二维不可压流函数N_S方程的多重网格方法
二维NS方程无结构网格并行计算
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可得最佳梯度： 让ｆ取极小，
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工作 。
图１ 结构剖分网格的区域分解
３０ ９
图２ 无结构网格区域分解
２２并行计算 ．
本文的并行工作是在ＣＲＥ高性能计算中心的Ｓ２ ＥＮＴ Ｐ计算机上， 采用四个节点进行计算， 利
用Ｍ Ｉ Ｐ 函数实现各个节点之间的通讯。
３计算结果
本文采用上述格式在Ｓ２ Ｐ上进行了 Ａ ２２翼型的绕流计算。 Ｒ Ｅ ８２ 分别针对较粗网格和细网 格 进行了计算，下面图 和图 给出了计算的 ３ ４ 细网 格以 及粗、 细网 格计算结果和实验的比 较，结 果表明加密网格可以得到与实验更加吻合的结果。通过计算表明，本文采用的计算方法可以 有效地应用于 Ｓ Ｎ 方程的计算中，而采用并行计算可以 提高计算的效率并可以 克服单机内存不 足的缺陷。由 无结构网格的结构复杂性， 于 本文采用四 个节点的并行效率接近３ 还需要进一 ， 步的努力，以提高Ｃ Ｕ的利用效率。 Ｐ
张 信・ 波动 无自 今数的 敞 分格 空 动力 学 ９ １） ｎ Ｈ ． Ｎ ｄｅｎ ｓ ｅｅ ｒｌ 涵 无 、 由 耗 差 式， 气 学 报１８ （ ａ Ｘ Ｎ Ｄ ｒ ｃ ｃ ｍ ， ａｏ ８ （ Ｚ ｇ ， ｉ ｅ ｅ １ ｈ ｆ ｈ Ｊｎ ｆ ｏ ｕ
第 Ａ ｍ 丝 ｆ 堂创 ｉ 十全丝Ａ 逐色一一一一一一一一一一一
二维ＮＳ －方程无结构网格并行计算
徐听 符松
二维不可压N-S方程二次四边形单元有限元解
１（ ・ （ １＋ ） １＋叼 叩 ・ ）×
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则 在 Ｆ上有 写 为
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应用于二维不可压 Ｎｓ方程 ， — 编制 了相应 的数值
模 拟程 序． 后 作 为本 文 方 法 精 确性 和可 靠 性 的 最
验证 ， 有精确 解 问题进 行 了数值 模拟 ． 对
ｋｙ ｅ ｗｏ ｄｓ： ｎ ｏ ｒ ｓｉ ｌ ｆｏ ｒ ｉ ｃ ｍｐ ｅ ｓｂ ｅ ｌｗ；Ｎａ ｉ ｒＳ ｏ ｅ ｅ ｕ ｔｏ ｖｅ — ｔ ｋ ｓ ｑ ａ ｉｎ；ｓｒ ａ ｆ ｎ ｔｏ ｆｎ ｔ ｅｅ ｎ ｔｅ ｍ ｕ ｃ ｉｎ； ｉｅ ｌ ｍｅ ｔ ｉ
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Ｎ． Ｓ方程 ， 免 了涡量壁 面 边界 条 件 问题 ， 避 具有 只 含 有一 个场 变 量 的优 点 ， 以使 计 算程 序 相 对 简 可 单一 些 ； 由于 积分 表 达 式 中的被 积 函数 要 求 但 二 阶导 数 可 积 ， 此 要 求 采 用 高 阶 的 单 元 基 函 因 数 ｊ本文 将二 次 非线 性 四边 形 单元 有 限元 方 法 ．
二维不可压缩navier-stokes-landau-lifshitz方程组的整体强解
二维不可压缩navier-stokes-landau-lifshitz方程组的整体强解Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组是用来描述二维不可压缩流体运动的普遍方程。
它是对流体在动力、热力、物质等多种物理效应作用下进行多尺度模拟的有效工具，是研究复杂流体问题的关键。
1.Naviar-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的基本形式Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的基本形式包含了方程的结构定义、空间变量、时间变量和输入变量，组成如下：（1）流场方程：对密度，速度和压力的描述；（2）能量方程：描述传热过程；（3）物质守恒方程：将粒子的变量连同流量和能量一起涵盖；（4）边界条件：将流体运动于受定义空间或介质内，并约束方程组的解。
2. Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的解Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的整体强解是对流体运动过程的完整描述，它包括流体的结构、动力学、热力学等理论模型。
该方程组可以使用多种空间和时间分解技术解决，比如：（1）特征定积分分解技术：特征定积分计算方法，通过积分可以得到流体的历史数据，从而求出解；（2）Galerkin有限元分解技术：通过Galerkin有限元分解方法可以得到很小的解，这也是一种将初值和边界条件一起求解的方法；（3）局部分解技术：通过局部分解计算方法可以得到相对准确的解，这是计算复杂性处理较低的一种解法；（4）关联循环求解器：通过关联循环求解器就可以得到Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的解，同时也可以求解空间多尺度的复杂流体问题。
3. Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的应用Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的本质就是对二维不可压缩流体运动过程作出数学描述，应用适用于众多流体科学领域，主要包括：（1）宇宙飞行器：在设计宇宙飞行器时，舱壁的低速、高压、非定常流体流动一直是设计中重要的一环；（2）津浦发电厂：津浦发电厂是典型的斜坡发电厂，通过模拟流体在津浦斜坡水轮发电机间的流动，可以有效提升发电效率；（3）空心叶轮压气机：空心叶轮压气机的设计要求考虑到流体的动力学特性，流场方程则可以作为压气机设计的主要辅助工具；（4）船舶航行模拟：船舶在水域的航行特别是汽轮船的航行模拟，都可以使用Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组进行研究。
二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析
二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析一、引言计算流体力学的控制方程通常认为是N-S(Navier-Strokes)方程组，包含了能量方程、动量方程、连续性方程等方程组的总称。
当考虑流体的黏性时，作用在流体质点上的力除了质量力、法向应力（垂直于作用面的压力）外，还有与作用面相切的切向力，N-S方程建立了流体微团的动量变化率与作用在微团上的惯性力，压力以及粘性剪切力之间的关系，反映了黏性流体运动的基本规律，对计算流体力学有着十分重要的意义。
本文旨在对二维定常不可压缩N-S方程进行无量纲化，方便简化计算和分析相似实验。
量纲分析就是对有量纲的物理方程进行参数的组合，实现参数和方程的无量纲化，将方程无量纲化有以下几点好处：（1）方程形式可以得到简化并且可能减少方程个数，进而提高实际计算速度；（2）通过无量纲化尽可能的减少方程中的常数运算，将这些常数转化为某个特征参数，这样可以降低计算难度；（3）防止方程中的物理参数在数量级上造成差异，从而降低精度损失；（4）将方程中的物理量无量纲化后容易实现计算中的相似模拟。
流体力学中的相似通常可以分为几何相似、运动相似和动力相似。
流动相似的概念来源于几何相似的概念，两个流动如果相似，例如模型流动与实际流动相似，则其流场中相应点上各同类物理量将具有各自固定的比例关系，也即可将模型实验的成果应用于实际流动中。
相似原理指出，两个流动若相似必满足一定条件，即满足几何相似、运动相似、动力相似，这些条件还应包括边界条件和初始条件相似。
根据相似原理，两个流动现象只要同时满足上面的相似条件，它们之间就存在相似关系，其对应物理量都成一定的比例关系。
