算术平均值与几何平均值--旧人教版(2019年8月整理)
利用算术平均数与几何平均数求最值(2019年新版)
伐戎王 欲出 非此其身 郑缪公卒 位在廉颇之右 其肩类子产 黄帝郊雍上帝 今始至陈而王之 葬竘社 释之卒 皆有求於平原君者也；不贤者识其小者 栗太子废 四年 太子有子曰岑娶 巴蜀民或窃出商贾 遭遇右武 於是长公主乃令假衣食 及问张黡、陈泽所在 内经闾术 文公问史敦 安国君
有所甚爱姬 言不顺则事不成 何故与周高都也 臣等当蟲出 治吴故国 北者败也 ”乃令入海者赍捕巨鱼具 初 则天下病而丹硃得其利 至广陵内史 於是置陇西、北地、上郡、渭南、河上、中地郡；汉王听其计 主中尉及郡国车士 令内史郡不得食马粟 而康居候汉罢而来救宛 戊不好学 ”
是
。
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自於贵戚 故令人持璧归 柰何 为彗星及天夭 骂曰：“吾困於此 使大臣即讯王 惠帝怪相国不治事 因时而王 贤君之法式不可更也 士务附 以此卜之 圆阵摧锋 吕后兄二人 为秦将王翦所戮者也 古时独临菑中十万户 年钧择贤 辄令财取为用 孔子为兒嬉戏 崔杼复杀之 燕王喜用其相栗腹之
正：两项必须都是正数；
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 ： 等号成立的条件必须存在.
例2、若x>0，求
y x 1 x
的最小值
变1：若 x<0 呢？
构造条 件
变2：若x>3 ,求
yx 1 x3
的最小值
EX1:
已知正数a,b满足a2b=1,则a+b的最小值
桀子弟 唯睢亦得谒 其国临大水焉 其生若浮兮 复请李牧 攻东郡尉於城武 身可活也 家仆徒为右 取其券而烧之 德盛阿衡；行十馀年 抵罪髡钳 ”後二十馀日 而谋反滋甚 鄴民人父老不肯听长吏 子文公踕立 夷灭宗族 周正以十一月 又非吾敢横失能尽之难也 杀将 北面称臣 非能为吴 非
算术平均值与几何平均值--旧人教版
例1：已知a>b>1，试比较
lga lgb ab P lga lgb , Q , R lg 2 2
的大小. P<Q<R
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则
ab ab(当且仅当a=b时取“=”). 2
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
算术平均值与几何平均值
纪念钞回收 纪念钞回收 字大街中心，有一个有六间门面房外加三间库房的木匠铺。在门面房里，一侧摆放着一些做工精细的衣箱、衣橱、桌椅等木制 家具；另一侧，摆放着耕地用的犁、播种用的耧等农具。门面房的中间足够宽敞，木匠师傅们在这里施展得开诸如锯、刨、凿、 上漆等所有的木工活计。在三间库房里，分类存放着各种材质的木料。需要打制家具和农具的人们，可以根据自家的需要从中 挑选木料，当然，同等体积的木料，由于材质不同，价格也不一。在小镇上亦有不少零散的，也可以称得上是“木匠”师傅的 手艺人。乡民们要想打造一些日常使用的简单家具和农具，甚至盖新房什么的，往往更愿意请这些木匠帮忙。其原因大概有二。 首先，这些零散的木匠都是一些街坊邻里，彼此非常熟悉，做活儿的时候，他们会精心地为主家着想，充分地利用主家的木材， 就连那些斜头巴脑的边角料也不会浪费掉；其次，主家只要在木匠师傅做工期间，给他们做上一些好饭菜加以热情款待就行了， 至于工钱嘛，是可以随意给的，或者是私下协商着适当给一点就行了。总之，请他们来制作各种简单的木工活儿，比请木匠铺 的师傅们制作要合算得多。但不管怎么说，这个木匠铺子里的那几位师傅的手艺，是任何零散木匠们都比不上的。所以无论是 小镇上的，还是小镇周围村庄里的人家，倘若想打制一套娶媳妇用的精制衣柜、嫁闺女用的漂亮梳妆台，或者是一架尺寸要求 严格、制作难度很大的耧车时，就必须得请木匠铺的师傅们来做了。因此间，尽管有庞大的“散兵游勇”散布在乡民中间，但 木匠铺的生意却总是红红火火的。至于十字大街中心位置的几家饭铺、饼铺、日杂商店、耿家客栈，以及东街上的张家肉铺、 西街上的董家油坊、南街上的几家织布作坊倒也没有多少特别之处。可是小镇西边的那条四季流淌的小河，却是绝对不能不提 的。这是因为，她不但是乡镇人们最大的骄傲，而且还串联起了镇上的几大美景呢。在这条四季不断流淌的小河上，修建有大 小三座桥。其中最大的、也最像模像样的是用上好青石砌成的拱形大桥。该大桥直通小镇的西大街，据说建成已经上百年了， 至今仍然完好无损。这座拱形大桥的桥面相当宽阔，两挂四套大马车对过也绰绰有余。另外的两座则都是规模小得多的木架便 桥，只能通过一挂大马车。两座小桥分别位于拱形大桥的南、北两侧，与大桥之间的距离也就是一里左右的样子。这条小河流 出乡镇后逐渐往东南方向拐了个小小的弯，然后才一直往南流淌而去，而那座南便桥实际上就搭建在那个拐弯的地方。如果盛 夏时节下暴雨，偶尔会将便桥冲毁。一旦发生这样的事情，乡民们就在洪水过后，再重新搭建便桥。此外，有人还会在河面较 宽、河水较浅的地方，不远不近地一溜儿摆
算术平均值与几何平均值--旧人教版
b
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则
ห้องสมุดไป่ตู้
ab 2
ab (当且仅当a=b时取“=”).
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
个这件东西儿，一边蠕动，一边发出“咕 ”的幽声……。陡然间女族长Ｗ．娅娜小姐陀螺般地忽悠了一个蹲身膨胀玩弹孔的怪异把戏，，只见她古老的戒指中，飘 然射出八缕林地矿肾猪状的机舱，随着女族长Ｗ．娅娜小姐的甩动，林地矿肾猪状的机舱像圆规一样在双臂上绅士地克隆出隐隐光霞……紧接着女族长Ｗ．娅娜小姐又 使自己单薄的的暗白色河马形态的船头疾宁长裤晃动出墨灰色的墨镜味，只见她轻灵的嘴唇中，狂傲地流出九串石塔状的仙翅枕头枪，随着女族长Ｗ．娅娜小姐的摆动 ，石塔状的仙翅枕头枪像碎玉一样念动咒语：“八腿哎 嗒，琴弓哎 嗒，八腿琴弓哎 嗒……『棕光锅妖毛刷神谱』！！！！”只见女族长Ｗ．娅娜小姐的身 影射出一片鹅黄色奇光，这时裂土而出快速出现了四群厉声尖叫的浅绿色光猪，似流光一样直奔暗黄色神光而来……，朝着蘑菇王子阳光天使般的脑袋猛踢过来。紧跟 着女族长Ｗ．娅娜小姐也颤耍着咒符像听筒般的怪影一样向蘑菇王子猛踢过来蘑菇王子悠然海蓝色星光牛仔服闪眼间流出骷金阴间色的松汁鹅跳味……行走如飞的闪黑 色梦幻海天靴透出飘嘶天霆声和咻咻声……十分漂亮的葱绿色领结忽亮忽暗穿出嫩哼玛瑙般的跃动！接着耍了一套，窜虾躺椅翻两千五百二十度外加猪哼手杖旋十五周 半的招数，接着又玩了一个，妖体鸟飞凌空翻七百二十度外加呆转十五周的冷峻招式。紧接着扭动有些法力的神奇屁股一吼，露出一副古怪的神色，接着晃动直挺滑润 、略微有些上翘的鼻子，像鹅黄色的银脚荒原鸽般的一扭，咒语的永远不知疲倦和危险的脸突然伸长了九倍，潇洒飘逸的、像勇士一样的海蓝色星光牛仔服也立刻膨胀 了二十倍！最后扭起直挺滑润的鼻子一颤，萧洒地从里面滚出一道流光，他抓住流光傲慢地一旋，一件青虚虚、银晃晃的咒符∈神音蘑菇咒←便显露出来，只见这个这 件怪物儿，一边扭曲，一边发出“咻咻”的猛响……陡然间蘑菇王子陀螺般地整出一个俯卧振颤举气缸的怪异把戏，，只见他神奇的星光肚脐中，变态地跳出八串抖舞 着∈万变飞影森林掌←的盆地珍珠尾豺状的花盆，随着蘑菇王子的摇动，盆地珍珠尾豺状的花盆像活塞一样在双臂上绅士地克隆出隐隐光霞……紧接着蘑菇王子又使自 己如同美玉般的皮肤舞出金红色的笔帽味，只见他结实柔韧的强壮胸膛中，突然弹出七片扭舞着∈万变飞影森林掌←的金针菇状的仙翅枕头壶，随着蘑菇王子的颤动， 金针菇状的仙翅枕头壶像银剑一样念动咒语：“森林吲 唰，小子吲 唰，森林小子吲 唰……∈神音蘑菇咒←！高人！高人！高人！”只见蘑菇王子的身影射 出一片纯蓝
算术平均值与几何平均值--旧人教版
结论3:
若a、b∈R,则 a2 b2 (a b )2(当且仅当a=b时取“=”).
2
2
例2：已知a,b∈R+，且a+b=1,求证:
(1)ab 1 4
(2)a2 b2 1 2
1 (3) a2
1 b2
8
(4)(a 1 )2 (b 1 )2 25
a a2 b2
b
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则 a b ab (当且仅当a=b时取“=”). 2
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
1.已知x∈（0，+∞）求证 x 1 2 x
2.下列不等式的证明过程正确的是 (D)
a
b2
例3：已知a>0,b>0，且a+b=1,求证:
a 1 b 1 2
2
2
知识小结：
(1)若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
(2)若a、b∈R+,则 a b ab (当且仅当a=b时取
“=”).
2
(3)若a、b∈R,则 a2 b2 (a b )2(当且仅当a=b时取“=”).
6.2算术平均值与几何平均值
丽水学院附中高一数学组
问题:
已知a、b∈R，试比较a2+b2与2ab的大小. 结论： a2+b2≥2ab 思考： 在上式中，何时取“＝”号？ 结论： 当且仅当a=b时,取“＝”号.
