2019《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)配套课件：3-6.ppt
《优化探究》高考数学总复习(人教A文)配套课件选修4-1-2
• 延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋ r.
• 设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r. • 由圆的割线定理知，PA·PB＝6 PD·PC，
6
• ∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r ＝.
• 答案：
• 考向一 圆周角、弦切角和圆的切线问题 • [例1] (2013年银川模拟)如图，已知AB是
• 1．用一个平面去截一个圆柱，当平椭圆面与 圆柱的两底面平行时，截面是一个圆；当
平面与圆柱的两底面不平行时，截面是一
个
．
• 2．定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．
• 八、平面与圆锥面的截线
• 在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于
O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶
点，l′为母线的圆锥面，椭圆任取平面π，若它 与轴l的交角为β(当π与l平抛物行线时，记β＝0)， 则
双曲线
• (1)β>α，平面π与圆锥的交线为
；
• (2)β＝α，平面π与圆锥的交线为
；
• (3)β<α，平面π与圆锥的交线为
．
• 1．(课本习题改编)如图，P是圆O外一点， 过P引圆O的两5 条割线PB、PD，PA＝AB ＝ ，CD＝3，则PC等于( )
• A．2或－5
B．2
• C即．5×3 2 5＝x(x＋3)，解得 x＝2 或 x＝D－．5(舍10去)．故选 B.
切线． • (2)∵AB＝2BO，AB＝2BE， • ∴BO3＝BE＝CO. • 设BO32 ＝BE＝CO＝x，
• 1．(2013年安徽六校联考)已知C点在圆O 直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC 是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于D 点．
《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：3-7
《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：3-7[命题报告·教师用书独具]1．(2012年高考广东卷)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 ．2 3 C. 3.32解析：利用正弦定理解三角形． 在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A ，∴AC ＝BC ·sin Bsin A ＝32×2232＝2 3.答案：B2．(2013年安阳模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )A.14 .24 C ．－14．－24解析：依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin 2A ＝－12si n 30°＝－14，选C.答案：C3．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且面积S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝( )A.π4 .π6 C.2π3.π12解析：因为S △ABC ＝12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)，所以sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，故A ＝π4.答案：A4．(2013年江西师大附中月考)在△ABC 中，∠A ＝60°，且角A 的角平分线AD 将BC 分成两段BD 、DC ，且BD ∶DC ＝2∶1，若AD ＝43，则C ＝( )A.π6 .π4 C.π2.π3解析：因为AD 是角A 的角平分线，所以AC ∶AB ＝CD ∶DB ＝1∶2.设AC ＝x ，则AB ＝2x .易知3S △ACD ＝S △ABC ，即3×12×43×sin 30°＝12×2x 2sin 60°，解得x ＝6，所以AB ＝12.由余弦定理得BC ＝6 3.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以C ＝π2.答案：C5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形 解析：依题意得asin A＝bsin B，sin B ＝b sin A a ＝100sin 30°80＝58，12<58<32，因此30°<B <60°，或120°<B <150°.若30°<B <60°，则C ＝180°－(B ＋30°)>90°，此时△ABC 是钝角三角形；若120°<B <150°，此时△ABC 仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形，选C.答案：C 二、填空题6．(2012年高考湖北卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.解析：应用余弦定理求角．由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.又因为角C 为△ABC 的内角，所以C ＝2π3.答案：2π37．(2013年大同质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 依次成等差数列，AB ＝8，BC ＝5，则△ABC 外接圆的面积为________．解析：记△ABC 的外接圆半径为R .依题意得2B ＝A ＋C ，又A ＋C ＋B ＝π，因此有B ＝π3，所以AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝7.又2R ＝ACsin B ＝7sin 60°，即R ＝73，故△ABC 的外接圆的面积是πR 2＝49π3.答案：49π38．(2012年高考重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.解析：利用同角三角函数基本关系式、三角函数和角公式及正弦定理求解． 在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.答案：1459．有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos2A ＋C2＝(2－1)cos B ，c ＝________，求角A .(答案提示：A ＝60°，请将条件补充完整)解析：由题知1＋cos(A ＋C )＝(2－1)cos B ，所以 1－cos B ＝(2－1)cos B ，解得cos B ＝22，∴B ＝45°， 又A ＝60°，所以C ＝75°.根据正弦定理得3sin 60°＝c sin 75°，解得c ＝6＋22.故应填6＋22. 答案：6＋22三、解答题10．(2013年北京海淀模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝2B ，sin B ＝33. (1)求cos A 及sin C 的值； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积． 解析：(1)因为A ＝2B ，所以cos A ＝cos 2B ＝1－2sin 2B . 因为sin B ＝33， 所以cos A ＝1－2×13＝13.由题意可知，A ＝2B,0<A <π，所以0<B <π2.因为sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝223.所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.(2)因为b sin B ＝asin A ，b ＝2，所以233＝a223. 所以a ＝463.所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝2029.11．(2012年高考大纲全国卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解析：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ， 由已知得sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C ．② 由①②得sin 2C ＝14，于是sin C ＝－12(舍去)或sin C ＝12.又a ＝2c ，所以C ＝π6.12．(能力提升)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，且BD ∶DC ∶AD ＝2∶3∶6.(1)求∠BAC 的大小；(2)设E 为AB 的中点，已知△ABC 的面积为15，求CE 的长．解析：(1)由已知得tan ∠BAD ＝BD AD ＝13，tan ∠CAD ＝CD AD ＝12，则tan ∠BAC ＝tan(∠BAD ＋∠CAD )＝13＋121－13×12＝1，又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4.(2)设BD ＝2t (t >0)，则DC ＝3t ，AD ＝6t ，由已知得S △ABC ＝12×(2t ＋3t )6t ＝15，则t ＝1，故BD ＝2，DC ＝3，AD ＝6，所以AB ＝AD 2＋BD 2＝2 10，AC ＝AD 2＋DC 2＝35，则AE ＝AB2＝10，由余弦定理得CE ＝AE 2＋AC 2－2AE ·AC ·cos∠BAC ＝5.[因材施教·学生备选练习]1．(2012年高考安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinB cos A ＝sin A cosC ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．解析：(1)解法一 由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B . 因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.解法二 由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)解法一 因为A D →2＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →22＝14(A B →2＋A C →2＋2AB →·AC →) ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋4＋2×1×2×cos π3＝74，所以|AD →|＝72.从而AD ＝72.解法二 因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝ 1＋34＝72. 2．(2013年南昌模拟)△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 向量m ＝(2，－1)，n ＝(sin B sin C ，3＋2cos B cos C )，且m ⊥n .(1)求角A 的大小；(2)现给出以下三个条件：①B ＝45°；②2sin C －(3＋1)·sin B ＝0；③a ＝2.试从中再选择两个条件以确定△ABC ，并求出所确定的△ABC 的面积．解析：(1)∵m ⊥n ，∴2sin B sin C －2cos B cos C －3＝0， ∴cos(B ＋C )＝－32， ∴cos A ＝32， 又0<A <π，∴A ＝30°.(2)解法一 选择①③，∵A ＝30°，B ＝45°，C ＝105°，a ＝2且sin 105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24， c ＝a sin C sin A＝6＋2，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3＋1.解法二 选②③，已知A ＝30°，a ＝2， ∵2sin C －(3＋1)sin B ＝0， ∴2c ＝(3＋1)b ，∴c ＝3＋12b .由余弦定理，知a 2＝4＝b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3＋12b 2－2b ×3＋12b ×32. ∴b 2＝8，∴b ＝22，c ＝3＋12b ＝6＋2， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋1.注：不能选①②，因①②不能确定△ABC .倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。
【优化探究】2014高考数学总复习 提素能高效题组训练 1-3 文 新人教A版
