概率论与数理统计_第四章_随机变量的数字特征_第一节_数学期望

合集下载

概率论与数理统计 --- 第四章{随机变量的数字特征} 第一节：数学期望

32 30 17 21 0 1 2 3 1.27 100 100 100 100
这个数能否作为 X的平均值呢？
若统计100天,
可以想象, 若另外统计100天, 车工小张不出废品, 这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27. 一般来说, 若统计n天 ,
(假定小张每天至多出三件废品)
又设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数 : W kV 2 ( k 0, 常数), 求W 的数学期望.
解: 由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
2 2

a
例7 设二维连续型随机变量（X , Y）的概率密度为
A sin( x y ) 0 x , 0 y f ( x, y) 2 2 0 其它 (1)求系数A , ( 2)求E ( X ), E ( XY ).
x f ( x )x
i i i
i
阴影面积近似为
这正是:

f ( xi )xi

x f ( x )dx
的渐近和式.
小区间[xi, xi+1)
定义: 设X是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x), 如果积分: xf ( x )dx
概率论

绝对收敛, 则称此积分值为X的数学期望, 即:
2. 设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y), 则： E ( X )
E (Y )

xf X ( x )dx

yfY
( y )dy

xf ( x , y )dxdy,

概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征前面讨论了随机变量的分布函数，我们知道分布函数全面地描述了随机变量的统计特性.但是在实际问题中，一方面由于求分布函数并非易事；另一方面，往往不需要去全面考察随机变量的变化情况而只需知道随机变量的某些特征就够了.例如，在考察一个班级学生的学习成绩时，只要知道这个班级的平均成绩及其分散程度就可以对该班的学习情况作出比较客观的判断了.这样的平均值及表示分散程度的数字虽然不能完整地描述随机变量，但能更突出地描述随机变量在某些方面的重要特征，我们称它们为随机变量的数字特征.本章将介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩.第一节数学期望1.数学期望的定义粗略地说，数学期望就是随机变量的平均值.在给出数学期望的概念之前，先看一个例子.要评判一个射手的射击水平，需要知道射手平均命中环数.设射手A 在同样条件下进行射击，命中的环数X 是一随机变量，其分布律如下：表41X 10 9 8 7 6 5 0 p k0.1 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.10.1×N 次击中10环,0.1×N 次击中9环,0.2×N 次击中8环,0.3×N 次击中7环,0.1×N 次击中6环,0.1×N 次击中5环,0.1×N 次脱靶.于是在N 次射击中，射手A 击中的环数之和约为10×0.1N +9×0.1N +8×0.2N +7×0.3N +6×0.1N +5×0.1N +0×0.1N .平均每次击中的环数约为N1（10×0.1N +9×0.1N +8×0.2N +7×0.3N +6×0.1N +5×0.1N +0×0.1N ） =10×0.1+9×0.1+8×0.2+7×0.3+6×0.1+5×0.1+0×0.1 =6.7(环).由这样一个问题的启发，得到一般随机变量的“平均数”，应是随机变量所有可能取值与其相应的概率乘积之和，也就是以概率为权数的加权平均值，这就是所谓“数学期望的概念”.一般地，有如下定义：定义4.1 设离散型随机变量X 的分布律为P {X =x k }=p k k =1,2,…，若级数∑∞=1k k kp x绝对收敛，则称级数∑∞=1k k kp x为随机变量X 的数学期望(Mathematicalexpectation)，记为E （X ）.即E （X ）=∑∞=1k k kp x. （4.1）设连续型随机变量X 的概率密度为f （x ），若积分⎰+∞∞-x x xf d )(绝对收敛，则称积分⎰+∞∞-x x xf d )(的值为随机变量X 的数学期望，记为E （X ）.即E （X ）=⎰+∞∞-x x xf d )(. （4.2）数学期望简称期望，又称为均值.例4.1 某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时从摇箱摇出的球的可能颜色为：红、黄、蓝、白、黑五种，其对应的奖金额分别为：10000元、1000元、100元、10元、1元.假定摇箱内装有很多球，其中红、黄、蓝、白、黑的比例分别为：0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次摇奖摇出的奖金额X 的数学期望. 解每次摇奖摇出的奖金额X 是一个随机变量，易知它的分布律为表42X 10000 1000 100 10 1 p k0.0001 0.0015 0.0134 0.1 0.885因此，E （X ）=10000×0.0001+1000×0.0015+100×0.0134+10×0.1+1×0.885=5.725. 可见，平均起来每次摇奖的奖金额不足6元.这个值对商店作计划预算时是很重要的.例4.2 按规定，某车站每天8点至9点，9点至10点都有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立.其分布律为表43 到站时刻 8∶10，9∶10 8∶30，9∶30 8∶50，9∶50 概率1/6 3/6 2/6解设旅客候车时间为X 分钟，易知X 的分布律为表44X 10 30 50 70 90 p k3/6 2/6 1/36 3/36 2/36k P {X =70}=P （AB ）=P （A ）P （B ）=1/6×3/6=3/36，其中A 为事件“第一班车在8:10到站”，B 为事件“第二班车在9:30到站”，于是候车时间的数学期望为E （X ）=10×3/6+30×2/6+50×1/36+70×3/36+90×2/36=27.22(分钟）.例4.3 有5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命X k （k =1，2，3，4，5）服从同一指数分布，其概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.00,0,1/x ,x x θθe(1) 若将这5个电子装置串联起来组成整机，求整机寿命N 的数学期望；（2）若将这5个电子装置并联组成整机，求整机寿命M 的数学期望. 解 X k （k =1，2，3，4，5）的分布函数为F （x ）=⎩⎨⎧≤>--.0,0,0,1/x x x θe（1）串联的情况由于当5个电子装置中有一个损坏时，整机就停止工作，所以这时整机寿命为N =min{X 1，X 2，X 3，X 4，X 5}.由于X 1，X 2，X 3，X 4，X 5是相互独立的，于是i=min{X 1，X 2，X 3，X 4，X 5}的分布函数为F N （x ）=P {N ≤x }=1P {N ＞x }=1P {X 1＞x ，X 2＞x ，X 3＞x ，X 4＞x ，X 5＞x }=1P {X 1＞x }·P {X 2＞x }·P {X 3＞x }·P {X 4＞x }·P {X 5＞x }=1［1)(1x F X ］［1 )(2x F X ］［1)(3x F X ］［1)(4x F X ］［1)(5x F X ］=1［1F （x ）］5=⎪⎩⎪⎨⎧≤>--.0,0,0,15x x x θe 因此N 的概率密度为f N （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,55x x xθθe则N 的数学期望为E （N ）=55)(5θθθ==-∞+∞-∞+∞-⎰⎰x xx x xf xN d ed（2）并联的情况由于当且仅当5个电子装置都损坏时，整机才停止工作，所以这时整机寿命为M =max{X 1，X 2，X 3，X 4，X 5}.由于X 1，X 2，X 3，X 4，X 5相互独立，类似可得M 的分布函数为F M （x ）=［F （x ）］5=⎪⎩⎪⎨⎧≤>--.0,0,0,)1(5x x x θe 因而M 的概率密度为f M （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤>---.0,0,0,]1[54x x x x θθθe e于是M 的数学期望为E （M ）=.60137)1(5)(0max θθθ=-=-∞+∞-∞+⎰⎰x xx x xf xd e d 这说明：5个电子装置并联联接工作的平均寿命要大于串联联接工作的平均寿命.例4.4 设随机变量X 服从柯西（Cauchy ）分布，其概率密度为f （x ）=)1(12x +π，x <x <+∞，试证E （X ）不存在.证由于,)1(1)(2⎰⎰+∞∞-+∞∞-∞=+=x x xx x f x d πd 故E （X ）不存在.2.随机变量函数的数学期望在实际问题与理论研究中，我们经常需要求随机变量函数的数学期望.这时，我们可以通过下面的定理来实现.定理4.1 设Y 是随机变量X 的函数Y =g （X ）（g 是连续函数）. （1） X 是离散型随机变量，它的分布律为P （X =x k ）=p k ，k =1，2，…，若kk kp x g ∑∞=1)(绝对收敛，则有E （Y ）=E ［g （X ）］=kk kp x g ∑∞=1)(. （4.3）（2） X 是连续型随机变量，它的概率密度为f （x ），若⎰+∞∞-x x f x g d )()(绝对收敛，则有E （Y ）=E ［g （X ）］=⎰+∞∞-x x f x g d )()(. （4.4）定理4.4的重要意义在于当我们求E （Y ）时，不必知道Y 的分布而只需知道X 的分布就可以了.当然，我们也可以由已知的X 的分布，先求出其函数g （X ）的分布，再根据数学期望的定义去求E ［g （X ）］，然而，求Y =g （X ）的分布是不容易的，所以一般不采用后一种方法.定理4.1的证明超出了本书的范围，这里不证.上述定理还可以推广到二个或二个以上随机变量的函数情形. 例如，设Z 是随机变量X ，Y 的函数，Z =g （X ，Y ）（g 是连续函数），那么Z 也是一个随机变量，当（X ，Y ）是二维离散型随机变量，其分布律为P {X =x i ，Y =y j }=p ij （i ，j =1，2，…）时，若∑∑ijijiipy x g ),(绝对收敛，则有E （Z ）=E ［g （X ，Y ）］=∑∑ijijiipy x g ),(. （4.5）当（X ，Y ）是二维连续型随机变量，其概率密度为f （x ，y ）时，若⎰⎰+∞∞-+∞∞-yx y x f y z g d d ),(),(绝对收敛，则有E （Z ）=E ［g （X ，Y ）］=⎰⎰+∞∞-+∞∞-y x y x f y z g d d ),(),(. （4.6）特别地有例4.5 设随机变量X 的分布律为表45X 1 0 2 3 P1/8 1/4 3/8 1/4求E （X 2），E （2x +1）.解由（4.5）式得E （X 2）=（1）2×18+02×14+22×38+32×14=318， E (2X +1)=［2×(1)+1］×18+［2×0+1］×14+［2×2+1］×38+［2×3+1］×14= 74.例4.6 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间［a ，b ］内，求球体积的数学期望.