专题训练三 全等三角形中的中点处理技巧
专题训练 三角形全等——截长补短
专题训练 三角形全等——截长补短一、单选题1．如图，△ABC 中，∠B =2∠A ，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D ，已知AC =16，BC =9，则BD 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．92．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，2B ADB ∠=∠，5AB =，6CD =，则AC 的长为（ ）A ．3B ．9C ．11D ．153．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为（ ）A ．152B ．152C ．3D ．1254．如图，在ABC ∆中，68BAC ∠=︒，36C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，M 、N 分别是AD 、AB 上的动点，当BM MN +最小时，BMN ∠的度数为( )A ．34︒B ．68︒C ．76︒D ．90︒5．如图，已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠DAB 的平分线AE 交CD 于E ，连接BE ，且BE 恰好平分∠ABC ，则AB 的长与AD+BC 的大小关系是（ ）A ．AB ＞AD+BCB ．AB ＜AD+BC C ．AB ＝AD+BCD ．无法确定二、填空题 6．如图，△ABC 中，E 在BC 上，D 在BA 上，过E 作EF ⊥AB 于F ，∠B ＝∠1+∠2，AB ＝CD ，BF ＝43，则AD 的长为________．7．如图，ABC 是等边三角形，180BAD BCD ∠+∠=︒，8BD =，2CD =，则AD =________．8．如图，ABC 与ADC 有一条公共边AC ，且AB=AD ，∠ACB=∠ACD=x ，则∠BAD=________．（用含有x 的代数式表示）9．如图，2A C ，BD 平分ABC ∠，10BC =，6AB =，则AD =_____．10．如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN ＋∠ANM 的度数是________．11．如图，在△ABC 中，∠ACB=∠ABC=40o ，BD 是∠ABC 的角平分线，延长BD 至点E ，使得DE=DA ，则∠ECA=________．12．如图，△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，连接BD 、CE ，且∠D+∠E=180°，若BD=6，则CE 的长为__．13．（1）如图（1），在四边形ABCD 中，AB AD =,180B D ︒∠+∠=，E ，F 分别是,BC CD 上的动点，且12EAF BAD ∠=∠，求证：EF BE DF =+． （2）如图（2），在（1）的条件下，当点E ，F 分别运动到,BC CD 的延长线上时，,,EF BE DF 之间的数量关系是______．14．如图，已知ABC 中，60A ∠=︒，D 为AB 上一点，且2,4AC AD BD B ACD =+∠=∠，则DCB ∠的度数是_________．15．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边 CD 、BC 上的点，且10DE =cm ，45EAF ∠=︒，△EFC 的周长为80cm ，则EF =_________cm ．16．如图，ABC 中，AD 平分BAC ∠，20C ∠=︒，AB BD AC +=，则B 的度数为_______．17．如图，在ABC 中，D 是BC 边中点，106AB AC ==，，4=AD ，则BC 的长是_____________．18．如图，四边形ABCD 为正方形，点E 在CB 的延长线上，AF 平分∠DAE 交DC 的延长线于点F ，若BE =8，CF =9，则CD 的长为______．三、解答题19．已知：如图所示，四边形ABCD 中，,AD BC O 是CD 上一点，且AO 平分,BAD BO∠平分ABC ∠，若3,4AO BO == ，求四边形ABCD 的面积．20．如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M 是AB 延长线上一点，N 是CA 延长线上一点，且∠MDN=60°．试探BM ，MN ，CN 之间的数量关系，并给出证明．21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，点D 是△ABC 内一点，DB ＝DC ，∠DCB ＝30°，点E 是BD 延长线上一点，AE ＝AB ．（1）求∠ADB 的度数；（2）线段DE ，AD ，DC 之间有什么数量关系？请说明理由．22．如图，△ABC 为等边三角形，直线l 经过点C ，在l 上位于C 点右侧的点D 满足∠BDC ＝60°．（1）如图1，在l 上位于C 点左侧取一点E ，使∠AEC ＝ 60°，求证：△AEC ≌△CDB ； （2）如图2，点F 、G 在直线l 上，连AF ，在l 上方作∠AFH ＝120°，且AF ＝HF ，∠HGF ＝120°，求证：HG ＋BD ＝CF ；（3）在（2）的条件下，当A 、B 位于直线l 两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG 、CF 、BD 的数量关系为 ．23．如图，//AD BC ，点E 在线段AB 上，DE 、CE 分别是ADC ∠、BCD ∠的角平分线，若3AD =，2BC =，求CD 的长．24．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点P 是ABC 内部一点，且135APB BPC ∠=∠=︒，证明：2PA PC =．25．如图，在正方形ABCD 中，点F 是CD 的中点，点E 是BC 边上的一点，且AF 平分DAE ∠，求证：AE EC CD =+．26．已知等腰ABC ∆中，AB AC =，点D 在直线AB 上，//DE BC ，交直线AC 于点E ，且BD BC =，CH AB ⊥，垂足为H ．（1）当点D 在线段AB 上时，如图1，求证BH DE DH +=；（2）当点D 在线段BA 的延长线上时，如图2；当点D 在线段AB 延长线时，如图3，线段BH ，DE ，DH 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 27．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF=90°，且EF 交正方形外角∠DCG 的角平分线CF 于点F ，求证：AE=EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证△AME ≌△ECF ，所以AE=EF ．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．28．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ，且AE 、BE 交CD 于点E ．试说明AD ＝AB ﹣BC 的理由．29．已知平行四边形ABCD 中，N 是边BC 上一点，延长DN 、AB 交于点Q ，过A 作AM ⊥DN 于点M ，连接AN ，则AD ⊥AN ．（1）如图①，若tan ∠ADM ＝34，MN ＝3，求BC 的长； （2）如图②，过点B 作BH ∥DQ 交AN 于点H ，若AM ＝CN ，求证：DM ＝BH +NH ．30．已知ABC 是等边三角形，6AB =．（1）如图1，点M 是BC 延长线上一点，60AMN ∠=︒，MN 交ABC 的外角平分线于点N ，求CN CM -的值；（2）如图2，过点A 作AD BC ⊥于点D ，点P 是直线AD 上一点，以CP 为边，在CP 的下方作等边CPQ ，连接DQ ，求DQ 的最小值．31．如图ABC 中，60,,ABC AD CE ︒∠=分别平分,BAC ACB AD CE ∠∠、、相交于点P ．（1）求CPD ∠的度数；（2）求证：AE CD AC +=32．已知：如图，2AB AC =，BAD CAD ∠=∠，DA DB =，求证：90ACD ∠=︒.33．如图，在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、ACB ∠，AD 、CE 交于点O ，求证：AE CD AC +=.参考答案1．B【分析】如图，在CA 上截取,CN CB = 连接,DN 证明,CBD CND ≌利用全等三角形的性质证明,BD ND = 求解9,7,CN AN == 再证明,DN AN = 从而可得答案． 解：如图，在CA 上截取,CN CB = 连接,DN CD 平分,ACB ∠,BCD NCD ∴∠=∠,CD CD =(),CBD CND SAS ∴≌,,,BD ND B CND CB CN ∴=∠=∠=9,16,BC AC ==9,7,CN AN AC CN ∴==-=,CND NDA A ∠=∠+∠,B NDA A ∴∠=∠+∠2,B A ∠=∠,A NDA ∴∠=∠,ND NA ∴=7.BD AN ∴==故选：.B【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．2．C【分析】在AC 上截取AE=AB ，连接DE ，证明△ABD ≌△AED ，得到∠B=∠AED ，AB=AE ，再证明CD=CE ，进而代入数值解答即可．【详解】在AC 上截取AE=AB ，连接DE ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠DAC ，在△ABD 和△AED 中，BAD DA AE AB AD AD C =⎧=∠=∠⎪⎨⎪⎩，∴△ABD ≌△AED （SAS ），∴∠B=∠AED ，∠ADB =∠ADE ， AB=AE ，又∠B=2∠ADB∴∠AED=2∠ADB ，∠BDE=2∠ADB ，∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB ，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB ，∴∠DEC =∠EDC ，∴CD=CE ，∵5AB =，6CD =，∴AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11．故选：C ．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．3．D【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF 的最小值即为点C 到AB的垂线段长度．【详解】在AB上取一点G，使AG＝AF∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4∴AB=5，∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，∴△AEF≌△AEG（SAS）∴FE＝GE，∴要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值，故当C、E、G三点共线时，符合要求，此时，作CH⊥AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值，此时，AC BC AB CH，∴CH=·AC ABBC=125，即：CE+EF的最小值为125，故选：D．【点拨】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．4．B【分析】在AC上截取AE=AN，先证明△AME≌△AMN（SAS），推出ME=MN．当B、M、E共线，BE⊥AC时，BM+ME最小，可求出∠NME的度数，从而求出∠BMN的度数．【详解】如图，在AC上截取AE=AN，∵∠BAC 的平分线交BC 于点D ，∴∠EAM=∠NAM ，在△AME 与△AMN 中，AE AN EAM NAM AM AM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AME ≌△AMN （SAS ），∴ME=MN ．∴BM+MN=BM+ME ，当B 、M 、E 共线，BE ⊥AC 时，BM+ME 最小，∴MN ⊥AB∵∠BAC=68°∴∠NME=360°-∠BAC-∠MEA-∠MNA=360°-68°-90°-90°=112°，∴∠BMN=180°-112°=68°．故选：B ．【点拨】本题考查了轴对称-最短问题，解题的关键是能够通过构造全等三角形，把BM+MN 进行转化，利用垂线段最短解决问题．5．C【分析】在AB 上截取AF ＝AD ，连接EF ，易得∠AEB=90°和△ADE ≌△AFE ，再证明△BCE ≌△BFE ，利用全等三角形对应边相等即可得出三条线段之间的关系.【详解】解：如图所示，在AB 上截取AF ＝AD ，连接EF ，∵AD ∥BC ，∴∠ABC+∠DAB=180°，又∵BE 平分∠ABC ，AE 平分∠DAB∴∠ABE+∠EAB=()1ABC DAB 2∠+∠=90°， ∴∠AEB=90°即∠2+∠4=90°，在△ADE 和△AFE 中，AD=AF DAE=FAE AE=AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ADE ≌△AFE （SAS ），所以∠1＝∠2，又∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，所以∠3＝∠4，在△BCE 和△BFE 中，CBE=FBE BE=BE3=4∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△BCE ≌△BFE （ASA ），所以BC ＝BF ，所以AB ＝AF+BF ＝AD+BC ；故选：C ．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，截长补短是证明线段和差关系的常用方法. 6．83【分析】在FA 上取一点T ，使得FT=BF ，连接ET ，在CB 上取一点K ，使得CK=ET ，连接DK ．想办法证明AT=DK ，DK=BD ，推出BD=AT ，推出BT=AD 即可解决问题．【详解】在F A 上取一点T ，使得FT =BF ，连接ET ，在CB 上取一点K ，使得CK =ET ，连接DK ． ∵EB =ET ，∴∠B =∠ETB ，∵∠ETB =∠1+∠AET ，∠B =∠1+∠2，∴∠AET =∠2，∵AE =CD ，ET =CK ，∴△AET ≌△DCK (SAS )，∴DK =AT ，∠ATE =∠DKC ，∴∠ETB =∠DKB ，∴∠B =∠DKB ，∴DB =DK ，∴BD =AT ，∴AD =BT ，∵BT =2BF =83， ∴AD =83， 故答案为：83．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．7．6【分析】在线段BD 上取一点E ，使得BE=CD ，连接AE ，由,,,A B C D 四点共圆得∠ABE ACD =∠，再证明ABE ACD ≅∆，△ADE 是等边三角形，得AD DE AE ==，再由线段的和差关系可得结论．解：在线段BD 上取一点E ，使得BE=CD ，连接AE ，∵180BAD BCD ∠+∠=︒∴,,,A B C D 四点共圆，∴∠ABD ACD =∠∴∠ABE ACD =∠∵△ABC 是等边三角形，∴AB AC BC ==，60DAE ∠=︒，∴△ABE ACD ≅∆，∠60BAE CAF +∠=︒，∴,BAE CAD BAF CAD ∠=∠∠=∠，∴∠60CAD CAE +∠=︒，即60DAE ∠=︒，∴△ADE 是等边三角形，∴AD DE AE ==，∵=8BD ，2CD =，∴6DE BD BE BD CD =-=-=，∴6AD DE ==．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及四点共圆的判定，证明∠ABE ACD =∠是解答此题的关键．8．180°-2x【分析】在CD 上截取CE=CB ，证明△ABC ≌△AEC 得AE=AB ，∠B=∠AEC,可进一步证明∠D+∠B=180°,再根据四边形内角和定理可得结论． 解：在CD 上截取CE=CB ，如图所示，在△ABC 和△AEC 中，CE CB ACE ACB AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△AEC(SAS)∴AE=AB ，∠B=∠AEC,∵AB=AD ，∴AD=AE ，∴∠D=∠AED ，∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠D+∠B=180°，∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°∴∠DAB+∠BCD =360°-∠ABC-∠CDA=360°-180°=180°，∵∠BCD =∠ACB +∠ACD =x+x=2x∴∠DAB=180°-∠BCD=180°-2x故答案为：180°-2x 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及四边形的内角和等知识，作辅助线构造全等三角形是解答此题的难点．9．4【分析】在BC 上截取BE ＝AB ，利用“边角边”证明△ABD ≌△EBD ，根据全等三角形对应边相等可得DE ＝AD ，由全等三角形对应角相等可得∠BED ＝∠A ，然后求出∠C ＝∠CDE ，根据等角对等边可得CE ＝DE ，等量代换得到EC ＝AD ，则BC ＝BE +EC ＝AB +AD 即可求出AD 长．解：（1）在BC 上截取BE ＝BA ，如图，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD ，在△ABD 和△BED 中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△EBD （SAS ），∴DE ＝AD ，∠BED ＝∠A ，∴∠BED ＝∠C +∠EDC ＝2∠C ，∴∠EDC ＝∠C ，∴ED ＝EC ，∴EC ＝AD ，∴BC ＝BE +EC ＝AB +AD ，∵BC ＝10，AB ＝6，∴AD ＝10﹣6＝4；故答案为：4．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．10．120°【分析】延长AB ，使得AB=BE ，延长AD ，使得AD=DF ，连接EF ，与BC ，DC 相较于M ，N ，要使得△AMN 的周长最小，则三角形的三边要共线，根据∠BAD=120°和△AMN 的内角和是180°即可列出方程求解．解：延长AB ，使得AB=BE ，延长AD ，使得AD=DF ，连接EF ，与BC ，DC 相较于M ，N 如图所示，此时△AMN 的周长最小∵∠ABM=90°∴∠EBM=90°在△AMB 和△EMB 中AB BE ABM EBM MB MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AMB ≌△EMB∴∠BEM=∠BAM同理可得：△AND ≌△FDN∴∠NAD=∠NFD∴∠ANM=2∠NAD设∠BAM=x ，∠MAN=z ，∠NAD=y∵∠BAD=120°∴12022180x y z x y z ++=︒⎧⎨++=︒⎩ 解得：60x y +=︒即∠AMN+∠ANM=2×60°=120°．故答案为：120°．【点拨】本题主要考查的是三角形周长最小的条件，涉及到的知识点为全等三角形的判定及性质、三角形内角和的应用，正确添加合适的辅助线是解题的关键．11．40°【分析】在BC 上截取BF=AB ，连接DF ，由题意易得∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，易得△ABD ≌△FBD ，进而可得DF=AD=DE ，由此可证△DEC ≌△DFC ，然后根据全等三角形的性质、三角形内角和及外角的性质可求解．