G ，①当12t =时，C （2，0），∴D （0，1），E （1，1），1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭F ， 设1,2P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE 上方射线FP 上均可，∴m≥1， ∵OA=OC ，∠AOC=90°∴∠ACO=45°，∵DE ∥OC∴∠AED=∠ACO=45°作EG ⊥AC 交直线FP 于G ，FG=EF=12根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G 的下方（含点G ）直线FP 上时也符合要求； 12∴m 综上所述，12m 或m≥1．②图4，设圆心P 在AC 上，∵P 在DE 中垂线上，∴P 为AE 中点，作PM ⊥OC 于M ，则PM=32 3,2⎛⎫∴ ⎪⎝⎭P t ， ∵DE ∥BC∴∠ADE=∠AOB=90°，∴=AE ∵PD=PE ，∴∠AED=∠PDE∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°，∴∠DAE=∠ADP12∴===AP PD PE AE 由三角形中内弧定义知，PD≤PM1322∴AE ，AE≤313，解得：2t002>∴<t t【点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．4．（1）2；（2）10k -≤<或01k <≤；（3）4t =-或04t -≤≤4t =+【详解】分析：（1）画出图形，根据“闭距离”的概念结合图形进行求解即可.（2）分0k <和0k >两种情况，画出示意图，即可解决问题.（3）画出图形，直接写出t 的取值范围．详解：（1）如下图所示：∵B （2-，2-），C （6，2-）∴D （0，2-）∴d （O ，ABC ）2OD ==（2）10k -≤<或01k <≤（3）4t =-或04t ≤≤-4t =+点睛：属于新定义问题，考查点到直线的距离，圆的切线的性质，认真分析材料，读懂“闭距离”的概念是解题的关键.5．（1）C；（2）﹣1≤x k≤11≤x k3）m≤3﹣【分析】（1）由题意可知当Q与A重合时，点C在以AP为直径的圆上，所以可以成为点P与线段AB的共圆点的是C；（2）根据题意由两点的距离公式可得，分别画以AP和BP为直径的圆交x轴于4个点：K1、K2、K3、K4，结合图形2可得4个点的坐标，从而得结论；x+3，当x=0和y=0计算与x轴和y轴的交点坐标，分两种情况：M在A的左侧和右（3）由题意先根据直线y=12x+3相切时m的值，从而根据图形可得结论．侧，先计算圆E与直线y=12【详解】解：（1）如图1，可以成为点P与线段AB的共圆点的是C，故答案为：C；（2）∵P（0，1），点A（﹣2，﹣1），点B（2，﹣1）．∴AP＝BP，如图2，分别以PA、PB为直径作圆，交x轴于点K1、K2、K3、K4，∵OP＝OG＝1，OE∥AB，∴PE＝AE∴OE＝12AG＝1，∴K1（﹣10），k2（10），k3﹣1，0），k4（0），∵点K为点P与线段AB的共圆点，∴﹣1k≤11≤x k（3）分两种情况：①如图3，当M在点A的左侧时，Q为线段AM上一动点，以PQ为直径的圆E与直线y＝12x+3相切于点F，连接EF，则EF⊥FH，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，y＝12x+3＝0，x＝﹣6，∴ON＝3，OH＝6，∵tan∠EHF＝ON EFOH FH＝36＝12，设EF＝a，则FH＝2a，EH，∴OE＝6，Rt△OEP中，OP＝1，EP＝a，由勾股定理得：EP2＝OP2+OE2，∴222a=+，1(6)解得：a，∴QG＝2OE＝2（6）＝﹣∴m≤3﹣x+3相切于点F，连②如图4，当M在点A的右侧时，Q为线段AM上一动点，以PQ为直径的圆E与直线y＝12接EF，则EF⊥FH，同理得QG＝∴综上，m的取值范围是m≤3﹣【点睛】本题属于圆和一次函数综合题，考查一次函数的应用，新定义：M为点P与线段AB的共圆点，圆的切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决取值范围问题.6．（1）①∠AP2B，∠AP3B；②﹣5＜b≤5；（2）n的最大值为2；t1≤t＜5【分析】（1）判断点P1，P2，P3是否在以AB为直径的圆弧上即可得出答案；（2）求得直线AB 的解析式，当直线y =2x +b 与弧AB 相切时为临界情况，证明△OAH ∽△BAD ，可求出此时b =5，则答案可求出；（3）可知线段MN 上任意一点（不包含点M ）都必须在以TD 为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N 在该圆的最高点时，n 有最大值2，再分点H 不与点M 重合，点M 与点H 重合两种情况求出临界位置时的t 值即可得解．【详解】解：（1）如图1，1(1,0)P ，(0,5)A -，(4,3)B ， 224845AB ，2211526P A ，2213332P B ，1P ∴不在以AB 为直径的圆弧上，故1APB ∠不是AB 关于O 的内直角， 2(0,3)P ，(0,5)A -，(4,3)B ，28P A，AB =24P B =， 22222P A P B AB ，290AP B ，2AP B 是AB 关于O 的内直角，同理可得，22233P B P AAB ， 3AP B 是AB 关于O 的内直角， 故答案为：2AP B ，3AP B ；（2）APB ∠是AB 关于O 的内直角，90APB ∴∠=︒，且点P 在O 的内部，∴满足条件的点P 形成的图形为如图2中的半圆H （点A ，B 均不能取到），过点B 作BD y ⊥轴于点D ，(0,5)A ，(4,3)B ，4BD ∴=，8AD =，并可求出直线AB 的解析式为25y x =-，∴当直线2y x b =+过直径AB 时，5b =-，连接OB ，作直线OH 交半圆于点E ，过点E 作直线//EF AB ，交y 轴于点F ，OA OB =，AH BH =，EH AB ∴⊥，EH EF ∴⊥，EF ∴是半圆H 的切线．