江西省2017届中考数学解题技巧专题圆中辅助线的作法课件
圆的辅助线作法详讲
初中数学“圆中辅助线”添法探究弦与弦心距，密切紧相连.直径对直角，圆心作半径.已知有两圆，常画连心线.遇到相交圆，连接公共弦.遇到相切圆，作条公切线.“有点连圆心，无点作垂线.”切线证明法，规律记心间.圆是初中数学教学重点内容之一,对培养学生的分析能力、逻辑推理能力、解决问题能力有着重要作用.圆的知识是中考必考内容,从基础知识检测到综合解题能力考察都出现在中考数学试卷中.由圆和直线型图形,圆和函数图象可以组合成一些复杂的几何题；由圆的重要性质和平面直角坐标系、函数、方程、面积等知识就组成了综合性强、涉及面广、图形变化大的中考压轴题.在解决此类问题时,常常需要添加辅助线,才能把题中的已知条件和所求问题联系起来,使问题逐层分解,化繁为简,化难为易,从而使解题简便易行.在圆中如何添辅助线？结合自己的教学实践作一些探究.一、根据垂径定理及其推论，过圆心作弦的垂线.例1 半径为5的圆中，求两条长为8和6的平行弦之间的距离.分析:此题没有说明两条平行弦是在圆心的两旁还是同旁，因此要考虑两种情况.解:第一种情况:如图,弦AB 、CD 在圆心O 的同旁. 过O 作OE ⊥AB 于E ，交CD 于F ，则AE=12 AB=3.连结OA 、OC. ∵AB ∥CD,∴OE ⊥CD 于F ，则EF 是平行弦AB 、CD 间的距离. 在Rt △OEA 中，由OA=5,AE=3得OE=3522=4.同理可得OF=3.∴EF=OE-OF=4-3=1.第二种情况:如图,弦AB 、CD 在圆心O 的两旁. 过O 点作OE ⊥AB 于E ，延长EO 交CD 于F. 连结OA 、OC.∵AB ∥CD ，则EO ⊥CD 于F. ∴EF 是平行弦AB 、CD 间的距离.由垂径定理和勾股定理易得：OE=4，OF=3，则EF=OE+OF=7. 启示:有关圆中弦常添的辅助线是过圆心作垂线，利用勾股定理， 依靠垂径定理及其推论解决有关弦的问题.二、连结圆上的有关点，根据同圆（或等圆）中，圆周角、圆心角、弦、弧之间的转换关系，解决问题.例2 已知:在△ABC 中,AB=AC,BD 平分∠ABC,△ABD 的外接圆交BC 于E.求证:AD=EC.分析:连结DE ，由圆周角∠1=∠2,可得AD=DE. 欲证AD=EC ，只要证DE=EC 即可.证明:连结DE.∵BD平分∠ABC,∴∠1=∠2,∴AD=DE.又∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∵∠3是圆内接四边形ABED的外角,∴∠3=∠ABC.∴∠3=∠C,∴DE=EC,∴AD=EC.启示:有关圆上非特殊点，常作点与点连线.三、当题目中有直径这一条件时，常利用“直径所对的圆周角是直角”添加辅助线.例3 已知:在Rt△ABC中∠ABC=90º,以AB为直径作☉O交AC于D，DE切☉O于D且交BC于E. 求证:BE=EC.证明:连结BD.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90º，△BDC为Rt△.又∵∠ABC=90º，AB是☉O的直径，∴BC切☉O于点B.又∵DE切☉O于D,∴BE=DE，则∠BDE=∠DBE.∵∠1+∠BDE=90º，∠C+∠DBE=90 º,∴∠1=∠C，∴DE=EC.∴BE=EC.启示:有关圆中直径，常构造直径所对的圆周角是直角添加辅助线. 四、作过切点的半径（或直径）.当题中有切线时，常连结过切点的半径或直径，利用切线与它垂直的特点.有时也作过切点的弦，沟通弦切角与圆心角、圆周角之间的联系.例4 已知:在Rt △ABC 中,∠C=90º,BC 是☉O 的直径，AB 交☉O 于D ，DE 切☉O 于D ，交AC 于E. 求证：OE ∥BA.证明:连结OD.∵DE 切☉O 于D, ∴∠EDO=90 º.又∵∠C=90 º，OC=OD ， OE=OE, ∴Rt △ECO ≌RtEDO. ∴∠1=∠2= 12 ∠COD.又∵∠B= 12 ∠COD,∴∠1=∠B. ∴OE ∥BA.例5 已知:如图点O ′为∠AOB 角平分线上一点,以O ′为圆心作☉O ′与OA 相切于点E. 求证:☉O ′与OB 相切.证明:过点O ′作O ′F ⊥OB 于F ，连结O ′E. ∵OA 切☉O ′于点E,∴O ′E ⊥OA 于点E;O ′E 为☉O ′的半径. 又∵点O ′为∠AOB 角平分线上的点, ∴O ′E=O ′F.∴☉O′与OB相切.启示:关于圆中切线，常用辅助线是：（1）切点与圆心连线要领先，过切点作弦，莫忘弦切角.（2）要证一条线为圆的切线时，只要过圆心作这条线的垂线，证垂线段等于这个圆的半径.五、当题中有两圆相切时，首先考虑的是过切点作两圆的公切线，由此沟通弦切角与圆周角之间的联系.有时也作两圆的连心线，利用切点在连心线上沟通圆心距与两圆半径之间的联系.例 6 已知:两圆外切于点P,一条割线分别交两圆于A、B、C、D 四点.求证:∠APD+∠BPC=180º.证明:过切点P作两圆的公切线MN.则∠BPM=∠A，∠CPM=∠D.∵∠APD+∠A+∠D=180º,∴∠APD+∠BPM+∠CPM=180º.∵∠BPM+∠CPM=∠BPC,∴∠APD+∠BPC=180º.