解设随机变量X 表示球的直径，Y 表示球的体积，依题意，X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-.,0,,1其他b x a a b球体积Y =361X π，由（4.6）式得 E （Y ）=x ab x X E ba d ππ-=⎰161)61(33 =).)((24)(6223b a b a x x a b ba++=-⎰πd π例4.7 设国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X （吨）服从区间[2000，4000]上的均匀分布.若售出这种商品1吨，可挣得外汇3万元，但如果销售不出而囤积于仓库，则每吨需保管费1万元.问应预备多少吨这种商品，才能使国家的收益最大？解设预备这种商品y 吨（2000≤y ≤4000），则收益（万元）为g (X )=⎩⎨⎧<--≥.),(3,,3y X X y X y X y则 E [g (X )]=⎰⎰-⋅=+∞∞-40002000200040001)()()(x x g x x f x g d d =[]⎰⎰+--40002000320001)(320001y y x y x x y x d d =)1047000(1000162⨯-+-y y . 当y =3500吨时，上式达到最大值.所以预备3500吨此种商品能使国家的收益最大，最大收益为8250万元.例4.8 设二维随机变量（X ，Y ）在区域A 上服从均匀分布，其中A 为x 轴，y 轴及直线x +2y=1所围成的三角区域，求E （X ），E （Y ），E （XY ）.解由于（X ，Y ）在A 内服从均匀分布，所以其概率密度f （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧∉∈=∉∈.),(,0,),(,1,),(,0,),(,1A y x A y x A y x A y x A 的面积E （X ）=12(1)1(,)d d d d d d ;3x Axf x y x y x x y x x y +∞+∞--∞-∞===⎰⎰⎰⎰⎰⎰E （Y ）=2122(,)d d d d d d ;3y Ayf x y x y y x y y y x +∞+∞--∞-∞===⎰⎰⎰⎰⎰⎰E （XY ）=;61)1(2),()1(201021⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-==x x x x y y x x y x y x xyf d d d d d3.数学期望的性质下面讨论数学期望的几条重要性质.定理4.2 设随机变量X ，Y 的数学期望E （X ），E （Y ）存在. 1°E （c ）=c ，其中c 是常数； 2°E （cX ）=cE （X ）；3°E （X +Y ）=E （X ）+E （Y ）； 4°若X ，Y 是相互独立的，则有E （XY ）=E （X ）E （Y ）.证就连续型的情况我们来证明性质3°、4°，离散型情况和其他性质的证明留给读者. 3°设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ），其边缘概率密度为f X （x ），f Y （y ），则E （X +Y ）=⎰⎰+∞∞-+∞∞-+y x y x f y x d d ),()( =⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-+∞∞-+y x y x yf y x y x xf d d d d ),(),(=)()()()(Y E X E y y yf x x xf Y X +=+⎰⎰+∞∞-+∞∞-d d .4°又若X 和Y 相互独立，此时f （x ，y ）=f X （x ）f Y （y ），故E （XY ）=⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-+∞∞-=y x y f x xyf y x y x xyf Y X d d d d )()(),(=).()()()(Y E X E y y yf x x xf Y X =⋅⎰⎰+∞∞-+∞∞-d d性质3°可推广到任意有限个随机变量之和的情形；性质4°可推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情形.例4.9 设一电路中电流I （安）与电阻R （欧）是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为g （i ）=⎩⎨⎧≤≤.,0,10,2其他i i h （r ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤.,0,30,92其他r r试求电压V =IR 的均值.解E（V）=E（IR）=E （I ）E （R ）=2392)()(303102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-r r i i r r rh i i ig d d d d （伏）. 例4.10 设对某一目标进行射击，命中n 次才能彻底摧毁该目标，假定各次射击是独立的，并且每次射击命中的概率为p ，试求彻底摧毁这一目标平均消耗的炮弹数.解设X 为n 次击中目标所消耗的炮弹数，X k 表示第k 1次击中后至k 次击中目标之间所消耗的炮弹数，这样，X k 可取值1，2，3，…，其分布律见表4 6.表46X k1 2 3 … m …P （X k =m ）p pq pq 2 … pq m 1 …其中q =1p ,X 1为第一次击中目标所消耗的炮弹数，则n 次击中目标所消耗的炮弹数为X =X 1+X 2+…+X n .由性质3°可得E （X ）=E （X 1）+E （X 2）+…+E （X n ）=nE （X 1）. 又 E （X 1）=,111pkpq k k =∑∞=- 故 E （X ）=pn . 4.常用分布的数学期望（1）两点分布设X 的分布律为X 0 1 P1p p则X 的数学期望为E （X ）=0×(1p )+1×p =p .(2) 二项分布设X 服从二项分布，其分布律为P {X =k }=kn k k np p --)1(C , (k =0,1,2,…,n)，(0<p <1). 则X 的数学期望为E （X ）=∑∑==----=-nk nk k n k kn kknp p k n k n kp p k 0)1()!(!!)1(C=[]∑=----------nk k n k p p k n k n np0)]1()1[(1)1(!)1()1()!1()!1(, 令k 1=t ，则E （X ）=[]∑-=------10])1[()1(!)1(!)!1(n t t n t p p t n t n np=np [p +(1p )]n 1=np .若利用数学期望的性质，将二项分布表示为n 个相互独立的01分布的和，计算过程将简单得多.事实上，若设X 表示在n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，X i (i =1,2,…,n )表示A 在第i 次试验中出现的次数，则有X =1nii X=∑.显然，这里X i （i =1,2,…,n ）服从两点分布，其分布率为X i 1 0PP 1pi E （X ）=∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i X E X E 11)( =np .(3) 泊松分布设X 服从泊松分布，其分布律为P {X =k }=λλ-e !k k， (k =0,1,2,…)，(λ>0).则X 的数学期望为E （X ）=∑∑∞=--∞=--=11)!1(!k k k kk k k λλλλλee,令k 1=t ，则有E （X ）=.!0λλλλλλλ=⋅=-∞=-∑e e ek tt .（4）均匀分布设X 服从[a ,b ]上的均匀分布，其概率密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-.,0,,1其他b x a a b则X 的数学期望为E （X ）=.2)(ba x ab x x x xf ba +=-=⎰⎰+∞∞-d d . （5）指数分布设X 服从指数分布，其分布密度为f (x )=⎩⎨⎧<≥-.0,0,0,x x x λλe则X 的数学期望为E （X ）=1()d e d x xf x x x x λλλ+∞+∞--∞-∞==⎰⎰.（6）正态分布设X ~N （μ,σ2），其分布密度为f (x )=222)(21σμσ--x e π，则X 的数学期望为E （X ）=22()2()d ed ,x xf x x x x μσ--+∞+∞-∞-∞=⎰令σμ-x =t ，则E （X ）=⎰∞+∞--+t t t d e π22)(21σμ 注意到t t d eπ⎰∞+∞--222μ=μ,t σt t d e π⎰∞+∞--2221=0，故有E （X ）=μ.第二节方差1.方差的定义数学期望描述了随机变量取值的“平均”.有时仅知道这个平均值还不够.例如，有A ，B 两名射手，他们每次射击命中的环数分别为X ，Y ，已知X ，Y 的分布律为：表4-7其他的因素.通常的想法是：在射击的平均环数相等的条件下进一步衡量谁的射击技术更稳定些.也就是看谁命中的环数比较集中于平均值的附近，通常人们会采用命中的环数X 与它的平均值E （X ）之间的离差｜X -E （X ）｜的均值E ［｜X -E （X ）｜］来度量，E ［｜X -E （X ）｜］愈小，表明X 的值愈集中于E （X ）的附近，即技术稳定；E ［｜X -E （X ）｜］愈大，表明X 的值很分散，技术不稳定.但由于E ［｜X -E （X ）｜］带有绝对值，运算不便，故通常采用X与E （X ）的离差｜X -E （X ）｜的平方平均值E ［X -E （X ）］2来度量随机变量X 取值的分散程度.此例中，由于E ［X -E （X ）］2=0.2×(8-9)2+0.6×(9-9)2+0.2×(10-9)2=0.4， E ［Y -E (Y )］2=0.1×(8-9)2+0.8×(9-9)2+0.1×(10-9)2=0.2.由此可见B 的技术更稳定些.定义4.2 设X 是一个随机变量，若E ［X -E （X ）］2存在，则称E ［X -E （X ）］2为X 的方差（Variance ），记为D （X ），即D （X ）=E ［X -E （X ）］2. （4.7）称)(X D 为随机变量X 的标准差（Standard deviation ）或均方差(Mean squaredeviation)，记为σ（X ）.根据定义可知，随机变量X 的方差反映了随机变量的取值与其数学期望的偏离程度.若X 取值比较集中，则D （X ）较小，反之，若X 取值比较分散，则D （X ）较大.由于方差是随机变量X 的函数g （X ）=［X -E （X ）］2的数学期望.若离散型随机变量X 的分布律为P {X =x k }=p k ，k =1，2，…，则D （X ）=k k kp X E x∑∞=-12)]([. （4.8）若连续型随机变量X 的概率密度为f （x ），则D （X ）=⎰+∞∞--.)()]([2x x f X E x d （4.9）由此可见，方差D （X ）是一个常数，它由随机变量的分布惟一确定.根据数学期望的性质可得：D （X ）=E ［X -E (X )］2=E ［X 2-2X ·E (X )+［E (X )］2］=E (X 2)-2E (X )·E (X )+［E (X )］2=E (X 2)-［E (X )］2.于是得到常用计算方差的简便公式D （X ）=E （X 2）-［E （X ）］2. （4.10）例4.11 设有甲，乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行检验，结果如下表：表4-9且评定它们的质量.