112013届高三数学二轮复习_必考问题专项突破7_三角恒等变换与解三角形_理
高考数学热点专题突破讲练：三角恒等变换与解三角形(含新题详解)
第七讲 三角恒等变换与解三角形简单三角恒等变换差角余弦公式倍角公式和(差)角公式余弦定理正弦定理三角形面积公式解三角形应用举例1．(倍角公式)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12D.23【解析】 ∵sin 2α＝23，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π 22 ＝1－sin 2α2＝1－232＝16.【答案】 A2．(正弦定理与和角公式)(2013·陕西高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【解析】 由正弦定理，及b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得 sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ， ∴sin A ＝1，得A ＝π2(由于0＜A ＜π)，故△ABC 是直角三角形． 【答案】 A3．(正弦定理)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________. 【解析】 在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A， ∴AC ＝BC ·sin B sin A＝2 3.【答案】 2 3图2－2－14．(余弦定理的应用)(2013·福建高考)如图2－2－1，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．【解析】 ∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223，∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ， ∴BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD ＝ 3. 【答案】35．(三角恒等变换)(2013·重庆高考改编)4cos 50°－tan 40°＝________. 【解析】 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝sin 80°＋sin (60°＋20°)－sin (60°－20°)cos 40°＝sin 80°＋2cos 60°sin 20°cos 40°＝sin 80°＋sin 20°cos 40°＝sin (50°＋30°)＋sin (50°－30°)cos 40°＝2sin 50°cos 30°cos 40°＝3·cos 40°cos 40°＝ 3.【答案】 3简单的三角恒等变换(2013·湖南高考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335， 求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．【思路点拨】 (1)利用和(差)角、倍角公式将f (x )、g (x )化简，沟通二者联系；(2)由f (x )≥g (x )，化为“一角一名称”的三角不等式，借助三角函数的图象、性质求解．【自主解答】 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ， 即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≥12， 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．1．(1)注意角之间的关系，灵活运用和(差)、倍角公式化为“同角x ”的三角函数，这是解题的关键；(2)重视三角函数图象，性质在求角的范围中的应用，由图象的直观性、借助周期性，整体代换可有效避免错误．2．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．变式训练1 已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 求cos 2αsin (α－π4)的值．【解】 依题意得sin α－cos α＝12，所以1－2sin αcos α＝14，2sin αcos α＝34.则(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝74.由0<α<π2，知sin α＋cos α＝72>0.所以cos 2αsin (α－π4)＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142.正(余)弦定理(2013·山东高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．【思路点拨】 (1)由余弦定理，得关于a ，c 的方程，与a ＋c ＝6联立求解；(2)依据正弦定理求sin A ，进而求cos A ，sin B ，利用两角差的正弦公式求值．【自主解答】 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429，由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角． 所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.1．(1)本题求解的关键是运用正弦(余弦)定理完成边角转化；(2)求解易忽视判定A 的范围，错求cos A ＝±13，导致增解．2．以三角形为载体考查三角变换是近年高考的热点，要时刻关注它的两重性：一是作为三角形问题，它必然通过正弦(余弦)定理、面积公式建立关于边的方程，实施边角转化；二是它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的．变式训练2 (2013·重庆高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc .(1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值． 【解】 (1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因为0<A <π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12.又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A·a sin C ＝3sin B sin C ， 因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )． 所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.解三角形及应用(2013·济南质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .【思路点拨】 (1)从要证的结论看，需将条件中角的三角函数化为边，因此需统一为正弦函数，然后运用三角变换公式化简．(2)由(1)的结论，联想余弦定理，求cos B ，进而求出△ABC 的面积．【自主解答】 (1)在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sin B (sin Acos A＋sin C cos C )＝sin A cos A ·sin Ccos C， 所以sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C . 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋C )＝sin B ， 所以sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列． (2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝ 2. 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34.因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.1．认真分析题设与要求结论的联系与区别，消除差异，从而找到解题的突破口，这是本题求解的关键．2．三角形中的边角计算是近年命题的重点，解决这类问题要抓住两点：(1)根据条件，恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；(2)结合内角和定理、面积公式，灵活运用三角恒等变换公式．变式训练3 已知三角形的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(c －a ，b －a )，n ＝(a ＋b ，c )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．【解】 (1)∵m ∥n ，∴c (c －a )＝(b －a )(a ＋b )， ∴c 2－ac ＝b 2－a 2，则a 2＋c 2－b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.又0＜B ＜π，因此B ＝π3.(2)∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝2π3，∴sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝sin A ＋sin2π3 cos A －cos 2π3sin A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6， ∵0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，∴12＜sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1，∴32＜sin A ＋sin C ≤ 3. 故sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎤32，3正(余)弦定理的实际应用【命题要点】 ①实际问题中的距离，高度测量；②实际问题中角度、方向的测量；③实际行程中的速度、时间的计算．如图2－2－2所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？图2－2－2【思路点拨】 由题设条件，要求该救援船到达D 点的时间，只需求出C 、D 两点间的距离，先在△ABD 中求BD ，再在△BDC 中求CD ，进而求出时间．【自主解答】 由题意知AB ＝5(3＋3)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝45°，∴∠ADB ＝105°.∴sin 105°＝sin 45°·cos 60°＋sin 60°·cos 45° ＝22×12＋32×22＝2＋64. 在△ABD 中，由正弦定理得： BD sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB，∴BD ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin 45°sin 105°＝5(3＋3)×222＋64＝103(1＋3)1＋3＝10 3.又∠DBC ＝180°－60°－60°＝60°，BC ＝203， 在△DBC 中，由余弦定理得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2·BD ·BC ·cos 60° ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900.∴CD ＝30(海里)，∴救援船需要的时间t ＝3030＝1(小时)．1．该题求解的关键是借助方位角构建三角形，要把需求量转化到同一个三角形(或相关三角形)中，运用正(余)弦定理沟通边角关系．2．应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步： (1)根据题意，画出示意图，并标出条件．(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解．(3)检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．变式训练4 如图2－2－3，A 、C 两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A 岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B 处．然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行，图2－2－3下午4时到达C 岛． (1)求A 、C 两岛之间的距离； (2)求∠BAC 的正弦值．【解】 (1)在△ABC 中，由已知，得AB ＝10×5＝50(海里)，BC ＝10×3＝30(海里)， ∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°，由余弦定理，得AC 2＝502＋302－2×50×30 cos 120°＝4 900， 所以AC ＝70(海里)．故A 、C 两岛之间的距离是70海里． (2)在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，所以sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝30sin 120°70＝3314.故∠BAC 的正弦值是3314.从近两年的高考命题看，正弦定理、余弦定理是高考命题的热点，不仅是用来解决一些简单的三角形边角计算问题；且常与三角函数、向量、不等式交汇命题，灵活考查学生分析解决问题的能力，多以解答题的形式出现，属中低档题目．以三角形为载体的创新交汇问题(12分)已知△ABC 是半径为R 的圆内接三角形，且2R ·(sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B .(1)求角C ；(2)试求△ABC 的面积S 的最大值． 【规范解答】 (1)由2R (sin 2A －sin 2C ) ＝(2a －b )sin B ，得a sin A －c sin C ＝2a sin B －b sin B ， ∴a 2－c 2＝2ab －b 2，4分由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，又0＜C ＜π，∴C ＝π4.6分(2)∵csin C＝2R ， ∴c ＝2R sin C ＝2R . 由(1)知c 2＝a 2＋b 2－2ab ， ∴2R 2＝a 2＋b 2－2ab .8分又a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)， ∴2R 2≥2ab －2ab ， ∴ab ≤2R 22－2＝(2＋2)R 2.10分∴S △ABC ＝12ab sin C ＝24ab ≤2＋12R 2. 即△ABC 面积的最大值为2＋12R 2. 12分【阅卷心语】易错提示 (1)不能灵活运用正弦定理化简等式，致使求不出角C ，究其原因是不能深刻理解正弦定理的变形应用．(2)对求△ABC 的面积的最大值束手无策，想不到利用等式求ab 的最大值． 防范措施 (1)利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，可实施边角转化．(2)对于“已知一边及其对角”的三角形，常用余弦定理，得到其他两边的关系，再利用基本不等式便可求三角形面积的最值．1．已知函数f (x )＝sin(x ＋7π4)＋cos(x －3π4)，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求f (β)的值． 【解】 (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋74π－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －34π＋π2 ＝sin(x －π4)＋sin(x －π4)＝2sin(x －π4)． ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)由cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45得 cos βcos α＋sin βsin α＝45， cos βcos α－sin βsin α＝－45. 两式相加得2cos βcos α＝0.∵0<α<β≤π2，∴β＝π2. ∴f (β)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝2sin π4＝ 2. 2．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．【解】 (1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，①又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B .又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac . 由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4. 又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2， 当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.。
新高考数学二轮复习三角恒等变换与解三角形
【 真题体验 】
1.(2023·新高考Ⅱ卷)已知 α 为锐角，cos α＝1＋4 5，则 sin α2＝
3－ 5 A. 8
－1＋ 5 B. 8
3－ 54
5＝1－2sin2α2，得 sin2α2＝3－8
5＝6－126
5＝
54－12，
又 α 为锐角，所以 sinα2>0，
2 由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C， 得 52＝AC2＋(3 5)2－2AC·3 5cosπ4， 整理得 AC2－3 10AC＋20＝0，
解得 AC＝ 10或 AC＝2 10.
由(1)得，tan A＝3> 又 A＋B＝34π，所以
3B，>所π4，以即π3<CA<<Bπ2，，
＝ 55×31010－255×－ 1100＝ 22. 所以 β＝π4.
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知 sin(α－β)＝13，cos αsin β＝16，则 cos(2α＋2β)＝
7 A.9
√1
B.9
C.－19
D.－79
依题意，得sin cos
αcos αsin
β－cos β＝16，
αsin
β＝13，
所以 sinα2＝－1＋4 5，故选 D.
2.(2023·全国乙卷)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 acos B
－bcos A＝c，且 C＝π5，则 B＝
π A.10
π B.5
√3π
C.10
2π D. 5
因为acos B－bcos A＝c，
所以由正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(B＋A)，
高三数学二轮专题复习第2讲 三角恒等变换与解三角形
第2讲 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A.4 2B.30C.29D.2 5[解析] 因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35. 于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32.所以AB ＝4 2. [答案] A2.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝________.[解析] ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝2，∴sin α＝2 cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝55.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22(cos α＋sin α)＝31010.[答案] 310103.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB， 所以sin ∠ADB ＝25. 由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25. 所以BC ＝5.4.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值. 解 (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.考 点 整 合1.三角函数公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba .2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)； 变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R ， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等. (2)余弦定理在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .(3)三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .热点一三角恒等变换及应用【例1】(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值.解(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝9 25，因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－7 25.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－5 5，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝25 5，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan（α＋β）1＋tan 2αtan（α＋β）＝－211.探究提高 1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角.(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.【训练1】 (1)(2018·广西三市联考)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4等于( ) A.13 B.－13 C.3 D.－3(2)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________.[解析] (1)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，又x ∈(0，π)，则tan x ＝2， 故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.(2)因为cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝17.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12. 因为π4<α＋β<3π4，所以α＋β＝π3.[答案] (1)A (2)π3热点二 正弦定理与余弦定理考法1利用正(余)弦定理进行边角计算【例2－1】(2018·潍坊一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋b cos A＝0.(1)求B；(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋23，求△ABC的面积.解(1)由已知及正弦定理得(sin A＋2sin C)cos B＋sin B cos A＝0，(sin A cos B＋sin B cos A)＋2sin C cos B＝0，sin(A＋B)＋2sin C cos B＝0，又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，∴cos B＝－12，∵0<B<π，∴B＝23π.(2)由余弦定理，得9＝a2＋c2－2ac cos B. ∴a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9.∵a＋b＋c＝3＋23，∴a＋c＝23，∴ac＝3，∴S△ABC ＝12ac sin B＝12×3×32＝334.【迁移探究1】若本题第(2)问条件变为“若b＝3，S△ABC ＝334”，试求a＋c的值.解由S△ABC ＝12ac·sin B＝334，∴12ac·32＝334，则ac＝3.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－ac，所以(a＋c)2＝b2＋ac＝9＋3＝12，故a＋c＝2 3.【迁移探究2】在第(2)问中，保留条件b＝3，删去“条件△ABC的周长为3＋23”，试求△ABC面积的最大值.解由b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac，则9＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，所以ac≤9(当且仅当a＝c＝3时，取等号)，故S△ABC ＝12ac sin B≤12×9sin2π3＝934，所以△ABC 面积的最大值为934.探究提高 1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.【训练2】 (2017·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2. (1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2， 故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517及B 为三角形一内角，得sin B ＝817， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.