数学期望的概念与计算
期望与方差公式汇总
期望与方差公式汇总
期望与方差是统计学中最基本的概念，它们是用来衡量随机变量分布特征的两个重要指标。
期望是概率分布的数学期望，它反映了随机变量的期望值，即随机变量取值的期望值。
期望的计算公式为：E(X)=∑xP(X)，其中x表示随机变量的取值，P(X)表示随机变量取值x
的概率。
方差是概率分布的数学期望，它反映了随机变量的变异程度，即随机变量取值的变异程度。
方差的计算公式为：D(X)=∑(x-E(X))^2P(X)，其中x表示随机变量的取值，E(X)表示随机
变量的期望值，P(X)表示随机变量取值x的概率。
期望与方差是统计学中最基本的概念，它们可以帮助我们了解随机变量的分布特征。
期望与方差的计算公式分别为E(X)=∑xP(X)和D(X)=∑(x-E(X))^2P(X)。
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。
本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。
通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。
这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。
二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。
通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。
这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。
三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。
《数学期望》课件
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
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连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
《数学期望》PPT课件
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目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
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引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策
数学期望的几种求法
数学期望的几种求法
期望是统计学中的重要概念，又称均值数或期望值。
求数学期望有如下几种方法：
1、求期望的定义：
数学期望是指在定义域出现各可能结果的概率乘以其可能结果的积分的和的称之为期望，用符号Ε(X)表示为：
Ε(X)=Σx·P(x)
其中，Σx表示每一个可能出现的x的值的求和，P(x)表示可能出现的x的概率的和的称之。
2、求期望的性质：
（1）当数学期望中的x取任意值，则期望值保持不变：
Ε(aX+b)=aΕ(X)+b
（2）期望和越大，其中取值越多，则期望值越大：
Ε(X+Y)≥Ε(X)+Ε(Y)
3、求期望的常用公式：
（1）二项分布期望：
二项分布期望公式：Ε(X)=n·P
其中，n表示试验次数，P表示每次试验发生事件的概率。
（2）二项分布方差：
方差公式：V(X)=n·P·(1-P)
其中，n表示试验次数，P表示每次试验发生事件的概率。
（3）泊松分布期望：
泊松分布期望公式：Ε(X)=λ
其中，λ表示实验的平均数。
（4）泊松分布方差：
方差公式：V(X)=λ
其中，λ表示实验的平均数。
数学期望的原理及应用
数学期望的原理及应用1. 原理数学期望是概率论中的一个重要概念，用于描述随机变量的平均值。
在概率论中，随机变量是指在一个随机实验中，可以随机地取不同值的变量。
数学期望可以看作是随机变量的平均取值，它是对随机变量可能取值的加权平均。
数学期望的计算公式为:$$E(X) = \\sum_{i=1}^{n} X_i \\cdot P(X_i)$$其中，X i是随机变量的某个取值，P(X i)是X i对应的概率。
数学期望的求解步骤如下：1.确定随机变量的全部可能取值；2.计算每个取值的概率；3.计算每个取值与其对应概率的乘积；4.将上述乘积相加即得到数学期望。
2. 应用数学期望在各个领域都有广泛的应用，以下是数学期望在一些具体问题中的应用案例：2.1 统计学在统计学中，数学期望是一个重要的统计指标，用于衡量一个随机变量的中心位置。
例如，在对一个随机样本的分析过程中，可以通过计算样本的数学期望来了解样本的平均水平。
数学期望还被广泛应用于估计总体的参数，例如通过样本的平均值来估计总体的均值。
2.2 金融学在金融学中，数学期望在投资组合的管理中发挥重要作用。
