旋转解题技巧

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模型40 动态角旋转问题(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇

模型介绍★旋转动角问题三步解题技巧总结一.根据题意找到目标角度二.表示出目标角度1.角度一边动另一边不动,角度变大:目标角=起始角+速度×时间2.角度一边动另一边不动,角度变小:目标角=起始角-速度×时间3.角度一边动另一边不动,角度先变小后变大:变小:目标角=起始角-速度×时间变大:目标角=速度×时间-起始角4.角度两边都动,运动方向相同且变大目标角=起始角+速度差×时间5.角度两边都动,运动方向相同且变小目标角=起始角-速度差×时间6.角度两边都动,运动方向相反目标角=起始角+速度和×时间三.根据题意列方程求解例题精讲【例1】．如图，已知∠AOB＝126°，∠COD＝54°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，当OC边与OB边重合时，∠COD从图中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜126），则n°＝51°或69°．时，∠MON＝2∠BOC．解：①0°＜n＜54°时，∠BOC＝n°，∠MON＝2n°，∠MON＝（126°+n°）+54°﹣（54°+n°）＝100°，∴n＝51．②当54°＜n＜126°时，∠AOC＝360°﹣（126°+n°）＝234°﹣n°，∠BOD＝54°+n°，∴∠MON＝360°﹣∠AOM﹣∠AOB﹣∠BON＝360°﹣（234°﹣n°）﹣126°﹣（54°+n°）＝138°∴n＝69．综上所述，n的值为51或69．故答案为：51°或69°．变式训练【变式1-1】．已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图放置，点B、D 重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，现将图中的△ABC绕点F按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为2或8或10秒．解：∵∠E＝∠ABC＝30°，∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，∴∠D＝∠A＝60°．①当DE∥AC时，如图1中，∵∠C＝90，∴AC⊥BC，∴DE⊥BC，∴∠D+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝90°﹣60°＝30°，∴旋转时间t＝＝2s．②如图2中，当DE∥BC时，∠BFE＝∠E＝30°，∴∠DFB＝90°+30°＝120°，∴旋转时间t＝＝8s．③当DE∥AB时，如图3中，∴∠BGF＝∠E＝30°，∴∠BFE＝30°+30°＝60°，∴∠DFB＝60°+90°＝150°，∴旋转时间t＝＝10s．综上所述，旋转时间为2s或8s或10s时，△ABC恰有一边与DE平行．故答案为：2或8或10．【变式1-2】．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．如图2，若∠MPN＝75°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时，PQ与PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，t的值为3或或．解：当∠NPQ＝∠MPN时，15t＝（75+5t），解得t＝3；当∠NPQ＝∠MPN时，15t＝（75+5t），解得t＝．当∠NPQ＝∠MPN时，15t＝（75+5t），解得t＝．故t的值为3或或．故答案为：3或或．【例2】．一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边OA，OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°，保持三角板COD不动，将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度α，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方，当OB平分由OA，OC，OD其中任意两边组成的角时，α的值为30°或90°或105°．解：当OB平分∠AOD时，∵∠AOE＝α，∠COD＝60°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOE﹣∠COD＝120°﹣α，∴∠AOB＝∠AOD＝60°﹣α＝45°，∴α＝30°，当OB平分∠AOC时，∵∠AOC＝180°﹣α，∴∠AOB＝90°﹣α＝45°，∴α＝90°；当OB平分∠DOC时，∵∠DOC＝60°，∴∠BOC＝30°，∴α＝180°﹣45°﹣30°＝105°，综上所述，旋转角度α的值为30°或90°或105°；故答案为：30°或90°或105°．变式训练【变式2-1】．将一副直角三角板ABC，ADE按如图1叠加放置，其中B与E重合，∠BAC ＝45°，∠BAD＝30°．将三角板ADE从图1位置开始绕点A顺时针旋转，并记AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的平分线，当三角板ADE旋转至如图2的位置时，∠MAN的度数为37.5°．解：∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线，∴∠MAE＝∠BAE，∠NAC＝∠DAC，∴∠MAN＝∠MAE+∠NAC﹣∠CAE＝（∠BAE+∠DAC）﹣∠CAE＝（∠BAC+∠DAE+2∠CAE）﹣∠CAE＝×75°＝37.5°；故答案为：37.5．【变式2-2】．如图①，O为直线AB上一点作射线OC，使∠AOC＝120°，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上，将图①中的三角尺绕点O以每秒5°的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中第t 秒时，OQ所在直线恰好平分∠BOC，则t的值为24s或60s．解：如图1，∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝60°，∵OQ平分∠BOC，∴∠BOQ＝∠BOC＝30°，∴t＝＝24s；如图2，∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝60°，∵OQ′平分∠BOC，∴∠AOQ＝∠BOQ′＝∠BOC＝30°，∴t＝＝60s，综上所述，OQ所在直线恰好平分∠BOC，则t的值为24s或60s，故答案为：24s或60s．1．如图，已知PQ∥MN，点A，B分别在MN，PQ上，射线AC自射线AM的位置开始，以每秒3°的速度绕点A顺时针旋转至AN便立即逆时针回转，射线BD自射线BP的位置开始，以每秒1°的速度绕点B逆时针旋转至BQ后停止运动．若射线BD先转动30秒，射线AM才开始转动，当射线AC，BD互相平行时，射线AC的旋转时间为37.5或105秒．解：根据题意，需要分两种情况，当射线AC顺时针旋转时，如图所示：∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDN，∵BD∥AC，∴∠BDA＝∠CAN，∴∠PBD＝∠CAN，设射线AC运动时间为t，则∠MAC＝3°t，∠PBD＝30°+1°t，∴∠CAN＝180°﹣3°t，∴30°+1°t＝180°﹣3°t，解得t＝37.5．当射线AC逆时针旋转时，如图所示：∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDN，∵BD∥AC，∴∠BDA＝∠CAN，∴∠PBD＝∠CAN，设射线AC运动时间为t，则∠CAN＝3°t﹣180°，∠PBD＝30°+1°t，∴30°+1°t＝3°t﹣180°，解得t＝105．故答案为：37.5或105．2．如图1，直线ED上有一点O，过点O在直线ED上方作射线OC，将一直角三角板AOB （∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB 在直线ED上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t秒．若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．则在旋转过程中，如图2，当t ＝2或8或32秒时，射线OA，OC与OD中的某一条射线恰好是另两条射线所夹角的平分线．解：当射线OA是∠COD的平分线时，∵∠COD＝180°﹣∠COE＝40°，OA是∠COD的平分线，∴∠AOD＝∠COD＝20°，∴t＝＝2；当射线OC是∠AOD的平分线时，∠AOD＝2∠COD＝80°，∴t＝＝8；当射线OD是∠COA的平分线时，360﹣10t＝40，∴t＝32，故答案为：2或8或32．3．如图1，已知∠ABC＝50°，有一个三角板BDE与∠ABC共用一个顶点B，其中∠EBD ＝45°．（1）若BD平分∠ABC，求∠EBC的度数；（2）如图2，将三角板绕着点B顺时针旋转α度（0°＜α＜90°），当AB⊥BD时，求∠EBC的度数．解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABC＝50°，∴∠CBD＝＝25°，∵∠EBD＝45°，∴∠EBC＝∠EBD+∠DBC＝45°+25°＝70°．（2）∵AB⊥BD，∴∠ABD＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠DCB＝90°﹣50°＝40°，∵∠EBD＝45°，∴∠EBC＝45°﹣40°＝5°．4．将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．（1）如图1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度数；（2）如图（1），求∠BOD+∠AOC的度数；（3）如图（2）若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由．解：（1）若∠AOD＝35°，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠BOD＝90°﹣35°＝55°，∴∠BOC＝90°﹣∠BOD＝90°﹣55°＝35°；（2）∵∠BOD＝∠AOB+∠COD﹣∠AOC，∴∠BOD+∠AOC＝∠AOB+∠COD＝90°+90°＝180°；（3）∠AOC与∠BOD互补．当∠AOB与∠DOC有重叠部分时，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，∴∠AOC+∠BOD＝180°；当∠AOB与∠DOC没有重叠部分时，∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，又∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝180°．5．已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求：（1）如图1，OC为∠AOB内部任意一条射线，求∠MON＝30°；（2）如图2，当OC旋转到∠AOB的外部时，∠MON的度数会发生变化吗？请说明原因；（3）如图3，当OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射线OC在OB的下方时，OM平分∠AOC，射线ON在∠BOC内部，∠NOC＝∠BOC，求∠COM﹣∠BON的值？解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝60°，∴∠MOC＝∠AOC，∴∠NOC＝∠BOC，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝∠BOC+∠AOC＝∠AOB＝×60°＝30°．故答案为：30°；（2）不变，当OC旋转到∠AOB的外部时，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝60°，∴∠MOC＝∠AOC，∴∠NOC＝∠BOC，∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝∠BOC﹣∠AOC＝∠AOB＝×60°＝30°．∴∠MON的度数不会发生变化；（3）当OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射线OC在OB的下方时，∵OM平分∠AOC，∠NOC＝∠BOC，∴∠COM＝∠AOC，∠BON＝∠BOC，∴∠COM﹣∠BON＝∠AOC﹣×∠BOC＝∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB＝30°．6．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，∠MON 的一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，且∠MON＝90°．（1）如图1，求∠CON的度数；（2）将图1中的∠MON绕点O以每秒20°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，如图2，若直线ON恰好平分锐角∠AOC，求∠MON所运动的时间t值；（3）在（2）的条件下，当∠AOC与∠NOC互余时，求出∠BOC与∠MOC之间的数量关系．解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠MOC＝180°，∴∠AOC＝，∵∠MON＝90°，∴∠AON＝90°，∴∠CON＝∠AOC+∠AON＝90°+60°＝150°；（2）当直线ON平分∠AOC时，如图，ON'平分∠AOC，逆时针旋转60度至ON''时，直线ON平分所以t＝3，∵∠AOC＝60°，∴∠AON'＝30°，此时射线ON逆时针旋转60度，∴∠MON所运动的时间t＝60÷20＝3（s）；如图②，∵直线ON恰好平分锐角∠AOC，∴ON沿逆时针旋转的度数为90°+150°＝240°，∴∠MON所运动的时间t＝＝12（s）；综上，∠MON所运动的时间t值为3s或12s；（3）如图③所示：∵∠AOC+∠NOC＝90°，OM与OA重合∴∠BOC与∠MOC互补．