海南省海口市第十四中学高一数学新必修四第一章三角函数导学案课题任意角和弧度制

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【四维备课】高中数学第一章《三角函数》导学案新人教A版必修4

第一章《三角函数》导学案（复习课）【学习目标】１．任意角的概念与弧度制；任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 2．同角三角函数的关系（22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=）,诱导公式； 3．正弦、余弦、正切函数的图象与性质；4．利用三角函数的图象求三角函数的定义域、值域等;5．函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义；函数sin()y A x ωϕ=+图象的变换（平移平换与伸缩变换）;6.会用三角函数解决一些简单实际问题及最值问题. 【导入新课】复习回顾本章知识新授课阶段一、同角三角函数基本关系式的运用例1 若tan α=，求（1）sin cos cos sin αααα+-的值；（2）222sin sin cos cos αααα-+的值．解例2 若1sin cos ,,,cos sin 842ππθθθθθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭求的值．解：例3 已知sin()cos(2)tan(3)2()tan()sin()2f παπααπαππαα---+=++．（1）化简()f α；（2）若α是第三象限的角，且31cos()25πα-=，求()f α的值；（3）若01860α=-，求()f α的值．解：二、正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用例4 求下列函数的定义域：（1）()f x =；（2）()tan(sin )f x x =；（3）()f x =．解：例5 求下列函数的周期：（1）sin 2sin(2)3cos 2cos(2)3x x y x x ππ++=++；（2）2sin()sin 2y x x π=-；（3）cos 4sin 4cos 4sin 4x x y x x +=-．解：例6 已知函数f(x)=3sin(2x －π6)+2sin 2(x －π12) (x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合．解:例7 判断下列函数的奇偶性：（１）()sin 2tan f x x x =-； (2 ) 1sin cos ()1sin cos x xf x x x+-=++；(3 ) ()cos(sin )f x x =；(4 ) ()f x =解：例8 已知:函数()()x x x f cos sin log 21-=．(1)求它的定义域和值域； (2)判断它的奇偶性； (3)求它的单调区间；（4）判断它的周期性,若是周期函数,求它的最小正周期. 解:例9 已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间．解三、函数sin()y A x ωϕ=+的图象与变换例10已知函数2()2cos 2,(01)f x x x ωωω=+<<其中，若直线3x π=为其一条对称轴.（1）试求ω的值（2）作出函数()f x 在区间[,]ππ-上的图象．解：例11 已知函数2()sin ()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<，且()y f x =的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）．（I ）求ϕ；（II ）计算(1)(2)(2008)f f f +++．解：例12设函数2()sin cos f x x x x a ωωω=++（其中0,a R ω>∈）.且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是6π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）如果()f x 在区间5[,]36ππ-a 的值．解：四、三角函数的运用例13 某港口水的深度y （米）是时间240(≤≤t t ，单位：时）的函数，记作)(t f y =，下面是某日水深的数据：经长期观察，)(t f y =的曲线可以近似地看成函数sin y A x b ω=+的图象. （1）试根据以上数据，求出函数)(t f y =的近似表达式，（2）一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？解：例14 如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处（点P 与摩天轮中心Ｏ高度相同）时开始计时.（1）求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米. 解：t 时 0 3 6 9 12 15 18 21 24y 米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0例15 如图,ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，P是弧TS 上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场的最大值与最小值.解：例16 将一块圆心角为1200，半径为20㎝的扇形铁片裁成一块矩形，有如图(1)、(2)的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值.解：课堂小结主要掌握正弦函数与余弦函数的图象与性质，这是本章的核心知识点，主要的思想方法就是数形结合思想和分类讨论思想. 作业见同步练习拓展提升1．34sin ,cos ,255θθθ=-=若则角的终边在（） A ．第一象限 B ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限２．已知sin 1,cos 43k k θθ=-=-，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．43k >Ｂ．1k = Ｃ．85k = Ｄ．1k > ３．已知1sin 1cos ,cos 2sin 1x xx x +=--那么的值是（） A ．12 B ．12- Ｃ．２Ｄ．－２4. 给出四个函数，则同时具有以下两个性质的函数是：①最小正周期是π；②图象关于点（6π，0）对称（）（A ）)62cos(π-=x y （B ）)62sin(π+=x y （C ）)62sin(π+=x y （D ）)3tan(π+=x y5．为了使函数)0(sin >=ωωx y 在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是（）（A ）π98 （B ）π2197 （C ）π2199（D ）π100 6.函数f （x ）=cos 2x +sin x 在区间［－4π，4π］上的最小值是（） A.212- B.－221+ C.－1 D.221- 7．函数f (x )=sin(2x+φ)+3cos(2x +φ)的图像关于原点对称的充要条件是（）A ．φ=2k π－π6 ，k ∈ZB ．φ=k π－π6 ，k ∈ZC ．φ=2k π－π3 ，k ∈ZD ．φ=k π－π3 ，k ∈Z8．在ABC ∆中，2π>C ，若函数)(x f y =在[0，1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是（A ）)(cos )(cos B f A f > （B ）)(sin )(sin B f A f >（C ）)(cos )(sin B f A f > （D ）)(cos )(sin B f A f < 9.同时具有性质“⑴ 最小正周期是π；⑵ 图象关于直线3x π=对称；⑶ 在[,]63ππ-上是增函数”的一个函数是( ) A ．)62sin(π+=x y B.)32cos(π+=x yC ．)62cos(π-=x y D.)62sin(π-=x y10．若把一个函数的图象按a =（3π-，－2）平移后得到函数x y cos =的图象，则原图象的函数解析式是（）（A ）2)3cos(-+=πx y （B ）2)3cos(--=πx y （C ）2)3cos(++=πx y （D ）2)3cos(+-=πx y11．为了得到函数y =sin （2x －6π）的图象，可以将函数y =cos2x 的图象（） A.向右平移6π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度D.向左平移3π个单位长度12．若函数f （x ）=sin （ωx +ϕ）的图象（部分）如下图所示，则ω和ϕ的取值是（）A.ω=1，ϕ=3π B.ω=1，ϕ=－3π C.ω=21，ϕ=6π D.ω=21，ϕ=－6π 13．若函数()f x 图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个图象沿x 轴向右平移2π个单位，向下平移3个单位，恰好得到1sin 2y x =的图象，则()f x = ．14．函数sin(),(0,0)y A x A ωϕω=+>>为奇函数的充要条件是；为偶函数的充要条件是．15．一正弦曲线的一个最高点为1(,3)4，从相邻的最低点到这最高点的图象交x 轴于1(,0)4-，最低点的纵坐标为-3,则这一正弦曲线的解析式为 .16．已知方程sinx+cosx=k 在0≤x≤π上有两解，求k 的取值范围.17．数)2||,0,0(),sin(π<ϕ>ω>ϕ+ω=A x A y 的最小值是-2，其图象相邻最高点与最低点横坐标差是3π，又：图象过点(0,1)，求函数解析式.18．已知函数f （x ）=A sin ωx +B cos ωx （A 、B 、ω是实常数，ω＞0）的最小正周期为2，并当x =31时，2)(max =x f .（1）求f （x ）. （2）在闭区间［421，423］上是否存在f （x ）的对称轴?如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由.参考答案例1解：（1）cos sin 1tan 3cos sin 1tan αααααα++===----（2）原式2222222sin sin cos cos 2tan tan 1sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++41533--== 例2解：222(cos sin )cos sin 2sin cos θθθθθθ-=+-13144=-=,,cos sin ,42cos sin ππθθθθθ⎛⎫∈∴< ⎪⎝⎭∴-=例3 解：（1）cos cos (tan )()cos tan cos f ααααααα-==-（2）3cos()sin2παα-=- 1sin ,5αα∴=-又是第三象限的角()f αα∴==∴=cos （3）0186********α=-=-⨯+00()(1860)cos(1860)f f α∴=-=--1cos(6360300)cos602=--⨯+=-=- 二、正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用例4 解：（1tan 0x ≥，得tan x ≤()23k x k k Z ππππ-<≤+∈．∴()f x 的定义域为(,]()23k k k Z ππππ-+∈．（2）∵1sin 122x ππ-<-≤≤<，∴x R ∈．即()f x 的定义域为R ．（3）由已知2cos 10lg(tan 1)0tan 10()2x x x x k k Z ππ-≥⎧⎪+≠⎪⎪⎨+>⎪⎪≠+∈⎪⎩，得1cos 2tan 0tan 1()2x x x x k k Z ππ⎧≥⎪⎪≠⎪⎨>-⎪⎪≠+∈⎪⎩，∴223342k x k x k k x k πππππππππ⎧-≤≤+⎪⎪≠⎨⎪⎪-<<+⎩()k Z ∈， ∴原函数的定义域为(2,2)(2,2)()43k k k k k Z ππππππ-+∈．