第5章_大数定律和中心极限定理
第五章 大数定律和中心极限定理
一、大数定律切比雪夫大数定律：设随机变量X1，X2，…，X n，…相互独立，且具有相同的数学期望且方差有界，那么对辛钦大数定律：设X1，X2，…，X n，…为独立同分布的随机变量序列，且数学期望E（X i）=μ存在，则对任意【例87·填空题】设X1，X2，…，X n，…相互独立，且都服从P（λ），那么依概率收敛到_____[答疑编号986305101：针对该题提问]答案：【例88·填空题】设X1，X2，…，X n，…相互独立，且都服从参数为0.5的指数分布，则。
[答疑编号986305102：针对该题提问]【例89·选择题】设随机变量列X1，X2，…，X n，…相互独立，则根据辛钦大数定律，当n充分大时依概率收敛于共同的数学期望，只要X1，X2，…，X n，…（）A.有相同的数学期望B.服从同一离散型分布C.服从同一泊松分布D.服从同一连续型分布[答疑编号986305103：针对该题提问]答案：C【例90·选择题】设随机变量，X1，X2，…，X n，…是独立同分布，且分布函数为则辛钦大数定律对此序列（）A.适用B.当常数a,b取适当的数值时适用C.不适用D.无法判别[答疑编号986305104：针对该题提问]答案C二、中心极限定理独立同分布的中心极限定理：设随机变量X1，X2，…，X n，…相互独立，服从同一分布，【例91·选择题】（05-4-4）设X1，X2，…，X n，…为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为λ（λ>0）的指数分布，记为标准正态分布函数，则（）[答疑编号986305105：针对该题提问]答案：C。
(完整版)大数定律和中心极限定理
第五章 大数定律和中心极限定理一、内容提要（一）切贝谢夫不等式 1. 切贝谢夫不等式的内容设随机变量X 具有有限的数学期望E （X ）和方差D （X ），则对任何正数ε，下列不等式成立。
(){}()(){}().1,22εεεεX D X E X P X D X E X P -≤-≤≥-2. 切贝谢夫不等式的意义（1）只要知道随机变量X 的数学期望和方差（不须知道分布律），利用切贝谢夫不等式，就能够对事件(){}ε≥-X E X 的概率做出估计，这是它的最大优点，今后在理论推导及实际应用中都常用到切贝谢夫不等式。
（2）不足之处为要计算(){}ε≥-X E X P 的值时，切贝谢夫不等式就无能为力，只有知道分布密度或分布函数才能解决。
另外，利用本不等式估值时精确性也不够。
（3）当X 的方差D (X )越小时，(){}ε≥-X E X P 的值也越小，表明X 与E (X )有较大“偏差”的可能性也较小，显示出D (X )确是刻画X 与E (X )偏差程度的一个量。
（二）依概率收敛如果对于任何ε＞0，事件{}ε a X n -的概率当n →∞时，趋于1，即{}1lim =-∞→ε a X P n n ，则称随机变量序列X 1,X 2,…,X n ,…当n →∞时依概率收敛于α。
（三）大数定律 1. 大数定律的内容（1）大数定律的一般提法若X 1,X 2,…,X n ,…是随机变量序列，如果存在一个常数序列α1,…,αn ,…，对任意ε＞0，恒有11lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑=∞→ε n i n i n a X n P ， 则称序列{X n }服从大数定律（或大数法则）。
（2）切贝谢夫大数定律设随机变量X 1,X 2,…,X n ,…相互独立，分别有数学期望E(X i )和方差D(X i )，且它们的方差有公共上界C ，即()().,,,2,1, n i C X D i =≤则对于任意的ε＞0，恒有()111lim 11=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑∑==∞→ε n i ni i i n X E n X n P 。
第五章大数定律及中心极限定理
k 1
其中 X1, X2 ,, Xn是相互独立的、服从同一
均值为μ，方差为σ2>0的独立同分布的随机变量
n
X1,X2,…,Xn之和 X k 的标准化变量，当n充分
大时，有
k 1
n
k 1
Xk
nm
～近似N(0,1)
ns
n
这样可以用(标准)正态分布来对 X k 作
k 1
理论分析或实际计算，不必求分布函数
19/41
§5.2 中心极限定理
将上式改写为
即对任意的正数ε，当n充分
lim P n
1 n
n k 1
Xk
m
1.
