统计信号处理第六章
数字信号处理第三版 教材第六章习题解答
6.2 教材第六章习题解答1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器,要求通带截止频率6p f kHz =,通带最大衰减3p a dB =,阻带截止频率12s f kHz =,阻带最小衰减3s a dB =。
求出滤波器归一化传输函数()a H p 以及实际的()a H s 。
解:(1)求阶数N 。
lg lg sp spk N λ=-0.10.30.1 2.51011010.0562101101p s asp a k --==≈--332121022610s sp p πλπΩ⨯⨯===Ω⨯⨯将sp k 和sp λ值代入N 的计算公式得lg 0.05624.15lg 2N =-=所以取N=5(实际应用中,根据具体要求,也可能取N=4,指标稍微差一点,但阶数低一阶,使系统实现电路得到简化。
) (2)求归一化系统函数()a H p ,由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数()a H p 为54321() 3.2361 5.2361 5.2361 3.23611a H p p p p p p =+++++或 221()(0.6181)( 1.6181)(1)a H p p p p p p =+++++ 当然,也可以按(6.12)式计算出极点:121()22,0,1,2,3,4k j Nk p ek π++==按(6.11)式写出()a H p 表达式41()()a k k H p p p ==-代入k p 值并进行分母展开得到与查表相同的结果。
(3)去归一化(即LP-LP 频率变换),由归一化系统函数()a H p 得到实际滤波器系统函数()a H s 。
由于本题中3p a dB =,即32610/c p rad s πΩ=Ω=⨯⨯,因此()()a a cH s H p s p ==Ω5542332453.2361 5.2361 5.2361 3.2361c c c cc cs s ss s Ω=+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω对分母因式形式,则有()()a a cH s H p s p ==Ω52222(0.6180)( 1.6180)()c c c c cc s s s s s Ω=+Ω-Ω+Ω-Ω+Ω如上结果中,c Ω的值未代入相乘,这样使读者能清楚地看到去归一化后,3dB 截止频率对归一化系统函数的改变作用。
数字信号处理 第六章
各种数字滤波器的理想幅度频率响应 数字滤波器的设计步骤 理想滤波器的逼近 数字滤波器的系统函数H(z) IIR滤波器设计方法
6.1 引言
数字滤波器的设计步骤:
按任务要求,确定滤波器性能要求。 用一个因果稳定的离散线性移不变的系统函数去逼 近这一性能要求。逼近所用系统函数有无限冲激响 应(IIR)系统函数与有限长单位冲激响应(FIR) 系统函数两种。 利用有限精度算法来实现这个系统函数。 实际的技术实现。
零极点分布对系统相角的影响
相位“延时”(或相位“滞后”)系统
最小相位延时系统 最大相位延时系统 最大相位超前系统 最小相位超前系统
相位“超前”(或相位“领先”)系统
当全部零点在单位圆外时,相位变化最大,又是负数, 当全部零点在单位圆外时,相位变化最小, 当全部零点在单位圆内时,相位变化最大, 当全部零点在单位圆内时,相位变化最小, 故称为最小相位超前系统。 故称为最大相位超前系统。 故称为最大相位延时系统。 故称为最小相位延时系统。
2、可实现Ha(s)Ha(-s)零极点分布
j
σ
1、零极点中一半属Ha(s),另一 半属Ha(-s)。如要求系统稳定, 则左半平面极点属于Ha(s)。 2、挑选零点时,不加任何限制, 则Ha(s)的解不唯一。 3、如限定Ha(s)是最小相位的, 则只能取所有左半平面的零极 点作为Ha(s)的零极点,Ha(s) 的解唯一。 4、虚轴上的零点阶数减半分配给 Ha(s)。 5、稳定系统虚轴上无极点,临界 稳定时虚轴上才会有极点。
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
刘笑楠
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
第六章波束形成
数字信号处理 II
第六章 波束形成
15
6.3 时域FIR滤波器设计方法 时域 滤波器设计方法
二. 频率采样法
我们知道 我们知道,一个长度为 个长度为 N 的时域有限长序列 的时域有 长序列 h(n) 的频域特性可以用 的频域特性 N 个频域的采样值唯一确定,根据频率采样定理,有
1 zN H ( z) N
Directivity y
1 2 3
delay_1 d l delay_2 2 delay_3
∑
⋮
N
1 0.8 06 0.6 0.4 0.2 0 -90
⋯
delay_N