例5解：（1）1)sin 2sin 2cos 26tan(2)6)6x x x xy x x πππ+++===++， ∴周期2T π=．（2）2sin cos sin 2y x x x =-=-，故周期T π=．（3）1tan 4tan(4)1tan 44x y x x π+==+-，故周期4T π=．例6 解:(1) f(x)=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π12) = 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12)]+1 =2sin[2(x －π12)－π6]+1= 2sin(2x －π3) +1∴ T=2π2=π(2)当f(x)取最大值时, sin(2x －π3)=1,有2x －π3 =2k π+π2即x=k π+ 5π12 (k∈Z)，∴所求x 的集合为{x∈R|x= kπ+ 5π12, k∈Z}例7 解：（1）()f x 的定义域为()2x k k Z ππ≠+∈，故其定义域关于原点对称，又()sin(2)tan()sin 2tan ()f x x x x x f x -=---=-+=-()f x ∴为奇函数（2）2x π=时，1sin cos 2x x ++=，而1sin cos 02x x x π=-++=时,，()f x ∴的定义域不关于原点对称，()f x ∴为非奇非偶函数. （3）()f x 的定义域为R ，又()cos(sin())cos(sin )()f x x x f x -=-==()f x ∴为偶函数.（4）由lgcos 0x ≥得cos 1x ≥，又cos 1x ≤ cos 1x ∴=，故此函数的定义域为 2()x k k Z π=∈，关于原点对称，此时()0f x = ()f x ∴既是奇函数，又是偶函数.例8 解:(1).由0cos sin >-x x 04sin 2>⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒πxππππ+<-<∴k x k 242 ()k Z ∈∴定义域为()Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++,452,42ππππ, (]2,04sin 2∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx∴值域为.,21⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-(2). 定义域不关于原点对称,∴函数为非奇非偶函数（3） sin cos 04x x x π⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭()f x ∴的递增区间为35[2,2)()44k k k Z ππππ++∈ 递减区间为3(2,2]()44k k k Z ππππ++∈ (4).()()()122log sin 2cos 2f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎣⎦()12log sin cos x x =-()f x =()f x ∴是周期函数,最小正周期T π2=.例9解(I)1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 22)224x x f x x x x x π-+=++=++=++∴当2242x k πππ+=+,即()8x k k Z ππ=+∈时, ()f x 取得最大值2+函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8x x R x k k Z ππ∈=+∈.(II) ()2)4f x x π=+由题意得: 222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即: 3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88k k k Z ππππ-+∈. 三、函数sin()y A x ωϕ=+的图象与变换例10 解：（1）2()2cos 21cos 22f x x x x x ωωωω=+=+2sin(2)16x πω=++3x π=是()y f x =的一条对称轴2sin()136ωππ∴+=±2,362k k Z ωππππ∴+=+∈13()22k k Z ω∴=+∈1012ωω<<∴=（2）用五点作图例11解：（I ）2sin ()cos(22).22A Ay A x x ωϕωϕ=+=-+ ()y f x =的最大值为2，0A >.2, 2.22A AA ∴+== 又其图象相邻两对称轴间的距离为2，0ω>，12()2,.224ππωω∴==22()cos(2)1cos(2)2222f x x x ππϕϕ∴=-+=-+. ()y f x =过(1,2)点，cos(2) 1.2πϕ∴+=-22,,2k k Z πϕππ∴+=+∈22,,2k k Z πϕπ∴=+∈ ,,4k k Z πϕπ∴=+∈ 又0,2πϕ<<4πϕ∴=.（II ）4πϕ=，1cos()1sin .222y x x πππ∴=-+=+(1)(2)(3)(4)21014f f f f ∴+++=+++=.又()y f x =的周期为4，20084502=⨯，(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++⋅⋅⋅+=⨯=例12解：（I ）1()2sin 2sin(2)22232f x x x x a πωωαω=+++=+++ 依题意得 126322πππωω⋅+=⇒=．（II ）由（I ）知，()sin()32f x x πα=+++．又当5[,]36x ππ∈-时， 7[0,]36x ππ+∈，故1sin()123x π-≤+≤，从而()f x 在区间π5π36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值为12a =-++，故a =四、三角函数的运用例13解：（1）由已知数据，易知函数)(t f y =的周期T=12，振幅A=3，b=10，3sin 106y t π∴=+（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5米13sin1011.5,sin662t t ππ∴+≥∴≥,解得:)(652662Z k k t k ∈+≤≤+πππππ )(512112Z k k t k ∈+≤≤+,在同一天内,取0 1.15,1317.k k t t ==∴≤≤≤≤或或∴该船可在当日凌晨1时进港,下午17时出港,在港口内最多停留16个小时. 例14解：（1）以Ｏ为坐标原点，以OP 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设摩天轮上某人在Q 处，则在t 秒内OQ 转过的角为220t π，所以t 秒时，Q 点的纵坐标为220t π，故在t 秒时此人相对于地面的高度为10sin1210y t π=+（米）（2）令10sin121210y t π=+≤，则1sin105t π≤- 020t ≤≤10.6419.36t ∴≤≤，故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米例15解：如图，连结AP ，设0(090)PAB θθ∠=<<，延长RP 交AB 于M ，则90cos ,90sin AM MP θθ==，10090cos PQ MB AB AM θ==-=-10090sin PR MR MP θ=-=-，故矩形PQCR 的面积(10090cos )(10090sin )S PQ PR θθ=⋅=--100009000(sin cos )8100sin cos θθθθ=-++设21sin cos (12),sin cos (1)2t t t θθθθ+=<≤=-则，2810010()95029S t ∴=-+，故当109t =时，2min 950()S m =当2t =时，2max 1405090002()S m =-例16．解：按图(1)的裁法：矩形的一边OP 在OA 上，顶点M 在圆弧上，设MOA θ∠=，则20sin ,20cos MP OP θθ==，所以矩形OPMN 的面积400sin cos 200sin 2S θθθ==即当4πθ=时，max 200S =按图(2)的裁法：矩形一边PQ 与弦AB 平行，设MOQ α∠=，在△MOQ 中，0009030120OQM ∠=+=，则正弦定理得：020sin 403sin sin1203MQ αα==又002sin(60)40sin(60)MN OM αα=-=-0sin(60)S MQ MN αα∴=⋅=-1sin )2ααα=-1cos 22)4αα-=-030)α=+∴ 当030α=时，max 3S =由于2003>，所以用第二种裁法得面积最大的矩形，最大面积为32cm拓展提升1．Ｄ提示；由24sin 22sin cos 0,25θθθ==-< 227cos 2cos sin 025θθθ=-=>可得 2．Ｃ提示：由22sin 0,cos 0sin cos 1θθθθ><+=及可得．3．Ａ提示：221sin sin 1sin 11cos cos cos x x x x x x+--⋅==- 4．D 5．B 提示:4941×T ≤1，即4197×ωπ2≤1，∴ω≥2π197. 6．提示：f （x ）=1－sin 2x +sin x =－（sin x －21）2+45，当x =－4π时，()f x 取最小值7．D 提示：()sin(2))2sin(2)3f x x x x πϕϕϕ=++=++,令3k πϕπ+=可得8．C 提示：根据00222A B A B πππ<+<<<-<得,所以sin sin()cos 2A B B π<-=9．D 提示：由性质(1)和(2)可排除 A 和C ,再求出)62sin(π-=x y 的增区间即可10．D 提示：将函数x y cos =的图象按a -平移可得原图象的函数解析式 11．B 提示：∵y =sin （2x －6π）=cos ［2π－（2x －6π）］=cos （3π2－2x ）=cos （2x －3π2）=cos ［2（x －3π）］，∴ 将函数y =cos2x 的图象向右平移3π个单位长度 12．C 提示：由图象知，T =4（3π2+3π）=4π=ωπ2，∴ ω=21. 又当x =3π2时，y =1，∴ sin （21×3π2+ϕ）=1，3π+ϕ=2k π+2π，k ∈Z ，当k =0时，ϕ=6π. 13．()f x =11sin(2)3cos 23222x x π++=+ 14．()k k Z ϕπ=∈ ；()2k k Z πϕπ=+∈15．3sin()4y x ππ=+16解：原方程sinx+cosx=k ⇔2sin（x+4π）=k ，在同一坐标系内作函数y 1=2sin （x+4π）与y 2=k 的图象.对于y=2sin （x+4π），令x=0，得y=1. ∴当k∈［1，2在［0，π］上有两交点，方程有两解 17．解：易知：A = 2,半周期π=32T , ∴T = 6π ,即π=ωπ62,从而：31=ω. 设：)31sin(2ϕ+=x y ,令x = 0,有1sin 2=ϕ.又：2||π<ϕ,∴6π=ϕ.∴所求函数解析式为)631sin(2π+=x y 18．解：（1）由22,T πωπω===得.()sin cos f x A x B x ππ∴=+.由题意可得sin cos 2,332,A B ππ⎧+=⎪= 解得 1.A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩()cos 2sin()6f x x x x ππππ∴=+=+.（2）令,62x k k Z ππππ+=+∈,所以1,.3x k k Z =+∈由21123434k ≤+≤,得 59651212k ≤≤. 5.k ∴= 所以在［421，423］上只有f （x ）的一条对称轴x =316。