通过计算各个投资标的的数学期望，可以评估投资标的的预期收益。
基于这些数学期望，投资者可以根据自己的风险偏好进行资产配置，以达到最优的投资组合。
2.3 工程学在工程学中，数学期望可以应用于各种实际问题的分析。
例如，在电力系统中，可以通过计算电力负荷的数学期望来确定电力系统的设计容量。
在工程项目的成本估算中，也可以通过计算工程成本的数学期望来进行成本控制和决策。
2.4 计算机科学在计算机科学中，数学期望被广泛用于分析算法的性能。
通过计算算法的平均运行时间的数学期望，可以评估算法的效率和性能。
数学期望还被用于建模和优化网络传输的时延和吞吐量。
3. 总结数学期望作为概率论中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。
它是随机变量的平均取值，描述了随机变量的中心位置。
通过计算随机变量的数学期望，可以用于统计分析、金融投资、工程项目和计算机科学等领域的问题解决。
高一数学中的期望值与方差如何计算
高一数学中的期望值与方差如何计算在高一数学的学习中，期望值和方差是两个非常重要的概念，它们在统计学和概率论中有着广泛的应用。
理解和掌握这两个概念的计算方法，对于我们解决实际问题和深入理解数学知识都具有重要的意义。
首先，让我们来了解一下什么是期望值。
期望值，简单来说，就是随机变量的平均取值。
如果我们把随机变量想象成一个“会变的数”，那么期望值就是它“平均会变成多少”。
假设我们有一个离散型随机变量X，它可能取值为x₁，x₂，x₃，，xₙ，对应的概率分别为 p₁，p₂，p₃，，pₙ。
那么这个随机变量 X的期望值 E(X)就可以通过以下公式计算：E(X) ＝ x₁p₁＋ x₂p₂＋ x₃p₃＋＋ xₙpₙ举个简单的例子，假设有一个掷骰子的游戏。
骰子有六个面，分别标有 1 到 6 的数字。
我们设随机变量 X 表示掷骰子得到的点数。
那么X 可能取值为 1、2、3、4、5、6，且每个点数出现的概率都是 1/6。
那么期望值 E(X)就等于：E(X) ＝ 1×（1/6) ＋ 2×（1/6) ＋ 3×（1/6) ＋ 4×（1/6) ＋ 5×（1/6) ＋6×（1/6) ＝ 35这意味着，如果我们多次掷骰子，平均得到的点数大约是 35。
接下来，我们再看看方差。
方差反映的是随机变量取值相对于期望值的分散程度。
如果方差较小，说明随机变量的取值比较集中在期望值附近；如果方差较大，则说明随机变量的取值比较分散。
离散型随机变量 X 的方差 Var(X)的计算公式为：Var(X) ＝ E(（X E(X)）²)但为了计算方便，我们通常使用以下公式：Var(X) ＝ E(X²) E(X)²同样以上面掷骰子的例子来说明。
我们先计算 E(X²)：E(X²) ＝ 1²×（1/6) ＋ 2²×（1/6) ＋ 3²×（1/6) ＋ 4²×（1/6) ＋ 5²×（1/6) ＋ 6²×（1/6) ＝ 91/6然后，已知 E(X) ＝ 35，所以方差 Var(X)为：Var(X) ＝ 91/6 35²＝35/12 ≈ 292这表明掷骰子得到的点数相对期望值的分散程度。
数学期望在生活中的运用
数学期望的性质及其在实际生活中的应用●数学期望的概念：在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
是最基本的数学特征之一，它反映随机变量平均取值的大小。
●数学期望的定义E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) X1,X2,X3,……,Xn为这几个数据，p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)为这几个数据的概率函数。
在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3,……,Xn出现的频率f(Xi).则：E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn)E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。
●数学期望的应用：例一、某一彩票中心发行彩票10万张，每张2元。
设头等奖1个，奖金1万元，二等奖2个，奖金各5千元；三等奖10个，奖金各1千元；四等奖100个，奖金各100元；五等奖1000个，奖金各10元。
每张彩票的成本费为0.3元，请计算彩票发行单位的创收利润。
E（X）＝10000×＋5000×＋ 0＝0.5（元）每张彩票平均可赚2－0.5－0.3＝1.2（元），因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为100000×1.2＝120000（元）小结：通过计算期望，我们可以得到单张彩票的平均利润，从而得出总共的创收利润。
例二、某投资者有10万元资金，现有两种投资方案供选择：一是购买股票;二是存人银行。
买股票的收益主要取决于经济形势，假设经济形势分为三种状态：形势好、形势中等、形势不好。
