初二数学反证法

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初二数学反证法

例4
求证：两条直线相交只有一个交点。已知：如图两条相交直线a、b。求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A’。因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一条，这与与已知两条直线矛盾,假设不成立。所以两条直线相交只有一个交点。
a
●
A，
A
一、复习引入
A
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b, 如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？
解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 .
b
c
C
a
B
二、探究
若将上面的条件改为“在 △ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
A
P C
在一元二次方程 2 ax bx c 中， a,b,c均为奇数时，方程无实数解。
0
2用反证法证明若a3用反证法证明如果一个三角形没有两个相等的角那么这个三角形不是等腰三角形的第一步a不是实数a小于或等于2a大于或等于2没有两个一个也没有两直线相交假设ab假设这个三角形是等腰三角形1已知
反证法的一般步骤: 假设命题结论反面成立推理得出矛盾
假设不成立即所证命题成立
与定理，定义，公理矛盾与已知条件矛盾
P l1 l2
四。巩固新知
1、试说出下列命题的反面：（1）a是实数。 a不是实数（2)a大于2。a小于或等于２没有两个 a大于或等于２（3）a小于2。（4）至少有 2个（5）最多有一个一个也没有（6）两条直线平行。两直线相交 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是假设a=b。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步假设这个三角形是等腰三角形。

八年级数学上册《反证法》教案、教学设计

2.学生练习：学生在规定时间内完成练习题，教师关注学生解题过程，及时发现问题并进行指导。
3.评价与反馈：教师对学生的练习成果进行评价，给予鼓励和指导，帮助学生找到不足，提高解题能力。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：教师引导学生回顾本节课所学内容，总结反证法的定义、证明步骤和应用场景。
2.学生发言：鼓励学生谈谈自己对反证法的认识，以及在解题过程中的体会和收获。
（二）讲授新知
1.反证法定义：教师给出反证法的定义，明确反证法的基本思想，即假设结论不成立，通过推理得出矛盾，从而证明原结论成立。
2.证明步骤：详细讲解反证法的证明步骤，包括假设结论不成立、推出矛盾、否定假设、得出结论等。
3.例题讲解：以勾股定理的证明为例，展示反证法的具体运用，让学生理解反证法的证明过程。
2.例题分析：通过典型例题的讲解，让学生体会反证法的应用，培养他们分析问题和解决问题的能力。
3.小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同探讨反证法的证明过程，提高学生的合作学习能力。
4.课后作业：布置适量、具有挑战性的课后作业，巩固学生对反证法的理解和运用。
（三）情感态度与价值观
1.激发兴趣：以有趣的数学问题引入反证法，让学生感受到数学的趣味性和挑战性。
3.实践性：注重作业的实践性，鼓励学生将所学知识运用到实际问题中，提高解决问题的能力。
4.合作性：鼓励学生进行小组合作，培养学生的团队精神和合作学习能力。
5.家长参与：充分发挥家长的作用，促进家校共育，提高学生的学习兴趣和效果。
3.教师总结：强调反证法在解决数学问题中的重要作用，鼓励学生在今后的学习中，灵活运用反证法，提高自己的逻辑思维能力和解决问题的方法。
4.布置作业：布置与课堂练习相关的课后作业，巩固学生对反证法的掌握，为下一节课的学习打下基础。

14.1.3 反证法(八年级数学)

存在某个x成立
课堂总结
概念
反证法
证明步骤
反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论
7.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式.
原词语否定词
等于是
不等于不是
都是大于小于
不都是不大于不小于
对所有x成存在某个x
立
不成立
原词语
任意的至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个
对任何x 不成立
否定词某个一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个
6.已知：a是整数，2能整除a2. 求证：2能整除a.
证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”. 因为a是整数，故a是奇数. 不妨设a=2n+1(n是整数), ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1, ∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已知矛盾. ∴假设不成立，故2能整除a.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾.
【例4】求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60° ，即∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° ， ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°，这与三角形的内角和为180° 矛盾．假设不成立．
【例2】在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C.