在应用中，首先需要分析所要研究的流体，找出影响流动问题的作用力，我们只需要满足一个主要作用力相似，而不必计较其它作用力是否达到相似。
例如对于一些流动现象，只要流动的雷诺数不是很大，一般其相似条件都依赖于雷诺数。
雷诺数是用来判断流体流动特性的无量纲量，对于封闭环境内的流动，当雷诺数小于2300时的流动为层流，能用N-S 方程表示；当雷诺数大于4000时的流动为湍流，不能用N-S方程表示。
N-S方程多段翼型绕流计算的嵌套网格方法
中 图分 类号 ： ２ １ 文献标 识码 ： Ｖ １． ３ Ａ
计算网格生成技术 ， 一直是计 算流体力学 （ Ｆ 发展 的一 Ｃ Ｄ）
部人力 时间的 ６ ％左右 ， Ｏ 可见网格生成是 Ｃ Ｄ作为空气动力学 Ｆ
（） １将计算域分成 多个互相有重叠部分 的子域 ， 人为给定重 （） ２ 建立各子域间流场干扰信息的传递 。 所构成 的计算程序
【 ｂｔ ｃ】Ｔｅｔ ｈｉ ｅｏ ｈ ｅａ ｄｍ ｔ ｄ ａ ｕｅ ｅ ｏ ｅｄ ｃｌ ｇ Ａ ｓ ａｔ ｈ ｃｎ ｕ ｒ ｅ ｑ ｆｃｉ ｒ ｍ ｈ ｓ ｓｄｔ ｏ ｒ ｍ ｔ ｉ ｕ ｙ ｒ ｅ ｏｗ ｏ ｖ ｃｅ ｈ ｆ ｔ ｏ ｉ ｆ ｆ
ａｏ ｃｍ ｌ ｏｆｇｒ ｉ ． ｉ ｔＴｅ６ ｔ ｎｏ ｏ ｐｅ ｃｎ ｕａｏ Ｆｒ ，ｈ ｏ咖 ｉ ｆ ｘ ｉ ｔｎ ｓ
外 个重要分支 ，一般网格生成所需的人力时间 占一个 计算任务全 叠 区 域 的 内 、 边 界 。
工程应用 的有效工具所面临的关键技术之一 。计算 网格布局 的 将分别产生分 区网格的坐标 和进行插值的数 据结构两个输 出文
好坏直接关系到计算 网格生成的难 易流场的解算器耦合就可以计算整体绕流
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二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析
二维定常不可压缩N-S 方程无量纲分析一、引言计算流体力学的控制方程通常认为是N-S（Navier-Strokes）方程组，包含了能量方程、动量方程、连续性方程等方程组的总称。
当考虑流体的黏性时，作用在流体质点上的力除了质量力、法向应力（垂直于作用面的压力）外，还有与作用面相切的切向力，N-S 方程建立了流体微团的动量变化率与作用在微团上的惯性力，压力以及粘性剪切力之间的关系，反映了黏性流体运动的基本规律，对计算流体力学有着十分重要的意义。
本文旨在对二维定常不可压缩N-S 方程进行无量纲化，方便简化计算和分析相似实验。
量纲分析就是对有量纲的物理方程进行参数的组合，实现参数和方程的无量纲化，将方程无量纲化有以下几点好处：（1）方程形式可以得到简化并且可能减少方程个数，进而提高实际计算速度；（2）通过无量纲化尽可能的减少方程中的常数运算，将这些常数转化为某个特征参数，这样可以降低计算难度；（3）防止方程中的物理参数在数量级上造成差异，从而降低精度损失；（4）将方程中的物理量无量纲化后容易实现计算中的相似模拟。
流体力学中的相似通常可以分为几何相似、运动相似和动力相似。
流动相似的概念来源于几何相似的概念，两个流动如果相似，例如模型流动与实际流动相似，则其流场中相应点上各同类物理量将具有各自固定的比例关系，也即可将模型实验的成果应用于实际流动中。
相似原理指出，两个流动若相似必满足一定条件，即满足几何相似、运动相似、动力相似，这些条件还应包括边界条件和初始条件相似。
根据相似原理，两个流动现象只要同时满足上面的相似条件，它们之间就存在相似关系，其对应物理量都成一定的比例关系。
在应用中，首先需要分析所要研究的流体，找出影响流动问题的作用力，我们只需要满足一个主要作用力相似，而不必计较其它作用力是否达到相似。
例如对于一些流动现象，只要流动的雷诺数不是很大，一般其相似条件都依赖于雷诺数。
