《概率论》第4章§1数学期望

2
∞ ∫0
§1
数学期望
17/32 17/32
某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款 的方式. 来确定： 的方式.付款额根据使用寿命 X来确定：
寿命( 寿命(年) 付款(元) 付款(
X ≤1 1 < X ≤ 2 2 < X ≤ 3 X > 3 1500 2000 2500 3000
假设 X ~ EXP(10), 试求该商店出售一台电器的平均收费额 设出售一台电器的收费额为 Y,分布律为
k =1
§1
数学期望
11/32 11/32
设 r.v X的分布律为 x1 x2 ⋅⋅⋅ xk ⋅⋅⋅ X { P X = xk} p1 p2 ⋅⋅⋅ pk ⋅⋅⋅ 若级数 ∑| xk | pk < +∞, 则称
k =1 ∞
E( X ) = ∑xk pk = ∑xk P{X = xk }
k =1
k =1
E[g( X )] = ∑g(xi ) pi
i =1 ∞
§1
数学期望
22/32 22/32
定理2 设 续 随 变 X的 率 度 f (x), g(x) 连 型 机 量 概 密 为
是 值 续 数且 义 分 实 连 函 , 广 积
解： 有分布律 因X
X的数学期望为
E( X ) = 0 × (1− p) +1× p = p
§1
数学期望
7/32
设 X ~ π (λ), 求 E( X ) X的分布律为 k
∴ X的均值为
∞
P{X = k} = λ e−λ , k = 0,1 ⋅⋅⋅ ,2, k!
k= k =0
E( X ) = ∑ k ⋅ P X = k} {
E( X ) = ∑ xk pk
k =1 ∆ 3
§1
数学期望
5/32
设 r.v X的分布律为
X { P X = xk}
∞
x1 p1
x2 ⋅⋅⋅ xk ⋅⋅⋅ p2 ⋅⋅⋅ pk ⋅⋅⋅
∑ 若级数 k =1| xk | pk < +∞, 则称 ∞ ∞ ∆ E( X ) = ∑xk pk= ∑xk P X = xk } {
1 x 2
3 E(Y) = ∫∫ y ⋅12y dσ = ∫ dx∫ 12y dy = 0 0 5 D
2 1 x 3
§1
数学期望
21/32 21/32
四、随机变量函数的数学期望
定理 设离散型随机变量X的分布律为 1
P( X = xi ) = pi , i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅,
∞ i=1
g(x)是 值 续 数 且 数 g(xi ) pi绝 收 , 实 连 函 , 级 ∑ 对 敛 则 机 量 数 (X )的 学 望 随 变 函 g 数 期 为
1 1 −x /10 0 10 2 1 −x /10
e
dx = 0.0952
§1
数学期望
18/32 18/32
习题： 习题：P 100 1/2/5/6
§1
数学期望
19/32 19/32
三、二维随机变量的数学期望
定 : 二 随 变 (X,Y)数 期 为 (X,Y) = (EX, EY) 义 维 机 量 学 望 E
P{Y = 1500} = P{X ≤ 1 = ∫ }
P{Y =42000} = P{ < X ≤ 2} = ∫1 10e 1 dx = 0.0861 ∴ E(Y) = ∑ 参数为10的指数分布密度函数为 yk P{Y = yk 的指数分布密度函数为 参数为10}< X ≤ 3} = 3 1 e−x /10dx = 0.0779 P{Y ==1 } = P{2 k 2500 ∫2 10 x == 3000 = P{X > 3 0.08611+,2500×0.07797408 ×0.7408 1500×0.0952 + 2000× 1 e−10e−x />dx = 0. + 3000 = ∞ x 10 0, P{Y } f (x) = 10 ∫3 10 } = 2732.17 即 0 ,x≤0 Y 1500 2000 2500 3000 即商店出售一台电器平均收费额为 2732.17元 pk 0.0952 0.0861 0.0779 0.7408
环数 次数
8 9 10 15 40 45
乙：
环数 次数
8 9 10 35 10 55
怎样评估两人的成绩？ 怎样评估两人的成绩？ 记甲每枪击中的环数为 X ,因为射击次数 较多, 较多,故可认为 X的分布律为
X 8 9 10 pk 0.15 0.40 0.45
则甲射手每枪平均环数为 即平均环数为