(初二18)反证法

初中数学竞赛辅导资料（初二18）反证法甲内容提要1. 反证法是一种间接的证明方法。

它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。

2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A →B A B →⇔ 例如原命题：对顶角相等 (真命题)逆否命题：不相等的角不可能是对顶角 (真命题)又如原命题：同位角相等，两直线平行 (真命题)逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等 (真命题)3. 用反证法证明命题，一般有三个步骤：① 反设假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）② 归谬推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾）③ 结论从而得出命题结论正确例如：求证两直线平行。

用反证法证明时① 假设这两直线不平行；② 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从而肯定，非平行不可。

乙例题例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行已知：如图∠1＝∠2 A 1 B 求证：AB ∥CD 证明：设AB 与CD 不平行 C 2 D 那么它们必相交，设交点为M D这时，∠1是△GHM 的外角 A 1 M B ∴∠1＞∠2 G这与已知条件相矛盾 2 ∴AB 与CD 不平行的假设不能成立 H∴AB ∥CD C例2.求证两条直线相交只有一个交点证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。

（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。

但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。

例3.已知：m 2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m= 3k+2 (k 是整数)当 m=3k+1时， m 2＝（3k+1）2＝9k 2+6k+1=3(3k 2+2k)+1当 m=3k+2时， m 2＝（3k+2）2＝9k 2＋12k+4=3(3k 2+4k+1)+1即不论哪一种，都推出m 2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。

初二数学反证法例题

1.下列哪个命题适合用反证法证明？A.两直线平行，同位角相等。

B.若a=b，则a2=b2。

C.三角形中至少有一个角不大于60°。

（答案）D.全等三角形的对应边相等。

2.使用反证法证明“√2是无理数”时，应先假设什么？A.√2是有理数。

（答案）B.√2是无理数。

C.√2是整数。

D.√2不是整数。

3.下列哪个步骤不是反证法的一般步骤？A.假设命题的结论不成立。

B.从假设出发，经过推理得出矛盾。

C.肯定假设正确，从而肯定原命题成立。

（答案）D.得出原命题成立的结论。

4.用反证法证明“三角形的内角和为180°”时，应假设什么？A.三角形的内角和不为180°。

（答案）B.三角形的内角和为180°。

C.三角形的外角和为360°。

D.三角形的内角和大于180°。

5.下列哪个命题不能用反证法证明？A.相邻的两个角不互补。

B.至少有一个角大于或等于60°的三角形存在。

（答案）C.两个连续整数的乘积不是完全平方数。

D.在三角形中，至少有一个角不大于60°。

6.使用反证法证明命题时，如果推出了与哪个条件矛盾，则说明假设错误？A.已知条件B.命题的结论C.已知条件、定义、定理或公理等（答案）D.假设的条件7.下列哪个选项不是反证法中的“归谬”步骤？A.导出与假设相矛盾的结论。

