数学期望的计算方法及其应用
数学期望的原理及应用
数学期望的原理及应用数学期望是概率论中的一个基本概念，它描述了一个随机变量的平均水平或预期值。
具体地说，数学期望通过将随机变量的可能取值与相应的概率加权求和来计算。
数学期望的原理可以简单地表示为：对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X每个可能取值xi乘以对应的概率p(xi)的累加和。
数学期望的计算公式可以表示为：E(X) = x1*p(x1) + x2*p(x2) + ... + xn*p(xn)其中，x1, x2, ..., xn为随机变量X所有可能的取值，p(x1), p(x2), ..., p(xn)为对应的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的计算方法类似，只是将求和换成了求积分。
具体地说，对于一个连续型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X在整个取值范围上的每个取值x乘以对应的概率密度函数f(x)的乘积的积分。
数学期望的计算公式可以表示为：E(X) = ∫x*f(x)dx数学期望的应用非常广泛，以下列举了一些常见的应用场景：1. 风险评估：数学期望可以用于评估风险，通过计算损失的数学期望来衡量风险的大小。
例如，在金融领域中，投资者可以通过计算股票的预期收益来评估投资的风险和回报。
2. 制定决策：数学期望可以帮助人们在面临多个选择时做出决策。
通过计算不同选择的数学期望，可以找出最具有潜在利益的选择。
3. 设计优化：数学期望可以帮助优化设计过程。
例如，在工程领域中，可以通过计算产品的预期性能来指导设计参数的选择和调整。
4. 分析：数学期望被广泛应用于分析中。
游戏参与者可以通过计算不同下注策略的数学期望来制定最终的下注策略。
5. 统计推断：数学期望是许多重要的统计量的基础，如方差、标准差等。
通过计算数学期望，可以进行更深入的统计分析和推断。
6. 优化调度：在运输和调度问题中，数学期望可以用来优化资源的分配和调度。
通过计算任务完成时间的数学期望，可以制定最优的任务调度策略。
总之，数学期望是概率论中一个重要的工具和概念，它可以帮助我们理解和分析随机现象，并在很多实际问题中发挥重要作用。
数学期望的计算及应用
数学期望的计算及应用数学与应用数学111 第四小组引言：我们知道，随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述，而数学期望又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一。
因此，掌握数学期望的计算并应用他来分析和解决实际问题显得尤为重要。
在学习了概率论以后，我们计算数学期望一般有三种方法：1.从定义入手，即E(X)x k p k；2.应用随机变量函数的期望公式k 1E(q(x))q( x k ) p k 3. 利用期望的有关性质。
但是还是会碰到许多麻烦，这里我们将k 1介绍一些解决这些难题的简单方法。
在现实生活中，许多地方都需要用到数学期望。
如果我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后，将数学期望应用到现实生活中。
就可以解决许多问题，例如农业上，经济上等多个方面难以解决的难题。
下面就让我们来看看，除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的数学期望的方法。
1.变量分解法[1]如果可以把不易求得的随机变量 X 分解成若干个随机变量之和,应用E( X 1E2... E n ) E( X 1 ) E ( X 2 )...E ( X n ) 再进行求解得值，这种方法就叫做变量分解法。
这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题，因为每一种结果比较好计算，分开来计算便可以比较简单的获得结果。
例题 1 ：从甲地到乙地的旅游车上载有达一个车站没有旅客下车，就不停车，以20 位旅客，自甲地开出，沿途有10 个车站，如到X 表示停车次数，求E(X).( 设每位旅客在各个车站下车是等可能的)分析：汽车沿途10 站的停车次数X 所以可能取值为0，1，.，10，如果先求出X 的分布列，再由定义计算E(X) ，则需要分别计算{X=0} ，{X=1}，，{X=10} 等事件的概率，计算相当麻烦。
注意到经过每一站时是否停车，只有两种可能，把这两种结果分别与0，1 对应起来，映入随机变量X i每一种结果的概率较易求得。
概率中数学期望的变式应用
概率中数学期望的变式应用概率在数学中占据着重要的地位，而概率中的数学期望则是其中最基础的概念之一。
数学期望是描述随机变量平均取值的概念，它在很多实际问题中都有着重要的应用。
除了在基础的概率理论中的应用外，数学期望还有许多变式的应用，下面我们将介绍一些关于概率中数学期望的变式应用。
1. 条件数学期望在概率中，条件数学期望是一种非常重要的概念。
它描述的是在某一特定条件下的数学期望值。
假设有两个随机变量X和Y，我们可以通过条件数学期望来描述在Y取某个值的条件下，X的平均取值。
条件数学期望的计算公式为：E(X|Y) = ∑x P(X=x|Y) * xE(X|Y)表示在Y的条件下X的数学期望，P(X=x|Y)表示在Y的条件下X取值为x的概率，而x则表示X的可能取值。
条件数学期望的应用非常广泛，比如在统计学中用于描述在某一特定情况下的平均值；在经济学中用于分析在特定市场条件下的收益期望值等等。
2. 复合概率中的数学期望在复合概率中，数学期望同样有着重要的应用。
复合概率是指对多个概率事件同时发生的情况进行分析，而数学期望在复合概率中通常用于描述整体事件的平均结果。
在复合概率中，数学期望的计算方法与简单概率中类似，只是需要将多个随机变量的情况考虑进去。
假设有m个随机变量X1,X2,...,Xm，它们的概率分布函数为P(X1=x1,X2=x2,...,Xm=xm)，则它们的复合数学期望为：E(X1,X2,...,Xm) = ∑x1 ∑x2... ∑xm P(X1=x1,X2=x2,...,Xm=xm) * x1 * x2 * ... * xm复合概率中的数学期望可以应用于许多实际问题中，比如在工程中用于计算多变量系统的平均性能；在市场分析中用于描述多变量条件下的总体效益等等。