例7 已知：两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于B、C两点.求证:∠APB=∠CPD.证明:过点P作公切线TP.则∠APT=∠D ,∠BPT=∠BCP.∵∠APB=∠BPT-∠APT,∠CPD=∠BCP-∠D,∴∠APB=∠CPD.启示:两圆相切,过切点作公切线,再利用弦切角定理等知识解之.六、两圆相交时，作两圆的公共弦，以两圆的公共弦作为“桥梁”沟通两圆的圆周角和其他角之间的联系.例8 已知:☉O1与☉O2相交于A、B两点,E为☉O1上的一点,EF 切☉O1于点E,EA、EB的延长线交☉O2于C、D两点.求证:EF∥CD.证明:连结AB，则∠1=∠2.∵四边形ABDC是☉O2的内接四边形,∴∠2=∠D.∴∠1=∠D.∴EF∥CD.启示:两圆相交，试连公共弦，有时也作连心线.七、代数、几何的综合题型.解代数、几何的综合题型时,根据问题的特点和需要,由数形结合,于数思形,以形助数,适时转化,变通.运用数形结合的思想方法,结合图形特征添加辅助线.下题是集三角形、圆、一次函数、二次函数为一体的综合性较强的试题.它要求学生不仅需要掌握必要的基础知识和较高的基本技能,而且要有较强的数形结合思想,才能在解题过程中切中要害,迎刃而解.例9 已知:如图,在Rt△AOC中，直角边OA在X轴负半轴上，OC 在Y轴正半轴上，点F在AO上,以点F为圆心的圆与Y轴、AC边相切，切点分别为O、D,☉F与X轴的另一个交点为E.若tanA=34,☉F的半径为32. （1）、求过A 、C 两点的一次函数解析式；（2）、求过E 、D 、O 三点的二次函数解析式； （3）、证明（2）中抛物线的顶点在直线AC 上.分析：解本题（1）（2）两问的关键是求A 、C 、E 、D 、O 五个点 的坐标.解：（1）过切点D 作☉F 的半径DF ，则∠ADF=90º. 在Rt △ADF 中，由tanA=34 和半径DF=32 得AD=2.∴AF=AD 2+DF 2= 52，则AO=AF+FO=4.在Rt △AOC 中，由AO=4和tanA=34，得OC=3，AC=5.则A 、C 两点的坐标为:A （-4，0），C （0，3）. 设:所求一次函数解析式为y=kx+b. 由A 、C 两点的坐标求得k=34 ，b=3.∴所求一次函数的解析式为:y=34x+3.(2)过点D 作DG ⊥AO 于G ，则Rt △ADG ∽Rt △ACO. ∴AD AC =DG CO ，即25 =DG 3 得DG=65 .由于点D 在AC 上， 把DG=65 代入y=34 x+3，可求得D 点的横坐标为:- 125.∵OE=2OF=2×32=3,∴E 、D 、O 三点的坐标为:E （-3，0），D （- 125 ，65 ）、0（0，0）.设:过E 、D 、O 三点的二次函数解析式为y=ax 2+bx+c.则: 9a-3b+c=0, a=- 56,14425 a- 125 b+c= , b=- 52 , c=0, c=0 . ∴所求二次函数解析式为:y=- 56 x 2- 52x.（3）由y=- 56 x 2 - 52 x 易得抛物线的顶点坐标为:（- 32 ，158 ）.经检验得,点（- 32 ，158 ）在直线y = 34 x + 3上.∴抛物线y=- 56 x 2 - 52x 的顶点在直线AC 上.启示:本题的辅助线是通过图形特征，挖掘题中的明显和隐含条件，而达到目的.综上所述，在解决涉及到圆的问题时，只要添加适当的辅助线，就能把题中的已知条件和问题巧妙地连接起来，达到化繁为简，化难为易的目的，从而使问题的解决简便易行.[课后冲浪]一、证明解答题16．已知：P 是⊙O 外一点，PB ，PD 分别交⊙O 于A 、B 和C 、D ，且AB=CD.求证：PO 平分∠BPD ．17．如图，ΔABC 中，∠C=90°，圆O 分别与AC 、BC 相切于M 、N ，点O 在AB 上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O 的半径.18．已知：□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O 点，BC 切⊙O 于E 点.求证：AD 也和⊙O 相切.ABCDO E19．如图，学校A 附近有一公路MN ，一拖拉机从P 点出发向PN 方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A 周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？20．如图，A 是半径为1的圆O 外的一点，OA=2，AB 是圆O 的切线，B 是切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，求阴影部分的面积.A21．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E,BF ⊥CD ，垂足为F.求证：DE=CF.22．如图，O 2是⊙O 1 上的一点，以O 2为圆心，O 1O 2为半径作一个圆交⊙O 1 于C ，D ．直线O 1O 2分别交⊙O 1 于延长线和⊙O 1 ，⊙O 2于点A 与点B ．连结AC ，BC ．