第9章 弯曲内力
弯曲内力材料力学
弯曲内力 例 图示悬臂梁，受均布荷载q和集中 力偶M=qa2的作用。试建立梁的剪力 与弯矩方程，并作剪力与弯矩图。
解： 1、计算支反力
qa FCy qa； M C 2
2
q
A
M=qa2 B
FCy C
x1 a
x2 a
MC
FQ
一
x
qa
2、建立剪力方程和弯矩方程
FQ1 ( x) qx1 AB段 : qx12 M 1 ( x ) 2
6.2.2 剪力和弯矩的符号规定
弯曲内力
①剪力—平行于横截面的内力，符号：，正负号规定： 使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负(左截面上的 剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正)； F
Q
F
Q
FQ
剪力为负
FQ
剪力为正
②弯矩—绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使 梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩 为正)。
研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平
面力系。
6.1.2 梁的计算简图
1.梁的简化
弯曲内力
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。 2.载荷的简化 (1)集中载荷
F1 q(x)
(2)分布载荷
任意分布载荷
集中力
q
(3)集中力偶
M
均布载荷
集中力偶
载荷集度：单位长度上的载荷大小。单位：N/m
1 q ( x) dx 2 0 2
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
利用剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系 绘制剪力、弯矩图
弯曲内力
1.微分关系的几何意义： 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处载荷集度的大小；弯矩图上某点 处的切线斜率等于该点剪力的大小。 2.各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：
第9章 梁的应力
中性层
中 性 轴
6
3.假设和推论 (1)平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生
转动.
(2)假设纵向纤维之间无挤压，各条纤维仅发生简单的拉伸
或压缩。材料服从虎克定律σ=Eε。
推论： (1）距中性轴等高处，变形相等。 (2) 横截面上只有正应力。
F
F
m
n
4、梁的正应力公式推导
m
n
中性轴
B
L 2 L 2
A
F
h 6
a
b
C
h 2
h
c
b
3
FL
1
a
M B ya IZ
FL
h
MB
1 2
FL
IZ
bh
12
2 3 3 1.65MPa bh 12 1 h
b 0
c
M B yc IZ
FL
2 3 2 bh 12
2.47MPa
（压）
12
例题2
试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大 正应力，并加以比较。
F A
F
cos
2
同一点在斜截面上时：
2
sin 2
即使同一点在不同方位截面上，它的应力也各不相同
45
3、梁上任一点应力状态的分析
符号规定： 正应力：拉应力为正，压应力为负 切应力:使单元体顺时针方向转动为正；反之为负 α自x轴开始到斜截面的外法线方向逆时针转向为正，反之为负
第九章 梁的应力
1
概
述
钢筋混凝土梁拉裂破坏 1、弯曲构件横截面上的应力 剪力V 内力 剪应力τ
6.1 弯曲内力
集中力偶作用的 实际情况及相关内图
解释为什么弯矩图 在集中力偶作用截面 突变
例题5-7： 一简支梁受移动荷载 F 的作用如图所示。 试求梁的最大弯矩为极大时荷载 F 的位置。
F
A B
F
FA A FB B
x
C l
解：先设 F 在距左支座A 为 x 的任意位置。 求此情况下梁的最大弯矩为极大。 荷载在任意位置时，支反力为：
3 qa 2
QB左
QB右 （c）B右截面
（a）A右截面
Q A右 3 qa 2
（b）B左截面
Q B左
M B左
3 qa 2
2
Q B右 qa
M B右 1 2 qa 2
M A右 qa 2
3 1 qa qa 2 qa 2 2 2
剪力在数值上等于 截面一侧所有横向外力的代数和。 弯矩在数值上等于截面一侧所有外 力对该截面形心力矩的代数和。
对称面
杆轴
二、弯曲内力
p
x m n L
P 力平衡:
剪力：
y0
QP 0
QP
PL
M Q