3. 离散分布中的数学期望概率中的数学期望通常用于描述随机变量的平均取值，而对于离散分布中的数学期望，则关注于描述离散型随机变量的平均结果。
《数学期望》课件
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
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连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
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目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
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引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策
数学期望的计算公式
数学期望的计算公式数学期望是概率论中的重要概念，用于描述随机变量在大量试验中的平均值。
数学期望常用于统计分析和决策模型的建立。
本文将介绍数学期望的计算公式，并举例说明其应用。
一、离散型随机变量的数学期望计算公式对于离散型随机变量X，其取值有限且可数，其概率分布可以用概率质量函数P(X=x)表示。
则X的数学期望E(X)计算公式如下：E(X) = Σ[xP(X=x)]其中，Σ表示求和运算，x表示随机变量X的取值，P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
例如，假设有一个骰子，其有6个面，每个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，且每个面的点数出现的概率相等。
我们可以通过计算骰子的数学期望来获取平均点数的预期值。
设随机变量X表示骰子的点数，则X取值为1、2、3、4、5、6的概率均为1/6，因此骰子的数学期望E(X)的计算如下：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5因此，通过计算可得，骰子的数学期望为3.5。
二、连续型随机变量的数学期望计算公式对于连续型随机变量X，其取值在某个区间上，其概率分布可以用概率密度函数f(x)表示。
则X的数学期望E(X)计算公式如下：E(X) = ∫[xf(x)]dx其中，∫表示积分运算，x表示随机变量X的取值，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
例如，假设有一个服从均匀分布的随机变量X，其取值范围在0到1之间。
我们可以通过计算随机变量X的数学期望来预测其取值的平均数。
设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则在0到1之间，f(x)的取值为1。
因此，X的数学期望E(X)的计算如下：E(X) = ∫[x * 1]dx = ∫xdx = 1/2因此，通过计算可得，随机变量X的数学期望为1/2。
综上所述，对于离散型随机变量和连续型随机变量，其数学期望的计算公式分别为Σ[xP(X=x)]和∫[xf(x)]dx。
13个期望计算公式
13个期望计算公式期望是概率论中的一个重要概念，它描述了一个随机变量的平均值。
在现实生活中，我们经常需要计算某种随机变量的期望，以便更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍13个常见的期望计算公式，帮助读者更好地理解和运用期望的概念。
1. 离散型随机变量的期望计算公式。
对于离散型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = Σx P(X=x)。
其中，x表示随机变量X可能取的值，P(X=x)表示X取值为x的概率。
2. 连续型随机变量的期望计算公式。
对于连续型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = ∫x f(x) dx。
其中，f(x)表示X的概率密度函数。
3. 二项分布的期望计算公式。
对于二项分布B(n,p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n p。
其中，n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率。
4. 泊松分布的期望计算公式。
对于泊松分布P(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = λ。
其中，λ表示单位时间（或单位面积）内事件发生的平均次数。
5. 几何分布的期望计算公式。
对于几何分布G(p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/p。
其中，p表示每次试验成功的概率。
6. 均匀分布的期望计算公式。
对于均匀分布U(a,b)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = (a+b)/2。
其中，a和b分别表示随机变量X的取值范围的下限和上限。
7. 指数分布的期望计算公式。
对于指数分布Exp(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/λ。
其中，λ表示事件发生的速率。
8. 正态分布的期望计算公式。
对于正态分布N(μ,σ²)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = μ。
其中，μ表示分布的均值。
9. 超几何分布的期望计算公式。
对于超几何分布H(N,M,n)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n (M/N)。
其中，N表示总体容量，M表示总体中具有成功属性的个体数量，n表示抽取的样本容量。
期望与方差计算
期望与方差计算在概率论和统计学中，期望与方差是两个重要的概念，用于描述随机变量的特征。
本文将介绍期望与方差的计算方法以及其在实际应用中的意义。