解由于E （X ）=28×0.1+29×0.15+30×0.5+31×0.15+32×0.1=30， E (Y )=28×0.13+29×0.17+30×0.4+31×0.17+32×0.13=30，故得D （X ）=（28-30）2×0.1+(29-30)2×0.15+(30-30)2×0.5+(31-30)2×0.15+(32-30)2×0.1=4×0.1+1×0.15+0×0.5+1×0.15+4×0.1=1.1，D (Y )=(28-30)2×0.13+(29-30)2×0.17+(30-30)2×0.4+(31-30)2×0.17+(32-30)2×0.13=4×0.13+1×0.17+0×0.4+1×0.17+4×0.13=1.38.因D （X ）＜D （Y ），所以甲种棉花纤维长度的方差小些，说明其纤维比较均匀，故甲种棉花质量较好.例4.12 设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤-+.,0,10,1,01,1其他x x x x求D （X ）.解 E （X ）=⎰⎰-++-11)1()1(x x x x x x d d =0，E （X 2）=⎰⎰-++-12012)1()1(x x x x x x d d =1/6，于是 D （X ）=E （X 2）-［E （X ）］2=1/6.2.方差的性质方差有下面几条重要的性质.设随机变量X 与Y 的方差存在，则 1°设c 为常数，则D （c ）=0；2°设c 为常数，则D （cX ）=c 2D （X ）；3°D （X ±Y )=D (X )+D (Y )±2E ［(X -E (X ))(Y -E (Y ))］； 4°若X ，Y 相互独立，则D （X ±Y ）=D (X )+D (Y )； 5°对任意的常数c ≠E (X )，有D (X )<E [（X -c ）2]. 证仅证性质4°，5°.4°D （X ±Y ）=E ［(X ±Y )-E (X ±Y )］2=E ［(X -E (X ))±(Y -E (Y ))］2=E ［X -E (X )］2±2E ［(X -E (X ))(Y -E (Y ))］+E ［Y -E (Y )］2=D (X )+D (Y )±2E ［(X -E (X ))(Y -E (Y ))］.当X 与Y 相互独立时，X -E （X ）与Y -E （Y ）也相互独立，由数学期望的性质有E ［（X -E （X ））（Y -E （Y ））］=E （X -E （X ））E （Y -E （Y ））=0.因此有D （X ±Y ）=D (X )+D (Y ).性质4°可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况.5°对任意常数c ，有E [(X -c )2]=E [(X -E (X )+E (X )-c )2]=E [(X -E (X ))2]+2(E (X )-c )·E [X -E (X )]+(E (X )-c )2=D (X )+(E (X )-c )2.故对任意常数c ≠EX ,有DX <E [(X -c )2].例4.13 设随机变量X 的数学期望为E （X ），方差D （X ）=σ2（σ＞0），令Y =σ)(X E X -，求E （Y ），D （Y ）.解 E （Y ）=[],0)()(1)]([1)(=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-X E X E X E X E X E X E σσσ D （Y ）=.1)(1)]([1)(2222===-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-σσσσσX D X E X D X E X D 常称Y 为X 的标准化随机变量.例4.14 设X 1，X 2，…，X n 相互独立，且服从同一（0-1）分布，分布律为P {X i =0}=1-p ,P {X i =1}=p , i =1,2，…，n .证明 X =X 1+X 2+…+X n 服从参数为n ，p 的二项分布，并求E （X ）和D （X ）.解 X 所有可能取值为0，1，…，n ，由独立性知X 以特定的方式（例如前k 个取1，后n -k 个取0）取k （0≤k ≤n ）的概率为p k （1-p ）n -k ,而X 取k 的两两互不相容的方式共有k n C 种，故P {X =k }=k nC p k （1-p ）n -k, k =0，1，2，…，n ,即X服从参数为n，p的二项分布.由于E （X i ）=0×(1-p )+1×p =p ，D (X i )=(0-p )2×(1-p )+(1-p )2×p =p (1-p )， i =1，2，…，n ，故有E （X ）=.)(11np X E X E ni i n i i ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==由于X 1，X 2，…，X n 相互独立，得D （X ）= ).1()(11p np X D X D ni i n i i -==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==3.常用分布的方差（1）（0-1）分布设X 服从参数为p 的0-1分布，其分布律为(2) 二项分布设X 服从参数为n ,p 的二项分布，由例4.14知，D （X ）=np (1-p ). (3) 泊松分布设X 服从参数为λ的泊松分布，由上一节知E （X ）=λ，又E （X 2）=E [X （X -1）+X ]=E [X (X -1)]+E (X )=∑∑∞=--∞=-+-=+-2220)!2(!)1(k k k kk k k k λλλλλλλee=λ2e -λ·e λ+λ=λ2+λ,从而有D （X ）=E （X 2）-[E (X )]2=λ2+λ -λ2=λ.（4）均匀分布设X 服从[a ,b ]上的均匀分布，由上一节知E （X ）=2ba +，又 E （X 2）=3222b ab a x a b x ba ++=-⎰d , 所以D （X ）=E （X 2）-[E (X )]2=12)()(41)(312222a b b a b ab a -=+-++.(5) 指数分布设X 服从参数为λ的指数分布，由上一节知.E (X )=1/λ，又E （X 2）=222λλλ=⎰-ba xx x d e ,所以D （X ）=E （X 2）-[E (X )]2=.112222λλλ=⎪⎭⎫⎝⎛-(6) 正态分布设X ~N （μ,σ2），由上一节知E （X ）=μ，从而D （X ）=[]⎰⎰∞+∞--∞+∞--=--d e πd x x x x f X E x x 222)(2221)()()(σμσμ令σμ-x =t 则D （X ）=)(22222222222⎰⎰∞+∞--∞+∞--∞+∞--+-=t t t t t t t d eeπd eπσσ=)20(22ππ+σ =σ2.由此可知：正态分布的概率密度中的两个参数μ和σ分别是该分布的数学期望和均方差.因而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定.再者，由上一章第五节例3.17知道，若X i ~N (μi ,σi 2),i =1,2,…,n ，且它们相互独立，则它们的线性组合c 1X 1+c 2X 2+…+c n X n （c 1，c 2，…，c n 是不全为零的常数）仍然服从正态分布.于是由数学期望和方差的性质知道：c 1X 1+c 2X 2+…+c n X n ~⎪⎭⎫⎝⎛∑∑==n i ni i i i i c c N 1122,σμ.这是一个重要的结果.例4.15 设活塞的直径（以cm 计）X ~N (22.40,0.032)，气缸的直径Y ~N （22.50,0.042），X ，Y 相互独立，任取一只活塞，任取一只气缸，求活塞能装入气缸的概率. 解按题意需求P {X <Y }=P {X -Y <0}. 令Z =X -Y ，则E （Z ）=E （X ）-E （Y ）=22.40-22.50=-0.10,D (Z )=D (X )+D (Y )=0.032+0.042=0.052,即Z ~N （-0.10,0.052）, 故有P {X <Y }=P {Z <0}=⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<--05.010.005.0)10.0(005.0)10.0(Z P =Φ(2)=0.9772.第三节协方差与相关系数对于二维随机变量（X ，Y ），数学期望E （X ），E （Y ）只反映了X 和Y 各自的平均值，而D （X ），D （Y ）反映的是X 和Y 各自偏离平均值的程度，它们都没有反映X 与Y 之间的关系.在实际问题中，每对随机变量往往相互影响、相互联系.例如，人的年龄与身高；某种产品的产量与价格等.随机变量的这种相互联系称为相关关系，它们也是一类重要的数字特征，本节讨论有关这方面的数字特征.定义4.3 设（X ，Y ）为二维随机变量，称E {［X -E （X ）］［Y -E （Y ）］}为随机变量X ，Y 的协方差（Covariance ），记为Cov （X ，Y ），即Cov （X ，Y ）=E {［X -E （X ）］［Y -E （Y ）］}. （4.11）而)()(),cov(Y D X D Y X 称为随机变量X ，Y 的相关系数(Correlation coefficient)或标准协方差(Standard covariance)，记为ρXY ，即ρXY =)()(),cov(Y D X D Y X . （4.12）特别地，Cov(X ,X )=E {[X -E (X )][X -E (X )]}=D (X )， Cov(Y ,Y )=E {[Y -E (Y )][Y -E (Y )]}=D (Y ).故方差D （X ），D （Y ）是协方差的特例.由上述定义及方差的性质可得D （X ±Y ）=D (X )+D (Y )±2Cov(X ,Y ).由协方差的定义及数学期望的性质可得下列实用计算公式Cov （X ，Y ）=E （XY ）-E （X ）E （Y ）. （4.13）若（X ，Y ）为二维离散型随机变量，其联合分布律为P {X =x i ，Y =y j }=p ij ，i ，j =1，2，…，则有Cov （X ，Y ）=[][]∑∑--ijijiipY E y X E x )()(. （4.14）若（X ，Y ）为二维连续型随机变量，其概率密度为f （x ，y ），则有Cov （X ，Y ）=[][]⎰⎰+∞∞-+∞∞---y x y x f Y E y X E x d d ),()()(. （4.15）例4.16 设（X ，Y ）的分布律为表4-12XY 解易知X 的分布律为P {X =1}=p ,P {X =0}=1-p ，故 E (X )=p , D (X )=p (1-p ). 同理E (Y )=p ,D (Y )=p (1-p ),因此Cov(X ,Y )=E (XY )-E (X )·E （Y ）=p -p 2=p （1-p ），而ρXY =1)1()1()1(),cov(=-⋅--=⋅p p p p p p DY DX Y X例4.17 设（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<+.,0,10,10,其他y x y x求Cov （X ，Y ）.解由于f X （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<<+,,0,10,21其他x x f Y （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧<<+.,0,10,21其他y y E （X ）=127)21(10=+⎰x x x d ，E （Y ）=127)21(10=+⎰y y y d ，E （XY ）=31)(10102101021010=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰y x xy y x y x y x y x xy d d d d d d因此 Cov （X ，Y ）=E （XY ）-E （X ）E （Y ）=144112712731-=⨯-.