《概率统计教学资料》第3章随机变量的数字特征5节
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概率论随机变量的特征
另: 随机变量函数 Y X 2的概率分布为：
Y X2 0
149
P(Y yi ) 0.25 0.40 0.25 0.10
EY 00.25 10.40 40.25 90.10 2.30
10
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
随机变量的数字特 征
EX Y
x
y
f
x,
y dxdy
xf x, ydxdy yf x, ydxdy =EX+ EY
推论： E n Xi n EXi .
i1 i1
16
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
随机变量的数字特
征
定理 若X、Y 独立，则有： EXY EX EY
频率
12 5 40 40 40
66 40 40
该班的平均成绩为：
85
85 40 40
421
421 40 40 40
351 50 2 68 5 72 6 75 6 80 8 85 5 90 4 96 2 1001
35
1
50
2
68
5
72
6
75
6
40
80
8
85
5
90
4
96
X1
1234
pX1 xi 0.4 0.3 0.2 0.1
EX1 1 0.4 2 0.3 3 0.2 4 0.1 2
5
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
（2）设随机变量 X 2 是取球次数，则
Y X2 0
149
P(Y yi ) 0.25 0.40 0.25 0.10
EY 00.25 10.40 40.25 90.10 2.30
10
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
随机变量的数字特 征
EX Y
x
y
f
x,
y dxdy
xf x, ydxdy yf x, ydxdy =EX+ EY
推论： E n Xi n EXi .
i1 i1
16
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
随机变量的数字特
征
定理 若X、Y 独立，则有： EXY EX EY
频率
12 5 40 40 40
66 40 40
该班的平均成绩为：
85
85 40 40
421
421 40 40 40
351 50 2 68 5 72 6 75 6 80 8 85 5 90 4 96 2 1001
35
1
50
2
68
5
72
6
75
6
40
80
8
85
5
90
4
96
X1
1234
pX1 xi 0.4 0.3 0.2 0.1
EX1 1 0.4 2 0.3 3 0.2 4 0.1 2
5
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
（2）设随机变量 X 2 是取球次数，则
概率统计教学大纲(2013版)
山西财经大学《概率论与数理统计》教学大纲山西财经大学应用数学系概率论与数理统计教研室2013/9/2目录一、前言 (1)1．课程性质 (1)2．教学目的 (1)3．使用对象 (1)4．基本教学要求 (1)5．要求先修课程 (2)二、教学内容 (2)第1章概率论的基本概念 (3)第2章随机变量及其分布 (5)第3章二维随机变量及其分量 (8)第4章随机变量的数字特征 (11)第5章大数定律与中心极限定理 (15)第6章样本与与抽样分布 (17)第7章参数估计 (19)第8章假设检验 (20)三、课程教材及教学参考资料 (22)四、学时分配建议表 (22)山西财经大学《概率论与数理统计》教学大纲英文名称：probability theory & mathematical statistics课程代码：一、前言为适应中国特色市场经济建设和当今科学技术发展对培养高素质宽口径的新型复合型人才的需要，规范我校《概率论与数理统计》课程的教学工作，特制定本大纲。
1．课程的性质《概率论与数理统计》是研究随机现象数量规律的数学分支，是我校经济学、管理学、理学、工学、文学本科各专业（政治经济学、统计学、数学与应用数学三个专业除外）学生必修的一门重要的基础课，是培养学生认识数学、理解数学以及运用数学知识解决实际问题（如经济问题）的基本环节之一。
2．教学目的（1）使学生掌握概率论与数理统计的基本概念、基本理论、基本方法和简单应用。
（2）学习处理随机现象的基本思想和基本方法，培养学生用这些思想和方法解决实际问题（如经济问题）的能力。
（3）为相关的后续课程提供必要的基础。
3．使用对象本大纲使用对象为我校经济学、管理学、理学、工学、文学本科各专业（政治经济学、统计学、数学与应用数学三个专业除外）的全日制本科生。
4．基本教学要求（1）对基础的要求：学习本课程之前，要求学生具备排列组合、一元函数微积分学、多元函数微积分学、无穷级数等方面的基础知识。
《概率统计教学资料》第3章随机变量的数字特征1节-45页PPT精品文档
5
例1. 设X服从Poisson分布(), 求数学期望E(X).
