2021-2022学年山东省德州市高二下学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省德州市高二下学期期末数学试题
一、单选题
1．已知集合{}2
|20A x x x =--<，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）
A ．（－1，2）
B ．（－1，2]
C ．（1，2）
D ．（1，2]
【答案】C
【分析】解不等式确定集合,A B ，然后由交集定义计算． 【详解】由已知{|12}A x x =-<<，{|10}{|1}B x x x x =->=>， 所以{|12}A B x x =<<． 故选：C ．
2．对于方程根的存在性问题，有一个著名的定理——“代数基本定理”，其内容为：任意一个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根．则“代数基本定理”的否定为（ ） A ．任意一个一元复系数方程，在复数域中至多有一个根 B ．任意一个一元复系数方程，在复数域中没有根 C ．存在一个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根 D ．存在一个一元复系数方程，在复数域中没有根 【答案】D
【分析】含有全称量词的命题否定是含特称量词的命题.
【详解】“任意一个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根”的否定为“存在一个一元复系数方程，使得在复数域中没有根”. 故选：D.
3．幂函数2
225()(5)m m f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则(3)f =（ ） A ．27 B ．9
C ．1
9
D ．
127
【答案】A
【分析】根据幂函数的概念及性质，求得实数m 的值，得到幂函数的解析式，即可求解. 【详解】由题意，令251m m +-=，即260m m +-=，解得2m =或3m =-， 当2m =时，可得函数3()f x x =，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，符合题意； 当3m =-时，可得2()f x x -=，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，不符合题意， 即幂函数3()f x x =，则(3)27f =. 故选：A.
4．已知21
log 5
a =，12
b -=，453
c -=则（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b <c <a
【答案】B
【分析】根据指数函数和幂函数的单调性比大小即可.
【详解】221log log 105a =<=，5
4
5
5232381⎛⎫=<= ⎪⎝⎭
，所以4523<，所以41523-->，所以
0b c >>，所以a c b <<.
故选：B.
5．函数32()lg(1)f x x x ex =++的部分图像可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】根据函数的单调性排除求解即可.
【详解】对()f x 求导得4
2
2
2
2()3lg(1)0(1)ln10
x f x x x e x '=+++>+恒成立,故()f x 在R 上单调递增，A 正确. 故选：A.
6．已知()f x 为R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，当10x -<<时，()3x f x =，则
()3log 12f 的值为（ ）
A ．
112
B ．12
C ．43
D ．34
-
【答案】D
【分析】根据题意，结合对数的运算法则，得到()333
log 12(log )4
f f =-，代入即可求解.
【详解】由题意，函数()f x 为R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，即()()2f x f x =--， 且当10x -<<时，()3x f x =，
又由()33log 4333333
log 12(2log 12)(1log 4)(log )344
f f f f =--=--=-=-=-.
故选：D.
7．若函数()()121,0
32,0ln x x a x f x ax a x ⎧++++>=⎨+-≤⎩在R 上是单调函数，且()0f x =存在负的实
数根，则a 的取值范围是（ ） A ．30,2⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．23,32⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【答案】C
【分析】通过函数的单调性及存在负的零点，列出不等式，求解即可． 【详解】因为当0x >时，1
()201
f x x '=
+>+，所以函数()f x 必然单调递增. 所以0
321320
a a a a >⎧⎪
-≤+⎨⎪->⎩
，解得2332a <≤
所以a 的取值范围是23,32⎛⎤
⎥⎝⎦.
故选：C
8．设2
()(1)1f x x =--，已知关于x 的方程2[()]()30f x kf x k +++=恰有6个不同的实
数根，则k 的取值范用为（ ） A ．（-2，0） B ．（-3，-2） C ．［-3，-2） D ．［-2，0）
【答案】B
【分析】设关于t 的方程230t kt k +++=的两个根分别为12,t t ，由关于x 的方程2[()]()30f x kf x k +++=恰好有6个不同的实数根，等价于关于()t f x = 的图象与
12,t t t t == 公有6个交点，结合图象即可求解.