考法2 应用正、余弦定理解决实际问题【例2－2】(2018·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为()A.210(6＋2)米B.1406米C.2102米D.20(6－2)米[解析]由题意，设AC＝x米，则BC＝(x－40)米，在△ABC内，由余弦定理：BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420(米).在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，由正弦定理：CHsin∠CAH ＝ACsin∠AHC.可得CH＝AC·sin∠CAHsin∠AHC＝1406(米).[答案] B探究提高 1.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.2.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.【训练3】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.[解析] 由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°， 解得BC ＝3002(m).在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m). [答案] 100 6热点三 与解三角形有关的创新交汇问题【例3】 (2018·郑州质检)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA →·BC →的值. 解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.因为f (x )的最小正周期为π，所以T ＝2π2|ω|＝π. 又ω＞0，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c . 因为f (B )＝－2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，由于0<B <π，解得B ＝2π3.因为BC ＝3，即a ＝3，又sin B ＝3sin A ， 所以b ＝3a ，故b ＝3.由正弦定理，有3sin A ＝3sin 2π3，解得sin A ＝12.由于0＜A ＜π3，解得A ＝π6.所以C ＝π6，所以c ＝a ＝ 3.所以BA →·BC →＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32.探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化. 2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.【训练4】 已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝17，求△ABC 中线AD 的长.解 (1)f (x )＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴T ＝2π2＝π.∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵在△ABC 中f (A )＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，∴2A －π6＝π2，∴A ＝π3.又cos B ＝17，∴sin B ＝437，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314， 在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝a sin A ，得55314＝a32，∴a ＝7，∴BD ＝72，在△ABD 中，由余弦定理得，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2×5×72×17＝1294，∴AD ＝1292.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用； (3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法. 2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S ＝12ab sin C 来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.一、选择题1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝13，则cos 2α＝( ) A.89 B.79 C.－79D.－89[解析] cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79. [答案] B2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.34πB.π3C.π4D.π6[解析] 由已知得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－2b 2（1－sin A ）2b 2＝sin A .在△ABC 中，A ＝π4. [答案] C3.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6[解析] 因为S △ABC ＝12ab sin C ，所以a 2＋b 2－c 24＝12ab sin C .由余弦定理a 2＋b 2－c2＝2ab cos C ，得2ab cos C ＝2ab sin C ，即cos C ＝sin C .所以在△ABC 中，C ＝π4. [答案] C4.(2018·合肥质检)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A.4πB.8πC.9πD.36π[解析] 由题意及正弦定理得2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2R sin(A ＋B )＝2(R 为△ABC 的外接圆半径).即2R sin C ＝2.又cos C ＝223及C ∈(0，π)，知sin C ＝13.∴2R ＝2sin C ＝6，R ＝3.故△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝9π. [答案] C5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( ) A.a ＝2b B.b ＝2a C.A ＝2BD.B ＝2A[解析] 等式右边＝2sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B .等式左边＝2sin B cos C ＋sin B ，则2sin B cos C ＋sin B ＝sin A cos C ＋sin B ， 因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0. 所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理，得a ＝2b . [答案] A 二、填空题6.(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.[解析] ∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， ∴sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1，① cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0，② ①＋②，得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1， ∴sin(α＋β)＝－12. [答案] －127.(2018·东北三省四校模拟)已知角α的终边经过点P (4a ，3a )(a <0)，则25sin α－7tan 2α的值为________.[解析] 由题意知tan α＝3a 4a ＝34，sin α＝3a 5|a |＝－35. ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×341－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝247，∴25sin α－7tan 2α＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－7×247＝－39. [答案] －398.(2018·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________.[解析] 由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝32，所以bc ＝833.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.[答案] 233 三、解答题9.(2018·济南二模)在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，AB ＝23，AM →＝MC →. (1)求BM 的长；(2)设D 是平面ABC 内一动点，且满足∠BDM ＝2π3，求BD ＋12MD 的取值范围. 解 (1)在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ， 代入数据，得cos C ＝－12. ∵AM→＝MC →， ∴CM ＝MA ＝12AC ＝1.在△CBM 中，由余弦定理知： BM 2＝CM 2＋CB 2－2CM ·CB ·cos C ＝7， 所以BM ＝7.(2)设∠MBD ＝θ，则∠DMB ＝π3－θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3. 在△BDM 中，由正弦定理知： BD sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝MD sin θ＝BM sin 2π3＝273. ∴BD ＝273sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，MD ＝273sin θ， ∴BD ＋12MD ＝273sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＋73sin θ＝73(3cos θ－sin θ＋sin θ)＝7cos θ，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴cos θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故BD ＋12MD 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，7.10.(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值.解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得b sin A ＝a sin B ， 又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6， 即sin B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3， 有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37. 因为a <c ，故cos A ＝27. 因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437， cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.11.(2018·湖南六校联考)已知函数f (x )＝3sin(2 018π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋x －cos 2x ＋1.(1)求函数f (x )的递增区间；(2)若△ABC 的角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，f (A )＝32，AD ＝2BD ＝2，求cos C . 解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋1 ＝32sin 2x －12(1＋cos 2x )＋1＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .所以递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).(2)f (A )＝32⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，得到2A －π6＝2k π＋π2⇒A ＝k π＋π3，k ∈Z ，由0<A <π得到A ＝π3，所以∠BAD ＝π6.由正弦定理得BD sin ∠BAD ＝AD sin B ⇒sin B ＝22，B ＝π4或B ＝3π4(舍去)，所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin π3sin π4－cos π3cos π4＝6－24.。
高2013届高三二轮专题复习专题设置及教学建议
(2)由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝b2＋ 16 2 c ＋bc≥3bc(当且仅当b＝c时取等号)，故bc≤ .(8分) 3 1 3 4 3 故△ABC的面积为S＝ bcsinA＝ bc≤ ，当且仅当b 2 4 3 4 3 4 3 ＝c＝ 时，△ABC的面积取得最大值 .(12分) 3 3
二轮专题复习专题设置及教学建议
目录 ※专题复习的目的和任务3-6 ※专题设置
专题一：三角函数、三角变换，解三角形与平面向量 专题二：数列 专题三：概率与统计 专题四：立几与空间向量 专题五：解析几何 专题六：函数、导数与不等式
专题七：新增内容
专题八：数学思想方法 专题九：选择题、填空题的解答技巧 专题十：解答题的答题规范 专题十一：易错易混梳理
专题二：数列
※本专题设计2课时 第一讲：等差数列与等比数列 第二讲：数列综合 第三讲：推理
第一讲：等差数列与等比数列
本讲主要涉及等差数列、等比数列的定义；会用定义法判定数列类型；会 求数列的通项公式；会利用等差、等比数列的性质解题；会求等差、等比 数列的前n项和，会通过通项公式与前n项和公式识别等差、等比数列，并 能从中提取出相关的基本量；会用下标和性质与片段和性质解题。
典型例题
π 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|< ) 2 的一段图象(如图所示)，求其解析式．
思维启迪 先由图象求出函数的周期，从而求得 ω 的值， 再由关键点求 φ，最后将(0， 2)代入求 A 的值．
解 设函数的周期为 T， 3 7π π 3 则4T＝ 8 －8＝4π， 2π ∴T＝π，∴ω＝ ＝2. T π π π 又∵2×8＋φ＝2kπ＋2 (k∈Z)，∴φ＝2kπ＋4 (k∈Z)， π π 又∵|φ|< ，∴φ＝ . 2 4
高三数学二轮复习 必考问题专项突破7 三角恒等变换与解三角形 理
必考问题7 三角恒等变换与解三角形1．(2012·全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( )． A ．－53B ．－59C.59D.53答案：A [将si n α＋cos α＝33两边平方，可得1＋si n 2α＝13，si n 2α＝－23，所以(－si n α＋cos α)2＝1－si n 2α＝53，因为α是第二象限角，所以si n α＞0，cos α＜0，所以－si n α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－si n α＋cos α)(cos α＋si n α)＝－53，选A .] 2．(2012·江西)若t a n θ＋1t a n θ＝4，则sin 2θ＝( )． A.15B.14C.13D.12答案：D [∵t an θ＋1t a n θ＝1＋t a n 2θt a n θ＝4，∴4t an θ＝1＋t an 2θ，∴si n 2θ＝2si n θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2t a n θ1＋t a n 2θ＝2t a n θ4t a n θ＝12.] 3．(2012·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )．A.725B ．－725C ．±725D.2425答案：A [因为8b ＝5c ，则由C ＝2B ，得si n C ＝si n 2B ＝2si n B cos B ，由正弦定理得cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725，故选A.]4．(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析 由余弦定理，得b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4.答案 41．对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点．2．对于解三角形，重点考查正弦定理、余弦定理两公式在解三角形中的应用，通过三角形中的边、角关系和相关公式的灵活运用来考查学生分析问题、解决问题的能力以及数学运算能力.1．在三角恒等变换过程中，准确地记忆公式，适当地变换式子，有效地选取公式是解决问题的关键．2．在解三角形的试题时，要弄清楚三角形三边、三角中已知什么，求什么，这些都是解决问题的思维基础，分析题设条件，利用正、余弦定理进行边与角之间的相互转化是解决问题的关键.必备知识两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)t a n(α±β)＝t a n α±t a n β1∓t a n αt a n β.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)t a n 2α＝2t a n α1－t a n 2α. (4)降幂公式：sin 2 α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2.正弦定理及其变形a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .余弦定理及其推论a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .必备方法1．“变角”是三角变换的灵魂，因此要注意分析条件与所求之间角的联系，常考察是否具有和、差、倍、半关系或互余、互补关系．如2β与β是倍角关系．此外，根据条件与所求中的角的特点，常要对角进行恰当的配凑，如：β＝(α＋β)－α，α＋β2＝⎝⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝⎛⎭⎪⎫α2－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． 2．要充分把握三角函数的变换规律．三角变换时，需会用“切化弦”“弦化切”“辅助角”“1的代换”等技巧，追求“名、角、式”(三角函数名、角度、运算结构)的统一，其中角的变换是三角变换的核心．3．在三角形内求值、证明或判断三角形形状时，要用正、余弦定理完成边与角的互化，一般是都化为边或都化为角，然后用三角公式或代数方法求解，从而达到求值、证明或判断的目的．解题时要注意隐含条件．4．解三角形的应用问题时，要将条件和求解目标转化到一个三角形中，然后用正、余弦定理或三角公式完成求解，同时注意所求结果要满足实际问题的要求，还要注意对不同概念的角的正确理解与应用，如俯角、仰角、方位角、视角等.利用三角恒等变换进行三角函数 的化简、求值三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂，常考查：①三角恒等变换在化简、求值等方面的简单应用；②三角恒等变换与三角形中相关知识的综合、与向量的交汇性问题，多以解答题形式出现，难度中档．【例1】► (2012·广东)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10 π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．[审题视点] [听课记录][审题视点] (1)由T ＝10π可得ω的值；(2)化简所给的已知条件，求得cos α、si n β的值，将cos(α＋β)展开，代入数据即可．解 (1)∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6， 而α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f (5β－5π6)＝1617，∴2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝1617， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817， 于是si n α＝35，cos α＝45，si n β＝1517，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－si n αsi n β ＝45×817－35×1517＝－1385.(1)给值求角的本质还是给值求值，即欲求某角，也要先求该角的某一三角函数值．(2)由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角． (3)要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝(α＋β)－β，α＝α＋β2＋α－β2等．【突破训练1】 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.(1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值． 解 (1)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，于是si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210.si n x ＝si n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4si n π4 ＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35.si n 2x ＝2si n x cos x ＝－2425，cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725.所以si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝si n 2x cos π3＋cos 2x si n π3＝－24＋7350.三角函数与解三角形以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正(余)弦定理考查解斜三角形是高考的一个热点问题．根据所给式子、三角形的特点合理选择正弦或余弦定理是解题的关键，综合考查学生逻辑分析和计算推理能力．【例2】► (2011·山东)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已 知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b.(1)求sin C sin A的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .[审题视点] [听课记录][审题视点] (1)根据所给式子和第(1)问式子的特征，采用边化角较为简单；(2)借用第(1)问的结果可知a 、c 间的关系，再结合cos Β＝14，b ＝2，利用余弦定理可求解．解 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B.即(cos A －2cos C )si n B ＝(2si n C －si n A )cos B ， 化简可得si n (A ＋B )＝2si n (B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以原等式可化为si n C ＝2si n A ， 因此sin Csin A＝2.(2)由sin C sin A＝2，得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14，解得a ＝1，从而c ＝2.又因为cos B ＝14，且0＜B ＜π，所以si n B ＝154.因此S ＝12ac si n B ＝12×1×2×154＝154.在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题．【突破训练2】 (2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．(1)证明 由b si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得si n B si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －si n C si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝si n A ，si n B ⎝⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －si n C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 sin B ＋22cos B ＝22，整理得si n B cos C －cos B si n C ＝1， 即si n (B －C )＝1，由于0＜B ，C ＜34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2si n 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2si n π8， 所以△ABC 的面积S ＝12bc si n A ＝2si n 5π8si n π8＝2cos π8·si n π8＝12.易错点拨 第(2)问考生往往在遇到非特殊角的情况下思维受阻，导致丢分，遇到这种情况时要学会分析推测或用转化法使解题进行下去．