o
P 力矩平衡：
M
弯矩：
O
0 M P (l x ) 0
p
左截面
Q
右截面
M P(l x)
M
剪力、弯矩正负号的含义？
从平衡观点
PL
注意 反力！
剪力、弯矩的符号规定
Q
Q
+
Q 左上右下为正 （顺时针为正） M M Q
剪力方程和弯矩方程的写法：
1. 选坐标(注意坐标轴的表示方法）
轴线—— x 轴，代表不同的横截面
弯曲内力
（2）求剪力
5 1 qa Q2 qa RB qa ( qa) 4 4 5 Q3 qa RB qa 4
5 Q4 qa RB RD qa 4 （3）求弯矩 1 1 M 1 qa a qa 2 2 2 1 1 M 2 qa a RB 0 qa 2 2 2 3 M 3 qa a R a B 2
弯矩 —— 作用面与梁截面垂直的内力偶矩，用“ M ”表示。 剪力、弯矩的数值：
Q
RB
剪力 —— 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力在y轴上投影代数和；
弯矩 —— 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力对截面形心矩的代数和；
二、剪力和弯矩的正负号规定
—— 按截面处的梁微段的变形规定 1. 剪力的正负 使梁微段发生顺时针转动的剪 力Q为正，反之为负。 截面左侧：向下的Q为正，向上的Q为负； 截面右侧：向上的Q为正，向下的Q为负。
剪力： 弯矩： 取左半部分 顺时针转向的外力偶引起正的弯矩 逆时针转向的外力偶引起负的弯矩 取右半部分 逆时针转向的外力偶引起正的弯矩 顺时针转向的外力偶引起负的弯矩
M2
RA
Q2
M1
Q1
RB
例： 图示外伸梁，试求指定截面的弯矩。
解： （1）先求约束反力
M B 0, Y 0,
1 2 qa m RD 2a 0 2 qa RB RD 0
杆件的轴线由直线变成曲线， 任意两相邻截面绕垂直于轴线的 直线发生转动。 —— 杆件的这种变形称为弯曲变形。 梁：—— 以弯曲变形为主的杆件
P
P
P
(3) 平面弯曲概念 梁的截面对称轴与轴线构成的平面 —— 称为纵向对称平面。 若梁上的外载都作用在此对称平面内， 则梁弯曲变形后的轴线为纵向对称平面内 的平面曲线。 —— 这种弯曲称为平面弯曲或对称弯曲。 发生平面弯曲的条件： 截面具有纵向对称平面； 外力作用于纵向对称平面内。
《工程力学》(工程类)课程复习大纲
《工程力学》（工程类）课程学习资料继续教育学院《工程力学》（工程类）课程复习大纲一、考试要求本课程是一门专业课，要求学生在学完本课程后，能够牢固掌握本课程的基本知识，并具有应用所学知识说明和处理实际问题的能力。
据此，本课程的考试着重基本知识考查和应用能力考查两个方面，包括识记、理解、应用三个层次。
各层次含义如下：识记：指学习后应当记住的内容，包括概念、原则、方法的含义等。
这是最低层次的要求。
理解：指在识记的基础上，全面把握基本概念、基本原则、基本方法，并能表达其基本内容和基本原理，能够分析和说明相关问题的区别与联系。
这是较高层次的要求。
应用：指能够用学习过的知识分析、计算和处理涉及一两个知识点或多个知识点的会计问题，包括简单应用和综合应用。
二、考试方式闭卷笔试，时间120分钟三、考试题型●选择题：20%●填空题：20%●简单计算题：30%●综合计算题：30%四、考核的内容和要求第1章物体的受力分析与结构计算简图了解工程力学课程的研究对象、内容及研究方法和学习目的；了解静力学公理，理解约束和约束力。
掌握物体的受力分析和受力图。
第2章平面任意力系理解平面汇交力系合成与平衡的几何法和解析法、平面力对点之矩、平面力偶的概念，平面任意力系的简化；静定和超静定问题的判断。
掌握求解平面汇交力系问题的几何法和解析法的计算、平面力对点之矩的计算和平面力偶系合成与平衡问题的计算，平面任意力系的平衡条件和平衡方程，物体系统平衡问题的计算。
第3章空间力系理解空间汇交力系、空间力对点的矩和力对轴的矩及空间力偶的概念。
掌握空间任意力系的平衡方程及空间平衡问题的求解，重心的概念及重心问题的求解。
第4章杆件的内力与内力图理解变形固体的基本假设。
掌握内力、截面法和应力的概念和变形与应变及杆件变形的基本形式。
第5章拉伸、压缩与剪切理解直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力，拉伸、压缩超静定问题和温度应力、装配应力。
掌握轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力的概念及计算，材料拉伸、压缩时的强度计算以及轴向拉伸或压缩时的变形及变形能。
第九章--板壳结构有限元
应用举例 承受均布荷载q的方板，四边简支。4×4网格，挠度=？
h/L 0.01 0.1 0.2 0.3 0.4