【详解】()f x 的图象如图所示，令()t f x =，设关于t 的方程230t kt k +++=的两个根分别为12,t t ，由关于x 的方程2[()]()30f x kf x k +++=恰好有6个不同的实数根，等价于关于()t f x = 的图象与12,t t t t == 公有6个交点，由图可知：1201,1t t <<> 或者1201,0t t <<=，设2()3g t t kt k =+++，当1201,1t t <<>时，则
(0)030
32(1)0240g k k g k >+>⎧⎧⇒⇒-<<-⎨
⎨<+<⎩⎩
；
当1201,0t t <<=，(0)0g = 则3k =- 不符合要求； 故32k -<<- 故选：B
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ） A ．“x ∀∈N ，20x >”是假命题 B ．“(0,1)x ∀∈，ln lg x x <”是真命题 C ．33a b >是22a b >的充分不必要条件
D ．a ，b ∈R ，+=+a b a b 的充要条件是0ab ≥ 【答案】ABD
【分析】根据命题的真假，充分必要条件的定义判断． 【详解】0x =∈N ，但200=，A 中命题是假命题，正确； ln lg ln10x x =
，ln101>，1
01ln10
<
<，01x <<，ln 0x <，所以ln ln ln10x x >，即lg ln x x >，B 正确；
1233-->，但22
(1)(2)-<-，不充分，C 错误；
2
222a b a b ab +=++，222
()2a b a b ab +=++，
因此充分条件为22ab ab =，即0ab ≥，D 正确． 故选：ABD ．
10．已知x >0，y >0，且x +2y =3，则下列正确的是（ ） A ．12
x y
+的最小值为3
B 2x y 6
C ．xy 的最大值为9
8
D ．1248x y ++≥
【答案】ACD
【分析】根据基本不等式求解判断． 【详解】因为0,0,23x y x y >>+=，
12112122122(2)()(5)(52)3333x y x y
x y x y x y y x y x
+=++=++≥+⋅=，当且仅当22x y y x =，即
1x y ==时等号成立，A 正确；
由2x y +得22(2)6x y ≤+=B 错；
32x y =+≥9
8xy ≤，当且仅当322x y ==时，等号成立，C 正确；
11224228x y x y +++=+≥，当且仅当1
22
2x y +=，即1,1x y ==时等
号成立，D 正确． 故选：ACD ．
11．已知函数()y f x =在R 上可导，其导函数()f x '满足()()()()10f x f x x '-+>，()()
x
f x
g x =
e ，则（ ） A ．函数()g x 在(),1-∞-上为增函数 B ．1x =-是函数()g x 的极小值点
C ．函数()g x 必有2个零点
D ．()()2e
e e 2
f e f >
【答案】BD
【分析】结合()g x '判断ABD 选项的正确性，根据()1g -来判断C 选项的正确性. 【详解】函数()()x f x g x =
e ，则()
()()
e x
f x f x
g x '-'=， 当1x >-时，()()0f x f x '->，()0g x '>，故()g x 在()1,-+∞上为增函数，A 错误； 当1x <-时，()()0f x f x '-<，()0g x '<，故()g x 在(),1-∞-单调递减，故1x =-是函数()g x 的极小值点，B 正确；
若()10g ->，则()y g x =没有零点，故C 错误：
()g x 在()1,-+∞上为增函数，则()()2e g g <，即
()()2
e 2e e e
f f <，化简得()()2e
e e e 2
f f >，D 正确. 故选：BD
12．对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，则下列命题中的真命题是（ ） A ．[1,0]x ∀∈-，[]1x =- B ．x ∀∈R ，[]1x x <+
C ．函数[]y x x =-的值域为［0，1）
D ．方程22022[]20230x x --=有两个实数根 【答案】BCD
【分析】根据高斯函数的定义逐个分析判断即可
【详解】对于A ，当[1,0]x ∀∈-时，[]00=，所以A 错误，
对于B ，因为对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，所以[]1x x <+，所以B 正确， 对于C ，由选项B 可知[]1x x <+，所以[]1x x -<，因为对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，所以[]0x x -≥，所以[]01x x ≤-<，所以函数[]y x x =-的值域为［0，1），所以C 正确，