向量与解三角形的综合考查解三角形问题常以向量为载体，解题时通常先利用向量知识将有关向量关系式转化为三角形中的边角关系，然后再借助解三角形的知识求解，难度中档偏低．【例3】► 在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，A ＝π6，(1＋3)c ＝2b .(1)求角C ；(2)若CB →·CA →＝1＋3，求a ，b ，c . [审题视点] [听课记录][审题视点] (1)由(1＋3)c ＝2b 及A ＝π6可利用正弦定理将边的关系转化为角的关系；(2)将向量关系式CB →·CA →＝1＋3转化为三角形中的边角关系，再利用解三角形的知识求解．解 (1)由(1＋3)c ＝2b ，得b c ＝12＋32＝sin Bsin C，则有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6－C sin C ＝sin 5π6cos C －cos 5π6sin C sin C＝12t a n C ＋32＝12＋32， 得t an C ＝1，即C ＝π4.(2)由CB →·CA →＝1＋3，推出ab cos C ＝1＋ 3. 而C ＝π4，即得22ab ＝1＋3，则有⎩⎪⎨⎪⎧22ab ＝1＋3，＋3c ＝2b ，a sin A ＝c sin C ，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1＋3，c ＝2.解答这一类问题，首先要保证向量运算必须正确，否则，反被其累，要很好的掌握正、余弦定理的应用条件及灵活变形，方能使问题简捷解答．【突破训练3】 在△ABC 中，已知2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|＝3BC →2，求角A ，B ，C 的大小． 解 设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ， 由2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|， 得2bc cos A ＝3bc ，所以cos A ＝32， 又A ∈(0，π)，因此A ＝π6，由3|AB →|·|AC →|＝3BC →2，得bc ＝3a 2，于是si n C ·si n B ＝3si n 2A ＝34. 所以si n C ·si n ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝34，si n C ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos C ＋32sin C ＝34，因此2si n C ·cos C ＋23si n 2C ＝3， si n 2C －3cos 2C ＝0，即si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π3＝0.由A ＝π6知0＜C ＜5π6，所以－π3＜2C －π3＜4π3，从而2C －π3＝0，或2C －π3＝π，即C ＝π6或C ＝2π3，故A ＝π6，B ＝2π3，C ＝π6或A ＝π6，B ＝π6，C ＝2π3.正、余弦定理的实际应用由于正、余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形应用问题中的测量问题、航海问题等常常是高考的热点，其主要要求是：会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题．【例4】► (2012·沈阳模拟)如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值． [审题视点] [听课记录][审题视点] 第(1)问实质求BC ；第(2)问运用正弦定理可求解． 解 (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784， 解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为14海里/时．(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α， 由正弦定理，得AB sin α＝BCsin 120°，即si n α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314， 所以si n α的值为3314.(1)三角形应用题的解题要点：解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中寻找出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得出所要求的量，从而得到实际问题的解．(2)有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等．正确理解和掌握方位角、俯角、仰角对于解决三角形应用题也是必不可少的．【突破训练4】 (2012·惠州调研)如图，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A ，B ，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°且AB ＝100米．(1)求sin 75°； (2)求该河段的宽度．解 (1)si n 75°＝si n (30°＋45°) ＝si n 30°cos45°＋cos 30°si n 45° ＝12×22＋32×22＝6＋24. (2)因为∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°， 所以∠ACB ＝180°－∠CAB －∠CBA ＝60°. 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠CAB ，所以BC ＝AB sin 75°sin 60°.如图，过点B 作BD 垂直于对岸，垂足为D, 则BD 的长就是该河段的宽度． 在Rt △BDC 中，因为∠BCD ＝∠CBA ＝45°， si n ∠BCD ＝BD BC， 所以BD ＝BC si n 45° ＝AB sin 75°sin 60°·si n 45°＝100×6＋2432×22 ＝256＋233＝503＋33(米)． 答：该河段的宽度为＋33米．转化与化归在解三角形中的应用解三角形问题是历年高考的热点，常与三角恒等变换相结合考查正弦、余弦定理的应用，解题的实质是将三角形中的问题转化为代数问题或方程问题，在此过程中也常利用三角恒等变换知识进行有关的转化．可以说，三角形问题的核心就是转化与化归．【示例】► (2012·新课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .[满分解答] (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12. 又0＜A ＜π，故A ＝π3.(6分) (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.(12分)老师叮咛：本题较容易，得分率较高.考查了考生利用正、余弦定理及三角公式进行转化的能力.其中，第问利用正弦定理将边化成角，结合三角恒等变换知识整理出角 A.第问根据三角形的面积公式得到关于b ，c 的等式，再由余弦定理用a 和角A 表示出b ，c 的关系，从而求解.【试一试】 在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值． 解 (1)在△ABC 中，根据正弦定理，AB sin C ＝BCsin A. 于是AB ＝sin C sin A·BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255. 于是si n A ＝1－cos 2A ＝55. 从而si n 2A ＝2si n A cos A ＝45， cos 2A ＝cos 2A －si n 2A ＝35. 所以si n ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4＝si n 2A cos π4－cos 2A si n π4＝210.。
高考三轮复习专题训练2---三角恒等变换与解三角形综合问题
三角恒等变换与解三角形综合问题1.三角恒等变换与解三角形的综合问题是高考的热门考点，涉及的公式多、性质繁，知识点较为综合，主要涉及三角恒等变换、解三角形及三角函数与解三角形的开放、探究问题。
2.三角恒等变换与解三角形综合问题的答题模板第一步 利用正弦定理、余弦定理对条件式进行边角互化第二步 由三角方程或条件式求角第三步 利用条件式或正、余弦定理构建方程求边长第四步 检验易错易混、规范解题步骤得出结论3.常用的几个二级结论（1）降幂扩角公式()()221cos =1+cos2,21sin =1cos2.2ααα−α⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（2）升幂缩角公式221+cos2=2cos ,1cos2=2sin .αα−αα⎧⎨⎩（3）正切恒等式tan tan tan tan tan tan ++=A B C A B C若△为斜三角形，则有tan tan tan tan tan tan ++=A B C A B C （正切恒等式）．（4）射影定理在ABC 中，cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+．【典例】(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A 1＋sin A ＝sin 2B 1＋cos 2B. (1)若C ＝2π3，求B ；[切入点：二倍角公式化简] (2)求a 2＋b 2c2的最小值．[关键点：找到角B 与角C ，A 的关系] 思路引导母题呈现三角恒等变换与解三角形综合问题的一般步骤方法总结1．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，3sin cos c a C c A =−.(1)求A ；(2)若2a =，ABC 的面积为3，求b ，c .2．（2023·安徽宿州·统考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()(sin sin )sin sin b c B C a A b C −−=−.(1)求角A 的大小；(2)求sin sin B C +的取值范围.3．（2023·全国·模拟预测）在①33cos sin c a B b A =+，②()()()sin sin sin sin b a B A c B C +−=−，③221cos 2a b ac B bc −=−这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．(1)求A ；(2)若6a =，2BD DC =，求线段AD 长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．4．（2023·贵州毕节·统考一模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cossin 2A B b c B +=． (1)求角C ；(2)若3c =，求BC 边上的高的取值范围．模拟训练5．（2023·全国·模拟预测）已知在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的三边，若222sin 6sin 3sin 63sin sin sin A B C A B C ++=(1)求∠C 的大小；(2)求233ab 的值．6．（2023·山东潍坊·统考一模）在①tan tan 3tan 13tan A C A C −=+；②()23cos 3cos c a B b A −=；③()3sin sin sin a c A c C b B −+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________. (1)求角B 的大小；(2)已知1c b =+，且角A 有两解，求b 的范围.7．（2023·全国·模拟预测）在①()cos 2cos 0c B b a C +−=，②cos 3sin +=+a b c B c B ，③()3cos cos cos sin C a B b A c C +=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知______．(1)求角C 的值；(2)若ABC 的面积()2238912S b c =−，试判断ABC 的形状．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．8．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，a c <，且ππ1sin cos 364A A ⎛⎫⎛⎫−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (1)求A 的大小；(2)若sin sin 43sin a A c C B +=，求ABC 的面积．9．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①1cos 2a B cb =+， 条件②sin sin sin sin A C B C b a c−+=+， 条件③3sinsin 2B C b a B +=． 请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足________，(1)求A ；(2)若AD 是BAC ∠的角平分线，且1AD =，求2b c +的最小值．10．（2023·山东临沂·统考一模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．(1)求C ；(2)若1c =，求ABC 面积的取值范围．1．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，3sin cos c a C c A =−.(1)求A ；(2)若2a =，ABC 的面积为3，求b ，c .【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得πsin 6A ⎛⎫− ⎪⎝⎭的值，进而求得A ；（2）利用三角形面积公式求得bc 的值进而根据余弦定理求得22b c +的值，最后联立方程求得b 和c ．【详解】（1）解：因为3sin cos c a C c A =−，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得：sin 3sin sin sin cos C A C C A =−，∴3sin cos 1A A −=，π2sin 16A ⎛⎫∴−= ⎪⎝⎭，π1sin 62A ⎛⎫−= ⎪⎝⎭， ()0,πA ∈，ππ5π,666A ⎛⎫∴−∈− ⎪⎝⎭，ππ66A ∴−=， π3A ∴=. （2）解：113sin 3222ABC S bc A bc ==⋅=，4bc ∴=， 由余弦定理得：2221cos 22b c a A bc +−==，2244b c ∴+−=， 联立2284b c bc ⎧+=⎨=⎩，解得2,2b c ==. 2．（2023·安徽宿州·统考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()(sin sin )sin sin b c B C a A b C −−=−.(1)求角A 的大小；(2)求sin sin B C +的取值范围.【分析】（1）由正弦定理，将角化边，再根据余弦定理，求解即可.（2）由（1）可知，π3A =，则πsin sin 3sin 6B C B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭π3sin 6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型三角函数的图象和性质，求解即可.模拟训练【详解】（1）由正弦定理可得()()b c b c a a bc −−=⋅−，即222b c a bc +−=，由余弦定理的变形得2221cos 22b c a A bc +−==， 又()0,πA ∈，所以π3A =.（2）由πA B C ++=得2π3C B =−，且2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以2πππsin sin sin πsin 333C B B B ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以π33πsin sin sin sin sin cos 3sin 3226B C B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为20,π3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而ππ5,π666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，从而3sin sin ,32B C ⎛⎤+∈ ⎥ ⎝⎦. 即sin sin B C +的取值范围为3,32⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 3．（2023·全国·模拟预测）在①33cos sin c a B b A =+，②()()()sin sin sin sin b a B A c B C +−=−，③221cos 2a b ac B bc −=−这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．(1)求A ；(2)若6a =，2BD DC =，求线段AD 长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】（1）先选条件，并利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化，得到角A 的三角函数值，再结合角A 的取值范围即可求得角A 的大小；（2）先利用余弦定理建立关于,b c 的方程，再利用向量的线性运算将2BD DC =转化为AD 与AB ，AC 的关系，两边同时平方即可将2AD 用,b c 表示，最后利用ABC 是锐角三角形及换元法,利用基本不等式求AD 长的最大值即可．【详解】（1）方案一：选条件①．由正弦定理得()sin si 33sin 3sin s s i n n co C A A B B B A =+=+，∴3cos sin sin sin A B B A =，∵sin 0B >，∴sin 3cos A A =，即tan 3A =，∵02A π<<，∴3A π=．方案二：选条件②．由正弦定理得()()()b a b a c b c +−=−，即222b c a bc +−=，∴2221cos 22b c a A bc +−==，∵02A π<<，∴3A π=．方案三：选条件③．由余弦定理得22222122a c b a b ac bc ac +−−=⋅−，∴222b c a bc +−=，∴2221cos 22b c a A bc +−==，∵02A π<<，∴3A π=．（2）由2222cos a b c bc A =+−，得2236b c bc =+−，∵2BD DC =，∴22AD AB AC AD −=−，即32AD AB AC =+，两边同时平方得2222294442AD AB AC AB AC c b bc =++⋅=++，2236b c bc =+−∴()22222221424249b c bcAD b c bc b c bc ++=++=⨯+−．令b t c =，则0t >，()()2222424121411t t t AD t t t t +++==+−+−+，令1t u +=，则1u >，221212443333AD u u u u =+=+−++−，在锐角ABC 中2222222222222222222222222a b c b c bc b c b bca cb bc bc c b c bc b c a b c b c bc ⎧⎧+>+−+>⎧>⎪⎪+>⇒+−+>⇒⎨⎨⎨>⎩⎪⎪+>+>+−⎩⎩，∴122bc <<，∴31,32u b c ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，∴21241683233AD ≤+=+−，∴223AD ≤+，当且仅当3u =时取等号，∴线段AD 长的最大值为223+．4．（2023·贵州毕节·统考一模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cossin 2A B b c B +=． (1)求角C ；(2)若3c =，求BC 边上的高的取值范围．【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦求解作答. （2）由（1）可得π(0,)3B ∈，再利用三角形面积公式计算作答.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理及A B C π+=−，得πsin cossin sin 2C B C B −=， 即有sin sin2sin cos sin 222C C C B B =，而(),0,A B π∈，0,22C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即sin 0B ≠，sin 02C ≠， 因此1cos 22C =，π23C =，所以2π3C =． （2）令ABC 边BC 上的高为h ，由11sin 22ABC S ah ac B ==，得3sin h B =， 由（1）知，π(0,)3B ∈，即3sin (0,)2B ∈，则33sin (0,)2h B =∈， 所以BC 边上的高的取值范围是3(0,)2. 5．（2023·全国·模拟预测）已知在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的三边，若222sin 6sin 3sin 63sin sin sin A B C A B C ++=(1)求∠C 的大小；(2)求233a b的值． 【分析】（1）根据正弦定理化角为边，将2c 表示出来，再利用余弦定理化简，再结合三角函数的性质及基本不等式即可得出答案；（2）直接利用（1）中的结论即可得解.【详解】（1）因为222sin 6sin 3sin 63sin sin sin A B C A B C ++=，所以2226363sin a b c ab C ++=，则22223sin 23a c ab C b =−−， 又222224323sin 233cos 3sin 2232a b ab C a b c a b C C ab ab b a +−+−===+−， 所以233sin cos 32a b C C b a+=+，因为2323223232a b a b b a b a+≥⋅=，当且仅当2332a b b a =，即23a b =时，取等号， π3sin cos 2sin 26C C C ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当ππ62C +=，即π3C =时，取等号， 所以233sin cos 232a b C C b a +=+=，所以π3C =； （2）由（1）可得23a b =，所以2333a b=. 6．（2023·山东潍坊·统考一模）在①tan tan 3tan 13tan A C A C −=+；②()23cos 3cos c a B b A −=；③()3sin sin sin a c A c C b B −+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. 问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________.(1)求角B 的大小；(2)已知1c b =+，且角A 有两解，求b 的范围.【分析】（1）若选①，由两角和的正切公式化简即可求出求角B 的大小；若选②，利用正弦定理统一为角的三角函数，再由两角和的正弦公式即可求解；若选③，由余弦定理代入化简即可得出答案. （2）将1c b =+代入正弦定理可得1sin 2b C b +=，要使角A 有两解，即1sin 12C <<，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）若选①：整理得()1tan tan 3tan tan A C A C −=−+，因为A B C π++=， 所以()tan tan 3tan tan 1tan tan 3A CB AC A C +=−+=−=−，因为()0,B π∈，所以6B π=； 若选②：因为()23cos 3cos c a B b A −=，由正弦定理得()2sin 3sin cos 3sin cos C A B B A −=，所以()2sin cos 3sin 3sin ,sin 0C B A B C C =+=>，所以3cos 2B =，因为()0,B π∈，所以6B π=； 若选③：由正弦定理整理得2223a c b ac +−=，所以222322a cb ac +−=， 即3cos 2B =，因为()0,B π∈，所以6B π=； （2）将1c b =+代入正弦定理sin sin b c B C =，得1sin sin b b B C +=，所以1sin 2b C b +=， 因为6B π=，角A 的解有两个，所以角C 的解也有两个，所以1sin 12C <<， 即11122b b+<<，又0b >，所以12b b b <+<，解得1b >. 7．（2023·全国·模拟预测）在①()cos 2cos 0c B b a C +−=，②cos 3sin +=+a b c B c B ，③()3cos cos cos sin C a B b A c C +=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知______．(1)求角C 的值；(2)若ABC 的面积()2238912S b c =−，试判断ABC 的形状． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】(1) 方案一：选条选①，根据正弦定理和两角和的正弦公式得到()sin 2sin cos 0B C A C +−=，再利用诱导公式和三角形内角和定理即可求解；方案二：选条选②，先利用正弦定理、诱导公式和三角形内角和定理得到sin cos sin 3sin sin B C B C B +=，再利用两角和的正弦公式即可求解；方案三：选条件③，利用正弦定理、诱导公式和两角和的正弦公式得出3cos sin C C =，然后利用同角三角函数的基本关系即可求解；(2)结合（1）的结论利用余弦定理和三角形面积可得3b a =，然后代入即可求解.【详解】（1）方案一：选条选①．由()cos 2cos 0c B b a C +−=，得sin cos sin cos 2sin cos 0C B B C A C +−=，得()sin 2sin cos 0B C A C +−=，即sin 2sin cos 0A A C −=．∵0A π<<，∴sin 0A >，∴1cos 2C =，又0πC <<，∴π3C =． 方案二：选条件②．