B.导出与已知条件相矛盾的结论。

（答案）C.导出与定义、定理或公理等相矛盾的结论。

D.导出与临时假设相矛盾的结论。

8.用反证法证明“正方形的对角线不相等”是错误的命题时，应先假设什么？A.正方形的对角线相等。

（答案）B.正方形的对角线不相等。

C.正方形的四条边相等。

D.正方形的对角线互相垂直。

9.下列哪个命题适合用反证法证明其不存在性？A.存在一个三角形，其内角和为181°。

（答案）B.所有三角形的内角和都为180°。

C.三角形的外角和为360°。

初中数学中的反证法例谈

初中数学中的反证法例谈反证法是数学证明中非常常用的一种方法，在初中数学中也经常会遇到一些需要使用反证法来证明的问题。

以下是几个反证法的例子：1. 证明所有正整数都是奇数或偶数。

假设存在一个既不是奇数也不是偶数的正整数，那么这个正整数既不满足奇数的定义也不满足偶数的定义，与假设矛盾。

因此，所有正整数都是奇数或偶数。

2. 证明根号2是无理数。

假设根号2是有理数，那么可以表示为一个分数，即根号2 =a/b，其中a和b都是整数，且a和b互质。

将这个等式两边平方得2 = a^2 / b^2，即a^2 = 2b^2。

因为2是质数，所以a必须是2的倍数，那么就可以表示为a = 2c（c是整数）。

带入到a^2 =2b^2中得到(2c)^2 = 2b^2，即4c^2 = 2b^2或2c^2 = b^2。

这意味着b也是2的倍数，与a和b互质的条件矛盾。

因此，根号2是无理数。

3. 证明当正整数n不是完全平方数时，√n是无限不循环小数。

假设√n是有限循环小数，即可以表示为a/b（a和b都是整数，且a和b互质），那么可以得到n = a^2/b^2。

因为n不是完全平方数，所以a和b必须互质，且a和b至少有一个是奇数。

假设a是奇数，那么a^2是奇数，b^2是偶数，所以a^2/b^2是一个无限不循环小数。

同理，如果b是奇数，也可以推出a^2/b^2是一个无限不循环小数。

因此，当正整数n不是完全平方数时，√n是无限不循环小数。

这些例子展示了在初中数学中应用反证法的常见情形，可以巩固理解反证法在解决数学问题时的重要作用。

初中数学反证法简单例子

初中数学反证法简单例子初中数学中的反证法是一种常用的证明方法，通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出与已知事实相矛盾的结论，从而证明原命题一定成立。

下面我们来列举一些初中数学中常用的反证法的简单例子。

1. 命题：不存在任意两个不相等的正整数，使得它们的和等于它们的积。

假设存在两个不相等的正整数a和b，满足a + b = ab。

由于a和b不相等，不妨设a > b，那么有a > a/2 > b。

根据不等式性质，我们可以得到2a > a + b = ab，即2 > b。

但是正整数b不可能小于2，与假设矛盾。

因此，不存在任意两个不相等的正整数满足该条件。

2. 命题：存在一个无理数x，使得x的平方等于2。

假设不存在这样的无理数x，即对于任意实数x，x的平方不等于2。

那么我们可以考虑一个特殊的实数y，即y = √2。

根据无理数定义，√2不是有理数，因此是一个无理数。

而根据假设，y的平方不等于2，即y^2 ≠ 2。

然而，这与y = √2相矛盾。

因此，存在一个无理数x，使得x的平方等于2。

3. 命题：对于任意正整数n，2n不等于n的平方。

反证法证明：假设存在一个正整数n，使得2n = n^2。

可以将等式两边同时除以n，得到2 = n。

然而，这与n是一个正整数相矛盾。

因此，对于任意正整数n，2n不等于n的平方。

4. 命题：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。

反证法证明：假设存在一个正整数n，使得n^2 + 3n + 2 = m^2，其中m是一个正整数。

可以将等式变形为n^2 + 3n + 2 - m^2 = 0。

这是一个关于n的二次方程，可以使用求根公式解得n = (-3 ± √(9 - 8(2 - m^2))) / 2。

由于n是一个正整数，因此根号内的值必须为正整数。

然而，当m取不同的正整数值时，根号内的值不可能为正整数，因此假设不成立。

因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。

初中数学初二数学下册《反证法》优秀教学案例

4.在运用反证法时，需要注意哪些问题？
（三）小组合作
小组合作是一种有效的教学策略，可以培养学生的团队协作能力和沟通能力。在本章节的教学中，我将把学生分成若干小组，每组学生在探究反证法的过程中，相互讨论、交流、分享。具体做法如下：
1.分组讨论：让学生在小组内讨论反证法的概念、步骤和应用。
2.分工合作：每个小组选择一道题目，运用反证法进行证明，并派代表进行汇报。
（Hale Waihona Puke ）作业小结1.布置作业：设计不同难度的题目，让学生巩固反证法的应用。
a.基础题目：运用反证法证明简单数学命题。
b.提高题目：运用反证法解决实际问题，如几何图形中的反证法证明。
c.拓展题目：研究反证法在其他数学领域的应用，如数列、函数等。
2.要求学生在完成作业时，注意书写规范，保持解答过程的简洁。
2.在探究反证法的过程中，引导学生独立思考，培养学生的逻辑思维和逆向思维。
3.引导学生通过观察、分析、归纳等思维方法，发现数学问题中的规律，提高学生解决问题的能力。
4.注重学法指导，让学生在自主学习、合作学习、探究学习的过程中，形成适合自己的学习方法。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的探究精神。
3.教师在批改作业时，关注学生的解答过程，及时给予反馈，指导学生提高。
五、案例亮点
1.创设生活化的教学情境
本案例以贴近学生生活的实例为背景，创设教学情境，让学生在具体情境中感受反证法的意义和价值。这种做法有助于激发学生的学习兴趣，提高学生对数学知识的认同感，使学生在轻松愉快的氛围中掌握反证法。
2.以问题为导向，注重学生逻辑思维能力的培养
（二）问题导向
以问题为导向的教学策略，能够引导学生主动思考，培养其逻辑推理能力。在本章节的教学中，我将设计一系列由浅入深的问题，引导学生逐步掌握反证法的步骤和应用。例如，在讲解反证法证明数学命题时，可以提出以下问题：