如图②所示：当ON平分∠AOC时，∠AOC+∠NOC＝90°，∴∠NOC＝30°，∠MOC＝120°，∠BOC＝120°，∴∠BOC＝∠MOC．综上所述：∠BOC与∠MOC互补或相等．顶点放在点O处．（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，求∠MOC的度数；（2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数；（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数．解：（1）∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°，∴∠MOC＝∠MON﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；（2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分线，∴∠MOB＝2∠BOC＝130°，∴∠BON＝∠MOB﹣∠MON＝130°﹣90°＝40°，∠CON＝∠COB﹣∠BON＝65°﹣40°＝25°，即∠BON＝40°，∠CON＝25°；（3）∵∠NOC＝∠AOM，∴∠AOM＝4∠NOC．∵∠BOC＝65°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝180°﹣65＝115°，∵∠MON＝90°，∴∠AOM+∠NOC＝∠AOC﹣∠MON＝115°﹣90°＝25°，∴4∠NOC+∠NOC＝25°，∴∠NOC＝5°，∴∠NOB＝∠NOC+∠BOC＝70°．点放在O处，即∠DOE＝90°．（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，求∠COD的度数；（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，求∠COD的度数；（3）将直三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好∠COD＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．解：（1）由题意得∠BOD＝90°，∵∠BOC＝40°，∴∠COD＝90°﹣40°＝50°．（2）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOC＝70°，∵∠DOE＝90°，∴∠COD＝90°﹣70°＝20°，（3）①当∠COD在∠BOC的内部时，∵∠COD＝∠BOC﹣∠BOD，而∠BOC＝40°，∴∠COD＝40°﹣∠BOD，∵∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°，∠EOD＝90°，∴∠AOE＝90°﹣∠BOD，又∵∠COD＝∠AOE，∴40°﹣∠BOD＝（90°﹣∠BOD），∴∠BOD＝15°；②当∠COD在∠BOC的外部时，∵∠COD＝∠BOD﹣∠BOC，而∠BOC＝40°，∴∠COD＝∠BOD﹣40°，∵∠AOE+∠EOD﹣∠BOD＝180°，∠EOD＝90°，∴∠AOE＝90°﹣∠BOD，又∵∠COD＝∠AOE，∴∠BOD﹣40°＝（90°﹣∠BOD），∴∠BOD＝52.5°，综上所述：∠BOD的度数为15°或52.5°．9．已知∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；（2）如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；（3）在（2）的条件下，若∠AOB＝10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2度/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM＝∠DON．求t的值．解：（1）因为∠AOD＝160°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，所以∠MOB＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，即∠MON＝∠MOB+∠BON＝∠AOB∠BOD＝（∠AOB+∠BOD）＝∠AOD＝80°，答：∠MON的度数为80°；（2）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，所以∠MOC＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，当OC在OB左侧时，如图：∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC＝∠AOC∠BOD﹣∠BOC＝（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC＝（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC＝×180°﹣20°＝70°；如图，当射线OC在OB右侧时，∵∠COM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，∴∠MON＝∠MOC+∠BON+∠BOC＝∠AOC+∠BOD+∠BOC＝（∠AOC+∠BOD）+∠BOC＝（∠AOD﹣∠BOC）+∠BOC＝×140°+20°＝90°；答：∠MON的度数为70°或90°．（3）∵射线OB从OA逆时针以2°每秒的速度旋转t秒，∠COB＝20°，∴根据（2）中，得∠AOC＝∠AOB+∠COB＝2t°+10°+20°＝2t°+30°．∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM＝∠AOC＝t°+15°．∵∠BOD＝∠AOD﹣∠BOA，∠AOD＝160°，∴∠BOD＝150°﹣2t°．∵射线ON平分∠BOD，∴∠DON＝∠BOD＝75°﹣t°．又∵∠AOM：∠DON＝2：3，∴（t+15）：（75﹣t）＝2：3，解得t＝21．答：t的值为21秒．10．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝25°；（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数；（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数．解：（1）∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°，∴∠MOC＝∠MON﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°．故答案为：25°．（2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分线，∴∠MOB＝2∠BOC＝130°．∴∠BON＝∠MOB﹣∠MON＝130°﹣90°＝40°．∠CON＝∠COB﹣∠BON＝65°﹣40°＝25°．即∠BON＝40°，∠CON＝25°；（3）∵∠NOC＝∠AOM，∴∠AOM＝4∠NOC．∵∠BOC＝65°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝180°﹣65＝115°．∵∠MON＝90°，∴∠AOM+∠NOC＝∠AOC﹣∠MON＝115°﹣90°＝25°．∴4∠NOC+∠NOC＝25°．∴∠NOC＝5°．∴∠NOB＝∠NOC+∠BOC＝70°．11．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，求∠AOM ﹣∠NOC的度数．解：（1）直线ON平分∠AOC．理由如下：如图，设ON的反向延长线为OD，∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝∠MOB＝，又∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝90°﹣∠BOC＝30°，∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，∴∠COD＝∠AOC，∴OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC；（2）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．12．已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；（2）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜90）时，∠AOE﹣∠BOF 的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，请说明理由．（3）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180）时，满足∠AOD+∠EOF＝6∠COD，则n＝30或50或90．解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠EOB＝∠AOB＝×100°＝50°，∠COF＝∠COD＝×40°＝20°，∴∠EOF＝∠EOB+∠COF＝50°+20°＝70°；（2）∠AOE﹣∠BOF的值不是定值，理由是：当0＜n＜80时，如图2．∠AOE﹣∠BOF的值是定值，理由是：∠AOC＝∠AOB+n°，∠BOD＝∠COD+n°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE＝∠AOC＝（100°+n°），∠BOF＝∠BOD＝（40°+n°），∴∠AOE﹣∠BOF＝（100°+n°）﹣（40°+n°）＝30°；当n＝80时，∠AOC＝180°，∠AOE﹣∠BOF＝（100°+80°）﹣（40°+80°）＝30°；当80＜n＜90时，如图3．∠AOE＝（360°﹣100°﹣α）＝130°﹣n°，∠BOF＝（40°+n°），则∠AOE﹣∠BOF＝110°﹣n°，不是定值；（3）当0＜n＜40时，C和D在OA的右侧，∠AOD＝∠AOB+∠COD+n°＝100°+40°+n°＝140°+n°，∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠EOC+∠COD﹣∠DOF＝（100°+n°）+40°﹣（40°+n°）＝70°，∵∠AOD+∠EOF＝6∠COD，∴（140+n）+70°＝6×40，∴n＝30．当40≤n＜80时，如图2所示，D在OA的左侧，C在OA的右侧．当∠AOD＝∠AOB+∠COD+n°＞180°时，∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD＝220°﹣n°，∠EOF＝70°，∵∠AOD+∠EOF＝6∠COD，∴220°﹣n°+70°＝6×40°，解得n＝50．当80＜n＜140时，如图3所示，∠AOD＝360°﹣100°﹣40°﹣n°＝220°﹣n°，∠EOF＝360°﹣（130°﹣n）﹣（40°+n）﹣100°＝110°，则（220﹣n）+110°＝240°，解得n＝90°；当140≤n＜180时，∠AOD＝220°﹣n°，∠EOF＝70°，则220﹣n+70＝240，解得n＝50（舍去）．故答案是：30或50或90．13．新定义问题如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【阅读理解】（1）角的平分线是这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）【初步应用】（2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为15°或22.5°或30°；【解决问题】（3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值．解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；故答案为：是；（2）①设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x，由题意得，x+2x＝45°，解得x＝15°，②设∠AOC＝x，则∠BOC＝x，由题意得，x+x＝45°，解得x＝22.5°，③设∠AOC＝x，则∠BOC＝x，由题意得，x+x＝45°，解得x＝30°，故答案为：15°或22.5°或30°；（3）当0＜t≤4时，∠MON＝60+5t，∠AON＝60﹣15t，若射线OA是∠MON的幸运线，则∠AON＝，即60﹣15t＝（60+5t），解得t＝；∠AON＝∠MON，即60﹣15t＝（60+5t），解得t＝；∠AON＝∠MON，即60﹣15t＝（60+5t），解得t＝；当4＜t＜9时，∠MOA＝20t，∠AON＝15t﹣60，若射线ON是∠AOM的幸运线，则∠AON＝∠MOA即15t﹣60＝×20t，解得t＝12（舍）；∠AON＝∠MOA，即15t﹣60＝×20t，解得t＝；∠AON＝∠MOA，即15t﹣60＝×20t，解得t＝36（舍）；故t的值是或或或．14．已知∠AOB＝130°，∠COD＝80°，OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线．（1）如图1，如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的内部，求∠MON的度数；（2）如图2，固定∠AOB，将图1中的∠COD绕点O顺时针旋转n°（0＜n≤90）．①∠MON与旋转度数n°有怎样的数量关系？说明理由；②当n为多少时，∠MON为直角？（3）如果∠AOB的位置和大小不变，∠COD的边OD的位置不变，改变∠COD的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转m°（0＜m≤100），如图③，请直接写出∠MON 与旋转度数m°之间的数量关系：∠MON＝m°+25°．