辽宁省重点中学协作体2015年高考模拟考试数学(理)试题及答案
2015年辽宁省沈阳市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z的共轭复数（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i2．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，4}，N＝{2，3}，则集合{5，6}等于（）A．M∪N B．M∩NC．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）3．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（）A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）5．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S n+2﹣S n＝36，则n＝（）A．5B．6C．7D．86．（5分）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2cm3D．4cm37．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．3B．﹣3C．1D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4B．5C．6D．79．（5分）由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．110．（5分）在△ABC中，若|+|＝|﹣|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则•＝（）A．B．C．D．11．（5分）函数y＝﹣的图象按向量＝（1，0）平移之后得到的函数图象与函数y＝2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的橫坐标之和等于（）A．2B．4C．6D．812．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（0）＝4，则不等式f（x）＞+1（e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．（5分）若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是．14．（5分）已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1＝．15．（5分）若直线l：+＝1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是．16．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A＝，AC＝4，AA1＝4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q＝3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值．三、解答题：（满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．（12分）已知函数f（x）＝2sin x sin（x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa（0＜λ≤1）．（Ⅰ）求证：对任意的λ＝（0，1]，都有AC⊥BE；（Ⅱ）若二面角C﹣BE﹣A的大小为120°，求实数λ的值．19．（12分）某综艺节目，所有参演的节日都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖，甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．（Ⅰ）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；（Ⅱ）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望．20．（12分）如图所示，椭圆C：+＝1（a＞b＞0），其中e＝，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且＝λ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．21．（12分）已知函数f（x）＝alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上e﹣e•x＜0恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB 于E，BD交AC于G，交CE于F，CF＝FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF＝FG．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α＝．（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|P A|•|PB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．2015年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z的共轭复数（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：由（1﹣i）z＝2i，得＝，∴．故选：B．2．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，4}，N＝{2，3}，则集合{5，6}等于（）A．M∪N B．M∩NC．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）【解答】解：∵5∉M，5∉N，故5∈∁U M，且5∈∁U N．同理可得，6∈∁U M，且6∈∁U N，∴{5，6}＝（∁U M）∩（∁U N），故选：D．3．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（）A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）【解答】解：由题意知，y＝4ax2（a≠0），则x2＝，所以抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（0，），故选：C．5．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S n+2﹣S n＝36，则n＝（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：由S n+2﹣S n＝36，得：a n+1+a n+2＝36，即a1+nd+a1+（n+1）d＝36，又a1＝1，d＝2，∴2+2n+2（n+1）＝36．解得：n＝8．故选：D．6．（5分）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2cm3D．4cm3【解答】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故，故选：B．7．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．3B．﹣3C．1D．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z＝2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选：A．8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件S＝0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．第一次运行：满足条件，s＝1，k＝1；第二次运行：满足条件，s＝3，k＝2；第三次运行：满足条件，s＝11＜100，k＝3；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：s＝1+2+8+211＞100，k＝4，不满足判断框的条件，退出循环．故最后输出k的值为4．故选：A．9．（5分）由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．1【解答】解：由曲线y＝x2，y＝，联立，因为x≥0，所以解得x＝0或x＝1所以曲线y＝x2与y＝所围成的图形的面积S＝∫01（﹣x2）dx＝﹣x3|01＝故选：B．10．（5分）在△ABC中，若|+|＝|﹣|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则•＝（）A．B．C．D．【解答】解：若|+|＝|﹣|，则＝，即有＝0，E，F为BC边的三等分点，则＝（+）•（+）＝（）•（）＝（+）•（+）＝++＝×（1+4）+0＝．故选：B．11．（5分）函数y＝﹣的图象按向量＝（1，0）平移之后得到的函数图象与函数y＝2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的橫坐标之和等于（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：函数y＝﹣的图象按向量＝（1，0）平移之后得到函数y1＝，y2＝2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图：当1＜x≤4时，y1＜0，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H，相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D，且：x A+x H＝x B+x G═x C+x F＝x D+x E＝2，故所求的横坐标之和为8，故选：D．12．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（0）＝4，则不等式f（x）＞+1（e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：不等式f（x）＞+1可化为e x f（x）﹣e x﹣3＞0；令F（x）＝e x f（x）﹣e x﹣3，则F′（x）＝e x f（x）+e x f′（x）﹣e x＝e x（f（x）+f′（x）﹣1）；∵f（x）+f′（x）＞1，∴e x（f（x）+f′（x）﹣1）＞0；故F（x）＝e x f（x）﹣e x﹣3在R上是增函数，又∵F（0）＝1×4﹣1﹣3＝0；故当x＞0时，F（x）＞F（0）＝0；故e x f（x）﹣e x﹣3＞0的解集为（0，+∞）；即不等式f（x）＞+1（e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）；故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．（5分）若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是y＝x．【解答】解：双曲线E的标准方程是，则a＝2，b＝1，即有渐近线方程为y＝x，即为y＝x．故答案为：y＝x．14．（5分）已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1＝．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2＝8，公比为，所以，故答案为．15．（5分）若直线l：+＝1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2．【解答】解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴＝1，∴a+b＝（a+b）（）＝3+≥3+2，当且仅当b＝a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．16．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A＝，AC＝4，AA1＝4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q＝3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值．【解答】解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4），P（2，2，1），＝＝（0，4，4）＝（0，1，1），∴Q（0，1，1），＝（0，﹣4，0），＝（﹣2，﹣1，0），设异面直线PQ与AC所成角为θ，cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，∴sinθ＝＝．故答案为：．三、解答题：（满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．（12分）已知函数f（x）＝2sin x sin（x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．【解答】解：（1）f（x）＝2sin x sin（x+）＝2sin x（sin x+cos x）＝sin2x+sin x cos x＝+sin2x＝+sin（2x﹣）则函数f（x）的最小正周期T＝＝π，由2k≤2kπ+，k∈Z，解得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，则f（x）的值域为[0，1+]．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa（0＜λ≤1）．（Ⅰ）求证：对任意的λ＝（0，1]，都有AC⊥BE；（Ⅱ）若二面角C﹣BE﹣A的大小为120°，求实数λ的值．【解答】（I）证明：以D为原点，DA，DC，DS为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D（0，0，0），E（0，0，λa），，…（3分）∴对任意λ∈（0，1]都成立，即AC⊥BE恒成立．…（5分）（II）解：设平面ABE的一个法向量为，∵，∴，取z1＝1，则x1＝λ，．…（7分）设平面BCE的一个法向量为，∵，取z2＝1，则y2＝λ，，…（9分）∵二面角C﹣AE﹣D的大小为120°，∴|cos＜，＞|＝，∴λ＝1为所求．…（12分）19．（12分）某综艺节目，所有参演的节日都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖，甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．（Ⅰ）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；（Ⅱ）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望．【解答】解：（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A，则事件A包含该节目可以获2张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”，∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为，且三人投票相互没有影响，∴某节目的投票结果是最终获一等奖的概率：P（A）＝＝．（2）所含“获奖”和“待定”票数之和X的值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：E（X）＝＝2．20．（12分）如图所示，椭圆C：+＝1（a＞b＞0），其中e＝，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且＝λ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．【解答】解：（I）由条件可知，c＝1，a＝2，故b2＝a2﹣c2＝3，椭圆的标准方程是．（II）由，可知A，B，M三点共线，设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝4，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣4）．由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0．①由①的判别式△＝322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＝144（1﹣4k2）＞0，解得，，由，可得，即有．将代入方程①，得7x2﹣8x﹣8＝0，则x1＝，x2＝．又因为，，，所以，所以λ＝．21．（12分）已知函数f（x）＝alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上e﹣e•x＜0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（I），，a＝4．…（2分）（Ⅱ）令．…（4分）令g'（x）＞0，即，解得x＞1，所以g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．所以g（x）最小值为g（1）＝0，所以．…（6分）（Ⅲ）由题意可知，化简得，a＞．…（8分）令h（x）＝，则h′（x）＝，∴．…（9分）由（Ⅱ）知，在x∈（1，e）上，lnx﹣1+＞0，∴h′（x）＞0，即函数h（x）在（1，e）上单调递增，∴h（x）＜h（e）＝e﹣1．…（11分），∴a≥e﹣1．…（12分）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB 于E，BD交AC于G，交CE于F，CF＝FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF＝FG．【解答】解：（I）∵CF＝FG∴∠CGF＝∠FCG∵AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA＝∠ACE∵∠CGF＝∠DGA∴∴∠CAB＝∠DAC∴C为劣弧BD的中点（5分）（II）∵∴∠GBC＝∠FCB∴CF＝FB又因为CF＝GF∴BF＝FG（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α＝．（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|P A|•|PB|的值．【解答】解：（I）消去θ，得圆的标准方程为x2+y2＝16．…（2分）直线l的参数方程为，即（t为参数）…（5分）（Ⅱ）把直线的方程代入x2+y2＝16，得（1+t）2+（2+t）2＝16，即t2+（2+）t﹣11＝0，…（8分）所以t1t2＝﹣11，即|P A|•|PB|＝11．…（10分）【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当x≥4时，f（x）＝2x+1﹣（x﹣4）＝x+5＞0，得x＞﹣5，所以x≥4成立；当﹣≤x＜4时，f（x）＝2x+1+x﹣4＝3x﹣3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4成立；当x＜﹣时，f（x）＝﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}；（2）令F（x）＝f（x）+3|x﹣4|＝|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|＝9，当﹣时等号成立．即有F（x）的最小值为9，所以m≤9．即m的取值范围为（﹣∞，9]．。
辽宁省重点中学协作体2015年高考模拟考试理科综合试卷 Word版含答案
辽宁省重点中学协作体2015年高考模拟考试理综试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
共300分。
考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，监考员答题卡收回。
可能用到的相对原子质量：H-l C-12 O-16 Ca-40 Cl-35．5 Ni-59第I卷一、选择题；本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于细胞中元素和化合物的说法正确的是（）A．蔗糖和乳糖水解的产物都是葡萄糖B．蛋白质因具有催化、运输、供能、免疫等功能，被称为“生命活动的主要承担者”C．有细胞结构的生物遗传物质是DNA病毒的遍传物质是DNA或RNAD．N A是一种大量元素，叶绿体的色素中都含有Mg元素2．下列关于生命活动现象的表述，不正确的是（）A．变形虫有用于收集和排泄废物的伸缩泡，增大了膜表面积与体积的比值B．洋葱根尖分生区细胞可以进行有丝分裂，其中“丝”是指纺锤丝C．癌细胞在体外培养时形态发生改变，细胞衰老时体积不变D．细胞凋亡对于抵抗外界各种因素的干扰起关键作用3．下列现象可能会导致全身或局部组织液减少的是（）A．长期蛋白质摄入不足B．局部皮肤接触过敏原C．淋巴管中有丝虫寄生D．体内产生大量抗利尿激素的抗体4．染色体由DNA和蛋白质构成，其结构组成如图。
下列有关说法，正确的是（）A．染色体易被碱性染料龙胆煺或醋酸洋红染成深色转图中染色体上含有一条双链DNA分子C．染色单体在细胞周期中形成并出现于分裂前期D．人体细胞中的DNA都分布在染色体上5．下列关予生物学实验及研究方法的叙述，正确的有（）①斐栋试剂及双缩脲试剂都需要将两神液体先混台后使用②健郧绿是活细胞染液，可将人的口腔k_皮细胞中的线粒体染成蓝绿色③由于叶绿体中色素易溶于有机溶剂，所以可以用无水乙醇提取和分离叶绿体中的色素④利用洋葱根尖分生区观察有丝分裂时，需对根尖解离，其目的是使细胞分离⑤鲁宾和卡门利用同位素标记法进籽观察，证明光食作用释放的氧气来自子水⑥赫尔希和蔡斯进行噬菌体侵染细菌实验时分别用匏P和驽标记噬菌体中的DNA和蛋白质⑦用样方法调查双子叶草本植物时，取样的关键是在调查对象较多的地方取样A．①②④⑤B．②④⑤⑥C．②③⑥⑦D．③④⑤⑦6．鄱阳湖是中国第一大淡7湖，在枯水期从湖岸到湖水区依次分布有：芦苇、南荻、苔荤、鹬革等湿生植物。
辽宁省重点中学协作体高考数学模拟试卷理(含解析)