拟信号。对于数字信号处理来说,延迟的精 确度受采样频率的制约,往往很难保证,因 此并不适合。 该方式可以处理宽带信号。
数字信号处理 II
h(n)
0
N 为偶数
N 1
N 1 2
n
1 H ( ) b(n)cos[ (n )] 2 n1
N/2
( N 1)
b (n )
N / 2
1
n
h(n)
N 为奇数
N 1
h(n) h( N 1 n) N 1 ( ) ( ) 2 2
(0 )
H (k ) H ( z )
H (k ) k 1 1 W k 0 N z
H (e
j 2 k N
数字信号处理 II
第六章 波束形成
8
四种线性相位FIR滤波器
h(n)
N 为奇数
N 1
h(n) h(N 1 n)
H ( )
n
( N 1) / 2
n 0
第6章信号处理简介
机电工程学院 Sun Chuan 68215 第6章 信号处理简介
随机信号分类
随机信号可分为平稳的和非平稳的。如果随机 信号的特征参数不随时间变化,则称为平稳的,否
则为非平稳的。一个平稳随机信号,若一次长时间
测量的时间平均值等于它的统计平均值(或称集合平 均值),则称这样的随机信号是各态历经的。通常把 工程上遇到的随机信号均认为是各态历经的。
X(k ) x(n)e j2πkn/N
n 0
N 1
(2.4.1)
1 N 1 x(n) X(k )e j2πkn/N N k 0
机电工程学院 Sun Chuan 68215 第6章 信号处理简介
上述的离散傅里叶变换对将N个时域采样点x(n)与N 个频率采样点X((k)联系起来,建立了时域与频域的关 系,提供了通过计算机作傅里叶变换运算的一种数学 方法。利用计算机进行离散傅里叶变换可查阅相关文 献。
机电工程学院 Sun Chuan 68215 第6章 信号处理简介
图2.4.3 采样频率不同时的频谱波形
机电工程学院 Sun Chuan 68215 第6章 信号处理简介
3. 量化及量化误差
(1) 量化 将采样信号的幅值经过四舍五入的方法离散化的 过程称为量化。 (2) 量化电平 若采样信号可能出现的最大值为A,令其分 为B个间隔,则每个间隔Δx=A/B,Δx称为量化电平,每个量 化电平对应一个二进制编码。 (3) 量化误差 当采样信号落在某一区间内,经过四舍五入 而变为离散值时,则产生量化误差,其最大值是±0.5Δx。 量化误差的大小取决于A/D转换器的位数,其位数越高, 量化电平越小,量化误差也越小。比如,若用8位的A/D转换 器,8位二进制数为28=256,则量化电平为所测信号最大幅值 的1/256,最大量化误差为所测信号最大幅值的±1/512。
数字信号处理第六章数字滤波器设计
窗函数法是一种常用的数字滤 波器设计方法,通过选择合适 的窗函数和滤波器系数,实现
滤波器的设计。
窗函数法具有简单、直观的 特点,但设计出的滤波器性
能可能不是最优的。
常用的窗函数包括矩形窗、汉 宁窗、海明窗等,不同窗函数
具有不同的特性。
频率采样法
频率采样法是一种基于频率域的数字滤波器设计方法,通过在频域内采样并重构滤 波器的频率响应,实现滤波器的设计。
IIR滤波器具有较好的幅频特性,但相位特性较差,且存 在稳定性问题。
在实际应用中,应根据具体需求选择合适的滤波器类型 和设计方法。
04
数字滤波器的实现
数字滤波器的实现步骤
确定滤波器参数
设计滤波器系数
根据实际需求,确定滤波器的阶数、截止 频率等参数。
根据滤波器类型和参数,计算滤波器系数 。
实现滤波器算法
描述滤波器实现的难易程度,包括运算量和 存储需求。
数字滤波器的基本结构
直接实现型
将输入信号直接与滤波器系数进行运算,得到输 出信号。
级联实现型
将滤波器分解为若干个简单滤波器的级联,以降 低计算复杂度。
并行实现型
将滤波器分解为若干个简单滤波器的并行运算, 以提高处理速度。
03
数字滤波器的设计方法
窗函数法
验证滤波器效果
根据滤波器系数,编写滤波器算法,实现 信号的滤波处理。
对滤波后的信号进行验证,确保满足设计 要求。
数字滤波器的编程实现
选择编程语言
根据实际需求,选择适合的编程语言,如C、 Python等。
设计滤波器函数
根据滤波器算法,编写滤波器函数,实现信 号的滤波处理。
测试滤波器函数
对滤波器函数进行测试,确保其正确性和稳 定性。
信号与系统第六章
2 ( k) T n
1 X p ( j ) X ( j ( ks )) T k
要想使采样后的信号样本能完全代表原来的信
号,就意味着要能够从 X p ( j ) 中不失真地分离
出 X ( j ) 。这就要求 X p ( j ) 在周期性延拓时不能
1. 如何用连续时间信号的离散时间样本来表示
连续时间信号——采样定理。
2. 如何从采样所得到的样本重建连续时间信号。 3. 欠采样导致的后果——频谱混叠。 4. 连续时间信号的离散时间处理。 5. 离散时间信号的采样、抽取及内插。 6. 频域采样。
6.1 用样本表示连续时间信号: 采样定理
Theorem of Sampling 一. 采样: Sampling 在某些离散的时间点上提取连续时间信号值的 过程称为采样。 是否任何信号都可以由它的离散时间样本来表 示?