一、期望的计算期望（Expectation）是描述随机变量平均取值的指标。
对于离散型随机变量，期望的计算方法如下：设离散型随机变量X的概率质量函数为f(x)，则X的期望E(X)可表示为：E(X) = Σxf(x)其中，x为X的取值，f(x)为X取值为x的概率。
举例说明：假设某随机变量X的取值为1、2、3，对应的概率为0.2、0.3、0.5。
则X的期望可以计算为：E(X) = 1×0.2 + 2×0.3 + 3×0.5 = 0.2 + 0.6 + 1.5 = 2.3对于连续型随机变量，期望的计算方法也类似。
设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)，则X的期望E(X)可表示为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，x为X的取值，f(x)为X取值为x的概率密度。
二、方差的计算方差（Variance）是描述随机变量离散程度的指标。
方差的计算方法如下：设随机变量X的期望为μ，X的方差Var(X)可表示为：Var(X) = E[(X-μ)^2]方差等于随机变量与其期望的差的平方的期望。
举例说明：假设某随机变量X的期望E(X)为2.3，X的取值为1、2、3，对应的概率为0.2、0.3、0.5。
则X的方差可以计算为：Var(X) = [(1-2.3)^2 × 0.2] + [(2-2.3)^2 × 0.3] + [(3-2.3)^2 × 0.5] = 0.93方差的平方根称为标准差，是衡量随机变量离散程度的另一指标。
三、期望与方差的意义期望和方差是概率论与统计学中重要的描述随机变量特征的指标。
它们在实际应用中有着广泛的意义。
1. 期望的意义期望可以看作是随机变量的平均值，是描述随机变量取值的中心位置。
在实际应用中，期望可以用于评估风险和收益。
数学期望与方差的计算
数学期望与方差的计算引言数学期望与方差是统计学中两个重要的概念。
它们是描述一个随机变量分布特征的常用指标，对于理解和分析数据具有重要意义。
本文将介绍数学期望与方差的概念、计算方法以及它们的应用。
数学期望数学期望又称平均值，是描述一个随机变量的平均水平的指标。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：$$ E(X)=\\sum_{i=1}^n x_i p_i $$其中，X为随机变量，x i为随机变量可能取的值，p i为随机变量取每个值的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：$$ E(X)=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} x f(x) dx $$其中，f(x)为随机变量的概率密度函数。
数学期望可以理解为在大量重复实验中，随机变量平均取值的水平。
方差方差是描述一个随机变量分散程度的统计指标。
方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中。
方差的计算公式为：Var(X)=E[(X−E(X))2]方差可以理解为每个随机变量与其期望的偏差的平方的加权平均。
数学期望与方差的计算方法离散型随机变量对于离散型随机变量，计算数学期望的方法如下：1.计算每个随机变量取值对应的概率。
2.将随机变量取值与对应的概率相乘。
3.将所有结果相加，得到数学期望。
计算方差可以使用以下方法：1.计算数学期望。
2.将每个随机变量取值与数学期望的差值的平方相乘。
3.将所有结果相加，得到方差。
连续型随机变量对于连续型随机变量，计算数学期望的方法如下：1.计算随机变量的概率密度函数。
2.将随机变量的取值与概率密度函数相乘。
3.对结果进行积分，得到数学期望。
计算方差可以使用以下方法：1.计算数学期望。
2.将随机变量的取值与数学期望的差值的平方与概率密度函数相乘。
3.对结果进行积分，得到方差。
数学期望与方差的应用数学期望与方差作为描述随机变量特征的指标，在统计学和概率论中有重要的应用。
数学期望在实际问题中可以用于计算平均值，如统计学中的样本均值就是数学期望的一种估计。
期望值的计算与意义
期望值的计算与意义期望值是概率论中的一个重要概念，用于描述随机变量的平均值。
在实际生活和工作中，我们经常需要计算期望值来评估风险、制定决策或进行预测。
本文将介绍期望值的计算方法，并探讨其在不同领域中的意义和应用。
一、期望值的计算方法期望值是随机变量的平均值，可以通过以下公式计算：E(X) = Σ(x * P(x))其中，E(X)表示随机变量X的期望值，x表示X可能取到的值，P(x)表示X取到x的概率。
以掷骰子为例，假设骰子是均匀的，每个面出现的概率相等。
那么掷骰子的期望值可以通过以下计算得到：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 *1/6) + (6 * 1/6) = 3.5二、期望值的意义1. 风险评估期望值可以用于评估风险。
在金融投资中，我们经常需要计算资产的期望收益率和风险。
期望收益率可以通过计算资产收益率的期望值得到，而风险可以通过计算资产收益率的方差或标准差来衡量。
通过比较不同资产的期望收益率和风险，我们可以做出更明智的投资决策。
2. 决策制定期望值可以用于制定决策。
在决策分析中，我们经常需要评估不同决策的预期效果。
通过计算每个决策的期望值，我们可以比较它们的优劣，并选择期望值最高的决策。
这样可以帮助我们做出更明智的决策，提高决策的成功率。
3. 预测期望值可以用于预测未来事件的结果。
在统计学中，我们可以通过历史数据计算随机变量的期望值，并将其作为未来事件的预测值。
例如，通过计算过去几年的股票收益率的期望值，我们可以预测未来股票的收益情况。
当然，预测结果可能存在误差，但期望值可以作为一个参考，帮助我们做出更准确的预测。
三、期望值的应用1. 金融领域在金融领域，期望值被广泛应用于风险评估、投资决策和衍生品定价等方面。
通过计算资产的期望收益率和风险，投资者可以制定合理的投资策略，降低投资风险。
2. 工程领域在工程领域，期望值可以用于评估工程项目的风险和效益。
数学期望的六个公式
数学期望的六个公式数学期望是一个概念，用于描述概率实验或随机变量的预期值，被广泛应用于统计学，信息论，投机策略和把数字概念应用于实际问题的其他领域。