由cos 3sin +=+a b c B c B ，得sin sin sin cos 3sin sin +=+A B C B C B ，即()sin sin sin cos 3sin sin B C B C B C B ++=+，于是sin cos cos sin sin sin cos 3sin sin B C B C B C B C B ++=+，因此sin cos sin 3sin sin B C B C B +=，∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，∴3sin cos 1C C −=，即π1sin 62C ⎛⎫−= ⎪⎝⎭， ∵()0,πC ∈，∴ππ5π,666C ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭，∴ππ66C −=，故π3C =． 方案三：选条件③．由正弦定理，得()23cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=，即()23cos sin sin C A B C +=，∴23sin cos sin C C C =，又0πC <<，∴sin 0C ≠，∴3cos sin C C =，即tan 3C =，∴π3C =． （2）在ABC 中，π3C =，由余弦定理得222222cos c a b ab C a b ab =+−=+−， 又()223189sin 122S b c ab C =−=，∴()2223389124b a b ab ab ⎡⎤−+−=⎣⎦， 整理得22960a ab b −+=，得3b a =，此时227c a b ab a =+−=，∴2227cos 214a cb B ac +−==−，∴B 为钝角，故ABC 是钝角三角形． 【点睛】方法点睛：判断三角形形状的方法：（1）角化边，通过正、余弦定理化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边与边之间的关系，进行判断；（2）边化角，通过正、余弦定理化边为角，利用三角恒等变换、三角形内角和定理及诱导公式等推出角与角之间的关系，进行判断．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项、提取公因式，否则会有遗漏一种情况的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．8．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，a c <，且ππ1sin cos 364A A ⎛⎫⎛⎫−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (1)求A 的大小；(2)若sin sin 43sin a A c C B +=，求ABC 的面积．【分析】（1）已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求A 的大小；（2）条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得c 边，用面积公式计算面积.【详解】（1）πππππ2sin cos cos cos 3636A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+=−−+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=+== ⎪⎝⎭，∴π31cos 22A ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭， 因为0πA <<，得ππ7π2333A <+<，所以π2π233A +=或4323ππA +=， 解得π6A =或π2A =，因为a c <，得π2A <，∴π6A =． （2）由（1）知，6A π=，sin sin 43sin a A c C B +=，由正弦定理，得224312a c b +==，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+−⋅，即223123232c c c −=+−⋅， 整理，得22390c c −−=，由0c >得3c =，所以11133sin 332224ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△． 9．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①1cos 2a B cb =+， 条件②sin sin sin sin A C B C b a c−+=+， 条件③3sinsin 2B C b a B +=． 请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足________，(1)求A ；(2)若AD 是BAC ∠的角平分线，且1AD =，求2b c +的最小值．【分析】（1）选①，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值；选②，利用正弦定理结合余弦定理可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值；选③，利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出sin2A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值； （2）由已知ABC ABD ACD S S S =+结合三角形的面积公式可得出111b c+=，将2b c +与11b c +相乘，展开后利用基本不等式可求得2b c +的最小值.【详解】（1）解：选①：因为1cos 2a B c b =+，由正弦定理可得1sin cos sin sin 2A B C B =+， 即()11sin cos sin sin sin cos cos sin sin 22A B A B B A B A B B =++=++， 所以1cos sin sin 2A B B =−， 而()0,πB ∈，sin 0B ∴≠，故1cos 2A =−，因为()0,πA ∈，所以2π3A =； 选②：因为sin sin sin sin A C B C b a c −+=+，由正弦定理a c b c b a c −+=+， 即222b c a bc +−=−，由余弦定理2221cos 222b c a bc A bc bc +−−===−， 因为()0,πA ∈，所以2π3A =； 选③：因为3sin sin 2B C b a B +=， 正弦定理及三角形内角和定理可得π3sin sinsin sin 2A B A B −=， 即3sin cos 2sin cos sin 222A A A B B =，因为A 、()0,πB ∈，则π0,22A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，sin 0B ≠，cos 02A ≠， 所以3sin 22A =，所以π23A =，即2π3A =. （2）解：由题意可知，ABC ABD ACD S S S =+，由角平分线性质和三角形面积公式得12π1π1πsin 1sin 1sin 232323bc b c =⨯⨯+⨯⨯， 化简得bc b c =+，即111b c+=， 因此()112222332322c b c b b c b c b c b c b c ⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭， 当且仅当221c b ==+时取等号，所以2b c +的最小值为322+．10．（2023·山东临沂·统考一模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．(1)求C ；(2)若1c =，求ABC 面积的取值范围．【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简作答.（2）由（1）的结论，利用余弦定理结合均值不等式求出三角形面积范围作答.【详解】（1）在ABC 中，由已知及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即有()sin 2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，而0πC <<，sin 0C >，则1cos 2C =， 所以π3C =． （2）在ABC 中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+−得：221a b ab =+−，因此12ab ab ≥−，即01ab <≤，当且仅当a b =时取等号，又11333sin (0,]22244ABC S ab C ab ab ==⨯=∈△， 所以ABC 面积的取值范围是3(0,]4．。
高三数学考点知识归类解析与专题训练7---三角恒等变换与解三角形
的；
D：由正弦定理可知； a = b ，而 a cos A = bcos B ， sin A sin B
所以有
sin
A
cos
A
=
sin
B
cos
B
⇒
1 2
sin
2
A
=
1 2
sin
2B
⇒
sin
2
A
=
sin
2B
，
Q A, B ∈ (0,π )∴ 2A, 2B ∈ (0, 2π ) ，
于是有
2A
=
2B
或
2
A
故选 C.
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二、填空题
13．太湖中有一小岛 C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路 A 处测得小
岛在公路的南偏西 15°的方向上，汽车行驶 1 km 到达 B 处后，又测得小岛在南偏西 75°
的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.
3 【答案】
6
【解析】如图所示，过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，∠A=15°，∠CBD=75°，AB=1km，
6
解的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．不确定
【答案】C
【解析】在 ∆ABC 中，由余弦定理得 a2 = b2 + c2 − 2bc cos A ，
2/9
所以 4 = 9 + c2 − 6c ⋅ 3 ，即 c2 − 3 3c + 5 = 0 ， 2
解得 c = 3
3+
7 或c = 3 3−
7 ，
2
△ABC
中，BC=
sin150 sin 600
人教版高考数学二轮专题复习题：三角恒等变换与解三角形含解析附参考答案
C. D．－
解析据已知可得cos ＝sin2α
＝－cos2 ＝－ ＝－ .
答案D
3．(2014·河北衡水一模)已知sin ＋sinα＝－ ，－ <α<0，则cos 等于()
A．－ B．－
C. D.
解析∵sin ＋sinα＝－ ，－ <α<0，
∴ sinα＋ cosα＝－ ，
∴ sinα＋ cosα＝－ .
由余弦定理得cosA＝ ＝ ＝ ＝－ .
答案－
9．(2014·四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， ≈1.73)
A. B.
C. D.
解析由sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ ，代入整理得 ＝ ⇒c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，即cosB＝ ，所以B＝ ，故答案为C.
答案C
二、填空题
7．设θ为第二象限角，若tan ＝ ，则sinθ＋cosθ＝________.
解析tan ＝ ＝ ，解得tanθ＝－ ，又θ为第二象限角，得sinθ＝ ，cosθ＝－ ，所以sinθ＋cosθ＝－ .
答案－
8．(2014·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝ a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．
解析由正弦定理得到边b，c的关系，代入余弦定理的变式求解即可．
由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，即b＝ c.
高考数学二轮复习 专题一三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形文理学案含解析
第2讲三角恒等变换与解三角形(文理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱1．三角恒等变换是高考的热点内容,主要考查利用各种三角函数公式进行求值与化简,其中二倍角公式、辅助角公式是考查的重点,切化弦、角的变换是常考的内容．2．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查：(1)边、角、面积的计算；(2)有关边、角的范围问题；(3)实际应用问题．⊙︱真题分布︱(理科)年份卷别题号考查角度分值2020 Ⅰ卷9、16三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值；利用余弦定理解三角形10 Ⅱ卷17 解三角形求角和周长的最值12 Ⅲ卷7、9 余弦定理解三角形；三角恒等变换求值102019 Ⅰ卷17 正余弦定理12 Ⅱ卷15二倍角公式、基本关系式、余弦定理、三角形面积公式5 Ⅲ卷18 正余弦定理、三角形面积公式122018 Ⅰ卷17 正余弦定理、解三角形12 Ⅱ卷10、15二倍角、辅助角公式、基本关系式、和的正弦公式、余弦定理10 Ⅲ卷15 余弦定理、二倍角公式、函数零点 5年份卷别题号考查角度分值2020 Ⅰ卷18 余弦定理、三角恒等变换解三角形10 Ⅱ卷13、17余弦的二倍角公式的应用；诱导公式和平方关系的应用,利用勾股定理或正弦定理,余弦定理判断三角形的形状17Ⅲ卷 5、11 两角和与差的正余弦公式及其应用；余弦定理以及同角三角函数关系解三角形10 2019Ⅰ卷7、11 诱导公式及两角和的正切公式；正、余弦定理10 Ⅱ卷 11、15 二倍角公式的应用；正弦定理的应用10 Ⅲ卷 18 正余弦定理、三角形面积公式12 2018Ⅰ卷11、16 三角函数定义及三角恒等变换；正余弦定理、解三角形10 Ⅱ卷 7、15 二倍角及余弦定理；诱导公式及三角恒等变换10 Ⅲ卷7、11二倍角公式、正、余弦定理解三角形10KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点 考点一 三角恒等变换知识再现三角恒等变换与求值1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．辅助角公式asin x ＋bcos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中tan φ＝b a)典例悟通典例1 (1)(2020·全国Ⅱ卷模拟)cos 240°＋2sin 35°sin 55°sin 10°＝( A )A ．34B ．14C ．12＋32 D ．334(2)(2020·宜宾模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,且3sin 2α－5cos 2α＋sin 2α＝0,则sin 2α＋cos 2α＝( A )A ．1B ．－2317C ．－2317或1D ．－1(3)已知函数f(x)＝3cos xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－12.①求f(x)的单调递增区间；②若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4,f(x)＝36,求cos 2x 的值．【解析】 (1)原式＝cos 240°＋2sin 35°cos 35°sin 10° ＝cos 240°＋sin 70°sin 10°＝12＋12cos 80°＋sin 70°sin 10°＝12＋12(cos 70°cos 10°－sin 70°sin 10°＋2sin 70°sin 10°) ＝12＋12(cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°)＝12＋12cos 60°＝34.故选A ． (2)由3sin 2α－5cos 2α＋sin 2α＝0, 得3sin 2α－5cos 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝0 3tan 2α＋2tan α－5tan 2α＋1＝0, 即3tan 2α＋2tan α－5＝0, 解得tan α＝1或tan α＝－53.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,∴tan α＝1,即α＝π4.∴sin 2α＋cos 2α＝sinπ2＋cos π2＝1．故选A ． (3)f(x)＝3cos xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－12 ＝3sin xcos x ＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32－12＝32sin 2x －12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝32sin 2x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.①令2k π－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2,k ∈Z,得k π－π6≤x≤kπ＋π3,k ∈Z,所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π6，kπ＋π3,k ∈Z.②由f(x)＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝36,得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝33,∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4,∴－π6≤2x－π6≤π3, ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝63. ∴cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6×32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6×12＝63×32－33×12＝22－36. 方法感悟三角恒等变换的“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换, 1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α,α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．跟踪训练1．(1)(2019·江苏)已知tan αtan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值是10(2)设α为锐角,若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为50【解析】 (1)方法一：由tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α()1－tan αtan α＋1＝－23.解得tan α＝2或－13.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α) ＝22(2sin αcos α＋2cos 2α－1) ＝2(sin αcos α＋cos 2α)－22＝2·sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－22 ＝2·tan α＋1tan 2α＋1－22, 将tan α＝2和－13分别代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝210.方法二：∵tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23,∴sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.① 又sin π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＝22,②由①②,解得sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－25,cos αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210.(2)因为α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45>0,所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250. 考点二 正弦定理与余弦定理知识再现1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2Rsin A,b ＝2Rsin B,c ＝2Rsin C. sin A ＝a 2R ,sin B ＝b 2R ,sin C ＝c2R .a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C. 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccos A,b 2＝a 2＋c 2－2accos B, c 2＝a 2＋b 2－2abcos C.推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ,cos B ＝a 2＋c 2－b22ac ,cos C ＝a 2＋b 2－c22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bccos A,a 2＋c 2－b 2＝2accos B,a 2＋b 2－c 2＝2abcos C. 3．面积公式S △ABC ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝12absin C.典例悟通典例2 (2020·百校联盟联考)已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 满足acos B＋bcos A ＝c2cos C,且BC 边上一点P 使得PA ＝PC.(1)求角C 的大小；(2)若PB ＝3,sin ∠BAP ＝35738,求△ABC 的面积．【解析】 (1)因为acos B ＋bcos A ＝c2cos C ,在△ABC,由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ,所以得2cos C(sin Acos B ＋sin Bcos A)＝sin C. 所以2cos Csin(A ＋B)＝sin C. 即2cos C ＝1,所以cos C ＝12,因为C ∈(0,π),所以C ＝π3.(2)由(1)知C ＝π3,而PA ＝PC,△APC 为等边三角形．由于∠APB 是△APC 的外角,所以∠APB ＝2π3.在△APB 中,由正弦定理得PBsin ∠BAP ＝ABsin2π3, 即335738＝AB sin2π3,所以AB ＝19.所以由余弦定理得,AB 2＝PA 2＋PB 2－2PA·PBcos 2π3,即PA 2＋3PA －10＝0, 解得：PA ＝2,故BC ＝2＋3＝5,AC ＝2,所以S △ABC ＝12CA·CB·sin C＝12×2×5×32＝532.方法感悟解三角形问题一般要利用正、余弦定理和三角形内角和定理．正弦定理可以将角转化成边,也可以将边转化成角,当涉及边的平方关系时,一般利用余弦定理,要根据题目特点和正、余弦定理的结构形式,灵活选用．跟踪训练2．(2020·江苏省扬州市调研)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若b ＝3,sin 2A －sin 2B ＝3sin 2C,cos A ＝－13,则△ABC 的面积是__2__.【解析】 由正弦定理可将sin 2A －sin 2B ＝3sin 2C 转化为a 2－b 2＝3c 2, 由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bccos A,将b ＝3,cos A ＝－13,代入上面两个式子,并化简可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3c 2＋9a 2＝c 2＋2c ＋9,解得：c ＝1,∵cos A ＝－13,∴sin A ＝223,∴S △ABC ＝12bcsin A ＝12×3×1×223＝ 2.考点三 正、余弦定理的实际应用知识再现1．实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解． 2．实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解．典例悟通典例3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD ＝__1006__m.【解析】 由题意,在△ABC 中,∠BAC ＝30°, ∠ABC ＝180°－75°＝105°,故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m,故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°,解得BC ＝300 2 m. 在Rt △BCD 中,CD ＝BC·tan 30°＝3002×33＝1006(m)． 方法感悟 解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解．跟踪训练3．(2020·湖北省高三冲刺)《九章算术》是中国古代第一部数学专著,成于公元一世纪左右,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成的弓形)的面积所用的经验公式：弧田面积＝12(弦×矢＋矢×矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为2π3,弦长为40 3 m 的弧田．其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为(其中π≈3,3≈1.73)( B )A ．15 m 2B ．16 m 2C ．17 m 2D ．18 m 2【解析】 因为圆心角为2π3,弦长为40 3 m,所以圆心到弦的距离为20 m,半径为40 m, 因此根据经验公式计算出弧田的面积为 12(403×20＋20×20)＝(4003＋200) m 2, 实际面积等于扇形面积减去三角形面积为12×2π3×402－12×20×403＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 600π3－4003 m 2,因此两者之差为1 600π3－4003－(4003＋200)≈16 m 2．