《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：1-3[命题报告·教师用书独具]1．(2013年江南十校联考)命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p ∨q ”是真命题B ．“p ∨q ”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题解析：当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，所以命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，所以“p ∨q ”是假命题，选B.答案：B2．已知a 和b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，有下列四个命题：p 1：|a －b |＝13；p 2：|a ＋b |＝10；p 3：a ·b ＝－32；p 4：b >a .则其中的真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：根据向量的知识，逐一验证各个命题的真假．对于p 1，|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1＋9－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝13，故|a －b |＝13；对于p 2，|a ＋b |＝7；对于p 3，a ·b ＝－32；对于p 4，向量不能比较大小．故选B 项．答案：B3．(2013年大同模拟)已知函数f (x )＝x 2＋bx (b ∈R )，则下列结论正确的是( ) A ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数 B ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．∃b ∈R ，f (x )为奇函数D ．∃b ∈R ，f (x )为偶函数解析：注意到b ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数．故选D. 答案：D4．下列命题中的真命题是( ) A ．∃x ∈R ，使得sin x cos x ＝35B ．∃x ∈(－∞，0)，2x>1 C ．∀x ∈R ，x 2≥x －1D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x解析：由sin x cos x ＝35，得sin 2x ＝65>1，故A 错误；结合指数函数和三角函数的图象，可知B ，D 错误；因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0恒成立，所以C 正确．答案：C5．(2013年南昌联考)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞) B．[1,4] C ．[e,4] D ．(－∞，1]解析：“p ∧q ”是真命题，则p 与q 都是真命题；p 真则∀x ∈[0,1]，a ≥e x，需a ≥e；q 真则x 2＋4x ＋a ＝0有解，需Δ＝16－4a ≥0，所以a ≤4；p ∧q 为真，则e≤a ≤4.答案：C 二、填空题6．(2013年连云港模拟)命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥2x ，则綈p ：____________________. 解析：命题的否定为：∃x ∈R ，x 2＋1＜2x . 答案：∃x ∈R ，x 2＋1＜2x7．若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意可知，Δ＝(1－a )2－4>0， 解得a <－1或a >3.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0－8－6a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：若p 真，则∀x ∈[1,2]，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x min ≥a ，解得，a ≤12；若q 真，则(2a )2－4×(－8－6a )＝4(a ＋2)·(a ＋4)≥0，∴a ≤－4或a ≥－2.∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12. 答案：(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，129．(2013年郑州模拟)已知命题p ：不等式xx －1＜0的解集为{x |0＜x ＜1}；命题q ：在△ABC 中 ，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是__________．(请把正确结论的序号都填上)解析：解不等式知，命题p 是真命题，在△ ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件，所以命题q 是假命题，∴①正确，②错误，③正确，④错误．答案：①③ 三、解答题10．写出下列命题的否定，并判断真假： (1)存在一个三角形是正三角形；(2)至少存在一个实数x 0使x 20－2x 0－3＝0成立； (3)正数的对数不全是正数．解析：(1)任意的三角形都不是正三角形，假命题； (2)对任意实数x 都有x 2－2x －3≠0，假命题； (3)正数的对数都是正数，假命题．11．写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”，“p ∧q ”，“綈p ”形式的新命题，并判断其真假．(1)p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；(2)p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两个实根的符号相同，q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．解析：(1)p ∨q ：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p ∧q ：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；綈p ：2不是4的约数，假命题．(2)p ∨q ：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p ∧q ：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；綈p ：矩形的对角线不相等，假命题．(3)p ∨q ：方程x 2＋x －1＝0的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题；p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题；綈p ：方程x 2＋x －1＝0的两个实数根符号不同，真命题．12．(能力提升)已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解析：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时|a2|≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足x 20＋2ax 0＋2a ≤0”， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p ∨q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a >2或a <－2. 即a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．[因材施教·学生备选练习]1．(2013年太原联考)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋1<2x ；命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m ≤0，那么( )A ．“綈p ”是假命题B ．“綈q ”是真命题C ．“p ∧q ”为真命题D ．“p ∨q ”为真命题解析：对于命题p ，x 2＋1－2x ＝(x －1)2≥0，即对任意的x ∈R ，都有x 2＋1≥2x ，因此命题p 是假命题．对于命题q ，若mx 2－mx －1<0恒成立，则当m ＝0时，mx 2－mx －1<0恒成立；当m ≠0时，由mx 2－mx －1<0恒成立得⎩⎪⎨⎪⎧m <0Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.因此若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m ≤0，故命题q 是真命题．因此，“綈p ”是真命题，“綈q ”是假命题，“p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，选D.答案：D2．(2013年济南调研)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－12，－4]∪[4，＋∞)B ．[－12，－4]∪[4，＋∞)C ．(－∞，－12)∪(－4,4)D ．[－12，＋∞)解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a <－12；若p 假q 真，则－4<a <4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．答案：C3．已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( )A ．p 真q 假B ．p 假q 真C ．“p ∨q ”为假D ．“p ∧q ”为真解析：在△ABC 中，设角C 与角B 所对应的边分别为c ，b ，由C >B ，知c >b ，由正弦定理c sin C ＝bsin B可得sin C >sin B ，当sin C >sin B 时，易证C >B ，故“C >B ”是“sin C >sin B ”的充要条件．当c ＝0时，由a >b 得ac 2＝bc 2，由ac 2>bc 2易证a >b ，故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件，即命题p 是假命题，命题q 也是假命题，所以“p ∨q ”为假．故选C.答案：C。
【优化探究】2014高考数学总复习提素能高效题组训练1-1文新人教A版
A∪ ( ?UB) 等于 (
)
A．?
B． {1}
C．{1,2}
D． { － 1,0,1,2}
解析： 由题意可知 ?UB＝ { － 1,0} ，所以 A∪( ?UB) ＝ { －1,0,1,2} ，选 D.
答案： D 3．(2013 年北京东城模拟 ) 设全集 U＝ R， A＝ { x| － x2－ 3x>0} ， B＝ { x| x<－ 1} ，则图中阴
答案： B
1 4．(2013 年佛山质检 ) 已知非空集合 M满足：若 x∈ M，则 1－ x∈M，则当 4∈ M时，集合 M
的所有元素之积等于 ( )
A．0
B． 1
C．－ 1
D．不确定
解析： 依题意，当11 Nhomakorabea1
4∈M时，有 1－ 4＝－ 3∈ M，从而
1
1－ －3
3
1
＝ 4∈M， 3＝ 4∈ M，于
所以 ( ?UA) ∩ B＝{ x| x>－1} ∩｛y| y≥0} ＝ { x| x≥0} ，故选 C.
答案： C
2．(2013 年衢州模拟 ) 已知集合 A＝ { x| －2≤ x≤7} ， B＝ { x| m＋ 1<x<2m－ 1} ，且 B≠ ?，若
A∪ B＝A，则实数 m的取值范围是 ( )
影部分表示的集合为 ( )
A．{ x| x>0}
B． { x| －3<x<－ 1}
C．{ x| － 3<x<0}
D． { x| x<－ 1}
解析： 依题意，得集合 A＝ { x| － 3<x<0} ，所求的集合即为 A∩ B，所以图中阴影部分表示
【优化探究】2014高考数学总复习提素能高效题组训练2-2文新人教A版
答案： [ － 1,0]
9．(2013 年海口模拟 ) 在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当
a≥ b 时， a
⊕ b＝ a；当 a<b 时， a⊕ b＝ b2. 设函数 f ( x) ＝ (1 ⊕ x) x－ (2 ⊕ x) ， x∈ [ － 2,2] ，则函数 f ( x) 的
值域为 ________．
x
③
f
(
x)
＝
x2 ＋ x ＋
；④ 1
f
(
x)
是定义在
R 上的奇函数，且满足对一切实数
x1， x2 均有 | f ( x1) －
f ( x2)| ≤2| x1－ x2|. 其中是 F 函数的序号为 (
)
A．②④
B．①③
C．③④
D．①②
|f x
|f x
解析： 据 F 函数的定义可知，由于 | f ( x)| ≤ m| x| ? | x| ≤ m，即只需函数 | x| 存
数且 a>0，令函数 f ( x) ＝ g( x) · h( x) ． (1) 求函数 f ( x) 的表达式，并求其定义域； 1 (2) 当 a＝ 4时，求函数 f ( x) 的值域．
1
x＋1
解析： (1) ∵f ( x) ＝ g( x) · h( x) ＝ ( x＋ 1) x＋ 3＝ x＋ 3
x＋ 1 ∴f ( x) ＝ x＋ 3 ， x∈[0 ， a] ．( a>0)
16 ∴F( t ) ∈ 3， 13 .