数学期望有六个公式，它们是总和期望，乘积期望，定义期望，方差公式，协方差公式和零期望公式。
首先，总和期望公式定义为任何给定的两个事件X和Y的期望相加的结果，即E(X+Y) = E（X）+ E（Y）。
这意味着，如果一个随机变量X的期望值为3，而Y的期望值为4，那么X和Y的总和期望就为7。
其次，乘积期望公式定义为任何给定的两个事件X和Y的期望相乘的结果，即E（XY）=E（X）×E（Y）。
乘积期望不仅用于双重期望，而且还用于多重期望。
同样，如果一个随机变量X的期望值为3，而Y的期望值为4，那么X和Y的乘积期望就为12。
接下来是定义期望，即定义期望公式，它定义为分布的期望的加权平均值，其中每个可能的值X在函数f（x）上有不同的权重。
这个公式可以用来求解可能的联合分布的任何期望。
下一个是方差公式，即方差公式，它定义为一个随机变量与其期望之间的偏离度量，并且可以用来衡量概率分布的扩散程度。
方差公式可以表达为Var（X）= E（X-E（X）），记作σ2。
然后是协方差公式，也称为协方差矩阵，它定义为两个随机变量之间的度量，它表示两个随机变量之间的关系。
它可以用来衡量两个变量之间正负相关性，并且可以用来检测金融数据中的关联性。
协方差公式可以表达为Cov（X，Y）= E（XY）-E（X）E（Y），记作σxy。
最后，是零期望公式，它定义为任意离散变量的期望是0，即E （X）= 0。
它常用于信号处理，表示非零值时没有偏移。
以上就是数学期望的六个基本公式。
数学期望在统计学，信息论，投机策略和其他应用概率的领域都有广泛的应用，有助于我们对概率分布的理解和分析。
数学期望的原理及应用
数学期望的原理及应用1. 原理数学期望是概率论中的一个重要概念，用于描述随机变量的平均值。
在概率论中，随机变量是指在一个随机实验中，可以随机地取不同值的变量。
数学期望可以看作是随机变量的平均取值，它是对随机变量可能取值的加权平均。
数学期望的计算公式为:$$E(X) = \\sum_{i=1}^{n} X_i \\cdot P(X_i)$$其中，X i是随机变量的某个取值，P(X i)是X i对应的概率。
数学期望的求解步骤如下：1.确定随机变量的全部可能取值；2.计算每个取值的概率；3.计算每个取值与其对应概率的乘积；4.将上述乘积相加即得到数学期望。
2. 应用数学期望在各个领域都有广泛的应用，以下是数学期望在一些具体问题中的应用案例：2.1 统计学在统计学中，数学期望是一个重要的统计指标，用于衡量一个随机变量的中心位置。
例如，在对一个随机样本的分析过程中，可以通过计算样本的数学期望来了解样本的平均水平。
数学期望还被广泛应用于估计总体的参数，例如通过样本的平均值来估计总体的均值。
2.2 金融学在金融学中，数学期望在投资组合的管理中发挥重要作用。
通过计算各个投资标的的数学期望，可以评估投资标的的预期收益。
基于这些数学期望，投资者可以根据自己的风险偏好进行资产配置，以达到最优的投资组合。
2.3 工程学在工程学中，数学期望可以应用于各种实际问题的分析。
例如，在电力系统中，可以通过计算电力负荷的数学期望来确定电力系统的设计容量。
在工程项目的成本估算中，也可以通过计算工程成本的数学期望来进行成本控制和决策。
2.4 计算机科学在计算机科学中，数学期望被广泛用于分析算法的性能。
通过计算算法的平均运行时间的数学期望，可以评估算法的效率和性能。
数学期望还被用于建模和优化网络传输的时延和吞吐量。
3. 总结数学期望作为概率论中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。
它是随机变量的平均取值，描述了随机变量的中心位置。
通过计算随机变量的数学期望，可以用于统计分析、金融投资、工程项目和计算机科学等领域的问题解决。
数学期望的计算方法及其应用
数学期望的计算方法及其应用摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。
本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。
本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。
关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法 ABSTRACT ：第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用1.1 利用数学期望的定义，即定义法[1]则随机变量Ｘ的数学期望E(X)=)(1ini ix p x ∑=学期望不存在[]2例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。
推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。
试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？按数学期望定义，该推销人每箱期望可得=)(X E 10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元1.2 公式法对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。
数学期望在生活中的运用
数学期望的性质及其在实际生活中的应用●数学期望的概念：在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
是最基本的数学特征之一，它反映随机变量平均取值的大小。
●数学期望的定义E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) X1,X2,X3,……,Xn为这几个数据，p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)为这几个数据的概率函数。
在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3,……,Xn出现的频率f(Xi).则：E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn)E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。