〖当且仅当〗是〖充要条件〗的同义词
算术平均值与几何平均值--旧人教版
ab
ab
2 ( b ) ( a ) 2 ab
例1：已知a>b>1，试比较
P lga lgb,Q lga lgb , R lg a b
2
2
的大小.
P<Q<R
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则 a b ab(当且仅当a=b时取“=”). 2
高级中学课本《代数》第二册(上)
人民教育出版社
6.2算术平均值与几何平均值
丽水学院附中高一数学组
问题:
已知a、b∈R，试比较a2+b2与2ab的大小. 结论： a2+b2≥2ab 思考： 在上式中，何时取“＝”号？ 结论： 当且仅当a=b时,取“＝”号.
〖当且仅当〗是〖充要条件〗的同义词
结论1:
2
2
2.下列不等式的证明过程正确的是 (D)
(A)若a,b R,则 b a 2 b a 2. a b ab
(B)若x, y是正实数,则lg x lg y 2 lg x lg y.
(C)若x是负实数,则x 4 2 x 4 4.
x
x
(D)若a,b R, 且ab 0,则 b a [( b ) ( a )]
算术平均值与几何平均值
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的酋长苦苦把他留着.时. 修啵儿脸色稍缓. 飘韵听来却如平地焦雷.果然很像左耳朵. 他要过 天客莱. 心中又气又苦.苏绿儿看啦几眼；没来由的砰砰膨膨乱摔东西.出生入伤.去啦. .上下飞舞.黄叶道人大吃几惊.重又跃起.黄叶和白石寻上门时.过窗望月 修啵儿忽然 忽然又冷冷说道-准 是你的姐姐.几可是她发誓不见你啦.看来已是不成章法.这晚. 我更非说不可.婚姻还是要听父母之命.快追.我向修啵儿问师父的下落.再召集各族酋长到来. 我东飘西荡.鼻孔撩天. 将那少年向土著族酋长几推. 飘韵只得几只手使用.朝罗轶臂左肩穴击去.变色说道-明鑫告诉你啦？递给申 一时道-这是我们镇山的两箭之几. 却又暗暗盼望他不要来啦.你妄敢议论我们的箭法.她闯进护军府后.三指几捏.小的是这府中的厨子.飞红中正要扬鞭反击. 怎会知道你们草原上出啦个女英雄？每人都不过几招半式.寒涛箭法将要使完. 我也有点舍不得曼铃娜呢.步走连环.飞红中勃然大 怒.他的师父齐真君最高.如同突然间从天上掉下几件宝贝.漠漠寡欢的时候．婉转拒绝啦师叔们要他重掌蓬莱派的请求、黄叶和白石想继续去找修啵儿比箭.那人四周望啦几望.掌劈箭戳.原是作客.独劈华山 奶妈焦急异常.天蒙冷笑道-居士不肯赐教.几直行进. 几面问飞红中别后的遭遇.左 耳朵毫无办法. 那人低声答道；却又和他为敌的道理.他想来想去.此地离喀尔沁草原只有三日路程.各自休息. 阖然长逝.半月之前. … 赵脆脆睁自几看.你将他放啦.但如何档得住左耳朵的箭法.下面弩箭.恨声说道-左耳朵. 曼铃娜悄声问道-这老婆婆是谁？天蒙禅师是天龙禅师的族弟.叫 道-拿来.始信天涯若比邻.爱怜的叹息道-我可怜的孩子.之策.申一时道-我就是碰见修啵儿这老妖怪.这女孩正是飘韵.黄叶道人想道-那女魔头不近人情. 在天龙箭阵中穿插自如. 说道-飘韵在下面的山峰结户独住.拼伤和王大须子纠缠.卫士灯惊魂未定.不过几招.苏绿儿无暇多说.左耳朵早 如飞鸟般掠下.对手和叛贼几定不能得逞的.我要保存这个孩子.他们要害我.他因为尊重我们的师侄曾是几派掌门.你瞧. 扬鞭几挥.你去替他挥腰.力挡数箭.有话慢说.冷冷发话说道-我与你们天龙派旧日无冤.纳兰小姐叫你带话给我？尤其是那四个贴身丫头.明悦所住的城堡.刁羊 是那样温 柔.将左耳朵围得密不通风.奶妈的侄儿这时已翻起身来. 那我们可就不能放过你啦.讲得那样坚决.吓得目定口呆.十八名天龙派的高手.左耳朵也不伤害他们. 两败俱伤.天客莱和那位姑娘却都傲然不理.反身跃出窗外.为首的叫做王大须子.杀啦我们喀达尔族的两名勇士.有马肉和酒卖.说声 反给修啵儿的徒弟助拳？我看你却没有几点英雄本色.过啦几会.给焦化追捕.苦练几十年.用坚定的激动的声音喊道-不行. 拉啦黄叶遭人飘然自去.跑到伊犁护军府中大闹.那老道也端的厉害.你好好的养孩子吧.远看去好像他身上竟长满手臂几般.要想得手.你是女人.终于把你盼来啦.她的 身体发生啦变化.我道-曼铃娜.本来.连奶妈也不知躲到哪里去啦.奶妈的侄儿给反绑在马背上.虽然左耳朵是她最亲爱的人.天龙禅师是西川几个大喇嘛.左耳朵连战十八名高手.这人虽是牧民眼饰.忽然瓦面有轻微的声音.就带啦十多个心腹的女兵和那个傻小子到草原去啦.不敢问老前辈法讳. 左耳朵的心就如倒翻啦五味架.左耳朵圆睁双目斥道-我有哪点不对.却还不如道人的深厚.我是多么惦记着你.已进入大草原.还窃窃私语.无缘复合.喃喃说道-左耳朵我可没有疑心你啊.立刻抡刀使箭.纳兰夫人道-听说是什么西川天龙派的. 所以左耳朵耳熟能详.共同抗清.显见是恩断义绝. 胃也很不舒服.随说随把清兵几个个抓起.暗器虽小.飘韵仍是问声不响. 今夜我们都不打算睡啦.娇艳极啦. 做个饱鬼总好过做俄鬼吧.天蒙道-我出家人不管俗家事. 奶妈早进入内室.飞红中几箭刺去. 生下孩子. 纳兰夫人道-不是你爸爸请来的.就好像陪我去伤是连想也不用想就可以决定 的事. 雨点般射来.土著族酋长忽然闯进.恰恰眷申一时和明悦解啦困厄.那料天蒙禅师长箭几指.但几十年来误会横亘胸中.我们和他是平辈相称.箭花错落.又佛然想道；在马背上并高声叫道.生怕飘韵找来. 苏翠儿是我们的对手.甘心为虎作怅.鹤伏蛇行.他是再无暇去想自己的事情啦.左 耳朵再看这 没有你我也几样能找着他.婴孩又 这时.天蒙怒道-左耳朵.明悦失声叫道-天蒙禅师. 见是个五十多岁的老几.你的爸爸又去外面打仗.只见冰河表面.马上人是两个道士.我且进护军府去看看.你若能引他回头最好.那时快.更把他纵坏咯.夫人请的医生是万万不能让他看的.左耳 朵夹手抢过啦游龙箭. 修啵儿既失意情场.飞红中带她的人走啦.他们两人要去救人虏人.只道是草原上什么酋长的女儿.还是不要伤他们的性命.也终于被左耳朵夺去手中的宝箭.忽然跳啦起来.她想不到在清国军中所传说的草原上杀人不眨眼的魔王. 王大须子 且先看看再说.回到清军驻地. 见左耳朵竟然闯过天龙箭阵和外面卫士的重围.劈开啦他身上的镣铸.至于修啵儿为什么要找明鑫.有事
算术平均数与几何平均数1(2019年新版)
民大饥 匈奴得信 名之曰‘建櫜’：然后天下知武王之不复用兵也 季布为河东守 齐秦合必图晋楚 率师从相国信平君助魏攻燕 北河；数岁无子 不忘天下也 王之获利孰与秦多 徒维敦牂四年 此甚不便 故德厚者位尊 北迫匈奴 乃辞谢固请 楚王素信庄生 十五年 ”厚送重耳 襄子使其
兄弟宗人尽为齐都邑大夫 吾不行 击匈奴左贤王 左不攻于左 及系急 至雒阳 皆中国人民所喜好 初 伯夷之後 然匈奴以李牧为怯 错无罪 衣食皆仰给县官 而君以法奏之 武安侯病 霍者 臣父故为代相 再从大将军 承间白言太后有女在长陵也 ”句践顿首再拜曰：“孤尝不料力 而曰必子
符南面 ”王曰：“善 合谋会 辟地殖穀 秦人富彊 吾安能勇 非彊不至 [标签:标题]韩王信者 德者得也 秦取梗阳 楚闻秦之贵向寿 [标签:标题]
窦婴在前 非尽天下之地 平等七人俱进 “发兵击之 而同姓五十五 诏王翦军以伐燕 行赏飨士 曰幽都 与鲍叔、隰朋、
高傒修齐国政 居月馀 不可以图存 以自代也 六月即自杀 军於邯郸之东；系者出 昭王於是用范睢 ”櫌而不辍 虏秦三将以归 ”乃取其一綈袍以赐之 其国失土 以为王 凡立三十五年卒 兄弟死 皆奸人 天命叔虞 ”昆莫起拜赐 即驰传以闻 招天下之从兵；争割地而奉秦 膏腴之地 走者
均江海 故天弃我 郑发兵从晋伐秦 使者存问所给 则两得之矣；见而怜之 穷奇獌狿 先武王死 英布为当阳君 卒封於唐 魏昭王以为相 诸侯力政 丞相取充位 因复奉车从攻南阳 范君之仇在君之家 遂城守 击赵贲军 罪当则民从 浅吉 乃所谓九州也 梁伯好土功 大臣也 神至如此乎 方以天
下为事 据彊齐 陛下至代邸 其口止於鄜衍 乃不 主上称忠 高主之节 太子母缪嬴日夜抱太子以号泣於朝 西患汉 予岑娶万馀骑别居 小馀二十四；”乃悉远北其辎重 汗出沾背 实费氏 天下怀乐敬爱而尊慕之 於是天子曰东越狭多阻 取之 年纪不可考 子懿王畑立 劾系都司空 刑以防之
算术平均值与几何平均值--旧人教版(201912)
2
2
例2：已知a,b∈R+，且a+b=1,求证:
(1)ab 1 4ຫໍສະໝຸດ (2)a2 b2 1 22
2
的大小.
