定兴第三中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学试题及答案(理)

2015—2016学年第二学期期中考试
高二数学（理）试卷
考试时间：120分钟；分值：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.i 是虚数单位，复数
3
1-i i =
（ ）
A ． -1-i
B ．1+i
C ．-1+i
D ．1-i
2．的展开式中的常数项为（ ） A ．12 B ．﹣12 C ．6 D ．﹣6
3.若平面α、β的法向量分别为1n ＝(2,3,5)，2n ＝(－3,1，－4)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥β C ．α，β相交但不垂直 D ．以上均有可能
4.已知{1，2}⊆X ⊆{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的集合X 共有（ ）个． A ．2 B ．6 C ．4 D ．8
5.定积分的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6.观察下列事实|x |+|y |=1的不同整数解（x ，y ）的个数为4，|x |+|y |=2的不同整数解（x ，y ）的个数为8，|x |+|y |=3的不同整数解（x ，y ）的个数为12 …．则|x |+|y |=20的不同整数解（x ，y ）的个数为（ ） A ．76
B ．80
C ．86
D ．92
7.
n +1（n ∈N *），某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当n =1时，
＜1+1，不等式成立．
（2）假设当n =k （k ∈N *
k +1，则当n =k +1时，
=
=（k +1）+1，
∴当n =k +1时，不等式成立．
则上述证法（ ）
A ．过程全部正确
B ．n =1验得不正确
3
22x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭dx e x x
⎰
-1
)2(e -2e -e e +2
C ．归纳假设不正确
D ．从n =k 到n =k +1的推理不正确
8.已知两半平面的法向量分别为＝(0,1,0)，＝(0,1,1)，则两半平面所成的二面角的大小为( )
A ．45°
B ．135°
C ．45°或135°
D ．90° 9.在正三棱柱111C B A ABC -中，若1,21==AA AB ，则点到平面BC A 1的距离为（ ） A ．
4
3
B ．
2
3 C ．433 D ．3
10.如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB =∠A 1AD =60°，且A 1A =3，则A 1C 的长为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
11.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
12.已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足4)1(=f ，且()f x 导函数()3f x '<，则不等式
(ln )3ln 1f x x >+的解集为 （ ）
A.(1,)+∞
B.(,)e +∞
C.(0,1)
D.(0,)e
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应的位置上。

13. 复数1
2i
=
+z （其中i 为虚数单位）的虚部为 ． 14．直线与曲线相切于点A （1，3），则的值为 ． 15．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC =90°，AB =BC =BB 1，则异面直线A 1B 与B 1C 所成的角为_________.
16.在x =2处有极大值，则常数c 的值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