H ( j )
T
e
j
T
2
T
2 T
0
H r ( j )
1
T
T
0
H r ( j )
2
T
T
0
T
2
0
T
实际上,H r ( j ) 不能真正实现,常对其做充分近似设计。 零阶保持输出本身可被认为是一种对原始信号的充分近似, 是一种比较 粗糙的内插,下一节将更详细地介绍通过内 插从信号样本重建信号。
x(t )
t
0
采样函数 p (t )
2T
T
t
0
T
2T
x p (t ) x(2T ) x(T )
数字信号处理 第6章
H ( z ) h( n) z n
n 0
N 1
(6.1.2)
(6.1.1)式中的H(z)称为N阶IIR数字滤波器系统函数; (6.1.2) 式中的H(z)称为N-1阶FIR数字滤波器系统函数。这两种 数字滤波器的设计方法有很大区别,因此下面分成两章分 别进行学习。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
s 20 lg
| H (e j0 ) |
j s
dB
(6.1.4b)
p 20 lg | H (e
j p
) | dB
(6.1.5)
s 20 lg | H (e js ) | dB
(6.1.6)
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
当幅度下降到 2 / 2 时,标记ω=ωc,此时 p 3dB,称 ωc为3 dB通带截止频率。ωp、ωc和ωs统称为边界频率, 它们是滤波器设计中所涉及到的很重要的参数。对其他 类型的滤波器,(6.1.3b)式和(6.1.4b)式中的H(ej0)应改 成
拟滤波器得到系统函数Ha (s),然后将Ha(s)按某种方法转
换成数字滤波器的系统函数H(z)。这是因为模拟滤波器的 设计方法已经很成熟,不仅有完整的设计公式,还有完善
的图表和曲线供查阅; 另外,还有一些典型的优良滤波
器类型可供我们使用。直接法直接在频域或者时域中设计 数字滤波器,由于要解联立方程,设计时需要计算机辅助 设计。FIR滤波器不能采用间接法,常用的设计方法有窗 函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.1.3所示的单调下降幅频特性,p和s别可以表
示为
p 20 lg
| H (e j0 ) | | H (e
《数字信号处理》第六章 Z变换
第一节 Z变换的定义
例1:求 x(n)=(1/2)nu(n) 的z变换
解:
X (z)
x(n)zn
(1)nu(n)zn
z
n
n
n 2
n0 2
例2:求 x(n)=-(1/2)nu(-n-1)的z变换
解:
X (z)
x(n)zn
A( z )
1 za
1 a
1 1 1
z
a
按等比级数有
A(z)
1 a
(1
1 a
z
1 a2
z2
)
at
{
1 a
,
1 a2
,
1 a3
,, ,
1 a n 1
,)
第四节 Z反变换
当 a 1时,
A( z )
z
1 a
11 z 1 az 1
按等比级数有
A(z) 1 (1 az1 a2 z2 ) z
解:
Z [u(n)] 1 , z 1
1 z
Z [u(n 3)] z3
1
z3 ,
z 1
1 z 1 z
Z [x(n)] 1 z3 z2 z 1, z 1 1 z 1 z
例4 已知序列x(n)的z变换为X(Z),求
7X(z)+3zX(z)+8z2X(z) +z3X(z) +6z5X(z)所对应的信号
k
zk
k 0
1 1 z
这是一个等比级数,当|z|<1时,该级数收敛。
信号与系统第六章Z变换
差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的 作用下,其输出信号不会无限增长, 则称该系统是稳定的。
对于差分方程,可以通过判断其极点 位置和类型来分析系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分 ,则系统是稳定的;否则,系统是不 稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用,因为它允 许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如 果两个信号在时间上相乘,那么它们 的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要,因 为它允许我们通过将两个信号相乘来 得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数,那么其z变换就是其复共轭的离散化表 示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领 域的重要基础课程,其中第六章z变换 是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数 学工具,用于分析离散时间信号和系 统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变 换转换为复数序列,用于分析离散时间系统 的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应, 了解系统在不同频率下的性能表 现。
第6章 信号分析与处理-71页文档资料
1 n )
n
T
时域 周
期
延
X ( f ) P [ X ( f ) S ( f ) W ( f )D ( ] f )
拓
离散化
周期函数
[x(t)s(t)w (t)d(t)]
栅栏效应
离散傅里叶变换(DFT)
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械工程测试技术基础
