【全国市级联考】上海市奉贤区2017学年调研测试高二数学下期末统考卷(解析版)

2017学年奉贤区调研测试
第Ⅰ卷（共60分）
一、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
1. 已知集合，且，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】分析：求出，由，列出不等式组能求出结果．
详解：根据题意可得，，由可得
即答案为.
点睛：本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．2. 若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是__________．
【答案】
【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r,母线长为l，由题意r=l，∴
考点：本题考查了圆柱展开图的性质
点评：掌握圆柱的性质是解决此类问题的关键，属基础题
3. 抛物线上一点到焦点的距离为，则点的横坐标为__________．
【答案】
【解析】分析：根据题意，设的坐标为，求出抛物线的准线方程，由抛物线的定义可得M到准线的距离也为1，则有
，解可得的值，将的坐标代入抛物线的方程，计算可得的值，即可得答案．
详解：根据题意，设的坐标为抛物线y=4x2，其标准方程为，其准线方程为
若到焦点的距离为，到准线的距离也为1，则有解可得
又由在抛物线上，则
解可得
故答案为：．
点睛：本题考查抛物线的性质以及标准方程，关键是掌握抛物线的定义．
4. 若，则__________．
【答案】0
【解析】分析：利用排列数公式和组合数公式性质求解即可.
详解：由排列数公式和组合数公式性质可得.
即答案为0.
点睛：本题考查排列数公式和组合数公式性质，属基础题.
5. 已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为__________．
【答案】
【解析】分析：作出不等式对应的平面区域，利用的几何意义，即可求解．
详解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由，得表示，斜率为-1纵截距为z的一组平行直线，
平移直线，当直线经过点B时，直线的截距最小，此时最小，
由，解得，
此时．
故答案为.
点睛：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．
6. 关于的方程的两个根，若，则实数__________．
【答案】
【解析】分析：根据所给的方程，当判别式不小于0时和小于0时，用求根公式表示出两个根的差，根据差的绝对值的值做出字母p的值．
详解：当，即或，由求根公式得，得
当，即，由求根公式得|
得
综上所述，或．
故答案为：．
点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是对于判别式与0的关系的讨论，方程有实根和没有实根时，两个根的表示形式不同，本题是一个易错题．
7. 若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱柱的体积为__________．
【答案】4
【解析】试题分析：由题意，．
考点：三视图与体积．
8. 颜色不同的个小球全部放入个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的方法有__________．（用数值回答）
【答案】36
【解析】分析：利用挡板法把4个小球分成3组，然后再把这3组小球全排列，再根据分步计数原理求得所有的不同放法的种数．
详解：在4个小球之间插入2个挡板，即可把4个小球分成3组，方法有种．
然后再把这3组小球全排列，方法有种．
再根据分步计数原理可得所有的不同方法共有种，
故答案为：36．
点睛：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，利用挡板法把4个小球分成3组，是解题的关键，属于中档题
9. 设复数，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】分析：复数分别对应点经过A,B
的直线方程为设复数,则复数
对应的点的轨迹为圆，其方程为，判断选择和圆的位置关系可得到的最小值. 详解：复数分别对应点经过A,B
的直线方程为设复数,则复数
对应的点的轨迹为圆，其方程为，圆心到直线的距离为
即直线和圆相切，则的最小值即为线段AB的长，
即答案为.
点睛：本题考查复数的几何意义，直线和圆的位置关系，属中档题..
【答案】
【解析】分析：利用分步计数原理求出小明和小刚最后一小时他们所在的景点结果个数；利用古典概型概率公式求出值．
详解：小明和小刚最后一小时他们所在的景点共有中情况
小明和小刚最后一小时他们同在一个景点共有种情况
由古典概型概率公式后一小时他们同在一个景点的概率是
点睛：本题考查利用分步计数原理求完成事件的方法数、考查古典概型概率公式．
11. 设，其中实数，
则__________．
【答案】
【解析】分析：由题，利用二项展开式即可求得.
详解：根据题意，则
即答案为.
点睛：本题考查二项展开式及展开式的系数，属中档题.
12. 从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，
若为线段的中点，为坐标原点，则__________．
【答案】
【解析】试题分析：如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，，，则，在中，
，，所以，又是线段的中点，为中点，
所以，所以即，故应填入.
考点：1.双曲线的定义；2.直线与圆相切；3.数形结合的应用.
二、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
13. 若，则下列结论中不恒成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析两数可以是满足，任意数，利用特殊值法即可得到正确选项．
详解：若，不妨设a代入各个选项，错误的是A、B，
当时，C错．
故选：D．
点睛：利用特殊值法验证一些式子错误是有效的方法，属于基础题．
14. 给定空间中的直线及平面，条件“直线上有两个不同的点到平面的距离相等”是“直线与平面平行”的（）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】分析：利用直线与平面平行的定义判断即可.
