2019-2020学年高中数学 34 函数的应用学案新人教B版必修1.doc

合集下载

2019-2020年高中数学函数的应用教案(Ⅰ)新课标人教版必修1(B)

2019-2020年高中数学函数的应用教案(Ⅰ)新课标人教版必修1(B)教学目标：学习一次、二次函数的模型的应用，解决一些简单的实际问题教学重点：一次、二次函数的模型的应用教学过程：1、复习一次、二次函数的有关知识2、解题方法：（1）审题（2）使用合适的数学模型（3）求解（4）作答3、例1是一次函数模型的例子常设一次函数为，使用待定系数法求解.例2、两函数差的最大值用于刻画两函数在谋取间内的近似情况。

例3、用列表法求解可以作为学生探求思路的方法，重点讲解方法二。

例4某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示。

（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式。

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元／百千克，时间单位：天）杰: 由图1可得市场售价与时间t的函数关系：，由图2可得种植成本与时间t的函数关系：，由上消去t得Q与P的对应关系式：。

因为认定市场售价P与种植成本Q之差为纯收益，所以当且时，；由二次函数性质可知当P＝250时，t＝50，此时P－Q取得最大值100；当且时，；由二次函数性质可知当P＝300时，t＝300，此时P－Q取得最大值87.5。

因为100＞87.5，所以当t＝50时，P－Q取得最大值100，即从二月一日起的第50天上市的西红柿收益最大。

课堂练习：第73页习题2-3A小结：本节课学习了一次、二次函数的模型的应用，解决一些简单的实际问题课后作业：第73页习题2-3B,1,3,42019-2020年高中数学函数的应用教案(Ⅱ)1新课标人教版必修1(B)教学目标：了解指数函数，对数函数等函数模型的应用教学重点：了解指数函数，对数函数等函数模型的应用教学过程：1、通过例1、例3讲解复利公式的应用，可补充练习：练习题：某企业现生产的甲种产品使企业xx年盈利a万元，预计从xx年起，20年内甲种产品盈利每年比上一年减少，同时开发乙种产品xx年投放市场，乙种产品第一年盈利b万元，在今后20年内，每年盈利都比上一年增加，若，问该企业今后20年内，哪一年盈利最少是多少万元。

高中数学第三章函数单调性的定义与证明学案新人教B版必修第一册

3．1.2　函数的单调性第1课时　单调性的定义与证明课程标准借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一　定义域为A 的函数f (x )的单调性状元随笔　定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1＜x 2；(3)属于同一个单调区间．知识点二　单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间M 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)________，区间M 叫做y ＝f (x )的________．状元随笔　一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，+∞)上单调递减．知识点三　函数的最值一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)(记作f(x)max＝f(x0))，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)(记作f(x)min＝f(x0))，而x0称为f(x)的最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．状元随笔　最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.　基础自测1．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则( )A．m＞12 B．m＜12C．m＞－12D．m＜－122．函数f(x)＝1x在[1，＋∞)上( )A．有最大值无最小值B．有最小值无最大值C．有最大值也有最小值D．无最大值也无最小值3．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)＞f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．4．如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)的单调递减区间是( )A．(－1，0)B．(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，+∞)D．(－1，0)，(1，＋∞)课堂探究·素养提升——强化创新性题型1　利用函数图象求单调区间[经典例题]例1　(1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A.(－3，1)∪(1，4)B．(－5，－3)∪(−1，1)C．(－3，－1)，(1，4)D．(－5，－3)，(－1，1)状元随笔　观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．(2)下列函数在区间(0，1)上是增函数的是( )A．y＝1－2x B．y＝1 xC．y＝√x−1D．y＝－x2＋2x(3)函数y＝|x－1|的单调增区间是________.跟踪训练1　(1)函数f(x)的图象如图所示，则( )A．函数f(x)在[－1，2]上是增函数B．函数f(x)在[－1，2]上是减函数C．函数f(x)在[－1，4]上是减函数D．函数f(x)在[2，4]上是增函数状元随笔　图象上升或下降趋势判断．(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．题型2　函数的单调性判断与证明例2　证明函数f (x )＝x ＋4x在(2，＋∞)上是增函数．在(0，2)上是减函数．状元随笔　先根据单调性的定义任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1＜x 2，再判断f(x 1)－f(x 2)的符号．方法归纳利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2　利用单调性的定义，证明函数y ＝x +2x +1在(－1，＋∞)上是减函数．题型3　利用函数的单调性求最值[经典例题]例3　已知函数f(x)＝2x−1x+1，x∈[3，5].(1)判断函数在区间[3，5]上的单调性，并给出证明；(2)求该函数的最大值和最小值．方法归纳1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．跟踪训练3　已知函数f(x)＝32x−1，求函数f(x)在[1，5]上的最值．状元随笔　(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．题型4　由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例4 (1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．方法归纳“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练4　(1)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围；函数的单调递减区间为(－∞，4]，则a为何值？状元随笔　首先求出f(x)的单调减区间，(1)求出f(x)的对称轴为x＝1－a，利用对称轴应在直线x＝4的右侧或与其重合求解．(2)求出函数的减区间，用端点值相等求出a.(2)若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)<f(3)，则x的取值范围是________．3．1.2　函数的单调性第1课时　单调性的定义与证明新知初探·自主学习[教材要点]知识点一f(x1)<f(x2)　f(x1)>f(x2)　增函数　减函数知识点二单调性　单调区间[基础自测]1．解析：使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<1 2.答案：B2．解析：函数f(x)＝1x是反比例函数，当x∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f(x)为减函数，f(1)为f(x)在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A.答案：A3．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x24．解析：若函数单调递减，则对应图象为下降的，由图象知，函数在(－1，0)，(1，＋∞)上分别下降，则对应的单调递减区间为(－1，0)，(1，＋∞)．答案：D课堂探究·素养提升例1　【解析】　(1)在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4)．(2)由y＝1－2x，y＝1x的图象易知在(0，1)上为减函数，而y＝√x−1的定义域为[1，＋∞)，不合题意．(3)作出函数的图象，如图所示，所以函数的单调递增区间为[1，＋∞)．【答案】　(1)C　(2)D　(3)[1，＋∞)跟踪训练1　解析：(1)函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.(2)y＝－x2＋2|x|＋3＝{−(x−1)2+4，x≥0，−(x+1)2+4，x＜0.函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数，所以函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间是[－1，0]和[1，＋∞)．答案：(1)A　(2)见解析例2　【证明】　∀x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝(x1－x2)＋4(x2−x1)x1x2＝(x1−x2)(x1x2−4)x1x2.因为2＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．证明：∀x1，x2∈(0，2)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝(x1－x2)＋4(x2−x1) x1x2＝(x1−x2)(x1x2−4)x1x2.因为0＜x1＜x2＜2，所以x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以函数f(x)＝x＋4x在(0，2)上是减函数．跟踪训练2　证明：设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1+2x1+1−x2+2x2+1＝x2−x1(x1+1)(x2+1)，∵－1<x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴x2−x1(x1+1)(x2+1)>0.即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2).∴y＝x+2x+1在(－1，＋∞)上是减函数．例3　【解析】　(1)函数f(x)在[3，5]上是单调递增的，证明：设任意x1，x2，满足3≤x1<x2≤5.因为f(x1)－f(x2)＝2x1−1x1+1−2x2−1x2+1＝(2x1−1)(x2+1)−(2x2−1)(x1+1)(x1+1)(x2+1)＝3(x1−x2) (x1+1)(x2+1)，因为3≤x1<x2≤5，所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0.所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以f(x)＝2x−1x+1在[3，5]上是单调递增的．(2)f(x)min＝f(3)＝2×3−13+1＝54，f(x)max＝f(5)＝2×5−15+1＝32.跟踪训练3　解析：先证明函数f(x)＝32x−1的单调性，设x1，x2是区间(12，+∞)上的任意两个实数，且x2>x1>1 2，f(x1)－f(x2)＝32x1−1−32x2−1＝6(x2−x1)(2x1−1)(2x2−1).由于x2>x1>12，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝32x−1在区间(12，+∞)上是单调递减的，所以函数f(x)在[1，5]上是单调递减的，因此，函数f(x)＝32x−1在区间[1，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝1 3.例4　【解析】　(1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1].①由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1，即a≤－4.②由题意得－a－1＝3，a＝－4.(2)因为函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，所以2x－3>5x－6，解得x<1，即实数x的取值范围为(－∞，1)．【答案】　(1)①a≤－4　②－4　(2)(－∞，1)跟踪训练4　解析：(1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的减区间是(－∞，1－a].∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.故a的取值范围为(－∞，－3].由知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]，∴1－a＝4，a＝－3.(2)函数的定义域为R，由条件可知，x－2>3，解得x>5.答案：(1)见解析　(2)(5，＋∞)11。