OAH OAH ，90OHB BDA ，OAH BAD ∽， ∴4182OH BD AH AD ， 1122OH AH EH ，OH EO ，EOF AOH ，90FEO AHO ，()EOF HOA ASA ，5OF OA ，//EF AB ，直线AB 的解析式为25y x =-，∴直线EF 的解析式为25y x =+，此时5b =，b ∴的取值范围是55b ．（3）对于线段MN 上每一个点H ，都存在点T ，使DHE ∠是DE 关于T 的最佳内直角，∴点T 一定在DHE ∠的边上，4TD ，90DHT ∠=︒，线段MN 上任意一点（不包含点)M 都必须在以TD 为直径的圆上，该圆的半径为2， ∴当点N 在该圆的最高点时，n 有最大值，即n 的最大值为2．分两种情况：①若点H 不与点M 重合，那么点T 必须在边HE 上，此时90DHT ∠=︒，∴点H 在以DT 为直径的圆上，如图3，当G 与MN 相切时，GH MN ⊥，1OM =，2ON =， 225MN ON OM ，GMH OMN ，GHM NOM ，2ON GH ，()GHM NOM ASA ，5MNGM ， 51OG ， 51OT ，当T 与M 重合时，1t =，∴此时t 的取值范围是511t ，②若点H 与点M 重合时，临界位置有两个，一个是当点T 与M 重合时，1t =，另一个是当4TM时，5t =， ∴此时t 的取值范围是15t ，综合以上可得，t 的取值范围是515t ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用数形结合的思想，正确理解最佳内直角的意义是解本题的关键．7．（12CP ≤，②O ；（2）13b ≥；（3）0＜r≤3． 【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，CP 的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可．（2）直线y b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），分三种情形：①线段FG 在⊙O 内部，②线段FG 与⊙O 有交点，③线段FG 与⊙O 没有交点，分别构建不等式求解即可．（3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据⊙H 和⊙K 都满足限距关系，构建不等式求解即可．【详解】（1）①如图1中，∵D （-1，0），E(0，∴OD=1，OE =∴OE tan EDO OD ∠== ∴∠EDO=60°，当OP ⊥DE 时，•60OP OD sin =︒=，此时OP 的值最小，当点P 与E 重合时，OP当CP ⊥DE 时，CP 的值最小，最小值•60CD cos =︒=当点P 与D 或E 重合时，PC 的值最大，最大值为2，2CP ≤. ②根据限距关系的定义可知，线段DE 上存在两点M ，N ，满足OM=2ON ，故点O 与线段DE 满足限距关系．故答案为O ．（2）直线y b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），当0＜b ＜1时，线段FG 在⊙O 内部，与⊙O 无公共点，此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为1-b ，最大距离为1+b ，∵线段FG 与⊙O 满足限距关系，∴1+b≥2（1-b ）， 解得13b ≥，∴b的取值范围为131b≤＜．当1≤b≤2时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，当b＞2时，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为121b-，最大距离为b+1，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴11212b b⎛⎫+≥-⎪⎝⎭，而11212b b⎛⎫+≥-⎪⎝⎭总成立，∴b＞2时，线段FG 与⊙O满足限距关系，综上所述，b的取值范围为13b≥．（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2，∵⊙H和⊙K都满足限距关系，∴2r+2≥2（2r-2），解得r≤3，故r的取值范围为0＜r≤3．【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．8．（1）①24,P P ：②362⎛⎫ ⎪⎝⎭，或362⎛⎫ ⎪⎝⎭，-；（21D x <<或532D x << 【分析】（1）①根据定义求出三角形面积与OA 2进行比较即可确定线段OA 的“等幂点”；②如图，由OAB 是线段OA 的“等幂三角形”，可得2OAB S OA =．由点A 的坐标为()3,0A ，若记OAB 中OA 边上的高为h ，可得392OAB S h ==， 求出6h =．