§3.10-抽样信号的傅里叶变换
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抽样信号的傅里叶变换PPT课件
§ 3.9 抽样信号的傅里叶变换
• 主要内容
•抽样、抽样信号的概念、提出及抽样方式 •时域抽样 •频域抽样
• 重点：矩形脉冲抽样和冲激抽样 • 难点：频域抽样
一、抽样、抽样信号的概念、提出及抽样方式
1.抽样
抽样：利用抽样脉冲序列p(t)从边续信号f(t) 中“抽取”一系列的离散样值的过程，称之。
2.抽样信号
抽样信号：经抽取后的一系列的离散信号称之。
请同学们注意区别：抽样信号与抽样函数 Sa(t)=sint/t是完全不同的两个含义。 抽样也称为“采样”或“取样”。
3.实现抽样的原理及框图
（1）原理
抽样原理：连续信号经抽样成抽样信号，再经量化、 编码变成数字信号。将这种数字信号经传输，进行 上述逆过程，就可恢复出原连续信号。
相乘。即：
fs (t) f (t) p(t)
p(t)是周期信号，其傅里叶变换
P(w) 2 Pn (w nws )
其中
n
1
Pn T
Ts
2 Ts
p(t)e jnwst dt
2
是p(t)的傅里叶级数的系数
根据频域卷积定理：
1
Fs (w) 2 F (w) * P(w)
E
Ts
Sa( nws
2
)
得到矩形抽样信号的频谱：
Fs ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱw)
E
Ts
Sa( nws
n
2
)F (w nws )
说明：矩形抽样在脉冲顶部不是平的，而是随 f(t)变化的，故称之“自然抽样”。
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/23
2.冲激抽样(理想抽样）
• 主要内容
•抽样、抽样信号的概念、提出及抽样方式 •时域抽样 •频域抽样
• 重点：矩形脉冲抽样和冲激抽样 • 难点：频域抽样
一、抽样、抽样信号的概念、提出及抽样方式
1.抽样
抽样：利用抽样脉冲序列p(t)从边续信号f(t) 中“抽取”一系列的离散样值的过程，称之。
2.抽样信号
抽样信号：经抽取后的一系列的离散信号称之。
请同学们注意区别：抽样信号与抽样函数 Sa(t)=sint/t是完全不同的两个含义。 抽样也称为“采样”或“取样”。
3.实现抽样的原理及框图
（1）原理
抽样原理：连续信号经抽样成抽样信号，再经量化、 编码变成数字信号。将这种数字信号经传输，进行 上述逆过程，就可恢复出原连续信号。
相乘。即：
fs (t) f (t) p(t)
p(t)是周期信号，其傅里叶变换
P(w) 2 Pn (w nws )
其中
n
1
Pn T
Ts
2 Ts
p(t)e jnwst dt
2
是p(t)的傅里叶级数的系数
根据频域卷积定理：
1
Fs (w) 2 F (w) * P(w)
E
Ts
Sa( nws
2
)
得到矩形抽样信号的频谱：
Fs ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱw)
E
Ts
Sa( nws
n
2
)F (w nws )
说明：矩形抽样在脉冲顶部不是平的，而是随 f(t)变化的，故称之“自然抽样”。
SUCCESS
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2019/7/23
2.冲激抽样(理想抽样）
抽样信号的傅里叶变换与序列的傅里叶变换探讨
摘
要 ： 抽样 信 号 的傅 里 叶 变换 与序 列 的傅 里 叶 变 换二 者之 间 的 关 系进 行 了探 讨 。 对
关 键 词 ： 里 叶 变换 ； 样 信 号 ； 列 傅 抽 序 中 图分 类 号 ： Ｎ ｌ ． Ｔ ９１ ７ 文 献标 识 码 ： Ａ 中 文 章 编 号 ：０ ８ ７ ５ （０ ２ ０ — １ ７ ０ １０ — ３ ４ ２ １ ｝１ ０ ６ — ２
’●１
ｌ
Ｄ ￣ ［ （ ） （ ） Ｔ ｘｎ ］ ＝
ｎ ： ∞
（ ）ｅ （ ） ｎ・ １
讨 设 ）为连 续 时间 信号 ， ｔ为周 期 性抽 样 脉 冲信 ｆｔ （ Ｐ（）
号 。 进 行 理 论 分 析 的 时 候 ， 常选 定 周 期 冲 激 信 号 ８（） 在 通 ，ｔ 作 为 Ｐ（） 此 处 ，ｒ ） ８ ｔｎ ， 整 数 （＝ ， ｌ ２ ｔ（ ８（ ＝ ｔ （ ）ｎ取 — ｎ ０± ， ， ±
熊文 杰 王 勉 ｚ 邝 先 飞 。
（． 山 师范 学 院 物理 与 电子 工程 系 ， 东 １ 韩 广 潮州 ５ １４ ；． 西 现 代 职业 技 术 学 院 ， ２ ０ １２ 江 江西 ３０４ ） ３０ ５ 南昌 ３０ ９ ；． 西农 业 大 ３ ０ ５３江 学理学院 ． 江西 南 昌
１ 离 散 时 间信 号 一 序 列
（： ∑Ｆ 一 ） （ （ｎ ２ ） 孕 Ｊ １ ）
ｎ ∞ １
式（） ３１ ２为 ．Ｏ节 中给出的（一 Ｏ ） 。显然 ， ３ ｌ ２式 不能 直观