高中数学第三章函数的应用章末复习课(三)学案(含解析)新人教版必修1

三章函数的应用章末复习课网络构建核心归纳1.函数的零点与方程的根的关系函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解，函数f(x)的零点的个数与方程f(x)＝0的解的个数相等，也可以说方程f(x)＝0的解就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，即函数f(x)的函数值等于0时自变量x的取值.因此方程的解的问题可以转化为函数问题来解决.讨论方程的解所在的大致区间可以转化为讨论函数的零点所在的大致区间，讨论方程的解的个数可以转化为讨论函数的零点的个数.2.函数零点存在性定理(1)该定理的条件是：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的；②f(a)·f(b)<0，即f(a)和f(b)的符号相反.这两个条件缺一不可.(2)该定理的结论是“至少存在一个零点”，仅仅能确定函数零点是存在的，但是不能确定函数零点的个数.3.函数应用(1)要解决函数应用问题，首先要增强应用函数的意识.一般来说，解决函数应用问题可分三步：第一步，理解题意，弄清关系；第二步，抓住关键，建立模型；第三步，数学解决、检验模型.其中第二步尤为关键.(2)在解题中要充分运用数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想及策略，寻求解题途径.(3)根据已知条件建立函数解析式是函数应用的一个重要方面.一般分为两类：一类是借助于生活经验、函数知识等建立函数模型，以二次函数模型为主，一般是求二次函数的最值.另一类是根据几何、物理概念建立函数模型.要点一函数的零点与方程的根函数的零点与方程的根的关系及应用1.函数的零点与方程的根的关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点.2.确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.【例1】 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________；(2)若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.解析 (1)①当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－2＝0，解得x ＝2或x ＝－ 2.因为x ≤0，所以x ＝－ 2.②法一 (函数单调性法)当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x .而f (1)＝2×1－6＋ln 1＝－4<0，f (3)＝2×3－6＋ln 3＝ln 3>0，所以f (1)·f (3)<0，又函数f (x )的图象是连续的，故由零点存在性定理，可得函数f (x )在(1，3)内至少有一个零点.而函数y ＝2x －6在(0，＋∞)上单调递增，y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增.故函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)内有且只有1个零点.综上，函数f (x )共有2个零点.法二 (数形结合法)当x >0时，由f (x )＝0，得2x －6＋ln x ＝0，即ln x ＝6－2x .如图，分别作出函数y ＝ln x 和y ＝6－2x 的图象.显然，由图可知，两函数图象只有一个交点，且在y 轴的右侧，故当x >0时，f (x )＝0只有一个解.综上，函数f (x )共有2个零点.(2)由f(x)＝0得|2x－2|＝b，在同一坐标系中作出函数y＝|2x－2|和y＝b的图象，如图所示，由图可知，若f(x)有两个零点，则b的取值范围是(0，2).答案(1)2 (2)(0，2)【训练1】已知关于x的方程a·4x＋b·2x＋c＝0(a≠0)，常数a，b同号，b，c异号，则下列结论中正确的是( )A.此方程无实根B.此方程有两个互异的负实根C.此方程有两个异号实根D.此方程仅有一个实根解析由常数a，b同号，b，c异号，可得a，c异号，令2x＝t，则方程变为at2＋bt＋c＝0，t>0，由于此方程的判别式Δ＝b2－4ac>0，故此方程有2个不等实数根，且两根之积为c<0，故关于t的方程只有一个实数根，故关于x的方程只有一个实数根.a答案 D要点二二分法求方程的近似解(或函数的零点)1.二分法求方程的近似解的步骤(1)构造函数，转化为求函数的零点.(2)明确精确度和函数的零点所在的区间(最好区间左右端点相差1).(3)利用二分法求函数的零点.(4)归纳结论.2.使用二分法的注意事项(1)二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围，所以要选好计算的初始区间，保证所选区间既符合条件，又使区间长度尽量小.(2)计算时注意依据给定的精确度，及时检验计算所得的区间是否满足精确度的要求.(3)二分法在具体使用时有一定的局限性，首先二分法只能一次求得一个零点，其次f(x)在(a，b)内有不变号零点时，不能用二分法求得.【例2】设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的.先求值：f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________.所以f(x)在区间________内存在一个零点x0，填下表，结论x0解f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，所以初始区间为(1，2).因为所以x0≈1.125(不唯一).【训练2】若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625；f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260；f(1.438)＝0.165.那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根可以为(精确度为0.1)( )A.1.2B.1.35C.1.43D.1.5解析∵f(1.438)＝0.165>0，f(1.375)＝－0.260<0，∴函数f(x)在(1.375，1.438)内存在零点，又1.438－1.375<0.1，结合选项知1.43为方程f(x)＝0的一个近似根.答案 C要点三函数的实际应用1.建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示.(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域.(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解.2.建模的三个原则(1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.(3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题. 【例3】某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本).销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x （0≤x ≤5），11（x >5）. 假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题： (1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)要使工厂有盈利，求产量x 的取值范围； (3)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？解 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x . ∴f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8（0≤x ≤5），8.2－x （x >5）. (2)①当0≤x ≤5时，由－0.4x 2＋3.2x －2.8>0得x 2－8x ＋7<0，解得1<x <7，∴1<x ≤5. ②当x >5时，由8.2－x >0，得x <8.2，所以5<x <8.2.综上，当1<x <8.2时，有y >0，即当产量x 大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利. (3)当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6，当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6；当x >5时，∵函数f (x )单调递减， ∴f (x )<f (5)＝3.2(万元).综上，当工厂生产4百台产品时，可使盈利最多，为3.6万元.【训练3】《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人所得税起征点为3 500元(即3 500元以下不必纳税，超过3 500元的部分为当月应纳税所得额)，应缴纳的税款按下表分段累计计算：(1) (2)刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元，那么她当月工资总额是多少？解 (1)依题意可得： ①当0<x ≤3 500时，y ＝0. ②当3 500<x ≤5 000时，y ＝(x －3 500)·3%＝0.03x －105.③当5 000<x <8 000时，y ＝45＋(x －5 000)·10%＝0.1x －455.综上可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤3 500，0.03x －105，3 500<x ≤5 000，0.1x －455，5 000<x <8 000.(2)因为需交税300元，故有5 000<x <8 000，所以300＝0.1x －455，所以x ＝7 550. 答：刘丽十二月份工资总额为7 550元.基础过关1.函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( )A.(1，2)B.(2，3)C.(3，4)D.(1，2)与(2，3)解析易知f (x )在(1，＋∞)上单调递减，f (2)＝1>0，f (3)＝23＋ln 12＝23－ln 2<0，所以f (x )在(2，3)内只有一个零点.答案 B2.实数a ，b ，c 是图象连续不断的函数y ＝f (x )定义域中的三个数，且满足a <b <c ，f (a )·f (b )<0，f (c )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，c )上的零点个数为( )A.2B.奇数C.偶数D.至少是2解析由零点存在性定理，f (a )f (b )<0，f (c )f (b )<0，则y ＝f (x )在区间(a ，b )上至少有一个零点，在(b ，c )上至少有一个零点，而f (b )≠0，所以y ＝f (x )在区间(a ，c )上的零点个数为至少2个.选D. 答案 D3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋a ，x ≤0，2x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，0)C.(－1，0)D.[－1，0)解析易知当x >0时，2x －1＝0有一个根，所以需使函数y ＝e x＋a (x ≤0)有一个零点，即方程e x ＋a ＝0(x ≤0)有一个根，即a ＝－e x .由x ≤0，得－e x∈[－1，0)，故a ∈[－1，0). 答案 D4.用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算________次.解析设至少需要计算n 次，则n 满足0.12n <0.001，即2n >100，由于27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次. 答案 75.方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是________.解析在同一个坐标系中作出函数y ＝|x 2－2x |和y ＝a 2＋1的图象，如图所示，易知a 2＋1>1，由图知方程有2个解.答案 26.方程x 2－1x＝0在(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由.解不存在.理由如下：因为当x <0时，－1x >0，所以x 2－1x>0恒成立，故不存在x ∈(－∞，0)，使x 2－1x＝0.7.某地的出租车价格规定：起步价为a 元，可行3公里，3公里以上按每公里b 元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c 元计算(这里a ，b ，c 规定为正的常数，且c >b )，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.(1)若取a ＝14，b ＝2.4，c ＝3.6，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？(2)求车费y (元)与行车里程x (公里)之间的函数解析式y ＝f (x ).解 (1)由题意可知，起步价(3公里以内)是14元，则这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则8－3＝5(公里)的收费是5×2.4＝12(元)，总共收费14＋12＝26(元)，故他应付出租车费26元.(2)3公里以内，即起步价是a 元，即0<x ≤3时，y ＝a (元)；大于3公里而不超过10公里时，即3<x ≤10时，收费y ＝a ＋(x －3)b ＝bx ＋a －3b (元)；大于10公里时，即x >10时，收费y ＝a ＋7×b ＋(x －10)c ＝cx ＋a ＋7b －10c (元).所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<x ≤3，bx ＋a －3b ，3<x ≤10，cx ＋a ＋7b －10c ，x >10.能力提升8.已知函数f (x )的图象如图所示，则它的一个可能的解析式为( )A.y ＝2xB.y ＝4－4x ＋1C.y ＝log 3(x ＋1)D.y ＝3x解析由于图象过点(1，2)，可排除C ，D ；由图象与直线y ＝4无限接近，但到达不了，即y <4，而y ＝2x 可无限大，排除A ，选B.答案 B9.若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－2] B.(－∞，－2]∪(2，＋∞) C.(2，＋∞)D.(－2，2)解析 ∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，∴函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，且f (－2)＝f (2)＝0，作出函数f (x )的示意图，如图，则不等式f (x )<0的解为－2<x <2，故选D.答案 D10.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋a －1的两个零点一个大于2，一个小于2，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )的两个零点一个大于2，一个小于2， ∴f (2)<0，∴22＋2a ＋a －1<0，解得a <－1. 答案 (－∞，－1)11.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400. 答案 2012.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解 (1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆.(2)设每辆车的月租金为x 元(x ≥3 000)，租赁公司的月收益为y 元，则y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050－x －3 00050×50－⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050×150＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.当x ＝4 050时，y max ＝307 050.所以每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，为307 050元.13.(选做题)设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )的实根的个数.解原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，a －x >0，（x －1）（3－x ）＝a －x ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，（x －1）（3－x ）＝a －x ，整理得－x 2＋5x －3＝a (1<x <3).在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝a ，及y ＝－x 2＋5x －3，x ∈(1，3)的图象，如图所示.(1)当a >134或a ≤1时，两个函数的图象无交点，故原方程无实数根；(2)当a ＝134或1<a ≤3时，两个函数的图象有一个交点，故原方程有一个实数根；(3)当3<a <134时，两个函数的图象有两个交点，故原方程有两个实数根.章末检测(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )解析由二分法的定义可知选A.答案 A2.已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)的图象与x轴在区间[a，b]内( )A.至多有一个交点B.必有唯一个交点C.至少有一个交点D.没有交点解析∵f(a)·f(b)<0，∴f(a)与f(b)异号，即：f(a)>0，f(b)<0或者f(a)<0，f(b)>0，显然，在[a，b]内，必有一点c，使得f(c)＝0.又f(x)在区间[a，b]上单调，所以，这样的点只有一个，故选B.答案 B3.若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图象是( )解析A：与直线y＝2的交点是(0，2)，不符合题意，故不正确；B：与直线y＝2无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y＝2只在区间(0，＋∞)上有交点，不符合题意，故不正确；D ：与直线y ＝2在(－∞，0)上有交点，故正确.故选D. 答案 D4.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点解析由题图可知，甲到达终点用时短，故选D. 答案 D5.据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万，0.4万和0.76万，则该地区这三个月的用工人数y 万人关于月数x 的函数关系近似的是( ) A.y ＝0.2x B.y ＝110(x 2＋2x )C.y ＝2x10D.y ＝0.2＋log 16x解析当x ＝1时，否定B ；当x ＝2时，否定D ；当x ＝3时，否定A ，故选C. 答案 C6.若函数f (x )＝log 3x ＋x －3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：那么方程x －3＋3A.2.1 B.2.2 C.2.3D.2.4解析由参考数据可知f (2.25)·f (2.312 5)<0，且|2.312 5－2.25|＝0.062 5<0.1，所以当精确度为0.1时，可以将2.3作为函数f (x )＝log 3x ＋x －3零点的近似值，也即方程x －3＋log 3x ＝0的根的近似值. 答案 C7.函数f (x )＝（x －1）ln （－x ）x －3的零点个数为( )C.3D.4解析 ∵函数f (x )＝（x －1）ln （－x ）x －3的零点个数，即为f (x )＝0的根的个数，∴f (x )＝（x －1）ln （－x ）x －3＝0，即(x －1)ln(－x )＝0，∴x －1＝0或ln(－x )＝0，∴x ＝1或x ＝－1.∵⎩⎪⎨⎪⎧－x >0，x －3≠0，解得x <0，∴函数f (x )的定义域为{x |x <0}，∴x ＝－1，即方程f (x )＝0只有一个根，∴函数f (x )＝（x －1）ln （－x ）x －3的零点个数为1.故选A.答案 A8.函数f (x )＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A.(－2，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，2)解析由已知可知，函数f (x )＝3x＋12x －2单调递增且连续，∵f (－2)＝－269<0，f (－1)＝－136<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝32>0，∴f (0)·f (1)<0，由函数零点存在性定理可知，函数f (x )＝3x ＋12x －2的一个零点所在的区间是(0，1)，故选C.答案 C9.已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A.2 B.3C.4D.与a 的值有关解析设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别作出它们的图象如图所示.由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|log a x |有两个根.故选A.答案 A10.某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P (万元)和Q (万元)，且它们与投入资金x (万元)的关系是：P ＝x 4，Q ＝a2x(a >0)；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a 的最小值应为( )C.± 5D.－ 5解析设投放x (0≤x ≤20)万元经销甲商品，则投放(20－x )万元经销乙商品，总利润y ＝P ＋Q ＝x 4＋a 2·20－x ，令y ≥5，则x 4＋a2·20－x ≥5，∴a 20－x ≥10－x 2，即a ≥1220－x 对0≤x ≤20恒成立，而f (x )＝1220－x 的最大值为5，且x ＝20时，a 20－x ≥10－x2也成立，∴a min ＝ 5.答案 A11.已知函数f (x )＝|lg x |－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x有两个零点x 1，x 2，则有( ) A.x 1x 2<0 B.x 1x 2＝1 C.x 1x 2>1D.0<x 1x 2<1解析 f (x )＝|lg x |－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x有两个零点x 1，x 2，即y ＝|lg x |与y ＝2－x有两个交点，由题意x >0，分别画y ＝2－x 和y ＝|lg x |的图象，发现在(0，1)和(1，＋∞)上分别有一个交点，不妨设x 1∈(0，1)，x 2∈(1，＋∞)，那么在(0，1)上有2－x 1＝－lg x 1，即－2－x 1＝lg x 1.①在(1，＋∞)上有2－x 2＝lg x 2.②①②相加有2－x 2－2－x 1＝lg x 1x 2，∵x 2>x 1，∴2－x 2<2－x 1，即2－x 2－2－x 1<0，∴lg x 1x 2<0， ∴0<x 1x 2<1，故选D. 答案 D12.某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为f (n )＝k (n )(n －10)，n >10(其中n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f (n )的单位为元)，而k (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ≤10，100，10<n ≤15，200，15<n ≤20，300，20<n ≤25，400，n >25.现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分.则乙所得奖励比甲所得奖励多( )A.600元B.900元C.1 600元D.1 700元解析∵k(18)＝200(元)，∴f(18)＝200×(18－10)＝1 600(元).又∵k(21)＝300(元)，∴f(21)＝300×(21－10)＝3 300(元)，∴f(21)－f(18)＝3 300－1 600＝1 700(元).故选D.答案 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.如果函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是________.解析函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则f(0)＝0，∴m＋3＝0，∴m＝－3，则f(x)＝x2－3x，于是另一个零点是3.答案 314.若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________.解析由|x2－4x|－a＝0得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0<a<4，故答案为(0，4).答案(0，4)15.将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个.若每个涨价1元，则日销售量减少10个.为获得最大利润，则此商品销售价应定为每个________元.解析设每个涨价x元，则实际销售价为(10＋x)元，销售的个数为100－10x.则利润为y ＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N).因此，当x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大.答案1416.给出下列四个命题：①函数y＝f(x)，x∈R的图象与直线x＝a可能有两个不同的交点；②函数y＝log2x2与函数y＝2log2x是相等函数；③对于指数函数y＝2x与幂函数y＝x2，总存在x0，当x>x0时，有2x>x2成立；④对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若有f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有零点.其中正确的序号是________.解析对于①，函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系，根据定义进行判定即可判断①错；对于②，函数y ＝log 2x 2与函数y ＝2log 2x 的定义域不相同，故不是相等函数，故②错；对于③，当x 0取大于等于4的值都可使当x >x 0时，有2x >x 2成立，故③正确；对于④，函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上不连续时，既使有f (a )·f (b )<0，f (x )在(a ，b )内也不一定有零点.故④错. 答案 ③三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17.(10分)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)f (x )＝－8x 2＋7x ＋1； (2)f (x )＝x 2＋x ＋2； (3)f (x )＝x 3＋1.解 (1)因为f (x )＝－8x 2＋7x ＋1＝－(8x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0，可解得x ＝－18，或x ＝1，所以函数f (x )的零点为－18和1.(2)因为f (x )＝x 2＋x ＋2，令x 2＋x ＋2＝0，Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程x 2＋x ＋2＝0无实数解.所以f (x )＝x 2＋x ＋2不存在零点. (3)因为f (x )＝x 3＋1＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)，令(x ＋1)(x 2－x ＋1)＝0，解得x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为－1.18.(12分)定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在(－∞，0]上递增，函数f (x )的一个零点为－12，求满足f (log 14x )≥0的x 的取值集合.解 ∵－12是函数的一个零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.∵y ＝f (x )是偶函数且在(－∞，0]上递增，∴当log 14x ≤0，即x ≥1时，log 14x ≥－12，解得x ≤2，即1≤x ≤2.由对称性可知，当log14x >0，即0＜x ＜1时，log 14x ≤12，解得12≤x <1.综上所述，x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.19.(12分)已知函数f (x )＝x －1＋12x 2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f (x )有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1).解令y 1＝x －1，y 2＝－12x 2＋2，在同一直角坐标系中分别画出它们的图象(如图所示)，其中抛物线的顶点坐标为(0，2)，与x 轴的交点分别为(－2，0)，(2，0)，y 1与y 2的图象有3个交点，从而函数f (x )有3个零点.由f (x )的解析式知x ≠0，f (x )的图象在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是连续不断的曲线，且f (－3)＝136>0，f (－2)＝－12<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18>0，f (1)＝－12<0，f (2)＝12>0，即f (－3)·f (－2)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0，f (1)·f (2)<0，∴3个零点分别在区间(－3，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，(1，2)内.20.(12分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量.(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题给公式可得：0＝5log 2Q10，解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量是10个单位.(2)将耗氧量Q ＝80代入题给公式得：v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)，即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.21.(12分)如图，直角梯形OABC 位于直线x ＝t (t ≥0)右侧的图象的面积为f (t ).(1)试求函数f (t )的解析式； (2)画出函数y ＝f (t )的图象. 解 (1)当0≤t ≤2时，f (t )＝S 梯形OABC －S △ODE ＝（3＋5）×22－12t ·t ＝8－12t 2，当2<t ≤5时，f (t )＝S 矩形DEBC ＝DE ·DC ＝2(5－t )＝10－2t ，所以f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧8－12t 2，0≤t ≤2，10－2t ，2<t ≤5.(2)函数f (t )的图象如图所示.22.(12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件. (1)设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式； (2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？解 (1)当0<x ≤100时，p ＝60；当100<x ≤600时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x .∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x ≤600.(2)设利润为y 元，则当0<x ≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ；当100<x ≤600时，y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x ≤600. 当0<x ≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大，此时y ＝20×100＝2 000；当100<x ≤600时，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050，∴当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6 050. 显然6 050>2 000.∴当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元.模块检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，则(∁U A )∪B 为( ) A.{1，2，4} B.{2，3，4} C.{0，2，4}D.{0，2，3，4}解析 ∵全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{1，2，3}，∴∁U A ＝{0，4}，又B ＝{2，4}，则(∁U A )∪B ＝{0，2，4}.故选C. 答案 C2.可作为函数y ＝f (x )的图象的是( )解析由函数的定义可知：每当给出x 的一个值，则f (x )有唯一确定的实数值与之对应，只有D 符合.故正确答案为D. 答案 D3.同时满足以下三个条件的函数是( )①图象过点(0，1)；②在区间(0，＋∞)上单调递减；③是偶函数 A.f (x )＝－(x ＋1)2＋2B.f (x )＝3|x |C.f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |D.f (x )＝x －2解析 A.若f (x )＝－(x ＋1)2＋2，则函数图象关于x ＝－1对称，不是偶函数，不满足条件③.B.若f (x )＝3|x |，则f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件②.C.若f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |，则三个条件都满足.D.若f (x )＝x －2，则f (0)无意义，不满足条件①.故选C. 答案 C4.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3（2x－1），x ≥2，则f (f (2))等于( ) A.0 B.1 C.2D.3 解析 f (2)＝log 3(22－1)＝1，f (1)＝2e1－1＝2，即f (f (2))＝2. 答案 C5.函数f (x )＝2x －1＋log 2x 的零点所在区间是( )A ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.(1，2)解析 ∵函数f (x )＝2x －1＋log 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1，f (1)＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0，故连续函数f (x )的零点所在区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选C.答案 C6.幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值是( ) A.13 B.－13C.3D.－3解析设幂函数为y ＝x α，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，所以有－18＝(－2)α，解得：α＝－3，所以幂函数解析式为y ＝x －3，由f (x )＝27，得：x －3＝27，所以x ＝13.答案 A7.函数f (x )＝2－x ＋ln(3x ＋2)＋12x－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0∪(0，2] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤23，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1∪(1，2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－23，2 解析由⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，3x ＋2>0，2x －1≠0，解得－23<x ≤2且x ≠0，故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0∪(0，2].答案 A8.设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c <a 0.3，所以0.50.5>0.30.5，即a >b ，c ＝log 0.30.2>log 0.30.3＝1，而1＝0.50>0.50.5，所以b <a <c .故选B.答案 B9.若函数f (x )＝(k －1)a x－a －x(a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )解析由f (x )＝(k －1)a x－a －x(a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，所以k ＝2，0<a <1，再由对数的图象可知A 正确. 答案 A10.定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)且x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)等于( )A.1B.45C.－1D.－45解析由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)，因为4<log 220<5，所以0<log 220－4<1，－1<4－log 220<0，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f (4－log 220) ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝2log 245＋15＝1.故选A. 答案 A11.若f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，则(x －1)f (x )<0的解集是( )A.(－3，0)∪(1，＋∞)B.(－3，0)∪(0，3)C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)D.(－3，0)∪(1，3)解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，∴在(－∞，0)内f (x )也是增函数，又∵f (－3)＝0，∴f (3)＝0，∴当x ∈(－∞，－3)∪(0，3)时，f (x )<0；当x ∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，f (x )>0；∵(x －1)·f (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，f （x ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，f （x ）<0，可解得－3<x <0或1<x <3，∴不等式的解集是(－3，0)∪(1，3)，故选D. 答案 D12.已知当x ∈[0，1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A.(0，1]∪[23，＋∞) B.(0，1]∪[3，＋∞) C.(0，2]∪[23，＋∞)D.(0，2]∪[3，＋∞)解析 y ＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2，相当于y ＝x 2向右平移1m 个单位，再将函数值放大m 2倍得到的；y ＝x ＋m 相当于y ＝x 向上平移m 个单位.①若0＜m ≤1，两函数的图象如图1所示，可知两函数图象在x ∈[0，1]上有且只有1个交点，恒成立；②若m ＞1，两函数的大致图象如图2所示，为使两函数在x ∈[0，1]上有且只有1个交点，需要(m －1)2≥1＋m ，得m ≥3.综上，m ∈(0，1]∪[3，＋∞). 答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13.当a >0且a ≠1时，函数f (x )＝ax －2－3必过定点________.解析因为a 0＝1，故f (2)＝a 0－3＝－2，所以函数f (x )＝a x －2－3必过定点(2，－2).答案 (2，－2)14.用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2，4)上的近似解，验证f (2)f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0∈________(填区间).解析 ∵f (2)·f (4)＜0，f (2)·f (3)＜0， ∴f (3)·f (4)＞0，故x 0∈(2，3). 答案 (2，3)15.设U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，(∁U A )∩B ＝{3，7}，(∁U B )∩A ＝{2，8}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1，5，6}，则集合A ＝________，B ＝________.解析 (∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{1，5，6}，所以A ∪B ＝{2，3，4，7，8，9}，又(∁U A )∩B ＝{3，7}，(∁U B )∩A ＝{2，8}，所以A ∩B ＝{4，9}，所以A ＝{2，4，8，9}，B ＝{3，4，7，9}.答案 {2，4，8，9} {3，4，7，9}16.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋4x ，（x ≥4），log 2x ，（0<x <4），若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.解析关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，等价于函数f (x )与函数y ＝k 的图象有两个不同的交点，作出函数的图象如图.由图可知实数k 的取值范围是(1，2). 答案 (1，2)三、解答题(本大题共6个小题，共70分) 17.(10分)计算下列各式的值： (1)1.5－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋80.25×42－；(2)(log 3312)2＋log 0.2514＋9log 55－log 31.解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋23×14×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋9×12－0＝14＋1＋92＝234.18.(12分)已知函数f (x )是R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x＋x ，求f (x )的解析式.解由题意，当x ＝0时，f (x )＝0.∵x >0时，f (x )＝2x＋x ，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x－x ，又∵函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x＋x ，综上所述，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2－x＋x ，x <0，0，x ＝0，2x ＋x ，x >0.19.(12分)已知集合A ＝{x |3≤3x≤27}，B ＝{x |log 2x ＞1}. (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围. 解 (1)A ＝{x |3≤3x≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2x ＞1}＝{x |x ＞2}. A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}. (2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a ＞1时，C ⊆A ，则1＜a ≤3；综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3].20.(12分)已知函数f (x )＝log a (2x ＋1)，g (x )＝log a (1－2x )(a >0且a ≠1). (1)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断F (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性，并说明理由； (3)确定x 为何值时，有f (x )－g (x )>0.解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，1－2x >0，∴－12＜x ＜12.∴函数F (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <12.(2)由(1)知F (x )的定义域关于原点对称，又F (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (－2x ＋1)－ log a (1＋2x )＝－F (x )， ∴F (x )为奇函数.(3)∵f (x )－g (x )>0，∴log a (2x ＋1)－log a (1－2x )>0，即log a (2x ＋1)>log a (1－2x ).①当0<a <1时，0<2x ＋1<1－2x ，∴－12<x <0.②当a >1时，2x ＋1>1－2x >0，∴0<x <12.21.(12分)甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条. 乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年30个减少到第6年10个. 请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第1年扩大还是缩小了？说明理由； (3)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由.解由题意可知，图甲图象经过(1，1)和(6，2)两点，从而求得其解析式为y甲＝0.2x ＋0.8，图乙图象经过(1，30)和(6，10)两点.从而求得其解析式为y 乙＝－4x ＋34.(1)当x ＝2时，y 甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，y 乙＝－4×2＋34＝26，y 甲×y 乙＝1.2×26＝31.2. 所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条.(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万条)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万条)，可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规模比第1年缩小了. (3)设当第m 年时的规模，即总出产量为n ，那么n ＝y 甲·y 乙＝(0.2m ＋0.8)(－4m ＋34) ＝－0.8m 2＋3.6m ＋27.2＝－0.8(m 2－4.5m －34)＝－0.8(m －2.25)2＋31.25，因此，当m ＝2时，n 最大值为31.2，即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条. 22.(12分)已知函数f (x )＝a ·2x －2＋a2x＋1(a ∈R ).(1)试判断f (x )的单调性，并证明你的结论； (2)若f (x )为定义域上的奇函数， ①求函数f (x )的值域；②求满足f (ax )<f (2a －x 2)的x 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，且f (x )＝a －22x ＋1.任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝a －22x 2＋1－a ＋22x 1＋1＝2（2x2－2x1）（2x 2＋1）（2x1＋1）. ∵y ＝2x在R 上单调递增，且x 1<x 2， ∴0<2x1<2x2，2x2－2x1>0，2x1＋1>0，2x2＋1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数.(2)∵f (x )是定义域上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即a －22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x ＋1＝0对任意实数x 恒成立，化简得2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫2·2x2x ＋1＋22x ＋1＝0，。