雷诺数是用来判断流体流动特性的无量量，共有18个应力分量X 轴的运动微分方程：(2.1)最后导出沿x 轴的(2.2) (2.3)(2.4)纲量，对于封闭环境内的流动， 当雷诺数小于 2300时的流动为层流， 能用N-S方程表示；当雷诺数大于4000时的流动为湍流，不能用 N-S 方程表示。
讲稿多重网格算法及平均现象的解释
讲稿多重网格算法及平均现象的解释多重网格算法（Multigrid Algorithm）是一种用于解决偏微分方程数值解的迭代方法，其特点是通过在不同的网格层次上进行逐层求解来提高算法的效率。
而平均现象（Averaging Phenomenon）则是指在多重网格算法中，粗网格上的误差和精细网格上的误差之间能够通过一种平均的方式相互影响和传播，最终使得算法收敛速度加快。
多重网格算法首先将原始问题离散化为不同层次的网格，通常包括粗网格和细网格。
在每一层次上，算法通过迭代求解来逼近问题的解，然后将该解传递到相邻的层次上。
在粗网格上，由于离散化程度较低，计算量相对更小，因此可以高效地求解近似解。
而在细网格上，精度较高，可以更准确地求解。
通过在不同层次间多次迭代，最终得到问题的数值解。
在多重网格算法中，平均现象是使算法收敛速度加快的关键。
在每一次迭代中，粗网格上的解被传递到细网格上，而细网格上的误差则通过一种平均的方式传回到粗网格上。
这种误差传递和平均化的过程使得细网格上的误差被平滑和减少，同时将误差传播回粗网格上，从而进一步减小粗网格上的误差。
通过多次迭代，误差逐渐减小，最终达到问题的收敛。
平均现象可以通过以下两个方面来解释:1. 粗网格修正：在每一层次的求解过程中，细网格上的误差通过插值传递到粗网格上。
通常采用的插值技术是限制性平均（Restriction Average），即对于每个细网格上的误差点，通过计算其周围的粗网格节点值的平均来修正。
这样，细网格上的误差会通过平均操作在粗网格上逐渐减小。
2. 细网格修正：在每一层次的求解过程中，粗网格上的解通过插值传递到细网格上。
通常采用的插值技术是延拓平均（Prolongation Average），即对于每个粗网格上的解点，通过计算其周围的细网格节点值的平均来修正。
这样，粗网格上的解会通过平均操作在细网格上逐渐修正。
通过以上两种修正方式，多重网格算法中的平均现象得以实现。
多重网格算法
uˆ
n h
u
n h
Vhn
•多次重复1、2过程直至结果收敛。
谢 谢。
三、基本思想—三大支柱
• 细网格松弛 • 粗网格校正 • 套迭代技术
四、多重网格方法的计算步骤
• 二维扩散方程：
q 2q q
s
• 差分格式：
qn1 i, j
qin,
j
s
1 2
q 2 n1
n 1
i, j
i, j
1 2
q2 n i,
j
in, j
• 将上式变形得：
1 s
1 2 2
• 八十年代开始已深入到计算流体力学 （CFD），时间相关问题、波动方程、积 分方程等领域。
二、已取得的成果和待扩充领域
• 多重网格算法也其他领域也取得大量成果， 如统计物理中的快速Monte-Carlo方法、 积分变换、图象处理等等。
• 多重网格技术与别的领域中高效方法结合， 产生了许多新方法，如高精度谱多重网格 算法、处理非规则问题的代数多重网格方 法等等。
a.计算细网格上的亏损量：
dhn
fh
n
Lhuh
n
Lh (uh uh ) LhVh
b.从细网格到粗网格转移亏损量：
d
n H
I
H h
d
n h
两层V循环多重网格方法的计算步骤
c.在粗网格上精确求解修正量：
LHVHn
d
n H
d.H
VHn
e.计算细网格修正后的量：
1 2
in,
j
qin,
1 j
1 s
1 2
2
1 2
in,
j
qin,
n—s方程supg有限元解法
N-S方程（即Navier-Stokes方程）是流体力学中最基本的描述流体运动的方程，由法国数学家威廉·纳维尔和英国数学家马克斯·斯托克斯在1822年提出，经过多年的发展，N-S方程已成为流体力学领域的基本方程。
N-S方程可以用来描述流体的运动规律，是流体力学的基础，也被广泛应用于工程中，比如气动、液动、热传导等。