16 即函数 f ( x) 的值域为 3， 13 .
|f x 在最大值， 函数即为 F 函数． 易知①②不符合条件； 对于③， | x|
1
1
【优化探究】2014高考数学总复习 提素能高效题组训练 4-1-1 文 新人教A版
《优化探究》2014高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练[命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难平行线分线段成比例定理的应用2、57相似三角形的判定及性质的应用1、3、4、69、10、1112 射影定理的应用8一、选择题1．在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC＝8，BC＝16，则CD为( ) A．3 B．4C．5 D．6解析：∵∠BAC＝∠ADC，∠C为公共角，∴△ABC∽△DAC，∴BCAC＝ACCD，∴CD＝AC2BC＝8216＝4.故选B.答案：B2．如图，在▱ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于F，则BF∶FD等于( )A．2∶5 B．3∶5C．2∶3 D．5∶7解析：∵AD＝BC，BE∶EC＝2∶3，∴BE∶AD＝2∶5.∵AD∥BC，∴BF∶FD＝BE∶AD＝2∶5.答案：A3．如图，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC＝1，S△ADE＝3，则S△CDE等于( )A.2B.32C.3D ．2解析：∵EC ∥AD ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD .∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ，∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，得S △CDE ＝ 3. 答案：C4．如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，要使△ABC ∽△CDB ，那么BD 与a ，b 应满足( )A ．BD ＝b 2aB ．BD ＝ba 2C ．BD ＝a 2b D ．BD ＝ab2解析：∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°， ∴当AC BC ＝BCBD 时，△ABC ∽△CDB ，即当a b ＝b BD时，△ABC ∽△CDB ，∴BD ＝b 2a.答案：A5．如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF BC ＋FG AD＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵EF ∥BC ，∴EF BC ＝AF AC， 又∵FG ∥AD ，∴FG AD ＝CF AC， ∴EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋CF AC ＝ACAC＝1. 答案：A 二、填空题6．两个相似三角形面积的比为3∶5，已知较大的三角形大边上的高为3，则较小的三角形大边上的高为________．解析：相似三角形的面积比等于对应边上高的比的平方，易得所求的高为355.答案：3557．(2013年某某调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析：由DE ∥BC 得DE BC ＝AE AC ＝35， ∵DE ＝6， ∴BC ＝10. 又因为DF ∥AC ， 所以BF BC ＝BD AB ＝CE AC ＝25，即BF ＝4. 答案：48．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，则tan ∠BCD ＝________.解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶9，令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13. 答案：139．△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝12 cm ，高AD ＝8 cm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，则这个正方形的边长为________cm.解析：设正方形PQMN 为加工成的正方形零件，边QM 在BC 上，顶点P ，N 分别在AB ，AC 上，△ABC 的高AD 与边PN 相交于点E ，设正方形的边长为x cm.∵PN ∥BC ， ∴△APN ∽△ABC . ∴AE AD ＝PN BC ，∴8－x 8＝x 12. 解得x ＝4.8.即加工成的正方形零件的边长为4.8 cm. 答案：4.8 三、解答题10．已知△ABC 中，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，BF 和CE 相交于点P ，求证：(1)△BPE ∽△CPF ； (2)△EFP ∽△BCP .证明：(1)∵BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，∴∠BFC ＝∠CEB . 又∵∠CPF ＝∠BPE ， ∴△CPF ∽△BPE .(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ， ∴EP BP ＝FP CP. 又∵∠EPF ＝∠BPC ， ∴△EFP ∽△BCP .11．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 交BC 于点D ，若E 是AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F ，求证：AB AC ＝DFAF.证明：∵E 是Rt △ADC 斜边AC 的中点， ∴AE ＝EC ＝DE .∴∠EDC ＝∠ECD ，又∠EDC ＝∠BDF ， ∴∠EDC ＝∠C ＝∠BDF . 又AD ⊥BC 且∠BAC ＝90°， ∴∠BAD ＝∠C ， ∴∠BAD ＝∠BDF ， ∴△DBF ∽△ADF .∴DB AD ＝DF AF. 又Rt △ABD ∽Rt △CBA ，因此AB AC ＝DB AD. ∴AB AC ＝DF AF.12．(能力提升)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的三等分点，AE 的延长线交BC 于F ，求S △BEFS 四边形DEFC的值．解析：过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ，因为DM ∥AF ， 所以BF BM ＝BE BD ＝13，因为EF ∥DM ， 所以S △BEF S △BDM ＝19， 即S △BDM ＝9S △BEF ， 又S △DMC S △BDM ＝23， 即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ， 因此S △BEFS 四边形DEFC＝114.。
《优化探究》高考数学总复习(人教A文)配套课件9-3
• 请结合频率分布直方图提供的信息，解答 下列问题： [解析] (1)由于各组的组距相等，所以各组的频率与各小长方形的 1 3 6 4 •高成正比且各组频率的和等于 (1)样本的容量是多少？ 1， 那么各组的频率分别为16， 16， 16， 16， • 2(2)列出频率分布表； 6 2 . 设该样本容量为 n ，则 16 n＝16，所以样本容量为 n＝48. • (3) 成绩落在哪个范围内的人数最多？并求 该小组的频数、频率．
• 四、样本的数字特征
• [疑难关注] • 1 ．在频率分布直方图中，中位数左边和 右边的直方图的面积相等，由此可以估计 中位数的值，而平均数的估计值等于频率 分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩 形底边中点的横坐标之和，众数是最高的 矩形的中点的横坐标． • 2．标准差、方差描述了一组数据围绕平 均数波动的大小．标准差、方差越大，数 据的离散程度越大，标准差、方差越小， 数据的离散程度越小，因为方差与原始数
第三节
用样本估计总体
• 一、作频率分布直方图的步骤 最小值 最大值 • 1．求极差(即一组数据中 组数 组距 的差)． 分组 • 2．决定 与 ． 频率分布表 • 3．将数据 ． 频率分布直方图 • 4．列 ． • 5．画 ．
与
• 二、频率分布折线图和总体密度曲线 • 1 ． 频率分布折线图： 连接频率分布直方 中点 图中各小长方形上端的 样本容量 所分组数 • ，就得频率分布折线图． 组距 • 2．总体密度曲线：随着 的增加， 作图时 增加， 减小，相 应的频率折线图会越来越接近于一条光滑 曲线，即总体密度曲线． 原始信息 数据信息 • 三、茎叶图的优点 记录 表示 随时记录 • 用茎叶图表示数据有两个突出的优点； • 一是从统计图上没有 的损失，所
【优化探究】2014高考数学总复习 提素能高效题组训练 7-5 文 新人教A版
《优化探究》2014高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：7-5[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年某某模拟)已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是( )A．m∥n B．n⊥mC．n∥αD．n⊥α解析：已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，增加条件n⊥m，由平面与平面垂直的性质定理可得n⊥β，B正确；A、C、D均不符合，选B.答案：B2．已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中真命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：②③正确，故选C.答案：C3．(2013年某某质检)设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β解析：对于A，若α⊥β，β⊥γ，α，γ可以平行，也可以相交，A错；对于B，若m ∥α，n∥β，α⊥β，则m，n可以平行，可以相交，也可以异面，B错；对于C，若α⊥β，m⊥α，则m可以在平面β内，C错；D正确．答案：D4．(2013年某某模拟)如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上(C，D，E均异于A，B)，则△ACD是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形解析：∵a⊥b，b⊥c，a∩c＝B，∴b⊥面ABC，∴AD⊥AC，故△ACD为直角三角形．答案：B5．(2012年高考某某卷)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解析：找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量．对于选项A，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F，在图(1)中，由边AB，BC不相等可知点E，F不重合．在图(2)中，连接CE，若直线AC与直线BD垂直，又∵AC∩AE＝A，∴BD⊥面ACE，∴BD⊥CE，与点E，F不重合相矛盾，故A错误．对于选项B，若AB⊥CD，又∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥面ADC，∴AB⊥AC，由AB<BC可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线AB与直线CD垂直，故B正确．对于选项C，若AD⊥BC，又∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，∴BC⊥面ADC，∴BC⊥AC.已知BC＝2，AB＝1，BC>AB，∴不存在这样的直角三角形．∴C错误．由上可知D错误，故选B.答案：B二、填空题6．(2013年某某调研)已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)解析：若m⊥α，α∥β，则m⊥β.故填②④.答案：②④7．如图PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．解析：①AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA⇒AE⊥BC，故①正确，②AE⊥PB，AF⊥PB⇒EF⊥PB，故②正确，③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF ∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．答案：①②④8．(2013年某某模拟)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E，F 分别是棱PC，PD的中点，则①棱AB与PD所在的直线垂直；②平面PBC与平面ABCD垂直；③△PCD的面积大于△PAB的面积；④直线AE与直线BF是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)解析：由条件可得AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，故①正确；∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAB、平面PAD都与平面ABCD垂直，故平面PBC 不可能与平面ABCD 垂直，②错；S △PCD ＝12CD ·PD ，S △PAB ＝12AB ·PA ，由AB ＝CD ，PD ＞PA 知③正确；由E ，F 分别是棱PC ，PD 的中点可得EF ∥CD ， 又AB ∥CD ，所以EF ∥AB ，故AE 与BF 共面，故④错． 