解：在BC 上截取BF=AB ，连接DF ，∠ACB=∠ABC=40°，BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，∴∠ADB=60°，∠BDC=120°，BD=BD ，∴△ABD ≌△FBD ，DE=DA ，∴ DF=AD=DE ，∠BDF=∠FDC=∠EDC=60°，∠A=∠DFB=100°，DC=DC ，∴△DEC ≌△DFC ，∴1006040DCB DCE DFC FDC ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒；故答案为40°．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及外角性质是解题的关键．12．6【分析】在AD 上截取AF=AE ，连接BF ，易得△ABF ≌△ACE ，根据全等三角形的性质可得∠BFA=∠E ，CE=BF ，则有∠D=∠DFB ，然后根据等腰三角形的性质可求解．【详解】解：在AD 上截取AF=AE ，连接BF ，如图所示：AB=AC ，∠FAB=∠EAC ，∴ABF ACE ≌△△，∴BF=EC ，∠BFA=∠E ，∠D+∠E=180°，∠BFA+∠DFB=180°，∴∠DFB=∠D ，∴BF=BD ，BD=6，∴CE=6．故答案为6．【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．13．（1）详见解析；（2）EF BE DF =-【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明( )ABE ADG SAS ∆∆≌，得到AE AG BAE DAG =∠=∠，，然后证明AEF AGF ∆∆≌，得到EF FG =，根据FG DG DF BE DF =+=+，可得EF BE DF =+；（2）在BC 上截取BG DF =，连接AG ，先证明△ABG ≌△ADF （SAS ），得到AG=AF ，∠BAG=∠DAF ，再证明△EAG ≌△EAF （SAS ），得到EG=EF ，根据BG=DF ，即可得EF=BE-BG=BE-DF ．【详解】（1）如图，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ．180B ADF ADG ADF ︒∠+∠=∠+∠=，B ADG ∴∠=∠，又AB AD =，BE DG =，∴( )ABE ADG SAS ∆∆≌，,AE AG BAE DAG ∴=∠=∠，12EAF BAD ∠=∠，GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠．,,AE AG EAF GAF AF AF =∠=∠=，∴AEF AGF ∆∆≌，EF FG ∴=．FG DG DF BE DF =+=+，EF BE DF ∴=+；（2）EF BE DF =-．如图，在BC 上截取BG DF =，连接AG ，180B ADC ADC ADF ︒∠+∠=∠+∠=，B ADF ∴∠=∠，在△ABG 和△ADF 中AB AD B ADF BG DF ⎧⎩=⎪==⎪⎨∠∠，∴△ABG ≌△ADF （SAS ），∴AG=AF ，∠BAG=∠DAF ，∠BAD=2∠EAF ，∴∠BAG+∠GAE+∠EAD=∠EAD+∠DAF+∠EAD+∠DAF ，∴∠GAE=∠EAF ，在△EAG 和△EAF 中AG AF EAG EAF AE AE ===⎧⎪⎨⎪⎩∠∠，∴△EAG ≌△EAF （SAS ），∴EG=EF ，∵BG=DF ，∴EF=BE-BG=BE-DF ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定定理是解题关键．14．20°【分析】通过作辅助线构造直角三角形，利用等边三角形的性质，得到角相等，边相等，根据三角形全等，得到角相等，利用外角的性质列方程求解；解：如图，延长AB 至点E 使BE AD =，连接CE ．∴2=++=+AE AD DB BE AD BD ．∵2=+AC AD BD ，∴AE AC =．∵60A ∠=︒，∴AEC 是等边三角形，∴60∠=∠=︒E ACE ．∵4∠=∠ABC ACD ，∴设ACD x ∠=，则4∠=ABC x ．在ADC 与EBC 中，∵,,,AD BE A E AC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ≌ADC EBC ，∴∠=∠=ACD ECB x ．∵∠=∠+∠ABC E BCE ，∴460=︒+x x ，∴20x =︒，∴60202020∠=︒-︒-︒=︒BCD ．【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，准确分析是解题的关键．15．34【分析】延长CB 到H ，使BH=DE ，连接AH ，可证△ADE ≌△ABH ，可得AE=AH ，由∠EAF=45º可证得∠HAF=45º，进而可证得△HAF ≌△EAF ，可得EF=HF ，由△EFC 的周长可求得正方形的边长，设EF=x ，在Rt △ECF 中，利用勾股定理列方程即可求得EF 的长．【详解】如图延长CB 到H ，使BH=DE=10cm ，连接AH ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=∠ABH=∠DAB=90º，AB=AD=BC=CD ，∴△ADE ≌△ABH （SAS)，∴AE=AH,∠DAE=∠BAH ，∵∠EAF=45º，∴∠DAE+∠BAF=45º，∴∠BAH+∠BAF=45º即∠HAF=45º，∴∠HAF=∠EAF 又AH=AE,AF=AF ，∴△HAF ≌△EAF(SAS)，∴HF=EF ，∵△EFC 的周长为80cm ，∴CE+CF+EF=CE+CF+HF=CE+DE+CF+BF=BC+CD=2BC=80,∴BC=40cm,设EF=x ，则CF=40+10-x=50-x ，在Rt △ECF 中，CE=40-10=30cm ，由勾股定理得：222(50)30x x =-+，解得：x=34，即EF=34cm ，故答案为：34．【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答的关键是认真分析，找到相关信息的关联点，结合图形，进行推理、计算．16．40︒【分析】如图（见解析），在线段AC 上取点E ，使得AE AB =，先根据角平分线的定义得出BAD EAD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质得出BD ED =，B AED ∠=∠，然后根据线段的和差、等量代换得出ED CE =，最后根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质即可得．【详解】如图，在线段AC 上取点E ，使得AE AB = AD 平分BAC ∠BAD EAD在ABD △和AED 中，AB AE BAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD AED SAS ∴≅BD ED ∴=，B AED ∠=∠又AB BD AC AE CE +==+BD CE ∴=ED CE ∴=20CDE C ∴∠=∠=︒40AED CDE C ∴∠=∠+∠=︒40B AED ∴∠=∠=︒故答案为：40︒．【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．17．【分析】延长AD 至点E ，使得DE ＝AD ＝4，结合D 是中点证得△ADC ≌△EDB ，进而利用勾股定解：如图，延长AD 至点E ，使得DE ＝AD ＝4，连接BE ，∵D 是BC 边中点，∴BD ＝CD ，又∵DE ＝AD ，∠ADC ＝∠EDB ，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），∴BE ＝AC ＝6，又∵AB ＝10，∴AE 2＋BE 2＝AB 2，∴∠E ＝90°，∴在Rt △BED 中，222264213BD BE DE =+=+=， ∴BC ＝2BD ＝故答案为：【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．18．632． 【分析】根据题意，在DC 上截取DG=BE ，连接AG ，可以证明△ADG ≌△ABE ，从而可以得到AG 和AE 的关系，∠DAF 和∠EAF 的关系，再根据题目中的条件和勾股定理即可得到CD 的长．解：在DC 上截取DG=BE ，连接AG ，如图所示．∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠ADG=∠ABE ，在△ADG 和△ABE 中AD AB ADG ABE DG BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△ABE(SAS)，∴AE=AG ，∠DAG=∠BAE ．∵AF 平分∠DAE ，∴∠DAF=∠EAF ，∴∠GAF=∠BAF ．∵AB ∥DC ，∴∠BAF=∠GFA ，∴∠GAF=∠GFA ，∴AG=GF ，设CD=a ．∵BE=8，CF=9，∴DG=BE=8，GC=a ﹣8，∴GF=a ﹣8+9=a+1，∴AG=a+1．∵AD=a ，DG=8，AG=a+1，∠ADG=90°，∴a 2+82=(a+1)2，解得：a=632， 即CD=632． 故答案为：632． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质、角平分线的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．19．12.【分析】在AB 上截AE AD =，根据SAS 易证AOD AOE ∆∆≌，∠AOD=∠AOE ，根据平行线和角平分线的性质可得出∠AOB=90°，则90AOD BOC AOE BOE ∠+∠=∠+∠=︒ ，可得BOE BOC ∠=∠ ，继而证明△BOE ≌△BOC ，可得S 四ABCD =2S △AOB ，即可得出答案．解：在AB 上截AE AD =，∵AO 平分∠BAD ，∴∠DAO=∠EAO ，在△AOD 和△AOE 中,AD=AE DAO EAO AO AO ⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOD AOE ∆∆≌，AOD AOE ∴∠=∠，AD BC ∵∥，AO 平分BAD ∠，BO 平分ABC ∠，∴∠AOB=90°，90AOD BOC AOE BOE ∴∠+∠=∠+∠=︒BOE BOC ∴∠=∠，∵BO 平分∠ABC ，∴∠ABO=∠CBO ，在△BOC 和△BOE 中,CB B BO=BOO E O BOE BOC ∠=∠⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩∴BOC BOE ∆∆≌，∴四边形ABCD 的面积2AOB =∆的面积=12342⨯⨯⨯ =12. 故答案为12.【点拨】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，由全等三角形的性质得出S 四ABCD =2S △AOB 是解题的关键．20．CN=MN+BM ，见解析【分析】采用“截长补短”法，在CN 上截取点E ，使CE=BM ，连接DE ，结合等边及等腰三角形的性质利用SAS 可证△MBD ≌△ECD ，继而可证△MND ≌△END ，由全等的性质可得结论.解：CN=MN+BM ．证明：如图，在CN 上截取点E ，使CE=BM ，连接DE ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°．又∵△BDC 为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=CD ，∠DBC=∠BCD=30°．∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°．90MBD ABD ECD ︒∴∠=∠=∠=在△MBD 和△ECD 中，BD CD MBD ECD BM CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△MBD ≌△ECD （SAS ）．∴MD=ED ，∠MDB=∠EDC ．又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC ）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB ）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°．∴∠MDN=∠EDN ．在△MND 与△END 中，ND ND MDN EDN MD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△MND ≌△END （SAS ）．∴MN=NE ．∴CN=NE+CE=MN+BM ．【点拨】本题考查了等边及等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质，并采用了截长补短法，灵活利用已知条件证明三角形全等是解题的关键.21．（1）120°；（2）DE ＝AD +CD ，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC ＝∠ACB ＝75°，根据全等三角形的性质得到∠BAD ＝∠CAD ＝15°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）在线段DE 上截取DM ＝AD ，连接AM ，得到△ADM 是等边三角形，根据△ABD ≌△AEM ，得到BD ＝ME ，结合图形证明结论解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝12（180°﹣30°）＝75°，∵DB＝DC，∠DCB＝30°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°，在△ABD和△ACD中，AB AC DB DC AD AD=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝15°，∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°；（2）DE＝AD+CD，理由如下：在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，∵∠ADE＝60°，DM＝AD，∴△ADM是等边三角形，∴∠ADB＝∠AME＝120°．∵AE＝AB，∴∠ABD＝∠E，在△ABD和△AEM中，ABD EADB AME AB AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△AEM（AAS），∴BD＝ME，∵BD＝CD，∴CD＝ME．∵DE＝DM+ME，∴DE＝AD+CD．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD．【分析】（1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC，然后利用AAS即可证明△AEC≌△CDB；（2）在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC≌△CDB和△HGF≌△FEA即可得出结论；（3）在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出结论．解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠BCD+∠ACE=120°，∵∠AEC=60°，∴∠ACE+∠EAC=120°，∴∠BCD=∠EAC，在△AEC和△CDB中∵60 AEC BDCBCD EACAC BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，由（1）知：△AEC≌△CDB，∴BD=CE，∵∠AEC=60°，∴∠AEF =120°，∵∠AFH ＝120°，∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°，∴∠FAE=∠GFH，∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH，∴△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=EF，∴CF=EF+CE=HG+BD；（3）解：HG=CF+BD，理由是：如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，∵∠BDC=60°，∴△BDM是等边三角形，∴∠BMD=60°，∵∠AED=60°，∴∠AEC=∠CMB=120°，∵∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°，∴∠CAE=∠BCE，∵AC=BC，∴△ACE ≌△CBM （AAS ），∴CE=BM=BD ，由（2）可证△HGF ≌△FEA （AAS ），∴GH=FE ，∵EF=CF+CE∴HG=CF+BD ．故答案为：HG=CF+BD ．【点拨】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．23．5【分析】如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，先证明ADE FDE △≌△，得到AE EF =，5A ∠=∠，然后证明CEF CEB △≌△，得到CF BC =，即可求出答案．解：如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，DE 是ADC ∠的角平分线，12∠∠∴=，在△ADE 和△FDE 中，,12,,AD DF DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE FDE SAS ∴△≌△，AE EF ∴=，5A ∠=∠，//AD BC ，180A B ∴∠+∠=︒，56180∠+∠=︒，6B ∴∠=∠， CE 是BCD ∠的角平分线，34∴∠=∠，在CEF △和CEB △中，6,34,,B CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CEF CEB AAS ∴△≌△，CF BC ∴=，325CD DF CF AD BC ∴=+=+=+=．【点拨】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明ADE FDE △≌△是解题关键．24．见解析【分析】在线段AP 上取点D ，使得AD CP =，连接CD ，通过证明()ADC CPB SAS △△≌可得135ADC CPB ∠=∠=︒，即45PDC ∠=︒，可推出=CP DP ，再根据PA AD DP =+，即可得证2PA PC =．证明：如图，在线段AP 上取点D ，使得AD CP =，连接CD ，135APB BPC ∠=∠=︒，90APC ∴∠=︒，45ABP PAB ∠+∠=︒，45CBP BCP ∠+∠=︒，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，45CAB CBA ∴∠=∠=︒，45CAP PAB ∴∠+∠=︒，45ABP CBP ∠+∠=︒，CAD ABP BCP ∴∠=∠=∠，在ADC 和CPB △中，,,,AC CB CAD BCP AD CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADC CPB SAS ∴△△≌，135ADC CPB ∴∠=∠=︒，45∴∠=︒，PDC∴△是等腰直角三角形，CPD∴=，CP DP=+，PA AD DP∴=．2PA PC【点拨】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．25．见解析【分析】过F作FH⊥AE于H，得出FH=FD，然后证明△FHE≌△FCE，再通过等价转换可证得AE=EC+CD．【详解】证明：过F作FH⊥AE于H，如图，∵AF平分∠DAE，∠D=90°，FH⊥AE，∴∠DAF=∠EAF，FH=FD，又∵DF=FC=FH，FE为公共边，∴△FHE≌△FCE（HL）．∴HE=CE．∵AE=AH+HE，AH=AD=CD，HE=CE，∴AE=EC+CD．【点拨】本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，也考查了等量代换的思想，属于比较典型的题目．