2013-2014版高中数学(北师大版)必修五活页规范训练 章末质量评估2 Word版含解析]
北师大版数学必修5 单元质量评估(二)
温馨提示：此套题为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
单元质量评估(二)第二章 解三角形 (120分钟 150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在△ABC 中，已知a=5, B=105°, C=15°，求此三角形中最大的边长( )5(C)4 (D)32.(2011·锦州高二检测）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，又a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cosB ＝( ) (A)14(B) 34(C)4(D)33.（2011·保定高二检测）在△ABC 中，若sinC=2cosAsinB ，则三角形必为( ) （A ）等腰三角形 （B ）正三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形4.(2011·天津高考）如图，在△ABC 中，D 是边AC上的点，且AB=AD ，BD ，BC=2BD ，则sinC 的值为( )(A)3(B)6(C)3(D)65.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若b 2+c 2-bc ＝a 2，且ab ，则角C 的值为( )(A)45° (B)60° (C)90° (D)120°6.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )7.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，角A=60°，且最大边长和最小边长是方程x 2-7x+11=0的两个根，则第三边的长为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)58.(2011·惠州高二检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.若(a 2+c 2-b 2则角B 的值为( )(A)6π (B)3π (C)6π或56π (D)3π或23π9.有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°（坡高不变），则斜坡长为________千米．( ) (A)1 (B)2sin10° (C)2cos10° (D)cos20°10.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若c ，b ，B ＝120°，则a 等于( )11.（2011·永安高二检测）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111，，，则此人( )5810（A）不能作出这样的三角形（B）能作出一个锐角三角形（C）能作出一个直角三角形（D）能作出一个钝角三角形12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果c，角B＝30°，那么角C等于( )(A)120° (B)105° (C)90° (D)75°二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）13.(2011·安徽高考）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________.14.在锐角三角形ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是________.15.在△ABC中，已知sin2A＝sin2C+sin2sinCsinB，则角A的值为_______．16.（2011·枣庄高二检测）在△ABC中，已知sinA∶sinB∶1，c2＝b2，则三内角A、B、C的度数依次是__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）在△ABC中，若角B＝30°，AB＝AC＝2，则△ABC的面积是多少？18.（12分）在△ABC 中，sinA=sinB sinC cosB cosC++，判断这个三角形的形状.19.（12分）某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向(如图)，由城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路上B 处有一人距C 为31公里，正沿公路向A 城走去，走了20公里后到达D 处，此时CD 间的距离为21公里，问这个人还要走多少公里才能到达A 城？20.（12分）(2011·山东高考）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 已知cosA 2cosC 2c a cosB b--=(1)求sinCsinA的值；（2）若cosB=14，△ABC 的周长为5，求b 的长.21.（12分）在△ABC 中，a 2=b(b+c)，求A 与B 满足的关系.22.（12分）（2011·湖南高考）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csinA=acosC. （1）求角C 的大小；（2sinA-cos(B+4π)的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小.答案解析1.【解析】选B.由A+B+C=180°得A= 60° ，所以b 边最长.由正弦定理得5所以选B.2.【解析】选B.∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac. 又由c ＝2a ，∴cosB ＝222a c b2ac +-＝22222a 4a ac5a 2a 32ac4a4+--==.3.【解析】选A.∵C=π-(A+B), ∴sinC=sin(A+B), ∴sin(A+B)=2cosAsinB ，即sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB,整理得sinAcosB-cosAsinB=0, 可得sin(A-B)=0,∴A=B.故选A.4.【解析】选D.由题意知△ABD 是等腰三角形，故cos∠ADB=1BD2AD3=，∴sin ∠BDC=sin ∠ADB=3.在△BDC 中，由正弦定理知：B C B D sin B D CsinC=∠∴sinC=BD sin BD C1BC236∠=⨯=g .5.【解析】选C.由b 2+c 2-bc ＝a 2得b 2+c 2-a 2＝bc ， ∴cosA ＝222bb c 2bc+-＝12，∴A ＝60°.又a b ＝，∴sinA sinB，∴sinB 3sinA 32＝12，∴B ＝30°，∴C ＝180°-A-B ＝90°.6.【解析】选C.设三角形未知两边长分别为8t 和5t （t>0）， 根据余弦定理得(8t)2+(5t)2-2×8t ×5t ×cos60°=142 整理得t 2=4,解得t=2 所以另两边长分别为16和10.三角形面积S= 12×16×10×sin60°.7.【解析】选C.∵最大边长和最小边长是方程x 2-7x+11=0的两个根，则b+c=7,bc=11,∴==4.8.【解析】选D.由222a c b2ac+-=cosB 结合已知等式得cosB 〃tanB ＝2，∴B= 3π或23π.9.【解析】选C.如图，∵∠CBD ＝A+∠ACB ＝20°，A=10° ∴∠ACB ＝10°.∴AB ＝BC ＝1千米．由余弦定理，知=2cos10°.10.【解析】选D.由正弦定理得sin120sinC︒＝，∴sinC ＝12.又∵c =b,角C 为锐角，∴C ＝30°，∴A ＝30°， ∴△ABC 为等腰三角形，a ＝c.故选D.11.【解析】选D.根据题意，可设1115810，，三条高所在的边长为5x,8x,10x ，又设边长为10x 的边所对的角为θ，则cos θ=()()()2225x 8x 10x 025x 8x+-<⨯⨯，∴θ为钝角，故要制作的三角形为钝角三角形.12.独具【解题提示】由正弦定理将条件中边的等式转化为角的等式求解.【解析】选A.∵a ，∴sin(180°-30°sin(30°+C)(2sinC+12cosC)，即sinC ＝cosC.∴tanC ＝.又0°<C<180°，∴C ＝120°.13.【解析】由于三角形的三边长构成公差为4的等差数列，所以可设三边长分别为x-4,x,x+4,由一个内角为120°，知其必是最长边x+4所对的角. 根据余弦定理得(x+4)2=x 2+(x-4)2-2x(x-4)〃cos120°即2x 2-20x=0解得x=10或x=0,由题意知x>0,∴x=10,∴S △ABC =12×10×6×sin120°.答案：14.独具【解题提示】由cosC ＞0及三角形两边之差小于第三边，求c 的范围. 【解析】∵cosC ＞0, ∴222a b c2ab+-＞0，∴0＜c ,又∵c ＞b-a=1，∴1＜c .答案:（115.【解析】在△ABC 中，根据正弦定理a b c sinAsinBsinC＝＝＝2R ，得：sinA ＝a 2R，sinB ＝b 2R，sinC ＝c 2R，∴222222acb4R4R4R4R++＝，即：a 2＝c 2+b 2bc ，∴cosA ＝222b c a2bc+-2，且角A ∈(0，π)，∴A ＝56π.答案:56π16.独具【解题提示】sinA ∶sinB=a ∶∶1,结合余弦定理a 2＝b 2+c 2-2bccosA ，消去a 2再利用方程求解.【解析】由题意知a b ，a 2＝b 2+c 2-2bccosA ，得2b 2＝b 2+c 2-2bccosA ， 又c 2＝b 2，∴cosA 2，A ＝45°，sinB ＝12，B ＝30°，∴C ＝105°.答案:45°，30°，105°17.独具【解题提示】已知两边及一边的对角解三角形时，要注意分类讨论．【解析】由正弦定理得A C AB sinBsinC=，sinC=ABsinB AC2=.∵AB>AC ，∴C ＝60°或120°.当角C ＝60°时，S △ABC ＝12AC 〃AB 〃sinA ＝12×2×sin90°＝当角C ＝120°时，S △ABC ＝12AC 〃AB 〃sinA ＝12×2××sin30所以△ABC 的面积是独具【方法技巧】在解决三角形问题中，面积公式S=12absinC=12bcsinA=12acsinB 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来. 18.【解析】应用正弦定理、余弦定理，可得 a=222222b cc a ba b c2ca2ab++-+-+，所以b （a 2-b 2）+c （a 2-c 2）=bc （b+c ）, 所以（b+c ）a 2=（b 3+c 3）+bc （b+c ）, 所以a 2=b 2-bc+c 2+bc,所以a 2=b 2+c 2. 所以△ABC 是直角三角形.独具【方法技巧】三角形形状的判断（1）判断三角形的形状，主要有两条思路：一是化角为边，二是化边为角. （2）若等式两边是关于三角形的边或内角的正弦函数齐次式，则可以根据正弦定理互相转化.如asinA+bsinB=csinC ⇔a 2+b 2=c 2⇔sin 2A+sin 2B ＝sin 2C19.【解析】在△CDB 中，212＝202+312-2×20×31×cosB,解得cosB ＝2331，∴sin ∠ACB ＝sin(120°-B)＝62.设AD ＝x ，在△ABC 中，由正弦定理20x 31sin A C Bsin60+∠︒＝，∴x ＝15.答：这个人还要走15公里才能到达A 城．20.【解析】（1）由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 所以cosA 2cosC2c a 2sinC sinAcosBbsinB---==所以sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB 即有sin(A+B)=2sin(B+C)即sinC=2sinA 所以sinC sinA=2.(2)由（1）知sinC sinA=2，所以有ca=2,即c=2a.又因为△ABC 的周长为5，所以b=5-3a 由余弦定理得：b 2=c 2+a 2-2accosB 即（5-3a ）2=(2a)2+a 2-4a 2×14解得a=1或a=5(舍去） 所以b=2.21.【解析】由已知a 2=b(b+c) ∴a 2=b 2+bc,移项得：b 2-a 2=-bc 由余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA, 移项得：2bccosA=b 2-a 2+c 2 ∴2bccosA=-bc+c 2,2bcosA=-b+c由正弦定理：2〃2RsinBcosA=-2RsinB+2RsinC 2sinBcosA=-sinB+sinC=-sinB+sin(A+B) =-sinB+sinAcosB+sinBcosA sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B) ∴B=A-B 或B+（A-B ）=π（舍去） 即A 与B 满足的关系为A=2B世纪金榜 圆您梦想- 11 - 独具【方法技巧】由正弦定理、余弦定理进行边角转化一般的，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要多考虑用余弦定理；反之，若是遇到的式子含角的正弦或边的一次式，则大多用正弦定理.22.【解析】（1）由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC.因为0<A<π,所以sinA>0.从而sinC=cosC.又cosC ≠0,所以tanC=1,则C=4π. （2）由（1）知B=34π-A.于是4πsinA-cos(π-A)sinA+cosA=2sin(A+6π). 因为0<A<34π,所以6π<A+6π<1112π, 从而当A+6π=2π,即A=3π时， 2sin(A+6π)取最大值2．4π)的最大值为2，此时A=3π,B=512π.。
北师大版高中数学必修五第2章解三角形章末质量评估.docx
高中数学学习材料唐玲出品(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．在△ABC 中，sin 2 C ＝sin 2 A ＋sin 2 B ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形解析： 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ， C ＝c2R ，又∵sin 2 C ＝sin 2 A ＋sin 2 B ，∴c 2＝a 2＋b 2.∴△ABC 为直角三角形． 答案： A2．在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( ) A.2π3 B.5π6 C.3π4D.π3解析： 由余弦定理得 cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝52＋32－722×5×3＝－12.∵0<∠BAC <π，∴∠BAC ＝2π3.故选A. 答案： A3．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是( )A.20B.21C.22D.61解析： 设长为4,5的两边的夹角为θ，由2x 2＋3x －2＝0得：x ＝12或x ＝－2(舍)．∴cos θ＝12，∴第三边长为42＋52－2×4×5×12＝21.答案： B4．符合下列条件的三角形有且只有一个的是( ) A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3 B ．a ＝1，b ＝2，A ＝30° C ．a ＝1，b ＝2，A ＝100°D ．b ＝c ＝1，B ＝45°解析： A ：a ＋b ＝3＝c ，不能构成三角形； B ：b sin A <a <b ，故有两解．C ：a <b ，故A 应为锐角，而已知A ＝100°，故不能构成三角形．D ：b ＝c ＝1，故△ABC 为等腰三角形， ∴C ＝B ＝45°，∴A ＝90°，故只有一解． 答案： D5．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形解析： 由2sin A cos B ＝sin C 得 2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B . ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0 ∴sin(A －B )＝0∴A －B ＝0，即A ＝B ，故选B. 答案： B6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( )A.1＋32B ．1＋ 3 C.2＋22D ．2 3解析： ∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴ac ＝6.又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos 30°＝4b 2－12－6 3 ∴b 2＝4＋23，∴b ＝1＋ 3. 答案： B7．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积为( )A ．2B ．3 C.152D.15解析： 由b 2－bc －2c 2＝(b ＋c )(b －2c )＝0，得b ＝2c . 由余弦定理(6)2＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c ×78，得c ＝2，b ＝4.故S △ABC ＝12bc sin A ＝152.答案： C8．在△ABC 中，已知b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析： b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . a 2sin 2C ＝a 2＋a 2cos 2 B －2a cos B ·a cos B ＝a 2－a 2cos 2 B ＝a 2sin B ， ∴C ＝B ，∴b 2＋c 2＝a 2sin 2 C ＋a 2cos 2 B ＝a 2sin 2 C ＋a 2cos 2 C ＝a 2， ∴C ＝B ＝45°. 答案： D9．锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，如果B ＝2A ，则ba 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．(2，3)D ．(2，2)解析： ∵b a ＝sin B sin A ＝sin 2Asin A＝2cos A ，又∵△ABC 是锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧B ＝2A <90°A ＋2A >90°，∴30°<A <45°，则ba ＝2cos A ∈(2，3)．答案： C10．在某海域，一货轮航行到M 处，测得灯塔P 在货轮的北偏东15°并与货轮相距20 nmile 的海上，随后货轮按北偏西30°方向航行30分钟，又测得灯塔P 在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2)n mile/hB ．20(6－2)n mile/hC ．20(6＋3)n mile/hD ．20(6－3)n mile/h解析： 如右图，由题意可知，M ＝15°＋30°＝45°， N ＝60°＋45°＝105°， 故知P ＝30°，由正弦定理，得 20sin 105°＝MNsin 30°，∴MN ＝10sin (60°＋45°)＝406＋2＝10(6－2)，故知速度为20(6－2)n mile/h. 答案： B 二、填空题11．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，a ∶b ＝1∶3，则A ＝________. 解析： 依条件B ＝2A ，a b ＝13，由正弦定理，得sin A sin B ＝13，∴sin 2A ＝3sin A ，∴cos A ＝32. ∵A 为三角形的内角，∴A ＝30°. 答案： 30°12．在△ABC 中，若S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，那么角C ＝____________________.解析： 根据三角形面积公式得， S ＝12ab sin C ＝14(a 2＋b 2－c 2) ∴sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab.又由余弦定理：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝π4.答案： π4(江西专用)设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________． 解析： ∵2a －1＞0，∴a ＞12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2＜(2a ＋1)2化简得：0＜a ＜8.又∵a ＋2a －1＞2a ＋1， ∴a ＞2，∴2＜a ＜8. 答案： (2,8)13．在△ABC 中，b ＋c ＝2＋1，C ＝45°，B ＝30°，则b 等于________，c 等于________． 解析： 由正弦定理有b sin B ＝c sin C ，所以b c ＝sin B sin C ＝sin 30°sin 45°＝12，又b ＋c ＝2＋1，所以b ＝1，c ＝ 2. 答案： 1214．甲船在A 处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a 海里，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的3倍，则甲船应沿________方向前进才能尽快追上乙船，追上时乙船已行驶了________海里．解析： 如图所示，设两船在C 处相遇，并设∠CAB ＝θ，由题意及正弦定理，得sin θ＝BC ·sin 120°AC ＝12，∴θ＝30°.从而BC ＝AB ·sin θsin ∠ACB ＝a ·sin 30°sin (180°－120°－30°)＝a .即甲船应沿北偏东30°方向前进才能尽快追上乙船，追上时，乙船已行驶了a 海里． 答案： 北偏东30° a 三、解答题15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值． 解析： (1)因为cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45，又由AB →·AC →＝3，得bc cos A ＝3，∴bc ＝5，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝2.(2)对于bc ＝5，又b ＋c ＝6，∴b ＝5，c ＝1或b ＝1，c ＝5，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20， ∴a ＝2 5.16．在△ABC 中，若a －c cos B b －c cos A ＝sin Asin B ，试判断△ABC 的形状．解析： 方法一：由正弦定理及a －c cos B b －c cos A ＝sin Asin B ，得sin A －sin C cos B sin B －sin C cos A ＝sin Asin B.所以sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin A sin B ，所以sin B cos C sin A cos C ＝sin A sin B .再利用正弦定理，得b a ＝ab.所以a 2＝b 2，所以a ＝b .所以△ABC 为等腰三角形． 方法二：由a －c cos B b －c cos A ＝sin Asin B ，得a sin B －c sin B cos B ＝b sin A －c sin A cos A . 又a sin B ＝b sin A ，所以sin B cos B ＝sin A cos A ， 即sin2B ＝sin2A .由于b －c cos A ≠0， 由正弦定理得，sin B ≠sin C cos A ， 即cos C sin A ≠0，即cos C ≠0， 所以C ≠π2，即A ＋B ≠π2.故有2A ＝2B ，所以A ＝B ， 从而△ABC 为等腰三角形．17．C 位于A 城的南偏西20°的位置，B 位于A 城的南偏东40°的位置，有一人距C 为31千米的B 处正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A 城？解析： 设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β. 在△BCD 中，由余弦定理得 cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，则sin β＝437，而sin α＝sin(β－60°) ＝sin βcos 60°－cos βsin 60° ＝437×12＋32×17＝5314，在△ACD 中，由正弦定理得21sin 60°＝ADsin α， ∴AD ＝21sin αsin 60°＝21×531432＝15(千米)．答：这人还要走15千米，才能到达A 城．18．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足b 2＝ac ，cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)设BA →·BC →＝32，求三边a 、b 、c 的长度．解析： (1)由cos B ＝34可得，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵b 2＝ac ，∴根据正弦定理可得sin 2B ＝sin A sin C . 又∵在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， ∴1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝cos A sin C ＋cos C sin A sin A sin C＝sin (A ＋C )sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得|BA →|·|BC →|＝32得|BA →|·|BC →|cos B ＝ca cos B ＝32，又∵cos B ＝34，∴b 2＝ca ＝2，又由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝2.得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3ac ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1c ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1， 又∵b 2＝ca ＝2，∴b ＝ 2.∴三边a，b，c的长度分别为1，2，2或2，2，1.。
2013-2014版高中数学(北师大版)必修五活页规范训练 1-3-2等比数列的前n项和 Word版含解析]
![2013-2014版高中数学(北师大版)必修五活页规范训练 1-3-2等比数列的前n项和 Word版含解析]](https://img.taocdn.com/s3/m/6d6b4811c5da50e2524d7f49.png)
3.2 等比数列的前n 项和双基达标(限时20分钟)1．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为 ( )． A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 解析 S 5＝a 1(1－q 5)1－q ，∴44＝a 1[1－(－2)5]1－(－2)，∴a 1＝4，故选A.答案 A2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝ ( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析 3S 3－3S 2＝3a 3＝a 4－a 3⇒a 4＝4a 3⇒q ＝4. 答案 B3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝ ( )．A ．2 B.73 C.83 D ．3解析 由题意知S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q 3＝1＋q 3＝3，∴q 3＝2.∴S 9S 6＝a 1(1－q 9)1－q a 1(1－q 6)1－q ＝1－q 91－q 6＝1－(q 3)31－(q 3)2＝1－81－4＝73.答案 B4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 解析 ∵S 6＝4S 3，∴a 1(1－q 6)1－q ＝4a 1(1－q 3)1－q ，解得q 3＝3.∴a 4＝a 1q 3＝3. 答案 35．数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，已知S 4＝2，S 8＝8，则S 12＝________. 解析 由等比数列前n 项和的性质，知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，即(S 8－S 4)2＝ S 4(S 12－S 8)，又S 4＝2，S 8＝8，故S 12＝26. 答案 266．在等比数列{a n }中，a 3－a 1＝8，a 6－a 4＝216，S n ＝40.求公比q ，a 1及n . 解 显然公比q ≠1，由已知可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2－a 1＝8，a 1q 5－a 1q 3＝216，a 1(1－q n )1－q ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3，n ＝4.综合提高（限时25分钟）7．已知数列前n 项的和S n ＝2n －1，则此数列奇数项的前n 项的和是 ( )． A.13(2n ＋1－1) B.13(2n ＋1－2) C.13(22n －1) D.13(22n －2) 解析 由S n ＝2n －1知当n ＝1时，a 1＝21－1＝1. 由n ≥2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时也适合，∴a n ＝2n －1.∴奇数项的前n 项和为S n ＝4n －14－1＝13(4n －1)＝13·(22n －1)．答案 C8．若S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n 2，则{a n }是 ( )． A ．等比数列，但不是等差数列 B ．等差数列，但不是等比数列 C ．等差数列，而且也是等比数列 D ．既非等差数列又非等比数列解析 a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，则a n ＋1－a n ＝2，但a n ＋1a n ＝2n ＋12n －1≠常数，∴{a n }是等差数列，但不是等比数列． 答案 B9．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项和是________． 解析 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由题意，可知a 1＝81，a 5＝16，故q 4＝a 5a 1＝1681，得q ＝±23.又等比数列的各项都是正数，则q ＝23.所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝211.答案 21110．设数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋…＋x 100＝100，则x 101＋x 102＋…＋x 200＝________.解析 由lg x n ＋1＝1＋lg x n ，∴lg x n ＋1＝lg(10x n )，∴x n ＋1x n ＝10.故x 101＋x 102＋…＋x 200＝q 100(x 1＋x 2＋…＋x 100)＝10100×100＝10102.答案 1010211．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .解 (1)∵a n ＋1＝2S n ，∴S n ＋1－S n ＝2S n ，∴S n ＋1S n＝3.又∵S 1＝a 1＝1，∴数列{S n }是首项为1，公比为3的等比数列，S n ＝3n －1(n ∈N ＋)．当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2·3n －2(n ≥2)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2.(2)T n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n . 当n ＝1时，T 1＝1；当n ≥2时，T n ＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n ·3n －2，3T n ＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1①－②得－2T n ＝－2＋4＋2(31＋32＋…＋3n －2)－2n ·3n －1＝2＋2·3(1－3n －2)1－3－2n ·3n －1＝－1＋(1－2n )·3n －1.∴T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫n －123n －1(n ≥2)． 又∵T 1＝a 1＝1也满足上式， ∴T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫n －123n －1(n ∈N ＋)． 12．(创新拓展)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n . (1)求a n ；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)∵a n ＋1＝2a n ＋2n，∴a n ＋12n ＝a n 2n －1＋1，即有a n ＋12n －a n 2n －1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1是以a 120＝1为首项，公差为1的等差数列，∴a n 2n －1＝a 120＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ·2n －1.(2)S n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋(n －1)2n －2＋n ·2n－1,2S n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n 两式相减，得S n ＝n ·2n －1×20－21－…－2n －1＝n ·2n －2n ＋1.。
北师大版高中数学必修五模块质量检测2