解：X的概率函数为
P(Xk)ke,k0,1,2, ;
k!
所以X的数学期望
E( X ) k k e k0 k!
k k e
k1 k!
( λk eλ ) k0 k!
故 变再利量E 常用X见期拆 的(望E E 成基( ( X 性X X 有本1 1 质) 限方 X 求多E 法2 ) ( 得 个X ： 2 X比) 可的 较 以X 期2 简将 望) E 单5 一.(X 的个2 随比)5 机较2变(复5 1 量杂(2 2的X4 5 )1i0 )随之8 机和.3, 8
(1)设n有 个x数 1， x2， ， xn,那么 n个 这数的算术
xx1x2n xni n1xin 1
(2)这 n个数 ,， 有不 相妨 n 同 i个 设 取 xi其 ， i值 1中 ,,k 为 , 有
其均值n1应ik1为 nixi
k i 1
9
例3. 某种化学物的PH(记为X)是一个随机变量，它的概率
密度是
25(x3.8), 3.8x4 f (x) 25(x4.2),4x4.2
0, 其他
求此化合物的PH的数学期望E(X).
解： E(X)
xf(x)dx
4
4 .2
x 2(x 5 3)d 8 xx ( 2)x 5 ( 4 .2 )dx
7.5a235a0 52.5故0当 a =23. 33 时, EY 最大
2019/9/28
15
(二) 二维随机变量函数的数学期望
对于二维随机变量而言, 其函数的数学期望 计算方法可以类似得到.
第3章 随机变量的数字特征
3.2 连续型随机变量的数学期望
1. 连续型随机变量数学期望的概念
定义 设连续型随机变量X的概率密度为 p(x), 如果积分
|
x
|
p( x)dx存在, 则称积分
xp(x)dx 为随机变量X的
数学期望(或均值), 简称期望.
E(X ) xp(x)dx.
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3.2 连续型随机变量的数学期望
E(mX ) mE(X ) ma mb(1 p).
本章 上页 下页
3.4 方差及其简单性质
1. 方差的概念 2. 常用分布的方差 3. 方差的简单性质 *4. 矩 (略)
本章 上页 下页
3.4 方差及其简单性质
1. 方差的概念
(1) 2, 3, 2, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 2;
如下:
X0 1 2 3
Y0 1 2 3
p 0.5 0.2 0.2 0.1 p 0.4 0.3 0.2 0.1
问哪一台机床的质量好些？
解 E(X ) 00.5 10.2 20.2 30.1 0.9, E(Y ) 00.4 10.3 20.2 30.1 1.0,
E(X ) E(Y ).
X 2 3 5.4 7.1 9 p 0.05 0.1 0.15 0.5 0.2
E(X ) 20.05 30.1 5.40.15 7.10.5 9 0.2 6.56.
本节 上页 下页
3.1 离散型随机变量的数学期望
例3 甲、乙两数控机床在生产同一标准件时所出的次品数 分别用X,Y表示,根据长期的统计资料分析知,它们的分布列
本节 上页 下页
3.1 离散型随机变量的数学期望
(3) 泊松分布
P( X k) k e , (k 0,1, 2,
随机变量的数字特征
x 1 1 2 b ab dx x a b-a b-a 2 2
例3 设随机变量X~E(λ),求EX.
e- x , x 0 解 X的概率密度函数 f ( x ) 0 ,x 0
- x 0 0
故,
EX xf ( x)dx xe dx ( x)d(e x )
例7 设(X,Y)的联合概率分布为
X Y 1 3 0 0 1/8 1 3/8 0 2 3/8 0 X P 3 0 1/8 1 3 Y 0 1 2 3
求EX,EY,E(XY).