有限元 0.04438 0.04628 0.05202 0.06160 0.07500
厚板 0.04439 0.04632 0.05217 0.06192 0.07557
薄板 0.04437 0.04437 0.04437 0.04437 0.04437
将三个结点的位移代入进去，则可以反推出
单元位移=形函数×结点位移的三个表达式（u,v,w）。
根据位移函数的表达形式，不难看出其就是平面应力单元和薄 板弯曲单元的结合。后续分析过程较复杂，因此在这里只做文 字性叙述注意事项。
单元位移表达式（u,v,w）建立后，下面的工作就是进行应变
计算。但是注意up,vp并不是u,v
壳结构基础理论知识
任何单曲或双曲薄壳，在单元较小时均可用薄板单元组成的单 向或双向折板体系来近似，也就是采用平面壳单元进行分析。 平面壳单元可以视为平面应力单元与板弯曲单元的组合体。
平面应力单元（亦称膜单元）仅仅能够承受作用于平面内的 载荷 ，不能够承受其它载荷 。假设z方向上的位移w=0，每 一结点仅存在沿x轴和y轴的位移
确定，因此离散时，网格划分有局限性。
Adini方案
舍去了二次项xy，致使常扭率无法保证，单元过刚、位移偏小，因此分析
结果只有一阶精度。
Bell方案
增加单元内部位移参数——三角形形心挠度。整体分析前需要消去内部自 由度（静力凝聚）， Zienkiewicz指出这种单元不能保证收敛。
薄板三角形单元
Zienkiewicz采用面积坐标解决了直角坐标下遇到的困难。 面积坐标 采用面积坐标表达的位移模式为：
工程力学第2版-周松鹤、徐烈烜-习题解答-弯曲内力
FS2 = FB - FA = 5 kN 特殊位置截面 M2 = FB×1 - FA×3 = 0
E FE M3 = FE×3 - F×1.5 = 0
FB
M3 FS3
相邻截面
FS3 = F - FE = 5 kN
P74 40-2-1 建立坐标
x x
F
A
AB段：
C 2F
x
B
FS(x) = F - 2F = - F M(x) = 2F×(2a-x) - F×(a-x)
A B M3 FS3 B
mA = 0
C FC
FC = 80 kN
Fy = 0 M1 = 0
FA = 40 kN
特殊位置截面
FS1 = FA = 40 kN
FS2 = FA = 40 kN M2 = FA×2 = 80 kN· m
FS3 = FA - 3q×2 = - 20 kN
3q FS3
M3
FA
1 2 MB左 = qa 2
1 2 MD = qa 8 M图 1 2 MB右 = - qa MC = 0 2 1 2 ME = - qa 8
P75 41-1-2 (突变) (特殊点) q qa mB = 0 Fy = 0 B A C 7 17 FC FB FC = qa FB = qa 6 11 qa 6 7 6 FSB左 = - qa a 6 形状： 水平线 斜直线 7 11 FS 图 F D FSC = - qa qa SB右 = 6 6
FS2 = F = 10 kN M2 = - F×1 = - 10 kN· m 相邻截面
M2 FS2
M3 FS3
F C
FS3 = F = 10 kN M3 = 0
简支梁的相关计算
由 ΣFy = 0
得 RA P1 Q 0
Q RA P1
由 ΣMC = 0
得 M RAx P1(x a) 0
M RAx p1(x a)
，C 为横截面的形心。 若取右段梁研究，根据作用力与反作用力定律，在 m-m 截面上也必然有剪力 Q 和弯矩 M ，并且它们分别与 Q
Ⅰ-Ⅰ
Q1 RA 250 N
M1 RA 200 250 0.2 50 N m
Ⅱ-Ⅱ
Q2 q 0.4 RB 4 0.4 2.75 1.5kN
M 2 RB 400 q 0.4 200 2750 400 103 4 103 0.4 0.2 780 N m
等、方向相反。
和弯矩的正负按梁的变形来确定。凡使所取梁段具有作顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负。如图 10.1.7 所示。凡 上凹下凸弯曲变形的弯矩为正，反之为负。如图 10.1.8 所示。
图 10.1.7 剪 力 的 符
图 10.1.8 弯 矩 的
综上所述，可得求剪力、弯矩大小和方向的规则：
对于剪力：梁内任一横截面上的剪力等于该截面一侧梁上所有横向外力的代数和；正负号由“外力左上右下，产生的 确定。
利用剪力图和弯矩图，很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩，以及梁的危险截面的位置。所以画剪力图和弯矩图往往 和刚度计算中的重要步骤。
剪力图和弯矩图的画法是首先求出梁的支座反力，然后以力和力偶的作用点为分界点，将梁分为几段，分段列出剪力 。取横坐标 x 表示截面的位置；纵坐标表示各截面的剪力和弯矩，按方程绘图。
