湖南省常德市2015年高三模拟考试数学理试题 Word版含答案

2015年常德市高三年级模拟考试数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数11iz i+=-,则z 的虚部为 A ．1 B ． 1- C ． i D ． i -2．已知全集U R =,若集合{33}M x x =-<<，1{210}x N x +=-≥，则()U M N =ðA ．[3,)+∞B ．(1,3)-C ．[1,3)-D ．(3,)+∞3．现有某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有150件、120件、180 件、150件．为了调查产品的情况，需从这600件产品中抽取一个容量为100的样本，若采用分层抽样，设甲产品中应抽取产品件数为x ，设此次抽样中，某件产品A 被抽到的概率为y ，则x ，y 的值分别为.A 25，14 .B 20，16.C 25，1600 .D 25，164．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且312a a =，则1324a a a a ++的值为A ．56B ．45C ．34D ．235．执行如图1所示的程序框图，若100k =， 则输出的结果为A ．170B ．126C ．62D ．426．钝角三角形ABC 的面积是1，2AB =，BC =则AC = A ．2 BC ．10D ．图17．若某几何体的三视图(单位：cm )如图2所示， 则该几何体的体积为A ．63cmB ．123cmC ． 183cmD ．363cm8．设,x y 满足约束条件240330x y x y +-≥⎧⎨+-≥⎩，若(,)a y x m =+，(,)b y x m =-，且a b ⊥，则正实数m 的最小值为ABCD ．1659．在ABC ∆中，点D 满足34B D BC =，点E 是线段AD 上的一个动点，若A E A B A C λμ=+，则22(1)t λμ=-+的最小值是ABC ．910D ．41810．已知椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的左右顶点分别为A ，B ，左右焦点分别为1F ，2F ，点O 为坐标原点，线段OB 的中垂线与椭圆在第一象限的交点为P ，设直线PA ，PB ，1PF ，2PF 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，若1214k k ⋅=-，则34k k ⋅=AB ．83-C ．38- D ．4-图2俯视图二．填空题：本大题共6小题，考生作答5个小题．每小题5分，共25分．把答案填在答题．．卡．中对应题号后的横线上． （一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 11．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，直线(sin cos )1ρθθ+=被圆2sin ρθ=与所截得的弦长为 ．12．（几何证明选讲选做题）如图3，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB AC =，延长BC 到点D ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE ，若40D ∠=︒,则ABE ∠ 的大小为 ．13．（不等式选讲选做题）若两个正实数y x ,满足211x y+=， 且222x y a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．（二）必做题（14—16题）14．设1cos [0,1]2()1(1,]x x f x x e xπ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪ ∈ ⎪⎩ （其中e 为自然对数的底数），则()y f x =的图象与直线0y =，x e =所围成图形的面积为 ．15．设集合{0,1,2,3,4,5}A =，若A 的某个子集中任意2个元素之差的绝对值不等于1，则称此子集为A 的“分离子集”，那么从集合A 中任取3个元素构成子集B ，则B 为“分离子集”的概率为 ______________．16．若a 是()sin cos f x x x x =-在(0,2)x π∈的一个零点，则下列结论中正确的有 ．①3(,)2a ππ∈； ②sin (0,2),cos x x a xπ∀∈≤； ③(0,),cos cos x x a x a π∀∈-<-； ④(0,2),sin sin x a x x a π∃∈<．ABCDE图3三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数)0,0(cos sin 2)(>>+=m x m x x f ωωω的最小值为2-，且图像上相邻两个最高点的距离为π． （Ⅰ）求ω和m 的值； （Ⅱ）若6()25f θ=，3(,)44ππθ∈，求)8(πθ+f 的值．18．（本小题满分12分）某旅游景点，为方便游客游玩，设置自行车骑游出租点，收费标准如下：租车时间不超过2小时收费10元，超过2小时的部分按每小时10元收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为13，12；2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为12，13，且两人租车的时间都不超过4小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．19．（本小题满分12分）在如图4所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，平面AEC ⊥平面ABCD ，90ACB ∠=︒，EF ∥BC ，BC EF 21=，2==BC AC ， EC AE =．（Ⅰ）求证：CF AF =；（Ⅱ）当二面角D EC A --的平面角的余弦值为33时，求三棱锥A EFC -的体积．20．