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）模块质量检测(二)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A ．45 B ．75 C ．180D ．300解析： ∵a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5， ∴由已知得5a 5＝450，∴a 5＝90 ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案： C2．在△ABC 中，若b ＝2a sin B ，则角A 为( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．120°或60°D ．30°或150°解析： 根据正弦定理sin B ＝2sin A sin B ， 所以sin A ＝12，所以A ＝30°或150°.答案： D3．a ∈R ，且a 2＋a ＜0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞－a 3＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 3 C ．－a 3＞a 2＞－aD ．a 2＞－a ＞－a 3解析： 由a 2＋a ＜0得－1＜a ＜0，∴－a ＞a 2＞－a 3. 答案： B4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析： a 4＋a 6＝2a 5＝－6∴a 5＝－3 ∴d ＝a 5－a 15－1＝2∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2·2＝n 2－12n故n ＝6时S n 取最小值． 答案： A5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝( )A.1＋32B ．1＋ 3 C.2＋32D ．2＋ 3解析： 2b ＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝32∴ac ＝6又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ∴b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos 30° ∴b 2＝4＋23，即b ＝1＋3，故选B. 答案： B6．若数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)的值为( )A ．102B ．101C ．100D ．99 解析： 由lg x n ＋1＝1＋lg x n 得x n ＋1x n＝10，∴数列{x n }是公比为10的等比数列，又x 101＝x 1·q 100， x 102＝x 2·q 100，…，x 200＝x 100·q 100，∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝q 100(x 1＋x 2＋…＋x 100) ＝10100·100＝10102.∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝102. 答案： A7．已知△ABC 中，sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ，b sin B －c sin C ＝0，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 解析： ∵sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形，A ＝90°.又∵b sin B －c sin C ＝0，即b sin B ＝c sin C ， ∴sin 2 B ＝sin 2 C ，又∵A ＝90°，∴B ＝C . ∴△ABC 是等腰直角三角形． 答案： C8．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ＋4≥0x ≤1表示的平面区域面积是( )A ．3B ．6 C.92D ．9解析： 如图所示，不等式组表示的平面区域为△ABC 边界及其内部的部分，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y ＋4＝0可得A (1,5)，同理可得B (－2，2)，C (1，－1)，故AC ＝6，△ABC 的高h ＝3，所以S △ABC ＝12·AC ·h ＝9.答案： D9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n －2(a 为常数且a ≠0)，则数列{a n }( ) A ．是等比数列B ．当a ≠1时是等比数列C ．从第二项起成等比数列D ．从第二项起成等比数列或等差数列解析： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2 n ＝1，a n －1(a －1) n ≥2，当a ≠0，n ≥2，a n ＝a n －1(a －1)，a ≠1是等比数列，当a ＝1，是等差数列． 答案： D10．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 均成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析： ∵(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )， ∴不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，即(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 成立， 即使x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，解得－12＜a ＜32，故选C.答案： C11．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析： 设公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 3＝a 12q 3＝2a 1a 4＋2a 7＝a 1q 3＋2a 1q 6＝52 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2a 1q 3＋2a 1·q 3·q 3＝52 解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝16，故S 5＝16×⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝31.答案： C12．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是( ) A ．0＜a ＜3 B.32≤a ＜3 C ．2＜a ≤3D ．1≤a ＜52解析： ∵三角形为钝角三角形， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a ＋1＞a ＋2－12≤a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)＜0，解得32≤a ＜3.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析： 因为cos C ＝13，得sin C ＝223.因为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×b ×223＝43，所以b ＝2 3. 答案： 2 314．在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程3x 2－11x ＋9＝0的两根，则a 5的值为________． 解析： 由a 3a 7＝3，知a 52＝3，所以a 5＝±3. 答案： ±315．设点P (x ，y )在函数y ＝4－2x 的图像上运动，则9x ＋3y 的最小值为________． 解析： ∵y ＝4－2x ， ∴9x ＋3y ＝9x ＋34－2x＝9x ＋819x≥281＝18. 答案： 1816．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0x －y ＋m ≤0表示的平面区域是一个三角形，则实数m 的取值范围是________．解析： 先画部分可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0，设直线x －y ＋m ＝0与x 轴的交点为(－m,0)，另外A (3,0)，B (0,6)，由图形可知：当m ∈(－∞，－3]∪[0,6)时，可行域为三角形．故实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0,6)． 答案： (－∞，－3]∪[0,6)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．解析： 在△ACD 中，由余弦定理，得 cos C ＝AC 2＋CD 2－AD 22AC ·CD ＝72＋32－522×7×3＝1114.∴sin C ＝1－cos 2 C ＝1－⎝⎛⎭⎫11142＝514 3.在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin C ＝ACsin B ，∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝7×5143sin 45°＝562.18．(12分)数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝⎝⎛⎭⎫13n ＋1(n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值． 解析： (1)由S n ＋1－S n ＝⎝⎛⎭⎫13n ＋1得 a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫13n ＋1(n ∈N *)；又a 1＝13，故a n ＝⎝⎛⎭⎫13n (n ∈N *)． 从而，S n ＝13×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n (n ∈N *)．(2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327.从而由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得： 13＋3⎝⎛⎭⎫49＋1327＝2×⎝⎛⎭⎫13＋49t ， 解得t ＝2.19．(12分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋(a －1)x －a >0}，B ＝{x |(x ＋a )(x ＋b )>0(a ≠b )}，M ＝{x |x 2－2x －3≤0}．(1)若∁U B ＝M ，求a ，b 的值； (2)若－1<b <a <1，求A ∩B ；(3)若－3<a <－1，且a 2－1∈∁U A ，求实数a 的取值范围．解析： 由题意，得A ＝{x |(x ＋a )(x －1)>0}，∁U B ＝{x |(x ＋a )(x ＋b )≤0}，M ＝{x |(x ＋1)(x －3)≤0}．(1)若∁U B ＝M ，则(x ＋a )(x ＋b )＝(x ＋1)(x －3)， 所以a ＝1，b ＝－3，或a ＝－3，b ＝1. (2)若－1<b <a <1，则－1<－a <－b ＜1，所以A ＝{x |x <－a 或x >1}，B ＝{x |x <－a 或x >－b }． 故A ∩B ＝{x |x ＜－a 或x ＞1}． (3)若－3<a <－1，则1<－a <3，所以A ＝{x |x <1或x >－a }，∁U A ＝{x |1≤x ≤－a }． 又由a 2－1∈∁U A ，得1≤a 2－1≤－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2≥0a 2＋a －1≤0，解得－1－52≤a ≤－ 2.20．(12分)已知f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0； x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0. (1)求y ＝f (x )的解析式；(2)c 为何值时，ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R .解析： (1)由x ∈(－3,2)时，f (x )>0；x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0知：－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根⎩⎨⎧－3＋2＝－b －8a，－3×2＝－a －ab a，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5. ∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由a <0，知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下．要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c ≤0⇔c ≤－2512.∴当c ≤－2512时，ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R .21.(12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问：(1)乙船每小时航行多少海里？(2)甲、乙两船是否会在某一点相遇，若能，求出甲从A 1处到相遇点共航行了多少海里？ 解析： (1)如图，连接A 1B 2，A 2B 2＝102， A 1A 2＝2060×302＝102，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 12＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200 B 1B 2＝10 2.因此乙船的速度的大小为10220×60＝302海里/小时．(2)若能在C 点相遇，则显然A 1C ＜B 1C .因为甲、乙两船的航速恰好相等，因此不可能相遇．22．(14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2－a n ，n ＝1,2,3，…. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式； (3)设c n ＝n (3－b n )，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜8. 解析： (1)∵n ＝1时，a 1＋S 1＝a 1＋a 1＝2， ∴a 1＝1.∵S n ＝2－a n ，即a n ＋S n ＝2， ∴a n ＋1＋S n ＋1＝2.两式相减：a n ＋1－a n ＋S n ＋1－S n ＝0. 即a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝0 故有2a n ＋1＝a n ，∵a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝12(n ∈N ＋)，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.(2)∵b n ＋1＝b n ＋a n (n ＝1,2,3，…)， ∴b n ＋1－b n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.得b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝12，b 4－b 3＝⎝⎛⎭⎫122， …b n －b n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －2(n ＝2,3，…)．将这n －1个等式相加，得b n －b 1＝1＋12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －2 ＝1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12＝2－⎝⎛⎭⎫12n －2. 又∵b 1＝1，∴b n ＝3－⎝⎛⎭⎫12n －2(n ＝1,2,3…)． (3)证明：∵c n ＝n (3－b n )＝2n ⎝⎛⎭⎫12n －1. ∴T n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫120＋2×⎝⎛⎭⎫12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －2＋n ×⎝⎛⎭⎫12n －1.① 而12T n ＝ 2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12＋2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1＋n ×⎝⎛⎭⎫12n .② ①－②得12T n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫120＋⎝⎛⎭⎫121＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－2×n ×⎝⎛⎭⎫12n . T n ＝4×1－⎝⎛⎭⎫12n1－12－4×n ×⎝⎛⎭⎫12n＝8－82n －4×n ×⎝⎛⎭⎫12n ＝8－8＋4n2n (n ＝1,2,3，…)．∴T n ＜8.。
2013-2014版高中数学(北师大版)必修五活页规范训练-章末质量评估1-Word版含解析]
![2013-2014版高中数学(北师大版)必修五活页规范训练-章末质量评估1-Word版含解析]](https://img.taocdn.com/s3/m/f8ea000aad51f01dc381f165.png)
2013-2014版高中数学(北师大版)必修五活页规范训练-章末质量评估1-Word版含解析]章末质量评估(一)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＋1＝0(n∈N)，则此数列的通项a n等于()．＋A．n2＋ 1B．n＋1C．1－nD．3－n解析∵a n－a n＋1＝0，∴a n＋1－a n＝－1.＋1∴数列{a n}是以－1为公差的等差数列，又a1＝2，∴a n＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)(－1)＝3－n.答案 D2．在等比数列{a n}中，a2＝9，a5＝243，则{a n}的前4项和为()．A．81 B．120C．摆动数列D ．不确定解析 设数列{a n }的公比为q ，则有a 1<a 1q <a 1q 2，解得⎩⎨⎧ a 1>0，q >1，或⎩⎨⎧a 1<0，0<q <1，故数列{a n }是递增数列． 答案 A5．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则 ( )．A ．a 1＝ 1B ．a 3＝1C ．a 4＝ 1D ．a 5＝1解析 T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)(a 2a 4)a 3＝a 35＝1.∴a 3＝1.答案 B6．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于()．A．18 B．24 C．60 D．90解析由a42＝a3·a7得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)得2a1＋3d＝0，再由S8＝8a1＋562d＝32得2a1＋7d＝8，则d＝2，a1＝－3，所以S10＝10a1＋902d＝60，故选C.答案 C7．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是()．A．21 B．20 C．19 D．18解析 ∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ，∴99－105＝3d ，∴d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400.∴当n ＝20时，S n 有最大值． 答案 B8．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |等于 ( )．A ．1 B.32 C.52D.92解析 易知这四个根依次为：12，1,2,4.不妨设12，4为x 2－mx ＋2＝0的根，1,2为x 2－nx ＋2＝0的根．∴m ＝12＋4＝92，n ＝1＋2＝3，∴|m －n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪92－3＝32.答案 B9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于 ( )．A ．3∶4B ．2∶3C ．1∶2D ．1∶3解析 显然等比数列{a n }的公比q ≠1，则由S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝12⇒q 5＝－12，故S 15S 5＝ 1－q 151－q 5＝1－(q 5)31－q5＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1231－⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12＝34. 答案 A10．济南市决定从2009年到2013年五年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆比前一年递增10%，则2009年底更新现有总车辆的(参考数据：1.14＝1.46,1.15＝1.61)( )．A ．10%B ．16.4%C ．16.8%D ．20%解析 设2009年底更新现有总车辆的比例为x ，则x ＋1.1x ＋1.12x ＋1.13x ＋1.14x ＝1，得1.15－10.1x ＝1，解得x ≈16.4%. 答案 B二、填空题(本题6个小题，每小题5分，共30分)11．若a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，其公比为2，则2a 2＋a 32a 4＋a 5＝______. 解析 由已知：a 3＝2a 2，a 4＝4a 2，a 5＝8a 2，∴2a 2＋a 32a 4＋a 5＝2a 2＋2a 28a 2＋8a 2＝416＝14.答案 1412．已知在等差数列{a n }中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为________．解析 由⎩⎨⎧a 6＝23＋5d ≥0，a 7＝23＋6d <0，解得－235≤d ＜－236，∵d ∈Z ，∴d ＝－4. 答案 －413．已知数列{a n }满足a 1＝1，当n ≥2时，a n 2－(n ＋2)a n －1·a n ＋2na n －12＝0，则a n ＝________.(写出你认为正确的一个答案即可) 解析 a n 2－(n ＋2)a n －1·a n ＋2na n －12＝0，有(a n －2a n －1)·(a n －na n －1)＝0，∴a n a n －1＝2，由a 1＝1知a n ＝2n －1. 答案 2n －114．已知数列{a n }满足：a 1＝m ，(m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎨⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时，若a 6＝1，则m 所有可能的取值为________．解析 由a 6＝1得a 5＝2，a 4＝4，a 3＝1或8，a 2＝2或16，a 1＝4或5或32.答案 4,5,3215．在数列{a n }中，对任意自然数n ∈N ＋，恒有a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 1＋a 22＋a 33＋…＋a n n ＝________.解析 由S n ＝2n －1(n ∈N ＋)，得a 1＝1，S n －1＝2n －3(n ≥2)，所以a n ＝S n －S n －1＝2(n ≥2)．a 1＋a 22＋a 33＋…＋a n n ＝1＋22＋23＋…＋2n ＝－1＋2(2n －1)2－1＝2n ＋1－3.答案 2n ＋1－316．在等差数列{a n } 中，S n 是它的前n 项和．若S 16>0，且S 17<0，则当S n 最大时n 的值为________．解析 ∵S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 8＋a 9)>0，∴a 8＋a 9>0.∵S 17＝17(a 1＋a 17)2＝17a 9<0.∴a 9<0， ∴a 8>0.故当n ＝8时，S n 最大．答案 8三、解答题(共40分)17．(10分)已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎨⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0. 解得a 1＝－10，d ＝2.所以a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12.(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，q ＝3.所以数列{b n }的前n 项和公式为S n ＝b 1(1－q n )1－q＝4(1－3n )． 18．(10分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n 2n －1.证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和．(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1. ∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解 由(1)知，b n ＝n ，a n 2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1.∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1，两边乘以2得：2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，两式相减得：－S n＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴S n＝(n－1)·2n ＋1.19．(10分)下面是某中学生在电脑中前4次按某一程序打出的若干实心圆，第n次打出的实心圆的个数记为a n.····················(1)请写出该生为打印实心圆所编制的程序(即数列{a n}的递推公式)；(2)若按上述程序在每次若干实心圆生成后插入一个空心圆，问第n次生成的实心圆为1 953个时，空心圆有多少个？(3)若按(2)的条件，当空心圆达到5个时，进行第一次复制，然后再将复制后所得圆进行第二次复制，依次下去．试问至少复制几次可使空心圆不少于2 007个？解(1)递推公式是a1＝1，a n＝a n－1＋n(n≥2)．(2)a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，a n－a n －1＝n，相加得：a n＝n(n＋1)2＝1 953⇒n2＋n－3 906＝0，∴n＝62.即此时空心圆有62个．(3)第一次复制前有空心圆5个，第一次复制后有空心圆10个，第二次复制后有空心圆20个，…第n次复制后有空心圆10×2n－1个．依题意：10×2n－1≥2 007，得n≥9.∴至少复制9次才符合条件．20．(10分)在等比数列{a n}中，a2，a3，a4分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且a1＝64，公比q≠1.(1)求a n；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{|b n |}的前n 项和T n . 解 (1)依题意，得a 2＝a 4＋3(a 3－a 4)， 即2a 4－3a 3＋a 2＝0，∴2a 1q 3－3a 1q 2＋a 1q ＝0，∴2q 2－3q ＋1＝0，解得q ＝1或q ＝12， 又∵q ≠1，∴q ＝12，故a n ＝64×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1. (2)b n ＝log 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤64×⎝⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＝log 227－n ＝7－n ， ∴|b n |＝⎩⎨⎧7－n ，n ≤7，n －7，n >7. ∴当n ≤7时，|b 1|＝6，T n ＝(6＋7－n )n 2＝n (13－n )2； 当n >7时，|b 8|＝1，T n ＝T 7＋(1＋n －7)(n －7)2＝21＋(n －6)(n －7)2.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n (13－n )2，n ≤7，(n －6)(n －7)2＋21，n >7.。
2013-2014版高中数学(北师大版)五活页规范训练 1-3-1等比数列(2)含解析
3。
1等比数列(二)双基达标限时20分钟1．设等差数列｛a n｝的公差d不为0，a1＝9d。
若a k是a1与a2k的等比中项，则k＝( )．A．2 B．4 C．6 D．8解析由题意得,a n＝（n＋8)d,a k2＝a1a2k.∴(k＋8)2d2＝9d(2k＋8)d.∴k＝4(k＝－2舍去)．答案B2．设等比数列的前三项依次为错误!，错误!，错误!，则它的第四项是( )．A．1 B.错误! C.错误!D.错误!解析a4＝a3q＝a3·错误!＝错误!×错误!＝错误!＝1.答案A3．2＋错误!和2－错误!的等比中项是（）．A．1 B．－1 C．±1 D．2解析等比中项G＝±错误!＝±1.答案C4．三个数a，b,c成等比数列，公比q＝3,又a，b＋8，c成等差数列,则这三个数依次为________．解析∵a，b，c成等比数列，公比q＝3,∴b＝3a，c＝a·32＝9a.又由等差中项公式有，2（b＋8)＝a＋c，∴2(3a＋8)＝a＋9a。
∴a＝4。
∴b＝12，c＝36。
答案4,12，365．在等比数列{a n｝中，若a n〉0，a1·a100＝100,则lg a1＋lg a2＋lg a3＋…＋lg a100＝________.解析由等比数列性质知,a1·a100＝a2·a99＝…＝a50·a51＝100。
∴lg a1＋lg a2＋lg a3＋…＋lga100＝lg（a1·a2·a3·…·a100）＝lg(a1·a100）50＝lg 10050＝lg 10100＝100.答案1006．在等差数列{a n}中，公差d≠0,且a1，a3,a9成等比数列，则错误!等于多少？解由题意知a3是a1和a9的等比中项，∴a32＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1（a1＋8d)，是a1＝d,∴错误!＝错误!＝错误!.综合提高（限时25分钟）7．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝( )．A．4 B．2 C．－2 D．－4解析依题意有错误!解得错误!故选D.答案D8．随着市场的变化与生产成本的降低，每隔5年计算机的价格降低错误!，2000年价格为8 100元的计算机到2015年时的价格应为( ）．A．900元B．2 200元C．2 400元D．3 600元解析a4＝8 100×错误!3＝2 400(元）．答案C9．设｛a n｝是首项大于零的等比数列，且a1<a2<a3，则数列｛a n}是________数列(填“递增"、“递减”、“摆动")．。
北师大版高中数学必修五章末质量评估(二)
章末质量评估(二)(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 解析 因为a 是最大的边，所以A >π3. 又a 2<b 2＋c 2，由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0， 可知A <π2，故π3<A <π2. 答案 C2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B等于( )．A.14B.34C.24D.23解析 ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac .又c ＝2a ，∴b 2＝2a 2. ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.答案 B3．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( )．A ．1<a <3B ．1<a <5 C.3<a <5D ．不确定 解析 若a 为最大边，则b 2＋c 2－a 2>0，即a 2<5，∴a <5，若c 为最大边，则a 2＋b 2>c 2， 即a 2>3，∴a >3，故3<a < 5.答案 C4．满足A ＝45°，c ＝6，a ＝2的△ABC 的个数记为m ，则a m 的值为( )．A ．4B ．2C ．1D ．不确定 解析 由正弦定理a sin A ＝c sin C得sin C ＝c sin A a ＝6×222＝22.∵c >a ，∴C >A ＝45°，∴C ＝60°或120°，∴满足条件的三角形有2个，即m ＝2.∴a m ＝4.答案 A5．在△ABC 中，lg a －lg b ＝lgsin B ＝－lg 2，B 为锐角，则A 的值是( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 ∵lgsin B ＝－lg 2，∴sin B ＝22，又B 为锐角，∴B ＝45°，∵lg a －lg b ＝－lg 2， ∴a ＝22b ，sin A ＝22sin B ＝12，∴A ＝30°. 答案 A6．有一长为1km 的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )．A ．1kmB ．2sin10°kmC ．2cos10°kmD ．cos20°km解析 如图所示，∠ABC ＝20°，AB ＝1km ，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理ADsin 160°＝AB sin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝ 2cos10°(km)．答案 C7．在△ABC 中，若lgsin A －lgcos B －lgsin C ＝lg2，则△ABC 是( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形解析 ∵lgsin A －lgcos B －lgsin C ＝2，∴lg sin A cos B sin C＝lg2.∴sin A ＝2cos B sin C ，∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sin(B ＋C )＝2cos B sin C ，∴sin(B －C )＝0.∴B ＝C ，∴△ABC 为等腰三角形．答案 B8．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么角A ，B ，C 的大小关系为( )．A ．A >B >C B ．B >A >CC ．C >B >AD ．C >A >B解析 由正弦定理得a sin 30°＝b sin B ，∴sin B ＝32，又∵B 为锐角，∴B ＝60°，∴C ＝90°，即C >B >A .答案 C9．若△ABC 中，sin B ·sin C ＝cos 2A 2，则△ABC 的形状为( )． A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解析 由sin B ·sin C ＝cos 2A 2可得2sin B ·sin C ＝2cos 2A 2＝1＋cos A ，即2sin B ·sin C ＝1－cos(B ＋C )＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ，∴sin B ·sin C ＋cos B cos C ＝1，即cos(B －C )＝1， 又－π<B －C <π.∴B －C ＝0，即B ＝C .答案 C10．在△ABC 中，若cos A a ＝cos B b ＝sin C c，则△ABC 的形状是( )． A ．有一内角为30°的直角三角形B ．等腰直角三角形C ．有一内角为30°的等腰三角形D ．等边三角形解析 由cos A a ＝cos B b ＝sin C c 和正弦定理，知cos A 2R sin A ＝cos B 2R sin B ＝sin C 2R sin C ＝12R， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ cos A ＝sin A ，cos B ＝sin B ，∴A ＝B ＝45°，∴△ABC 为等腰直角三角形，故选B.答案 B二、填空题(本题6个小题，每小题5分，共30分)11．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A＝________. 解析 由S ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝3，∴c ＝4. ∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13. ∴a sin A ＝13sin 60°＝2393. 答案 239312．在△ABC 中，若S △ABC ＝123，ac ＝48，c －a ＝2，则b ＝______.解析 由S △ABC ＝12ac sin B 得sin B ＝32， ∴B ＝60°或120°.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a －c )2＋2ac －2ac cos B∴b 2＝22＋2×48－2×48cos B ，∴b 2＝52或148.即b ＝213或237.答案 213或23713．已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则A ＝________.解析 由已知得(b ＋c )2－a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴A ＝π3. 答案 π314．在△ABC 中，a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为________．解析 S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12·c ·sin45°＝24c ， 又因为S △ABC ＝2，所以c ＝42，由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－2×1×42×22＝25， ∴b ＝5，所以△ABC 外接圆的直径2R ＝b sin B＝5 2. 答案 5 215．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a >0，b >0)，则最大角为________．解析 a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，∴θ＝120°. 答案 120°16．在△ABC 中，已知A B →·A C →＝9，AB ＝3，AC ＝5，那么△ABC 是________三角形．解析 ∵A B →·A C →＝|A B →|·|A C →|cos A ＝15cos A ＝9∴cos A ＝35，∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝ 32＋52－2×3×5×35＝16，∴BC ＝4，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，∴△ABC 为直角三角形． 答案 直角三、解答题(共40分)17．(10分)济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A 点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2m ，到达B 点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1m)解 如图所示，点C ，D 分别为泉标的底部和顶端，依题意，∠BAD＝60°，∠CBD ＝80°，AB ＝15.2m ，则∠ABD ＝100°，故∠ADB ＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD 中，据正弦定理，BD sin 60°＝ABsin ∠ADB ，∴BD ＝AB ·sin 60°sin 20°＝15.2·2sin 60°sin 20°≈38.5(m)． 在Rt △BCD 中，CD ＝BD sin80°＝38.5·sin80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38m.18．(10分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边．(1)若△ABC 的面积S △ABC ＝32，c ＝2，A ＝60°，求a 、b 的值； (2)若a ＝c cos B ，且b ＝c sin A ，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32， ∴12b ·2sin60°＝32.得b ＝1.由余弦定理得： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋22－2×1×2·cos60°＝3，所以a ＝ 3.(2)因为a ＝c ·a 2＋c 2－b 22ac⇒a 2＋b 2＝c 2， 所以C ＝90°.在Rt △ABC 中，sin A ＝a c ，所以b ＝c ·a c＝a ，所以△ABC 是等腰直角三角形．19．(10分)在△ABC 中，三个内角∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，其中c ＝10，且cos A cos B ＝b a ＝43. (1)求证：△ABC 是直角三角形；(2)设圆O 过A 、B 、C 三点，点P 位于劣弧AC 上，∠PAB ＝60°.求四边形ABCP 的面积．(1)证明 根据正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A. ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B .∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，又∵b a ＝43，∴b ≠a ，A ≠B ， ∴2A ＝π－2B ，∴A ＋B ＝π2，∴C ＝π2， ∴△ABC 是直角三角形．(2)解 由(1)可得a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，又∵c ＝10，∴a ＝6，b ＝8.在Rt △ACB 中，sin ∠CAB ＝BC AB ＝35，cos ∠CAB ＝45. ∴sin ∠PAC ＝sin(60°－∠CAB )＝sin60°·cos ∠CAB －cos60°·sin ∠CAB ＝32×45－12×35＝110(43－3)． 如图，连接PB ，在Rt △APB 中，AP ＝AB ·cos ∠PAB ＝5，∴四边形ABCP 的面积S 四边形ABCP ＝S △ACB ＋S △PAC ＝12ab ＋12AP ·AC ·sin ∠PAC ＝24＋12×5×8×110(43－3)＝18＋8 3. 20．(10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，并且a 2＝b (b ＋c )．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝3b ，判断△ABC 的形状．解 (1)因为a 2＝b (b ＋c )，即a 2＝b 2＋bc ，所以在△ABC 中，由余弦定理可得， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2＋bc 2ac＝b ＋c 2a ＝a 22ab ＝a 2b ＝sin A 2sin B， 所以sin A ＝sin2B ，故A ＝2B .(2)因为a ＝3b ，所以a b ＝3，由a 2＝b (b ＋c )可得c ＝2b ， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3b 2＋4b 2－b 243b2＝32， 所以B ＝30°，A ＝2B ＝60°，C ＝90°.所以△ABC 为直角三角形．。