⑴求证：AC=BC ；⑵设⊙O 1 的半径为r ，求AC 的长．⑶连AD ，BD ，求证：四边形ADBC 是菱形；⑷当r=2时，求菱形ADBC 的面积．23．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，连AC 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线EF ，交BC 于E 点.求证：OE //AC.A...N三、探索题24．已知：图a，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：（1）DC是⊙O的切线，（2）过D点作DE⊥AB，图b所示，交AC于P点，请考察P点在DE的什么位置？并说明理由.B 图aB 图b。
圆中常见的辅助线
计算弧长
利用半径和直径，可以计算圆中的 弧长，如半圆、四分之一圆等。
证明定理
半径和直径在证明圆的定理中起到 关键作用，如垂径定理、切线长定 理等。
半径和直径的作法
作半径
从圆心出发，用直尺或圆规画出到圆上任意一点的线段。
作直径
通过圆心，用直尺或圆规画出穿过圆上任意两点的线段。
02 弦
定义与性质
弦的作法
01
02
03
04
通过作弦的中垂线来找到弦的 中点；
通过连接圆心和弦的一个端点 来找到弦；
通过作经过圆上两点的切线来 找到弦；
通过作经过圆心的直线来找到 弦。
03 切线
定义与性质
定义
切线是指与圆只有一个公共点的直线。
性质
切线与半径垂直，切线长度与半径相等，切线到圆心的距离为0。
切线在解题中的作用
定义
连接圆上任意两点的线段被称为圆的 弦。
性质
弦与直径垂直时，弦平分直径；同弦 所对的圆周角相等；弦长与半径成正 比。
弦在解题中的作用
利用弦的性质求角度
利用弦的性质证明定理
通过利用弦所对的圆周角相等，可以 求出某些角度。
通过利用弦的性质，可以证明一些与 圆有关的定理。
利用弦的性质求长度
利用弦长与半径的比例关系，可以求 出某些长度。
圆中常见的辅助线
目 录
• 半径和直径 •弦 • 切线 • 割线
01 半径和直径
定义与性质
定义
半径是连接圆心和圆上任意一点 的线段，直径是穿过圆心且两端 点在圆上的线段。
性质
半径长度等于圆的半径，直径长 度等于圆的直径。
半径和直径在解题中的作用
2017年中考数学专题汇编：圆中常用的作辅助线的八种方法
专训2圆中常用的作辅助线的八种方法名师点金：在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及“作垂直，证半径”等．作半径，巧用同圆的半径相等1．如图，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上．若小正方形的边长为 4 cm，求该半圆的半径．(第1题)[来源学科网Z,X,X,K]连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等2．如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM，垂足为H.求证：AP＝BH.(第2题)作直径，巧用直径所对的圆周角是直角3．如图，⊙O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连接AD，BC.(1)求证：AD2＋BC2＝4R2；(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．(第3题)证切线时辅助线作法的应用4．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点 D.判断CD 与⊙O的位置关系，并说明理由．(第4题)遇弦加弦心距或半径5．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为()A．3 B．4 C．3 2 D．4 2(第5题)(第6题)6．【中考·贵港】如图，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB ＝23，OH＝1，则∠APB＝________.遇直径巧加直径所对的圆周角7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D是BC的中点．(1)求证：△ABC为等边三角形；(2)求DE的长．(第7题)遇切线巧作过切点的半径8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)已知PA＝3，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．(第8题)巧添辅助线计算阴影部分的面积9．【中考·自贡】如图，点B ，C ，D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 的延长线于点A ，连接CD ，且∠CDB ＝∠OBD ＝30°，DB ＝6 3 cm.(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)求由弦CD ，BD 与BC ︵所围成的阴影部分的面积(结果保留π)．