由OAB 是等腰三角形，点B 在线段OA 的垂直平分线上即可求点B 的坐标为（32，6）或（32，-6）； （2）设半圆与x 轴交于G ，H 两点，过T 作CH 的平行线与半圆交于R ，作CH 的垂线交半圆于Q ，直线y =x -3与y 轴交于N ，设D （x ，x -3），过D 作y 轴平行线，与过C 作x 轴平行线交于F ，求出N (0，-3), H (3，0)，可证△ONH 为等腰直角三角形，∠OHN =∠ONH =45°，点D 运动分两种情况，第一种情况点D 在射线CH ，去掉线段CH部分运动，在Rt △TCH 中TH =2，TC =CH =TH ×sin45°=2QC=2ECD 为锐角三角形，点E在QR 上运动，点E 到CD 的距离h 2h ≤h =2CD ，3D x <<第二种情况点D 在射线CU 上，去掉线段CU 部分运动，点E 在QG 上运动，求出GU =GH ×cos45°=2h ≤≤，可求)22x ≤-≤1D x <<． 【详解】（1）①1OP A S =1211933222P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯=<，P 1不是线段OA 的“等幂点”． 2OP A S =2211369=22P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯=， P 2是线段OA 的“等幂点”． 3OP A S =3211331222P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯=<，P 3不是线段OA 的“等幂点”． 4OP A S =421136922P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯==， P 4是线段OA 的“等幂点”． 是线段OA 的“等幂点”的是24,P P ，故答案为：24,P P ：②如图，∵OAB 是线段OA 的“等幂三角形”，∴2OABS OA =． ∵点A 的坐标为()3,0A ，若记OAB 中OA 边上的高为h ， 则有13922OABS OA h h =⨯⨯==． 解得6h =．∴点B 在直线6y =或6y =-上．∵OAB 是等腰三角形，∴点B 在线段OA 的垂直平分线上．OA 的垂直平分线为x =32,与直线6y =或6y =-的交点为B 1（32，6），B 2（32，-6）， 综上所述，点B 的坐标为（32，6）或（32，-6），（2）设半圆与x轴交于G，H两点，过T作CH的平行线与半圆交于R，作CH的垂线交半圆于Q，直线y=x-3与y 轴交于N，设D（x，x-3），过D作y轴平行线，与过C作x轴平行线交于F，当x=0时，y=-3,N(0，-3),当y=0时，x-3=0，x=3，H(3，0)，∴ON=3=OH，△ONH为等腰直角三角形，∠OHN=∠ONH=45°，点D运动分两种情况，第一种情况点D在射线CH，去掉线段CH部分运动，∵TC⊥NH，∠OHN =45°，∴△TCH为等腰直角三角形，在Rt△TCH中TH=2，TC=CH=TH×sin45°=2QC=2又因为△ECD为锐角三角形，点E在QR上运动，点E到CD的距离h2h≤CD=CF÷cos45°，∵线段CD的“等幂三角形”，S△CDE=12h CD⋅=CD2，∴h =2CD (x -2)，)22x <-<解得52x << 点D 在H 右侧，x>3，∴3D x <<第二种情况点D 在射线CU 上，去掉线段CU 部分运动，点E 在QG 上运动，又因为△ECD 为锐角三角形，GU=GH×cos45°=∴2h ≤≤，∵线段CD 的“等幂三角形”，S △CDE =12h CD ⋅=CD 2，∴h =2CD (2-x )，则)22x -≤1D x <<，D 的横坐标D x 1D x <<或3D x << 【点睛】本题考查新定义问题，仔细阅读新定义，抓住三角形的高为底的二倍，涉及三角形面积，等腰三角形，等腰直角三角形，线段垂直平分线，一次函数的性质，圆的性质，直线与圆的位置关系，锐角三角函数，锐角三角形，列双边不等式，解不等式等知识，难度较大，综合较强，熟练掌握多方面知识才是解题关键．9．（1）平行，P 1；（2）1d 3）212d ≤≤． 【分析】（1）根据图形，比较PP 1，PP 2的长度即可求解；（2）根据已知条件求得∠P 1BE =45︒，过P 1作P 1Q ⊥BE 于Q ，则△P 1QB 为等腰直角三角形，利用特殊角三角函数值即可求解；（3）先找到最值点，再利用两点之间的距离公式即可求解．【详解】（1）解：由图可得MN ∥M 1N 1，MN ∥M 2N 2，∴M 1N 1∥M 2N 2，而PP 1<PP 2，故线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”为PP 1；故答案为：平行，P 1；（2）∵B (0，C ，0)，四边形ABCD 为正方形，∴BC 1=，∠BCA =45︒，∵E 1，0)，∴CE 11+==BC ， ∴∠1=∠2，则∠1+∠2=∠BCA =45︒，∴∠1=∠2=22.5︒，在Rt △BMN 中，BP 1为斜边上的中线，则BP 1=12MN =12=NP 1， ∴∠P 1BN =∠P 1NB ，又MN ∥BE ，∴∠2=∠P 1NB ，∴∠2=∠P 1NB =45︒，∠P 1BE =∠2+∠P 1BN =45︒，过P 1作P 1Q ⊥BE 于Q ，则△P 1QB 为等腰直角三角形，在Rt △P 1QB 中，P 1Q =P 1B sin 45︒=12=∴1d （3）解：根据题意，P 1、P 2分别是AB 、BC 的中点，则线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”最大为PP 1，最小为PP 2，。