协方差具有下列性质：1°若X 与Y 相互独立，则Cov （X ，Y ）=0； 2°Cov （X ，Y ）=Cov （Y ，X ）； 3°Cov （aX ，bY ）=ab Cov （X ，Y ）；4°Cov （X 1+X 2，Y ）=Cov （X 1，Y ）+Cov （X 2，Y ）. 证仅证性质4°，其余留给读者.Cov(X 1+X 2，Y ) =E ［（X 1+X 2）Y ］-E （X 1+X 2）E （Y ）=E (X 1Y ）+E （X 2Y ）-E （X 1）E （Y ）-E （X 2）E （Y ） =［E (X 1Y ）-E (X 1）E （Y ）］+［E （X 2Y ）-E （X 2）E （Y ）］ =Cov （X 1，Y ）+Cov （X 2，Y ）.下面给出相关系数ρXY 的几条重要性质，并说明ρXY 的含义.定理4.3 设D （X ）＞0，D （Y ）＞0，ρXY 为（X ，Y ）的相关系数，则 1°如果X ，Y 相互独立，则ρXY =0； 2°｜ρXY ｜≤1；3°｜ρXY ｜=1的充要条件是存在常数a ，b 使P {Y =aX +b }=1（a ≠0）. 证由协方差的性质1°及相关系数的定义可知1°成立. 2°对任意实数t ，有D （Y -tX ）=E ［（Y -tX ）-E （Y -tX ）］2=E ［（Y -E （Y ））-t （X -E （X ））］2=E [Y -E (Y )]2-2tE ［Y -E (Y )］［X -E (X )］+t 2E ［X -E (X )］2=t 2D （X ）-2t Cov （X ，Y ）+D （Y ）=[])(),cov()()(),cov()(22X D Y X Y D X D Y X t X D -+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-. 令t =)(),cov(X D Y X =b ，于是D （Y -bX ）=[][]).1)(()()(),cov(1)()(),cov()(222XY Y D Y D X D Y X Y D X D Y X Y D ρ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-由于方差不能为负，所以1-2XY ρ≥0，从而｜ρXY ｜≤1.性质3°的证明较复杂，从略.当ρXY =0时，称X 与Y 不相关，由性质1°可知，当X 与Y 相互独立时，ρXY =0，即X 与Y 不相关.反之不一定成立，即X 与Y 不相关，X 与Y 却不一定相互独立.例4.18 设X 服从[0,2π]上均匀分布，Y =cos X ,Z =cos(X +a )，这里a 是常数.求ρYZ .解 E （Y ）=⎰⋅πd π2021cos x x =0, E (Z )= ⎰+πd π20)cos(21x a x =0, D (Y )=E {[Y -E (Y )]2}=21cos 21202=⎰πd πx x , D (Z )=E {[Z -E (Z )]2}=21)(cos 21202=+⎰πd πx a x , Cov(Y ,Z )=E {[Y -E (Y )][Z -E (Z )]}= a x a x x cos 21)cos(cos 2120=+•⎰πd π, 因此 ρYZ =.cos 2121cos 21)()(),cov(a a Z D Y D Z Y =⋅=⋅ ① 当a =0时，ρYZ =1，Y =Z ，存在线性关系；② 当a=π时，ρYZ =-1，Y =-Z ，存在线性关系； ③ 当a =2π或23π时，ρYZ =0，这时Y 与Z 不相关，但这时却有Y 2+Z 2=1，因此，Y 与Z 不独立.这个例子说明：当两个随机变量不相关时，它们并不一定相互独立，它们之间还可能存在其他的函数关系.定理4.3 告诉我们，相关系数ρXY 描述了随机变量X ，Y 的线性相关程度，｜ρXY ｜愈接近1，则X 与Y 之间愈接近线性关系.当｜ρXY ｜=1时，X 与Y 之间依概率1线性相关.不过，下例表明当（X ，Y ）是二维正态随机变量时，X 和Y 不相关与X 和Y 相互独立是等价的.例4.19 设（X ，Y ）服从二维正态分布，它的概率密度为f （x ，y ）=⨯-221121ρσσπ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+------2222212121212)())((2)()1(21exp σμσσμμρσμρy y x x 求Cov （X ，Y ）和ρXY .解可以计算得（X ，Y ）的边缘概率密度为f X （x ）=21212)(121σμσ--x e π，-∞＜x ＜+∞，f Y （y ）=22222)(221σμσ--x e π，-∞＜y ＜+∞，故E （X ）=μ1，E （Y ）=μ2， D （X ）=σ12，D （Y ）=σ22. 而Cov （X ，Y ）=⨯-=--⎰⎰+∞∞-+∞∞-22121121),()()(ρσπσμμy x y x f y x d dy x y x x y x d d ee-2112222121)1(212)(21)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡------∞+∞-∞+∞---⎰⎰σμρσμρσμμμ令t =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1122211σμρσμρx y ，u =11σμ-x ，则 Cov （X ，Y ）=⎰⎰∞+∞-∞+∞---+-u t u tu t u d d e π2222122122)1(21σρσρσσ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎰⎰∞+∞--∞+∞--t e u u t u d d eπ22221222ρσσ +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰∞+∞--∞+∞--t t u u t u d e d e π222212221ρσσ =.2222121σρσσρσ=⋅πππ于是ρXYρ.这说明二维正态随机变量（X ，Y ）的概率密度中的参数ρ就是X 和Y 的相关系数，从而二维正态随机变量的分布完全可由X ，Y 的各自的数学期望、方差以及它们的相关系数所确定.由上一章讨论可知，若（X ，Y ）服从二维正态分布，那么X 和Y 相互独立的充要条件是ρ=0，即X 与Y 不相关.因此，对于二维正态随机变量（X ，Y ）来说，X 和Y 不相关与X 和Y 相互独立是等价的.第四节矩、协方差矩阵数学期望、方差、协方差是随机变量最常用的数字特征，它们都是特殊的矩（Moment ）.矩是更广泛的数字特征.定义4.4 设X 和Y 是随机变量，若E （X k ），k =1，2，…存在，称它为X 的k 阶原点矩，简称k 阶矩.若E［X-E（X）］k, k=1，2，…存在，称它为X 的k 阶中心矩.若 E （X k Y l）, k ，l =1，2，… 存在，称它为X 和Y 的k +l 阶混合矩.若 E {［X -E （X ）］k ［Y -E （Y ）］l} 存在，称它为X 和Y 的k +l 阶混合中心矩.显然，X 的数学期望E （X ）是X 的一阶原点矩，方差D （X ）是X 的二阶中心矩，协方差Cov （X ，Y ）是X 和Y 的1+1阶混合中心矩.当X 为离散型随机变量，其分布律为P {X =x i }=p i ，则E （X k）=∑∞=1i i kip x,E ［X -E （X ）］k=1[()]kii i x E X p ∞=-∑.当X 为连续型随机变量，其概率密度为f （x ），则E （X k）=⎰+∞∞-x x f x k d )(,E ［X -E （X ）］k =⎰+∞∞--x x f X E x k d )()]([.下面介绍n 维随机变量的协方差矩阵.设n 维随机变量（X 1，X 2，…，X n ）的1+1阶混合中心矩σij =Cov （X i ，X j ）=E {［X i -E （X i ）］［X j -E （X j ）］}, i ，j =1，2，…，n都存在，则称矩阵Σ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n σσσσσσσσσ 212222111211 为n 维随机变量（X 1，X 2，…，X n ）的协方差矩阵. 由于σij =σji （i ，j =1，2，…，n ），因此Σ是一个对称矩阵. 协方差矩阵给出了n 维随机变量的全部方差及协方差，因此在研究n 维随机变量的统计规律时，协方差矩阵是很重要的.利用协方差矩阵还可以引入n 维正态分布的概率密度. 首先用协方差矩阵重写二维正态随机变量（X 1，X 2）的概率密度.f （x 1，x 2）=221121ρσσ-π×.)())((2)()1(21exp 22222212211212112⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+------σμσσμμρσμρx x x x 令X =⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x ，μ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛21μμ，（X 1，X 2）的协方差矩阵为Σ=.2121212122211211⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σσρσσρσσσσσσ 它的行列式｜Σ｜=σ12σ22(1-ρ2),逆阵Σ-1=.121212122⎪⎪⎭⎫⎝⎛--σσρσσρσσ∑ 由于 (X -μ)T Σ-1(X -μ)=.),(12211212121222211⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----μμσσρσσρσσμμx x x x ∑ =,)())((2)(1122222212211212112⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-----σμσσμμρσμρx x x x , 因此(X 1,X 2)的概率密度可写成f (x 1,x 2)=.)()(21exp 211⎭⎬⎫⎩⎨⎧----μ∑μ∑X X T π上式容易推广到n 维的情形.设(X 1,X 2,…,X n )是n 维随机变量,令X =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21, μ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()()(2121n n X E X E X E μμμ，定义n 维正态随机变量(X 1,X 2,…,X n )的概率密度为f (x 1,x 2,…,x n )=111exp ()().2(2T nX X πμμ-⎧⎫--∑-⎨⎬⎩⎭其中Σ是(X 1,X 2,…,X n )的协方差矩阵.n 维正态随机变量具有以下几条重要性质: 1°n 维随机变量（X 1，X 2，…，X n ）服从n 维正态分布的充要条件是X 1，X 2，…，X n 的任意的线性组合l 1X 1+l 2X 2+…+l n X n服从一维正态分布.（其中l 1,l 2,…,l n 不全为零）.2°若（X 1，X 2，…，X n ）服从n 维正态分布,设Y 1,Y 2,…，Y k 是X 1，X 2，…，X n 的线性函数，则（Y 1，Y 2，…，Y k ）服从k 维正态分布.3°设（X 1，X 2，…，X n ）服从n 维正态分布，则X 1，X 2，…，X n 相互独立的充要条件是X 1，X 2，…，X n 两两不相关.