北师大版高中数学必修五第三章不等式章末质量评估.docx
一、选择题1．设集合A ＝{x |x 2－1＞0}，B ＝{x |log 2x ＞0}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |x ＞1} B ．{x |x ＞0}C ．{x |x ＜－1}D ．{x |x ＜－1，或x ＞1}解析： ∵x 2－1＞0，x 2＞1， ∴x ＞1或x ＜－1，∴A ＝{x |x ＞1，或x ＜－1}， 又log 2x ＞0，即log 2x ＞log 21. ∴x ＞1，∴B ＝{x |x ＞1}， ∴A ∩B ＝{x |x ＞1}． 答案： A2．已知t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则t 和s 的大小关系正确的是( ) A ．t ＞s B ．t ≥s C ．t ＜sD ．t ≤s解析： ∵t －s ＝a ＋2b －a －b 2－1 ＝－(b －1)2≤0， ∴t ≤s . 答案： D3．当x ∈R 时，不等式kx 2－kx ＋1＞0恒成立，则k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．[0,4)D ．(0,4)解析： (1)当k ＝0时，不等式变为1＞0成立； (2)当k ≠0时，不等式kx 2－kx ＋1＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，Δ＝(－k )2－4k ＜0，即0＜k ＜4，所以0≤k ＜4. 答案： C4．不等式x 2－ax －12a 2＜0(其中a ＜0)的解集为( ) A ．(－3a,4a ) B ．(4a ，－3a ) C ．(－3,4)D ．(2a,6a )解析： 方程x 2－ax －12a 2＝0的两根为4a ，－3a ， 且4a ＜－3a ， ∴4a ＜x ＜－3a .答案： B5．若a ≠b ，则关于x 的不等式x －a 2－b 2x －2ab≥0的解集是( )A ．{x |x ≤2ab 或x ≥a 2＋b 2} B ．{x |x ＜2ab 或x ≥a 2＋b 2} C ．{x |x ＜2ab 或x ＞a 2＋b 2} D ．{x |2ab ＜x ≤a 2＋b 2}解析： ∵a 2＋b 2＞2ab ， ∴x ≥a 2＋ b 2或x ＜2ab . 答案： B6．在R 上定义运算⊙： a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析： ∵x ⊙(x －2)＝x ·(x －2)＋2x ＋x －2 ＝x 2＋x －2 ＝(x ＋2)(x －1)<0 ∴－2<x <1，故选B. 答案： B7．已知x ，y 为正实数，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为( ) A.14 B.18 C.116D.132解析： ∵x ，y 为正实数， ∴x ·y ＝14x ·4y ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y 22＝116，当且仅当x ＝4y ， 即x ＝12，y ＝18时取等号．答案： C8．设z ＝2y －2x ＋4式中x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z 的最大值和最小值分别是( )A ．8 4B ．10 4C ．8 5D ．10 5解析： 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，的可行域(如图所示)．令t ＝2y －2，则z ＝t ＋4.将t ＝2y －2x 变形得直线l ：y ＝x ＋t2.则其与y ＝x 平行，平移直线l 时t 的值随直线l 的上移而增大，而l 经过点A 时，t 最大，z 最大，当直线l 经过可行域上的B 点时t 最小，z 最小．∴z max ＝2×2－2×0＋4＝8，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.答案： A9．设x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1，则x ＋y ≤a 恒成立的a 的最小值是( ) A.22B. 2 C ．2D ．2 2解析： ∵1＝x ＋y ≥2xy ，令t ＝x ＋y ， 则t 2＝x ＋y ＋2xy ＝1＋2xy ≤1＋1＝2， 即t ≤2，∴a ≥2，则a min ＝ 2. 答案： B10．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系．若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运( )A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年解析： 设总利润函数y ＝a (x －6)2＋11， 由x ＝4时，y ＝7知a ＝－1.∴平均利润y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12.∵x ＋25x≥225＝10，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤－10.∴y x≤－10＋12＝2.当x ＝25x即x ＝5时，“＝”成立．答案： C 二、填空题(江西专用)若A ＝(x ＋3)(x ＋7)，B ＝(x ＋4)(x ＋6)，则A 、B 的大小关系为________． 解析： A －B ＝(x ＋3)(x ＋7)－(x ＋4)(x ＋6) ＝(x 2＋10x ＋21)－(x 2＋10x ＋24)＝－3＜0. ∴A ＜B . 答案： A ＜B 11．不等式x －1x 2－x －30＞0的解集是________．解析： 不等式化为(x －1)(x －6)(x ＋5)＞0 利用穿针引线法可得－5＜x ＜1或x ＞6. 答案： {x |－5＜x ＜1或x ＞6}12．已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≤x2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若x ＋3y 的最大值为8，则k ＝________.解析： 作出可行域如图所示，作直线l 0：x ＋3y ＝0，平移l 0知当l 0过点A 时，x ＋3y 最大，由于A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3，－k 3.∴－k3－k ＝8，从而k ＝－6.答案： －613．给出下列四个命题： ①若a ＞b ＞0，则1a ＞1b；②若a ＞b ＞0，则a ＋1b ＞b ＋1a；③若a ＞b ＞0，则2a ＋b a ＋2b ＞ab；④若a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，则2a ＋1b的最小值为9.其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) 解析： 由a ＞b ＞0，可得1a ＜1b，∴①错误，∴1b ＞1a＞0，∴a ＋1b ＞b ＋1a，∴②正确．∵2a ＋b a ＋2b －a b ＝(2a ＋b )b －a (a ＋2b )(a ＋2b )b ＝(b ＋a )(b －a )(a ＋2b )b ，b ＋a ＞0，b －a ＜0，∴③错误，2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab≥9，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴④正确． 答案： ②④14．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是________．解析： ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b≥2ab，当且仅当a ＝b 时取等号，∴1a ＋1b＋2ab ≥2ab＋2ab ≥22ab·2ab ＝4.当且仅当a ＝b ＝1，且2ab＝2ab 时成立，能取等号，故1a ＋1b＋2ab 的最小值为4.答案： 4 三、解答题15．不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1＜0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围． 解析： 若m 2－2m －3＝0， 则m ＝－1或m ＝3. 当m ＝－1时，不合题意； 当m ＝3时，符合题意． 若m 2－2m －3≠0，设f (x )＝(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＜0，Δ＝[－(m －3)]2＋4(m 2－2m －3)＜0，解得：－15＜m ＜3.综合以上讨论，得－15＜m ≤3.16．某房地产开发公司计划在一 楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x ，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解析： (1)设休闲区的宽B 1C 1为a 米， 则其长A 1B 1为ax 米， ∴a 2x ＝4 000⇒a ＝2010x，∴S ＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160 ＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x ＞1)．(2)S ≥1 600＋4 160＝5 760(当且仅当2x ＝5x⇒x ＝2.5)，即当x ＝2.5时，公园所占面积最小．此时a ＝40，ax ＝100，即休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米，宽为40米． 17．已知不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m ，x ∈R }． (1)求t ，m 的值；(2)若函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4在区间(－∞，1]上递增，求关于x 的不等式log a (－mx 2＋3x ＋2－t )＜0的解集．解析： (1)∵不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m ，x ∈R }，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝3m ＝t 得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2t ＝2.(2)∵f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋4＋a24在(－∞，1]上递增，∴a2≥1，a ≥2.又log a (－mx 2＋3x ＋2－t ) ＝log a (－2x 2＋3x )＜0，由a ≥2，可知0＜－2x 2＋3x ＜1， 由2x 2－3x ＜0，得0＜x ＜32，由2x 2－3x ＋1＞0得x ＜12或x ＞1.所以原不等式的解集为{x |0＜x ＜12或1＜x ＜32}．18．某糖果厂生产A 、B 两种糖果，A 种糖果每箱可获利润40元，B 种糖果每箱可获利润50元．其生产过程分混合、烹调、包装三道工序．下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位：min).30 h ，包装的设备最多只能用机器15 h ，每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？解析： 设生产A 种糖果x 箱，生产B 种糖果y 箱，可获利润z 元，即求z ＝40x ＋50y在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤7205x ＋4y ≤1 8003x ＋y ≤900x ≥0，y ≥0x ，y ∈N下的最大值．作出可行域，如图．作直线l 0：40x ＋50y ＝0，平移l 0经过点P 时，z ＝40x ＋50y 取最大值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝7205x ＋4y ＝1 800，得点P 坐标为(120,300)．∴z max ＝40×120＋50×300＝19 800.所以生产A 种糖果120箱，生产B 种糖果300箱时，可以获得最大利润19 800元．。
北师大版高中数学必修五章末质量评估
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）章末质量评估(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．设m ∈R ，则下列式子正确的是 ( )． A ．3－2m ＞1－2m B ．m 3＞m 2 C. 1m ＜m D ．－2m ＞－3m 解析 对于A ，可算得为3＞1，显然成立． 答案 A2．已知集合P ＝{0，m }，Q ＝{x |2x 2－5x ＜0，x ∈Z }，若P ∩Q ≠∅，则m 等于 ( )． A ．1 B ．2 C ．1或25 D ．1或2解析 ∵Q ＝{x |0＜x ＜52，x ∈Z }＝{1,2}∴m ＝1或2.答案 D3．不等式x －1x ≥2的解集为 ( )．A ．[－1,0)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1]∪[0，＋∞) 解析 由x －1x ≥2得x ＋1x ≤0，∴其解集为{x |－1≤x ＜0}．答案 A4．已知ab ＞0，且b a ＋ab ≥m 恒成立，则m 的取值范围是 ( )．A ．{2}B ．[2，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[－2，＋∞) 解析 ∵ab ＞0，∴b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2，∴m ≤2. 答案 C5．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0的解集为R ，则实数a 的取值范围是 ( )． A ．{a |－2＜a ＜2} B ．{a |－2≤a ＜2} C ．{a |－2＜a ≤2} D ．{a |a ≥2} 解析 当a ＝2时，原不等式即为－4＜0恒成立．当a ≠2时，由题意⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0， 解得－2＜a ＜2，∴－2＜a ≤2. 答案 C6．二次函数f (x )的图像如图所示，则f (x －1)＞0的解集为 ( )． A ．(－2,1) B ．(0,3) C ．(－1,2]D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析 ∵－1＜x －1＜2，∴0＜x ＜3. 答案 B7．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a(a 为常数)表示的平面区域面积是9，那么实数a 的值为 ( )． A ．32＋2 B ．－32＋2 C ．－5 D ．1解析 画出图形，知可行域表示的图形为直角三角形，可求三角形的三个顶点坐标 (－2,2)，(a ，－a )，(a ，a ＋4)．∴S △＝12|a ＋2|·|2a ＋4|＝9，∴a ＝1，(a ＝－5舍去)．故选D 项．答案 D8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，所表示的平面区域的面积等于 ( )．A.32B.23C.43D.34解析 不等式组表示的平面区域如图所示．A ⎝⎛⎭⎫0，43，B ()1，1，C ()0，4. ∴S △ABC ＝12|AC |·h ＝12×⎝⎛⎭⎫4－43×1＝43.故选C. 答案 C9．在R 上定义运算：x y ＝x2－y，若关于x 的不等式x (x ＋1－a )＞0的解集是集合{x |－2≤x ≤2}的子集，则实数a 的取值范围是 ( )． A ．[－1,3] B ．[－3,1] C ．[－3，－1)∪(－1,1] D ．[－1,1)∪(1,3] 解析 x (x ＋1－a )＝x 2－x －1＋a ＝－x x －(a ＋1)＞0⇒x x －(a ＋1)＜0，(1)⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－10＜x ＜a ＋1≤2⇒－1＜a ≤1 (2)⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1－2≤a ＋1＜x ＜0⇒－3≤a ＜－1 (3)a ＝－1时，不等式为xx －0<0，x ∈∅显然成立，故选B. 答案 B10．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N ＋)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大？ ( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析 求得函数式为y ＝－(x －6)2＋11， 则营运的年平均利润y x ＝－(x －6)2＋11x＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤12－225＝2， 此时x ＝25x ，解得x ＝5.答案 C二、填空题(本题6个小题，每小题5分，共30分)11．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.答案 ①③⑤12．已知0＜x ＜6 ，则(6－x )·x 的最大值是________． 解析 ∵0＜x ＜6，∴6－x ＞0. ∴(6－x )·x ≤⎝⎛⎭⎫6－x ＋x 22＝9.当用仅当6－x ＝x ，即x ＝3时，取等号． 答案 913．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则k 的取值范围是________． 解析 由题意，k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2. 又k ≠0，∴k 的取值范围是k ≥4或k ≤2且k ≠0. 答案 (－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1x ，x ≥2，x ，x ＜2，若使不等式f (x )＜83成立，则x 的取值范围为________．解析 当x ≥2时，解x －1x ＜83得x ＜－13或0＜x ＜3，∴2≤x ＜3.当x ＜2时，x ＜83，∴x ＜2，∴x ＜3.答案 {x |x ＜3}15．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析 2x 2＋2ax －a －1≥0⇔x 2＋2ax －a ≥0，对x ∈R 恒成立，∴Δ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案 [－1,0]16．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－2或x ＞－12，则关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为________．解析 由题设知a ＜0且－b a ＝－52，ca＝1，从而ax 2－bx ＋c ＞0可以变形为x 2－b a x ＋c a ＜0即x 2－52x ＋1＜0，∴12＜x ＜2.所以不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫12，2. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，2三、解答题(本大题共4小题，共40分．)17．(10分)已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，求证：1x ＋4y ＋9z ≥36.证明 ∵(x ＋y ＋z )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＋9z＝14＋y x ＋4x y ＋z x ＋9x z ＋4z y ＋9y z≥14＋4＋6＋12＝36，∴1x ＋4y ＋9z ≥36，当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2， 即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．18．(10分)已知函数f (x )在定义域(－∞，1]上是减函数，是否存在实数k ，使得f (k －sin x )≥f (k 2－sin 2 x )对一切x ∈R 恒成立？并说明理由． 解 ∵f (x )在(－∞，1]上是减函数，∴k －sin x ≤k 2－sin 2 x ≤1.假设存在实数k 符合题意， ∵k 2－sin 2 x ≤1，即k 2－1≤sin 2x 对一切x ∈R 恒成立， 且sin 2 x ≥0，∴k 2－1≤0， ∴－1≤k ≤1①由k －sin x ≤k 2－sin 2x 得⎝⎛⎭⎫sin x －122≤k 2－k ＋14， ∵⎝⎛⎭⎫sin x －122的最大值为94， ∴k 2－k ＋14≥94，解得k ≤－1或k ≥2②由①②知k ＝－1为符合题意的实数． 19．(10分)设m 为实数，若⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5≥03－x ≥0mx ＋y ≥0⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤25}，求实数m 的取值范围．解 根据题意可知，直线mx ＋y ＝0不能与直线x －2y ＋5＝0，3－x ＝0平行，∴m ≠12.不等式组所确定的区域如下图所示．因此只需要满足⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫－52m ＋12＋⎝⎛⎭⎫5m 2m ＋12≤25，32＋(－3m )2≤25⇒0≤m ≤43. 20．(10分)玩具所需成本费用为P 元，且P 与生产套数x 的关系为P ＝1 000＋5x ＋110x 2，而每套售出的价格为Q 元，其中Q (x )＝a ＋xb (a ，b ∈R )，(1)问：该玩具厂生产多少套时，使得每套所需成本费用最少？(2)若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a ，b 的值．(利润＝销售收入－成本) 解 (1)每套玩具所需成本费用为 P x＝1 000＋5x ＋110x 2x＝110x ＋1 000x＋5≥2100＋5＝25， 当110x ＝1 000x ，即x ＝100时等号成立， 故该玩具厂生产100套时每套所需成本最少． (2)利润为x ·Q (x )－P ＝x ⎝⎛⎭⎫a ＋x b －⎝⎛⎭⎫1 000＋5x ＋x210＝ ⎝⎛⎭⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000，由题意⎩⎪⎨⎪⎧5－a2⎝⎛⎭⎫1b －110＝150，a ＋150b＝30，1b －110＜0，解得a ＝25，b ＝30.。
高中数学北师大必修5章末综合测评2 含解析
章末综合测评(二) 解三角形(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·南昌高二检测)已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么A 等于( )A ．135°B ．120°C ．60°D ．45°【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得2sin A ＝332，可得sin A ＝22， 又∵a ＝2＜3＝b ， ∴A ＜B ，A ＝45°. 【答案】 D2．在△ABC 中，若sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，403【解析】 由正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝1034·sin C ＝403·sin C ，又sin C ∈(0,1]，所以c ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，403.【答案】 D3．如图1，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )图1A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°【解析】由条件及图可知，A＝B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.【答案】 D4．(2016·西安高二检测)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则B的值是()A.π3B．π6C.π3或2π3D．π6或5π6【解析】由余弦定理得a2＋c2－b2＝2ac cos B. ∴2ac cos B·tan B＝ac，∴sin B＝1 2，∴B＝π6或5π6.【答案】 D5．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A∶B＝1∶2，a∶b ＝1∶3，则角A等于()A．45°B．30°C．60°D．75°【解析】由正弦定理得ab＝sin Asin B，∵A∶B＝1∶2，a∶b＝1∶3，∴13＝sin Asin 2A＝12cos A，∴cos A＝3 2，即A＝30°.【答案】 B6．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a sin A sin B＋b cos2A＝2a，则ba等于()A．2 3 B．2 2 C. 3 D． 2 【解析】∵a sin A sin B＋b cos2A＝2a，∴sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，sin B＝2sin A，∴b＝2a，∴ba＝ 2.【答案】 D7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°【解析】由sin C＝23sin B及正弦定理，得c＝23b，∴a2－b2＝3bc＝6b2，即a2＝7b2.由余弦定理，cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b22b·23b＝6b2 43b2＝32，又0°＜A＜180°，∴A＝30°. 【答案】 A8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则a＋b＋csin A＋sin B＋sin C等于()A ．3 3B ．2393 C.833 D ．392【解析】 ∵a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R ，∴由S △ABC ＝12bc sin A 知 3＝12×1×c ×sin 60°，∴c ＝4.又由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得a ＝13.故2R ＝a sin A ＝2393. 【答案】 B9．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( ) A.1010 B ．105 C.31010D ．55【解析】 由余弦定理可得AC 2＝9＋2－2×3×2×22＝5， 所以AC ＝5，再由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，所以sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝3×225＝31010. 【答案】 C10．如图2所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为( )图2A.1762海里/小时 B ．346海里/小时 C.1722海里/小时D ．342海里/小时【解析】 由题意知PM ＝68，∠MPN ＝120°，N ＝45°， 由正弦定理知PM sin 45°＝MN sin 120°，∴MN ＝68×32×2＝346， ∴速度为3464＝1762海里/小时． 【答案】 A11．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4 B ．π3 C.π2D ．3π4【解析】 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C ) ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，∴－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ， 在等式两端同除以cos B ·cos C 得 tan B ＋tan C ＝－2， tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B ·tan C＝－22＝－1＝－tan A ，∴tan A ＝1，即A ＝π4.【答案】 A12．如图3所示，在△ABC中，已知A∶B＝1∶2，角C的平分线CD把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A等于() 【导学号：67940050】图3A.13B．12C.34D．0【解析】在△ABC中，设∠ACD＝∠BCD＝β，∠CAB＝α，由A∶B＝1∶2 得∠ABC＝2α，∵A＜B，∴AC＞BC，∴S△ACD＞S△BCD，∴S△ACD∶S△BCD＝3∶2，∴12AC·DC·sin β12BC·DC·sin β＝32，∴ACBC＝32.由正弦定理得ACsin B＝BCsin A，ACsin 2α＝BCsin α，∴ACBC＝sin 2αsin α＝2cos α，∴cos α＝34，即cos A＝34.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．(2015·福建高考)若锐角△ABC的面积为103，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．【解析】由正弦定理，得S＝12×AB×AC×sin A＝103，∴sin A＝2035×8＝32.∵A∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A＝π3.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos A＝25＋64－2×5×8×cos π3＝49，∴BC＝7.【答案】714．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin 2Asin C＝________.【解析】由正弦定理得sin Asin C＝ac，由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc，∵a＝4，b＝5，c＝6，∴sin 2Asin C＝2sin A cos Asin C＝2·sin Asin C·cos A＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.【答案】 115．(2015·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为315，b－c＝2，cos A＝－14，则a的值为________．【解析】在△ABC中，由cos A＝－14可得sin A＝154，所以有⎩⎪⎨⎪⎧12bc×154＝315，b－c＝2，a2＝b2＋c2－2bc×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝8，b＝6，c＝4.【答案】816．(2015·南通调研)已知等腰三角形腰上的中线长为3，则该三角形的面积的最大值是________．【解析】如图，设AB＝AC＝2x，则在△ABD 中， 由余弦定理，得3＝x 2＋4x 2－4x 2cos A ， 所以cos A ＝5x 2－34x 2. 所以sin A ＝1－cos 2A＝－9x 4＋30x 2－94x 2，所以S △ABC ＝12(2x )2sin A ＝12－9x 4＋30x 2－9.故当x 2＝53时， (S △ABC )max ＝12 －9×⎝ ⎛⎭⎪⎫532＋30×53－9＝1216＝2. 【答案】 2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .(1)求sin Bsin C； (2)若∠BAC ＝60°，求∠B . 【解】 (1)由正弦定理，得 AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin C ＝DCsin ∠CAD . 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin B sin C ＝DC BD ＝12.(2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°， 所以sin C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos B ＋12sin B . 由(1)知2sin B ＝sin C ，所以tan B ＝33， 所以∠B ＝30°.18．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)在△ABC 中，∠A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．【解】 设△ABC 的内角∠BAC ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a ＝310. 又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010， 由题设知0<B <π4， 所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010. 在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ，所以∠ADB ＝π－2B ，故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B sin (π－2B )＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B ＝10.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，错误!·错误!＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．【解】 (1)∵cos A 2＝255， ∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45. 又由错误!·错误!＝3， 得bc cos A ＝3，∴bc ＝5， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝2. (2)∵bc ＝5，又b ＋c ＝6. ∴b ＝5，c ＝1或b ＝1，c ＝5，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20， ∴a ＝2 5.20．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C2＋12，试判断△ABC 的形状．【解】 依题意得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )，2sin A cos B －sin(A ＋B )＝sin(A －B )＝0，因此B ＝A ，C ＝π－2A ，于是有sin 2A (2＋cos 2A )＝cos 2A ＋12，即sin 2A (3－2sin 2A )＝1－sin 2A ＋12＝3－2sin 2A 2，解得sin 2A ＝12，因此sin A ＝22，又B ＝A 必为锐角，因此B ＝A ＝π4，△ABC 是等腰直角三角形．21．(本小题满分12分)甲船在A 处遇险，在甲船西南10海里B 处的乙船收到甲船的求救信号后，测得甲船正沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近．如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以多大速度、向何方向航行？⎝ ⎛⎭⎪⎫注：sin 21°47′＝3314. 【导学号：67940051】【解】 设乙船速度为v 海里/时，在△ABC 中，由余弦定理可知BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠CAB ，⎝ ⎛⎭⎪⎫23v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×92＋102－2×23×9×10×cos 120°， ∴v ＝21海里/时．又由正弦定理可知BC sin ∠BAC＝AC sin B ， ∴sin B ＝AC ·sin ∠BAC BC＝23×923×21×sin 120°＝3314， ∴B ≈21°47′，即乙船应按北偏东45°－21°47′＝23°13′的方向航行．22．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b . (1)求sin C sin A 的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .【解】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B， 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A，因此sin Csin A＝2.(2)由sin Csin A＝2得c＝2a.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B及cos B＝14，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×14，解得a＝1，从而c＝2.又因为cos B＝14，且0＜B＜π.所以sin B＝154，因此S＝12ac sin B＝12×1×2×154＝154.。