大时，不等式 立的概率很大
|
X
m | 成
3/41
证 由随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立，且具有 相同的数学期望和方差，有
E
1 n
n k 1
Xk
lim
n
P
1 n
(X1
X2
Xn)
p
1,
即
lim
n
P
nA n
p
1.
伯努利大数定理表明，事件发生的频率nA/n依概率收敛
于事件的概率p，以严格的数学形式表达了频率的稳定性和概
率的合理性
近似：当n很大时，事件发生的频率nA/n与概率有较大偏差的 可能性很小，因此由实际推断原理，由于小概率事件几乎不
辛钦定 理
X P m
第五章大数定律与中心极限定理
Note：1.X1+X2+…Xn~N(nu, na2)
2.和的期望等于期望之和；和的方方差等于方方差的和（独立立,同分布）
2.拉普拉斯中心心极限定理理
1.条件：服从二二项分布，结论
2.实际上是林林德伯格的中心心极限定理理的特殊情况
定义：Xn依概率收敛于a（概率上收敛，但概率推不不出事件）（类似于极限的定义）
2.切比比雪夫大大数定律律
1.条件：相ห้องสมุดไป่ตู้独立立，期望，方方差均存在，方方差有上界
2.结论：1／n（Xi）依概率收敛于1／n（EXi）（依概率收敛于期望）
3.特别的，若独立立，同分布，有EX，DX（存在）
Note：和的期望等于期望之和；和的方方差等于方方差的和（独立立）
第五章 大大数定律律与中心心极限定理理
一一 切比比雪夫不不等式 二二 大大数定律律 三 中心心极限定理理
一一 切比比雪夫不不等式（作估计）
1.公式形式（大大小小）
2.意义：EX很有用用，偏离的越多，概率越小小
3.有上限的，最多
4.“由切比比雪夫不不等式”才能用用
二二 大大数定律律
1.依概率收敛
3.辛辛钦大大数定律律
1.条件：独立立，同分布，期望存在等于u（3个）
2.结论：1／n（Xk）依概率收敛于u
4.伯努利利大大数定律律
1.条件：X为n重伯努利利发生生的次数，发生生概率为p
2.X／n依概率收敛于p
三 中心心极限大大数定律律
1.列列维——林林德伯格中心心极限定理理
1.条件：独立立，同分布，期望，方方差存在
第五章__大数定律与中心极限定理讲解
n
n
●伯努利大数定律说明了当重复独立试验次数 n 很大时，频率与其概率之差可为任意小， 即说明了其频率的稳定性。
从而在实际推断中，当试验次数较大时，可以 用事件发生的频率来近似代替概率。
若记
1, 第i次实验中事件A发生 Xi 0，第i次实验中事件A不发生
(i 1, 2
n)
n
P400 X 600 由切比谢夫不等式得
P400 500 X 500 600 500 P| X E(X ) | 100
1
D(X ) 100 2
1
250 100 2
0.975
(2)设需要做n次独立试验, 则X ～ B(n, 0.5), 求n使得
P
0.35
X n
0.65
0.95
P0.35
X n
0.65
P0.35
n
0.5
n
X
0.5 n
0.65n
0.5n
PX 0.5n 0.15n 0.95
成立,由切比谢夫不等式得
DX
0.25n
P X 0.5n 0.15n 1 (0.15n)2 1 (0.15n)2
D( Xi ) c(i 1, 2 ),则对任意 0,有
lim P(
n
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E( Xi )
)
1
证明: 由期望与方差的性质知
E(1
n
n i 1
Xi)
第5章__大数定律和中心极限定资料
解：设在n重贝努里试验中，事件A出现的次数为X，
则X Bn,0.75,E X np 0.75n, D X npq 0.1875n,
又A事件的频率为：fn
A
X n
(1) n 7500, P
0.74
X n
0.76
P X 0.75n
0.01n
1
0.1875n
0.01n 2
1 n2
n
DXk
k 1
1 n2
n 2
2
n
由契比雪夫不等式得：P
1 n
n k 1
Xk
1
2
2
n
lim
n
P
1 n
n
Xk
k 1
1
7
定理二 伯努利大数定理
设事件A在每次试验中发生的概率为p，记nA为n次独立重复试验
中A发生的次数, 则
0, 有：lim
P
n
nA n
p
1
证明： nA Bn, p
1,
则称随机变量序列Yn依概率收敛于常数a，
记为：Yn P a。
a a a
依概率收敛性质： 若 X n P a, Yn Pb, 且g(x, y)在(a,b)处 连续，则 g( X n ,Yn）P g(a,b)
6
定理一 契比雪夫定理的特殊情况：
设随机变量序列X1, X 2, , X n , 相互独立，且具有相同的
且存在数学期望，作前n个随机变量的算术平均： X
1 n
n k 1
Xk
则 0，有：
lim P
n
X
lim
n
P
1 n
n
Xk
k 1
第5章大数定律和中心极限定理资料