对于D ，由22022[]20230x x --=，得220222023[]x x -=，令220222023,[]y x y x =-=，则方程22022[]20230x x --=的解转化为两函数220222023,[]y x y x =-=图象的交点情况，作出两函数的图象，如图所示，由图象可知两函数图象只有两个交点，所以方程22022[]20230x x --=有两个实数根，所以D 正确，
故选：BCD 三、填空题
13．已知函数()2
5,2
4,2x x f x x m x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩
．若[(7)]5f f =，则m =______．
【答案】3
【分析】由分段函数定义计算(7)f ，再计算((7))f f 后可得参数值． 【详解】由已知(7)752f =-=． ((7))(2)25f f f m ==+=，3m =，
故答案为：3．
14．函数22()34e x f x x x =-+在点（0，f （0））处的切线与直线22x ay =-平行，则a =______． 【答案】1-
【分析】求出导数得切线斜率，由斜率相等可得a 值． 【详解】2()642e x f x x '=-+，(0)0422f '=-+=-， 由题意
2
2a
=-，1a =-． 故答案为：1-．
15．若2,1a b >>-，且满足26ab a b +-=，则19
21
a b +-+的最小值为______． 【答案】3
【分析】由条件可得()()21224a b ab a b -+=+--=，由均值不等式可得出答案. 【详解】由()()2122624a b ab a b -+=+--=-= 又2,1a b >>-，则20,10a b ->+>
所以
19321a b +≥=-+ 当且仅当19
21a b =-+以及26ab a b +-=，即8,53
a b ==时取得等号. 所以
1921
a b +-+的最小值为3 故答案为：3 四、双空题
16．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1
x ，2x ，则实数a 的取值范围是______；若不等式()()1212+>++f x f x x x t 有解，则实数t 的取值范围是______． 【答案】 10,8⎛⎫
⎪⎝⎭
()72ln 2-∞-+，
【分析】由()0f x '=有两个不等正根可得a 的范围，同时由韦达定理把1212,x x x x +用a 表示，不等式()()1212+>++f x f x x x t 有解，即1212()()()f x f x x x t +-+>有解，计算1212()()()f x f x x x +-+表示为a 的函数，引入新函数()g x ，由导数求出其取值范围后可
得t 的范围．
【详解】2121()21ax x f x ax x x
-+'=-+=，由题意2210ax x -+=有两个不等正根，
所以1212Δ180102102a x x a x x a ⎧
⎪=->⎪
⎪+=>⎨⎪
⎪=>⎪⎩
，解得108a <<． 不等式()()1212+>++f x f x x x t 有解，即1212()()()f x f x x x t +-+>有解，
22
121211122212()()()ln ln ()
f x f x x x ax x x ax x x x x +-+=-++-+-+212121212()22()ln()a x x ax x x x x x =+--++111131
1ln ln 1ln 2424a a a a a
=
--+=-⋅--， 令3
()ln 1ln 24
g x x x =---，8x >，
1343()44x g x x x
-'=
-=，易知8x >时，()0g x '<，()g x 是减函数， (8)ln861ln 272ln 2g =---=-+，()72ln 2g x <-+，
1
08a <<
，即18a >，所以131ln 1ln 272ln 24a a
-⋅--<-+，
所以72ln 2t <-+时，不等式1212()()()f x f x x x t +-+>有解． 故答案为：1
(0,)8
，(,72ln 2)-∞-+．
五、解答题
17．已知命题()()2
:10p x a x a a -++<∈R ，命题2:280q x x --<，若p 是q 的充分不
必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】{}24a a -≤≤
【分析】解不等式2280x x --<，对实数a 的取值进行分类讨论，解不等式
()210x a x a -++<，根据已知条件可得出集合的包含关系，综合可求得实数a 的取值范
围.
【详解】解：解不等式2280x x --<可得24x -<<.