在股市投资10万元，以一年计算，若形势好可获利40 000元;若形势中等可获利10 000元;若形势不好则会损失20 000元。
数学期望公式3篇
数学期望公式第一篇：基础概念与定义数学期望是概率论中的一个重要概念，它可以用于描述随机变量的平均值，也可以用于评价随机事件的平均结果。
在现代数学、统计学以及应用科学等领域，数学期望被广泛应用。
本文将介绍数学期望的基础概念与定义。
数学期望，又称为期望值或期望数，是指对于一组数据，分别乘以它们出现的概率后再相加得到的结果。
从数学上来说，对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)可以用下面的公式来表示：E(X) = Σ(x*p(x))其中，x为X的可能取值，p(x)为X取值为x的概率，Σ表示对所有可能取值x的求和操作。
同样的，对于一个连续型随机变量X，它的数学期望E(X)可以用下面的积分形式来表示：E(X) = ∫x*f(x)dx其中，f(x)为X的概率密度函数。
在实际应用中，数学期望可以用来解决很多问题。
例如，对于平均身高为175cm的人群，如果我们想知道某一个个体身高与平均身高的差距有多大，我们可以计算出这个人的身高与平均身高的差值，并将其除以人群总数。
这样，得到的结果就是所有个体身高与平均身高之差的平均值，即身高的数学期望。
通过比较这个差值与标准差，我们可以了解这个人的身材是否比较健康和匀称。
另外，数学期望还可以用于描述随机事件的效果。
例如，当我们掷骰子时，我们可以计算出每个点数和其对应的概率，然后将它们相乘再相加，得到的结果就是掷骰子的数学期望。
如果我们掷了十次骰子，我们可以将每次掷骰子得到的点数的平均值与掷骰子的数学期望相比较，了解我们掷骰子的效果如何。
总之，数学期望是衡量随机变量的均值的一种方法，它可以用于处理多种实际问题。
在实际应用中，要根据实际情况选择相应的数学期望公式进行计算和分析。
在下一篇文章中，我们将继续介绍数学期望的一些重要性质和应用。
第二篇：数学期望的性质和应用数学期望作为概率论中的一个重要概念，其具有多种性质和应用。
通过了解这些性质和应用，我们可以更深入地了解数学期望的本质。
数学期望值的概念和意义
数学期望值的概念和意义数学期望值是概率论中的一个重要概念，它是每个可能结果的概率与其对应的值的乘积的总和。
数学期望值可以用来描述一个随机变量所具有的平均水平，它反映了随机变量的中心位置。
在统计学和概率论中，数学期望值有着重要的意义和应用。
首先，数学期望值可以用来描述一个随机事件的平均结果。
在离散型随机变量的情况下，数学期望值是每个可能取值乘以其概率的总和。
例如，掷骰子的随机变量X的取值为1、2、3、4、5、6，每个取值的概率均为1/6，那么X的数学期望值为(1×1/6)+(2×1/6)+(3×1/6)+(4×1/6)+(5×1/6)+(6×1/6)=3.5。
这表示在长期实验中，掷骰子的平均结果将接近于3.5，即我们可以预期掷出的点数在平均意义下接近于3.5。
其次，数学期望值还是一个随机变量的重要性质之一。
在随机变量的分布中，数学期望值属于一个固定的值，它是随机变量所在分布的特征之一。
通过计算随机变量的数学期望值，我们可以获得关于随机变量的重要信息，比如该随机变量的平均值、期望值等。
例如，对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，那么X的数学期望值可以通过积分计算得到，即E(X)=∫xf(x)dx。
数学期望值能够提供关于随机变量的重要特征，帮助我们更好地理解和分析随机变量。
此外，数学期望值还可以用来评估不同概率分布下的随机变量性质。
对于给定的随机变量X，其数学期望值与方差密切相关。
方差是随机变量与其期望之间的离散程度的度量，方差越大表示随机变量的值离期望值越远。
因此，数学期望值可以通过方差来衡量随机变量的离散程度。
如果随机变量的方差较大，那么数学期望值可能不能很好地反映其平均水平。
通过比较不同概率分布下随机变量的数学期望值和方差，我们可以评估其分布特征的不同，选择适合的概率分布模型来描述随机变量的性质。
此外，数学期望值还在实际问题中具有广泛的应用。
数学期望
x0 x0
于是N的概率密度为 2 e f min ( x ) 0
2x
x0 x0
E( N )
xfmin ( x )dx
0
2x
2x
e
dx
2
三、随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出： 设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X 的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？ 一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概 率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦 我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把 E[g(X)]计算出来.
