2019届上海市崇明区高三一模数学Word版(附解析)

上海市崇明区2018届高三一模数学试卷

2018.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 计算：20lim 31

n n n →∞+=+ 2. 已知集合{|12}A x x =-<<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =

3. 若复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数单位，则z =

4. 281()x x -的展开式中含7x 项的系数为 （用数字作答）

5. 角θ的终边经过点(4,)P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=

6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为5，则点P 的 横坐标是

7. 圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于

8. 设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于

9. 若函数2()log 1

x a f x x -=+的反函数的图像经过点(3,7)-，则a = 10. 2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那 么不同的录取方法有 种

11. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上单调递减，且满足

()1f π=，(2)2f π=，则不等式组121()2x f x ≤≤⎧⎨≤≤⎩

的解集为 12. 已知数列{}n a 满足：①10a =；②对任意的n ∈*N ，都有1n n a a +>成立. 函数1()|sin ()|n n f x x a n =-，1[,]n n x a a +∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m = 总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 11a b

> B. a b -> C. 22a b > D. 33a b < 14. “2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=有虚根”的（ ）条件

A. 充分不必要

B. 必要不充分

C. 充要

D. 既不充分也不必要

15. 已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且222a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小

的值是（ ）

A. a b ⋅

B. b c ⋅

C. a c ⋅

D. 不能确定的

16. 函数()f x x =，2()2g x x x =-+，若存在129

,,,[0,]2

n x x x ⋅⋅⋅∈，使得 121121()()()()()()()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++，则n 的最大值 是（ ）

A. 11

B. 13

C. 14

D. 18

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，设长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，

直线

1A C 与平面ABCD 所成的角为

4π. （1）求三棱锥1A A BD -的体积；

（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小.

18. 已知函数2()cos sin 2

f x x x x =⋅+-. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1()2f A =

，3a =，4b =， 求△ABC 的面积.

19. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~1600万元的投资收 益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位： 万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（即：设奖励 方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是：当[25,1600]x ∈时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；③()5x f x ≤

恒成立.） （1）判断函数()1030

x f x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；

（2）已知函数()5g x =（1a ≥）符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值 范围.

20. 已知椭圆22

22:1x y a b

Γ+=（0a b >>），1B 、2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点，1F 是 椭圆左焦点，P 是椭圆上异于点1B 、2B 的点，△112B F B 是边长为4的等边三角形.

（1）写出椭圆的标准方程；

（2）当直线1PB 的一个方向向量是(1,1)时，求以1PB 为直径的圆的标准方程；

（3）设点R 满足：11RB PB ⊥，22RB PB ⊥，求证：△12PB B 与△12RB B 面积之比为定值.

21. 已知数列{}n a 、{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和， 11n n n a b S +=+（n ∈*N ）.

（1）若11a =，2

n n b =，求4a 的值； （2）若{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，求证：数列1{}1n b q +

-为等比数列； （3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：2a 、3a 、⋅⋅⋅、n a 、⋅⋅⋅ 成等差数列的充要条件是12

d =

.