初中数学初二数学下册《反证法》教案、教学设计

5.鼓励学生利用网络资源或参考书籍，了解反证法在数学史上的发展，以及著名数学家在反证法方面的贡献。学生在了解这些背景知识的基础上，可以撰写一篇小论文或进行课堂分享。
1.作业应在规定的时间内完成，确保学生有足够的时间进行思考和消化；
2.作业应注重质量而非数量，要求学生在完成作业时，注重解题思路的清晰性和逻辑性；
5.设计丰富的例题和练习题，让学生在实际操作中感受反证法的运用。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，增强学生对数学学科的兴趣；
2.培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力；
3.培养学生的逆向思维，使学生懂得从不同角度审视问题，形成创新意识；
4.培养学生的合作精神，使学生学会与他人共同探讨、共同进步；
在此过程中，学生可以充分发表自己的观点，学会倾听他人意见，形成共识。我会在各组间巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入探讨反证法的应用。
（四）课堂练习，500字
课堂练习环节，我将设计不同难度的题目，让学生独立完成。这些题目包括基础题、提高题和拓展题，旨在帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
在学生完成练习后，我会邀请部分学生分享他们的解题思路和答案。通过这种方式，学生可以相互学习，取长补短，共同提高。
（五）总结归纳，500字
在总结归纳环节，我会带领学生回顾本节课所学的反证法知识，概括反证法的定义、关键步骤和应用。同时，强调反证法在数学证明中的重要性，以及它在解决实际问题中的应用价值。
此外，我会鼓励学生课后进行反思，总结自己在学习反证法过程中的收获和不足。这样，学生可以更好地掌握反证法，为今后的数学学习打下坚实基础。
2.学会运用反证法进行简单命题的证明，并能解决实际问题；

2.2.2 反证法

（1）如果点D在△ABC之内，根据假设，围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一 B 个周角等于360°矛盾；
A
D C
D （2）如果点D在△ABC之外，根 A 据假设四边形ABCD的四个内角 C 分别是某锐角三角形的内角， B 即∠A，∠B，∠C，∠D都小于90°，这和四边形内角和等于360°矛盾，综上所述，原题的结论正确。
2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论
正确归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论．（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题；（4）结论为 “唯一”类命题；
例5、设a3+b3=2，求证a+b≤2 证明：假设a+b>2，则有a>2－b，从而 a3>8－12b+6b2－b3， a3+b3>6b2－12b+8=6(b－1)2+2. 因为6(b－1)2+2<2，所以6(b－1)2<0 ，矛盾，
所以，原不等式a+b≤2成立。
例6、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1
2
以上三式相乘： (1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ ∴原式成立。
1 与①矛盾 64
例7、证明：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分. 已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且 AB、CD不全是直径求证：AB、CD不能互相平分。
C A O P B D
练

冀教版初中八年级数学上册17-5反证法课件

2.(新独家原创)用反证法证明命题“同角的余角相等”时, 应先假设同角的余角不相等 .
解析用反证法证明命题“同角的余角相等”时,应先假设同角的余角不相等.
3.小明在解答“已知△ABC中,AB=AC,求证∠B<90°”这道题时,写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤: (1)所以∠B+∠C+∠A>180°,这与三角形内角和定理相矛盾; (2)所以∠B<90°; (3)假设∠B≥90°; (4)那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°. 则这四个步骤正确的顺序为 (3)(4)(1)(2) .
∵∠1+∠2 ≠ 180°, ∴∠3+∠2≠180°,这与平角为180°相矛盾, ∴假设∠1+∠2 ≠ 180°不成立,即∠1+∠2=180°.
解析假设∠1+∠2≠180°. ∵l1∥l2,∴∠1=∠3. ∵∠1+∠2≠180°, ∴∠3+∠2≠180°,这与平角为180°相矛盾, ∴假设∠1+∠2≠180°不成立,即∠1+∠2=180°.
解析有错误.正确的证明方法如下: 假设AC=BC,则∠A=∠B(等边对等角). ∵∠C=90°,∴∠A+∠B=180°-∠C=90°, ∴∠A=∠B=45°,这与已知中的∠A≠45°相矛盾, ∴假设错误,即AC=BC不成立,∴AC≠BC.
素养探究全练
7.(推理能力)用反证法求证:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知:如图,∠1是△ABC的一个外角. 求证:∠1=∠A+∠B.
6.(2024河北沧州献县期末,20,★☆☆)阅读下列文字,并解题. 在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A≠45°,则AC≠BC. 证明:假设AC=BC. ∵∠A≠45°,∠C=90°,∴∠A≠∠B, ∴AC≠BC. 上面的证明过程有没有错误?若没有错误,指出其证明的方法是什么;若有错误,请予以纠正.