( 2)求E ( X ), E ( XY ).
/2
/2
f ( x , y )dxdy
0
dy
A sin( x y )dx 1，得A 2
0
1
EX
设二维连续型随机变量（X , Y）的概率密度为
A sin( x y ) 0 x, y f ( x, y ) 2 0 其它
解：由上面的公式
a 2
E (W )
kv
f ( v )dv
kv
0
2
1 a
dv
1 3
ka
2
EX
设二维连续型随机变量（X , Y）的概率密度为
A sin( x y ) 0 x, y f ( x, y ) 2 0 其它
(1)求系数A ,
解：（1）由于
请注意 : 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛 的积分.
《数学数学期望》课件
连续型随机变量是一种可以取任意实数值的 随机变量，期望等于概率密度函数与变量的 乘积在整个区间上的积分。
离散型随机变量及其期望
离散型随机变量是一种只取一些特定值的随 机变量，期望等于每个取值乘以其对应概率 的总和。
期望的应用
期望在概率统计和实际生活中都有广泛应用， 是一种非常重要且实用的工具。
离散型随机变量的期望
1
定义离散型随机变量
离散型随机变量是一种只取一些特定
离散型随机变量的期望公式
2
值的随机变量，其取值为有限的或可 数无限的。
期望等于每个取值乘以其对应概率的
总和。
3
求解离散型随机变量期望的例
子
我们将结合案例进行详细讲解，帮助 你深入理解离散型随机变量的期望。
连续型随机变量的期望
2
期望在概率统计中的应用
期望是概率统计中的重要概念，广泛应用于风险评估、实验设计、假设检验、抽 样调查等领域。
3
期望在实际生活中的应用
期望在实际生活中也有着广泛的应用，如股票投资、保险计算、游戏设计等领域。
总结
期望的概念及相关性质
期望是随机变量所有可能取值的概率乘以其 相应取值的总和，具有多种重要性质。
定义连续型随机变量
连续型随机变量是一种可以取 任意实数值的随机变量，其取 值是一个区间。
连续型随机变量的期望 公式
期望等于概率密度函数与变量 的乘积在整个区间上的积分。
求解连续型随机变量期 望的例子
以正态分布为例，演示如何求 解连续型随机变量的期望。
期望的应用
1
期望值的意义
期望值可以代表随机变量的中心趋势，帮助人们更好地理解和描述随机事件的特 征。
3-1 数学期望
几点说明:
( 1 ) 级数
k 1
|x
k 1
k
| p k 收敛 , 是为了保证级数 变而改变其值 .
xk pk
k 1
不会因各项的次序的改
(2) 数学期望E(X)是一个常数,而非变量．它 既不是随机变量所有可能取值的算术平均值，也 不是随机变量的有限次观测值的算术平均值．它 是一种以概率为权的加权平均值,它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值，具有重 要的统计意义． 请看下面的例子和实验___
存入银行的利息:
10 5 % 0 . 5 ( 万元 ),
故应选择投资.
例３ 设随机变量 X 解 因而 由于 p k
~ ( ) ( 0） 求X的数学期望E(X). ,
P{ X k}
k
e
k!