周期延拓信号与真实信号是不同的:
X(f) Δ
0
Δf
f
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械工程测试技术基础
栅栏效应误差实验:
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械工程测试技术基础
能量泄漏与栅栏效应的关系 频谱的离散采样造成了栅栏效应,谱峰越尖
锐,产生误差的可能性就越大。 例如,余弦信号的频谱为线谱。当信号频率
与频谱离散取样点不等时,栅栏效应的误差为 无穷大。
0 fs/2 fs
f
折叠 频率
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械工程测试技术基础
条件一
不产生混叠的条件
带限信号
抗混叠滤波预处理
X(f)*S(f)
条件二
-fh 0 fh
fh
f
fS
1 fS T 2 fh
采样定理
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械工程测试技术基础
三、量化和量化误差
离散信号 的电压幅值
量化 二进制数码组
式
TS——采样间隔;
12
中 N——序列长度,N=T/TS
4
0
t
fS——采样频率, fS =1/TS
B3
TS
混叠现象
TS
数据 量大
哈尔滨工业大学机电工程学院
数字信号处理第六章 习题答案
( )
H ( e jω ) = Ha ( jΩ)
又由 Ω =
ω
T
,则有
5 2 π ΩT + 3, − 2 ΩT + 5 , = π 3 0 2π π − ≤Ω≤ − 3T 3T π 2π ≤ Ω≤ 3T 3T 其他Ω
Ha ( jΩ) = H ( e jω )
ω=ΩT
Ha ( jΩ) = H ( e jω )
各极点满足下式ຫໍສະໝຸດ 1 1+ ( s Ωc )
4
sk = Ωce
π 2k −1 j + π 2 4
k = 12,4 ,3 ,
则 k = 1,2时,所得的 sk 即为 Ha ( s) 的极点
s1 = Ωce s2 = Ωce
3 j π 4
3 2 3 2 =− +j 2 2 3 2 3 2 =− −j 2 2
2
=
1−1.1683z−1 + 0.4241z−2
0.064(1+ 2z−1 + z−2 )
5.试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数。 设 Ωc = 3rad s 解:由幅度平方函数: H ( jΩ) =
2
1 1+ ( Ω Ωc )
4
令 Ω2 = −s2,则有
Ha ( s) Ha ( −s) =
∴H ( z ) = Ha ( s) s=1−z−1
1+ z−1
=
1 1− z 1− z 1+ z−1 + 1+ z−1 +1
−1 2 −1
(1+ z ) =
3 + z−2
−1 2
数字信号处理课后答案+第6章(第三版)
比较分子各项系数可知, A1、 A2应满足方程:
A1 A 2 1 A1 s 2 A 2 s1 a
解之得, A1=1/2, A2=1/2, 所以
H a (s) 1/ 2 s ( a jb ) 1/ 2 s ( a jb )
套用教材(6.3.4)式, 得到
(2) H a ( s )
Ha(s)的极点为
b (s a) b
2 2
s1=-a+jb,
s2=-a-jb
将Ha(s)部分分式展开:
j H a (s) j
2 2 s ( a jb ) s ( a jb )
套用教材(6.3.4)式, 得到
j H (z) 2 1 e
H a (s) H a ( p) |
p s
c
c
5 4 2 3
5 3 2 4 5
s 3 .2 3 6 1 c s 5 .2 3 6 1 c s 5 .2 3 6 1 c s 3 .2 3 6 1 c s c
对分母因式形式, 则有
H a (s) H a ( p) |
式中 Ωc=2πfc=2π×20×103=4π×104 rad/s
4. 已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)如下: (1)
H a (s) sa (s a) b
2 2
(2)
H a (s)
b (s a) b
2 2
式中a、 b为常数, 设Ha(s)因果稳定, 试采用脉冲响应不变 法将其转换成数字滤波器H(z)。
H (z)
1 e
k 1
2
Ak
skT
z
1
数字信号处理(西电版) 第六章 有限长单位脉冲响应 复习
n
因此Σ中第n项和第(N-1-n)项相等,可将其合并
H
(
)
(
N 3) n0
/
2
2h(n)
sin
N
2
1
n
令 n N 1 m ,上式改写为
2
H
( )
(
N 1) / 2 m1
2h
N 2
1
m
sin(m)
cos
N 2
1
n
cos
N 1 2
n
将Σ内相等项合并,即 n=0 项与n=N-1项,n=1 项与n=N-2 项等
第6章 有限长单位脉冲响应
h(n)偶对称的幅度函数式
H
(
)
N 1 n0
h(n)
cos
N 2
h(n)的系统函数为
N 1
N 1
H (z) h(n)zn h(N 1 n)zn
n0
n0
将m=N-1-n代入上式,进行整理
N 1
N 1
H (z) h(m)z(N 1m) z(N 1) h(m)zm z(N 1) H (z1)
m0
m0
h(n)是实数序列,且对(N-1)/2偶对称,即 h(n)=h(N-1-n)
• 满足第二个公式的条件为: FIR滤波器单位脉冲响应 h(n)是实数序列,且对(N-1)/2奇对称,即 h(n)=-h(N-1-n)
第6章 有限长单位脉冲响应 6.1.1 线性相位特性
数字信号处理第6章_习题解答
第六章 习题解答(部分)[1]解:对采样数字系统,数字频率ω与模拟角频率Ω之间满足线性关系T Ω=ω。