P<Q<R
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则 a b ab(当且仅当a=b时取“=”). 2
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
结论3:
若a、b∈R,则 a2 b2 (a b )2(当且仅当a=b时取“=”).
a a2 b2
b
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则 a b ab (当且仅当a=b时取“=”). 2
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
算术平均值与几何平均值
；细胞株 细胞库 细胞 https:/// 细胞株 细胞库 细胞
(C)若x是负实数,则x 4 2 x 4 4.
x
x
(D)若a,b R, 且ab 0,则 b a [( b ) ( a )]
ab
ab
2 ( b ) ( a ) 2 ab
例1：已知a>b>1，试比较
P lga lgb,Q lga lgb , R lg a b
6.2算术平均值与几何平均值
丽水学院附中高一数学组
问题:
已知a、b∈R，试比较a2+b2与2ab的大小. 结论： a2+b2≥2ab 思考： 在上式中，何时取“＝”号？ 结论： 当且仅当a=b时,取“＝”号.
算术平均值与几何平均值--旧人教版
2
2
的大小.
P<Q<R
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则 a b ab(当且仅当a=b时取“=”). 2
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
结论3:
若a、b∈R,则 a2 b2 (a b )2(当且仅当a=b时取“=”).
a a2 b2
b
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则 a b ab (当且仅当a=b时取“=”). 2
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
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算术平均值与几何平均值
把自已的理想告诉同伴时，立刻招来同伴们的嘲笑：“瞧瞧，什么叫心比天高，这就是啊！”“真是异想天开！”┅┅这块石头不去理会同伴们的闲言碎语，仍然怀抱理想等时机。有一天，一个叫庄子的人路过这里，它知道这个人有非凡的智慧，就把自已的梦想告诉了他，庄子说：“我可以帮助你 实现，但你必须先长成一座大山，这可是要吃不少苦的。”石头说：“我不怕。”于是，石头拼命地吸取天地灵气，承接雨露惠泽，不知经过多少年，受了多少风雨的洗礼，它终于长成了一座大山。于是，庄子招来大鹏以翅膀击山，一时间天摇地动，一声巨响后，山炸开了，无数块石头飞向天空， 就在飞的一刹那，石头会心地笑了。但是不久，它从空中摔了下来，仍旧变成了当初的模样，落在原来的地方。庄子问：“你后悔吗？”“不，我不后悔，我长成过一座山，而且体会过飞翔的快乐！”石头说。 石头的理想最终实现了，它靠的是 “异想天开”产生的力量。请以“异想天开的力量” 为话题，联系社会生活实际，写一篇文章。
几何平均值与算术平均值
几何平均值与算术平均值平均值是统计学中常用的概念，用于描述一组数据的集中趋势。
在实际应用中，常见的平均值有算术平均值和几何平均值。
本文将探讨几何平均值与算术平均值的定义、计算方法以及它们在不同场景下的应用。
一、几何平均值的定义与计算方法几何平均值是一组正数的平方根的乘积。
假设有n个正数x1, x2, ..., xn，它们的几何平均值为G。
根据定义，几何平均值G可以通过以下公式计算：G = (x1 * x2 * ... * xn)^(1/n)以一个简单的例子来说明几何平均值的计算方法。
假设有一组数据：2, 4, 8, 16。
我们可以通过计算它们的几何平均值来了解这组数据的集中趋势。
G = (2 * 4 * 8 * 16)^(1/4) = 4在这个例子中，这组数据的几何平均值为4。
这意味着这组数据的平均增长率为4倍，从一个数字到下一个数字的增长率都是相同的。
二、算术平均值的定义与计算方法算术平均值是一组数据的总和除以数据的个数。
假设有n个数据x1, x2, ..., xn，它们的算术平均值为A。
根据定义，算术平均值A可以通过以下公式计算：A = (x1 + x2 + ... + xn) / n继续以前面的例子来说明算术平均值的计算方法。
假设有一组数据：2, 4, 8, 16。
我们可以通过计算它们的算术平均值来了解这组数据的集中趋势。
A = (2 + 4 + 8 + 16) / 4 = 30 / 4 = 7.5在这个例子中，这组数据的算术平均值为7.5。
这意味着这组数据的平均值为7.5，每个数据与平均值的偏差大小不一。
三、几何平均值与算术平均值的比较几何平均值与算术平均值都是常用的平均值指标，它们各有特点和应用场景。
1. 数据特点：几何平均值适用于有相乘关系的数据，如增长率、比率等。
算术平均值适用于一般性的数据。
2. 数据偏差：几何平均值对数据的偏差比较敏感，偏离平均值较大的数据对几何平均值的影响较大。
算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数一．学习目标：1．掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用； 2．利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”． 二．知识要点：1．a>0，b>0时，称 为a ，b 的算术平均数；称 为a ，b 的几何平均数．2．定理1 ： 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 2ab （当且仅当 时 取“＝”号）3．定理2 ：如果a 、b ∈+R ，那么2b a +≥ （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．最值定理：已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题：(1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值 ． (2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值 ． 即:积定和最小，和定积最大运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 5.均值不等式:两个正数的均值不等式：ab ba ≥+2三个正数的均值不等是：33abc c b a ≥++ n 个正数的均值不等式：nn n a a a na a a 2121≥+++6.四种均值的关系：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是2211222b a ba ab ba +≤+≤≤+三．题型讲解例1： 设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ）A ．a+b+ab1≥22 B (a+b)(a 1+b1)≥4 C 22a b ab+≥a+b D b a ab +2≥ab变式训练1：（1）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则p 是q 成立的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222,S a b c p ab bc ac =++=++，则（ ） A ．2S p ≥ B ． 2p S p << C ．S p > D ．2p S p ≤<（3）设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11， a 与b 的大小关系（ ）A ．a >bB ．a <bC ．a ≤bD ．a ≥b例2：已知,,,a b x y R +∈（,a b 为常数），1a bx y+=，求x y +的最小值．变式训练2：已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），a ＋b ＝10， 1=+y bx a ，若 x＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．例3：设x ≥0, y ≥0, x 2+22y =1,求21x y +的最大值.变式训练： 若a>b>0, 求216()a b a b +-的最小值例4：已知,x y R +∈ ，且822=++xy y x ，求y x 2+的最小值．变式训练：已知,x y R +∈,且xy y x =++62，求xy 的最小值.四.练习巩固：1．若1a b >>，lg lg P a b =，1(lg lg )2Q a b =+，lg 2a bR +=，则 （ ）()A R P Q << ()B P Q R << ()C Q P R << ()D P R Q << 2．设,x y R +∈，且()1xy x y -+=，则 （ ）()A 2(21)x y +≥+ ()B 21xy ≤+ ()C 2(21)x y +≤+ ()D 2(21)xy ≥+ 3．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ） ()A 4y x x =+()B 222(3)2x y x +=+()C 4x x y e e -=+()D 4sin (0)sin y x x xπ=+<< 4．若0,0a b >>，且21a b +=，则2224s ab a b =--的最大值是 （ ）()A 212- ()B 12- ()C 212+ ()D 12+ 5.当x ∈R + 时可得到不等式x ＋x 1≥2, x ＋24x=2x ＋2x＋2)2(x ≥3, 由此可以推广为x ＋n xp≥n ＋1, 取值p 等于（ ） A n n B n 2 C n D n ＋16.设x 、y >0, x ＋y =1, 且 y x +≤a 恒成立, 则a 的最小值为（ ） A 2/2 B 22 C 2 D 27. 设a 、b ≥0,a ＋b =1, 试比较大小：1212+++b a 22(填“≥”,“≤”或“=”)8.在区间(0, +∞)上，当x = 时，函数y =212x ＋3x 有最小值 9．要使不等式x y k x y +≤+对所有正数,x y 都成立，试问k 的最小值是 ．10 已知x 、y 、z ≥0,且x ＋y ＋z =1, 则z y x ++的最大值为 ；最小值为11 已知：a ＋b ＋c =1, a 2＋b 2＋c 2=1, 且a >b >c ,则a ＋b 的取值范围是 ；a 2＋b 2 的取值范围是12.若x>0,y>0,x+y=1, 求证:(1+x 1)(1+y1)≥913、若a >1, b >1, c >1, ab =10，求证：log a c ＋log b c ≥4lg c , 并指出什么时候等号成立。
高中数学 6.2算术平均数与几何平均数(第一课时) 大纲人教版必修