●数学期望的应用：例一、某一彩票中心发行彩票10万张，每张2元。
设头等奖1个，奖金1万元，二等奖2个，奖金各5千元；三等奖10个，奖金各1千元；四等奖100个，奖金各100元；五等奖1000个，奖金各10元。
每张彩票的成本费为0.3元，请计算彩票发行单位的创收利润。
E（X）＝10000×＋5000×＋ 0＝0.5（元）每张彩票平均可赚2－0.5－0.3＝1.2（元），因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为100000×1.2＝120000（元）小结：通过计算期望，我们可以得到单张彩票的平均利润，从而得出总共的创收利润。
例二、某投资者有10万元资金，现有两种投资方案供选择：一是购买股票;二是存人银行。
买股票的收益主要取决于经济形势，假设经济形势分为三种状态：形势好、形势中等、形势不好。
在股市投资10万元，以一年计算，若形势好可获利40 000元;若形势中等可获利10 000元;若形势不好则会损失20 000元。
随机变量的数学期望与方差
随机变量的数学期望与方差随机变量在概率论中具有重要地位，它描述了随机事件的变化规律，数学期望和方差是衡量随机变量分布的重要指标。
一、数学期望数学期望是对随机变量取值的平均值的度量，记作E(X)，其中X为随机变量。
数学期望可以理解为长期重复试验中，随机变量取值的平均结果。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∑(x * P(X=x))其中x为随机变量的取值，P(X=x)为该取值发生的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中f(x)为随机变量的概率密度函数。
二、方差方差是随机变量取值分散程度的度量，记作Var(X)或σ^2，其中X为随机变量。
方差描述的是随机变量取值与其数学期望之间的偏离情况。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∑((x - E(X))^2 * P(X=x))其中x为随机变量的取值，E(X)为该随机变量的数学期望。
对于连续型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx其中f(x)为随机变量的概率密度函数。
三、应用举例为了更好理解数学期望与方差的作用和计算方法，下面以骰子为例进行说明。
假设我们有一个六面骰子，其取值范围为1到6，每个面出现的概率相等。
我们可以定义骰子的随机变量X表示投掷后骰子的结果。
1. 计算数学期望：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5所以，这个六面骰子的数学期望为3.5，即在长期重复的投掷中，平均每次的点数是3.5。
2. 计算方差：Var(X) = ((1-3.5)^2 * 1/6) + ((2-3.5)^2 * 1/6) + ((3-3.5)^2 * 1/6) + ((4-3.5)^2 * 1/6) + ((5-3.5)^2 * 1/6) + ((6-3.5)^2 * 1/6) ≈ 2.92所以，这个六面骰子的方差为2.92，即在长期重复的投掷中，每次投掷结果与平均值3.5偏离的程度。
概率计算中的期望与方差计算
概率计算中的期望与方差计算概率计算是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括金融、统计学、物理学等。
在概率计算中，期望与方差是两个基本的概念和工具，用于描述随机变量的特征和分布。
本文将详细介绍期望与方差的计算方法及其应用。
一、期望的计算期望是随机变量的平均值，它可以理解为对随机变量进行大量重复实验后的平均结果。
期望的计算公式如下：E(X) = Σ[x * P(x)]其中，E(X)表示随机变量X的期望，x表示随机变量可能取到的值，P(x)表示该值发生的概率。
以掷骰子为例，假设骰子是均匀的，即各个面出现的概率相等。
骰子的期望可以通过以下计算得出：E(X) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5这意味着在长期的掷骰子实验中，每次掷出的点数的平均值接近于3.5。
二、方差的计算方差衡量的是随机变量离其期望的平均偏离程度，用于描述随机变量的分散程度。
方差的计算公式如下：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(x)]其中，Var(X)表示随机变量X的方差，x表示随机变量可能取到的值，E(X)表示随机变量X的期望，P(x)表示该值发生的概率。
继续以掷骰子为例，我们计算骰子的方差：Var(X) = [(1-3.5)^2 * 1/6] + [(2-3.5)^2 * 1/6] + [(3-3.5)^2 * 1/6] + [(4-3.5)^2 * 1/6] + [(5-3.5)^2 * 1/6] + [(6-3.5)^2 * 1/6] = 2.92从结果可以看出，骰子的结果相对稳定，方差较小。
三、期望与方差的应用期望和方差作为概率计算的基本工具，应用广泛。
以下是一些常见的应用场景：1. 金融领域：在金融建模中，期望和方差被广泛应用于资产收益的预测和风险评估。
投资者可以通过计算期望和方差来评估投资组合的预期收益和风险。
数学期望的计算方法探讨
数学期望的计算方法探讨数学期望是统计学中的重要概念，用于表示一个随机变量的平均值。
它的计算方法可以通过多种途径进行探讨。
本文将通过概率论和统计学的角度，详细探讨数学期望的计算方法。
首先，我们来看数学期望的定义。
对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)定义为：E(X)=ΣxP(X=x)，其中x是随机变量X可能取到的值，P(X=x)是X取值为x的概率。
计算数学期望可以通过以下几种方法进行探讨：1.直接计算法：对于简单的随机变量，可以通过直接计算每个可能取值的概率乘以对应取值的数值，然后将所有结果相加，得到数学期望。
这种方法适用于取值较少且规律明显的离散型随机变量。
2.均值法：对于服从正态分布的随机变量，可以使用均值法计算数学期望。
根据正态分布的性质，期望值等于均值。