高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制问题导学案新人教A版必修4(2021学年)

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2 弧度制问题导学一、弧度制的概念活动与探究１下面各命题中,是假命题的为_＿___＿__＿_. ①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；②１度的角是周角的1360,１弧度的角是周角的12π；③根据弧度的定义，180°一定等于π弧度;④不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们均与所在圆的半径长短有关.迁移与应用圆弧长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( )A.π3 B ．2π3Ｃ. D.２不管以“弧度"还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．二、弧度制与角度制的换算活动与探究２设α1=510°,α２＝-７5０°，β1=4π5,β2=11π6-. (１)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度表示出来,并在[-360°，360°)内找出与它们终边相同的所有的角．迁移与应用（1)把－1 4８０°写成α+２k π(k ∈Z ）的形式,其中０≤α<2π;(２）若β∈［-4π,０],且β与（1）中α的终边相同，求β.1．在进行角度制和弧度制的换算时,抓住关系式π ｒad ＝180°是关键．由它可以得到:度数×π180＝弧度数，弧度数×180π⎛⎫︒ ⎪⎝⎭=度数. 2．特殊角的弧度数与度数对应值今后常用,应熟记．三、扇形的弧长与面积公式的应用活动与探究3若扇形OAB 的面积是1 cm 2,它的周长是４ cm,求扇形圆心角的弧度数．迁移与应用１.在圆心角均为1弧度的若干个圆中，下列结论正确的是（ )Ａ．所对的弧长相等Ｂ．所对的弦长相等C ．所对的弧长等于各自圆的半径D ．所对的弦长等于各自圆的半径2．如下图所示,已知扇形A ＯＢ的圆心角为120°，半径长为6，求弓形A ＣB 的面积．1．明确弧度制下扇形的面积公式是211||22S lR R α==(其中l 是扇形弧长，α是扇形圆心角）．2.涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目中已知哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程（组)求解.当堂检测１.若α=5 r ａd ，则角α的终边所在的象限为( )A ．第一象限 B.第二象限Ｃ．第三象限 D.第四象限２.终边在y 轴的非负半轴上的角的集合是( ）Ａ.｛α|α=ｋπ，k ∈Z ｝ B.ππ+,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z C.{α|α=2k π,k ∈Z } D.π2π+,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z 3．圆弧长度等于其圆内接正四边形的边长，则其圆心角的弧度数为（） A.π4 B.π2C ．24．2π5化成角度为_＿__＿__＿＿＿． 5.在直径为20 cm 的圆中，圆心角为１5０°时所对的弧长为_____＿___＿．答案:课前预习导学【预习导引】1.（1)＼f(1，360) (2)半径长圆心角弧度制弧度(3)正数负数 0 错误!预习交流1 提示：根据１弧度角的定义,圆周长是２π个半径,所以圆周角是2π弧度,所以1弧度角就是错误!圆周角,与圆的大小即半径无关.2．2π rad 360° π rad 180° ＼f （π，180)rad 错误!°预习交流2 提示:不正确．在表示角时,角度与弧度不能混合使用.一般情况下，“弧度”二字或“rａd”可省略不写．5.αR ｌ+2Ｒ错误!lR 错误!αＲ２预习交流3 提示:扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上,扇形可看作是一曲边三角形,弧是底,半径是底上的高.课堂合作探究【问题导学】活动与探究１思路分析:正确理解“角度”与“弧度"的概念,从而进行正确的判断.④解析：根据角度和弧度的定义,可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与所在圆的半径长短无关,而是与弧长和半径的比值有关,所以④是假命题.迁移与应用 C 解析：设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为３R，所以圆心角的弧度数为错误!=错误!．活动与探究２思路分析:首先利用1°＝π180raｄ可将角度化成弧度，利用 1 rad＝错误!°可将弧度化成角度,然后再根据要求指出α１,α2终边所在的象限,与β1，β２终边相同且在[－３6０°，360°）内的角．解:（1)∵1°＝错误! rａd,∴α1＝５10°=５10×错误!＝错误!π＝2π＋错误!π；α２＝－７50°=－7５0×π１80=－2５6π＝-3×２π＋错误!π．∴α1的终边在第二象限,α2的终边在第四象限．（2)β1＝错误!π＝错误!×错误!°=14４°．设θ1=ｋ·36０°＋14４°(k∈Z).∵－3６0°≤θ1<3６0°,∴－3６0°≤k·3６０°+1４4°＜３6０°.∴k=－1或k＝0.∴在[－360°,3６０°）内与β1终边相同的角是－２16°角.β2=－＼f（11,6)π=-错误!×错误!°=－330°．设θ2＝k·３60°-330°(k∈Ｚ).∵-360°≤θ２＜360°，∴－３60°≤k·３60°-330°＜36０°.∴k=0或k＝1.∴在[－３60°,360°）内与β2终边相同的角是30°角．迁移与应用解：（１）∵-1 480°=-＼f(74,９）π＝-8π－＼f(2，9)π＝-10π＋１69π，又∵0≤错误!π＜2π，故－１480°＝＼ｆ(16，9)π-2×5π.（2）∵β与α终边相同，∴β＝α＋２kπ＝错误!π＋２ｋπ,k∈Z.又∵β∈[-4π,0],∴β1＝＼f（1６,9)π－2π=－错误!,β2=错误!π－4π=-错误!π．活动与探究3思路分析:确定扇形的条件有两个,最直接的条件是给出扇形的半径、弧长和圆心角中的两个．解:设扇形的半径为R，弧长为ｌ,由已知得错误!解得错误!∴扇形圆心角的弧度数是错误!＝２.迁移与应用1．C 解析:∵l＝θR,θ=１，∴l=R，故选C.２.解:S扇形AOB＝错误!×错误!π×6２=12π,S△AOＢ＝错误!×6２×sin 120°＝９错误!，∴S弓形ACB=Ｓ扇形ＡOB－S△ＡOＢ=12π－9错误!.【当堂检测】1.Ｄ２.D 解析：Ａ选项表示的角的终边在x轴上；B选项表示的角的终边在y轴上；C选项表示的角的终边在ｘ轴非负半轴上；D选项表示的角的终边在y轴非负半轴上,故选D．3．C 4。

人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制导学案(2)

1.1 任意角和弧度制导学案2、掌握终边相同角的表示方法，并能解决一些简单问题。

【重点、难点】：1、将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合；2、用集合来表示终边相同的角.25体操跳水比赛中有“转体720º”，“翻腾转体两周半”这样的动作名称,720º在这里表示什么？任务二、新课导学※探索新知问题1：在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？问题2：（1）手表慢了5分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？（2）手表快了10分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？新授课阶段一、角的定义与范围的扩大1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角α，点O是角OA OB分别是角α的终边、始边.的顶点，射线,2．角的分类：按____________方向旋转形成的角叫做；按方向旋转形成的角叫做__________ ；如果____________________________，我们称它形成了一个零角；综上，我们把角的概念推广到__________，任意角包括_____________________。

说明：零角的始边和终边重合.例1.能以同一条射线为始边作出下列角吗？210º-150º-660º990º3．象限角和轴线角在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30,390,330-ooo都是第一象限角；300,60-oo是第四象限角. （2）轴线角：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限. 例如：90,180,270ooo等等.说明：角的始边“与x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”.因为x 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线.问题：上述四个角分别是第几象限角，那些终边在坐标轴上，其中哪些角的终边相同.例2.在0º到360º的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：（1）650º （2）-150º （3）-990º15¹【探索——终边相同角的表示】阅读课本第4页上端内容，将课文补充完整，并回答下面的问题： 1、在直角坐标系中标出210°，-150°，570o 角的终边，你有什么发现？它们之间有何数量关系？2、所有与角α终边相同的角，连同角α在内，怎样用一个集合表示出来？即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 _________________________________。