m u r n r
1C ()f x '()f x ()y f x =()y f x '
=1y kx =+3y x ax b =++b 2()()f x x x c =-
17．（10分）4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”
根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？
附：
()()()()()2
2-=++++n ad bc K a b c d a c b d
n =a +b +c +d
18.（12分）证明：()x x x ≤+≤+-1ln 1
1
1，其中1x >-.
19．（12分）甲、乙两位同学从A B C D
、、、共(2,N )+≥∈n n n 所高校中，任选两所
参加自主招生考试（并且只能选两所高校），但甲同学特别喜欢A 高校，他除选A 高校外，再在余下的1n -所中随机选1所；同学乙对n 所高校没有偏爱，在n 所高校中随机选2所． 若甲同学未选中D 高校且乙选中D 高校的概率为3
10
． （I ）求自主招生的高校数n ；
（II ）记X 为甲、乙两名同学中未参加D 高校自主招生考试的人数，求X 的分布列和数学期望．
20．（12分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面
ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，
90CDA BAD ∠=∠=，2AB AD DC ===4PA =且E 为PB 的中点．
（I ）求证：//CE 平面PAD ；
（II ）求直线CE 与平面PAC 所成角的正弦值．
21．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是矩形，侧面P AD 丄底面ABCD ，∠APD =．
（I ）求证：平面P AB 丄平面PCD ；
（II ）如果AB =BC ，PB =PC ，求二面角B ﹣PC ﹣D 的余弦值．
22.（12分）已知函数，.
(I)若曲线与曲线在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求的值； (II)当时，求函数的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．
2()1(0)f x ax a =+>3()g x x bx =+()y f x =()y g x =,a b 24a b =()()f x g x +
参考答案
一、选择题
1-12 BACDA BDCBA CD
二、填空题
13. 14. 3 15. 16. 6
三、解答题
17. 解：（1）完成下面的2×2列联表如下
…………5分
≈8.249
∵8.249＞6. 635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.…………10分
18.解:（1）构造函数，
，当，得下表
极大值
当单调递增；极小值=，
总有即：. 综上（1）（2）不等式成立..…………12分
19.解：（1）由已知得，甲同学选中高校的概率为，
乙同学选中高校的概率为，
∴甲同学未选中高校且乙同学选中高校的概率为
，整理得，，
∵，解得，故自主招生的高校数为5所．.…………6分
（2）的所有可能取值为0,1,2
，，
，
则的分布列为：
P
∴的数学期望．.…………12分
20.解：（1）取的中点，连接，，
∵为的中点，∴且，
∵底面为直角梯形，，，
∴且，∴四边形是平行四边形，
∴，又∵平面，平面，∴平面；…5分（2）建立直角坐标系如图所示，设直线与平面所成角大小为，
则，，，，
∴，，
，设平面的法向量为，则有，故不妨，则，
∴直线与平面所成角的正弦值为．.…………12分
21.解：（Ⅰ）证明：因为四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，所以CD
⊥AD，
又侧面P AD⊥底面ABCD，所以CD⊥P A．又∠APD=，即P A⊥
PD，而CD∩PD=D，所以P A⊥平面PCD．因为P A⊂平面P AB，所
以平面P AB⊥平面PCD．.…………4分
（Ⅱ）解：如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．
设AB=2，P（0，a，b）（a＞0，b＞0），
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）．
由P A⊥PD，PA=（0，﹣a，﹣b），PD=（0，2﹣a，﹣b），得﹣a（2﹣a）+b2=0．①
因为PB=PC，所以22+a2+b2=22+（2﹣a）2+b2．②由①，②得a=1，b=1．.…………6分由（Ⅰ）知，PA=（0，﹣1，﹣1）是面PCD的一个法向量．
设面PBC的一个法向量为n=（x，y，z），则n•PB=0，n•BC=0，
又PB=（2，﹣1，﹣1），BC=（0，2，0），所以
2
20
--=
⎧
⎨
=
⎩
x y z o
y
取n=（1，0，2）…8分
因为cos á＜PA ，n ＞ñ
=﹣，又二面角B ﹣PC ﹣D 为钝角，
所以二面角B ﹣PC ﹣D 的余弦值为﹣．.…………12分
22.解： (1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .
因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)．即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b .解得a ＝3，b ＝3.．…………3分
(2)设h (x )＝f (x )＋g (x )．当b ＝1
4a 2时，h (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1，h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2. 令h ′(x )＝0，得x 1＝2-
a ，x 2＝6-
a
．…………5分
a >0时，h (x )与h ′(x )的变化情况如下：
↗
所以函数h (x )的单调递增区间为(－∞，2-)和(6
-，＋∞)； 单调递减区间为(2-a ，6
-a
)… 7分 当2-
a ≥－1，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －14a 2.
当2-a <－1，且6-a ≥－1，即2<a ≤6时，函数h (x )在区间(－∞，2
-a
)上单调递增，在区间(2-
a ，－1]上单调递减，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (2
-a
)＝1. 当6-
a <－1，即a >6时，函数h (x )在区间(－∞，2-a )上单调递增，在区间(2-a ，6
-a
)上单调递减，在区间(6-
a ，－1]上单调递增．又因h (2-a )－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14
(a －2)2
>0， 所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (2
-a
)＝1.．…………12分。