FS (x)
FAy
Me l
(0 x l)
因 C 点处有集中力偶，故弯矩需分段考虑。
C段
工程力学3-9弯曲内力
15
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横 截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号 要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如图。
16
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段 上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向 下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。 (2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁 段上外力对该截面形心的力矩之代数和。
Me FS x FA l
0 x l
25
至于两段梁的弯矩方程则不同：
AC段梁：
FS(x) x
M x
Me M x FA x x l
0 x a
CB段梁：
FS(x) x
M x
Me M x FA x M e x Me l M e l x a x l l
9. 2 梁的内力及其求法
RC
解：求内力的方法——截面法。 建立x坐标如图。
(1) 求支座反力 取整体，受力如图。
X 0
RAx 0
10
RAx
x (1) 求支座反力
RA
取整体，受力如图。
RC
X 0 M (F ) 0 Y 0
C
RAx 0
RA 80 kN
RC 40 kN
Pb RA , l
Pa RB l
(2) 求剪力方程和弯矩方程 需分段求解。分为两段：AC和CB段。 AC段 取x截面，左段受力如图。
18
(2) 求剪力方程和弯矩方程 需分段求解。 分为两段：AC和CB段。 AC段 取x截面，左段受力如图。 由平衡方程，可得:
第9章_直梁
max
IZ 1.067106 ymax
M max 141 MN/m2 150MN/m2 WZ
故压板的强度足够
第九章 直梁弯曲
例9-8 一起重量原为 50kN 的吊车,其跨度l = 10.5m (如图)，由 45a号工字钢制成。为发挥其潜力，现欲将 起重量提高到Q =70kN，试校核梁的强度；若强度不足， 再计算其可能承载的起重量。设梁的材料为 Q235钢， 许用应力[σ]=140MN/m2，电葫芦自重G = 15kN，梁
第九章 直梁弯曲
推断和假设
假设：(1) 梁在纯弯曲时，各横截 面始终保持为平面，并垂直于梁轴。
此即弯曲变形的平面假设。
(2) 纵向纤维之间没有相互挤压,每 根纵向纤维只受到简单拉伸或压缩。 中性层：从伸长到缩短区，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短。这 一长度不变的过渡层称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线 在纯弯曲的条件下，所有横截面仍保持平面，只是绕中性轴作 相对转动，横截面之间并无互相错动的变形，而每根纵向纤维 则处于简单的拉伸或压缩的受力状态。
Q max P M max Pl
Q O
x P
第九章 直梁弯曲
例9-3
一简支梁 AB ,受均布载荷 q 的作用，试作此梁的弯矩图。
解： 1、求支反力
由对称性知： ql FA FB 2
2、建立剪力方程和弯矩方程
ql Q = FA qx = qx (0 < x < 1) 2 qx2 qlx qx2 M = FA x = (0 ≤x < 1) 2 2 2
非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但 外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
第九章 直梁弯曲
工程力学练习题
工程力学——静力学部分习题 第一章 静力学公理与物体的受力分析一、判断题1．力是滑动矢量，可沿作用线移动。
（ ） 2．凡矢量都可用平行四边形法则合成。
（ ） 3．凡是在二力作用下的约束成为二力构件。
（ ） 4．两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。
（ ） 5．凡是合力都比分力大。
（ ） 6．刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件，而非充分条件。
（ ） 7．若作用在刚体上的三个力的作用线汇交于一点，则该刚体必处于平衡状态。
（ ） 二、填空题1．作用力与反作用力大小 ，方向 ，作用在 。