(第9题)[来源:学_科_网Z_X_X_K]答案1．解：如图，连接OA ，OF.设OA ＝OF ＝r cm ，AB ＝a cm.(第1题)在Rt △OAB 中，r 2＝a 22＋a 2，在Rt △OEF 中，r 2＝42＋4＋a 22，∴a 24＋a 2＝16＋16＋4a ＋a 24. 解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)．∴r 2＝822＋82＝80.∴r 1＝45，r 2＝－45(舍去)．即该半圆的半径为4 5 cm.点拨：在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题．2．证明：如图，连接AD ，BD.(第2题)∵∠DAC ，∠DBC 都是DC ︵所对的圆周角．∴∠DAC ＝∠DBC.∵CD 平分∠ACM ，DP ⊥AC ，DH ⊥CM ，∴DP ＝DH.在△ADP 和△BDH 中，∠DAP ＝∠DBH ，∠DPA ＝∠DHB ＝90°，DP ＝DH.∴△ADP ≌△BDH.∴AP ＝BH.点拨：本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到∠DAC ＝∠DBC ，为证两三角形全等创造了条件．3．(1)证明：如图，过点D 作⊙O 的直径DE ，连接AE ，EC ，AC.(第3题)∵DE 是⊙O 的直径，∴∠ECD ＝∠EAD ＝90°. 又∵CD ⊥AB ，∴EC ∥AB. ∴∠BAC ＝∠ACE. ∴BC ︵＝AE ︵.∴BC ＝AE.在Rt △AED 中，AD 2＋AE 2＝DE 2，∴AD 2＋BC 2＝4R 2.(2)解：如图，过点O 作OF ⊥AD 于点 F.∵弦AD ，BC 的长是方程x 2－6x ＋5＝0的两个根(AD>BC)，[来源:]∴AD ＝5，BC ＝1.由(1)知，AD 2＋BC 2＝4R 2，∴52＋12＝4R 2.∴R ＝262. ∵∠EAD ＝90°，OF ⊥AD ，∴OF ∥EA.又∵O 为DE 的中点，∴OF ＝12AE ＝12BC ＝12，即点O 到AD 的距离为12.点拨：本题作出直径DE ，利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带来了方便．4．解：CD 与⊙O 相切，理由如下：如图，作⊙O 的直径CE ，连接AE.(第4题)∵CE是⊙O的直径，∴∠EAC＝90°.∴∠E＋∠ACE＝90°.∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.∴∠B＝∠ACD.又∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E.∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC.又∵OC为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．5．C 6.60°(第7题) 7．(1)证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线．∴AB＝AC.又∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC.∴△ABC为等边三角形．(2)解：如图，连接BE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∴BE⊥AC.[来源学科网]∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点．又∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线．∴DE＝12AB＝12×2＝1.8．(1)证明：如图，连接OB，∵OA＝OB，(第8题)∴∠OAB＝∠OBA.∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA，即∠PAO＝∠PBO.又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB.又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．(2)解：如图，连接OP，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．∴OP为线段AB的垂直平分线．又∵BC⊥AB，∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠ACB＝60°.由(1)知∠PAO＝90°.∴∠APO＝30°.∴PO＝2AO.∵在Rt△APO中，AO2＋PA2＝PO2，∴AO2＋3＝(2AO)2.又∵AO＞0，∴AO＝1.∴⊙O的半径为 1.(第9题)9．(1)证明：如图，连接CO，交DB于点E，∴∠O＝2∠CDB＝60°. 又∵∠OBE＝30°，∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°.∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°，即OC⊥AC.又∵点C在⊙O上，∴AC是⊙O的切线．(2)解：∵OE⊥DB，∴EB＝12DB＝3 3 cm.在Rt△EOB中，∵∠OBE＝30°，∴OE＝12 OB.∵EB＝3 3 cm，∴由勾股定理可求得OB＝6 cm.∵∠CDB＝∠DBO，DE＝BE，∠CED＝∠OEB，∴△CDE≌△OBE.∴S△CDE＝S△OBE.∴S阴影＝S扇形COB＝60360π·62＝6π(cm2)．[来源:Z&xx&]。
