【2014西城高三二模】北京市西城区2014届高三二模试卷 数学理

北京市西城区2014年高三二模试卷
数学（理科） 2014．5
第I 卷（选择题 共40分）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．
1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是（ ）．
A ．(,2]-∞-
B ．[2,)-+∞
C ．(,2]-∞
D ．[2,)+∞
2．在复平面内，复数2(12i)z =+对应的点位于（ ）．
A ． 第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．直线2y x =为双曲线22
22
:
1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）．
A ．5
B ．52
C ．3
D ．
32
4．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集
合，则（ ）． A ． 2A ∈，且4A ∈ B ．
2A ∈，且4A ∈
C ． 2A ∈，且25A ∈
D ．2A ∈，且17A ∈
5．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ）．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x
轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（ ）．
A ．1
B ．2
C ．
π2
D ．π
7．在平面直角坐标系xOy中，不等式组
0,
0,
80
x
y
x y
⎧
⎪
⎨
⎪+-
⎩
…
…
…
所表示的平面区域是α，不等式组
04,
010
x
y
⎧
⎨
⎩
剟
剟
所表
示的平面区域是β．从区域α中随机取一点(,)
P x y，则P为区域β内的点的概率是（）．
A．1
4
B．
3
5
C．
3
4
D．
1
5
8．设Ω为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为
M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω．
若Ω是边长为1的正方形，给出下列三个结论： ①()x Ω的最大值为2；
②()()x y Ω+Ω的取值范围是[2,22]； ③()()x y Ω-Ω恒等于0．
其中所有正确结论的序号是（ ）． A ．①
B ．②③
C ．①②
D ．①②③
第II 卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．61
()x x
+的二项展开式中，常数项为_________．
10．在ABC V 中，若1
4,3,cos 3
a b A ===，则sin A =______，B =______．
11．如图，AB 和CD 是圆O 的两条弦，AB 与CD 相交于点E ，
且4,:
4:
1C E D E A E B E ===，则AE =_______；
AC
BD
=______．
12．执行如图所示的程序框图，输出的a 值为_________．
13．设抛物线2:4C y x =的焦点为,F M 为抛物线C 上一点，(2,2)N ，则M
F M N +的取值范围为_________．
14．已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x y =∈∈N N 上的一个映射，正整数对(,)x y 在映射f 下的象为实数z ，记作(,)f x y z =，对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：
(,)x y (,)n n (,)m n (,)n m
(,)f x y
n m n - m n +
则(3,5)f =_______，使不等式(2,)4x f x …成立的x 集合是_________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，点(cos,2sin),(sin,0)
A B
θθθ，其中θ∈R．
（I）当
2π
3
θ=，求向量AB
uu u r
的坐标；
（II）当
π
[0,]
2
θ∈时，求AB
uu u r
的最大值．
16．（本小题满分13分）
为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的,A B两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：
A班的5名学生的视力检测结果：43．，51．，46．，41．，49．．
B班的5名学生的视力检测结果：51．，49．，40．，40．，45．．
（I）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？
（II）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）
（III）现从班的上述5名学生中随机选取3名学生，用X表示其中视力大于46．的人数，求X的分布列和数学期望．
17．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,ABC AC BC H ⊥为PC 的中点，M 为AH 的中点，2,1PA AC BC ===
（I ）求证：AH ⊥面PBC ；
（II ）求PM 与平面AHB 所成角的正弦值 （III ）设点N 在线段PB 上，且
,PN
MN PB
λ=∥平面ABC ，求实数λ的值．
18．（本小题满分13分）
已知函数1
2e ()44
x f x ax x +=++，其中a ∈R
（I ）若0a =，求函数()f x 的极值；
（II ）当1a >时，试确定函数()f x 的单调区间．
19．（本小题满分14分）
设,A B 是椭圆22
:143
x y W +
=上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB 交x 轴于点M （与点,A B 不重合），O 为坐标原点．
（I ）如果点M 是椭圆W 的右焦点，线段MB 的中点在y 轴上，求直线AB 的方程；
（II ）设N 为x 轴上一点，且4OM ON ⋅=uuu r uuu r
，直线AN 与椭圆W 的另外一个交点为C ，证明：点B 与点
C 关于x 轴对称．
20．（本小题满分14分）
在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*1,n n n a a a +∈<N ．设*m ∈N ，记使得n a m …成立的n 最大值为m b ．
（I ）设数列为1，3，5，7，L ,写出123,,b b b 的值； （II ）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a ；
（III ）设12,p p a q a a a A =+++=L ，求12q b b b +++L 的值．（用,,p q A 表示）。