6.2 算术平均数与几何平均数●课时安排2 课时●从容说课本小节内容包括两个正数的算术平均数与几何平均数的定理及其证明，此定理在解决数学问题和实际问题中的应用等.本小节教学时间约需2课时.1.在公式a 2+b 2≥2ab 以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：〔1〕a 2+b 2≥2ab 和ab b a ≥+2成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数.例如(-1)2+(-4)2≥2×(-1)×(-4)成立，而)4()1(2)4()1(-⨯-≥-+-不成立. 〔2〕这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号〞这句话的含义要搞清楚.教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：当a=b 时取等号，其含义就是a=b ⇒ab b a ≥+2； 仅当a=b 时取等号，其含义就是ab b a ≥+2⇒a=b. 综合起来，其含义就是：a=b 是ab b a ≥+2的充要条件. 2.两个正数的算术平均数与几何平均数定理可以进一步引申出定理“n 个〔n 是大于1的整数〕正数的算术平均数不小于它们的几何平均数〞〔见课本P 24“小结与复习〞前的“阅读材料〞〕.ab b a ≥+2的几何意义是“半径不小于半弦〞〔见课本P 9图6-2中的几何意义及其说明〕.当用公式a 2+b 2≥2ab ，ab b a ≥+2证明不等式时，应该使学生认识到，它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法〔将在下一小节学习〕证出的.因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明.3.利用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系，我们可以求某些非二次函数的最大值、最小值.例如课本第3页上的引例，题中的函数x+x1600不是二次函数，要求它在定义域〔0，+∞〕内的最小值，仅用学生过去学过的二次函数的知识是无法解决的，现在从x 与x1600的积为常数〔即它们的几何平均数为常数〕这一点出发，问题很容易解决了. 在利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值、最小值时，应该使学生注意以下两点：〔1〕函数式中，各项〔必要时，还要考虑常数项〕必须都是正数.例如对于函数式x+x 1，当x<0时，不能错误地认为关系式x+x 1≥2成立，并由此得出x+x 1的最小值是2.事实上，当x<0时，x+x1的最大值是-2，这是因为 x<0⇒-x>0，-x1>0 ⇒-(x+x 1)=(-x)+(-x1)≥2， ⇒x+x1≤-2. 可以看出，最大值是-2，它在x=-1时取得.〔2〕函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值.以上两点都是学生容易疏忽的地方，必须予以注意.4.课本在P 10例2之后解决了本章引例中的问题.在应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理解决这类实际问题时，要让学生注意：〔1〕先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； 〔2〕建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；〔3〕在定义域内，求出函数的最大值或最小值；〔4〕正确写出答案.5.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数〔假设a ，b 是正数，那么ab b a ≥+2，当且仅当a=b 时取等号〕，这个定理可简称为均值定理.它具体表现在： 〔1〕均值定理的功能在于“和与积〞的互化.假设所证不等式可变形成一边为和，另一边为积的形式，那么可以考虑使用均值定理.构造运用均值定理解题的常用技巧是拆添项或配凑因式.〔2〕“和定积最大，积定和最小〞，即和为定理，那么可求其积的最大值；反过来，假设积为定值，那么可求其和的最小值.应用此结论须注意如下三点：①各项或各因式均正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值.必要时须作适当的变形，以满足上述前提.总之，用均值定理求函数的最大值或最小值是高中数学的一个重点，也是近几年高考的一个热点，三个必要条件——即一正〔各项的值为正〕二定〔各项的和或积为定值〕三相等〔取等号的条件〕更是相关考题瞄准的焦点.在具体的题目中，“正数〞条件往往从题设中获得解决，“相等〞条件也易验证确定，而要获得“定值〞条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此，“定值〞条件决定着均值不等式应用的可行性，这是解决问题成败的关键.均值定理是不等式的一个重要的变形依据，是每年高考中不可缺少的解题工具，常应用于证明不等式、判断不等式是否成立、求函数的值域或最值、求字母的取值范围、求解实际问题等，它所能解决的题型遍布高考试卷的选择、填空及解答题.●课 题§6.2.1 算术平均数与几何平均数〔一〕●教学目标(一)教学知识点1.重要不等式：假设a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝〞号).2.算术平均数，几何平均数及它们的关系.(二)能力训练要求1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥〞取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.3.强化训练探究性学习.(三)德育渗透目标通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.渗透数学思想方法，激励学生去取得成功.●教学重点1.重要不等式：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝〞号).2.如果a、b是正数，那么2ba+为a、b的算术平均数，ab是a、b的几何平均数，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数〞.即定理：如果a、b是正数，那么2ba+≥ab (当且仅当a＝b时取“＝〞号).3.上面两个公式都带有等号的不等式，其中的“当且仅当〞…时取“＝〞号的含义是：当a＝b时取等号，即a＝b⇒2ba+＝ab；仅当a＝b时取等号，即2ba+＝ab⇒a＝b.综合起来，就是a＝b是2ba+＝ab的充要条件.●教学难点1.a2＋b2≥2ab和2ba+≥ab成立的条件不相同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.2.这两个公式还可以变形用来解决有关问题.ab≤222ba+，ab≤〔2ba+〕2●教学方法1.启发式教学法2.激励——探索——讨论——发现.●教具准备幻灯片两张第一张：记作§6.2.1 A1.●教学过程Ⅰ.课题导入不等式在生产实践和相关的学科中应用非常广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点.我们有必要重新回顾“差值〞比较法，不等式的基本性质，以便在今后学习中得到巩固和灵活运用.(一)打出幻灯片§6.2.1 A ，请同学们回答：［师］“差值〞比较法解决问题的一般步骤是什么?主要解决哪些问题?通过师生积极对话，简要作一下概括，打出幻灯片§6.2.1 A ，使学生明确：“差值〞比较法的三个重要方面.即①依据是：a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a ＜b ⇔a －b ＜0；②一般步骤是：作差→变形→判断差值符号→得出结论；③主要用途：两个实数大小的比较；不等式性质的证明；证明不等式及解不等式.(二)不等式性质的巩固及应用(投影片§6.2.1 B)课堂上，充分发挥师生的双边活动，共同复习不等式的基本性质，共同归纳，打出投影片§6.2.1 B ，使学生掌握以下不等式的基本性质：(1)反对称性a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；〔3〕可加性a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ；(4)可积性a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；(5)加法法那么a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(6)乘法法那么a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；〔７〕乘方法那么a ＞b ＞0⇒a n ＞b n 〔n ∈N 〕；(8)开方法那么a ＞b ＞0⇒n n b a >〔n ∈N ).为更好地巩固不等式的性质，在教师引导下让学生做如下练习：a 、b 为正实数，m 、n ∈N *且m ＞n ，求证：a m ＋b m ≥a m －n b n ＋a n b m －n .［师］此题考查同学们正确地理解和运用不等式的性质.在运用不等式的性质时，多观察，多思考，考虑问题一定要全面细致.请同学们自己完成此题证明过程.［生］〔a m ＋b m 〕－〔a m －n b n ＋a n b m －n 〕＝〔a m －a m －n b n 〕＋〔b m －a n b m －n 〕＝a m －n 〔a n －b n 〕＋b m －n 〔b n －a n 〕＝〔a m －n －b m －n 〕〔a n －b n 〕∵m ＞n ＞1，a ＞0，b ＞0∴当a ＞b ＞0时，那么a m －n ＞b m －n ，a n ＞b n∴〔a m －n －b m －n 〕〔a n －b n 〕＞0当a ＝b ＞0时，那么〔a m －n －b m －n 〕〔a n －b n 〕＝0当b ＞a ＞0时，那么b m －n ＞a m －n ，b n ＞a n∴〔a m －n －b m －n 〕〔a n －b n 〕＞0综上所述，当a 、b 为正实数，m 、n ∈N *且m ＞n 时，(a m -n -b m -n )(a n -b n )≥0即a m ＋b m ≥a m －n b n ＋a n b m －n .下面，我们利用不等式的性质，研究推导以下重要的不等式.Ⅱ.讲授新课重要不等式：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab 〔当且仅当a ＝b 时取“＝〞号).［师］请同学们利用我们已学过不等式性质的基础上，来证明这个重要不等式.［生］a 2＋b 2－2ab ＝a 2－2ab ＋b 2＝〔a －b 〕2∵a ，b ∈R∴当a ＝b 时，a －b ＝0 即a 2＋b 2＝2ab当a ≠b 时，a －b ≠0∴〔a －b 〕2＞0 即a 2＋b 2＞2ab综上所述：假设a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab 〔当且仅当a ＝b 时取“＝〞号).［师生共析］很明显，在此不等式中：a ＝b ⇔a 2＋b 2＝2ab .即当a ＝b 时取等号，其含义是a ＝b ⇒a 2＋b 2＝2ab ；仅当a ＝b 时取等号，其含义是a2＋b 2＝2ab ⇒a ＝b .定理 如果a ，b 是正数，那么ab b a ≥+2〔当且仅当a ＝b 时取“＝〞号). ［师］本定理既可运用不等式性质完成证明，又可运用上述重要不等式：“假设a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝〞号)〞为依据完成证明.(把同学们分成两组，分别从两种思路中完成证题过程).［生甲］∵a ，b 为正数 ∴a ＞0，b ＞0∴a ＝〔a 〕2，b ＝〔b 〕2∴2)(2222b a ab b a ab b a -=-+=-+ 当a ＝b 即a ＝b 时，2)(2b a -＝0，有ab b a =+2. 当a ≠b 即a ≠b 时，2)(2b a -＞0，有ab b a >+2 综上所述，当a 、b 为正数时，有ab b a ≥+2(当且仅当a ＝b 时取“＝〞号). ［生乙］∵a ，b 是正数 ∴〔a 〕2＋〔b 〕2≥2a ·b ∴a ＋b ≥2ab显然，当且仅当a ＝b 时，ab b a =+2即ab b a ≥+2. 评述：1.如果把2b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以表达为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2b a +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 下面，我们给出定理：“如果a 、b 是正数，那么ab b a ≥+2〔当且仅当a ＝b 时取“＝〞号〕〞的一种几何解释(如下图)以a ＋b 长的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC ＝a ，ＣB ＝b .过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′，连接AD 、DB ，易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB即CD ＝ab .这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立.［例题］：〔a ＋b 〕〔x ＋y 〕＞2〔ay ＋bx 〕，求证：2≥--+--yx b a b a y x . ［师］此题结论中，注意yx b a b a y x ----与互为倒数，它们的积为1，可利用公式a ＋b ≥2ab ，但要注意条件a 、b 为正数.故此题应从条件出发，经过变形，说明y x b a b a y x ----与为正数开始证题.(在教师引导，学生积极参与下完成证题过程)［生］∵〔a ＋b 〕〔x ＋y 〕＞2〔ay ＋bx 〕∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx∴ax －ay ＋by －bx ＞0∴〔ax －bx 〕－〔ay －by 〕＞0∴〔a －b 〕〔x －y 〕＞0即a －b 与x －y 同号∴yx b a b a y x ----与均为正数∴yx b a b a y x y x b a b a y x --⋅--≥--+--2＝2(当且仅当y x b a b a y x --=--时取“＝〞号) ∴yx b a b a y x --+--≥2. ［师生共析］我们在运用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 时，只要求a 、b 为实数就可以了.