高中数学第一章三角函数第1节任意角和弧度制(第1课时)任意角教案(含解析)新人教A版必修4

高中数学第一章三角函数第1节任意角和弧度制（第1课时）任意角教案（含解析）新人教A版必修4[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P2～P5的内容，回答下列问题．(1)阅读教材P2“思考”的内容，你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25个小时，你应当如何将它校准？在你调整的过程中，分针转动的方向有什么区别？提示：当手表慢了5分钟时，通常将分针顺时针旋转进行调整；当手表快了1.25小时时，通常将分针逆时针旋转进行调整．故在调整的过程中两种情形分针的转动方向相反．(2)体操中有“转体720°”(即“转体2周”)，“转体1 080°”(即“转体3周”)这样的动作名称，而旋转的方向也有顺时针与逆时针的不同；又如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．这样，OA 绕O旋转所成的角与O′B绕O′旋转所成的角就会有不同的方向．利用我们以前学过的0°～360°范围的角，还能描述以上现象吗？提示：要准确地描述这些现象，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向．故利用0°～360°范围的角，无法描述以上现象．(3)阅读教材P3“探究”的内容，请思考：对于直角坐标系内任一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么这些终边相同的角有什么关系？提示：不唯一．它们之间相差360°的整数倍，即相差k·360°(k∈Z)．2．归纳总结，核心必记(1)角的有关概念有关概念描述定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形图示其中O为顶点，OA为始边，OB为终边记法角α或∠α，或简记为α①②按角的终边位置(ⅰ)角的终边在第几象限，则此角称为第几象限角；(ⅱ)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．(3)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[问题思考](1)你能说出角的三要素吗？提示：角的三要素是顶点、终边、始边．(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等．(3)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对吗？提示：不对，如果一条射线绕端点按顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小．(4)在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°，这种说法是否正确？提示：不正确，在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转的，故它形成的角为－90°.(5)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小并没有确定，所以角也就不能确定．(6)初中我们学过对顶角相等．依据现在的知识试判断一下图中角α，β是否相等？提示：不相等．角α为逆时针方向形成的角，α为正角；角β为顺时针方向形成的角，β为负角．[课前反思](1)角的概念：；(2)角的分类：；(3)终边相同的角： .终边相同的角及区域角的表示知识点1[思考1] 终边相同的角一定是相等的角吗？它们之间有什么关系？如何把这一类角表示出来？名师指津：不一定．相等的角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍．可以用集合{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}表示．[思考2] 区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，区域角如何表示？名师指津：区域角可以看作是某一范围内的终边相同角的集合．故可把区域的起始、终止边界表示出来，然后组成集合即可．讲一讲1．(1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．[尝试解答] (1)与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝－1 910°＋k ·360°，k ∈Z }．∵－720°≤β＜360°，∴－720°≤－1 910°＋k ·360°＜360°，31136≤k ＜61136. 故k ＝4,5,6，k ＝4时，β＝－1 910°＋4×360°＝－470°.k ＝5时，β＝－1 910°＋5×360°＝－110°.k ＝6时，β＝－1 910°＋6×360°＝250°.(2)①在0°～360°范围内，终边在直线y ＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S 1＝{β|β＝0°＋k ·360°，k ∈Z }，而所有与180°角终边相同的角构成集合S 2＝{β|β＝180°＋k ·360°，k ∈Z }，于是，终边在直线y ＝0上的角的集合为S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k ·180°，k ∈Z }．②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y ＝－x 上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y ＝－x 上的角的集合为S ＝{β|β＝135°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝315°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }．③终边在直线y ＝x 上的角的集合为{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z }，结合②知所求角的集合为S ＝{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }＝{β|β＝45°＋2k ·90°，k ∈Z }∪{β|β＝45°＋(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{β|β＝45°＋k ·90°，k ∈Z }．(3)终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z }，终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z }．故阴影部分角的集合可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．类题·通法(1)在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法①把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．②要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．(2)区域角的写法可分三步①按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；③用不等式表示区域内的角，组成集合．练一练1．已知角α＝2 018°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.解：(1)由2 018°除以360°，得商为5，余数为218°，∴取k＝5，β＝218°，α＝5×360°＋218°.(2)与2 018°角终边相同的角为k·360°＋2 018°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2 018°<720°，k∈Z，∴k取－6，－5，－4，将k的值代入k·360°＋2 018°中，得角θ的值为－142°，218°，578°.象限角的判断知识点2[思考1] 若α为第一象限角，则α的顶点、始边、终边各有什么特点？提示：若α为第一象限角，则α的顶点为坐标原点、始边与x轴的正半轴重合，终边处在第一象限．[思考2] 如何判定象限角？提示：(1)根据图形判定；(2)根据终边相同的角的概念判定．讲一讲2．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[尝试解答] 作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．类题·通法给定角α所处象限的判定方法法一：第一步，将α写成α＝k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式．第二步，判断β的终边所在的象限．第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．法二：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．练一练2．(1)已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°.其中是第二象限角的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④(2)若β是第四象限角，则180°－β是第________象限角．解析：(1)－120°角是第三象限角；－240°角是第二象限角；180°角不在任何一个象限内；495°＝360°＋135°，所以495°角是第二象限角．(2)因为β是第四象限角，所以取β＝－20°，则180°－β＝200°，为第三象限角．答案：(1)D (2)三知识点3nα或αn 所在象限的判定讲一讲3．若α是第二象限角，则2α，α2分别是第几象限的角？ [尝试解答] (1)∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，∴180°＋k ·720°<2α<360°＋k ·720°，∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上．(2)∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )．法一：①当k ＝2n (n ∈Z )时，45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，即α2是第一象限角；②当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )，即α2是第三象限角．故α2是第一或第三象限角．法二：∵45°＋k ·180°表示终边为一、三象限角平分线的角，90°＋k ·180°(k ∈Z )表示终边为y 轴的角，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )表示如图中阴影部分图形．即α2是第一或第三象限角．类题·通法(1)nα所在象限的判断方法确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．(2)αn 所在象限的判断方法已知角α所在象限，要确定角αn 所在象限，有两种方法：①用不等式表示出角αn 的范围，然后对n 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是αn 的终边所落在的区域．如此，αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．练一练 3．若角α是第一象限角，则－α，2α，α3分别是第几象限角？解：∵α是第一象限角，∴k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )．(1)－k ·360°－90°<－α<－k ·360°(k ∈Z )，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角．(2)2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )，∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边落在y 轴非负半轴上的角．(3)法一(分类讨论)：k ·120°<α3<k ·120°＋30°(k ∈Z )．当k ＝3n (n ∈Z )时， n ·360°<α3<n ·360°＋30°，∴α3是第一象限角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°，∴α3是第二象限角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°，∴α3是第三象限角．综上可知，α3是第一、第二或第三象限角．法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的正向的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3角的终边落在的区域，故α3为第一、第二或第三象限角．[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是nα及αn 所在象限的判定．2．本节课要重点掌握以下规律方法(1)求终边相同的角及区域角的表示，见讲1；(2)象限角及nα、αn所处象限的判断，见讲2和讲3.3．本节课的易错点有以下几点(1)对于角的理解，要明确该角是按顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角．(2)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可以用除法．(3)已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后都加上k·360°，得到所求．课下能力提升(一)[学业水平达标练]题组1 终边相同的角及区域角的表示1．与－457°角的终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}解析：选C 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k ∈Z}．2．若A＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，C＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是( )A．A＝B＝C B．A＝B∩CC．A∪B＝C D．A⊆B⊆C解析：选D ∵90°∈C,90°∉B,90°∉A，∴选项A，C错误；又∵180°∈C,180°∈B,180°∉A，∴选项B错误．故选D.3．若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ，m，n∈Z，则α，β终边的位置关系是( )A．重合 B．关于原点对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称解析：选C 由α＝n·360°＋θ，n∈Z可知α与θ是终边相同的角，由β＝m·360°－θ，m∈Z可知β与－θ是终边相同的角．因为θ与－θ两角终边关于x轴对称，所以α与β两角终边关于x轴对称．4.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α满足30°<α<150°或210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°<α<k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°<α<2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°<α<(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}．答案：{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}5．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来：①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α写出来．解：(1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－300°，60°，420°；②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－21°，339°，699°.(2)终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α为：－45°，135°.题组2 象限角的判断6．－1 120°角所在象限是( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选D 由题意，得－1 120°＝－4×360°＋320°，而320°在第四象限，所以－1 120°角也在第四象限．7．下列叙述正确的是( )A．三角形的内角必是第一、二象限角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．第四象限角一定是负角D．钝角比第三象限角小解析：选B 90°的角是三角形的内角，它不是第一、二象限角，故A 错；280°的角是第四象限角，它是正角，故C 错；－100°的角是第三象限角，它比钝角小，故D 错．8．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B ∵α是第四象限角，∴k ·360°－90°<α<k ·360°.∴k ·360°＋90°<180°＋α<k ·360°＋180°.∴180°＋α在第二象限，故选B.题组3 nα或αn 所在象限的判定9．已知角2α的终边在x 轴上方，那么α是( )A ．第一象限角B ．第一或第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第四象限角解析：选C 由条件知k ·360°<2α<k ·360°＋180°，(k ∈Z )，∴k ·180°<α<k ·180°＋90°(k ∈Z )，当k 为偶数时，α在第一象限，当k 为奇数时，α在第三象限．10.若角α是第三象限角，则角α2的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)( )A ．③⑦B ．④⑧C ．②⑤⑧D ．①③⑤⑦解析：选A ∵α是第三象限角，∴k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°(k ∈Z )，∴k ·180°＋90°<α2<k ·180°＋135°(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°＋90°<α2<n ·360°＋135°，对应区域③；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋270°<α2<n ·360°＋315°，对应区域⑦.∴角α2的终边所在的区域为③⑦. [能力提升综合练]1．已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A ∩B ＝( )A ．{α|α为锐角}B ．{α|α小于90°}C ．{α|α为第一象限角}D ．以上都不对解析：选D 小于90°的角包括锐角及所有负角，第一象限角指终边落在第一象限的角，所以A ∩B 是指锐角及第一象限的所有负角的集合，故选D.2．下列叙述正确的是( )A ．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．若α是第一象限角，则2α是第二象限角D ．钝角比第三象限角小解析：选B －330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A 错；若α是第一象限角，则k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )，所以2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )，所以2α不一定是第二象限角，故C 错；－135°是第三象限角，135°是钝角，而135°>－135°，故D 错．3．终边与坐标轴重合的角的集合是( )A ．{α|α＝k ·360°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·180°，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·90°，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }解析：选C 终边在x 轴上的角的集合M ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，终边在y 轴上的角的集合P ＝{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }，则终边与坐标轴重合的角的集合S ＝M ∪P ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }＝{α|α＝2k ·90°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·90°，n ∈Z }，故选C.4．角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为( )A ．α＋β＝k ·360°，k ∈ZB ．α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈ZC ．α－β＝k ·360°＋180°，k ∈ZD ．α－β＝k ·360°，k ∈Z解析：选B 法一：特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.法二：直接法：∵角α与角β的终边关于y 轴对称，∴β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z ，即α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .5．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．解析：将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×360°12×60＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×360°60＝60°，所转成的角度是－60°.答案：－5 －606．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________.解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z.得 4α＝k·360°，当k＝3时，α＝270°.答案：270°7．写出终边在如下列各图所示阴影部分内的角的集合．解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．8．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.。