答案：①③9．(2013年某某三校联考)如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值X 围是________．解析：如图，过D 作DG ⊥AF ，垂足为G ，连接GK ，∵平面ABD ⊥平面ABC ，DK ⊥AB ，∴DK ⊥平面ABC ，∴DK ⊥AF . ∴AF ⊥平面DKG ，∴AF ⊥GK .容易得到，当F 接近E 点时，K 接近AB 的中点，当F 接近C 点时，K 接近AB 的四等分点．∴t 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 三、解答题10．如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是正方形，DM ⊥PC ，垂足为M .(1)求证：BD ⊥平面PAC ； (2)求证：平面MBD ⊥平面PCD .证明：(1)连接AC，∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.(2)由(1)知BD⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC，∵DM⊥PC，BD∩DM＝D，∴PC⊥平面DBM.∵PC⊂平面PDC，∴平面MBD⊥平面PCD.11．(2013年某某模拟)如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M 是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.解析：(1)证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1，又∵BB1＝DD1，∴BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD.∵BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD∴B1D1∥平面A1BD.(2)证明：∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D.而MD⊂平面BB1D，∴MD⊥AC.(3)当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示．∵N是DC的中点，BD＝BC，∴NB⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，∴BN⊥平面DCC1D1.又可证得O是NN1的中点，∴BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形．∴BN∥OM，∴OM⊥平面CC1D1D.∵OM⊂平面DMC1，∴平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D .12．(能力提升)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图．在直观图中，M 是BD 的中点．侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)求出该几何体的体积； (2)求证：EM ∥平面ABC ；(3)试问在棱DC 上是否存在点N ，使NM ⊥平面BDE ？若存在，确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．解析：由题意，EA ⊥平面ABC ，DC ⊥平面ABC ，AE ∥DC ，AE ＝2，DC ＝4，AB ⊥AC ，且AB ＝AC ＝2.(1)∵EA ⊥平面ABC ，∴EA ⊥AB ，又AB ⊥AC ， ∴AB ⊥平面ACDE .∴四棱锥B ACDE 的高h ＝AB ＝2，梯形ACDE 的面积S ＝6， ∴V B ACDE ＝13Sh ＝4，即所求几何体的体积为4.(2)证明：∵M 为DB 的中点，取BC 中点G ，连接EM ，MG ，AG ，∴MG ∥DC ，且MG ＝12DC ，∴MG 平行且等于AE ， ∴四边形AGME 为平行四边形，∴EM ∥AG ，又AG ⊂平面ABC ，EM ⊂平面ABC ， ∴EM ∥平面ABC . (3)由(2)知，EM ∥AG ，又∵平面BCD ⊥底面ABC ，AG ⊥BC ， ∴AG ⊥平面BCD .∴EM ⊥平面BCD ，又∵EM ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面BCD .在平面BCD 中，过M 作MN ⊥DB 交DC 于点N ， ∴MN ⊥平面BDE ，点N 即为所求的点， △DMN ∽△DCB ， ∴DN DB ＝DM DC ，即DN 26＝64， ∴DN ＝3，∴DN ＝34DC ，∴边DC 上存在点N ，满足DN ＝34DC 时，有NM ⊥平面BDE .[因材施教·学生备选练习]1．(2013年某某质检)如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD ，则在三棱锥A BCD中，下列命题正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC解析：在平面图形中CD ⊥BD ，折起后仍有CD ⊥BD ，由于平面ABD ⊥平面BCD ，故CD ⊥平面ABD ，CD ⊥AB .又AB ⊥AD ，故AB ⊥平面ADC .所以平面ABC ⊥平面ADC .D 选项正确．易知选项A 、B 、C 错误．答案：D2．正四棱锥S ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为________．解析：如图，取CD的中点F、SC的中点G，连接EF，EG，FG，设EF交AC于点H，易知AC⊥EF，又GH∥SO，∴GH⊥平面ABCD，∴AC⊥GH，GH∩EF＝H，∴AC⊥平面EFG.故点P的轨迹是△EFG，其周长为2＋ 6.答案：2＋ 6。
【优化探究】2014高考数学总复习 提素能高效题组训练 2-4 文 新人教A版
《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：2-4[命题报告·教师用书独具]1．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④解析：由奇函数的定义验证可知②④正确． 答案：D2．(2013年郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x－1，x <0，则该函数是( )A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：当x >0时，－x <0，f (－x )＋f (x )＝(2－x－1)＋(1－2－x)＝0；当x <0时，－x >0，f (－x )＋f (x )＝(1－2x )＋(2x －1)＝0；易知f (0)＝0.因此，对任意x ∈R ，均有f (－x )＋f (x )＝0，即函数f (x )是奇函数．当x >0时，函数f (x )是增函数，因此函数f (x )单调递增，选C.答案：C3．(2013年长沙模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 011)＋f (2 012)＝( )A ．1＋log 23B ．－1＋log 23C ．－1D ．1解析：∵f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f (－2 011)＝f (2 011)．当x ≥0时，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的函数．又2 011＝4×502＋3，2 012＝4×503，∴f (2 011)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－log 2(1＋1)＝－1，f (2 012)＝f (0)＝log 21＝0，∴f (－2 011)＋f (2 012)＝－1，选C.答案：C4．(2013年杭州模拟)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：函数f (x )为定义在R 上的奇函数， 则f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1.则f (x )＝2x＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案：A5．(2013年潍坊质检)若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件： ①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(注：点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x >0，－x 2－4x x ≤0，则此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对解析：不妨设函数y ＝log 2x 的图象上的点P (x ，log 2x )，x >0，则其关于坐标原点对称的点的坐标为(－x ，－log 2x )，如果该点在函数y ＝－x 2－4x 的图象上，则－log 2x ＝－x 2＋4x ，问题等价于求这个方程的实数解的个数，不难知道这个方程有两个实数解，故选C.答案：C 二、填空题6．如果函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x >0，f x ，x <0是奇函数，则f (x )＝________.解析：令x <0，∴－x >0，g (－x )＝－2x －3. ∴g (x )＝－g (－x )＝2x ＋3，∴f (x )＝2x ＋3. 答案：2x ＋37．(2013年济南模拟)设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2 011)＋f (2 012)＝________.解析：由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2 011)＋f (2 012)＝f (670×3＋1)＋f (671×3－1)＝f (1)＋f (－1)，而由图象可知f (1)＝1，f (－1)＝2，所以f (2 011)＋f (2 012)＝1＋2＝3.答案：38．(2013年宁波模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x＋a ，若f (x )在R 上是单调函数，则实数a 的最小值是________．解析：依题意得f (0)＝0.当x >0时，f (x )>e 0＋a ＝a ＋1.若函数f (x )在R 上是单调函数，则f (x )是R 上的单调增函数，则有a ＋1≥0，a ≥－1，因此实数a 的最小值是－1.答案：－19．(2013年潍坊模拟)已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________．解析：令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，即f (－2)＝0，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8.故正确命题的序号为①②④.答案：①②④ 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，a ∈R )．讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由． 解析：当a ＝0时，f (x )＝x 2， 对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )．∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)， 取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． ∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0， x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解析：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．(能力提升)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)的值． 解析：(1)∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2， ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)． 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 从而求得x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.(3)f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 008)＋f (2 009)＋f (2 010)＋f (2 011)＋f (2 012)＝0. ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝0.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年大同模拟)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，f x 1－f x 2x 1－x 2>0，给出如下命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数；④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为( ) A ．①② B ．②④ C ．①②③D ．①②④解析：依题意可得f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)，即f (－3)＝0，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (3)＝f (－3)＝0，①正确；由①知f (x ＋6)＝f (x )，即函数f (x )是以6为周期的周期函数，则f (x －6)＝f (x ＋6)．又f (x )＝f (－x )，因此有f (x －6)＝f (－6－x )，即函数f (x )的图象关于直线x ＝－6对称，②正确；依题意知，函数f (x )在[0,3]上是增函数，则函数f (x )在[－3,0]上是减函数，又函数f (x )是以6为周期的周期函数，因此函数y ＝f (x )在[－9，－6]上是减函数，③不正确；结合函数y ＝f (x )的图象可知f (－9)＝f (9)＝f (3)＝f (－3)＝0，故函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点，④正确．综上所述，其中所有正确命题的序号为①②④，选D.答案：D2．(2013年哈师大附中月考)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，若在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 B ．(1,4) C ．(1,8) D ．(8，＋∞)解析：依题意得f (x ＋2)＝f [－(2－x )]＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是以4为周期的函数，结合题意画出函数f (x )在x ∈(－2,6)上的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象，结合图象分析可知，要使f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图象有4个不同的交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 6＋2<1，由此解得a >8，即a 的取值范围是(8，＋∞)，选D.答案：D3．(2012年高考课标全国卷)设函数f (x )＝x ＋12＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：将函数化简，利用函数的奇偶性求解． f (x )＝x ＋12＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1， 设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0， ∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 答案：2。
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[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年唐山模拟)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )A.x 28－y 224＝1 B.x 212－y 214＝1C.x 224－y 28＝1 D.x 24－y 212＝1解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2－y 23＝λ(λ≠0)，即 x 2λ－y 23λ＝1，则a 2＝λ，b 2＝3λ.∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴c ＝4，∴c 2＝a 2＋b 2＝4λ＝16，解得λ＝4，∴双曲线方程为x 24－y212＝1.答案：D2．(2013年淮南模拟)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0D.()－3，0解析：双曲线方程可化为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝62，∴左焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0.答案：C3．(2013年潍坊质检)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为( )A ．4 B ．2 C ．3 D ．6解析：由题易知，双曲线的右焦点坐标为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：A4．(2013年青岛模拟)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝( )A.10B ．210 C.5D ．2 5解析：如图，由PF 1→·PF 2→＝0可得PF 1→⊥PF 2→，又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF 1QF 2为矩形，因为矩形的对角线相等，故有|PF 1→＋PF 2→|＝|P Q →|＝2c ＝210，所以选B.答案：B5．(2013年银川联考)已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上不同的三个点，且A ，B 的连线经过坐标原点，若直线P A 、PB 的斜率的乘积k P A ·k PB ＝23，则该双曲线的离心率为( )A.52B.62C.2D.153解析：因为A ，B 的连线经过坐标原点，所以A 、B 关于原点对称，设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，由A ，B ，P 在双曲线上得x 20a 2－y 20b 2＝1，x 21a 2－y 21b 2＝1，两式相减并且变形得y 20－y 21x 20－x 21＝b 2a 2.又k P A ·k PB ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝b 2a 2＝23，即c 2－a 2a 2＝e 2－1＝23，故双曲线的离心率e ＝153.答案：D 二、填空题6．(2013年宁波模拟)双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是________． 解析：依题意得，双曲线的渐近线方程为y ＝±x . 答案：y ＝±x7．(2012年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解析：建立关于m 的方程求解．∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m ＝5，∴m 2－4m ＋4＝0， ∴m ＝2. 答案：28．(2013年岳阳模拟)直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点，记OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2，则实数a和b 满足的一个等式是________________．解析：该题综合考查直线与圆锥曲线的位置关系、向量线性表示及坐标运算．可先求出e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝x 0a －b ＝y 0，∴(a ＋b )2－(a －b )2＝1，∴ab ＝14， 答案：ab ＝149．(2013年合肥检测)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率是2，则b 2＋13a 的最小值为________．解析：由双曲线的离心率e ＝2得，ca ＝2，从而b ＝3a >0，所以b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a ≥2a ·13a ＝213＝233，当且仅当a ＝13a ，即a ＝33时，“＝”成立．答案：233三、解答题10．如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解析：设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)． 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3文档收集自网络，仅用于个人学习＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|. 又∵S △PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3.∴|PF 1|·|PF 2|＝8. ∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2. 又∵e ＝ca ＝2， ∴a 2＝23.∴双曲线的方程为：3x 22－y 22＝1.11．(2013年宿州模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解析：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)由(1)可知，在双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23，又∵点M (3，M )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3.∴kmF 1·kmF 2＝m3＋23×m3－23＝－m 23＝－1.∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)由(2)知MF 1⊥MF 2， ∴△MF 1F 2为直角三角形．又F 1(－23，0)，F 2(23，0)，m ＝±3，M (3，3)或(3，－3)， 由两点间距离公式得 |MF 1|＝(－23－3)2＋(0－3)2＝24＋123，|MF 2|＝(23－3)2＋(0－3)2＝24－123，S △F 1MF 2＝12|MF 1||MF 2| ＝12×24＋123·24－123＝12×12＝6.即△F 1MF 2的面积为6.12．(能力提升)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解析：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故C 2的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得 1－3k 2≠0.Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)>0， ∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3，②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年贵阳模拟)已知O 为平面直角坐标系的原点，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，E 为OF 2的中点，过双曲线左顶点A 作两渐近线的平行线分别与y 轴交于C 、D 两点，B 为双曲线的右顶点，若四边形ACBD 的内切圆经过点E ，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 2 C.3D.233解析：作草图，易知直线BC 的方程为x a ＋yb ＝1，圆心O 到BC 的距离为1⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＝c2，∴2ab ＝c 2，∴4a 2(c 2－a 2)＝c 4，两边同除以a 4得：e 4－4e 2＋4＝0， ∴(e 2－2)2＝0，∴e 2＝2， ∴e ＝ 2或－2(舍)，∴e ＝ 2.答案：B2．(2013年苏州模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1、F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为________．解析：设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则由△PF 1F 2面积为9及PF 1⊥PF 2可得xy ＝18，x 2＋y 2＝4c 2，故(x －y )2＝4c 2－36＝4a 2，又e ＝54，得c ＝5，a ＝4，∴b ＝3，∴a ＋b ＝7.答案：7。
《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)配套课件：8-7
1 设 S(u)＝u(1－2u2)，0<u≤2，则 S′(u)＝1－6u2. 6 1 由 S′(u)＝0，得 u＝ 6 ∈0，2， 所以 S(u)max＝S
6 6 ＝ . 6 9
6 故△ABP 面积的最大值为 9 .
