2015全国高中数学联赛广东初赛试题及答案

2 2 2 2
y − y1 =
y2 − y1 ( x − x1 ). 当 y = 0 时， x2 − x1
2 x2 − x1 y2 − y12 y2 yy y1 + 1 = − 1 2 , y1 + x1 = − y2 − y1 2 p ( y2 − y1 ) 2p 2p yy ………. 5 分 所以 | OC |= − 1 2 . 2p 另一方面，抛物线在 A、B 两点的切线方程分别为： yy1 = p ( x + x1 ), yy2 = p ( x + x2 ), yy ………. 10 分 求得其交点的横坐标为 x3 = 1 2 . 于是 | OC | + x3 = 0 . 2p
2 2
最小值, 当且仅当 ∆ = a − 4 < 0 . 所以 1 < a < 2 .
2
4. 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 = 0, an +1 = an + 1 + 2 an + 2 , 则 该 数 列 的 通 项 公 式
an = ______________.
【答案】 an = n + 2 − 1 − 2 . 【 解 析 】 因 为 an +1 + 2 = an + 2 + 2 an + 2 + 1 =
，有概率 在 0 ≤ x1 , x2 ≤ 1 上考虑满足上述条件的 （x1 , x2）
P=∫
1
0
6 3 α −β 7. 已知 sin α + sin β = , 则 cos , cos α + cos β = = ______________. 2 3 3
【答案】1/4. 【解析】平方求和, 再用倍角公式即得.
2 (1) 当 n ≥ 4 时, n < an < n +1;
………. 20 分
an n + (n ∈ N * ) . 证明 n an
(2) 数列
1 的前 n 项和 S n 满足: 当 n ≥ 4 时, 2 an
3 3 + ln(n + 2) − ln 5 < S n < + ln n − ln 3. 2 2
= 1.
A = {a1 , a2 ,a 3 } 是 S 的 子 集 , 且 a1 , a2 ,a 3 满 足 ：
1 ≤ a1 < a2 <a 3 ≤ 10, a2 − a1 ≤ 4 ，那么满足条件的子集的个数为__________ ∈ { 1,2,,8}，穷举可得. 3. 若函数 y = loga ( x − ax + 1) 有最小值，则 a 的取值范围是______________.
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分. 1. 已知 z 为方程 z + z + z + z + 1 = 0 的根，则 z 【答案】1.
4 3 2 2015
= ______________.
2015
【解析】因为 z 5 − 1 = ( z − 1)( z 4 + z 3 + z 2 + z + 1) = 0 ，所以 z 5 = 1, 进而 z 2. 设 集 合 S = { 1,2, ,10} ,
2
【答案】 1 < a < 2 . 【解析】当 0 < a < 1 时，函数 y = loga x 单调递减. 由于 t = x − ax + 1 没有最大值, 所
2
以函数 y = loga ( x − ax + 1) 没有最小值.
2
当 a > 1 时，函数 y = loga ( x − ax + 1) 有最小值, 当且仅当 t = x − ax + 1 有大于 0 的
2
x2 y2 25 8. 已知椭圆 + = 1 上一点 P 到点 (4,0) 的距离等于４，则 P 点到直线 x = − 的 25 9 4
距离为______________. 【答案】7.5. 所 以 c = 4 , 且 P 到另一个焦点 (−4,0) 的距离为 2 × 5 − 4 = 6 . 【解析】 因为 a = 5, b = 3 ， 由于直线 x = −
由上式可得
1 1 1 1 1 + + > ln1 + + + ln1 + = ln( n + 2) − ln 5, ………. 15 分 n +1 5 6 5 n +1 1 1 1 1 1 + + < ln1 + + + ln1 + = ln n − ln 3. n 4 5 3 n −1 所以当 n ≥ 4 时, 3 3 ………. 20 分 + ln(n + 2) − ln 5 < S n < + ln n − ln 3. 2 2
(
y = − 3 x + 3.
2
) (x ,−
即
3 x2 + 3 , 0 ≤ x1 , x2 ≤ 1. 若角
)
DP • DQ = − x1 x2 + 3(1 − x1 )(1 − x2 ) > 0,
3 1 3 3 dx = − ln 3. 1 − 2 3 − 2x 2 4
1 3 1 x2 < − . 2 3 2 − x 1
x1 + x2 y + y2 ,y= 1 . 于是 2 2 2 1 x +x y 2 + y2 ( y1 + y2 )2 − 2 y1 y2 = 1 4 y 2 + 8 p 2 . x= 1 2 = 1 = 2 4p 4p 4p
[
]
[
]
整理可得
y 2 = px − 2 p 2 为所求的轨迹方程.
11. （本小题满分 20 分）设数列 {an }满足 a1 = 1, an +1 =
2015 年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷 参考答案及评分标准
说明： 1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档; 其他各题 的评阅, 请严格按照评分标准的评分档次给分, 不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理、 步骤正确, 在评卷时 可参考本评分标准适当划分档次评分, 解答题中第 9 小题 4 分为一个档 次, 第 10、11 小题 5 分为一个档次, 不要增加其他中间档次.
2 n
命题成立. 由数学归纳法可知，命题得证。
3
………. 5 分
（2）当 n ≥ 4 时, 由（1）可得
1+
n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + < Sn = ∑ 2 < 1 + + + + + + . 4 4 5 6 4 4 4 5 n +1 n k =1 ak x ………. 10 分 证明： < ln(1 + x ) < x, x > 0. 1+ x
x=−
( y1 y2 ) 2 （ 2 ）由（ 1 ）知， x1 x2 = . 因为 OA ⊥ OB ，所以 x1 x2 + y1 y2 = 0. 进而， 4 p2 y1 y2 + ( y1 y2 ) 2 = 0 ⇒ y1 y2 = −4 p 2 . 2 4p
………. 15 分
设线段 AB 的中点的坐标为 ( x, y ) ，则 x =
(
)
2
an +1 + 2 = an + 2 + 1 , 即 an + 2 =
{ a + 2} 是 首 项 为 2 + n − 1 , 进而 a = (n + 2 − 1) − 2 .
n
(
an + 2 + 1 > 0 , 所 以
)
2
2 ,公差为 1 的等差数列. 于是
2
n
5. 设函数 f ( x) = 1− | 1 − 2 x |,0 ≤ x ≤ 1 ，则曲线 y = f ( f ( x)) 的长为______________. 【答案】 17 . 【解析】分段画出图像, 所求长为 4 × 1 + (1 / 4) 2 = 17 . 6. 已知点 D 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点, 分别在边 AB、 AC 上随机各取一点 P 和 Q, 则角 ∠PDQ 为锐角的概率是______________.
4
1
【答案】
3 3 − ln 3. 2 4
【解析】不妨设正三角形 ABC 的边长为 2, 以 DC 为 x 轴的正方向, DA 为 y 轴的正方 向, 建立坐标系. 则直线 AB 和 AC 的方程分别是：
y = 3x + 3,
∠PDQ 为锐角, 则内积
记点 P 和 Q 的坐标分别为 − x1 ,− 3 x1 + 3 ,
【解析】 （1）用数学归纳法：当 n = 4 时，命题成立.
x n2 2 假设当 n ≥ 4 时, n < a < n + 1 . 由于函数 f ( x ) = 2 + 在 (0, n ) 上严格递减， 所以 n x 2 an n2 n n2 n + 1 n2 2 2 an = + + 2 < + + 2 < n + 2 , a > + + 2 > n + 1. +1 n +1 2 n 2 an n2 n n2 n +1