高中数学第二章《函数》学案新人教B版必修1

必修1函数复习学案知识点解读：1、函数的定义、表示法：2、单调性：会用定义判断或证明函数的单调性 3、奇偶性：（1）奇函数在x=0时有定义，则必有f （0）=0 （2）偶函数f （x ）必有f （-x ）=f （x ）= f （︱x ︱）（3）会用定义证明、判断函数的奇偶性4、反函数：基础达标：1、设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n+2，则在映射f 下，象20的原象是（A ）2（B ）3（C ）4（D ）52、函数xx x f -+=11)(的定义域为A ，函数)]([x f f y =的定义域为B ，则（A ）B B A = （B ）B A ⊆ （C ）B B A =（D ）B A =3、若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(-(B))4,1(--(C))1,4(--(D))4,1(-4、已知函数)(x f y =的反函数)(1x f-的定义域为]1,0[，那么函数))((R m m x f y ∈+=的值域是（A ）]1,[m m -- （B ）]0,1[- （C ）]1,0[ （D ）R5、已知函数1)()(32+-+=x a a ax x f 在]1,(--∞上递增，则a 的取值范围是（A ）3≤a （B ）33≤≤-a （C ）30≤<a （D ）03<≤-a6、已知二次函数c x b a ax x f +++=)()(22的图像开口向上，且1)0(=f ，0)1(=f ，则实数b 取值范围是 (A) ]43,(--∞ (B) )0,43[-(C) ),0[+∞ (D) )1,(--∞参考答案1.C2.B3.B4.C5.D6.D能力提高：1．设()124+-=x x x f ，则()=-01f________2．函数),(1R x mx y ∈+=与)(2R n n x y ∈-=互为反函数的充要条件是___________3．若点)41,2(既在函数bax y +=2的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =__________________，b =_________________。