因此，可以直接使用样本均值作为数学期望的估计值。
3.条件概率法：对于复杂的随机变量，可以使用条件概率法进行计算。
该方法通过条件概率的性质，将复杂的问题转化为多个简单问题的求解。
具体步骤是先计算条件概率，然后使用条件概率的定义计算数学期望。
4.矩法：矩法是一种常用的数学期望计算方法，尤其适用于连续型随机变量计算。
它通过计算随机变量的各阶矩，然后利用矩序列的性质求解数学期望。
具体步骤是先计算均值和方差，然后使用矩的性质计算数学期望。
5.生成函数法：生成函数法是一种高级的数学期望计算方法，适用于较为复杂的离散型随机变量。
它通过构建生成函数，将数学期望的计算问题转化为生成函数的求导和求值问题。
具体步骤是先构建生成函数，然后对生成函数求导和求值，得到数学期望。
以上是数学期望计算的几种常用方法，它们在不同情况下具有不同的适用性。
在实际问题中，根据具体的随机变量以及问题的性质，可以选择最合适的方法进行计算。
在选择方法时需要考虑计算的复杂性、精确性以及可行性。
总结起来，数学期望的计算方法可以通过直接计算法、均值法、条件概率法、矩法和生成函数法等途径进行探讨。
高考数学期望知识点
高考数学期望知识点数学作为高考的一门基础学科，在社会发展的过程中扮演着重要的角色。
而其中的数学期望概念，更是每个高中学生必须掌握的知识点之一。
本文将从不同角度对高考数学期望知识点展开深入的探讨，希望对广大考生有所帮助。
1. 数学期望的定义数学期望是统计学中的一个重要概念，用来描述一组数据的平均值。
在高考数学中，期望值通常用符号E(X)表示，其中X是随机变量。
数学期望的计算方法根据不同的随机变量类型而异，比如离散型随机变量和连续型随机变量。
对于离散型随机变量，期望可以通过每个事件发生的概率乘以对应的取值，再求和来计算；对于连续型随机变量，期望可以通过概率密度函数进行积分求解。
2. 数学期望的应用数学期望在实际生活中有着广泛的应用。
以购买彩票为例，假设一张彩票中奖的概率为p，中奖金额为x，不中奖的金额为y。
那么购买一张彩票的期望收益可以表示为(1-p)y+px，其中(1-p)y为不中奖的期望收益，px为中奖的期望收益。
通过计算这个期望值，可以帮助人们做出更明智的决策。
在金融领域，数学期望也扮演着重要的角色。
例如，在投资理财中，人们可以通过计算不同投资方案的期望收益来评估风险和回报。
通过对期望收益的比较，可以选择最合适的投资组合，以达到最佳的资产配置目标。
3. 数学期望的性质数学期望具有一些特殊的性质，这些性质在高考中也经常被考察。
其中，最重要的性质是线性性质。
即期望运算对于常数的线性性质，对于随机变量X,Y和常数a,b，有E(aX+bY) = aE(X) +bE(Y)。
这个性质使得计算复杂随机变量的期望值变得相对简单。
另外，数学期望还具有一个重要的性质，即保序性。
对于两个随机变量X和Y，如果对于任意的实数x，有P(X≤x) ≤ P(Y≤x)，那么有E(X) ≤ E(Y)。
这个性质直观地表明了数学期望可以用于比较不同随机变量的概率分布。
4. 高考数学期望题型在高考数学中，期望作为一个重要的考察点，经常出现在各种题型中。
数学期望公式
数学期望公式数学期望是概率论中一个重要的概念，它用于描述随机变量的平均数。
数学期望的计算方法有很多种，其中最常见的是离散型随机变量的数学期望公式和连续型随机变量的数学期望公式。
本文将详细介绍这两个公式，并简要介绍一些常见的应用。
首先，我们来介绍离散型随机变量的数学期望公式。
离散型随机变量的取值是有限个或可数个，用概率分布函数来描述。
设随机变量X 的取值为x1、x2、...、xn，对应的概率分布函数是P(X=x1)、P(X=x2)、...、P(X=xn)。
则X的数学期望可以通过以下公式计算：E(X)=x1*P(X=x1)+x2*P(X=x2)+...+xn*P(X=xn)其中，E(X)表示随机变量X的数学期望。
接下来，我们来介绍连续型随机变量的数学期望公式。
连续型随机变量的取值是一个区间上的任意实数，在概率密度函数中描述。
设随机变量X的概率密度函数是f(x)，则X的数学期望可以通过以下公式计算：E(X)=∫xf(x)dx其中，∫表示对x的积分。
数学期望公式的意义在于可以帮助我们计算随机变量的平均值，从而更好地理解和解释概率分布的特征。
数学期望是概率论中的一个核心概念，被广泛应用于统计分析、经济学、工程学等领域。
在统计分析中，数学期望可以用来描述一组数据的平均水平。
比如，我们可以计算一个班级学生的平均成绩，从而了解整个班级的学习情况。
在经济学中，数学期望可以用来衡量风险和收益，从而帮助决策者制定合理的投资策略。
在工程学中，数学期望可以用来评估系统的性能和可靠性，从而指导工程设计和优化。
除了离散型和连续型随机变量的数学期望公式，还有一些常见的概率分布的数学期望公式，如正态分布、泊松分布、指数分布等。
这些分布函数都有特定的形式，可以使用数学期望公式来计算其数学期望。
值得注意的是，数学期望并不是随机变量取值的真实平均值，而是其期望值。
这是因为随机变量的取值是根据概率分布进行随机生成的，不同的取值有不同的概率。
期望与方差的计算方法知识点整理
期望与方差的计算方法知识点整理本文旨在介绍期望与方差的计算方法知识点，以便读者更好地理解和应用这两个重要的统计概念。
期望的计算方法期望是随机变量取值的加权平均值，代表了随机变量的平均水平。
以下是计算期望的几种常用方法：1. 离散型随机变量的期望计算：- 如果随机变量X的取值为x1, x2, ..., xn，并且对应的概率分别为p1, p2, ..., pn，则X的期望E(X)计算公式为：E(X) = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn。
- 也可以用累积概率的方法计算，即E(X) = Σ(xi * P(xi))，其中Σ表示对所有取值求和。
2. 连续型随机变量的期望计算：- 如果随机变量X的概率密度函数为f(x)，则X的期望E(X)计算公式为：E(X) = ∫(xf(x)dx)，其中∫表示对所有取值求积分。
方差的计算方法方差是随机变量取值与其期望之差的平方的加权平均，代表了数据的波动程度。
以下是计算方差的几种常用方法：1. 离散型随机变量的方差计算：- 设随机变量X的期望为μ，取值为x1, x2, ..., xn，并且对应的概率分别为p1, p2, ..., pn，则X的方差Var(X)计算公式为：Var(X) = Σ((xi - μ)^2 * P(xi))。