2．(2013 年淄博模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y2 ＝4x 相交于不同的 A、B 两点． → OB → (1)如果直线 l 过抛物线的焦点，求OA· 的值； → OB → (2)如果OA· ＝－4，证明直线 l 必过一定点，并求出该定点．
答案：D
考向三 直线与抛物线的位置关系 1 [例 3] (2012 年高考浙江卷)如图， 在直角坐标系 xOy 中， P 1，2 点 5 到抛物线 C：y2＝2px(p>0)的准线的距离为4.点 M(t,1)是 C 上的定点，A， B 是 C 上的两动点，且线段 AB 被直线 OM 平分．
＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)设 l：x＝ty＋b 代入抛物线 y2＝4x，消去 x 得 y2－4ty－4b＝0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b， → OB → ∴OA· ＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b. 令 b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2， ∴直线 l 过定点(2,0)． → OB → ∴若OA· ＝－4，则直线 l 必过一定点(2,0)．
【答题模板】 直线与抛物线的综合问题 【典例】 (12 分)(2012 年高考课标全国卷)设抛物线 C：2＝2py(p>0) x 的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，已知以 F 为圆心，FA 为半径的 圆 F 交 l 于 B，D 两点． (1)若∠BFD＝90° ，△ABD 的面积为 4 2，求 p 的值及圆 F 的方程； (2)若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m，n 距离的比值．
《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)配套课件：3-7
1．(课本习题改编)已知△ABC 中 a＝1，b＝ 2，B＝45° ，则 A 的大 小为( ) B．90° D．30°
A．150° C．60°
1 2 1 解析：由正弦定理得 ＝ ，∴sin A＝ . sin A sin 45° 2 ∵a<b，∴A<B，∴A＝30° .
答案：D
• 2．△ABC中，若a4 ＋b4 ＋c4＝2c2(a2 ＋b2)， 解析：由 a ＋b ＋c ＝2c a ＋2b c ， 则角C的度数是( ) a ＋b －c 得 cos C＝ • A．60° 2ab B．45°或135° a ＋b ＋c 1 • C．120°＋2a b －2c a －2b c ＝D．30° ＝ ，
5 1 ，cos C＝ . 6 6
5 ，∴sin B＝sin C，即 b＝c.① 6
2 5 又 cos A＝ ，∴sin A＝ 1－cos2A＝ . 3 3 1 S△ ABC＝ bcsin A＝ 5. 2 ∴bc＝6.② 由①②知，b＝c＝ 6.
【易错警示】 忽视三角形中的边角大小关系而致误 π 【典例】 (2013 年长春模拟)在△ABC 中，∠A＝ ，BC＝3，AB＝ 3 6，则∠C＝( π 3π A. 或 4 4 π C. 4 ) 3π B. 4 D. π 6
B．直角三角形 D．等边三角形
cos A a sin A 解析：解法一 由正弦定理得 ＝ ＝ ， cos B b sin B ∴sin Acos B＝cos Asin B， 即 sin(A－B)＝0，可得 A－B＝0，∴A＝B. 解法二 由余弦定理将角化为边， 可得 a＝b.所以三角形为等腰三角 形．
2A
→|· A＝3bc＝3，∴bc＝5. |· C cos |A
5 4 又 A∈(0，π)，∴sin A＝ ， 5 1 1 4 ∴△ABC 的面积 S△ ABC＝ bcsin A＝ ×5× ＝2. 2 2 5
《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)配套课件：8-6
b2 1 b 2 • 本例(1)条件不变，求C的渐近线方程． 得 2＝ ， ＝± . a 2 a 2 b 又∵渐近线方程为 y＝± x， a 2 ∴C 的渐近线方程为 y＝± 2 x.
考向三 直线与双曲线的位置关系 [例 3] (2012 年高考上海卷)在平面直角坐标系 xOy 中， 已知双曲线 C：2x2－y2＝1. (1)设 F 是 C 的左焦点，M 是 C 右支上一点．若|MF|＝2 2，求点 M 的坐标． (2)过 C 的左顶点作 C 的两条渐近线的平行线， 求这两组平行线围成 的平行四边形的面积． (3)设斜率为 k(|k|< 2)的直线 l 交 C 于 P、Q 两点．若 l 与圆 x2＋y2 ＝1 相切，求证：OP⊥OQ. x2 2 6 － ，0. [解析] (1)双曲线 C： 1 －y ＝1，左焦点 F 2 2
y＝kx＋b， 由 2 2 2x －y ＝1，
得(2－k2)x2－2kbx－b2－1＝0.
x1＋x2＝ 2kb 2， 2－k 设 P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则 －1－b2 x1x2＝ . 2－k2
又 y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)， 所以 O→· →＝x1x2＋y1y2 P OQ
• [疑难关注]
2．渐近线与离心率 x2 y2 b 2－ 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为 ＝ a b a b2 a2＝ c2－a2 a2 ＝
e2－1.可以看出， 双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的 大小．注意，若 a>b>0 时，双曲线的离心率满足 1<e< 当 a＝b>0 时，e＝ 当 b>a>0 时，e> 2. 2(亦称为等轴双曲线)； 2；
【优化探究】2014高考数学总复习 提素能高效题组训练 8-4 文 新人教A版
《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：8-4[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年海淀模拟)设m >0，则直线l ：2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切解析：圆心到直线l 的距离为d ＝1＋m 2，圆的半径为r ＝m ，∵d －r ＝1＋m 2－m ＝12(m －2m ＋1)＝12(m －1)2≥0，∴d ≥r ，故直线l 和圆O 相切或相离．答案：C2．(2012年高考重庆卷)设A 、B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：利用直线过圆心，则所截弦长恰为直径长求解．由于直线y ＝x 过圆心(0,0)，所以弦长|AB |＝2R ＝2.答案：D3．(2013年烟台模拟)过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最大时，直线l 的方程为( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －2y ＋3＝0D ．2x ＋y －4＝0解析：易知点M (1,2)在圆C 的内部，当∠ACB 最大时，|AB |应最大，此时线段AB 恰好是圆C 的直径，由两点式，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0.答案：D4．(2013年长沙调研)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|O A →＋O B →|＝|O A →－O B →|(其中O 为坐标原点)，则实数a 等于( )A ．2B ．－2C ．2或－2D.6或－ 6解析：由|O A →＋O B →|＝|O A →－O B →|知OA ⊥OB ， 所以由题意可得|a |2＝2，所以a ＝±2.答案：C5．(2013年青岛模拟)若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )A.14B.12 C ．2D ．4解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心坐标为(－1,2)，半径r ＝2，由题意得，22＝⎝⎛⎭⎪⎫2|a ＋b －1|4a 2＋b 22＋22，即得a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.答案：D 二、填空题6．若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围为________． 解析：由圆与直线没有公共点，可知圆的圆心到直线的距离大于半径，也就是2k 2＋1>1，解得－3<k < 3.答案：－3<k < 37．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________．解析：依题意得|OO 1|＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △O O 1A ＝12·|AB |2·|OO 1|＝12·|OA |·|AO 1|，因此|AB |＝2·|OA |·|AO 1||OO 1|＝2×5×255＝4. 答案：48．(2012年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析：解法一 设直线上一点(t ，kt －2)， 则圆心距满足t －42＋kt －22≤2对t ∈R 有解，即(1＋k 2)t 2－(4k ＋8)t ＋16≤0有解， 所以有(4k ＋8)2－4×16(1＋k 2)≥0， ∴0≤k ≤43.解法二 由题意，圆心C 到直线的距离不大于2，d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，解得0≤k ≤43.答案：439．(2012年高考江西卷)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：利用数形结合求解．直线与圆的位置关系如图所示，设P (x ，y )，则∠APO ＝30°，且OA ＝1.在直角三角形APO 中，OA ＝1，∠APO ＝30°，则OP ＝2，即x 2＋y 2＝4.又x ＋y －22＝0，联立解得x ＝y ＝2，即P (2，2)．答案：(2，2) 三、解答题10．(2013年枣庄月考)已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解析：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切． 则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.11．(2013年湛江六校联考)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解析：假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，则OA ⊥OB .设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.