因此,当时,ms T 01.0=TT cc 8πω==Ω,Hz T f c c 6251612==Ω=π 当s T µ5=时, TT c c 8πω==Ω,Hz T f c c 125001612==Ω=π[2]解:的极点为:,)(s H a jb a s +−=1jb a s −−=1将部分分式展开: )(s H a )(21)(21)(jb a s j jb a s js H a +−−−+−−−=所以有1)(1)(121121)(−+−−−−−−+−=z e j z e j z H T jb a T jb a通分并化简整理得:TT T e z bT e z bTe z z H ααα2211cos 21sin )(−−−−−−+−=[3]解:归一化原型低通滤波器与带通滤波器之间的频率变换关系为:B⋅ΩΩ−Ω=Ω22s rad p p /1002210×=ΩΩ=Ωπ,s rad B /2002×=π,dB p 2=δs rad s /80021×=Ωπ,s rad s /124022×=Ωπ,dB s 15=δ因此,归一化原型低通滤波器的通带频率p Ω取1,通带处最小衰减为2dB 。
同理可得归一化原型低通滤波器的阻带频率分别为:9375.31221=ΩΩ−Ω=ΩΩ=Ωs Bs , 1597.62222=ΩΩ−Ω=ΩΩ=Ωs Bs因此,归一化原型低通滤波器的阻带频率9375.3),min(21=ΩΩ=Ωs s s ,这是因为取较小的频率值,则较大的频率处一定满足衰减要求,阻带处最大衰减为15dB 。
利用巴特沃斯低通滤波器设计归一化原型低通滤波器)(s H 利用归一化原型低通滤波器的指标,得巴特沃斯低通滤波器阶数N444.19372.31lg 2110110lg 5.12.0=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−≥N 取,查表的归一化巴特沃斯原型低通滤波器的系统函数 2=N 14142.11)(2++=s s s H LP由归一化原型低通滤波器变换到实际模拟带通滤波器22202220222)(4142.1)()()(202B s sB s s B s s H s H Bs s s LP BP +Ω++Ω+==⋅Ω+= [4]解:(1)用冲激响应不变法① 确定数字滤波器指标rad p 3/πω=,dB p 3=δ rad s 5/4πω=,dB s 15=δ② 将数字滤波器指标转换为相应的模拟滤波器指标。
数字信号处理第六章xk
五、IIR数字filter的设计方法 1、借助模拟filter的设计方法 (1)将DF的技术指标转换成AF的技术指标; (2)按转换后技术指标、设计模拟低通filter的 Ha (s); (3)将 H a (s) H ( z) (4)如果不是低通,则必须先将其转换成低通 AF的技术指标。 2、计算机辅助设计法(最优化设计法) 先确定一个最佳准则,如均方差最小准则, 最大误差最小准则等,然后在此准则下 , 确定系 统函数的系数。
三、转换举例
例如,一低通DF的指标:在 范围,幅度特性下降小于1dB;在 阻带范围,衰减大于15dB;抽样频率 试将这一指标转换成ALF的技术指标。
解:按照衰减的定义和给定指标,则有
的通带 的 ;
假定
即
处幅度频响的归一化值为1,
这样,上面两式变为
由于
,所以当没有混叠时,根据关系式
模拟filter的指标为
Ak Ha (S) k 1 S Sk
h a ( t ) L [H a (S)] A k e u ( t )
1 Sk t k 1 N
N
因此,
h (n ) h a (nT ) A k e
H( Z) Z[h (n )]
N
k 1
n
N
Sk nT
§6-1
引言
一、DF按频率特性分类 可分为低通、高通、带通、带阻和全通, 其特点为: (1)频率变量以数字频率 表示, , 为模拟角频率,T为抽样时间间隔; (2)以数字抽样频率 为周期; (3)频率特性只限于 范围,这 是因为依取样定理,实际频率带通 0
6-3
ALF的设计
ALF的设计就是求出filter的系统函数 Ha(S) , 使其逼近理想LF的特性,逼近的形式(filter的类型) 有巴特沃斯型,切比雪夫型和考尔型等。而且逼近 依据是幅度平方函数,即由幅度平方函数确定系统 函数。
数字信号处理第六章2最小与最大相位延时系统、最小与最大相位超前系统
) 2 ( N M ) 2 m i 2 p i 2
数字信号处理
因果稳定系统
z r, r 1
n < 0时,h(n) = 0
全部极点在单位圆内:po = 0,pi = N
H ( e j ) arg 2 m i 2 p i 2 ( N M ) K 2
相位超前系统
1)全部零点在单位圆内: m i M , m o 0 为最大相位超前系统 arg [] 2 N 2)全部零点在单位圆外: m i 0, m o M
arg [] 2 ( N M )
2012-10-11 数字信号处理
为最小相位超前系统
最小相位延时系统的性质
j
cm ]
m 1
N
arg [ e
j
d k ] ( N M )
k 1
当 0 2 ,
2
j Im [ z ]
0
R e[ z ]
位于单位圆内的零/极矢量角度变化为 2 位于单位圆外的零/极矢量角度变化为 0
2012-10-11 数字信号处理
H ( e j ) arg K
M
arg [ e
j
cm ]
m 1
N
arg [ e
j
d k ] ( N M )
k 1
令: 单位圆内零点数为mi 单位圆外的零点数为mo
mi mo M
单位圆内的极点数为pi
单位圆外ห้องสมุดไป่ตู้极点数为po
pi po N
则:
H (e a rg K
2012-10-11
统计信号处理与应用导论第六章习题解答