，k=0,1,2,…
E(X )
kp
k0
k
k
k
６
16 16/ 100
次数
14 频率 14/ 100
21 17 21/ 100 17/ 100
每次投掷的平均点数 W
平均值＝ 以频率 为权的加权平均
1 (1 14 2 21 3 17 4 22 5 10 6 16) 100
21 3 17 100 4 22 100 5 10 100 6 16 100 2.965
1
14 100
2
100
频率和 概率的关系
W 1
n n1 n n 2 2 3 3 4 4 n n n n
1 p0 2 p1 3 p2 4 p3 抽象出 试验次数很大时,
概率论第一节 数学期望
i 1 i 1 n n
请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立
4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
E[ X i ] E ( X i ) （诸Xi相互独立时）
i 1 i 1
n
n
三、数学期望的性质
计算t的值使得EY 达到最大 t ( EY ) 7 0 t 3500 t 500 即组织货源3500吨为宜.
二、连续型随机变量的数学期望
综上：
xi pi , X 离散型 i 1 EX xf ( x )dx , X 连续型
发散，则称X的数学
二、连续型随机变量的数学期望
关于定义的两点说明 (1)连续型随机变量X的数学期望为实数域R上 对取值与密度值乘积的广义积分. (2)注意区分： xf ( x)dx E ( X )
f ( x)dx 1
二、连续型随机变量的数学期望
x2 0 x1 f ( x ) 2 x 1 x 2，求EX . 0 其它
15 40 30 10 5 18 19 20 21 22 100 100 100 100 100
18 15% 19 40% 20 30% 2110% 22 5%
—各年龄出现的频率 将此种方法下计算的平均年龄称为依频率的加权平均。
例如：评价地区粮食水平，只需了解粮食的平 均产量；评价棉花质量，既要注意纤维的平均长度， 又要注意个体真实长度与平均长度的总体偏差程度， 一般认为，平均长度越长，整体偏差越小，质量就 越好。 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字 特征是重要的 . 常用的数字特征：数学期望，方差.
《数学数学期望》课件
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目 录
• 数学期望的基本概念 • 数学期望的性质与定理 • 数学期望的应用 • 特殊随机变量的数学期望 • 数学期望的扩展与展望
01
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数学期望的基本概念
定义与性质
定义
数学期望是随机试验在大量重复 下出现的频率的稳定值。
性质
数学期望具有可加性、可数性、 线性性质等。
分位数与分位数函数
分位数
分位数是概率论中的一个概念，用于描述数据分布的位置特征。常见的分位数包括中位 数、四分位数等。分位数的计算和应用对于统计分析、数据挖掘等领域具有重要意义。
分位数函数
分位数函数是描述分位数与概率之间关系的函数。通过分位数函数，可以更方便地理解 和应用分位数的概念，从而更好地分析数据的分布特征。
通过计算投资组合的数学期望， 投资者可以了解投资组合的预期
收益，并据此做出投资决策。
数学期望在金融学中还用于资产 定价、风险管理、资本预算和股
票期权定价等领域。
在决策理论中的应用
在决策理论中，数学期望被用来评估 不同决策方案的预期结果。
数学期望在决策理论中还用于风险决 策、不确定性决策和多目标决策等领 域，以帮助我们做出更加科学和合理 的决策。
大数定律与中心极限定理
大数定律
当试验次数趋于无穷时，随机事件的频率趋于该事件 发生的概率。即 limn→∞P(|En−E)/n→0P(|En−E)/n→0limn→∞P(|En −E)/n→0=1。
中心极限定理