地 看 出式 （ 与 式 （） 间 有什 么联 系 。 １ ） ２ 之
４ 二 者 之 间的 联 系
利 用傅里 叶变换 的定义 ， 激抽样信 号 冲
周期信号的傅里叶变换
(1)
tm o tm
t
p( t)
E
s
1
o
F s
o
Ts
t fS( t)
o
o tm T s
t
第
24 页
§3.11 抽样定理
第
理想抽样（周期单位冲激抽样）
f (t)
25 页
f (t ) F ( )
o
p( t)
(1)
t
E
p(t ) T (t )
谐波频率
强度 : 2π F n1 与F (n1 )成正比, 离散谱
2 谱线的幅度不是有限值 , 因为F 表示的是频谱密度。 周期信号的F 只存在于 n1处,
频率范围无限小, 幅度为。
三．如何求 F n1
1.方法一 2.方法 二
第 8 页
1 T 直接利用公式求：F n1 2T fT t e jn1t d t T 2 1 利用F0 来求 F n1 T F0 n 1 1
第
27 页
的范围，则信号 f t 可用等间隔的抽样值来 惟一地表示。 1 1 m 2π f m ， 其抽样间隔必须不大于 ，即Ts 2 fm 2 fm 或者说最低抽样率为 2 f m。
f(t) 1
F
o
t
fS(t) o T S t s
o m m 1 F s
1
T t
1 1 1 1 1
2T1 T1 o T1 2T1
t
1 所以 T t 的傅氏级数谱系数 F n 1 T 1
tm o tm
t
p( t)
E
s
1
o
F s
o
Ts
t fS( t)
o
o tm T s
t
第
24 页
§3.11 抽样定理
第
理想抽样（周期单位冲激抽样）
f (t)
25 页
f (t ) F ( )
o
p( t)
(1)
t
E
p(t ) T (t )
谐波频率
强度 : 2π F n1 与F (n1 )成正比, 离散谱
2 谱线的幅度不是有限值 , 因为F 表示的是频谱密度。 周期信号的F 只存在于 n1处,
频率范围无限小, 幅度为。
三．如何求 F n1
1.方法一 2.方法 二
第 8 页
1 T 直接利用公式求：F n1 2T fT t e jn1t d t T 2 1 利用F0 来求 F n1 T F0 n 1 1
第
27 页
的范围，则信号 f t 可用等间隔的抽样值来 惟一地表示。 1 1 m 2π f m ， 其抽样间隔必须不大于 ，即Ts 2 fm 2 fm 或者说最低抽样率为 2 f m。
f(t) 1
F
o
t
fS(t) o T S t s
o m m 1 F s
1
T t
1 1 1 1 1
2T1 T1 o T1 2T1
t
1 所以 T t 的傅氏级数谱系数 F n 1 T 1
信号课件第三章傅里叶变换
• 从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中， 首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的 傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
傅里叶变换的证明
1 T 1 任何不同的两个函数的 乘积在区间[ T 2 2 ]上的积分为零
1 T nm 2 cos(nw1t ) cos(m w t ) dt 1 0 n m
即有： t
t0 T1
0
t0 T1
t0
1 T nm 2 sin(nw1t ) sin(m w t ) dt 1 0 n m
n
F (nw1)e
jnw1t
n
jnw1t F e n （6）
证明:思路由三角形式→指数形式
f (t ) a0 [an cos(nw1t ) bn sin(nw1t )] （ 7）
n 1
利用欧拉公式:
jnw1t jnw1t 1 cos( nw t ) ( e e ) 1 2 8） jnw1t jnw1t （ 1 e ) sin(nw1t ) 2 j (e
把(10),(11)代入(9)得
f (t ) a0 [ F (nw1 )e jnw1t F (nw1 )e jnw1t ] （ 12 ）
n 1
令a0 F (0)
F ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnw )e
n1 1
jnw1t
n
F (nw )e
1
1
jnw1t
(12)式写为f (t )
an
t0 T1 1 T1 t 0
f (t )dt
信号的平均值、直流分量
是nw1的偶函数 是nw1的奇函数
t0 T1 2 T1 t 0
f (t ) cos(nw1t )dt
2 bn T 1
t0 T1
t0
f (t ) sin(nw1t )dt
1 T nm 2 cos(nw1t ) cos(m w t ) dt 1 0 n m
即有： t
t0 T1
0
t0 T1
t0
1 T nm 2 sin(nw1t ) sin(m w t ) dt 1 0 n m
n
F (nw1)e
jnw1t
n
jnw1t F e n （6）
证明:思路由三角形式→指数形式