N-S方程的有限元解法是一种常用的解决N-S方程的数值计算方法，它将N-S方程空间中的复杂运动场模拟成多个离散的有限元（即多边形），用有限元的方法来求解N-S方程，从而实现对流体运动的数值模拟。
有限元解法的最大优点在于它可以更准确地模拟流体运动，它不仅可以模拟出流体的瞬态运动，更可以模拟出流体的湍流和湍流的演变过程，从而更好地模拟出流体的真实运动状态。
另外，有限元解法还可以解决复杂的边界条件，使得流体运动更加精确。
有限元解法的应用非常广泛，如气动学中，有限元解法可以用来模拟飞机、喷气机等航空器的气动特性，并可用来计算飞机的推力、抗力和阻力等。
在船舶技术中，有限元解法可以被用来计算船舶的抗力、推进力和阻力等，从而更好地优化船舶的设计。
此外，有限元解法还可以用来模拟水力机械的运动、水力发电机组的水力特性等。
“每个人都应该把自己的智慧用于推动科学发展，并用科学的手段解决实际问题。
”——爱因斯坦。
N-S方程有限元解法提供了一种有效的方法，使我们能够更加准确地模拟流体运动，从而解决实际问题。
有限元解法的发展还在不断深入，随着计算机技术的发展，它的应用也越来越广泛。
未来，有限元解法将会发挥更大的作用，为我们提供更多的科学研究和实际应用的支持。
“科学的进步给我们带来的，不仅仅是更多的知识，更重要的是它给我们带来的生活的乐趣。
”——爱因斯坦。
N-S方程有限元解法是科学进步的一个重要成果，它为我们提供了更多的科学研究和实际应用的可能性，也让我们能够更好地理解流体运动，更好地改善人们的生活。
二维不可压Navier—Stokes方程的特征混合有限元算法
求 解 区 域 Ｄ ＝ Ｅ ， ］ｘ Ｅ ，］ 在 Ｄ 上 给 出 （ ． ）～ （ ． ）的边 值 条 件 及 初 值 条 件 为 ０ １ ０ １ ， Ｏ１ Ｏ３
收 稿 日期 ： ０ １ ０ — ８ ２０ —２２
基 金 项 目 ； 家 自然 科 学 基 金 项 目（ ９ ７ ０ ９ 国 １９ ２３ ） 作 者简 介 ： 同科 （９ ５ ， ， 士研究 生 ， 要从事 微分方 程数值算 法研究 ． 工作 单位 ： 南 师范大 学数学 系 ， 教授． 王 １ ６ 一） 男 博 主 现 河 副
不可压缩流体n-s方程
不可压缩流体n-s方程不可压缩流体N-S方程是描述流体运动的基本方程之一。
在流体力学中，不可压缩流体是指其密度在空间和时间上保持恒定的流体。
N-S方程是由物理学家Navier和Stokes在19世纪提出的，它是描述流体的运动和变形的方程组。
不可压缩流体的N-S方程可以分为连续性方程和动量方程两部分。
连续性方程描述了流体的质量守恒，它表达了流体的质量在空间和时间上的连续性。
在不可压缩流体中，质量守恒方程可以简化为速度场的散度为零，即流体的速度场是无散的。
这意味着流体在任何一个点的流入和流出速度是相等的，从而保证了质量的守恒。
动量方程描述了流体中的力学运动，它是通过牛顿第二定律和黏性力的作用来推导的。
动量方程可以分为三部分：惯性项、压力梯度项和黏性力项。
惯性项描述了流体质点在单位时间内由于速度变化引起的动量变化，压力梯度项描述了流体由于压力差产生的力，而黏性力项描述了流体由于黏性作用而产生的力。
在不可压缩流体中，由于密度恒定，惯性项可以简化为流体质点的加速度乘以密度。
压力梯度项可以表示为压力场的梯度。
而黏性力项则是由流体的黏性特性决定的。
黏性力的大小与流体的黏度成正比，黏度越大，黏性力越大。
不可压缩流体的N-S方程可以进一步简化，当黏度较小、流动速度较小以及流体的粘滞性较低时，黏性力可以忽略不计。
这时，N-S 方程可以简化为欧拉方程，它是描述理想流体运动的方程。
欧拉方程只考虑了流体的惯性和压力梯度，忽略了黏性力的作用。
不可压缩流体的N-S方程在科学研究和工程应用中有着广泛的应用。
在天文学中，N-S方程可以用来研究行星和恒星的运动；在气象学中，N-S方程可以用来研究大气运动和气候变化；在航空航天工程中，N-S方程可以用来研究飞机和火箭的飞行性能。