2．作用在同一刚体上的两个力使刚体平衡的充要条件是这两个力 ， ， 。
3．在力的平行四边形中，合力位于 。
三、选择题1．在下述公理、法则、定理中，只适用于刚体的有（ ）。
A ．二力平衡公理B 力的平行四边形法则C ．加减平衡力系原理D 力的可传性E 作用与反作用定律2．图示受力分析中，G 是地球对物体A 的引力，T 是绳子受到的拉力，则作用力与反作用力指的是（ ）。
A T ′与GB T 与GC G 与G ′D T ′与G ′3．作用在一个刚体上的两个力F A 、F B ，若满足F A ＝－F B 的条件，则该二力可能是（ ）。
A 作用力与反作用力或一对平衡力 B 一对平衡力或一个力偶 C 一对平衡力或一个力或一个力偶 D 作用力与反作用力或一个力偶 四、作图题1．试画出下列各物体的受力图。
各接触处都是光滑的。
（a ） （b）2． 试画出图示系统中系统及各构件的受力图。
假设各接触处都是光滑的，图中未画出重力的构件其自重均不考虑。
（c ）ABPo30（d ）（f ）（e ）（a ）A BP 2P 1（b）第二章 平面汇交力系与平面力偶系一、判断题1. 两个力F 1、F 2在同一轴上的投影相等，则这两个力大小一定相等。
（ ）2. 两个力F 1、F 2大小相等，则它们在同一轴上的投影大小相同。
（ ）3. 力在某投影轴方向的分力总是与该力在该轴上的投影大小相同。
建筑力学教学计划教案1
浙江大学教务处一、课程性质与任务1、本课程是土建类专业的一门必修专业基础课,主要研究结构及构件受力和承载能力问题,是工程技术人员必备的知识。
2、课程任务本课程包括理论力学、材料力学、结构力学三方面内容。
1、通过对结构、构件受力情况的分析和平衡状态的研究，学会分析工程结构的受力情况。
2、研究结构、构件在载荷作用下的内力及变形规律；建立构件强度、刚度和稳定性计算的理论基础，保证结构、构件在既安全又经济的前提下工作。
二、课程目的和要求本课程教学目的：在简单构件受力及变形分析的基础上，进一步掌握分析、计算杆件结构受力与变形的基本原理和方法，了解各类结构的受力性能，培养结构分析与计算方面的能力，为学习有关专业课程及进行结构设计和科学研究打下基础。
本课程的基本要求如下：了解：极限应力、应力集中等概念；三铰拱的计算；剪应力互等定理。
掌握：力及力偶概念、性质；应力、应变概念；剪切挤压实用计算；扭转计算；组合变形的强度计算；熟练掌握：物体的受力分析；平面力系的平衡问题；轴向拉伸和压缩的强度、刚度计算；弯曲变形的强度计算；静定结构的内力计算（内力图）。
重点培养：学生的分析问题、解决问题的抽象思维能力，培养认真负责的工作态度和严谨细致的工作作风。
三、课程内容及要求绪论知识点：1、建筑力学的任务及研究对象；2、强度、刚度、稳定性的概念；重点：强度、刚度、稳定性等概念课时分配：1学时第1章静力学基本概念与受力图知识点：1、力的基本概念；2、静力学公理；3、约束类型及其约束反力；4、物体的受力分析与受力图；5、荷载的分类；6、构件及杆件结构的分类；7、结构的计算简图；重点：静力学公理；常见约束及其约束反力；物体的受力分析与受力图；难点：物体的受力分析；课时分配：5学时第2章平面汇交力系知识点：1、平面汇交力系合成与平衡的几何法；2、平面汇交力系合成与平衡的解析法；重点：平面汇交力系合成与平衡的解析法；合力投影定理；难点：力在直角坐标轴上的投影课时分配： 6学时第3章力矩与平面力偶系知识点：1、力矩与力偶；2、平面力偶系合成与平衡。
弯曲内力n
1 ql 2 2
第4 章
梁的弯曲内力
l l
F
材 料 力 学
l
M0 B FB
例：简支梁尺寸如图，受集中载荷F 及力偶M0作用，且M0 =Fl。 求：梁的内力及内力图。 解：1）研究对象：梁AB
A FA
M B F 0 :
Fy 0 :
l
q
F
l
l
M0 B FB
①
F 0 : qx F x 0 2 x1 M F 0 : M x q 0 C 1 2
y1 1 S 1
1
q
A FA
② C1 M x
1
F 0: M C F 0 :
y2
2
FS x1 qx1 0 x1 l x12 M x1 q 0 x1 l 2 ql FA FS x2 0
FS
x3
x
F/3 2F/3
M
Fl/3
2Fl/3
x
Fl/3
第4 章
梁的弯曲内力
l l
F
x1 x2
材 料 力 学
l
M0 B FB
例：简支臂梁尺寸如图，受集中载荷F A 及及力偶M0作用，且M0 =Fl。 FA 求：梁的内力及内力图。 规律总结（2）：
均布载荷集度q=0：FS（x）图为水平线； M（x）图为一次斜直线。 FS
2l x3 3l
F
C2
FS（x2） M（x2） C3
M（x3）
B FB
FS（x3）
第4 章
梁的弯曲内力
l l
F
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E
