概率论与数理统计_第四章_随机变量的数字特征_第一节_数学期望

三、随机变量函数的数学期望
E (Y
)
E[g(

X
)]
g( xk ) pk ,
k 1
X离散型
g(x)
f
( x)dx,
X连续型
该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必 知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.
三、随机变量函数的数学期望
故甲射手的技术比较好.
一、离散型随机变量的数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
练习1 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把 能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某 一把去开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门 时试开次数的数学期望.
随机变量的数字特征
第一节 数学期望
在第二章中，我们讨论了随机变量及其分布， 如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概 率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确 定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随 机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特 征就够了.
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字 特征是重要的 .
E(X) x f (x)dx
如果积分 x f (x)dx 发散，则称X的数学期
望不存在。
二、连续型随机变量的数学期望
二、连续型随机变量的数学期望
二、连续型随机变量的数学期望
二、连续型随机变量的数学期望
【例8】 商店的销售策略
某商店对某种家用电器 的销售采用先使用后
付款的方式 ,记使用寿命为 X (以年计 ), 规定 : X 1,一台付款 1500元;1 X 2,一台付款 2000元; 2 X 3,一台付款 2500元; X 3,一台付款 3000元.
二、连续型随机变量的数学期望
注意：并非所有随机变量的数学期望都存在 例如
则
三、随机变量函数的数学期望
问题的提出：
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X 的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？
一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概 率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦 我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把 E[g(X)]计算出来.
xk)=pk
;
(k 1,2, ),若 g( xk ) pk绝对收敛，则有
k 1
E(Y ) E[g( X )] g(xk ) pk
k 1
(2) 当X为连续型时,它的密度函数为f(x). 若
g( x) f ( x)dx绝对收敛，则有
E(Y ) E[g( X )] g( x) f ( x)dx
一、离散型随机变量的数学期望
【例1】甲、乙两个射手，射击的分布律分别为
甲射手
击中环数 8 9 10
概率
0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 8 9 10
概率
0.2 0.5 0.3
试问哪个射手技术较好?
一、离散型随机变量的数学期望
解：设甲、乙射手击中的环数分别为 X1, X2 . E( X1) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E( X2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
在。
k 1
一、离散型随机变量的数学期望
关于定义的两点说明
(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权 平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随 机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称均值.
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随 级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要求是 因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的平均 值,它不应随可能值的排列次序而改变.
三、随机变量函数的数学期望
三、随机变量函数的数学期望
三、随机变量函数的数学期望
三、随机变量函数的数学期望
练习2 设风速V在(0,a)上服从均匀分布,即具有概率
密度
f (v) a1 0
0va 其它
又设飞机机翼受到的正 压力W是V的函数 :W kV 2
解: 设试开次数为X,
P(X=k)= 1/n , k=1,2,…,n
于是
E(X) n k 1
k1 n
1 (1 n)n n2
n1 2
二、连续型随机变量的数学期望
定义2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，如
果积分 xf (x)dx 绝对收敛，则称该积分的值
为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即
三、随机变量函数的数学期望
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的 分布，一般是比较复杂的 .
那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的 分布求得E[g(X)]呢？
三、随机变量函数的数学期望
定理1 设Y是随机变量X的函数:Y=g(X) (g是连续函数)
(1)
当X为离散型时,它的分布率为P(X=
二、连续型随机变量的数学期望
P{ X 3} 1 ex 10 d x 3 10 e0.3 0.7408.
因而一台收费 Y 的分布律为
Y 1500 2000 2500
pk 0.0952 0.0861 0.0779
3000 0.7408
得 E(Y ) 2732.15,
即平均一台家用电器收 费 2732.15 元 .
常用的数字特征：数学期望，方差.
一、离散型随机变量的数学期望
定义1 设X是离散型随机变量，它的分布率是:
P{X=xk}=pk , k=1,2,…
若级数 xk pk 绝对收敛，则称级数 xk pk
k 1
k1
的和为随机变量X的数学期望，记为 E( X ),
即
E ( X ) xk pk
k 1
若级数发散 xk pk ，则称X的数学期望不存
设寿命 X 服从指数分布 ,概率密度为
f
(x)
1 e x 10
10 ,
0,
x 0, x 0.
试求该商店一台家用电 器收费 Y 的数学期望 .
二、连续型随机变量的数学期望
解： P{ X 1} 1 1 e x 10 d x 1 e0.1 0.0952, 0 10 P{1 X 2} 2 1 ex 10 d x 1 10 e0.1 e0.2 0.0861, P{2 X 3} 3 1 ex 10 d x 2 10 e0.2 e0.3 0.0779,