（本小题满分13分）已知()f x 的图像过点(1,1)，且对任意x R ∈，都有(1)()3f x f x +=+，数列{}n a 满足11a =-，13()n n n n a f a n +⎧=⎨⎩为正奇数为正偶数 ． ABDCEF图4（Ⅰ）求()f n 关于*()n n N ∈的表达式和数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设3n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．21．（本小题满分13分）已知椭圆1C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左右顶点是双曲线2C ：2213x y -=的顶点，且椭圆1C 的上顶点到双曲线2C （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与1C 相交于1M ，2M 两点，与2C 相交于1Q ，2Q 两点，且125OQ OQ ⋅=-，求12M M 的取值范围．22．（本小题满分13分）已知函数()ln f x x x =．（其中 2.71828e =为自然对数的底数）（Ⅰ）若方程()0f x a -=在区间21[,)e+∞上有2个不同的实根，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）设21()()g x f x x e =-，证明：1()eg x e->极小值；（III ）若11(,)P x y ，22(,)Q x y 是函数()f x 的图象上不同的两点，且函数()f x 的图象在P ，Q 处切线交点的横坐标为s ，直线PQ 在y 轴上的截距为t ，记M =12x x s t ⋅+⋅，请探索M的值是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．2015年常德市高三年级模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．B 2．A 3．D 4．C 5．A 6．D 7．B 8．B 9．C 10．C二．填空题：本大题共25分.把答案填在答题卡．．．中对应题号后 的横线上.（一）选做题（11—13题，考生只从3题中任选2题作答。

若3个都作答，则只给11、12题计分） 11．212．40︒13．(2,4)-（二）必做题（14—16题） 14．22p- 15．1516．①②③三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：（Ⅰ）函数)sin(2)(2ϕω++=x m x f ，所以2,22)(2min =∴-=+-=m m x f ……………………………3分又由已知函数)(x f 的最小正周期为π，所以πωπ==2T ，2=∴ω ………6分（Ⅱ）有（Ⅰ）得)42sin(2)(π+=x x f ，所以6()2sin(),245f θπθ=+=53)4sin(=+∴πθ，3(,),(,),4442ππππθθπ∈∴+∈4cos()45πθ∴+==- ………………………………………9分10274sin )4cos(4cos )4sin()44sin(sin =+-+=-+=∴ππθππθππθθ， )sin 21(22cos 2)22sin(2]4)8(2sin[2)8(2θθπθππθπθ-==+=++=+∴f2548])1027(21[22-=-= ……………………………………………………12分 18． （1）甲、乙所付费用可以为10元、10元、30元甲、乙两人所付费用都是10元的概率为1111326P =⨯=…………………1分 甲、乙两人所付费用都是20元的概率为1111236P =⨯=…………………2分 甲、乙两人所付费用都是30元的概率为111111(1)(1)322336P =--⨯--=………3分 故甲、乙两人所付费用相等的概率为1231336P P P P =++=………………5分 （2）随机变量ξ的取值可以为20,30,40,50,60……………………………6分BD111(20)236P ξ==⨯= 111113(30)332236P ξ==⨯+⨯=1111111111(40)12323332236P ξ==⨯+--⨯+-⨯=（）（1-）1111115(50)1122323336P ξ==⨯--+--⨯=（（）11111(60)11232336P ξ==--⨯--=（）（故ξ的分布列为：……………………………………………10分ξ∴的数学期望是1131151203040506035636363636E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………………………………………………………12分19．（Ⅰ）证明：因为90=∠ACB ，平面AEC 平面ABCD ，所以⊥BC 平面AEC ,又EF ∥BC ，所以⊥EF 平面AEC ，所以CE EF AE EF ⊥⊥,,又EC AE =，所以CEF ∆≌AEF ∆,∴CF AF =； ………………………………………………5分（Ⅱ）取AC 的中点O ，因为EC AE =，所以AC EO ⊥,又平面AEC 平面ABCD ， 所以⊥EO 平面ABCD , ……………………………………………………………6分 如图建立空间直角坐标系，则)0,0,1(C ，)0,0,1(-A ，)0,2,1(-D ,设),0,0(m E),2,1(),,0,1(m ED m EC --=-=∴，设平面ECD 的法向量为)1,,(1y x n =，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011ED n n ,即⎩⎨⎧=-+-=-020m y x m x ，得m y m x ==,，)1,,(1m m n =∴ …………9分由（Ⅰ）知⊥EF 平面AEC ，所以平面AEC 的法向量为2(0,1,0)n FE ==,121212cos ,||||2n n n n n n ⋅∴<>===，1=∴m ………10分所以13A EFC F AEC ACE V V EF S --∆==⋅111112323=⨯⨯⨯⨯= …………………12分 20．