解 X,Y的边缘分布为 所以 EX=3/2, EY=3/2,
3/4 1/4
P 1/8 3/8 3/8 1/8
据定理2 有
3 3 E ( XY ) (1 0) 0 (1 1) (1 2) (1 3) 0 8 8 1 1 9 (3 0) (3 1) 0 (3 2) 0 (3 3) 8 8 4
则
E[ g( X , Y )] g( xi , y j ) pij
i j
(2) 若(X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)~f(x,y),则
E[ g ( X,Y )]
g ( x, y ) f ( x, y )dxdy
例5 设随机变量X服从[0,π]的均匀分布,求 E (sin X ), E ( X 2 ), E ( X EX )2 解 由定理1，有
八、方差的性质
数字特征的优越性(了解)：
1. 较集中地反映了随机变量变化的一些平均特征. 2. 很多重要的随机变量(如二项分布、泊松分布、均匀 分布、指数分布、正态分布等)的分布函数都能用一、两 个数字特征完全确定.
概率论与数理统计课件：随机变量的数字特征
随机变量的数字特征
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例7 （正态分布的数学期望）设 X ~ N( μ, σ 2 ), 求E(X).
解:
E(X) =
+
-
xf ( x )dx =
+
-
1
x
e
2πσ
( x - μ )2
2σ 2
dx
x-μ
, 则
令 t=
σ
E(X) =
+
-
t2
2
t2
+ 2
-
1
μ
( μ + t σ)
+
若级数 | g( xk ) | pk < + , 则 Y = g( X ) 的数学期望为
k =1
+
E(Y ) = E(g( X )) = g( xk ) pk
k =1
随机变量的数字特征
首页 返回 退出
定理4.2 (连续型随机变量函数的数学期望) 设连续型随
机变量X的概率密度函数为f(x),若
随机变量的数字特征
第一节 随机变量的数学期望
第二节 方差
第三节 协方差和相关系数
第四节 R实验
随机变量的数字特征
首页 返回 退出
第一节 随机变量的数学期望
一、离散型随机变量数学期望
二、连续型随机变量数学期望
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质
随机变量的数字特征
首页 返回 退出2
§4.1随机变量的数学期望
P{X = xi } = pi , i = 1,2,
如果
+
| x
i
.
| pi < +
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例7 （正态分布的数学期望）设 X ~ N( μ, σ 2 ), 求E(X).
解:
E(X) =
+
-
xf ( x )dx =
+
-
1
x
e
2πσ
( x - μ )2
2σ 2
dx
x-μ
, 则
令 t=
σ
E(X) =
+
-
t2
2
t2
+ 2
-
1
μ
( μ + t σ)
+
若级数 | g( xk ) | pk < + , 则 Y = g( X ) 的数学期望为
k =1
+
E(Y ) = E(g( X )) = g( xk ) pk
k =1
随机变量的数字特征
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定理4.2 (连续型随机变量函数的数学期望) 设连续型随
机变量X的概率密度函数为f(x),若
随机变量的数字特征
第一节 随机变量的数学期望
第二节 方差
第三节 协方差和相关系数
第四节 R实验
随机变量的数字特征
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第一节 随机变量的数学期望
一、离散型随机变量数学期望
二、连续型随机变量数学期望
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质
随机变量的数字特征
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§4.1随机变量的数学期望
P{X = xi } = pi , i = 1,2,
如果
+
| x
i
.
