安徽省芜湖市第一中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题

芜湖一中2015—2016学年第二学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．设向量a 与b 的夹角为60︒，且22,3a b ==，则a b ⋅等于（ ）ABC ．D ．62．已知向量()()2,1,,2a b x ==-，若//a b ，则a b +等于（ ） A ．()3,1-B ．()3,1-C ．()2,1D ．()2,1--3．已知点(1,3),(4,1)A B -，则与向量AB 的方向相反的单位向量是（ ） A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭4．在ABC ∆中, 60=A ,a b ==,则B ∠等于（ ） A ．45或 135 B ． 135C ．45D ．0305．若bc a c b c b a 3))((=-+++，且C B A cos sin 2sin =，那么ABC ∆是（ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸C B ,的俯角分别为︒︒30,75，此时气球的高是m 60，则河流的宽度BC 等于（ ） A ．m )13(30+B ．m )13(120-C ．m )12(180-D ．m )13(240-7．设数列{}n a 中，已知)1(11,111>+==-n a a a n n ，则=3a ( )A ．58B ．35C ．23D ．28．在数列{}n x 中2,841==x x ，且满足+++∈=+N n x x x n n n ,212．则=10x （ ）A ．10-B ．10C ．20-D ．209．已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（ ）A ．8532B ．3116C ．158D ．85210．在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C 所对边的边长，若2cos sin 0cos sin A A B B+-=+，则a b c +的值是（ ）A ．1BCD ．211．P 是ABC ∆所在平面上一点，满足2PA PB PC AB ++=，若12=∆ABC S ，则PAB ∆的面积为 （ ） A ． 4 B ．6C ．8D ．1612．数列}{n a 中，211=a ，n n n a a a -+=+111（其中*∈N n ），则使得72321≥++++n a a a a 成立的n 的最小值为 （ ）A ．236B ．238C ．240D ．242二、填空题（本大题共4小题，共16分）13．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3AB =，1BD =，则AB AD ⋅= ．14．已知向量(13)a =，，(0,1)b =，则当[t ∈时，||a tb -的取值范围是___________． 15．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，︒=60B ,ABC ∆的面积为23，那么=b _________． 16．已知数列{}n a 满足11=a ，)2(1222≥-=n S S a n nn ，其中n S 为{}n a 的前n 项和，则=2016S ________．三、解答题（本大题共5题，共48分）17．(本题8分) 已知三个点)4,1(),2,3(),1,2(-D B A . （Ⅰ）求证：→→⊥AD AB ；（Ⅱ）要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值．18．(本题8分)如图，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =5CD =,2BD AD =. （Ⅰ）求AD 的长；（Ⅱ）求ABC ∆的面积．19．(本题10分)在各项均为正数的等比数列}{n a 中，108,124321=+=+a a a a ， （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式 ； （Ⅱ）记n n na b =，求数列}{n b 的前n 项和n S ．20．(本题10分) 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知向量))cos(,sin 2(B A A p -=→,)1,(sin -=→B q 且21=⋅→→q p 。

（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若3=c ，求a b -的取值范围．21．(本题12分)已知数列{}n a 的前n 项和233=22n S n n +．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记12n n n na a T +⋅=，若对于一切的正整数n ，总有m T n ≤成立，求实数m 的取值范围． （Ⅲ）设n B 为数列{}n b 的前n 项的和，其中2n a n b =，若不等式111+16n n n n B tb B tb ++-< 对任意的*n ∈N 恒成立，试求正实数t 的取值范围．芜湖一中2015—2016学年第二学期期中考试高一数学答案一:选择题（本大题共12小题，共36分）二：填空题（本大题共4小题，共16分）13．152 14．[1． 15．2 16．40311 三．解答题（本大题共5题，共48分）17 解：（Ⅰ）证明： )4,1(),2,3(),1,2(-D B A , ∴)3,3(),1,1(-==→→AD AB 又∵031)3(1=⨯+-⨯=⋅→→AD AB ， ∴→→⊥AD AB ..............4分 （Ⅱ）∵→→⊥AD AB ，若四边形ABCD 为矩形，则→→=DC AB ． 