辽宁省重点中学协作体2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题．本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设R为实数集，集合A={x|x2＞4}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，则∁R（A∩B}=（）A．{x|x≤﹣2或x≥2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|x≤2或x≥3} D．{x|x≤1或x≥3}2．（5分）已知复数z=，则|z|=（）A．1 B．C．D．3．（5分）函数f（x）=sin（2x+）所对应的图象向左平移个单位后的图象与y轴距离最近的对称轴方程为（）A．x=B．x=﹣C．x=﹣D．x=4．（5分）己知数列{a n}的首项a1=1且a n﹣a n+1=a n a n+1，（n∈N+），则a2015=（）A．B．C．﹣D．5．（5分）由y=﹣1，y=0，x=2所对应的曲线围成的封闭图形的面积为（）A．ln2﹣B．﹣ln2 C．1﹣ln2 D．ln2﹣16．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为（）A．π+4πB．36π+2πC．32π+2πD．44π+2π7．（5分）同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A．20 B．25 C．30 D．408．（5分）若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为{1，2，3，4}中不同元素；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的．则满足①②条件的矩阵的个数为（）A．48 B．72 C．144 D．2649．（5分）下列四个命题：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线③命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题④已知点A（﹣1，0），B（1，0），若|PA|﹣|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线的一支其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）已知向量，为单位向量，•=，向量满足﹣与﹣的夹角为，则|﹣|的最大值为（）A．B．4 C．D．211．（5分）抛物线y2=4x，直线l经过该抛物线的焦点F与抛物线交于A、B两点（A点在第一象限），且=4，则三角形AOB（O为坐标原点）的面积为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=ax2+2（2a﹣1）x+4a﹣7其中a∈N*，设x0为f（x）的一个零点，若x0∈Z，则符合条件的a的值有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应题号后的横线上13．（5分）二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为．14．（5分）设{a n}为等比数列，其中a4=2，a5=5，阅读如图所示的程序框图，则输出结果s为．15．（5分）将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是．16．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．若∠BPC=90°，PB=，PC=2则四棱锥P﹣ABCD的体积最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）己知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的最小正周期为万，点（，0）为它的图象的一个对称中心．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若f（﹣）=，a=3，求b+c的最大值．18．（12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为疗）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量月和频率分布直方图中x，y的值；（Ⅱ）把在[60，70），[70，80），[80，90）的成绩分组的学生按分层抽样的方法抽取8人．求[60，70），[70，80），[80，90）成绩分组中各应该抽取的人数；（Ⅲ）在（II）中的8人中随机抽取4名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，记X为成绩在[60，70）的人数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，四棱锥层﹣ABCD中，平面EAD⊥ABCD，CD∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED．且AB=4，BC=CD=EA=ED=2（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADE；（Ⅱ）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F，使得平面BDF上平面CDE？如果存在点F，t请指出点F 的位置；如果不存在，请说明理由．20．（12分）如图，两条过原点．D的直线l1，l2分别与x轴、y轴正方向成30°的角，点P （x1，y1）在直线l1上运动，点Q（x2，y2）在直线l2上运动，且线段PQ的长度为2．（I）若x=x1 y=x2，求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）过（﹣1，0）的直线l与（I）中轨迹C相交于A，B两点，若△ABO的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．21．（12分）己知二次函数f（x）=ax2+bx+1，其中a，b∈R，g（x）=ln（ex），且函数F（x）=f（x）﹣g（x）在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a，b所满足的关系；（Ⅱ）试判断是否存在a∈（﹣2，0）∪（0，2），使得对∀x∈[1，2]，不等式（x+a）F（x）≥0恒成立？如果存在，请求出符合条件的a的所有值；如果不存在，说明理由．考生在第22、23、24题中任送-道作答，并糟28铅笔将答趣卡上所选的题目对反的题号右侧方框涂黑，按废涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的酋题进行评分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，CE⊥AB于点H，与⊙O交于点C、D，且AB=10，CD=8，DE=4，EF与⊙O切于点F，BF与HD交于点G．（Ⅰ）证明：EF=EG；（Ⅱ）求GH的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．己知曲线C l的参数方程为（t为参数），已知曲线C2的极坐标方程为=1．（1）写出曲线C1、C2的直角角坐标方程．（2）若曲线C1和C2有旦只有一个公共点，求实数m的值．选修4-5：不等式逡讲24．（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．辽宁省重点中学协作体2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题．本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设R为实数集，集合A={x|x2＞4}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，则∁R（A∩B}=（）A．{x|x≤﹣2或x≥2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|x≤2或x≥3} D．{x|x≤1或x≥3}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合A，B的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可解答：解：A={x|x2＞4}={x|x＞2或x＜﹣2}，B={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，则A∩B={x|2＜x＜3}，则∁R（A∩B}={x|x≤2或x≥3}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知复数z=，则|z|=（）A．1 B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的除法运算化简复数z，则|z|可求．解答：解：∵z==，∴|z|==1．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．（5分）函数f（x）=sin（2x+）所对应的图象向左平移个单位后的图象与y轴距离最近的对称轴方程为（）A．x=B．x=﹣C．x=﹣D．x=考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得平移后的函数为y=cos （2x+），再根据余弦函数的图象的对称性求得它的对称轴方程，可得平移后的图象与y轴距离最近的对称轴方程．解答：解：函数f（x）=sin（2x+）所对应的图象向左平移个单位后的图象对应的函数解析式为y=sin[2（x+）+]=cos（2x+），令2x+=kπ，求得 x=﹣，k∈z，可得与y轴距离最近的对称轴方程为x=﹣，故选：B．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．4．（5分）己知数列{a n}的首项a1=1且a n﹣a n+1=a n a n+1，（n∈N+），则a2015=（）A．B．C．﹣D．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过a n﹣a n+1=a n a n+1可知数列{}是以首项和公差均为1的等差数列，计算即可．解答：解：∵a n﹣a n+1=a n a n+1，∴，又∵a1=1，∴=1，∴数列{}是以首项和公差均为1的等差数列，∴=1+（n﹣1）=n，∴=2015，∴a2015=，故选：D．点评：本题考查数列的递推式，熟练变形利用等差数列的通项公式是解题的关键，属于中档题．5．（5分）由y=﹣1，y=0，x=2所对应的曲线围成的封闭图形的面积为（）A．ln2﹣B．﹣ln2 C．1﹣ln2 D．ln2﹣1考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的概念及应用．分析：求出积分的上限和下限，利用积分的几何意义进行求解即可．解答：解：由y=﹣1=0，解得x=1，则对应封闭曲线的面积S=[0﹣（﹣1）]dx=（x﹣lnx）|=2﹣ln2﹣（1﹣ln1）=1﹣ln2，故选：C．点评：本题主要考查曲线面积的求解，利用积分的几何意义求积分是解决本题的关键．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为（）A．π+4πB．36π+2πC．32π+2πD．44π+2π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先根据三视图把该几何体的复原图整理出来，进一步利用立体图的相关的数据求出结果．解答：解：根据三视图得知：该几何体是由下面是一个半径为4的半球，上面是一个底面半径为2，高为3的圆锥构成的组合体．首先求出上面圆锥的侧面展开面的半径r=圆锥的底面周长为l=4π，所以圆锥的侧面面积为：s1=，剩余的侧面面积为：s2=2π•16+16π﹣4π=44π，所以组合体的侧面面积为：s=s1+s2=44π+2故选：D点评：本题考查的知识要点：三视图与立体图形之间的转换，组合图的侧面展开图的侧面积的求法．主要考查学生的空间想象能力．7．（5分）同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A．20 B．25 C．30 D．40考点：离散型随机变量的期望与方差．分析：根据古典概型公式得到5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率，而事件发生的概率是相同的，各次试验中的事件是相互独立的，得到服从二项分布，用公式求出期望．解答：解：∵抛掷﹣次，正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为，∵5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率是相同的，且各次试验中的事件是相互独立的，∴ξ服从二项分布，∴．故选B．点评：二项分布要满足的条件：每次试验中，事件发生的概率是相同的，各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．8．（5分）若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为{1，2，3，4}中不同元素；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的．则满足①②条件的矩阵的个数为（）A．48 B．72 C．144 D．264考点：几种特殊的矩阵变换．专题：排列组合．分析：通过排列组合知识计算即可．解答：解：∵恰有两列的上下两数相同，∴取这两列有种，从1、2、3、4中取2个数排这两列，有种，排另外两列有种，∴共有×（+）=144种，故选：C．点评：本题考查频率组合知识，注意解题方法的积累，属于中档题．9．（5分）下列四个命题：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线③命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题④已知点A（﹣1，0），B（1，0），若|PA|﹣|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线的一支其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①由正态分布的对称性可得；P（ξ＞2）=，即可判断出正误；②利用回归直线的意义即可判断出正误；③其逆否命题正确，即可判断出原命题的正误；④由已知可得：动点P的轨迹为一条射线，即可判断出正误．解答：解：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）==0.1，因此不正确；②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线，不正确；③命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”的逆否命题“x=2且y=1，则x+y=2”是真命题，正确；④已知点A（﹣1，0），B（1，0），若|PA|﹣|PB|=2，则动点P的轨迹为一条射线，因此不正确．其中正确命题的个数为1．故选：A．点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、正态分布的对称性、回归直线、命题之间的关系、双曲线的定义，考查了推理能力，属于中档题．10．（5分）已知向量，为单位向量，•=，向量满足﹣与﹣的夹角为，则|﹣|的最大值为（）A．B．4 C．D．2考点：单位向量；绝对值不等式的解法．专题：平面向量及应用．分析：由•=，向量，为单位向量，可得=．设，，．由向量满足﹣与﹣的夹角为，可得∠ACB=．由等边三角形OAB，点C在AB外且∠ACB 为定值，可得C的轨迹是两段圆弧，∠ACB是AB所对的圆周角．因此：当AC时是弧所在圆（上述圆弧）的直径时，|﹣|取得最大值．解答：解：∵•=，向量，为单位向量，∴=，∴=．设，，．∵向量满足﹣与﹣的夹角为，∴∠ACB=．由等边三角形OAB，点C在AB外且∠ACB为定值，可得C的轨迹是两段圆弧，∠ACB是AB所对的圆周角．可知：当AC时是弧所在圆（上述圆弧）的直径时，|﹣|取得最大值，在△ABC中，由正弦定理可得：=2．∴|﹣|取得最大值是2．故选：D．点评：本题考查了向量的数量积运算性质、向量的减法运算及其几何意义、圆的性质、直角三角形的边角关系，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．11．（5分）抛物线y2=4x，直线l经过该抛物线的焦点F与抛物线交于A、B两点（A点在第一象限），且=4，则三角形AOB（O为坐标原点）的面积为（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点，设直线l为x=my+1，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到．解答：解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），设直线l为x=my+1，代入抛物线方程可得，y2﹣4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，由=4，可得y1=﹣3y2，由代入法，可得m2=，又△AOB的面积为S=|OF|•|y1﹣y2|===．故选C．点评：本题考查直线和抛物线的位置关系，主要考查韦达定理和向量的共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=ax2+2（2a﹣1）x+4a﹣7其中a∈N*，设x0为f（x）的一个零点，若x0∈Z，则符合条件的a的值有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：分离参数a=（x≠﹣2）．a∈N*，得出≥1，根据题意验证即可．解答：解：ax2+2（2a﹣1）x+4a﹣7=0a=（x≠﹣2）．a∈N*因为a∈N*，所以≥1，解得﹣3≤x≤1（x≠﹣2）．由x0∈Z知x0=﹣3，﹣1，0，1．当x0=﹣3时，a=1；当x0=﹣1时，a=5；当x0=0时，a=∉N*；当x0=1时，a=1．故符合条件的a的值有2个．故选：B．点评：本题考查了分离参数求解问题，利用分离，特殊值验证的方法，难度不大，但是学生必需想到这种方法．二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应题号后的横线上13．（5分）二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为5．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0方程有解．由于n，r都是整数求出最小的正整数n．解答：解：展开式的通项为T r+1=C n r x3n﹣5r令3n﹣5r=0据题意此方程有解∴当r=3时，n最小为5故答案为：5点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档题．14．（5分）设{a n}为等比数列，其中a4=2，a5=5，阅读如图所示的程序框图，则输出结果s为4．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求s=lga1+lga2+lga3+…+lga8的值，由已知求出等比q，和数列各项，利用对数运算法则即可求解．解答：解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求s=lga1+lga2+lga3+…+lga8的值，∵{a n}为等比数列，其中a4=2，a5=5，∴等比q=，∴可得：s=lg+lg+lg+lg2+lg5+lg+lg+lg=4lg2﹣3lg5+3lg2﹣2lg5+2lg2﹣lg5+lg2+lg5+2lg5﹣lg2+3lg5﹣2lg2+4lg5﹣3lg2=4lg2+4lg5=4lg10=4．故答案为：4．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了对数的运算，属于基本知识的考查．15．（5分）将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对立事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率．解答：解：画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，如图．三角形ABC的面积为S1=×3×4=6，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2=π所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P=1﹣=．故答案为：．点评：本题考查几何概型概率公式、对立事件概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．16．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．若∠BPC=90°，PB=，PC=2则四棱锥P﹣ABCD的体积最大值为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，作PO⊥AD，垂足为O，作OG⊥BC，垂足为G，连接GP．利用面面垂直的性质定理可得：PO⊥平面ABCD．在Rt△BPC中，可得．设AB=x，则OG=x，可得PO=，利用V P﹣ABCD=，及其基本不等式的性质即可得出．解答：解：如图所示，作PO⊥AD，垂足为O，作OG⊥BC，垂足为G，连接GP．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．在△BPC中，∵∠BPC=90°，PB=，PC=2，∴BC==．∴=．设AB=x，则OG=x，PO==，∴V P﹣ABCD==x，∴V2==，当且仅当时取等号．∴V P﹣ABCD≤．点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、直角三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）己知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的最小正周期为万，点（，0）为它的图象的一个对称中心．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若f（﹣）=，a=3，求b+c的最大值．考点：余弦定理；余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）由已知及周期公式可求ω，由为f（x）的图象的对称中心，且0＜φ＜可求φ，可得函数解析式，，即可解得f（x）的单调递增区间（Ⅱ）由f（﹣）=结合A的范围可求得A的值，由余弦定理可求得：a2=（b+c）2﹣3bc，从而有，利用基本不等式即可求得b+c的最大值．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）的最小正周期T=π，∴ω=2，∵为f（x）的图象的对称中心，∴，…（4分）∴，可解得：，k∈Z．故．…（6分）（Ⅱ）∵，∵，…（9分）∵a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc，∴，∴b+c≤6，当且仅当b=c=3时取等号．故b+c的最大值为6…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，基本不等式的应用，考查了三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18．（12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为疗）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量月和频率分布直方图中x，y的值；（Ⅱ）把在[60，70），[70，80），[80，90）的成绩分组的学生按分层抽样的方法抽取8人．求[60，70），[70，80），[80，90）成绩分组中各应该抽取的人数；（Ⅲ）在（II）中的8人中随机抽取4名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，记X为成绩在[60，70）的人数，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由样本容量和频数频率的关系能求出样本容量n和频率分布直方图中的x、y 的值．（Ⅱ）利用分层抽样，可得分组中各应该抽取的人数；（Ⅲ）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列及数学期望．解答：解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量n==50，y==0.004，x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030…（3分）（Ⅱ）在[60，70），[70，80），[80，90）成绩分组的学生分别为15人，20人，5人，现要按分层抽样抽取8人，则在[60，70），[70，80），[80，90）成绩分组中各抽取3人，4人，1人…（6分）（Ⅲ）X=0，1，2，3P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．