| pi < +
概率论与数理统计随机变量的数字特征课件
03
通过数值模拟方法可以直观地 展示随机变量的分布情况，帮 助理解概率论与数理统计中的 概念和理论。
06
总结与展望
主要内容回顾
随机变量的概念与分类
常见随机变量的性质与 分布
01
02
03
随机变量的数字特征： 均值、方差、协方差等
04
大数定律和中心极限定 理的应用
存在的问题与不足之处
学生对概念的理解不够深入 ，容易混淆不同概念之间的
掷骰子
假设掷一个六面体的骰子，每个数字出现的概率为1/6。通过数值模拟方法计算在掷n次骰子时，每个 数字出现的次数。
结果解释与讨论
01
对于投掷硬币的实例，当n逐 渐增大时，正面和反面出现的 次数逐渐接近，符合理论上的 期望值。
02
对于掷骰子的实例，当n逐渐 增大时，每个数字出现的次数 也逐渐接近理论上的期望值。
相关系数
相关系数是协方差与两个随机变量方差的比值， 用于衡量两个随机变量的线性相关程度。
意义
协方差和相关系数可以反映两个随机变量之间的 线性相关程度，正值表示正相关，负值表示负相 关，值为0表示无关。
03
随机变量的矩与特征
矩的定义
01
矩：对于实随机变量X，其k阶原点矩定义为E[X^k]
，k为非负整数。
概率论与数理统计随机变量 的数字特征课件
目 录
• 随机变量的基本概念 • 随机变量的期望值与方差 • 随机变量的矩与特征 • 随机变量的函数与变换 • 随机变量的数值模拟与实例分析 • 总结与展望
01
随机变量的基本概念
随机变量的定义
定义
设E是随机试验，S是样本空 间，对于E的每一个样本点e ，都有唯一的实数X(e)与之对 应，则称X(e)为随机变量。
(精品) 概率论与数理统计课件：随机变量的数字特征
0
D( ) E E 2 E E 2
D D
性质4可以推广到如下情形。
当1，
2
,,
两两独立时，有
n
n
D(1 2 n ) Di i 1
一般地，对n个随机变量1、
随机变量的数字特征
▪数学期望 ▪方差 ▪协方差与相关系数 ▪矩 ▪条件数学期望
§5.1 数学期望
离散型随机变量的数学期望
设随机变量的分布律为 P( xk ) pk
则当
k
xk
pk
时，称
xk pk 为随机变
k
量的数学期望或均值，记作E ，即有
E xk pk xk P( xk )
k
k
例１ 甲、乙两射手的稳定成绩分别为
并且有 Ei 0 1 p 1 p p
设 1 2 n
则 E E1 2 n
E1 E2 En
np
此外，我们可以推导出 η~B(n,p)
超几何分布
在一箱N件装的产品中混进了M件次品，今从中抽 取n 件 (n≤M) ，求从中查出次品的件数的概率分布.
解
P(
k)
C C k nk M NM CNn
p p2 p1 p
p 1 p 2 1 24
例5 设随机变量ξ服从[a，b]上的均匀分布，
求Dξ。
解：（x）
1 ba
0
a xb 其他
E 2 b x2 dx 1 (a2 ab b2 )
a ba 3
而E a b
2
D E 2 (E )2 1 (b a)2
12
例6
设随机变量ξ服从正态分布N(a，σ2)，求Dξ。
指数分布 (参数为a)
np
λ
1 p
D( ) E E 2 E E 2
D D
性质4可以推广到如下情形。
当1，
2
,,
两两独立时，有
n
n
D(1 2 n ) Di i 1
一般地，对n个随机变量1、
随机变量的数字特征
▪数学期望 ▪方差 ▪协方差与相关系数 ▪矩 ▪条件数学期望
§5.1 数学期望
离散型随机变量的数学期望
设随机变量的分布律为 P( xk ) pk
则当
k
xk
pk
时，称
xk pk 为随机变
k
量的数学期望或均值，记作E ，即有
E xk pk xk P( xk )
k
k
例１ 甲、乙两射手的稳定成绩分别为
并且有 Ei 0 1 p 1 p p
设 1 2 n
则 E E1 2 n
E1 E2 En
np
此外，我们可以推导出 η~B(n,p)
超几何分布
在一箱N件装的产品中混进了M件次品，今从中抽 取n 件 (n≤M) ，求从中查出次品的件数的概率分布.