消去y 得，2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， ∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)，②y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)． ③把②③式代入①式，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0成立．故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.12．(能力提升)(2013年徐州月考)已知数列{a n }，圆C 1：x 2＋y 2－2a n x ＋2a n ＋1y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆C 1与圆C 2交于A ，B 两点且这两点平分圆C 2的周长．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)若a 1＝－3，则当圆C 1的半径最小时，求出圆C 1的方程． 解析：(1)证明：由已知，圆C 1的圆心坐标为(a n ，－a n ＋1)， 半径为r 1＝ a 2n ＋a 2n ＋1＋1，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r 2＝2.又圆C 1与圆C 2交于A ，B 两点且这两点平分圆C 2的周长，∴|C 1C 2|2＋r 22＝r 21. ∴(a n ＋1)2＋(－a n ＋1＋1)2＋4＝a 2n ＋a 2n ＋1＋1，∴a n ＋1－a n ＝52.∴数列{a n }是等差数列．(2)∵a 1＝－3，∴a n ＝52n －112.则r 1＝a 2n ＋a 2n ＋1＋1 ＝125n －112＋5n －62＋4＝1250n 2－170n ＋161. ∵n ∈N *，∴当n ＝2时，r 1可取得最小值， 此时，圆C 1的方程是：x 2＋y 2＋x ＋4y －1＝0.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年成都模拟)直线l ：x ＋2y ＝4与圆C ：x 2＋y 2＝9交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若直线OA ，OB 的倾斜角分别为α，β，则sin α＋sin β＝( )A.165B.1615 C.85 D.815解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x 2＋y 2＝9，消去x 得5y 2－16y ＋7＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝165，∴sin α＝y 13，sin β＝y 23， ∴sin α＋sin β＝13(y 1＋y 2)＝13·165＝1615.答案：B2．(2013年桂林模拟)直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析：由于△AOB 为直角三角形，OA ＝OB ＝1， 故应为等腰直角三角形， 故圆心到直线AB 的距离为22， 即12a2＋b2＝22，∴2a2＋b2＝2(－1≤a≤1，－2≤b≤2)．P(a，b)与(0,1)的距离为d＝a2＋b－12＝2－b22＋b2－2b＋1＝12b－22＝22|b－2|，∵b∈[－2，2]，∴b－2∈[－2－2，2－2]，∴|b－2|∈[2－2，2＋2]，故点P与点(0,1)之间的距离的最大值为2＋1. 答案：2＋1。
【优化探究】2014高考数学总复习 提素能高效题组训练 2-10 文 新人教A版
《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：2-10[命题报告·教师用书独具]1．(2013年某某模拟)某人在三个时间段内，分别乘摩托车、汽车和火车走了整个行程的三分之一，如果该人乘摩托车、汽车和火车的速度分别为v 1，v 2，v 3，则该人整个行程的平均速度是( )A.v 1＋v 2＋v 33B.1v 1＋1v 2＋1v 33C.3v 1v 2v 3D.31v 1＋1v 2＋1v 3解析：设整个行程为3S ，乘摩托车、汽车和火车的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1＝S v 1，t 2＝S v 2，t 3＝S v 3，整个行程的平均速度为3St 1＋t 2＋t 3＝3SSv 1＋S v 2＋S v 3＝31v 1＋1v 2＋1v 3，选D.答案：D2．(2013年某某调研)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元，8万元，那么要使这两项费用之和最小，则仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处解析：设仓库建在离车站x km 处，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，根据已知数据可得k 1＝20，k 2＝0.8，两项费用之和y ＝20x ＋0.8x ≥220x×0.8x ＝8，当且仅当x ＝5时，等号成立，故仓库应建在离车站5 km 处．答案：A3．(2013年某某模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a <12)、4 m ，不考虑树的粗细．现在用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的面积为S m 2，S 的最大值为f (a )，若将这棵树围在花圃内，则函数u ＝f (a )的图象大致是( )解析：设CD ＝x m ，则AD ＝(16－x )m ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧16－x >a ，x >4，解得4<x <16－a ，矩形花圃的面积S ＝x (16－x )，其最大值f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧64， 0<a <8，－a 2＋16a ，8≤a <12，故其图象为C.答案：C4．某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距离地面 3 m 高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m ，如图所示．则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)( )A ．6.9 mB ．7.0 mC ．7.1 mD ．6.8 m解析：建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y ＝ax 2(a <0)，设点A 的坐标为(4，－h )，则C (3,3－h )， 将这两点的坐标代入y ＝ax 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－h ＝a ·42，3－h ＝a ·32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－37，h ＝487≈6.9，所以厂门的高约为6.9 m. 答案：A5．某学校制定奖励条例，对在教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f (n )＝k (n )(n －10)，n >10(其中n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f (n )的单位为元)，而k (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ≤10，100，10<n ≤15，200，15<n ≤20，300，20<n ≤25，400，n >25.现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多( )A ．600元B ．900元C ．1 600元D ．1 700元 解析：∵k (18)＝200(元)，∴f (18)＝200×(18－10)＝1 600(元)． 又∵k (21)＝300(元)，∴f (21)＝300×(21－10)＝3 300(元)，∴f (21)－f (18)＝3 300－1 600＝1 700(元)．故选D. 答案：D 二、填空题6．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机经过15年的价格应降为________．解析：设经过3个5年，产品价格为y 元，则y ＝8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝8 100×827＝2 400元．答案：2 400元7．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为______________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)解析：当0<x ≤20时y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100. 当x >20时y ＝260－100－x ＝160－x .所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20.(x ∈N *)．当0<x ≤20时y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，即x ＝16时y max ＝156，而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时年利润最大．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ， x >0，x ∈N * 168．(2013年某某模拟)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt ．假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8升，则m ＝________.解析：根据题意12＝e 5n ，令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，解得t ＝15，故m＝15－5＝10.答案：109．(2013年某某模拟)鲁能泰山足球俱乐部准备为救助失学儿童在某某省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万X ，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的X 数的积为0.6(万X)2.设x 是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，此次足球义赛的纯收入函数为y ＝lg 2x ，则这三种门票分别为________万X 时为失学儿童募捐纯收入最大．解析：函数模型y ＝lg 2x 已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．