X的分布列为：X 0 1 2 3P…（10分）．∴EX=0×+1×+2×+3×=…（12分）点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查随机变量X的分布列及数学期望的求法，是中档题．19．（12分）如图，四棱锥层﹣ABCD中，平面EAD⊥ABCD，CD∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED．且AB=4，BC=CD=EA=ED=2（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADE；（Ⅱ）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F，使得平面BDF上平面CDE？如果存在点F，t请指出点F 的位置；如果不存在，请说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）由已知可求BD，AD的值，由勾股定理可证BD⊥AD，又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，即可证明BD⊥平面ADE．（2）如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，设平面CDE的法向量，由求得，设直线BE与平面CDE所成的角为α，即可求sinα=|cos＜，＞|的值．（3）设，λ∈[0，1]，得=（2λ﹣1，﹣λ+1，λ），设平面BDF的法向量，由可求，由平面CDE的法向量，且平面BDF⊥平面CDE，可得解得，从而得解．解答：解：（1），又AB=4，所以BD⊥AD，又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ADE．…（4分）（2）如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则有：D（0，0，0），B（0，2，0），C（﹣，，0），E（，0，），=（，﹣2，），=（，0，），=（﹣，，0），设平面CDE的法向量，，设直线BE与平面CDE所成的角为α，得：sinα=|cos＜，＞|==，即直线BE与平面CDE所成的角的正弦值为…（8分）（3）设，λ∈[0，1]，得=（﹣，，0），=（2，﹣，），=（0，2，0），所以=（2λ﹣1，﹣λ+1，λ），设平面BDF的法向量，，∴，…（10分）因为平面CDE的法向量，且平面BDF⊥平面CDE，所以，所以，故在线段CE上存在一点F（靠近C点处的三等分点处），使得平面BDF⊥平面CDE．…（12分）点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力和推论论证能力及转化思想，属于中档题．20．（12分）如图，两条过原点．D的直线l1，l2分别与x轴、y轴正方向成30°的角，点P （x1，y1）在直线l1上运动，点Q（x2，y2）在直线l2上运动，且线段PQ的长度为2．（I）若x=x1 y=x2，求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）过（﹣1，0）的直线l与（I）中轨迹C相交于A，B两点，若△ABO的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过将点P、Q分别代入l1、l2，利用已知条件计算即可；（Ⅱ）当直线l垂直于x轴时，易得S△AOB=，不符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），k≠0，并与椭圆方程联立，利用韦达定理、点到直线的距离计算即可．解答：解：（Ⅰ）根据题意可得：l1：y=x，l2：y=﹣x，∵点P（x1，y1）在直线l1上运动，点Q（x2，y2）在直线l2上运动，∴y1=x1，y2=﹣x2，又由已知得：l1⊥l2，且|PQ|=2，∴+=4，化简得：+=1，由x=x1 ，y=x2，可得，，∴动点M（x，y）的轨迹C的方程为：+=1；（Ⅱ）当直线l垂直于x轴时，得A（﹣1，）、B（﹣1，﹣），此时S△AOB=•|AB|•|OF1|=×3×1=，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），k≠0，联立，消去y得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0．显然△＞0成立，设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1•x2=．又|AB|====，即|AB|=，又圆O的半径r==，所以S△AOB=•|AB|•r=••=．化简得17k4+k2﹣18=0，即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得=1，=﹣（舍），∴r==，故圆O的方程为：x2+y2=．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．（12分）己知二次函数f（x）=ax2+bx+1，其中a，b∈R，g（x）=ln（ex），且函数F（x）=f（x）﹣g（x）在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a，b所满足的关系；（Ⅱ）试判断是否存在a∈（﹣2，0）∪（0，2），使得对∀x∈[1，2]，不等式（x+a）F（x）≥0恒成立？如果存在，请求出符合条件的a的所有值；如果不存在，说明理由．考点：函数恒成立问题；二次函数的性质．专题：分类讨论；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求出F（x）的导数，由题意可得F′（1）=2a+b﹣1=0，令导数为0，即可得到a，b的关系；（Ⅱ）对a讨论，当0＜a＜2时，当a∈（﹣2，0）且a≠﹣时ⅰ）若﹣＜1即﹣2＜a＜﹣时，ⅱ）若1＜﹣＜2即﹣＜a＜﹣时，ⅲ）若﹣≥2即﹣≤a＜0时，运用单调性求得最值，即可得到a的范围．解答：解：（Ⅰ）F（x）=ax2+bx+1﹣ln（ex），F′（x）=2ax+b﹣，由F（x）在x=1处取极值，则F′（1）=2a+b﹣1=0，F′（x）===0，解得x1=﹣，x2=1且x1≠x2，a≠﹣，∴为a，b所满足的关系；（Ⅱ）F（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣lnx，当0＜a＜2时，由x∈[1，2]，且（x+a）F（x）≥0，则F（x）≥0，F′（x）=≥0，F（x）在[1，2]增，F（x）≥F（1）=1﹣a≥0即可，即有a∈（0，1]，当a∈（﹣2，0）且a≠﹣时，x1=﹣，x2=1，ⅰ）若﹣＜1即﹣2＜a＜﹣时，F（x）在[1，2]单调递减，即0＜2﹣ln2≤F（x）≤1﹣a，即x+a≥0即a≥﹣x，可得a≥﹣1，故可得 a∈[﹣1，﹣）．ⅱ）若1＜﹣＜2即﹣＜a＜﹣时，F（x）在区间（1，﹣）上单调递增，在区间（﹣，2）上单调递减．F（x）≥F（1）=1﹣a＞0，F（x）≥F（2）=2﹣ln2＞0，即有（x+a）F（x）≥0恒成立，则a∈（﹣，﹣）．ⅲ）若﹣≥2即﹣≤a＜0时，F（x）在[1，2]增，且（x+a）F（x）≥0恒成立，即有a∈[﹣，0），综上a的取值范围是[﹣1，﹣）∪（﹣，0）∪（0，1]．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查单调区间的求法和运用，同时考查分类讨论的思想方法和不等式恒成立思想，属于中档题．考生在第22、23、24题中任送-道作答，并糟28铅笔将答趣卡上所选的题目对反的题号右侧方框涂黑，按废涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的酋题进行评分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，CE⊥AB于点H，与⊙O交于点C、D，且AB=10，CD=8，DE=4，EF与⊙O切于点F，BF与HD交于点G．（Ⅰ）证明：EF=EG；（Ⅱ）求GH的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：（Ⅰ）证明：连接 AF、OE、OF，则A，F，G，H四点共圆，证明∠FGE=∠BAF=∠EFG，即可证明EF=EG；（Ⅱ）求出EG，EH，即可求GH的长．解答：（Ⅰ）证明：连接 AF、OE、OF，则A，F，G，H四点共圆由EF是切线知OF⊥E F，∠BAF=∠EFG∵CE⊥AB于点H，AF⊥BF，∴∠FGE=∠BAF∴∠FGE=∠EFG，∴EF=EG…（5分）（Ⅱ）解：∵OE2=OH2+HE2=OF2+EF2，∴EF2=OH2+HE2﹣OF2=48，∴EF=EG=4，∴GH=EH﹣EG=8﹣4…（10分）点评：本题考查圆的内接四边形的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．选修4-4：坐标系与参数方程23．己知曲线C l的参数方程为（t为参数），已知曲线C2的极坐标方程为=1．（1）写出曲线C1、C2的直角角坐标方程．（2）若曲线C1和C2有旦只有一个公共点，求实数m的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）直接把参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程．（2）利用点到直线的距离等于半径求出参数及利用直线的特殊性求出结果．解答：解：（1）C曲线C l的参数方程为（t为参数），转化为直角坐标方程为：y=mx﹣2m﹣1．曲线C2的极坐标方程为=1．转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0（y≠0）（2）当曲线C1和C2有旦只有一个公共点，即：直线与圆相切时，∴当直线过（0，0）点时∴综上所述：点评：本题考查的知识要点：参数方程与直角坐标方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线和圆相切的充要条件的应用，主要考查学生的应用能力．选修4-5：不等式逡讲24．（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数单调性的性质．专题：压轴题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．（Ⅱ）不等式化即1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，由此解得a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则 y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a ﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，函数的单调性的应用，体现了数形结合以及转化的数学思想，属于中档题．。
辽宁省重点中学协作体2015年高考模拟考试数学(理)试题(附答案)(附答案)
辽宁省重点中学协作体2015年高考模拟考试数学（理）试题第I卷一、选择题。
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．设R为实数集，集合=2．已知复数A．1 B．C．D．3．函数所对应的图象向左平移署个单位后的图象与y轴距离最近的对称轴方程为4．己知数列5．由所对应的曲线围成的封闭图形的面积为6．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为7．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为，则的数学期望是（）A．20 B．25 C．30 D．408．若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数均为集合{1，2，3，4}中不同元素；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的，则满足①②条件的矩阵的个数为A．48 B．72 C．144 D．264;9．下列四个命题：①己知服从正态分布②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线③命题冉已知”是真命题④已知点则动点P的轨迹为双曲线的一支其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知向量为单位向量，最大僮为（）A．B．4 C．D．211．抛物线，直线l经过该抛物线的焦点F与抛物线交予A，B两点（A点在第一象限），且，则三角形AOB（O为坐标原点）的甄积为（）12．已知函数的一个零点，若，则符合条件的露的值有（）A．l个B．2个C．3个D．无数个第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第1 3题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22题～第24题为选考题，考生依据要求作答。
二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在答题卡相应题号后的横线上13．的展开式中含有非零常数项，则正整数刀的最小值为．14．设{}为等比数列，其中a4=2，a5=5，阅读如图所示的程序框图，则输出结果s为____．15．将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是____．16．如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．若则四棱锥P-ABCD的体积最大值为____三、解答题：本大题共6小题，共70分。
2015辽宁省重点中学协作体高考模拟考试理科综合扫描版
2015年辽宁省重点中学协作体高考模拟考试理科综合试卷参考答案一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
1.C2.C3.D4.A5.B6.B7.C 8.C 9.A 10.A 11.C 12.C 13.B14.B 15.C 16.B 17.D 18.C 19.ABD 20.BC 21.AC三、非选择题：包括必考题和选考题两部分。
第22题～第32题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第33题～第40题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题（共129分）22.(1) 1.326 （2）不需要 （3）AC23.(1) ABD （少选或错选不得分） (2) 如图 (3)21222)(I I R R I A -+ ，I 1、I 2分别为电流表A 1、A 2的读数 评分标准：电路图3分，其余每空2分，共15分。
24（14分）解：(1) 粒子在电场中加速qE=ma ① 221at L =② 得qEmL t 2= ③ (2) 设粒子经电场加速后的速度为v ，根据动能定理有 qEL=21mv 2 ④ 得 mqEL v 2= ⑤ 粒子在磁场中完成了如图所示的部分圆运动，设其半径为R ，因洛仑兹力提供向心力， 所以有Rm v Bqv 2= ⑥ 由几何关系得︒=30tan R r ⑦ 所以232qrmEL B = ⑧ 评分标准：⑤ ⑦ 每式1分，其余每式2分；若结果正确，⑤式可以没有。
25.（18分）解：（1）小球在最高点A 处 ，根据牛顿第三定律可知轨道对小球的压力根据牛顿第二定律 Rmv mg F A N 2=+ ②26（15分）(1) H 2SO 4（1分）； Na 2SO 3+ 2NaClO 3＋H 2SO 4=2 ClO 2↑＋2Na 2SO 4＋H 2O （3分）(2)2ClO 2＋H 2O 2＋2OH －===2ClO －2＋O 2↑＋2H 2O （3分）(3) 2H + +2e -= H 2↑（2分）（5）Cl－、NO3-、SO 2、I－（2 分，每正确两个离子得1分）4（6）MgO（2分）27．（14分）（1）CH4(g)+H2O(g) == CO(g)+3H2(g) △H=+161.1 kJ·mol-1（2分）（2）B（2分）（3）2500 L2/mol2（2分）（4）A（1分） A起始浓度小，但在20min内反应速率快（或答6min内AB反应速率相同），说明A温度高（2分）（5）①碱（1分）由于NH3·H2O的电离平衡常数大于HCO3-的电离平衡常数，因此CO32-水解程度大于NH4+水解程度，溶液呈碱性（2分）（或其它合理表述）② B（2分）28（14分）（1）平衡气压，使液体可以顺利流下（2分）(2) 缓慢滴加NaClO溶液（或电磁搅拌器搅拌）（2分）；温度计（2分）(3) +NaClO +NaCl+H2O（2分）(4) 氢氧化钠（或碳酸钠等碱性物质）（2分）（5）A （2分）(6) 75.7%（2分）29．（10分，除特殊标明外，每空1分）（1）渗透关闭暗减少减少（2）60（2分）（3）右左下（2分）30．（11分）（1）①能（1分）；②AaX b Y（1分） AaX B X b（1分）；③1/2（2分）；（2）①同源染色体上的非等位基因（2分，不答同源染色体不给分）；基因的分离定律（2分）；②3/4（2分）31．（10分，除特殊标明外，每空1分）（1）氧化放能（或“氧化分解”）毛细血管收缩（2）下丘脑→TRH→垂体→TSH→甲状腺→甲状腺激素（2分）（3）感受器 5 兴奋在突触处的传递是单向的（4）减弱下降收缩32．（8分，除特殊标明外，每空1分）（1）（生态系统的）组成成分、食物链和食物网（2分）（2）太阳（光）（有机物中的）化学能自养（3）遗体、粪便（排遗物）（4）如图：（2分，少画一个箭头扣1分，少画两个箭头（二）选考题（共45分）33.(1)BCD（2）（10分）解：左侧空气柱后来的压强 P 1=P 0+h 1=80cmHg ①P 0L A S= P 1L A1S ②L A1=38cmHg ③设右侧液面上升h 2P B2(L B -h 2)S=P 0L B S ④P B2=P 1-2h 2 ⑤得到h 2=1cm P 2=78cmHg ⑥评分标准：① ⑤ 每式1分，其余每式2分34.（1）BCE（2）（10分）解：作如图所示的光路图33tan 3R R l OB ==θ ① αθsin sin =n ② α=30o ③ 在ΔOBC 中)90sin(sin αβ+=o OB R l ④ β=30o ⑤ γβsin sin =n ⑥ γ=60o ⑦ 即出射光线CD 方向与OA 平行 光在玻璃半球体中传播的距离OB BC l l = ⑧ 速度n c v =⑨ c R v l t BC == ⑩ 评分标准：每式1分。
辽宁省五校协作体2015届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
2014—2015学年度上学期期末考试高三年级数学科（理科）试卷命题学校：鞍山一中 杨静 校对人：杨静第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合2{|320}M x x x =++<，集合1{|()4}2xN x =≤，则MN = （ ）（A ）{|2}x x ≥- （B ）{|1}x x >- （C ）{|1}x x <- （D ）{|2}x x ≤- 2. 已知复数z=1+i,则z 2-2zz-1= ( )（A ） -2i （B ） 2i （C ） -2 （D ） 23. 如图，若()log 3x f x =，2()log g x x =，输入x ＝0.25，则输出h(x)＝ ( )（A ）0.25 （B ）2log 32 （C ）－12log 23（D ）－24. 下列选项中，说法正确的是 （ ） （A ）命题“2,0x x x ∃∈-≤R ”的否定是“0,2>-∈∃x x x R ” （B ）命题“p q ∨为真”是命题“q p ∧为真”的充分不必要条件 （C ）命题“若22am bm ≤，则a b ≤”是假命题 （D ）命题“在△ABC 中，若1sin 2A <，则6A π<”的逆否命题为真命题 5. 一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶（汽车与人前进方向相同），汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米，那么，此人 （ ） （A ）可在7秒内追上汽车 （B ）可在9秒内追上汽车 （C ）不能追上汽车，但其间最近距离为14米（D ）不能追上汽车，但其间最近距离为7米6. 在△ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则三角形ABC 的形状一定是 ( ) （A ）等边三角形 （B ）等腰三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形 7. 函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点 （ ） （A ） 向右平移6π个单位长度 （B ）向右平移12π个单位长度（C ） 向左平移6π个单位长度 （D ）向左平移12π个单位长度8. 抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上一点(a i,2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i N *∈，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6等于 （ )（A ）64 （B ）42 （C ）32 （D ）219. 已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>b>0)的左右两个焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M,与双曲线交于点N （设点M,N 均在第一象限），当直线MF 1与直线ON 平行时，双曲线的离心率取值为e 0，则e 0所在的区间为 （ ） （A ）()1,2 （B ）()2,3 （C ）()3,2 （D ）()2,310. 设k 是一个正整数，1kx k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为116，记函数y=x 2与y=kx 的图像所围成的阴影部分为S ，任取x ∈[0,4]，y ∈[0,16]，则点(x,y)恰好落在阴影区域内的概率为（ ）（A ）1796 （B ）532 （C ）16 （D ）74811. 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，BB 1=2。
2015年辽宁省大连市高三高考理科数学第一次模拟考试试题含答案word版
面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
32
（A）
3
（B） 64
32 3
64
（C）
（D）
3
3
（8）已知直线 y 2 2(x 1) 与抛物线 C : y 2 4x 交于 A, B 两点，点 M (1, m) ，若 MA MB 0 ，则
1
（A）
4
（B）1
（C）2
1
（D）
2
第 II 卷
二.填空题:（本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上）
（13）函数 y 1 sin x 3 cos x ( x [0, ] )的单调递增区间是__________．
2
2
2
（14）
x
1 2x
6
的展开式中常数项为
1 3
S3
...
1 n
Sn
3. 2
（18）(本小题满分 12 分)
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，∠DAB＝ 60 ，PD⊥平面 ABCD，
P
PD=AD=1，点 E, F 分别为为 AB 和 PD 中点.
(Ⅰ)求证：直线 AF // 平面 PEC ；
(Ⅱ)求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值.