高中数学第三章 3.2函数与方程不等式之间的关系学案含解析新人教B版必修第一册

3.2 函数与方程、不等式之间的关系第1课时学习目标1.帮助学生逐渐养成借助直观概念、进行逻辑推理的思维习惯,引导学生感悟高中阶段数学课程的特征,逐步适应高中阶段的数学学习.(逻辑推理)2.通过本节课的学习,帮助学生学习运用函数性质求方程近似解的方法,逐步帮助学生树立数学建模的思想.(数学建模)自主预习知识点一函数的零点一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的,即,则称.α是函数f(x)零点的充分必要条件是,是函数图像与x轴的公共点.思考:函数的零点是一个点吗?知识点二:二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系Δ=b2-4acΔ>0 Δ=0 Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的图像ax2+bx+c=0 (a>0)的根有两个不相等的实根x1,x2,且x1<x2有两个相等的实根x1,x2,且x1=x2没有实数根ax2+bx+c>(a>0)的解集ax2+bx+c<(a>0)的解集课堂探究一、问题探究1.已知函数f(x)=x-1,我们知道,这个函数的定义域为,而且可以求出,方程f(x)=0的解集为,不等式f(x)>0的解集为,不等式f(x)<0的解集为.2.在图中作出函数f(x)=x-1的图像,总结上述方程、不等式的解集与函数定义域、函数图像之间的关系.要点归纳(1)函数的零点是一个,是使函数值为0的自变量的值.函数的零点不是一个二维有序数组,而是一维数轴上的点的坐标.函数的零点可以与函数的最值点进行类比,两者都是一个数.(2)函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔方程f(x)=0有实数根.(3)不是所有函数都有零点,例如f(x)=1就没有零点.x(4)从函数的图像上能方便地看出函数的零点,但是得到函数的图像并不是一件容易的事.(5)知道函数的零点之后,如果可以进一步得到函数在非零点处的符号信息,就能作出这个函数图像的示意图.二、典型例题题型一:求函数的零点的零点是()例1(1)函数y=1+1xA.(-1,0)B.-1C.1D.0(2)若3是函数f(x)=x2-mx的一个零点,则m= .要点归纳函数零点的两种求法:(1)代数法:.(2)几何法:.(3)交点法:如果函数f(x)能够拆成两个函数差的形式,即f(x)=g(x)-h(x),那么函数f(x)的零点可以利用函数的图像的交点得到.变式训练:函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是.题型二:一元二次不等式的解法例2利用函数求下列不等式的解集:(1)x2-x-6<0;(2)-x2-2x-3≥0;(3)x2-4x+6≤0.要点归纳解不含参数的一元二次不等式的一般步骤都有哪些?(1)化标准:;(2)判别式:;(3)求实根:;(4)画草图:;(5)写解集:.变式训练:(选自课本习题3—2A)利用函数求下列不等式的解集:(1)x2-2x-3>0;(2)x2-8x+16≥0;(3)x2+4x+5>0.题型三:“三个二次”之间的关系例3若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-3<x<4},求不等式bx2+2ax-c-3b<0的解集.要点归纳“三个二次”之间都有什么关系?变式训练:已知方程ax2+bx2+2=0的两根为-12和2.(1)求a,b的值;(2)解不等式ax2+bx-1>0.核心素养专练1.例3中把{x|-3<x<4}改为{x|x<-3或x>4},其他条件不变,则不等式的解集又如何?2.已知x=-1是函数f(x)=ax+b(a≠0)的一个零点,则函数g(x)=ax2-bx的零点是()A.-1,1B.0,-1C.1,0D.2,13.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2,则函数f(x)=cx2+bx+a的零点为()A.1,2B.-1,-2C.1,12D.-1,-124.若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,f(2)=0,则函数f(x)的零点有()A.一个B.两个C.至少两个D.无法判断5.已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中x∈R,a,b为常数,求方程f(ax+b)=0的解集.第2课时学习目标1.逐渐养成借助直观概念、进行逻辑推理的思维习惯,感悟高中阶段数学课程的特征,逐步适应高中阶段的数学学习.(逻辑推理)2.通过本节课的学习,掌握运用函数性质求方程近似解的方法,逐步树立数学建模的思想.(数学建模)自主预习知识点一:零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有,那么,函数y=f(x)在这个区间上,即存在一点x0∈[a,b],使得,这个x0也就是方程f(x)=0的根.思考:函数y=f(x)在区间[a,b]上有零点,则f(a)f(b)<0,对吗?知识点二:二分法1.二分法的定义对于在区间[a,b]上图像且的函数y=f(x),通过不断地把它的零点区,使得所在区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.思考:用二分法求函数零点的近似值的条件是什么?2.二分法求零点的一般步骤在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,且f(a)f(b)<0),给定近似的精度ε,用二分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0<ε|的一般步骤如下: 第一步检查是否成立,如果成立,取x1=a+b2,计算结束;如果不成立,转到第二步.第二步计算区间[a,b]的中点a+b2对应的函数值,若f(a+b2)=0,取x1= ,计算结束;若f(a+b2)≠0,转到第三步.第三步若f(a)f(a+b2)<0,将a+b2的值赋给,(用a+b2→b表示,下同),回到第一步;若f(a+b2)f(b)<0,将a+b2的值赋给,回到第一步.这些步骤可用如图所示的框图表示.课堂探究一、问题探究1.关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的求根公式为.2.如图所示,已知A,B都是函数y=f(x)图像上的点,而且函数图像是连接A,B两点的连续不断的线,作出3种y=f(x)的可能的图像.判断f(x)是否一定存在零点,总结出一般规律.二、典型例题题型一:函数零点存在定理例1已知函数f(x)的图像是连续的,x,f(x)的对应值如下:x 3 4 5 6 7 8f(x) 123.5621.45 -7.82-11.5753.76126.69则函数f(x)在区间[3,8]内()A.一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个零点D.至多有一个零点要点归纳在函数图像连续的前提下,f(a)f(b)<0,能判断出在区间(a,b)内有零点,但不一定只有一个;而f(a)f(b)>0,却不能判断在区间(a,b)内无零点.变式训练:函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上()A.没有零点B.有一个零点C.有两个零点D.有无数个零点题型二:二分法的概念例2(1)下列函数中不能用二分法求零点近似值的是()A.f(x)=3x-1B.f(x)=x3C.f(x)=|x|D.f(x)=x2-2x(2)用二分法求函数f(x)=-4x2+8x-1的零点时,第一次计算得f(0)<0,f(0.5)>0,f(1)>0.可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.要点归纳运用二分法求函数的零点应具备的条件:(1)函数图像在零点附近连续不断;(2)在该零点左右的函数值异号.变式训练:用二分法求方程2x+3x-7=0在区间(1,3)内的根,取区间的中点为x0=2,那么下一个有根的区间是.题型三:用二分法求函数零点例3用二分法求函数f(x)=x3-x-2的一个正实数零点(精确度小于0.1).要点归纳用二分法求函数零点的近似值的步骤往往比较烦琐,一般借助表格,利用表格可以清晰地表示逐步缩小到零点所在区间的过程;有时也利用数轴来表示这一过程.变式训练:用二分法求函数f(x)=2x2-3x-1的一个正实数零点(精确度小于0.1).核心素养专练1.已知函数f(x)=x3-2x+2,若在区间(-2,0)中任取一个数作为x0的近似值,那么误差小于;若取区间(-2,0)的中点作为x0的近似值,那么误差小于.2.已知函数f(x)=x2+ax+1有两个零点,在区间(-1,1)上是单调的,且在该区间中有且只有一个零点,求实数a的取值范围.3.求下列函数的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f(x)≥0和f(x)<0的解集:(1)f(x)=(x-1)(x-2)(x+3);(2)f(x)=(x+2)x2.4.若方程x2-2ax+4=0的两个不相等实数根均大于1,求实数a的取值范围.参考答案第1课时课堂探究(1)B(2)3要点归纳略变式训练:0和-12例2(1)(-2,3)(2)⌀(3)⌀要点归纳略变式训练:(1){x|x>3或x<-1}(2)R(3)R例3{x|-3<x<5}要点归纳略<x<1.变式训练:(1)a=-2,b=3;(2)12核心素养专练x>5}2.C3.C4.B5.⌀第2课时自主预习课堂探究略二、典型例题例1 C变式训练:B例2(1)C(2)x0∈(0,0.5),f(0.25)变式训练:(1,2)例31.562 5变式训练:1.812 5核心素养专练12.(-∞,-1)∪(1,+∞)3.(1)f(x)≥0的解集是[-3,1]∪[2,+∞);f(x)<0的解集是(1,2).(2)f(x)≥0的解集是[-2,+∞);f(x)<0的解集是(-∞,-2).4.2≤a<52第1课时学习目标1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.2.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式.3.了解高次不等式的解法.自主预习完成课本第112页“尝试与发现”中的任务,并阅读第112~113页的内容,完成下列问题: 填写下列表格函数y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3函数的图像方程的实数根x1=x2=1不等式的解集y>0的解集y>0的解集y>0的解集y<0的解集课堂探究(一)【问题导入】已知二次函数y=x2-x-6,试问:(1)x为何值时y等于0?(2)画出这个函数的图像,并求图像与x轴交点的坐标.(3)图像与x轴交点的坐标,与方程的解有什么关系?思考:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像有什么关系?(二)【理性认识,概括性质】1.函数零点的概念:2.函数的零点是“点”吗?3.函数的零点与方程的根及函数图像有何关系?(三)【巩固练习,学以致用】例1判断下列函数是否存在零点,若存在,则求出零点.(1)f(x)=x2-x-6;(2)f(x)=x3-x.跟踪训练1若函数f(x)=x2+x-a的一个零点是-3,求实数a的值和f(x)其余的零点.例2解下列不等式:(1)-x2+5x-6>0;(2)3x2+5x-2≥0.跟踪训练2解下列不等式:(1)4x 2-4x+1>0;(2)-x 2+6x-10>0.例3 求函数f (x )=(2x+1)(x-1)(x-3)的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f (x )>0和f (x )≤0的解集.跟踪训练3 求函数f (x )=(x+1)(x+2)(2x-3)的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f (x )≤0的解集.(四)【课堂小结,总结升华】通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)课堂练习1.函数f (x )=2x 2-3x+1的零点是( ) A .-12,-1B .12,1C .12,-1D .-12,12.不等式x 2-4x+3<0的解集为( ) A .(1,3)B .(-∞,1]∪[3,+∞)C .(-3,-1)D .(-∞,-3]∪[-1,+∞)3.不等式(x+1)(x-2)(x-3)<0的解集为 .课后巩固阅读课本,结合学案,进行知识整理,形成系统.必做题A 组,选做题B 组. 课本119页习题3—2A1,2,3,5,6,7,B1,2,3第2课时学习目标1.理解函数零点存在定理.2.会用二分法求函数变号零点的近似值,并能对二分法的过程作出程式化的步骤.自主预习1.函数y=f (x )的零点的定义: .2.可以从以下三个方面来理解函数y=f (x )的零点:(1)函数的零点指的是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其对应的函数值为.(2)函数的零点可以理解为函数的图像与x轴的交点的.(3)确定函数y=f(x)的零点,就是求方程的.3.函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴的交点三者关是.4.函数零点存在定理:.5.根据函数零点存在定理,函数y=f(x)满足条件:(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是,(2)f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间内有零点.课堂探究(一)【问题导入】1.哪组镜头说明小孩的行程一定曾渡过小河?2.当A,B与x轴是怎样的位置关系时,AB间一段连续不断的函数图像与x轴一定有交点?y=f(x)x∈[a,b]3.A,B与x轴的位置关系如何用数学符号(式子)表示?(二)【理性认识,概括性质】1.函数零点存在定理思考所有函数的图像都是连续不断的吗?试举例说明.2.二分法(1)定义:(2)用二分法求函数零点的一般步骤(三)【巩固练习,学以致用】例1分别求出下列函数的零点,并指出是变号零点还是不变号零点.(1)f(x)=3x-6;(2)f(x)=x2-x-12;(3)f(x)=x2-2x+1;(4)f(x)=(x-2)2(x+1)x.跟踪训练1判断下列函数是否有变号零点:(1)f(x)=x2-5x-14;(2)f(x)=x2+x+1;(3)f(x)=x4-18x2+81.例2求函数f(x)=x5-x3-3x2+3最右边的一个零点.(精确度0.01)跟踪训练2已知函数f(x)=x3-x-2用二分法求它的一个正实数零点.(精确到0.01)(四)【课堂小结,总结升华】通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)课堂练习1.函数f(x)=x3+5的可能存在区间是()A.[-2,-1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[1,2]2.在用二分法求方程f(x)=0在(1,3)内近似解的过程中,得到f(1)<0,f(2)>0,f(1.5)<0,则方程的根所在区间为()A.(1.5,2)B.(1,1.5)C.(2,3)D.不能确定3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,参考数据如下:f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.2f(1.437 f(1.406 25)=-0.05460 5)=0.162那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为.课后巩固阅读课本,结合学案,进行知识整理,形成系统.必做题A组,选做题B组.课本119页习题3—2A1,2,3,5,6,7,B1,2,3.参考答案第1课略课堂探究课堂探究答案:(1)x=-2,x=3;(2)(-2,0),(3,0);(3)交点的横坐标是方程的解.(二)【理性认识,概括性质】1.函数零点的概念:一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零,即f(α)=0,则称α为函数y=f(x)的零点.2.函数的零点是“点”吗?函数的零点不是点,而是函数y=f(x)与x轴的交点的横坐标,即零点是一个实数.当函数的自变量取这一实数时,其函数值为零.3.函数的零点与方程的根及函数图像有何关系?函数f(x)的零点,即对应方程f(x)=0的根,也是函数图像与x轴的交点横坐标.(三)【巩固练习,学以致用】例1解:(1)方法一由x2-x-6=(x-3)(x+2)=0,得x1=-2,x2=3,所以函数f(x)的零点是x1=-2,x2=3.方法二作出函数f(x)=x2-x-6的图像,如图.因为函数的图像是一条开口向上的抛物线,且f(0)=-6<0,所以函数f(x)的图像与x轴有两个交点A(-2,0),B(3,0).故f(x)的零点是x1=-2,x2=3.(2)因为x3-x=x(x2-1)=x(x-1)(x+1).令f(x)=0,即x(x-1)(x+1)=0,所以f(x)的零点有x1=0,x2=1,x3=-1.跟踪训练1解:由题意知f(-3)=0,即(-3)2-3-a=0,a=6,∴f(x)=x2+x-6.解方程x2+x-6=0,得x=-3或2.∴函数f(x)其余的零点是2.例2解:(1)方法一由x2-x-6=(x-3)(x+2)=0,得x1=-2,x2=3,所以函数f(x)的零点是x1=-2,x2=3.方法二作出函数f (x )=x 2-x-6的图像,如图.因为函数的图像是一条开口向上的抛物线,且f (0)=-6<0, 所以函数f (x )的图像与x 轴有两个交点A (-2,0),B (3,0). 故f (x )的零点是x 1=-2,x 2=3. (2)设g (x )=3x 2+5x-2, 令g (x )=0,得3x 2+5x-2=0, 即(x+2)(x -13)=0.从而x=-2或x=13,因此-2和13都是函数g (x )的零点,从而g (x )的图像与x 轴相交于(-2,0)和(13,0),又因为函数的图像是开口向上的抛物线,所以可以作出函数图像示意图,如图所示.由图可知,不等式的解集为(-∞,-2]∪[13,+∞).跟踪训练2解:(1)∵方程4x 2-4x+1=0有两个相等的实根x 1=x 2=12.作出函数y=4x 2-4x+1的图像如图.由图可得原不等式的解集为(-∞,12)∪(12,+∞). (2)原不等式可化为x 2-6x+10<0,∵Δ=36-40=-4<0,∴方程x 2-6x+10=0无实根, ∴原不等式的解集为⌀.例3 解:函数零点依次为-12,1,3.函数的定义域被这三个点分成了四部分,每一部分函数值的符号如下表所示.x (-∞,-12) (-12,1) (1,3) (3,+∞)f(x) -+-+由此可以画出函数图像的示意图,如图所示.由图可知f(x)>0的解集为(-12,1)∪(3,+∞);f(x)≤0的解集为(-∞,-12]∪[1,3].跟踪训练3解:函数零点依次为-2,-1,32.函数的定义域被这三个点分成了四部分,每一部分函数值的符号如下表所示.x(-∞,-2) (-2,-1) (-1,32)(32,+∞)f(x) -+-+由此可以画出函数图像的示意图如图所示.所以f(x)≤0的解集为(-∞,-2]∪[-1,32].(四)【课堂小结,总结升华】略课堂练习1.B2.A3.(-∞,-1)∪(2,3)课后拓展略第2课时自主预习略课堂探究(一)【问题导入】略(二)【理性认识,概括性质】1.函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续的,并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间[a,b]中至少有一个零点,即∃x0∈[a,b],f(x0)=0.思考所有函数的图像都是连续不断的吗?试举例说明.答案:不是,如反比例函数y=1x.2.二分法(1)定义:对于在区间[a,b]上的图像连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到函数零点的方法叫做二分法.(2)用二分法求函数零点的一般步骤答案:已知函数y=f(x)是定义在区间[a,b]上的连续函数,且f(a)f(b)<0,给定近似的精度ε,用二分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0|<ε的一般步骤如下:第一步:检查|b-a|<2ε是否成立,如果成立,取x1=a+b2,计算结束;如果不成立,转到第二步.第二步:计算区间[a,b]的中点a+b2对应的函数值,若f(a+b2)=0,取x1=a+b2,计算结束;若f(a+b2)≠0,转到第三步.第三步:若f(a)f(a+b2)<0,将a+b2的值赋b(用a+b2→b表示,下同),回到第一步;若f(a+b2)f(b)<0,将a+b2的值赋给a,回到第一步.(三)【巩固练习,学以致用】例1解:(1)零点是2,是变号零点.(2)零点是-3和4,都是变号零点.(3)零点是1,是不变号零点.(4)零点是-1,0和2,其中变号零点是0和-1,不变号零点是2.跟踪训练1解:(1)零点是-2,7,是变号零点.函数有变号零点.(2)无零点.函数无变号零点.(3)零点是-3,3,都不是变号零点.函数无变号零点.例2解:∵f(x)=x5-x3-3x2+3=x3(x2-1)-3(x2-1)=(x+1)(x-1)(x3-3),∴f(x)最右边的一个零点的横坐标就是方程x3-3=0的根.令g(x)=x3-3,以下用二分法求函数g(x)的零点.由于g(1)=1-3=-2<0,g(2)=23-3=5>0,故可取[1,2]作为计算的初始区间,列表如下:零点所在区间区间中点中点函数近似值[1,2] 1.5 g(1.5)=0.375>0[1,1.5] 1.25 g(1.25)≈-1.046 9<0 [1.25,1.5] 1.375 g(1.375)≈-0.400 4<0 [1.375,1.5] 1.437 5 g(1.437 5)≈-0.029 5<0 [1.437 5,1.5] 1.468 75 g(1.468 75)≈0.168 4>0[1.4375,1.468 75] 1.453 125 g(1.453 125)≈0.068 4>0[1.437 5,1.453 125] 1.445 3125∵|1.453 125-1.437 5|=0.015 625<2×0.01,∴方程x3=3的根的近似值可取为1.445 312 5.故函数f(x)最右边的一个零点的近似值为1.445 312 5.跟踪训练2解:由f(1)=-2<0,f(2)=4>0,可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐步计算,具体如表.零点所在区间区间中点中点的函数值[1,2] x0=1+22=1.5 f(x0)=-0.125<0[1.5,2] x1=1.5+22=1.75 f(x1)≈1.609 4>0[1.5,1.75] x2=1.5+1.752=1.625 f(x2)≈0.666 0>0[1.5,1.625] x3=1.5+1.6252=1.562 5 f(x3)≈0.252 2>0[1.5,1.562 5] x4=1.5+1.562 52=1.53125由表中数据可知,|1.562 5-1.5|=0.062 5<2×0.06, 所以所求函数的一个正实数零点近似值为1.531 25.(四)【课堂小结,总结升华】略课堂练习2.A3.1.437 5。