f (t ) a0 [an cos(nw1t ) bn sin(nw1t )] （ 7）
n 1
利用欧拉公式:
jnw1t jnw1t 1 cos( nw t ) ( e e ) 1 2 8） jnw1t jnw1t （ 1 e ) sin(nw1t ) 2 j (e
把(10),(11)代入(9)得
f (t ) a0 [ F (nw1 )e jnw1t F (nw1 )e jnw1t ] （ 12 ）
n 1
令a0 F (0)
F ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnw )e
n1 1
jnw1t
n
F (nw )e
1
1
jnw1t
(12)式写为f (t )
an
t0 T1 1 T1 t 0
f (t )dt
信号的平均值、直流分量
是nw1的偶函数 是nw1的奇函数
t0 T1 2 T1 t 0
f (t ) cos(nw1t )dt
2 bn T 1
t0 T1
t0
f (t ) sin(nw1t )dt
《数字信号处理教学课件》3.10 抽样定理
c2
1
1
2 1
1
0
2 1
指数形式的频谱图
F n 1
0.15
n
0.15
0.25
0.5
1.12
1
1.12
0.5
2 1
2 1
2 1 1
0
1
1
1
0
0.15
2 1
0.25
例3-10-1
BACK 例如音频信号：0～3.4KHz，
fs 2 fm
信号无失真恢复
抽样频谱 连续信号：
恢复
在满足时域抽样定理条件下使 T s s 2 F Fs H , 其中H 0 s 2 矩形函数H(w)与Fs(w)相乘。 即将f (t )的抽样f s t 施于“理想低通滤波器”H ,
可从f s t 的频谱Fs 无失真地选出f (t )的F ， 再由滤波器输出端恢复f(t)。
二、频域抽样定理
根据时域和频域对称性，可推出频域抽样定理
c f (t ) f (nTs ) Sa[ c (t nTs )] n
偶函数
变 量 置 换
时分复用
n n F ( ) F Sa t ( ) m t tm n m
若信号 f (t ) 为时限信号，它集中在 tm tm 的时间范围内，若在频域中， 以不大于 1 2tm 的频率间隔对 f (t ) 的频谱 F ( ) 进行抽样，则抽样后的频谱 F1 ( )可以唯一 地表示原信号。
f (t ) d t
与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn都 是有限值，因为
信号与系统第3章 傅里叶变换
P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1
抽样信号的傅立叶变换
42
❖ 第二步，用自适应噪声抵消方法从ECG 信号中消除较强的低频干扰。
Yeldman 等人的研究表明，仅仅运用自适 应噪声抵消方法而又没有任何预处理滤 波器，要消除所有ECG信号干扰是不可 能的。
43
一种基于LMS算法的数字式 自适应滤波器
44
特点
❖ 因为同时存在两个不同的干扰，所以采用双参考信 道
（5）
25
应用上述五点结论推导权系数更新表达式 应用（1）结论有： 再应用（2）（3）（4）（5）结论，有
26
❖ 由此可见，当迭代次数无限增加时，权
系数向量的数学期望值可收敛至Wiener
解，其条件是对角阵
的所有对
角元素均小于1，即
❖或
27
基本LMS自适应算法 （软件实现）
28
LMS自适应滤波器（硬件实现）
或其统计特性是随时间变化的.
因此，用维纳或卡尔曼滤波器实现不了最优滤波. 在此情况下，自适应滤波能够提供优良的滤波性能。
3
引言
自适应滤波概念
利用前一时刻已获得的滤波器参数等 结果，自动地调节（更新）现时刻的滤波 器参数，以适应信号和噪声未知的统计特 性，或者随时间变化的统计特性，从而实 现最优滤波。
29
第二节 自适应噪声抵消器
❖ 自适应噪声抵消的目的是:
主信号由有用信号和背景噪声组成;
去除主信号中的背景噪声;
背景噪声与参考信号中的噪声相关;
因此，自适应噪声抵消技术主要依赖于从主信号 和噪声中获取参考信号。
30
8.2.1 自适应噪声抵消原理
最佳噪声抵消器
❖ 其中 ❖ 估计误差 e (n)
31
低通滤波器。采用LMS算法。
64
❖ 第二步，用自适应噪声抵消方法从ECG 信号中消除较强的低频干扰。
Yeldman 等人的研究表明，仅仅运用自适 应噪声抵消方法而又没有任何预处理滤 波器，要消除所有ECG信号干扰是不可 能的。
43
一种基于LMS算法的数字式 自适应滤波器
44
特点
❖ 因为同时存在两个不同的干扰，所以采用双参考信 道
（5）
25
应用上述五点结论推导权系数更新表达式 应用（1）结论有： 再应用（2）（3）（4）（5）结论，有
26
❖ 由此可见，当迭代次数无限增加时，权
系数向量的数学期望值可收敛至Wiener
解，其条件是对角阵
的所有对
角元素均小于1，即
❖或
27
基本LMS自适应算法 （软件实现）
28
LMS自适应滤波器（硬件实现）
或其统计特性是随时间变化的.