第5章 大数定律和中心极限定理本章教学基本要求1.了解切比雪夫不等式，会用该不等式估算某些事件的概率.2.了解相关大数定律.3.了解相关中心极限定理，会用定理近似计算事件的概率.5.1大数定律一、主要知识归纳1.切比雪夫不等式：设随机变量X 具有均值u X E =)(，方差2)(σ=X D ，则对于任意正数ε，有不等式 22}{εσε≤≥-u X P 成立.2. 切比雪夫大数定理：设随机变量⋅⋅⋅,,21X X 相互独立，均具有有限方差，且有公共上界，即C X D i <)( )2,1( =i ，则对于任意0>ε，有1})(11{lim 11=<-∑∑==∞→εni i n i i n X E n X n P 成立.3.辛钦大数定理：设⋅⋅⋅,,21X X 相互独立，服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望u X E k =)(),2,1(⋅⋅⋅=k .作前n 个变量的算术平均值∑=ni i X n 11，则对于任意0>ε，有1}1{lim 1=<-∑=∞→εu X n P ni i n 成立 4.伯努利大数定理：设X 是n 次重复独立试验中事件A 发生的次数，)10(<<p p 是在一次试验中事件A 发生的概率，则对于任意正数ε，有0}{lim =≥-∞→εp nXP n 成立.二、基础练习1．设随机变量X 的数学期望u X E =)(，方差2)(σ=X D ，试利用切比雪夫不等式估计下列概率值：（1）}{σ≥-u X P （2）}3{σ≥-u X P .2．用切比雪夫不等式估计200个新生儿中,男孩多于80个且少于120个的概率(假定生男孩和女孩的概率均为0.5)3.设随机变量n X X X ,,,21⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量，其分布函数为)0(arctan 1)(≠+=b bxa x F π，则辛钦大数定理对此序列（ ） A 适用 B 当常数a 、b 取适当数值时适用 C 不适用 D 无法判断5.2中心极限定理一、主要知识归纳：1.独立同分布中心极限定理:设随机变量n X X X ,,,21⋅⋅⋅相互独立服从同一分布，且具有有限的均值与方差，则对任意实数x 有⎰∑∑∑∞--===∞→=<-xt ni i ni i ni in dt ex X D X E XP 2111221})()({lim π成立.2.棣莫佛-拉普拉斯（De Moivre-Laplace ）定理:设X ～),(p n B ，则对任意实数x ，有)(21})1({lim 22x dt ex p np np X P t xn Φ==<---∞-∞→⎰π成立.二、基础练习1.一加法器同时收到20个噪声电压k V )20,,2,1(⋅⋅⋅=k ，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间)10,0(上服从均匀分布.记∑==201k kVV ，求}105{>V P 的近似值.2.对于一个学生而言，来参加家长会的家人是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长人数相互独立，且服从同一分布. （1）求参加会议的家长人数X 超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生人数不多于340的概率.本章小结一 本章知识结构图二、综合练习1. 设随机变量X 的数学期望100)(=X E ，方差10)(=X D ，则由切比雪夫不等式有______}12080{≥<<X P .2.一颗骰子连续掷4次,点数总和为X .估计}1810{<<X P .3.生产灯泡的合格率为0.6,求10000个灯泡中合格数在5800~6200的概率.4.一大批种蛋中,良种蛋占80%.从中任取500枚,求其中良种蛋率未超过81%的概率.5.某商店负责供应某地区1000人商品,某种商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6,假定在这一段时间个人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以99.7%的概率保证不会脱销(假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件).6.对敌人的防御阵地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其数学期望是2，方差是1.69，求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率.7.设)50,,2,1( =i X i 是相互独立的随机变量,且它们都服从参数为03.0=λ的泊松分布.记5021X X X Z +++= ,利用中心极限定理计算}3{≥Z P8.设某种器件使用寿命(单位:小时)服从指数分布,其平均使用寿命为20小时,具体使用时是当以器件损坏后立即更换另一新器件,如此继续,已知每个器件进价为a 元,试求在年计划中应为此器件作多少元预算,才可以有95%的把握一年够用(假定一年有2000个工作小时).