26．（1）见解析；（2）图2：BH DE DH -=；图3：DE BH DH -=【分析】（1）在线段AH 上截取HM=BH ，连接CM ，CD ，证明△DMC ≌△DEC ，即可可得DE=DM 则结论可得；（2）当点D 在线段BA 延长线上时，在BA 的延长线上截取MH=BH ，连接CM ，DC ，由题意可证△BHC ≌△CHM ，可得∠B=∠CMB ，由题意可得∠B=∠AED ，即可证△DMC ≌△DEC ，可得DE=DM ，则可得DH=BH-DE ；当点D 在线段AB 延长线上时，在线段AB 上截取BH=HM ，连接CM ，CD ，由题意可证△BHC ≌△CHM ，可得∠B=∠CMB ，由题意可得∠B=∠AED ，即可证△DMC ≌△DEC ，可得DE=DM ，则可得DE=DH+BH ．． 解：（1）证明：在AH 上截取HM BH =，连接CM ，CD ．∵CH AB ⊥，HM BH =∴CM BC =．∴B CMB ∠=∠．∵AB AC =∴B ACB ∠=∠．∵//DE BC ，∴ADE B AED ACB ∠=∠=∠=∠，CDE BCD ∠=∠．∴AED BMC ∠=∠．∴DEC DMC ∠=∠．∵BD BC =，∴BDC BCD EDC ∠=∠=∠．∵CD CD =，∴ΔΔCDM CDE ≅．∴DM DE =．∴DE BH DM HM DH +=+=．（2）当点D 在线段BA 延长线上时，DH=BH-DE如图：在BA 的延长线上截取MH=BH ，连接CM ，DC∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB ，∵BD=BC ，∴∠BDC=∠DCB∵DE ∥BC∠E=∠ACB=∠B=∠EDB∵CH=CH ，BH=MH ，∠BHC=∠CHM∴△BHC ≌△CHM∴∠B=∠M∴∠E=∠M∵∠MDC=∠B+∠DCB ，∠EDC=∠BDC+∠EDB∴∠MDC=∠EDC又∵∠E=∠M ，DC=CD∴△DEC ≌△DMC∴DE=DM∵DH=MH-DM∴DH=BH-DE当点D在线段AB延长线上时，DE=BH+DH如图在线段AB上截取BH=HM，连接CM，CD∵BH=HM，CH=CH，∠CHB=∠MHC=90°∴△MHC≌△BHC∴∠ABC=∠BMC∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，∵BD=BC∴∠BDC=∠BCD∵BC∥DE∴∠BCD=∠CDE，∠ACB=∠AED∴∠BDC=∠CDE，∠BMC=∠AED，且CD=CD∴△CDM≌△CDE∴DE=DM∵DM=DH+HM∴DE=DH+BH．【点拨】本题考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定．添加恰当的辅助线证全等是本题的关键．27．（1）正确．证明见解析；（2）正确．证明见解析.【分析】=，连接ME，根据已知条件利用ASA判定（1）在AB上取一点M，使AM EC=．AME ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE EF（2）在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE ，根据已知利用ASA 判定ANE ECF ，因为全等三角形的对应边相等，所以AE EF =．解：（1）正确．证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．BM BE ∴=，45BME ∴∠=°，135AME ， CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=︒，135ECF ∴∠=°，AME ECF ， 90AEB BAE ，90AEB CEF ∠+∠=︒，BAE CEF ∴∠=∠，()AME ECF ASA ，AE EF ∴=．（2）正确．证明：如图示，在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE ．∴=，BN BEN NEC，45∠，CF平分DCGFCE，45N ECF，四边形ABCD是正方形，AD BE∴，//DAE BEA，即9090DAE BEA，NAE CEF，ANE ECF ASA，()∴=．AE EF【点拨】此题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法，熟悉相关性质是解题的关键．28．见解析【分析】在AB上找到F使得AF＝AD，易证△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根据平行线性质可证∠C＝∠BFE，即可证明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解题．证明：在AB上找到F使得AF＝AD，∵AE 平分∠BAD ，∴∠EAD ＝∠EAF ，∵在△AEF 和△AED 中，AD AF EAD EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AED ，（SAS ）∴AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，∵AD ∥BC ，∴∠D ＋∠C ＝180°，∵∠AFE ＋∠BFE ＝180°∴∠C ＝∠BFE ，∵BE 平分∠BAD ，∴∠FBE ＝∠C ，∵在△BEC 和△BEF 中，BFE C FBE CBE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△BEF ，（AAS ）∴BF ＝BC ，∵AB ＝AF ＋BF ，∴AB ＝AD ＋BC ，即AD ＝AB ﹣BC ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AED 和△BEC ≌△BEF 是解题的关键．29．（1）BC＝203；（2）见解析.【分析】（1）如图①中，设AM＝3k，DM＝4k，则AD＝5k，由△ADM∽△NDA，可得AD2＝DM•AN，由此构建方程即可解决问题．（2）如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH．证明△ADK≌△CBH（SAS），推出AK＝CH，再证明Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），推出MK＝HN即可解决问题．（1）解：如图①中，∵AM⊥DN，∴∠AMD＝90°，∵tan∠ADM＝AIIDN＝34，∴可以假设AM＝3k，DM＝4k，则AD＝5k，∵AD⊥AN，∴∠DAN＝90°＝∠AMD，∵∠ADM＝∠ADN，∴△ADM∽△NDA，∴AD2＝DM•AN，∴（5k）2＝4k（4k+3），解得k＝43，∴AD＝203，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝203．（2）证明：如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADK＝∠BNQ，∵BH∥DQ，∴∠CBH＝∠BNQ，∴∠ADK＝∠CBH，∵DK＝BH，DA＝BC，∴△ADK≌△CBH（SAS），∴AK＝CH，∵AM⊥DQ，AN⊥AD，AD∥BC，∴AN⊥BC，∴∠AMK＝∠CNH＝90°，∵AM＝CN，∴Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），∴MK＝NH，∴DM＝DK+MK＝BH+HN．【点拨】本题考查了三角形的综合问题，掌握解直角三角形、相似三角形的性质以及判定定理、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．30．（1）6；（2）3 2【分析】（1）在CN上截取点H，使CH=CM，先证出△CMH为等边三角形，然后利用ASA证出△AMC≌△NMH，从而得出AC=NH，从而求出结论；（2）连接BQ，利用SAS证出△QCB≌△PCA，从而得出∠CBQ=∠CAP，然后根据三线合一和等量代换即可求出∠CBQ=30°、∠ABQ =90°，从而判断出点Q的运动轨迹，然后根据垂线段最短即可得出当DQ⊥BQ时，DQ最短，然后利用30°所对的直角边是斜边的一半即可得出结论．解：（1）在CN 上截取点H ，使CH=CM ，连接MH∵△ABC 为等边三角形∴∠ACB=60°，AC=AB=6∴∠ACM=180°－∠ACB=120°∵CN 平分∠ACM∴∠MCN=12∠ACM=60° ∴△CMH 为等边三角形∴CM=HM ，∠CMH=∠CHM=60°∴∠NHM=180°－∠CHM=120°，∠AMC ＋∠AMH=60°∴∠ACM=∠NHM∵60AMN ∠=︒∴∠NMH ＋∠AMH=60°∴∠AMC=∠NMH在△AMC 和△NMH 中AMC NMH CM HMACM NHM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AMC ≌△NMH∴AC=NH∴CN CM -=CN －CH=NH=AC=6（2）连接BQ∵△ABC 和△CPQ 都是等边三角形∴BC=AC ，QC=PC ，∠PCQ =∠ACB=∠ABC=∠BAC =60°∴∠PCQ －∠PCB=∠ACB －∠PCB∴∠QCB=∠PCA在△QCB 和△PCA 中BC AC QCB PCA QC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QCB ≌△PCA∴∠CBQ=∠CAP∵AD BC ⊥∴∠CAP=12∠BAC=30°，BD=12BC=3 ∴∠CBQ=30°∴∠ABQ=∠ABC ＋∠CBQ=90°∴点Q 在过点B 作AB 的垂线上运动根据垂线段最短可得：当DQ ⊥BQ 时，DQ 最短此时在Rt △BDQ 中，∠QBD=30°∴DQ=12BD=32即DQ 的最小值为32． 【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、直角三角形的性质和垂线段最短的应用，掌握构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、30°所对的直角边是斜边的一半和垂线段最短是解决此题的关键． 31．（1）∠CPD=60°；（2）详见解析【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义，三角形的外角性质即可求出；（2）在AC 上截取AF=AE ，先证明△APE ≌△APF （SAS ），再证明△CFP ≌△CDP （ASA ），根据全等三角形的性质证明AE CD AC +=即可．解：（1）∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，又∵AD 、CE 分别平分∠∠、BAC ACB ， ∴12CAD BAC ∠=∠，12ACE ACB ∠=∠ ∴111()60222CAD ACE BAC ACB BAC ACB ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒， 又∵∠CPD 是△ACP 的外角，∴∠CPD=∠CAD+∠ACE=60°，∴∠CPD=60°．（2）如图，在AC 上截取AF=AE ，连接PF ，∵∠CPD=60°，∴∠APC=120°，∠APE=60°∵AD 平分∠BAC ，CE 平分∠ACB ，∴∠BAD=∠CAD ，∠ACE=∠BCE在△APE 与△APF 中AE AF BAD CAD AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APE ≌△APF （SAS ）∴∠APF=∠APE=60°，∴∠CPF=∠AOC-∠APF=60°，在△CFP 与△CDP 中，ACE BCE CP CPCPD CPF ∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△CFP ≌△CDP （ASA ）。
专题03 全等三角形的六种模型全梳理(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册人教版)
专题03全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。
类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。
将分散的条件集中到一个三角形中。
如图1，ABC 中，若86AB AC ==，，求BC 边上的中线小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图连接BE ．请根据小明的方法思考：（1）如图2，由已知和作图能得到ADC EDB ≌△△A ．SSS B ．SAS C ．AAS D ．ASA（2）如图2，AD 长的取值范围是．（2）根据全等三角形的性质得到6AC BE ==，由三角形三边关系得到AB BE AE AB BE -<<+，即可求出17AD <<；（3）延长AD 到点M ，使AD DM =，连接BM ，证明ADC MDB △△≌，得到BM AC CAD M =∠=∠，，由AE EF =得到CAD AFE ∠=∠，进而推出BF BM =，即可证明AC BF =．【详解】解：（1）如图2，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ．∵AD 为BC 的中线，∴BD CD =，又∵AD DE ADC BDE =∠=∠，，∴()SAS ADC EDB ≌△△，故答案为：B ；（2）解：∵ADC EDB ≌△△，∴6AC BE ==，在ABE 中，AB BE AE AB BE -<<+，∴86286AD -<<+，∴17AD <<，故答案为：C ；（3）证明：延长AD 到点M ，使AD DM =，连接BM ，∵AD 是ABC 中线，∴CD BD =，∵在ADC △和MDB △中，DC DB ADC MDB AD HD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ADC MDB ≌△△，∴BM AC CAD M =∠=∠，，∵AE EF =，(1)如图1，求证：12BF AD =；(2)将DCE △绕C 点旋转到如图2所示的位置，连接,AE BD ，过C 点作CM ⊥①探究AE 和BD 的关系，并说明理由；②连接FC ，求证：F ，C ，M 三点共线．【答案】(1)见解析(2)①,AE BD AE BD =⊥，理由见解析②见解析【分析】（1）证明≌ACD BCE V V ，得到AD BE =，再根据点F 为BE 中点，即可得证；则：AGB CBD BHG ∠=∠+∠=∠∵CBD EAC ∠=∠，∴90BHG ACB ∠=∠=︒，∴AE BD ⊥，综上：,AE BD AE BD =⊥；②延长CF 至点P ，使PF CF =∵F 为BE 中点，∴BF FE =，∴()SAS BFP EFC ≌，∴,BP CE BPF ECF =∠=∠，∴CE BP ，∴180CBP BCE ∠+∠=︒，∵360180BCE ACD ACB DCE ∠+∠=︒-∠-∠=︒，∴CBP ACD ∠=∠，又,CE CD BP AC BC ===，∴()SAS PBC DCA ≌，∴BCP CAD ∠=∠，延长FC 交AD 于点N ，则：18090BCP ACN ACB ∠+∠=︒-∠=︒，∴90CAD ACN ∠+∠=︒，∴90ANC ∠=︒，∴CN AD ⊥，∵CM AD ⊥，∴点,M N 重合，即：F ，C ，M 三点共线．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质．熟练掌握手拉手全等模型，倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．【变式训练1】如图，ABC 中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：2AB AE =．【答案】见解析【分析】利用中线加倍证DEF CEA △≌△（SAS ），可得DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，由DC AC =，可得ADC CAD ∠=∠进而可证ADF ADB ∠=∠.，再证ADB ADF △≌△（SAS ）即可．【详解】证明：延长AE 到F ，使EF AE =，连结DF ，∵E 是DC 中点，∴DE CE =，∴在DEF 和CEA 中，DE CE DEF CEA EF EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DEF CEA △≌△（SAS ），∴DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，∵DC AC =，∴ADC CAD ∠=∠，又∵ADB C CAD ∠=∠+∠，ADF FDE ADC ∠=∠+∠，∴ADF ADB ∠=∠，在ADB 和ADF △中，AD AD ADB ADF DB DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB ADF △≌△（SAS ），∴2AB AF AE ==．【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键．【变式训练2】（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+；（3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD ，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；（2）取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB =CQ ，AD =EQ ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；（3）同（2）处理方式一样，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【详解】证：（1）如图所示，延长AD 至P 点，使得AD =PD ，连接CP ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 的中点，BD =CD ，在△ABD 与△PCD 中，BD CD ADB PDC AD PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△PCD (SAS )，∴AB =CP ，在△APC 中，由三边关系可得AC +PC ＞AP ，∴2AB AC AD +>；（2）如图所示，取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，∵H 为DE 中点，D 、E 为BC 三等分点，∴DH =EH ，BD =DE =CE ，∴DH =CH ，在△ABH 和△QCH 中，BH CH BHA CHQ AH QH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABH ≌△QCH (SAS )，同理可得：△ADH ≌△QEH ，∴AB =CQ ，AD =EQ ，此时，延长AE ，交CQ 于K 点，∵AC +CQ =AC +CK +QK ，AC +CK ＞AK ，∴AC +CQ ＞AK +QK ，又∵AK +QK =AE +EK +QK ，EK +QK ＞QE ，∴AK +QK ＞AE +QE ，∴AC +CQ ＞AK +QK ＞AE +QE ，∵AB =CQ ，AD =EQ ，∴AB AC AD AE +>+；（3）如图所示，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，∵M 为DE 中点，∴DM =EM ，∵BD =CE ，∴BM =CM ，在△ABM 和△NCM 中，BM CM BMA CMN AM NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABM ≌△NCM (SAS )，同理可证△ADM ≌△NEM ，∴AB =NC ，AD =NE ，此时，延长AE ，交CN 于T 点，∵AC +CN =AC +CT +NT ，AC +CT ＞AT ，∴AC +CN ＞AT +NT ，又∵AT +NT =AE +ET +NT ，ET +NT ＞NE ，∴AT +NT ＞AE +NE ，∴AC +CN ＞AT +NT ＞AE +NE ，∵AB =NC ，AD =NE ，∴AB AC AD AE +>+．