解
P(
k)
C C k nk M NM CNn
p p2 p1 p
p 1 p 2 1 24
例5 设随机变量ξ服从[a，b]上的均匀分布，
求Dξ。
解：（x）
1 ba
0
a xb 其他
E 2 b x2 dx 1 (a2 ab b2 )
a ba 3
而E a b
2
D E 2 (E )2 1 (b a)2
12
例6
设随机变量ξ服从正态分布N(a，σ2)，求Dξ。
指数分布 (参数为a)
np
λ
1 p
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(3) 若X与Y相互独立，且D(X )与D(Y )存在，则 D(X Y ) D(X ) D(Y ).
4/4/2020
9
n
n
D( Ci X i ) Ci2D( X i ).
i 1
i 1
(4) 对于任意实数C∈R，有 E ( X-C )2≥D( X )
当且仅当C = E(X)时, E ( X-C )2取得最小值D(X).
由切比雪夫不等式得
lim P(|
n
1 n
n k=1
Xk
-
1 n
n i=1
p |<
ε)
=1
即
lim P
n
fn (A) p
1
4/4/2020
8
内容小结
1. 理解方差的定义： D( X ) E[ X E( X )]2.
2. 熟悉方差的性质: (1) D(C) 0, C为常量；
(2) 若D( X )存在,则D(CX ) C 2D( X ), C为常量；
x1
lim F (x) F (1)
x1
0 a b arcsin(1)
1 a b arcsin1
4/4/2020
22
即
a a
2
b b
0 1
解方程组得 a 1 , b 1 .
2
2
X的概率密度函数为
f (x) F(x)
1 , 1 x 1; 1 x2
0, 其它.
E(X ) 1
P(400 X 600) P(| X E( X ) | 100)
1
250 1002
0.975.
4/4/2020
26
4/4/2020
16
2 3 2 2 2 2 1
即 ( 1)2 0, 1.
故选 C.
4/4/2020
17
__
（3）E( X )
E(1 n
n i 1
Xi)
1 n
n
E(
i 1
Xi)
1 n
n i 1
E( Xi )
1 n
n i 1
;
D ( X )
D( 1 n
n i 1
Xi)
X 012 P 0.8 8/45 1/45
4/4/2020
20
根据定义, 随机变量X的数学期望为
E(X)=0×0.8+1×(8/45)+2×(1/45)=2/9.
E( X 2 ) 02 0.8 12 8 22 1 4
45
45 15
故X的方差为 D(X ) E(X 2 ) [E(X )]2 88 405
1
D(X ) 21002
1
7002 21002
1 (1)2 3
8. 9
即 P(5200 X 9400) 8 . 9
4/4/2020
4
样本平均数稳定性定理(弱大数定理1)
定理 设X1，X2，…，Xn，…相互独立且服从
同一分布，并具有数学期望 E(Xk ) 及方差
D( X k ) 2 (k ， 1, 2,L ) .作前n个变量的算术平均
则对于任意给定的 0，有( )
3
A. P(| X i 1| ) 1 2 i 1
B.
P(|
1 3
3 i 1
Xi
1 |
)
1
2
3
C. P(| X i 3 | ) 1 2 i 1
3
D. P(| X i 3 | ) 1 3 2 i 1
4/4/2020
15
分析 (1) 由 X~B(n, p)得：
E(X ) np 2.4 D(X ) npq 1.44
解方程组得 n=6, p=0.4, 故选B.
(2)由X ~ P(), E(X ) D(X ) . E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2.
E[(X 1)(X 2)] E[X 2 3X 2] E(X 2 ) 3E(X ) 2
由 P(| X -E(X ) | ) 1 D(X ) ,
2
可知: D(X)越小
(即X偏离E(X)程度越小), P(| X -E(X ) | ) 越大，
(表明X取值越集中在E(X)的附近)；
(3) 它是大数定律的理论基础.