三、单元测试一、 填空题：（每小题5分，共20分）1．设随机变量X 与Y 相互独立，且1)(-=X E ，1)(=Y E ，2)(2=X E ，3)(2=Y E ，则由切比雪夫不等式有______}6{≥<+Y X P .2．设n X X X ,,,21⋅⋅⋅是n 个相互独立同分布的随机变量，u X E i =)(，8)(=i X D ，),,2,1(n i ⋅⋅⋅=，对于∑==ni inX X 1，则______}{≤≥-εu X P ，______}4{≥<-u X P . 3．设X ～)6.0,200(B ，当999.0}{≥≤k X P 时，则______≥k . 4．设随机变量10021,,,X X X ⋅⋅⋅相互独立同分布，且1!1}{-==e k k X P i ，⋅⋅⋅=,2,1k ，则______}120{1001=<∑=i i X P .二、选择题：（每小题5分，共20分）1．设随机变量X ～),(2σu N ，则随σ的增大，概率}{σ<-u X P 是（ ） A 单调增大 B 单调减少 C 保持不变 D 增减不定2．设⋅⋅⋅,,21X X 为独立同分布序列，且i X ),2,1(⋅⋅⋅=i 服从参数为λ的指数分布，则（ ）其中dt ex Y t x2221)(-∞-⎰=π.A )(}{lim 1x Y x nnX p ni i n =≤-∑=+∞→λ B )(}{lim 1x Y x nnXp ni in =≤-∑=+∞→C )(}{lim 1x Y x nXp ni in =≤-∑=+∞→λλD )(}{lim 1x Y x n Xp ni in =≤-∑=+∞→λλ3．设随机变量921,,,X X X ⋅⋅⋅相互独立同分布，1)(=i X E ，1)(=i X D ，)9,,2,1(⋅⋅⋅=i ，令∑==919i iXS ，则对任意0>ε，从切比雪夫不等式直接可得（ ）A 2911}1{εε-><-S P B 2991}9{εε-≥<-S PC 2911}9{εε-><-S P D 2911}191{εε-≥<-S P4．假设随机变量⋅⋅⋅,,21X X 相互独立且服从同参数λ的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律的是（ ）A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n X X XB ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++,,,2,121n X X X nC ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,1,,21,21n X nX X D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,2,21n nX X X 三、计算题：（每小题12分，共60分）1．已知正常成人男性血液中，每一毫升含白细胞数平均为7300，均方差为700，试利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200至9400之间的概率.2．设各零件的重要都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5公斤，均方差为0.1公斤.问5000只零件的总重量超过2510公斤的概率是多少？3．一部件包括10个部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为2毫米，均方差为0.05毫米.规定总长度为20±0.1毫米时产品合格，试求产品合格的概率.4．某工厂生产炭末电阻，在正常生产情况下，废品的概率为0.01，今取500个装成一盒，问废品不超过5个的概率是多少？5．有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米，现从木柱中随机取出100根，问其中至少有30根短于3米的概率是多少？第6章 数理统计基础知识本章教学基本要求1.理解总体、样本、统计量等基本概念，了解经验分布函数。
第五章大数定律与中心极限定理
Xi
1 n
n i 1
E(Xi)
1,
则称{Xn}服从大数定律.
（2）伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例
（3） 伯努利大数定律和切比雪夫大数定律的证明 都用到切比雪夫不等式，而且需要方差存在。
定理 5.1.4. 辛钦大数定律
设X1, X 2 ,..., X n,...是独立同分布的随机变量序列，
意义：只要试验次数够大，发生事件的频率无限接近于 概率，频率稳定性，频率代替概率。
定理 5.1.3. 切比雪夫大数定律
设X1 , X 2 ,, X n ,是一相互独立的随机变 量序列，
它们的数学期望和方差 均存在，且方差有共同 的上界，
即存在常数 K 0，使得 D ( X i ) K , i 1,2, ,
不等式给出了X 与它的期望的偏差不小于的概率
的估计式.