初二数学反证法练习题

初二数学反证法练习题反证法是一种常用的数学证明方法，它通过推导出与已知条件相矛盾的结论来证明一个命题的真假。

在初二数学学习中，反证法常常被用于解决一些复杂的问题。

本文将介绍一些初二数学中常见的反证法练习题，帮助同学们熟悉并掌握反证法的应用。

题目一：证明“根号2是无理数”。

解析：要证明根号2是无理数，首先我们假设根号2是有理数，并将其表示为p/q，其中p和q是互质的整数（即最大公约数为1）。

那么我们可以得到等式2 = (p/q)^2，即2q^2 = p^2。

由此可知，p^2一定是2的倍数，因此p也一定是2的倍数。

令p = 2k（k为整数），则原等式可以写成2q^2 = (2k)^2，简化得q^2 = 2k^2。

同样地，我们可以得出q也是2的倍数。

但这与我们最初假设的“p 和q是互质的整数”相矛盾。

因此，假设错误，根号2不可能表示为有理数，即根号2是无理数。

题目二：证明“开方后是无理数的数的平方是无理数”。

解析：我们假设存在一个数x，它的开方后是无理数，即√x是无理数。

那么我们可以假设√x是有理数，即√x = p/q，其中p和q为整数，且p/q为最简分数。

根据已知条件，我们有x = (√x)^2 = (p/q)^2 = p^2/q^2。

将x的表达式代入上式中，得到x = p^2/q^2。

由此可知，p^2和q^2均为x的因数。

根据因数的性质，我们可以得知p也是x的因数，且q也是x的因数。

这与我们最初的假设“p和q为最简分数”相矛盾，因此假设错误，开方后是无理数的数的平方一定是无理数。

题目三：证明“3不能表示成形如4k+1的整数的平方”。

解析：我们假设存在一个整数m，使得m^2 = 4k + 1，其中k为整数。

那么我们可以得到等式m^2 ≡ 1 (mod 4)，即m^2除以4的余数为1。

考虑整数的平方的情况，我们可以得知一个整数的平方只可能是0或1（对4取余）。

根据这个性质，我们可以考虑m的两种情况：情况一：m为偶数假设m = 2n，其中n为整数。

初二数学反证法

整数的性质
通过假设整数不具有某种性质，如假设一个整数不是质数，然后推导出矛盾来证明该整数是质数。
同余定理
在证明同余定理时，可以通过假设两个整数不同余来推导矛盾。
唯一分解定理
通过假设一个整数不能被唯一分解为质因数的乘积来推导矛盾，从而证明唯一分解定理。
04
反证法的优缺点分析
优点：简化问题、明确方向
可能引入额外条件
在使用反证法时，我们需要假设反面命题成立，并推导出矛盾。然而，这个假设可能会引入额外的条件或限制，使得证明过程变得复杂或困难。
不易掌握
反证法需要一定的逻辑思维和推理能力，对于初学者来说可能较难掌握。同时，使用反证法时需要注意一些细节和技巧，否则可能会导致证明过程出现错误。
05
作用
反证法在数学证明中具有重要作用，尤其对于一些难以直接证明的结论，可以通过反证法间接证明其成立。同时，反证法还可以培养学生的逆向思维能力和逻辑推理能力。
适用范围及重要性
适用范围
反证法适用于各种数学领域，如代数、几何、数论等。在解决一些复杂问题时，反证法往往能够简化问题，提供新的解题思路。
重要性
初二数学反证法
汇报人：XX
目录
• 引言 • 反证法的基本步骤 • 初二数学中常见反证法应用 • 反证法的优缺点分析 • 反证法与直接证明法的比较 • 练习题与解析
01
引言
反证法的定义和作用
定义
反证法是一种数学证明方法，通过假设所要证明的结论不成立，然后推导出与已知条件、定理、公理等相矛盾的结论，从而证明所要证明的结论成立。
代数证明中的反证法
01
02
03
方程的解
通过假设某个数不是方程的解，然后代入方程得到矛盾，从而证明该数是方程的解。