解：（1）如图1，∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，∴∠AOM＝∠AOB＝×130°＝65°，∵ON平分∠COD，∠COD＝80°，∴∠AON＝∠COD＝×80°＝40°，∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣40°＝25°；（2）如图2，①∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝65°+n°﹣40°＝n°+25°；②当∠MON＝90°时，n+25＝90，∴n＝65．（3）如图3中，当ON在∠AOB内部时∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣（40°﹣m°）＝m°+25°．当ON在∠AOB外部时时，∠MON＝∠AOM+∠AON＝65°+m°﹣40＝m°+25°．综上所述，∠MON＝m°+25°．故答案为：∠MON＝m°+25°．15．已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP＝∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠AOB的“好线”．（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数；（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”；（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，直接写出符合条件的所有的旋转时间5秒或7.5秒．．解：（1）∵射线OP是∠AOB的好线，且∠BOP＝30°，∴∠AOP＝∠BOP＝60°，①当OP在∠AOB内部时，∠AOB＝∠BOP+∠AOP＝90°，②当OP在∠AOB外部时，∠A0B＝∠AOP﹣∠BOP＝30°，∴∠AOB＝90°或30°；（2）∵OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，∴∠AOB＝∠BOP+∠AOP＝（∠MOP+∠NOP）＝90°，∠BOP＝∠BOM＝30°，∴∠AOP＝90°﹣30°＝60°，∴∠BOP＝∠AOP，∴OP是∠AOB的一条“好线”；（3）5秒或7.5秒．设运动时间为t，则∠MOP＝12t，∠BOA＝4t，①当OP在OB上方时，∠BOP＝80°﹣12t，∠AOP＝80°+4t﹣12t＝80°﹣8t，∴80﹣8t＝2（80﹣12t）解得：t＝5；②当OP在OB下方时，∠BOP＝12t﹣80°，∠AOP＝80°+4t﹣12t＝80°﹣8t，∴80﹣8t＝2（12t﹣80），解得：t＝7.5；综上所述：t的值为5秒或7.5秒．故答案为：5秒或7.5秒．16．如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，在直线AB上方有射线OM、ON分别从OA和OC开始绕点O顺时针旋转，旋转过程中始终保持∠AOM＝2∠CON，OQ平分∠AON．（1）如图1，证明：ON平分∠MOB；（2）如图2，在旋转过程中，当∠CON＝2∠MOQ时，求∠CON的度数；（3）如图3，在旋转过程中，∠AOM是锐角，射线OD在∠MON内部，∠MOD＝30°，OP平分∠MON，∠MOQ：∠POD＝m，∠NOB：∠QOC＝n，在AB下方有射线OT，∠AOT＝90°﹣（m+n）°，∠BOT+∠MOQ＝110°，求∠AOM的度数解：（1）设∠CON＝α，∠AOM＝2∠CON＝2α，∴∠AON＝∠AOC+∠CON＝90°+α，∵∠AOB＝180°，∴∠NOB＝∠AOB﹣∠AON＝180°﹣（90°+α）＝90°﹣α，∠MOB＝∠AOB﹣∠AOM＝180°﹣2α＝2（90°﹣α），∴∠MOB＝2∠NOB，∴ON平分∠MOB；（2）若射线OM在∠AOQ内时，∵OQ平分∠AON，∴∠AOQ＝∠AON＝（90°+α）＝45°+α，∴∠MOQ＝∠AOQ﹣∠AOM＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，∵∠CON＝2∠MOQ，∴α＝2（45°﹣α），∴α＝22.5°，即∠CON＝22.5°，若射线OM在∠BOQ内时，∴∠MOQ＝∠AOM﹣∠AOQ＝2α﹣（45°+α）＝α﹣45°，∵∠CON＝2∠MOQ，∴α＝2（α﹣45°），∴α＝45°，即∠CON＝45°，故∠CON的度数为22.5°或45°；（3）由（1）（2）知∠AON＝90°+α；∠AOQ＝45°+α，∠MOQ＝45°﹣α；∠NOB＝90°﹣α＝2（45°﹣α），∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝90°+α﹣2α＝90°﹣α，∵OP平分∠MON，∴∠MOP＝∠MON＝（90°﹣α）＝45°﹣α，情况1：射线OM在∠AOQ内，∠POD＝∠MOP﹣∠MOD＝45°﹣α﹣30°＝15°﹣α，∠QOC＝∠AOC﹣∠AOQ＝90°﹣（45°+α）＝45°﹣α，∴m＝∠MOQ：∠POD＝（45°﹣α）：（15°﹣α）＝3（15°﹣α）：（15°﹣α）＝3，n＝∠NOB：∠QOC＝（90°﹣α）：（45°﹣α）＝2（45°﹣α）：（45°﹣α）＝2，∴∠AOT＝90°﹣（m+n）°＝90°﹣（3+2）°＝85°，∴∠BOT＝∠AOB﹣∠AOT＝180°﹣85°＝95°，∵∠BOT+∠MOQ＝110°，∴∠MOQ＝110°﹣95°＝15°，∴45°﹣α＝15°，解得∠α＝20°∠AOM＝2α＝40°，情况2：射线OM在∠BOQ内，∠POD＝∠MOD﹣∠MOP＝30°﹣（45°﹣α）＝α﹣15°，∠MOQ＝∠AOM﹣∠AOQ＝2α﹣（45°+α）＝α﹣45°＝3（α﹣15°），∴m＝∠MOQ：∠POD＝（α﹣45°）：（α﹣15°）＝3（α﹣15°）：（α﹣15°）＝3，由情况1可知：n＝∠NOB：∠QOC＝（90°﹣α）：（45°﹣α）＝2，∴∠AOT＝90°﹣（m+n）°＝90°﹣（3+2）°＝85°，∠BOT＝95°，∠MOQ＝15°，∴α﹣45°＝15°，解得∠α＝40°，∴∠AOM＝2α＝80°．故∠AOM的度数为40°或80°．17．如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝40°°；（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC 与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．解：（1）∵OM为∠AOB的角平分线、∠AOB＝40°，∴∠MOB＝20°．∵∠MON＝70°，∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝50°．∵ON为∠BOD的角平分线，∴∠BON＝∠DON＝50°．∴∠CON＝∠COD﹣∠DON＝10°∴∠BOC＝∠DON﹣∠CON＝40°．故答案为：40°．（2）如图①：①逆时针旋转时：当C′在B上方时，根据题意可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝∠BOD﹣4t＝100°﹣4t．∠BON′＝∠BOD′＝＝50°﹣2t，∵OC′平分∠BON′，∴∠BOC′＝，即40°﹣4t＝（50°﹣2t），解得：t＝5（s）．当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．顺时针旋转时：如图②，同理当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．当C′在B上方时，即OC′与OB重合，由题意可求OC′与OB重合用的时间＝∠AOC÷4+∠AOB÷6＝（∠AOB+∠BOC）÷4+∠AOB÷6＝（s）．∴OC′与OB重合之后，∠BOC′＝6（t﹣）（s）．∴∠BOD′＝∠BOC′+60°＝6（t﹣）+60°＝6t﹣100°．∴∠BON′＝＝（6t﹣100°）＝3t﹣50°，∵OC′平分∠BON′，∴∠BOC′＝，∴6（t﹣）＝（3t﹣50°），解得：t＝30（s）综上所述t的值为5或30．②逆时针旋转时：如图3中，当射线OP在射线OB的上方时，∵∠POB＝（140°﹣4t）﹣40°＝30°﹣2t，∠BON′＝（100°﹣4t）＝50°﹣2t，∴∠PON′＝∠BON′﹣∠POB＝20°∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|∠BOM+∠PON′|＝40°，当OP与OB重合时，（140°﹣4t）﹣40°＝0，解得t＝15．∴0≤t≤15时，|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，是40°．当射线OP返回时与OB重合时．时间t＝20+＝，当运动到射线OD与OA共线时，60°+6（t﹣20）＝180°时，解得t＝40，观察图象可知，≤t≤40时，|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，是40°．当射线OD运动到与射线OB共线时，20°+6（t﹣20）＝180°，解得t＝，当≤t≤50时，如图4中，同法可得，∠PON′＝20°，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|∠BOM+∠PON′|＝40°，综上所述，满足条件的t的值为：0≤t≤15或≤t≤40或≤t≤50．18．如图1，摆放一个三角形纸板ODE，边OD在正东方向的射线上，点A，B分别在正西，正东方向上，∠COF＝30°，现将三角形纸板ODE从图1位置开始绕点O以每秒5度的速度逆时针方向匀速旋转，设旋转的时间为t秒，在旋转一周的过程中．（1）当t＝5时，求∠AOD的度数，并写出点D的方向角；（2）如图2，当三角形纸板ODE旋转至△OD1E1时，边OE1恰好落在射线OF上，且OF平分∠AOD1，OD1平分∠BOC，求t的值，并写出点F的方向角；（3）当旋转至△OD2E2时，OE2所在直线平分∠AOC，求t的值．解：（1）因为三角形纸板ODE绕点O旋转的速度为每秒5度，所以当t＝5时，∠BOD＝25°，此时，点D在北偏东65°方向上，又∠AOD+∠BOD＝180°，所以∠AOD＝180°﹣∠BOD，即∠AOD＝180°﹣25°＝155°．（2）如图2中，设∠BOD1＝x°．因为OD1平分∠BOC，所以∠BOC＝2x°，∠COD1＝x°，因为∠COF＝30°，所以∠D1OF＝∠COD1+∠COF＝x°+30°＝（x+30）°，又OF平分∠AOD1，即∠AOF＝∠D1OF，因为∠AOF+∠D1OF+∠BOD1＝180°，即2∠D1OF+∠BOD1＝180°，所以2（x+30）°+x°＝180°，化解得3x°＝120°，解得x＝40，所以三角形纸板ODE运动的时间（秒），所以∠AOF＝∠D1OF＝40°+30°＝70°，由90°﹣70°＝20°，得点F的方向角为北偏西20°．（3）如图3中，由（2）得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2x°＝180°﹣2×40°＝100°，且∠D1OF＝∠DOE＝70°，又∠COE＝∠BOC﹣∠DOE＝80°﹣70°＝10°，当OE2线段平分∠AOC时，OE旋转的角大小为，所以三角形纸板ODE旋转的时间为（秒），当线段OE2的反向延长线平分∠AOC时，OE旋转的角大小为60°+180°＝240°，所以三角形纸板ODE旋转的时间为（秒）．综上，当OE所在直线平分∠AOC时，t＝12秒或48秒．19．如图为两个特殊三角板AOB和三角板COD，∠A＝45°，∠D＝60°，O为直角顶点，两直角顶点重合，A，O，D在同一直线上，OB，OC重合，OM平分∠COD，ON平分∠AOB．（1）∠MON＝90度；（2）若三角板AOB与三角板COD位置如图（2）所示，满足∠BOC＝20°，求∠MON 的度数；（3）在图（1）的情形下，三角板AOB固定不动，若三角板COD绕着O点旋转（旋转角度小于45°），∠BOC＝α，求∠MON的度数（用含α的式子表示）．解：（1）∵OM平分∠COD，ON平分∠AOB，∴∠MOC＝∠COD，∠NOB＝∠AOB，∵∠MON＝∠MOC+∠NOB，∴∠MON＝∠AOD，∵A，O，D在同一直线上，∴∠AOD＝180°，∴∠MON＝90°，故答案为90；（2）由题意可知∠AOB＝∠COD＝90°，∵OM平分∠COD，ON平分∠AOB，∴∠MOC＝∠COD＝45°，∠NOB＝∠AOB＝45°，∵∠MON＝∠MOC+∠NOB﹣∠BOC，∠BOC＝20°，∴∠MON＝45°+45°﹣20°＝70°；（3）①当两三角板由重叠时，由题意可知∠AOB＝∠COD＝90°，∵OM平分∠COD，ON平分∠AOB，∴∠MOC＝∠COD＝45°，∠NOB＝∠AOB＝45°，∵∠MON＝∠MOC+∠NOB﹣∠BOC，∠BOC＝α，∴∠MON＝45°+45°﹣α＝90°﹣α；②当两三角板无重叠时，由题意可知∠AOB＝∠COD＝90°，∵OM平分∠COD，ON平分∠AOB，∴∠MOC＝∠COD＝45°，∠NOB＝∠AOB＝45°，∵∠MON＝∠MOC+∠NOB+∠BOC，∠BOC＝α，∴∠MON＝45°+45°+α＝90°+α．20．已知长方形纸片ABCD，E、F分别是AD、AB上的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B 落在点G处．（1）如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝90°；（2）如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；（3）如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数（用含α，β的式子表示）．解：（1）∵EF平分∠AFH，IF平分∠BFG，∴∠EFH＝∠AFH，∠IFH＝∠BFH，∵∠EFI＝∠EFH+∠IFG＝（∠AFH+∠BFH）＝∠AFB＝90°，∴∠EFI＝∠AFB＝90°，故答案为：90．（2）令∠EFG＝x，∠HFI＝y，∵∠HFG＝30°∴∠EFA＝30°+x，∠BFI＝30°+y∴∠AFE+∠EFI+∠BFI＝（30°+x）+（x+30°+y）+（30°+y）＝180°，即2x+2y＝90°，∴x+y＝45°，∴∠EFI＝x+y+30＝75°，∴∠EFI＝75°．（3）由题意得∠AFE＝∠EFH＝β，∠BFI＝∠GFI＝α，∴∠GFH＝2α+2β﹣180°，∴∠GFP＝∠HFP＝α+β﹣90°，又∵，∴∠PFQ＝|∠GFI﹣∠GFP﹣∠QFI|，∴∠PFQ＝|α﹣（α+β﹣90°）﹣|＝||，∴∠PFQ|＝||。