无论随机变量X1,X2,…,XnnX_1, X_2, ldots, X_{nn}Xi1,Xi2,…,Xinn的分布如何，当它们的数量趋于 无穷时，它们的平均值的分布趋于正态分布。即 limn→∞P(|En−μ)/σ≤z)=1−12z2lim_{n to infty} P(|En−μ)/σ≤z|)=1−12z2limn→∞P(|En−μ)/σ≤z|)=1 −12z2，其中En=1n∑i=1nXiEn = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} X_iEn=n1∑i=1nXi，μ是随机变量的均 值，σ是标准差，z是正态分布的分位数。
数学期望与方差
数学期望与方差在我们的日常生活和各种科学研究中，数学期望和方差是两个非常重要的概念。
它们帮助我们理解和预测随机现象，做出更明智的决策。
让我们先从数学期望说起。
简单来讲，数学期望就是对随机变量取值的平均水平的一种度量。
想象一下你在玩抛硬币的游戏，正面你赢 1 元，反面你输 1 元。
假设抛硬币正面朝上的概率是 05，反面朝上的概率也是 05。
那么你玩一次这个游戏，平均能赢多少钱呢？数学期望就能回答这个问题。
对于这个抛硬币的例子，赢 1 元的概率是 05，输 1 元的概率也是05。
数学期望就是（1×05）＋（－1×05）＝ 0 元。
这意味着，从平均的角度来看，你长期玩这个游戏，不会赢也不会输。
再举个例子，假设一个抽奖活动，有 10%的机会赢得 100 元，90%的机会什么都得不到。
那么这个抽奖的数学期望就是 100×01 ＋ 0×09＝ 10 元。
这 10 元就代表了你参与这个抽奖平均能获得的收益。
数学期望在很多实际场景中都有应用。
比如在投资领域，投资者会通过计算不同投资产品的数学期望来决定资金的分配。
如果一项投资的数学期望收益较高，风险在可承受范围内，投资者就可能更倾向于选择它。
说完数学期望，咱们再来说说方差。
方差是用来衡量随机变量取值的分散程度的。
还是拿刚才抛硬币的例子，如果我们抛了很多次硬币，有时候赢 1 元，有时候输 1 元，这些结果的分散程度就可以用方差来描述。
方差越大，说明随机变量的取值越分散；方差越小，说明取值越集中在数学期望附近。
假设我们有两组数据，第一组是 1，2，3，4，5，它们的平均值是 3。
计算方差可以发现，这组数据的方差相对较小，因为数值比较均匀地分布在平均值周围。
而另一组数据是 1，1，5，5，它们的平均值也是 3，但这组数据的方差就比较大，因为数值比较分散。
在实际生活中，方差也有很多用处。
比如在质量控制中，如果一批产品的某个质量指标的方差过大，就说明产品的质量不稳定，需要改进生产工艺。
4.1数学期望
E ( X 1 ) = 8 × 0.3 + 9 × 0.1 + 10 × 0.6 = 9.3(环), E ( X 2 ) = 8 × 0.2 + 9 × 0.5 + 10 × 0.3 = 9.1(环),
故甲射手的技术比较好. 故甲射手的技术比较好
实例2 商店的销售策略 实例 某商店对某种家用电器 的销售采用先使用后 付款的方式 , 记使用寿命为 X (以年计 ), 规定 : X ≤ 1, 一台付款 1500 元;1 < X ≤ 2, 一台付款 2000 元; 2 < X ≤ 3, 一台付款 2500 元; X > 3, 一台付款 3000 元 .
设寿命 X 服从指数分布 ,概率密度为 , 概率密度为 设寿命 1 − x 10 , x > 0, e f ( x ) = 10 0, x ≤ 0. 试求该商店一台家用电 器收费 Y 的数学期望 .
解
1 − x 10 = 1 − e − 0.1 = 0.0952, P { X ≤ 1} = ∫ e dx 0 10 2 1 P {1 < X ≤ 2} = ∫ e − x 10 d x 1 10
∫
xi+1
xi
f (x)dx
阴影面积近似为
f (xi )∆xi
≈ f (xi )( xi+1 − xi )
= f (xi )∆xi
小区间[x 小区间 i, xi+1)
因此X与以概率 因此 与以概率 f (xi )∆xi 取值xi的离离连r.v 近似, 该离离连r.v 近似 该离离连 的数学 阴影面积近似为 期望是 期望是 f (xi )∆xi
若设随机变量 X பைடு நூலகம்:在 A 胜2局B 胜1局的前提 在 局 局的前提 最终所得的赌金. 下, 继连赌下去 A 最终所得的赌金 所取可能值为: 则X 所取可能值为 其概率分别为: 其概率分别为