因此，用维纳或卡尔曼滤波器实现不了最优滤波. 在此情况下，自适应滤波能够提供优良的滤波性能。
3
引言
自适应滤波概念
利用前一时刻已获得的滤波器参数等 结果，自动地调节（更新）现时刻的滤波 器参数，以适应信号和噪声未知的统计特 性，或者随时间变化的统计特性，从而实 现最优滤波。
29
第二节 自适应噪声抵消器
❖ 自适应噪声抵消的目的是:
主信号由有用信号和背景噪声组成;
去除主信号中的背景噪声;
背景噪声与参考信号中的噪声相关;
因此，自适应噪声抵消技术主要依赖于从主信号 和噪声中获取参考信号。
30
8.2.1 自适应噪声抵消原理
最佳噪声抵消器
❖ 其中 ❖ 估计误差 e (n)
31
低通滤波器。采用LMS算法。
64
傅里叶变换的证明
第三章傅里叶变换§3.1 引言§3.2周期信号的傅里叶级数分析频谱分析§3.3典型周期信号的傅里叶级数频谱§3.4傅立叶变换§3.5典型非周期信号的傅里叶变换FT §3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换§3.7傅里叶变换的基本性质§3.8卷积特性§3.9周期信号的傅里叶变换§3.10抽样信号的傅里叶变换§3.11抽样定理第三章复习课§3.1 引言法国数学家傅里叶有两个最主要的贡献: 1 周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和. 2 非周期信号都可以用正弦信号的加权积分表示. 本章要点: 1 建立信号频谱的概念. 2 利用傅里叶级数的定义式分析周期信号的离散频谱. 3 利用傅里叶积分变换分析非周期信号的连续频谱. 4 理解信号时域与频域间的关系. 5 用傅里叶变换的性质进行正、逆变换. 6 掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理. §3.2周期信号的傅里叶级数分析频谱分析周期信号的傅里叶级数两种表现形式: 1: 三角函数级数2: 指数形式一周期信号展开成三角函数形式的傅里叶级数. 1 周期信号: 2 傅里叶级数展开表达式: fwnnTtftfT1211102sin2cossincos121211110twbtwatwbtwaatf1 无限项和1110sincosnnntnwbtnwaa2 n正整数100110TttTdttfa 信号的平均值、直流分量3 1001cos12TttTndttnwtfa的偶函数是1nw4 1001sin12TttTndttnwtfb的奇函数是1nw5 补充正交三角函数系tnwtnwtwtw1111sincossincos1上的积分为零乘积在区间任何不同的两个函数的2211TT即有mnmndttmwtnwTTtt0coscos2111100mnmndttmwtnwTTtt0sinsin2111100nmdttmwtnwT tt0sincos10011所有nnba导系数利用正交函数系性质推3 满足狄利克雷条件:充分条件①在一个周期内若有间断点存在间断点数目应该是有限个②在一个周期内极大值和极小值数目应该是有限个③在一个周期内信号绝对可积100Tttdttf注:我们遇到的周期信号都能满足狄利克雷条件. 4 三角函数形式的另一种表达形式.同频率项加以合并110cosnnntnwcctf的函数都是122sincosarctannwcbcabacnnnnnnabnnnnnn5 画频谱图幅度谱、相位谱P91页图3-1 单边谱谱线:每条线代表某一频率分量的幅度. 包络线:连接各谱线顶点的曲线.反映各频率分量的幅度变化情况6 周期信号频谱特点. ①离散谱: 离散频率点上出现在111320www ②收敛性. ③谐波性: 是各谐波频率111132nwwww二指数形式的傅里叶级数1 展开式: 6111ntjnwnntjnweFenwFtf 证明:思路由三角形式→指数形式7sincos1110nnntnwbtnwaatf8sincos1111211211tjnwtjnwjtjnwtjnweetnweetnw9122011 ntjnwjbatjnwjbaeeatfnnnn令10321211njbanwFnn利用欧拉公式: 得的奇函数是的偶函数是1121111nnnnjbanwFnwbnwa把1011代入9得12111011ntjnwtjnwenwFenwFatf00Fa令111111ntjnwntjnwenwFenwFntjnwenwFtf1121式写为nFnwF1计算傅里叶系数整数1001111ndtetfFnwFTtttjnwTn 证明:把45代入10即可. 2: 000caF21nnjnnjbaeFFn21nnjnnjbaeFFnnnnnncFbaF212221nnncFF3 两种傅氏级数系数间的关系. 4 画复数频谱. P93页双边谱 5 周期复指数信号频谱图的特点: ①引入了负频率变量没有物理意义.只是数学推导的结果. ②一般是复函数nF 和相位谱合一相位幅度谱和的正负表示是实函数时可以用当0nnFF③三、函数的对称性与傅立叶系数关系是偶函数tftftf0nb是奇函数tftftf只含正弦项000naa是奇谐函数tf21Ttftf 1 只含直流项、余弦项3 2 波形沿时间轴平移半个周期并相对该轴上下反转此时波形不发生变化。
傅里叶变换半采样频率频谱
傅里叶变换半采样频率频谱傅里叶变换是将一个信号在时域上转换为频域上的表示的数学工具。