详解：直线上有两个不同的点到平面的距离相等，如果两点在平面同侧，则；如果两点在平面异侧，则与相交：反之，直线与平面平行，则直线上有两个不同的点到平面的距离相等.故条件“直线上有两个不同的点到平面的距离相等”是“直线与平面平行”的必要非充分条件.
故选B.
点睛：明确：则是的充分条件，，则是的必要条件．准确理解线面平行的定义和判定定理的含义，才能准确答题．
15. 已知曲线的参数方程为：，且点在曲线上，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由题意得曲线C是半圆，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子
，的形式可以联想成在单位圆上动点P与点C（0，1）构成的直线的斜率，进而求解．
详解：∵即
其中由题意作出图形，，
令，则可看作圆上的动点到点的连线的斜率而相切时的斜率，由于此时直线与圆相切，
在直角三角形中，，
由图形知，的取值范围是
则的取值范围是．
故选：C．
点睛：此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想．
16. 已知椭圆，对于任意实数，椭圆被下列直线所截得的弦长与被直线所截得的弦长不可能相等的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】分析：当过点时，直线和选项A中的直线重合，故不能选A．
当l过点（1，0）时，直线和选项D中的直线关于y轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，
当k=0时，直线l和选项B中的直线关于x轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同．排除A、B、D．
..............
点睛：本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知，且满足.
（1）求；
（2）若，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】分析：（1）利用复数模的定义、互为共轭复数的意义及复数相等的定义即可解出；
（2）利用复数模的计算公式即可证明．
详解：（1）设，则
由得利用复数相等的定义可得
（2）当时，
当时，|
综上可得：.
点睛：熟练掌握复数模的定义、互为共轭复数的意义及复数相等的定义是解题的关键．
18. 已知集合，设，判别元素与的关系.
【答案】当，且时，；当或时，.
【解析】分析：对变形并对分类讨论即可.
详解：根据题意，
故当，且时，；当或时，.
点睛：本题考查集合与元素的关系，解题的关键在于正确的分类讨论.
19. 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下
底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，梯形面积为.
（1）当，时，求梯形的周长(精确到)；
（2）记，求面积以为自变量的函数解析式，并写出其定义域.
【答案】（1）周长是；（2），定义域.
【解析】分析：（1）以下底所在直线为轴，等腰梯形所在的对称轴为轴，建立直角坐标系，
可得椭圆方程为，由题，，则代入椭圆方程得，
可求，由此可求求梯形的周长.
（2）由题可得，，由此可求，进而得到定义域.
详解：
（1）以下底所在直线为轴，等腰梯形所在的对称轴为轴，建立直角坐标系，
可得椭圆方程为，
，，
∴代入椭圆方程得，
∴，
所以梯形的周长是；
（2）得，
∴，
，
定义域.
点睛：本题考查了函数模型的应用问题，也考查了求函数定义域的问题，是综合性题目．
20. 如图所示，球的表面积为，球心为空间直角坐标系的原点，且球分别与轴的正交半轴交于三点，已知球面上一点.
（1）求两点在球上的球面距离；
（2）过点作平面的垂线，垂足，求的坐标，并计算四面体的体积；
（3）求平面与平面所成锐二面角的大小.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】分析：（1）根据题意求出，即可得到两点在球上的球面距离；
（2）根据题意，可证与重合，利用向量可求，求出的面积，即可得到四面体的体积；
（3）利用空间向量可求面与平面所成锐二面角的大小..
详解：
（1），
，，
∴
∴，
∴，
两点在球上的球面距离；
（2），
面，，
，
∴，
∴，
∴与重合，
∴，
的面积，
则四面体的体积.
（3）设平面的法向量，
得得
平面的法向量，
设两法向量夹角，，
所以所成锐二面角的大小为.
点睛：本题考查球面距离，几何体的体积，利用空间向量求二面角的大小，属中档题.
21. 双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.
（1）求双曲线的方程；
（2）双曲线上有两个点，直线和的斜率之积为，判别是否为定值，；
（3）经过点的直线且与双曲线有两个交点，直线的倾斜角是，是否存在直
线（其中）使得恒成立？（其中分别是点到的距离）若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）8；（3）存在且
【解析】分析：（1）根据题意，双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.易求求双曲线的方程；（2）设直线的斜率，显然，
联立得，求出，，可证；
（3）设直线方程，
联立，（*），
∵，方程总有两个解，
设，得到，
根据得，整理得，由，则符合题目要求，存在直线．
详解：
（1）双曲线；
（2）设直线的斜率，显然，
联立得，
，
，
；
（3）设直线方程，
联立，（*），
∵，方程总有两个解，
设，
，
根据得，
整理得，
∵，
∴符合题目要求，存在直线．
点睛：本题考查双曲线的求法，直线与双曲线的位置关系，属难题.。