小结随机变量的数字特征是由随机变量的分布确定的，能描述随机变量某一个方面的特征的常数.最重要的数字特征是数学期望和方差.数学期望E （X ）描述随机变量X 取值的平均大小，方差D （X ）=E {[X -E (X )]2}描述随机变量X 与它自己的数学期望E （X ）的偏离程度.数学期望和方差虽不能像分布函数、分布律、概率密度一样完整地描述随机变量，但它们能描述随机变量的重要方面或人们最关心方面的特征，它们在应用和理论上都非常重要.要掌握随机变量的函数Y =g (X )的数学期望E （Y ）=E [g (X )]的计算公式（4.3）和（4.4）.这两个公式的意义在于当我们求E （Y ）时，不必先求出Y =g (X )的分布律或概率密度，而只需利用X 的分布律或概率密度就可以了，这样做的好处是明显的.我们常利用公式D （X ）=E （X 2）-[E (X )]2来计算方差D （X ），请注意这里E （X 2）和[E (X )]2的区别.要掌握数学期望和方差的性质，提请读者注意的是：（1）当X 1，X 2独立或X 1，X 2不相关时，才有E （X 1X 2）=E （X 1）·E (X 2)；（2）设c 为常数，则有D （cX ）=c 2D （X ）；（3） D （X 1±X 2）=D （X 1）+D （X 2）±2Cov （X 1，X 2），当X 1，X 2独立或不相关时才有D （X 1+X 2）=D （X 1）+D （X 2）.例如：若X 1，X 2独立，则有D （2X 1-3X 2）=4D （X 1）+9D （X 2）.相关系数ρXY 有时也称为线性相关系数，它是一个可以用来描述随机变量（X ，Y ）的两个分量X ，Y 之间的线性关系紧密程度的数字特征.当|ρXY |较小时X ，Y 的线性相关的程度较差；当ρXY =0时称X ，Y 不相关.不相关是指X ，Y 之间不存在线性关系，X ，Y 不相关，它们还可能存在除线性关系之外的关系（参见第3节例4.18），又由于X ，Y 相互独立是指X ，Y 的一般关系而言的，因此有以下的结论：X ，Y 相互独立则X ，Y 一定不相关；反之，若X ，Y 不相关则X ，Y 不一定相互独立.特别，对于二维正态变量（X ，Y ，），X 和Y 不相关与X 和Y 相互独立是等价的.而二元正态变量的相关系数ρXY 就是参数ρ.于是，用“ρ=0”是否成立来检验X ，Y 是否相互独立是很方便的.重要术语及主题数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质方差标准差方差的性质协方差相关系数相关系数的性质 X ,Y 不相关矩协方差矩阵为了使用方便,我们列出常见分布及其期望和方差，如下表：分布名称分布律或概率密度期望方差参数范围两点分布 P {X =1}=p , P {X =0}=qp pq 0<p <1 q =1-p 二项分布 X ~B （n ,p ） P {X =k }=kn k k nq p -C (k =0,1,2,…,n )npnpq0<p <1 q =1-p n 为自然数泊松分布 X ~P （λ） P {X =k }=λλ-e !k k(k =0,1,2,…)λ λλ>0均匀分布 X ~U [a ,b ]f (x )⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-.,0,,1其他b x a a b2ba + 12)(2a b - b >a习题四1.设随机变量X 的分布律为2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.3.设随机变量的分布律为1234.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？5.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x求E （X ），D （X ）.6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望.（1） U =2X +3Y +1；（2） V =YZ -4X .7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），D （2X -3Y ）.8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<.,0,0,10,其他x y x k试确定常数k ，并求E （XY ）.9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其他x x f Y （y ）=⎩⎨⎧>--.,0,0,)5(其他y y e求E （XY ）.10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e f Y （y ）=⎩⎨⎧≤>-.0,0,0,44y y y e 求（1） E （X +Y ）;（2） E （2X -3Y 2）.11.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,22x x cx xke求（1）系数c ;（2） E （X ）;（3） D （X ）.12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求E （X ）和D （X ）. 13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,414x x xe为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.14.设X 1，X 2，…，X n 是相互独立的随机变量，且有E （X i ）=μ，D （X i ）=σ2，i =1，2，…，n ，记∑==n i i S X n X 12,1，S 2=∑=--n i i X X n 12)(11. （1）验证)(X E =μ，)(X D =n2σ；（2）验证S 2=)(11122∑=--ni i X n X n ；（3）验证E （S 2）=σ2.15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X ,Y )=-1, 计算：Cov （3X -2Y +1，X +4Y -3）.16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤+.,0,1122其他y x ，π试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.18.设二维随机变量（X ，Y ）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov （X ，Y ），ρXY . 19.设（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+.0,20,20),sin(21其他,y x y x ππ求协方差Cov （X ，Y ）和相关系数ρXY .20.已知二维随机变量（X ，Y ）的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4111，试求Z 1=X -2Y 和Z 2=2X -Y 的相关系数.21.对于两个随机变量V ，W ，若E （V 2），E （W 2）存在，证明：［E （VW ）］2≤E （V 2）E （W 2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy-Schwarz ）不等式.22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F （y ）. (2002研考) 23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z 的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. （2003研考） 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布N （μ,1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T （单位：元）与销售零件的内径X 有如下关系T =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤<-.12,5,1210,20,10,1X X X 若若若问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？（1994研考）25.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤.,0,0,2cos 21其他πx x 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于π/3的次数，求Y 2的数学期望.（2002研考）26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间T i (i =1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T =T 1+T 2的概率密度f T (t )，数学期望E （T ）及方差D （T ）. （1997研考） 27.设两个随机变量X ，Y 相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X -Y |的方差. （1998研考） 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p (0<p <1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X ，求E （X ）和D（X）. （2000研考）29.设随机变量X 和Y 的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变量U =X +Y 的方差. （2001研考）30.设随机变量U 在区间[-2,2]上服从均匀分布，随机变量X =⎩⎨⎧->-≤-，U ，U 1,11,1若若 Y =⎩⎨⎧>≤-.1,11,1U ，U 若若试求（1）X 和Y 的联合概率分布；（2）D （X +Y ）. （2002研考）31.设随机变量X 的概率密度为f (x )=x -e 21，（-∞<x <+∞）(1) 求E （X ）及D （X ）；（2）求Cov(X ,|X |),并问X 与|X |是否不相关？（3）问X 与|X |是否相互独立，为什么？（1993研考）32.已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （1，32）和N （0，42），且X 与Y 的相关系数ρXY =-1/2，设Z =23Y X +. （1）求Z 的数学期望E （Z ）和方差D （Z ）；（2）求X 与Z 的相关系数ρXZ ；（3）问X 与Z 是否相互独立，为什么？（1994研考）33.将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求X 和Y 的相关系数ρXY . （2001研考） YX-1 0 1 01 0.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.2035.对于任意两事件A 和B ，0<P (A )<1，0<P (B )<1,则称ρ=())()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P ⋅-为事件A 和B 的相关系数.试证：（1）事件A 和B 独立的充分必要条件是ρ=0；（2） |ρ|≤1. （2003研考）36. 设随机变量X 的概率密度为。