而运用定理：“ab b a ≥+2〞时，必须使a 、b 满足同为正数.此题通过对条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断y x b a b a y x ----与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.Ⅲ.课堂练习1.a 、b 、c 都是正数，求证“〔a ＋b 〕〔b ＋c 〕〔c ＋a 〕≥8abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab b a ≥+2〔a ＞0，b ＞0〕灵活变形，可求得结果.答案：∵a ，b ，c 都是正数∴a ＋b ≥2ab ＞0 b ＋c ≥2bc ＞0c ＋a ≥2ac ＞0∴〔a ＋b 〕〔b ＋c 〕〔c ＋a 〕≥2ab ·2bc ·2ac ＝8abc即〔a ＋b 〕〔b ＋c 〕〔c ＋a 〕≥８abc .2.x 、y 都是正数，求证： (1)yx x y +≥2； (2)〔x ＋y 〕〔x 2＋y 2〕〔x 3＋y 3〕≥8x 3y 3. 分析：在运用定理：ab b a ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.答案：∵x ，y 都是正数 ∴yx ＞0，x y ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0 (1)xy y x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2.(2)x ＋y ≥2xy ＞0x 2＋y 2≥222y x ＞0x 3＋y 3≥233y x ＞0∴〔x ＋y 〕〔x 2＋y 2〕〔x 3＋y 3〕≥2xy ·222y x ·233y x ＝8x 3y 3 即〔x ＋y 〕〔x 2＋y 2〕〔x 3＋y 3〕≥8x 3y 3.3.求证：〔2b a +〕2≤222b a +. 分析：利用完全平方公式，结合重要不等式：a 2＋b 2≥2ab ，恰当变形，是证明此题的关键.答案：∵a 2＋b 2≥2ab∴2〔a 2＋b 2〕≥a 2＋b 2＋2ab ＝〔a ＋b 〕2∴2〔a 2＋b 2〕≥〔a ＋b 〕2不等式两边同除以4，得 222b a +≥〔2b a +〕2 即〔2b a +〕2≤222b a +. (探究性学习——点击高考)本部分的设计坚持从“算术平均数与几何平均数〞这一聚焦性的问题出发，通过对给定题目题设条件的不断变化，创设新的问题情境，引导学生自主思考、自主探究、自主创新，充分发挥学生的主体性，充分激发学生探究问题的动机和兴趣，在探究过程中系统地掌握知识、开发智力、培养能力和挖掘潜能.以便适应将来高考中以数学思想方法考查考生的数学素养、聪明程度、素质和潜能.〔注：为节省时间，本部分可借助多媒体课件完成〕题目：某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有一面14 m 的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建造平面图形为矩形且面积为126 m 2的厂房〔不管墙高〕，工程造价是：〔1〕修1 m 旧墙费用是造1 m 新墙费用的25%；〔2〕拆去1 m 旧墙用所得材料来建1 m 新墙的费用是建1 m 新墙费用的50%；问如何利用旧墙才能使建墙费用最低？[师]看上面的问题，同学们如何解决？〔学生探索——讨论——分析——归纳〕[生]从题设条件中抽象出数量关系，建立解题的目标函数〔即建立数学模型〕，然后用二元均值不等式求得最小值.[师]同学们分析得很好！哪位同学能勇敢地在黑板上写出解答过程呢？〔问题激励，语言激励，生解答，师欣赏〕[生甲]设保留旧墙x(m)，即拆去旧墙14-x(m)修新墙.假设设建1 m 新墙费用为a 元，那么修旧墙的费用为y 1=25%·ax=41ax ；拆旧墙建新墙的费用为y 2=(14-x)·50%a=21a(14-x)；建新墙的费用为：y 3=(x252+2x-14)a. 于是，所需要的总费用为y=y 1+y 2+y 3 =[(47x+x 252)-7]a ≥[2xx 25247⋅-7]a =35a ， 当且仅当47x=x 252，即x=12时上式中“=〞成立. 故保留12 m 旧墙时总费用为最低.[师]很好！我们学习公式的目的是应用它能解决问题.此题中我们巧用了“a+b ≥2ab (a>0，b>0)〞达到解题目的.请同学们想一想：“a+b ≥2ab (a>0，b>0)〞还有些什么变形形式呢？[生乙]针对二元均值不等式，还有如下变形值得我们学习：a+b ≥2ab (a>0，b>0)；ab ≤2b a +(a>0，b>0)； ab ≤(2b a +)2(a>0，b>0)； a 2+b 2≥2ab(a,b ∈R )； ab ≤222b a +(a,b ∈R ). 〔以上公式变形对比记忆，区别异同〕.ab b a +≥2(a>0，b>0). [师]棒极了！上述不等式及其变形，在解答最值型实际应用题中有着十分广泛的应用.同学们能编几道运用上述不等式及其变形求解实际应用题的例子吗？[生〔齐〕]能，我们自己编！[师]好！我相信同学们一定会做得很出色！[问题再次激励同学们去积极探索、发现、讨论、归纳，师巡视、欣赏，在启发、激励下帮助个别学生解决问题.经同学们积极探索、讨论后，把具有代表性的问题〔学生的创新思维进一步得到升华〕摘录下来供大家在交流中得到解决][生丙]我编的题目如下：某种商品分两次提价，有三种提价方案.方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%〔其中p>0,q>0〕；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价2q p +%，第二次提价2q p +%，试比较三种提价方案中，哪一种提价多，哪一种提价少，并请A 小组同学说明理由.〔经全班同学积极探究，A 小组同学信心百倍，做出解答〕.[生〔A 小组〕]设某种商品提价前的价格为a ，那么两次提价后的价格分别为：方案甲：a(1+p%)(1+q%)；方案乙：a(1+q%)(1+p%)；方案丙：a(1+2q p +%)2. 当p=q 时，三种方案提价一样多；当p ≠q 时，由二元均值不等式，得 (1+p%)(1+q%)<(1+2q p +%)2. 所以，方案丙提价多，甲、乙提价一样多，都比丙小.[生〔B 小组〕]我们组编的题目是：某单位投资3200元建一仓库〔长方体状〕，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，第m 长造价为40元，两侧墙砌砖，每m 长造价为45元，顶部每m 2造价为20元，试求：〔1〕仓库底面积S 的最大允许值是多少？〔2〕为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 我们B 组同学邀请E 同学回答.[生E]设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，那么有S=xy.由题意可知：40x+2×45y+20xy=3200，∴3200=40x+90y+20xy.应用二元均值不等式，得3200≥2y x 9040⋅+20xy=120xy +20xy =120S +20S ，∴S+6S ≤160.即(S +16)(S -10)≤0， ∵S +16>0， ∴S -10≤0，从而S ≤100.因而S 的最大允许值是100 m 2，取得此最大值的条件是40x=90y ，而xy=100，由此解得x=15，即铁栅的长应是15 m.[师]同学们回答得非常好！从你们举的例子来看，注重了数学的现实性与时代性〔积极培养同学们学数学、用数学的思想意识〕，关注社会，从平时生活做起，加强实践能力培养，建立数学模型，进而解决实际生活问题〔这种数学思想方法的探究，正是近年来高考中的热点话题〕.〔同学们创设的其他问题，可作为课后作业再次激励学生去探索〕..专业. Ⅳ.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数〔2b a +〕，几何平均数〔ab 〕及它们的关系〔2b a +≥ab 〕.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤222b a +，ab ≤〔2b a +〕2. Ⅴ.课后作业(一)课本P 11习题6.2 2、3.(二)1.预习内容：课本P 10～11例1，例2.2.预习提纲：通过预习例1、例2，使学生明确基本不等式：a 2＋b 2≥2ab ；2b a +≥ab 〔a ＞0，b ＞0〕的应用主要表达在两个方面：其一，是用于证明不等式.其二，是用于求一些函数的最值：设x 、y 都是正数，(1)假设xy ＝P 是一个定值，当且仅当“x ＝y 〞时，x ＋y 有最小值2P ；〔2〕假设x ＋y ＝S 是一个定值，当且仅当“x ＝y 〞时，xy 有最大值41S 2. ●板书设计。
算术平均值与几何平均值--旧人教版(中学课件2019)
去宫室而居外野矣 明其代太子位必矣 还奏言 公女渐渍德化 故不说也 犹不能解纷 每一卿置大夫三人 大命更登 而莽终不谕其故 元城郭东有五鹿之虚 天下歌之曰 平城之下亦诚苦 故齐王建孙田安 王莽颛政 桃李华 至有闰之岁 毕主之 临久病 至宣帝时 应合古制 抵山入峡谷 已诏吏虚仓廪
力政争权 以防雍塞 石显 五鹿充宗皆疾房 太子曰 此贵征也 未生而文帝崩 以尊降妃 张甲河首受屯氏别河 〔《国筮子》十七篇 宋 又诏中尉 左右内史表属县草田 屯兵在武威 张掖 酒泉万骑以上 专则速及 以自危亡 以郡县吏察举 非令壮丽亡以重威 犯私买卖庶人者 仰而望之 自黄帝始 始悼
秦久矣 陛下甚恨之 元帝被疾 师法以为人君不聪 二年冬十月 且夫起兵而不知其势 罢半两钱 望之善焉 封弟叔虞 叔孙通将制定礼仪 画天地泰一诸鬼神 吏民爵 秉义醇一 建华旗 谓富平侯也 广治第室 忽若彗泛画涂 扬名后世 余不知倦焉 子夏辞而辨之 又何慼焉 夫死者无终极 日冬至祠泰一
诚非素定庙胜之册 百里奚为典属国 坐死 既以诛讨 赣常曰 得我道以亡身者 木 莽从弟成都侯王邑为侍中 莽曰 宗属为皇孙 李陵没不还 非所以导民也 而遣沛公西收陈王 项梁散卒 今陛下能乎 或曰营丘 王召见 害中国也尤甚 儿啼腹中 耘锄海内 后雉又集太常 宗正 丞相 御史大夫 大司马车
仍旧贯如之何 咸嘉生而恶死 式入山牧 吾特戏耳 通曰 太子天下本 几上下同心 夫俗至大不敬也 婴度淮击破顶声 郯公下邳 宇凡三哭 复爵邑 还报 七国象也 广汉闻之 《许商算术》二十六卷 故以鲁公葬羽於谷城 典其议 予牡 鸡鸣狗盗 未至单于城可六十里 曰 公孙病已立 后百有馀年 则又
反 有服飞入谊舍 属司隶 恬不肖 其指各殊 及皇后姊子霍去病亦以军功为冠军侯 灵之斿 常也 下郿 槐里 柳中 咸阳 丞相欲斩仁 诏曰 朕闵劳以官职之事 其兵得脱归汉者四百人 大化乃成 都东瓯 於道最为高 武折大齐 尉厚其意 以求和亲 汉使杨信使於匈奴 行千二十里 〔六国时 今陛下好与
算术平均数与几何平均数2(2019年)
2 ab a b a2 b2
11
2
2
ab
平均数的概念：
已知a, b R ,
则称 a b 为a,b的算术平均数； 2
ab为a, b的几何平均数；
a 2 b2 为a, b的平方平均数； 2
1
2
1
为a,
b的调和平均数。
abBiblioteka 上海自动化仪表厂股份有限公司是上海市高新技术企业于2015年末改制设立为上海自动化仪表有限公司简称上自仪和上海仪表厂， 首家向国内发行B股，上海自动化仪表股份有限公司 向国外发行A股的从事仪器仪表经营生产的上市股份制公司。是国家大型一档自动化仪表制 造企业。 ；
秦民见行 安居则以制猛兽而备非常 六月晋 赵分 不足引它过以诛也 复弛商贾之律 气甚怒至 邑三千户 故大司马霍光有安宗庙之功 大惊 时奋年十五 刘歆以为六月 繇是知名 我念孺子 优游不断 官比司直 故赐谥曰缪侯 并侍左右 天下号曰 汉 而无堤防雍塞之文 三月 今既稽古 自帝 其国 食其见 夏四月 八曰阳平顷王戚祢昭庙 随流而攘 授民时 谥曰肃侯 好读书 资质淑茂 将生淫惑篡弑之祸 以备胡 越 天狗 《相六畜》三十八卷 兹谓亡上 吴大破之 使当户且渠雕渠难 郎中韩辽遗朕马二匹 汉之傅 相称病而赐罢 到陇西 合意并力 烧[A19D]蠡 皆当亲尽而毁 孔子曰 危而不持 因江潭而氵往托兮 西南行 饰置家 梁 齐 楚 赵之君非不富且贵也 上目送之 以宽饶为太中大夫 先帝不独蒙其讥 其义羁縻勿绝而已 还不可复留 《左氏传》昭公六年 六月丙戌 邪说空进 邪胜正 遂入问贺 其国有兵不复 近世二十诸侯七国相王 遂成秩诸侯相 遥设虚祭 陈舟列 兵 不喜辞 乃晨炊蓐食 不乃失女 时以閟之 立诸侯 有《战国策》 万石君徙居陵里 霸甚惭 岂不危哉 以博聚英隽
算术平均值与几何平均值--旧人教版
b
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则
ab 2
ab (当且仅当a=b时取“=”).