4/4/2020
3
例10. 已知正常男性成人每毫升血液中白细胞数平均7300, 标准差700, 利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数 在5200~9400之间的概率. 解： 设X表示每毫升血液中白细胞数，依题意得
定理 设 f A 是n次独立重复试验中事件A发生的次数， p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数
证明,恒：有设Xk为第lnikm次 P试验fn中A 事p件A出 现的1次数k=1,2,…,n，
则这些变量相互独立，且服从相同分布：“0-1”分布
又EXk = p, DXk =p（1-p）i=1,2,…，n
1 n2
n k=1
D(Xk )
1 n2
n 2
1 2
n
根据切比雪夫不等式得
P(|
1 n
n k=1
Xk
-
|<
P(| X
ε) 1
- E(
2 - n 2
X ) | ε)
1 (当n
1
D( X ε2
时)
)
又当n
时，得 lim n
P(|
1 n
n k=1
Xk
-
)
|<
ε)
1
lim
n
P(|
1 n
n k=1
Xk
6. 设每次试验中，事件A发生的概率为0.5, 共进行了1000次试验，用切比雪夫不等式估计：
A发生次数在400到600之间的概率. 解：设事件Ａ发生的次数为随机变量Ｘ，则
Ｘ~Ｂ(ｎ,ｐ)，ｎ=１０００,ｐ＝０.５，
且 E(X)= np =500, D(X)= np(1-p) =250. 由切比雪夫不等式得
则由马尔可夫不等式得
P{[ X
E( X )]2
2}
E[ X
E( X )]2
2
D(X )
2
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2
另一形式：P(|
X
-
E(
X
)
|
ε)
1
D( X ε2
)
注: (1)它给出了在X的分布未知的情况下，估计
P(| X -E(X ) | ) 的方法；
(2)说明了方差D(X)的确刻画了X对E(X)偏离程度,
率保证
1 n
n i 1
Xi
➢ 这便是在n较大情况下反映出的客观规律,故称为“大数”定 律。
➢ 比弱大数定理1条件更宽的一个大数定D律X i是辛钦Khintchine） 大数定律,它不需要推论1条件中“方差 存在”的限制， 而在其它条件不变的情况下，仍有上式的结论。
2.伯努利大数定理（频率的稳定性）
第五节 切比雪夫不等式与大数定律
马尔可夫（Markov）不等式 设X是只取非负值的随机变量，且具有数学期望
E(X),则对于，任意正数ε，有
证：
P(X ) E(X )
仅就连续随机变量的情形来证明.设X的密度函数为f (x),
E(X ) 0
xf (x)dx 0 xf (x)dx
xf (x)dx
(3) 设随机变量X1, X 2,L
,
X
独立，且服从同一分布，
n
数学期望为，方差为 2，令X
1 n
n i0
Xi, 则
E(X ), D(X )分别为( )
A. , 2; B. n, 2;
C. , 2 ; D. n, 2
n
n
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(4) 设X1, X 2, X3相互独立，E( Xi ) 1, D( Xi ) 1, (i 1,2,3)
xf (x)dx
f (x)dx f (x)dx P(X )
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1
(切比雪夫不等式): 设X的数学期望 E(X) 与方差D(X) 存在,
对于任意的正数ε, 有
P(|
X
-
E(X
)
|
ε)
D( X ε2
)
.
证： 因为 | X E( X ) | 等价于[ X E( X )]2 2
③ 若X～U(a, b), D( X ) (b a)2 ;
12
④
若
X
~
e(),
D( X
)
1
2
;
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4. 方差的计算方法
① 利用方差的定义: D( X ) E[ X E( X )]2.
D(
X
)
[xi E(X )]2 p(xi ),
i
[x
E(X
)]2
f
(x)dx,
离散型 连续型
(5) 若E(X) 与 D(X) 存在，对于任意的正数，有
P(| X -E(X ) | ) D(X ) .
2
或 P(| X -E(X ) | ) 1 D(X ) .
2
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3.熟悉一些常见分布的方差
① 若X～B(n, p), D(X) = npq;
② 若 X ~ P(), D(X ) ;
② 利用方差的简化公式：
③ 利用方差的性质；
④ 利用常见分布的方差.