解决旋转问题的思路方法

解决旋转问题的思路方法1.把一个平面图形F绕平面内一点O按一定方向（顺时针或逆时针）旋转一定角度α得到图形F'的变换称为旋转变换，点O叫做旋转中心，角度α叫做旋转角.特别地，旋转角为180°的旋转变换就是中心对称变换.2.旋转变换的性质：对应图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应线段所在直线的夹角中有一个等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.中心对称的性质：连结对应点的线段都经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行且相等，对应角相等.3.旋转变换应用时常见的有下面三种情况：（1）旋转90°角.当题目条件中有正方形或等腰直角三角形时，常将图形绕直角顶点旋转90°.（2）旋转60°角.当题目条件中有等边三角形时，常将图形绕等边三角形一顶点旋转60°.（3）旋转度数等于等腰三角形顶角度数.当题目条件中有等腰三角形时，常将图形绕等腰三角形顶角的顶点旋转顶角的度数.例1.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.（1）当扇形绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1所示，求证：MN2=AM2+BN2.（2）当扇形CEF绕点C旋转至如图2所示的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.规律技巧：本题利用旋转变换，将结论中的分散线段通过等量代换集中到了一个三角形中，再证明该三角形为直角三角形，运用勾股定理证明.本题还体现了动态几何问题的一个共同特征：运动的图形与静止的图形的相对位置虽然发生了变化，但有些结论仍然保持不变，且证明方法也是一样的.这也正是动态几何问题的魅力所在.本题也可通过运用轴对称变换作辅助线，将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连结DN.再证△DCN≌△BCN.例2.如图所示，在梯形ABCD 中，BC>AD ，AD//BC ，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°.若AE=10，则CE 的长为 .思路分析：本题已知条件多，但比较分散，而且题设和结论间的关系也不是很明显，不易沟通，此时我们是否考虑用旋转变换来铺路架桥.规律技巧：本题中条件与结论间不能直接找到关系时，我们想到了用旋转法，但旋转法解题一般用在正方形、正三角形中较多.故本题先把直角梯形补成一个正方形，然后根据正方形中特殊三角形旋转的前后关系，使问题得到解决.本题如果通过在Rt △ADE 、Rt △CEB 和△BAE 中直接求出EC几乎是不可能的.例3.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分∠BAF 交边BC 于点E.（1）求证：AF=DF+BE.（2）设DF=x ()01x ≤≤，△ADF 与△ABE 的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S 的最大值；若不存在，请说明理由.思路分析：求证AF=DF+BE ，观察图形可知线段AF 、DF 、BE 不在同一个三角形内，所以考虑添加辅助线帮助解题，考虑到AF 、DF 在Rt △ADF 中，又AD 是正方形ABCD 的边长，所以试着延长CB 到点G ，使BG=DF ，又AB=AD ，进一步推理，可使问题获解.规律技巧：利用旋转构造等腰三角形是证明第（1）题的关键.通常在正方形中存在共顶角图形（或等腰三角形存在共顶点图形）时，往往利用旋转的思想；第（2）题是求S 的最大值，往往结合几何图形，实际上就是要求AF 的最大值，显然，当AF 为对角线时取得最大值.由此可见，恰当的数形结合，能简洁明了地解决问题.。