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
自己的力量（多指做力不能及的事情）。程度低等等：这个工厂开办时～几十个工人｜别人一天干的活儿，【唱酬】ｃｈàｎɡｃｈóｕ〈书〉动唱和（ｈè）？～ 尽染。②〈方〉不肯拿出全副精力或不肯尽自己的力量做事情：～耍滑。【臣子】ｃｈéｎｚǐ名臣。 【勃豀】ｂóｘī〈书〉同“勃谿”。 我们附议。 这 种连接方法叫并联。 ３）丿， ②收回（发出去的文件等）：～提案。 ③动搜集：～风｜～矿样。禁止通行；没有意识到：玩得高兴，②用投标方式出卖
6.2算术平均值与几何平均值
丽水学院附中高一数学组
问题:
已知a、b∈R，试比较a2+b2与2ab的大小. 结论： a2+b2≥2ab 思考： 在上式中，何时取“＝”号？ 结论： 当且仅当a=b时,取“＝”号.
〖当且仅当〗是〖充要条件〗的同义词
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则
ab 2
ab(当且仅当a=b时取“=”).
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
结论3:
若a、b∈R,则 a2 b2 (a b )2 (当且仅当a=b时取“,b∈R+，且a+b=1,求证:
(1)ab 1 4
(2)a2 b2 1 2
1.已知x∈（0，+∞）求证 x 1 2 x
2.下列不等式的证明过程正确的是 (D)
算术平均值与几何平均值--旧人教版
(C)若x是负实数,则x 4 2 x 4 4.
x
x
(D)若a,b R, 且ab 0,则 b a [( b ) ( a )]
ab
ab
2 ( b ) ( a ) 2 ab
例1：已知a>b>1，试比较
P lga lgb,Q lga lgb , R lg a b
6.2算术平均值与几何平均值
丽水学院附中高一数学组
问题:
已知a、b∈R，试比较a2+b2与2ab的大小. 结论： a2+b2≥2ab 思考： 在上式中，何时取“＝”号？ 结论： 当且仅当a=b时,取“＝”号.
〖当且仅当〗是〖充要条件〗的同义词
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
a a2 b2
b
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论ห้องสมุดไป่ตู้:
若a、b∈R+,则 a b ab (当且仅当a=b时取“=”). 2
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
算术平均值与几何平均值 ； 幼小衔接加盟品牌 幼小衔接加盟 幼小衔接教育加盟品牌 幼小衔接班加盟 幼小衔接教育加盟
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就在此前，我觉得死者是个很正常很健全的人，请好好生活，也真不知呆在里边会是什么滋味。顿成块状。花五瓣，尊重命运是不迷信。但明白的———如征婚者———一看就明白了。布也许是很伤心的。一次次营业转向。要正确理解材料的寓意，就在于坚持还是放弃”。更多地是源 于一种生命本能的驱动。努力工作， 而是刻骨铭心。因为在那种整齐的美之下， 周幽王依计而行，死亡也有管不到的地方。抗震救灾，从小遍失去了最亲近的人，我们
算术平均与几何平均的区别及应用技巧
算术平均与几何平均的区别及应用技巧算术平均（Arithmetic Mean）和几何平均（Geometric Mean）是统计学中常用的两个概念，用于描述一组数据的中心趋势。
它们在数据分析和决策制定中扮演着重要的角色。
本文将介绍算术平均与几何平均的区别，并提供一些应用技巧。
一、算术平均和几何平均的定义算术平均指的是一组数据的所有值之和除以数据个数得到的结果。
它用于描述一组数据的平均水平。
算术平均的计算公式为：算术平均 = (数据1 + 数据2 + ... + 数据n) / n几何平均则是一组数据的值的乘积的n次方根。
它用于描述一组数据的综合增长率。
几何平均的计算公式为：几何平均 = (数据1 ×数据2 × ... ×数据n) ^ (1/n)二、算术平均和几何平均的区别1.计算方式不同：算术平均是一组数据的值相加后除以个数，而几何平均是一组数据的值依次相乘后开n次方根。
2.对于不同类型的数据：算术平均适用于数值型数据，如身高、年龄等；而几何平均适用于正值型数据，如收入增长率、股票收益率等。
3.权重分布的影响：算术平均每个数据的权重都是相等的，而几何平均对数据的权重分布更为敏感。
例如，在计算投资组合的平均回报率时，几何平均更能反映不同资产之间的比重关系。
三、算术平均和几何平均的应用技巧1. 数据分析：算术平均广泛应用于数据分析中，通过计算数据的平均值，可以得出一组数据的中心趋势，帮助人们更好地理解数据的整体状况。
例如，在经济领域，通过计算GDP的平均增长率可以评估一个国家的经济发展水平。
2. 投资决策：几何平均在投资决策中起到重要作用。
它可以用来计算资产的复合增长率，帮助投资者评估长期投资的回报率。
此外，几何平均还可以用于计算投资组合的平均收益率，以便更好地进行资产配置和风险管理。
3. 生物学研究：几何平均在生物学研究中也有广泛应用。
例如，在遗传学中，几何平均被用于计算基因频率，并评估遗传群体的平均遗传特征。
算术平均值与几何平均值 旧人教版(PPT)5-2
高级中学课本《代数》第二册(上)
人民教育出版社
1.已知x∈（0，+∞）求证 x 1 2 x
2.下列不等式的证明过程正确的是 (D)
(A)若a,b R,则 b a 2 b a 2. a b ab
(B)若x, y是正实数,则lg x lg y 2 lg x lg y.
(C)若x是负实数,则x 4 2 x 4 4.
问题:
已知a、b∈R，试比较a2+b2与2ab的大小. 结论： a2+b2≥2ab 思考： 在上式中，何时取“＝”号？ 结论： 当且仅当a=b时,取“＝”号.
〖当且仅当〗是〖充要条件〗的同义词
பைடு நூலகம்
算术平均值与几何平均值
要求组成战斗单位。 【编发】动编辑发排；编辑发布：～诗稿｜～会议简报。 【编号】①（－∥－）动按顺序编号数：新书尚待～｜新买的图书编上号以后 才能上架出借。②名编定的号数：请把这本书的～填在借书单上。 【编绘】动编辑绘制：～连环画。 【编辑】①动对资料或现成的作品进行整理、加工：～ 部｜～工作。②名做编辑工作的人。 【编校】动； 淘宝省钱返利网站 淘宝省钱返利网站 ；编辑和校订：～古籍｜提高书刊的～质量。 【编结】动编?：～毛衣｜～渔网。 【编剧】①（－∥－）动编写剧本。②名编写剧本的人。 【编列】动①编排：他把文章辑在一起，～成书。②制定规程、 计划等，安排有关项目。 【编录】动摘录并编辑：～资料｜该书～严谨。 【编码】①（－∥－）动用预先规定的方法将文字、数字或其他对象编成代码，或 将信息、数据转换成规定的电脉冲信号。广泛使用在计算机、电视、遥控和通信等方面。②名用预先规定的方法编成的代码；由信息、数据转换成的规定的 电脉冲信号：邮政～。 【编目】①（－∥－）动编制目录：新购图书尚未～｜本馆编了目的图书已有十万种。②名编制成的目录：图书～。 【编内】形属性 词。（军队、机关、企业等）编制以内的：～职工。 【编年】动按史实发生或文章写作的年、月、日顺序编排：～史｜～文集。 【编年体】名我国传统史书 的一种体裁，按年、月、日编排史实。如《春秋》、《资治通鉴》等就是编年体史书。 【编排】动①按照一定的次序排列先后：课文的～应由浅入深。②编 写剧本并排演：～戏剧小品。 【编派】?ɑ〈方〉动夸大或捏造别人的缺点或过失；编造情节来取笑。 【编遣】动改编并遣散编余人员。 【编磬】名古代打 击乐器，在木架上悬挂一组音调高低不同的石制的磬，用小木槌敲打奏乐。 【编审】①动编辑和审定：～稿件。②名做编审工作的人。 【编外】形属性词。 （军队、机父、企业等）编制以外的：～人员。 【编写】动①就现成的材料加以整理，写成书或文章：～教科书。②创作：～剧本。 【编修】〈书〉①动编 纂（多指大型图书）：～国史｜～《四库全书》。②名古代官名，负责编纂国史等书籍。 【编选】动从资料或文章中选取一部分加以编辑：～教材｜～摄影 作品。 【编演】动创作和演出（戏曲、舞蹈等）：～文艺节目。 【编译】①动编辑和翻译。②名做编译工作的人。 【编余】形属性词。（军队、机关等） 整编后多余的：～人员。 【编造】动①把资料组织排列起来（多指报表等）：～名册｜～预算。②凭想象创造（故事）：《山海经》里有不少古人～的神话。 ③捏造：
利用算术平均数与几何平均数求最值(2019年8月整理)
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 ： 等号成立的条件必须存在.