2019年概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征第一节数学期望.ppt

一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把 E[g(X)]计算出来.
三、随机变量函数的数学期望
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的 . 那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？
于是
1 1 (1 n)n n 1 E(X) k n 2 n 2 k 1
n
二、连续型随机变量的数学期望
定义2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，如
果积分
绝对收敛，则称该积分的值
为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即
如果积分
发散，则称X的数学期
望不存在。
二、连续型随机变量的数学期望
随机变量的数字特征
第一节数学期望
在第二章中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 . 常用的数字特征：数学期望，方差.
E (5 X ) 5 E ( X ) 5 0.45 2.25 (元).
设寿命 X 服从指数分布, 概率密度为 1 x 10 , x 0, e f ( x ) 10 x 0. 0, 试求该商店一台家用电器收费 Y 的数学期望.
二、连续型随机变量的数学期望
1 x 10 0.1 1 e 0.0952, dx 解： P{ X 1} e 0 10 2 1 x 10 P{1 X 2} e dx 1 10 e 0.1 e 0.2 0.0861,

概率论与数理统计第一节随机变量的数学期望

0.95.
2. 连续型随机变量函数的数学期望的求法：
(1)设X的概率密度为f ( x)，则Y g( X )的数学期望为：
EY E[g( X )] g( x) f ( x)dx.
(2) 设( X，Y )的概率密度为f ( x，y)，则Z g( X，Y )的数学期望为：
EZ E[g( X ,Y )] g( x, y) f ( x, y)dxdy.
0
1 3
.
(3)
E(X 2)
x2 f ( x)dx
1 2x3dx
0
1 2
x4
1 0
1 2
.
2. 连续型随机变量函数的数学期望的求法：
(1)设X的概率密度为f ( x)，则Y g( X )的数学期望为：
EY E[g( X )] g( x) f ( x)dx.
(2) 设( X，Y )的概率密度为f ( x，y)，则Z g( X，Y )的数学期望为：
0
0
(
xex
)
0
exdx
0
1
e x
0
1
.
(3) 正态分布N(, 2)的数学期望
设X服从正态分布，其概率密度为：
f (x)
1
( x )2
e
2 2
,
x ,
2
则 EX .
证明：E( X )
xf ( x)dx
＋
x
( x )2
e 2 2 dx
2
令t
x
1
(t
)e
t2 2
dt
甲：环数 8
9 10 乙：环数 8
9 10
P 0.4 0.2 0.4
P 0.2 0.5 0.3

2014年自考概率论与数理统计串讲讲义第四章随机变量的数字特征

EX = (−1) × + 1 ×
1 2
［注］： DX =
EX 2 − ( EX ) 2 是重要常用公式
1 + x, − 1 ≤ x < 0 例 5 设随机变量 X 具有概率密度 f ( x) = 1 − x, 0 ≤ x ≤ 1 ，求 DX 0, 其他
解：因 f ( x) 是分段函数，故求 EX , EX 时也要随之分段积分
2
EX = ∫ xf ( x)dx = ∫ x(1 + x)dx + ∫ x(1 − x)dx = 0
−∞ −1
+∞
0
1
0
EX 2 = ∫ x 2 f ( x)dx = ∫ x 2 (1 + x)dx + ∫ x 2 (1 − x)dx =
−∞ −1
0
+∞
0
1
1 6
于是 DX =
E ( X 2 ) − ( EX ) 2 =
=
0
2 3
2．单个随机变量函数的期望
设 X 为随机变量， y =
g ( x) 是普通函数，则 Y = g ( X ) 是随机变量，且
∑ g ( xi ) p ( X = xi ), 当X为离散型 * Eg ( X ) = i+∞ ∫ g ( x) f ( x)dx, 当X为连续型，且X具有密度f ( x) −∞
例6
设 ( X , Y) 分布律为
，Z =
g ( X , Y) = XY
则 E ( XY) = (0 × 0) P00 + (0 × 1) P01 + (1 × 0) P10 + (1 × 1) P11 = (1 × 1) P11 = 1 ×

概率论与数理统计第四章

)
(
)
(
)
,
(
Y
D
X
Dபைடு நூலகம்
Y
X
Cov
xy
=
r
=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0
01
得到[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2). →(8)式得到证明.
02
设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么
03
其判别式
由(9)式知, |ρ xy|=1 等价于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tW-V)2] =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[X-E(X)]=E(x)-E(X) =0, E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0 所以 D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0 (11) 由于数学期望为0,方差也为0,即(11)式成立的充分必要条件是 P{tW-V=0}=1
随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量 x及它所取的数和相应频率的乘积和.
=
(1)
)
2
3
(
)
(
-
=
ò
µ
µ
-
dx
x
x
E
j
x
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
例2 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量的数学期望
泊松分布的数学期望和方差都等于参数λ.
其他
02
f(x)=
01
（4-6）
03
（4）指数分布

概率论及数理统计：第四章随机变量的数字特征

E(X k) E(| X |k )
— X 的 k 阶原点矩 — X 的 k 阶绝对原点矩
E(( X E( X ))k ) — X 的 k 阶中心矩
E(( X E( X ))2 ) D( X )
— X 的方差
E( X kY l )
Ch4-12
— X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩
E ( X E( X ))k (Y E(Y ))l
B(n,p)
P()
几何分布
P( X 1) p
P( X 0) 1 p
p
P(X
k)
C
k n
pk (1
p)nk
np
k 0,1, 2, , n
ke
P(X k)
k!
k 0,1, 2,
P( X k ) p(1 p)k1
1
0 p 1 k 0,1, 2,
p
分布区间(a,b)上的均匀分布
Ch4-27
例将 4 个球随机地放入 4 个盒子中，每盒容纳的球数无限，求空着的盒子数的数学期望.
解一设 X 为空着的盒子数，则 X 的概率分布为
X0 1
P
4! C41C
1 3
P42
44
44
2
3
C
2 4
(C
2 4
C21C43
)
C41
44
44
E( X ) 81 64
解二再引入 X i ,i = 1,2,3,4
注：逆命题不成立，即 E (X Y ) = E (X )E (Y ) X，Y 不一定相互独立，反例有兴趣见后续
若存在常数 a 使 P(X a) = 1, 则 E (X ) a ；

数学期望

《概率论与数理统计》第四章随机变量的数字特征数学期望：1.随机变量数学期望的定义—连续型E(ξ)=⎰-∞+∞xp(x)dx E(g(ξ))=⎰-∞+∞g(x)p(x)dx 2.二维随机变量(X,Y)的数学期望：连续型E(X)=⎰-∞+∞xf X (x)dx=⎰-∞+∞⎰-∞+∞xf(x,y)dxdy E(Y)=⎰-∞+∞yf Y (y)dy=⎰-∞+∞⎰-∞+∞yf(x,y)dxdy 3.二维随机变量X 的函数Y=g(X)的数学期望：E[g(X,Y)]=⎰-∞+∞⎰-∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdy 4.数学期望的性质E(c)=c ,E(a ξ)=a ξ,E(ξ±η)=E ξ±E η若ξ与η相互独立，则E(ξη)=E ξE η方差：1.随机变量方差的定义−−-D(X)=E[X-E(X)]2=EX 2–(EX)2D(X)=⎰-∞+∞[x-E(X)]2f(x)dx 2.方差性质：D(c)=0,D(a ξ)=a 2ξ,D(a ξ+b)=a 2D ξ,D(ξ±η)=D ξ+D η±2cov(ξ,η)若ξ与η相互独立，则D(ξ±η)=D ξ+D η协方差：1.ξ与η的协方差cov(ξ,η)=E[(ξ-E ξ)(η-E η)](或为σξη)2.协方差的性质：cov(ξ,ξ)=D ξcov(ξ,η)=cov(η,ξ),cov(ξ,c)=0cov(a ξ,b η)=ab cov(ξ,η),cov(ξ,η±ζ)=cov(ξ,η)±cov(ξ,ζ)3.协方差矩阵：设n 维随机变量X 1,X 2,…,X n ,记c ij =cov(X i ,X j )，则称阶矩阵C=(c ij )n ⨯n 为X 1,X 2,…,X n 的协方差矩阵例1：设ξ的密度函数p(x)=2x ∈[1，3]其它求：E ξ[解]∵1=⎰-∞+∞p(x)dx ∴c=3/2;E ξ=⎰-∞+∞xp(x)dx=⎰13x 32x 2dx=32lnx=32ln3.例2设x 1，x 2是随机变量ξ的两个任意取值，证明：E[(ξ-x 1+x 22)2]≥D ξ。

概率论与数理统计第四版课后学习资料第四章

(4.1)
i,j 1, 2, 3,
则有E(Z) E g(X, Y) g(x i ,y j )p ij , (4.2) (假设级数绝对收敛)
例. 设随机变量(X, Y)的概率密度为 3 , 1 y x.x 1 x 3 2 f(x,y) 2x y 0, 其它, 1 试求 : E(Y),E( ) XY
e
1 x
dx
1 t x
2

0
t 2 e t dt 22 ,
D(X) E(X2 ) -[ E(X)]2 2 .
30 正态分布: 设X~N(, 2 ), 则
解 : E(X)

2

t2 2
1

xe
t2 2
-
(x )2 22
例. 二项分布的均值的计算: 设X~b(n,p),引入r.v.Xi(i=1, 2, …, n), 它们是相互独立的且都服从0--1分布: P{Xi=1}=p, P{Xi=0}=q, X表示n次独立重复试验中A发生的次数,Xi表示第i次试验的结果:Xi=1表示A发生, Xi=0表示A不发生, 所以
解: 计算X1的均值, 由定义有 E(X1) =00+1 0.2+2 0.8=1.8 E(X2)=00.6+1 0.3+2 0.1=0.5
显然,乙的成绩比甲的差.
例2. 有2个相互独立工作的电子装置, 它们的寿命Xk (k 1, 2 )服从同一指数分布, 其概率密度为:
x 1 e , x 0, f(x) θ 0, 0, x 0,
i
n
故 E(X) np D(X) npq.