故选B ．考点四 与解三角形有关的交汇创新知识再现1．以平面几何为载体的解三角形问题,这种题目主要是：一是考查多个三角形的问题；二是考查四边形问题；三是通过三角形中的不等关系确定角或边的范围问题．2．以向量的运算为载体考查三角函数、三角变换、解三角形及重要不等式．典例悟通典例4 (2020·武侯区校级模拟)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,已知c ＝3,且sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6·cos C＝14.(1)求角C 的大小；(2)若向量m ＝(1,sin A)与n ＝(2,sin B)共线,求a 、b 的值．【解析】 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6·cos C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin Ccos π6－cos Csin π6·cos C＝32sin Ccos C －12cos 2C ＝34sin 2C －1＋cos 2C 4＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6－14＝14,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1；又0＜C ＜π,∴－π6＜2C －π6＜11π6,∴2C －π6＝π2,解得C ＝π3.(2)向量m ＝(1,sin A)与n ＝(2,sin B)共线, ∴2sin A －sin B ＝0, ∴sin B ＝2sin A, 即b ＝2a ①； 又c ＝3,C ＝π3,∴c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝a 2＋b 2－ab ＝9 ②； 由①②联立解得a ＝3,b ＝2 3方法感悟以向量的运算为载体考查三角函数、三角变换、解三角形及重要不等式．这类综合问题的解法思路是：通过向量的运算把向量问题转化为三角函数问题或解三角形问题,再利用三角变换或正(余)弦定理综合解决． 跟踪训练4．(2020·青岛模拟)如图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥AD,AB ＝1,AD ＝3,BC ＝ 2.(1)若CD ＝1＋3,求四边形ABCD 的面积；(2)若sin ∠BCD ＝325,∠ADC ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,求sin ∠ADC. 【解析】 (1)连接BD,在Rt △ABD 中,由勾股定理可得,BD 2＝AB 2＋AD 2＝4,故BD ＝2,在△BCD 中,由余弦定理可得,cos C ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC·CD ＝2＋1＋32－42×2×1＋3＝22, 因为C 为三角形的内角,故C ＝π4, 所以S △ABD ＝12AB·AD＝12×1×3＝32,S △BCD ＝12BC·CDsin C＝12×2×(1＋3)×22＝1＋32,故求四边形ABCD 的面积S ＝12＋ 3. (2)在△BCD 中,由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝BD sin ∠BCD, 所以sin ∠BDC ＝BC·sin ∠BCD BD＝2×3252＝35. 因为∠ADC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,所以∠BDC ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,cos ∠BDC ＝45,Rt △ABD 中,tan ∠ADB ＝AB AD ＝33,故∠ADB ＝π6, 所以sin ∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋∠BDC ＝35×32＋45×12＝4＋3310.YI CUO QING LING MIAN SHI WU易错清零·免失误1．处理三角恒等变换时角的变换方向不清典例1 (2020·湖南长郡中学10月模拟)已知sin(α＋2β)＝34,cos β＝13,α,β为锐角,则sin(α＋β)的值为( D )A ．37－2212B ．3－21412C ．37＋2212D ．3＋21412 【错解】 因为cos β＝13,β为锐角, 所以sin β＝1－132＝223, cos 2β＝2cos 2 β－1＝－79<0． 又α、β为锐角,∴0<α＋β<π,又sin(α＋2β)＝34, 所以cos(α＋2β)＝1－sin 2α＋2β＝74. 所以sin(α＋β)＝sin[(α＋2β－β)]＝sin(α＋2β)cos β－cos(α＋2β)sin β＝34×13－74×223＝3－21412,故选B ． 【剖析】 上述解法错误是利用同角三角函数关系时,求错α＋2β的范围,而导致求cos(α＋2β)时求错值,故导致后面计算sin(α＋β)时尽管利用对了公式,但是结果也错了．【正解】 因为cos β＝13,β为锐角,所以sin β＝1－132＝223,cos 2β＝2cos 2 β－1＝－79<0, 又β为锐角,所以π2<2β<π, 因为α为锐角,所以α＋2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2, 又sin(α＋2β)＝34, 所以cos(α＋2β)＝1－sin 2α＋2β＝－74, 所以sin(α＋β)＝sin[(α＋2β)－β]＝sin(α＋2β)cos β－cos(α＋2β)sin β ＝34×13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－74×223＝3＋21412,故选D ． 2．解三角形时忽视对三角形的解的个数的讨论而出错典例2 (2020·天津摸底调研)在△ABC 中,a,b,c 分别是三个内角A,B,C 的对边,若b ＝3,c ＝4,C ＝2B,且a≠b.(1)求cos B 及a 的值；(2)求cos(2B ＋π3)的值． 【解析】 (1)在△ABC 中,由正弦定理b sin B ＝a sin A ＝c sin C ,得3sin B ＝4sin C. 因为C ＝2B,所以3sin B ＝4sin 2B ,即3sin B ＝42sin Bcos B, 又sin B≠0,所cos B ＝23. 在△ABC 中,由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accos B,则a 2－163a ＋7＝0,解得a ＝3或a ＝73. 又a≠b ,所以a ＝73. (2)由(1)知,cos B ＝23,所以sin B ＝53,所以cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×49－1＝－19, 所以sin 2B ＝2sin BcosB ＝2×53×23＝459,所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＝cos 2Bcos π3－sin 2Bsin π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×12－459×32 ＝－1＋41518. 【剖析】 (1)求解此类题时避免出错的关键：一是会选定理,即根据已知的边角关系,恰当地选用正弦定理或余弦定理解三角形,一般地,知两边和其中一边所对的角(既要注意角和边的对应,还要注意讨论钝角与锐角)或一边和两角,常利用正弦定理解三角形,知三边或两边与其夹角,常利用余弦定理解三角形；二是会用公式,即会利用二倍角公式、两角和与差的正弦和余弦公式求三角函数值．(2)在△ABC 中,已知a,b 和A,三角形的解的个数的情况如下,①A 为锐角时,当0<a<bsin A 时,无解：当a ＝bsin A 时,有一解；当bsin A<a<b 时,有两解；当a≥b 时,有一解．②A 为直角或钝角时,当a≤b 时,无解：当a>b 时,有一解．3．不能正确进行边角互化典例3 (2020·南宁10月模拟)△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,asin Asin B＋bcos 2A ＝2a.(1)求b a； (2)若c 2＝b 2＋3a 2,求B.【解析】 (1)由正弦定理,得asin B ＝bsin A,因为asin AsinB ＋bcos 2A ＝2a,所以bsin 2A ＋bcos 2A ＝2a,所以b a＝ 2. (2)由余弦定理得,b 2＝a 2＋c 2－2accos B,因为c 2＝b 2＋3a 2,所以cos B ＝1＋3a 2c . 由(1)知b 2＝2a 2,故c 2＝(2＋3)a 2．所以cos 2B ＝12,易知cos B>0, 所以cos B ＝22,又0<B<π,所以B ＝π4. 【剖析】 求解此类题时避开易错点的关键是会转化,即已知三角等式中既含有角又含有边的关系时,①若等式两边为关于边的齐次式,可以将边化为对应角的正弦值；②若具有余弦定理的形式,可以运用余弦定理将边化为角；③若等式两边均含有角的正弦值,常将角的正弦值化为边；④若含有角的余弦值,可以运用余弦定理将角化为边；⑤若一边与它的对角同时出现,经常用正弦定理,注意角和边要对应．。
高中数学经典好题-第7讲 三角恒等变换与解三角形(3大考点+强化训练)
第07讲三角恒等变换与解三角形（3大考点+强化训练）[考情分析]1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度．知识导图考点分类讲解考点一：三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.规律方法三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．(4)弦、切互化：一般是切化弦．考点二：正弦定理、余弦定理及综合应用1．正弦定理：在△ABC中，asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝a 2R ，sin B＝b 2R ，sin C＝c2R ，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bccos A.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bccos A，cos A＝b 2＋c 2－a22bc.3．三角形的面积公式：S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A.考向1：正弦定理、余弦定理一、单选题1．（2023·全国·高考真题）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A ．1B ．4C ．4D 2．在∆ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤．则A 的取值范围是（）A ．（0，6π]B ．[6π，π）C ．（0，3π]D ．[3π，π）3．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =，2c =，2cos3A =，则b=（）A BC ．2D ．34．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c，则C =（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π35．在ABC ∆中，cos2C =，则AB=（）A ．BC D ．二、多选题6．（2022·全国·高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A B ．32C ．2D ．27．三角形ABC 的三边,,a b c 所对的角为,,A B C ，221(sin sin )sin sin cos A B A B C --=+，则下列说法正确的是（）A ．π3C =B ．若ABC 面积为ABC 周长的最小值为12C ．当5b =，7c =时，9a =D ．若4b =，π4B =，则ABC 面积为6+三、填空题8．（2022·全国·高考真题）已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =．四、解答题9．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知1231,sin 23S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C =，求b ．考向2:解三角形中的最值与范围问题规律方法解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b 与ab 相互转化求最值范围．(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围．一、解答题1．（2023·河南开封·一模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知π3A =，且2sin sin b cB C+=+.(1)求a ；(2)若ABC ，求ABC 的周长.2．已知函数()2sin 1222x x f x x =-+.(1)求函数()y f x =的单调递减区间；(2)在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足221cos 2a b ac B bc -=-，求()f B 的取值范围.3．已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22sin sin sin sin sin sin sin B C B CA A A+=+.(1)求角A 的大小；(2)若a =，求ABC 面积的最大值以及周长的最大值.4．（2023·湖南长沙·一模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，sinCa b =+．(1)求角B 的值；(2)若2a =，求ABC 的周长的取值范围．考点三:解三角形的实际应用解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．规律方法解三角形实际问题的步骤①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角11,αβ；B 点到M ，N 的俯角22,αβ；A ，B 的距离d ……….②第一步：计算AM .由正弦定理()212sin sin d AM ααα=+；第二步：计算AN .由正弦定理()221sin sin d AN βββ=-；第三步：计算MN .由余弦定理()22112cos MN AM AN AM AN αβ=+-⨯-一、解答题1．如图，某城市有一条从正西方()MO 通过市中心O 后转向东偏北60︒方向()ON 的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L ，并在,OM ON 上分别设置两个出口,,A B B 在A 的东偏北θ的方向（,A B 两点之间的高速公路可近似看成直线段），由于,A B 之间相距较远，计划在,A B 之间设置一个服务区P ．(1)若P 在O 的正北方向且2km OP =，求,A B 到市中心O 的距离和最小时tan θ的值；(2)若B 在市中心O 的距离为10km ，此时P 在AOB ∠的平分线与AB 的交点位置，且满足2211OP BP OP BP +≥⋅，求A 到市中心O 的最大距离．2．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量12cos 13A =，3cos 5C =．（1）求索道AB 的长；（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？3．为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤.强化训练一、单选题1．（2021·全国·高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-1.732≈）（）A ．346B ．373C ．446D ．4732．（2021·全国·高考真题）若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A B C D3．若sin 25α=，()sin βα-=,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，3,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是（）A ．74πB ．94πC ．54π或74πD ．54π或94π4．如图，在ABC 中，1cos 4BAC ∠=，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，AD =，则ABC 的面积的最大值为（）A ．B ．4CD ．5．在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（）A B C ．D ．6．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75 ，30 ，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（）A ．1)m B ．1)m C ．1)m -D ．1)m7．已知α∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BC D 8．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()m y 和时间()s t 的函数关系为()()sin 0,πy t ωϕωϕ=+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（）A ．1s3B ．2s3C ．1sD ．4s3二、多选题9．（2023·海南海口·一模）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是棱1DD 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．不存在点Q ，使得11//C Q ACB ．存在点Q ，使得11C Q A C⊥C ．对于任意点Q ，Q 到1AC 的距离的取值范围为D ．对于任意点Q ，1A CQ △都是钝角三角形10．（2024·四川成都·模拟预测）已知ABC 中，4AB =，3A π=．下列说法中正确的是（）A ．若ABC 是钝角三角形，则02AC <<B ．若ABC 是锐角三角形，则BC <<C ．AC BC 的最大值是3D ．2AC BC +的最小值是2+11．（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图，在海面上有两个观测点,,B D B 在D 的正北方向，距离为2km ，在某天10：00观察到某航船在C 处，此时测得45,5CBD ∠= 分钟后该船行驶至A 处，此时测得30,60,30ABC ADB ADC ∠∠∠=== ，则（）A ．观测点B 位于A 处的北偏东75 方向B ．当天10：00时，该船到观测点B C ．当船行驶至A 处时，该船到观测点B D ．该船在由C 行驶至A 的这5min 三、填空题12．（2024·北京平谷·模拟预测）若ABC 的面积为()22214b c a +-，且C ∠为钝角，则A ∠=；cb的取值范围是．13．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，位于第一象限的点P 在C 上，O 为坐标原点，且满足PO PF =，则OPF △外接圆的半径为.14．（2024高三·江苏·专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，点O 为ABC 的内心，记△OBC ，,OAC OAB 的面积分别为1S ，2S ，3S ，已知22213132S S S S S +-=，2AB =，若ABC 为锐角三角形，则AC的取值范围为.四、解答题15．（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）在凸四边形ABCD 中，记,,,AB a BC b CD c DA d ====，四边形ABCD 的面积为S ．已知180B D +=︒．(1)证明：()22222cos ab cd B a b c d +=+--；(2)设2a b c d p +++=，证明：S =(3)若1b c d ===，求四边形ABCD 面积的最大值．16．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数21()sin cos (0)2f x x x x ωωωω=+->．(1)当1ω=时，求函数()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域；(2)在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c AD 为BAC ∠的平分线，若()f x 的最小正周期是2π,0,2A f a AD ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，求ABC 的面积．17．（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，ABC 的面积为S ，三个内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin S C c b =-.(1)证明：ABC 是倍角三角形；(2)若9c =，当S 取最大值时，求tan B .18．（23-24高三下·天津·开学考试）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2222a b c -+=，△ABC 的面积为24.(1)求tan B ；(2)若1b =，求sin sin A C ；(3)求cos 3B 的值.19．（2024高三·江苏·专题练习）ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①sinsin 2B C c a C +=；②sin 31cos a C c A =-；③ABC 的面积为()22234b c a +-，求sin sin B C 的取值范围.。
(江苏专用)高三数学二轮总复习 常考问题7 三角恒等变换与解三角形 理
[真题感悟]1．(2013·湖南卷改编)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A 等于________． 解析 在△ABC 中，利用正弦定理得 3sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3. 答案 π3 2．(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________． 解析 由条件可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2ccs 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝725，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2425， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π4 ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫2425－725＝17250. 答案17250 3．(2010·江苏卷)在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b a ＋a b＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B ＝________. 解析 b a ＋a b ＝6cos C ⇒6ab cos C ＝a 2＋b 2,6ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2，a 2＋b 2＝3c 22. tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos C ·cos B sin A ＋sin B cos A sin A sin B ＝sin C cos C ·sin A ＋B sin A sin B ＝1cos C ·sin 2C sin A sin B 由正弦定理得：上式＝1cos C ·c 2ab＝4. 答案 44．(2013·福建卷)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为______．解析 sin ∠BAC ＝sin(π2＋∠BAD )＝cos ∠BAD ， ∴cos ∠BAD ＝223. BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ＝(32)2＋32－2×32×3×223＝3，即BD ＝ 3. 答案3 [考题分析]高考对本内容的考查主要有： (1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C 级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B 级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用．(2)正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B 级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题．试题类型一般是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题.。
数学(理)知识清单-专题07 三角恒等变换与解三角形(考点解读)(原卷+解析版)
（Ⅰ）求∠A； （Ⅱ）求 AC 边上的高．
1.【2017 山东，理 9】在 C 中，角 ， ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若 C 为锐角三角形，
且满足 sin 1 2cos C 2sin cos C cos sin C ，则下列等式成立的是
（A） a 2b
（B） b 2a
（C） 2
△BDC 的面积是______，cos∠BDC=_______．
4【. 2017 课标 II，理 17】ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ，已知 sin A C 8sin2 B ，
2 （1）求 cos B ；
（2）若 a c 6 ， ABC 的面积为 2 ，求 b 。
b+c=2a cos B.