【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．【答案】（1）1.5 6.5AE <<；（2）见解析；（3）BE DF EF +＝，理由见解析【分析】（1）如图①：将ACD △绕着点D 逆时针旋转180 得到EBD △可得BDE ≅ 得出5BE AC ==，然后根据三角形的三边关系求出AE 的取值范围，进而求得AD 范围；（2）如图②：FDC △绕着点D 旋转180︒得到NDB 可得BND CFD ≅ ，得出BN∴1.5 6.5AD ＜＜；故答案为1.5 6.5AD ＜＜；（2）证明：如图②：FDC △绕着点D 旋转180︒得到NDB∴BND CFD ≅ （SAS ），∴BN CF =，DN DF=∵DE DF⊥∴EN EF =，在BNE 中，由三角形的三边关系得：BE BN EN +＞，∴BE CF EF +＞；（3）BE DF EF +＝，理由如下：如图③，将DCF 绕着点C 按逆时针方向旋转100︒∴△DCF ≌△BCH ，∴100CH CF DCB FCH ∠∠=︒＝，＝∴HBC D DF BH∠∠=＝，∵180ABC D ∠+∠︒＝∴180HBC ABC ∠+∠︒＝，∴点A 、B 、H 三点共线∵100FCH ∠=︒，50FCE ∠=︒，∴50ECH ∠=︒∴FCE ECH ∠∠＝，在HCE 和FCE △中，===CF CH ECF ECH CE CE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴HCE FCE ≌ （SAS ）∴EH EF ＝，∵BE BH EH DF BH+=＝，∴BE DF EF +＝．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键.类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）(1)求证：CD BC DE=+；(2)若75B∠=︒，求E∠的度数．【答案】(1)见解析(2)105︒【分析】（1）在CD上截取CF∵CA平分BCD∠，∴BCA FCA∠=∠．在BCAV和FCA△中，⎧⎪∠⎨⎪⎩，∠=︒BAC60【答案】（1）5.8；（2）4.3【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB形，得出AC ＝CE ＝3.6，DE ＝BE ＝2.2，相加可得BC 的长；（2）在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，得到△DEB ≌△DBC （SAS ），在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，得到△BDE ≌△FDE ，即可推出结论．【详解】解：（1）如图2，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ．在△ACD 与△ECD 中，AC CE ACD ECD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴AD ＝DE ，∠A ＝∠DEC ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠DEC ＝2∠B ，∴∠B ＝∠EDB ，∴△BDE 是等腰三角形；∴BE ＝DE ＝AD ＝2.2，AC ＝EC ＝3.6，∴BC 的长为5.8；（2）∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，∴∠ABC ＝∠C ＝80°，∵BD 平分∠B ，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC ＝60°，在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，在△DEB 和△DBC 中，12BE BC BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEB ≌△DBC （SAS ），∴∠BED ＝∠C ＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，同理可得△BDE ≌△FDE ，∴∠5＝∠1＝40°，BE ＝EF ＝2，∵∠A ＝20°，∴∠6＝20°，∴AF ＝EF ＝2，∵BD ＝DF ＝2.3，∴AD ＝BD +BC ＝4.3．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
专题研究：全等三角形证明方法归纳及典型例题
专题12:全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的 高相等，对应角的角平分线相等，面积相等. 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边. (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角. (3) 有公共边的，公共边常是对应边. (4) 有公共角的，公共角常是对应角. (5) 有对顶角的，对顶角常是对应角.(6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对 最短边(或最小角)是对应边(或对应角)•要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、 角相等、两直线垂直等问 题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线.三角形全等的作用：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和 大小关系•而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础.一、找边相等的方法1、利用等角对等边(注意：必须在同一个三角形中才能考虑) 例 1、如图，已知/ 1 = / 2，Z 3=Z 4,求证：AB=CD2、利用公共边相等例1、AB=AC DB=DC F 是AD 的延长线上的一点。
求证:练习、已知：如图所示， AB= AD, BC= DC E 、F 分别是DG BC 的中点，求证： AE = AF 。
BF=CFC3、利用等量代换（即AB+公共边=DE公共边，那么AB=DE）例 1 女口图：AB=CD AE=DF CE=FB 求证：AF=DE4、利用三角形中线定理，或者等边三角形例1.如图：AB=AC MEL AB, MH AC,垂足分别为E、F, ME=MF 求证：MB=MC练习、如图所示，已知AE L AB, AF L AC, AE=AB AF=AC 求证：(1) EC=BF (2) EC L BF5、利用三角形角平分线定理例1、如图，在△ ABC中, D是边BC上一点，AD平分/ BACDE垂直AB,DC垂直AC,连结DE,已知DE=2cm BD=3cm求线段BC的长D C练习、已知：如图所示，BD 为/ ABC 的平分线，AB=BC点 P 在 BD 上, PML AD 于 M, ?PN 丄CD 于 N,判断 PM 与PN 的关系.、找角相等的方法1、利用平行直线性质例1已知：如图所示，A 、B C D 在同一直线上,DF// CE (2) DE= CF.2、巧用公共角要点：在证两三角形全等时首先看两个三角形是不是有公共交点， 如果有公共交点, 在看他们是否存在公共角例1.如图所示, D 在ABE 在 AC 上,AB=AC / B=Z C.求证:At > BC, AE = BF , CE = DF,试说明：(1)AD=AE已知：如图，AD=AE,A吐AC,BD CE相交于O.求证：OD= OEE三、利用对顶角相等例1、已知：四边形 ABCD 中, AC 、BD 交于0点,AO=OC , BA 丄AC, DC 丄AC 垂足 分别为A , C .求证：AD=BC已知：如图，在 AB AC 上各取一点，E 、D,使AE=AD 连结BD CE BD 与CE 交 于0,连结A0 /仁/ 2,求证：/ B=Z C四、利用等量代换关系找出角相等例 1.已知：如图， AE=AQ AD=AB,Z EAC 玄 DAB 求证：△ CAB已知：如图,AB=AC,AD=AE / BAC M DAE.求证:BDB(1) 常用的在直角三角形中找出角相等的条件例1、如图，△ ABC中，/ BA(=90度，AB=AC BD是/ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证：BD=2CE△ ABC中, / ACB=90 ,AC=BC,AE是BC边上的中线，过C作CF丄AE,垂足为F,过B 作BDL BC交CF的延长线于D.求证:(1)AE=CD;(2)若AC=12cm求BD的长.三、常见辅助线补充全等三角形找全等三角形的方法：(1)可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；(3)可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(二) “中点”之六大模型
“中点”模型秘诀： 中点问题常用性质及常见辅助线作法
1．多个中点或“平行＋中点”―联―想→构造中位线； 联想
2．直角＋斜边中点――→直角三角形斜边中线的性质； 3．等腰＋底边中点―联―想→等腰三角形三线合一；
联想 4．同一边遇垂直＋中点――→垂直平分线性质； 5．中线或与中点有关线段―联―想→倍长中线构造全等； 6．圆＋弦(弧)的中点―联―想→垂径定理．
如图，∠ABC＝∠ADC＝90°.M，N 分别是 AC，BD 的中点，AC＝10，
BD＝8，则 MN 为
( A)
A．3
B．4
C．5
D．6
【思路点拨】连接 MB，MD，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半可证 MB＝MD，再由 ND，根据等腰三角形“三线合一”性质，得 MN⊥BD，在 Rt△BMN 中，利用勾股定理即可求解．
7 中点，过点 D 作 DE⊥AB 交 BC 的延长线于点 E，则 CE 的长为__ 3 __.
【思路点拨】根据勾股定理易求得 AB＝10，则 BD＝5，易证△ABC∽△EBD， 则 BC∶BD＝AB∶(BC＋CE)，从而求得 CE 的长．
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC.∠A＝120°，BC＝6 cm，AB，AC 的垂直 平分线分别为 ME 与 NF，交 BC 边于点 M，N，则 NM 的长为__22__cm.
证明：如解图，延长 FD 到 G，使 DG＝DF，连接 CG. ∵AD 是 BC 边的中线，∴BD＝CD. 在△BDF 和△CDG 中，
BD＝ CD，
∠BDF＝∠CDG， DF＝ DG， ∴△BDF≌△CDG(SAS)，∴BF＝CG，∠BFD＝∠G.
∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，
八年级全等三角形中的中点、中线问题
全等三角形中的中点、中线问题三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．【例1】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．FEDCBA【巩固】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．DCBA【例2】 如图，已知AB DC =，AD BC =，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 、BC 的延长线于E F ，．求证：E F ∠=∠21OFEDCBA【例3】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥． OF E DBA【巩固】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．FEDCBA【例4】 已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【例5】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．求证：BDE CDF ∆∆≌．FEDCBA【例6】 已知ACB ∆，B ACB ∠=∠，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD CE =，连接DE 交底BC于G ，求证GD GE =．GED C BA【例7】 如左下图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点且AC CE =，F 为AE 的中点．求证：BF FD ⊥．F EDCBA【例8】 如右下图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高，D 为BC 的中点，DM EF ⊥于M ．求证：FM EM =．MFED CB A【例9】 已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．MCBA【例10】 在△ABC 中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【例11】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．DCBA【例12】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FEDC BA【例13】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？FED CBA【例14】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFACD E B【例15】 ABC ∆中，AB AC >，AD 、AE 分别是BC 边上的中线和A ∠的平分线，则AD 和AE 的大小关系是AD ______AE ．(填“>”、 “<”或“=”)E AB CD 【例16】 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．FE AB D C【巩固】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？FEDCBA【例17】 如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+．NMDCBA【巩固】在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．FEDCBA【例18】 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使B D A B =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，求证2CD EC =．ECB A【例19】 已知ABC ∆中，AB AC =，BD 为AB 的延长线，且BD AB =，CE 为ABC ∆的AB 边上的中线．求证2CD CE =EDCB A1. 如图，AC 、BD 相交于O 点，且AC BD =，AB CD =，求证：OA OD =．ABCDO2. 如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．A BCD EF3. 如图所示，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．DCB AD'C'B'A'4. 如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．F GE DCBA5. 如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．MECBA。
初中数学—全等三角形解题方法、思路及技巧汇总
初中数学—全等三角形解题方法、思路及技巧汇总全等三角形是初中数学中非常重要的内容，今天我们就把初二数学中，与全等三角形相关的方法、思路及技巧都来整理一下。
一、全等三角形的性质与判定。
五种判定方法：SSS，SAS，AAS，ASA，HL，其中HL是边边角（SSA的特例）。
全等三角形的对应边相等，对应角相等，一句话，凡是对应的，都相等。
二、寻找全等三角形常用方法1、直接从结论入手一般会有以下几种要求证的方向：•线段相等•角相等•度数•线段或者线段的和、差、倍、分关系然后根据题目要求证的方向，找到要证明的相关量分别在哪两个三角形中，再围绕这两个三角形进行研究。
2、从已知条件入手把所有能标注在图上的已经条件标注出来，注意用不同的标示进行区分，比如第一组相等的线段用一条短竖，第二组相等的线段用两条短竖，再比如第一组相等的角用一个小圆弧，第二组相等的角就用两个小圆弧等。
然后通过已知条件找到相关的两个三角形，再进行分析。
记住一句话：“充分利用已知条件”。
3、把已经条件和结论综合起来考虑找到所有的已知条件和隐藏条件，结合结论，找出可能全等的两个三角形，再进行分析。
4、如果上述方法都确定行不通，就考虑添加辅助线来构造全等三角形。
三、构造全等三角形的一般方法1、题目中出现角平分线（1）通过角平分线上的某个已知点，向两边作垂线，这是利用角平分线的性质定理或者逆定理来构造的全等三角形（2）在角平分线的某个已知点，作角平分线的垂线和两边相交，构造全等三角形。
（3）在该角的两边，距离角的顶点相等长度的位置上截取两点，分别连接这两点与角平分线上的某已知点，构造全等三角形2、题目中出现中点或者中线（中位线）（1）倍长中线法，把中线延长至二倍位置（2）过中点作某一条边的平行线3、题目中出现等腰或者等边三角形（1）找中点，倍长中线（2）过顶点作底边的垂线（3）过某已知点作一条边的平行线（4）三线合一4、题目中出现三条线段之间的关系通常用截长补短法，在某条线段上截取一段线段，使之与特定的线段相等，或者将某条线段延长，使之与特定线段相等。
专题训练全等三角形的性质和判定的综合
解：(1)图①EF＝BE－DF，易证△ABE≌△DAF(AAS)，∴AE＝DF，BE＝AF，∴EF＝ AF－AE，∴EF＝BE－DF (2)图②EF＋BE＝DF (3)图③BE＋DF＝EF
10．如图①，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE，AC＝BC，CD＝CE，M，N分别为AE， BD的中点，连接CM，CN.
专题训练全等三角形的性质和判定的综合
一、利用全等三角形解决与线段有关的证明与计算问题 1．如图，AB＝CD，BD＝AC，AB∥CD，求证：AB⊥BC. 解：∵AB＝CD，AC＝BD，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SSS)，∴∠ABC＝∠DCB， 又∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∴AB⊥BC
11．如图①，在平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ直角坐标系中，将直角三角形的顶点放在点P(4，4)处，两直角边与 坐标轴分别交于点A，B.
(1)求OA＋OB的值； (2)如图②，将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴分别交于点A，B，求OA －OB的值．
解 ： (1) 作 PM⊥x 轴 于 点 M ， PN⊥y 轴 于 点 N ， 可 证 ∠ APM ＝ ∠ BPN ， 从 而 由 AAS 证 △PAM≌△PBN，∴AM＝BN，∵OM＝ON＝4，∴OA＋OB＝OM＋ON＝8 (2)作PM⊥x轴 于点M，PN⊥y轴于点N，可证∠APM＝∠BPN，从而由AAS证△PAM≌△PBN，∴AM＝ BN，∵OM＝ON＝4，∴OA－OB＝OM＋ON＝8
4．如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分∠DAB，∠CBA，BE 的延长线交AD的延长线于点F.
(1)求证：△ABE≌△AFE； (2)求证：AD＋BC＝AB.