【北师大版】高中数学必修五期末试卷附答案(2)
一、选择题1．若实数x ，y 满足1,,1,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．3-B ．0C ．1D ．32．已知变量,x y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则目标函数=21z x y =+-的最大值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．93．已知实数x y 、满足不等式组21010x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩,若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4,则实数m 的取值范围是 A．(B．⎡⎣C．⎡⎤⎣⎦D ．[4．已知点（x ，y ）在直线x +2y =4上移动，则24x y +的最小值是（ ） A．B．C ．6D ．85．在ABC 中，内角A ､B ､C 所对的边分别是a ､b ､c ，已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，ABC的面积为4，则a =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，且24cos cos tan Sb C bc B C=+，2a b +=，c =S =（ ） ABC ．16D7．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S =AB．C ．2 D ．48．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC 的面积为S ，且()22a b c=+-，则πsin4C⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．1 B．2C．4D．49．在数列{}n a中，11a=-，33a=，212n n na a a++=-（*n N∈），则10a=（）A．10 B．17 C．21 D．3510．已知数列1a，21aa，…1nnaa-，…是首项为1，公比为2的等比数列，则2logna=（）A．(1)n n+B．(1)4n n-C．(1)2n n+D．(1)2n n-11．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，55a=，836S=，则数列11{}n na a+的前n项和为（）A．11n+B．1nn+C．1nn-D．11nn-+12．若{}n a是等比数列，其公比是q，且546,,a a a-成等差数列，则q等于()A．－1或2 B．1或－2 C．1或2 D．－1或－2二、填空题13．实数,x y满足2025040x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,则24z x y=+-的最大值是___.14．在ABC中，3Aπ∠=，D是BC的中点.若34AD BC≤，则sin sinB C的最大值为____________.15．在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，222a cb ac+-=，b=2a c+的最大值为______．16．设x、y满足约束条件22010240x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y=+的最大值是__________．17．已知x，y是正数，121x y+=，则21x yxy++的最小值为________.18．在ABC4cos sinC B=+，b=，则ABC面积的最大值是__________.19．在流行病学中，基本传染数0R是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数03R =（注：对于01R >的传染病，要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径），那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染（不含初始感染者）的总人数为______（注：初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）20．已知函数()331xx f x =+，()x R ∈，正项等比数列{}n a 满足501a =，则()()()1299f lna f lna f lna ++⋯+等于______． 三、解答题21．某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围； （2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少． 22．如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD ，公园由矩形的休闲区（阴影部分）1111D C B A 和环公园人行道组成，已知休闲区1111D C B A 的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x 米．（1）求矩形ABCD 所占面积S （单位：平方米）关于x 的函数解析式； （2）要使公园所占面积最小，问休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为多少米？ 23．在①()22sin sin sin sin sin A B C B C --=，②sin sin 2B Cb a B +=，③2sin sin 3a B b A π⎛⎫=-⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答． ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 22a b c +=，______求A 和C ．24．在ABC 中，cos 3sin )sin cos B a b C b B C -=． （1）求B ；（2）若2c a =，ABC的面积为3，求ABC 的周长． 25．已知数列{}n a 满足：121(21)n n n a q ---=，224224231(N )22n n n n n a a a *++⋅⋅⋅+=+∈． （Ⅰ）求2n a ； （Ⅱ）若7553q <<，求数列{}n a 的最小项． 26．在数列{}n a ，{}n b 和{}n c 中，{}n a 为等差数列，设{}n a 前n 项的和为n S ，{}n c 的前n 项和为n T ，11a =，410S a =，12b =，n n n c a b =⋅，22n n T c =-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：()()()()()()12122311111111nn n c c c c c c c c c ++++<------.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图形，即可求出结果. 【详解】由x ，y 满足条件1,,1,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩作出可行域，如图.则()()1,1,2,1B C ---，由1x y y x+=⎧⎨=⎩得11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭目标函数2z x y =+，化为2y x z =-+ 则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.由图可知，当直线2y x z =-+过点C 时，z 有最大值. 所以z 的最大值为：2213z =⨯-= 故选：D【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.2．C解析：C【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件5021010x yx yx+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩作出可行域如图，联立150xx y=⎧⎨+-=⎩，解得A（1，4），化目标函数z＝x+2y﹣1为y1 222x z=-++，由图可知，当直线y1222x z=-++过A时，z有最大值为8．故选C．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了目标函数的几何意义，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．3．D解析：D 【分析】将2z x y =-+化为2y x z =+,作出可行域和目标函数基准直线2y x =(如图所示),当直线2y x z =+将左上方平移时,直线2y x z =+在y 轴上的截距z 增大,由图象,得当直线2y x z =+过点A 时,z 取得最大值,联立2010x y m x y ⎧-+=⎨+-=⎩,得2211,22m m A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则22112422m m -+-⨯+≤,解得33m -≤≤;故选D.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.4．D解析：D 【分析】运用基本不等式2422422x y x y +≥=【详解】因为20,40xy>>，所以242422422228x y xy x y ++≥===，（当且仅当24x y =时取“=”）． 故答案为D. 【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件．5．C解析：C 【分析】首先利用正弦定理表示为23b c =，再结合余弦定理求cos A 和sin A ，并利用1sin 2ABCSbc A ==求a的值. 【详解】2sin 3sin B C =，由正弦定理可知23b c =， 14b c a -=，可得13,24c a b a ==，∴2221cos 24b c a A bc +-==-，sin 4A ==，1131sin 2242ABCSbc A a a ==⨯⨯=，解得：4a =. 故选：C6．D解析：D 【分析】由24cos cos tan Sb C bc B C=+，利用面积公式和和差角公式求出角C ，用余弦定理求出ab ，求出面积. 【详解】因为24cos cos cos sin S Cb C bc B C⋅=+，所以22cos cos cos ab C b C bc B =+，所以2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+，所以1cos ,sin 2C C ==. 由22221()32cos 222a b c a b abC ab ab+-+--===，得13ab =，所以1sin 212S ab C ==故选：D 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．7．C解析：C 【解析】12sin1202S c==⨯︒，解得c=2.∴a2=22+22−2×2×2×cos120°=12，解得a=，∴24sinaRA===，解得R=2.本题选择C选项.8．D解析：D【分析】根据()22a b c=+-cos1C C-=，结合三角函数的性质，求得C的值，最后利用两角和的正弦函数，即可求解.【详解】由()22a b c=+-，可得2221sin22ab C a b c ab=+-+，因为2222cosa b c ab C+-=，所以sin2cos2C ab C ab=+，cos1C C-=，可得π2sin16C⎛⎫-=⎪⎝⎭，则π1sin62C⎛⎫-=⎪⎝⎭，又因为0πC<<，则ππ5π666C-<-<，所以ππ66C-=，解得π3C=，所以πππππππsin sin sin cos cos sin4343434C⎛⎫⎛⎫+=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122224=+⨯=.故选：D.【点睛】本题主要考查了两角和的正弦函数的化简、求值，以及余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件和余弦定理，求得C的值，结合三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9．B解析：B【分析】根据等式关系得到数列{}n a 为等差数列，求出公差得到其通项公式，最后代值求解即可. 【详解】212n n n a a a ++=-（*n N ∈），212n n n a a a ++∴+=，即数列{}n a 是等差数列， 11a =-，33a =，312a a d ∴=+即312d =-+，则公差2d =，则()11223n a n n =-+-⨯=-（*n N ∈）， 所以10210317a =⨯-=. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列，进而求出通项公式进行计算.10．D解析：D 【分析】 根据题意，求得1nn a a -，再利用累乘法即可求得n a ，再结合对数运算，即可求得结果. 【详解】 由题设有111122(2)n n nn a n a ---=⨯=≥， 而(1)1213221121122(2)n n n n n n a aa a a n a a a -+++--=⨯⨯⨯⨯=⨯=≥，当1n =时，11a =也满足该式，故(1)22(1)n n n a n -=≥，所以2(1)log 2n n n a -=， 故选：D. 【点睛】本题考查利用累乘法求数列的通项公式，涉及对数运算，属综合基础题.11．B解析：B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵55a =，836S = ∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩∴111a d =⎧⎨=⎩∴n a n =，则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111nn n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.12．A解析：A 【解析】分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：546,,a a a -成等差数列，所以5642a a a -+=，24442a q a q a ∴-+=，220q q ∴--=，()()120q q ∴+-=，1q ∴=-或2，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.二、填空题13．21【分析】画出满足的可行域当目标函数经过点时取得最大值求解即可【详解】画出满足的可行域由解得点则目标函数经过点时取得最大值为【点睛】本题考查的是线性规划问题解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化解析：21 【分析】画出,x y 满足的可行域，当目标函数24z x y =+-经过点()7,9B 时，z 取得最大值，求解即可． 【详解】画出,x y 满足的可行域，由20250x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得点()7,9B ，则目标函数24z x y =+-经过点()7,9B 时，z 取得最大值为718421+-=.【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．14．【分析】设三角形三条边长分别为先分析得到再利用余弦定理得到最后利用正弦定理即得解【详解】设三角形三条边长分别为那么因为所以故由题意得故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形意在考查学 解析：1532【分析】设AD x =，三角形三条边长分别为,,a b c ，先分析得到222138b c a +≤，再利用余弦定理得到258bc a ≤，最后利用正弦定理即得解. 【详解】设AD x =，三角形三条边长分别为,,a b c ， 那么2243,169x a x a ≤∴≤， 因为cos cos 0ADB ADC ∠+∠= 所以2222422+=+x a b c ，故2222222213168849,8x b c a a b c a =+-≤∴+≤由题意得222222221135cos ,,2288b c a A b c bc a a bc a bc +-==∴+=+≤∴≤255315sin sin sin =88432B C A ∴≤=⨯.故答案为：1532【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．【分析】由余弦定理可求出角再根据正弦定理即可表示出然后利用消元思想和辅助角公式即可求出的最大值【详解】因为所以而∴∵∴∴其中所以的最大值为当时取得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中解析：【分析】由余弦定理可求出角B ，再根据正弦定理即可表示出2a c +，然后利用消元思想和辅助角公式，即可求出2a c +的最大值． 【详解】因为222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，而0B π<<，∴3B π=．∵2sin sin sin sin 3a b c A B C ====，∴2sin ,2sin a A c C ==．∴222sin 4sin 2sin 4sin 4sin 3a c A C A A A A π⎛⎫+=+=+-=+⎪⎝⎭()A ϕ=+，其中tan ϕ=． 所以2a c +的最大值为2A πϕ=-时取得．故答案为： 【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及利用三角函数求解三角形中的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．16．16【分析】作出不等式组表示的平面区域由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大结合图象即可求解的最大值【详解】作出满足约束条件表示的平面区域如图所示：由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大作直线然解析：16 【分析】作出不等式组表示的平面区域，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大，结合图象即可求解z 的最大值．【详解】作出x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩表示的平面区域，如图所示：由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大作直线20x y +=，然后把该直线向可行域平移， 当直线经过A 时，z 最大 由10240x y x y -+=⎧⎨--=⎩可得(5,6)A ，此时16z =．故答案为：16．【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z 的几何意义．属于中档题.17．【分析】首先将题中已知条件转化可得利用基本不等式可求得之后应用不等式的性质求得结果【详解】由可得即所以由得当且仅当时取等号所以有所以所以的最小值为当且仅当时取等号故答案为：【点睛】该题考查的是有关求解析：89【分析】首先将题中已知条件转化，可得2x y xy +=，利用基本不等式可求得8xy ≥，之后应用不等式的性质求得结果. 【详解】由121x y +=可得21x y xy+=，即2x y xy +=， 所以211111x y xy xy xy xy+==+++，由121x y =+≥ 得8xy ≥，当且仅当24x y ==时取等号，所以有1108xy <≤，19118xy <+≤，18191xy ≥+， 所以21811191x y xy xy xy xy+==≥+++， 所以21x y xy ++的最小值为89，当且仅当24x y ==时取等号， 故答案为：89. 【点睛】该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求最值，利用不等式的性质求最值，属于中档题.18．【分析】根据已知条件利用边角互化即可求得再由余弦定理结合均值不等式即可求得的最大值则面积的最大值可解【详解】因为故可得即则又因为故可得又故可得由余弦定理可得即当且仅当时取得等号故故答案为：【点睛】本解析：)21【分析】根据已知条件，利用边角互化即可求得B ，再由余弦定理，结合均值不等式，即可求得ac 的最大值，则面积的最大值可解. 【详解】4cos sin C B =，b =，=+，即sinA sinBcosC sinCsinB =+ 则cosBsinC sinCsinB =， 又因为sin 0C ≠，故可得1tanB =， 又()0,B π∈，故可得4B π=.由余弦定理可得222222(2b a c accosB a c ac =+-+≥--=,即(42ac ≤+，当且仅当a c =时取得等号.故()11cos 422122ABC S ac B =≤⨯+=△.故答案为：)21【点睛】本题考查利用正余弦定理以及均值不等式求三角形面积的最值，属综合中档题.19．1092【分析】由题意分析传染模型为一个等比数列可解【详解】由题意：所以第六轮的传染人数为所以前六轮被传染的人数为故答案为：1092【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一在高中数学中应用题是常见解析：1092 【分析】由题意分析，传染模型为一个101,3a q R ===等比数列，可解. 【详解】由题意：101,3a q R ===所以1113n n n a a q --==第六轮的传染人数为7a所以前六轮被传染的人数为771131109213S a --=-=-.故答案为：1092 【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： 求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；20．【解析】试题分析：因为所以因为数列是等比数列所以即设①又＋…＋②①+②得所以考点：1等比数列的性质；2对数的运算；3数列求和【知识点睛】如果一个数列与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等 解析：992【解析】试题分析：因为3()31x x f x =+，所以33()()13131x xx x f x f x --+-=+=++．因为数列{}n a 是等比数列，所以21992984951501a a a a a a a =====，即1992984951ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a +=+==+=．设9912399(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =++++ ①，又99999897(ln )(ln )(ln )=++S f a f a f a ＋…＋1(ln )f a ②，①+②，得99299=S ，所以99992=S ． 考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算；3、数列求和．【知识点睛】如果一个数列{}n a ，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．三、解答题21．（1）()80042S x x ⎛⎫=-⋅-⎪⎝⎭， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ． 【分析】（1）根据矩形温室的一边长为xm ，求出另一边长，然后根据矩形的面积公式表示即可，再由解析式即可列出关于x 的不等式，从而得出x 的取值范围；（2）直接利用基本不等式可求出面积的最大值，注意等号成立的条件，进而得出矩形温室的长、宽. 【详解】解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为800x米， 因此种植蔬菜的区域面积可表示()80042S x x ⎛⎫=-⋅-⎪⎝⎭， 由4080020x x->⎧⎪⎨->⎪⎩得： 4400x <<；（2）()8001600 428082808S x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝-⎝⎭⎭2808160648m =-=，当且仅当1600x x=，即()404,400x =∈时等号成立．因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ． 【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，属于中档题． 22．（1）1000(20)(8),(0)S x x x=++>；（2）休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为50米，20米. 【分析】（1）先表示休闲区的宽，再表示矩形ABCD 长与宽，最后根据矩形面积公式得函数解析式，注意求函数定义域；（2）根据基本不等式求S 最小值，再根据等号取法确定休闲区1111D C B A 的长和宽. 【详解】（1）因为休闲区的长为x 米，休闲区1111D C B A 的面积为1000平方米，所以休闲区的宽为1000x 米；从而矩形ABCD 长与宽分别为20x +米1000,8x+米， 因此矩形ABCD 所占面积1000(20)(8),(0)S x x x=++>，（2）100020000(20)(8)1160811601960S x x x x =++=++≥+= 当且仅当200008,50x x x ==时取等号，此时100020x= 因此要使公园所占面积最小，休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为50米，20米. 【点睛】本题考查函数应用、求函数解析式、利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.23．选择见解析，3A π=，512C π=． 【分析】选择条件①，利用正弦定理结合余弦定理求出cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得A2b c +=sin 2sin A B C +=，由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由角C 的取值范围可求得结果；选择条件②，利用诱导公式、正弦定理以及三角恒等变换思想求出sin2A的值，结合角A的取值范围可求得角A 2b c +=可得出sin 2sin A B C +=，由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由角C 的取值范围可求得结果；选择条件③，由正弦定理以及两角差的正弦公式可求得tan A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 2b c +=sin 2sin A B C +=，由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由角C 的取值范围可求得结果. 【详解】（1）选择条件①，由()22sin sin sin sin sin A B C B C --=及正弦定理知()22a b c bc --=，整理得，222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又因为()0,A π∈，所以3A π=，2b c +=sin 2sin A B C +=，由23B C π=-2sin 2sin 33C C ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即1sin 2sin 222C C C ++=，即3sin C C =6C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,662C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而64C ππ-=，解得512C π=； 选择条件②，因为A B C π++=，所以222B C Aπ+=-， 由sinsin 2B C b a B +=得cos sin 2Ab a B =，由正弦定理知，sin cossin sin 2sin cos sin 222A A AB A B B ==， ()0,B π∈，()0,A π∈，可得0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以，sin 0B >，cos02A >，可得1sin 22A =，所以，26A π=，故3A π=.以下过程同（1）解答； 选择条件③，由2sin sin 3a B b A π⎛⎫=-⎪⎝⎭，及正弦定理知，2sin sin sin sin 3A B B A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,B π∈，则sin 0B >，从而21sin sin sin 32A A A A π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，则sin A A =，解得tan A =又因为()0,A π∈，所以3A π=，以下过程同（1）解答．【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.24．（1）3B π=；（2）2+.【分析】（1cos sin B b A =，根据正弦定理、三角形内角的性质，即可求B ；（2）由三角形面积公式求出a 、c ，再根据余弦定理求b ，即可求ABC 的周长． 【详解】（1）由cos sin )sin cos B b C b B C -=，得cos cos sin sin cos B b B C b B C -=，∴cos sin cos cos sin B b B C b B C =+cos sin()B b B C =+，∴cos sin B b A =．cos sin sin A B B A =，又sin 0A ≠， ∴sin B B =，即tan B =0B π<<，∴3B π=．（2）由2,c a ABC =，得11sin 222ABCS ac B a a ==⨯⨯=解得a =2c a ==．由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2221242b =+-=⎝⎭⎝⎭，解得2b =． ∴ABC的周长为2233a b c ++=++=+ 【点睛】 关键点点睛：（1）利用三角恒等变换及正弦定理，将已知条件化简为一个内角的函数值，根据函数值确定角的大小.（2）综合应用正余弦定理求三角形的边，进而求其周长.25．（Ⅰ）2231n n a n =-；（Ⅱ）25q . 【分析】 （Ⅰ）设数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nS ，利用122n n n n S S a -=-可求2n a . （2）讨论{}2-1n a 的单调性后可求数列{}21n a -的最小项，结合223n a >可求数列{}n a 的最小项． 【详解】解：（Ⅰ）设数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，即23122n S n n =+，∴2131(1)(1)22n S n n -=-+-．则12231(2)n n nn S S n n a -=-=-≥， 故()22231n na n n =≥-，当1n =，21a =，也符合此式， ∴2231n na n =-． （Ⅱ）222223313313n n a n n ==+>--． 考虑奇数项，∵12121n n q a n --=-，∴[]112121(21)(21)2121(21)(21)n n n n n q q n n q q a a n n n n --+---+-=-=+-+-()()()111121(21)(21)(21)(21)2222n n q n q q q q q n n n q n n --⎡⎤-+----==+⎢⎥-⎡⎤⎣⎦+⎦-⎣-，又()1112121q q q +=+--， ∵7553q <<，得()112,321q +∈-，而220q ->， ∴当2n ≤时，2121n n a a +-<，当3n ≥时，2121n n a a +->，即奇数项中5a 最小． 而25252593n q a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为255q a =． 【点睛】思路点睛：数列的最大项最小项，一般根据数列的单调性来处理，如果数列是分段数列，则可以分别讨论各段上的最大项最小项，比较后可得原数列的最大项最小项.26．（1）n a n =，2nn b n=；（2）证明见解析； 【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由410S a =，即可得到1d a =，从而求出{}n a 的通项公式，再由1122n n n n n c T T c c --=-=-，可得{}n c 是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出{}n c 的通项，最后由n n n c a b =⋅，求出{}n b 的通项公式；（2）依题意可得()()1111112121n n n n n c c c ++=-----，利用裂项相消法求和即可得证；【详解】解：（1）因为{}n a 为等差数列，且{}n a 前n 项的和为n S ，设其公差为d ， 因为410S a =，11a =，所以()11441492a d a d ⨯-+=+，所以11d a ==，所以n a n =，因为11a =，12b =，n n n c a b =⋅，所以1112c a b =⋅=，因为{}n c 的前n 项和为n T 且22n n T c =-，当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n c T T c c c c ---=-=---=-，所以()122n n c c n -=≥，所以{}n c 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n c =，因为n n n c a b =⋅，所以2nn n n c b a n== （2）因为()()()()1112111121212121n n n n n n n n c c c +++==-------所以()()()()()()1212231111111n n n c c c c c c c c c ++++------ 122311111111111111212121212121212121n n n n +++=-+-++-=-=-<---------【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．。
2013年高二数学必修五章末归纳整合(北师大版)(2)最新版
网络构建
专题归纳
解读高考
高考真题
专题三 正、余弦定理的综合应用
(1)在解三角形时，常常将正弦定理与余弦定理结合使 用，要注意恰当地选择定理，简化运算过程，提高解题 速度，同时，要注意与平面几何中的有关性质、定理结 合起来，挖掘题目中的隐含条件． (2)利用正弦、余弦定理证明有关三角形的三角函数恒 等式和判定三角形的类型，主要是将已知条件中的边、 角关系转化为角的关系或边的关系．一般地，利用公式 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C可将边的关系转 化为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行 化简，其中往往用到三角形内角和定理A＋B＋C＝π.
网络构建
专题归纳
解读高考
高考真题
【例2】在△ABC 中，已知 a＝8，B＝60°，c＝4( 3＋1)，解此三
角形．
[思路探索] 先用余弦定理求出b，然后利用余弦定理的 推论或正弦定理求出相应角的余弦值或正弦值，最后确定 角的大小． 解 由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B＝
82＋[4( 3＋1)]2－2×8×4( 3＋1)·cos 60°＝
64＋16(4＋2 3)－64( 3＋1)×12＝96，∴b＝4 6.