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备用题
1. 判断正误： (1) 任何随机变量X都能其计算期望和方差. ( ) (2)期望反映的是随机变量取值的集中位置，
方差反映的是随机变量取值的分散程度。( ) (3) 随机变量X的方差越小，X取值越集中， 方差越大，X取值越分散。( ) 答案: (1) X; (2) √; (3) √.
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n
n
D( Ci X i ) Ci2D( X i ).
i 1
i 1
(4) 对于任意实数C∈R，有 E ( X-C )2≥D( X )
当且仅当C = E(X)时, E ( X-C )2取得最小值D(X).
由切比雪夫不等式得
lim P(|
n
1 n
n k=1
Xk
-
1 n
n i=1
p |<
ε)
=1
即
lim P
n
fn (A) p
1
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内容小结
1. 理解方差的定义： D( X ) E[ X E( X )]2.
2. 熟悉方差的性质: (1) D(C) 0, C为常量；
(2) 若D( X )存在,则D(CX ) C 2D( X ), C为常量；
x1
lim F (x) F (1)
x1
0 a b arcsin(1)
1 a b arcsin1
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即
a a
2
b b
0 1
解方程组得 a 1 , b 1 .
2
2
X的概率密度函数为
f (x) F(x)
1 , 1 x 1; 1 x2
0, 其它.
E(X ) 1
P(400 X 600) P(| X E( X ) | 100)
1
250 1002
0.975.
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26
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16
2 3 2 2 2 2 1
即 ( 1)2 0, 1.
故选 C.
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__
（3）E( X )
E(1 n
n i 1
Xi)
1 n
n
E(
i 1
Xi)
1 n
n i 1
E( Xi )
1 n
n i 1
;
D ( X )
D( 1 n
n i 1
Xi)
X 012 P 0.8 8/45 1/45
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根据定义, 随机变量X的数学期望为
E(X)=0×0.8+1×(8/45)+2×(1/45)=2/9.
E( X 2 ) 02 0.8 12 8 22 1 4
45
45 15
故X的方差为 D(X ) E(X 2 ) [E(X )]2 88 405
1
D(X ) 21002
1
7002 21002
1 (1)2 3
8. 9
即 P(5200 X 9400) 8 . 9
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样本平均数稳定性定理(弱大数定理1)
定理 设X1，X2，…，Xn，…相互独立且服从
同一分布，并具有数学期望 E(Xk ) 及方差
D( X k ) 2 (k ， 1, 2,L ) .作前n个变量的算术平均
则对于任意给定的 0，有( )
3
A. P(| X i 1| ) 1 2 i 1
B.
P(|
1 3
3 i 1
Xi
1 |
)
1
2
3
C. P(| X i 3 | ) 1 2 i 1
3
D. P(| X i 3 | ) 1 3 2 i 1
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分析 (1) 由 X~B(n, p)得：
E(X ) np 2.4 D(X ) npq 1.44
解方程组得 n=6, p=0.4, 故选B.
(2)由X ~ P(), E(X ) D(X ) . E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2.
E[(X 1)(X 2)] E[X 2 3X 2] E(X 2 ) 3E(X ) 2
由 P(| X -E(X ) | ) 1 D(X ) ,
2
可知: D(X)越小
(即X偏离E(X)程度越小), P(| X -E(X ) | ) 越大，
(表明X取值越集中在E(X)的附近)；
(3) 它是大数定律的理论基础.