它可以将原始信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦函数的组合，从而揭示出信号中的频谱特性。
在进行傅立叶变换时，首先要对信号进行采样，将连续的时域信号转换为离散的时域信号。
在采样过程中，我们需要确定采样率，即采样的频率。
在进行傅立叶变换时，信号的频谱范围和精度与采样率有关。
根据奈奎斯特抽样定理，为了正确重建原始信号，采样率至少应该是原始信号最高频率的两倍。
这意味着在数字信号中，采样频率一般要高于信号中的最高频率成分。
半采样频率是指采样频率的一半。
在进行傅立叶变换时，半采样频率有特殊的意义。
在连续时间的信号中，信号频率超过采样频率的一半会出现混叠现象，即高频部分会被错误地显示为低频部分。
这是因为在进行采样时，高频信号在时间域上会重叠，并且无法从离散采样信号中完全区分。
当进行傅里叶变换时，采样频率为半采样频率时，傅里叶变换结果表现出特殊的性质。
在半采样频率下，信号在频域上的表示会有一种对称性。
对于实值信号而言，傅里叶变换的频谱是共轭对称的，即正频率和负频率部分的幅度相等，相位互为相反数。
这种对称性可以简化计算，减少计算量。
半采样频率频谱在很多应用中有着重要的作用。
例如，在音频信号中，半采样频率频谱可以用于计算声音的频谱分布，判断音频信号中的主要频率成分。
在图像处理中，半采样频率频谱可以用于图像压缩、边缘检测等应用。
总之，傅里叶变换的半采样频率频谱具有对称性，可以简化计算，并且在很多应用中起着重要作用。
在进行傅里叶变换时，选择适当的采样频率是很重要的，以确保信号频域特性的准确可靠分析。
信号与系统第三章
T
内，对于有限带宽信号类来说是一个完备的正交 函数集。这里
sin x S a ( x) x
称为抽样函数。
15
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
三角函数的傅里叶级数 指数形式的傅里叶级数 函数的对称性与傅里叶系数的关系
设f1(t)和f2(t)是定义在(t1, t2)区间上的两个实变函数
(信号)，若在(t1, t2)区间上有
t2
t1
f1 (t ) f 2 (t )dt 0
则称 f1(t)和f2(t) 在(t1, t2)内正交。
8
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
若f1(t)，f2(t), …, fn(t)定义在(t1, t2)区间上，并且在 (t1, t2) 内有
这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级 数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这 两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期 信号具有相当的普遍适用性。
Signals that violate the Dirichlet conditions
(b) the periodic signal of eq. x(t)=sin(2π/t) which violates the second Dirichlet condition
（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间 断点的数目应该是有限个； （2）在一周期内，极大值和极小值的数目应 是有限个； （3）在一周期内，信号是绝对可积的，即 t T t f (t ) dt 等于有限值（T1为周期）
内，对于有限带宽信号类来说是一个完备的正交 函数集。这里
sin x S a ( x) x
称为抽样函数。
15
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
三角函数的傅里叶级数 指数形式的傅里叶级数 函数的对称性与傅里叶系数的关系
设f1(t)和f2(t)是定义在(t1, t2)区间上的两个实变函数
(信号)，若在(t1, t2)区间上有
t2
t1
f1 (t ) f 2 (t )dt 0
则称 f1(t)和f2(t) 在(t1, t2)内正交。
8
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
若f1(t)，f2(t), …, fn(t)定义在(t1, t2)区间上，并且在 (t1, t2) 内有
这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级 数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这 两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期 信号具有相当的普遍适用性。
Signals that violate the Dirichlet conditions
(b) the periodic signal of eq. x(t)=sin(2π/t) which violates the second Dirichlet condition
（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间 断点的数目应该是有限个； （2）在一周期内，极大值和极小值的数目应 是有限个； （3）在一周期内，信号是绝对可积的，即 t T t f (t ) dt 等于有限值（T1为周期）