解 ： (1)∵AE 平 分 ∠ DAB ， ∴ ∠ BAE ＝ ∠ FAE ， ∵ BE 平 分 ∠ CBA ， ∴ ∠ ABE ＝ ∠ CBE ， ∵ AD∥BC ， ∴ ∠ F ＝ ∠ CBE ， ∴ ∠ ABE ＝ ∠ F ， 在 △ ABE 和 △ AFE 中 ， ∵ ∠ ABE ＝ ∠ F ， ∠ BAE ＝ ∠ FAE ， AE ＝ AE ， ∴ △ ABE≌△AFE(AAS) (2)∵△ABE≌△AFE，∴BE＝FE，AB＝AF，在△BCE和△FDE中，∵∠CBE＝∠F， BE＝FE，∠BEC＝∠FED，∴△BCE≌△FDE(ASA)，∴BC＝FD，∵AD＋DF＝AF， AB＝AF，∴AD＋BC＝AB
全等三角形知识点演练(5大核心考点,91题)讲练)2023年中考数学一轮大单元复习
专题4.3 全等三角形考点1：全等形和全等三角形性质例1．（1）（2022秋·江苏连云港·八年级校考阶段练习）下列图标中，不是由全等图形组合成的是（）A．B．C．D．（2）（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，△ABC≌△DEF，且∠A=55°，∠B=75°，则∠F=______°．（3）（2022秋·湖南岳阳·八年级校考期中）如图，△ABC≌△DEC，点B、C、D在同一直线上，且BD=12，AC=7，则CE长为____________．知识点训练1．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）与下图全等的图形是（）A．B．C．D．2．（2020秋·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）找出下列各组图中的全等图形（）A．②和⑥B．②和⑦C．③和④D．⑥和⑦3．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期末）如图，△DBC≌△ECB，且BE与CD相交于点A，下列结论错误的是（）A．BE=CD B．AB=ACC．∠D=∠E D．BD=AE4．（2023秋·四川自贡·八年级统考期末）如图所示，△ABC≌△AEF，∠B=∠E，有以下结论：①AC=AE；②EF=BC；③∠EAB=∠FAC；④∠EFA=∠AFC．其中正确的个数是（）5．（河北省唐山市2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题）如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE=1，CD=3，则BD的长是（）A．1.5B．2C．3.5D．46．（2023秋·四川南充·八年级统考期末）如图，点A，E，C在同一直线上，△ABC≌△DEC，AE=3，CD=8，则BC的长为（）A．3B．5C．8D．117．（2023秋·天津·八年级统考期末）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，DF与BC交于点G．若∠A=26°，∠CGF=83°，则∠E的度数是（）A．34°B．36°C．38°D．40°8．（2022秋·河南许昌·八年级统考期中）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD=0.8，BC=1.6，则AF=（）9．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等B．三个角都分别相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等10．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）下列说法：①角是轴对称图形；②等腰三角形有三条对称轴；③关于某直线成轴对称的两个三角形全等；④两个全等三角形一定关于某条直线成轴对称．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠1−∠2−∠3的度数为（）．A．30°B．45°C．55°D．60°12．（2023·福建南平·统考一模）如图，在△ABC中，∠BAC=135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E．当点A、D、E在同一条直线上时，下列结论不正确．．．的是（）A．△ABC≌△DEC B．AE=AB+CDC．AD=√2AC D．AB⊥AE13．（2021秋·陕西商洛·八年级统考期末）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A(−4,0)，B(0,3)．若在该坐标平面内有一点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P 为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（）A．3个B．4个C．6个D．7个14．（2023秋·云南曲靖·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(0,6)，点C在x轴上运动（不与点A重合），点D在y轴上运动（不与点B重合），当以点C、O、D为顶点的三角形与△AOB全等时，则点D的坐标为______．15．（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）如图，△AOD≌△BOC，∠A=30°，∠C=50°，∠AOC=150°，则∠COD=______°．16．（2023秋·四川南充·八年级统考期末）如图，△ABC绕点C旋转得到△DEC，点E在边AB上，若∠B=75°，则∠ACD的度数是_________．考点2：全等三角形的判定及应用例2．（1）（2023秋·山东威海·七年级统考期末）为了测量湖的宽度AB，小明同学先从A点走到点O处，再继续向前走相同的距离到达点C（即OC=OA），然后从点C沿与AB平行的方向，走到与点O，B共线的点D处，测量C，D间的距离就是湖的宽度．下列可以判断△OCD≌△OAB的是（）A．SSS B．SSA C．SAS D．ASA（2）（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，已知∠CAE=∠DAB，AC=AD，请你再添加一个条件：___________，使△ABC≌△AED．（3）（2023秋·江苏徐州·八年级统考期末）根据下列条件，能确定△ABC（存在且唯一）的是（）A．AB=2，BC=3，AC=6B．AC=4，BC=3，∠A=60°C．AB=5，BC=3，∠B=30°D．∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°（4）（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=65°，∠BAC=70°，AD⊥BC于点D，BM⊥AC于点M，AD与BM交于点P，则∠BPC=______．例3（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于点O，P是OC的中点，D是BC延长线上一点，满足PB=PD．(1)求证∠1=∠2；(2)探究CD与AP之间的数量关系，并给出证明．例4．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）综合与实践【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），△ABC中，AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图得到△ADC≌△EDB的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL(2)求得AD的取值范围是___________．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图（2），AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．知识点训练1．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘,∠ABC=25∘，O为斜边中点，将线段OA绕点O逆时针旋转a(0∘<α<90∘)至OP，若CB=CP，则α的值为（）A．80∘B．65∘C．50∘D．40∘2．（2023秋·山东威海·七年级统考期末）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，BE=2，CE=4，则AE=（）A．6B．5C．8D．73．（海南省海口市（部分校）2022-2023学年八年级上学期期末检测数学试题（A））如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，等腰直角△ABC的三个顶点A、B、C分别在直线l2、l1、l3上，∠ACB=90°，则△ABC的面积为（）D．25A．10B．12C．2524．（2022秋·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠2+∠3的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°5．（2022秋·安徽黄山·八年级统考期末）如图，已知等边△ABC和等边△BPE，点P在BC的延长线上，EC的延长线交AP于点M，连接BM，有下列结论：①AP=CE；②∠PME=60°；③MB平分∠AME；④AM+MC=BM，其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④6．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，点E，F在线段AC上，AE=CF，AD⊥DF，CB⊥BE，要根据“HL”证明Rt△ADF≌Rt△CBE，则还需添加的一个条件是（）A．AF=CE B．∠A=∠C C．AD=CB D．AD∥BC7．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点O为△ABC的内心，∠B=60°，BM≠BN，点M，N分别为AB，BC上的点，且OM=ON．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：∠MON=120°；乙：四边形OMBN的面积为定值；丙：当MN⊥BC时，△MON的周长有最小值．则下列说法正确的是（）A．只有甲正确B．只有乙错误C．乙、丙都正确D．只有丙错误8．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，AB与CD相交于点O，且OA=OB，添加下列选项中的一个条件，不能判定△AOC和△BOD全等的是（）A．OC=ODB．∠A=∠BC．AC=BDD．AC∥BD9．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，射线OC为∠AOB的平分线，点M，N分别是边OA，OB上的两个定点，且OM<ON，点P在OC上，满足PM=PN的点P的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个10．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，∠A=∠D，下列条件：①AC= DF；②∠B=∠E；③∠C=∠F；④BC=EF．其中一定能判定△ABC≌△DEF的个数为（）A．1B．2C．3D．411．（2022秋·四川广安·八年级统考期末）如图，AB=DC，若要用“SSS”证明△ABC≌△DCB，需要补充一个条件，这个条件是__________．12．（2022秋·福建莆田·八年级统考期末）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对△ABC及△A′B′C′的对应边或对应角添加一组等量条件（点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定△ABC与△A′B′C′全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．1甲AB=A′B′=2cm2乙∠A=∠A′=35°3甲…上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是___________．（填写所有正确结论的序号）①若第3轮甲添加∠C=∠C′=45°，则甲获胜；②若第3轮甲添加BC=B′C′=3cm，则甲必胜；③若第2轮乙添加条件修改为∠A=∠A′=90°，则乙必胜；④若第2轮乙添加条件修改为BC=B′C′=3cm，则此游戏最多4轮必分胜负．13．（2023秋·山东淄博·七年级统考期末）如图，点C，E，B，F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BF=CE．说明AC∥DF．14．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图AB=AD,CB=CD,AC,BD相交于点E．(1)求证△ABC≅△ADC；(2)求证BE=DE．15．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，CA的延长线上，且CD=AE．求证：∠D=∠E．16．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，已知点O在等边△ABC的内部，∠AOB=105°，∠BOC=α，以OC为边作等边△COD，连接AD．(1)求证：AD=BO；(2)当α=150∘时，试判断△AOD的形状，并说明理由；17．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，连接BD，AB∥CD，且AB=CD．(1)求证：△ABD≅△CDB；(2)若AB=BD，∠ABD=48°，求∠C的度数．18．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，P为CD边上的一点，BC∥AD．AP、BP 分别是∠BAD、∠ABC的角平分线．(1)若∠BAD=70°，则∠ABP的度数为_______，∠APB的度数为____________；(2)求证：AB=BC+AD；(3)设BP=3a，AP=4a，过点P作一条直线，分别与AD，BC所在直线交于点E、F，若AB=EF，直接写出AE的长（用含a的代数式表示）考点3：角平分线性质定理和逆定理例5.（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD=CD,BE=CF．(1)求证：AD 平分∠BAC ；(2)请猜想AB +AC 与AE 之间的数量关系，并给予证明．例6.（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）如图，在△ABC 中，E 是BC 中垂线上一点，EM ⊥AB 于M ，EN ⊥AC 于N ，BM =CN ．求证：AE 平分∠BAC ．知识点训练1．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点B 的坐标为(6,0)，OC 平分∠AOB 交AB 于点C ，反比例函数y =k x (x >0)的图象经过点A ，C ．若S △AOC :S △BOC =2:3，则k 的值为（ ）A ．5√716B ．45√716C ．454D ．916 2．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，以顶点B 为圆心、适当长为半径作弧，在边BC 、BA 上截取BE 、BD ；然后分别以点D 、E 为圆心、以大于DE 的长为半径作弧，两弧在∠CBA 内交于点F ；作射线BF 交AC 于点G ．若AC =6，P 为边AB 上一动点，则GP 的最小值为（ ）A．3B．2C．1D．无法确定3．（2023秋·山东淄博·七年级统考期末）如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MD交AC于点D，AB于点M，以下结论：①△BCD是等腰三角形；②BD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD=AC+ BC；④△ADM≌△BCD．正确的有（）A．①③B．①②C．①②③D．③④4．（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，BD，CE交于点F，连接AF，下列结论：①BD=CE；②∠AEF=∠ADF；③BD⊥CE；④AF 平分∠CAD；⑤∠AFE=45°，其中结论正确的序号是（）A．①②③④B．①②④⑤C．①③④⑤D．①②③⑤5．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．B．角平分线上的点到角两边的距离相等．C．三角形三个内角的平分线交于同一个点．D．三角形三个内角的平分线的交点到三条边的距离相等．6．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，角平分线BE，CD相交于点P，若AP=4，AC=6，则S△APC=（）．A．4B．6C．12D．247．（2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）已知，如图，△ABC中，∠ABC=48°，∠ACB=84°，点D、E分别在BA、BC延长线上，BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，连接AP，则∠PAC的度数为（）A．45°B．48°C．60°D．66°8．（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=108∘，连接AC，BD交于点M，连接OM．甲、乙、丙三人的说法如下，下列判断正确的是（）甲：AC=BD；乙：∠CMD>∠COD；丙：MO平分∠BMCA．乙错，丙对B．甲和乙都对C．甲对，丙错D．甲错，丙对9．（2023秋·重庆大足·八年级统考期末）如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB:S△OBC:S△OAC的值为（）A．4:3:2B．5:3:2C．2:3:4D．3:4:510．（2022秋·甘肃庆阳·八年级统考期中）庆阳市是传统的中药材生产区，优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．如图，三条公路把A、B、C三个盛产中药材的村庄连成一个三角形区域，此地区决定在这个三角形区域内修建一个中药材批发市场，要使批发市场到三条公路的距离相等，则这个批发市场应建在（）A．三角形的三条中线的交点处B．三角形的三条角平分线的交点处C．三角形的三条高的交点处D．以上位置都不对11．（2022秋·海南海口·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，BC=12，AD=4，则△DBC的面积为__________．12．（2023·湖南衡阳·校考一模）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC=30°），OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM=ON，则∠ABO=_______度．13．（2023秋·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，△ABC与△BDE都为等边三角形，连接AE与CD，延长AE交CD于点F，连接FB．给出下面四个结论：①AE=CD；②∠AFC=60°；③BF平分∠EBD；④FB 平分∠EFD.其中所有正确结论的序号是__________．14．（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）已知：OP平分∠MON，点A，B分别在边OM，ON上，且∠OAP+∠OBP=180°．(1)如图1，当∠OAP=90°时，求证：OA=OB；(2)如图2，当∠OAP<90°时，作PC⊥OM于点C．求证：①PA=PB；②请直接写出OA，OB，AC之间的数量关系．15．（2022春·广东茂名·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，CM平分∠ACB交AB 于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，若AN=1，求BC的长．考点4：线段垂直平分线性质定理和逆定理例7. (1)（2023秋·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校考期末）如图，△ABC中，AB<AC<BC，如果要使用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PB=BC，那么符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．(2)（2023秋·云南曲靖·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=110°，EF是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC于F．MN是边AC的垂直平分线，垂足为M，交BC于N．连接AF、AN则∠FAN的度数是（）A．70B．55C．40D．30(3)（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）电信部门要再S区修建一座手机信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路OC，OD的距离也必须相等，则发射塔应建在（）A．∠COD的平分线上任意某点处B．线段AB的垂直平分线上任意某点处C．∠COD的平分线和线段AB的交点处D．∠COD的平分线和线段AB垂直平分线的交点处例8.（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC于点D，且D为CE的中点．(1)求证：BE=AC；(2)若∠C=70°，求∠BAC的度数．知识点训练1．（2022秋·海南海口·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，若AB=6，AC=8，则△ABD 的周长等于（）A．11B．13C．14D．162．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是24，E为腰AB的垂直平分线MN上一动点．点D为BC的中点，则△BDE的周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．113．（2023秋·福建泉州·八年级校联考期末）如图，根据尺规作图的痕迹，计算∠α的度数为（）A．56∘B．68∘C．28∘D．34∘4．（2023秋·山东东营·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADCAB，连接OE．下列结论：①S▱ABCD=AD⋅BC；②DB平分∠CDE；③AO=交AB于点E，∠BCD=60°，AD=12DE；④OE垂直平分BD．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）连接AD，BD，CD，AD与BC交于点E，则下列结论中错误的是（）A．△ABD≌△ACD B．△DBE≌△DCEC．△BCD是等边三角形D．BC垂直平分AD6．