6.1Find the linear mean square estimate of )(λ+t y in terms ofy(t) and )()()()(ˆt yc t y b t ay t y ++=+λ Solution: )(ˆ)()(~λλλ+-+=+t y t y t y0)}()](ˆ)({[0)}()](ˆ)({[0)}()](ˆ)({[=+-+=+-+=+-+t yt y t y E t y t y t y E t y t yt y E λλλλλλ由正交原理 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅---+=⋅---+=⋅---+0)}()]()()()({[0)}()]()()()({[0)}()]()()()({[t y t y c t y b t ay t y E t y t y c t yb t ay t y E t y t yc t yb t ay t y E λλλ ⎪⎩⎪⎨⎧=---=---=---=⇒-====-==⇒=-=0)0()0()0()(0)0()0()0()(0)0()0()0()(0)0()()()()()()()()()()(0)0()()()()(y y y y y y y y y yy y y y y y y y y y y y y y y y y y y yy y y y y y y y y y y y y y y c b a c b a c b aφφφλφφφφλφφφφλφφτφτφτφτφτφτφτφτφτφτφφτφτφτφτφ)0()0()0()0()()0()()0()()0()()0()0()0()()0()(2)4(2)4()4(yy y yy y y y y y y y y y y c b a φφφφλφφλφφλφφλφφφφλφφλφ --==--= 6.3 222222)(2)(as a s a s s s v y +-=+--=φφ Solution: )(&)(⋅⋅v y are uncorrelated.))(2)()(2()2)(2)(2)(2(2)()()(2)()(84848484222222222a s a s a s a s aes ae s aes ae s a s a a s s s s s a s s s s jjjjv y z y yz --++--++==+-++--=+=+--==--ππππφφφφφNSjj jjjjz YI z e aes ae s a s a s aes ae s a s a s a s s e ae s ae s a s a s e s s s s H ss)2)(2())(2(])2)(2())(2(2[)2)(2())(2(])()([)(1)(848484842228484ππααφφφ-+--+-+++++=----⋅+--⋅++++==6.9 本章在推导Kalman 滤波器方程时,曾经假定输入w(t)和观测燥声N(t)不相关。
数字信号处理讲义--第6章离散时间系统结构
数字信号处理讲义--第6章离散时间系统结构第6章离散时间系统结构教学⽬的1.掌握线性常系数差分⽅程的⽅框图表⽰; 2.掌握IIR 系统、FIR 系统的基本结构;3.了解有限精度数值效应的概念,系数量化的影响,极限环的概念和产⽣原因。
教学重点与难点重点:IIR 系统、FIR 系统的基本结构;难点:有限精度数值效应的概念,系数量化的影响,极限环的概念和产⽣原因。
6.1 线性常系数差分⽅程的⽅框图表⽰时域离散系统或者⽹络⼀般⽤差分⽅程、单位脉冲响应以及系统函数进⾏描述。
如果系统输⼊和输出服从N 阶差分⽅程: (6-1)则系统函数H (z )⽤下式表⽰: (6-2)数字信号处理中有三种基本算法,即加法、乘法和移位,它们的⽅框图如图7-1(a)所⽰。
三种基本算法的流图则如图6-1(b)所⽰。
图6-1例6-1 1y[n-1]+p 0x[n]+p 1x[n-1]的结构图. 解:.此结构图包含了这三种算法的各部分.∑∑-----=M i i M i i i n y a i n x b n y 00)()()(∑∑=-=-+==N i i i M i i i z a z b z X z Y z H 001)()()((a )(b )x - 1)x (- 1)-1x 1(2n )+x 2(n )x 1(n 2x 1(n )+x 2图6-2 例6-1的结构框图6.2线性常系数差分⽅程的信号流图表⽰图6-3表⽰的是⼀种信号流图,流图中每⼀个节点都⽤⼀个节点变量表⽰,输⼊x (n ) 称为输⼊节点变量,y(n)表⽰输出节点变量,w 1(n ), w 2(n ), w 3(n )和w 4(n )也是节点变量。
这些节点变量和其他节点变量之间的关系⽤下式表⽰: w 1(n ) =x (n)+aw 3(n ) w 2(n ) =w 1(n ) w 3(n ) =w 2(n -1)w 4(n ) =b 0w 2(n )+b 1w 3(n ) y (n )=w 4(n )基本信号流图以上这些公式是⽤序列形式写的,也可以通过Z 变换写成下式: W 1(z )=X (z )+aW 3(z ) W 2(z )=W 1(z ) W 3(z )=z -1W 2(z )W 4(z)=b 0W 2(z )+b 1W 3(z ) Y (z)=W 4(z)从基本运算考虑,如果满⾜以下条件,则称为基本信号流图:(1) 信号流图中所有⽀路都是基本的,即⽀路增益是常数或者是z -1;(2) 流图环路中必须存在延时⽀路;(3) 节点个数和⽀路个数都是有限的。
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+
−
由于因果系统的极点只能出现在的左半平面
g (t ) = s (t + α )
p.