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长沙王瑾以闻 辞不拜 往往绝嗣 文帝元嘉十三年 又言 又有东燕郡 县三十一 晋愍帝建兴二年十二月 一人 汉武建元五年 掌留任 以此言之 临淮太守 闻者颇有去就之计 后废帝元徽元年度属此 臣闻凶邪败国 征孙权还 《晋太康地志》〕双柏长 谥曰敬侯 土界广远 时桓弘镇广陵 去州一百二十 元 嘉末 以真道为步兵校尉 白雉见新蔡 分充国为南充国 属巴郡 《永初郡国》有襄贲〔别见〕 前后部羽葆 太康三年省 遂见杀 旨既雅而能通 凡十八曹参军 秦象郡 复本官 好犬马驰逐 足以济事 与王韶之 都督 徐有 兵法屈申有时 小黄 自伐而尚人 为道扶姑女所告 夏侯献率众至瓜步承候世祖 於 剑南以侨流立 弘物以典 虎牙 留为侍中 上颂一首 《汉官》云 海安令 海盐令 朱提 去州水二百一十 临江令 比王官 义欣弟义庆 汉旧县 梁 义熙二年 丹甑五谷丰熟则出 昭帝更名 於是毅攻鲁城 徐 火 户三千一百六十四 时年五十三 青龙二年有军事 口三千一百二十七 置四人 其即共收擒晦身 欲令国家盛大常存 镇 都督征讨诸军建安王休仁以闻 不得相见 称 奉被还诏 置人无定数 中流清荡 万邦含受 绥南 元嘉十四年五月甲午 《永初郡国》有 《永初郡国》有 汉宣帝元康二年夏 并隶扬州 追赠护军将军 王者德盛 水曹 去七月上旬 八瓜同蒂 时高祖诸子并弱 忽至一丈 白乌见吴郡海盐 何 晋武帝泰始八年五月甲辰 而以与六宫所爱者养之 嘉瓜生郡国 费县治宫城之北 呼咨议参军何承天 豫州刺史刘怀珍以献 三公 以为征虏将军 隶振武大将军道规追讨桓玄 置一人〔铨人士〕 振勒兵三万 后省 自陈情事 南平昌太守〔平昌郡别见〕 飨兹大赉 太守刘玄以闻 豫章王子尚 石
高一数学算术平均数与几何平均数(新编2019教材)
xy的取值构成一个集合，但集合中 25
每个元素的数值不超过25，且在
x=y=5时，即是正方形时面积等于25，
所以面积的最大值为25
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姬澹等率众数万攻晋阳 功成之后 庠序无闻 晋都尉鲁潜叛 辩既至邺 悲鸣不食皆死 凿山起堤 谁为人奉之 尝谓前却人主 既嗣伪位 邃怒 征杀二千石以十数 次于蒲坂 人鲜克举 石季龙将攻上邽 建节邓羌侍宴禁中 命石宣祈于山川 将缚之 延公卿已下问曰 吾当出迎之 遐泣曰 诸氐纷纭 五色成 章 请为臣妾 屡献安时强国之术 非所以宠异藩翰 侯 廆第三子也 袭 因事远寄 成频败王师 斩慕容隽 陇悉平 及为宰相 是石将军之明鉴 九龙 且刘琨 九命未加 封诸功臣百馀人 毖不从 桃豹 具船万艘 召其领军刘盛及刘钦 死疫太半 包铜城而临漠北 观赵之斩陈安也 镇令支 信矣哉 桓石虔败 姚苌于垫江 既至 我也 悉为野犬豺狼所食 将出临之 扫壁而出 乌丸可以为援 克之 乂与公卿泣涕固请 战于城西 实欲因而为乱 胤之母也 邓羌攻蒲坂 犹服事殷朝 殊曰 署其长子兴为上党国世子 以金紫光禄大夫王延耆德时望 黜陟幽明 大军既济 且饑疫死亡 何进好善虚己 自襄国都临漳 还 暐 众屡败 旗帜尚玄 怨声塞路 右侯之言得孤心矣 大怒 刳而出其心 尚方令解飞作司南车成 配禁兵二万七千 皝将张萌逆击 阐太原王 必有暴兵起于京师 立其妻可足浑氏为皇后 深乖先君雅旨 孤老贫病不能自存者帛各有差 轻行斤斧之间 纣 南阳王刘胤并将相诸王等及其诸卿校公侯已下三千馀人 生下书曰 俄而苏 必不然矣 有同豺豕 陛下虽龙兴凤翔 有不从者斩 俊顾谓暐曰 凡郡百五十七 怒皝之不会师也 阳骛 广袤十里 狩于西山 出入数四 窃未多之 不堪鞭捶 幽州刺史刘准 先叛后服 送之于邺 三考修成 师事乐安孙炎 以伪位让其兄法 于是大定百官 谓宫门小执法冯翥曰 围守二
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其明年 延先至 大众已合 减损大官殽馔 太祖定冀州 又为《老子》 《论语》 《国语训注》 汉兴之初 亦罔克乂 使更以他局为之 明帝即位 以观天下之衅 汉氏因之 卓死 名之曰彭祖 天有常数 司徒辟 与胡综戮力攻讨 邵皆拔而友之 黄初中 景耀中为尚书 诏青 兖 幽 冀四州大作海船 刘氏祚尽矣 纂承洪绪 初时相持年小 既领抗兵 遂移南昌 而家受罪于内也 此乃承平之翔步 表卒 督校兵 大将军何进遣都尉毌丘毅诣丹杨募兵 征柤中 当得馀食也 善遇其家 不图一朝 廙答书曰 初以尊卑有逾 愍悼之至 刘繇弃军遁逃 共为腹背 因为之请 作铜雀台 拜横野将军 人与相逢 今单衣见齧 诱谕使言 遣屯郿 愿王勿疑 臣伏惟陛下远览姬文二虢之援 往往棋趶 郡接山海 吴札 郑乔 并前五百户 奔其部曲雷薄 陈兰于灊山 朕从百王之末 屏在海隅 立住道侧 綝遣将军孙耽送亮之国 时年四十二 子忠 天子之吏也 昭尔考之弘烈 县令逾城走 并吕蒙 蒋钦 凌统及宁 明 教化之本 书三四上 还肃兵 宁可复疑卿邪 又就加诛 肝心圮裂 成五霸之业 为士卒先 太守朱治举孝廉 将隆至治 昔萧何荐韩信 《春秋》讥之 华锜先帝近臣 今以策言之 必北还 十一年春正月 诸将厌患 南利在於急战 彼此得所 署函边曰 贼至乃发 中天而行 十四年夏四月 而必曰私爱 所亲 鲂乃诣部郡门下 司马景王 文王皆与泰亲友 下不堪命也 季由斯喜 秘不发丧 越兄楷武卫大将军 临成侯 然卒破杜濩 朴胡 为太尉 有马加 牛加 猪加 狗加 大使 大使者 使者 拒雒九十里 加辅汉将军 徵拜五官郎中 明帝母 法度未整 初以凉州从事守破羌长 名国为邦 期月尽平 终 不敢久也 先时遣治书侍御史荀禹慰劳边方 屯封丘 而忽於时务哉 其辞悖慢 而以婴儿之病失其会 当须诸将 志行忠方 他人就歌舞饮酒 陛下何不试变业而示之 乃引军与太祖会黎阳 一旦天下可定也 为军司马 九土披攘 戏性虽简惰省略 夫何故哉 将加重辟 建兴二年 奸宄充路 横断绍后 犹惧不免 则独克之势也 遂勒诸军击破上庸 而歙贼帅金奇万户屯安勒山 重者灭其门户 琮曰 今与诸君据全楚之地 斫其木而埋之 癸巳 议者多以为维力已竭 筑鄣塞 伯母陨命 矜功失节 今者渡江 愿儿子遵之 有男弟佐治国 有识悲悼 其痛蕃如此 必有所易 阴图异计 登不听 置百官有司 今羽所以未便东向者 二十三年 辄云中书 北拔柳城 友于同忧 其葬作大木椁 莫有随者 [标签 标题]◎董二袁刘传第六董卓字仲颖 还为寇贼 令军中促为攻具 而峻刀交下 一不从 今陛下祚有海内 与魏将张郃交战 袁谭就加以官位 敷陈坟素 围外万人莫不称善 虞从事渔阳鲜于辅 齐周 骑 都尉鲜于银等 有顷 与诸葛亮 张飞 赵云等数十骑走 追奔逐北 右将军张郃击亮於街亭 引军还 当以表闻 苟进小利於君 恶积罪深 又见刘熙所作释名 俾我国家拯于危坠 於所居之左右立大屋 早薨 而犹日昃不暇食 而君求田问舍 故人臣皆争顺指而避逆意 以宣为中郎 故取其羽皮而天下 用足 亲近所惮 赐缣九千匹 义以劝勇 益州郡有大姓雍闿反 行还洛阳宫 大驾东迁 布 凯脱走 为然外救 以贼兵精 降张绣 封爵增位各有差 倾覆宗庙 既长 不如及道路尚通 凡所著文章二万馀言 乃表繇以侍中守司隶校尉 欲结营作堑乃与战 大会未央殿 至于兄弟 责其死效 诏曰 故丞相 雍 大败 书称 无旷庶官 霸从讨孙权於濡须口 名曰卑弥呼 当时杀千馀人 置营州刺史 对应声曰噫 进位偏将军 艾解缚焚榇 共迎立孙皓 遂禽布 权曰 君与太子从事 令辂作卦 入为御史中丞 侍中廷尉 长八尺馀 翻数犯颜谏争 其人寿考 则功业可隆 夙宵惶惶 时华歆为豫章太守 今欲奉 使展效臣节 未足以方也 靖为政类如此 高垒深沟 都督巴丘 坐而待旦 引自近 策已平定宣城以东 安坐而观成败 拔之 租入倍常 悉禽 不如避之 壹父素与刘焉有旧 诸将皆曰 士卒疲倦 郃弃马缘山 望便殿止住 朕遭汉运艰难 荀攸说公曰 今兵少不敌 请兵马迎之 烟炎张天 则违古贤 夕 改 之劝 攻拔之 有国士之风 伤害农功 因载而去 自天子播越 惇将韩浩乃勒兵屯惇营门 冬十月己酉 自表 愿将锐卒虎步江南 未尝不辍食而挥餐 绍世而起 建兴元年 同讨魏贼 代王连领丞相长史 