（Ⅰ）由已知(1)1,(1)()3f f n f n =+-=， ∴()13(1)32f n n n =+-=-……2分∴n 为正偶数时，1(1)13n n n a a --+==，……………………………………………3分n 为正奇数时，21(1)111()3233232n n n n n n a a f a a ---+--===-=⨯-=-且1n =时，11a =-也适合上式………………………………5分∴11323n n n n a n --⎧-⎪=⎨⎪⎩ 为正奇数 为正偶数………………………………………………6分（Ⅱ）363n n nn n n b n n ⎧⋅-⎪=⎨⋅⎪⎩ 为正奇数 为正偶数………………………………………7分 ① 当n 为正偶数时，1231(1361)23(3363)[336(1)]3n n n S n n -=⨯-⨯+⨯+⨯-⨯++⨯-⨯-+⨯123(1323333)6[13(1)]n n n =⨯+⨯+⨯++⨯-⨯+++-232622n n n nA A n ⨯=-⨯=-…………………………………………………8分其中1231323333n n A n =⨯+⨯+⨯++⨯234131323333n n A n +=⨯+⨯+⨯++⨯两式相减得12312333333n n n A n +-=++⨯++-⋅=113()322n n +-⋅-∴113()3244n n nA +=-⋅+， ∴当n 为正偶数时，12133()32424n n n S n +=-⋅-+………………………10分② n 为正奇数时，211133()3(1)362424n n n n n n S S b n n n --=+=-⋅--++⋅- 12133()332424n n n n +=-⋅--- ……………………12分∴1212133()32424133()332424n n n n n n S n n n n ++⎧-⋅-+⎪⎪=⎨⎪-⋅---⎪⎩ 为正偶数 为正奇数　……………13分21．解：（Ⅰ）由题意可知：23a =， ……1分 又椭圆1C 的上顶点为(0,)b ， 双曲线2C的渐近线为：0y x x =⇔±=，………………………2分由点到直线的距离公式有：12b =⇒= ……………………3分所以点M 的轨迹1C 的方程为：2213x y +=． …………………4分 （Ⅱ）易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入2213x y -=，消去y 并整理得：222(13)6330k x kmx m ----= 要与2C 相交于两点，则应有：22222130364(13)(33)0k k m k m ⎧-≠⎪⎨---->⎪⎩ 22213013k m k⎧-≠⎪⇒⎨+>⎪⎩……① ……5分 设111(,)Q x y 、222(,)Q x y ，则有：122613km x x k +=- ，21223313m x x k--⋅=-． 又121212OQ OQ x x y y ⋅=+1212()()x x kx m kx m =+++221212(1)()k x x km x x m =++++又：125OQ OQ ⋅=-，所以有：22222221[(1)(33)6(13)]513k m k m m k k+--++-=-- 2219m k ⇒=- ……② ………………7分将y kx m =+，代入2213x y +=，消去y 并整理得：222(13)6330k x kmx m +++-=, 要有两交点，则222222364(13)(33)031k m k m k m ∆=-+->⇒+>……③由①②③有：2109k <≤． …………………………………9分 设133(,)M x y 、244(,)M x y ，则有：342613km x x k -+=+ ，23423313m x x k-⋅=+． 所以：12M M == 又2219m k =-，代入有：12M M =12M M ⇒=11分 12M M ⇒=2t k =，则1(0,]9t ∈，令2(1)()(13)t t f t t +=+31()(13)tf t t -'⇒=+，又1(0,]9t ∈， 所以()0f t '>在1(0,]9t ∈内恒成立，故函数()f t 在1(0,]9t ∈内单调递增，故7(0,]81()f t∈12M M ∈⇒． ……13分22．解：（1）令()1ln 0f x x '=+<，得10x e<<， 令()1ln 0f x x '=+>，得1x e>， ()f x ∴在211[,)e e 上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，………………2分 又2212()f e e =-，11()f e e =-，要方程()0f x a -=在区间21[,)e +∞上有2个不同的实根，则211()()f a f e e <≤，即211(,]a e e∈--………………4分（2）21()ln g x x x x e =-，令2()1ln 0g x x x e '=+-=，即2ln 1x x e=-（*）易知方程（*）的一根为x e =，结合函数ln y x =与21y x e=-图象，设另一根为0x x =，则002ln 1x x e=-， 当1x =时，2ln111e>⋅-，001x ∴<<，………………6分 且当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，当0(,)x x e ∈时，()0g x '>，当(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，2202000000001211()()ln (1)g x g x x x x x x x e e e x e x ∴==-=--=-极小值0(0,1)x ∈，211()111e g x e∴>=-⨯-极小值 ………………9分（3）设直线:PQ y kx t =+，111ln x x kx t ∴=+， 即11ln t x k x =+，同理22ln t x k x =+，211221ln ln x x tx x x x -∴=--………① ……10分设两切线交于点(,)s r ，1111(1ln )()ln x x s x x r ∴+-=-， 即11(1ln )x s x r ∴+=+，同理22(1ln )x s x r +=+，2121ln ln x x s x x -∴=-，………② ………………12分由①②得121s t x x ⋅=-⋅，即120s t x x ⋅+⋅= ，所以0M = ………………13分。