辽宁省大连市 2015 届高三第一次模拟考试数学(理)试题 第I卷
一．选择题:（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的）
（1）已知集合 A {x 1 x 1}， B {x x2 2x 0} ，则 A B （ ）
2015年辽宁省高考理科数学试题与答案(word版)
2015年辽宁省高考理科数学试题与答案（word 版）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 已知集合A=｛-2，-1，0，2｝，B=｛x|（x-1）（x+2）＜0｝，则A∩B= （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ (2) 若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a=（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2(3) 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是.2013年2012年2011年2010年2009年2008年2007年2006年2005年2004年2 5002 4002 3002 2002 1002 0001 900（A ）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著.(B)2007年我国治理二氧化硫排放显现成效. (C)2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势. (D)2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关. （4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 =（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 （5）设函数｛a n ｝=，则（－2）+=（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A ）81 （B ）71 （C ）61 （D ）51（7）过三点（1,3），（4,2），（1,-7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN=（A ）26 （B ）8 （C ）46 （D ）10（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a,b 分别为14,18，则输出的a=（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）14（9）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=，C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为A ．36π B.64π C.144π D.256π(10).如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1， O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动， ∠BOP=x 。
辽宁省实验中学等东北三省2015年理科数学试卷及答案
东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2015年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}21x x A =-<<，{}220x x x B =-≤，则A B =（ ） A ．{}01x x << B ．{}01x x ≤< C ．{}11x x -<≤D ．{}21x x -<≤2=（ ）A ．)2i B ．1i + C ． D ．i -3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ）A ．14B ．112-C ．14或112- D ．14-或1124、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ）A ．6B ．7C ．10D ．95、执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于，则输入的值不能是下面的（ ） A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．20156、下列命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，均有210x x +->②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题④“1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要条件A ．个B ．2个C ．3个D ．4个 7、如图，网格纸上小正方形的边长为，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．128、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d，若F B ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A．( B．)+∞ C ．(]1,3 D．)+∞ 9、不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x -+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P∈B 的概率为（ ） A ．932 B ．732C ．916D ．71610、设二项式12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n *∈N ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a，n b ，则1212nna a ab b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（ ）A ．123n -+B ．()1221n -+C ．12n +D ．11、已知数列{}n a 满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为，则m 的值为（ ） A ．14 B ．13 C ．14- D ．13-12、已知函数())()()0ln 10x f x x x ≥=⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、向量a ，b 满足1a =，2b =，()()2a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为 ．14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =，C C A =B =，14AA =，则这个球的表面积为 ．15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．16、已知函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知C ∆AB 的面积为2，且满足0C 4<AB⋅A ≤，设AB 和C A 的夹角为θ． ()1求θ的取值范围；()2求函数()22sin 24f πθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的取值范围．18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．()1频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；()2在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CDP-AB的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面CDAB，E、F分别为AB、CP的中点．()I求证：F//E平面DPA；()II若2PA=，试问在线段FE上是否存在点Q，使得二面角Q D-AP-的余弦值为5Q的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆22221x ya b+=（0a b>>）的左、右焦点为1F、2F，点(A 在椭圆上，且2F A 与x 轴垂直．()1求椭圆的方程；()2过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求∆AOB 面积的最大值．21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数()2ln f x x x ax =+．()1若曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,2A -，求实数a 的值；()2若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）， ()I 求证：102a -<<；()II 求证：()()2112f x f x >>-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在C ∆AB 中，C 90∠AB =，以AB 为直径的圆O 交C A 于点E ，点D 是C B 边的中点，连接D O 交圆O 于点M ．()I 求证：D E 是圆O 的切线；()II 求证：D C D C D E⋅B =M ⋅A +M ⋅AB ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数）． ()I 求曲线C 的直角坐标方程与直线的普通方程；()II 设点(),0m P ，若直线与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA ⋅PB =，求实数m 的值． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x =--+．()I 解不等式()0f x >；()II 若0R x ∃∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案一．选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.C 11.B 12.C 二．填空题：13. 900 14. 64π 15. 84 16. 54-三．解答题： 17.解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由已知：2sin 21=θbc ，4cos 0≤<θbc ， 4 分 可得1tan ≥θ，所以：)2,4[ππθ∈． 6 分（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭． 8 分)2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．所以：函数)(θf 的取值范围是]3,2[ 12 分 18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方图如下: 2 分3 分平均年龄估值为:5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(21=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（岁） 6 年龄(岁)(2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X 的可能取值为0,1,2 3821)0(222015===C C X P 3815)1(22011515===C C C X P 382)2(22025===C C X P 9 分X 的分布列为X12P3821 3815 382 10 分 期望2138223815138210)(=⨯+⨯+⨯=X E （人） 12 分 19.证明: (Ⅰ)取PD 中点M , 连接MA MF ,, 在△CPD 中, F 为PC 的中点, DC MF 21//∴,正方形ABCD 中E 为AB 中点,DC AE 21//∴,MF AE //∴ 故：EFMA 为平行四边形 AM EF //∴ 2 分又⊄EF 平面PAD ,⊂AM 平面PAD ∴//EF 平面PAD4分(Ⅱ) 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系:111(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222P B C E F由题易知平面PAD 的法向量为)0,1,0(=n ， 6 分 假设存在Q 满足条件：设11,(,0,1),(,,)222EQ EF EF Q λλλ== ,]1,0[∈λ 1(0,0,2),(,,),22AP AQ λλ==设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =,10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩ 10 分 ∴ 21,cos λλ+-<n m 由已知：5512=+λλ解得：21=λ 所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。
东北师大附中、辽宁省实验中学)2015届高三第一次联合模拟考试数学(理)试题(扫描版)(附答案)
2015.3三校联考一模（数学理）答案一．选择题：BCCBA BCAAC BC二．填空题：13. 900 14. 64π 15. 84 16. 54-三．解答题：17.解： （Ⅰ）设ABC △中角AB C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由已知：2sin 21=θbc ，4cos 0≤<θbc ， 4 分 可得1tan ≥θ，所以：)2,4[ππθ∈． 6 分 （Ⅱ）2π()2sin 3cos 24f θθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π1cos 23cos 22θθ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ (1sin 2)3cos2θθ=+-πsin 23cos 212sin 213θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． 8 分 )2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤． 即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 所以：函数)(θf 的取值范围是]3,2[ 12 分18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方图如下: 2 分3 分年龄(岁) 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070.08 0.09 20 25 30 35 40 45 50 频率 组距平均年龄估值为:5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(21=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（岁） 6 分(2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X 的可能取值为0,1,2 3821)0(222015===C C X P 3815)1(22011515===C C C X P 382)2(22025===C C X P 9 分X 的分布列为X0 1 2 P 3821 3815 382 10分期望2138223815138210)(=⨯+⨯+⨯=X E （人） 12 分19.证明: (Ⅰ)取PD 中点M , 连接MA MF ,, 在△CPD 中, F 为 PC 的中点, DC MF 21//∴,正方形ABCD 中E 为AB 中点,DC AE 21//∴, MF AE //∴ 故：EFMA 为平行四边形 AM EF //∴ 2分又⊄EF 平面PAD ,⊂AM 平面PAD ∴//EF 平面PAD 4 分(Ⅱ) 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系:111(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222P B C E F 由题易知平面PAD 的法向量为)0,1,0(=n ， 6 分假设存在Q 满足条件：设11,(,0,1),(,,)222EQ EF EF Q λλλ== ,]1,0[∈λ x y zQ1(0,0,2),(,,),22AP AQ λλ==设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =, 10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩ 10 分∴ 21,c o sλλ+-=⋅>=<n m n m n m 由已知：5512=+λλ 解得：21=λ 所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。
辽宁省朝阳市三校协作体2015届高三下学期第一次联合模拟考试数学(理)试题 含解析
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1。
集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=031x x x P ，{}24x y x Q -==，则=Q P （ ）A ．]2,1(B ．]2,1[C ．(,3)(1,)-∞-+∞D ．)2,1[【答案】A 【解析】考点：1、不等式的解法；2、集合的概念与运算。
2. 等差数列{}na 的前n 项和为nS ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于（ ）A ．1B ．35 C ．2- D ．3【答案】C 【解析】考点:等差数列。
3. 在ABC ∆中，3=AB ,1=AC ， 30=∠B ，且ABC ∆的面积为23,则=∠C （ )A ．30 B ．45 C ．60 D ．75【答案】C 【解析】考点:三角形的面积公式。
4。
下列函数在),0(+∞上为减函数的是（ ）A ．1--=x yB ．xe y = C ．)1ln(+=x y D ．)2(+-=x x y【答案】D 【解析】考点：函数的单调性. 5. 方程2log2=+x x 的解所在的区间为( ）A ．)1,5.0(B ．)5.1,1(C ．)2,5.1(D ．)5.2,2( 【答案】B 【解析】考点:1、函数的零点与方程的根；2、对数函数。
6。
将函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称,则ϕ的一个可能取值为（ )A ．43π B ．4π C ．0 D ．4π-【答案】B 【解析】当4πϕ=- 时，sin sin sin 00444πππϕ⎛⎫⎛⎫+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B.考点：三角函数的图象.7. 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题：①若α⊂m ，A l =α ，点m A ∉,则l 与m 不共面；② 若m 、l 是异面直线，α//l ，α//m ，且l n ⊥，m n ⊥，则α⊥n ； ③ 若α//l ，β//m ，βα//，则m l //； ④ 若α⊂l ，α⊂m ，A m l = ，β//l ，β//m ,则βα//,其中为真命题的是（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③ 【答案】C 【解析】考点：空间直线与平面的位置关系. 8.变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-111x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为( )A ．223 B ．5 C ．29 D ．5【解析】试题分析:不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-111x y y x 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，考点:1、二元一次不等式组所表示的平面区域;2、数形结合的思想.9. 如图，AOB ∆为等腰直角三角形，1=OA ，OC 为斜边AB 的高，点P 在射线OC 上，则OP AP ⋅的最小值为( )A ．1-B ．81- C ．41-D ．21-AOCBP【解析】考点：1、平面向量基本定理；2、平面向量的数量积. 10. 如图，四棱锥ABCD P -中,90=∠=∠BAD ABC ，AD BC 2=，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为（ ）A ．90 B ．75 C ．60 D ．45【答案】A 【解析】试题分析:延长DA 至E ，使AE DA = ，连接,PE BE , 因为90=∠=∠BAD ABC ，AD BC 2=，所以,//DE BC DE BC =所以四边形CBED 为平行四边形,所以，//CD BEBDCPA考点：1、异面直线所成的角；2、余弦定理；3、空间直线的位置关系.11。
沈阳市2015届数学模拟试卷(理科)(解析版)
2015年东北三省四市2模数学理科1．已知全集U=R，A={x||x|＜2}，B={x|x2﹣4x+3＞0}，则A∩（∁U B）等于（）A．{x|1≤x＜3} B．{x|﹣2≤x＜1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|﹣2＜x≤3}2．设a，b为实数，则“a＞b＞0是＜”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．函数f（x）=lnx+x3﹣9的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．设等比数列{a n}的前n项和为S n ，若=3，则=（）A．2 B．C．D． 35．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）A．335 B．338 C．1678 D．20126．已知函数f（x）=在区间（﹣∞，+∞）上是增函数，则常数a的取值范围是（）A．（1，2）B．（﹣∞，1]∪[2，+∞）C．[1，2] D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）7．已知函数，则不等式f（x﹣2）+f（x2﹣4）＜0的解集为（）A．（﹣1，6）B．（﹣6，1）C．（﹣2，3）D．（﹣3，2）8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称9．已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2014的值为（）A．B．C．D．10．）下列四个图中，函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．11．已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f （），b=﹣2f （﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b12．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）13．设x，y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，则的最小值为．14．f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a=4．15．在△AOB中，G为△AOB的重心（三角形中三边上中线的交点叫重心），且∠AOB=60°．若•=6，则||的最小值是．16．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心．”请你根据这一发现，函数f（x）=x3﹣3x2+3x+1对称中心为．17．已知f（x）=sin（π+ωx）sin （﹣ωx）﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为T=π．（1）求f （）的值；（2）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若有（2a﹣c）cosB=bcosC，则求角B的大小以及f（A）的取值范围．18．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院机械工程学院海洋学院医学院经济学院人数 4 6 4 6（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=AA1=3，BC=1，E1为A1B1中点．（Ⅰ）证明：B1D∥平面AD1E1；（Ⅱ）若AC⊥BD，求平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）的余弦值．20已知椭圆C ：+y2=1与直线l：y=kx+m相交于E、F两不同点，且直线l与圆O：x2+y2=相切于点W（O坐标原点）．（Ⅰ）证明：OE⊥OF；（Ⅱ）设λ=，求实数λ的取值范围．21．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2+x，g（x）=x•e x﹣x2﹣1（x＞0），且f（x）点x=1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[1，3]上有解，求b的取值范围；（Ⅲ）证明：g（x）≥f（x）．。
