特征方程法求递推数列的通项公式

特征方程法求解递推关系中的数列通项

一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.

定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n

a 为常数列，即0101,;x

b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以

c 为公比

的等比数列，即0111

1,x a b c b b n n -==-.

证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c

d

x -=

作换元,0x a b n n -=则.)(110011

n n n n n n cb x a c c

cd

ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--

当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;1

1-=n n c b b

当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用.

例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23

111=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.2

3

,2310-=--=x x x 则

当41=a 时，.211

23,1101=+=≠a b x a

数列}{n b 是以3

1

-为公比的等比数列.于是

.N ,)3

1

(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n

例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数

单位。当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？ 解：作方程,)32(i x x +=则.5

360i

x +-=

要使n a 为常数，即则必须.5

3601i

x a +-=

= 二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，

βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的

特征方程。

若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为

1

211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为1

1)(-+=n n x B A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1

1)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B

的方程组）。 例

3

：

已

知

数

列

{}

n a 满足

),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++，求数列{}n a 的通项

公式。

解法一（待定系数——迭加法） 由025312=+-++n n n a a a ，得

)(3

2

112n n n n a a a a -=

-+++， 且a b a a -=-12。

则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项，

3

2

为公比的等比数列，于是 11)3

2

)((-+-=-n n n a b a a 。把n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=代入，得

a b a a -=-12，

)32

()(23⋅-=-a b a a ，

234)3

2

()(⋅-=-a b a a ，

•••

21)3

2

)((---=-n n n a b a a 。

把以上各式相加，得

])3

2()32(321)[(21-+⋅⋅⋅+++-=-n n a b a a )(3

21)32(11

a b n ---=

-。 a b b a a a b a n n n 23)3

2

)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。

解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++，

b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。

3

2,121=

=x x , ∴1

211--+=n n n Bx Ax a 1)3

2(-⋅+=n B A 。

又由b a a a ==21,，于是

⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩

⎪

⎨

⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B

A a 故1

)

3

2

)((323--+-=n n b a a b a

三、(分式递推式)定理3：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于

N ∈n ，都有h

ra q

pa a n n n ++=

+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且