- 如果已知随机变量X的标准差为σ，则方差可用标准差的平方表示，即Var(X) = σ^2。
2. 连续型随机变量的方差计算：- 如果随机变量X的概率密度函数为f(x)，期望为μ，则X的方差Var(X)计算公式为：Var(X) = ∫((x - μ)^2 * f(x)dx)。
总结期望和方差是统计学中常用的概念，用于描述数据的平均水平和波动程度。
通过本文所介绍的计算方法，读者可以更准确地计算期望和方差，从而更好地理解和分析数据。
以上是对期望与方差的计算方法知识点的整理，希望对读者有所帮助。
数学期望（离散型和连续型）
数学期望（离散型和连续型）
数学期望的定义
数学期望的计算公式
例题
1.数学期望的定义
在概率论和统计学中，数学期望（或均值）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之⼀。
它反映随机变量平均取值的⼤⼩。
随机变量包括离散型和连续型，数学期望的计算也分离散型和连续型。
（1）离散型
如果随机变量只取得有限个值或⽆穷能按⼀定次序⼀⼀列出，其值域为⼀个或若⼲个有限或⽆限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。
（2）连续型
若随机变量X的分布函数F(x)可表⽰成⼀个⾮负可积函数f(x)的积分，则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。
2.数学期望的计算公式
（1）离散型
（2）连续型
3.例题
假设我们来玩⼀个游戏，⼀共52张牌，其中有4个A。
我们⼀元钱赌⼀把，如果你抽中了A，那么我给你10元钱，否则你的⼀元钱就输给我了，求你赢钱的数学期望。
解：P（抽中A）= 4/52 =1/13
P（抽不中A）= （52-4）/ 52 = 12/13
E（赢钱）= 1/13 * 10 + 12/13 * (-1) = -12/13
即你玩了很多把之后，会发现⾃⼰输钱的概率⽐较⾼。
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数学期望的计算方法及其应用数学期望的计算方法及其应用摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。
本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。
本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。
关键词：离散型随机变量连续型随机变量数学期望计算方法ABSTRACT：第一节离散型随机变量数学期望的计算方法及应用1.1利用数学期望的定义，即定义法[1]定义：设离散型随机变量Ｘ分布列为则随机变量Ｘ的数学期望E(X)=)(1iniix p x∑=注意：这里要求级数)(1iniix p x∑=绝对收敛，若级数[]2例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。
推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。
试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？解设Ｘ表示该推销人用船运送货物时每箱可得钱数，则按题意，Ｘ的分布为按数学期望定义，该推销人每箱期望可得=)(XE10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元1.2公式法对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。
（1） 二点分布：X~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p p 101，则()p X E =（2） 二项分布：),(~p n B X ，10 p ，则np X E =)( （3） 几何分布：)(~p G X ,则有p X E 1)(= （4） 泊松分布：)(~λP X ，有λ=)(X E （5）超几何分布：),,(~M N n h X ,有NM n X E =)( 例2 一个实验竞赛考试方式为：参赛者从6道题中一次性随机抽取3道题,按要求独立完成题目.竞赛规定：至少正确完成其中2题者方可通过,已知6道备选题中参赛者甲有4题能正确完成,2题不能完成；参赛者乙每题能正确完成的概率都甲、乙两参赛者正确完成题数的数学期望.解 设参赛者甲正确完成的题数为X ,则X服从超几何分布,其中6,4,3N M n ===,设参赛者乙正确完成的题数为Y ,则)32,3(~B Y ,2323)(=⨯==np Y E1.3 性质法利用数学期望的性质求期望，主要性质有：c c E =)( )()(X aE aX E = b X aE b aX E +=+)()( 其中X 为随机变量，c b a ,,为常数。
例3 某工程队完成某项工程的时间X (单位：月)是一个随机变量，它的分布列为（1）试求该工程队完成此项任务的平均月数； （2）社该工程队所获利润为)13(50X Y -=,单位为万元。
试求工程队的平均利润。
解（1）根据题意，我们可求平均月数为：111.0132.0123.0114.010)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E 月（2）由（1）知11)(=X E ，则可得 ))13(50()(X E Y E -=1001150650)(50650)50650(=⨯==-=-=X E X E1.5 利用逐项微分法这种方法是对于概率分布中含有参数的随机变量而言的，我们可以通过逐项求微分的方法求解出随机变量的数学期望，关键步骤是对分布列的性质11=∑∞=i ip两边关于参数进行求导，从而解出数学期望。
例5 设随机变量)(~p G X ，求)(X E 。