辽宁省沈阳市2015届高三四校联考数学模拟试卷(理科)含解析
2015年辽宁高考数学模拟试卷（理科）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•沈阳模拟）已知全集U=R，A={x||x|＜2}，B={x|x2﹣4x+3＞0}，则A∩（∁U B）等于（）A．{x|1≤x＜3} B．{x|﹣2≤x＜1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|﹣2＜x≤3}【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：集合．【分析】：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，求出A与B补集的交集即可．【解析】：解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜2，即A={x|﹣2＜x＜2}，由B中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣3）＞0，解得：x＜1或x＞3，即B={x|x＜1或x＞3}，∴∁U B={x|1≤x≤3}，则A∩（∁U B）={x|1≤x＜2}，故选：C．【点评】：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015•沈阳模拟）设a，b为实数，则“a＞b＞0是＜”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：推理和证明．【分析】：根据：若＜则﹣=＜0，a＞b＞0或0＞a＞b；由充分必要条件的定义可判断．【解析】：解：若a＞b＞0，则﹣=＜0，即＜出成立．若＜则﹣=＜0，a＞b＞0或0＞a＞b所以“a＞b＞0是＜”的充分不必要条件．故选：A【点评】：本题简单的考查了作差分解因式，判断大小；充分必要条件的判断方法．3．（5分）（2015•沈阳模拟）函数f（x）=lnx+x3﹣9的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】：函数零点的判定定理；二分法求方程的近似解．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（2）＜0，f（3）＞0，可得函数f（x）在区间（2，3）上有唯一的零点．【解析】：解：由于函数f（x）=lnx+x3﹣9在（0，+∞）上是增函数，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3＞0，故函数f（x）=lnx+x3﹣9在区间（2，3）上有唯一的零点，故选：C．【点评】：本题主要考查函数的单调性，函数零点的判定定理，属于基础题．4．（5分）（2009•辽宁）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）A． 2 B．C．D．3【考点】：等比数列的前n项和．【分析】：首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案．【解析】：解：设公比为q，则===1+q3=3，所以q3=2，所以===．故选B．【点评】：本题考查等比数列前n项和公式．5．（5分）（2012•山东）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f （x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）A．335 B．338 C．1678 D．2012【考点】：函数的周期性；函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以6为周期的函数，可根据题目信息分别求得f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案．【解析】：解：∵f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的函数，又当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（1）+f（2）=1+2=3，f（﹣1）=﹣1=f（5），f（0）=0=f（6）；当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（3）=f（﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1，f（4）=f（﹣2）=﹣（﹣2+2）2=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1+2﹣1+0+（﹣1）+0=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）]+f（2011）+f（2012）=335×1+f（1）+f（2）=338．故选：B．【点评】：本题考查函数的周期，由题意，求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）=是关键，考查转化与运算能力，属于中档题．6．（5分）（2015•沈阳模拟）已知函数f（x）=在区间（﹣∞，+∞）上是增函数，则常数a的取值范围是（）A．（1，2）B．（﹣∞，1]∪[2，+∞）C．[1，2] D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【考点】：函数单调性的性质．【专题】：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：由分段函数的单调性，考虑各段的情况，注意在R上递增，则有02≥03+a2﹣3a+2，解得即可．【解析】：解：由于f（x）=，且f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是增函数，则当x≥0时，y=x2显然递增；当x＜0时，y=x3+a2﹣3a+2的导数为y′=3x2≥0，则递增；由f（x）在R上单调递增，则02≥03+a2﹣3a+2，即为a2﹣3a+2≤0，解得，1≤a≤2．故选C．【点评】：本题考查函数的单调性的运用，考查不等式的解法，属于基础题和易错题．7．（5分）（2015•沈阳模拟）已知函数，则不等式f（x﹣2）+f（x2﹣4）＜0的解集为（）A．（﹣1，6）B．（﹣6，1）C．（﹣2，3）D．（﹣3，2）【考点】：其他不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：本题要先判出f（x）为奇函数和增函数，进而把抽象不等式转化为关于x的一元二次不等式．【解析】：解：由题意可知f（x）的定义域为R．∵∴f（﹣x）+f（x）===0，即f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．又f（x）==，由复合函数的单调性可得f（x）为增函数，∴f（x﹣2）+f（x2﹣4）＜0可化为f（x﹣2）＜﹣f（x2﹣4）即f（x﹣2）＜f（4﹣x2），可得x﹣2＜4﹣x2，即x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，故选D【点评】：本题为函数的性质与不等式解法的结合，属中档题．8．（5分）（2015•沈阳模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称【考点】：正弦函数的图象．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数y=sin（2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解析】：解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x﹣）关于直线x=对称，故选：D．【点评】：本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．9．（5分）（2015•沈阳模拟）已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2014的值为（）A．B．C．D．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．【专题】：计算题；导数的概念及应用．【分析】：可得f′（1）=2+b=3，解得b=1，进而可得f（x），然后由裂项相消法求和可得．【解析】：解：函数的导数f′（x）=2x+b，∵点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，∴f′（1）=2+b=3，解得b=1．∴f（x）=x2+x=x（x+1），∴==，∴S2014=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=故选C【点评】：本题考查数列的求和，涉及导数和曲线某点切线的斜率以及裂项相消法求和，属中档题．10．（5分）（2015•沈阳模拟）下列四个图中，函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项．【解析】：解：当x＞0时，y＞0，排除A、B两项；当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，排除D项．故选：C．【点评】：本题考查函数的性质与识图能力，属中档题，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项．11．（5分）（2015•日照一模）已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b【考点】：导数的运算；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小．【解析】：解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x•f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：A．【点评】：本题主要考查如何构造新的函数，利用单调性比较大小，是常见的题目．本题属于中档题．12．（5分）（2015•沈阳模拟）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）+f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点，画出图形，数形结合，根据g （2）＞f（2），求得a的取值范围．【解析】：解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），可得f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．作出函数的图象，如图所示，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），即log a（2+1）＞f（2）=﹣2，∴log a3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜．又a＞0，∴0＜a＜，故选：B．【点评】：本题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）（2015•沈阳模拟）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a ＞0，b＞0）的最大值为6，则的最小值为．【考点】：简单线性规划；基本不等式．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定z取最大值点的最优解，利用基本不等式的性质，利用数形结合即可得到结论．【解析】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，则直线的斜率k=＜0，截距最大时，z也最大．平移直y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（4，6），此时z=4a+6b=6，即，∴=（）（）=，当且仅当，即a=时取等号，此时b=，a=3﹣时取等号．．故答案为：【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义先求出最优解是解决本题的关键，利用基本不等式的解法和结合数形结合是解决本题的突破点．14．（5分）（2008•江苏）f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a=4．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①x=0，②x＞0，③x＜0等三种情形．当x=0时，不论a取何值，f（x）≥0都成立；当x＞0时有a≥，可构造函数g（x）=，然后利用导数求g（x）的最大值，只需要使a≥g（x）max，同理可得x＜0时的a的范围，从而可得a的值．【解析】：解：①若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；②当x＞0，即x∈（0，1]时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≥设g（x）=，则g′（x）=，所以g（x）在区间（0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减，因此g（x）max=g（）=4，从而a≥4；③当x＜0，即x∈[﹣1，0）时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≤，g（x）=在区间[﹣1，0）上单调递增，因此g（x）min=g（﹣1）=4，从而a≤4，综上a=4．答案为：4．【点评】：本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性求函数的最大值，最小值等知识与方法．在讨论时，容易漏掉x=0的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题的解答．15．（5分）（2015•沈阳模拟）在△AOB中，G为△AOB的重心（三角形中三边上中线的交点叫重心），且∠AOB=60°．若•=6，则||的最小值是2．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：计算题；不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】：设AB的中点为C，则点G在OC上，运用重心的性质和中点向量的表示，再由向量的数量积的定义，结合基本不等式即可求得最小值．【解析】：解：设AB的中点为C，则点G在OC上，且==•=（+），∵=|||•||•cos60°=6，∴||•||=12．则||=（|+|===≥==2，当且仅当||=||时，等号成立，故||的最小值是2，故答案为：2．【点评】：本题主要考查三角形的重心的定义和性质，考查向量的数量积的定义和性质及模，基本不等式的应用，属于中档题．16．（5分）（2015•沈阳模拟）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心．”请你根据这一发现，函数f（x）=x3﹣3x2+3x+1对称中心为（1，2）．【考点】：导数的运算．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函数f（x）=x3﹣3x2+3x+1对称中心．【解析】：解：（1）∵函数f（x）=x3﹣3x2+3x+1，∴f′（x）=3x2 ﹣6x+3，∴f″（x）=6x﹣6．令f″（x）=6x﹣6=0，解得x=1，且f（1）=2，故函数f（x）=x3﹣3x2+3x对称中心为（1，2），故答案为（1，2）．【点评】：本题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，函数的对称性的应用，属于基础题．三．解答题：（解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2015•沈阳模拟）已知函数f（x）=3cos2x+2sinxcosx+sin2x．（1）求f（x）的最大值，并求出此时x的值；（2）写出f（x）的单调区间．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：（1）化简可得f（x）=，可得f（x）的最大值和此时x的值；（2）由和分别可解得函数的单调递增和单调递减区间．【解析】：解：（1）化简可得=sin2x+cos2x+2=∴f（x）的最大值为，此时2x+=2kπ+，解得；（2）由可解得；∴f（x）单调增区间为：；由可解得∴f（x）单调减区间为：【点评】：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的最值和单调性，属基础题．18．（12分）（2015•沈阳模拟）已知f（x）=sin（π+ωx）sin（﹣ωx）﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为T=π．（1）求f（）的值；（2）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若有（2a﹣c）cosB=bcosC，则求角B 的大小以及f（A）的取值范围．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【专题】：三角函数的求值．【分析】：（1）先逆用两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，然后利用周期公式T=π，求ω的值，进而写出函数f（x）的解析式；求出f（）的值．（2）利用正弦定理，求出cosB的值，继而求出B的大小，再根据A为三角形的内角求出A的范围，继而求出f（A）的范围．【解析】：解：（1）∵f（x）=sin（π+ωx）sin（﹣ωx）﹣cos2ωx，=sinωxcosωx﹣cos2ωx，=sin2ωx﹣cos2ωx﹣，=sin（2ωx﹣）﹣∴函数f（x）的最小正周期为T=π．即：=π，得ω=1，∴f（x）=sin（2x﹣）﹣，∴f（）=sin（2×﹣）=sin﹣=﹣1，（2）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，∴由正弦定理可得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBsinC，∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA＞0，∴cosB=，∵B∈（0，π），∴B=，∵A+C=π﹣B=，∴A∈（0，），∴2A﹣∈（﹣，），∴sin（2A﹣）∈（﹣，1]，∴f（A）=sin（2A﹣）∈（﹣1，]，【点评】：本题考查了三角变换及解三角形，第（1）问解决的关键是化成正弦型函数的标准形式；第（2）的关键是把求角的范围转化成先求角的余弦值的范围．19．（12分）（2015•沈阳模拟）数列{a n}的前n项和为S n，a n是S n和1的等差中项，等差数列{b n}满足b1+S4=0，b9=a1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=，求数列{c n}的前n项和W n．【考点】：数列的求和；等差数列的性质．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：（1）由a n是S n和1的等差中项，可得S n=2a n﹣1，再写一式，可得数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，可求数列{a n}的通项公式，求出等差数列{b n}的首项与公差，可得{b n}的通项公式；（2）利用裂项求和，可得数列{c n}的前n项和W n．【解析】：解：（1）∵a n是S n和1的等差中项，∴S n=2a n﹣1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2a n﹣1）﹣（2a n﹣1﹣1）=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，当n=1时，a1=1，（2分）∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2n﹣1（6分）∴S n=2n﹣1；设{b n}的公差为d，b1=﹣S4=﹣15，b9=a1=﹣15+8d=1，∴d=2，∴b n=2n﹣17；（8分）（2）c n==（﹣），∴W n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=（14分）【点评】：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．20．（12分）（2015•沈阳模拟）已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M 处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．【考点】：函数的单调性与导数的关系；导数的几何意义．【专题】：计算题．【分析】：（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为﹣1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．（2）求出f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知[m，m+1]⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝），列出端点的大小，求出m的范围．【解析】：解：（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b=4①式…（1分）f'（x）=3ax2+2bx，则f'（1）=3a+2b…（3分）由条件②式…（5分）由①②式解得a=1，b=3（2）f（x）=x3+3x2，f'（x）=3x2+6x，令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，…（8分）∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增∴[m，m+1]⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝）∴m≥0或m+1≤﹣2∴m≥0或m≤﹣3【点评】：注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率；直线垂直的充要条件是斜率之积为﹣1．21．（12分）（2015•沈阳模拟）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n．【考点】：数列的求和；等比数列的性质．【专题】：综合题；等差数列与等比数列．【分析】：（I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列{b n}的通项公式，然后分组求和，即可得出结论．【解析】：解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20解得或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n，∴b n=a n+log a n=a n﹣n，∴S n=﹣=2n+1﹣2﹣，【点评】：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（12分）（2015•沈阳模拟）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2+x，g（x）=x•e x﹣x2﹣1（x＞0），且f（x）点x=1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[1，3]上有解，求b的取值范围；（Ⅲ）证明：g（x）≥f（x）．【考点】：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）通过求导得f'（1）=0，则得a=0．经检验符合题意；（Ⅱ）由题意得：．令，从而有，进而求出b的取值范围；（Ⅲ）证明：令F（x）=g（x）﹣f（x）=x•e x﹣lnx﹣x﹣1（x＞0），则=，得到F（x）≥F（c）=0，从而证得g（x）≥f（x）．【解析】：解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（x+a）﹣x2+x，∴∵函数f（x）=ln（x+a）﹣x2+x在点x=1处取得极值，∴f'（1）=0，即当x=1时，∴，则得a=0．经检验符合题意；（Ⅱ）∵，∴，∴．令，则．∴当x∈[1，3]时，h'（x），h（x）随x的变化情况表：x 1 （1，2）2 （2，3）…（8分）3h'（x）+ 0 ﹣h（x）↗极大值↘计算得：，，h（2）=ln2+3，∴所以b的取值范围为．（Ⅲ）证明：令F（x）=g（x）﹣f（x）=x•e x﹣lnx﹣x﹣1（x＞0），则=，令G（x）=x•e x﹣1，则∵G'（x）=（x+1）•e x＞0（x＞0），∴函数G（x）在（0，+∞）递增，G（x）在（0，+∞）上的零点最多一个，又∵G（0）=﹣1＜0，G（1）=e﹣1＞0，∴存在唯一的c∈（0，1）使得G（c）=0，且当x∈（0，c）时，G（x）＜0；当x∈（c，+∞）时，G（x）＞0．即当x∈（0，c）时，F'（x）＜0；当x∈（c，+∞）时，F'（x）＞0．∴F（x）在（0，c）递减，在（c，+∞）递增，从而F（x）≥F（c）=c•e c﹣lnc﹣c﹣1．由G（c）=0得c•e c﹣1=0即c•e c=1，两边取对数得：lnc+c=0，∴F（c）=0，∴F（x）≥F（c）=0，从而证得g（x）≥f（x）．【点评】：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，考查不等式的证明，是一道综合题．友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！。
2015年辽宁省重点中学协作体高考数学模拟试卷(理科)