年北京市初三数学一模试题29T新定义题汇编(学生版)
2016北京市初三数学一模新定义题汇编(20１６朝阳一模２9）．在平面直角坐标系ｘＯy 中，A (t ,0），B （，０）,对于线段AB和ｘ轴上方的点P 给出如下定义:当∠AP Ｂ=60°时，称点P 为A Ｂ的“等角点”．(1）若,在点302C ⎛⎫⎪⎝⎭，,D ⎫⎪⎪⎝⎭,32E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭中,线段AB 的“等角点”是 ;（２)直线MN 分别交x 轴、y 轴于点M 、Ｎ,点M 的坐标是（6，0)，∠OM Ｎ＝30°.①线段A Ｂ的“等角点”P 在直线ＭN 上，且∠A ＢP =90°，求点Ｐ的坐标； ②在①的条件下，过点B 作BQ ⊥P Ａ，交MN 于点Q ,求∠A ＱB 的度数;③若线段AB 的所有“等角点”都在△M ＯN 内部，则t 的取值范围是 ．ﻬ（２0P 和⊙C ,给出如下定义:若存在P ，A ,B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时,则称点P 为⊙C 的相邻点,直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线.(1）当⊙Ｏ的半径为1时,错误!未定义书签。
分别判断在点D （,14),E （0,)，F (4，0）中，是⊙O 的相邻点有__________;错误!请从错误!中的答案中，任选一个相邻点,在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线,并说明你的作图过程．3t3t21错误!未定义书签。
点P 在直线3y x =-+上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P横坐标的取值范围；(2)⊙C 的圆心在ｘ轴上，半径为1,直线y x =+x 轴，ｙ轴分别交于点M ，Ｎ,若线段．．MN 上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．图1 备用图1备用图2(20１6丰台一模29)．如图，点P ( x , y 1)与Q (x ， y 2）分别是两个函数图象C １与C 2上的任一点. 当ａ ≤ x ≤ b 时,有-１ ≤ y 1 - y 2 ≤ 1成立，则称这两个函数在a ≤ ｘ ≤ b 上是“相邻函数”,否则称它们在a ≤ x ≤ ｂ上是“非相邻函数”. 例如,点P (x ， y 1)与Q (x ， y ２)分别是两个函数y = 3x +1与y = 2ｘ - １图象上的任一点，当-3 ≤ x ≤ -1时,ｙ1 -y２= (3x +1) -（２x - 1) = x + 2，通过构造函数ｙ= x ＋2并研究它在-3 ≤ ｘ≤ －１上的性质，得到该函数值的范围是－１≤ y ≤1，所以－1≤ y1 -y２≤ 1成立,因此这两个函数在-3≤ x≤ -1上是“相邻函数”.（１）判断函数y=３x+2与ｙ＝2x +1在-２≤ｘ≤ 0上是否为“相邻函数”，并说明理由；(２）若函数y = x2- x与y= x - a在０≤ x ≤ 2上是“相邻函数”,求ａ的取值范围;a与ｙ=-２x+4在1 ≤x≤2上是“相邻函数”,直接写出a的最大（3)若函数ｙ=x值与最小值.(２０1６平谷一模29)．对于两个已知图形G 1,G 2,在Ｇ１上任取．．一点P ，在G 2上任取．．一点Ｑ，当线段ＰQ 的长度最小时，我们称这个最小长度为G 1,G 2的“密距”,用字母d 表示；当线段PQ 的长度最大时，我们称这个最大的长度为图形G 1,G 2的“疏距”,用字母f 表示．例如,当(1,2)M ,(2,2)N 时,点O 与线．段．MN ．．的“密距”为5，点O 与线．段．MN ．．的“疏距”为22. (1)已知，在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()0,4B ，()2,0C ,()0,1D , ①点O 与线段A Ｂ的“密距”为，“疏距”为；②线段AB 与△COD 的“密距”为，“疏距”为;（２）直线2y x b =+与x 轴，y 轴分别交于点E ,F ,以()0,1C -为圆心，1为半径作圆，当⊙C 与线段ＥF 的“密距”０<d <１时，求⊙C 与线段EF 的“疏距”f 的取值范围.(２016延庆一模28）.在平面直角坐标系ｘOy 中,对于点P （x ，y )和Q (x ,y ′），给出如下定备用图义:如果()()0'0y x y y x ⎧⎪=⎨-⎪⎩≥＜,那么称点Q 为点P 的“妫川伴侣”．例如:点(5,6)的“妫川伴侣”为点(５，６),点（－5，6）的“妫川伴侣” 为点(-5，-6)．（1)① 点(２，１）的“妫川伴侣”为 ；② 如果点A (3,－１）,Ｂ（-１，3）的“妫川伴侣”中有一个在函数3y x=的图象上,那么这个点是 （填“点A ”或“点Ｂ”).(2)①点M *（－1,－2）的“妫川伴侣”点M 的坐标为 ;② 如果点N *（m +1，2）是一次函数y = ｘ + 3图象上点N 的“妫川伴侣”， 求点Ｎ的坐标.（3)如果点P 在函数24y x =-+（－2<x ≤a ）的图象上，其“妫川伴侣”Q 的纵坐标ｙ′的取值范围是-4<y ′≤４，那么实数a 的取值范围是 ．()（２01６怀柔一模29).29.