2019-2020学年高中数学人教B版必修3教学案：第三章 3.1 3.1.1 & 3.1.2 随机现象事件与基本事件空

3．1.1 & 3.1.2随机现象事件与基本事件空间预习课本P91～94，思考并完成以下问题(1)必然现象和随机现象是如何定义的？(2)事件分为哪三类？(3)基本事件和基本事件空间是如何定义？[新知初探]1．随机现象与随机事件(1)必然现象与随机现象：(2)事件：①不可能事件：在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果．②必然事件：在同样的条件下重复进行试验时，每次试验中一定会发生的结果．③随机事件：在同样的条件下重复进行试验时，可能发生，也可能不发生的结果．2．基本事件与基本事件空间(1)基本事件：试验中不能再分的最简单的，且其他事件可以用它们来描绘的随机事件．(2)基本事件空间：①定义：所有基本事件构成的集合称为基本事件空间．②表示：基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示．[小试身手]1．下列现象是必然现象的是( )A．一天中进入某超市的顾客人数B．一顾客在超市中购买的商品数C．一颗麦穗上长着的麦粒数D．早晨太阳从东方升起答案：D2．下列事件：①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；②经过有信号灯的路口，遇上红灯；③下周六是晴天．其中，是随机事件的是( )A．①②B．②③C．③①D．②解析：选B①为必然事件；②③为随机事件．3．“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是( )A．不可能事件B．必然事件C．可能性较大的随机事件D．可能性较小的随机事件解析：选D掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．4．先后抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的结果为________．答案：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)必然现象、随机现象[典例](1)将三个小球全部放入两个盒子中，其中有一个盒子里有一个以上的球；(2)一个射击运动员每次射击命中的环数；(3)三角形的内角和为180°；(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口方向．[解](1)三个小球全部放入两个盒子，其中有一个盒子里有一个以上的球，这个结果一定发生，故为必然现象；(2)射击运动员每次射击命中的环数可能为1环，2环等，因此是随机现象；(3)三角形的内角和一定是180°，是确定的，故为必然现象；(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口方向与a的取值有关，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下，故在a≠0的条件下开口可能向上也可能向下，故是随机现象．判断是必然现象还是随机现象关键点是看给定条件下的结果是否一定发生，若一定发生，则为必然现象，若不确定，则其为随机现象，即随机现象事先难以预料，而必然现象事先就能知道结果．[活学活用]判断下列现象是必然现象还是随机现象．(1)在一个装有1个白球，9个黄球的不透明袋子中，任意摸出两球，至少有一个黄球；(2)一个不透明的袋子中装有5个白球，2个黑球，3个红球，大小形状完全相同，搅拌均匀后，从中任取一球为红球．解：(1)袋中装有1个白球、9个黄球，从中任取2个，一定至少有一个黄球，故是必然现象．(2)袋中有5个白球，2个黑球，3个红球，从中任取一个，可能是白球，可能是黑球，也可能是红球，故是随机现象.事件类型的判断[典例](1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2)三角形的两边之和大于第三边；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(4)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；(5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．[解](1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．(2)所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件．(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．(4)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．(5)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．对事件分类的两个关键点(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．[活学活用]指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标；(4)没有水分，种子发芽．解：(1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件．(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件．(4)没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件.基本事件与基本事件空间[典例] y，结果为(x，y)．(1)写出这个试验的基本事件空间；(2)求这个试验的基本事件的总数；(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个基本事件？“x<3且y>1”呢？(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个基本事件？“x＝y”呢？[解](1)Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1, 3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．(2)基本事件的总数为16.(3)“x＋y＝5”包含以下4个基本事件：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)；“x<3且y>1”包含以下6个基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．(4)“xy＝4”包含以下3个基本事件：(1,4)，(2,2)，(4,1)；“x＝y”包括以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．确定基本事件空间的方法(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．[活学活用]甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．(1)写出基本事件空间；(2)写出事件“甲赢”；(3)写出事件“平局”．解：(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．[层级一学业水平达标]1．同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件的个数是( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选D有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个基本事件．2．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为( )A．3件都是正品B．至少有1件次品C．3件都是次品D．至少有1件正品解析：选C25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．3．写出下列试验的基本事件空间：(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．解析：(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0,1,2,3,4，不能再有其他结果．答案：(1)Ω＝{胜，平，负} (2)Ω＝{0,1,2,3,4}4．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．(1)写出这个试验的基本事件空间；(2)求这个试验基本事件的总数；(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件．解：(1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．(2)易知这个试验的基本事件的总数是6.(3)记“第1次取出的数字是2”这一事件为A，则A＝{(2,0)，(2,1)}．[层级二应试能力达标]1．下面事件：①某项体育比赛出现平局；②抛掷一枚硬币，出现反面；③全球变暖会导致海平面上升；④一个三角形的三边长分别为1,2,3.其中是不可能事件的是( ) A．①B．②C．③D．④解析：选D三角形的三条边必须满足两边之和大于第三边．2．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( ) A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上选项均不正确解析：选C若取1,2,3，则和为6，否则和大于6，所以“这三个数字的和大于6”是随机事件．3．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的基本事件共有( )A．7个B．8个C．9个D．10个解析：选C“点P落在x轴上”包含的基本事件的特征是纵坐标为0，横坐标不为0，因A中有9个非零数，故选C.4．已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．其中正确的命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C∵集合A是集合B的真子集，∴A中的任意一个元素都是B中的元素，而B中至少有一个元素不在A中，因此①正确，②错误，③正确，④正确．5．下列给出五个事件：①某地2月3日下雪；②函数y＝a x(a>0，且a≠1)在定义域上是增函数；③实数的绝对值不小于0；④在标准大气压下，水在1 ℃结冰；⑤a，b∈R，则ab＝ba.其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________．解析：由必然事件、不可能事件、随机事件的定义即可得到答案．答案：③⑤④①②6．从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的基本事件数为________．解析：从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10种情况，其中(1,2,4)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,5)中三个数字之和为奇数．答案：47．设集合A＝{x|x2≤4，x∈Z}，a，b∈A，设直线3x＋4y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1相切为事件M，用(a，b)表示每一个基本事件，则事件M所包含的基本事件为___________．解析：A ＝{－2，－1,0,1,2}，由直线与圆相切知，|3a ＋4b|5＝1，所以3a ＋4b ＝±5，依次取a ＝－2，－1,0,1,2，验证知，只有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－2满足等式．答案：(－1,2)，(1，－2)8．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x ，第二次朝下面的数字为y .用(x ，y )表示一个基本事件．(1)请写出所有的基本事件．(2)满足条件“x y为整数”这一事件包含哪几个基本事件？解：(1)先后抛掷两次正四面体的基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．共16个基本事件．(2)用A 表示满足条件“x y为整数”的事件，则A 包含的基本事件有：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共8个基本事件．9．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S 1，S 2，…，S 10站．若甲在S 3站买票，乙在S 6站买票，设基本事件空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A 表示甲可能到达的站的集合，B 表示乙可能到达的站的集合．(1)写出该事件的基本事件空间Ω；(2)写出事件A 、事件B 包含的基本事件；(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？解：(1)Ω＝{S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6，S 7，S 8，S 9，S 10}；(2)A ＝{S 4，S 5，S 6，S 7，S 8，S 9，S 10}；B ＝{S 7，S 8，S 9，S 10}．(3)铁路局需要准备从S 1站发车的车票共计9种，从S 2站发车的车票共计8种，……，从S 9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．。

高中数学 3.4《函数的应用》教案新人教版B版必修1

函数的应用教学设计教学目标:1.知识目标：能够运用指数函数，对数函数、幂函数的性质解决某些简单的实际问题．(1) 能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学道理，弄清题中出现的量及其数学含义．(2) 能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题（即建立数学模型），并运用函数的相关性质解决问题．(3) 能处理有关人口增长率、经济、物理等方面的实际问题．2.能力目标：通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值．3. 情感目标：通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解．教学重点、难点：重点是培养学生分析解决问题的能力和运用数学的意识。

难点是根据实际问题建立相应的数学模型教学方法：启发式、讨论式、诱思探究的教学方法教学用具：多媒体、实物展台教学过程：一、创设情景，设置问题：课前组织学生观看地球的人口的录像纪录片.数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．如刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．今天我们就一起来探讨几个应用问题．问题一：例1：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的自然年增长率控制在%，问哪一年我国人口总数将超过14亿首先让学生搞清自然年增长率的含义，所以问题转化为已知年增长率为，利用指数函数求经过几年我国人口数将超过14亿解：设x年后人口总数为14亿，由题意，得即两边取对数，得答：13年后，即2008年我国人口总数将超过14亿。

问题解决后由教师简单小结一下研究过程中的主要步骤：(1) 阅读理解；(2)建立目标函数；(3)按要求解决数学问题．问题二：例2：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。

2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：3.4函数的应用(一)含解析

3.4函数的应用(一)【素养目标】1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等是现实生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(数学抽象)2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(数学建模)【学法解读】1．学生应理解如何用函数描述客观事物的变化规律，体会函数与现实世界的联系．2．会用已学过的一次函数、二次函数、幂函数、分段函数处理有关实际应用问题．必备知识·探新知基础知识知识点1一次函数模型形如y＝kx＋b的函数为__一次函数模型__，其中k≠0.知识点2二次函数模型(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：y＝a(x＋b2a)2＋4ac－b24a(a≠0)．(3)两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．知识点3幂函数型模型(1)解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)．(2)单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．基础自测1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品日销量m(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)满足m＝120－2x.若要获得最大日销售利润，则每件商品的售价应定为(B)A．30元B．45元C．54元D．越高越好[解析]设日销售利润为y元，则y＝(x－30)(120－2x)，30≤x≤60，将上式配方得y ＝－2(x －45)2＋450，所以当x ＝45时，日销售利润最大．2．A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地．(1)试把汽车与A 地的距离y (单位：千米)表示为时间x (单位：小时)的函数；(2)根据(1)中的函数解析式，求出汽车距离A 地100千米时x 的值．[解析] (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ，x ∈[0，52]，150，x ∈(52，72]，150－50(x －72)，x ∈(72，132]. (2)当y ＝100时，60x ＝100或150－50(x －72)＝100，解得x ＝53或x ＝92.即当x ＝53或x ＝92时汽车距离A 地100千米．关键能力·攻重难题型探究题型一一次函数模型例1 某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份，其余10天每天只能卖出250份．若每天从报社买进报纸的数量相同，则每天应该从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？最大利润为多少元？[分析] 设每天从报社买进报纸的数量为x 份，若使每月所获得的利润最大，则250≤x ≤400，每月所赚的钱数＝卖报收入的总价－付给报社的总价，而收入的总价分为三部分：①在可卖出的400份的20天里，收入为(0.5x ×20)元；②在可卖出250份的10天里，在x 份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为(0.5×250×10)元；③没有卖掉的[(x －250)×10]份报纸可退回报社，报社付的钱数为[(x －250)×0.08×10]元．注意要写清楚函数的定义域．[解析] 设每天应从报社买进x 份报纸，由题意知250≤x ≤400，设每月所获得的利润为y 元，根据题意得：y ＝0.5x ×20＋0.5×250×10＋(x －250)×0.08×10－0.35x ×30＝0.3x ＋1 050，x ∈[250,400]．因为y ＝0.3x ＋1 050是定义域上的增函数，所以当x ＝400时，y max ＝120＋1 050＝1 170(元)．故每天应该从报社买进400份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大为1 170元．[归纳提升] 建立一次函数模型，常设为y ＝kx ＋b (k ≠0)，然后用待定系数法求出k ，b 的值，再根据单调性求最值，或利用方程、不等式思想解题．【对点练习】❶ 一辆匀速行驶的汽车90 min 行驶的路程为180 km ，则这辆汽车行驶的路程y (km)与时间t (h)之间的函数解析式是( D )A ．y ＝2tB ．y ＝120tC ．y ＝2t (t ≥0)D ．y ＝120t (t ≥0)[解析] 因为90 min ＝1.5 h ，所以汽车的速度为180÷1.5＝120 km/h ，则路程y (km)与时间t (h)之间的函数解析式是y ＝120t (t ≥0)．题型二二次函数模型例2 A ，B 两城相距100 km ，拟在两城之间距A 城x km 处建一发电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，发电站距城市的距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若每月向A 城供电20亿度，每月向B 城供电10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成关于x 的函数；(3)发电站建在距A 城多远处，能使供电总费用y 最少？[分析] 根据发电站与城市的距离不得少于10 km 确定x 的取值范围，然后根据正比例关系确定y 关于x 的函数解析式，最后利用配方法求得最小值．[解析] (1)x 的取值范围为{x |10≤x ≤90}．(2)y ＝0.25×x 2×20＋0.25×(100－x )2×10＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)． (3)由于y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152(x －1003)2＋50 0003，则当x ＝1003时，y 取得最小值，y min ＝50 0003. 故发电站建在距A 城1003km 处，能使供电总费用y 最小． [归纳提升] 二次函数模型的应用根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．【对点练习】❷ (2019·江苏省徐州市高一期中)某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入(单位：万元)函数为：R (x )＝5x －12x 2(0≤x ≤5)，其中x 是年产量(单位：百台)．(1)将利润表示为关于年产量的函数；(2)年产量是多少时，企业所得利润最大？[解析] (1)依题意得，利润函数G (x )＝(5x －12x 2)－(0.5＋0.25x )＝－12x 2＋4.75x －0.5(0≤x ≤5)．(2)利润函数G (x )＝－12x 2＋4.75x －0.5(0≤x ≤5)，当x ＝4.75时，G (x )有最大值．故当年产量为4.75百台时，企业所得利润最大．题型三幂函数模型例 3 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额x 的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？[解析] (1)设稳健型与风险型产品的收益与投资额x 的函数关系式分别为f (x )＝k 1x (x ≥0)，g (x )＝k 2x (x ≥0)，结合已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)． (2)设投资稳健型产品x 万元，则投资风险型产品(20－x )万元，依题意得获得收益为y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)，令t ＝20－x (0≤t ≤25)，则x ＝20－t 2，所以y ＝20－t 28＋t 2＝－18(t －2)2＋3，所以当t ＝2时，即x ＝16时，y 取得最大值，y max ＝3.故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元．[归纳提升] 幂函数模型有两个：y ＝kx n (k ，n 是常数)，y ＝a (1＋x )n (a ，n 是常数)，其中y ＝a (1＋x )n 也常常写作y ＝N (1＋p )x (N ，p 为常数)，这是一个应用范围更广的函数模型，在复利计算、工农业产值、人口增长等方面都会用到该函数模型，我们平时用这两个函数模型时注意区分．【对点练习】❸ 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R 与管道半径r 的四次方成正比．(1)写出函数解析式；(2)假设气体在半径为3 cm 的管道中，流量速率为400 cm 3/s.求该气体通过半径为r cm 的管道时，其流量速率R 的解析式；(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm ，计算该气体的流量速率．(结果保留整数)[解析] (1)由题意，得R ＝kr 4(k 是大于0的常数)．(2)由r ＝3 cm ，R ＝400 cm 3/s ，得k ·34＝400.所以k ＝40081，流量速率的解析式为R ＝40081r 4. (3)因为R ＝40081r 4，所以当r ＝5 cm 时，R ＝40081×54≈3 086(cm 3/s)．题型四分段函数模型例4 (2019·南京一中期中)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益(单位：元)函数为R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，其中x 是仪器的产量(单位：台)． (1)将利润f (x )(单位：元)表示为产量x 的函数(利润＝总收益－总成本)；(2)当产量x 为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？[分析] (1)利润＝收益－成本，由已知分0≤x ≤400和x >400两段求出利润函数的解析式；(2)分段求最大值，两者中大者为所求利润最大值．[解析] (1)当0≤x ≤400时，f (x )＝400x －12x 2－100x －20 000＝－12x 2＋300x －20 000；当x >400时，f (x )＝80 000－100x －20 000＝60 000－100x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12x 2＋300x －20 000＝－12(x －300)2＋25 000，当x ＝300时，f (x )max ＝25 000.当x >400时，f (x )＝60 000－100x <f (400)＝20 000<25 000.所以当x ＝300时，f (x )max ＝25 000.故当产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25 000元．[归纳提升] 应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(关键词：“段”)．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(关键词：定义域)．(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论(关键词：值域)．【对点练习】❹ 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水量不超过4 t 时，每吨3元，当用水量超过4 t 时，超过部分每吨4元．现甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x t,3x t.(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)若甲、乙两户该月共交水费40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．[解析] (1)当甲户用水量不超过4 t ，即5x ≤4时，乙户用水量也不超过4 t ，y ＝(5x ＋3x )×3＝24x ；当甲户的用水量超过4 t 而乙户的用水量不超过4 t ，即5x >4且3x ≤4时，y ＝4×3＋3x ×3＋4×(5x －4)＝29x －4；当甲、乙两户的用水量均超过4 t ，即3x >4时，y ＝4×3×2＋(5x －4)×4＋(3x －4)×4＝32x －8.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 24x ，0≤x ≤45，29x －4，45<x ≤43，32x －8，x >43.(2)由于函数y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，所以当x ∈[0，45]时，y ≤f (45)＝19.2<40. 当x ∈(45，43]时，y ≤f (43)＝3423<40. 故x ∈(43，＋∞)．令32x －8＝40，解得x ＝1.5，所以5x ＝7.5，甲户用水量为7.5 t ，应付水费y 1＝4×3＋(7.5－4)×4＝26(元)；3x ＝4.5，乙户用水量为4.5 t ，应付水费y 2＝4×3＋(4.5－4)×4＝14(元)．误区警示忽视实际问题中的定义域例5 东方旅社有100张普通客床，当每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出．依此情况变化下去，为了投资少而获租金最多，每床每夜应提高租费多少元？[错解] 设每床每夜提高租费x (x ∈N ＋)次2元，则可租出(100－10x )张客床，可获得利润y 元，依题意有y ＝(10＋2x )·(100－10x )，即y ＝－20(x －52)2＋1 125. 所以当x ＝52时，y max ＝1 125. [错因分析] 本题忽略了变量参数的实际意义x ∈N ＋.[正解] 设每床每夜提高租费x (x ∈N ＋)次2元，则可租出(100－10x )张客床，可获得利润y 元，依题意有y ＝(10＋2x )·(100－10x )，即y ＝－20(x －52)2＋1 125. 因为x ∈N ＋，所以当x ＝2或x ＝3时，y max ＝1 120.当x ＝2时，需租出客床80张；当x ＝3时，需租出客床70张．因为x ＝3时的投资小于x ＝2时的投资，所以取x ＝3，此时2x ＝6.即当每床每夜提高租费6元时，投资少且又能获得最高租金．[方法点拨] 解函数应用题时，我们不仅要关注函数的定义域，更要关注其中有关参数的限制条件，并使所有的量都有实际意义．学科素养数学建模——函数模型的选择例6 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x ，产量为y 给出三种函数模型：y ＝ax ＋b ，y ＝ax 2＋bx ＋c ，y ＝ab x ＋c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？[分析] 本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．[解析] 由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽象为A (1,1)，B (2,1.2)，C (3,1.3)，D (4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时，将B ，C 两点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝1.32a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.1b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1. 由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的．(2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时，将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝14a ＋2b ＋c ＝1.29a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.05b ＝0.35c ＝0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x ＝3.5)，不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x ＋c 时，将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＋c ＝1，①ab 2＋c ＝1.2，②ab 3＋c ＝1.3.③由①，得ab ＝1－c ，代入②③，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ b (1－c )＋c ＝1.2b 2(1－c )＋c ＝1.3，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝1.2－b 1－b c ＝1.3－b 21－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝0.5c ＝1.4.则a ＝1－c b ＝－0.8. 所以有关系式y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝－0.8×0.5x ＋1.4模拟比较接近客观实际．[归纳提升] 本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际．课堂检测·固双基1．某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(D)A．2 000套B．3 000套C．4 000套D．5 000套[解析]设利润z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000，由z≥0，解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．2．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是(D)A．投资3天以内(含3天)，采用方案一B．投资4天，不采用方案三C．投资6天，采用方案一D．投资12天，采用方案二[解析]由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误．3．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，如果在中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度应为(A)A．3 m B．4 mC ．6 mD ．12 m[解析] 设矩形的长为x ，则宽为14(24－2x )，则矩形的面积为 S ＝14(24－2x )x ＝－12(x 2－12x )＝－12(x －6)2＋18，所以当x ＝6时，矩形的面积最大，此时隔墙的长度应为3 m.4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧c x ，x <A ，c A ，x ≥A ，(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( D )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16[解析] 由题意知，组装第A 件产品所需时间为c A ＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60，将c ＝60代入c A＝15，得A ＝16.。