（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=75°，DE垂直平分AB，交AB于点D，交BC于点E，若BE=8cm，则AC为______cm．7．（2023秋·重庆万州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，若AD是∠BAC的角平分线，且AB=AD时，则∠B=___________°．8．（2023秋·山东淄博·七年级统考期末）如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，垂足为点F．E是AB上的一点，∠CEF=30°，CF=2．试求△CED的周长．9．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=BC，EF是AB的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点F．(1)按要求作图：作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，交EF于点O，连接OA，OC（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；(2)求证：点O在BC的垂直平分线上；(3)若∠CBD=20°，求∠COF的度数．10．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，∠AOB=30°，M，N分别是射线OA,OB上的动点，OP平分∠AOB，OP=9，则△PMN的周长的最小值为（）C．6D．27A．9B．9211．（2022秋·山东临沂·八年级校考期末）.如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）12．（2023·全国·九年级专题练习）如图，∠HAB=30°，点B与点C关于射线AH对称，连接AC．D点为射线AH 上任意一点，连接CD．将线段CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接BE．(1)求证：直线EB是线段AC的垂直平分线；(2)点D是射线AH上一动点，请你直接写出∠ADC与∠ECA之间的数量关系．13．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）综合与实践问题情境：课堂上老师展示了一张直角三角形纸片．请同学们进行折纸活动，已知在Rt△ABC中．∠ACB=90°，点D、F分别是BC、AB上的一点．连接DF．(1)如图1．小红将△BDF 沿直线DF 折叠，点B 恰好落在BC 上点E 处，若S △BDF S 四边形ACEF=17，则DEDC的值______．(2)如图2，小明将△BDF 沿直线DF 折叠，点B 落在AC 上点E 处，若FE ⊥AC ，求证：四边形BDEF 是菱形； (3)如图3．小亮将△BDF 沿直线DF 折叠，点B 落在AC 延长线上点E 处，且EF 平分∠AED ，若AC =3，BC =4，求CE 的长．14．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）（1）如图1，在△ABC 中，∠A =30°，∠C =90°．求证BC =12AB ．①补全证明过程．证明：如图2，取AB 中点D ，连接CD ． ∴BD =AD =12AB ．在△ABC 中，∠C =90°， ∴______； ∴CD =BD ． 又∠A =30°，∴∠B =90°−∠A =60°． ∴△BCD 为______三角形． ∴BC =BD =12AB ．②请用文字概括①所证明的命题：____________．（2）如图3，某市三个城镇中心D，E，F恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇D为出发点设计了三种连接方案：方案1：DE+EF；方案2：DG+EF（G为EF的中点）；方案3：OD+OE+OF（O为△DEF三边的垂直平分线的交点）．①设DE=6，通过计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短；②不计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短，并说明理由．15．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图1，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．解答下列问题：(1)请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程．已知：如图1，MN⊥AB，垂足为点C，______，点P是直线MN上的任意一点．求证：______．(2)证明：如图2，CD是线段AB垂直平分线，则∠CAD与∠CBD有何关系？请说明理由．考点5：全等三角形的综合问题例9.（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G．(1)求证：DF∥BC；(2)若AE=6，CE=8，求线段GF的长．例10.（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期末）已知OM是∠AOB的平分线，点P是射线OM上一定点，点C、D分别在射线OA、OB上，连接PC、PD．(1)如图①，当PC⊥OA，PD⊥OB时，则PC与PD的数量关系是___________；(2)如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB=90∘，当PC⊥PD时，PC与PD在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由．(3)在问题（2）中，若OC+OD=6，则四边形ODPC的面积S是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．知识点训练1．（2022秋·河南商丘·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D,E分别为边AC,BC上一点，连接BD,DE．已知AB=BE,AD=DE．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)若∠A=55°，求证：∠CDE=14∠ADB．2．（2023秋·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BC=2AB，D是AC上一点，∠ABD=20°，E 是BD上一点，EA⊥AB，EB=EC．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)求∠DEC的度数．3．（2023秋·重庆长寿·九年级统考期末）在图（1）至图（2）中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°．(1)如图（1），若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；(2)将图（1）中的MN绕点O顺时针旋转得到图（2），其中AO=OB．求证：AC=BD，AC⊥BD．4．（2023秋·重庆万州·八年级统考期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得CE=15cm,AD=2cm．(1)试说明OE=BD；(2)求DE的长．5．（2022秋·海南海口·八年级校联考期末）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠MDN=90°，将∠MDN绕点D顺时针旋转，它的两边分别交AB、AC于点E、F．(1)求证：△BDE≌△ADF；(2)如图2，若DM=DN，连接BM、NA，求证：BM=AN．6．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，已知AC平分∠BAF，CE⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且BC= DC．(1)求证：BE=DF；(2)若AB=21，AD=9，求DF的长．7．（2023秋·广西南宁·九年级统考期末）如图，将矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，点E在AD上，延长DA交GF于点H.(1)求证：△ABE≅△FEH；(2)连接BH，若∠EBC=30°，求∠ABH的度数．8．（2023秋·山东威海·七年级统考期末）在四边形ABDE中，点C是BD边的中点．(1)如图①，AC平分∠BAE，∠ACE=90°，写出线段AE，AB，DE间的数量关系及理由；(2)如图②，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE=120°，写出线段AB，BD，DE，AE间的数量关系及理由．9．（2022秋·广西柳州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A(a,0)，B(0,b)，且a，b满足(a−3)2+|b−3|=0，连接AB．(1)求点A，B点的坐标；(2)如图1，动点C从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒(0<t<3)，连接AC，过点C作CD⊥AC，且CD=CA，点D在第一象限，请用含有t的式子表示点D的坐标；(3)在（2）的条件下，如图2，连接并延长DB交x轴于点E，连接AD和AB，过点B作线段BF交x轴于点F，使得∠OBF=∠DCB，已知此时点F的坐标为(−1,0)，求△ADE的面积．10．（2023秋·福建福州·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，点A(0,a)，B(b,0)，C(c,0)，点D在第四象限，其中a>0，b<0，c>0，∠BAC+∠BDC=180°，AC⊥CD．(1)如图1，求证：∠BAO=∠CBD；(2)若|a−c|+b2+6b+9=0，且AB=BD．①如图1，求四边形ACDB的面积；（用含a的式子表示）②如图2，BD交y轴于点E，连接AD，当E关于AD的对称点K落在x轴上时，求CK的长．。
专题——中点的妙用(初三数学)
方法专题：中点的妙用联想是一种非常重要的数学品质.善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。
同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。
看到中点该想到什么？1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半"；3、三角形中遇到两边的中点,常联想“三角形的中位线定理"；4、两条线段相等，为全等提供条件(遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时,常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）;7、倍长中线8、圆中遇到弦的中点,常联想“垂径定理” 中点辅助线模型一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质1、如图1所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点,MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ）A ．65B ．95C ．125D ．165二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”2、如图，在Ｒｔ⊿ABC 中,∠A=90°，AC=AB,M 、N 分别在AC 、AB 上.且AN=BM 。
O 为斜边BC 的中点.试判断△OMN 的形状，并说明理由.3、如图,正方形ABCD 的边长为2， 将长为2的线段QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发,沿图中所示方向按A D C B A →→→→滑动到点A 为止,同时点F 从点B 出发，沿图中所示方向按B A D C B →→→→滑动到点B 为止,那么在这个过程中，线段QF 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（ ） A 。
2 B 。
4－π C 。
π D.1π-NMBO CADA BC QFM三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理” 4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）如图,已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F.你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗？5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）如图所示,在三角形ABC 中,AD 是三角形ABC ∠BAC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6，AC=14，求DE 的长6、(利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理）如图所示，AB ∥CD ，BC ∥AD ，DE ⊥BE ,DF=EF ，甲从B 出发，沿着BA 、AD 、DF 的方向运动，乙B 出发，沿着BC 、CE 、EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B 出发，则谁先到达F 点？7、(综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题)如图，等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB ，对角线AC 、BD 相交于点O,60ACD ∠=︒,点S 、P 、Q 分别是DO 、AO 、BC 的中点.求证:△SPQ 是等边三角形。
微专题 三角形 中点问题五大方法
模型分析
在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半，即CD＝AB，来证明线段间的数量关系，而且可以 得到两个等腰三角形：△ACD和△BCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应 用．
针对训练
2. 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，且CD＝5，则△ABC
的中位线EF的长是( C )
A. 4
B. 5
2 C. 5
D. 12
5
第2题图
方法三 等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质
“例 3 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N.
12
则MN的长为____5____．
例3题图
【思考】在等腰三角形中遇到底边上的中点，你想到了哪些学过的知识： ______等__腰__三__角__形__底__边__中__线__、__高__线__、__顶__角__的__平__分__线__“_三__线___合__一__”_______.
方法一
微专题 中点问题五大方法
(宿迁6考，盐城3考)
见三角形一边的中点，常考虑构造中位线
“例 1 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，D、E分别是AB、AC 的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接DF、EF，则EF的长为__1_4_____．
【思考】在一般三角形中看到中点，你想到了哪些学过的知识：
针对训练
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E，F分别为AB，AC， AD的中点，若BC＝2，则EF的长度为( B ) A. 1
2
B. 1
初中几何“中点问题”解题技巧总结实例
初中几何“中点问题”解题技巧总结实例模型一：多个中点出现或平行+中点（中点在平行线上）时，常考虑或构造三 角形中位线 1模型分析］在三角形中.如果有中点.可构造三角形的 中位线，利用三角形中位线的性质定理xDE//B （^冃DE = △山用5 △朋：解决线段之间的相等或比例关 系及平行问题.r 如图，在LJABCD ,对角线AC 与BD 相交于点（）上 是边C"的中点■连接（慎若AAfiC=60\厶RAC =C. 30° 80S 则乙1的度数为A. 50°练一练BC第1题图D. 20°2.如图，M是AABC的边BC的中点，屈:苹芬7丽C,BN丄加V于点皿且AB = 8,MN = 3•求AC的长-3.如图，在四边形MCD中,M = V#卫分别是ADJiCJiDAC的中点求证:伽Y与PQ互相垂直平分.第3题图答案:1. B2. AC = 14・3.证明：如解图，顺次连接MP、PN、NQ、QM,•・•点M、P分別是线段AD、BD 的中点，・•・MP是的中位线，・•・ MP//AB且MP = yAB, 同理皿〃刖且7VQ二*肚，/. MP//NQ ^MP = NQ,・•・四边形MP/VQ是平行四边形，又•・•点PJV分别是线段BI）、RC的中点，・・・PN是△/?<?/）的中位线，・・.PN = 1cD.又・・・AB二CI）,・•・ PN 二PM,・・・平行四边形MRV0是菱形,・•・MN与刃2互相垂直平分.A—M八第3题解图模型二：直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线等于斜边的一半1模型分析」直角三角形中有斜边中点时■常作斜边上的中线■利用^斜边匕的中线等于斜边的一半"可得CD=A" RD 士AR来解题，有时有直角无屮点，要找屮点「可简记为^直角+中点，等腰必呈现：此模型作用:①证明线段相等或求线段长；②构造角相等进行等量代换.4.如^t LACB=90\D为佃的中点琏接兀并延长到£ ■使CE = —CD,过点8作BF//DE.与AE的延长线交于点八若BF二&求4*的长度・5 如图，四边形ABCD中,AC = 90°,AL)丄叫点E为片〃的中点J)E//RQ 求证;RD平分厶ARC第5题图答案：5.证明:丄DB点E为佃的中点,DE = BE = ~-AB,二厶ABD =厶RDE.T DE//BC,二厶CBD 二 A BDE,二AABD^ ACBD.二平分A ABC.模型三：等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质1模型分析I等腰三角形中有底边上的中点时,常作底边的中线，利用等腰三角形底边中线、髙线、顶角平分线"三线合一竹的性质得到：乙BAD二乙CAD.AD丄BC.RD 二CD,解决线段相等及平行问题、角度之间的相等问题.6.如图,A ABC中=AC,点D是耽的中点,E是AC 上_点，且4E=AD,若zUED 二753求:乙EDC的度数.A第6题图7,如图,在△磁中超—为BC 的中 点，MV 丄AC 于点M 求MV 的长.8.如图，在矩形ABCD 中上为佃边上-点』£平分 乙DER 、F 为CE 的中点■连接AF.RE (1) 求证：DE = DC ； 答案:6. 厶 EDCJ5S ■ 127. = ~・ &证明：(I )V 四边形ABC!)是矩形沪 AB//CD. 「” Z_ DCE =乙 CEfi 、 T EC 平分厶DEB, 代 A DEC -乙 CEB, /. L DCE =乙DEC, /. DE = DC ； 第7题图 第8题图(2)如解图，连接OF,v DE二D(：M为CE的中点，二DF丄EC,二LDFC =90°,在矩形的⑵ 中r4/?=/X\Z4/?C=90°,/. BE = GF = EF = —EC,二厶ABF = L CEB.叮Z DCE = ACEB.二LABF=A DCF,在△/!〃，和△£)(/中，严二CFJ 厶ARF 二厶DCF,L A/?二DC二ZWF竺△DCF(SAS),二^AFB=乙DFC 二90JA AFLBF.第8题解图模型四：遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质1模型分析I当三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质得到= 证明线段间的数UL犬糸”B DC BD C练一练9.如图，在周长为20的平行四边形中.AB^AD^ AC相交于点O,OE丄加交AD于点E,连接BE. 求：ZVWE的周长.答案:9. △血迢的周长为10.10. 证明:如解图，连接••• G 是CE 的中点,DGLCE,••• DG是CK的垂直平分线，DE二DC、LABC中，仙是高,CE是中线, 二DE是RtZUDB的斜边AB上的中线,•二DE 二RE 二冷AB.二DC = BE.B D C第10题解图模型五：中线等分三角形面积I).231模型分析M D 是△ ABC 的屮线，则S 小阴=S&g - 十兀曲（因为厶4加 与△MD 是两个等底同高的三角形）11-在zMBC 中，点D 、E,F 分别为BC.AD.CE 的中点,且 A ABC =16 冷则 S MEF = A. 213. 812.如图■在边长为a 的正方形4BCD 中卫是AB 的中点,DE 交M 于点F .则△ CDF 的面积为 （）练一练第12题图第U 题图4I).23I )o1I1)CcE AOli则ZC50 第14题图 第13題图 % 练一练模型六：圆中弦(或弧)的中点，考虑垂径定理及圆周角定理接*或过点O 作一边的平行线或垂直构造中位线解题； (2) 圆中遇到弦的中点』关想堆垂径定理=出现，•四中点 一垂直"解决相应问题；(3) 圆中遇到弧的中点，利用“一等四等I 垂径定理"解 决相应问题.13.如图」〃是O0的直径，C 是O0上的一点丄(点E 是弦』〃的中点)(点£是亦的中点)(I )圆心。
微专题 中点问题六大方法
方法四 遇到三角形一边垂线过这边中点时，利用垂直平分线的性质 例 4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，过点
7 D作DE⊥AB交BC的延长线于点E，则CE 的长为____6____． 【思考】点D是AB的中点且DE⊥AB，你想到了哪些学过的知识：D__E_是__线__段__A_B__的__垂__直__ _平__分__线__，__线__段__垂__直__平__分__线__上__的__点__到__线__段__两__端__点__的__距__离__相__等__．_
W
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针对训练
5. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D，AC＝6，则OD的长为
(B)
A
第5题图
6. 如图，AB是半圆O的直径，△ABC的两边AC，BC分别交半圆于D，E，且E为BC的 中点，已知∠BAC＝50°，则∠C＝____6_5_°__．
例5题图
方法总结 如图，(1)圆心O是直径的中点，常与已知中点连接，或过点O作一边的平行线或垂直 构造中位线解题； (2)圆中遇到弦的中点，联想“垂径定理”，出现“四中点一垂直”解决相应问题； (3)圆中遇到弧的中点，利用“一等四等”、“垂径定理”解决相应问题．
点E是弦AB的中点
点C是 »AB 的中点
∵D是BC的中点，∴BD＝CD，
∵∠BDG＝∠CDA，AD＝GD，
∴△ADC≌△GDB(SAS)．
∴AC＝GB，∠G＝∠EAF. 又∵AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF.