由()2
10x a x a -++<得()()10x a x --<，
当1a >时，不等式()2
10x a x a -++<解集为{}1x x a <<，
此时有{}1x x a << {}24x x -<<，可得14a <≤；
当1a =时，不等式()2
10x a x a -++<的解集为∅，合乎题意； 当1a <时，不等式()2
10x a x a -++<的解集为{}1x a x <<，
此时有{}1x a x << {}24x x -<<，可得21a -≤<. 综上所述，实数a 的取值范围是{}24a a -≤≤. 18．已知函数()sin f x x x =．
(1)判断函数()f x 在区间(0,)2
π
上的单调性，并说明理由；
(2)求证：函数()f x 在(,)2
π
π上有且只有一个极值点．
【答案】(1)函数f （x ）在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上的单调递增，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出导函数()'f x ，确定在(0,)2
π
上()'f x 的正负得单调性；
（2）令()()h x f x '=，求出()h x '得()h x 的单调性，从而得()'f x 在(,)2π
π上的零点个数，
即可得证()f x 的极值点个数．
【详解】(1)函数f （x ）在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭上的单调递增，
()sin cos f x x x x '=+，
因为0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以sin 0x >，cos 0x >，
所以()0f x '>，所以函数f （x ）在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭上的单调递增．
(2)证明：令()()h x f x '=，则()2cos sin h x x x x '=-， 当(,)2
x π
π∈时，()0h x '<，h （x ）单调递减，
又因为()102f π
'=>，()0f ππ'=-<，
所以存在唯一0(,)2
x π
π∈，使得0()0f x '=，
随着x 变化()'f x ，()f x 的变化情况如下；
所以f （x ）在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
内有且只有一个极值点．
19．已知函数()()221
R x f x b x b
-+=∈+，且1325f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．
(1)求1112(1)(0)(2)(2021)(2022)202220212f f f f f f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
+
++++++
++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的
值；
(2)解不等式()3
425
x x f +<-．
【答案】(1)1 (2)(0,)+∞
【分析】（1）通过观察各个函数值之和的关系，需求()f x 与1
()f x
的关系，得出二者的
关系是解决本问的关键；
（2）由3(2)5
f =-把()3425x x
f +<-转化为()
42(2)x x f f +<且[0,)x ∈+∞上()f x 单调
递减，利用单调性可得422x x +>即可求解.
【详解】(1)由1
1
134125
4f b -+⎛⎫== ⎪⎝⎭+；所以1b =，故221()1x f x x -+=+，
则可得：(0)1f =，(1)0f =
当0x ≠时，2
22211
11()111x x f f x x x x ⎛⎫-+ ⎪-+⎛⎫⎝⎭==-=- ⎪+⎝⎭⎛⎫
+ ⎪⎝⎭，所以0x ≠时1()()0f x f x += 故1112(1)(0)(2)(2021)(2022)202220212f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
+
++++++
++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
2(1)(0)=1f f =+
(2)由函数221
()1
x f x x -+=+为偶函数，1325f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，3(2)(2)5f f =-=-．
所以，()3425
x x
f +<-可转化为()
42(2)x x f f +<，且420x x +>
又22212
()111
x f x x x -+==-+++可得在[0,)x ∈+∞上()f x 单调递减， 利用单调性的性质可得：422x x +>，整理得：()()22210x x
+->，
即210x ->，解得x >0， 所以不等式的解集为(0,)+∞．
20．已知函数3
1()312f x x ax a ⎛⎫=-+> ⎪⎝
⎭．
(1)若函数f （x ）在x =－1处取得极值，求实数a 的值； (2)当[2,1]x ∈-时．求函数f （x ）的最大值． 【答案】(1)a =1 (2)答案见解析
【分析】（1）求出导函数()'f x ，由(1)0f '-=得a 的值，并检验1-是极值点； （2）由()0f x '=的根分类讨论，然后列表表示()'f x 的正负，极值点，同时注意比较端点处函数值，从而得最大值．
【详解】(1)由题意可知2()33f x x a '=-， 所以(1)0f '-=，即3-3a =0解得a =1， 经检验a =1，符合题意． 所以a =1．
(2)由（1）知2()33f x x a '=-，
令()0f x '=，x =
当01<<即0<a <1时，f （x ）和()'f x 随x 的变化情况如下表：
(2123f a =>-，
由上可知，所以()f x 的最大值为21．
当12≤<即14a ≤<时，f （x ）和()'f x 随x 的变化情况如下表：
(21f =，
由上可知，所以f （x ）的最大值为21．
2即4a ≥时，2()330f x x a '=-≤恒成立，即f （x ）在［－2，1]上单调递减，所
以f （x ）的最大值为f （－2）=－7+6a ， 综上所述，当
1
42
a <<时，f （x
）的最大值为21； 当4a ≥时，f （x ）的最大值为－7+6a ．
21．高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，促进了区域经济和社会发展．已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，*t ∈N ．经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t 相关：当1020t ≤≤时，高铁为满载状态，载客量为1200人；当210t ≤<时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与2(10)t -成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为950人．论发车间隔为t 分钟时，高铁载客量为P （t ）． (1)求P （t ）的表达式；
(2)若该线路发车时间间隔为t 分钟时的净收益2()()4066020485
t
Q t P t t t =-+-元，当发
车时间间隔为多少时，单位时间的浄收益
()
Q t t
最大？最大为多少？ 【答案】(1)()()2
12001010,210
1200,1020t t P t t ⎧--≤<⎪=⎨
≤≤⎪⎩
(2)当发车时间间隔为8分钟时，单位时间净收益最大，最大为316元 【分析】（1）由题意先求出210t ≤<时()P t 的表达式，从而得出答案. （2）先由题意得出()Q t 的表达式，从而得出()
Q t t
的解析式，然后利用导数分段求出各段的最大值，即可得出答案.