2015年辽宁省重点中学协作体高考数学模拟试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设R为实数集，集合A={x|x2＞4}，B={x|x2-4x+3＜0}，则∁R（A∩B}=（）A.{x|x≤-2或x≥2}B.{x|1＜x≤2}C.{x|x≤2或x≥3}D.{x|x≤1或x≥3}【答案】C【解析】解：A={x|x2＞4}={x|x＞2或x＜-2}，B={x|x2-4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，则A∩B={x|2＜x＜3}，则∁R（A∩B}={x|x≤2或x≥3}，故选：C求出集合A，B的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.已知复数z=，则|z|=（）A.1B.C.D.【答案】A【解析】解：∵z==，∴|z|==1．故选：A．直接由复数代数形式的除法运算化简复数z，则|z|可求．本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题．3.函数f（x）=sin（2x+）所对应的图象向左平移个单位后的图象与y轴距离最近的对称轴方程为（）A.x=B.x=-C.x=-D.x=【答案】B【解析】解：函数f（x）=sin（2x+）所对应的图象向左平移个单位后的图象对应的函数解析式为y=sin[2（x+）+]=cos（2x+），令2x+=kπ，求得x=-，k∈z，可得与y轴距离最近的对称轴方程为x=-，故选：B．由题意根据函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得平移后的函数为y=cos（2x+），再根据余弦函数的图象的对称性求得它的对称轴方程，可得平移后的图象与y轴距离最近的对称轴方程．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．4.己知数列{a n}的首项a1=1且a n-a n+1=a n a n+1，（n∈N+），则a2015=（）A. B. C.- D.【答案】D【解析】解：∵a n-a n+1=a n a n+1，∴，又∵a1=1，∴=1，∴数列{}是以首项和公差均为1的等差数列，∴=1+（n-1）=n，∴=2015，∴a2015=，故选：D．通过a n-a n+1=a n a n+1可知数列{}是以首项和公差均为1的等差数列，计算即可．本题考查数列的递推式，熟练变形利用等差数列的通项公式是解题的关键，属于中档题．5.由y=-1，y=0，x=2所对应的曲线围成的封闭图形的面积为（）A.ln2-B.-ln2C.1-ln2D.ln2-1【答案】C【解析】解：由y=-1=0，解得x=1，则对应封闭曲线的面积S=[0-（-1）]dx=（x-lnx）|=2-ln2-（1-ln1）=1-ln2，故选：C．求出积分的上限和下限，利用积分的几何意义进行求解即可．本题主要考查曲线面积的求解，利用积分的几何意义求积分是解决本题的关键．6.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为（）A.π+4πB.36π+2πC.32π+2πD.44π+2π【答案】D【解析】解：根据三视图得知：该几何体是由下面是一个半径为4的半球，上面是一个底面半径为2，高为3的圆锥构成的组合体．首先求出上面圆锥的侧面展开面的半径r=圆锥的底面周长为l=4π，所以圆锥的侧面面积为：s1=，剩余的侧面面积为：s2=2π•16+16π-4π=44π，所以组合体的侧面面积为：s=s1+s2=44π+2故选：D首先根据三视图把该几何体的复原图整理出来，进一步利用立体图的相关的数据求出结果．本题考查的知识要点：三视图与立体图形之间的转换，组合图的侧面展开图的侧面积的求法．主要考查学生的空间想象能力．7.同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A.20B.25C.30D.40【答案】B【解析】解：∵抛掷-次，正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为，∵5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率是相同的，且各次试验中的事件是相互独立的，∴ξ服从二项分布，∴．故选B．根据古典概型公式得到5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率，而事件发生的概率是相同的，各次试验中的事件是相互独立的，得到服从二项分布，用公式求出期望．二项分布要满足的条件：每次试验中，事件发生的概率是相同的，各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．8.若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为{1，2，3，4}中不同元素；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的．则满足①②条件的矩阵的个数为（）A.48B.72C.144D.264【答案】C【解析】解：∵恰有两列的上下两数相同，∴取这两列有种，从1、2、3、4中取2个数排这两列，有种，排另外两列有种，∴共有×（+）=144种，故选：C．通过排列组合知识计算即可．本题考查频率组合知识，注意解题方法的积累，属于中档题．9.下列四个命题：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（-2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线③命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题④已知点A（-1，0），B（1，0），若|PA|-|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线的一支其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】解：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（-2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）==0.1，因此不正确；②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线，不正确；③命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”的逆否命题“x=2且y=1，则x+y=2”是真命题，正确；④已知点A（-1，0），B（1，0），若|PA|-|PB|=2，则动点P的轨迹为一条射线，因此不正确．其中正确命题的个数为1．故选：A．①由正态分布的对称性可得；P（ξ＞2）=，即可判断出正误；②利用回归直线的意义即可判断出正误；③其逆否命题正确，即可判断出原命题的正误；④由已知可得：动点P的轨迹为一条射线，即可判断出正误．本题考查了简易逻辑的判定方法、正态分布的对称性、回归直线、命题之间的关系、双曲线的定义，考查了推理能力，属于中档题．10.已知向量，为单位向量，•=，向量满足-与-的夹角为，则|-|的最大值为（）A. B.4 C. D.2【答案】D【解析】解：∵•=，向量，为单位向量，∴＜，＞=，∴＜，＞=．设，，．∵向量满足-与-的夹角为，∴∠ACB=．由等边三角形OAB，点C在AB外且∠ACB为定值，可得C的轨迹是两段圆弧，∠ACB 是AB所对的圆周角．可知：当AC时是弧所在圆（上述圆弧）的直径时，|-|取得最大值，在△ABC中，由正弦定理可得：=2．∴|-|取得最大值是2．故选：D．由•=，向量，为单位向量，可得＜，＞=．设，，．由向量满足-与-的夹角为，可得∠ACB=．由等边三角形OAB，点C在AB外且∠ACB为定值，可得C的轨迹是两段圆弧，∠ACB是AB所对的圆周角．因此：当AC时是弧所在圆（上述圆弧）的直径时，|-|取得最大值．本题考查了向量的数量积运算性质、向量的减法运算及其几何意义、圆的性质、直角三角形的边角关系，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．11.抛物线y2=4x，直线l经过该抛物线的焦点F与抛物线交于A、B两点（A点在第一象限），且=4，则三角形AOB（O为坐标原点）的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），设直线l为x=my+1，代入抛物线方程可得，y2-4my-4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=-4，由=4，可得y1=-3y2，由代入法，可得m2=，又△AOB的面积为S=|OF|•|y1-y2|===．故选C．求出抛物线的焦点，设直线l为x=my+1，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到．本题考查直线和抛物线的位置关系，主要考查韦达定理和向量的共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．12.已知函数f（x）=ax2+2（2a-1）x+4a-7其中a∈N*，设x0为f（x）的一个零点，若x0∈Z，则符合条件的a的值有（）A.1个B.2个C.3个D.无数个【答案】B【解析】解：ax2+2（2a-1）x+4a-7=0a=（x≠-2）．a∈N*因为a∈N*，所以≥1，解得-3≤x≤1（x≠-2）．由x0∈Z知x0=-3，-1，0，1．当x0=-3时，a=1；当x0=-1时，a=5；当x0=0时，a=∉N*；当x0=1时，a=1．故符合条件的a的值有2个．故选：B．分离参数a=（x≠-2）．a∈N*，得出≥1，根据题意验证即可．本题考查了分离参数求解问题，利用分离，特殊值验证的方法，难度不大，但是学生必需想到这种方法．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为______ ．【答案】5【解析】解：展开式的通项为T r+1=C n r x3n-5r令3n-5r=0据题意此方程有解∴当r=3时，n最小为5故答案为：5利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0方程有解．由于n，r都是整数求出最小的正整数n．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档题．14.设{a n}为等比数列，其中a4=2，a5=5，阅读如图所示的程序框图，则输出结果s为______ ．【答案】4【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求s=lga1+lga2+lga3+…+lga8的值，∵{a n}为等比数列，其中a4=2，a5=5，∴等比q=，∴可得：s=lg+lg+lg+lg2+lg5+lg+lg+lg=4lg2-3lg5+3lg2-2lg5+2lg2-lg5+lg2+lg5+2lg5-lg2+3lg5-2lg2+4lg5-3lg2=4lg2+4lg5=4lg10=4．故答案为：4．模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求s=lga1+lga2+lga3+…+lga8的值，由已知求出等比q，和数列各项，利用对数运算法则即可求解．本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了对数的运算，属于基本知识的考查．15.将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是______ ．【答案】【解析】解：画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，如图．三角形ABC的面积为S1=×3×4=6，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2=π所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P=1-=．故答案为：．画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对立事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率．本题考查几何概型概率公式、对立事件概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．16.如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．若∠BPC=90 ，PB=，PC=2则四棱锥P-ABCD的体积最大值为______ ．【答案】【解析】解：如图所示，作PO⊥AD，垂足为O，作OG⊥BC，垂足为G，连接GP．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．在△BPC中，∵∠BPC=90 ，PB=，PC=2，∴BC==．∴=．设AB=x，则OG=x，PO==，∴V P-ABCD==x，∴V2==，当且仅当时取等号．∴V P-ABCD≤．如图所示，作PO⊥AD，垂足为O，作OG⊥BC，垂足为G，连接GP．利用面面垂直的性质定理可得：PO⊥平面ABCD．在R t△BPC中，可得．设AB=x，则OG=x，可得PO=，利用V P-ABCD=，及其基本不等式的性质即可得出．本题考查了线面垂直的判定与性质定理、直角三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.己知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的最小正周期为万，点（，0）为它的图象的一个对称中心．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若f（-）=，a=3，求b+c 的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）的最小正周期T=π，∴ω=2，∵，为f（x）的图象的对称中心，且＜＜∴，…（4分）∴令，可解得：，k∈Z．故单调递增区间为：，．…（6分）（Ⅱ）∵，∵＜＜，…（9分）∵a2=b2+c2-2bccos A=（b+c）2-3bc，∴，∴b+c≤6，当且仅当b=c=3时取等号．故b+c的最大值为6…（12分）【解析】（Ⅰ）由已知及周期公式可求ω，由，为f（x）的图象的对称中心，且0＜φ＜可求φ，可得函数解析式，令，即可解得f（x）的单调递增区间（Ⅱ）由f（-）=结合A的范围可求得A的值，由余弦定理可求得：a2=（b+c）2-3bc，从而有，利用基本不等式即可求得b+c的最大值．本题主要考查了余弦定理，基本不等式的应用，考查了三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18.某中学举行了一次“环保知识竞赛”．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为疗）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量月和频率分布直方图中x，y的值；（Ⅱ）把在[60，70），[70，80），[80，90）的成绩分组的学生按分层抽样的方法抽取8人．求[60，70），[70，80），[80，90）成绩分组中各应该抽取的人数；（Ⅲ）在（II）中的8人中随机抽取4名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，记X为成绩在[60，70）的人数，求X的分布列和数学期望．【答案】解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量n==50，y==0.004，x=0.1-0.004-0.010-0.016-0.04=0.030…（3分）（Ⅱ）在[60，70），[70，80），[80，90）成绩分组的学生分别为15人，20人，5人，现要按分层抽样抽取8人，则在[60，70），[70，80），[80，90）成绩分组中各抽取3人，4人，1人…（6分）（Ⅲ）X=0，1，2，3P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．X的分布列为：…（10分）．∴EX=0×+1×+2×+3×=…（12分）【解析】（Ⅰ）由样本容量和频数频率的关系能求出样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值．（Ⅱ）利用分层抽样，可得分组中各应该抽取的人数；（Ⅲ）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列及数学期望．本题考查频率分布直方图的应用，考查随机变量X的分布列及数学期望的求法，是中档题．19.如图，四棱锥层-ABCD中，平面EAD⊥ABCD，CD∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED．且AB=4，BC=CD=EA=ED=2（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADE；（Ⅱ）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F，使得平面BDF上平面CDE？如果存在点F，t请指出点F的位置；如果不存在，请说明理由．【答案】解：（1）由，，可得，由，且，可得，又AB=4，所以BD⊥AD，又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ADE．…（4分）（2）如图建立空间直角坐标系D-xyz，则有：D（0，0，0），B（0，2，0），C（-，，0），E（，0，），=（，-2，），=（，0，），=（-，，0），设平面CDE的法向量，，，，，，设直线BE与平面CDE所成的角为α，得：sinα=|cos＜，＞|==，即直线BE与平面CDE所成的角的正弦值为…（8分）（3）设，λ∈[0，1]，得=（-，，0），=（2，-，），=（0，2，0），所以=（2λ-1，-λ+1，λ），设平面BDF的法向量，，，，∴，，，…（10分）因为平面CDE的法向量，，，且平面BDF⊥平面CDE，所以，所以，，故在线段CE上存在一点F（靠近C点处的三等分点处），使得平面BDF⊥平面CDE．…（12分）【解析】（1）由已知可求BD，AD的值，由勾股定理可证BD⊥AD，又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，即可证明BD⊥平面ADE．（2）如图建立空间直角坐标系D-xyz，设平面CDE的法向量，，，由求得，设直线BE与平面CDE所成的角为α，即可求sinα=|cos＜，＞|的值．（3）设，λ∈[0，1]，得=（2λ-1，-λ+1，λ），设平面BDF的法向量，，，由可求，由平面CDE的法向量，，，且平面BDF⊥平面CDE，可得解得，，从而得解．本题主要考查了直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力和推论论证能力及转化思想，属于中档题．20.如图，两条过原点．D的直线l1，l2分别与x轴、y轴正方向成30 的角，点P（x1，y1）在直线l1上运动，点Q（x2，y2）在直线l2上运动，且线段PQ的长度为2．（I）若x=x1 y=x2，求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）过（-1，0）的直线l与（I）中轨迹C相交于A，B两点，若△ABO的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．【答案】解：（Ⅰ）根据题意可得：l1：y=x，l2：y=-x，∵点P（x1，y1）在直线l1上运动，点Q（x2，y2）在直线l2上运动，∴y1=x1，y2=-x2，又由已知得：l1⊥l2，且|PQ|=2，∴+=4，化简得：+=1，由x=x1，y=x2，可得，，∴动点M（x，y）的轨迹C的方程为：+=1；（Ⅱ）当直线l垂直于x轴时，得A（-1，）、B（-1，-），此时S△AOB=•|AB|•|OF1|=×3×1=，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），k≠0，联立，消去y得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0．显然△＞0成立，设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=-，x1•x2=．又|AB|====，即|AB|=，又圆O的半径r==，所以S△AOB=•|AB|•r=••=．化简得17k4+k2-18=0，即（k2-1）（17k2+18）=0，解得=1，=-（舍），∴r==，故圆O的方程为：x2+y2=．【解析】（Ⅰ）通过将点P、Q分别代入l1、l2，利用已知条件计算即可；（Ⅱ）当直线l垂直于x轴时，易得S△AOB=，不符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），k≠0，并与椭圆方程联立，利用韦达定理、点到直线的距离计算即可．本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21.己知二次函数f（x）=ax2+bx+1，其中a，b∈R，g（x）=ln（ex），且函数F（x）=f（x）-g（x）在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a，b所满足的关系；（Ⅱ）试判断是否存在a∈（-2，0）∪（0，2），使得对∀x∈[1，2]，不等式（x+a）F（x）≥0恒成立？如果存在，请求出符合条件的a的所有值；如果不存在，说明理由．【答案】解：（Ⅰ）F（x）=ax2+bx+1-ln（ex），F′（x）=2ax+b-，由F（x）在x=1处取极值，则F′（1）=2a+b-1=0，F′（x）===0，解得x1=-，x2=1且x1≠x2，a≠-，∴为a，b所满足的关系；（Ⅱ）F（x）=ax2+（1-2a）x-lnx，当0＜a＜2时，由x∈[1，2]，且（x+a）F（x）≥0，则F（x）≥0，F′（x）=≥0，F（x）在[1，2]增，F（x）≥F（1）=1-a≥0即可，即有a∈（0，1]，当a∈（-2，0）且a≠-时，x1=-，x2=1，ⅰ）若-＜1即-2＜a＜-时，F（x）在[1，2]单调递减，即0＜2-ln2≤F（x）≤1-a，即x+a≥0即a≥-x，可得a≥-1，故可得a∈[-1，-）．ⅱ）若1＜-＜2即-＜a＜-时，F（x）在区间（1，-）上单调递增，在区间（-，2）上单调递减．F（x）≥F（1）=1-a＞0，F（x）≥F（2）=2-ln2＞0，即有（x+a）F（x）≥0恒成立，则a∈（-，-）．ⅲ）若-≥2即-≤a＜0时，F（x）在[1，2]增，且（x+a）F（x）≥0恒成立，即有a∈[-，0），综上a的取值范围是[-1，-）∪（-，0）∪（0，1]．【解析】（Ⅰ）求出F（x）的导数，由题意可得F′（1）=2a+b-1=0，令导数为0，即可得到a，b的关系；（Ⅱ）对a讨论，当0＜a＜2时，当a∈（-2，0）且a≠-时ⅰ）若-＜1即-2＜a＜-时，ⅱ）若1＜-＜2即-＜a＜-时，ⅲ）若-≥2即-≤a＜0时，运用单调性求得最值，即可得到a的范围．本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查单调区间的求法和运用，同时考查分类讨论的思想方法和不等式恒成立思想，属于中档题．22.如图，已知AB为⊙O的直径，CE⊥AB于点H，与⊙O交于点C、D，且AB=10，CD=8，DE=4，EF与⊙O切于点F，BF与HD交于点G．（Ⅰ）证明：EF=EG；（Ⅱ）求GH的长．【答案】（Ⅰ）证明：连接AF、OE、OF，则A，F，G，H四点共圆由EF是切线知OF⊥EF，∠BAF=∠EFG∵CE⊥AB于点H，AF⊥BF，∴∠FGE=∠BAF∴∠FGE=∠EFG，∴EF=EG…（5分）（Ⅱ）解：∵OE2=OH2+HE2=OF2+EF2，∴EF2=OH2+HE2-OF2=48，∴EF=EG=4，∴GH=EH-EG=8-4…（10分）【解析】（Ⅰ）证明：连接AF、OE、OF，则A，F，G，H四点共圆，证明∠FGE=∠BAF=∠EFG，即可证明EF=EG；（Ⅱ）求出EG，EH，即可求GH的长．本题考查圆的内接四边形的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．23.己知曲线C l的参数方程为（t为参数），已知曲线C2的极坐标方程为=1．（1）写出曲线C1、C2的直角角坐标方程．（2）若曲线C1和C2有旦只有一个公共点，求实数m的值．【答案】解：（1）C曲线C l的参数方程为（t为参数），转化为直角坐标方程为：y=mx-2m-1．曲线C2的极坐标方程为=1．转化为直角坐标方程为：x2+y2-4y=0（y≠0）（2）当曲线C1和C2有旦只有一个公共点，即：直线与圆相切时，∴当直线过（0，0）点时∴综上所述：或【解析】（1）直接把参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程．（2）利用点到直线的距离等于半径求出参数及利用直线的特殊性求出结果．本题考查的知识要点：参数方程与直角坐标方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线和圆相切的充要条件的应用，主要考查学生的应用能力．24.（选修4-5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞-1，且当，时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x-1|+|2x-2|-x-3＜0．设y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，则y=，＜，，＞，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞-1，且当，时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a-2对，都成立．故-≥a-2，解得a≤，故a的取值范围为（-1，]．【解析】（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x-1|+|2x-2|-x-3＜0．设y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．（Ⅱ）不等式化即1+a≤x+3，故x≥a-2对，都成立．故-≥a-2，由此解得a的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，函数的单调性的应用，体现了数形结合以及转化的数学思想，属于中档题．。