例 1 E( ) 4, D( ) 0.2, 则由切比雪夫不等式知
P{| 4 | 2} P{| 4 | 1}
,
P{ X
}
2 2
,
P{1 7}
定义 5.1.1设{X n}是一个随机变量序列，a是常数，
若对于任意的 0，有
已知整个系统中至少有84个部件正常工作，系统
工作才正常.试求系统正常工作的概率.
解： 记Y为100个部件中正常工作的部件数，则
Y 近似服从 N(100 0.9,100 0.9 (1 0.9))
即Y 近似服从N (90, 9)
因此，所求概率为
P{Y 84}=1-P{Y<84}=1-P{ Y-90 < 84-90 }
解： 设Xi为第i个螺丝钉的重量，i 1, 2,...,100.
且设X 为一盒螺丝钉的重量.
《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
第五章大数定理与中心极限定理
2. 随机事件的频率
lim P p =1 n n
p f n p
n
作业
P112
1、3、6、7
§5.4中心极限定理
在客观实际中有许多随机变量,它们是由大 量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的。 而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用 都是微小的。这种随机变量往往近似地服从正 态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背 景。
设{ξn}为随机变量序列，ξ为随机变量，其对 应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的连 续点，有
第五章
大数定律与中心极限定理
5.1大数定律的概念 5.2切贝谢夫不等式 5.3切贝谢夫定理 5.4中心极限定理
“概率是频率的稳定值”。前面已经提到， 当随机试验的次数无限增大时，频率总在其概 率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是从 理论上说明这一结果。正态分布是概率论中的 一个重要分布，它有着非常广泛的应用。中心 极限定理阐明，原本不是正态分布的一般随机 变量总和的分布，在一定条件下可以渐近服从 正态分布。这两类定理是概率统计中的基本理 论，在概率统计中具有重要地位。
பைடு நூலகம்
大数定律以确切的数学形式表达了这种规 律性,并论证了它成立的条件,即从理论上阐述 了这种大量的、在一定条件下的、重复的随机 现象呈现的规律性即稳定性.由于大数定律的作 用,大量随机因素的总体作用必然导致某种不依 赖于个别随机事件的结果.
§5.2 切贝谢夫不等式
一个随机变量离差平方的数学期望就是它的
f n p
n
证明:设
则
1 第i次试验事件A发生 i 0 第i次试验事件A不发生
E (i ) p, D(i ) p(1 p)
概率论与数理统计第5章-大数定律和中心极限定理
DX } 1
(2
DX DX
)2
3 4
．
例 1.2 设随机变量 X ~ P(9) ，试根据切比雪夫不等式 估计概率 P{X 19}． 解 由于 X ~ P(9) ，所以 EX DX 9 ，且
P{X 9 10} P{X 1} 0 ， 故有 P{X 19} P{X 9 10}
P{ X 9 10} 9 0.09 ． 102
例 1.3 设随机变量 X ,Y 独立同分布，且 D(X ) 2 ，
试根据切比雪夫不等式估计概率 P{ X Y 2} ．
解 由于 X ,Y 独立同分布，所以 E( X Y ) 0 ，且
D(X Y ) DX DY 4
lim
n
FYn
(
x)
(
x)
1
2
x
e
t2 2
dt
，
x
(,
)
．
【注 1】定理 2.1 称为列维—林德伯格中心极限定理，也 称为独立同分布随机变量序列的中心极限定理．
【注 2】由定理 2.1 表明，当 n 充分大时， FYn (x) (x) ，
近似
n
近似
即得Yn ~ N (0,1) ，从而有 Xi ~ N (n, n 2 ) ．
P{ X Y 2} 1 D(X Y ) 1 ，
22
2
二、大数定律（了解） 1.相关概念
定义 1.1 设有随机变量序列 X1, X 2 ,L , X n ,L ，如果
存在常数 a ，使得对任意的 0 ，有
lim P{
n
Xn
a
}1，
第五章大数定律和中心极限定理
第五章 大数定律和中心极限定理§1 大数定律设X 1,X 2,...X n ,...是一随机变量列，a 1,a 2,...a n ,...是一常数列，令Y n =∑=ni iXn11n=1,2,...,，所谓大数定律就是研究(Y n -a n )收敛到0的定理。
按收敛意义的不同，有弱大数定律和强大数定律。
我们主要介绍弱大数定律，弱大数定律也称大数定律。