【详解】(1)设当210t ≤<时，减少的人数与2(10)t -成正比，比例系数为k ， 所以2
()1200(10)210P t k t t =--≤<，
当t =5时，P （5）=950，即21200(105)950k --=，解得k =10，
所以()()2
12001010,210
1200,1020t t P t t ⎧--≤<⎪=⎨
≤≤⎪⎩
(2)由题意可得：()3270020482,210
900402048,1020t t t Q t t t t ⎧--≤<⎪
=⎨⎪--≤≤⎩
所以
()2
20487002,210
204890040,1020
t t Q t t
t t t t ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪--≤≤⎪⎩
令()()Q t H t t =，当210t ≤<时，3
22
204820484()4t H t t t t -'=-+=；
令()0H t '=得t =8；当28t ≤<时，()0H t '>，当8<t <10时，()0H t '< 所以H （t ）的最大值为H （8）=316； 当1020t ≤≤时，2
2048
()400H t t '=-+
<， 所以H （t ）最大值为H （10）=295.2；
因为295.2<316，所以单位时间的净收益最大为316元；
综上，当发车时间间隔为8分钟时，单位时间净收益最大，且最大为316元． 22．已知函数()e ()x f x a a =∈R ，2()g x x =．
(1)若()f x 的图像在点（1，f （1））处的切线过（3，3），求函数y =xf （x ）的单调区间； (2)当a >0时，曲线f （x ）与曲线g （x ）存在唯一的公切线，求实数a 的值． 【答案】(1)单调递增区间为(1,)-+∞，单调递减区间为(,1)-∞- (2)2
4
e a =
【分析】（1）先由切线方程求出1
e
a =，利用导数求出函数的单调区间；（2）设公切线
与两曲线的切点为()11,e x x a ，()
2
22,x x ，利用分离参数法求出()11
12412e e
x x x x a -=
=，()11x >， 构造函数4(1)
()e x
x F x -=
，利用导数判断出F （x ）的单调性和最大值，即可求得. 【详解】(1)由()e x f x a =得()e x f x a '=，又1e f a =（）
， 所以在x =1处切线方程为()e e 1y a a x -=-，代入（3，3）得1
e
a =
所以1()e x y xf x x -==， 1(1)e x y x -'=+，
由0y '>得1x >-，由0y '<得1x <-，
所以单调递增区间为(1,)-+∞，单调递减区间为(,1)-∞-．
(2)设公切线与两曲线的切点为()11,e x x a ，(
)
2
22,x x ，易知12x x ≠，
由11
2
2212
e ?
e 2x x a x k a x x x -===-，
12222
1222222e 2x x x a x x x x --=-=，
所以2
122222x x x x -=，
由0a >，故20x >，所以212 20x x =->，故11x >， 所以()1112412e e
x x x x a -=
=，()11x >，
构造函数4(1)
()e x
x F x -=，()1x >问题等价于直线y =a 与曲线y =F （x ）在x >1时有且只有一个交点， 4(2)
()e x
x F x -'=
，当(1,2)x ∈时，F （x ）单调递增；当(2,)x ∈+∞时，F （x ）单调递减； ()F x 的最大值为24(2)e F =
，(1)0F =，当x →+∞时，F （x ）→0，2
4
e a =．。