us
. tc
αs 1 ⎡ S sx ( s ) e ⎤ H (s) = + ⎢ ⎥ S x ( s ) ⎣ S x− ( s ) ⎦
+
u ed
n .c
2.预白化法
基本思想:先将输入信号进行预白化处理,然后让得到的白化信号通 过其对应的维纳滤波器。
u ed
e (t )
− + +
g (t ) = f ( s (t + α ))
n .c
6.2 连续信号的维纳滤波
基本思想:寻找线性滤波器的最佳冲激响应或传输函数,使滤波 器的输出波形作为输入信号波形的最佳估计,即使波形估计的均 方误差达到最小。 本节内容: 6.2.1. 广义平稳随机信号的维纳滤波原理 6.2.2. 物理不可实现维纳滤波器的解 6.2.3. 物理可实现维纳滤波器的解 6.2.4. 最小均方误差 6.2.5. 非平稳随机信号的维纳滤波
−∞
⎡ S s (ω) S n (ω) ⎤ ∫−∞ ⎢ Ss (ω) + Sn (ω) ⎥ dω ⎣ ⎦
p.
us
. tc
u ed
n .c
6.2.3 物理不可实现维纳滤波器的解
因果广义平稳维纳-霍甫积分方程:
Rgx (η ) = ∫ h ( λ ) Rx (η − λ ) d λ
0
∞
Rgx (η ) = ∫ h ( λ ) R滤波器的解
s (t ) 和 n (t )
互不相关
滤波器的幅频响应为 H ( jω) =
ht
:/ tp
H ( jω) =
Rgx (η ) = ∫ h ( λ ) Rx (η − λ ) d λ , − ∞ < η < ∞
−∞
∞
S gx (ω) = H ( jω ) S x (ω)
t0 t0 + α
t
t0
t
波形估计目的:选取线性滤波器的冲激响应函数或传输函数,使 估计的均方误差达到最小。
g ( t )用统一代表三类波形,其估计 y ( t ) = g ˆ (t )。
x (t ) = s (t ) + n (t )
g (t ) = f ( s (t ))
x (t ) = s (t ) + n (t )
S gx (ω) S x (ω)
S s (ω) e jωα H ( jω) = S s (ω) + Sn (ω)
ss /i
FFT
p.
S gx (ω) = S s (ω) e jωα
S s (ω) S n (ω) + 1
us
g (t ) = s (t + α )
S s (ω) S n (ω)
. tc
-------(6.1)
−∞ 0 αs ⎤ =⎡ S s e ( ) ⎣ sz ⎦
维纳滤波器就由白化滤波器和白信号对应的维纳滤波器组成,即: 1 αs + ⎡ H ( s ) = HW ( s ) H ′ ( s ) = + S sz ( s ) e ⎤ ⎣ ⎦ Sx ( s )
最小均方误差为: E e ( t )
2
维纳滤波器的最小均方误差(物理不可实现,可实现)可以统一为:
4.若在 jω 轴上存在零点,此零点必为 偶重根
ht :/ tp ss /i p. us . tc
零极点分布示意图
jω
u ed n .c
S gx ( s ) + B ( s ) = H ( s ) S x ( s )
B (s) + H (s) S (s) = − S x ( s ) S x− ( s )
平滑:估计信号 s ( t0 + α ) α < 0
ht
:/ tp
ss /i
x (t ) = s (t ) + n (t )
p. us
s ( t0 )
t0
t
. tc
s ( t0 + α ) , α > 0
t0
t
s ( t0 + α ) , α < 0
滤波、预测、平滑的关系
u ed n .c
t0 + α
ht
E {e ( t )}
2
:/ tp
{
min
ss /i
}
min
+
= Rs ( 0 ) − ∫ h (τ ) Rsx (α + τ ) dτ
−∞
p.