第三章-傅里叶变换
三、 三角函数形式的傅里叶级数（3）
f (t) a
(a
cos n t b
sin n t)
0
n1
n
1
n
1
纯余弦形式傅里叶级数
f (t) c
c
co（ s n t ）
0
n1 n
1
n
其中 c a , c
0
0
n
a2 b2 ,
n
n
n
arctg
bn an
c0称为信号的直流分量，cn cos(n1t+ n) 称
为信号的n次谐波分量。 cn0。 可见， 周期信号可分解为直流、基波和各次
谐波的线性组合。
中国民航大学 CAUC
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
三、 三角函数形式的傅里叶级数（4）
[例] 求下图所示周期锯齿波的傅里叶级数展开式。
sin n t)
0
n1
n
1
n
1
a0、an、bn—傅里叶系数
1—基本角频率（基频）
a0—信号的直流分量
a b
n
n
a n
b n
n
n
cos1t 、 sin1t —基波
cos(n1t) 、 sin(n1t) — n次谐波
中国民航大学 CAUC
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
3.1 信号的正交函数分解
一、正交函数(1)
1. 实变函数：若实函数f1(t) 和f2(t)在(t1 ，t2)上满足
t2 t1
f (t)f (t)dt
1
2
0
则称f1(t)与f2(t)在(t1 ，t2)上正交。 2. 复变函数：若有n个复变函数fi(t) （i=1，…，n） 在区间( t1，t2)上满足
§3-8 抽样信号的傅里叶变换与抽样定理
1 T
X s ( j)
T 0
T 2T
t
s
0
s
2s
4
三、自然抽样
上述开关函数s(t)若是周期性矩形脉冲，抽样称为自然抽样。 于是，信号抽样的图形如下：
x(t )
X ( j )
0
t
0
S ( j)
(s )
s (t )
1
3T 2T T
T
2T
3T
t
s
T
s
X s ( j)
写出指数形式和三角形式的傅里叶级数展开式，并画出双边与单边频谱图。 二、已知
x(t ) 2 cos(
n 三、设系统的频率响应：H ( j) 4Sa(4) ，已知： x(t ) [2 (1) u (t 4n)] 1
试求系统响应y(t)。 四、两系统对输入ej5t的响应分别是ej5(t-1)与cos5t，试问哪个系统是非线性的？ 五、一RL电路如图，输入为电流源is(t)，输出是电感中
xs (t )
s(t )
xs (t ) x(t ) s(t )
信号s(t)称为开关信号。上式关系可以用右图表示。
根据开关信号的不同，可以产生不同的抽样信号。这里只介绍 两种常见的抽样信号：理想抽样与自然抽样。 理想抽样是不能实现的，但它在说明抽样定理时，有重要的理 论价值，我们会经常用到它。 自然抽样是一种现实的抽样，它不仅有理论价值，还有实用价 值。
is (t ) io (t )
1H
的电流io(t)，试：列出电路的输入输出方程，求出其
频率响应，若输入x(t)=cost，求输出的时间函数。 六、周期性三角脉冲如图所示，试求其傅里叶级数展开式。
X s ( j)
T 0
T 2T
t
s
0
s
2s
4
三、自然抽样
上述开关函数s(t)若是周期性矩形脉冲，抽样称为自然抽样。 于是，信号抽样的图形如下：
x(t )
X ( j )
0
t
0
S ( j)
(s )
s (t )
1
3T 2T T
T
2T
3T
t
s
T
s
X s ( j)
写出指数形式和三角形式的傅里叶级数展开式，并画出双边与单边频谱图。 二、已知
x(t ) 2 cos(
n 三、设系统的频率响应：H ( j) 4Sa(4) ，已知： x(t ) [2 (1) u (t 4n)] 1
试求系统响应y(t)。 四、两系统对输入ej5t的响应分别是ej5(t-1)与cos5t，试问哪个系统是非线性的？ 五、一RL电路如图，输入为电流源is(t)，输出是电感中
xs (t )
s(t )
xs (t ) x(t ) s(t )
信号s(t)称为开关信号。上式关系可以用右图表示。
根据开关信号的不同，可以产生不同的抽样信号。这里只介绍 两种常见的抽样信号：理想抽样与自然抽样。 理想抽样是不能实现的，但它在说明抽样定理时，有重要的理 论价值，我们会经常用到它。 自然抽样是一种现实的抽样，它不仅有理论价值，还有实用价 值。
is (t ) io (t )
1H
的电流io(t)，试：列出电路的输入输出方程，求出其
频率响应，若输入x(t)=cost，求输出的时间函数。 六、周期性三角脉冲如图所示，试求其傅里叶级数展开式。
傅里叶变换的证明
cn
2
1 3
2
1 5 2
n
w1 3w1 5w1 w
w1 2w1 3w1 4w1 5w1 w
2
三:画 f (t ) 1 sin(w1t ) 2 cos(w1t ) cos(2w1t 4 ) 的频谱
f (t ) c0 cn cos(nw1t n )
n
F (nw )e
1
jnw1t
F (nw1 ) Fn 2: 计算傅里叶系数
F (nw1 ) Fn
t0 T1 1 T1 t 0
f (t )e jnw1t dt n ~ 整数
证明:把(4)(5)代入(10)即可.
3 两种傅氏级数系数间的关系.