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例10. 已知正常男性成人每毫升血液中白细胞数平均7300, 标准差700, 利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数 在5200~9400之间的概率. 解： 设X表示每毫升血液中白细胞数，依题意得
定理 设 f A 是n次独立重复试验中事件A发生的次数， p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数
证明,恒：有设Xk为第lnikm次 P试验fn中A 事p件A出 现的1次数k=1,2,…,n，
则这些变量相互独立，且服从相同分布：“0-1”分布
又EXk = p, DXk =p（1-p）i=1,2,…，n
1 n2
n k=1
D(Xk )
1 n2
n 2
1 2
n
根据切比雪夫不等式得
P(|
1 n
n k=1
Xk
-
|<
P(| X
ε) 1
- E(
2 - n 2
X ) | ε)
1 (当n
1
D( X ε2
时)
)
又当n
时，得 lim n
P(|
1 n
n k=1
Xk
-
)
|<
ε)
1
lim
n
P(|
1 n
n k=1
Xk
6. 设每次试验中，事件A发生的概率为0.5, 共进行了1000次试验，用切比雪夫不等式估计：
A发生次数在400到600之间的概率. 解：设事件Ａ发生的次数为随机变量Ｘ，则
Ｘ~Ｂ(ｎ,ｐ)，ｎ=１０００,ｐ＝０.５，
且 E(X)= np =500, D(X)= np(1-p) =250. 由切比雪夫不等式得
则由马尔可夫不等式得
P{[ X
E( X )]2
2}
E[ X
E( X )]2
2
D(X )
2
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另一形式：P(|
X
-
E(
X
)
|
ε)
1
D( X ε2
)
注: (1)它给出了在X的分布未知的情况下，估计
P(| X -E(X ) | ) 的方法；
(2)说明了方差D(X)的确刻画了X对E(X)偏离程度,
率保证
1 n
n i 1
Xi
➢ 这便是在n较大情况下反映出的客观规律,故称为“大数”定 律。
➢ 比弱大数定理1条件更宽的一个大数定D律X i是辛钦Khintchine） 大数定律,它不需要推论1条件中“方差 存在”的限制， 而在其它条件不变的情况下，仍有上式的结论。
2.伯努利大数定理（频率的稳定性）
第五节 切比雪夫不等式与大数定律
马尔可夫（Markov）不等式 设X是只取非负值的随机变量，且具有数学期望
E(X),则对于，任意正数ε，有
证：
P(X ) E(X )
仅就连续随机变量的情形来证明.设X的密度函数为f (x),
E(X ) 0
xf (x)dx 0 xf (x)dx
xf (x)dx
(3) 设随机变量X1, X 2,L
,
X
独立，且服从同一分布，
n
数学期望为，方差为 2，令X
1 n
n i0
Xi, 则
E(X ), D(X )分别为( )
A. , 2; B. n, 2;
C. , 2 ; D. n, 2
n
n
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(4) 设X1, X 2, X3相互独立，E( Xi ) 1, D( Xi ) 1, (i 1,2,3)
xf (x)dx
f (x)dx f (x)dx P(X )
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(切比雪夫不等式): 设X的数学期望 E(X) 与方差D(X) 存在,
对于任意的正数ε, 有
P(|
X
-
E(X
)
|
ε)
D( X ε2
)
.
证： 因为 | X E( X ) | 等价于[ X E( X )]2 2
③ 若X～U(a, b), D( X ) (b a)2 ;
12
④
若
X
~
e(),
D( X
)
1
2
;
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4. 方差的计算方法
① 利用方差的定义: D( X ) E[ X E( X )]2.
D(
X
)
[xi E(X )]2 p(xi ),
i
[x
E(X
)]2
f
(x)dx,
离散型 连续型
(5) 若E(X) 与 D(X) 存在，对于任意的正数，有
P(| X -E(X ) | ) D(X ) .
2
或 P(| X -E(X ) | ) 1 D(X ) .
2
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3.熟悉一些常见分布的方差
① 若X～B(n, p), D(X) = npq;
② 若 X ~ P(), D(X ) ;
② 利用方差的简化公式：
③ 利用方差的性质；
④ 利用常见分布的方差.
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备用题
1. 判断正误： (1) 任何随机变量X都能其计算期望和方差. ( ) (2)期望反映的是随机变量取值的集中位置，
方差反映的是随机变量取值的分散程度。( ) (3) 随机变量X的方差越小，X取值越集中， 方差越大，X取值越分散。( ) 答案: (1) X; (2) √; (3) √.