2020学年高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2.2对数函数学案新人教B版必修1

3．2．2 对数函数1．了解对数函数模型所刻画的数量关系．2．理解对数函数的概念及对数函数的单调性．3．掌握对数函数的图象与性质．,)1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，a≠1，x>0)叫做对数函数，其中x是自变量．2．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：(－∞，＋∞)过定点(1，0)，即当__x＝1__时，y＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数1．函数y＝log2x的图象大致是( )答案：C2．若a>0且a≠1，则函数y＝log a(x－1)－1的图象恒过点________．答案：(2，－1)3．指出下列函数哪些是对数函数．(1)y＝log a(x＋2)(a>0，a≠1)；(2)y＝4log3x；(3)y＝2log a x＋1(a>0，a≠1)；(4)y ＝log 2x ．解：(1)(2)(3)都不是，只有(4)是对数函数．4．底数a 的大小变化对对数函数y ＝log a x 的图象有何影响？解：(1)当a >1时，底数越大，图象越靠近x 轴． (2)当0<a <1时，底数越小，图象越靠近x 轴．对数型函数的定义域求下列函数的定义域： (1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log 1－x 5；(3)y ＝log 0.5（8x －6）．【解】 (1)要使函数式有意义，需1－x >0，解得x <1，所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x <1}．(2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1－x >01－x ≠1，解得x <1，且x ≠0，所以函数y ＝log 1－x 5的定义域是{x |x <1，且x ≠0}．(3)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧8x －6>0log 0.5（8x －6）≥0，解得34<x ≤78，所以函数y ＝log 0.5（8x －6）的定义域是{x |34<x ≤78}．求对数型函数定义域应遵循的原则(1)分母不能为0；(2)根指数为偶数时，被开方数非负；(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1．求下列函数的定义域：(1)y ＝1lg （x ＋1）－3；(2)y ＝log a （4x －3）(a ＞0，且a ≠1)．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1）－3≠0，x ＋1＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠103，x ＞－1，所以x ＞－1，且x ≠999，所以函数的定义域为{x |x ＞－1，且x ≠999}． (2)log a (4x －3)≥0⇒log a (4x －3)≥log a 1．当a ＞1时，有4x －3≥1，x ≥1 ．当0＜a ＜1时，有0＜4x －3≤1，解得34＜x ≤1．综上所述，当a ＞1时，函数的定义域为[1，＋∞)，当0＜a ＜1时，函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1．比较对数值的大小比较下列各组值的大小： (1)log 1245与log 1267；(2)log 123与log 153； (3)log 130．3与log 20．8．【解】 (1)因为函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上单调递减，又45<67，所以log 1245>log 1267． (2)法一：(中间量法)因为log 23>log 22＝1， 0<log 53<log 55＝1，所以－log 23<－1，－log 53>－1，所以－log 23<－log 53，即log 123<log 153．法二：(数形结合法)借助y ＝log 12x 及y ＝log 15x 的图象，如图所示．在(1，＋∞)上，y ＝log 12x 在y ＝log 15x 的下方，所以log 123<log 153．(3)由对数函数性质知，log 130．3>0，log 20．8<0，所以log 130．3>log 20．8．比较对数值大小的方法比较对数值的大小，当底数相同时，可构造对数函数，利用对数函数的单调性来比较，当底数不同时，可借助于中间量来比较．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a 1，所以b <a <c ．对数型函数的值域求下列函数的值域： (1)y ＝log 2(x 2－4x ＋6)； (2)y ＝log 21－x 2＋2x ＋2；(3)y ＝log 2(x 2－4x －5)．【解】 (1)因为x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2≥2，又f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，所以log 2(x 2－4x ＋6)≥log 22＝1．所以函数的值域是[1，＋∞)．(2)因为－x 2＋2x ＋2＝－(x －1)2＋3≤3，所以1－x 2＋2x ＋2<0或1－x 2＋2x ＋2≥13．因为真数大于0，f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，所以log 21－x 2＋2x ＋2≥log 213．所以函数的值域是[log 213，＋∞)．(3)因为x 2－4x －5＝(x －2)2－9≥－9，所以x 2－4x －5能取得所有正实数．所以函数y ＝log 2(x 2－4x －5)的值域是R ．求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有时需要讨论参数的取值．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A ．因为3x＋1>1，函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )>log 21＝0，故选A ．对数型函数的单调性已知函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)，求函数的单调递增区间．【解】 x 2－3x ＋2>0，令u ＝x 2－3x ＋2，作出其图象，观察可得x >2或x <1，所以y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为{x |x >2或x <1}．令u (x )＝x 2－3x ＋2，其对称轴为x ＝32，所以u (x )＝x 2－3x ＋2在(2，＋∞)上为增函数，在(－∞，1)上为减函数．因为y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，所以y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，1)．求形如y ＝log a f (x )的函数的单调区间的步骤(1)求出函数的定义域；(2)研究函数t ＝f (x )和函数y ＝log a t 在定义域上的单调性； (3)判断出函数的增减性求出单调区间． [注意] 要注意对底数进行分类讨论．已知f (x )＝log 4(2x ＋3－x 2)．(1)求定义域；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)2x＋3－x2>0，令u＝2x＋3－x2，作出其图象观察可得－1<x<3．所以f(x)的定义域为{x|－1<x<3}．(2)令u＝2x＋3－x2，则u>0，y＝log4u．由于u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4，再考虑定义域，可知u＝2x＋3－x2的增区间是(－1，1]，减区间是[1，3)．又y＝log4u在(0，＋∞)上为增函数，故该函数的单调递增区间为(－1，1]，单调递减区间为[1，3)．1．对数值比较大小的常用方法(1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论．(2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间变量．(3)如果不同底但同真，可利用图象的高低与底数的大小解决或利用换底公式化为同底的再进行比较．(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1，0，－1等进行比较．2．求对数函数的单调区间解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三要注意其定义域．1．凡是涉及对数的底数含参数的问题，要注意对对数的底数进行分析，需要分类讨论时，一定要分类讨论．2．要遵循“定义域”优先的原则，解对数函数的有关问题时，一定要先求出函数的定义域，若不求定义域，则容易致错，如求值域、单调区间等．1．函数y＝log2x的定义域是( )A．(0，1) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：选D．log2x≥0⇒log2x≥log21⇒x≥1．x(1≤x≤8)的值域是( )2．函数y＝log12A．R B．[0，3]C．[－3，0] D．[0，＋∞)答案：C3．比较下列各组数的大小：(1)log 22________log 23； (2)log 32________1； (3)log 134________0．答案：(1)＜ (2)＜ (3)＜4．函数f (x )＝1－log a (2－x )的图象恒过点________．解析：令2－x ＝1，得x ＝1，此时y ＝1－log a 1＝1，所以图象恒过点(1，1)．答案：(1，1)[A 基础达标]1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a 2x (a >0，a ≠1) B ．y ＝log a (x 2＋1)(a >0，a ≠1) C ．y ＝log 1ax (a >0，a ≠1)D ．y ＝2lg x 答案：C2．函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是( )解析：选C ．当a >1时，y ＝log a x 为增函数，且y ＝x ＋a 在y 轴上的点的纵坐标a 应大于1，故排除B 、D ．当0<a <1时，y ＝log a x 为减函数且y ＝x ＋a 在y 轴上的点的纵坐标a 应在(0，1)之间．3．函数y ＝log 12(x 2－5x ＋6)的单调增区间为( )A ．(52，＋∞) B ．(3，＋∞)C ．(－∞，52)D ．(－∞，2)解析：选D ．x 2－5x ＋6＞0，令u ＝x 2－5x ＋6，作出二次函数的图象，观察可得：x ＞3或x ＜2，故排除A 、C ．又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，且u ＝x 2－5x ＋6在(－∞，2)上是减函数，故由复合函数的单调性：同增异减知选D ．4．函数y ＝log 15(1－3x)的值域为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C ．因为3x＞0，所以－3x＜0，所以1－3x＜1．又y ＝log 15t (t ＝1－3x)是关于t 的减函数，所以y ＝log 15t ＞log 151＝0．选C ．5．已知函数f (x )＝log a (x －m )的图象过点(4，0)和(7，1)，则f (x )在定义域上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．奇函数D ．偶函数解析：选A ．将点(4，0)和(7，1)代入函数解析式，有⎩⎪⎨⎪⎧0＝log a （4－m ），1＝log a （7－m ）.解得a ＝4和m ＝3，则有f (x )＝log 4(x －3)．由于定义域是{x |x >3}，则函数不具有奇偶性．很明显函数f (x )在定义域上是增函数．6．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．解析：log a 34<log a a ，当a >1时，a >34，所以a >1；当0<a <1时，a <34，所以0<a <34．综上所述：a 的取值范围是(0，34)∪(1，＋∞)．答案：(0，34)∪(1，＋∞)7．函数y ＝log (a －1)x 在(0，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝log (a －1)x 在(0，＋∞)上为减函数，所以0＜a －1＜1，即1＜a ＜2．答案：(1，2)8．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________．解析：因为a ＞1，所以f (x )＝log a x 在[a ，2a ]上递增，所以log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，所以a 12＝2，a ＝4．答案：49．已知函数f (x )＝log 12(2x －1)．(1)求函数f (x )的定义域、值域；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，92，求函数f (x )的值域．解：(1)由2x －1>0得，x >12，函数f (x )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，值域是R ． (2)令u ＝2x －1，则由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，92知，u ∈[1，8]．因为函数y ＝log 12u 在[1，8]上是减函数，所以y ＝log 12u ∈[－3，0]．所以函数f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，92上的值域为[－3，0]． 10．已知函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，且f (3)－f (2)＝1． (1)若f (3m －2)＜f (2m ＋5)，求实数m 的取值范围；(2)求使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72成立的x 的值．解：因为f (3)－f (2)＝1，所以a ＝32，(1)因为a ＝32＞1，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m －2＞0，2m ＋5＞0，3m －2＜2m ＋5，所以23＜m ＜7．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，即log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x ＝log 3272，所以x －2x ＝72．所以x ＝－12或x ＝4．经检验，x ＝－12，x ＝4满足题意．[B 能力提升]11．若定义在区间(－1，0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(0，12]C ．(12，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选A ．作出函数f (x )＝log 2a (x ＋1)的图象，满足当x ∈(－1，0)时f (x )＞0，如图所示：所以0＜2a ＜1，所以0＜a ＜12，故选A ．12．若函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________．解析：当a >1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝12，与a >1矛盾；当0<a <1时，1＋a ＋log a 2＝a ，log a 2＝－1，a ＝12．综上可知，a ＝12．答案：1213．已知函数f (x )＝log a (3－ax )，(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由题设，3－ax >0对x ∈[0，2]恒成立，且a >0，a ≠1．设g (x )＝3－ax ，则g (x )在[0，2]上为减函数，所以g (x )min ＝g (2)＝3－2a >0，所以a <32．所以实数a 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32． (2)假设存在这样的实数a ，则由题设知f (1)＝1，即log a (3－a )＝1，所以a ＝32．此时f (x )＝log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32x ．但x ＝2时，f (x )＝log 320无意义．故这样的实数a 不存在．14．(选做题)已知函数f (x )＝log a 1－mx x －1(a >0，且a ≠1)的图象关于原点对称． (1)求m 的值；(2)判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性．解：(1)由于f (x )＝log a 1－mx x －1(a >0，且a ≠1)的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )．所以log a 1＋mx －x －1＝－log a 1－mx x －1，所以1＋mx －x －1＝x －11－mx，所以m ＝1，或m ＝－1．当m ＝1时，1－mx x －1＝1－x x －1＝－1，不满足题意，故m ＝－1．(2)f (x )＝log a 1－mx x －1＝log a 1＋x x －1．令u (x )＝1＋x x －1，则 u (x )＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1，在(1，＋∞)是减函数，所以当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上为减函数；当0<a <1时，f (x )在(1，＋∞)上为增函数．。