解 因为)(~p G X ，故1)1()(--==k p p k X P 其中10 p ,2,1=k则1)1(11=-∑∞=-k k p p （1）对（1）式两边关于p求导得()[]0)1)(1(1121=----∑∞=--k k k p k p p()()()()()01111111101)1(1111111121211=--+----=-+---∑∑∑∑∑∑∞=-∞=-∞=-∞=-∞=-∞=-k k k k k k k k k k k k p p p p kp p p p p p p p kp p根据数学期望的定义知：()()∑∞=--=111k k p kp X E 且知1)1(11=-∑∞=-k k p p因此上式可以写成：()011111=-+--PX E p p 从而解得()pX E 1=1.6 利用条件数学期望公式法条件分布的数学期望称为条件数学期望，它主要应用于二维随机变量()Y X ,。
在()Y X ,为二维离散随机变量场合下，其计算公式为：()()()∑=====iiiy Y x X P x y Y X E X E或()()()∑=====jjj x X yY P y x X Y E Y E例6 设二维离散随机变量()Y X ,的联合分布列为试求()2=Y X E 和()0=X Y E解 要求()2=Y X E ，首先得求()2=Y X P()25106.005.005.005.003.001.001.020=+++++===Y X P 同理可得()25321===Y X P()25522===Y X P()25523===Y X P()25524===Y X P ()25625===Y X P()()257825652554255325522530225=⨯+⨯+⨯+⨯++====∴∑=i i i Y x X P x Y X E用同样的方法，我们可得()20==X Y E 1.7 利用重期望公式法重期望是在条件期望的基础之下产生的，()y Y X E =是y 的函数，对y 的不同取值，条件期望()y Y X E =的取值也在变化，因此我们可以把()Y X E 看作一个随机变量。
重期望的公式是()()()Y X E E X E =,此公式的前提是()X E 存在。
如果是Y 一个离散随机变量，则重期望公式可改写成为()()()∑===jjjy Y P y Y X E X E例7 口袋中有编码为n ,,3,2,1 的n 个球，从中任取一球，若取到1号球，则得1分，且停止摸球；若取得i 号球)2(≥i ，则得i 分，且将此球放回，重新摸球。
如此下去，试求得到的平均总分数。
解 记X 为得到的总分数，Y 为第一次取到的球的号码，则()()()nn Y P Y P Y P 121=======又因为()11==Y X E ，而当2≥i 时，()()X E i i Y X E +== 所以()()()()(){}X E n n ni Y P i Y X E X E ni 12111-++++====∑=由此解得()()21+=n n X E第二节 连续型随机变量数学期望的计算方法及应用连续型随机变量的数学期望的定义和含义完全类似于离散随机变量的，只要在离散随机变量的数学期望定义中用密度函数()x p 代替分布列(){}i x p ，用积分是代替和式，即得到连续场合下数学期望的定义。
2.1 定义法[]4设连续随机变量X 有密度函数()x p ，如果积分()dx x p x ⎰+∞∞- 有限（收敛）， 则称 ()()dx x p x X E ⎰+∞∞-= 为X 的数学期望。
若()dxx p x ⎰+∞∞- 无限（不收敛），则说X 的数学期望不存在。
例8 设随机变量X 服从均匀分布，求它的数学期望。
解 由于()b a U X ,~，则它的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧-=01ab x p其他b x a则根据定义它的数学期望为()()⎰⎰-⋅==+∞∞-badx ab x dx x p x X E 1()2221222b a a b a b x a b b a+=--=-=可见，均匀分布的数学期望位于区间[]b a ,的中点，即均匀分布具有对称性，下一节中我们将介绍利用分布图像的对称性来求数学期望。
例9 密度函数为()()211x x p +=π +∞∞- x 的分布称为柯西分布。
其数学期望不存在，这是因为积分 ⎰∞+∞-+dxxx211π 无限。
2.2 特殊积分法连续型随机变量X 的数学期望为()()dx x p x X E ⎰+∞∞-=，在计算连续型随机变量X 的数学期望时，常常会用到一些特殊的求积分的性质和方法，如基函数在对称区间的积分值为0，还有第一换元积分等，都会给我们的计算带来简便。
例10 设随机变量()2,~σμN X ，证明()μ=X E ．证 在()X E 的积分表达始终做变换()dz dx dx dz x z ⋅==-=σσσμ即1,可得()()⎰∞+∞---=dxxeX E x 22221μμσπ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=+⋅=⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞--∞+∞--dz e dz ze dzez z z z 2222222121μσπμσπ由于上式右端第一个积分的被积函数为奇函数，鼓起积分为0，第二个积分恰为π2，故得()μ=X E ．2.3 利用特征函数特征函数的定义：设X 是一个随机变量，称()()itX e E t =ϕ ,+∞∞- t ，为X 的特征函数，设连续随机变量X 有密度函数()x p ，则X 的特征函数为()()⎰+∞∞-=dx x p e t itxϕ +∞∞- t根据上式，我们可以求出随机变量分布的特征函数，然后利用特征函数的性质：()()()kk kiX E 0ϕ=求出数学期望，即()()iX E 0ϕ'=．例11 设随机变量()2,~σμN X ，求()X E ．解 因为随机变量()2,~σμN X ，则X 的特征函数为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=2exp 22t t i t σμϕ其一阶导数为()()22222exp t i t t i t σμσμϕ-⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧-='则()μϕi ='0由特征函数的性质得()()μμϕ=='=ii i X E 0注：此题关键是球正态分布的特征函数，我们可以先求出标准正态分布的特征函数，在利用特征函数的性质求出正态分布的特征函数。