高一数学人教A版必修四教案：第一章三角函数1-1任意角和弧度制

高中数学新人教A 版必修4教案第一章三角函数1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境： “转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（anyangle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。

人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制教案(2)

1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角整体设计教学分析教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务.学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义.三维目标1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念.2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义.3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础.重点难点教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合.教学难点:用集合来表示终边相同的角.课时安排1课时教学过程导入新课图1思路 1.(情境导入)如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度,自行车车轮旋转的角度,螺丝扳手的旋转角度,这些角度都怎样解释?在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广.进而引入角的概念的推广的问题.思路2.(复习导入)回忆初中我们是如何定义一个角的?所学的角的范围是什么?用这些角怎样解释现实生活的一些现象,比如你原地转体一周的角度,应怎样修正角的定义才能解释这些现象?由此让学生展开讨论,进而引入角的概念的推广问题.推进新课新知探究提出问题①你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确?假如你的手表快了1.25小时,你应当怎样将它调整准确?当时间调整准确后,分针转过了多少度角?②体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度?③请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立,做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个过程中,他们各转体了多少度?活动:让学生到讲台利用准备好的教具——钟表,实地演示拨表的过程.让学生站立原地做转体动作.教师强调学生观察旋转方向和旋转量,并思考怎样表示旋转方向.对回答正确的学生及时给予鼓励、表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,设一条射线的端点是O,它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB,则形成了一个角α,点O 是角的顶点,射线OA、OB分别是角α的始边和终边.我们规定:一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角,为了简便起见,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记作“α”.如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角,零角的始边和终边重合,如果α是零角,那么α=0°.讨论结果:①顺时针方向旋转了30°;逆时针方向旋转了450°.②顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°.③-180°或+180°或-540°或+540°或900°或1 080°……提出问题①能否以同一条射线为始边作出下列角:210°,-45°,-150°.②如何在坐标系中作出这些角,象限角是什么意思? 0°角又是什么意思?活动:先让学生看书、思考、并讨论这些问题,教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生,教师提示、引导考虑问题的思路.学生作这样的角,使用一条射线作为始边,没有固定的参照,所以会作出很多形式不同的角.教师可以适时地提醒学生:如果将角放到平面直角坐标系中,问题会怎样呢?并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处:使角的讨论得到简化,还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象.今后我们在坐标系中研究和讨论角,为了讨论问题的方便,我们使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.讨论结果:①能.②使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.这样:210°角是第三象限角;-45°角是第四象限角;-150°角是第三象限角.特别地,终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限,比如0°角.可以借此进一步设问:锐角是第几象限角?钝角是第几象限角?直角是第几象限角?反之如何?将角按照上述方法放在直角坐标系中,给定一个角,就有唯一一条终边与之对应,反之,对于直角坐标系中的任意一条射线OB,以它为终边的角是否唯一?如果不唯一,那么终边相同的角有什么关系?提出问题①在直角坐标系中标出210°,-150°的角的终边,你有什么发现?它们有怎样的数量关系?328°,-32°,-392°角的终边及数量关系是怎样的?终边相同的角有什么关系?②所有与α终边相同的角,连同角α在内,怎样用一个式子表示出来?活动:让学生从具体问题入手,探索终边相同的角的关系,再用所准备的教具或是多媒体给学生演示:演示象限角、终边相同的角,并及时地引导:终边相同的一系列角与0°到360°间的某一角有什么关系,从而为终边相同的角的表示作好准备.为了使学生明确终边相同的角的表示方法,还可以用教具作一个32°角,放在直角坐标系内,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,形成-32°角后提问学生这是第几象限角?是多少度角?学生对后者的回答是多种多样的.至此,教师因势利导,予以启发,学生对问题探究的结果已经水到渠成,本节难点得以突破.同时学生也在这一学习过程中,体会到了探索的乐趣,激发起了极大的学习热情,这是比学习知识本身更重要的.讨论结果:①210°与-150°角的终边相同;328°,-32°,-392°角的终边相同.终边相同的角相差360°的整数倍.设S={β｜β=-32°+k·360°,k∈Z},则328°,-392°角都是S的元素,-32°角也是S的元素(此时k=0).因此,所有与-32°角的终边相同的角,连同-32°在内,都是集合S的元素;反过来,集合S的任何一个元素显然与-32°角终边相同.②所有与α终边相同的角,连同角α在内,可以构成一个集合S={β｜β=k·360°+α,k∈Z}.即任一与角α终边相同的角,都可以表示成α与整数个周角的和.适时引导学生认识:①k∈Z;②α是任意角;③终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.应用示例例1 在0°—360°范围内,找出与-950°12′角终边相同的角,并判定它是第几象限角. 解:-950°12′=129°48′-3×360°,所以在0°—360°的范围内,与-950°12′角终边相同的角是129°48′,它是第二象限的角.点评:教师可引导学生先估计-950°12′大致是360°的几倍,然后再具体求解.例2 写出终边在y轴上的角的集合.活动:终边落在y轴上,应分y轴的正方向与y轴的负方向两个.学生很容易分别写出所有与90°,270°的终边相同的角构成集合,这时应启发引导学生进一步思考:能否化简这两个式子,用一个式子表示出来.让学生观察、讨论、思考,并逐渐形成共识,教师再规范地板书出来.并强调数学的简捷性.在数学表达式子不唯一的情况下,注意采用简约的形式.图2解:在0°—360°范围内,终边在y轴上的角有两个,即90°和270°角,如图2.因此,所有与90°的终边相同的角构成集合S1={β｜β=90°+k·360°,k∈Z}.而所有与270°角的终边相同的角构成集合S2={β｜β=270°+k·360°,k∈Z}.于是,终边在y轴上的角的集合S=S1∪S2={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+180°+2k·180°,k∈Z}={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β｜β=90°+n·180°,n∈Z}.点评:本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示.教学中,应引导学生体会用集合表示终边相同的角时,表示方法不唯一,要注意采用简约的形式.变式训练①写出终边在x轴上的角的集合.②写出终边在坐标轴上的角的集合.答案:①S={β｜β=(2n+1)·180°,n∈Z}.②S={β｜β=n·90°,n∈Z}.例3 写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.图3解:如图3,在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴夹角是45°,在0°—360°范围内,终边在直线y=x上的角有两个:45°和225°,因此,终边在直线y=x上的角的集合S={β｜β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β｜β=225°+k·360°,k∈Z}.S中适合-360°≤β<720°的元素是:45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°,45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°,45°+2×180°=405°,45°+3×180°=585°.点评:本例是让学生表示终边在已知直线的角,并找出某一范围的所有的角,即按一定顺序取k的值,应训练学生掌握这一方法.例4 写出在下列象限的角的集合:①第一象限; ②第二象限;③第三象限; ④第四象限.活动:本题关键是写出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此类推即可,如果学生阅读例题后没有解题思路,或者把①中的范围写成0°—90°,可引导学生分析360°—450°范围的角是不是第一象限的角呢?进而引导学生写出所有终边相同的角.解:①终边在第一象限的角的集合:{β｜n·360°<β<n·360°+90°,n∈Z}.②终边在第二象限的角的集合:{β｜n·360°+90°<β<n·360°+180°,n∈Z}.③终边在第三象限的角的集合:{β｜n·360°+180°<β<n·360°+270°,n∈Z}.④终边在第四象限的角的集合:{β｜n·360°+270°<β<n·360°+360°,n∈Z}.点评:教师给出以上解答后可进一步提问:以上的解答形式是唯一的吗?充分让学生思考、讨论后形成共识,并进一步深刻理解终边相同角的意义.课堂小结以提问的方式与学生一起回顾本节所学内容并简要总结:让学生自己回忆:本节课都学习了哪些新知识?你是怎样获得这些新知识的?你从本节课上都学到了哪些数学方法?让学生自己得到以下结论:本节课推广了角的概念,学习了正角、负角、零角的定义,象限角的概念以及终边相同的角的表示方法,零角是射线没有作任何旋转.一个角是第几象限的角,关键是看这个角的终边落在第几象限,终边相同的角的表示有两方面的内容:(1)与角α终边相同的角,这些角的集合为S={β｜β=k·360°+α,k∈Z};(2)在0°—360°内找与已知角终边相同的角α,其方法是用所给的角除以360°,所得的商为k,余数为α(α必须是正数),α即为所找的角.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.作业①课本习题1.1 A组1、3、5.②预习下一节:弧度制.设计感想1.本节课设计的容量较大,学生的活动量也较大,若用信息技术辅助教学效果会很好.教师可充分利用多媒体做好课件,在课堂上演示给学生;有条件的学校,可以让学生利用计算机或计算器进行探究,让学生在动态中掌握知识、提炼方法.2.本节设计的指导思想是加强直观.利用几何直观有利于对抽象概念的理解.在学生得出象限角的概念后,可以充分让学生讨论在直角坐标系中研究角的好处.