F0 a0 c0
t0 T1
t0
cos(nw m, n 1t ) sin(mw 1t )dt 0 所有
利用正交函数系性质推 导系数an , bn
3 满足狄利克雷条件:(充分条件) ①在一个周期内，若有间断点存在，间断点数目应该是有限个 ②在一个周期内,极大值和极小值数目应该是有限个 ③在一个周期内,信号绝对可积
t0 T1
t0
f (t ) dt
注:我们遇到的周期信号都能满足狄利克雷条件. 4 三角函数形式的另一种表达形式.(同频率项加以合并)
f (t ) c0 cn cos(nw1t n )
n 1
2 2 cn an bn a n c n cos n b n arctana 都是nw1的函数 bn c n sin n
T
n2 f (t ) sin(nw1t )dt 0
3.2抽样信号的傅里叶变换及抽样定理
设：
F (ω ) = F [ f (t )]
(−ωm < ω < ωm )
(连续信号 连续信号) 连续信号 (抽样脉冲 抽样脉冲) 抽样脉冲 (抽样信号 抽样信号) 抽样信号 p(t)是周 期信号
P ( ω ) = F [ p ( t )]
Fs (ω ) = F [ f s ( t )]
满足： 满足： f s ( t ) = f ( t ) p ( t )
T 1
t
卷 积
− ω1 0 ω1
ω
− T -tm 0 tm T 1 1
t
抽样定理
时域抽样定理
•
• 频域抽样定理
1、时域抽样定理
惟一地表示。 的范围， 惟一地表示。 的范围，则信号f (t )可用等间隔的抽样值来 1 1 T (ωm = 2π fm )， 其抽样间隔必须不大于 ，即 s ≤ 2 fm 2 fm 或者说最低抽样率为 2 fm。
2．理想抽样（周期单位冲激抽样）
f ( t ) ↔ F (ω ) (−ωm < ω < ωm )
p ( t ) ↔ P (ω )
fs ( t ) ↔ Fs (ω )
p(t ) = δ T (t ) =
n =−∞
∑ δ (t − nT ) ↔ ωs ∑ δ (ω − nωs )
s
∞
∞
n =−∞
f s (t ) = f (t )δ T (t )
根据时域卷积定理
f1(t ) = F−1[F (ω)] = f (t ) ∗δT(t ) = f (t ) ∗ 1 =
∑δ (t − nT1) ω1 n=−∞
1
∞
∑ f (t − nT1) ω1 n=−∞
§3-8抽样信号的傅里叶变换与抽样定理
带通抽样信号是指采样频率小于信号最高频率的两倍但大于信号带宽的 两倍时得到的抽样信号，此时需要采用特定的重建滤波器才能恢复出原 始连续时间信号。
抽样信号的应用场景
抽样信号在数字信号处理中占有重要 地位，广泛应用于音频、视频、通信 等领域。
在视频处理中，通过对模拟视频信号 进行抽样和量化，可以将其转换为数 字视频信号，实现高清、无损的视频 传输和显示。
• 信号必须是带限的：即信号中不包含超过某一特定频率的成分。如果信号不是带限的，那么抽样后可能会导致 混叠现象，即高频成分被错误地识别为低频成分。
• 抽样过程必须是等间隔的：即每次抽样的时间间隔必须相等。如果抽样间隔不相等，那么恢复出的信号可能会 出现失真。
• 恢复滤波器必须是理想的：在实际应用中，由于滤波器的非理想特性，可能会导致恢复出的信号与原始信号存 在一定误差。因此，在设计抽样系统时需要考虑滤波器的性能及其对信号恢复的影响。
目的
通过实验掌握抽样信号的傅里叶变换 及抽样定理的基本原理和实现方法。
要求
能够熟练搭建抽样信号的实验系统， 正确设置实验参数，准确测量和分析 实验结果。
实验环境和设备
环境
实验室应具备良好的电磁屏蔽和接地措 施，避免外部干扰对实验结果的影响。
VS
设备
示波器、信号发生器、频谱分析仪等实验 设备，以及用于数据处理的计算机和相关 软件。
实验步骤和结果分析
01
步骤
02
1. 搭建抽样信号的实验系统，包括信号发生器、抽样电路和示
波器等。
2. 设置信号发生器的输出频率和幅度，产生原始信号。
03
实验步骤和结果分析
3. 通过抽样电路对原 始信号进行抽样，得 到抽样信号。
5. 使用频谱分析仪分 析抽样信号的频谱特 性。
抽样信号的应用场景
抽样信号在数字信号处理中占有重要 地位，广泛应用于音频、视频、通信 等领域。
在视频处理中，通过对模拟视频信号 进行抽样和量化，可以将其转换为数 字视频信号，实现高清、无损的视频 传输和显示。
• 信号必须是带限的：即信号中不包含超过某一特定频率的成分。如果信号不是带限的，那么抽样后可能会导致 混叠现象，即高频成分被错误地识别为低频成分。
• 抽样过程必须是等间隔的：即每次抽样的时间间隔必须相等。如果抽样间隔不相等，那么恢复出的信号可能会 出现失真。
• 恢复滤波器必须是理想的：在实际应用中，由于滤波器的非理想特性，可能会导致恢复出的信号与原始信号存 在一定误差。因此，在设计抽样系统时需要考虑滤波器的性能及其对信号恢复的影响。
目的
通过实验掌握抽样信号的傅里叶变换 及抽样定理的基本原理和实现方法。
要求
能够熟练搭建抽样信号的实验系统， 正确设置实验参数，准确测量和分析 实验结果。
实验环境和设备
环境
实验室应具备良好的电磁屏蔽和接地措 施，避免外部干扰对实验结果的影响。
VS
设备
