2016级离散数学(I)A卷参考答案-推荐下载

北京化工大学试卷2004.6
离散数学（参考答案）
一、填空题（共10分，每小题2分）
1.∃xF(x)→∀yG(y,z)的前束范式是∀x∀y(F(x)→∀yG(y,z) ) 。

2.(p→q)∨p是（永真/永假/可满足）永真式。

3.设全集E={1,2,3,4,5,6}，其子集A={1,4},B={1,2,5}，则A∩~B= {4} 。

4.设集合M={a,b,c,d,e}，则M上一共有52个不同的等价关系。

5.设f：N×N→N，f(<x,y>) = x+y+1，令A={<x,y> | x,y∈N且f(<x,y>)=3}，则A的列举法表示为A= {<1,1>,<2,0>,<0,2>} 。

二、判断题（共10分，每小题2分，正确的在题号前打√，错误的在题号前打×）
( √) 1.设X={a,b,c,d}，Y={1,2,3}，f={<a,1>,<b,2>,<c,3>}，则f 是从X 到Y 的二元关系，但不是从X 到Y 的函数。

⊆
( × ) 2.已知A和B为两个集合，且A B，则A∉ B一定为假。

( √ ) 3.设p,q,r,s为命题公式，如果p ⇔q且r ⇒s，则p∧r ⇒ q∧s。

( × ) 4.一个谓词公式，如果量词均出现在全式的开头，则称该谓词公式为前束范式。

( √) 5.设R是A上的自反关系，且当<a,b>∈R和<a,c>∈R时，必有<b,c>∈R，则R是A上的等价关系。

三、选择题（共10分，每小题2分）
1.设个体域为整数集，P(x,y)：x+y = 1，Q(x,y)：x×y > 0，下列命题为真的是（ A ）。

A、∀x∃ y P(x,y)
B、∃ x∀yP(x,y)
C、∀x∃ y Q(x,y)
D、∃ x∀yQ(x,y)
2.设R是集合A上的自反关系，则下列叙述中不成立的是（ C ）。

A、R︒R-1一定是A上的自反关系
B、R︒R-1一定是A上的对称关系
C、R︒R-1一定是A上的传递关系
D、仅有A和B是正确的
3.下列命题真值为真的是（ A ）。

A、2>3当且仅当5>7
B、2>3当且仅当5<7
C、2+2≠4与4+4=8互为充分必要条件
D、如果π无理数，则3也是无理数，反之亦然
4.下列每组两个集合中相等的一组集合是（ A ）。

A、A={3,1,1,5,5}，B={1,3,5}
B、A=∅，B={∅}
C、A=∅，B={x | x∈N且x是偶素数}
D、A={1,2,∅}，B={1,2,{∅}}
5.在谓词演算中，若谓词公式中含有自由变元，则不能被使用的规则是（ C ）。

A、US规则
B、UG规则
C、ES规则
D、EG规则
四、简答及计算题（共30分，每题10分）
1．采用真值表求命题公式(p∧q)∨(~p∧r)的主析取范式和主合取范式。

解：求解过程（4分）
p q r p∧q~p∧r(p∧q)∨(~p∧r)
000000
001011
010000
011011
100000
101000
110101
111101
主析取范式（3分）：(p∧q)∨(~p∧r)⇔m1∨m3∨m6∨m7⇔(~p∧~q∧r)
∨(~p ∧q ∧r )∨(p ∧q ∧~r )∨(p ∧q ∧r )
主合取范式（3分）：(p ∧q )∨(~p ∧r )⇔M 0∨M 2∨M 4∨M 5=(p ∨q ∨r )
∧(p ∨~q ∨r )∧(~p ∨q ∨r )∧(~p ∨q ∨~r )
2．设A ={a ,b ,c ,d ,e ,f }，R 是A 上的二元关系，其关系定义如下：
R ={< a ,b >,< b ,c >,< c ,a >,< e ,f >,< f ,e >}
求最小自然数s 和t ，使得s < t 且 R s =R t 。