前瞻性地引导学生体会:在直角坐标系中角的“周而复始”的变化规律,为研究三角函数的周期性奠定基础.3.几点说明:(1)列举不在0°—360°的角时,应注意所有的角在同一个平面内,且终边在旋转的过程中,角的顶点不动.(2)在研究终边相同的两个角的关系时,k的正确取值是关键,应让学生独立思考领悟.(3)在写出终边相同的角的集合时,可根据具体问题,对相应的集合内容进行复习.1.1.2 弧度制整体设计教学分析在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单位进行度量,并且一度的角等于周角的 3601,记作1°. 通过类比引出弧度制,给出1弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础.通过探究讨论,关键弄清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解,渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点. 三维目标1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣.重点难点教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算.教学难点:弧度的概念及其与角度的关系.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?度量角的大小除了以度为单位度量外,还可采用哪种度量角的单位制?它们是怎样换算的?思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷,或者利用普遍使用的钟表.实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法,度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中,已学过利用角度来度量角的大小,现在来学习角的另一种度量方法——弧度制.要使学生真正了解弧度制,首先要弄清1弧度的含义,并能进行弧度与角度换算的关键.在引入弧度制后,可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数.随着角的概念的推广,圆心角和弧的概念也随之推广:从“形”上说,圆心角有正角、零角、负角,相应的,弧也就有正弧、零弧、负弧;从“数”上讲,圆心角与弧的度数有正数、０、负数.圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”,就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应,并且不同的圆心角对应着不同的弧,反之亦然.推进新课新知探究提出问题问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢?问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢?图1活动:教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆初中有关角度的知识,提出这是认识弧度制的关键,为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.讨论后教师提问学生,并对回答好的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键.教师板书弧度制的定义:规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记作1 rad.如图1中,的长等于半径r,AB 所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角,即rl =1. 讨论结果:①1°的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关.②能,用弧度制.提出问题问题①:作半径不等的甲、乙两圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长,连结圆心与弧的两个端点,得到两个角,将乙图移到甲图上,两个角有什么样的关系?问题②:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间如何换算?活动:教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问学生归纳的情况,让学生找出区别和联系.教师给予补充和提示,对表现好的学生进行表扬,对回答不准确的学生提示和鼓励.引入弧度之后,应与角度进行对比,使学生明确:第一,弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;第二,1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小,而1°的角是周角的3601;第三,无论是以“弧度”还是以“度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯使用弧度制,本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制.讨论结果:①完全重合,因为都是1弧度的角. ②α=r 1;将角度化为弧度:360°=2π rad,1°=180πrad≈0.017 45 rad,将弧度化为角度:2π rad=360°,1 rad=(π180)°≈57.30°=57°18′.弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度数为α rad=(πa 180)°,n°=n 180π(rad). 提出问题问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示?扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示? 问题②:填写下列的表格,找出某种规律.的长 OB 旋转的方向∠AOB 的弧度数 ∠AOB 的度数 πr 逆时针方向2πr 逆时针方向R1 2r-2-π180°360° 活动:教师先给学生说明教科书上为什么设置这个“探究”?其意图是先根据所给图象对一些特殊角填表,然后概括出一般情况.教师让学生互动起来,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生板书,教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行简单的提示.检查完毕后,教师做个总结.由上表可知,如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数的绝对值是a1这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.教师给学生指出,角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立起一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角α终边相同的角时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角α的单位来决定另一项的单位,即两项所用的单位制必须一致,绝对不能出现k·360°+3π或者2kπ+60°一类的写法.在弧度制中,与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k∈Z )的形式.如图2为角的集合与实数集R 之间的一一对应关系.图2讨论结果:①与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k∈Z )的形式.弧度制下关于扇形的公式为l=αR,S=21αR 2,S=21lR. 的长OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数 ∠AOB 的度数 πr 逆时针方向 Π 180°例1 下列诸命题中,真命题是( )A.一弧度是一度的圆心角所对的弧B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位活动:本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别,以达到熟练掌握定义.从实际教学上看,弧度制不难理解,学生结合角度制很容易记住.根据弧度制的定义:我们把长度等于半径长的弧和所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各项,可知D 为真命题.答案:D点评:本题考查弧度制下角的度量单位:1弧度的概念.变式训练下列四个命题中,不正确的一个是( )A.半圆所对的圆心角是π radB.周角的大小是2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度答案:D例2 将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α(k∈Z ,α∈［0,2π))的形式,并指出它们所在的象限:①-415π;②332π;③-20;④-32. 活动:本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角,教师给予指导并讨论归纳出一般规律.即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是:{β｜β=kπ,k∈Z },{β｜β2π=kπ,k∈Z }.第一、二、三、四象限角的集合分别为:{β｜2kπ<β<2kπ+2π,k∈Z }, {β｜2kπ+2π<β<2kπ+π,k∈Z }, {β｜2kπ+π<β<2kπ+23π,k∈Z }, {β｜2kπ+23π<β<2kπ+2π,k∈Z }. 解:①415π-=-4π+4π,是第一象限角.②432π=10π+32π,是第二象限角. ③-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角.④-23≈-3.464,是第二象限角.点评:在这类题中对于含有π的弧度数表示的角,我们先将它化为2kπ+α(k∈Z ,α∈［0,2π))的形式,再根据α角终边所在的位置进行判断,对于不含有π的弧度数表示的角,取π=3.14,化为k×6.28+α,k∈Z ,｜α｜∈［0,6.28)的形式,通过α与2π,π,23π比较大小,估计出角所在的象限.变式训练(1)把-1 480°写成2kπ+α(k∈Z ,α∈［0,2π))的形式;(2)若β∈［-4π,0),且β与(1)中α终边相同,求β. 解:(1)∵-1 480°=-974π=-10π+916π,0≤916π <2π, ∴-1 480°=2(-5)π+916π. (2)∵β与α终边相同,∴β=2kπ+916π,k∈Z . 又∵β∈［-4π,0),∴β1=92π-,β2=920π-. 例3 已知0<θ<2π,且θ与7θ相同,求θ.活动:本例目的是让学生在教师的指导下会用弧度制求终边相同的角,并通过独立完成课后练习真正领悟弧度制的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,用弧度制解决角的问题要很容易却难掌握,很有可能记错或者混淆或者化简错误,学生需多做些这方面的题来练基本功.可先让学生多做相应的随堂练习,在黑板上当场演练,教师给予批改指导,对易出错的地方特别强调.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生的练习操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.解:由已知,得7θ=2kπ+θ,k∈Z ,即6θ=2kπ.∴θ=3k π. 又∵0<θ<2π,∴0<3k π<2π. ∵k∈Z ,当k=1、2、3、4、5时,θ=3π、32π、π、34π、35π. 点评:本题是在一定的约束条件下,求与角α终边相同的角,一般地,首先将这样的角表示为2kπ+α(k∈Z ,α∈［0,2π))的形式,然后在约束条件下确定k 的值,进而求适合条件的角.例 4 已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值.活动:这是一道应用题,并且考查了函数思想,教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤,教师提问学生对已学知识的掌握和巩固,并对回答好的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予一定的提示和鼓励.教师补充,函数法求最值所包括的五个基本环节:(1)选取自变量;(2)建立目标函数;(3)指出函数的定义域;(4)求函数的最值;(5)作出相应结论.其中自变量的选取不唯一,建立目标函数结合有关公式进行,函数定义域要根据题意确定,有些函数是结构确定求最值的方法,并确保在定义域内能取到最值.。