中考数学答题技巧：圆与圆位置关系中常见辅助线的作法
中考数学答题技巧：圆与圆位置关系中常见辅助线的作法中考数学答题技巧：圆与圆位置关系中常见辅助线的作法圆与圆位置关系是初中几何的一个重要内容，也是学习中的难点，本文介绍圆与圆的位置关系中常见的五种辅助线的作法。
1. 作相交两圆的公共弦利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。
例1. 如图1，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A、B分别作直线C D、EF，且CD//EF，与两圆相交于C、D、E、F。
求证：CE=DF。
图1分析：CE和DF分别是⊙O1和⊙O2的两条弦，难以直截了当证明它们相等，但通过连结AB，则可得圆内接四边形ABEC和ABFD，利用圆内接四边形的性质，则易证明。
证明：连结AB因为又因此即CE//DF又CD//EF因此四边形CEFD为平行四边形即CE=DF2. 作两相交圆的连心线利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的运算问题。
例2. ⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，两圆的半径分别为和，公共弦长为12。
求的度数。
图2分析：公共弦AB可位于圆心O1、O2同侧或异侧，要求的度数，可利用角的和或差来求解。
解：当AB位于O1、O2异侧时，如图2。
连结O1、O2，交AB于C，则。
分别在和中，利用锐角三角函数可求得故当AB位于O1、O2同侧时，如图3图3则综上可知或3. 两圆相切，作过切点的公切线利用弦切角定理沟通两圆中角的关系例3. 如图4，⊙O1和⊙O2外切于点P，A是⊙O1上的一点，直线A C切⊙O2于C，交⊙O1于B，直线AP交⊙O2于D。
求证PC平分。
图4分析：要证PC平分，即证而的边分布在两个圆中，难以直截了当证明。
若过P作两圆的公切线PT，与AC交于T易知由弦切角定理，得又是的一个外角因此又从而有即PC平分4. 两圆相切，作连心线利用连心线通过切点的性质，解决有关运算问题。
例4. 如图5，⊙O1与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O1通过圆心O 2，作⊙O2的直径BC，交⊙O1于点D，EF为过点A的公切线，若，求的度数。
《圆的辅助线》课件PPT
例8：已1 知，如图，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：
OE = 2 AD 证明：作直径CF，连接DF、BF
A
∵CF为⊙O的直径 ∴CD⊥FD
C
D
又∵CD⊥AB ∴AB∥DF
O
∴ AD BF
∴AD = BF
E
∵OE⊥BC O为圆心 CO = FO
∴CE = BE
∴OE ∴OE
==1212ABDF
例4.如图，已知⊙O1与⊙O2为等圆，P为O1、O2的中点，过P的直线 分别交⊙O1、⊙O2于A、C、D、B.求证：AC = BD
证明：过O1作Ｏ１Ｍ⊥ＡＭ 于M,过O２作Ｏ２Ｎ⊥AB于N， 则O1M//O2N
∴O1M O1P
O2 N O2 P
∵O1P=O2P ∴O1M=O2N ∴AC = BD
A MC
O
P
B
1. 遇 到 弦 时 （ 解 决 有 关 弦 的 问 题 时 ） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连接过 弦的端点的半径。
作用：
利用垂径定理； 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定 理求有关量
例1.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的 弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC=BD
对的弦是直径
6.切线判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线.
7.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
8.切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
几何语言：
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
A
∴PA=PB