辽宁省抚顺市重点高中协作校高考数学模拟试卷理(含解析)
辽宁省抚顺市重点高中协作校2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U=Z，P={﹣2，﹣1，1，2}，Q={x|x2﹣3x+2=0}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{﹣1，﹣2} B．{1，2} C．{﹣2，1} D．{﹣1，2}2．（5分）已知复数z满足=i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取最大编号为（）A．15 B．18 C．21 D．244．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．25．（5分）已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为（）A．9 B．10 C．11 D．127．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，沿BD将三角形ABD折起，连接AC，所得三棱锥A﹣BCD的主视图和俯视图如图所示，则三棱锥A﹣BCD左视图的面积为（）A．B．C．D．8．（5分）在如图的程序中所有的输出结果之和为（）A．30 B．16 C．14 D．99．（5分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A． B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+4φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为（）A．g（x）=2sinx B．g（x）=2sin2x C．g（x）=2sin x D．g（x）=2sin（2x﹣）11．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点F，A，B是抛物线上横坐标不相等的两点，若AB的垂直平分线与x轴的交点是（4，0），则|AB|是最大值为（）A．2 B．4 C．6 D．1012．（5分）设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”，设函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“密切函数”，则实数m的取值范围是（）A．[e﹣1，2] B．[e﹣2，2] C．[﹣e，1+e] D．[1﹣e，1+e]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（x﹣）6的展开式中x4的系数是．14．（5分）已知平面向量，满足||=3，||=2，与的夹角为60°，若（﹣m）⊥，则实数m=．15．（5分）在数列{a n}中，已知a1=1，a n+1﹣a n=sin，记S n为数列{a n}的前n项和，则S2015=．16．（5分）已知P、A、B、C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P﹣ABC的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对应的边长为a，b，c，且（2b﹣c）cosA=acosC．（1）求角A的大小；（2）若a=1，cosB=，求△ABC的面积．18．（12分）“十一黄金周”期间某市再次迎来了客流高峰，小李从该市的A地到B地有L1、L2两条路线（如图），L1路线上有A1、A2、A3三个路口，各路口遇到堵塞的概率均为；L2路线上有B1、B2两个路口，各路口遇到堵塞的概率依次为、．（1）若走L1路线，求最多遇到1次堵塞的概率；（2）按照“平均遇到堵塞次数最少”的要求，请你帮助小李从上述两条路线中选择一条最好的出行路线，并说明理由．19．（12分）如图，已知平行四边形ABCD中，AD=2，CD=，∠ADC=45°，AE⊥BC，垂足为E，沿直线AE将△BAE翻折成△B′AE，使得平面B′AE⊥平面AECD．连接B′D，P是B′D上的点．（Ⅰ）当B′P=PD时，求证：CP⊥平面AB′D；（Ⅱ）当B′P=2PD时，求二面角P﹣AC﹣D的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：+=1，（a＞b＞0）的离心率等于，点P（2，）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，过点Q（2，0）的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在定直线l′：x=t，使得l′与AN的交点G总在直线BM上？若存在，求出一个满足条件的t值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）e x（a为实数）．（1）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若存在两个不等实根x1，x2∈（，e），使方程g（x）=2e x f（x）成立，求实数a的取值范围．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答．如果多选，则按所选的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答．如果多选，则按所选的第一题计分．[选修4-1：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答．如果多选，则按所选的第一题计分．[选修4-1：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，x∈R（1）解不等式f（x）≤5；（2）若不等式m2﹣3m＜f（x），对∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．辽宁省抚顺市重点高中协作校2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U=Z，P={﹣2，﹣1，1，2}，Q={x|x2﹣3x+2=0}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{﹣1，﹣2} B．{1，2} C．{﹣2，1} D．{﹣1，2}考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：根据Venn图和集合之间的关系进行判断．解答：解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于P且不属于Q的元素构成，所以用集合表示为P∩（∁U Q），∵Q={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，则P∩（∁U Q）={﹣1，﹣2}．故选：A点评：本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．2．（5分）已知复数z满足=i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数、几何意义即可得出．解答：解：∵=i，∴=﹣2=﹣2=﹣2﹣i，∴复数z的共轭复数﹣2+i在复平面内对应的点（﹣2，1）在第二象限．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数、几何意义，属于基础题．3．（5分）某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取最大编号为（）A．15 B．18 C．21 D．24考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最大编号为x，根据最小编号的和为3，求x即可．解答：解：24个班分为4组，抽取间隔为24÷4=6．设抽到的最大编号为x，根据最小编号的和为3，可得：x﹣3=（4﹣1）×6，解得：x=21，故选：C点评：本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．4．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的渐近线方程，可得a，b的关系，利用e==，即可求得结论．解答：解：由题意，=∴双曲线的离心率e===2．故选：B．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（5分）已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义进行判断即可．解答：解：若a，b，c成等比数列，则b2=ac成立，若a=b=c=0，满足b2=ac，但a，b，c不能成等比数列，故“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的定义是解决本题的关键．6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为（）A．9 B．10 C．11 D．12考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（0，4）．此时z的最大值为z=3×4=12故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．7．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，沿BD将三角形ABD折起，连接AC，所得三棱锥A﹣BCD的主视图和俯视图如图所示，则三棱锥A﹣BCD左视图的面积为（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意可知平面ABD⊥平面BCD，三棱锥A﹣BCD左视图为等腰直角三角形，两条直角边分别是过B和D向AC所做的垂线，做出直角边的长度，得到左视图的面积．解答：解：由正视图和俯视图可知平面ABD⊥平面BCD．三棱锥A﹣BCD左视图为等腰直角三角形，两条直角边分别是过A和C向BD所做的垂线，由等面积可得直角边长为=，∴左视图面积为=．故选：B．点评：本题考查简单几何体的三视图，根据所给的两个三视图得到直观图，这是三视图经常考查的知识点，是一个基础题．8．（5分）在如图的程序中所有的输出结果之和为（）A．30 B．16 C．14 D．9考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算输出S的值，直到满足条件i＞7，程序运行终止，所有的输出结果相加可得答案．解答：解：由程序框图知：第一次循环S=0+1=1，i=2+1=3，输出S=1；第二次循环S=1+3=4，i=3+2=5，输出S=4；第三次循环S=4+5=9，i=5+2=7，输出S=9；第四次循环S=9+7=16，i=7+2=9，输出S=16．满足条件i＞7，程序运行终止，∴所有的输出结果之和为1+4+9+16=30．故选：A．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算输出S的值是解答本题的关键．9．（5分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A． B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由于当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，利用指数函数的图象和性质可得0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象，此函数是偶函数，当x＞0时，即为y=log a x，而函数y=log a||=﹣log a|x|，即可得出图象．解答：解：∵当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象：黑颜色的图象．而函数y=log a||=﹣log a|x|，其图象如红颜色的图象．故选B．点评：本题考查指数函数与对数函数的图象及性质，属于难题．10．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+4φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为（）A．g（x）=2sinx B．g（x）=2sin2x C．g（x）=2sin x D．g（x）=2sin（2x﹣）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由图象可得A，T，可解得ω，由图象过点C（0，1），可得sin4φ=，结合范围0＜φ＜，解得4φ=，可得解析式f（x）=2sin（x+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．解答：解：∵由图象可知，A=2，，∴T=4，解得，故f（x）=2sin（x+4φ），∵图象过点C（0，1），∴1=2sin4φ，即sin4φ=，∵0＜φ＜，∴0＜4φ，∴4φ=，故f（x）=2sin（x+），若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得到的函数g（x）的解析式为y=2sin（2x+），再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin （2x﹣）．故选：D．点评：本题主要考查了三角函数解析式的求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基本知识的考查．11．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点F，A，B是抛物线上横坐标不相等的两点，若AB的垂直平分线与x轴的交点是（4，0），则|AB|是最大值为（）A．2 B．4 C．6 D．10考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依题意知，抛物线y2=4x的焦点F（1，0），设A（x1，y1） B（x2，y2），利用线段的垂直平分线的性质可得，|MA|2=|MB|2，整理可知x1+x2=4，利用不等式AB≤AF+BF即可求得答案．解答：解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），设A（x1，y1） B（x2，y2），∵线段AB的垂直平分线恰过点M（4，0），∴|MA|2=|MB|2，即+=+，又=4x1，=4x2，代入并展开得：16+﹣8x1+4x1=﹣8x2+16+4x2，即﹣=4x1﹣4x2，又x1≠x2，x1+x2=4，∴线段AB中点的横坐标为（x1+x2）=2，∴AB≤AF+BF=（x1+）+（x2+）=4+2=6（当A，B，F三点共线时取等号）．即|AB|是最大值为6．故选：C．点评：本题考查抛物线的简单性质，考查线段的垂直平分线的性质的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．12．（5分）设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”，设函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“密切函数”，则实数m的取值范围是（）A．[e﹣1，2] B．[e﹣2，2] C．[﹣e，1+e] D．[1﹣e，1+e]考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：由题意知|lnx+﹣m|≤1，变形得m﹣1≤lnx+≤m+1，令h（x）=lnx+（），则问题转化为函数h（x）的值在[m﹣1，m+1]，对函数h（x）求导即可得h（x）在[，e]上的最值情况，对比后即可答案．解答：解：∵函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“密切函数”，∴对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，即|lnx+﹣m|≤1，从而m﹣1≤lnx+≤m+1，令h（x）=lnx+（），则h′（x）==，从而当x＞1时，h′（x）＞0；当x＜1时，h′（x）＜0；当x=1时，h（x）取极小值，也就是最小值，故h（x）在[，e]上的最小值为1，最大值为e﹣1，所以m﹣1≤1且m+1≥e﹣1，从而e﹣2≤m≤2，故选：B．点评：本题考查新定义函数，其本质仍是通过变形，求导讨论函数的单调性，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（x﹣）6的展开式中x4的系数是6．考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为4，求出展开式中x4的系数解答：解：展开式的通项为T r+1=，令6﹣r﹣r=4，解得r=1，此时T2=C61x4=6x4，则展开式中x4的系数是6，故答案为：6点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，求出展开式的通项公式是解决本题的关键．14．（5分）已知平面向量，满足||=3，||=2，与的夹角为60°，若（﹣m）⊥，则实数m=3．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：由题意可得=3×2×cos60°=3，（）•=﹣m=9﹣m×3=0，解方程求得实数m的值．解答：解：由题意可得=3×2×cos60°=3，（）•=﹣m=9﹣m×3=0，∴m=3，故答案为：3．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求出=3，是解题的关键．15．（5分）在数列{a n}中，已知a1=1，a n+1﹣a n=sin，记S n为数列{a n}的前n项和，则S2015=1008．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：a1=1，a n+1﹣a n=，可得a2=a1+sinπ=1，同理可得a3=1﹣1=0，a4=0+0=0，a5=0+1=1，可得a5=a1，以此类推可得a n+4=a n．利用数列的周期性即可得出．解答：解：∵a1=1，a n+1﹣a n=，∴a2=a1+sinπ=1，同理可得a3=1﹣1=0，a4=0+0=0，a5=0+1=1，∴a5=a1，以此类推可得a n+4=a n．∴S2015=503×（a1+a2+a3+a4）+a1+a2+a3=503×2+2=1008．故答案为：1008．点评：本题考查了数列的周期性、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）已知P、A、B、C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P﹣ABC的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为16π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，由已知条件推导出a=R，再由三棱锥P﹣ABC的体积为，求出R=2，由此能求出球O的表面积．解答：解：如图，P，A，B，C是球O球面上四点，△ABC是正三角形，设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，∵∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，OB=OP=R，∴OS=，BS=，∴=，解得a=R，2a=R，∵三棱锥P﹣ABC的体积为，∴=，解得R=2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故答案为：16π．点评：本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时确定球O的半径是关键．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对应的边长为a，b，c，且（2b﹣c）cosA=acosC．（1）求角A的大小；（2）若a=1，cosB=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由已知及余弦定理可得b2+c2﹣a2=，从而可求得cosA，结合A的范围即可求得A的值．（2）由已知先求sinB，由正弦定理可求b，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式可求sinC，由三角形面积公式即可得解．解答：解：（1）∵（2b﹣c）cosA=acosC．∴由余弦定理可得：（2b﹣c）×=a×．∴整理可得：b2+c2﹣a2=，∴cosA===，∴由0＜A＜π，可解得：A=．（2）∵cosB=，0＜B＜π，可解得：sinB==，∴由正弦定理可得：b===，∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==，∴S△ABC===．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式的综合应用，属于基本知识的考查．18．（12分）“十一黄金周”期间某市再次迎来了客流高峰，小李从该市的A地到B地有L1、L2两条路线（如图），L1路线上有A1、A2、A3三个路口，各路口遇到堵塞的概率均为；L2路线上有B1、B2两个路口，各路口遇到堵塞的概率依次为、．（1）若走L1路线，求最多遇到1次堵塞的概率；（2）按照“平均遇到堵塞次数最少”的要求，请你帮助小李从上述两条路线中选择一条最好的出行路线，并说明理由．考点：互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（1）走路线L1最多遇到1次红灯为事件A，分为两种情况，一种是3次都没有遇到红灯，一种是只有一次遇到红灯，计算出即可；（2）由题意可得，走L2路线，遇到堵塞的次数为X，X可能取值为0，1，2．利用独立事件的概率计算公式和互斥事件的概率计算公式即可得出概率，设选择路线L1遇到红灯次数为Y，则Y～B（3，），利用公式计算出EX，EY，比较即可得到答案．解答：解：（1）设走L1路线，最多遇到1次堵塞为A事件，则P（A）=×+××=，故走L1路线，最多遇到1次堵塞的概率为；（2）设走L2路线，遇到堵塞的次数为X，则X的可能取值为0，1，2，P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）=，P（X=1）=×（1﹣）+（1﹣）×=，P（X=2）=×=，则EX==，设走L1路线，遇到堵塞的次数为Y，则Y服从二项分布，Y～B（3，），则EY=3×=2，由于EX＜EY，故L2路线是最好的出行路线．点评：熟练掌握独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式、数学期望计算公式、分类讨论思想方法、二项分布概率计算公式是解题的关键．19．（12分）如图，已知平行四边形ABCD中，AD=2，CD=，∠ADC=45°，AE⊥BC，垂足为E，沿直线AE将△BAE翻折成△B′AE，使得平面B′AE⊥平面AECD．连接B′D，P是B′D上的点．（Ⅰ）当B′P=PD时，求证：CP⊥平面AB′D；（Ⅱ）当B′P=2PD时，求二面角P﹣AC﹣D的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：（Ⅰ）由已知，得出E′E⊥EC，建立空间直角坐标系．通过•=0，•=0得出CP⊥AB′，CP⊥AD，证出CP⊥平面AB′D；（Ⅱ）设P（x，y，z），则=（x，y，z﹣1），=（2﹣x，1﹣y，﹣z），由=2得出P（，，），分别求出面PAC 的法向量，平面DAC的法向量，利用向量的夹角求出二面角P﹣AC﹣D 的大小．解答：解：（Ⅰ）∵AE⊥BC，平面B′AE⊥平面AECD，∴B′E⊥EC．如图建立空间直角坐标系，…（2分）则A（0，1，0），B′（0，0，1），C（1，0，0），D（2，1，0），E（0，0，0），P（1，）．=（0，﹣1，1），=（2，0，0），=（0，）．…（4分）∵•=0，∴CP⊥AB′•=0，∴CP⊥AD又AB′∩AD=A，∴CP⊥平面AB′D；…（7分）（Ⅱ）设P（x，y，z），则=（x，y，z﹣1），=（2﹣x，1﹣y，﹣z），由=2得解得x= y=，z=，∴P（，，）=（，，），=（1，﹣1，0）…（10分）设面PAC 的法向量为=（x，y，z），则．取x=y=1， z=﹣3．，则=（1，1，﹣3），…（12分）又平面DAC的法向量为=（0，0，1），设二面角P﹣AC﹣D的大小为θ，则cosθ===．…（14分）点评：本题考查空间直线和平面垂直的判定，二面角大小求解．考查空间想象、推理论证能力．利用空间向量的方法，能降低思维难度，思路相对固定，是人们研究解决几何体问题又一有力工具．20．（12分）已知椭圆C：+=1，（a＞b＞0）的离心率等于，点P（2，）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，过点Q（2，0）的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在定直线l′：x=t，使得l′与AN的交点G总在直线BM上？若存在，求出一个满足条件的t值；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意可得：，解得即可．（2）当l⊥x轴时，M，N，联立直线AN、BM的方程可得G．猜测常数t=8．即存在定直线l′：x=t，使得l′与AN的交点G总在直线BM上．当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），G（8，t）．把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，由于=（12，t），=（x2+4，y2），利用三点共线可得t（x2+4）﹣12y2=0，只要证明三点B，M，G共线即可．利用向量的坐标运算及其根与系数的关系即可证明．解答：解：（1）∵椭圆C：+=1，（a＞b＞0）的离心率等于，点P（2，）在椭圆上．