契比雪夫不等式设R.V.X ，其2)(,)(σμ==X D X E 都存在，则对任意>ε均有 或一、大数定律定理5.1:(契比雪夫大数定律）若X 1,X 2,...X n ,...相互独立，它们的数学期望和方差都存在，且方差一致有界，即E(X i )=?i , D(X i )=?i 2?C(常数） i=1,2,...则对任意的??0，均有lim ∞→n P{?Y n-E(Y n)???}=1 (5.1)其中Y n=∑=ni iX n 11 定理5.2（伯努利大数定律）设伯努利试验中，事件A 发生的概率为p(0?p?1)，m 为n 重伯努利试验中事件A 发生的次数，则对任意的??0，均有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εp n m P n (5.2) 定理5.3 （辛钦大数定律）若X 1,X 2,...,X n,...相互独立同分布，其数学期望存在，即E(X i )=?,i=1,2,...，则对任意的??0，均有111lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμn i i n X n P (5.3) 例:设X 1,X 2,...,X n,...独立同分布，且X i 的k 阶矩m k =E(X i k )存在（k 为正整数），则对任意的??0，均有二、中心极限定理定理5.4 (林德贝格-莱维定理）若X 1,X 2,...,X n,...相互独立同分布，其数学期望和方差均存在且方差大于零，即E(X i )=?,D(X i)=?2?0, i=1,2,...则∑=ni iX 1的标准化随机变量σμn n XY ni in-=∑=1的分布函数)(x F n 对于任意的x 满足即σμn n X ni∑-1的分布函数−→−∞→n )1,0(N .当n 很大时近似公式P <α{σμn n X ni∑-1}β<()()βαΦ-Φ≈.例:为了把问题简化，假定在计算机上进行加法计算时，对每个数都取最接近它的整数（即取整）再相加。
第五章 大数定律与中心极限定理
X
i 1
n
i
n
，
P{| Yn a | } 1 如果满足 lim n
称
Yn
依概率收敛于数a，记为
Yn a.
P
大数定律讨论的是依概率收敛的问题。
大数定律以严格的数学形式表达了随 机现象最根本的性质之一： 平均结果的稳定性 它是随机现象统计规律的具体表现. 大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.
下面给出的独立同分布随机变量序列 的中心极限定理, 也称列维一林德伯格 （Levy－Lindberg）定理.
定理1（独立同分布下的中心极限定理） 设X1,X2, …,Xn是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2 ， i=1,2,…,n，则
lim P{
n
X
i 1
下面我们再举一例说明大数定律的 应用.
定积分的概率计算法 求 I g ( x )dx 的值
0 1
求 I g ( x )dx 的值
0
1
我们介绍均值法，步骤是
1) 产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn, n=1,2,…,N 2) 计算g(rn)， n=1,2,…,N
3) 用平均值近似积分值
0 1 解: X k ~ , 0.1 0.9
E(Xk)=0.1, k=1,2, …,n
诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能 使用大数定律.
0 1 解: X k ~ , 0.1 0.9
E(Xk)=0.1, k=1,2, …,n
诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用 大数定律.
n
D ( X k )
k 1
的分布函数的极限.
考虑 Z n
X
k 1
概率论第五章 大数定律及中心极限定理
的标准化变量为
n
X i n
Yn i1 n
则Yn的分布函数Fn(x)对任意的x∈(-∞,+∞)都有
n X i n
lim
n
Fn
(
x)
lim
n
P(Yn
x)
lim
n
P
i 1
n
x
x
1
t2
e 2 dt
2
该定理说明，当n充分大时， Yn近似地服从标准正 态分布，Yn~N(0,1)， (n )
P|
X
|
2 2
P X
1
2 2
证明 (1)设X的概率密度为p(x),则有
P{| X | } p(x)dx
| x |2
p(x)dx
|x|
|x|
2
1
2
(x
)2
p(
x)dx
2 2
Xi 2
0
pi
1 4
1 2
2
(i 1,2, , n, )
1 4
解
因为 X1, X 2 , , X n ,
相互独立， EX i 0 ， E
X
2 i
1
又
DX i
E
X
2 i
EX i
2
1 0
1， i
1,2,
, n,
所以,满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理.
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3) 用平均值近似积分值
1 即 I N
g(r ) I
n1 n
N
问：若求 I b g ( x )dx 的值
a
应如何近似计算？请思考.