∵∠AEF＝∠BED，
∴∠G＝∠BED.
例6题解图①
∴BE＝BG.
∴BE＝AC.
【思考】聪明的你还能想到哪些作辅助线的方法，至少再写出一种并解答．
专题训练 构造全等三角形的方法
学习目标：1.掌握线，角，角平分线，垂线的尺规作图。2.掌握构造全等三角形的方法
二、截长补短构造全等三角形
2．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E 在AD上，求证：BC＝AB＋CD.
学习目标：1.掌握线，角，角平分线，垂线的尺规作图。2.掌握构造全等三角形的方法
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别
Ｍ
Ｎ
Ｏ
解：射线ＯＣ即为所求．
课本P50页练习 第1题
学习目标：1、掌握角平分线的尺规作图。2、理解并会运用角平分线的性质。
知识讲解
作平角∠AOB的角平分线OC． .
A O B
反向延长ＯＣ．得直线ＣＤ，则直线Ｃ Ｄ与直线ＡＢ是什么关系？ 我们得到作一条直线垂线的方法．
学习目标：1.掌握线，角，角平分线，垂线的尺规作图。2.掌握构造全等三角形的方法
一、倍长中线构造全等三角形 1．如图，△ABC中，D为BC的中点． (1)求证：AB＋AC＞2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
证明：(1)延长 AD 到 E 使 DE＝AD，连接 BE， BD＝DC， 在△ADC 和△EDB 中， ∠EDB＝∠ADC，∴△ADC≌△EDB(SAS)， DE＝AD， ∴AC＝BE，在△ABE 中，AB＋BE＞AE，即 AB＋BE＞2AD，∴AB ＋AC＞2AD (2)∵AB－BE＜AE＜AB＋BE，∴AB－AC＜2AD＜AB ＋AC，即 2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4
学习目标：1.掌握线，角，角平分线，垂线的尺规作图。2.掌握构造全等三角形的方法
证明：(1)∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，又 ∵AC＝BC，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE(SAS)
专题三 全等三角形的判定-浙教版八年级数学上册期中复习专题训练
浙教版数学（八上）期中复习专题三全等三角形一、选择题1. 下列命题中：①形状相同的两个三角形是全等形；①在两个全等三角形中，相等的角是对应角相等的边是对应边；①全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命的个数为( )。
A.3个B.2个C.1个D.0个【答案】C2. 在下列的条件中，不能说明①ABC①①AB'C'的是( )。
A.①A=①A'，①C=①C'，AC=A'CB.①A=①A'，AB=A'B'，BC=B′C′C.①B=①B'，①C=①C'，AB=A'B′D. AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′【答案】B3. 有下列说法：①有一个外角是钝角的三角形是锐角三角形；①有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等；①若三条线段ab，满足a≥b≥c，且a<b+C，则这三条线段必能组成一个三角形；①有两个角和一条边彼此相等的两个三角形全等。
其中正确的个数是( )。
A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】D4.用尺规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明①AOC=①BOC的依据是( )。
A. SSSB. ASAC. AASD.角平分线上的点到角两边距离相等【答案】A5.如图所示，点B、C、E在同一条直线上，①ABC与①CDE都是等边三角形则下列结论不一定成立的是( )。
A.①ACE①①BCDB.①BGC①①AFCC.①DCG①①ECFD.①ADB①①CEA【答案】D6.如图，已知①1=①2，则不一定能使①ABD①①ACD的条件是( )。
A. AB=ACB. BD=CDC.①B=①CD.①BDA=①CDA7. 要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上(如图所示)，可以说明①EDC①①ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定①EDC①①ABC最恰当的理由是( )。
难点探究专题：全等三角形中的动点问题(3类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版7年级下册
第07讲难点探究专题：全等三角形中的动点问题(3类热点题型讲练)目录【题型一利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题】..................................................................................1【题型二利用三角形全等求证线段之间的关系问题】........................................................................................11【题型三利用三角形全等求证角之间的关系问题】.. (21)【题型一利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题】例题：（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在长方形ABCD 中，4,6AB AD ==，延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA →→向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为秒时，ABP 与DCE △全等．【答案】1或7【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：ASA,SAS,AAS,SSS,HL ．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出22BP t ==和1622AP t =-=即可求得．【详解】解：由题意得：AB CD =，若90,2ABP DCE BP CE ∠=∠=︒==，根据SAS 证得ABP DCE ≌△△，∴22BP t ==，即1t =，若90,2BAP DCE AP CE ∠=∠=︒==，根据SAS 证得BAP DCE ≌ ，∴1622AP t =-=，即7t =．∴当t 的值为1或7秒时．ABP 与DCE △全等．故答案为：1或7．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图，CA AB ⊥，垂足为点A ，12AB =米，6AC =米，射线BM AB ⊥，垂足为点B ，动点E 从A 点出发以2米/秒沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED CB =，当点E 经过秒时（不包括0秒），由点D E B 、、组成的三角形与BCA V 全等．【答案】3秒或9秒或12【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当点E 在线段AB 上，AC BE =时，ACB BED ≌；当E 在BN 上，AC BE =时，ACB BED ≌；当E 在线段AB 上，AB EB =时；当E 在BN上，AB EB =时，ACB BDE ≌；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．【详解】解：当点E 在线段AB 上，AC BE =时，ACB BED ≌，6AC = ，6BE ∴=，1266AE AB BE ∴=-=-=，∴点E 的运动时间为623÷=（秒）；当E 在BN 上，AC BE =时，ACB BED ≌，6AC = ，6BE ∴=，12618AE AB BE ∴=+=+=，∴点E 的运动时间为1829÷=（秒）；当E 在线段AB 上，AB EB =时，此时E 在A 点未动，时间为0秒，不符合题意；当E 在BN 上，AB EB =时，ACB BDE ≌，12AB = ，12BE ∴=，121224AE AB BE ∴=+=+=，∴点E 的运动时间为24212÷=（秒）；综上所述，当点E 经过3秒或9秒或12秒时（不包括0秒），由点D E B 、、组成的三角形与BCA V 全等，故答案为：3秒或9秒或12．2．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，()5,0A ，()0,7B ，动点P ，Q 分别按照A O B --和B O A --的路线同时开始运动，到各自的终点时停止．直线l 经过原点O ，且l AB ∥，过P ，Q 分别作l 的垂线段，垂足分别为F ，E ．若点P 的速度为每秒2个单位长度，点Q 的速度为每秒4个单位长度，运动时间为t 秒，当OPE 与OQF △全等时，t 的值为．【答案】1或2或5【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和一元一次方程的应用，解题的关键是恰当分类并利用全等三角形的性质建立方程．判断出OP OQ =再分三种情况讨论，表示出OP ，OQ 建立一元一次方程求解即可．【详解】解：∵()5,0A ，()0,7B ，∴5OA =，7OB =，由题意，OP 和OQ 是两直角三角形的斜边，当OPE 与OQF △全等时，OP OQ =，①当点P 在OA 上，点Q 在OB 上时，根据题意可得∶s t 时，2AP t =，4BQ t =，∴52OP OA AP t =-=-，74OQ OB BQ t =-=-，∴5274t t -=-，解得∶1t =；②当点P ，Q 都在OA 上时，点P ，Q 重合时，两三角形重合时，P 点行程为2t ，Q 点行程为4t ，∴2457t t +=+，解得2t =；③当点P 在OB 上，点Q 在OA 上且点Q 与点A 重合时，25OP t =-，5OQ =∴255t -=．解得：5t =当OPE 与OQF △全等时，满足题意的t 的值为1或2或5．故答案为：1或2或5．3．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在长方形ABCD 中，3cm AB DC ==，2cm BC AD ==，现有一动点P 从点A 出发，以1cm /s 的速度沿长方形的边A B C D A →→→→运动，到达点A 时停止；点Q在边DC 上，DQ BC =，连接AQ ．设点P 的运动时间为s t ，则当t =s 时，以长方形的两个顶点及点P 为顶点的三角形与ADQ △全等．（不考虑两个三角形重合的情况）【答案】1或2或7【分析】本题考查了全等三角形的判定和长方形的性质，掌握全等三角形的判定和恰当分类是解题的关键．先确定ADQ △是等腰直角三角形，再分三种情况：点P 在AB 边上，BP BC =或AP AD =，点P 在CD 边上，CP BC =，利用动点运动的路径求解即可．【详解】解：在长方形ABCD 中，90DAB B C D ∠=∠=∠=∠=︒，∵DQ BC =，∴DQ AD =，∴ADQ △是等腰直角三角形，分三种情况：当点P 在AB 边上，BP BC =时，BPC ADQ ≌，则1cm AP AB PB =-=，∴1s t =；当点P 在AB 边上，AP AD =时，DAP ADQ ≌，则2s=t 点P 在CD 边上，CP BC =时，BCP ADQ ≌，则(322)s =7s t =++，综上，当1s t =或2s 或7s 时，以长方形的两个顶点及点P 为顶点的三角形与ADQ △全等．故答案为：1或2或7．4．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，CA AB ⊥，垂足为点A ，射线BM AB ⊥，垂足为点B ，16cm AB =，8cm AC =．动点E 从A 点出发以4cm/s 的速度沿射线AN 运动，动点D 在射线BM 上，随着E 点运动而运动，始终保持ED CB =．若点E 的运动时间为()0t t >，则当t =秒时，DEB 与BCA V 全等．12cm BC =，现有一动点P 从点A 出发，沿着三角形的边AC CB BA →→运动，回到点A 停止，速度为2cm/s ，设运动时间为s t ．(1)如图1，当t =s 时，12BPC ABC S S =；(2)如图2，在DEF 中，90E ∠=︒，8cm DE =，10cm DF =，D A ∠=∠．在ABC 的边上，若另外有一个动点Q ，与点P 同时从点A 出发，沿着边AB BC CA →→运动，回到点A 停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好APQ △与DEF 全等，求点Q 的运动速度．②点P 在AB 上时，过点∴点P 的运动路程为（2）∵在DEF∴①当点P在AC∴点Q的速度为：②当点P在AB上，点∴点Q的速度为：③当点P在AB上，④当点P 在AC 上，点∴点Q 的速度为：综上所述，两点运动过程中的某一时刻，19cm /s 10cm /s 或8cm 56．（2023·广西南宁·二模）如图，在ABC 中，AD 为高，18AC =．点E 为AC 上的一点，2CE AE =，连接BE ，交AD 于O ，若BDO ADC △≌△．(1)猜想线段BO 与AC 的位置关系，并证明；(2)有一动点Q 从点A 出发沿射线AC 以每秒6个单位长度的速度运动，设点Q 的运动时间为t 秒，是否存在t 的值，使得BOQ △的面积为27？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；(3)在（2）条件下，动点P 从点O 出发沿线段OB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，点F 是直线BC 上一点，且CF AO =，当AOP 与FCQ 全等时，求t 的值．1118(1222BOQ S BO QE ∆=⨯=⨯⨯-解得：32t =（舍去）；当2t >时，Q 在射线EC 上，如图1118(612)22BOQ S BO QE t ∆=⨯=⨯⨯-=解得：52t =，此时Q 与C 重合；综上所述，存在t 的值，使得BOQ △（3）由（1）可知，BDO ADC △≌△BOD ACD \Ð=Ð，当点F 在线段BC 延长线上时，如图BOD ACD Ð=ÐQ ，BOD ACD Ð=ÐQ ，AOP FCQ \Ð=Ð，AO CF =Q ，∴当OP CQ =时，AOP FCQ ≌此时，2618t t =-，解得：92t =；综上所述，当AOP 与FCQ 全等时，【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积、三角形面积和定理、对顶角相等以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键．【题型二利用三角形全等求证线段之间的关系问题】例题：（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 在BC 的延长线上，M 是BD 的中点，E 是射线CA 上一动点，且CE CD =，连接AD ，作DF AD ⊥，DF 交EM 延长线于点F ．(1)如图1，当点E 在CA 上时，填空：AD ________DF （填“=”、“<”或“>”）．(2)如图2，当点E 在CA 的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断AD 与DF 的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)=，详见解析；(2)AD DF =，详见解析．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用等知识；（1）连接BE ，先证SAS ACD BCE ≌（），得AD BE EBM DAC =∠=∠，，再证ASA EBM FDM ≌（），得BE DF =，即可得出结论；（2）连接BE ，先证SAS ACD BCE ≌（），得AD BE ADC BEC =∠=∠，，再证ASA BME DMF ≌（），得BE DF =，即可得出结论．证明三角形全等是解题的关键．【详解】（1）AD DF =，理由如下：连接BE ，如图1所示：∵90ACB ∠=︒，∴90DCA ∠=︒，在ACD 和BCE 中，CD CE DCA ECB AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴SAS ACD BCE ≌（），∴AD BE EBM DAC =∠=∠，，∵9090DAC ADC FDM ADC ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴DAC FDM ∠=∠，∴EBM FDM ∠=∠，∵M 是BD 的中点，∴BM DM =，在EBM △和FDM 中，EBM FDM BM DM EMB FMD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ASA EBM FDM ≌（），∴BE DF =，∴AD DF =，故答案为：=；（2）根据题意将图形补全，如图2所示：AD 与DF 的数量关系：AD DF =，证明如下：连接BE ，∵90ACB ∠=︒，点D 在BC 的延长线上，∴90ACD BCE ∠=∠=︒，在ACD 和BCE 中，CD CE DCA ECB AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴SAS ACD BCE ≌（），∴AD BE ADC BEC =∠=∠，，∵90ACB DF AD ∠=︒⊥，，∴90BEC MBE ADC MDF ∠+∠=∠+∠=︒，∴MBE MDF ∠=∠，∵M 是BD 的中点，∴MB MD =，在BME 和 DMF 中，MBEMDF MB MD EMB FMD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ASA BME DMF ≌（），∴BE DF =，∴AD DF =．【变式训练】1．（22-23八年级上·山西大同·阶段练习）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90AB AC BAC =∠=︒，，点P 为BC 边上的一个动点，连接AP ，以AP 为直角边，A 为直角顶点，在AP 右侧作等腰直角三角形PAD ，连接CD ．(1)当点P 在线段BC 上时(不与点B 重合)，求证：BAP CAD ≌V V ．(2)当点P 在线段BC 的延长线上时(如图2)，试猜想线段BP 和CD 的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．