给出如下规定：两个图形G １和G 2,点P 为Ｇ1上任一点，点Ｑ为G 2上任一点,如果线段ＰＱ的长度存在最小值时,就称该最小值为两个图形Ｇ１和Ｇ２之间的“近距离”；如果线段ＰQ 的长度存在最大值时,就称该最大值为两个图形G 1和G 2之间的“远距离” ．请你在学习，理解上述定义的基础上,解决下面问题：在平面直角坐标系xO ｙ中，点A （-4， 3),B （－4，－3）,C （4,-３），Ｄ（4， 3）． (1)请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD,直接写出线段AB 和线段ＣD 的“近距离”和“远距离”. (２)设直线b x y +=34(b>０）与x 轴,y 轴分别交于点E ，Ｆ,若线段ＥF 与四边形ＡB ＣD 的“近距离”是1，求它们的“远距离” ;(3)在平面直角坐标系xO ｙ中，有一个矩形G ＨMN,若此矩形至少有一个顶点在以Ｏ为圆心，2为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内.将四边形A ＢC Ｄ绕着点O 旋转一周，在旋转的过程中，它与矩形GHMN 的“远距离”的最大值是 ；“近距离”的最小值是 ．（2016房山一模29).在平面直角坐标系xoy 中,对于任意三点A,Ｂ，C 给出如下定义:如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A ，Ｂ，Ｃ三点都在正方形的内部或边界上，那么称该正方形为点A ，B ，Ｃ的外延正方形，在点A,B,C 所有的外延正方形中，面积最小的正方形称为点A,B ，Ｃ的最佳外延正方形．例如，图1中的正方形A 1B 1C 1Ｄ1,A ２B 2C ２D 2 ,A 3Ｂ3CD ３都是点A,Ｂ，C 的外延正方形，正方形A ３Ｂ３CD 3是点A ，B ，C 的最佳外延正方形.(图1) (图2) （１）如图1，点A (-１,0），B (2，4）,Ｃ（0，t ）（t 为整数）．① 如果t =3，则点A,B,Ｃ的最佳外延正方形的面积是 ; ② 如果点A ，B,C 的最佳外延正方形的面积是25，且使点C 在最佳外延正方形的一边上，请写出一个符合题意的t 值 ；（图3 ） (图４)xy12345–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5B 1C 1B 2C 2C B 3oA 2D 3A 1A 3D 1D 2A By12345–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5Do(2）如图3，已知点Ｍ（３，0)，N （0，4)，P(ｘ，y )是抛物线ｙ=ｘ２-2x -3上一点，求点Ｍ,N,P 的最佳外延正方形的面积以及点Ｐ的横坐标ｘ的取值范围;（3)如图4，已知点E (ｍ，n ）在函数x6y =(x >0)的图象上，且点D 的坐标为(1,1),设点O ，D ,E 的最佳外延正方形的边长为a ,请直接写出a 的取值范围． ﻬ（20１6海淀一模2９)．在平面直角坐标系中，⊙Ｃ的半径为r ,P 是与圆心Ｃ不重合的点,点P 关于⊙C 的限距点的定义如下：若为 直线ＰC 与⊙Ｃ的一个交点,满足，则称 为点P 关于⊙C 的限距点,右图为点Ｐ及其关于⊙C 的限 距点的示意图． (1） 当⊙O 的半径为1时．① 分别判断点Ｍ ，N ，T 关于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标;②点D 的坐标为（2,0）,D Ｅ,DF 分别切⊙Ｏ于点E ，点F ,点P 在△DE Ｆ的 边上．若点P 关于⊙O 的限距点存在,求点的横坐标的取值范围;（２) 保持(１）中D ,E ,F 三点不变，点P 在△DEF 的边上沿E →Ｆ→D →E 的方向运动，⊙C 的圆心C 的坐标为(1,0),半径为r .请从下面两个问题中任选一个作答. 温馨提示：答对问题1得２分,答对问题２得1分，两题均答不重复计分.问题１问题2xOy P '2r PP r '≤≤P 'P '(3,4)5(,0)2(1,2)P 'P '若点Ｐ关于⊙C 的限距点存在，且随点P 的运动所形成的路径长为，则ｒ的最小值为_____＿_＿_＿．若点P 关于⊙C 的限距点不存在,则r 的取值范围为___＿＿__＿.（２01６燕山一模２9）．在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上,称线段ＰQ 长度的最小值为图形Ｍ,N 的密距，记为d （M ，N )．特别地,若图形M ,N 有公共点，规定d (M ，N )=0. （1) 如图１,⊙O 的半径为2,①点A (０,1)，B (4，3）,则d (A ，⊙O )＝ ,d (B ，⊙Ｏ）＝ ． ②已知直线ｌ:b x y +=43与⊙O 的密距d (l ，⊙O )＝56,求b 的值. (２） 如图2，C 为x 轴正半轴上一点,⊙C 的半径为1，直线33433+=x y －与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，线段．．ＤE 与⊙C 的密距d (DE ，⊙C ）<21．请直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围.P 'P 'r πP 'E 1yxODC图2图112yxOA B(２0１6石景山一模２９).在平面直角坐标系xOy 中,图形W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点),(11y x P ,),(22y x Q 是图形W 上的任意两点.