设C 点的坐标为),(y x ，则有)4,1()1,1(-+=y x ， ∴即∴点C 的坐标为)5,0(....................................................6分由于)2,4(),4,2(-=-=→→BD AC ∴52,16===⋅→→→→BD AC BD AC设对角线AC 与BD 的夹角为θ，则0542016cos >==θ． 故矩形ABCD 两条对角线所夹锐角的余弦值为54..........................8分．18解：(Ⅰ) 在ABC ∆中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =． 在BCD ∆中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以cos CD CDB BD ∠=52x=．在ACD ∆中，因为AD x =，5CD =，AC =，由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠==⨯⨯CDB ADC ∠+∠=π，所以cos cos ADC CDB ∠=-∠，即22255252x x x+-=-⨯⨯．解得5x =．所以AD 的长为5.....................4分（Ⅱ）由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC ==． 所以c o s 2BC CBD BD ∠==，从而1sin 2CBD ∠=,所以1sin 2ABC S AB BC CBA ∆=⨯⨯⨯∠111522=⨯⨯= .......... ..8分19解：（Ⅰ）设等比数列}{n a 的首项为1a ，公比为)0(,>q q .由已知得11231112108a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩，则解得31=a ,3=q 所以数列}{n a 是以3为首项，3为公差的等差数列，即1333n nn a -=⋅= ........................................5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得3nn n b na n ==⋅所以123n n S b b b b =++++()123132333 3...............1nn =⋅+⋅+⋅++⋅()()23413132333133...............2n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅由)2()1(-，得()12311313233333313n n n n n S n n ++--=+⋅+++-⋅=-⋅-()11313133()3.42244n n n n n n S ++-∴=+⋅=-⋅+ ........................................10分20解：（Ⅰ）由12⋅=p q ，得12sin sin cos()2A B A B --=，即12sin sin cos cos sin sin 2A B A B A B --=， ∴1cos()2A B +=-，即1cos 2C =，∵0C <<π，∴=C π3．.......................5分（Ⅱ）∵c =，且=C π3sin sin sin 3a b A B ==，∴2sin ,2sin a A b B ==． ∴2sin 2sin b a B A -=- 2sin()2sin A A π=+-3sin 2sin A A A =+-sin A A =-2cos()A π=+6，∵A 2π0<<3， ∴+A ππ5π<<666，∴cos()A π<+<6，∴(b a -∈．..........................................................10分 21解： （Ⅰ）当2n ≥时，2-133=(1)(1)22n S n n -+-，∴13n n n a S S n -=-=，又=1n 时，11=3a S =满足上式，所以3n a n =．...............................................4分（Ⅱ）19(1)=22n n n n na a n n T +⋅+= 119(1)(2)229(1)22n n n n n n T n n n T n+++++⇒==+， 当1,2n =时，1n n T T +≥，当3n ≥时，122n n n n T T ++<⇒<， ∴1n =时，19T =，2,3n =时，23272T T ==，4n ≥时，3n T T <， ∴{}n T 中的最大值为23272T T ==． 要使m T n ≤对于一切的正整数n 恒成立，只需272m ≤， ∴272m ≥．.................................................................8分 （Ⅲ）38(18)828(81)187n nnnn n b B -==⇒==--， 将n B 代入11116n nn n B tb B tb ++-<+，化简得，()+18818178816+877n nn t t ⨯--⨯<⎛⎫- ⎪⎝⎭（﹡） ∵0t >，∴+188+877n t ⎛⎫>⎪⎝⎭，所以（﹡）化为()+1+1816818+1387n n n t ⎡⎤⨯--<⨯⎣⎦， 整理得()+1+1816818+1218n n n t ⎡⎤⨯--⎣⎦>⨯，∴+18151218n t ⎛⎫>- ⎪⎝⎭对一切的正整数n 恒成立， 易知+11518n -随n 的增大而增大，且+18158121821n ⎛⎫-< ⎪⎝⎭， ∴821t ≥．................................................ ...................12分。