大学课件概率论与数理统计第4章随机变量的数字特征

(3) Ef (X) g(X) E[f (X)] E[g(X)]
特别地 E[X Y] E[X] E[Y]
E[aX bY c] aE[X] bE[Y] c
(4) 若X, Y相互独立，则E[XY] E[X] E[Y]
(5) 若a X b,则E[X]存在，且a E[X] b
注：这些性质可以推广到多个随机变量上。
E[X] (1) 125 75 2 15 3 1 17 216 216 216 216 216
由于平均赢利小于0，故这一游戏规则对下注者是不利的。
离散型随机变量函数的数学期望
已知P( X xk ) pk，当 g( xk ) pk 时，
k
g(X)的数学期望为
E[g(X)] g(xk )P(X xk )
E[ X ] 1 0.910 11（1 - 0.910） 7.513 10
结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数
二、连续型随机变量的数学期望
设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在
数轴上取很密的分点x0 <x1<x2< …,则X落在小区
间[xi, xi+1)的概率是
阴影面积近似为
9 P(X 9) 10 P(X 10)
由于打出环数的概率不同，所以不是1到10的算术平均.
1.离散型随机变量的数学期望
设随机变量X的分布律为 P( X xk ) pk ,
若当 xk pk 时，则称 xk pk 为随机
k
k
变量X的数学期望或均值，记作 E[ X ] ，即有
E[ X ] xk pk xk P(X xk )
均匀分布的期望
例7 设X服从均匀分布，其分布密度为
x
b

概率论与数理统计第4章

dx 令t
t2 2
x

，得
E( X )
1 2

( t )e
dt
1-91
31
1 E( X ) x e 2
( x )2 2 2
dx 令t
t2 2
x

，得
E( X )
1 2

( t )e
t2 2
得
从而
的概率密度为:
1-91
21
故所求数学期望分别为
1-91
22
三.数学期望的性质
性质1: 设 C 为常数，则性质2: 设 C 为常数，X 为随机变量，则有性质3: 设 X , Y 为任意两个随机变量, 则有为 n 个随机变量，
推论1 设
为常数，则
1-91
23
性质4 设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有
证: 因为 X 和 Y 相互独立，所以于是
推广:
1-91 24
例7. 将 n只球随机放入M 只盒子中去，设每只球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的均值解引入随机变量
显然有
1-91
25
例7. 将 n只球随机放入M 只盒子中去，设每只球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的均值
1-91
18
例5. 设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车, 乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求乘客到达车站等车时间的数学期望。
解: 设T 为乘客到达车站的时刻，则
其概率密度为
设Y 为乘客等车时间，则
1-91
19
已知
1-91

概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征精品教案

第四章随机变量的数字特征一、内容提要（一）随机变量的数学期望1.离散型随机变量的数学期望设离散型随机变量X的分布列为X x1 x2x3……P P1 P2P3…P k…kkkpx绝对收敛，则称级数kkkpx为随机变量X的数学期望（或均值），简称期望，记作E（X），即∑=kk kp xXE)(（4.1）2．连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量X的概率密度为p(x)，若积分⎰+∞∞-dxxxp)(绝对收敛，则称积分⎰+∞∞-dxxxp)(为随机变量X的数学期望（或均值），简称期望，记作E（X），即⎰+∞∞-=dxxxpXE)()(（4.2）由数学期望的定义形式，它是随机变量X的所有可能取值与取相应值的概率乘积之和，不难理12解，期望所反映的是随机变量X 取值的概率“平均”。

3.期望的性质（1）C C C E ,)(=——常数（2）)()(X CE CX E =（3）)()()(Y E X E Y X E +=+（4）若随机变量X ，Y 相互独立，则有)()()(Y E X E XY E ⋅=4.随机变量函数的期望设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 x 3 … …P p 1 p 2 p 3 … p k …[]∑⋅==Kk k p x f X f E Y E )()()( （4.3）这里要求上述级数绝对收敛。

若连续型随机变量X 的概率密度为p (x )，则随机变量Y =f (X )的期望为3[]⎰+∞∞-==dx x p x f X f E Y E )()()()( （4.4）这里当然也是以上述积分绝对收敛为条件的。

（二）随机变量的方差1. 方差的定义设随机变量X 的期望为E （X ），若[]2)(X E X E -存在，则称量[]2)(X E X E -为随机变量X的方差，记作D （X ），即 []2)()(X E X E X D -= （4.5）而)(X D 称为X 的均方差（或标准差）通常用)(X σ表之。

(完整word版)概率论与数理统计教案第四章(word文档良心出品)

作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解随机变量方差的定义及方差的概率含义
熟悉方差的性质
掌握随机变量的方差计算公式
熟练常用随机变量的方差
教学基本内容
一、基本概念:
1.方差和标准差的定义
设是一个随机变量,如果存在,则称
为随机变量的方差。称方差的算术平方根
为随机变量的标准差。
二、方差的性质
授课序号02
教学基本指标
教学课题
第四章第二节方差和标准差
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
方差的定义及求解,方差的性质
教学难点
方差的性质及其与期望性质的比较
参考教材
高教版、浙大版《概率论与梳理统计》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理方法问题》
2.变异系数
随机变量的数学期望, 方差存在, 那么称
为随机变量的变异系数。
3. 连续型随机变量的分位数和中位数
设连续型随机变量的分布函数为, 密度函数为,, 则称为的分布的分位数。特别地, 当时, 称为中位数。
4、众数
当为离散型随机变量时, 假定的分布律为。如果存在实数, 使得。那么, 称为（或所服从的分布）的众数。
90
100
乙班分数
40
60
70
80
90
100
人数
2
9
18
9
2
人数
3
1
8
13
8
7
频率
频率
甲、乙两班概率统计的平均成绩是一样的,现选出一个班级参加比赛,应选哪个班级？

[考研数学]概率论和数理统计第四章随机变量的数字特征课件全面版

为随机变量X的数学期望，简称期望，记为E(X)，即
E(X) xk pk
k1
设连续型随 X具机有变概量率 f(x)，密度
若xf(x)d绝 x 对收 ,则敛称积 x分 f(x)d为 xX的
数
学
期
望E(， X)，记即 E为 (X)
xf(x)dx
上一页下一页返回
E(X)是一个实数，形式上是X的可能值的加权平均数，实质上它体现了X取值的真正平均。又称 E(X)为X的平均值，简称均值。它完全由X的分布所决定，又称为分布的均值.
上一页下一页返回
例1: 某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件产品有60%的把握按定价售出，20%的把握打折售出及20%的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品的利润分别为5元，2元和-4元。问厂家对每件产品可期望获利多少？
解: 设X表示一件产品的利润(单位：元),X的分布
率为
X 5 2 -4
E (X ) k e ee 2 -4
k ! (k 1 )! 随机变量函数的数学期k 望：0
k 1
k 0
设n维随机变量(X1,X2,···Xn) 的1+1阶混合中心矩
6第元四，E 章还(是随X 有机利变2可量)图的的数。字E 特征[X(X1)X]E[X(X1)]E(X)
例7：设圆的直径X～U(a,b)，求圆的面积的期望。
P X k 2 -4
第四节矩、协方差矩阵随机变量数学期望的性质：
k !
k0 ,1 ,2 , ,0
若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为
设n维随机变量(X1,X2,·· ·Xn) 的1+1阶k 混合中心矩

2022概率论与数理统计4-1

2022-11-5
lfb
19
第4.1节：数学期望
例：
已知 X ,Y 的联合密度：
f
x,
y
பைடு நூலகம்
12
y
2
,
0 y x 1
0, else
求E X ,E Y , E XY , E X 2 Y 2 的期望.
解： E X
xf x, ydxdy
1
dx
x x 12 y2dy 4
0
0
5
xf x dx
1 x kxadx
0
1 kxa1dx
0
a
k
2
0.75
f x dx 1
f x dx
1 kxadx
0
a
k
1
1
a a
k k
2 1
0.75 1
a k
2 3
2022-11-5
lfb
23
第4.1节：数学期望
8：已知X的概率密度为：
f
x
1
1
x
x0dx
0
1
2
1 x xdx 2 x 2 xdx
0
1
121 33
lfb
24
0
0
15
2022-11-5
lfb
20
第4.1节：数学期望 u 期望的性质
(1) E C C (2) E CX CE X (3) E X Y E X E Y (4) X ,Y相互独立 E XY E X E Y 注：不能由E XY E X E Y X ,Y相互独立
第4章 ——随机变量的数字特征
u数学期望（*****） u方差（*****） u协方差与相关系数（****） u大数定律与中心极限定理（****）

概率论与数理统计第四章数学期望

定义1 设X是离散型随机变量，它的分布律是:
如果 | xk | pk 有限,定义X的数学期望
k 1

P(X=xk)=pk , k=1,2,…

E ( X ) xk pk
k 1
也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.
分赌本问题 A 期望所得的赌金即为 X 的数学期望
因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为
击中环数概率击中环数概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解设甲、乙射手射中的环数分别为 X 1 , X 2 . 甲射手
击中环数概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环),
200
即为 X 的可能值与其概率之积的累加.
引例2 射击问题设某射击手在同样的条件下, 瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下命中环数 k 0 1 2 3
命中次数 nk
2 13 15
4 20
5
10
30
2 13 15 nk 10 20 30 频率 90 90 90 n 90 90 90 试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
1 3 200 0 4 4
50(元).
若设随机变量 X 为:在 A 胜2局 B 胜1局的前提下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
0 3 1 其概率分别为: 4 4 因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 3 1 200 0 150(元). 等于 4 4