【答案】(1)见解析(2)猜想：BP CD BP CD =⊥，，证明见解析【分析】（1）先证明BAP CAD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理证明BAP CAD ≌V V ，即可；（2）先证明BAP CAD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理证明BAP CAD ≌V V ，由全等三角形的性质，即可得证．【详解】（1）90BAC PAD ∠=∠=︒BAC PAC PAD PAC ∴∠-∠=∠-∠即∶BAP CAD∠=∠在BAP △和CAD 中AB AC BAP CAD PA DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAP CAD SAS ∴ ≌（2）猜想∶,BP CD BP CD=⊥90BAC PAD ∠=∠=︒Q BAC PAC PAD PAC∴∠+∠=∠+∠即∶BAP CAD∠=∠在BAP △和CAD 中ABAC BAP CAD PA DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAP CAD SAS ∴ ≌BP CD ∴=(全等三角形的对应边相等)B ACD ∠=∠(全等三角形的对应角相等)90B ACB ∠+∠=︒90ACD ACB ∴∠+∠=︒即∶BP CD⊥综上所述，,BP CD BP CD =⊥．【点睛】本题主要考场三角形全等的判定定理和性质定理，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理，是解题的关键．2．（23-24八年级上·河北沧州·期末）问题情境：如图，等腰Rt ABC △，D 是斜边BC 上一点，连接AD ，在AD 右侧作AF AD ⊥，且AF AD =，AE 平分DAF ∠交边BC 于点E ，连接EF 和CF ，请直接写出线段BE CF EF 、、的关系：；猜想验证：若D 是斜边BC 上一动点，且AE 平分DAF ∠交边BC 于点E ，其他条件不变，此时上面的结论是否还成立，请说明理由．拓展延伸：若点D 运动到斜边CB 的延长线上，AE 平分DAF ∠交边BC 于点E ，其他条件不变，请直接写出线段BE CF EF 、、的关系：．【答案】问题情景：BE CF EF =+；猜想验证：成立，见解析；拓展延伸：BE EF CF=-【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．问题情景：根据作图过程可解决问题情境；猜想验证：根据等腰直角三角形和已知条件可证明()SAS CAF BAD ≌可得=CF BD ，进而证明()SAS EAF EAD ≌可得EF ED =，然后根据BE BD ED =+即可证明结论；拓展延伸：先根据题意画出图形，然后参照猜想验证进行解答即可．【详解】解：问题情境：BE CF EF =+．猜想验证：BE CF EF =+，理由如下：∵ABC 是等腰直角三角形∴,90=∠=︒AC AB BAC ∵AF AD⊥∴90DAF =︒∴DAF CAD BAC CAD ∠-∠=∠-∠，即：CAF BAD∠=∠在CAF V 和BAD 中，AC AB CAF BAD AF AD=∠=∠=，，∴()SAS CAF BAD ≌∴=CF BD ，∵AE 平分DAF ∠，∴EAF EAD∠=∠在EAF △和EAD 中，AF AD EAF EAD AE AE =∠=∠=，，，∴()SAS EAF EAD ≌，∴EF ED =，∴BE BD ED CF EF =+=+，∴BE CF EF =+．拓展延伸：BE EF CF =-，理由如下：∵ABC 是等腰直角三角形∴,90=∠=︒AC AB BAC ∵AF AD⊥∴90DAF =︒∴DAF CAD BAC CAD ∠-∠=∠-∠，即：CAF BAD∠=∠在CAF V 和BAD 中，AC AB CAF BAD AF AD=∠=∠=，，∴()SAS CAF BAD ≌∴=CF BD ，∵AE 平分DAF ∠，∴EAF EAD∠=∠在EAF △和EAD 中，AF AD EAF EAD AE AE =∠=∠=，，，∴()SAS EAF EAD ≌，∴EF ED =，∴BE ED BD EF CF =-=-，∴BE EF CF =-．3．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点E 为线段AB 上一动点（不与点B 重合），CE CF ⊥且CE CF =．(1)连接BF 交AC 于点M ，设BE m AB =．①当1m =时，如图1，则BM MF =______．②当49m =时，如图2，若18AB =，求MC 的长．(2)如图3，作FP CF ⊥交CA 的延长线于点P ，EQ EC ⊥交BC 于点Q ，连接PQ ，求证：PQ PF EQ =-．∵49BE AB =，AB =∴8,BE AE AB ==∵FCN ACE ∠+∠∴FCN CEA∠=∠∵FNC CAE ∠=∠∵CE CF =，FG EQ =，90CFG CEQ ∠=∠=︒，∴CFG CEQ△≌△∴CG CQ =，FCG ECQ∠=∠∵90ECF FCG ECG ∠=∠+∠=︒，∴90ECQ ECG QCG ∠+∠=∠=︒∵,AB AC AB AC=⊥∴45PCQ PCG∠=︒=∠∵PC PC=∴PCG PCQ△≌△∴PQ PG=∵PG PF FG PF EQ=-=-PQ PF QE∴=-4．（23-24八年级上·广东阳江·期末）如图1，已知：90MCN ∠=︒，点A 、B 在MCN ∠的边CM CN 、上，AC BC =，点D 为直线CN 上一动点，连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，且AE AD =，作EF CM ⊥，垂足为F ．(1)当点D 在线段BC 上时，证明：EF BC =；(2)如图2，当点D 在线段BC 延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，作点E 关于直线CM 的对称点E '，连接FE '、DE '，DE '与直线AB 交于点H ，求证：DH HE '=．【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)见解析【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能熟练应用三角形全等证明线段相等是解题的关键．（1）根据“同角的余角相等”证明EAF ADC ∠=∠，再根据“AAS ”证明ACD EFA △≌△即可；（2）类比（1）的方法证明即可；（3）延长BA 交FE 的延长线于点G ，利用“ASA ”证明'BDH GE H △≌△即可得证．【详解】（1）证明： 90MCN ∠=︒，AE AD ⊥，∴90CAD EAF Ð+Ð=°，90CAD ADC ∠+∠=︒，∴EAF ADC ∠=∠，EF CM ⊥，∴90EFA ∠=︒，90EFA ACD ∴∠=∠=︒，在ACD 和EFA △中C EFA ADC EAF AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD EFA△≌△∴EF AC =，AC BC =，∴EF BC =．（2）解：结论成立．90MCN ∠=︒，∴=90ACD ∠︒，AE AD ⊥，∴90CAD EAF Ð+Ð=°，90CAD ADC ∠+∠=︒，∴EAF ADC ∠=∠，EF CM ⊥，∴90EFA ∠=︒，90EFA ACD ∴∠=∠=︒在ACD 和EFA △中C EFA ADC EAF AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD EFA △≌△，∴EF AC =，AC BC =，∴EF BC =．（3）证明：如图：如图，延长BA 交FE 的延长线于点G ，90MCN ∠=︒，AC BC =，∴45CAB ∠=︒，45FAG CAB Ð=Ð=°，EF CM ⊥，∴45FAG G Ð=Ð=°，∴FG FA =，又 E 、E '关于直线CM 对称，∴EF E F ='，EF CM ⊥，∴E 、F 、E '三点共线，由（2）可得，ACD EFA△≌△∴AF CD =，EF AC BC ==，∴GF E F CD BC +=+'，即GE BD '=，EF CM ⊥，90MCN ∠=︒，∴'GE BD ∥，∴HDB E ∠=∠'，HBD G Ð=Ð，在BDH △和GE H ' 中'HDB E GE BD HBD G ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩'∴BDH GE H' ≌∴DH HE ='．【题型三利用三角形全等求证角之间的关系问题】例题：（23-24八年级上·湖南永州·期中）在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为AC 上一动点．(1)如图1，点E 、点F 均是射线BD 上的点并且满足AE AF =，90EAF ∠=︒．求证：ABE ACF ≌ ；(2)在（1）的条件下，求证：CF BD ⊥；(3)由（1）我们知道45AFB ∠=︒，如图2，当点D 的位置发生变化时，过点C 作CF BD ⊥于F ，连接AF ．那么AFB ∠的度数是否发生变化？请证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)45AFB ∠=︒，不变化，理由见解析【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行推导．（1）根据90BAC BAE EAD ∠=∠+∠=︒，90EAF CAF EAD ∠=∠+∠=︒得出BAE CAF ∠=∠，即可根据SAS 证明ABE ACF ≌ ；（2）易得90ABE BDA ∠+∠=︒，根据ABE ACF ≌ ，得出ABE ACF ∠=∠，则90BDA ACF ∠+∠=︒，进而得出90CDF ACF ∠+∠=︒，则90BFC ∠=︒，即可求证CF BD ⊥；（3）过点A 作AF 的垂线交BM 于点E ，易得90ABD BDA ∠∠+=︒，90ACF CDF ∠∠+=︒，即可得出ABD ACF ∠∠=，通过求证()ASA ABE ACF ≌ 得出AE AF =，则AEF 是等腰直角三角形，即可求出45AFB ∠=︒．【详解】（1）解：∵90BAC BAE EAD ∠=∠+∠=︒，90EAF CAF EAD ∠=∠+∠=︒∴BAE CAF ∠=∠，在ABE 和ACF △中AB AC BAE CAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ACF ≌△△；（2）解：∵90BAC ∠=︒，∴90ABE BDA ∠+∠=︒，由（1）得ABE ACF ≌ ，∴ABE ACF ∠=∠，∴90BDA ACF ∠+∠=︒，又∵BDA CDF ∠=∠，∴90CDF ACF ∠+∠=︒，∴90BFC ∠=︒，∴CF BD ⊥；（3）解：45AFB ∠=︒，不变化，理由如下：过点A 作AF 的垂线交BM 于点E∵CF BD⊥∴90BAC ∠=︒∴90ABD BDA ∠∠+=︒同理90ACF CDF ∠∠+=︒∵CDF ADB∠∠=∴ABD ACF∠∠=同（1）理得BAE CAF∠∠=在ABE 和ACF 中BAE CAF AB AC ABD ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABE ACF ≌ ∴AE AF=∴AEF 是等腰直角三角形∴45AFB ∠=︒．【变式训练】1．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）点P 、Q 分别是边长为4cm 的等边ABC 的边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都是1cm /s ．(1)连接AQ 、CP 交于点M ，则在P 、Q 运动的过程中，CMQ ∠变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；(2)如图2，若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动，直线AQ 、CP 交点为M ，则CMQ ∠变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．【答案】(1)不变，60CMQ ∠=︒(2)不变，120CMQ ∠=︒【分析】（1）因为点P 从顶点A 、点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm /s ，所以AB CA =，BQ AP =，60B CAP ∠=∠=︒，因而运用边角边定理可知ABQ CAP ≌△△．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得CMQ ∠的度数．（2）首先利用边角边定理证得PBC QCA ≌△△，再利用全等三角形的性质定理得到BPC CQM ∠=∠，再运用三角形角间的关系求得CMQ ∠的度数．【详解】（1）解：60CMQ ∠=︒不变．等边三角形ABC 中，AB CA =，60B CAP ∠=∠=︒，又由条件得BQ AP =，∴()SAS ABQ CAP ≌△△，∴BAQ ACP ∠=∠，∴60CMQ ACP CAM BAQ CAM BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；（2）解：120CMQ ∠=︒不变．在等边三角形ABC 中，60ABC CAP ∠=∠=︒，∴120PBC QCA ∠=∠=︒，又由条件得BP CQ =，BC CA =，∴()SAS PBC QCA ≌△△，∴BPC CQM ∠=∠，又 PCB MCQ ∠=∠，∴120CMQ PBC ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意证明三角形全等是解题的关键．2．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在Rt ABC △中，90ACB AC BC ∠=︒=，，点E 为AC 上一动点，过点A 作AD BE ⊥于D ，连接CD ．(1)【观察发现】如图①，DAC ∠与DBC ∠的数量关系是；(2)【尝试探究】点E 在运动过程中，CDB ∠的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求CDB ∠的度数；(3)【深入思考】如图②，若E 为AC 中点，探索BE 与DE 的数量关系．【答案】(1)DAC DBC∠=∠(2)CDB ∠的大小不变，45CDB ∠=︒(3)5BE DE=【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．（1）由90ACB ADB ∠=∠=︒，得9090DAC AED DBC BEC ∠+∠=︒∠+∠=︒，，而AED BEC ∠=∠，所以DAC DBC ∠=∠，于是得到问题的答案；（2）作CF CD ⊥交BD 于点F ，则90ACD BCF ACF ∠=∠=︒-∠，而DAC FBC AC BC ∠=∠=，，即可证明DAC FBC ≌ ，得CD CF =，则45CDB CFD ∠=∠=︒，所以CDB ∠的大小不改变，45CDB ∠=︒；（3）作CG CD ⊥交BD 于点G ，作CH BD ⊥于点H ，可证明CHE ADE ≌ ，得HE DE CH AD ==，，由DAC GBC ≌ ，得AD BG =，则CH BG =，由CG CD CH DG =⊥，，得DH GH =，则CH DH GH ==，所以2BG DH GH DE ===，即可推导出5BE DE =．【详解】（1）∵90ACB AD BE∠=︒⊥，∴90ACB ADB ∠=∠=︒，∴9090DAC AED DBC BEC ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∵AED BEC ∠=∠，∴DAC DBC ∠=∠，故答案为：DAC DBC ∠=∠．（2）CDB ∠的大小不改变，如图①，作CF CD ⊥交BD 于点F ，则90DCF ∠=︒，∴90ACD BCF ACF ∠=∠=︒-∠，由（1）得DAC FBC ∠=∠，∵AC BC＝∴()ASA DAC FBC ≌，∴CHE ADE ∠=∠，∵E 为AC 中点，∴CE AE =，∵CEH AED ∠=∠，∴()AAS CHE ADE ≌，合)，以AD 为一边在AD 的右侧作ADE V ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．(1)如图1，当点D 在线段CB 上时，BD 与CE 有何数量关系，请说明理由．(2)在（1）的条件下，当90BAC ∠=︒时，那么DCE ∠=________度．(3)设BAC DCE ∠α∠β==，．①如图2，当点D 在线段CB 上，90BAC ∠≠︒时，请探究α与β之间的数量关系．并证明你的结论；②如图3，当点D 在线段CB 的延长线上，90BAC ∠≠︒时，请将图3补充完整并直接写出此时α与β之间的数量关系．【答案】(1)BD CE =，理由见解析；(2)90；(3)①180αβ+=︒，证明见解析；②图见解析，αβ=．【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质（1）由题意可得BAD CAE ∠=∠，即可证明BAD CAE ≌，可得BD CE =，ACE B ∠=∠，即可解题；（2）由题意可得BAD CAE ∠=∠，即可证明BAD CAE ≌，可得BD CE =，ACE B ∠=∠，即可解题；（3）①由题意可得BAD CAE ∠=∠，即可证明BAD CAE ≌，可得ACE B ∠=∠，根据180B ACB α∠+∠=︒-即可解题；②由题意可得BAD CAE ∠=∠，即可证明BAD CAE ≌，可得ACE B ∠=∠，根据180ADE AED α∠+∠+=︒，180CDE CED β∠+∠+=︒即可解题；【详解】（1）解：BD CE =，理由：90BAD DAC ∠+∠=︒ ，90DAC CAE ∠+∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴ ≌，BD CE ∴=；（2）解：BAD CAE △≌△，ACE B ∴∠=∠，90B ACB ∠+∠=︒ ，90DCE ACE ACB ∴∠=∠+∠=︒；故答案为：90；（3）解：①BAD DAC α∠+∠= ，DAC CAE α∠+∠=，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴ ≌，ACE B ∴∠=∠，180B ACB α∠+∠=︒- ，180DCE ACE ACB αβ∴∠=∠+∠=︒-=，180αβ∴+=︒；②作出图形，BAD BAE α∠+∠= ，BAE CAE α∠+∠=，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴ ≌，AEC ADB ∴∠=∠，180ADE AED α∠+∠+=︒ ，180CDE CED β∠+∠+=︒，CED AEC AED ∠=∠+∠，αβ∴=．。