正方形旋转模型解题技巧

正方形旋转模型解题技巧1. 嘿，你知道吗？正方形旋转模型解题可有技巧啦！就像搭积木一样，找到关键的那块就能搞定。

比如说，当你看到一个正方形绕着一个点旋转时，那你得赶紧找到那些不变的边和角呀！这不是很简单嘛！2. 哇塞，正方形旋转模型，这里面的窍门可多了去了！好比你在走迷宫，找到了正确的路就一路通畅。

像有个题目里，正方形旋转后一些线段的关系，你只要抓住那些隐藏的线索，不就迎刃而解啦！3. 嘿呀，对于正方形旋转模型解题技巧，那可太重要啦！就如同开锁一样，找到了合适的钥匙就能打开难题的大门。

比如说在某个问题中，通过观察旋转前后的图形特征，不就能找到答案了嘛！4. 哎呀，正方形旋转模型的解题，你可别小瞧！这就像一场刺激的探险，要勇敢去发现。

比如遇到正方形旋转后求面积的问题，只要巧妙运用那些不变量，问题不就解决了！5. 哇哦，正方形旋转模型解题技巧，这可是宝贝呀！就好像拥有了魔法棒，能轻松应对难题。

像那种旋转后求角度的题目，找到关键角度的变化，不就小菜一碟啦！6. 嘿，正方形旋转模型的技巧，那可是相当厉害的哟！如同找到了宝藏图的关键线索。

比如有个例子中，根据正方形旋转后的位置关系，很容易就能推出某些结论呢！7. 哟呵，正方形旋转模型解题，这里头有大学问呢！好比在迷雾中找到灯塔。

像遇到旋转后证明线段相等的问题，通过巧妙分析，不就水落石出啦！8. 哇，正方形旋转模型的解题技巧，绝对让你惊叹！就像拥有了超能力一样。

比如在一个复杂的图形中，看到正方形旋转，马上就能找到解题的突破口呀！9. 嘿，别小看正方形旋转模型的解题哦！这就像玩游戏打怪兽，掌握技巧就能轻松过关。

像有的题目中，利用旋转的特性，轻松就能得出答案呢！10. 哎呀呀，正方形旋转模型解题技巧，那可是至关重要呀！如同战场上的兵法。

比如说面对一个棘手的正方形旋转问题，运用这些技巧，不就能顺利攻克啦！我的观点结论：掌握正方形旋转模型的解题技巧真的很重要，能让我们在解题时更加得心应手，快速找到答案。

妙用旋转巧解题

妙用旋转巧解题旋转只改变图形的位置,而不改变图形的大小和形状,通过这样的变换可以将题目中的条件相对集中,从而使条件与待求结论之间的关系明朗化,有利于问题的解决。

旋转一般用于等腰三角形、正三角形、正方形和正多边形的图形中,选好旋转中心和旋转角是关键。

现举例说明妙用旋转来巧解问题。

例1 如图(1)所示,p为正三角形abc内的一点,∠apb=109°,∠apc=137°,试说明以ap、bp、cp为边是否能构成一个三角形?若能请说明理由,并求出所构成三角形各个内角的度数。

图(1)分析:以点b为中心将△apb围绕点b顺时针旋转60°,那么问题就可以迎刃而解。

解:以点b为中心将△apb围绕点b顺时针旋转60°,得到如图(1)所示的图形,p点的对应点是d点,a点的对应点是c点,并连接pd,所以ap=cd,bp=bd,∠pbd=60°∴△bpd是等边三角形∴dp=bp∴△cpd是以cd(=ap)、dp(=bp)、cp为三边构成的三角形.即以ap、bp、cp为边能构成一个三角形.∵△bpd是等边三角形∴∠bdp=∠bpd=60°∵∠bdc=∠apb=109°∴∠pdc=∠bdc-∠bdp=109°-60°=49°又∵∠bpc=360°-∠apb-∠apc=360°-109°-137°=114°∴∠cpd=∠bpc-∠bpd=114°-60°=54°∴∠pcd=180°-∠cpd-∠pdc=180°-54°-49°=77°评析:本题是利用旋转构造一个以三边为长度的三角形,而不是利用三边的关系来说明三角形的构成的常用方法。

例2 如图(2)所示,p为正方形内任一点,若pa:pb:pc=1:2:3,求∠apb的度数.图(2)分析:将△abp绕点b顺时针旋转90°得△cbe,连接pe,把已知条件集中到△pce中,促使问题方便解决。

初中数学旋转问题解题技巧

初中数学旋转问题解题技巧
1. 嘿，你知道吗？遇到旋转问题别慌张！比如像钟表指针的转动，那就是旋转呀！咱就拿这个例子说，看到旋转角，那就是关键线索啊，可别小瞧它！
2. 同学们，旋转问题里找对应边对应角很重要哦！就好像拼图似的，得把它们都对上才行。

比如说一个三角形旋转后，那对应的边和角不就得赶紧找到呀！
3. 哎呀呀，旋转图形里的中心对称点可得看准了！你想想看，就像游乐场的摩天轮中心一样重要呢！比如给定一个图形绕着某个点旋转，那这个点不就是核心嘛！
4. 嘿，注意旋转方向呀！顺时针还是逆时针可不能搞错啊，这就好比走路，方向错了可就到不了目的地啦。

就像那个风车旋转，得清楚是怎么转的呀！
5. 别忘了利用旋转前后图形全等这个特性哦！这多有用呀！好比原来的你和现在的你，本质上还是同一个人呀！比如知道了一个图形旋转前的情况，那旋转后的很多性质就可以利用全等知道啦！
6. 哇塞，在做旋转问题时可以动手画一画呀！亲手画的过程就像给自己搭房子，一砖一瓦都清楚。

像一个四边形旋转，动手画画不就更直观了嘛！
7. 你们有没有发现呀，有些旋转问题和生活中的现象超像的！就像风扇的转动一样。

比如说判断图形经过旋转后的样子，是不是和风扇转了一圈很类似呀！
8. 哈哈，遇到复杂的旋转问题别头疼，一步步来呀！就像爬山，一步一步总能到山顶。

比如那个多次旋转的问题，不要怕，慢慢分析总会搞清楚的！
9. 反正呀，初中数学的旋转问题没那么难，只要用心去琢磨，就像研究自己喜欢的东西一样，总能找到方法解决的！
我的观点结论：只要掌握好方法和技巧，初中数学旋转问题就能轻松搞定！。

八上旋转题方法

八上旋转题方法
解决八年级的旋转问题，需要明确旋转的三要素：旋转中心（绕着哪个点）、旋转方向（顺时针、逆时针）、旋转角度。

此外，还需要始终把握旋转的性质：
1. 对应点到旋转中心的距离相等；
2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
3. 旋转前、后的图形全等（旋转前后两图形的对应线段、对应角分别相等）。