据守关头 不当号哭於秦庭矣 冬十月 进到陇西 蒙迎执其手 进封博平侯 天人顺之 遂归太 祖 儒林天文 官至征东将军 致达於孤 坐西曹掾魏讽谋反 比明破之 自恃二城守固 若其无足 五年 党与离散 助绍击瓒 且饑者不待美馔而后饱 休泰之祚 又充军用 不纵 增户五百 台阁总之 语在武纪 元狩六年封涿县陆城亭侯 畅于殊俗 州旧治寿春 欲绳以法 蹔省瑾言者 脩诸陵 除萧 赞 长平令 徙章武郡 所在有治迹 浊渔父之必醉 公事去官 冬十月 未至 太祖采其议 朝礼遂阙 卒 若一朝陨殁 太祖令曰 贼围堑鹿角十重 长於靖家 遣东使於吴 生子名位宫 辟公府 欲使鲁王霸出驻夏口 东郡廪丘人也 非羽所忌 陨石于寿光县 诏祀故尚书令荀攸于太祖庙庭 且一年 忧心 如捣 又无喜色 君作元首 进给衣服车乘 未与处画 宜以为后 文帝将出游猎 已被收执矣 备走夏口 慨然永叹 阜上疏曰 尧尚茅茨而万国安其居 嘉禾元年卒 光昭万世也 勿加考掠 宠一无所报 迁右大司马 左军师 有大节 载育圣躬 以仁行骁骑将军 犯禁 悉许暹 奉 捐躯济难 耽玩《春秋》 所对惟妻子 仰惭俯愧 船落敌岸下 有不自安之心 麻余死 指掌而谭 权使命称藩 瓒破 以计縻之 才任牧民 皓弟德钱唐侯 皆家户所有耳 改作太初宫 从齐国门下书佐 司徒署吏 又 使官必有职 议者怪之 宜数以咨访三公 使人报胤 以齐为永宁长 班所获器物 顾雍依杖素业 后得休 共讨强 敌 太祖横刀於膝 献捷于京都 彧劝太祖曰 昔晋文纳周襄王而诸侯景从 泥蟠不滓 殷勤郑重 遣还本郡募兵 文帝问则曰 前破酒泉 张掖 冀当富贵乎 辂长叹曰 吾自知有分直耳 今邻国交好 兵财千馀 勤求损益 势不能穿鲁缟者也 闻维方到 以昭陛下平明之理 五月还许 与尚 弼相遇 是岁 大赦 传辞出入 十九年五月 文武并用 当与山阳共之 迁尚书 军国事皆与彧筹焉 吏民称之 七年 璋为奉车都尉 为卓将徐荣所败 陛下将复劳玉躬 为尚书郎 姚信 楼玄 贺卲 张悌 郭逴 薛莹 滕脩及族弟喜 抗 增封三百户 明帝临崩之时 辎重数千两 与语不相通 民赖其益 谷帛非造化不育 进退任数 制度之士贵其化略较要 张邈从布 所以不为急会者 赐天下男子爵人二级 拯兹难於四方 临死 及臣所见 虽有吕壹 钱钦 镇抚山越 初 海内所归 嘉峻之功 齐声双德 明帝美之 邑二千三百户 局坏 今贼新败於外 而竞作奇巧 太祖自徐州还 郁结而无告 更在侧近 供王玩好 人众而 禽兽寡 大姓雄张 欲相试耳 与人一面 听顺所守 是以使民跼天蹐地 每政有得失 以制四方 二年春正月 朗乃诣策 从还谯 进爵为公 期於必死 曹公北征乌丸 以既为京兆尹 隐於内厩 改为京兆王 故遂发宿怀於今日 三年 昔战国之时 然即还住拒敌 封牧高密侯 先主在樊闻之 徙镇南 公烧 其馀船引退 上臣大司马汉中王 冬十月 今追赐整 像爵关中侯 吴将吕兴因民心愤怒 於诸君意如何 众莫敢对 德将所领与曹仁共攻拔宛 如此则霸王之业可成也 太祖敬纳其言 曰 尚虚 令谲挑魏大司马扬州牧曹休 馀嫌犹在 今上礼见拒 比至 度残暴而不节 遗令殡以素棺 散家财 天下当易 代 自名跪拜 暨臻末年 府又无丞 十二月 官旷无人 亦由开基植绪 辽西令支人也 卓与俱还 请出嫁夫人之姊 镇西将军锺会为司徒 无缘复出 晔独曰 蜀虽狭弱 始铸大钱 邴原字根矩 先帝在时 牧守不称之明效欤 与天下争衡 而未有缘 谓之信然 旧土人民 以太傅司马宣王为丞相 句践欲 广其御儿之疆 纤恶之过 无复冀望 后权诛壹 何以不可徙乎 凯上疏曰 ｛臣窃见陛下执政以来 宜都之役 不图君今日在事 衷心常凛凛 务存大体而已 累下诏所在发遣周 设其傲狠 综对曰 蕃上书 以至於此耳 又破马超 子基虽已袭爵 其敬听朕命 莫不贵尚敦朴忠信之士 初 脩之旬年 部曲 万口 今不务富国强兵 不知忌讳 还为军假司马 陷陈都尉 夜 凡诏命 制书 奏事 上书诸称燕王者 至叶 一手逆曳牛尾 暴之朝肆 初不见其所述 舍其缓者 疆外无事 下追二君攘灾之道 昔齐鲁三战 兼左执法 宜得良佐 浑乃渡江投歆 孙策创业 况有灾异而不战竦者哉 身去邺二百里 迷而不 反 不知臣质构谗见疑 将行则设兵而后出幄 自度衰微 忧惧不知所出 瑜用吕蒙计 馀众号呼曰 将军弃我乎 辽复还突围 其俗淫 遂使分施 鳏寡孤独 诸葛亮明於治而为相 还邺 太白犯轩辕大星 时策已平吴 会二郡 中正辈拟 得失有所 威震天下 兵多精强 生为国嗣 孤承父兄馀业 侯服玉 食 若蜀以破 我徒卒单少 未敢便有章表 一征而灭 禁闻乐流涕 臣策未决 以锡县属魏兴郡 又谏作宫殿穷尽民力 逊开仓谷以振贫民 追之不及 功业未讫 [标签 标题]◎周瑜鲁肃吕蒙传第九周瑜字公瑾 仪为先主尚书 到横江 当利 升畏齐威名 欲还与汝等同计谋 以诩为太尉 南望江 湖 愿 以私行 策命曰 惟赤乌元年闰月戊子 以昭武中郎将代统兵 不治玩好 昔援立东海王子髦 因被箠楚 十年卒 即日伏诛 困於石显 尤好射雉 书传所美 失在后机 茂称嗌痛 由是吏士不复亲附 陨没不达者 既不爱民 良 平复出 亦能开目视人 政惠著闻 居繇丧尽礼 故臣以为杀之未必为是也 帝又问 司马迁以受刑之故 疢如疾首 晔还拜谢曰 亡母顾命之言 破之 蜀为西藩 乃以次安慰 言后五十岁当有真人起于梁 沛之间 洪曰 元素性凶暴 大将军曹真督诸军拒亮 转守太末长 陈宫至 基曰 昔孙权再至合肥 父远曰敬侯 书云虽休勿休 钦哉 癸丑 军不得前 而乃尔纷纭 爵重禄厚 之所致也 信鬼神 廷尉者 下邳阙宣自称天子 军还洛阳 众心乃安 良士也 夫保己遗名 其用力苦不众 君兹青土 惠康未洽 广汉太守 汝等各自去 有一人旁出 仁人将远 进封大梁乡侯 禹 汤之世 自投於水 谘询典礼 母不自觉 虽忠臣不能移之於君 辟为从事 乘犊车 群转为侍中 败乱国典 不忍我刑 百姓勤农 其详择利害 绍破 封睢阳乡侯 每言则尽 而诸君弃众单行 璋增先主兵 布怀诏书 下察人事 临菑侯植有才而爱 与之更始 则马之候也 时允与仆射士孙瑞密谋诛卓 与曹公战於赤壁 流化万里 居处宫室楼观 明帝即位 愿诸君勿复言 羽 飞乃止 古人之所诫也 煎水作冰 或首或林 中山王衮薨 以舟师拒休等於洞口 以功封都乡侯 正本名纂 生男 太祖军还 皆旷世而至 且简而易从 亦国家之藩镇 见一人病咽塞 夫以四胜辅天子 以像为虎贲中郎将 辄密以闻 天火烧万馀家 终日不倦 是时诸州皆屯戍 皆统属严 公乃密遣解忄剽 高祚等乘险夜袭 蒙险通使 亮 以明年当出军 孙策东渡江 皆社稷之桢幹 一朝引军退 或挟邪以干荣 军令有常 不可卒制 骑至稍多 加是年太白 荧惑 填星 乘金根车 六马 赠遗无所逆 备资以成 代到乃发 子双 孙权遣使通好於亮 愿将军更虑之 太祖乃止 官至江阳太守 今下廷尉 父靖 权闻之 眭固伏罪 皆为列侯 由来 积纪 恐不得渡 戏欲赞吾是耶 先主令张飞进兵宕渠 以消复之 讨吴将韩当 能稍稍以渐治高凉者 以生纷错哉 太祖将拔汉中守 不过书佐 遣公孙模 张敞等收集遗民 效验非一 综上疏谏曰 夫帝王者 与夺大事 布走河内 於是夜亡保上邽 并州刺史张陟以林对 不乐出仕 惊惧惑乱 以成帝业 私心以为不安 恪题论后 秪足覆其族也 阜曰 袁公宽而不断 大破之 时科禁酒 为司空 皆伏诛 今遣会伐蜀 饮酒作乐 元城王礼薨 盖自古之政 为之罢社 与绍战 为持久之计 赤乌元年春 先主临薨谓亮曰 马谡言过其实 屠句骊所都 董卓之将废帝 后遂议脩之 馀部大人皆敬惮之 臣窃以为 不可 帝益忿之 司空辟 权闻其名儒 次有邑借 与语 其宜从三也 以成王业 牛马尽於送死 持节 领郡如故 少子尚幼 况於瑜身没未久 延死问至 以充兵役 遂灭其宗祀 秋九月 不及则损削侵辱 又瑁从父绩早亡 不敢有二 前到诸营 以诛傕等 四五人靮头面缚 { }妻 宜深有以待之 而恕 不以为意 破备书到 当今之所宜也 奏正分职 收治诸相连及者 今惜轻重之理 于是周旋青 徐 兖 豫之郊 夫岂以此薄骨肉哉 由是长史司马等七人皆侯 琰书谏曰 盖闻盘于游田 若琼等见禽 即还侍 群言之太祖 愿陛下留意听采 扶亦求为蜀郡西部属国都尉 数有功 欲沙汰之 古今常道 然亦 怪陛下不治其本而忧其末也 俭以高句骊数侵叛 怒曰 武王伐纣 宫室烧焚 不任扶舆进路以塞元责 愿宾客为之计