8×0.15 + 9×0.40 +10×0.45 = 9.3
( x−µ)2
从直观上看 dx (X ) =？ E
= µ +0
奇函数
§1
数学期望
15/32 15/32
设某元器件的寿命 X服从指数分布,其密度为 服从指数分布,
1 e−x /θ , x > 0 f (x) = θ 0 , x≤0 求 X的数学期望 E( X )
E( X ) = ∫−∞xf (x)dx
§1
∞
数学期望
10/32 10/32
在数学期望的定义中，为什么要求 在数学期望的定义中，
k =1
∞
∑| xk | pk < +∞
E( X ) = ∑ xk pk 收敛
k= k =1 ∞
由高等数学知
k= k =1
∑| xk | pk < +∞
∞
且 E( X ) 与 xk pk 出现的先后位置无关！ 出现的先后位置无关！ 若 ∑| xk | pk = +∞, 则称 E( X )不存在
100
100
100
可见甲的射击水平比乙略好
§1
数学期望
3/32
某班级某课程考试的平均成绩 电子产品的平均无故障时间 某地区的日平均气温和日平均降水量 某地区水稻的平均亩产量 某地区的家庭平均年收入 某国家国民的平均寿命 怎样定义 r.v 的平均值概念
§
数学期望
4/32
100发 甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了100发 乙两射手进行打靶训练，每人各打了100 子弹，成绩如下： 子弹，成绩如下： 甲：
λk e−λ = ∑k ⋅
∞ k =0
−λ ∞
λi = λe ⋅ ∑
−λ ∞ i =0
λk −1 = λe ⋅ ∑ (k −1 )!
k =1
k!
令 k −1 = i
i! −λ λ = λe ⋅ e = λ
§1
n
数学期望
8/32
设 X ~ b(n, p), 求 E( X )
k E( X ) = ∑ k ⋅ Cn pk (1− p)n−k= ? k =0
怎样粗线条地描述r.v 怎样粗线条地描述r.v 的特性 简单明了、特征鲜明、直观实用 简单明了、特征鲜明、
§1
数学期望
2/32
100发 甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了100发 乙两射手进行打靶训练，每人各打了100 子弹，成绩如下： 子弹，成绩如下： 甲：
环数 次数
8 9 10 15 40 45
i=1
i=1 j =1
设 维 机 量 X,Y)的 合 率 度 f (x, y) 二 随 变 ( 联 概 密 为
E( X ) = ∫ xfX (x)dx = ∫
−∞ +∞ +∞
+∞ +∞ −∞ −∞
∫
xf (x, y)dxdy
E(Y) = ∫ yfY ( y)dy = ∫
−∞
+∞ +∞
−∞ −∞
∫
yf (x, y)dxdy
∞
= ∫0 x 1 e θ dx θ −x ∞ x =θ ⋅ e θ d( x )
= θ ⋅ ∫0 te−t dt
∞
−x
∫0 θ
∞
θ
=θ
即该元器件的平均寿命为 θ
§1
数学期望
16/32 16/32
计算 E( X ). ∞ E( X 因为 ) = ∫−∞ xf (x)dx ∞ x dx 1 f (x)dx = 1 ∫∞ | x | ∫∞ ∫−∞= π π −∞ 2
乙：
环数 次数
8 9 10 35 10 55
怎样评估两人的成绩？ 怎样评估两人的成绩？ 平均环数 两人的总环数分别为 甲： 8×15 + 9× 40 +10× 45 = 930 (环) 乙： 8×35 + 9×10 +10×55 = 920 (环) 每枪平均环数为
15 40 45 甲： 8×100 + 9×100 +10×100 = 9.3 (环) 乙： 8× 35 + 9× 10 +10× 55 = 9.2 (环)
−∞
分布, 设 r.v X服从 Cauchy分布,其概率密度为 f (x) = 1 ⋅ 1 2 , −∞ < x < ∞ π 1+ x
x | dx 1+ x2 奇函数 ,对称区间
|
=0
1+ x
不存在. 故 E( X )不存在.
x dx 1+ x2 1 ∞ dx2 = π ∫0 1+ x2 1 ln(1+ x2 ) ∞ = ∞ =π 0 =π
n
∀ p, q ∈(0,1 令 ),
k ϕ( p, q) = ∑Cn pk qn−k ≡ ( p + q)n
n ∂ϕ k ∴ = ∑kCn pk −1qn−k ≡ n( p + q)n−1 ∂p k =1 特别令 q =1− p, 则有 n