人教A版高中数学必修4 第一章《三角函数》第一节《任意角》导学案设计(无答案)

课题:1.1.1任意角【学习目标】1.理解角的概念推广的必要性，理解任意角的概念，根据角的终边旋转方向，能判定正角、负角和零角。

2.学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。

【重点难点】重点：任意角的概念，象限角的概念。

难点：终边相同的角的集合的表示法。

【自主学习】阅读课本第3到第7页后完成1.潮汐现象、地球公转与自转、单摆的摆动等都是。

2.角的概念的推广：角可以看成是平面内的一条射线绕着从一个位置到另一个位置所形成的图形。

3.角的分类：正角： .负角： .零角: .4.象限角与轴线角：在直角坐标系中讨论角，使角的顶点与重合，角的始边与重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做，如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称这个角为轴线角。

5．与α终边相同的角的集合一般地，所有与角α终边相同的角，连同在α内，可构成一个集合S= 。

6.试一试：（1）在直角坐标系中，作出下列各角。

（分别画在四个坐标系中。

）2400, 3900, -1200， -4200。

(2)判定下列各角是第几象限的角：（阅读教材第4页例1后完成）2900, 330026′， 3750 -2200， -250。

【合作探究】例1 在直角坐标系中，写出终边在x轴上的角的集合（用00～3600的角表示）. （阅读教材第4页例2后完成）例2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β≤3600的元素β写出来。

（阅读例3后完成）（1）-1200 (2)6600 (3)-950008′【训练】1. 判定列命题的正误：（1）若角是锐角，则其终边落在第一象限；（2）终边落在第一象限的角都是锐角；（3）时间经过3小时，时针转过900；（4）小于900的角都是锐角。

2.在-3600～3600之间，与-2600角终边相同的角有个，它们分别是。

3.若α是第一象限角，则下列各角中是第四象限角的是（）A.900-αB.900+αC.3600-αD.1800-α4.若角2α与角2400的终边相同，则α是（）A.1200+k ·3600, k ∈ZB.1200+k ·1800, k ∈ZC.2400+k ·3600, k ∈ZD.2400+k ·1800, k ∈Z【拓展延伸】已知α是第一象限角，试求2a所在的象限。

高中数学第一章三角函数 1.1 任意角、弧度 1.1.2 弧度制导学案苏教版必修4(2021

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1。

1.2 弧度制课堂导学三点剖析1。

弧度的意义，角度与弧度之间的换算【例1】-300°化为弧度是（）A 。

34π-B 。

35π- C.47π- D 。

67π- 思路分析：运用角度与弧度间的转化关系式.解：∵1°=180π弧度， ∴-300°=35π-弧度. 答案：B温馨提示掌握基本换算关系：180°=π弧度，1弧度=（π180）°≈57.30°，可以解决角度与弧度的换算问题。

2．弧度制的概念及其与角度的关系【例2】用弧度表示顶点在原点,始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界).思路分析：运用数形结合表示象限角的方法，先找出终边落在阴影边界的两个最小正角或最大负数.解:（1）中OB 为终边的角为330°，可看成-30°，化为弧度,即6π-而75°=125π. ∴阴影部分内的角的集合为 {θ|2kπ6π-＜θ＜2kπ+125π,k∈Z }. （2)中OB 为终边的角是225°，可看成-135°，化为弧度，即43π-，而135°=43π. ∴阴影部分内的角的集合为｛θ｜2kπ43π-＜θ＜2kπ+43π，k∈Z ｝. 温馨提示在表示角的集合时,一定要使用统一的单位，只能用角度制或弧度制的一种，不能混用.3．弧度的意义的再理解【例3】下列诸命题中，真命题是( ）A.一弧度是一度的圆心角所对的弧B 。

海南省海口市第十四中学高一数学新必修四第一章三角函数导学案课题任意角的三角函数

一、教学目标知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。

德育目标：（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；二．重点与难点:重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。

公式一是本小节的另一个重点。

难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.三．教学方法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.四：学习过程：（一）、知识连接1、如图①sinα=cosα=tanα=BB图 ① 图 ②2、如图②设α是任意角，它的终边与单位圆交于(,)P x y ，那么 1）y 叫做a 的正弦，记作sin α，即 sin α= 2）x 叫做a 的余弦，记作cos α，即 cos α= 3）xy叫做a 的正切，记作tan α，即 tan α= 3、在各象限内的角的三种三角函数值的符号在各象限内的角的三种三角函数值的符号归纳：bxax余弦函数 x正弦函数 x正切函数P16）我们把有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿； (二)、知识演练1、角a 的终边过点（0，-4）则下列说法正确的是（） A ．sin α的值是 -4 B 、 cos α的值是0 C ．tan α的值是0 D 、以上三个都不对2、若ααcos sin ⋅<0，则角α的终边在（）A ．第二、三象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第二、四象限 3、如果42ππθ<<，那么下列各式中正确的是（）A 、 cos tan sin θθθ<<B 、sin cos tan θθθ<<C 、 tan sin cos θθθ<<D 、 cos sin tan θθθ<<4、已知MP 和OM 分别为1718παπ=的正弦线和余弦线，那么（）A 、 0MP OM <<B 、 0MP OM <<C 、 0OM MP <<D 、 0OM MP <<3、判断下列三角函数值的符号： 1）cos 225O 2）sin()3π- 3）tan(750)O - 4）tan 5π4、求值： 1）19tan 3π 2）31cos()3π- 3）7sin 6π5、已知角α的终边经过点0(5,12)P --，求角α的正弦，余弦，正切。

高中数学人教A版必修4第一章任意角和弧度制与任意角的三角函数导学案

掌握“1”的妙用、“切割化弦”的解题思想
三、例题精析
【例题1】
已知角的终边经过点，求的正弦、余弦、正切值.
【思考】若角的终边经过点，求 .
【例题2】
取什么值时，有意义.
.
【例题3】
确定下列三角函数的符号：
（1）；
（2）；
（3）
【例题4】
已知，求角的集合
【例题5】
（1）若，确定的范围；
7.时钟经过一小时，时针转过了( )
A. rad B.－ rad C. rad D.－ rad
8.两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两个扇形周长的比为( )
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶ D.1∶8
【拔高】
1.设是第一象限角，试探究：
（1）一定不是第几象限角？（2）是第几象限角？
.
2.若扇形的周长为定值，则该扇形的圆心角为多大时，扇形的面积最大？
3.设是第三、四象限角，，则的取值范围是_____
4.确定下列三角函数值的符号：
（1）；（2）；（3）；（4）．
5.求下列各角的正弦、余弦、正切值：
（1）；（2）；（3）．
6.已知角的终边上一点，且，求的值。
．
7.在内，使成立的x的取值范围是（）
A． B. C. D.
教师
高学生
上课时间
阶段
基础（√）提高（）强化（）
课时计划
共次课第次课
教学课题
任意角,弧度制，任意角的三角函数
教学目标
1.了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念；
2.正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示.