（I）证明：A=2B；
（II）若△ABC 的面积 S = a2 ，求角 A 的大小. 4
3.【2016 高考山东理数】（本小题满分 12 分）
在△ABC
中，角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，已知
2(tan
1.【2016 高考新课标 2 理数】若 cos( ) 3 ，则 sin 2 （ ）
4
5
（A） 7 25
（B） 1 5
（C） 1 5
（D） 7 25
2.【2016
高考新课标
3
理数】若
tan
3 4
，则 cos2 2 sin 2 （
）
(A)
64 25
(B)
48 25
(C) 1
(D)
16 25
（D） 2
2.【2017 北京，理 12】在平面直角坐标系 xOy 中，角α与角β均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对
高考数学二轮复习方法之三角恒等变换解三角形的解题策略
高考二轮复习方法高考对本部分内容的考查主要从以下方面进行：1．利用各种三角函数公式进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点。
2．利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查。
高考二轮复习方法点拨(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况。
(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解。
高考二轮复习方法点拨(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况。
(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解。
高考二轮复习方法点拨三角形中的最值主要有角的最值和边的最值问题，角的最值通常通过角的三角函数最值确定，边的最值通常通过函数与不等式的知识求解，特别是均值定理。
高考二轮复习方法点拨解三角形实际问题的4个步骤(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等。
(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出。
(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解。
(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案。
高三数学二轮复习 专题整合突破三角恒等变换与解三角形 课件理
π 1 sin3＝2.
π 2π π (2)∵α∈3，2，∴2α∈ 3 ，π ，
1 3 又由(1)知 sin2α＝2，∴cos2α＝－ 2 2 2 1 sinα cosα sin α－cos α －2cos2α ∴ tanα－ tanα ＝ cosα － sinα ＝ sinαcosα ＝ sin2α ＝ 3 －2 －2× 1 ＝2 3. 2
即
π 1 sin2α＋3＝－2.
π π 4π π ∵α∈3，2，∴2α＋3∈π， 3 ， π ∴cos2α＋3 ＝－
3 2，
π π π π π ∴ sin2α ＝ sin 2α＋3－3 ＝ sin 2α＋3 cos 3 － cos 2α＋3
解答此类问题的关键是结合已知条件， 求出相应角的三 角函数值，然后根据角的范围确定角的具体取值.
题型 2 典例 2
求值 [2016· 安徽合肥质检]已知
π π cos6＋α· cos3－α
π π 1 ＝－4，α∈3，2 .
[重要结论] 1．判断三角形形状的常用结论 (1)sinA＝sinB 且 A＋B≠π⇒ 等腰三角形
π (2)sin2A＝sin2B⇒ A＝B 或 A＋B＝2
； ⇒等腰或直角
三角形； (3)cosA＝cosB⇒ A＝B ⇒ 等腰 三角形； (4)cos2A＝cos2B⇒ A＝B ⇒ 等腰 三角形； (5)sin(A－B)＝0⇒ A＝B ⇒ 等腰 三角形； (6)A＝60° 且 b＝c⇒ 等边 三角形；
5．降幂公式
1－cos2α 2 (1)sin2α＝
；
1＋cos2α 2 (2)cos2α＝ .
2013年高考第二轮复习数学广东理科专题三 三角函数及解三角形第2讲 三角恒等变换及解三角形.pdf
专题三 三角函数及解三角形第2讲 三角恒等变换及解三角形 真题试做 1．(2012·重庆高考，理5)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )． A．－3 B．－1 C．1 D．3 2．(2012·山东高考，理7)若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝( )． A. B. C. D. 3．(2012·天津高考，理6)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝( )． A. B．－ C．± D. 4．(2012·湖北高考，理11)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________. 5．(2012·广东高考，理16)已知函数f(x)＝2cos(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π. (1)求ω的值； (2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β) 的值． 考向分析 本部分主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变形及解三角形等基本知识．近几年高考题目中每年有1～2个小题，一个大题，解答题以中低档题为主，很多情况下与平面向量综合考查，有时也与不等式、函数最值结合在一起，但难度不大，而三角函数与解三角形相结合，更是考向的主要趋势．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：边和角的计算；三角形形状的判断；面积的计算；有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来命题将是今后高考的一个关注点，不可小视． 热点例析 热点一 三角恒等变换及求值 已知函数f(x)＝2cos2－sin x. (1)求函数f(x)的最小正周期和值域； (2)若α为第二象限角，且f＝，求的值． 规律方法 明确“待求和已知三角函数间的差异”是解决三角函数化简、求值、证明问题的关键．三角恒等变换的常用策略有： (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的分拆与角的配凑： 二倍角只是个相对概念，如是的二倍角，α＋β是的二倍角等； ＝－，α＝(α－β)＋β等； 熟悉公式的特点，正用或逆用都要灵活，特别对以下几种变形更要牢记并会灵活运用： 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，cos α＝等． (3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂． (4)角的合成及三角函数名的统一：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ). 变式训练1 已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(x∈R，ω＞0)的最小正周期为6π. (1)求f的值； (2)设α，β∈，f＝－，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值． 热点二 三角函数、三角形与向量等知识的交会 在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，m＝(2b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，且mn. (1)求角A的大小； (2)求函数y＝2sin2B＋cos的值域． 规律方法 以解三角形为命题形式考查三角函数是“众望所归”：正余弦定理的应用，难度适中，运算量适度，方向明确(化角或化边)．(1)利用正弦定理将角化为边时，实际上是把角的正弦替换为所对边与外接圆直径的比值．(2)求角的大小一定要有两个条件：是角的范围；是角的某一三角函数值．用三角函数值判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性的应用．(3)三角形的内角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性．在三角形中，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值均为正值任意两角的和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方． 变式训练2 (2012·广东肇庆一模，理18)已知ABC的面积为2，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝4,0°＜C＜90°. (1)求sin(A＋B)的值； (2)求cos的值； (3)求向量，的数量积·. 热点三 正、余弦定理的实际应用 某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB.现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段．现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A，B分别设在公路上离市中心O多远处才能使A，B之间的距离最短？并求最短距离．(结果保留根号) 规律方法 (1)三角形应用题主要是解决三类问题：测高度、测距离和测角度． (2)在解三角形时，要根据具体的已知条件合理选择解法，同时，不可将正弦定理与余弦定理割裂开来，有时需综合运用． (3)在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决．要明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方法．在演算过程中，要算法简练、算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求． (4)在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角，如仰角、俯角、方位角，以防出错． (5)有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等． 变式训练3 如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α，前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东β，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险． 思想渗透 化归转化思想——解答三角恒等变换问题 求解恒等变换问题的思路： 一角二名三结构，即用化归转化的思想“去异求同”的过程，具体分析如下： (1)变角：首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心； (2)变名：其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”，诱导公式的运用； (3)结构：再次观察代数式的结构特点，降幂与升幂，巧用“1”的代换等． (2012·福建高考，文20)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°； sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解法一：(1)选择式，计算如下： sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝. (2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 证明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝. 解法二：(1)同解法一． (2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 证明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α ＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α) ＝1－cos 2α－＋cos 2α＝. 1．已知cos x－sin x＝－，则sin＝( )． A. B．－ C. D．－ 2．在△ABC中，如果0＜tan Atan B＜1，那么△ABC是( )． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3．(2012·山东烟台适用性测试一，5)已知倾斜角为α的直线l与直线x－2y＋2＝0平行，则tan 2α的值为( )． A. B. C. D. 4．(2012·江西南昌二模，5)已知cos＝－，则cos x＋cos的值是( )． A．－ B．± C．－1 D．±1 5．(2012·山东淄博一模，10)在△ABC中，已知bcos C＋ccos B＝3acos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，则cos B的值为( )． A. B．－ C. D．－ 6．已知sin x＝，则sin 2＝______. 7．(2012·湖南长沙模拟，18)已知函数f(x)＝3sin2x＋2sin xcos x＋5cos2x. (1)若f(α)＝5，求tan α的值； (2)设△ABC三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝，求f(x)在(0，B]上的值域． 8．(2012·广东广州二模，16)已知函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为，. (1)求A和ω的值； (2)已知α∈，且sin α＝，求f(α)的值． 参考答案 命题调研·明晰考向 真题试做 1．A 解析：因为tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根， 所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，而tan(α＋β)＝＝＝－3，故选A. 2．D 解析：由θ∈，得2θ∈. 又sin 2θ＝，故cos 2θ＝－. 故sin θ＝＝. 3．A 解析：在△ABC中，由正弦定理：＝， ∴＝， ∴＝，∴cos B＝. ∴cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝. 4. 解析：∵由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，整理可得，a2＋b2－c2＝－ab，∴cos C＝＝＝－，∴C＝. 5．解：(1)因为函数f(x)的最小正周期为＝10π，解得ω＝. (2)由(1)，可知f(x)＝2cos， ∵－＝f ＝2cos ＝2cos＝－2sin α， ∴sin α＝，cos α＝. ∵＝f ＝2cos＝2cos β， ∴cos β＝，sin β＝. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝×－×＝－. 精要例析·聚焦热点 热点例析 【例1】 解：(1)∵f(x)＝1＋cos x－sin x ＝1＋2cos， ∴函数f(x)的最小正周期为2π. 又∵－1≤cos≤1， ∴函数f(x)的值域为[－1,3]． (2)∵f＝， ∴1＋2cos α＝，即cos α＝－. ∵＝ ＝ ＝， 又∵α为第二象限角，且cos α＝－， ∴sin α＝. ∴原式＝＝＝. 【变式训练1】 解：(1)f(x)＝sin ωx－cos ωx ＝2 ＝2sin. ∵函数f(x)的最小正周期为6π， ∴T＝＝6π，即ω＝. ∴f(x)＝2sin. ∴f＝2sin＝2sin＝. (2)f ＝2sin ＝2sin α＝－， ∴sin α＝－. f(3β＋2π)＝2sin ＝2sin＝2cos β＝， ∴cos β＝. ∵α，β∈， ∴cos α＝＝， sin β＝－＝－. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝. 【例2】 解：(1)由m∥n，得(2b－c)cos A－acos C＝0， ∴(2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0， 2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C ＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B， 在锐角三角形ABC中，sin B＞0， ∴cos A＝，故A＝. (2)在锐角三角形ABC中，A＝， 故＜B＜. ∴y＝2sin2B＋cos＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B ＝1＋sin 2B－cos 2B ＝1＋sin. ∵＜B＜，∴＜2B－＜. ∴＜sin≤1，＜y≤2. ∴函数y＝2sin2B＋cos的值域为. 【变式训练2】 解：(1)由absin C＝2， 即×3×4sin C＝2，得sin C＝. ∵A＋B＝180°－C， ∴sin(A＋B)＝sin(180°－C)＝sin C＝. (2)由(1)，得sin C＝. ∵0°＜C＜90°， ∴cos C＝＝＝. ∴cos 2C＝2cos2C－1＝2×2－1＝. ∴sin 2C＝2sin Ccos C＝2××＝. ∴cos ＝cos 2Ccos－sin 2Csin ＝×－×＝－. (3)∵||＝a＝3，||＝b＝4， 设向量与所成的角为θ， 则θ＝180°－C. ∴·＝||·||cos θ ＝abcos(180°－C)＝－abcos C ＝－3×4×＝－4. 【例3】解：在△AOB中，设OA＝a，OB＝b. 因为OA为正西方向，OB为东北方向， 所以∠AOB＝135°. 又O到AB的距离为10， 所以S△ABO＝absin 135°＝|AB|·10，得|AB|＝ab. 设∠OAB＝α，则∠OBA＝45°－α. 因为a＝，b＝， 所以ab＝· ＝ ＝ ＝ ＝≥. 当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立． 所以|AB|≥×＝20(＋1)． 当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立． 所以，当a＝b＝＝10时， A，B之间的距离最短，且最短距离为20(＋1) km. 即当A，B分别在OA，OB上离市中心O 10 km处时，能使A，B之间的距离最短，最短距离为20(＋1) km. 【变式训练3】 mcos αcos β＞nsin(α－β) 解析：∠MAB＝90°－α，∠MBC＝90°－β＝∠MAB＋∠AMB＝90°－α＋∠AMB， 所以∠AMB＝α－β. 由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得＝，解得BM＝.要使船没有触礁危险，需要BMsin(90°－β)＝＞n，所以α与β满足mcos αcos β＞nsin(α－β)时，该船没有触礁危险． 创新模拟·预测演练 1．B 解析：由cos x－sin x＝2 ＝2 ＝2sin， 可得sin＝－. 2．C 解析：由题意0＜A＜π，0＜B＜π，tan Atan B＞0，则A，B两角为锐角， 又tan(A＋B)＝＞0，则A＋B为锐角，则角C为钝角，故选C. 3．B 解析：已知倾斜角为α的直线l与直线x－2y＋2＝0平行， 则tan α＝，tan 2α＝＝＝. 4．C 解析：cos x＋cos＝cos x＋cos xcos＋sin xsin ＝cos x＋sin x＝cos＝×＝－1. 5．A 解析：因为bcos C＋ccos B＝3acos B， 所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝3sin Acos B， 即sin(B＋C)＝3sin Acos B，即cos B＝. 6．2－ 解析：sin 2 ＝sin＝－cos 2x ＝－(1－2sin2x)＝2sin2x－1 ＝2×2－1＝3－－1＝2－. 7．解：(1)由f(α)＝5，得3sin2α＋2sin αcos α＋5cos2α＝5， ∴3·＋sin 2α＋5·＝5. ∴sin 2α＋cos 2α＝1，即sin 2α＝1－cos 2α2sin αcos α＝2sin2α，∴sin α＝0或tan α＝. ∴tan α＝0或tan α＝. (2)由＝，得＝， 则cos B＝，即B＝. 又f(x)＝3sin2x＋2sin xcos x＋5cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋4＝2sin＋4， 由0＜x≤，可得≤sin≤1， 故5≤f(x)≤6，即所求值域是[5,6]． 8．解：(1)∵函数f(x)的图象的最高点坐标为， ∴A＝2. 依题意，得函数f(x)的周期 T＝2＝π， ∴ω＝＝2. (2)由(1)得f(x)＝2sin. ∵α∈，且sin α＝， ∴cos α＝＝. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝， cos 2α＝1－2sin2α＝－. ∴f(α)＝2sin ＝2 ＝.。
高考数学二轮复习 专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形提升训练 理