反证法的一般步骤例子

反证法的一般步骤例子反证法是一种常用的数学证明方法，基本思想是通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明原命题是成立的。

下面将以一般步骤为题，列举10个反证法的例子。

一、证明1不是素数假设1是素数，根据素数的定义，素数只能被1和自身整除。

但是1只能被1整除，与素数的定义矛盾。

因此，假设不成立，1不是素数。

二、证明平方根2是无理数假设平方根2是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

设√2=a/b，其中a、b为互质整数。

将等式两边平方得2=a^2/b^2，即2b^2=a^2。

左边是偶数，右边是奇数，矛盾。

因此，假设不成立，平方根2是无理数。

三、证明根号2的立方根是无理数假设根号2的立方根是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

设∛2=a/b，其中a、b为互质整数。

将等式两边立方得2=a^3/b^3，即2b^3=a^3。

左边是偶数，右边是奇数，矛盾。

因此，假设不成立，根号2的立方根是无理数。

四、证明根号2和根号3是无理数假设根号2和根号3都是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

设√2=a/b，√3=c/d，其中a、b、c、d为互质整数。

将等式两边平方得2=a^2/b^2，3=c^2/d^2。

再将两个等式相加得2+3=a^2/b^2+c^2/d^2，即5=a^2/b^2+c^2/d^2。

左边是奇数，右边是偶数，矛盾。

因此，假设不成立，根号2和根号3是无理数。

五、证明根号2和根号3的和是无理数假设根号2和根号3的和是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

设√2+√3=a/b，其中a、b为互质整数。

将等式两边平方得2+2√6+3=a^2/b^2，即5+2√6=a^2/b^2。

移项得2√6=a^2/b^2-5，即2√6=(a^2-5b^2)/b^2。

左边是无理数，右边是有理数，矛盾。

因此，假设不成立，根号2和根号3的和是无理数。

六、证明根号2和根号3的积是无理数假设根号2和根号3的积是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

介绍反证法及举例

用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等．
01
用反证法证明命题的一般步骤是什么?
2.反证法是一种常用的间接证明方法.
02
则C必定是在撒谎.
05
由A假, 知B真. 这与B假矛盾.
03
B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
M：为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说——
国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。
1
2
3
4
5
6
唐·吉诃德悖论
说谎者悖论
M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？M：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。
M：一天，有个旅游者回答——
旅游者：我来这里是要被绞死。
M：这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0
与题设矛盾
若a = 0，则与abc > 0矛盾，
∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
练习2.已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，
abc > 0，求证：a, b, c > 0
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反设②归谬③结论方法小结: 1直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立. 正难则反!

【初中数学】初中数学学习方法之反证法

【初中数学】初中数学学习方法之反证法
【—之反证法】关于数学中反证法学习方法的知识讲解，希望同学们认真看看下面的
内容。

反证法
反证法就是一种间接证法，它就是先明确提出一个与命题的结论恰好相反的假设，然后，从这个假设启程，经过恰当的推理小说，引致矛盾，从而驳斥恰好相反的假设，达至
确实原命题恰当的一种方法。

反证法可以分成归属于谬反证法(结论的反面只有一种)与穷
举反证法(结论的反面不只一种)。

用反证法证明一个命题的步骤，大体上分成：(1)反设；
(2)归属于谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是
有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/
不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至
多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归属于谬就是反证法的关键，求出矛盾的过程没紧固的模式，但必须从反设启程，否
则推论将沦为无源之水，无本之木。

推理小说必须细致。

求出的矛盾存有如下几种类型：
与未知条件矛盾；与未知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

通过上面对反证法学习知识的讲解，希望同学们对上面的学习方法都能很好的掌握，
相信同学们会从中学习的更好。

初二下册数学期中考试复习要点：反证法

初二下册数学期中考试复习要点：反证法
反证法
从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

反证法的关键在于反设所证命题的结论。

适用范围：证明一些命题，且正面证明有困难，情况多或复杂，而否定则比较简单。

反证法证题步骤：
(1)假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立;
(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾;
(3)由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论成立。

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