高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角课堂导学案新人教A版必修4(2021学年)

高中数学第一章三角函数1.1 任意角和弧度制 1.1．１任意角课堂导学案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(高中数学第一章三角函数1．1 任意角和弧度制 1.1.１任意角课堂导学案新人教Ａ版必修4)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.1.１任意角课堂导学三点剖析1．任意角的概念和象限角的概念【例1】若α是第四象限角,那么2α是第几象限角？思路分析:运用直角坐标系内角的表示及不等式性质,先用不等式把第四象限的角表示出来,然后再确定2α的范围．解:∵α是第四象限角。

∴270°+k·３6０°<α＜360°+ｋ·360°（k∈Z ),则有, 135°+ｋ·180°＜2α<180°+k·1８０°(ｋ∈Z ）。

当k=2n （n∈Z )时，１35°+ｎ·360°＜2α<1８0°＋n·36０°， ∴2α是第二象限角. 当k ＝2n+1(n∈Z )时 315°+n·360°＜2α＜36０°＋ｎ·360°， ∴2α是第四象限角. 综上所述,2α是第二或第四象限角．温馨提示准确表示第四象限角,再分k 为奇数、偶数两种情况讨论。

不要认为α为第四象限角,2α是第二象限角。

高中数学第一章任意角及任意角的三角函数复习导学案新人教版必修4

必修4 第一章§4-1任意角及任意角的三角函数【课前预习】阅读教材217P -完成下面填空1．任意角（正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边相同角等）的概念；终边相同的角定义。

2．把长度等于的弧所对圆心角叫1弧度角；以弧度作为单位来度量角的单位制叫做．1︒= rad, 1 rad= 。

3．任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角， (,)P x y 是α终边上的任一异于原点的点，则 =αsin ，=αcos ，=αtan 。

4．角α的终边交单圆于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则角α的正弦线用有向线段表示，余弦线用表示，正切线用什么表示呢？5．（1）终边落在第一象限的角的集合可表示为；（2）终边落在X 轴上的角的集合可表示为。

6．sin α的值在第象限及为正；cos α在第象限及为正值；tan α 在第象限及象限为正值．7．扇形弧长公式l = ;扇形面积公式S= 。

强调（笔记）：【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1．0570- = 弧度，是第___ _象限的角； =π53 度，与它有相同终边的角的集合为__________，在[－2π，0]上的角是。

2．3tan 2cos 1sin ⋅⋅的结果的符号为。

3．已知角α的终边过点)3,4(-P ,则a sin =_______,a cos =_______,a tan =_______。

4．函数|tan |tan cos |cos ||sin |sin x x x x x x y ++=的值域是。

5．已知扇形的周长是6cm ，面积是22cm ，则扇形的中心角θ的弧度数是。

强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实6.．已知α是第二象限的角,问：(1)α2是第几象限的角？ (2)2α是第几象限的角？7．已知角α的终边过点(,2)(0)P a a a -≠，求：(1)tan α； (2)sin cos αα+。

海南省海口市第十四中学高一数学新必修四第一章三角函数导学案课题三角函数的诱导公式

一、教学目标（一）知识与技能目标⑴理解正弦、余弦的诱导公式． ⑵培养学生化归、转化的能力．（二）过程与能力目标（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．（三）情感与态度目标通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质二．重点与难点:重点：掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．难点：运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．三．教学方法：学法：方法：启发、引导、讨论.四：学习过程：（一）、知识连线 1、α相关角的表示①终边与角α的终边关于对称的角可以表示为π+α； ②终边与角α的终边关于对称的角可以表示为-α或2π-α； ③终边与角α的终边关于对称的角可以表示为π-α④终边与角α的终边关于对称的角可以表示为2πα-2、公式一：=⋅+)2sin(παk =⋅+)2cos(παk =⋅+)2tan(παk公式二：=+)sin(απ =+)cos(απ =+)tan(απ 公式三：=-)sin(α =-)cos(α =-)tan(α 公式四：=-)sin(απ =-)cos(απ =-)tan(απ 归纳：απαπα±-∈⋅+,),(2Z k k 的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

公式五：=-)2sin(απ=-)2cos(απ=-)2tan(απ公式六：=+)2sin(απ=+)2cos(απ=+)2tan(απ归纳：απ±2的正弦（余弦）函数值，分别等于α的正弦（余弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

记忆：水平诱导公式，名不变，符号看象限；垂直诱导公式，名改变，符号看象限。

3、诱导公式在三角问题求解中的作用？作用：公式一是将任意角化为0到2π的角，公式二是将 90到 180的角化为锐角，公式三是将负教化为正角，公式四是将 180到 270的角化为锐角，公式五、六是实现正弦、余弦的互化问题。

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一、教学目标
1、知识与技能目标
理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. 理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．
2、过程与能力目标
会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题
3、情感与态度目标
4、提高学生的推理能力；培养学生应用意识．通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．
二．重点与难点:
重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写．弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．
难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．“角度制”与“弧度制”的区别与联系．
三．教学方法：
方法：启发、引导、、推广、讨论.
四：学习过程：
（一）、知识连线
1、按_________方向旋转形成的角叫做正角；按_________方向旋转形成的角叫做负角；_ _____________叫做零角。

任意角包括了正角，负角和零角。

2、当角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。

那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是_______、
3、所有与α的终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合______________,即任一与角α终边的角，都可表示成 ______________。

4、________________________叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读做弧度。

5、一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个________,零角的弧度数是0。

6、如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是___________(α的正负由角α的终边的旋转方向决定）。

7、 000
1___360___180___{1___rad rad rad ==⇔=⇔= 8、扇形半径为R ，圆心角的弧度数为α(02)απ<<，则这个扇形的弧长____l =,面积______S =。

（二）、知识演练
1、下列说法中正确的是（）
A 、第一象限的角是锐角
B 、锐角是第一象限的角
C 、小于090的角是锐角
D 、00090-的角是锐角
2、写出下列各角终边相同的角的集合，指出它们是第几象限的角。

（1）0129018' （2）0315-
3、终边与坐标轴重合的角α的集合是（）
A 、0{|360,}k k z αα=∙∈
B 、0{|180,}k k z αα=∙∈
C 、0{|90,}k k z αα=∙∈
D 、00{|18090,}k k z αα=∙+∈
4、把下列角度化成弧度。

（1）03230' （2）01350 （3）0270- （4）0
18045'-
5、把下列弧度化成度。

（1）12π （2）32π- （3）2.5 （4）3
5
6、若α=-3，则角α是（）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
7、已知弧长50cm 的弧所对圆心角为0
200，这条弧所在的圆的半径为_________（精确到1cm ）。

8、已知扇形的周长是6cm ，面积2
2cm ，则扇形的中心角的弧度数是（）
A 、1
B 、4
C 、1或4
D 、2或4
（三）、知识提升 1、若α是第三象限角，那么2α
是（）
A 、第一或第二象限角
B 、第二或第三象限角
C 、第一或第三象限角
D 、第二或第四象限角
2、在直角坐标系中，若α和β的终边关于y 轴对称，则（）
A 、18090()o o k k z αβ+=∙+∈
B 、(21)180()o
k k z αβ+=+∙∈
C 、180()o k k z αβ+=∙∈
D 、360()o k k z αβ+=∙∈
（四）、小结
1、本节学习了任意角，象限角，终边相同的角；
2、与α角终边相同的角的集合为0{|360,}k k z ββα=+∙∈这一结果表示角周而复始的变
化规律；
3、1弧度的角是怎样定义的；
4、角度制与弧度制的换算关系是怎样的。

（五）、布置作业:
课本第9页习题1.1 A组第1、2、3题。

海南省海口市第十四中学高一数学新必修四第一章三角函数导学案课题任意角和弧度制

【四维备课】高中数学 第一章《三角函数》导学案 新人教A版必修4

高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制问题导学案新人教A版必修4(2021学年)

人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制导学案(2)