第2讲 三角恒等变换与解三角形一、填空题1．(2013·苏、锡、常、镇模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝______． 解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＋2α＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝－79.答案 －792．(2015·晋中模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则cos α等于________． 解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，54π. ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－45，∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤φ＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－45×22＋35×22＝－210.答案 －2103．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝________．解析 S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.答案54．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________． 解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①.∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②，由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案3325．(2015·苏、锡、常、镇模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝45 3，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________． 解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453， ∴12cos α＋32sin α＝45， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.答案 －456．(2015·南京、盐城模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c成等比数列，且B ＝π3，则△ABC 的形状为________三角形．解析 依题意，A ＋C ＝2π3，b 2＝ac ；又由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即ac ＝a 2＋c 2－ac ，故a ＝c ，故A ＝C ＝π3，即△ABC 为等边三角形．答案 等边7．(2015·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315， ∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8.答案 88．在△ABC 中，tanA ＋B2＝2sin C ，若AB ＝1，则12AC ＋BC 的最大值为________． 解析 因为tanA ＋B2＝2sin C ，所以sinA ＋B2cosA ＋B 2＝2sin C ⇒2sinA ＋B2·co sA ＋B22⎝⎛⎭⎪⎫cos A ＋B 22＝2sinC ⇒sin （A ＋B ）1＋cos （A ＋B ）＝2sin C ，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， 所以sin C 1－cos C ＝2sin C ，因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以cos C ＝12，所以C ＝π3.因为BCsin A＝ACsin B＝ABsin C＝233，所以12AC ＋BC ＝33sin B ＋233sin A ＝33·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋233sin A ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A ＋2sin A ＝213sin(A ＋φ)，其中0＜φ＜π2且tan φ＝35，所以当sin(A ＋φ)＝1时，12AC ＋BC 取得最大值，为213.答案213二、解答题9．(2015·江苏卷)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角， 则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277.因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得 a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac.因为b ＝3，c ＝1， 所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0＜A ＜π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26. 11．(2015·苏北四市模拟)某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l 上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC ，CD 用一根5米长的材料弯折而成，边BA ，AD 用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A 和∠C 互补，且AB ＝BC ，(1)设AB ＝x 米，cos A ＝f (x )，求f (x )的解析式，并指出x 的取值范围； (2)求四边形ABCD 面积的最大值．解 (1)在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A .同理，在△CBD 中，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos C . 因为∠A 和∠C 互补，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos C ＝CB 2＋CD 2＋2CB ·CD ·cosA .即x 2＋(9－x )2－2x (9－x )cos A ＝x 2＋(5－x )2＋2x (5－x )cos A . 解得cos A ＝2x，即f (x )＝2x，其中x ∈(2，5)．(2)四边形ABCD 的面积S ＝12(AB ·AD ＋CB ·CD )·sin A ＝12[x (5－x )＋x (9－x )]1－cos 2A .＝x (7－x )1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＝（x 2－4）（7－x ）2＝（x 2－4）（x 2－14x ＋49）.记g (x )＝(x 2－4)(x 2－14x ＋49)，x ∈(2，5)． 由g ′(x )＝2x (x 2－14x ＋49)＋(x 2－4)(2x －14) ＝2(x －7)(2x 2－7x －4)＝0， 解得x ＝4(x ＝7和x ＝－12舍)．所以函数g (x )在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减． 因此g (x )的最大值为g (4)＝12×9＝108.所以S 的最大值为108＝6 3. 故所求四边形ABCD 面积的最大值为6 3 m 2.。
江西省2013年高考数学第二轮复习 专题升级训练8 三角恒等变换及解三角形 文
专题升级训练8 三角恒等变换及解三角形(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．(2012·江西九江模拟，文7)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a 2＋b 2－ab ＝c 2，且cb＝3，则该三角形为( )．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形2．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，c ＝8，B ＝60°，则sin A 的值是( )．A ．316B ．314C ．3316D ．3314 3．若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是( )． A ．(1，2) B ．(2，3) C ．(3，2) D ．(1,2)4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，则sin(B ＋C )＝( )．A ．－45B ．45C ．－35D ．355．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫tan αtan β2等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．66．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )．A ．33B ．－33C ．539D ．－69二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)7．在△ABC 中，C 为钝角，AB BC ＝32，sin A ＝13，则角C ＝__________，sin B ＝__________.8．已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________．9．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为__________．三、解答题(本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分15分)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＋23cos 2x － 3.(1)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求函数f (x )的值域；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，其中a ＝1，c ＝2，且锐角B满足f (B )＝1，求b 的值．11．(本小题满分15分)如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值． 12．(本小题满分16分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知m ＝(2sin(A＋C )，3)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2B ，2cos 2B2－1，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝1，求△ABC 面积的最大值．参考答案一、选择题1．B 解析：由a 2＋b 2－ab ＝c 2，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝π3．又c b ＝3，∴sin C sin B ＝3，∴sin B ＝33sin C ＝33×32＝12， ∴B ＝π6，∴A ＝π－C －B ＝π2．∴该三角形为直角三角形，故选B ．2．D 解析：根据余弦定理得b ＝32＋82－2×3×8cos 60°＝7，根据正弦定理3sin A＝7sin 60°，解得sin A ＝3314．3．C 解析：由三角形有两解的充要条件得a sin 60°＜3＜a ，解得3＜a ＜2．故选C ．4．B 解析：b 2＋c 2－a 2＝65bc ⇒cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，sin(B ＋C )＝sin A ＝45．5．C 解析：∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13，∴sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝512×12＝5， ∴原式＝2＝4．6．C 解析：根据条件可得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539． 二、填空题7．150° 22－36 解析：由正弦定理知AB BC ＝sin C sin A ＝32，故sin C ＝12．又C 为钝角，所以C ＝150°．sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋223×12＝22－36．8．49解析：∵tan⎝⎛⎭⎪⎫x＋π4＝2，∴tan x＋11－tan x＝2，∴tan x＝13．∴tan xtan 2x＝tan x2tan x1－tan2x＝1－tan2x2＝1－192＝49．9．－142解析：∵sin α－cos α＝12，∴(sin α－cos α)2＝14，即2sin αcos α＝34．∴(sin α＋cos α)2＝1＋34＝74．∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α＞0，∴sin α＋cos α＝72．则cos 2αsin⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos2α－sin2α22(sin α－cos α)＝－(sin α＋cos α)22＝－7222＝－142．三、解答题10．解：(1)f(x)＝sin 2x＋3cos 2x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫2x＋π3．∵x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，43π．∴当2x＋π3＝π2，x＝π12时，f(x)max＝2；当2x＋π3＝4π3，x＝π2时，f(x)min＝－3．∴函数f(x)的值域为[－3，2]．(2)f(B)＝1⇒2sin⎝⎛⎭⎪⎫2B＋π3＝1，∴B＝π4．∴b2＝a2＋c2－2ac cosπ4＝1．∴b＝1．11．解：(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α．在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC＝28．282＝14(海里/时)，所以渔船甲的速度为14海里/时． (2)方法1：在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α， 由正弦定理，得AB sin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314．方法2：在△ABC 中，AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由余弦定理，得cos α＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ×BC，即cos α＝202＋282－1222×20×28＝1314．因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314． 12．解：(1)∵m ∥n ，∴2sin(A ＋C )⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2B2－1＝3cos 2B ，2sin B cos B ＝3cos 2B ，sin 2B ＝3cos 2B ，易知cos 2B ≠0， ∴tan 2B ＝3．∵0＜B ＜π2，则0＜2B ＜π，∴2B ＝π3．∴B ＝π6．(2)∵b 2＝a 2＋c 2－3ac ，∴a 2＋c 2＝1＋3ac ． ∵a 2＋c 2≥2ac ，∴1＋3ac ≥2ac ．∴ac ≤12－3＝2＋3，当且仅当a ＝c 取等号．∴S ＝12ac sin B ＝14ac ≤2＋34，即△ABC 面积的最大值为2＋34．。
江苏省2013届高考数学二轮复习 专题七 三角恒等变换与解三角形 苏教版
江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题7 三角恒等变换与解三角形回顾2008～2012年的考题，在填空题中主要考查了三角公式的运用、正、余弦定理的运用.在解答题中有2008、2011年主要考查了三角化简求值，2009年考查了向量与三角化简的综合问题，2012年考查角的恒等变换及正、余弦定理.在近五年的应用题考查中，有两年考查了与三角函数有关的应用题.,在近四年的考查中，同角三角函数关系与诱导公式没有两角和与差的公式考查力度大，但作为三角化简的基本功还是要掌握的.预测在2013年的高考题中：1填空题依然是考查简单的三角函数化简、解三角形，随着题目设置的顺序，难度不一.2在解答题中，三角函数的化简、三角函数的性质与解三角形和平面向量的交汇问题仍是考查的重点.1．(2012·南京名校4月阶段性考试)若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.解析：由题意得tan α＋1tan α－1＝3.所以tan α＝2.又tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2. 所以(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan β－α－tan α1＋tan β－αtan α＝43.答案：432.1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(tan －15°－tan 5°)＝________.解析：原式＝2cos 210°4sin 10°cos 10°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°－10°2sin 10°＝cos 10°－2sin 30° cos 10°＋2cos 30° sin 10°2sin 10°＝cos 30°＝32. 答案：323．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A 的值等于________，AC 的取值范围为________．解析：设A ＝θ，则B ＝2θ.由正弦定理得AC sin 2θ＝BCsin θ，∴AC2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2. 由锐角△ABC 得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°，又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32， ∴AC ＝2cos θ∈(2，3)． 答案：2 (2，3)4．(2012·西安名校三检)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S )，满足p ∥q ，则∠C ＝________.解析：由p ∥q ⇒4S －3(a 2＋b 2－c 2)＝0，又4S ＝4×12ab sin ∠C ＝3(a 2＋b 2－c 2)，可得sin ∠C ＝3×a 2＋b 2－c 22ab ＝3cos ∠C ，即tan ∠C ＝3，故∠C ＝π3.答案：π35．在△ABC 中，A 为最小角，C 为最大角，已知cos(2A ＋C )＝－43， sin B ＝45，则cos 2(B＋C )＝________.解析：∵A 为最小角，∴2A ＋C ＝A ＋A ＋C <A ＋B ＋C ＝180°. ∵cos(2A ＋C )＝－45，∴sin(2A ＋C )＝35.∵C 为最大角，∴B 为锐角． 又sin B ＝45，故cos B ＝35.即sin(A ＋C )＝45，cos(A ＋C )＝－35.∵cos(B ＋C )＝－cos A ＝－cos[(2A ＋C )－(A ＋C )]＝－2425，∴cos 2(B ＋C )＝2cos 2(B ＋C )－1＝527625.答案：527625[典例1]已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35.(1)用α＋β，α－β表示2α；(2)求sin 2α，cos 2α的值． [解] (1)2α＝(α－β)＋(α＋β)． (2)因为π2<β<α<3π4，所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2.又因为cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝513，cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－45. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665， cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β) ＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－3365.三角函数式的化简、求值，常从角的差异入手，寻求条件与结论之间的关系，通过三角恒等变换消除差异，使问题获解．[演练1]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝14，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－x 的值为________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＋sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝516.答案：516[典例2](2012·南通第一次调研)在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若2sin A cos C ＝sin B ，求a c的值； (2)若sin(2A ＋B )＝3sin B ，求tan Atan C 的值．[解] (1)由正弦定理得sin A sin B ＝ab.从而2sin A cos C ＝sin B 可化为2a cos C ＝b .由余弦定理得2a ×a 2＋b 2－c 22ab＝b .整理得a ＝c ，即ac＝1.(2)在斜三角形ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin(2A ＋B )＝3sin B 可化为sin[π＋(A －C )]＝3sin[π－(A ＋C )]， 即－sin(A －C )＝3sin(A ＋C )．故－sin A cos C ＋cos A sin C ＝3(sin A cos C ＋cos A sin C )． 整理得4sin A cos C ＝－2cos A sin C ， 因为△ABC 是斜三角形，所以cos A cos C ≠0， 所以tan A tan C ＝－12.解三角形常用的工具是正弦定理和余弦定理，要熟悉它们的使用的条件，合理选用．解三角形常与三角恒等变换、三角求值综合考查，要注意三角形中角的限制条件．[演练2]在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1＋tan A tan B ＝2cb ，则角A 的大小为________．解析：由1＋tan A tan B ＝2c b ，得sin A ＋B cos A sin B ＝2sin Csin B ，即cos A ＝12，故A ＝π3.答案：π3[典例3](2012·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ；则下列命题正确的是________．