高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.3 幂函数学习导航学案新人教B版必修1

3.3 幂函数自主整理1.幂函数的定义 (1)定义:一般地，我们把形如y=x α(α∈R )的函数叫做幂函数，其中x 为自变量，α为常数. (2)关于定义的理解： ①幂的底数是自变量;②幂的指数是一个常数，它可以取任意实数;③幂值前面的系数是1，否则不是幂函数,如函数y=5x 21就不是幂函数.④幂函数的定义域是使x α有意义的所有x 的集合，因α的不同，定义域也不同,如函数y=x 2的定义域为R ，而函数y=x1的定义域为{x|x∈R ,且x≠0}. 2.函数y=x ，y=x 2，y=x 3，y=x 21，y=x -1的图象与性质:y=xY=x 2y=x 3y=x 21y=x -1图象定义域 RRR［0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域 R ［0,+∞) R ［0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增增增定点 (0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(1,1)3.幂函数的性质当n>0时，幂函数y=x n有下列性质：（1）图象都通过点（0，0），（1，1）；（2）在第一象限内，函数值y 随x 的增大而增大.当n<0时，幂函数y=x n的性质：（1）图象都过点（1，1）；（2）图象以直线x=0，y=0为渐近线；（3）在第一象限内的图象是下降的，即函数值y随x的增大而减小；（4）x∈(0,1)时，n越大曲线越靠近y轴;x∈(1,+∞)时，n越小曲线越靠近x轴.高手笔记1.判断函数是否为幂函数时要根据定义，即xα的系数为１，指数位置的α为一个常数，且常数项要为０，或者经过变形后满足条件的均可.2.在研究幂的性质时，通常将分数指数幂化为根式形式，负指数整数幂化为分式形式再去进行讨论.3.记忆口诀：如何分析幂函数，记住图象是关键，虽然指数各不同，分类之后变简单.大于0时抛物线，小于0时双曲线，还有0到1之间，抛物开口方向变,不仅开口向右方，原来图象取一半.函数奇偶看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数.图象第一象限内，函数增减看正负.名师解惑1.如何理解幂函数的图象和性质?剖析：幂函数y＝x n的性质和图象，由于n的取值不同而比较复杂，我们可以从下面几个方面来把握：(1)n<0时,图象不过原点,在第一象限内图象是下降的曲线,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.n>0时,图象必经过原点和(1,1)两定点,在第一象限内图象是上升的曲线,并且在区间［0,+∞)上是增函数.(2)幂函数的图象和性质,可归纳为下表:图象幂函数y=x n(n为常数)n>0 n<0性质(1)图象都通过点(0,0)和(1,1);(2)在第一象限内,函数值随x的增大而增大(1)图象都通过(1,1);(2)在第一象限内,函数值随x的增大而减小;(3)以x、y轴为渐近线剖析：当n∈N *时，定义域为R ；当n=0时，定义域为{x|x≠0}；当n 为负整数时，定义域为{x|x≠0}；当n=qp (p,q∈N *,q>1且p,q 互质）时， ①若q 为偶数，则定义域为［0,+∞)； ②若q 为奇数，则定义域为R ；当n=qp -(p,q∈N *,q>1且p,q 互质）时， ①若q 为偶数，则定义域为(0,+∞)； ②若q 为奇数，则定义域为{x|x≠0}. 讲练互动【例题1】若（a+1）21-＜（3-2a ）21-，则a 的取值范围是__________.解析：因为函数y ＝x 21在［0，+∞)上单调递增，所以y ＝x21-在(0，+∞)上单调递减.所以⎪⎩⎪⎨⎧>->+->+.023,01,231a a a a解得32＜a ＜23. 答案：（32，23）绿色通道虽然解决恒成立问题方法很多，但这里由于是选择题，用赋值法较方便. 黑色陷阱忘记负指数幂函数底数需大于0，将导致解题错误.用幂函数的单调性解不等式，但要注意x 的取值范围. 变式训练 1.已知(x-3)31-<(1+2x)31-，求x 的取值范围.分析:其实质是解不等式(x-3)31-<(1+2x)31-，由于不等式的左右两边的幂指数都是31-，因此可借助于幂函数y=x 31-的图象性质来求解.解：因为y=x31-在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数.x>0时，y>0；x<0时，y<0,原不等式可以化为：⎩⎨⎧>++>0,2x 12x,13-x ① ⎩⎨⎧<+>0,3-x 2x,13-x ② ⎩⎨⎧<>+0.3-x 0,2x 1 ③ ①无解；②的解为x<-4；③的解是21-<x<3. 所以所求的x 的取值范围为{x|x<-4或21-<x<3}.【例题2】已知0＜a ＜1，试比较a a，（a a）a，)(a a a的大小为__________.解析：为比较a a与（a a）a的大小，将它们看成指数相同的两个幂.由于幂函数f （x ）＝xa（0＜a ＜1)在区间［0，＋∞）上是增函数，因此只需比较底数a 与a a的大小.由于指数函数y ＝a z （0＜a ＜1）是减函数，且a ＜1，所以a ＜a a ，从而a a ＜（a a ）a.比较a a 与（a a ）a 的大小，也可将它们看成底数相同（都是a a）的两个幂，于是可以利用指数函数y ＝b x （b ＝a a ，0＜b ＜1)是减函数，由a ＜1，得到a a ＜（a a ）a. 由于a ＜a a，函数y ＝a z（0＜a ＜1）是减函数，因此a a＞)(a a a.答案：a )(a a a＜a a ＜（a a ）a绿色通道解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当，解决问题就简单. 变式训练2.比较下列各组中两个值的大小: (1)1.553与1.653; (2)0.61.3与0.71.3; (3)3.532-与5.332-;(4)0.18-0.3与0.15-0.3.分析：比较幂值的大小是一种常见题型，也是一类容易做错的问题.如果指数相同，可以利用幂函数的单调性比较，如果底数相同就利用指数函数的单调性比较. 解：(1)∵1.553与1.653可分别看作幂函数y=x 53在1.5与1.6处的函数值, 且53>0,1.5<1.6, ∴由幂函数单调性,知1.553<1.653.(2)∵0.61.3与0.71.3可分别看作幂函数y=x 1.3在0.6与0.7处的函数值, 且1.3>0,0.6<0.7,∴由幂函数单调性,知0.61.3<0.71.3. (3)∵3.532-与5.332-可分别看作幂函数y=x32-在3.5与5.3处的函数值,且32-<0,3.5<5.3, ∴由幂函数单调性,知3.532->5.332-.(4)∵0.18-0.3与0.15-0.3可分别看作幂函数y=x -0.3在0.18与0.15处的函数值, 且-0.3<0,0.18>0.15,∴由幂函数单调性,知0.18-0.3<0.15-0.3.【例题3】幂函数y=x a ,y=x b ,y=x c ,y=x d在第一象限内的图象如图3-3-1所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )图3-3-1A.b<c<d<aB.b<c<a<dC.a<b<c<dD.a<d<c<b 解析：重点掌握幂函数在第一象限的图象特征，它是判断一些问题的法宝，当自变量x ＞1时，幂指数大的函数的函数值大. 方法一(性质法):由幂函数的性质可知，当自变量x ＞1时，幂指数大的函数的函数值较大，故有b ＞c ＞d ＞a.方法二(类比法):当x 趋于+∞时，函数y=x a 图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴，类似于典型幂函数y=x -1，故a<0.函数y=x b 在区间［0,+∞)上是增函数，图象下凸，类似于函数y=x 2,故b>1. 同法可知y=x c,y=x d类似于y=x 21,故0<c<1,0<d<1.∴a 最小，b 最大. 方法三(特殊值法):作直线x=2，由图象可知2a <2d <2c <2b,由指数函数的性质可知a<d<c<b,故选D. 答案：D 绿色通道通过这道题,可知对于幂函数不仅仅是从“形式上”掌握其概念、图象和性质，更重要的是真正的理解，例如需要掌握幂函数在第一象限的图象特征，这在今后的学习中也应注意. 变式训练3.图3-3-2中曲线是幂函数y=x α在第一象限的图象，已知α取±2，±21四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( )图3-3-2A.-2,21-,21,2 B.2,21,21-,-2 C.21-,-2,2,21D.2,21,-2,21-解析：要确定一个幂函数y=x α在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y=x α随着α值的改变图象的变化规律.随着α的变大，幂函数y=x α的图象在直线x=1的右侧从低向高分布.从图中可以看出，直线x=1右侧的图象，由高向低依次为C 1，C 2，C 3，C 4，所以C 1,C 2,C 3,C 4的指数α依次为2，21，21-21-，-2. 答案：B【例题4】画函数y=1+x -3的草图，并求出其单调区间.分析:此函数的作图有两个途径，一是根据描点的方法作图，二是利用坐标系的平移来作图.一般说来，作草图时，利用坐标平移较为方便. 解：y=1+x -3=)3(--x +1. ∴此函数的图象可由下列变换而得到:先作函数y=x 的图象，作其关于y 轴的对称图象，即y=x -的图象，将所得图象向右平移3个单位，向上平移1个单位，即为y=1+x -3的图象〔如图3-3-3(1)-(4)所示〕.图3-3-3黑色陷阱本题容易发生的错误：一是函数概念不清（该函数是以x 为自变量的函数）；二是在将函数式变形的过程不是等价变形，导致变形后的函数已不再是原有的函数了. 变式训练4.求出函数f （x ）=445422++++x x x x 的单调区间，并比较f （-π）与f （22-）的大小.分析:要写出f （x ）的单调区间，可通过化简把f （x ）转化成我们熟悉的基本初等函数的形式，利用基本初等函数的单调区间，表示出f （x ）的单调区间.解：f （x ）=4414422+++++x x x x =1+4412++x x =1+（x+2）-2，它是由g （x ）=x -2向左平移2个单位，再向上平移1个单位而得到的.∵g（x ）的单调增区间是（-∞，0），单调减区间是（0，+∞），∴f（x ）=445422++++x x x x 的单调增区间是（-∞，-2），单调减区间是（-2，+∞），f （x ）的图象关于直线x=-2对称. ∵-π∈（-∞，-2），22-∈（-2，+∞），22-关于x=-2对称的点的横坐标是22-4，又∵22-4<-π， ∴f （22-4）<f （-π）,即f （22-）<f （-π）. 教材链接［思考与讨论］(1)在幂函数y=x α中,如果α是正偶数(α=2n,n 为非零自然数),如α=2,4,6,…,这一类函数具有哪些重要性质?(2)在幂函数y=x α中,如果α是正奇数(α=2n -1,n 为非零自然数),如α=1,3,5,…,这一类函数具有哪些重要性质?(3)幂函数y=x α,x∈［0,+∞),α>1与0<α<1的图象有何不同? 答:(1)(2)(3)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间［0,+∞)上是增函数.当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；特别要记住幂函数在第一象限的图象可用口诀记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α>0(α≠1)时图象是抛物线型;α<0时图象是双曲线型,α>1时图象是竖直抛物线型，0<α<1时，图象是横卧抛物线型.。

《3.3函数的应用(一)》教学设计教学反思-2023-2024学年高中数学人教B版19必修第一册

《3.3 函数的应用（一）》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解函数在实际问题中的应用，能够列出函数关系式；2. 掌握函数应用中的解题思路和方法；3. 培养解决实际问题的思维能力和逻辑推理能力。

二、教学重难点1. 教学重点：掌握函数在实际问题中的应用，列出函数关系式；2. 教学难点：如何引导学生理解和掌握函数应用中的解题思路和方法。

三、教学准备1. 准备教学素材：搜集有关函数应用的实际案例和数据；2. 制作多媒体课件：通过图片、视频等方式展示函数在实际问题中的应用；3. 安排学生预习：让学生提前了解函数的基本概念和性质，为新课做好准备。

四、教学过程：本节课的教学设计主要分为以下几个环节：导入新课、新课教学、课堂练习、小结与作业。

1. 导入新课：通过实际生活中的例子，如股票价格变化图，引出函数图像的概念，进而引出本节课的主题——函数的应用。

2. 新课教学：(1) 讲解函数的应用，包括函数在解决实际问题中的作用，以及如何根据函数图像分析数据等。

(2) 通过具体的例子，引导学生如何根据函数图像分析数据，发现问题，并给出解决方案。

(3) 讲解如何利用函数图像进行预测和决策，并举例说明。

(4) 让学生进行小组讨论，分享他们在日常生活中遇到的函数应用实例，并分享他们的理解和感受。

3. 课堂练习：给学生布置一些与本节课内容相关的练习题，以检验学生对新知识的掌握情况，同时也可以帮助学生更好地理解所学内容。

4. 小结与作业：(1) 小结本节课的主要内容，强调重点和难点。

(2) 布置作业：让学生自己寻找一些与函数应用相关的实际问题，尝试用本节课所学知识解决这些问题，并在下次课上进行分享。

在课堂教学中，应注重学生的参与和互动，通过实例和互动讨论，帮助学生更好地理解和掌握所学内容。

同时，也应注重学生的反馈和评价，及时调整教学策略，以提高教学效果。

教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 学生能够理解函数在解决实际问题中的应用，提高运用函数知识解决实际问题的能力。

人教B版数学高一版必修1学案3.4函数的应用(Ⅱ)(1)