若21x x -的最大值为m ，则图形W 在x 轴上的投影长度m l x =;若21y y -的最 大值为n ,则图形W 在y 轴上的投影长度n l y =．如右 图,图形W 在x 轴上的投影长度213=-=x l ;在y 轴 上的投影长度404=-=y l .（1）已知点)3,3(A ,)1,4(B .如图1所示，若图形W为⊙OAB ,则=x l ,=y l .(2)已知点)0,4(C ,点D 在直线26y x =-+上，若图形W 为⊙OCD ．当y x l l =时，求点D的坐标．（3）若图形W 为函数2x y =）（b x a ≤≤的图象，其中0a b ≤<．当该图形满足1≤=y x l l 时,请直接写出a 的取值范围.ﻬ（2016西城一模2９).在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形W ,如果线段OP 与图形W 无公共点，则称点P 为关于图形W 的“阳光点”；如果线段OP 与图形W 有公共点,则称图1点P 为关于图形W 的“阴影点”．(１)如图1,已知点()13A ，，()11B ，,连接AB①在()11,4P ，()21,2P ,()32,3P ,()42,1P 这四个点中,关于线段AB 的“阳光点”是； ②线段A 1B 1∥AB ；11A B 上的所有点都是关于线段AB 的“阴影点”，且当线段11A B 向上或向下平移时,都会有11A B 上的点成为关于线段AB 的“阳光点”．若11A B 的长为4,且点1A 在1B 的上方,则点1A 的坐标为_＿_________＿______＿； (２）如图2,已知点()13C ，,C 与y 轴相切于点D ．若E 的半径为32,圆心E在直线l y =+：上,且E 上的所有点都是关于C 的“阴影点”，求圆心E 的横坐标的取值范围；(３)如图3，M 的半径是3,点M 到原点的距离为5．点N 是M 上到原点距离最近的点,点Q 和T 是坐标平面内的两个动点,且M 上的所有点都是关于NQT ∆的“阴影点”,直接写出NQT ∆的周长的最小值.图1图2图3(2０16通州一模29）.对于⊙P 及一个矩形给出如下定义:如果⊙Ｐ上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点,那么称⊙P 是该矩形的“等距圆”.如图，在平面直角坐标系xO ｙ中,xx11矩形ABCD 的顶点Ａ的坐标为，2），顶点C 、D 在ｘ轴上，且OC =ＯD. (1)当⊙Ｐ的半径为4时，①在P １(0，3-）,P ２(3）,P 3(-，1)中可以成为矩形ＡB ＣD 的“等距圆”的圆心的是_＿＿___＿_＿__＿___＿___＿__＿＿_;②如果点Ｐ在直线13y x =-+上，且⊙P 是矩形A ＢC Ｄ的“等距圆”,求点P 的坐标;(2)已知点P 在y 轴上，且⊙P 是矩形ABCD 的“等距圆”,如果⊙Ｐ与直线AD 没有公共点,直接写出点P 的纵坐标m 的取值范围.ﻬ(2016门头沟一模2９）.如图1，P 为∠ＭO Ｎ平分线OC 上一点,以P 为顶点的∠ＡPB 两边分别与射线OM 和ON 交于A 、B 两点,如果∠APB 在绕点P 旋转时始终满足ＯＡ·ＯB =OP２，我们就把∠APB 叫做∠M ＯN 的关联角．图1 图2 图３A BO MNCPA N M O CPBAOM CNP B（1）如图2,P 为∠MON 平分线O Ｃ上一点，过P 作ＰＢ⊥ＯN 于B ,A Ｐ⊥ＯC 于Ｐ，那么∠ＡＰＢ ∠M ＯＮ的关联角（填“是”或“不是”）．（2)① 如图３,如果∠ＭON =60°，OP =2,∠AP Ｂ是∠M ＯＮ的关联角,连接AB ，求△ＡOB 的面积和∠APB 的度数;② 如果∠ＭＯN ＝α°(0°＜α°<90°），OP ＝m ，∠APB 是∠ＭON 的关联角，直接用含有α和m 的代数式表示△AOB 的面积．(3)如图4,点Ｃ是函数2y x=（x >0）图象上一个动点，过点C 的直线C Ｄ分别交x 轴和y 轴于A ，Ｂ两点,且满足BC =2CA ,直接写出∠AOB 的关联角∠ＡP Ｂ的顶点P 的坐标.图4ﻬ（2016顺义一模2９）．在平面直角坐标系x Ｏｙ中,点P （a ,b ）的“变换点”Q 的坐标定义如下:当a b ≥时，Q 点坐标为（b ,-a ）；当a b <时,Q 点坐标为(a ,-b )． （1）求（-2，3）,(６，-1）的变换点坐标;（２)已知直线ｌ与x 轴交于点Ａ（４，0），与y 轴交于点Ｂ(0，2）.若直线l 上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W ，请画出图形W,并简要说明画图的思路；（3）若抛物线234y x c =-+与图形W 有三个交点,请直接写出ｃ的取值范围．OxyCﻬ(2016大兴一模2９）． 设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值和它对应，那么就说y 是x 的函数,记作()=y f x ．在函数()=y f x 中，当自变量=x a 时,相应的函数值y 可以表示为()f a .例如:函数2()23=--f x x x ,当4=x 时,2(4)42435=-⨯-=f在平面直角坐标系xOy 中,对于函数的零点给出如下定义：如果函数()=y f x 在≤≤a x b 的范围内对应的图象是一条连续不断的曲线，并且().()0f a f b ,那么函数()=y f x 在≤≤a x b 的范围内有零点，即存在c (≤≤a c b ）,使()f c ＝0，则c 叫做这个函数的零点，c 也是方程()0=f x 在≤≤a x b 范围内的根.