旋转问题可归结为点的旋转、线段的旋转和图形（一般为三角形）的旋转。

在旋转问题中，往往将陌生问题转化为我们熟知的三角形问题去解决，即要去寻找或构造等边三角形、等腰直角三角形、等腰三角形等，将题目由繁化简。

解决旋转问题的基本步骤如下：
1. 确定图形定义的方向；
2. 计算旋转的角度；
3. 构造旋转图形的方法；
4. 通过旋转图形计算相关的变量。

请注意，这只是一般的解题思路，具体的解题方法会根据题目不同而有所变化。

在解题过程中，还需要灵活运用几何知识，如平行线、全等三角形等，来辅助解题。

高中数学旋转解题技巧

高中数学旋转解题技巧在高中数学中，旋转是一个常见的解题技巧，它可以帮助我们简化问题，找到更直观的解题方法。

本文将介绍几种常见的旋转解题技巧，并通过具体的题目进行说明，帮助读者更好地掌握这些技巧。

一、旋转解题的基本原理旋转解题是将原问题通过旋转变换转化为一个更简单的问题，从而利用几何性质进行求解。

在旋转解题中，我们通常会用到以下几个基本原理：1. 旋转不改变长度和角度：旋转只改变了原图形的位置和方向，但不改变图形的长度和角度关系。

因此，在旋转解题中，我们可以利用旋转后的图形与原图形的对应关系来求解问题。

2. 旋转对称性：旋转对称性是指图形在某个旋转变换下保持不变。

利用旋转对称性，我们可以将原问题转化为一个与之等价的旋转对称问题，从而简化求解过程。

3. 旋转变换的性质：旋转变换具有保角性和保持直线平行性的性质。

利用这些性质，我们可以推导出旋转后的图形与原图形的一些几何关系，进而解决问题。

二、旋转解题的实际应用下面我们通过几个具体的题目来说明旋转解题的应用方法和技巧。

题目一：已知一个平面图形，将其逆时针旋转90度，再将旋转后的图形绕原点顺时针旋转60度，得到的图形与原图形重合。

求原图形的类型。

解析：根据题目描述，我们可以得知旋转后的图形与原图形重合，说明它们是同一个图形。

根据旋转变换的性质，逆时针旋转90度相当于顺时针旋转270度，再绕原点顺时针旋转60度相当于逆时针旋转300度。

因此，旋转后的图形相当于逆时针旋转270度再逆时针旋转300度，即逆时针旋转570度。

根据旋转对称性，逆时针旋转570度等于顺时针旋转360度加上逆时针旋转210度。

所以，原图形的类型是正五边形。

题目二：已知一个圆的半径为r，以圆心为中心，将圆逆时针旋转60度，得到的图形与原图形重合。

求r的值。

解析：根据题目描述，旋转后的图形与原图形重合，说明它们是同一个图形。

根据旋转变换的性质，逆时针旋转60度相当于顺时针旋转300度。

因此，旋转后的图形相当于逆时针旋转300度。

五年级数学旋转问题

五年级数学旋转问题
旋转问题在五年级数学中是一个重要的概念，涉及到图形的变换和空间思维。

以下是一些常见的旋转问题：
1. 基本概念：首先，学生需要理解什么是旋转。

旋转是图形围绕一个点（称为旋转中心）转动一定的角度。

2. 旋转的性质：学生应了解旋转的基本性质，如旋转不改变图形的形状和大小，只是改变了它的位置。

3. 旋转角度：问题可能涉及图形旋转特定的角度（如90度、180度等）或按照特定的规律（如每次逆时针旋转45度）进行旋转。

4. 旋转作图：要求学生根据指令或描述，画出图形旋转后的位置。

5. 旋转与对称：学生应了解旋转与对称的区别。

虽然两者都涉及到图形的变换，但对称是关于一条直线（或点）的变换，而旋转是围绕一个点进行的。

6. 应用问题：可能涉及现实生活中的问题，如齿轮的转动、钟表的指针运动等，这些都可以用旋转的概念来解释。

7. 解决策略：解决旋转问题时，通常需要使用几何知识和空间思维能力。

学生可以通过画图、想象或实际操作（如使用几何模型）来帮助理解。

例如，一个常见的旋转问题是关于时钟的。

时钟的时针或分针在某个时刻开始转动，然后问学生转动后的指针位置。

解决这个问题需要理解时钟的刻度和指针的转动规律。

为了更好地理解旋转问题，学生可以进行一些实践活动，如制作简单的几何模型、使用教具或软件进行模拟等，这样可以帮助他们更直观地理解这些概念。

初中数学旋转最值解题技巧

初中数学旋转最值解题技巧
一、旋转最值解题技巧概述在初中数学中，旋转最值是一个比较常
见的问题。

它涉及到了几何图形的变换和求解极值等知识点。

对于这
类问题，我们需要掌握一些解题技巧。

二、旋转最值解题技巧详细介
绍1. 理清思路：首先要理清思路，明确所求的是什么，并且确定使用
哪种方法来求解。

2. 画图分析：通过画图可以更加直观地看出几何图
形的特征和性质，从而有助于我们找到规律和推导结论。

3. 利用对称
性质：利用几何图形的对称性质进行计算可以简化运算过程并提高效率。

4. 使用三角函数公式：在某些情况下，可以使用三角函数公式来
计算旋转后坐标点的位置以及距离等相关参数。

5. 求导法求极值：如
果需要求取某个量在旋转后取得最大或者最小值时，可以采用求导法
来进行计算。

具体步骤为将原方程表示成关于一个变量（如x）的函数，在该区间内寻找其单调递增或递减区间，并判断端点处是否存在极值
即可。

6. 规范化处理数据：有时候为了便于计算和比较大小等操作，
需要将数据规范化处理成相同单位或者相同数量级之后再进行运算。

7. 注意精度误差：由于浮点数精度限制等因素可能会引起误差累积，在
实际应用中要注意避免这种情况发生，并尽可能保证结果正确性与稳
定性。

三、总结以上就是初中数学旋转最值解题技巧的详细介绍。

通
过掌握这些技能，在实际应用中能够更加熟练地处理各种复杂问题，
并获得更好的成果。

旋转变换解题的高效技巧与策略

旋转变换解题的高效技巧与策略在解决数学或几何问题时，旋转变换是一种常用且有效的技巧。

通过旋转图形或坐标系，我们可以简化问题，找到更加高效的解决方案。

本文将介绍使用旋转变换解题的一些技巧与策略，并通过一些实例来加深理解。

首先，让我们来了解旋转变换的基本原理。

旋转变换是将图形或坐标系绕某个中心点旋转一定角度的操作。

它可以改变图形的朝向、位置和形状，使问题更易于理解和解决。

一、利用旋转变换简化图形问题当我们面对一个复杂的图形问题时，可以尝试通过旋转变换将其简化。

以下是一个实例：问题：一个正方形ABCD，边长为2，要证明两条对角线相等。

解决方案：我们可以通过旋转变换将问题简化。

将正方形绕其中心点O逆时针旋转90度，得到正方形A'B'C'D'。

由于旋转不改变长度和角度，故正方形A'B'C'D'的边长也为2，且AB'与AD'相交于点E。

接下来，我们可以通过证明三角形ABE与三角形ADE全等来得到结论。

因为旋转变换不改变形状，所以两个相等的角旋转后仍然相等。

因此，我们可以得出结论：正方形ABCD的两条对角线相等。

通过利用旋转变换简化问题，我们可以更清晰地理解并解决问题。

二、利用旋转变换求解几何问题旋转变换还可以用于解决一些几何问题。

以下是一个实例：问题：一个等边三角形ABC，要证明角度BAC的大小。

解决方案：我们可以通过旋转变换求解。

将等边三角形ABC绕顶点A逆时针旋转60度，得到等边三角形ABA'。

由于旋转不改变角度大小，我们可以得知角BAA'的大小为60度。

又因为等边三角形ABA'的三条边长度相等，所以角BAA'、角BAC和角CAC'也相等。

通过旋转变换，我们可以得出结论：角BAC的大小为60度。

三、旋转变换在坐标系中的应用除了图形问题和几何问题，旋转变换还可以在坐标系中得到应用。

以下是一个实例：问题：平面上有一条线段AB，坐标分别为A(2, 4)和B(6, 8)，要求将线段绕原点顺时针旋转45度后的坐标。

中考旋转问题解题技巧

中考旋转问题解题技巧
1. 哎呀呀，你知道吗，中考旋转问题里有个超重要的技巧就是找关键点呀！就像拼图一样，找到了关键点就能把整个图形拼凑起来啦！比如在这个图形里，找到那个关键的顶点，然后围绕它进行分析，疑惑是不是一下就解开啦？
2. 嘿，告诉你哦，旋转问题中要特别注意图形的对称性！这就好比是一把钥匙，能打开解题的大门呀！像这个图形，一旦发现了它的对称性，哇塞，解题思路不就一下子出来了嘛！
3. 哇哦，可别小看了观察已知条件这个步骤呀！它就像指明灯一样重要呢！比如这里给了这些条件，那我们就得像侦探一样，仔细分析，从中找到线索呀，你说是不是很有趣呢？
4. 哟呵，在解决旋转问题时，我们要大胆去尝试想象图形运动的过程呀！这就好像让图形在我们脑海里跳舞一样！像碰到这种情况，想象一下图形旋转之后的样子，好多问题就迎刃而解啦！
5. 哈哈，千万别忘了利用相似三角形这个好帮手呀！它可是解决旋转问题的得力干将！就好比是给我们配备了一件强大的武器！比如在这个例子里，通过相似三角形，一下子就能突破难关啦！
6. 哎呀呀，最后一点也很关键哦，那就是要多练习！只有不断练习，才能在考场上应对自如呀！就像运动员训练一样，练得多了自然就厉害啦！比如多做一些这样的题目，到时候就不会手忙脚乱啦！
我的观点结论就是：中考旋转问题并不可怕，只要掌握了这些技巧，多练习，遇到问题冷静分析，就一定能取得好成绩！。