网络构建
专题归纳
解读高考
高考真题
法一 由 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝926×＋4166 ×34＋ 132＋－164＝ 22， ∵0°<A<180°，∴A＝45°. 故 C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
且满足ccooss BC＝－2ab＋c. (1)求角 B 的值；
(2)若 b＝ 19，a＋c＝5，求 a，c 的值．
[思路探索]
cos (1)cos
北师大版高中数学必修五第二学期期中质量检测.docx
宿州市13校2013-2014学年度第二学期期中质量检测高一数学一、选择题（共10题，每题5分，共50分）1.已知数列 ，则5是这个数列的（ ） A.第12项 B.第13项 C.第14项 D.第25项 2．不等式01xx ≤+的解集为（ ） A.[-1,0] B. [-1,0) C. (-1,0] D. R 3.已知0a b >> ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 2a ab < B.11a b > C. a b < D. 11()()22a b < 4.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2sin c a C =，则角A 为（ ） A. 030或060 B. 045或060 C. 0120或060 D. 030或01505.设实数,x y 满足约束条件011x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A. 1-B.1C. 3 D06.若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆的形状为（ ） A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C 一定是钝角三角形. D.形状不定7.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠且139,,a a a 成等比数列，则2410138a a a a a a ++=++（ ）A.1514 B. 43 C. 34 D. 16158.若ABC ∆的三个顶点是(5,0),(3,3),(0,2)A B C --，则ABC ∆的面积为（ ） A.312B.31C.23D.46 9.等比数列{}n a 的各项均为正数，若299a a ⋅=，则3132310log log ...log a a a +++= A.12 B.10 C.8 D 32log 5+10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若67S S <，78S S =，89S S >则下列说法错误的是（ ）A. 0d <B. 80a =C. 106S S >D. 7S 和8S 均为n S 的最大值二、填空题（共5题，每题5分）11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若53a =，则9___S =12.已知数列{}n a 的前n 项和为31nn S =-，那么____n a =13.如图，某人在电视塔CD 的一侧A 处测得塔顶的仰角为030，向前走了1003米到达处测得塔顶的仰角为060，则此塔的高度为__________米14.设点(,)P x y 在函数42y x =-的图像上运动，则93x y +的最小值为____________ 15.有以下五种说法：（1）设数列{}n a 满足111,21n n a a a +==+，则数列{}n a 的通项公式为21nn a =-（2）若,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边长，2220a b c +-<，则ABC ∆一定是钝角三角形（3）若,A B 是三角形ABC ∆的两个内角，且sin sin A B <,则BC AC < （4）若关于x 的不等式0ax b -<的解集为(1,)+∞，则关于x 的不等式02bx ax +<+的解集为(2,1)--（5）函数4sin (0)sin y x x xπ=+<<的最小值为4 其中正确的说法为_________(所有正确的都选上) 三、 解答题（共75分）16.已知二次函数2()f x x px q =++，不等式()0f x <的解集是(2,3)- （1）求实数p 和q 的值； （2）解不等式210qx px ++>17.已知数列{}n a 的前n 项的和为(1)n S n n =+ （1）求证：数列{}n a 为等差数列； （2）求12111...nS S S +++ 18.已知,,a b c 是ABC ∆的三边长，且222a b c ab +-=（1）求角C （2）若6,3a c ==，求角A 的大小。
【北师大版】高中数学必修五期末试卷(及答案)(2)
一、选择题1．已知()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,4B ．[)0,4C ．()0,2D ．[)0,22．当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x xf xx++=的最小值为（ ）A ．2B ．23C ．4D ．433．已知直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点，则124123a b +++的最小值为（ ） A ．7620+ B ．7620- C ．72620+ D ．72620- 4．已知实数x ,y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,则221z x y =--的取值范围是( )A ．5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭5．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106 m （如图），则旗杆的高度为（ ）A ．10 mB ．30 mC ．103 mD ．106 m6．如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：A ．10kmB ．20kmC． D．7．已知△ABC 中，2cos =c b A ，则△ABC 一定是 A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．小华想测出操场上旗杆OA 的高度，在操场上选取了一条基线BC ，请从测得的数据①12m BC =，②B 处的仰角60°，③C 处的仰角45∘，④cos BAC ∠=⑤30BOC ∠=︒中选取合适的，计算出旗杆的高度为（ ） A．B ．12mC．D．9．在数列{}n a 中，11a =-，33a =，212n n n a a a ++=-（*n N ∈），则10a =（ ） A ．10B ．17C ．21D ．3510．已知数列{}n a 的通项公式350n a n =-，则前n 项和n S 的最小值为( ) A ．－784B ．－368C ．－389D ．－39211．对于数列{}n a ，定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”，现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20202020S=（ ） A ．2019B ．2020C ．2021D ．202212．在等比数列{}n a 中，48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两个实根，则2610a a a =（ ） A ．8B ．8-C ．4D ．88-或二、填空题13．若实数a ，b 满足22221a b +=，则22141a b ++的最小值为___________. 14．已知x ，y 满足041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为________.15．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，ABC 的面积为24b c，且221sin ()(1)sin sin 2A B c B b A ++-=，则A =_______.16．在ABC 中，2AB =，30C ︒=，则AB BC 的取值范围是________. 17．在三角形ABC 中，D 为BC 边上一点，且2BD CD =，AD BD =，则2tan cos BAC B ∠⋅的最大值为__________．18．若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a距”增函数．若()3144f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，则a 的取值范围是________．19．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈，若355a a +=，264a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和n T 为______.20．数列{}n a 满足：112a =，212n n a a a n a ++⋯+=⋅，则数列{}n a 的通项公式n a =___________.三、解答题21．现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为111623，，；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0<p <1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整.记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X ，对乙项目每投资10万元，X 取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量X 1、X 2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润.(1)求X 1，X 2的概率分布和均值E (X 1)，E (X 2)； (2)当E (X 1)<E (X 2)时，求p 的取值范围. 22．设1x >，且4149(1)x x +--的最小值为m ．（1）求m ；（2）若关于x 的不等式20ax ax m -+的解集为R ，求a 的取值范围．23．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且c b >.（1）求角B 的值；（2）若6A π=，且ABC 的面积为BC 边上的中线AM 的长.24．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin2sin .a B b A =（1）若3,a b ==，求c ；（2）求cos cos a C c Ab-的取值范围.25．已知{}n a 为等差数列，数列{}n b 的前n 和为1128,22,10n S a b a a ==+=，___________.在①112n n S b =-，②2n a n b λ=这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 26．已知n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根，记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数且n *∈N 若.130n n a a ++⋅>恒成立，求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n a 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由对数函数的单调性可得210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠求解. 【详解】()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，即232ax ax ++>，即210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立， 当0a =时，10>恒成立，满足题意， 当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<， 综上，a 的取值范围为[)0,4. 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是得出210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立. 2．C解析：C 【解析】0,tan 02xx π<∴，()21cos28sin sin2x x f x x++=2222cos 8sin 28tan 14tan 42sin cos 2tan tan x x x x x x x x ++===+≥=，当且仅当1tan 2x =时取等号，函数()21cos28sin sin2x x f x x ++=的最小值为4，选C.3．C解析：C 【分析】由题意可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5），将所求式子化为b 的关系式，由基本不等式可得所求最小值． 【详解】直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点， 可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5）， 则1216412311696a b b b+=+++-+ 120=[（11﹣6b ）+（9+6b ）]（1611696b b +-+）120=（7()61169611696b b b b -+++-+）≥，当且仅当()61169611696b b b b -+=-+时，即b =，a =720+， 故选：C ． 【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．4．D解析：D 【分析】画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z 的取值范围. 【详解】 作出可行域如下：由221z x y =--得12zy x +=-， 平移直线12zy x +=-， 由平移可知当直线12zy x +=-，经过点C 时， 直线12zy x +=-的截距最小，此时z 取得最大值， 由210x x y =⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)C -，此时2214215z x y =--=+-=， 可知当直线12zy x +=-，经过点A 时， 直线12zy y x +==-的截距最大，此时z 取得最小值， 由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1(3A ，2)3代入221z x y =--得125221333z =⨯-⨯-=-，故5[3z ∈-，5)故选：D ． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．5．B解析：B 【分析】作图，分别求得∠ABC ，∠ACB 和∠BAC ，然后利用正弦定理求得AC ，最后在直角三角形ACD 中求得AD ．【详解】 解：如图，依题意知∠ABC ＝30°+15°＝45°，∠ACB ＝180°﹣60°﹣15°＝105°， ∴∠BAC ＝180°﹣45°﹣105°＝30°， 由正弦定理知BC ACsin BAC sin ABC=∠∠，∴AC BC sin BAC=∠•sin ∠ABC10622==3m ）， 在Rt △ACD 中，AD 32=•AC 32=⨯3=30（m ） 即旗杆的高度为30m ． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．结合了正弦定理等基础知识，考查了学生分析和推理的能力．6．C解析：C 【分析】在ABP ∆中，利用正弦定理求出BP 得长，即为这时船与灯塔的距离，即可得到答案． 【详解】由题意，可得30PAB PBA ∠=∠=，即30,120AB APB =∠=， 在ABP ∆中，利用正弦定理得30sin 30103sin120PB ==即这时船与灯塔的距离是103km ，故选C ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．B解析：B 【解析】试题分析：由2cos =c b A 和正弦定理得sin 2sin cos =C B A ，即sin()2sin cos ,sin cos sin cos A B B A A B B A +==．因sin 0,sin 0A B >>，故,A B 不可能为直角，故tan tan A B =．再由,(0,)A B π∈，故A B =．选B ． 考点：本题考查正弦定理、内角和定理、两角和的三角函数公式．点评：综合考查正弦定理、两角和与差的三角公式．三角形中的问题，要特别注意角的范围．8．D解析：D 【分析】设旗杆的高度OA h =.选①②③⑤，表示出OB OC ，，在BOC ∆中，由余弦定理列方程求解；选①②③④，表示出AB AC ，，在BAC ∆中，由余弦定理列方程求解. 【详解】设旗杆的高度OA h =.选①②③⑤，则OC h =，3OB =， 在BOC ∆中，由余弦定理得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅⋅∠，即2223122233h h =+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，解得123h =； 选①②③④，则3AB h =，2AC h =， 在BAC ∆中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠， 即()2223612222833h h =+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，解得123h =. 故选：D ．【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形的应用，考查了仰角的概念，考查了学生对概念的理解和运算求解能力，属于中档题.9．B解析：B 【分析】根据等式关系得到数列{}n a 为等差数列，求出公差得到其通项公式，最后代值求解即可. 【详解】212n n n a a a ++=-（*n N ∈），212n n n a a a ++∴+=，即数列{}n a 是等差数列，11a =-，33a =，312a a d ∴=+即312d =-+，则公差2d =，则()11223n a n n =-+-⨯=-（*n N ∈）， 所以10210317a =⨯-=. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列，进而求出通项公式进行计算.10．D解析：D 【解析】令3500n -≥，求得16n >，即数列从第17项开始为正数，前16项为负数，故数列的前16项的和最小，1612,47a a =-=-，()16472163922S --⨯∴==-，故选D.【方法点睛】求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.11．D解析：D 【分析】 根据11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，得到112333n n n a a a n -+++=⋅，然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】 ∵11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，∴112333n n n a a a n -+++=⋅，当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，两式相减可得：()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列.∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.12．B解析：B 【分析】结合根与系数关系，根据等比中项满足的性质，计算6a ，代入，计算式子，即可． 【详解】48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两实根，所以24821064a a a a a ===，由48480,100a a a a >+=-<得480,0a a <<，所以2640a a q =<，即62a =-，所以26108a a a =-.故选B【点睛】本道题考查了等比中项的性质，关键利用好该性质，计算结果，即可，难度中等．二、填空题13．6【分析】由条件可得则由均值不等式可得答案【详解】实数满足即所以则当且仅当又即时取得等号故答案为：6【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各解析：6 【分析】由条件可得()22312a b ++=，则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭由均值不等式可得答案. 【详解】实数a ，b 满足22221a b +=，即2212a b +=，所以()22312a b ++=则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭()2222214221455463133b a a b ⎛⎛⎫+=⨯+++≥⨯+=⨯+= ⎪ +⎝⎭⎝当且仅当22 22141b aa b+=+, 又2212a b+=，即2212ab⎧=⎪⎨⎪=⎩时，取得等号.故答案为：6【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.14．6【分析】作出不等式组所表示的平面区域结合图象确定目标函数的最优解即可得到答案【详解】由题意作出不等式组所表示的平面区域如图所示因为目标函数可化为直线当直线过点A时此时目标函数在轴上的截距最大此时目解析：6【分析】作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可得到答案.【详解】由题意，作出不等式组41x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域，如图所示，因为目标函数2z x y=+，可化为直线2y x z=-+，当直线2y x z=-+过点A时，此时目标函数在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由4x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得(2,2)A，所以目标函数2z x y=+的最大值为2226z=⨯+=.故答案为：6.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．15．【分析】先由的面积为得到再用正弦定理余弦定理化简已知得解【详解】由三角形的面积公式可知得由得由正弦定理得即所以所以又所以又故故答案为：【点睛】方法点睛：化简三角形中的三角恒等式时要注意观察等式再利用解析：4π【分析】先由ABC 的面积为24b c得到sin 2b A =，再用正弦定理余弦定理化简已知得解.【详解】由三角形的面积公式可知21sin 24b cS bc A ==，得sin 2b A =，由221sin ()(1)sin sin 2A B c B b A ++-=得222sin (1)sin sin C c B A +-=， 由正弦定理得222(1)c c b a +-=即2222c b a b c +-=， 所以2cos b A = ， 所以sin cos A A =， 又2A π≠，所以tan 1A =，又0A π<<，故4A π=故答案为：4π 【点睛】方法点睛：化简三角形中的三角恒等式时，要注意观察等式，再利用正弦定理余弦定理角化边或边化角化简求解.16．【分析】首先根据正弦定理得化简得到再求其范围即可【详解】由正弦定理得：所以所以因为所以即故的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的应用同时考查三角函数的值域问题属于中档题 解析：[6,2]-【分析】首先根据正弦定理得4sin =BC A ，化简得到()4sin 2302⋅=+-AB BC A ，再求其范围即可. 【详解】由正弦定理得：4sin sin ==AB BCC A，所以4sin =BC A . 所以()cos 1808sin cos ⋅=⋅-=-AB BC AB BC B A B()()8sin cos 180308sin cos 30⎡⎤=--+=+⎣⎦A AA A 218sin sin cos 4sin 2⎫=-=-⎪⎪⎝⎭A A A A A A ()()221cos 24sin 2302=--=+-A A A因为0150<<A ，所以3030330<2+<A ， 即()1sin 2301-≤+≤A ，()64sin 23022-≤+-≤A .故AB BC 的取值范围是[6,2]-. 故答案为：[6,2]- 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，同时考查三角函数的值域问题，属于中档题.17．【分析】设则在△ABD 和△ACD 中由正弦定理化简可得由两角差的正弦公式化简可得根据正弦函数的值域即可求解的最大值【详解】如图由已知设则在△ABC 中由正弦定理可得:在△ACD 中由正弦定理可得:所以化简解析：32【分析】设,BD x =则,2xAD x CD ==,在△ABD 和△ACD 中,由正弦定理化简可得3sin 2sin cos 22sin sin()x x B B BBAC BAC B ⋅⋅=∠∠-,由两角差的正弦公式,化简可得23tan cos sin 22BAC B B ∠⋅=,根据正弦函数的值域即可求解2tan cos BAC B ∠⋅的最大值.【详解】如图,由已知,设,BD x =则,2x AD x CD ==, 在△ABC 中,由正弦定理可得: 32sin sin xb BAC B=∠, 在△ACD 中,由正弦定理可得: 2sin()sin 2xb BAC B B=∠-.所以3sin2sin cos2sin cos222=sin sin()sin cos cos sinx x xB B B B BBAC BAC B BAC B BAC B⋅⋅⋅=∠∠-∠-∠化简可得:tan cos3sinBAC B B∠⋅=,可得: 233tan cos sin222BAC B B∠⋅=≤.可得2tan cosBAC B∠⋅的最大值为32.【点睛】本题考查正弦定理在解三角形和化简中的应用,能借助公共边把两个三角形联系起来是解答本题的关键,属于中档题.18．【分析】由题中定义得出作差变形后得出对任意的恒成立结合得出由此可求得实数的取值范围【详解】因为函数是距增函数所以恒成立由所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数新定义考查二次不等式恒成解析：(1,)+∞【分析】由题中定义得出()()f x a f x+>，作差变形后得出22313304ax a x a a++->对任意的x∈R恒成立，结合0a>得出∆<0，由此可求得实数a的取值范围.【详解】()()()()332231114433444f x a f x x a x a x x ax a x a a⎡⎤⎛⎫+-=+-++--+=++-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为函数()y f x=是“a距”增函数，所以22313304ax a x a a++->恒成立，由0a>，所以2210912014a a a⎛⎫∆<⇒--<⇒>⎪⎝⎭．因此，实数a的取值范围是()1,+∞.故答案为：()1,+∞.【点睛】本题考查函数新定义，考查二次不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题. 19．【分析】首先利用方程组求出数列的通项公式进一步求出数列的通项公式进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和【详解】解：各项均为正数的等比数列中若所以由于公比解得所以解得所以由于所以则当时当时所以故答案解析：()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【分析】首先利用方程组求出数列{}n a 的通项公式，进一步求出数列{}n b 的通项公式，进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和. 【详解】解：各项均为正数的等比数列{}n a 中，若355a a +=，264a a =， 所以35352654a a a a a a +=⎧⎨==⎩，由于公比()0,1q ∈，解得3541a a =⎧⎨=⎩，所以253a a q =，解得12q =. 所以55512n n n a a q--⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.由于5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==， 则()9292n n n n S n c nn--===， 当9n ≤时，()212171744n n n n n n T c c c --=+++==. 当9n >时，()()212910*********24n n n n n T c c c c c c c c c c -+=+++---=++-+++=. 所以()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩.故答案为：()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式，考查分类讨论思想和数学运算能力，是中档题.20．【分析】当时作差即可得到再利用累乘法求出数列的通项公式即可；【详解】解：因为①；当时②；①减②得即所以所以所以所以……所以所以又所以当时也成立所以故答案为：【点睛】对于递推公式为一般利用累乘法求出数 解析：21n n+ 【分析】当2n ≥时，()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅，作差即可得到111n n a n a n --=+，再利用累乘法求出数列的通项公式即可； 【详解】解：因为212n n a a a n a ++⋯+=⋅①；当2n ≥时，()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅②；①减②得()2211n n n a n a n a -=⋅-⋅-，即()()22111n n n a n a -⋅-⋅-=，所以()()()21111n n n n a n a --+=⋅-⋅，所以()()111n n n a n a -⋅-⋅+=，所以111n n a n an --=+ 所以2113a a =，3224a a =，4335a a =，……，111n n a n a n --=+，所以324211312313451n n a a a a n a a a a n --⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⨯+，所以()121n a a n n =+，又112a =，所以()11n a n n =+，当1n =时()11n a n n =+也成立，所以()11n a n n =+故答案为：()11n n +【点睛】 对于递推公式为()1nn a f n a -=，一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为()1n n a a f n --=，一般利用累加法求出数列的通项公式； 三、解答题21．（1）见解析（2）0<p <0.3 【解析】分析：（1）由题意可得随机变量X 1的分布列和期望；结合X ～B (2，p )可得随机变量X 2的分布列和期望．（2）由E (X 1)<E (X 2)可得关于p 的不等式，解不等式可得所求． 详解：(1)由题意得X 1的分布列为∴E (X 1)＝1.2×6＋1.18×2＋1.17×3＝1.18. 由题设得X ～B (2，p )，即X 的分布列为22＝1.3×(1－2p ＋p 2)＋2.5×(p －p 2)＋0.2×p 2 ＝－p 2－0.1p ＋1.3.(2)由E (X 1)<E (X 2)，得－p 2－0.1p ＋1.3>1.18， 整理得(p ＋0.4)(p －0.3)<0， 解得－0.4<p <0.3. 因为0<p <1， 所以0<p <0.3．即当E (X 1)<E (X 2)时，p 的取值范围是()0,0.3.点睛：(1)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(2)求解离散型随机变量X 的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求EX ，DX 即可． 22．（1）47=m ；（2）160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 【分析】（1）直接利用基本不等式即可求得4149(1)x x +--的最小值；（2）不等式20ax ax m -+的解集为R ，分0a =与0a ≠进行分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式求解即可．【详解】解：（1）因为1x >，所以10x ->， 所以444411249(1)49(1)497x x x x +-=-+=--，当且仅当4149(1)x x -=-，即217x -=，也即97x =时等号成立，故47=m ． （2）由（1）知4,7m =， 若不等式2407ax ax -+的解集为R ，则 当0a = 时，407恒成立，满足题意； 当0a ≠时，201607a a a >⎧⎪⎨∆=-⎪⎩， 解得1607a <， 综上，1607a， 所以a 的取值范围为160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，二次函数的图象及其性质，主要考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题． 23．（1）6π；（2） 【分析】（1）先由正弦定理边角互化，计算求得sin B ；（2）由（1）可知ABC 是等腰三角形，根据面积公式求边长a ，AMC 中，再根据余弦定理求中线AM 的长. 【详解】（1）∵1sin cos 2a B Ab =， 由正弦定理边角互化得1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=， 由于(0,),sin 0B B π∈≠，∴1sin cos sin cos 2A C C A +=，即1sin()2A C +=，得1sin 2B =.又c b >，∴02B π<<，∴6B π=.（2）由（1）知6B π=，若6A π=，故a b =，则2112sin sin 223ABC S ab C a π∆=== ∴4a =，4a =-（舍）又在AMC 中，22222cos 3AM AC MC AC MC π=+-⋅， ∴222221121()2cos 42242()282232AM AC AC AC AC π=+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅-=，∴AM =24．（1）2c =；（2）()1,1-. 【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得1cos 2B =，进而得解； （2）根据正弦定理边角互化可得cos cos 223a C c A A b π-⎛⎫∴=-⎪⎝⎭，结合锐角三角形的范围可得解. 【详解】（1）由sin 2sin a B b A =，得sin sin2sin sin A B B A =，得2sin sin cos sin sin A B A B A =，得1cos 2B =， 在ABC ，3B π∴=，由余弦定理2222cos b c a ac B =+-， 得27923cos3c c π=+-⨯，即2320c c -+=，解得1c =或2c =.当1c =时，22220,cos 0b c a A +-=-<< 即A 为钝角（舍）， 故2c =符合. （2）由（1）得3B π=，所以23C A π=-，cos cos sin cos cos sin 22sin 3a C c A A C A C A b B π--⎛⎫∴===-⎪⎝⎭，ABC 为锐角三角形，62A ππ∴<<，22333A πππ∴-<-<，2sin 2232A π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭， cos cos 11a C c Ab-∴-<<，故cos cos a C c Ab-的取值范围是()1,1-.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是熟练应用正余弦定理进行边角互化，正确分析锐角三角形中角的范围是解题的关键.25．条件选择见解析；（1）n a n =，2nn b =；（2）212222n n n n T +=-++.【分析】选①（1）由等差数列的基本量法求出公差d 后可得通项公式n a ，再利用1(2)n n n b S S n -=-≥确定数列{}n b 是等比数列，从而得出通项公式n b ；（2）用分组（并项）求和法求和．选②（1）由等差数列的基本量法求出公差d 后可得通项公式，由112a b λ=求得λ，从而得通项公式n b ，并并确定其是等比数列； （2）用分组（并项）求和法求和． 【详解】 解：选①解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==， 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=，由112n n S b =-，得()21n n S b =-， 当2n ≥时，()()112121n n n n n b S S b b --=-=---，即12n n b b -=，所以{}n b 是一个以2为首项，2为公比的等比数列.1222n n n b -∴=⨯=.（2）由（1）知2nn n a b n +=+，()()()1212222n n T n ∴=++++++，()12(12)222n n T n =+++++++，()21212(1)2221222n n n n n n n T +-+∴=+=-++-. 选②解： （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==，1(1)1n a n n ∴=+-⨯=.112,1,2n a n b a b λ===，令1n =，得112a b λ=，即22,1λλ=∴=， 22n a n n b ∴==.（2）解法同选①的第（2）问解法相同.【点睛】方法点睛：本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，考查分组（并项）求和法． 数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．26．（1）*1,212(),22n n n k a k N n n k -⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩；（2）2*21,214(),24n n n k S k N n n k ⎧-=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩. 【分析】（1）先令12n nx t =，根据所给方程，得到()()2312log 23n n n t n t n n ++=+，构造函数()()214log 2n g x x n x +=+，确定122n n n t +<<，再讨论n 为奇数和n 为偶数两种情况，结合题中条件，即可求出数列的通项；（2）根据（1）的结果，讨论n 为奇数和n 为偶数两种情况，利用分组求和的方法，结合等差数列的求和公式，即可求出结果.【详解】（1）因为n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x+-=+的实数根，令12n n x t =，则12n nx t =， 所以()()2312log 23n n n t n t n n ++=+，记()()214log 2n g x x n x +=+，显然()g x 单调递增，且2221log 32n n g n n n n n n n +⎛⎫=+<+<+ ⎪⎝⎭，()()222111log 13132n n g n n n n n n n ++⎛⎫=+++=++>+ ⎪⎝⎭， 所以122n n n t +<<， 当*21()n k k N =-∈时，2112n k k t k --<<<，则[]11122n n n n a t k x ⎡⎤-===-=⎢⎥⎣⎦； 当*2()n k k N =∈时，21122n k k t k +<<=+，则[]122n n n n a t k x ⎡⎤====⎢⎥⎣⎦； 综上，*1,212(),22n n n k a k N n n k -⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩； （2）由（1）可得，*1,212(),22n n n k a k N n n k -⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩， 当*21()n k k N =-∈时，()()1352461......n n n S a a a a a a a a -=+++++++++211121002412461122222 (222)22222224n n n n n n n +---⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪---⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+++++++++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当*2()n k k N =∈时，()()1351246......n n n S a a a a a a a a -=+++++++++2220024224622222 (222)22222224n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+++++++++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 综上，2*21,214(),24n n n k S k N n n k ⎧-=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于由n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根，求出12n x 的范围，利用12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，通过讨论n 的奇偶，得出数列通项，即可求解.。