C
B
1m
1m
2m
FB
FA
1m
1m
2、求指定横截面上的剪力和弯矩 C截面：
QC Y (左侧) FA q 1
3 2 1kN
MC MC (左 ) FA 2 M 0 q 1
3kN.m
1
F D
P=2kN
例9-3 一外伸梁受力如图所示。试求C截面、B左 截面和 B右 上
的内力。
M0 8kN.m
A
q=2kN/m
F D
P=2kN
E
C
B
FA
1m
1m
2m
FB
1m
1m
解：
1、根据平衡条件求支座反力
M 0 Y 0
A
FB 7kN
FA 3kN
M0 8kN.m
A
q=2 kN/m
F D
P=2kN
qL
2 1 1 a 2
q
Y 0
qL Q2 q( x2 a) 0
y x
b
Q2 q(x2 a L)
x2 图（a） B M2 x2 Q2
m (F ) 0 ,
2 i
qL
1 2 M 2 q(x2 a) qLx2 2
1 2 qLx2 M 2 q (x2 a ) 0 2
RA=(P1×5+P2×2)/6=40kN
(2) 求截面I-I的内力
用I-I截面将梁假想地截开，取左段为研究对象，列平衡方程
由 ∑Fy=0，RA-P1-Q1=0
得 Q1=RA-P1=(40-36)kN=4kN 由 ∑m1(F)=0，M1+P1×1-RA×2=0 得 M1=RA×2-P1×1 =(40×2-36×1)kN· m=44kN· m 计算结果Q1、M1为正，表明Q1、M1实际方向与图示假设方 向相同，故为正剪力和正弯矩。
2.外伸梁
简支梁的一端或两端 伸出支座之外的梁,
9.1.2 梁的基本形式
3.悬臂梁
一端为固定端， 另一端为自由端的梁。
9.1.3 作用在梁上的荷载
常见的荷载形式： （a）集中荷载
（b）集中力偶 （c）分布荷载
9.1.4 梁的支座形式及支反力
① 固定铰支座
2个约束，1个自由度。 如：桥梁下的固定支座，门的折页。
A
FA
B 1.5m FB
2
3m
解： 1、求支座反力
3 M A 0 FB 6 F 1.5 q 3 ( 2 3) 0 FB 29kN Fy 0 FA FB F q 3 0 FA 15kN
2、计算1-1截面的内力(左侧)
9.2 梁的内力
例 简支梁受力如图所示，试求1－1截面的剪力和 弯矩。
解：（1）计算支座反力
P1 5 P2 2 RA 29.2kN 6
P1 1 P2 4 RB 20.8kN 6
解：（2）计算截面内力
F
、
y
0
RA P 1 Q1 0
Q1 RA P 1 29.2 25 4.2kN
A
剪力Q——限制梁段上下移动的内力; 弯矩M——限制梁段转动的内力偶。
9.2 梁的内力
梁的内力——剪力和弯矩的概念 梁发生弯曲时，横截面上同时存在两个内 力—剪力Q 和弯矩 M
1. 剪力：Q
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。
2. 弯矩：M
构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内 力偶矩。
1m
B右截面： 与 B左 截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 FB ,故有：
QB右 QB左 FB 4kN
MB右 MB左 FB 0 M B左 5kN.m
亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符 号变化。
例2
求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F=8kN q=12kN/m 1 2m 1.5m 1 1.5m 2
qL 2 1 1 a y qL A M1 x1 Q1 图（b） x1 2 b q
解：截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体 如图（b）示。
x
图（a）
Y 0
1 i
qL Q1 0
Q1 qL
m (F ) 0
qLx1 M 1 0
M 1 qLx1
2--2截面处截取的分离体如图(c),
练习
【1】简支梁。已知P1=36kN，P2=30kN，试求截面I－I上的 剪力和弯矩。
【解】(1) 求支座反力 以整梁为研究对象，列平衡方程 由 得 ∑mA(F)= 0，RB×6-P1×1-P2×4=0 RB=（P1×1+P2×4）/6=26kN
由
得
∑mB(F)= 0，P1×5+P2×2-RA×6=0
A
2
q
M 2 2qa 2
B C
a
a 4a
取左段梁为研究对象:
取右段梁为研究对象:
Qc FA q 2a
Q Y (一侧)
qa
Qc q 2a FB
qa
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力 在垂直于轴线方向投影的代数和.