数学人教B 必修1第三章3.4 函数的应用(Ⅱ)1．能够运用指数函数、对数函数、幂函数的性质来解决某些简单的实际问题． 2．了解和体会函数模型在社会生活及科研中的广泛应用． 3．培养学生应用数学的意识以及分析问题、解决问题的能力．1．指数函数型增长的函数模型指数函数y ＝a x (a ＞1)经复合可得到的指数型函数，指数型变化较快，例如生活中经常接触的储蓄问题，也就是增长率问题，就是指数型．指数型增长随____不同而不同．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息．我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果基础量为a ，平均增长率为r ，则对于时间x 的总量y ＝a (1＋r )x ，解决平均增长率的问题，可用此公式建立函数式．【做一做1】在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )2．对数函数型增长的函数模型对数函数y ＝log a x (a ＞1)经复合可得到对数型函数，对数型增长的特点是________．其中，关于x 有可能成对数型函数变化的函数是__________． 3．幂函数型增长的函数模型幂函数y ＝x n (n ＞0)经过复合可以得到幂函数型函数，其增长变化率也较快．例如球的体积V 随半径R 的增大而变化的关系就是幂函数型的关系，体积是半径的函数V ＝______.随着x 的增大，若y ＝x n (n ＞0)比起y ＝a x (a ＞1)增长速度来，是____增长得快．【做一做3】现准备用下列函数中的一个表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( ) A ．v ＝log 2t B ．12log v tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2一、幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长情况比较剖析：一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n.同样地，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增长，log a x增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，log a x可能会大于x n，但是由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝a x(a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n＜a x.函数y ＝a x(0＜a＜1)，y＝log a x(0＜a＜1)，y＝x n(n＜0)都是减函数，它们的递减速度都是先快后慢(x＞0)，y＝a x(0＜a＜1)，y＝x n(n＜0)逐渐趋向于x轴的正半轴，而对数函数继续较快递减，但比一次函数递减的速度慢得多，可以说是不在同一“档次”上．如下图所示部分函数图象可见一斑．二、常见的数学模型剖析：利用具体函数解决综合问题是我们需要关注的．具体函数的运用在生活中有很多体现，在学习完函数这部分内容以后，重点运用一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数和幂函数来解决问题．下面是几种常见的数学模型：(1)平均增长率问题：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的产值或产量y＝N(1＋p)x.(2)储蓄中的复利问题：如果本金为a元，每期利率为r，本利和为y，存期为x，则y ＝a(1＋r)x.(3)根据几何、物理概念建立的函数关系，如位移、速度、时间的函数关系，灌溉渠的横截面面积A和水深h的函数关系．(4)通过观察、实验建立的函数关系，如自由落体的距离公式等．数据拟合模型是指根据试题所给出的一组相关数据，根据数据所呈现的特点选择比较适当的函数来近似地模拟所给数据之间的对应关系．这种模拟是粗略的，只能起到估算作用．一般来说，需要根据所给的数据描出其在坐标系中的散点图，从图象上观察并选择适当的函数，最后还需要检验．题型一指数函数模型的应用【例1】某公司预投资100万元，有两种投资方案可供选择：方案一：年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；方案二：年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)分析：这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题．可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少，再通过比较作答．反思：在实际应用中，常常遇到有关平均增长率的问题．如果原来产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值y，可以用公式y＝N(1＋P)x表示．题型二对数函数模型的应用【例2】我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2Q10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)计算燕子静止时的耗氧量是多少个单位．(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？分析：(1)在题中所给函数式中令v＝0即可；(2)令函数式中Q＝80即可求得此时的v.反思：解决本题的关键是要分清所给模型中的参数和变量．对于实际应用问题，搞清字母的含义是至关重要的．题型三建立拟合函数模型【例3】某工厂今年1,2,3月生产产品1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或者函数y＝ab x＋c，如果已知4月份产量为1.37万件，问用以上哪一个函数模拟比较好？理由是什么？分析：本题已给定两种供选择的函数模型，处理的关键就是根据已知数据求出模拟函数的具体表达式，然后分别用这两个所求的函数表达式来预测4月份产量，看哪一个函数表达式预测值与实际值比较接近．反思：对于给出一组数据拟合函数模型的题目，应根据数据找出比较合理的函数模型．根据数据特点，可能有多种结果，因此用哪一个还需结合实情选择．1某种商品2009年提价25%,2011年要恢复成原价，则应降价()A．30% B．25% C．20% D．15%2某人在2010年9月1日到银行存入一年期a元，若每到第二年的这一天取出，再连本带利存入银行(假设银行年利率为r%)，则到2015年9月1日他可取出存款() A．a(1＋r%)6(元) B．a(1＋r%)5(元)C．a＋6(1＋r%)a(元) D．a＋5(1＋r%)a(元)3某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t之间的数据，将其整理后得到如下的散点图，下列函数中，最能近似刻画y与t之间的关系的是()A ．y ＝2tB ．y ＝2t 2C ．y ＝t 3D ．y ＝log 2t4已知气压p (百Pa)与海拔h (m)的关系式为300071000100h p ⎛⎫=⎪⎝⎭，则海拔6 000 m 处的气压为______．5已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月，2月生产该产品分别为1万件，1.5万件，则此厂3月份该产品的产量为__________．答案：基础知识·梳理 1．底数【做一做1】D 依题意，知y ＝(1＋10.4%)x ，因此是指数函数． 2．先快后慢【做一做2】y 3 根据指数函数、幂函数、对数函数的增长趋势，可判断y 3增长得比较平缓，符合对数型函数的增长情况．3．43πR 3 后者【做一做3】C 典型例题·领悟【例1】解：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是 100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．由此可见，方案二更有利，5年后多得利息3.86万元．【例2】解：(1)当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入函数关系式可得0＝5log 2Q10，解得Q ＝10，即燕子静止时的耗氧量是10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入函数关系式得v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)，即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s. 【例3】解：设f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)．由f (1)＝1，f (2)＝1.2，f (3)＝1.3，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＝1，4p ＋2q ＋r ＝1.2，9p ＋3q ＋r ＝1.3，解得p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7.∴f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7. ∴f (4)＝1.3. 设g (x )＝ab x ＋c .由g (1)＝1，g (2)＝1.2，g (3)＝1.3，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝1.2，ab 3＋c ＝1.3，解得a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4. ∴g (4)＝1.35.∵|1.3－1.37|＝0.07＞0.02＝|1.35－1.37|， ∴用y ＝－0.8×0.5x ＋1.4作模拟函数较好．随堂练习·巩固 1．C 2．B 2011年9月1日可取款a ＋ar %＝a (1＋r %)元，2012年9月1日可取款a (1＋r %)＋a (1＋r %)r %＝a (1＋r %)2元，同理可得，2015年9月1日可取款a (1＋r %)5元．3．D 此曲线符合对数函数的变化趋势．4．4.9 百Pa 令h ＝6 000，得p ＝1 000⎝⎛⎭⎫71002＝4.9.5．1.75万件利用待定系数法，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ×0.51＋b ，1.5＝a ×0.52＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2·0.5x ＋2.当x ＝3时，y ＝－2×0.53＋2＝1.75.。

高中数学人教B版必修一学案：3.4 函数的应用(Ⅱ)

3.4 函数的应用(Ⅱ)[学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题.[预习导引]1.三种函数模型的性质(1)在区间(0，＋∞)上，函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上.(2)在区间(0，＋∞)上随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢. (3)存在一个x 0，使得当x ＞x 0时，有log a x ＜x n ＜a x .要点一函数模型的增长差异例1 (1)当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A.y ＝10 000x B.y ＝log 2x C.y ＝x 1 000D.y ＝⎝⎛⎭⎫e 2x(2)四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如下表：答案 (1)D (2)y 2解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝⎝⎛⎭⎫e 2x增长速度最快.(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化.规律方法在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x 0，当x ＞x 0，就有log a x ＜x n ＜a x .跟踪演练1 如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A.指数函数：y ＝2tB.对数函数：y ＝log 2tC.幂函数：y ＝t 3D.二次函数：y ＝2t 2答案 A解析由题中图象可知，该函数模型为指数函数. 要点二几种函数模型的比较例2 某汽车制造商在2019年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2019年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：如果我们分别将二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系？解建立年销量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30). (1)构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42.则g (x )＝1253·⎝⎛⎭⎫65x－42，故g (4)＝1253·⎝⎛⎭⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系.规律方法 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数.2.理解“模型能更好反映该公司年销量y 与年份x 的关系”的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣.跟踪演练2 函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图.(1)指出C 1，C 2分别对应图中哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较). 解 (1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，曲线C 2对应的函数为f (x )＝lg x ，(2)当x ∈(0，x 1)时，g (x )＞f (x )；当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜f (x )；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞f (x ).函数g (x )＝0.3x －1呈直线增长，函数f (x )随着x 的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长.1.当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A.y ＝100x B.y ＝log 100x C.y ＝x 100 D.y ＝100x答案 D解析几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D. 2.当2＜x ＜4时，2x ，x 2，log 2x 的大小关系是( ) A.2x ＞x 2＞log 2x B.x 2＞2x ＞log 2x C.2x ＞log 2x ＞x 2 D.x 2＞log 2x ＞2x答案 B解析方法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝log 2x ，y ＝x 2，y ＝2x ，在区间(2,4)上从上往下依次是y ＝x 2，y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象，所以x 2＞2x ＞log 2x .方法二比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x ＝3，经检验易知选B.3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意，ax ＝a (1＋0.104)y ，故y ＝log 1.104x (x ≥1)， ∴y ＝f (x )的图象大致为D 中图象.4.某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( ) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只答案 A解析由已知第一年有100只，得a ＝100. 将a ＝100，x ＝7代入y ＝a log 2(x ＋1)，得y ＝300.5.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________. 答案 y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200).解析设解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧30＝k ×80＋b ，20＝k ×120＋b ，解得k ＝－14，b ＝50，∴y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200)三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型. (3)幂函数模型y ＝x n (n ＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n 值较小(n ≤1)时，增长较慢；n 值较大(n ＞1)时，增长较快.。

(完整版)2019-2020学年新人教B版必修一2.2.1不等式及其性质学案

最新课程标准：理解不等式的概念，掌握不等式的性质.知识点一实数大小比较1．文字叙述如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．2．符号表示a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.状元随笔比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a －b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a －b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．知识点二不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a 可逆2传递性a>b，b>c⇒a>c3可加性a>b⇔a＋c>b＋c 可逆4可乘性⎭⎪⎬⎪⎫a>bc>0⇒ac>bcc的符号⎭⎪⎬⎪⎫a>bc<0⇒ac<bc5同向可加性a>bc>d⇒a＋c>b＋d 同向6同向同正可乘性a>b>0c>d>0⇒ac>bd 同向7可乘方性a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)同正8可开方a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)同正状元随笔 (1)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a ＋b>c ⇒a>c －b. 性质3是可逆性的，即a>b ⇔a ＋c>b ＋c.(2)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的． (3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件. 不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势． [基础自测]1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系( )A ．T <40B ．T >40C ．T ≤40 D．T ≥40解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思．答案：C2．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关解析：因为M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，所以M >N .答案：A3．已知x <a <0，则一定成立的不等式是( ) A ．x 2<a 2<0 B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<ax <0 D ．x 2>a 2>ax解析：因为x <a <0，不等号两边同时乘a ，则ax >a 2；不等号两边同时乘x ，则x 2>ax ，故x 2>ax >a 2. 答案：B4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>012x －3≤0的解集为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x >－12x ≤6，∴－12<x ≤6.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，6题型一比较大小[教材P 61例2] 例1 比较x 2－x 和x －2的大小．【解析】因为(x 2－x )－(x －2)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，又因为(x －1)2≥0，所以(x －1)2＋1≥1>0，从而(x 2－x )－(x －2)>0，因此x 2－x >x －2.状元随笔通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系. 教材反思用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练1 若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是( ) A ．f (x )<g (x ) B ．f (x )＝g (x ) C ．f (x )>g (x ) D ．随x 值变化而变化解析：f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1) ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，所以f (x )>g (x )．故选C. 答案：C作差→变形→判断差的符号→结合差的符号判定大小题型二不等式的性质[经典例题] 例2 对于实数a 、b 、c ，有下列说法： ①若a >b ，则ac <bc ； ②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a ab >b 2； ④若c >a >b >0，则ac －a >bc －b；⑤若a >b ，1a >1b，则a >0，b <0.其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】对于①，令c ＝0，则有ac ＝bc .①错．对于②，由ac 2>bc 2，知c ≠0， ∴c 2>0⇒a >b .②对．对于③，由a ab ，两边同乘以b 得ab >b 2， ∴a 2>ab >b 2.③对．对于④，⎭⎪⎬⎪⎫c >a >b >0⇒c －a >0，c －b >0a >b ⇒－a <－b ⇒c －a <c －b ⇒0<c －a <c －b⇒⎭⎪⎬⎪⎫1c －a >1c －b >0a >b >0 ⇒a c －a >b c －b .④对．对于⑤，⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒a －b >01a >1b ⇒b －a ab >0 ⇒⎭⎪⎬⎪⎫ab <0a >b⇒a >0，b <0.⑤对．故选C. 【答案】 C 分析条件→利用不等式性质逐一判断方法归纳(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．跟踪训练2 (1)已知a b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2C ．若ac 2>bc 2，则a >b D ．若a >b ，则1a <1b解析：(1)根据不等式的性质，a <b,4>0⇒4a <4b ，A 项正确；a －4b ，B 项错误；a bc 2，∴c ≠0，∴c 2>0，∴一定有a >b .故选项C 正确；对于选项D ，当a >0，b <0时，不正确．答案：(1)B (2)C利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．题型三利用不等式性质求范围[经典例题]例3 已知－2<a ≤3,1≤b <2，试求下列代数式的取值范围： (1)|a |；(2)a ＋b ；(3)a －b ；(4)2a －3b . 【解析】 (1)|a |∈[0,3]；(2)－1<a ＋b <5；(3)依题意得－2<a ≤3，－2<－b ≤－1，相加得－4<a －b ≤2； (4)由－2<a ≤3得－4<2a ≤6，① 由1≤b <2得－6<－3b ≤－3，② 由①②得，－10<2a －3b ≤3.状元随笔运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向．方法归纳利用不等式性质求范围的一般思路(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； (2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； (3)结合不等式的传递性进行求解．跟踪训练3 已知实数x ，y 满足：1<x <2<y <3， (1)求xy 的取值范围； (2)求x －2y 的取值范围．解析：(1)∵1<x <2<y <3，∴1<x <2,2<y <3，则2<xy <6，则xy 的取值范围是(2,6)．(2)由(1)知1<x <2,2<y <3，从而－6<－2y <－4，则－5<x －2y <－2，即x －2y 的取值范围是(－5，－2)．状元随笔 (1)根据不等式的性质6可直接求解；(2)求出－2y 的取值范围后，利用不等式的性质5即可求x －2y 的取值范围．课时作业 10一、选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A B D ．A >B解析：因为A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，所以A ≥B .答案：B2．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，c <d ，则a c >bdD ．若a 2>b 2，则－a <－b解析：选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立．答案：B3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0 D ．－1<α－β<1 解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1. 又－1<α<1，∴－2<α＋(－β)<2，又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0.故选A. 答案：A4．有四个不等式：①|a |>|b |；②a b 3.若1a <1b<0，则不正确的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由1a <1b<0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①不正确；a >b ，②不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.答案：C二、填空题5．已知a ，b 均为实数，则(a ＋3)(a －5)________(a ＋2)(a －4)(填“>”“<”或“＝”)．解析：因为(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0，所以(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．答案：<6．如果a >b ，那么c －2a 与c －2b 中较大的是________．解析：c －2a －(c －2b )＝2b －2a ＝2(b －a )<0. 答案：c －2b 7．给定下列命题：①a >b ⇒a 2>b 2；②a 2>b 2⇒a >b ；③a >b ⇒b a<1；④a >b ，c >d ⇒ac >bd ；⑤a >b ，c >d ⇒a －c >b －d .其中错误的命题是________(填写相应序号)．解析：由性质7可知，只有当a >b >0时，a 2>b 2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a >0且a >b 时，ba<1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a >b >0，c >d >0时，ac >bd 才成立，故④错误；对于⑤，由c >d 得－d >－c ，从而a －d >b －c ，故⑤错误．答案：①②③④⑤ 三、解答题8．已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．解析：x 3－1－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，因为x <1，所以x －1<0，又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0，所以x 3－1<2x 2－2x .9．若bc －ad ≥0，bd >0.求证：a ＋b b ≤c ＋dd. 证明：因为bc －ad ≥0，所以ad ≤bc ，因为bd >0，所以a b ≤cd，所以a b ＋1≤c d ＋1，所以a ＋b b ≤c ＋dd.[尖子生题库]10．设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解析：方法一设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故f (－2)的取值范围是[5,10]．方法二由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －bf (1)＝a ＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故f (－2)的取值范围是[5,10]．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2019-2020学年高中数学 34 函数的应用学案新人教B版必修1 一．学习要点：函数的应用
二．学习过程：
例1：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的自然年增长率控制在 1.25%，问哪一年我国人口总数将超过14亿？
例2：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。

如果你父亲存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到0.01元）？
（注：复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息。

）
例3：设在海拔xm处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是，其中c,k 为常量，已知某地某天在海平面的大气压为 Pa,1000m 高空的大气压为 Pa，求600m高空的大气压强(结果保留三个有效数字）。

二、课堂练习
1、P115习题
三、课后小结
解决实际问题的步骤：
实际问题（读懂问题、抽象概括）→建立数学模型（演算、推理）→数学模型的解（还原说明）→实际问题的解。

四、作业：见作业（34）。