解：求解过程（6分）
R ={< a ,b >,< b ,c >,< c ,a >,< e ,f >,< f ,e >}R 2={< a ,c >,< b ,a >,< c ,b >,< e ,e >,<f ,f >}R 3={< a ,a >,< b ,b >,< c ,c >,< e ,f >,< f ,e >}R 4={< a ,b >,< b ,c >,< c ,a >,< e ,e >,< f ,f >}R 5={< a ,c >,< b ,a >,< c ,b >,< e ,f >,< f ,e >}
R 6={< a ,a >,< b ,b >,< c ,c >,< e ,e >,< f ,f >}（4分）因此有：R 6=I A = R 0
即：s =0，t=6
3．如图为偏序集<X ,≤>的哈斯图。

（1）给出X 和≤的集合表示（6分）；
（2）求该偏序集的极大元、极小元、最大元和最小元（4
解：X ={a ,b ,c ,d ,e ,f }
X ={<a ,b >,<a ,c >,<a ,d >,<a ,e >,<a ,f >,<b ,e >,<c ,e >,<c ,f >,<d ,f >}∪I X
极大元e ,f ，极小元a ，最大元不存在，最小元a
五、证明题（共40分，每题10分）
1．采用形式证明推理证明下式：已知：∀x (~P (x )→Q (x ))，∀x (Q (x )→ ~R (x ))，∃xR (x )
f d
a
e
b
结论：∃xP(x)
解：
（1）∃xR(x)P
（2）R(c)ES（1）
（3）∀x(Q(x)→ ~R(x))P
（4）Q(c)→ ~R(c)US（3）
（5）~Q(c)T（2）（4）
（6）∀x(~P(x)→Q(x))P
（7）~P(c)→Q(c)US（6）
（8）P(c)T（5）（7）
（9）∃xP(x)EG（8）
⊆⊆⊆2．设A,B,C为集合，已知(A∩C)(B∩C), (A∩~C)(B∩~C),证明：A B。

解：
A= A∩(C∪~C)
=(A∩C)∪(A∩~C)
(B∩C)∪(B∩~C)
⊆
= B∩(C∪~C)
=B
故：A B
⊆
3．采用形式证明法证明下面的推理：
如果周强是上海人，则他是复旦大学或中山大学的学生；如果他不想离开
上海，他就不是中山大学的学生；周强是上海人并且不想离开上海，所以他是
复旦大学的学生。

解：
令：p：周强是上海人，q：周强是复旦大学的学生，r：周强是中山大学的学生，s：周强想离开上海。

（3分）
前提：p→(q∨r)，~s→~r，p∧~s
结论：q（3分）
（4分）
（1）p ∧~s
P
（2）~s
T （1）（3）~s →~r
P （4）~r
T （2）（3）
（5）p →(q ∨r )
P （6）p
T （1）（7）q ∨r
T （5）（6）（8）q
T （4）（7）4．设集合A ={a ,b ,c }，R 是A 上的二元关系，且：
R ={< a ,a >,< b ,b >,< b ,c >,< c ,c >,< c ,b >}
(1) 判断R 是否是等价关系？请给出证明。

若是，请继续完成下面3个问题。

(2) 求A 中每一个元素的等价类；
(3) 求A 对R 的商集A /R ；
(4) 求由R 诱导的A 的划分A R 。

解：
（1）（4分）=(a ij )3×3
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=110110001M 332)(110110001110110001110110001⨯=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ij b M 因为a ii =1（i =1,2,3,4），故R 是自反的；
因为a ij =a ji （i ,j =1,2,3,4），故R 是对称的；
因为b ij =1，则有a ij =1（i ,j =1,2,3,4），故R 是传递的。

故R 是等价关系。

（2）（2分）[1]R ={1}
[2]R =[3]R ={2,3}
（3）（2分）商集A /R ={{1},{2,3}}
（4）（2分）划分A ={{1},{2,3}}。