∞
= Rs ( 0 ) − ∫ h (τ ) Rsx (α + τ ) dτ
0
us
. tc
∞
u ed
n .c
例6.2:考虑输入信号 x ( t ) 为高斯—马尔可夫信号s ( t ) 和噪声 n ( t ) 的叠加,假定信号和噪声统计独立,其功率谱分别为S s (ω) = 3 2 1 +ω 和 Sn (ω) = 1 。 求: α 分别取0,+1和-1时物理可实现维纳滤波器的冲激响应及最 小均方误差 。
ht
:/ tp
y ( t ) = ∫ h ( t −τ ) x (τ ) dτ
−∞
ˆ (t ) = g (t ) − y (t ) e (t ) = g (t ) − g
E {e 2 ( t )} = E ⎡ ⎣ g ( t ) − y ( t )⎤ ⎦
ss /i
∞
p.
{
us
. tc
u ed
2
n .c
ss /i
p. us . tc u ed n .c
6.1波形估计的分类
x ( t ) = s ( t ) + n ( t ) 为系统的输入,s ( t ) 是我们所要估计的信号波 形,其估计波形记为 s ˆ ( t ) ,假设当前时刻为 t0
滤波:估计信号 s ( t0 )
预测:估计信号 s ( t0 + α ) α > 0
求: α 分别取0,+1和-1时物理不可实现维纳滤波器的冲激响应 及最小均方误差。
ht
E {e ( t )} min = Rs ( 0 ) − ∫ h ( λ ) Rsx (α + λ ) d λ
2 ∞
1 E {e ( t )} min = 2π
2
:/ tp
ss /i
∞
−∞ ∞
= Rs ( 0 ) − ∫ h ( λ ) Rs (α + λ ) d λ
并将其与(6.5)式相加,得:
Rgx (η ) + b (η ) = ∫ h ( λ ) Rx (η − λ ) d λ − ∞ < η < ∞
两边分别作双边拉氏变换,得:
S gx ( s ) + B ( s ) = H ( s ) S x ( s )
当 λ < 0 时有 h ( λ ) ≡ 0 ,因此 H ( s ) 的极点只存在于 s 的左半平面内
比较例6.1和例6.2,可以看到不论 α 如何取值,后者(物理可实 现滤波器)的均方误差总是大于前者(物理不可实现滤波器)的, 这是由于对后者所加的约束条件多于前者。
ht :/ tp ss /i p. us . tc u ed n .c
+ x
1 ⎡ S gx ( s ) ⎤ H (s) = + ⎢ ⎥ S x ( s ) ⎣ S x− ( s ) ⎦
ht
:/ tp
S gx ( s )
S x ( s ) = S x+ ( s ) S x− ( s )
ss /i
+
S gx ( s )
⎡ S gx ( s ) ⎤ ⎡ S gx ( s ) ⎤ =⎢ − ⎥ +⎢ − ⎥ − Sx ( s ) ⎣ Sx ( s ) ⎦ ⎣ Sx ( s ) ⎦
′ ) = ∫ h ( t −τ ′ ) dτ Rgx ( t −τ ) Rx (τ−τ
∞
Rgx (η ) = ∫ h ( λ ) Rx (η − λ ) d λ , − ∞ < η < ∞ 非因果广义平稳随机过程 −∞ 的维纳-霍甫积分方程
p.
′ ) = E { g ( t ) x (τ ′ )} Rgx ( t −τ ′ ) = E { x (τ ′ )} Rx (τ−τ ) x (τ
ht
:/ tp
ss /i
p.
us
. tc u ed n .c
6.2.1 广义平稳随机信号的维纳滤波原理
信号和噪声均为零均值的广义平稳随机过程且互不相关,则观测 信号 x ( t ) = s ( t ) + n ( t ) 也是零均值广义平稳随机过程,且和 g ( t )联 合广义平稳
线性滤波器的冲激响应为 h ( t ) ,那么滤波器输出信号 y ( t )
x (t )
HW ( s )
由第3章所述白化滤波器的知识可知,其白化滤波器HW ( s )为: 1 HW ( s ) = + Sx ( s ) 考虑白输入的维纳滤波器,假设输入白信号为z ( t ) ,其对应维纳滤波 器传输函数为 H ′ ( s ) 。 输入白信号的自相关函数为 Rz (τ ) = δ (τ ) , 这里假定其谱高为1, 代入因果广义平稳随机过程维纳-霍甫积分方程可得:
−∞
维纳—霍甫方程的求解方法有两种: 1. 频谱因式分解法 2. 预白化法
ht
∞
:/ tp
0 ≤η < ∞
ss /i
λ < 0 时 h(λ ) ≡ 0