∴，解得a2=16，b2=4，c=．∴椭圆C的方程为．（2）当l⊥x轴时，M，N，直线AN、BM的方程分别为，．分别化为：=0，=0．联立解得G．猜测常数t=8．即存在定直线l′：x=t，使得l′与AN的交点G总在直线BM上．证明：当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），G（8，t）．联立，化为（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣16=0．∴，．∵=（12，t），=（x2+4，y2），三点A，N，G共线．∴t（x2+4）﹣12y2=0，∴=由于=（4，t），=（x1﹣4，y1），要证明三点B，M，G共线．即证明t（x1﹣4）﹣4y1=0．即证明﹣4k（x1﹣2）=0，而3（x2﹣2）（x1﹣4）﹣（x1﹣2）（x2+4）=2x1x2﹣10（x1+x2）+32==0，∴﹣4k（x1﹣2）=0成立．∴存在定直线l′：x=8，使得l′与AN的交点G总在直线BM上．综上可知：存在定直线l′：x=8，使得l′与AN的交点G总在直线BM上．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的坐标运算、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）e x（a为实数）．（1）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若存在两个不等实根x1，x2∈（，e），使方程g（x）=2e x f（x）成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求出f'（x）=lnx+1，利用导数与单调性的关系，分类求解，利用导数求出函数f（x）在[t，t+2]上的单调区间，求出极值和区间端点值，比较大小后得到f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）把f（x）和g（x）的解析式代入g（x）=2e x f（x），分离变量a，然后构造函数h（x）=x+2lnx+，由导数求出其在[，e]上的最大值和最小值，则实数a的取值范围可求．解答：解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=lnx+1，x （0，）（，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）单调递减极小值（最小值）单调递增①当t≥时，在区间（t，t+2）上f（x）为增函数，∴f（x）min=f（t）=tlnt；②当0＜t＜时，在区间（t，）上f（x）为减函数，在区间（，+∞）上f（x）为增函数，∴f（x）min=f（）；（Ⅱ）由g（x）=2e x f（x），可得：2xlnx=﹣x2+ax﹣3，a=x+2lnx+，令h（x）=x+2lnx+，h′（x）=1+﹣．x （，1）1 （1，e）h′（x）﹣0 +h（x）单调递减极小值（最小值）单调递增因为h（）=+3e﹣2，h（1）=4，h（e）=+e+2．h（e）﹣h（）=4﹣2e+＞0．∴使方程g（x）=2e x f（x）存在两不等实根的实数a的取值范围为4≤a＜e+2+．点评：本题考查了导数在求函数最值中的应用，关键在于由导函数的符号确定原函数的单调性，考查利用构造函数法求解含字母系数的范围问题，解答的技巧是分类字母系数，是2015届高考试卷中的压轴题．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答．如果多选，则按所选的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．解答：解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答．如果多选，则按所选的第一题计分．[选修4-1：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ把圆C的极坐标方程，由消元法把直线l的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）根据直线l与圆C有公共点的几何条件，建立关于a的不等式关系，解之即可．解答：解：（Ⅰ）由得，，则，∴直线l的普通方程为：4x﹣3y+5=0，…（2分）由ρ=2acosθ得，ρ2=2aρcosθ又∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x∴圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2=a2，…（5分）（Ⅱ）∵直线l与圆C恒有公共点，∴，…（7分）两边平方得9a2﹣40a﹣25≥0，∴（9a+5）（a﹣5）≥0∴a的取值范围是．…（10分）点评：本题主要考查学生会将曲线的极坐标方程及直线的参数方程转化为普通方程，运用几何法解决直线和圆的方程的问题，属于基础题．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答．如果多选，则按所选的第一题计分．[选修4-1：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，x∈R（1）解不等式f（x）≤5；（2）若不等式m2﹣3m＜f（x），对∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；全称命题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）运用零点分区间的方法，讨论x＜﹣3，﹣3≤x≤1，x＞1去掉绝对值，解不等式，再求并集即可；（2）运用绝对值不等式的性质，可得f（x）的最小值为4，再由不等式恒成立思想可得二次不等式，解得即可．解答：解：（1）原不等式等价为或或，可得﹣≤x＜﹣3或﹣3≤x≤1或1＜x≤，则原不等式的解集为[﹣，]；（2）由于f（x）=|x﹣1|+|x+3|≥|（x﹣1）﹣（x+3）|=4，则f（x）的最小值为4，由题意可得m2﹣3m＜f（x）min，即有m2﹣3m＜4，解得﹣1＜m＜4．点评：本题考查绝对值不等式的解法，主要考查分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题和易错题．。
2015年辽宁重点中学协作体高考模拟考试理数
2015年辽宁重点中学协作体高考模拟考试数学（理科)试卷参考答案一、选择题：CABDC DBCAD CB二、填空题：13. 5 14。
4 15.112π-三、解答题:17。
解：(Ⅰ）()2f x T πω=∴=的最小正周期 5(,0)24π为f(x)的图像的对称中心 520242212k πππϕπϕπϕ∴⨯+=+<<∴=且 ()2cos(2)12f x x π∴=+-————-———---——--—--—-—-——--——-—--——4分 22212k x k ππππ-≤+≤令 132424k x k ππππ-≤≤- 故132424k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦f(x)单调递增区间为：，………………………6分（Ⅱ）()2cos()cos()21212A f A A ππ-=-=-= 111212121243A A A ππππππ-<-<∴-=∴=………………………………9分 22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-22()9393()2b c b c bc +∴+=+≤+6b c ∴+≤当且仅当3b c ==时取等号故b c +的最大值为6……………………………………12分18．解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，． ...。
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3分（Ⅱ）在，，成绩分组的学生分别为15人，20人，5人，现要按分层抽样抽取8人，则在，，成绩分组中 各抽取3人，4人，1人. .。
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(6)（Ⅲ）0,1,2,3X =454851(0)7014C p X C ==== 315348303(1)707C C p X C ⋅==== 225348303(2)707C C p X C ⋅==== 13534851(3)7014C C p X C ⋅====..。
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辽宁省重点中学协作体2015年高考模拟考试数学（理）试题第I卷一、选择题。
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．设R为实数集，集合=2．已知复数A．1 B．C．D．3．函数所对应的图象向左平移署个单位后的图象与y轴距离最近的对称轴方程为4．己知数列5．由所对应的曲线围成的封闭图形的面积为6．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为7．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为，则的数学期望是（）A．20 B．25 C．30 D．408．若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数均为集合{1，2，3，4}中不同元素；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的，则满足①②条件的矩阵的个数为A．48 B．72 C．144 D．264;9．下列四个命题：①己知服从正态分布②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线③命题冉已知”是真命题④已知点则动点P的轨迹为双曲线的一支其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知向量为单位向量，最大僮为（）A．B．4 C．D．211．抛物线，直线l经过该抛物线的焦点F与抛物线交予A，B两点（A点在第一象限），且，则三角形AOB（O为坐标原点）的甄积为（）12．已知函数的一个零点，若，则符合条件的露的值有（）A．l个B．2个C．3个D．无数个第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第1 3题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22题～第24题为选考题，考生依据要求作答。
二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在答题卡相应题号后的横线上13．的展开式中含有非零常数项，则正整数刀的最小值为．14．设{}为等比数列，其中a4=2，a5=5，阅读如图所示的程序框图，则输出结果s为____．15．将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是____．16．如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．若则四棱锥P-ABCD的体积最大值为____三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）己知函数的最小正周期为万，点（，0）为它的图象的一个对称中心．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）在△ABC，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若，求b+c的最大值．18．（本小题满分12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为疗）进行统计，按照【50，60），【60,70），[70,80），【80,90），[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），【90，100]的数据）．（I）求样本容量月和频率分布直方图中x，y的值；（II）把在[60，70），[70，80），[80，90）的成绩分组的学生按分层抽样的方法抽取8人．求[60,70），[70，80），[80,90）成绩分组中各应该抽取的人数；（III）在（II）中的8人中随机抽取4名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，记X为成绩在[60,70）的人数，求X的分布列和数学期望。
19．（本小题满分12分）如图，四棱锥层-ABCD中，平面EAD⊥ABCD，CD//AB,BC⊥CD, EA⊥ED．且AB=4，BC =CD =EA=ED=2（I）求证：BD⊥平面ADE；（Ⅱ）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F，使得平面BDF上平面CDE？如果存在点F，t请指出点F的位置；如果不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）如图，两条过原点。
D的直线l1，l2分别与x轴、y轴正方向成30°的角，点P（x1，y1）在直线l1上运动，点Q（x2，y2）在直线l2上运动，且线段PQ的长度为2（I）若求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）过（-1，0）的直线l与（I）中轨迹C相交于A,B两点，若△ABC的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程21．（本小题满分12分）己知二次函数，且函数处取得极值．（1）求a，b所满足的关系；（Ⅱ）试判断是否存在恒成立？如果存在，请求出符合条件的a的所有值；如果不存在，说明理由．考生在第22、23、24题中任送—道作答，并糟28铅笔将答趣卡上所选的题目对反的题号右侧方框涂黑，按废涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的酋题进行评分．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知CD=8，DE= 4，EF与切于点F，BF与HD交于点G．（I）证明：EF=EG；（II）求GH的长．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程己知曲线C l的参数方程为，已知曲线C2的极坐标方程为（1）写出曲线C1、C2的直角角坐标方程。
（2）若曲线C1和C2有旦只有一个公共点，求实数m的值．24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式逡讲已知函数（I）当的解集；（Ⅱ）设恒成立，求a的取值范围．2015年辽宁重点中学协作体高考模拟考试数学（理科）试卷参考答案一、选择题：CABDC DBCAD CB 二、填空题：13. 5 14. 4 15.112π-三、解答题：17.解：（Ⅰ）()2f x T πω=∴= 的最小正周期 5(,0)24π为f(x)的图像的对称中心 520242212k πππϕπϕπϕ∴⨯+=+<<∴=且 ()2cos(2)12f x x π∴=+-----------------------------------4分22212k x k ππππ-≤+≤令132424k x k ππππ-≤≤- 故132424k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦f(x)单调递增区间为：，………………………6分（Ⅱ）()2cos()cos()21212A f A A ππ-=-=-=111212121243A A A ππππππ-<-<∴-=∴=………………………………9分22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-22()9393()2b c b c bc +∴+=+≤+ 6b c ∴+≤当且仅当3b c ==时取等号故b c +的最大值为6……………………………………12分18．解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，． ..............3分（Ⅱ）在，，成绩分组的学生分别为15人，20人，5人，现要按分层抽样抽取8人，则在，，成绩分组中 各抽取3人，4人，1人. ...............................6分 （Ⅲ）0,1,2,3X =454851(0)7014C p X C ==== 315348303(1)707C C p X C ⋅==== 225348303(2)707C C p X C ⋅==== 13534851(3)7014C C p X C ⋅====分布列为：.....................................10分.3()2E X =............................................12分 19.解：（1）,2,,2,BC CD BC CDBD EA ED EA ED AD⊥===⊥===由可得且可得 又4,AB BD AD =⊥所以又平面EAD ⊥平面ABCD ，平面,ADE ABCD AD ⋂=平面 ,BD ABCDBD ⊂⊥平面所以平面ADE（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -(0,0,0),(D B C E BE DE DC =-==设平面CDE 的法向量(,,)n x y z =0(1,1,1)0n +=∴=-+=⎪⎩ 设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，得sin cos ,3BE n BE n BE nα⋅=<>==⋅即直线BE 与平面CDE...................................8分 (3)设[],0,1,DC (CF CE CE DB λλ=∈===得所以1,1,)DF DC CF DC CE λλλλ=+=+--+设平面BDF 的法向量(,,)m x y z =012(1,0,)(21)(1)0m x y z λλλλλ⎧=-⎪∴=⎨-+-++=⎪⎩...................................10分 因为平面CDE 的法向量(1,1,1)n =-且平面BDF CDE ⊥平面所以0m n ⋅=所以[]10,13λ=∈故在线段CE 上存在一点F (靠近C 点处的三等分点处)，使得平面.BDF CDE ⊥平面 ......................................12分20.解：（Ⅰ） 1l ：x y 33=，2l ：x y 3-=， ),(11y x P 在直线1l 上运动，),(22y x Q 在直线2l 上运动，1133x y =∴,223x y -=， …………………… 2分 由已知得直线21l l ⊥，且2=PQ得4)()(22222121=+++y x y x ，即44342221=+x x ，亦即 132221=+x x ，由1212,,323x x y x x x y ==⇒== 所以动点(,)M x y 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1 …………………… 4分（Ⅱ）解法一：当直线l ⊥x 轴时，得A (－1，32)、B (－1，－32)，S △AOB ＝12·|AB |·|OF 1|＝12×3×1＝32，不符合题意． ………………………………5分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，k ≠0， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1 ，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.显然Δ＞0成立，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2.又|AB |＝ x 1－x 2 2＋ y 1－y 2 2＝ x 1－x 2 2＋k 2 x 1－x 2 2＝ 1＋k 2 x 1－x 2 2＝1＋k 2 x 1＋x 2 2－4x 1·x 2＝1＋k 264k 4 3＋4k 2 2－4 4k 2－12 3＋4k 2，即|AB |＝ 1＋k 2·12k 2＋13＋4k 2＝12 k 2＋13＋4k 2. ………………………8分又圆O 的半径r ＝|k ×0－0＋k |1＋k 2＝|k |1＋k 2，所以S △AOB ＝12·|AB |·r ＝12·12 k 2＋1 3＋4k 2·|k |1＋k 2＝6|k |1＋k 23＋4k 2＝627.化简得17k 4＋k 2－18＝0，即(k 2－1)(17k 2＋18)＝0，解得k 21＝1，k 22＝－1817(舍)， …………………………………10分 所以r ＝|k |1＋k2＝22， 故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12. ……………………………………12分解法二：设直线l 的方程为x ＝ty －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y 23＝1，消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0.因为Δ＞0恒成立，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1·y 2＝－94＋3t 2， 所以|y 1－y 2|＝ y 1＋y 2 2－4y 1·y 2＝36t 2 4＋3t 2 2＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t 2. ………………………………………8分所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2＝627.化简得18t 4－t 2－17＝0，即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0，解得t 21＝1，t 22＝－1718(舍)． …………………………………………10分又圆O 的半径为r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝11＋t 2，所以r ＝11＋t 2＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12 ………………………………………12分21.解：（Ⅰ）2()1ln()F x ax bx ex =++-1()2F x ax b x'=+-()1F x x = 在处取极值(1)210F a b '∴=+-=212122(12)1(21)(1)()011122ax a x ax x F x x x x x x x a a +--+-'====-=≠∴≠-，且1210()2a b a ∴+-=≠-为,a b 所满足的关系. ............4分（Ⅱ）2()(12)ln F x ax a x x =+--当(0,2)a ∈时，[]1,2x ∈ 且(()()0x a F x +≥()0F x ∴≥ [](](21)(1)()0()1,2()(1)100,1ax x F x xF x F x F a a +-'=≥∴∴≥=-≥∴∈ 在增即可 .................................6分 当()1202a a ∈-≠-，且时， 12112x x a=-=ⅰ）若111222a a -<-<<-即时，()F x 在[]12，单调递减 02ln 2()101F x ax a a x a ∴<-≤≤-∴+≥≥-≥-即可得故可得 11,2a ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭...........................8分 ⅱ） 若11112224a a <-<-<<-即时 11()(1,)(,2)22F x a a--在增，减()(1)10,()(2)2ln 20F x F a F x F ≥=->≥=->11()()0(,)24x a F x a ∴+≥∴∈--恒成立 .......................10分ⅲ） 若112024a a -≥-≤<即时 []()1,2F x 在增，且1()()0,04x a F x a ⎡⎫+≥∴∈-⎪⎢⎣⎭恒成立..............11分 综上：(]111,,00,122a ⎡⎫⎛⎫∈--⋃-⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.............................12分22.解：（1）连接 AF OE OF 、、则A F G H 、、、四点共圆EF 是切线知OF EF ⊥G F G E B A F E F E F E G∴∠=∠=∠∴=………………..5分 （2）22222OE OH HE OF EF =+=+222222238548EF OH HE OF ∴=+-=+-=EF EG ∴==8GH EH EG ∴=-=-.10分23.解：（1）121C y mx m =--：222:40(0)C x y y y +-=≠…………………4分(2)当直线与圆相切时5212d m ∴==∴=-……………7分 当直线过（0,0）点时1212m m ∴-=∴=-……………………………9分 综上：51122m m =-=-或……………………………10分24.解：（1）设15,21()()()2,1236,1x x F x f x g x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=-=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩由图象可知，()0F x <的解集(0,2)x ∈ ………………………5分（2）当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()1()()f x a f x g x =+≤不等式可化为13a x +≤+ 2x a ∴≥-对1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭恒成立，42123a a a ∴-≥--<≤故………………10分。