例如：二次函数2()23=--f x x x 的图象如图所示观察可知:(2)0-f ，(1)0,f 则(2).(1)0-f f .所以函数2()23=--f x x x 在21-≤≤x 范围内有零点.由于(1)0-=f ，所以，1-是2()23=--f x x x 的零点,1-也是方程2230--=x x 的根.(1) 观察函数1()=y f x 的图象，回答下列问题：①()().f a f b __＿__＿0(“＜”“＞”或“=”)②在≤≤a x b 范围内1()=y f x 的零点的个数是 _＿_＿_.（2)已知函数222()1)2)==----y f x a x a a 的零点为1x ,2x且121x x .①求零点为1x ,2x (用a 表示);②在平面直角坐标xOy 中,在x 轴上A, Ｂ两点表示的数是零点1x ，2x ,点 P 为线段AB 上的一个动点（P 点与A 、B 两点不重合),在x 轴上方作等边△APM 和等边△ＢP Ｎ,记线段ＭＮ的中点为Q ，若a 是整数,求抛物线2y 的表达式并直接写出线段ＰQ 长的取值范围.更多内容与您交流。
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寒假作业之新定义1．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）（x≥0）的每一个整数点，给出如下定义：如果P也是整数点，则称点'P为点P的“整根点”．例如：点（25，36）的“整根点”为点（5，6）.（1）点A（4，8），B（0，16），C（25，－9）的整根点是否存在，若存在请写出整根点的坐标；（2）如果点M对应的整根点'M的坐标为（2，3），则点M的坐标；（3）在坐标系内有一开口朝下的二次函数24(0y ax x a=+≠），如果在第一象限内的二次函数图像内部（不在图像上），若存在整根点的点只有三个请求出实数a的取值范围.2..如图，对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，给出如下定义：如果线段AB 上存在两个点M ，N ，使得∠MPN =30°，那么称点P 为线段AB 的伴随点．（1）已知点A （-1，0），B （1，0）及D （1，-1），E ⎪⎭⎫ ⎝⎛-325, ，F （0，32+）， ①在点D ，E ，F 中，线段AB 的伴随点是_________；②作直线AF ，若直线AF 上的点P （m ，n ）是线段AB 的伴随点，求m 的取值范围； （2）平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都是某条线段a 的伴随点，请直接写出这条线段a 的长度的范围．3. 若抛物线L ：()02≠++=abc c b a c bx ax y 是常数，且，，与直线l 都经过y 轴上的同一点，且抛物线L 的顶点在直线l 上，则称此抛物线L 与直线l 具有“一带一路”关系，并且将直线l 叫做抛物线L 的“路线”，抛物线L 叫做直线l 的“带线”.(1) 若“路线”l 的表达式为42-=x y ，它的“带线”L 的顶点在反比例函数xy 6=(x ＜0)的图象上，求“带线”L 的表达式；(2)如果抛物线122-+-=m mx mx y 与直线1+=nx y 具有“一带一路”关系，求m ,n 的值； (3)设(2) 中的“带线”L 与它的“路线”l 在 y 轴上的交点为A . 已知点P 为“带线”L 上的点，当以点P 为圆心的圆与“路线”l 相切于点A 时，求出点P 的坐标.备用图4．在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x,y）的变换点为P′(x+y, x-y)．(1)如图1，如果⊙O的半径为22，①请你判断M (2,0)，N (-2,-1)两个点的变换点与⊙O的位置关系；②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围.(2)如图2，如果⊙O的半径为1,且P的变换点P’在直线y=-2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．5.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，若,P Q 为某个菱形的两个相对顶点，且该菱形的一边与x 轴平行，则称该菱形为点,P Q 的“相关菱形”，下图为点,P Q 的“相关菱形”的示意图．（1）已知点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()3,4，且点,A B 的“相关菱形”为正方形，则此“相关菱形”的周长为__________；（2）若点C 的坐标为(，点D 在直线y =且,C D 的“相关菱形”有一个内角为60o ，求点D 的坐标；（3）⊙O M 的坐标为m ⎛ ⎝⎭（其中0m >），若在⊙O 上存在一点N ，使得点,M N 的“相关菱形”有一个内角为60o ，直接写出m 的取值范围．6.阅读材料：①直线l 外一点P 到直线l 的垂线段的长度，叫做点P 到直线l 的距离，记作d （P ，l ） ②两条平行线1l ，2l ，直线上1l 任意一点到直线2l 的距离，叫做这两条平行线1l ，2l 之间的距离，记住d （1l ，2l ）；③若直线1l ，2l 相交，则定义d （1l ，2l ）=0 ④对于同一条直线l ，我们定义d （l ，l ）=0。