M 1 2qa
A
2
q
M 2 2qa 2
受力特点：垂直杆轴方向作用外力， 或杆轴平面内作用外力偶；
变形特点：杆轴由直变弯。
9.1.1 弯曲的概念
平面弯曲—荷载与反力均作用在梁的纵向对称平 面内，梁轴线也在该平面内弯成一条曲线。
梁的横截面上都具有对称轴
9.1.2 梁的基本形式
1.简支梁
一端为固定铰支座， 另一端为可动铰支座。
9.1.2 梁的基本形式
若取梁的右段为研究对象，受力图如图所示。列平衡方程
由 ∑Fy=0，Q1+RB-P2=0
B C
a
a 4a
取左段梁为研究对象:
取右段梁为研究对象:
MC FA 2a 2qa a M1
MC FB 2a 2qa a M2
2qa
2
2qa
2
M Mo (一侧)
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力
（力和力偶）对截面形心力矩的代数和。
9.2.3 求指定截面内力的简便方法
A
q
Mc
QC
由Y 0,
得到：
C a
FA q 2a Qc 0 Qc FA q 2a
FA
qa
由 M C 0, 得到：
（剪力 QC 的实际方向与假设方 向相反，为负剪力）
MC FA 2a 2qa a M1 0
MC FA 2a 2qa a M1 2 qa
1. 2.
构件本身的简化
通常取梁的轴线来代替梁。
载荷简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
集中力、集中力偶和分布载荷。
3. 支座简化
三种典型支座的简化
9.2 梁的内力
1.弯曲内力—剪力和弯矩
举例 已知：如图，P，a，l。 A
l P XA A B a P B
求：距A端x处截面上内力。 解：①求外力
② 可动铰支座
1个约束，2个自由度。 如：桥梁下的滑动支座，支撑拉门
的一个滑轮组。
9.1.4 梁的支座形式及支反力
③ 固定端
3个约束，0个自由度。 如：游泳池的跳水板支座，
XA YA MA
木桩下端的支座等。
9.1.5 梁的简化
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析
计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
（1）用截面法计算内力的规律 梁上任一横截面上的剪力在数值上等于此 截面左侧（或右侧）梁上所有外力的代数 和； 梁上任一横截面上的弯矩在数值上等于此 截面左侧（或右侧）梁上所有外力对该截 面形心的力矩的代数和。
（2）关于剪力和弯矩的符号问题 为计算方便，通常将未知内力的方向都假设 为内力的正方向。 当平衡方程解得内力为正号时表示实际方向 与所设方向一致，即内力为正值； 解得内力为负号时，表示实际方向与所设方 向相反，即内力为负值。 用简便方法计算时，竖向外力或力矩（力偶 矩）代数和的正负号与剪力和弯矩的正负号 规定一致（左上右下，左顺右逆）可在括号 中标出选用的区段是左侧还是右侧。
2
（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）
如以右侧梁作为研究对象，则：
Qc q 2a FB
q
M 2 2qa 2
B
qa
MC FB 2a 2qa a M2
Mc
Qc
C a
FB
2qa 2
为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。
M 1 2qa
【读一读】钢筋混凝土梁的钢筋纵向主筋布置
在钢筋混凝土梁中，钢筋主要承担其中的拉力，混凝 土主要承担压力。
简支梁桥（图4-1a）
【想一想】
1.试绘制图1中梁结构的结构简图。 2.在简支梁桥的纵梁中的纵向受力主筋为什 么布置在梁的下侧，而在阳台挑梁中则布 置在梁的上侧？ 3.图1所示在梁的两端为什么布置了弯起钢筋， 其作用是什么？
剪力的常用单位为牛顿（N）或千牛顿（kN）， 弯矩的常用单位为牛顿米（N〃m）或千牛顿米 （kN〃m）。
9.2.2 梁的内力符号规定
2.剪力 Q 与弯矩 M 的正负号规定
绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 或者左上右下为正，反之为负。
①剪力Q:
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形 的为负弯矩。 或者左顺右逆为正，反之为负。