①若ab >c 2，则C <π3；②若a ＋b >2c ，则C <π3；③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2；④若(a ＋b )c <2ab ，则C >π2；⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C >π3. [解析] ①ab >c 2⇒cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >2ab －ab 2ab ＝12⇒C <π3；②a ＋b >2c ⇒cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >4a 2＋b 2－a ＋b28ab≥12⇒C <π3； ③当C ≥π2时，c 2≥a 2＋b 2⇒c 3≥a 2c ＋b 2c >a 3＋b 3与a 3＋b 3＝c 3矛盾；④取a ＝b ＝2，c ＝1满足(a ＋b )c <2ab 得C <π2；⑤取a ＝b ＝2，c ＝1满足(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2得C <π3.[答案] ①②③利用正、余弦定理可实现三角形中的边角转化，常用方法是：①化边为角结合内角和定理求解；②化角为边结合勾股定理、三边关系求解．[演练3]在△ABC 中，sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C，判断这个三角形的形状．解：应用正弦定理、余弦定理，可得a ＝b ＋c c 2＋a 2－b 22ca ＋a 2＋b 2－c22ab，所以b (a 2－b 2)＋c (a 2－c 2)＝bc (b ＋c )．所以(b ＋c )a 2＝(b 3＋c 3)＋bc (b ＋c )． 所以a 2＝b 2－bc ＋c 2＋bc .所以a 2＝b 2＋c 2. 所以△ABC 是直角三角形．[专题技法归纳](1)在三角化简、求值、证明中，表达式往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中的角，使问题获解．如角的变形：15°＝45°－30°＝60°－45°＝30°2，α＝(α＋β)－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－α2，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.特别地，π4＋α与π4－α为互余角，它们之间可以互相转化，在三角变形中使用频率高．(2)两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例．另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解．1．(2012·连云港调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋bc ，sin C ＝2sin B ，则A ＝________.解析：由sin C ＝2sin B ，得c ＝2b .又a 2＝b 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－bc 2bc ＝4b 2－2b 24b2＝12，所以A ＝π3. 答案：π32．设α∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，则sin(α＋β)＝________.解析：α∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝45.∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴3π4＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213.∴sin(α＋β)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－π2 ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋45×513＝5665. 即sin(α＋β)＝5665.答案：56653．已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)＝________. 解析：∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45. 则tan α＝－34.由tan(π－β)＝12，可得tan β＝－12，tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－43. tan(α－2β)＝tan α－tan 2β1＋tan α·tan 2β＝－34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－431＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝724.答案：7244.如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是________．解析：因为l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，所以过A 作l 2的垂线，交l 2、l 3分别于点D 、E ，如图，则∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAE ，即∠BAD ＝60°＋∠CAE ，记正三角形ABC 的边长为a ，两边取余弦得1a ＝cos 60°·cos ∠CAE －sin 60°sin ∠CAE ，即1a ＝12×3a －32×a 2－32a 整理得，3a 2－9＝1，解之得，a ＝2213.答案：22135．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值是________．解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝13，tan(2α－β)＝tan α－β＋tan α1－tan α－βtan α＝1.∵tan β＝－17，∴β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π， ∴2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π4.∴2α－β＝－3π4.答案：－3π46．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝________.解析：∵2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝(a ＋c )2－2ac ＝4b 2－2ac .在△ABC 中，B ＝30°，△ABC 的面积32，所以12ac sin B ＝32，即ac ＝6，于是a 2＋c 2＝4b 2－12，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32，即4b 2－12－b 212＝32，解得b 2＝4＋23，于是b ＝1＋ 3. 答案：1＋ 37．△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B，sin(B －A )＝cosC ．则B ＝________.解析：因为tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B ，即sin C cos C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B ，所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ， 即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ，得sin(C －A )＝sin(B －C )，所以C －A ＝B －C 或C －A ＝π－(B －C )(不成立)． 即2C ＝A ＋B ，得C ＝π3，所以B ＋A ＝2π3.又因为sin(B －A )＝cos C ＝12，则B －A ＝π6或B －A ＝5π6(舍去)，得A ＝π4，B ＝5π12.答案：5π128．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，则四边形ABCD 的面积为________．解析：如图：连结BD ，则有四边形ABCD 的面积S ＝S △ABD ＋S △CDB ＝12·AB ·AD sin A ＋12·BC ·CD ·sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C .故S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )sin A ＝12(2×4＋6×4)·sin A ＝16sinA .由余弦定理，在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝20－16cos A ， 在△CDB 中，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos C ＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C ．∵cos C ＝－cos A ， ∴64cos A ＝－32，cos A ＝－12.又0°<A <180°，∴A ＝120°，故S ＝16sin 120°＝8 3. 答案：839．在正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上，在这种情况下，若要使AD 最小，则AD ∶AB ＝________.解析：按题意，设折叠后A 点落在边BC 上改称P 点，显然A 、P 两点关于折线DE 对称，又设∠BAP ＝θ，∴∠DPA ＝θ，∠BDP ＝2θ，再设AB ＝a ，AD ＝x ，∴DP ＝x .在△ABC 中， ∠APB ＝180°－∠ABP －∠BAP ＝120°－θ，由正弦定理知：BP sin ∠BAP ＝ABsin ∠APB .∴BP ＝a sin θsin120°－θ.在△PBD 中，DP sin ∠DBP ＝BPsin ∠BDP ，所以BP ＝x ·sin 2θs in 60°，从而a sin θsin120°－θ＝x sin 2θsin 60°，∴x ＝a sin θ·sin 60°sin 2θ·sin 120°－θ＝3a2sin 60°＋2θ＋3.∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°＋2θ≤180°.∴当60°＋2θ＝90°，即θ＝15°时，sin(60°＋2θ)＝1， 此时x 取得最小值3a 2＋3＝(23－3)a ，即AD 最小，∴AD ∶DB ＝23－3. 答案：23－310．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________． 解析：因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝725，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝22×1725＝17250.答案：1725011．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B . 1cos A ＋1cos C ＝－2cos B ，求cos A －C 2的值． 解：由题设条件知B ＝60°，A ＋C ＝120° 设α＝A －C2，则A －C ＝2α，可得A ＝60°＋α，C ＝60°－α，所以1cos A ＋1cos C ＝1cos 60°＋α＋1cos 60°－α＝112cos α－32sin α＋112cos α＋32sin α＝cos α14cos 2α－34sin 2α＝cos αcos 2α－34，依题设条件有cos αcos 2α－34＝－2cos B ， 又cos B ＝12，∴cos αcos 2α－34＝－2 2. 整理得42cos 2α＋2cos α－32＝0，即(2cos α－2)(22cos α＋3)＝0.∵22cos α＋3≠0，∴2cos α－2＝0.从而得cos A －C2＝22. 12.(2012·苏锡调研)如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB ·AC ＝50.(1)求cos ∠BAC 的值；(2)求sin ∠CAD 的值；(3)求△BAD 的面积．解：(1)因为AB ·AC ＝| AB || AC |cos ∠BAC ，所以cos ∠BAC ＝AB ·AC | AB || AC |＝5013×10＝513. (2)在△ADC 中，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－6522×10×5＝35. 因为∠CAD ∈(0，π)，所以sin ∠CAD ＝ 1－cos 2∠CAD ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. (3)由(1)知，cos ∠BAC ＝AB ·AC | AB || AC |＝513. 因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213. 从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD )＝sin ∠BAC ·cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD＝1213×35＋513×45＝5665.所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝12×13×5×5665＝28.。
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必考问题7 三角恒等变换与解三角形1．(2012²全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( )．A．－53B．－59C.59D.532．(2012²江西)若t a n θ＋1t a n θ＝4，则sin 2θ＝( )．A.15B.14C.13D.123．(2012²天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C ＝2B，则cos C＝( )．A.725B．－725C．±725D. 24251．对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点．2．对于解三角形，重点考查正弦定理、余弦定理两公式在解三角形中的应用，通过三角形中的边、角关系和相关公式的灵活运用来考查学生分析问题、解决问题的能力以及数学运算能力.1．在三角恒等变换过程中，准确地记忆公式，适当地变换式子，有效地选取公式是解决问题的关键．2．在解三角形的试题时，要弄清楚三角形三边、三角中已知什么，求什么，这些都是解决问题的思维基础，分析题设条件，利用正、余弦定理进行边与角之间的相互转化是解决问题的关键.必备知识两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)t a n(α±β)＝t a n α±t a n β1∓t a n αt a n β.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)t a n 2α＝2t a n α1－t a n 2α. (4)降幂公式：sin 2 α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2.正弦定理及其变形a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .余弦定理及其推论a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .必备方法1．“变角”是三角变换的灵魂，因此要注意分析条件与所求之间角的联系，常考察是否具有和、差、倍、半关系或互余、互补关系．如2β与β是倍角关系．此外，根据条件与所求中的角的特点，常要对角进行恰当的配凑，如：β＝(α＋β)－α，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝⎛⎭⎪⎫α2－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．2．要充分把握三角函数的变换规律．三角变换时，需会用“切化弦”“弦化切”“辅助角”“1的代换”等技巧，追求“名、角、式”(三角函数名、角度、运算结构)的统一，其中角的变换是三角变换的核心．3．在三角形内求值、证明或判断三角形形状时，要用正、余弦定理完成边与角的互化，一般是都化为边或都化为角，然后用三角公式或代数方法求解，从而达到求值、证明或判断的目的．解题时要注意隐含条件．4．解三角形的应用问题时，要将条件和求解目标转化到一个三角形中，然后用正、余弦定理或三角公式完成求解，同时注意所求结果要满足实际问题的要求，还要注意对不同概念的角的正确理解与应用，如俯角、仰角、方位角、视角等.利用三角恒等变换进行三角函数 的化简、求值三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂，常考查：①三角恒等变换在化简、求值等方面的简单应用；②三角恒等变换与三角形中相关知识的综合、与向量的交汇性问题，多以解答题形式出现，难度中档．【例1】► (2012²广东)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10 π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．[审题视点] [听课记录][审题视点] (1)由T ＝10π可得ω的值；(2)化简所给的已知条件，求得cos α、si n β的值，将cos(α＋β)展开，代入数据即可．解 (1)∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6， 而α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f (5β－5π6)＝1617，∴2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6＝－65，2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝1617， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817， 于是si n α＝35，cos α＝45，si n β＝1517，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－si n αsi n β ＝45³817－35³1517＝－1385.(1)给值求角的本质还是给值求值，即欲求某角，也要先求该角的某一三角函数值．(2)由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角． (3)要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝(α＋β)－β，α＝α＋β2＋α－β2等．【突破训练1】 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.(1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．三角函数与解三角形以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正(余)弦定理考查解斜三角形是高考的一个热点问题．根据所给式子、三角形的特点合理选择正弦或余弦定理是解题的关键，综合考查学生逻辑分析和计算推理能力．【例2】► (2011²山东)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已 知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b.(1)求sin C sin A的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题．【突破训练2】 (2012²江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．【例3】► 在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，A ＝π6，(1＋3)c ＝2b .(1)求角C ；(2)若CB →²CA →＝1＋3，求a ，b ，c .解答这一类问题，首先要保证向量运算必须正确，否则，反被其累，要很好的掌握正、余弦定理的应用条件及灵活变形，方能使问题简捷解答．【例4】► (2012²沈阳模拟)如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．【突破训练4】 (2012²惠州调研)如图，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A ，B ，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°且AB ＝100米．(1)求sin 75°； (2)求该河段的宽度．【示例】► (2012²新课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .[满分解答] (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sinA sin C －sinB －sinC ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(6分)(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.(12分)老师叮咛：本题较容易，得分率较高.考查了考生利用正、余弦定理及三角公式进行转化的能力.其中，第问利用正弦定理将边化成角，结合三角恒等变换知识整理出角 A.第问根据三角形的面积公式得到关于b ，c 的等式，再由余弦定理用a 和角A 表示出b ，c 的关系，从而求解.【试一试】 在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．解 (1)在△ABC 中，根据正弦定理，AB sin C ＝BCsin A .于是AB ＝sin Csin A ²BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ²AC ＝255.于是si n A ＝1－cos 2A ＝55. 从而si n 2A ＝2si n A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2A －si n 2A ＝35.所以si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4＝si n 2A cos π4－cos 2A si n π4＝210.。