不可压缩流体的N-S方程是描述流体运动的基本方程之一。
它通过连续性方程和动量方程来描述流体的质量守恒和力学运动。
N-S方程在科学研究和工程应用中有着广泛的应用，对于理解和预测流体运动具有重要意义。
多重网格方法及其算法分析
多重网格方法及其算法分析多重网格方法（Multigrid Method）是一种用于求解偏微分方程数值解的高效算法。
它通过在多个网格层级上迭代求解，将计算时间大大缩短，并提高了求解结果的精度。
本文将对多重网格方法及其算法进行深入分析。
一、多重网格方法简介多重网格方法是一种求解线性或非线性偏微分方程数值解的方法。
其基本思想是通过在不同精度的网格上进行迭代求解，从而达到快速求解的目的。
多重网格方法拥有以下特点：1. 多层网格结构：多重网格方法通过构建多个层级的网格结构，从粗网格开始，逐渐向细网格逼近。
每个网格层级包含不同的网格点数量，用于近似原始偏微分方程的解。
2. 收缩-插值操作：在不同网格层级之间，通过收缩和插值操作，将解从粗网格传递到细网格，或者将残差从细网格传递到粗网格。
这样可以加速迭代求解，达到更高的求解精度。
3. 快速下降：多重网格方法利用了网格层级结构，每次迭代都能快速收敛至最细网格，然后再进行细致的求解。
这种快速下降的策略有效地减少了计算时间。
二、多重网格方法算法分析多重网格方法包含以下主要步骤：1. 初始化：选择适当的初始解，并构建多层网格结构。
2. 粗网格迭代：在粗网格上进行迭代求解，不断逼近精确解。
3. 输运操作：通过插值或收缩操作，将解从粗网格传递到细网格，或者将残差从细网格传递到粗网格。
4. 细网格迭代：在细网格上进行迭代求解，提高求解精度。
5. 重复操作：重复进行输运操作和细网格迭代，直到达到预定的收敛标准。
6. 输出结果：得到最终的数值解。
多重网格方法的核心在于输运操作和迭代求解。
输运操作通过插值和收缩操作，将解从一个网格层级传递到相邻的层级，实现解的传递和精度提升。
而迭代求解则在每个网格层级上进行局部的求解，通过逐步逼近真实解来提高数值解的精度。
三、多重网格方法的应用领域多重网格方法在科学计算和工程领域有着广泛的应用。
它可以用于求解各种偏微分方程，如椭圆方程、抛物方程和双曲方程等。
多重网格法求解原始变量形式的Navier—Stokes方程
其中 ：
（）式 为 连续 性 方 程 ，２ 、３ １ （） （ ）式 分 别 为 ｒ ０方 向 的 动 量 方 程 ， Ｎ —Ｓ方 程 ； ， 即
Ｒ 是雷诺数 ， ｅ： 旦 ｅ Ｒ
ｄ ａ
＋
（ Ｄ
一
：
２ ｙ是 粘 性 系 数 ） ；
ａ
＋
ａ
＋
Ｖ ａ Ｏ
２
维 问题一 般需采用原 始变量 ， ｕ ， Ｐ． 为了叙述方便 ， 即 ， 埘， 但 本文仅讨论二维 的情 形 ． 在离 散控制方程 时 ， 文采用基于交错 网格 的有 限容积法 … ． 的优 点是满 足 守恒律 ， 本 它
精 度 高 ， 须 压 力 边 界 条件 且 容 易 与 多重 网 格 法 配 合 使 用 ． 无
摘
要 ： 用 多重 网格 法 ， 解 原始 变量 形式 的 Ｎ ｖ ｒ ｔ ｅ 方 程 ． 制方 程 在 交错 网格 上 采 求 ａｉ － ｏ ｓ ｅＳ ｋ 控
离散 ， 并采 用 ＳＭＰ Ｅ算法 计算 ． Ｉ Ｌ 为加 速 收敛 ， 合使 用适 合 非 线 性方 程 的全 近 似 格 式 的 多 结 重 网格 法 Ｆ Ｓ 文章 计 算 了雷诺 数 Ｒ ＝１０ １０ Ａ． ｅ ０ ，０ ０时不 可 压 粘性 流 体绕 圆柱 的 流动 ． 算 结 计 果 与 实验 结果 和 国外 的计 算 结果 基本 吻合 ， 明 了该 方 法 的准确 性和 有效 性 ． 说
Байду номын сангаасＯｃ ． ０） ｔ ２ （２
文 章 编 号 ：００２ ７ （（ ２ ０ －０７０ １０ －０ ３ ２１ ）４０ ２ — ０ ７
多 重 网 格 法 求 解 原 始 变 量 形 式 的 Ｎ ｖｅ—ｔｋ ｓ 程 ａｉｒＳｏ ｅ 方
计算流体力学 不可压缩N-S方程的求解.