【北师大版】高中数学必修五期末试卷带答案(2)
一、选择题1．已知正实数a ，b 满足231a b +=，则12a b+的最小值为（ ）A ．15B ．823+C ．16D ．843+2．设,x y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值是（ ）A ．7-B ．2C ．3D ．5-3．设,x y 满足约束条件0{4312x y xx y ≥≥+≤，且231x y z x ++=+，则z 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．2,6C ．[]2,10D ．[]3,114．已知函数()3x f x -=，对任意的1x ，2x ，且12x x <，则下列四个结论中，不一定正确的是（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭5．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为72︒的等腰三角形（另一种是两底角为36︒的等腰三角形），例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，51BC AC -=．根据这些信息，可得sin54︒=（ ）．A ．15+ B ．35+ C ．45+ D ．125- 6．如图所示，在DEF 中，M 在线段DF 上，3DE =，2DM EM ==，3sin 5F =，则边EF 的长为（ ）A ．4916B ．15716C ．154D ．5747．已知锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22sin sin sin sin B A A C -=⋅，3c =，则a 的取值范围是（ ）A ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,2C ．()1,3D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知点O 为ABC 的外心，且3A π=，CO AB BO CA ⋅=⋅，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形或等边三角形D ．钝角三角形9．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1010．对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a Y n-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“美值”，现在已知某数列{}n a 的“美值”12n n Y +=，记数列{}n a tn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．712,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．712,35⎛⎫⎪⎝⎭ C ．167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．167,73⎛⎫⎪⎝⎭ 11．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若点(),n n a S ，在直线60x y +-=上，则4S =（ ）A ．92B ．254C ．458D ．40912．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(),1-∞B ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，二、填空题13．已知实数,x y 满足约束条件1210320y x y x y c ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，若2z y x =-的最大值为11，则实数c的值为____．14．已知正数a ，b 满足(1)(1)1a b --=，则4a b +的最小值等于________.15．锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()12cos c a B =+，则ba的取值范围是______． 16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23ABC π∠=，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，则3a c +的最小值为___________.17．在ABC4cos sin C B =+，b =，则ABC 面积的最大值是__________.18．对于ABC ，有如下命题：①若sin2A ＝sin2B ，则ABC 为等腰三角形； ②若sin A ＝cos B ，则ABC 为直角三角形； ③若sin 2A +sin 2B +cos 2C ＜1，则ABC 为钝角三角形； ④若满足C ＝6π，c ＝4，a ＝x 的三角形有两个，则实数x 的取值范围为(4,8)． 其中正确说法的序号是_____． 19．设数列{}n a 是等比数列，公比2q，n S 为{}n a 的前n 项和，记219n nn n S S T a +-=（*n N ∈），则数列{}n T 最大项的值为__________．20．数列1，-2，2，-3，3，-3，4，-4，4，-4，5，-5，5，-5，5，…，的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，n 的有n 个，则该数列第2020项是__________．三、解答题21．给出下面三个条件：①函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点；②函数(1)f x +是偶函数；③函数()f x 的两个零点的差为2，在这三个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数()f x 的解析式确定问题：二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=-，且___________(填所选条件的序号).（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若函数()()(21)3232xxg x t f =--⨯-有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供([0,10])∈x x (万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府x (万元)补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅-⎪+⎝⎭(万件)，其中k 为工厂工人的复工率（[0.5,1]k ∈）.A 公司生产t 万件防护服还需投入成本(20950)x t ++(万元).（1）将A 公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴x (万元)的函数(政府补贴x 万元计入公司收入)；（2）在复工率为k 时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？ （3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.23．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且22cos b c a C -=. （1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，2c =，求b 的取值范围.24．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的变分别为a ，b ，c ，已知2cos 212sin 2B B += （1）求角B 的大小； （2）若b =a c +的最大值.25．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，141n n n S a a +=⋅+，11a =． （Ⅰ）求n a 和n S ；（Ⅱ）若2na nb =，数列{}n b 的前n 项和为n T ．记23411223341n n n n b b b bA TT T T T T T T ++=+++⋅⋅⋅+，1231111n n B S S S S =+++⋅⋅⋅+，求证：52n n A B +<，*n ∈N ．26．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，525S =，1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等差数列{}2log n b 的首项为1，公差为1，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】妙用“1”的代换，利用()121223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭拼凑基本不等式，求和式的最小值即可. 【详解】正实数a ，b 满足231a b +=，则()121223888348a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+=+ ⎪⎝⎭仅当34b a b a =，即13,46a b -==时等号成立，故12a b +的最小值为8+ 故选：D. 【点睛】 思路点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立.（1）积定，利用x y +≥，求和的最小值；（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值；（3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.2．B解析：B 【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为y x z =-+在y 轴截距最小值的求解问题，利用数形结合的方法可得到结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：由z x y =+得：y x z =-+，当z 取最小值时，y x z =-+在y 轴截距最小， 由图象可知：当y x z =-+过A 时，在y 轴截距最小， 又()2,0A ，min 202z ∴=+=. 故选：B. 【点睛】方法点睛：线性规划问题中，通常有三种类型的最值或取值范围问题： （1）截距型：形如z ax by =+的形式，转化为a zy x b b=-+，将问题转化为直线在y 轴截距的求解问题；（2）斜率型：形如cy d z ax b+=+的形式，转化为d y c c b a x a+⋅+，将问题转化为(),x y 与,b d a c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线斜率的求解问题； （3）距离型：形如z Ax By C =++的形式，转化为2222Ax By C z A B A B ++=++题转化为(),x y 到直线0Ax By C ++=的距离的求解问题.3．D解析：D 【分析】试题分析：作出不等式组0{4312x y xx y ≥≥+≤表示的平面区域，如下图阴影部分所示，目标函数()()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++表示可行域内的点到()1,1--的连线的斜率，其斜率的最小值为min 1,k =最大值为 ()()max 41501k --==--，所以z 的取值范围是[]3,11，故选D.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.线性规划问题首先要作出准确、清晰的可行域，这是正确解题的前提，其次是找准目标函数的几何意义，常见的有“截距型”、“距离型”和“斜率型”，本题中通过吧目标函数231x y z x ++=+变形可知其表示可行域内的点到点 ()1,1--连线斜率的2倍在加上 1，这样问题就转化为求可行域内的点与定点连线的斜率的范围问题，通过数形结合就容易解答了.4．B解析：B 【分析】将函数()3xf x -=代入选项，由指数幂的运算性质可判断A 、B ；由函数的单调性可判断C ；由基本不等式可判断D ；即可得解. 【详解】对于A ，1212)(1212()333()()x x x x f x x f x f x -+--=⋅=⋅+=，故A 一定正确；对于B ，()12123x x f x x -=⋅，1212()()33x x f x f x --++=，()()()1212f x x f x f x ⋅=+不一定成立，故B 不一定正确；对于C ，因为()3xf x -=为减函数，故满足1212()[()()]0x x f x f x --<，故C 一定正确；对于D ，因为12x x <，所以121212()12()()22333332x x x x x x f x f x -----+++⋅=>=1212232x x x x f +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭=，故D 一定正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数函数性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.5．A解析：A 【分析】在ABC ，由正弦定理可知sin sin BC BAC AC ABC ∠=∠可得cos36︒=，进而根据诱导公式得sin54cos36︒== 【详解】在ABC ，由正弦定理可知：sin sin 36sin 361sin sin 722sin 36cos362cos36BC BAC AC ABC ︒︒︒︒︒︒∠=====∠∴1cos364︒==， 由诱导公式()sin54sin 9036cos36︒=-=，所以sin54︒=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据正弦定理和诱导公式求三角函数值，解题关键是掌握正弦定理公式和熟练使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.6．D解析：D 【分析】利用余弦定理求得cos EMD ∠，由此求得cos EMF ∠，进而求得sin EMF ∠，利用正弦定理求得EF . 【详解】在三角形DEM 中，由余弦定理得2222231cos 2228EMD +-∠==-⨯⨯，所以1cos 8EMF ∠=，由于0EMF π<∠<，所以sin EMF ∠==. 在三角形EFM中，由正弦定理得283sin sin 5EF EMEF EMF F⨯=⇒==∠故选：D 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题.7．D解析：D 【分析】由正弦定理可得三边的关系，再由余弦定理可得312cos a B=+，结合三角形为锐角三角形可得a 的取值范围. 【详解】∵22sin sin sin sin B A A C -=⋅， ∴由正弦定理可得22b a ac -=，∵由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2222cos a c ac B a ac +-=+， 又3c =，∴可得312cos a B=+，∵锐角ABC 中，若B 是最大角，则B 必须大于 3π，所以,3B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 所以1cos 02B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角形的正余弦定理的应用，及锐角三角形的性质，属于中档题.8．B解析：B 【分析】取AB 、AC 的中点E 、F ，利用向量加法的平行四边形法则以及向量得减法的几何意义可得2222a b c =+，再利用余弦定理得2bc a =，由正弦定理得边角互化以及两角差得正弦公式求出3B π=，即证.【详解】取AB 、AC 的中点E 、F ，则()CO AB CE EO AB CE AB ⋅=+⋅=⋅()()()221122CB CA CB CA a b =+⋅-=-， 同理()2212BO CA c a ⋅=-，所以2222a b c =+，又3A π=，由余弦定理，得222a b c bc =+-，即222b c a bc +=+，所以2bc a =，由正弦定理，得23sin sin sin 4B C A ==， 即23sin sin 34B B π⎛⎫-=⎪⎝⎭， 所以23131cos 23sin sin sin sin 23244B B B B B B B π⎫-⎛⎫-=+=+=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 32cos 22B B -=，所以2sin 226B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以262B ππ-=，解得3B π=，所以3A B C π===， 所以ABC 是等边三角形. 故选：B 【点睛】本题考查了向量加法、减法的运算法则，正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，综合性比较强，属于中档题.9．C解析：C 【分析】根据题意，假设电梯所停的楼层，表达出“不满意度”之和，利用等差数列的求和公式即可求得结论． 【详解】解：设电梯所停的楼层是(212)n n ，则12(2)2[12(12)]S n n =++⋯+-+++⋯+-(2)(1)(12)(13)222n n n n ----=+⨯ 22235335353()157()157232624n n n =-+=--+ 开口向上，对称轴为5396x =≈， 故S 在9n =时取最小值239539314402min S ⨯-⨯+==．故选：C ． 【点睛】本题考查数列知识，考查函数思想的运用，考查计算能力，求得“不满意度”之和是关键．10．C解析：C 【分析】由1112222n n n n a a a Y n -+++⋅⋅⋅+==，可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅进而求得22n a n =+，所以()22n a tn t n -=-+可得{}n a tn -是等差数列，由6n S S ≤可得660a t -≥，770a t -≤，即可求解【详解】由1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅，当2n ≥时()21212221n n n a a a n --+⋅=⋅-+⋅+，又因为1112222n n n a a n a -+=++⋅⋅⋅+，两式相减可得：()()11122221n n n n n n n n a -+=--=+，所以22n a n =+， 所以()22n a tn t n -=-+， 可得数列{}n a tn -是等差数列， 由6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立， 可得：660a t -≥，770a t -≤， 即()2620t -⨯+≥且()2720t -⨯+≤，解得：16773t ≤≤，所以实数t 的取值范围是167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由已知条件得出1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅再写一式可求得n a ，等差数列前n 项和最大等价于0n a ≥，10n a +≤，11．C解析：C 【分析】由题可得，S 60n n a +-=，根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，可求得{}n a 为等比数列，进而可求得本题答案. 【详解】因为点(),n n a S 在直线60x y +-=上，所以S 60n n a +-=. 当1n =时，1160a S +-=，得13a =；当2n ≥时，S 60n n a +-=①，1160n n a S --+-=②，①-②得，112n n a a -=， 所以数列{}n a 为等比数列，且公比12q =，首项13a =， 则()4414131124511812a q S q⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===--. 故选：C 【点睛】本题主要考查根据,n n a S 的关系式求通项公式n a 的方法.12．C解析：C 【分析】先利用1,1,2n n n S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，于是可求出n S ，再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<，利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值，可得出实数λ的取值范围． 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=， 12nn a a -∴=，所以，数列{}n a 为等比数列，且首项为1，公比为2，11122n n n a --∴=⨯=.12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-，由10n n S S λ+-<，得()()11111112121112221212221n nn n n n n S S λ+++++---<===----，所以，数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增，其最小项为122211213S S -==-，所以，13λ<， 因此，实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选C ． 【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列的通项，其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩，其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题，一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解，考查化归与转化问题，属于中等题．二、填空题13．23【分析】画出不等式组表示的平面区域数形结合判断出取最大值的点即可建立关系求出【详解】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分直线在轴上的截距为则由图可知即将化为观察图形可知当直线经过点时取得最大值解析：23 【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合判断出2z y x =-取最大值的点，即可建立关系求出. 【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，直线320x y c +-=在y 轴上的截距为2c，则由图可知12c≥，即2c ≥，将2z y x =-化为122z y x =+， 观察图形可知，当直线122zy x =+经过点A 时，z 取得最大值， 由210320x y x y c -+=⎧⎨+-=⎩解得27237c x c y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，故23221177c c +-⨯-=，解得23c =. 故答案为：23. 【点睛】方法点睛：线性规划常见类型， （1）y bz x a-=-可看作是可行域内的点到点(),a b 的斜率； （2）z ax by =+，可看作直线a zy x b b=-+的截距问题； （3）()()22z x a y b =-+-可看作可行域内的点到点(),a b 的距离的平方.14．9【分析】将已知等式变形为然后利用乘1法将进行变形利用基本不等式即可求得【详解】因为所以即又ab 为正数所以当且仅当时等号成立故的最小值等于故答案为：9【点睛】本题考查利用基本不等式求最值关键是将已知解析：9 【分析】 将已知等式变形为111a b+=，然后利用“乘1法”将4a b +进行变形，利用基本不等式即可求得. 【详解】因为(1)(1)1a b --=，所以0ab a b --=，即111a b+=. 又a ，b为正数，所以1144(4)1459b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当3a =，32b =时，等号成立. 故4a b +的最小值等于9. 故答案为：9 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，关键是将已知条件适当变形，得到111a b+=，以便利用“乘1法”，利用基本不等式求4a b +的最小值.利用基本不等式求最值要注意“正、定、等”的原则.15．【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角的关系由为锐角三角形得到角的范围进而利用二倍角公式得出的取值范围【详解】由已知得即为锐角三角形故答案为：【点睛】本题考查正弦定理的应用考查两角和与差的正弦解析：【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角A ，B 的关系，由ABC 为锐角三角形得到角A 的范围，进而利用二倍角公式得出ba的取值范围．【详解】由已知sin sin()sin (12cos )C A B A B =+=+sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B A A B ∴+=+得sin()sin B A A -=B A A ∴-=，即2B A =ABC 为锐角三角形 2,322B AC A B A ππππ∴=<=--=-<,cos 64A A ππ∴<<∴∈ sin 2sin cos2cos sin sin b B A A A a A A∴===∈故答案为： 【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查两角和与差的正弦公式，考查二倍角公式，属于中档题．16．【分析】根据面积关系建立方程关系结合基本不等式1的代换进行求解即可【详解】如图所示则的面积为即∴∴当且仅当即时取等号所以a+3c 的最小值为8+4故答案为：8+4【点睛】本题考查基本不等式的应用考查三解析：8+【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可. 【详解】如图所示，则ABC 的面积为111sin1202sin 602sin 60222ac a c =⋅+⋅︒︒︒， 即22ac a c =+，∴1112a c +=.∴3(3)a c a c +=+1132242(48c a a c a c ⎛⎫⎛⎫+⨯=⨯++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当33843c aa c a c ⎧=⎪⎨⎪+=+⎩即2232233a c ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩时取等号. 所以，a +3c 的最小值为8+43. 故答案为：8+43.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查三角形的面积公式和角平分线性质的应用，考查分析和计算能力，属于基础题.17．【分析】根据已知条件利用边角互化即可求得再由余弦定理结合均值不等式即可求得的最大值则面积的最大值可解【详解】因为故可得即则又因为故可得又故可得由余弦定理可得即当且仅当时取得等号故故答案为：【点睛】本 解析：()221【分析】根据已知条件，利用边角互化即可求得B ，再由余弦定理，结合均值不等式，即可求得ac 的最大值，则面积的最大值可解. 【详解】24cos 2sin a C c B =，22b =， 222a bcosC csinB =+，即sinA sinBcosC sinCsinB =+ 则cosBsinC sinCsinB =， 又因为sin 0C ≠，故可得1tanB =， 又()0,B π∈，故可得4B π=.由余弦定理可得2222222(22)b a c accosB a c ac ac =+-+≥--=, 即(422ac ≤+，当且仅当a c =时取得等号. 故(()112cos 422221222ABC S ac B =≤⨯⨯+=△.故答案为：()221【点睛】本题考查利用正余弦定理以及均值不等式求三角形面积的最值，属综合中档题.18．③④【分析】举出反例可判断①②；由同角三角函数的平方关系正弦定理可得再由余弦定理可判断③；由正弦定理可得再由三角形有两个可得且即可判断④；即可得解【详解】对于①当时满足此时△ABC 不是等腰三角形故①解析：③④ 【分析】举出反例可判断①、②；由同角三角函数的平方关系、正弦定理可得222a b c +<，再由余弦定理可判断③；由正弦定理可得8sin x A =，再由三角形有两个可得566A ππ<<且2A π≠，即可判断④；即可得解.【详解】 对于①，当3A π=，6B π=时，满足sin 2sin 2A B =，此时△ABC 不是等腰三角形，故①错误； 对于②，当23A π=，6B π=时，满足sin cos A B =，此时△ABC 不是直角三角形，故②错误；对于③，∵222sin sin cos 1A B C ++<，∴22222sin sin cos sin cos A B C C C ++<+， ∴222sin sin sin A B C +<，∴根据正弦定理得222a b c +<，∵222cos 02a b c C ab+-=<，()0,C π∈，∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形，故③正确；对于④，∵,4,6C c a x π===，∴根据正弦定理得481sin sin 2a c A C ===，∴8sin x A =，由题意566A ππ<<，且2A π≠，∴1sin 12A <<，∴48x ，即x 的取值范围为(4,8)，故④正确． 故答案为：③④． 【点睛】本题考查了三角函数及解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题.19．【解析】数列是等比数列公比为的前项和当且仅当时取等号又或时取最大值数列最大项的值为故答案为 解析：3【解析】数列{}n a 是等比数列，公比q 2=，n S 为{}n a 的前n 项和，219()n n n n S S T n N a *+-=∈ ，2111(12)(12)9812129222n nn nn na a T a --⋅---∴==--⋅822n n +≥=， 当且仅当822nn =时取等号， 又,1n N n *∈=或2 时，n T 取最大值19243T =--= ．∴ 数列{}n T 最大项的值为3 ．故答案为3 ．20．【分析】将绝对值相同的数字分为一组则每组数字个数构成等差数列然后计算原第2020项在这个数列的第几项再根据题意可得【详解】将绝对值相同的数字分为一组则每组数字个数构成等差数列因为则2020项前共包含 解析：64-【分析】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列n a n =，然后计算原第2020项在这个数列的第几项，再根据题意可得. 【详解】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列n a n =， 因为(1)6364202063201622n n n +⨯⇒⇒=， 则2020项前共包含63个完整组，且第63组最后一个数字为第2016项，且第2016项的符号为负，故2020项为第64组第4个数字，由奇偶交替规则，其为64-. 故答案为：64-. 【点睛】本题考查数列创新问题，解题关键是把绝对值相同的数字归为一组，通过组数来讨论原数列中的项，这借助于等差数列就可完成，本题考查了转化思想，属于中档题.三、解答题21．(1). 2()2f x x x =-；(2). 16m ≤- (3). 12t >或t = 【分析】(1).首先根据(1)()21f x f x x +-=-求得,a b 的值，再根据① ② ③ 解得c 的值； (2). 将任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立问题转化为2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立的问题，从而转化为最值问题进行求解；(3).将问题转化为方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根，接着对参数进行分类讨论即可. 【详解】(1)因为二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=- 又22(1)()(1)(1)2f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=++++---=++， 所以212x ax a b -=++，221a a b =⎧∴⎨+=-⎩解得：12a b =⎧∴⎨=-⎩因为二次函数2()2f x x x c =-+选① ：因为函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点，所以2(1)11f c -=+=-0c ∴=；选② ：因 为 函数(1)f x +是偶函数,所以22(1)=(1)2(1)1f x x x c x c ++-++=+-,所以c 取任意值.选③ ：设 12,x x 是函数()f x 的两个零点，则122x x -=， 由韦达定理可知：12122,x x x x c +==所以122x x -=解得：0c；综上：()f x 的解析式为2()2f x x x =-.(2) 因为对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立,32(log )m f x ∴≤-，[]31,27,log 2,39x x ⎡⎤∈∴∈-⎢⎥⎣⎦令3log t x =， 原不等式等价于2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立min (2())2(2)16m f t f ∴≤-=--=-,所以实数m 的取值范围为16m ≤-. (3) 因为函数()()(21)3232xxg x t f =--⨯-有且仅有一个零点，令30x m =>，所以方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根， 因为2()2f x x x =-即2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根，当21=0t -即12t =时，220m --=解得1m =-不合题意； 当210t ->即12t >时，2(21)420t m tm ---=表示的二次函数对应的函数图像是开口向上的抛物线，又恒过点(0,2)-，所以方程2(21)420t m tm ---=恒有一个正实根;当210t -<即12t时， 要想2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根，只有()21682102021t t tx t ⎧=+-=⎪⎨=>⎪-⎩对解得：t =， 综上：实数t 的取值范围为12t >或12t -=. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 22．（1）3601808204ky k x x =---+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈；（2）4-；（3）0.65 【分析】（1）根据已知条件列出关系式，即可得出答案； （2）由()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡⎤=---=+-++⎢⎥++⎣⎦，进而结合基本不等式求出()4544kx x +++的最小值，此时y 取得最大值，从而可求出答案； （3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，可知36018082004kk x x ---≥+在[0,10]x ∈上恒成立，利用参变分离，可得()()20841802x x k x ++≥+，求出()()20842x x x +++的最大值，令()()max20841802x x k x ++⎡⎤≥⎢⎥+⎣⎦，即可得出答案. 【详解】 （1）由题意，80(20950)y x t x t =+-++30820t x =--123068204k x x ⎛⎫=⋅--- ⎪+⎝⎭3601808204kk x x =---+，即3601808204ky k x x =---+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈.（2）()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡⎤=---=+-++⎢⎥++⎣⎦， 因为[0,10]x ∈，所以4414x ≤+≤，所以()4544k x x ++≥=+4544k x x +=+，即4x =时，等号成立.所以()451801284180124k y k x k x ⎡⎤=+-++≤+-⎢⎥+⎣⎦故政府补贴为4万元才能使A 公司的防护服利润达到最大，最大为18012k +-.（3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，则36018082004k k x x ---≥+在[0,10]x ∈上恒成立，不等式整理得，()()20841802x x k x ++≥+， 令2m x =+，则[]2,12m ∈，则()()()()208484288202x x m m m x m m ++++==+++， 由函数()8820h m m m=++在[]2,12上单调递增，可得()()max 821281*********h m h ==⨯++=+， 所以21801163k ≥+，即211630.65180k +≥≈. 所以当复工率k 达到0.65时，对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损.【点睛】本题考查函数模型及其应用，考查利用基本不等式求最值，考查不等式恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.23．（1）π3；（2）()1,4. 【分析】 （1）利用正弦定理和三角恒等变换化简已知即得解；（2）先求出ππ62C <<，再利用正弦定理求出1b =. 【详解】（1）因为22cos b c a C -=，由正弦定理得2sin sin 2sin cos B C A C -=，又()()sin sin πsin B A C A C =-+⎡=⎤⎦+⎣，所以()2sin cos cos sin sin 2sin cos A C A C C A C +-=，所以2cos sin sin 0A C C -=.