材料力学第四节弯曲内力

悬臂梁
桥式起重机大梁和火
车轮轴，也可以把两条 钢轨中的一条看作是固 定铰支座，而另一条则 视为可动铰支座。
二、载荷的简化
作用在传动轴上的传动力、 车床主轴上的切削力、割刀上 的切削力等，所以都可以简化 成集中力。吊车梁上的吊重、 火车车厢对轮轴的压力等，也 都可以简化成集中力。
图4.6a是薄板轧机的示意图。 在轧辊与板材的接触长度l0内， 可视为均布载荷(图4.6b)。
第四章 弯曲内力
基本要求:
1．了解弯曲的受力特点和变形特点，及受弯杆件的简化 2．熟练绘制剪力图和弯矩图。
重点:
剪力图和弯矩图的绘制
难点：
剪力图和弯矩图绘制的微分关系法
课时：
4学时
第四章 弯曲的强度计算
§4.1 弯曲的概念和实例 §4.2 受弯杆件的简化 §4.3 剪力和弯矩 §4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 §4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
讨论平面弯曲 时横截面上的 内力、应力和 变形问题
§4.2 受弯杆件的简化
一、支座的几种基本形式 传动轴两端为短滑动轴承
车床主轴约束为滚动轴承
轴承一个简化成固定铰支座， 另一个简化成可动铰支座
简支梁
左端简化固定铰支座， 中部简化为可动铰支座。
外伸梁
车床上的割刀及刀架
割刀的一端用螺钉压 紧固定于刀架上，称 为固定端支座
（3）计算B截面的内力。
Y0 mB＝0
FSB＝－ YB＝－ 52P MB＝0
m FSC
YA
MC
FSB MB YB
求剪力和弯矩的法则如下： （1）计算其约束反力； （2）用截面法求内力。保留一段(左段或右 段)，在截面上设出正剪力FS和正弯矩M。 （3）对保留段列平衡方程。然后用∑Y=0求FS； 用∑m0=0求M。一般以该截面的形心作为力矩中心。
剪力图—水平直线；
弯矩图—AC和CB两段皆为斜直线
，在力偶作用处C点有突变。
CB段：x=a,M－MO b
AC段：x=0，M＝0x；a, MMOa x=l, M＝
l
l0
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 解 （1）求支反力。
RA
RB
1ql 2
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。
FS
RA－q
x＝ql 2
－q
x
例4.2 解 （1）受力分析，画出力学简图。
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。
取距原点为x的任意截面，保留 左段。设出正剪力FS和正弯矩M， 列平衡方程得：
∑Y=0， FS＝－P 剪力方程 ∑MC=0 ， M＝－Px 弯矩方程
A
FS
（3）画出FS图与M图。
FS图是一平行于x轴的直线； M图是一斜直线。 只需确定其上两点的数值：
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。
l
M
0≤x≤a
CB段： a≤x≤l
M
R
A
x＝
Pb l
x
FS
RA－P＝Pl b－PPll-b
Pa l
RA
MRAx－Px－a＝Pl al－x
RA
（3）画出FS图与M图。
FS图为两段水平直 线，P力处有突变
（2）用截面法求内力。 计算距A为x处的横截面C上的内力。
保留左端，在左段梁上作用着
外力FRA和F1，在C截面上一定存
在着某些内力以维持其平衡,必然
FS
存在着两个内力分量：与横截面
M
平行的FS和内力偶矩M。称内力FS 为剪力，内力偶矩M为弯矩。
FS
由左段平衡条件得x截面的剪力和弯矩
M
Fy 0 FRA F 1F S0 FS FRAF1
§4.1 弯曲的概念和实例
杆的轴线将由原来的直线弯成 曲线，这种变形称为弯曲。受 力后以弯曲变形为主的杆件通 常称为梁。
受力特点：外力作用线垂直于杆 的轴线，或在通过杆轴的平面内 受到外力偶作用。 变形特点：直杆的横截面绕横向 轴转动，轴线将由原来的直线弯 成曲线。
全梁有对称面，并且 所有外力都作用在对称面 内的情形。在这种情形下 梁的轴线弯成位于对称平 面内的一条平面曲线，这 种弯曲属于平面弯曲。
x=0，M=0；x=l，M=-Pl。
F
CS M
例4.3
解 （1）求支反力。
RA＝ RB＝ M0／ l
（2）用截面法分段求剪力和弯矩方程。
AC段：
FS RA＝MlO
F
S
M FS
0≤x≤a
MRAx＝MlO x
RA
M l-x RB
（Ca3≤）Bx段画≤：出l FS图M 与F SM－ 图R RB B。＝ l－ M xl＝ O M lOx－ l FS图
M
RAx－q
x
x＝qlx－qx2 22 2
（3）画出FS图与M图。
剪力图为一斜直线，
x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2；
弯矩图为一抛物线， 由三点来确定：
x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。
F S
M FS
FS图
补例2 解 （1）求支反力。
RA ＝ Pl b
RB ＝ Pl a
4.1a中起重机大梁的自重也 是均布载荷。
三、静定梁的基本形式
1.简支梁: 一端为固定铰支座、另
一端为活动铰支座的梁。
2.悬臂梁: 一端固定，另
一端为自由的梁。
3.外伸梁：
一个固定铰支座和一个活动 铰支座支承，而且有一端(或两 端)伸出支座以外的梁．
§4.3 剪力和弯矩
如图所示的简支梁，承受集中力F1、F2、F3作用。 （1）求支反力FRA、FRB。
指无限接近于B截面并位于其左侧的截面)。 m＝2Pl
解：（1）计算其约束反力；
mA0
－ m － P2 lY Bl0
5 YB2 P
mB0 － Y Al－ m +P2 l0
YA－ 3 2 P
（2）计算C截面的内力。
Y0, YA－FSC ＝ 0, FSC ＝－ 23P
m
P
mC＝ 0, YA4l－m＋MC＝ 0, M C＝183Pl
MO0 M F 1 x a F R x A 0M F Rx A F 1 x a
保留右段，得到数值相同的剪力和弯矩，但方向相反。
FS、M符号规定：
剪力“左上右下” 时为正，反之为负;
弯矩下凸时为正， 反之为负。
FS＞0
FS＜0
例4.1 图示简支梁AB，试计算C、B截面上的内力(B截面是
§4.4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图
为了进行强度计算和变形计算，必须知道沿梁轴 线剪力和弯矩的变化规律，最大剪力和最大弯矩 的数值及其所在截面。用图形来表示剪力和弯矩 沿梁轴的变化最为方便，这种图形叫剪力图和弯 矩图。
要画出剪力图与弯矩图，首先应知道剪力FS和弯 矩M随截面位置x的变化规律，称为剪力方程和弯 矩方程。