第十二讲 不可压缩Navier-Stokes方程的求解
李新亮 lixl@ ；力学所主楼219； 82543801
知识点：
拟压缩性方法 求解压力Poisson方程法 涡流函数法 Simple方法
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ui 1, j ui 1, j ui, j 1 ui, j 1 4ui , j f i , j 2
Gauss-Seidel迭代
n n
Jacobi迭代
n
n
n+1
n+1
n+1
n
n+1
LU-ADI
n
n+1
n+1
n+1
n+1
LU-SGS
n n n+1
n
Copyright by Li Xinliang 3
u13 u 23 u 33
u1n u2n u3 n u nn
a j x j 1 b j x j c j x j 1 d j
x j Aj x j 1 B j
2
Copyright by Li Xinliang
知识回顾
迭代法
2u 2u f ( x, y ) x 2 y 2 u g ( x, y )
u u p 1 2 u u v u t x x Re y
vi , j 1 / 2
在u的网格点上离散
pi 1, j
ui 1 / 2, j
pi 1, j pi , j p x x i 1/ 2, j
多重网格法简介（MultiGrid）
多重⽹格法简介（MultiGrid）多重⽹格法是⼀种⽤于求解⽅程组的⽅法，可⽤于插值、解微分⽅程等。
从专业⾓度讲多重⽹格法实际上是⼀种多分辨率的算法，由于直接在⾼分辨率（⽤于求解的间隔⼩）上进⾏求解时对于低频部分收敛较慢，与间隔的平⽅成反⽐。
就想到先在低分辨率（间隔较⼤）上进⾏求解，因为此时，间隔⼩，数据量⼩，进⾏松弛时的时空耗费⼩，⽽且收敛快，⽽且⼀个很重要的优点是在低分辨率上对初值的敏感度显然要低于对⾼分辨率的初值的要求。
这⼀点是显⽽易见的，例如我们平时看⼀个很复杂的物体，在很远的地⽅，你可能就觉得它是⼀个点或⼀个球，但是在近处你就不能这么近似，或许发明多重⽹格法的⼈就是从这⼀基本⽣活常识发现的吧。
多重⽹格法可以直接在低分辨率上以⼀个随意的初值进⾏计算，然后再进⾏插值，提⾼其分辨率，再在更⾼分辨率进⾏计算；也可以现在⾼分辨率以随意初值进⾏计算，得到⼀个结果，再将其限制（插值）到低分辨率去，再在低分辨率上进⾏解算，最终再从低分辨率经插值计算达到⾼分辨率。
有关多重⽹格法的资料可以到这⾥下载：多重⽹格技术（multigrid solver）微分⽅程的误差分量可以分为两⼤类，⼀类是频率变化较缓慢的低频分量；另⼀类是频率⾼，摆动快的⾼频分量。
⼀般的迭代⽅法可以迅速地将摆动误差衰减，但对那些低频分量，迭代法的效果不是很显著。
⾼频分量和低频分量是相对的，与⽹格尺度有关，在细⽹格上被视为低频的分量，在粗⽹格上可能为⾼频分量。
多重⽹格⽅法作为⼀种快速计算⽅法，迭代求解由偏微分⽅程组离散以后组成的代数⽅程组，其基本原理在于⼀定的⽹格最容易消除波长与⽹格步长相对应的误差分量。
该⽅法采⽤不同尺度的⽹格，不同疏密的⽹格消除不同波长的误差分量，⾸先在细⽹格上采⽤迭代法，当收敛速度变缓慢时暗⽰误差已经光滑，则转移到较粗的⽹格上消除与该层⽹格上相对应的较易消除的那些误差分量，这样逐层进⾏下去直到消除各种误差分量，再逐层返回到细⽹格上。
多重网格数值求解不可压流体的局部Fourier分析
多重网格数值求解不可压流体的局部Fourier分析多重网格算法是偏微分方程数值求解的一种快速算法。
主要针对离散微分方程后所得的代数方程组进行数值求解,在椭圆型偏微分方程的数值解中已被证明是最优的数值算法,其收敛性与网格尺度的大小无关,且计算成本与问题的规模成正比。
由于多重网格算法的优越性,使得它成为计算流体力学中一种高效的数值方法而受到广泛关注和研究。
本文依托高等学校博士学科点专项科研基金(优先发展领域)(20135314130002)项目、国家自然科学基金面上项目(51279071),研究多重网格法在水力机械内部流数值模拟方面的理论和应用,重点是多重网格光滑理论中的局部Fourier分析方法,对数值求解不可压缩流体控制方程的多重网格方法进行收敛性分析。
主要研究内容和创新如下：(1)结合水力机械流道湍流的流动特点,提出了多重网格算法及其误差迭代的格式。
基于局部Fourier分析理论,分别定义了离散算子和松弛迭代算子的椭圆率和光滑因子,并利用不同粗、细网格层Fourier组分之间的关系,定义了新的不变子空间,分析了不同粗化方式下网格转化算子的Fourier表述方式,研究了多重网格算法渐进收敛因子的理论计算方法,创新了两色松弛在两种不同的Fourier模态函数不变子空间中的光滑分析方法,得到了基于多色松弛矩阵的Fourier分析的理论表示,并以泊松方程为例给出了相应的分析结果。