因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =. 因为()0,πA ∈， 所以π3A =. （2）由（1）得π3A =， 根据题意得π0,2ππ,32C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得ππ62C <<. 在ABC 中，由正弦定理得sin sin c b C B=，所以π2sin sin 31sin sin C c B b C C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭====. 因为ππ62C <<，所以tan C ⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0,3，所以()11,4+. 故b 的取值范围为()1,4.【点睛】易错点睛：本题求b 的取值范围，利用的是函数的方法，学生容易把C 的范围求错，简单认为(0,)2C π∈，解不等式π0,2ππ,32C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩得到的才是正确范围. 24．（1）3π；（2） 【分析】（1）根据降幂公式和升幂公式可求得结果；（2）利用正弦定理边化角得到)6a c A π+=+，根据角A 的范围可得结果.【详解】（1）由2cos 212sin 2B B +=，得22cos 1cos B B =-， 得(2cos 1)(cos 1)0B B -+=， 得1cos 2B =或cos 1B =-（舍）， 因为0B π<<，所以3B π=. （2）由正弦定理可得2sin ,2sin a A cC == 所以22(sin sin )2(sin sin())3a c A C A A π+=+=+- 222sin 2sin cos 2cos sin 33A A A ππ=+-2sin sin A A A =++3sin A A =1sin cos )22A A =+6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得当3A π=时，a c +最大为 【点睛】关键点点睛：利用正弦定理边化角得到)6a c A π+=+是解题关键.25．（Ⅰ）21n a n =-，*n ∈Z ，2n S n =；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，可得{}n a 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式及前n 项和公式计算可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得212n n b -=，即可求出{}n b 的前n 项和为n T ，则11131124141n n n n n b T T +++⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，再利用裂项相消法求和得出12n A <，再利用放缩法21111n n n <--得到122n B n<-<，即可得证； 【详解】解：（Ⅰ）∵141n n n S a a +=⋅+，11a =，∴11241S a a =⋅+，∴23a =，当2n ≥时，有1141n n n S a a --=+，∴11144n n n n n n S S a a a a ++--=-，∴()114n n n n a a a a +-=-，∵0n a ≠，∴114n n a a +--=∴数列{}n a 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，2114(1)2(21)1n a n n -=+-=--，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，234(1)221n a n n =+-=⋅-，∴21n a n =-，*n ∈Z ，∴()21212n n n S n +-==． （Ⅱ）因为2n a n b =，所以212n n b -=，()1352122222413n n n T -=+++⋅⋅⋅+=-， ()()()()2111111294311222241414141414133n n n n n n n n n n n b T T ++++++⎛⎫===- ⎪----⎝⎭--， 1n =时，125A =，11B =，1152A B +<． 2n ≥时，2231311311311241412414124141n n n A +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 113111311234122412n n ++⎛⎫=+=-⋅< ⎪--⎝⎭． 22111111111112222231n B n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴52n n A B +<∴52n n A B +<，n *∈N ． 【点睛】数列求和的方法技巧 (1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．26．（1）21n a n =-；（2）()12326n n T n +=-⨯+.【分析】（1）由等差数列的前n 项和公式，等比数列的性质列出关于1a 和d 的方程组，解方程组后可得通项公式n a ；（2）由等差数列通项公式求得2log n b 后得n b ，然后由错位相减法求得和n T ．【详解】（1）设{}n a 公差为d ，则()()11211154525122124n a d a a n d a d a a d ⨯⎧+==⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨=⎩⎪+=+⎩. （2）由题意2log 11(1)n b n n =+⨯-=，2n n b ∴=()2323252212n n T n =+⨯+⨯++-⨯，（1） ()2341223252212n n T n +=+⨯+⨯++-⨯，（2）（1）－（2）得：2312222222(21)2n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯118(12)2(21)212n n n -+-=+--⨯-， ()12326n n T n +=-⨯+.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．。
北师大版高中数学必修五第二学期期中质量检测.docx
宿州市13校2013-2014学年度第二学期期中质量检测高一数学一、选择题（共10题，每题5分，共50分）1.已知数列135731121,...n -，，，，，，..., ，则5是这个数列的（ ） A.第12项 B.第13项 C.第14项 D.第25项 2．不等式01xx ≤+的解集为（ ） A.[-1,0] B. [-1,0) C. (-1,0] D. R 3.已知0a b >> ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 2a ab < B.11a b > C. a b < D. 11()()22a b < 4.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2sin c a C =，则角A 为（ ） A. 030或060 B. 045或060 C. 0120或060 D. 030或01505.设实数,x y 满足约束条件011x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A. 1-B.1C. 3 D06.若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆的形状为（ ） A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C 一定是钝角三角形. D.形状不定7.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠且139,,a a a 成等比数列，则2410138a a a a a a ++=++（ ）A.1514 B. 43 C. 34 D. 16158.若ABC ∆的三个顶点是(5,0),(3,3),(0,2)A B C --，则ABC ∆的面积为（ ） A.312B.31C.23D.46 9.等比数列{}n a 的各项均为正数，若299a a ⋅=，则3132310log log ...log a a a +++= A.12 B.10 C.8 D 32log 5+10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若67S S <，78S S =，89S S >则下列说法错误的是（ ）A. 0d <B. 80a =C. 106S S >D. 7S 和8S 均为n S 的最大值 二、填空题（共5题，每题5分）11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若53a =，则9___S =12.已知数列{}n a 的前n 项和为31nn S =-，那么____n a =13.如图，某人在电视塔CD 的一侧A 处测得塔顶的仰角为030，向前走了1003米到达处测得塔顶的仰角为060，则此塔的高度为__________米14.设点(,)P x y 在函数42y x =-的图像上运动，则93x y+的最小值为____________ 15.有以下五种说法：（1）设数列{}n a 满足111,21n n a a a +==+，则数列{}n a 的通项公式为21nn a =-（2）若,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边长，2220a b c +-<，则ABC ∆一定是钝角三角形（3）若,A B 是三角形ABC ∆的两个内角，且sin sin A B <,则BC AC < （4）若关于x 的不等式0ax b -<的解集为(1,)+∞，则关于x 的不等式02bx ax +<+的解集为(2,1)--（5）函数4sin (0)sin y x x xπ=+<<的最小值为4 其中正确的说法为_________(所有正确的都选上) 三、 解答题（共75分）16.已知二次函数2()f x x px q =++，不等式()0f x <的解集是(2,3)- （1）求实数p 和q 的值； （2）解不等式210qx px ++>17.已知数列{}n a 的前n 项的和为(1)n S n n =+ （1）求证：数列{}n a 为等差数列； （2）求12111...nS S S +++ 18.已知,,a b c 是ABC ∆的三边长，且222a b c ab +-= （1）求角C （2）若6,3a c ==，求角A 的大小。
高中数学 模块综合评估2(含解析)北师大版必修5-北师大版高二必修5数学试题
模块综合评估(二)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a 9＋a 10＋a 11的值为( C ) A ．39 B ．40 C ．57 D ．58解析：a 9＋a 10＋a 11＝S 411－S 8＝112＋1－82－1＝57. 2．已知a <b <c ，且a ＋b ＋c ＝0，则( A )A ．b 2－4ac >0 B ．b 2－4ac ＝0 C ．b 2－4ac <0 D ．b 2－4ac 的正负不确定 解析：∵a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，∴a <0，c >0，∴ac <0，∴b 2－4ac >0.3．已知△ABC 的三边长分别是2m ＋3，m 2＋2m ，m 2＋3m ＋3(m >0)，则该三角形最大内角的度数是( C )A ．150° B．135° C．120° D．90°解析：设最大内角为θ，由于m 2＋3m ＋3>m 2＋2m ，m 2＋3m ＋3>2m ＋3.故由边角关系可知长为m 2＋3m ＋3的边所对的角最大．由余弦定理得cos θ＝2m ＋32＋m 2＋2m 2－m 2＋3m ＋3222m ＋3m 2＋2m ＝－12，故θ＝120°.4．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( C )A ．0B ．4C ．－4D ．－2解析：由a >0，b >0，1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0，得k ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )恒成立，而－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝－⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≤－⎝⎛⎭⎪⎫2＋2b a ·a b ＝－4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴k ≥－4. 5．在△ABC 中，三边长分别为m －2，m ，m ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( B )A.154B.1534C.2134D.3534 解析：由最大角的正弦值为32，知这个角为60°或120°，由三角形不是等边三角形，得最大角为120°，根据余弦定理得(m －2)2＋m 2－2m (m －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(m ＋2)2，解得m ＝5，则△ABC 的三边长分别为3,5,7，故这个三角形的面积为12×3×5×32＝1534.6．等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数也为定值的是( C )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15解析：由a 2＋a 8＋a 11＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7，知a 7为一个定值，∴S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7也为定值．7．若关于x 的不等式x 2＋ax －a －2>0和2x 2＋2(2a ＋1)x ＋4a 2＋1>0的解集依次为A 和B ，那么，使得A ＝R 和B ＝R 至少有一个成立的实常数( B )A ．可以是R 中的任何一个数B ．有无穷多个，但并不是R 中所有的实数都能满足要求C ．有且仅有一个D ．不存在解析：A ＝R ，则Δ1＝a 2＋4(a ＋2)<0成立，显然是不可能的，即这样的a ∈∅；B ＝R ，则Δ2＝4(2a ＋1)2－8(4a 2＋1)<0成立，即(2a －1)2>0，因而存在无穷多个实常数，但a ≠12能使上述不等式恒成立，从而选B.8．已知等比数列{a n }的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学经计算得S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为( C )A ．S 1B ．S 2C ．S 3D ．S 4解析：根据a 1＝8，S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，得81－q21－q＝20，81－q 31－q＝36，81－q 41－q＝65，整理得q ＝32，q 2＋q －72＝0，(1＋q )(1＋q 2)＝658.当q ＝32时，q 2＋q －72＝14，(1＋q )(1＋q 2)＝658，故S 3是错误的．9．已知(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y ≤0，则32x ＋12y 的最大值为( D ) A ．6 B ．24 C ．13 D ．2解析：画出不等式组表示的可行域，根据图形和线性规划知识可知，当x ＝1，y ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋12y max ＝2. 10．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( D )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：因为a ，b 为函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧p 2－4q >0，a ＋b ＝p ，ab ＝q ，所以a >0，b >0，所以当－2在中间时，a ，b ，－2这三个数不可能成等差数列，且只有当－2在中间时，a ，b ，－2这三个数才能成等比数列．经分析知，a ，b ，－2或b ，a ，－2或－2，a ，b 或－2，b ，a 成等差数列，a ，－2，b 或b ，－2，a 成等比数列．不妨取数列a ，b ，－2成等差数列，a ，－2，b 或b ，－2，a 成等比数列，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝2b ，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－2(舍去)，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5，q ＝4，故p ＋q ＝9.11．已知点A (1，－1)，B (4,0)，C (2,2)，平面区域D 是由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1<λ≤a,1<μ≤b )的点P (x ，y )组成的区域，若区域D 的面积为8，则4a ＋b 的最小值为( C )A ．5B ．4 2C ．9D ．5＋4 2解析：如图，延长AB 到点N ，延长AC 到点M ，使得|AN |＝a |AB |，|AM |＝b |AC |，作CH 与AN ，BF 与AM ，NG 与AM ，MG 与AN 分别平行，且CH 交BF 于点E ，则四边形ABEC ，ANGM ，EFGH 均为平行四边形，由题意可得点P (x ，y )组成的区域D 为图中阴影部分，即四边形EFGH ，因为AB →＝(3,1)，AC →＝(1,3)，BC →＝(－2,2)，则|AB →|＝|AC →|＝10，|BC →|＝22，由余弦定理可得cos ∠CAB ＝35，则sin ∠CAB ＝45，所以四边形EFGH 的面积为(a －1)10×(b －1)10×45＝8，化简整理可得1a ＋1b＝1，所以4a ＋b ＝(4a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝5＋b a ＋4a b≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝32，b ＝3时，等号成立，此时4a ＋b 取得最小值9.12．{a n }是公比为q (q >0且q ≠1)的等比数列，S n 是它的前n 项和．记T n ＝a nS n，则( D ) A ．T 3≤T 6 B ．T 3<T 6 C ．T 3≥T 6 D ．T 3>T 6解析：由已知得S n ＝a 11－q (1－q n)，a n ＝a 1q n －1，则T n ＝q n －11－q 1－qn，因为1－q 与1－q n同号，所以T n >0，则T 3T 6＝1＋q 3q3>1，所以T 3>T 6.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．已知－π<α<π4，－π2<β<2π3，则α－2β的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3，5π4.解析：根据－π2<β<2π3，得－4π3<－2β<π.又∵－π<α<π4，∴－7π3<α－2β<5π4.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b cos B 是a cos C ，c cos A 的等差中项，则B 的大小为π3.解析：由三角形射影定理，得a cos C ＋c cos A ＝b .又b cos B 是a cos C ，c cos A 的等差中项，所以a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，于是2b cos B ＝b ，所以cos B ＝12，故B ＝π3.15．已知点A (a,3)，B (－1，－a )，不等式3x －y ＋1<0表示的平面区域与线段AB 无公共点，则实数a 的取值范围为[2，＋∞)．解析：根据题意知A (a,3)，B (－1，－a )都在不等式3x －y ＋1≥0表示的平面区域内，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －3＋1≥0，－3＋a ＋1≥0，解得a ≥2.16．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10≥0，x －y －6≤0，x ＋3y －6≤0表示的平面区域为D ，若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[3，＋∞)．解析：作出平面区域D 和对数函数的图像如下图所示，其中A (4，－2)，B (3,1)，若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像上存在区域D 上的点，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 3≤1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 4≥－2，解得a ≥3或0<a ≤12.故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[3，＋∞)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)证明：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.证明：∵(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2－(a 2c 2＋b 2d 2＋2acbd )＝a 2d 2＋b 2c 2－2acbd ＝(ad －bc )2≥0，∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时取等号．18．(本小题12分)围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙时需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单元：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．解：(1)设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360. 由已知得xa ＝360，则a ＝360x ，故y ＝225x ＋3602x－360(x >0)．(2)∵x >0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10 800，∴y ＝225x ＋3602x－360≥10 440，当且仅当225x ＝3602x，即x ＝24时，等号成立．故旧墙的长度为24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．19．(本小题12分)在等差数列{a n }中，若前n 项和为S n ，首项a 1＝4，S 9＝0. (1)若a n ＋S n ＝－10，求n 的值；(2)设b n ＝2|a n |，求使不等式b 1＋b 2＋…＋b n >2 009成立的最小正整数n 的值． 解：(1)由S 9＝9a 1＋36d ＝0，a 1＝4，得d ＝－1，∴a n ＝5－n . 由a n ＋S n ＝－10，得5－n ＋4n ＋n n －12×(－1)＝－10，即n 2－7n －30＝0，解得n ＝10(n ＝－3舍去)． (2)由题意知b n ＝2|5－n |.若n ≤5，则b 1＋b 2＋…＋b n ≤b 1＋b 2＋…＋b 5＝31，不合题意，故n >5. b 1＋b 2＋…＋b n ＝31＋22n －5－12－1>2 009，∴2n －5>990，则n －5≥10，n ≥15.∴使不等式成立的最小正整数n 的值为15.20．(本小题12分)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足3a －2b sin A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝7，a ＝3，求c 的值； (3)若b ＝7，求△ABC 的面积的最大值．解：(1)∵3a －2b sin A ＝0，∴3sin A －2sin B sin A ＝0. ∵sin A ≠0，∴sin B ＝32.又∵B 为锐角，∴B ＝π3. (2)由(1)知B ＝π3.又∵b ＝7，∴根据余弦定理，得7＝a 2＋c 2－2ac ·cos π3，整理，得(a ＋c )2－3ac ＝7.又∵a ＝3，∴c ＝2或c ＝1.(3)S ＝12ac sin B ＝34ac ，∵a 2＋c 2－ac ＝7，∴ac ≤7，∴△ABC 的面积的最大值为734.21．(本小题12分)设f (x )＝2xx 2＋6. (1)若关于x 的不等式f (x )>k 的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若当x >0时，不等式f (x )<k 恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)由2x x 2＋6>k 得kx 2－2x ＋6k <0. 因为－2，－3是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧k <0，2k＝－2＋－3，解得k ＝－25.(2)因为x >0，所以f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤22 x ·6x＝66， 当且仅当x ＝6时，上式取等号． 故f (x )max ＝66. 所以使k >f (x )恒成立的k 的取值范围为k >66. 22．(本小题12分)数列{a n }，{b n }的每一项都是正数，a 1＝8，b 1＝16，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列．(1)求a 2，b 2的值；(2)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(3)记1c n ＝1a n ＋1a n ＋1，证明：对一切正整数n ，都有1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n <38.解：(1)由2b 1＝a 1＋a 2，可得a 2＝2b 1－a 1＝24.由a 22＝b 1b 2，可得b 2＝a 22b 1＝36.(2)因为a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，所以2b n ＝a n ＋a n ＋1 ①. 因为b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，所以a 2n ＋1＝b n b n ＋1.又数列{a n }，{b n }的每一项都是正数，所以a n ＋1＝b n b n ＋1 ②. 于是当n ≥2时，有a n ＝b n －1b n ③.将②③代入①，可得当n ≥2时，2b n ＝b n －1＋b n ＋1，因此数列{b n }是首项为b 1＝4，公差为b 2－b 1＝6－4＝2的等差数列，所以b n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，于是b n ＝4(n ＋1)2. 则当n ≥2时，a n ＝b n －1b n ＝4n 2·4n ＋12＝4n (n ＋1)．当n ＝1时，a 1＝8，满足上式，所以对一切正整数n ，都有a n ＝4n (n ＋1)．(3)证法1：1a n＝14n 2＋4n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<38.证法2：1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14n n ＋1＋14n ＋1n ＋2＝12n n ＋2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. 于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<38.。
【北师大版】高中数学必修五期末试卷(带答案)(2)
一、选择题1．已知()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,4B ．[)0,4C ．()0,2D ．[)0,22．已知2244x y +=，则2211x y +的最小值为（ ） A ．52B ．9C ．1D ．943．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-14．设x ，y 满足约束条件103030x y x y y -+≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A ．-1B ．2C ．4D ．55．ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，a =tan C 等于（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43-6．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22tan tan B Cb c=，则ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形或直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形7．在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若222a c b +=+，则cos sin A C +的取值范围为（ ）A．32⎫⎪⎪⎝⎭B．2⎫⎪⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D．)28．ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等差数列，且2C A =，若AC边上的中线2BD =，则△ABC 的周长为（ ） A ．15B ．14C ．16D ．129．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若点(),n n a S ，在直线60x y +-=上，则4S =（ ） A ．92B ．254C ．458D ．40910．在等比数列{}n a 中，若1234531a a a a a ++++=，2345662a a a a a ++++=，则通项n a 等于（ ） A ．12n -B ．2nC ．12n +D ．22n - 11．设{}n a 为等差数列，122a =，n S 为其前n 项和，若1013S S =，则公差d =( ) A ．-2B ．-1C ．1D ．212．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x )=3f (x +2)，且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，设f (x )在[2n -2,2n )上的最大值为*()n a n N ∈，且数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n <k 对任意的正整数n均成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．27,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．27,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．27,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．若正实数x 、y 、z ，满足3z x y +=，4z y x +=，则x yx y z++-的最小值为_______.14．若x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则z =__________．15．若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为______.16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1a =，3B π=，当ABC ∆的面积等tan C =__________．17．在三角形ABC 中，D 为BC 边上一点，且2BD CD =，AD BD =，则2tan cos BAC B ∠⋅的最大值为__________．18．如图，在ABC 中，点D 是边BC 上的一点，1DC =，2AC =，3BD =，120BAD ∠=︒，则AB 的长为________.19．无穷数列{}n a 满足：只要()*,p q a a p q N=∈，必有11p q aa ++=，则称{}n a 为“和谐递进数列”．已知{}n a 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，151a a ==，22a =，则2021S =_________．20．对于数列{}n a ，存在x ∈R ，使得不等式()2*144n na x x n N a +≤≤-∈成立，则下列说法正确的有______.（请写出所有正确说法的序号）. ①数列{}n a 为等差数列； ②数列{}n a 为等比数列； ③若12a =，则212n na -=；④若12a =，则数列{}n a 的前n 项和21223n n S +-=.三、解答题21．已知函数2()(21)f x ax a x c =-++，且(0)2f =. （1）若()0f x <的解集为{|28}x x <<，求函数()f x y x=的值域； （2）当0a >时，解不等式()0f x <.22．在观察物体时，从物体上、下沿引出的光线在人眼处所成的夹角叫视角．研究表明，视角在[26,30]︒︒范围内视觉效果最佳．某大广场竖立的大屏幕，屏幕高为20米，屏幕底部距离地面11.5米．站在大屏幕正前方，距离屏幕所在平面x 米处的某人，眼睛位置距离地面高度为1.5米，观察屏幕的视角为θ（情景示意图如图所示）．（1）为探究视觉效果，请从sin θ，cos θ，tan θ中选择一个作为y ，并求()y f x =的表达式；（2）根据（1）的选择探究θ是否有达到最佳视角效果的可能． 23．已知函数()2π2sin cos 6f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知()14f A =，1a =，求ABC 的面积的取值范围．24．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C的对边．若2,cos 7b c C -==，再从条件①与②中选择一个作为已知条件，完成以下问题： （1）求,b c 的值；（2）求角A 的值及ABC 的面积． 条件①：cos cos a B b A +=；条件②：2cos 2b C a =-． 25．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2232S a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和. 26．已知数列{}n a 满足11a =，1nn n a pa q +=+，（其中p 、q 为常数，*n N ∈）.（1）若1p =，1q =-，求数列{}n a 的通项公式； （2）若2p =，1q =，数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .证明：22n T n <+，*n N ∈.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由对数函数的单调性可得210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠求解. 【详解】()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，即232ax ax ++>，即210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立， 当0a =时，10>恒成立，满足题意，当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<， 综上，a 的取值范围为[)0,4. 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是得出210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立. 2．D解析：D 【分析】利用22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后应用基本不等式可得最小值． 【详解】由题意22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222141955444y x x y ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当22224y x x y =，即2242,33x y ==时等号成立．故选：D ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．3．C解析：C 【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】 作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值，解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得1x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的约束条件画出可行域； （2）根据目标函数的意义找到最优解； （3）解方程组求得最优解的坐标； （4）代入求得最小值，得到结果.4．B解析：B 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】解：由约束条件103030x y x y y -+⎧⎪-⎨⎪-⎩作出可行域如图，化目标函数z x y =+为y x z =-+，由图可知，当直线y x z =-+过点A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值． 联立1030x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得1(2A ，3)2．z ∴的最小值为13222+=．故选：B ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．5．D解析：D 【分析】首先根据正弦定理面积公式和余弦定理得到sin 2cos 2C C -=，再利用同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】由题知：222()S a b c =+-，所以222sin 2=++-ab C a b ab c ，整理得：222sin 222-+-=C a b c ab，即sin 2cos 2C C -=. 所以()2sin 2cos 4C C -=， 23cos 4sin cos 3-=C C C .2223cos 4sin cos 3sin cos -=+C C CC C，234tan 3tan 1-=+C C ，得23tan 4tan 0C C +=. 因为0C π<<，所以4tan 3C =-. 故选：D 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查了正弦定理面积公式和同角的三角函数，属于中档题.6．A解析：A 【分析】由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin 2sin 2B C =，可得22B C =，或22B C π+=，解得B C =，或2B C π+=，即可判断ABC ∆的形状．【详解】22tan tan B Cb c =， ∴22sin sin cos cos B C b B c C =，由正弦定理可得：22cos cos b cb Bc C=，可得：cos cos b B c C =，可得sin cos sin cos B B C C =，可得：sin 2sin 2B C =，22B C ∴=，或22B C π+=，B C ∴=，或2B C π+=，ABC ∆∴的形状为等腰三角形或直角三角形． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7．A解析：A 【分析】 由余弦定理求得6B π=，并求得32A ππ<<，利用三角恒等变换思想将cos sin A C +化为以角A 为自变量的正弦型函数，利用正弦函数的基本性质可求得cos sin A C +的取值范围. 【详解】由222a cb +=+和余弦定理得222cos 2a c b B ac +-==，又()0,B π∈，6B π∴=.因为三角形ABC 为锐角三角形，则0202A C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即025062A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得32A ππ<<，1cos sin cos sin cos sin cos cos 6622A C A A A A A A Aπππ⎛⎫⎛⎫+=+--=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3cos 223A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 32A ππ<<，即25336A πππ<+<，所以，1sin 23A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，则3cos sin 22A C <+<，因此，cos sin A C+的取值范围是32⎫⎪⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查三角形中代数式取值范围的计算，涉及利用余弦定理求角，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将代数式转化为以某角为自变量的三角函数来求解，考查计算能力，属于中等题.8．A解析：A 【分析】由已知结合等差数列的性质及二倍角公式，正弦定理及余弦定理进行化简，即可求得结果. 【详解】由a ，b ，c 成等差数列可知，2b a c =+， 因为2C A =，所以sin sin 22sin cos C A A A ==，由正弦定理及余弦定理可得，22222b c a c a bc+-=⋅，所以2223bc ab ac a =+-， 所以32c a =，54b a =， 若AC边上的中线2BD =， 所以2225379242a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解可得4a =，5b =，6c =， 故△ABC 的周长为15. 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，等差数列的条件，以及边角关系，属于简单题目.9．C解析：C 【分析】由题可得，S 60n n a +-=，根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，可求得{}n a 为等比数列，进而可求得本题答案. 【详解】因为点(),n n a S 在直线60x y +-=上，所以S 60n n a +-=. 当1n =时，1160a S +-=，得13a =；当2n ≥时，S 60n n a +-=①，1160n n a S --+-=②，①-②得，112n n a a -=， 所以数列{}n a 为等比数列，且公比12q =，首项13a =，则()4414131124511812a q S q⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===--. 故选：C 【点睛】本题主要考查根据,n n a S 的关系式求通项公式n a 的方法.10．A解析：A 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62， ∴q=2，∴a1(1+q+q 2+q 3+q 4)=31， 则a 1=1， 故an=2n−1. 故选A.11．A解析：A 【分析】由题意结合等差数列的性质和前n 项和的定义求解公差即可. 【详解】由题意可得：12111213131030a a a a S S =++=-=， 则120a =，等差数列的公差121022212111a a d --===--. 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查数列的前n 项和与通项公式的关系，等差数列公差的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．B解析：B 【分析】运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得[0,2]x ∈的()f x 的最大值，由递推式可得数列{}n a 为首项为94，公比为13的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k 的最小值 【详解】解：当[0,2]x ∈时，且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，可得01x ≤<时，()f x 的最大值为(0)2f =，12x <≤时，()f x 的最大值为39()24f =，即当[0,2]x ∈时，()f x 的最大值为94， 当24x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为912，当46x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为936，……可得数列{}n a 为首项为94，公比为13的等比数列， 所以91(1)2712743(1)183813n n nS -==-<-， 由S n <k 对任意的正整数n 均成立，可得278k ≥， 所以实数k 的取值范围为27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 故选：B 【点睛】此题考查分段函数的最值求法和等比数列的求和公式，以及不等式恒成立问题的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题二、填空题13．【分析】由已知条件得出由得出可得出利用基本不等式可求得所求代数式的最小值【详解】已知实数均为正实数且可得所以可得令则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最1- 【分析】 由已知条件得出43y x =，2443z x x =-，由0z >得出03x <<，可得出71143x y x y t z t ++-=+-，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.【详解】已知实数x 、y 、z 均为正实数，且3z x y +=，4zy x+=，可得34z y xy x xy =-=-，43y x ∴=，所以，2443z x x =-，()2717134343343xx y x y x x z x x x +∴+-=-=---，()24443033z x x x x =-=->，可得03x <<，令()30,3t x =-∈，则3x t =-，所以，()()71717131114334343x y x y x t t z x t t ++-=-=--=+-≥=--.当且仅当2t =时，等号成立， 因此，x y x y z ++-的最小值为13-.故答案为：13-. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．【分析】画出满足条件的平面区域结合的几何意义以及点到直线的距离求出的最小值即可【详解】画出满足约束条件的平面区域如图所示：而的几何意义表示平面区域内的点到点的距离显然到直线的距离是最小值由得最小值是【分析】画出满足条件的平面区域，结合z =z 的最小值即可． 【详解】画出x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，的平面区域，如图所示：而22(4)z x y =++()40-，的距离， 显然()40-，到直线240x y -+=的距离是最小值， 由844541d -+==+45， 故答案为455． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．15．1【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则表示直线在轴的截距当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划问题意在考查学生的解析：1 【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，z x y =+，则y x z =-+，z 表示直线在y 轴的截距， 当直线过点()0,1时，即0,1x y ==时，z 有最大值为1. 故答案为：1.【点睛】本题考查了线性规划问题，意在考查学生的应用能力，画出图像是解题的关键.16．【解析】由题意即则所以由余弦定理所以所以应填答案点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边进而运用余弦定理求出边然后再运用余弦定理求出进而求出最后求出 解析：3-【解析】 由题意1sin 323ac π=334c =⇒=，则1116214132b =+-⨯⨯⨯=，所以由余弦定理cos 211313C ==⨯⨯112sin 11313C =-=23tan (13)2313C =-=-3- 点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边4c =，进而运用余弦定理求出边1116214132b =+-⨯⨯⨯=，然后再运用余弦定理求出cos 211313C ==⨯⨯，进而求出112sin 11313C =-=23tan (13)2313C =-=- 17．【分析】设则在△ABD 和△ACD 中由正弦定理化简可得由两角差的正弦公式化简可得根据正弦函数的值域即可求解的最大值【详解】如图由已知设则在△ABC 中由正弦定理可得:在△ACD 中由正弦定理可得:所以化简解析：32【分析】设,BD x =则,2xAD x CD ==,在△ABD 和△ACD 中,由正弦定理化简可得3sin 2sin cos 22sin sin()x x B B BBAC BAC B ⋅⋅=∠∠-,由两角差的正弦公式,化简可得23tan cos sin 22BAC B B ∠⋅=,根据正弦函数的值域即可求解2tan cos BAC B ∠⋅的最大值.【详解】如图,由已知,设,BD x =则,2x AD x CD ==, 在△ABC 中,由正弦定理可得: 32sin sin xb BAC B=∠, 在△ACD 中,由正弦定理可得: 2sin()sin 2xb BAC B B=∠-. 所以3sin 2sin cos 2sin cos 222=sin sin()sin cos cos sin x x x B B B B BBAC BAC B BAC B BAC B⋅⋅⋅=∠∠-∠-∠ 化简可得:tan cos 3sin BAC B B ∠⋅=,可得: 233tan cos sin 222BAC B B ∠⋅=≤. 可得2tan cos BAC B ∠⋅的最大值为32.【点睛】本题考查正弦定理在解三角形和化简中的应用,能借助公共边把两个三角形联系起来是解答本题的关键,属于中档题.18．【分析】在两个三角形中利用余弦定理建立等量关系式整理得出结合题中所给的条件利用余弦定理建立等量关系式求得结果【详解】因为所以可得在△中所以整理得出所以所以故答案为：【点睛】该题考查的是有关解三角形的 解析：77【分析】在两个三角形中，利用余弦定理，建立等量关系式，整理得出2AB AD =，结合题中所给的条件，利用余弦定理建立等量关系式，求得结果. 【详解】因为cos cos ADB ADC ∠=-∠，所以2229142321AD AB AD AD AD+-+-=-⨯⨯⨯⨯，可得2AB AD =， 在△ABD 中，2222cos BD AD AB AD AB BAD =+-⨯⨯∠，所以22192()422AB AB AB AB =+-⨯⨯⨯-，整理得出2794AB =，所以2367AB =，所以AB =，. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理解三角形，属于简单题目.19．7576【分析】根据新定义得数列是周期数列从而易求得【详解】∵成等比数列∴又为和谐递进数列∴…∴数列是周期数列周期为4∴故答案为：7576【点睛】本题考查数列新定义解题关键是由数列新定义性质得出数列解析：7576 【分析】根据新定义得数列是周期数列，从而易求得2021S ． 【详解】∵1234,,,a a a a 成等比数列，121,2a a ==，∴344,8a a ==，又15a a =，{}n a 为“和谐递进数列”，∴26a a =，37a a =，48a a =，59a a =，…， ∴数列{}n a 是周期数列，周期为4． ∴2021505(1248)17576S =⨯++++=． 故答案为：7576． 【点睛】本题考查数列新定义，解题关键是由数列新定义性质得出数列为周期数列，从而易得结论．20．②③④【分析】由题意可得存在使求得值可得再由等比数列的定义通项公式及前项和逐一核对四个命题得答案【详解】解：由存在使得不等式成立得即则则数列为等比数列故①错误②正确；若则故③正确；若则数列的前项和故解析：②③④ 【分析】由题意可得，存在x ∈R ，使244x x -，求得x 值，可得14n na a +=，再由等比数列的定义、通项公式及前n 项和逐一核对四个命题得答案． 【详解】解：由存在x ∈R ，使得不等式2*144()n na xx n N a +-∈成立， 得244x x -，即2440x x -+，则2(2)0x -，2x ∴=．∴14n na a +=． 则数列{}n a 为等比数列，故①错误，②正确； 若12a =，则121242n n n a --==，故③正确；若12a =，则数列{}n a 的前n 项和212(14)22143n n n S +⨯--==-，故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查等比数列的判定，训练了等比数列通项公式与前n 项和的求法，属于中档题．三、解答题21．（1）91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）答案见解析.【分析】（1）由()0f x <的解集转化为2和8是方程2(21)20ax a x -++=的两根，求得18a =，得出()12584f x x x x =+-，再分0x >和0x <两种情况，结合基本不等式，即可求解； （2）由题意，得到(1)(2)0ax x --<，分类讨论，即可求得不等式的解集.【详解】（1）由题意，函数2()(21)f x ax a x c =-++，且(0)2f c ==，所以2()(21)2f x ax a x =-++，因为()0f x <的解集为{|28}x x <<，即2和8是方程2(21)20ax a x -++=的两根，所以228c a a ⨯==，所以18a =，所以()12584f x y x x x ==+-，当0x >时，125518444x x +-≥=-，当且仅当4x =时等号成立；当0x <时，12512559848444x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=--+--≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当4x =-时等号成立. 故函数()f x y x =的值域城为91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.（2）由2()(21)2(1)(2)0f x ax a x ax x =-++=--<，因为0a >时，分三种情况讨论： ①当12a <，即12a >时，1()02f x x a<⇒<<； ②当12a =，即12a =时，无解； ③当12a >，即102a <<时，1()02f x x a<⇒<<，综上所述，当12a >时，不等式()0f x <的解集为1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当12a =时，不等式()0f x <的解集为∅； 当102a <<时，不等式()0f x <的解集为1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式. 22．(1)sin θ=;(2)视角30达到最佳．【分析】(1)过点A 作AF CE ⊥于F ,则 1.5EF AB ==,10DF DE EF =-=,30CF =,设CAF α∠=,DAF β∠=,sin sin()sin cos cos sin θαβαβαβ=-=-,化简即可得出答案．(2)由基本不等式可得1sin 2θ=≤=,即可得出答案． 【详解】解:过点A 作AF CE ⊥于F ,则 1.5EF AB ==10DF DE EF =-=,30CF =,设CAF α∠=,DAF β∠=(1)sin sin()θαβ=-sin cos cos sin αβαβ=-2222222230103010x x x x =⋅-⋅++++42100090000x x =++(2)421sin 21600100090000x x θ=≤=++, 当且仅当2290000x x =,即103x =时,sin θ取到最大值12 因为sin θ在(0,90)︒上单调递增,所以观察屏幕视角最大值为[]3026,30︒∈︒︒ 即此时视角达到最佳．【点睛】本题考查了解三角形的应用,考查了基本不等式,考查了三角恒等变换.求最值时,我们常用的思路有:根据函数图像求最值,根据函数单调性求最值,结合导数求最值,运用基本不等式求最值,换元法求最值等.在运用基本不等式求最值时,易错点在于忽略一正二定三相等.23．（1）ππππ,62122k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）112,24⎛+ ⎝⎦.【分析】（1）把函数利用二倍角公式、两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数形式，然后结合sin y x =的单调性求()f x 的增区间；（2）由(A)f 求得A 角，利用正弦定理把,b c 用sin ,sin B C 表示，从而求得ABCS ，并转化为B 的函数，注意转化为一个角的一个三角函数形式，由锐角三角形及A 角大小求得B角范围，从而得面积的范围． 【详解】 （1）由题意知()2πcos 21π32sin cos sin 26222x f x x x x x ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=++-=⋅+- ⎪⎝⎭111πcos 22sin 2sin 22sin 22423x x x x x x ⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 令ππ2π,π32x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，则ππππ,62122k k x ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 所以()f x 的单调递增区间为ππππ,62122k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． （2）因为()14f A =，所以1π1sin 2234A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π1sin 232A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ22π36A k +=+或5π2π6k +，k Z ∈，即ππ12A k =-+或ππ4k +，k Z ∈．又ABC 为锐角三角形，故π4A =，因为1a =，所以由正弦定理可知，b B =，c C =．所以11πsin sin sin 222224ABC S bc A B C B C B B ⎛⎫==⨯==+ ⎪⎝⎭△()()21111cos 21sin sin cos sin sin cos sin 222222B B B B B B B B -⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭()11π1sin 2cos 2244444B B B ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． 因为ABC 是锐角三角形，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3π0,42C B π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,42B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3π2,444B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，πsin 242B ⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以π111sin 2,44424ABCS B ⎛⎛⎫=-+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎦△． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的性质，正弦定理等．解题方法一般是由二倍角公式降幂，由辅助角公式化函数为()sin()f x A x ωϕ=+形式，然后结合正弦函数性质求解单调性、对称性、周期性、最值等等．24．（1）6,4b c ==； （2）3A π=，S =【分析】（1）选用条件①：由正弦定理求得a =2b c -=，即可求解；选用条件②：由正弦定理求得cos B =，得出sin 14B =，再由cos C =，求得得sin 7C =，结合正弦定理，即可求解； （2）由余弦定理求得A 的值，结合面积公式，即可求解． 【详解】（1）选用条件①：因为cos cos 14a Bb A ac +=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C +=，可得sin sin C C =，又因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，可得a =又由cos C =，由余弦定理得2222a b c ab +-=， 将2b c -=代入上式，解得6,4b c ==．选用条件②：因为2cos 2b C a =，由正弦定理得2sin cos 2sin 7B C A C =-2sin()7B C C =+-2(sin cos cos sin )7B C B C C =+-即2cos sin sin 07B C C -=，又因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，可得cos B =，则sin B =，又由cos C =，可得221sin 1cos C C由正弦定理sin sin b cB C =，得sin 3sin 2b Bc C ==， 又由2b c -=，可得6,4b c ==．（2）由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<，所以3A π=．所以ABC的面积为11sin 64222S bc A ==⨯⨯⨯= 【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.25．（1）2nn a =；（2）()13232nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭.【分析】(1)求等比数列的通项公式用公式法，基本量代换；(2) ()121221n nn n n b a ⎛⎫=- ⎝=⎪⎭-，用错位相减法求和.【详解】解：（1）设{}n a 的公比为q ，0q >2232S a a =+∴()12122a a a q a q +=+ ∴2q∴1222n nn a -=⋅=.（2）()1212nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设{}n b 的前n 项和为n T∴()()23111111135232122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①()()2311111113232122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②①-②()23111111122221222222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111112211121122212n n n T n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+--⨯⎪⎝⎭-()1111112212222nn n T n +⎛⎫⎛⎫=+-⋅--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()11342122n nn T n ⎛⎫⎛⎫=-⋅--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()13232nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭.【点睛】(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．26．（1）()*1(1)2nn a n N --=∈；（2）证明见解析. 【分析】（1）1p =，1q =-，已知条件可得1(1)nn n a a +-=-，利用累加法及等比数列的求和公式，计算可求数列{}n a 的通项公式；（2）2p =，1q =，121n n a a +=+，化简可得1121n n a a ++=+，通过等比数列的通项公式求得()*21n n a n N =-∈，化简可得11212222n n n n a a +=+≤+-，放缩后，通过分组求和可证得结果. 【详解】（1）∵1p =，1q =-，∴1(1)n n n a a ++-=，即1(1)nn n a a +-=-，∴当2n ≥：12111221(1)(1)(1)n n n n n n a a a a a a ------+-++-=-+-++-，得1(1)12n n a a -+-=，∴11a =，∴1(1)2nn a --=，当1n =：11a =也符合上式，故()*1(1)2n n a n N --=∈（或1,0,nn a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数）. （2）∵2p =，1q =，∴121n n a a +=+，∴()1121n n a a ++=+，即1121n n a a ++=+，∴{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴12nn a +=，即()*21nn a n N=-∈.又1112122122221112122n n n n n n n n a a +++--+===+≤+---， ∴11122221221212n n n T n n n -⎛⎫≤+=+-<+ ⎪⎝⎭-， 综上说述：()*22n T n n N<+∈.【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.（4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
章末质量评估(二)(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是 ( )． A.⎝⎛⎭⎫π2，π B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π3，π2 D.⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 因为a 是最大的边，所以A >π3.又a 2<b 2＋c 2，由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0，可知A <π2，故π3<A <π2.答案 C2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 等于 ( )． A.14 B.34 C.24 D.23 解析 ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac .又c ＝2a ，∴b 2＝2a 2. ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.答案 B3．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是 ( )． A ．1<a <3 B ．1<a <5 C.3<a < 5 D ．不确定解析 若a 为最大边，则b 2＋c 2－a 2>0，即a 2<5，∴a <5，若c 为最大边，则a 2＋b 2>c 2， 即a 2>3，∴a >3，故3<a < 5. 答案 C4．满足A ＝45°，c ＝6，a ＝2的△ABC 的个数记为m ，则a m 的值为 ( )． A ．4 B ．2 C ．1 D ．不确定 解析 由正弦定理a sin A ＝c sin C 得sin C ＝c sin Aa＝6×222＝22.∵c >a ，∴C >A ＝45°，∴C ＝60°或120°，∴满足条件的三角形有2个，即m ＝2.∴a m ＝4. 答案 A5．在△ABC 中，lg a －lg b ＝lg sin B ＝－lg 2，B 为锐角，则A 的值是 ( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析 ∵lg sin B ＝－lg 2，∴sin B ＝22，又B 为锐角，∴B ＝45°，∵lg a －lg b ＝－lg 2， ∴a ＝22b ，sin A ＝22sin B ＝12，∴A ＝30°. 答案 A6．有一长为1 km 的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )． A ．1 km B ．2sin 10° km C ．2cos 10° km D ．cos 20° km 解析 如图所示，∠ABC ＝20°，AB ＝1 km ，∠ADC ＝10°， ∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理AD sin 160°＝AB sin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°(km)． 答案 C7．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 是 ( )． A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形解析 ∵lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝2，∴lg sin A cos B sin C ＝lg 2.∴sin A ＝2cos B sin C ，∵A＋B ＋C ＝180°，∴sin(B ＋C )＝2cos B sin C ，∴sin(B －C )＝0.∴B ＝C ，∴△ABC 为等腰三 角形． 答案 B8．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么角A ，B ，C 的大小关系为 ( )． A ．A >B >C B ．B >A >C C ．C >B >A D ．C >A >B解析 由正弦定理得a sin 30°＝b sin B ，∴sin B ＝32，又∵B 为锐角，∴B ＝60°，∴C ＝90°，即C >B >A . 答案 C9．若△ABC 中，sin B ·sin C ＝cos 2A2，则△ABC 的形状为 ( )．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解析 由sin B ·sin C ＝cos 2A 2可得2sin B ·sin C ＝2cos 2A2＝1＋cos A ，即2sin B ·sin C ＝1－cos(B ＋C )＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ，∴sin B ·sin C ＋cos B cos C ＝1，即cos(B －C )＝1， 又－π<B －C <π.∴B －C ＝0，即B ＝C . 答案 C10．在△ABC 中，若cos A a ＝cos B b ＝sin Cc ，则△ABC 的形状是 ( )．A ．有一内角为30°的直角三角形B ．等腰直角三角形C ．有一内角为30°的等腰三角形D ．等边三角形解析 由cos A a ＝cos B b ＝sin C c 和正弦定理，知cos A 2R sin A ＝cos B 2R sin B ＝sin C 2R sin C ＝12R，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos A ＝sin A ，cos B ＝sin B ，∴A ＝B ＝45°， ∴△ABC 为等腰直角三角形，故选B. 答案 B二、填空题(本题6个小题，每小题5分，共30分) 11．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A＝________. 解析 由S ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝3，∴c ＝4.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13. ∴a sin A ＝13sin 60°＝2393. 答案239312．在△ABC 中，若S △ABC ＝123，ac ＝48，c －a ＝2，则b ＝______. 解析 由S △ABC ＝12ac sin B 得sin B ＝32，∴B ＝60°或120°.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a －c )2＋2ac －2ac cos B∴b 2＝22＋2×48－2×48cos B ， ∴b 2＝52或148.即b ＝213或237. 答案 213或23713．已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则A ＝________. 解析 由已知得(b ＋c )2－a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴A ＝π3.答案 π314．在△ABC 中，a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为________． 解析 S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12·c ·sin 45°＝24c ，又因为S △ABC ＝2，所以c ＝42， 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝ 1＋32－2×1×42×22＝25， ∴b ＝5，所以△ABC 外接圆的直径2R ＝bsin B ＝5 2.答案 5 215．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a >0，b >0)，则最大角为________． 解析a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，∴θ＝120°.答案 120°16．在△ABC 中，已知A B →·A C →＝9，AB ＝3，AC ＝5，那么△ABC 是________三角形． 解析 ∵A B →·A C →＝|A B →|·|A C →|cos A ＝15cos A ＝9 ∴cos A ＝35，∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝32＋52－2×3×5×35＝16，∴BC ＝4，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，∴△ABC 为直角三角形．答案 直角 三、解答题(共40分)17．(10分)济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A 点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m ，到达B 点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)解 如图所示，点C ，D 分别为泉标的底部和顶端，依题意，∠BAD＝60°，∠CBD ＝80°，AB ＝15.2 m ，则∠ABD ＝100°，故∠ADB ＝180° －(60°＋100°)＝20°. 在△ABD 中，据正弦定理， BD sin 60°＝ABsin ∠ADB， ∴BD ＝AB ·sin 60°sin 20°＝15.2·2sin 60°sin 20°≈38.5(m)．在Rt △BCD 中，CD ＝BD sin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m. 18．(10分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边． (1)若△ABC 的面积S △ABC ＝32，c ＝2，A ＝60°，求a 、b 的值； (2)若a ＝c cos B ，且b ＝c sin A ，试判断△ABC 的形状． 解 (1)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32，∴12b ·2sin 60°＝32.得b ＝1.由余弦定理得： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋22－2×1×2·cos 60°＝3， 所以a ＝ 3.(2)因为a ＝c ·a 2＋c 2－b 22ac ⇒a 2＋b 2＝c 2，所以C ＝90°.在Rt △ABC 中，sin A ＝ac，所以b ＝c ·ac＝a ，所以△ABC 是等腰直角三角形．19．(10分)在△ABC 中，三个内角∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，其中c ＝10，且cos A cos B ＝b a ＝43. (1)求证：△ABC 是直角三角形；(2)设圆O 过A 、B 、C 三点，点P 位于劣弧AC 上，∠P AB ＝60°.求四边形ABCP 的面积． (1)证明 根据正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A .∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B .∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，又∵b a ＝43，∴b ≠a ，A ≠B ，∴2A ＝π－2B ，∴A ＋B ＝π2，∴C ＝π2，∴△ABC 是直角三角形．(2)解 由(1)可得a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，又∵c ＝10，∴a ＝6，b ＝8. 在Rt △ACB 中，sin ∠CAB ＝BC AB ＝35，cos ∠CAB ＝45.∴sin ∠P AC ＝sin(60°－∠CAB )＝sin 60°·cos ∠CAB －cos 60°·sin ∠CAB ＝32×45－12×35＝110(43－3)． 如图，连接PB ，在Rt △APB 中， AP ＝AB ·cos ∠P AB ＝5， ∴四边形ABCP 的面积 S 四边形ABCP ＝S △ACB ＋S △P AC ＝ 12ab ＋12AP ·AC ·sin ∠P AC ＝24＋12×5×8×110(43－3)＝18＋8 3.20．(10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，并且a 2＝b (b ＋c )． (1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝3b ，判断△ABC 的形状． 解 (1)因为a 2＝b (b ＋c )，即a 2＝b 2＋bc ， 所以在△ABC 中，由余弦定理可得， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2＋bc 2ac＝b ＋c 2a ＝a 22ab ＝a 2b ＝sin A2sin B ， 所以sin A ＝sin 2B ，故A ＝2B .(2)因为a ＝3b ，所以ab ＝3，由a 2＝b (b ＋c )可得c ＝2b ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3b 2＋4b 2－b 243b 2＝32，所以B ＝30°，A ＝2B ＝60°，C ＝90°.所以△ABC 为直角三角形．。