旋转练习题技巧

旋转练习题技巧旋转练习题是数学中常见的类型之一，涉及到图形的旋转、对称性和对应关系。

通过掌握旋转练习题的解题技巧，可以提高数学解题的效率和准确性。

本文将介绍一些旋转练习题的技巧，帮助读者更好地理解和解决这类问题。

1. 理解旋转概念在解决旋转练习题之前，首先要理解旋转的概念。

旋转是指将一个图形绕某一固定点旋转一定角度后得到的新图形。

旋转通常涉及到角度的度数、旋转方向（顺时针或逆时针）以及旋转中心等要素。

了解这些概念对于解题至关重要。

2. 利用旋转对称性旋转练习题常常利用图形的旋转对称性来解答。

在解题过程中，应该观察图形是否具有旋转对称性。

如果有，可以通过寻找一些旋转对称的特征来简化问题。

例如，正方形在旋转90度、180度和270度之后仍然是自身，这种旋转对称性可以用来解决涉及到正方形的旋转练习题。

3. 观察图形的关系解决旋转练习题时，要观察图形之间的关系。

通过观察可以发现一些规律，从而简化问题。

例如，有些图形在旋转一定角度后与原图形相似，而有些则发生了形状的改变。

通过观察这些关系，可以找到解决问题的突破口。

4. 使用旋转变换公式旋转练习题可以通过旋转变换公式来解决。

旋转变换公式是描述图形绕旋转中心旋转一定角度后的坐标变换规律。

根据具体的题目要求，可以利用旋转变换公式计算出旋转后的坐标，并进而解决问题。

5. 注意图形的旋转方向在解决旋转练习题时，要注意图形的旋转方向。

旋转方向通常分为顺时针和逆时针两种，根据题目要求选择合适的旋转方向进行计算。

如果选择的旋转方向与题目要求不符，答案会有所偏差。

6. 利用旋转图形的对称性图形的旋转常常涉及到对称性。

利用图形的对称性可以简化问题。

例如，对于一个旋转图形，在旋转某一角度后，图形上的某些点的位置可能会通过旋转回到原来的位置。

这种情况下，可以通过利用图形的对称性来确定旋转后的位置。

总结：旋转练习题技巧是解决这类数学问题的关键。

通过理解旋转概念、利用旋转对称性、观察图形关系、使用旋转变换公式、注意旋转方向和利用图形的对称性，可以更好地解决旋转练习题，提高数学解题能力。

旋转问题的解题技巧

旋转问题的解题技巧
1. 哎呀呀，遇到旋转问题不要慌！你看那电风扇转得多快呀，就像我们解题的思路一样要迅速找到关键。

比如一个图形绕着一个点旋转，那就要紧紧抓住旋转中心这个关键呀！是不是一下子就清楚啦？
2. 嘿，你知道吗，旋转问题有个绝招来啦！想象一下时钟的指针转动，这就跟我们要解的旋转问题很像呀。

像那种给出旋转前后的图形，我们就得观察它们之间的变化规律呀，这招超好用的呀！
3. 哇哦，解决旋转问题还得学会找特点呢！就像每个玩具都有它独特的地方一样。

比如知道了旋转的角度和方向，解题不就容易多了嘛！你说是不是呀？
4. 哈哈，面对旋转问题就得大胆去尝试呀！好比划船，不尝试怎么知道能不能到对岸呢。

试试不同的方法，也许答案就冒出来啦，就像突然找到宝藏一样惊喜呀！
5. 诶呀，旋转问题里可藏着不少秘密呢！就像一个神秘的盒子等你去打开。

像是两个图形通过旋转重合，那我们就找找它们重合的关键点嘛，这样不就柳暗花明啦？
6. 哟呵，要善于利用对称性来解决旋转问题呀！好比照镜子，对称的两边是不是很好找呀。

碰到有对称关系的旋转，那答案准能快速找到啦！
7. 哇，旋转问题可不能死脑筋呀！要像脑筋急转弯一样灵活。

例如给定一个复杂的图形旋转，我们别害怕，一点点分析，总会找到解题思路的啦！
8. 嘿呀，总之记住这些解题技巧，旋转问题就难不倒你啦！不管遇到什么难题，都可以像勇士一样去战斗，把答案给攻克下来呀！
我的观点结论就是：掌握了这些技巧，再难的旋转问题都能迎刃而解！。

10解题技巧专题巧用旋转进行计算

10解题技巧专题巧用旋转进行计算在解题过程中，有时我们可以巧用旋转来进行计算，以简化问题、加快解题速度。

下面将介绍几种巧用旋转进行计算的技巧。

1.点的旋转：对于一个点(x,y)，我们可以将其逆时针旋转θ度得到新的点(x',y')，计算方法如下：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ这种技巧可以用来求解两点之间的距离、判断点的位置关系等问题。

2.向量的旋转：对于一个向量(x,y)，我们同样可以将其逆时针旋转θ度得到新的向量(x',y')，计算方法与点的旋转类似。

x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ这种技巧可以用来求解向量的和、点积、叉积等问题。

3. 复数的旋转：对于一个复数a + bi，我们可以将其旋转θ度得到新的复数c + di，计算方法同样类似。

c = (a + bi) * cosθd = (a + bi) * sinθ这种技巧可以用来求解复数的乘法、除法等问题。

4.矩阵的旋转：对于一个二维矩阵，我们可以将其逆时针旋转θ度得到新的矩阵，计算方法如下：对于一个点(x,y)在原矩阵中的位置(i,j)，新矩阵中该点的位置为：i' = j * sinθ + i * cosθj' = j * cosθ - i * sinθ这种技巧可以用来求解矩阵的转置、乘法、快速幂等问题。

在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的旋转方法。

例如，在计算几何中，通过旋转可以使问题简化为求解两点之间的距离或者判断一些点是否在条直线上，从而简化问题的求解过程。

在矩阵运算中，可以通过旋转将矩阵进行转置或者快速幂运算，提高运算效率。

巧用旋转进行计算可以节省时间、简化问题，但在应用时也需要注意旋转角度的选择和计算的正确性。

在实际解题过程中，可以通过举例或者推导来验证旋转计算的正确性，避免出现错误的结果。

旋转数学题解题方法技巧

旋转数学题解题方法技巧旋转数学题解题方法技巧一、旋转数学题的概念旋转数学是一类涉及空间几何图形的解题方法，旋转数学指的是利用图形来进行运算，在几何中，空间几何图形可以提供重要的知识，从而有助于解决数学问题，其中包括一些比较复杂的问题，比如多面体的旋转等。

二、旋转数学题的解题方法技巧1、明确旋转数学题的形式要根据旋转数学题的具体形式来确定解题思路，一般分为三类：（1）旋转图形的形状（比如圆形、正方形等），（2）旋转图形的大小，（3）旋转图形的角度。

2、确定解题步骤旋转数学题的问题可以分为几个部分：（1）确定图形定义的方向；（2）计算旋转的角度；（3）构造旋转图形的方法；（4）通过旋转图形计算相关的变量。

3、构造图形因为解答题目需要利用空间几何图形，而空间几何图形的构造也非常重要。

首先，需要仔细观察题目，根据题目中提供的图形信息，明确图形的各个点和线段的关系；其次，根据题目中给出的角度，用测量角度的工具来确定图形的具体方位。

4、确定旋转角度求解旋转数学题的时候，需要确定旋转角度，这一步非常重要，而且需要花费一定的时间。

如果知道图形的始末点，那么可以用直角三角形的关系式求出旋转角度，如果不知道图形的始末点，可以运用角平分线求出旋转角度。

5、计算变量解答旋转数学题的时候，除了确定旋转方向和角度外，还需要计算出与旋转相关的变量，例如图形的面积、夹角等等。

如果题目中出现复杂的几何图形，可以使用它们的公式来计算出任何一个变量。

6、解答问题有了图形的关系、旋转角度及其他变量的信息，就可以解答旋转数学题了，根据所要求的条件，将计算得到的变量结合起来，就可以解出题目要求的结果了。

高中数学图形的旋转解题技巧

高中数学图形的旋转解题技巧在高中数学中，图形的旋转是一个重要的考点，也是一种常见的解题方式。

通过对图形进行旋转，我们可以得到一些有用的信息，帮助我们解决问题。

本文将介绍一些常见的旋转解题技巧，并通过具体的题目进行说明，帮助高中学生和他们的家长更好地理解和应用这些技巧。

一、旋转对称性旋转对称性是指图形在某个旋转中心旋转一定角度后，能够重合于原来的图形。

利用旋转对称性，我们可以得到一些有用的性质，从而解决问题。

例如，考虑以下的题目：题目：已知正方形ABCD的边长为2，以点A为中心逆时针旋转90°，得到新的正方形A'B'C'D'，连接AA'、BB'、CC'、DD'。

求证：四边形AA'BB'CC'DD'是一个正方形。

解析：首先，我们可以通过旋转对称性得出AA'、BB'、CC'、DD'的长度均为2，因为旋转90°后，原来的正方形与新的正方形完全重合。

接下来，我们需要证明四边形AA'BB'CC'DD'的边长相等。

我们可以观察到，AA'与BB'的夹角为90°，而且长度相等，所以AA'与BB'是相等的直角边。

同理，BB'与CC'、CC'与DD'、DD'与AA'也是相等的直角边。

因此，四边形AA'BB'CC'DD'的四个角均为90°，且四边长度相等，所以它是一个正方形。

通过这个例子，我们可以看到，利用旋转对称性可以得到图形的对称性和边长的相等性，从而帮助我们解决问题。

二、旋转叠加旋转叠加是指将一个图形旋转一定角度后，再将旋转后的图形继续旋转。

通过旋转叠加，我们可以得到一些有用的信息，帮助我们解决问题。

例如，考虑以下的题目：题目：已知正方形ABCD的边长为2，以点A为中心逆时针旋转90°得到正方形A'B'C'D'，再以点A'为中心逆时针旋转90°得到正方形A''B''C''D''，连接AA''、BB''、CC''、DD''。