研究表明,基于多色松弛的多重网格光滑分析过程具有一般的迭代格式,所得结果具有代表性和应用前景。
(2)基于交错网格和非交错网格提出了求解Stokes流的离散格式,并对该离散系统实施两种不同多重网格的松弛算法进行了光滑分析：即聚松弛和分布松弛光滑分析。
在交错网格的离散系统中实现了多重网格分布松弛,发现该离散系统的光滑性取决于Laplace算子,并得到了相应的光滑因子。
其次,在非交错网格离散系统中,分别实施了多重网格分布松弛和聚松弛,在两色松弛的Fourier谐波空间中,讨论了这两种松弛的光滑性质,得出光滑因子关于附加人工压力项参数的表达式。
《不可压缩对流Brinkman-Forchheimer方程的新两重网格数值方法研究》范文
《不可压缩对流Brinkman-Forchheimer方程的新两重网格数值方法研究》篇一一、引言随着计算流体动力学的快速发展，对流问题在众多领域中得到了广泛的应用。
Brinkman-Forchheimer方程作为描述多孔介质中流体流动的重要模型，其数值解法的研究显得尤为重要。
本文提出了一种新的两重网格数值方法，用于求解不可压缩对流Brinkman-Forchheimer方程。
该方法通过两层网格的嵌套计算，提高了计算效率，同时保证了求解的精度。
二、Brinkman-Forchheimer方程及研究背景Brinkman-Forchheimer方程是一种描述多孔介质中流体流动的偏微分方程，它结合了Darcy定律和Forchheimer定律，适用于描述低速流体在多孔介质中的流动行为。
该方程在工程、地质、环境等领域有着广泛的应用。
然而，由于该方程的复杂性，其数值解法一直是研究的热点。
三、传统数值方法及其局限性传统的数值方法如有限差分法、有限元法等在求解Brinkman-Forchheimer方程时，往往存在计算量大、求解时间长、精度不高等问题。
为了解决这些问题，本文提出了一种新的两重网格数值方法。
四、新两重网格数值方法1. 网格划分与嵌套新两重网格数值方法将计算区域划分为粗细两层网格。
粗网格用于大致确定解的范围和趋势，细网格则用于提高解的精度。
通过两层网格的嵌套计算，可以在保证精度的同时提高计算效率。
2. 离散化与求解在粗网格上，采用合适的离散化方法（如有限差分法、有限元法等）将Brinkman-Forchheimer方程离散化为代数方程组。
然后，利用适当的求解方法（如高斯消元法、迭代法等）求解代数方程组，得到粗网格上的解。
在细网格上，以粗网格的解为初始值，采用更精细的离散化和求解方法，进一步提高解的精度。
3. 优化与加速为了提高计算效率，采用并行计算、优化算法等手段对两重网格数值方法进行优化。
同时，通过自适应网格技术，根据解的变化自动调整网格的疏密程度，进一步提高求解的精度和效率。
多重网格方法范文
多重网格方法范文多重网格方法的基本思想是通过在较粗的网格上求解一个近似解，然后使用这个近似解作为初始猜测，在较细的网格上进一步求解。
这样的迭代过程在每一级网格上都执行，直到达到最精细的网格上。
在每一级网格上进行求解时，可以使用任意一种迭代方法，如Jacobi、Gauss-Seidel 或SOR等。
多重网格方法的核心思想是通过在不同层次上使用不同的网格和迭代方法来解决不同长度尺度上的问题。
较粗的网格可以更好地处理长波长成分，而较细的网格则可以更好地处理短波长成分。
通过多级（多层次）的迭代过程，算法可以同时考虑并处理不同长度尺度上的特征，从而提高求解的效率。
多重网格方法的层次结构通常是通过划分网格来实现的，将原始问题划分为多个独立的子问题。
每个子问题对应于一个网格层次，从最粗的网格到最细的网格。
在迭代过程中，先在最粗的网格上求解，然后将解差（残差）转移到下一级网格上。
这个解差表示了当前层次中的误差，并且根据误差的显著性选择适当的迭代方法和相关参数。
通过从粗糙网格到细网格递归求解，最终可以得到一个高精度的解。
多重网格方法的优点是它减少了计算量，提高了求解的速度。
通过使用更粗的网格来处理长尺度成分，减少了单次迭代的计算量。
同时，通过将误差在不同精度的网格间传递，多重网格方法能更好地处理细节，并减少了求解中的振荡现象。
这使得多重网格方法在求解大规模问题时特别有优势。
然而，多重网格方法也存在一些挑战。
首先，构建层次结构需要很好的划分网格，并且不同层次的网格之间需要满足特定的关系。
这可能需要一些领域知识和经验来确定合适的层次结构。
其次，选择适当的迭代方法和参数也是一个挑战，需要根据问题的特性进行调整。
此外，多重网格方法在高维空间中的应用比较困难，因为细化空间的成本较高。
总结起来，多重网格方法是一种高效求解偏微分方程数值问题的算法，通过迭代的方式在不同层次的网格上进行求解，从而提高解的精度和计算速度。
它可以处理不同长度尺度上的特征，并并行化计算。