对于两点1P ，2P 和两条直线1l ，2l ，定义两点1P ，2P 的“1l ，2l —相关距离”如下：d （1P ，2P 1l ，2l ）=d （1P ，1l ）+d （1l ，2l ）+d （2P ，2l ）设1P （4，0），2P （0，3），1:l y x =，2:l y =，3:l y kx =，'4:l y k x =，解决以下问题：（1）d （1P ，2P 1l ，1l ）=____________，d （1P ，2P 1l ，2l ）=_______________（2）①若k >0，则当d （1P ，2P 3l ，3l ）最大时，k =_________；②若k <0，试确定k 的值使得d （1P ，2P 3l ，3l ）最大。
（3）若'0k k >>，且，3l ，4l 的夹角是30°，直接写出d （1P ，2P 3l ，4l ）的最大值________。
7.平面上有两条直线A B、CD相交于点O，且∠BOD=150°（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：①点O的“距离坐标”为（0，0）；②在直线CD上，且到直线AB的距离为p（p＞0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB 上，且到直线CD的距离为q（q＞0）的点的“距离坐标”为（0，q）；③到直线AB、CD的距离分别为p，q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐标”为（p，q）．设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：（1）画出图形（保留画图痕迹）：①满足m=1，且n=0的点M的集合；②满足m=n的点M的集合；（2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式．（说明：图中OI长为一个单位长）8．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？CA10.给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，记d max （M ，N ）为线段PQ 长度的最大值，d min （M ，N ）为线段PQ 长度的最小值，则图形M 、N 的平均距离 Ed （M ，N ）=2),(),(min max N M d N M d +已知A （0,0） ，B （2,0），C （4,2），线段AB 以每秒1个单位的速度沿着x 轴正方向匀速运动. （1） 如图1，求经过1秒后，;（2） 直接写出线段AB 在运动过程中Ed （C ,AB ）关于时间t 的函数解析式；（3） 如图2，已知抛物线的一部分m ：()()204922≤≤+-=x x y 和线段EF ：()101≤≤+-=x x y ，求Ed （EF ,m ）.11. 我们规定：平面内点到图形上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离，点到图形上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离，定义点到图形的距离跨度为R。
（1）①如图1，在平面直角坐标系中，图形为以为圆心，为半径的圆，直接写出以下各点到图形的距离跨度：(1,0)A -的距离跨度；13,2B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的距离跨度； (3,2)C -的距离跨度；②根据①中的结果，猜想到图形的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是。
（2）如图2，在平面直角坐标系中，图形为以为圆心，为半径的圆，直线上存在到的距离跨度为的点，求的取值范围。
（3）如图3，在平面直角坐标系中，射线3:3OA y x =，是以3为半径的圆，且圆心在轴上运动，若射线上存在点到的距离跨度为2，直接写出圆心的横坐标的取值范围。
B C12.我们规定：线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点对这条线段的视角.如图1，对于线段AB 及线段AB 外一点C ，我们称∠ACB 为点C 对线段AB 的视角. 如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点D （0，4），E （0，1）. （1）∠P 为过D ，E 两点的圆， F 为∠P 上异于点D ，E 的一点. ①如果DE 为∠P 的直径，那么点F 对线段DE 的视角∠DFE 为_________度；②如果点F 对线段DE 的视角∠DFE 为60度；那么∠P 的半径为_______；（2）点G 为x 轴正半轴上的一个动点，当点G 对线段DE 的视角∠DGE 最大时，求点G 的坐标.13．对于图形S 和图形T 给出以下定义：点P 在图形S 上，点Q 在图形T 上，则称点P 与点Q 的距离的最小值为图形S 与图形T 的距离.在平面直角坐标系xOy 中，⊙M 的半径为1，且圆心M 的坐标为(),0t ，直线3y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .（1）若点A 与⊙M 的距离为12，请直接写出实数t 的所有可能值；（2）若点C 的坐标为(，⊙O 的半径为r ，⊙O 与△ABC 的距离为0， 求r 的取值范围；（3）记线段AB 与⊙M 的距离为d ，若d <<01，求实数t 的取值范围.。