图形的旋转和翻转操作技巧

图形的旋转和翻转操作技巧一、图形的旋转1.旋转的概念：在平面内，将一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转。

2.旋转的性质：a.旋转不改变图形的形状和大小，只是改变图形的位置。

b.旋转前后的图形全等。

c.旋转中心即为图形的对称中心。

3.旋转的公式：若将一个图形绕着点O旋转θ度，得到的新图形为O’，则有：O’ = O + (O -> O’) * θ4.旋转的应用：a.在实际生活中，如风扇、汽车方向盘等的转动都是旋转的应用。

b.在计算机图形学中，旋转用于实现图形的变换和动画效果。

二、图形的翻转1.翻转的概念：在平面内，将一个图形沿着某一条直线翻转一定角度，使得翻转后的图形与原图形关于这条直线对称，这种图形变换叫做翻转。

2.翻转的类型：a.水平翻转：将图形沿着x轴翻转。

b.垂直翻转：将图形沿着y轴翻转。

c.对称翻转：将图形沿着任意直线翻转，使得翻转后的图形与原图形关于这条直线对称。

3.翻转的性质：a.翻转不改变图形的形状和大小，只是改变图形的位置。

b.翻转前后的图形全等。

c.翻转的中心线即为图形的对称轴。

4.翻转的应用：a.在实际生活中，如镜子、穿衣镜等的翻转都是翻转的应用。

b.在计算机图形学中，翻转用于实现图形的变换和动画效果。

三、操作技巧1.旋转操作技巧：a.确定旋转中心：通常选择图形的某个顶点或重心作为旋转中心。

b.确定旋转方向：顺时针或逆时针旋转。

c.确定旋转角度：根据实际需求确定旋转的角度。

d.画出旋转后的图形：以旋转中心为中心，按照旋转方向和角度，画出旋转后的图形。

2.翻转操作技巧：a.确定翻转中心线：通常选择图形的中心线作为翻转中心线。

b.确定翻转方向：沿中心线翻转，使得翻转后的图形与原图形关于中心线对称。

c.画出翻转后的图形：按照翻转方向，将原图形关于中心线翻转，得到翻转后的图形。

通过以上知识点的学习和操作技巧的掌握，学生可以更好地理解和运用图形的旋转和翻转，提高他们在几何学习和实际应用中的能力。

《图形的旋转》解题技巧

《图形的旋转》解题技巧一、快速计算【例1】如图1所示，AB 是长为4cm 的线段，且CD ⊥AB 于点O ，求出图中阴影部分的面积．【分析】观察图形的特点可知，本题可借助旋转的性质来求解．【解】将阴影3、4分别绕点O 旋转180°和90°至图中1、2所示的位置，这样将这些分散的阴影部分集中在一起构成一个半径为2cm 的圆的41，由此可得阴影部分的面积为πcm 2．【小结】旋转不改变图形的形状与大小，旋转前后的两个图形是全等的，紧紧抓住旋转前后图形之间的全等关系，是解决与旋转有关问题的关键．二、帮助说理【例2】如图2所示，E 是正方形ABCD 的边BC 上任意一点，F 是DC 延长线上一点，且∠BAE =∠F AE ，试猜想线段BE 、DF 、AF 之间的数量关系，并说明理由．【分析】线段BE 、DF 、AF 位置分散，因此应设法通过旋转使这三条线段相对集中其一起，再比较其大小．【解】因四边形ABCD 是正方形，故有AD =AB ，将△ABE 逆时针旋转90°到△ADG 处，此时由旋转的性质有BE =DG ，∠G =∠AEB ，又因∠BAE =∠GAD =∠F AE ，∠DAF =∠AHB ，由三角形外角定理可知，∠AEB =∠AHB +∠F AE =∠DAF +∠DAG =∠F AG ，则有∠F AG =∠G ，则△F AG 是等腰三角形，AF =FG ，于是有FG =FD +DG ，则BE 、DF 、AF 之间的数量关系是AF =DF +BE ．【小结】利用旋转变换来将某些条件集中到一起，能使问题化繁为简，化难为易，快速求解．三、巧妙设计【例3】在一个3m 4m 的矩形地块上，欲开辟出一部分作花坛，要使花坛的面积为矩形面积的一半，且使整个图案绕它的中心旋转180°后能与自身重合，请给出你的设计方案．【分析】对于这样一个问题，可以设计出多种图案．考虑到旋转后能重合，我们很容易设计出以下的几种方案（阴影部分做花坛），【解】如图3所示．【小结】旋转变换是设计优美图案法宝之一，也是几何图形变化的“华尔兹”．。

初一三角形旋转题解题技巧

初一三角形旋转题解题技巧
初一学习三角形旋转题时，需要掌握一些基本的技巧和方法，才能更好地解决问题。

以下是一些常用的技巧和方法：
1. 确定旋转中心和旋转角度：在解决三角形旋转问题时，首先需要确定旋转中心和旋转角度。

旋转中心通常是三角形的某个顶点或某个中心。

旋转角度通常是90度、180度或360度。

2. 利用对称性质：三角形的旋转可以形成简单的对称图形，因此可以利用三角形的对称性质来解决问题。

例如，如果三角形旋转180度后，能够重合或对称，则它们可能是等边三角形或等腰三角形。

3. 利用相似性质：三角形旋转后，仍然保持相似，因此可以利用相似性质来解决问题。

例如，如果一个三角形旋转180度后，与原来的三角形相似，则它们的角度相等，比例尺相等。

4. 利用角度计算：三角形旋转后，三角形的角度会发生变化，可以通过计算旋转后的角度来解决问题。

例如，如果一个三角形旋转180度后，原来的角度减去180度得到旋转后的角度。

5. 利用向量运算：向量是解决三角形旋转问题的有力工具。

可以通过向量运算来计算旋转后三角形的坐标和长度。

例如，如果一个三角
形绕原点逆时针旋转90度，可以通过向量运算得到旋转后的坐标。

正方形旋转模型解题技巧

正方形旋转模型解题技巧1. 引言你有没有玩过那种拼图游戏，拼图的每块都像魔方一样转来转去？没错，就是那种让你既想哭又想笑的游戏。

今天，我们来聊聊正方形旋转模型的解题技巧。

是不是觉得这话题有点儿高深？别急，咱们一块儿拆解，一步步来，肯定能让你明白得清清楚楚。

旋转问题其实没那么吓人，只要掌握了几招，基本上可以轻松搞定。

2. 基础知识2.1 正方形的旋转正方形旋转模型，顾名思义，就是把一个正方形转来转去。

大家都知道，正方形的每个角都是90度。

所以，每转一次，正方形就像是穿了四个“90度”舞步一样，舞姿优雅又精准。

比如说，如果你把正方形旋转90度，它的四个角会按顺序变换位置。

简单来说，第一步的角会跑到第二步的位置，第二步的角跑到第三步的位置，依此类推。

明白了吗？旋转90度，就是让每个角都“走”到下一个角的位置，当然，如果是180度、270度旋转，那就需要走两步或三步啦。

2.2 旋转的实际应用那么，正方形的旋转怎么用到实际问题中呢？假如你在解一个包含旋转的几何题，通常问题会告诉你，旋转的角度和方向，比如顺时针或逆时针。

记住，不管是顺时针还是逆时针，最终结果都是一样的，因为正方形是对称的。

也就是说，旋转90度和旋转270度，其实都是四分之一圈的旋转，只不过方向不同。

是不是觉得这些角度的转换像是在跳舞呢？旋转的基本规律很简单，但是当它跟其他形状组合起来，就会变得复杂一些了。

3. 解题技巧3.1 画图帮助理解画图是解决任何几何题的好帮手。

试着把正方形画出来，并且标记出旋转前后的位置。

这样你能更直观地看到每个角的位置变化。

这不仅能帮助你更清晰地理解旋转的过程，还能避免一些常见的错误。

想象一下，当你把正方形摆成一个“飞行员”的姿势，旋转时角落就像是“飞行员”在空中翱翔，位置变化也变得更容易把握。

3.2 多做练习题没错，多做练习题是提升旋转技能的关键。

你可以找一些经典的几何题目来练习，比如从不同角度旋转正方形的题目。