设3元、5元、8元门票的X 数分别为a 、b 、c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2.4， ①ab ＝0.6， ②x ＝3a ＋5b ＋8c ， ③把①代入③得x ＝19.2－(5a ＋3b )≤19.2－215ab ＝13.2(万元)，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝3b ，ab ＝0.6，时等号成立，解得a ＝0.6，b ＝1，c ＝0.8.由于y ＝lg 2x为增函数，即此时y 也恰有最大值．故三种门票分别为0.6、1、0.8万X 时为失学儿童募捐纯收入最大．答案：0.6,1,0.8 三、解答题10．(2013年某某模拟)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解析：(1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆．(2)设每辆车的月租金为x 元(x ≥3 000)，租赁公司的月收益为y 元，则y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050－x －3 00050×50－⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050×150＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050，当x ＝4 050时，y max ＝307 050.所以每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元． 11．(2013年某某一中月考)某分公司经销某品牌产品，每件产品成本3元，且每件产品需向总公司交a 元(3≤a ≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(9≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x (元)的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大值Q (a )． 解析：(1)根据题意可知，L (x )＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9，11]．(2)由(1)知，L ′(x )＝(12－x )(18＋2a －3x )，令L ′(x )＝0，解得x ＝6＋2a3或x ＝12(舍去)，∵3≤a ≤5，∴8≤6＋2a 3≤283.①当8≤6＋2a 3<9，即3≤a <92时，L max ＝L (9)＝9(6－a )，②当9≤6＋2a 3≤283，即92≤a ≤5时，L max ＝L ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2a 3＝4(3－a 3)3.∴Q (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧96－a ，3≤a <92，4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a 33，92≤a ≤5.∴若3≤a <92，则每件产品的售价为9元时，L 最大，最大值为9(6－a )万元；若92≤a ≤5，则每件产品的售价为⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2a 3元时，L 最大，最大值为4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a 33万元．12．(能力提升)某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？解析：(1)设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ， 0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a， t ≥1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4得a ＝3.则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916(小时)．[因材施教·学生备选练习]2012年7月27日第三十届奥林匹克运动会在伦敦举行．某特许专营店销售运动会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向运动会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x (元)．(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y (元)与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y (元)最大，并求出这个最大值．解析：(1)依题意y ＝⎩⎪⎨⎪⎧[2 000＋40020－x ]x －7，0<x ≤20，[2 000－100x －20]x －7，20<x <40，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40025－x x －7，0<x ≤20，10040－xx －7，20<x <40.此函数的定义域为(0,40)．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400[－x －162＋81]，0<x ≤20，100⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫x －4722＋1 0894，20<x <40.当0<x ≤20，则当x ＝16时，y max ＝32 400(元)． 当20<x <40，则当x ＝472时，y max ＝27 225(元)．综上可得当x ＝16时，该特许专营店获得的利润最大为32 400元．。
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[解析] (1)因为 f(x)＝1＋ cos x－ 3sin x
1＋ cos α ＝－ 2
1 3 ＝－ . 3 3
π 2．已知锐角 α 满足 cos 2α＝cos －α，则 sin 2α 等于( 4
)
1 A. 2 C. 2 2
1 B．－ 2 D．－ 2 2
π π π π 解析：∵ α∈ 0， ，∴ 2α∈ (0， π)， － α∈ － ， .又 cos 2α＝ 2 4 4 4 π π π cos － α，∴2α＝ －α 或 2α＋ －α＝0， 4 4 4
答案：BBiblioteka 考向二 三角函数式的求值 [例 2] (2013 年济宁模拟)已知函数 f(x)＝2cos － 3sin x. 2
2x
(1)求函数 f(x)的最小正周期和值域；
π 1 cos 2α (2)若 α 为第二象限角，且 fα－ ＝ ，求 的值． 3 3 1＋cos 2α－sin 2α
• (3)灵活运用角的变形和公式的变形．如2α ＝(α＋β)＋(α－β)，tan α＋tan β＝tan(α＋ β)(1－tan αtan β)等； • (4)重视角的范围对三角函数值的影响，要 注意角的范围的讨论； • (5)要掌握求值问题的解题规律和途径，寻 求角之间关系的特殊性，化非特殊角为特 殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公 式的正用、逆用、变形用等．
α tan ＝± 2
3．用 sin α，cos α 表示 tan 1－cos α α sin α tan ＝ ＝ . 2 1＋cos α sin α
α . 2
• [疑难关注] • 三角函数的求值与化简总的技巧为“发现 差异，寻找联系，化异为同”．“发现差 异”即为发现条件之间，条件与求解之间 “角度、名称、形式、次数”的差异，特 别是角的差异，利用公式找到它们之间转 化的桥梁，进行“化异为同”．具体应注 意的问题有： • (1)求值常用方法，利用两角和与差、倍角、
答案： 3
考向一 三角函数式的化简
π tan ＋α· cos 2α 4 [例 1] (2013 年石家庄质检)计算 的值为( π 2cos2 －α 4
)
A．－2 C．－1
B．2 D．1
[解析]
π tan ＋ α· cos 2α 4 π 2cos2 － α 4
π π π 即 2x＋ ＝ ，x＝ 时，ymax＝ 2. 3 2 12
答案：2
1 5．(2013 年临沂调研)计算 －4cos 10° ＝________. tan 10°
cos 10° 解析：原式＝ －4cos 10° sin 10° cos 10° － 2sin 20° ＝ sin 10° cos 10° － 2sin30° －10° ＝ sin 10° 2cos 30° sin 10° ＝ ＝ 3. sin 10°
π π 1 ∴ α＝ 或 α＝－ (舍 )，∴sin 2α＝ ，故选 A. 12 4 2
答案：A
3 3．(2012 年高考大纲全国卷)已知 α 为第二象限角，sin α＝ ，则 sin 5 2α＝( ) 12 B．－ 25 D. 24 25
24 A．－ 25 12 C. 25
解析：利用二倍角公式求解． 3 ∵α 为第二象限角且 sin α＝ ， 5 4 ∴ cos α＝－ 1－ sin α＝－ ， 5
第六节
简单的三角恒等变换
半角公式(不要求记忆) α α α 1．用 cos α 表示 sin2 ，cos2 ，tan2 . 2 2 2 1－cos α 1＋cos α 1－cos α 2 α 2 α sin ＝ ；cos ＝ ；tan ＝ . 2 2 2 2 2 1＋cos α
2α
α α α 2．用 cos α 表示 sin ，cos ，tan . 2 2 2 sin α ＝± 2 1－cos α α ；cos ＝± 2 2 1－cos α . 1＋cos α 1＋cos α ； 2
1 α 1．(课本习题改编)已知 cos α＝－ ，α∈(π，2π)，则 cos 等于( 3 2 6 A. 3 6 C．－ 3 3 B. 3 3 D．－ 3
)
1 解析：∵ cos α＝－ ， α∈ (π，2π)， 3 α π ∴ ∈ ，π. 2 2 α ∴ cos ＝－ 2
答案：D
2
3 4 24 ∴ sin 2α＝2sin α· cos α＝2× ×－ ＝－ . 5 5 25
答案：A
π 4．(课本习题改编)函数 f(x)＝sin 2x＋ 3cos 2x，x∈ 0， 的最大值 2
为________．
π π 解析：由 f(x)＝2 sin 2x＋ ，令 u＝2x＋ . 3 3 π π π 4π ∵ x∈ 0， ，∴2x＋ ∈ ， . 2 3 3 3 π 4π π 由 y＝2 sin u，u∈ ， 的图象知当 u＝ ， 2 3 3
π sin ＋ α· cos 2α cos 2α 4 ＝ ＝ π π π π 2sin2 ＋ αcos ＋ α 2sin ＋ αcos ＋ α 4 4 4 4
cos 2α cos 2α cos 2α ＝ ＝ ＝ ＝1. π π cos 2α sin 2 ＋ α sin ＋2α 4 2
[答案] D
sin 20° 1＋cos 40° 1．(2013 年太原模拟) ＝( cos 50° 1 A. 2 C. 2 2 B. 2 D．2
)
sin 20° 1＋ cos 40° sin 20° 2 cos220° 解析： ＝ cos 50° cos 50° 2 2 sin 40° sin 40° 2sin 20° cos 20° 2 2 2 ＝ ＝ ＝ ＝ ，选 B. cos 50° cos 50° sin 40° 2