概率论与数理统计（理工类_第四版）吴赣昌主编课后习题答案第四章.pdf

第四章随机变量的数字特征4.1 数学期望习题1设随机变量X服从参数为p的0-1分布，求E(X).解答：依题意，X的分布律为X01P1-p p由E(X)=∑i=1∞xipi,有E(X)=0⋅(1-p)+1⋅p=p.习题2袋中有n张卡片，记有号码1,2,…,n.现从中有放回抽出k张卡片来，求号码之和X的期望.分析：.解答：设Xi表示第i次取得的号码，则X=∑i=1kXi,且P{Xi=m}=1n,其中m=1,2,⋯,n,i=1,2,⋯,k,故E(Xi)=1n(1+2+⋯+n)=n+12,i=1,2,⋯,k,从而E(X)=∑i=1kE(Xi)=k(n+1)2.习题3某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次. 每次随机地抽取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备. 以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的).解答：X的可能取值为0,1,2,3,4,且知X∼b(4,p),其中p=P{调整设备}=1-C101×0.1×0.99-0.910≈0.2639,所以E(X)=4×p=4×0.2639=1.0556.习题4据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0<p<1,p为已知),在5年之内非自杀死亡的概率为1-p,保险公司开办5年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿保险费a元(a已知),若5年内非自杀死亡，公司赔偿b元(b>a),应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？解答：令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为+32×0.1+22×0.0+12×0.1+42×0.0+32×0.3+22×0.1=5.也可以利用期望的性质求E(Z), 得E[(X-Y)2]=E(X2-2XY+Y2)=E(X2)-2E(XY)+E(Y2)=(12×0.4+22×0.2+32×0.4)-2[-1×0.2 +1×0.1+(-2)×0.1+2×0.1+(-3)×0.0+3×0.1] +(-1)2×0.3+12×0.3 =5.习题12设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12y2,0≤y≤x≤10,其它,求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2). 解答：如右图所示.E(X)=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xx ⋅12y2dy=45,E(Y)=∫-∞+∞∫-∞+∞yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xy ⋅12y2dy=35,E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xxy ⋅12y2dy=12,E(X2+Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞(x2+y2)f(x,y)dxdy=∫01dx∫0x(x2+y2)⋅12y2dy=23+615=1615. 习题13设X 和Y 相互独立，概率密度分别为ϕ1(x)={2x,0≤x≤10,其它,ϕ2(y)={e-(y-5),y>50,其它,求E(XY). 解答：解法一由独立性.E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x ⋅2xdx∫0+∞ye -(y-5)dy=23×6=4.解法二令z=y-5, 则E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x ⋅2xdx ⋅E(z+5)=23×(1+5)=4.4.2 方差习题1设随机变量X 服从泊松分布，且P(X=1)=P(X=2), 求E(X),D(X). 解答：由题设知，X 的分布律为P{X=k}=λkk!e -λ(λ>0)λ=0(舍去),λ=2.所以E(X)=2,D(X)=2.习题2下列命题中错误的是().(A)若X∼p(λ),则E(X)=D(X)=λ;(B)若X服从参数为λ的指数分布，则E(X)=D(X)=1λ; Array (C)若X∼b(1,θ),则E(X)=θ,D(X)=θ(1-θ);(D)若X服从区间[a,b]上的均匀分布，则E(X2)=a2+ab+b23.解答：应选(B).E(X)=1λ,D(X)=1λ2.习题3设X1,X2,⋯,Xn是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),则ξ¯=1n∑i=1nξi服从的分布是¯.解答：由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(X¯)=μ,D(X¯)=σ2n.习题4若Xi∼N(μi,σi2)(i=1,2,⋯,n),且X1,X2,⋯,Xn相互独立，则Y=∑i=1n(aiXi+bi)服从的分布是 .解答：应填N(∑i=1n(aiμi+bi),∑i=1nai2σi2).由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(Y)=∑i=1n(aiμi+bi),D(Y)=∑i=1nai2σi2.习题5设随机变量X服从泊松分布，且3P{X=1}+2P{X=2}=4P{X=0},求X的期望与方差.解答：X的分布律为P{X=k}=λkk!e-λ,k=0,1,2,⋯,于是由已知条件得3×λ11!e-λ+2×λ22!e-λ=4×λ00!e-λ,\becauseD(XY)=E(XY)2-E2(XY)=E(X2Y2)-E2(X)2 (Y),又\becauseE(X2Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞x2y2f(x,y)dxdy=∫-∞+∞x2fX(x)dx∫-∞+∞y2fY(y)dy=E(X2)E(Y2),∴D(XY)=E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y)=[D(X)+E2(X)][D(Y)+E2(Y)]-E2(X)E2(Y)=D(X)D(Y)+D(X)E2(Y)+D(Y)E2(X)=2×3+2×32+3×12=27.习题9设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4,又设Y=2X1-X2+3X3-12X4,求E(Y),D(Y).解答：E(Y)=E(2X1-X2+3X3-12X4)=2E(X1)-E(X2)+3E(X 3)-12E(X4)=2×1-2+3×3-12×4=7,D(Y)=4D(X1)+D(X2)+9D(X3)+14D(X4)=4×4+3+9×2+14×1=37.25.习题105家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量(以kg计)分别为X1,X2,X3,X4,X5.已知X1∼N(200,225),X2∼N(240,240),X3∼N(180,225),X4∼N(260,265),X5∼N(320,270),X1,X2,X3,X4,X5相互独立.(1)求5家商店两周的总销售量的均值和方差；(2)商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存该产品多少千克？解答：(1)设总销售量为X,由题设条件知X=X1+X2+X3+X4+X5,于是E(X)=∑i=15E(Xi)=200+240+180+260+320=1200, D(X)=∑i=15D(X i)=225+240+225+265+270=1225 .(2)设商店的仓库应至少储存y千克该产品，为使P{X≤y}>0.99,求y.由(1)易知，X∼N(1200,1225),P{X≤y}=P{X-12001225≤y-12001225=Φ(y-12001225)>0.99.查标准正态分布表得y-12001225=2.33,y=2.33×1225+1200≈1282(kg).习题11设随机变量X1,X2,⋯,Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的数学期望和方差.解答：Xi(i=1,2,⋯,n)的分布函数为F(x)={1-e-x,x>00,其它,Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的分布函数为FZ(z)=1-[1-F(z)]n={1-e-nz,z>00,其它,于是E(Z)=∫0∞zne-nzdz=-ze-nz∣0∞+e-nzdz=1n,而E(Z2)=∫0∞z2ne-nzdz=2n2,于是D(Z)=E(Z2)-(E(Z))2=1n2.4.3 协方差与相关系数习题1设(X,Y)服从二维正态分布，则下列条件中不是X,Y相互独立的充分必要条件是().(A)X,Y不相关；(B)E(XY)=E(X)E(Y);(C)cov(X,Y)=0;(D)E(X)=E(Y)=0.解答：应选（D）。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

三、随机变量函数的数学期望
E (Y
)
E[g(

X
)]
g( xk ) pk ,
k 1
X离散型
g(x)
f
( x)dx,
X连续型
该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.
三、随机变量函数的数学期望
故甲射手的技术比较好.
一、离散型随机变量的数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
练习1 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望.
随机变量的数字特征
第一节数学期望
在第二章中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 .
E(X) x f (x)dx
如果积分 x f (x)dx 发散，则称X的数学期
望不存在。
二、连续型随机变量的数学期望
二、连续型随机变量的数学期望
二、连续型随机变量的数学期望
二、连续型随机变量的数学期望
【例8】商店的销售策略
某商店对某种家用电器的销售采用先使用后
付款的方式 ,记使用寿命为 X (以年计 ), 规定 : X 1,一台付款 1500元;1 X 2,一台付款 2000元; 2 X 3,一台付款 2500元; X 3,一台付款 3000元.
二、连续型随机变量的数学期望
注意：并非所有随机变量的数学期望都存在例如
则
三、随机变量函数的数学期望
问题的提出：
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X 的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？
一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把 E[g(X)]计算出来.
xk)=pk
;
(k 1,2, ),若 g( xk ) pk绝对收敛，则有
k 1
E(Y ) E[g( X )] g(xk ) pk
k 1
(2) 当X为连续型时,它的密度函数为f(x). 若
g( x) f ( x)dx绝对收敛，则有
E(Y ) E[g( X )] g( x) f ( x)dx
一、离散型随机变量的数学期望
【例1】甲、乙两个射手，射击的分布律分别为
甲射手
击中环数 8 9 10
概率
0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 8 9 10
概率
0.2 0.5 0.3
试问哪个射手技术较好?
一、离散型随机变量的数学期望
解：设甲、乙射手击中的环数分别为 X1, X2 . E( X1) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E( X2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
在。
k 1
一、离散型随机变量的数学期望
关于定义的两点说明
(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称均值.
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
三、随机变量函数的数学期望
三、随机变量函数的数学期望
三、随机变量函数的数学期望
三、随机变量函数的数学期望
练习2 设风速V在(0,a)上服从均匀分布,即具有概率
密度
f (v) a1 0
0va 其它
又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数 :W kV 2
解: 设试开次数为X,
P(X=k)= 1/n , k=1,2,…,n
于是
E(X) n k 1
k1 n
1 (1 n)n n2
n1 2
二、连续型随机变量的数学期望
定义2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，如
果积分 xf (x)dx 绝对收敛，则称该积分的值
为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即
三、随机变量函数的数学期望
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的 .
那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？
三、随机变量函数的数学期望
定理1 设Y是随机变量X的函数:Y=g(X) (g是连续函数)
(1)
当X为离散型时,它的分布率为P(X=
二、连续型随机变量的数学期望
P{ X 3} 1 ex 10 d x 3 10 e0.3 0.7408.
因而一台收费 Y 的分布律为
Y 1500 2000 2500
pk 0.0952 0.0861 0.0779
3000 0.7408
得 E(Y ) 2732.15,
即平均一台家用电器收费 2732.15 元 .
常用的数字特征：数学期望，方差.
一、离散型随机变量的数学期望
定义1 设X是离散型随机变量，它的分布率是:
P{X=xk}=pk , k=1,2,…
若级数 xk pk 绝对收敛，则称级数 xk pk
k 1
k1
的和为随机变量X的数学期望，记为 E( X ),
即
E ( X ) xk pk
k 1
若级数发散 xk pk ，则称X的数学期望不存
设寿命 X 服从指数分布 ,概率密度为
f
(x)
1 e x 10
10 ,
0,
x 0, x 0.
试求该商店一台家用电器收费 Y 的数学期望 .
二、连续型随机变量的数学期望
解： P{ X 1} 1 1 e x 10 d x 1 e0.1 0.0952, 0 10 P{1 X 2} 2 1 ex 10 d x 1 10 e0.1 e0.2 0.0861, P{2 X 3} 3 1 ex 10 d x 2 10 e0.2 e0.3 0.0779,