示波器、信号发生器、频谱分析仪等实验 设备，以及用于数据处理的计算机和相关 软件。
实验步骤和结果分析
01
步骤
02
1. 搭建抽样信号的实验系统，包括信号发生器、抽样电路和示
波器等。
2. 设置信号发生器的输出频率和幅度，产生原始信号。
03
实验步骤和结果分析
3. 通过抽样电路对原 始信号进行抽样，得 到抽样信号。
5. 使用频谱分析仪分 析抽样信号的频谱特 性。
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1.矩形脉冲抽样
第 3
页
（1）抽样信号
f(t)
连 续 信 号 f t
抽样信号
fs t
o
t
p(t)
抽样脉冲
pt
o TS
t
连续:信f号 t
抽样脉冲 : p序 t 列
fS(t)
抽样 : fst信 ftp 号 t o TS
t
X
频谱关系 连续:信 ft号 ;
第 4 页
f t F ( m m )
抽样脉冲：序 pt列 pt P,
限带
信号
抽样:信 fst号
fst F s
fstftpt Fs21πFP
•越小，越能反刻 映之 离， 值 散从 时信号传输, 角
更关f心 st中有无 ft的全部信息，必 fst须 的考 频虑
谱结构。
X
第
抽样信号的频谱结构
5 页
F sF ftpt2 1 πF P
pt P2πP nns n
Ts
o m
事 业 单 位 人员 进行2017年 度 个人的 意义在 于使事 业单位 人员不 断提升 自身的 政 治 素 养 、 业务水 平和综 合能力 。以下 是小编 为大家 精心整 理的事 业单位 人员 2017年 度 ， 欢 迎 大 家阅读 。 事 业 单 位 人员 2017年 度个人 工作总 结一在 局领导 和 部 门 领 导 的正确 带领下 ，与同 事们的 齐心协 力、共 同努力 、大力 支持与 密切配 合 下 ， 使 我 的工作 取得了 一定的 成绩。 对于不 利于团 结的话 不说， 不力于 工作的 事 不 做 ， 对 于违法 的事坚 决不干 。现将 一年来 的工作 总结如 下： 一 、 学 习方 面 深 入 学 习科 学发展 观，并 且认真 学习邓 小平理 论和三 个代表 重要思 想、中 央 新 疆 工 作 座谈会 精神， 全面提 高了自 己的思 想道德 素质和 科学文 化素质 ;全心全 意 为 局 里 的 大事小 事服务 、处处 事事以 集体利 益为重 ，增强 了责任 感和自 觉性。 在 工 作 中 ， 通过学 习和实 践科学 发展观 ，以及 相关业 务知识 ，不断 提高自 己的综 合 素质。 二 、工作 方面 1、电 话方面 ：对待 上级部 门的来 电，问 清什么 事， 什 么 要 求 ， 及时向 领导汇 报。对 待北京 的来电 ，问清 什么事 ，都是 让他们 通过
X
二. 频域抽样
第 10
页
卷积
相乘
f 1 ( t ) 由 f ( t ) 以T 1
2 为间隔周期重复而成。无混叠条件：T1 2Tm
1
X
第
频域抽样数学关系
11
页
f(t) F()
F 1()F ()()
反傅里叶变换
()(n1)
n
1
1
n
(t
nT1 )
T1
2 1
F 1 ( ) 对应的时间函数为
f1(t)f(t)11n (tnT1)
1
1
n
f
(t
nT1)
F ()冲激抽样
导 致
f (t) 周期重复
X
X
2. 冲激抽样（理想抽样）
第 7
页
连 续信 号 f t
抽样信号
fs t
f t F ( m m )
pt P ,
抽样脉冲
T t
fst F s
p (t) T (t) (t ns)T s ( n s)
n
fs(t)f(t)T(t) f(nsT )(tnsT ) n
9 页
1
n
0时, Fs
1 Ts
F ,包
含原信号的全部信,息幅度
差Ts倍。
2 Fs以s为 周 期 的 连,续 有谱 s
新 的 频 率 成 ,即分 F的 周 期
F s
1 Ts o m s
性延拓。
3若接一个理想低器通其 ，滤增波益
为Ts 截止频率 mc s m
s m
s mm
滤除高频成分，现即原可信重号。
F s F ftT t 2 1 π F T T 1 sn F n s
X
第
(1)冲激抽样信号的频谱
8 页
f(t)
1 F
o
t
p (t)
o
m
m
P
(1) E
s
o TS
t
fS(t)
相 乘
s 卷 积
o s
F s
1
Ts
o TS
t
s o m s
X
第
(2)几点认识
pt的 谱P 系 nT 数 s San2s
P2πn T sSa n 2sns
FsTs
n
Sans
2
Fns
Ts
n
ห้องสมุดไป่ตู้Sans
2
Fns
X
频谱结构图
f(t)
第 6 页
1 F
o
t
p (t)
E
o Ts
t
f s t
相 乘
oT
t
o
m
m
P
E s 2π
so s
卷 积
E F s
§3.10 抽样信号的傅里叶变换
•时域抽样 •频域抽样
第
一. 时域抽样
2 页
抽样是从连续信号到离散信号的桥梁，也是对 信号进行数字处理的第一个环节。
抽样原理图：
f(t)
fs(t)
A /D f(n)
g(n) 数字
量 化 编滤 码波 器 D /A
g(t)
p(t)
周期 信号
需 解 决 : 由 f的 sf(st)t 能 问 F s 否 题 与 fF t恢 的 复 关 系 X