大数定律以严格的数学形式表达了随 机现象最根本的性质之一： 平均结果的稳定性 它是随机现象统计规律的具体表现. 大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.
0
1
我们介绍均值法，步骤是
1) 产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn, n=1,2,…,N 2) 计算g(rn)， n=1,2,…,N
3) 用平均值近似积分值
1 即 I N
g(r ) I
n1 n
N
求 I g ( x )dx 的值
0
1
我们介绍均值法，步骤是
1) 产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn, n=1,2,…,N 2) 计算g(rn)， n=1,2,…,N
n
P a 则称{Xn}依概率收敛于a。可记为 X n
意思是: 当
n 时, Xn落在 (a , a )
Xn
内的概率越来越大。即 n0 , 使得n n0 ,
a
a
a
二、几个常用的大数定律
切比雪夫大数定律 设{Xk,k=1,2,...}为独立的随机变 量序列，且有相同的数学期望，及方差2>0，则
1 n P Yn X k n k 1
例 在掷骰子过程中，以Xn记第n次掷出的点数， 1 n 在依概率收敛意义下，求 X X k 的极限。
n
k 1
下面我们再举一例说明大数定律的 应用. 定积分的概率计算法 求 I g ( x )dx 的值
0 1
求 I g ( x )dx 的值
7 1 7 35 E( X1 ) , D( X1 ) k 2 2 6 i 1 2 12
6 2
由独立同分布的中心极限定理知：
7 500 100 100 2 P X i 500 1 1 (8.78) 0.00... 35 i 1 10 12
2、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 设随机变量 n (n=1, 2, ...) 服从参数为n, p (0<p<1) 的二项分 布，则 np w
n
np(1 p)
~ N (0, 1),
即
n np x lim P x ( x) (t )dt n np(1 p)
1 n P X Xk n k 1
P{| X | } 1 即对任何>0, lim n 证明: 由切比雪夫不等式
P{| X E ( X ) | } 1
n
D( X )
这里 E ( X ) 1 E ( X k ) , D( X ) 12 n k 1 n
2
.
D( X
k 1
n
k
)
2
n
2 故 P{| X | } 1 2 lim P{| X | } 1 n n
伯努里大数定律 设进行n次独立重复试验，每次 试验中事件A发生的概率为p，记fn=nA/n为n次试验 中事件A发生的频率，则
当n 时, f n p
1、独立同分布的中心极限定理 设{Xn}为独立同 分布随机变量序列，若EXk=<，DXk= 2 <， k=1, 2, …, 则{Xn}满足中心极限定理。此时有
n X n i x n x n n lim Fn ( x) lim P X i x lim P i 1 n n n n n n i 1 n k 其中F (x)为 X 的分布函数。
n
k 1
因此，当n充分大时
n x n p X i x n i 1
例1 将一颗骰子连掷100次，试估算点数之和大于 500的概率。
解: 设Xk为第 k 次掷出的点数, k=1,2,…,100, 则 X1,…,X100独立同分布。并且
§2 中心极限定理
一、依分布收敛
定义 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其 对应的分布函数分别为Fn(x), F(x)。若在F(x)的连 续点，有 lim Fn ( x) F ( x), 即 lim P( X n x) P( X x)
n n
w X 则称{Xn}依分布收敛于X。记为 X n
蒲丰投针问题中解法的
理论依据就是大数定律
针长L 线距a
2 Ln am
当投针次数n很大时，用针与线相交的频率 m/n近似针与线相交的概率p，从而求得π的近 似值.
§1 大数定律
一、依概率收敛
定义: 设{Xn}为随机变量序列，a是一个常数，若 对于任意>0, 有
lim P{| X n a | } 1
证明: 设 则
1 第i次试验事件A发生 Xi 0 第i次试验事件A不发生
p
E( X i ) p, D( X i ) p(1 p)
n nA fn Xi n i 1
由切比雪夫大数定理：
n Xp
P
当随机变量序列X1, X2, ..., Xn,…独立同分布时, 有 如下更实用的结论： 辛钦大数定律 若{Xk,k=1,2,...}为独立同分布随机 变量序列, EXk= <, k=1, 2, … 则
若随机变量序列{Xn}之和 X 的标准化变量 k
n X i E X i k 1 w Yn k 1 X ~ N (0,1), n D X i k 1
n
n
k 1
则称随机变量序列{Xn} 满足中心极限定理。
二、几个常用的中心极限定理