标准分与正态分布.ppt
正态分布 课件
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（μ－σ，μ＋σ]
0.6826
（μ－2σ，μ＋2σ]
0.9544
（μ－3σ，μ＋3σ]
0.9974
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
（5）若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
5、特殊区间的概率:
m-a
m+a
x=μ
若X~N ,则对于任何实数a>0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
0.15
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
25
0.25
[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5)
2
0.02
11
高尔顿钉板实验的 频率分布直方图
这条曲线具有 “中间高，两头低” 的特征，像这种类型的曲线, 就是（或近似地是）以下函数的图像:
449-正态分布与标准分关系
思考：例1：某人词汇分测验成绩为20 ，与他同龄人群的成绩均数为15，标准差为5。
问他的词汇分测验标准分是多少？例2：某人数字符号分测验成绩是24分，同龄人群成绩的均数为50，标准差为13。
问他的数字符号分测验标准分是多少？智力测验结果之二离差智商：在标准分基础上发展的反映智力水平高低的指标。
计算公式离差智商100+15（ X - M ）/SD X 受试者成绩 M 同一年龄组人群成绩的均数 SD 同一年龄组人群成绩的标准差思考：例1：某人智力测验成绩为90 ，与他同龄人群的成绩均数为80，标准差为10。
问他的离差智商是多少？例2：某人智力测验成绩是60分，同龄人群成绩的均数为80，标准差为10。
问他的离差智商是多少？正态分布与标准分关系智商-智力水平等级 130以上 - 极优秀（超常） 120-129 - 优秀 110-119 - 中上 90-109 - 中等 80- 89 - 中下 70- 79 - 边缘水平 55- 69 - 轻度智力低下 40- 54 - 中度智力低下25- 39 - 重度智力低下思考某人的智商为130，其百分位数是多少？有何意义？另一人的智商为70，其百分位数是多少？有何意义？报告内容：智商，分测验分和行为观察结果。
例：测得某人智商为85，知识分测验分为16，算术分测验分为7，数字符号分测验分为4，积木图案分测验分为7 ，?? ?? ?? ?? ?? ?? 。
报告：受测者的智商为85，提示其智力低于平均水平，大约位于人群中15%的水平。
知识分测验分为16，明显高于平均水平，位于人群中98%的水平。
提示其知识面广，长时记忆力好。
算术分测验的低分与其注意力不集中有关。
其它智力或能力测验早期的斯坦福一比纳智力量表早期的斯坦福一比纳智力量表 3岁儿童测试内容举例（每题代表2个月智龄） 1．穿珠：要求将48颗珠子穿在一起。
2．看图说出物体名称：有18张图片（马、树、衣物、球、飞机、轮船等），要求说出10张。
正态分布课件ppt
（2）f (x) 的值域为
(0,
1]
2 s
（3）f (x) 的图象关于 x =μ 对称.
x （－∞，μ] x （μ，+∞）
正态分布密度函数
当μ= 0，σ=1时 标准正态分布密度函数
y
μ=0 σ=1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
标准正态曲线
例1、下列函数是正态分布密度函数的是（ B）
A.
f (x)
X~(100, 52 )，据此估计，大约应有57人的分数在
下列哪个区间内？（A ）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
P(m s X m s ) 0.6826, P(m 2s X m 2s ) 0.9544, P(m 3s X m 3s ) 0.9974.
当 a 3s 时正态总体的取值几乎总取值于区间 (m 3s , m 3s ) 之内,其他区间取值几乎不可能.在实 际运用中就只考虑这个区间,称为 3s 原则.
例3、在某次数学考试中，考生的成绩 x 服从一个 正态分布，即 x ~N(90,100).
（1）试求考试成绩 x 位于区间(70,110)上的概率是
1
(xm )2
e 2s 2 , m,s (s 0)都是实数
2s
2 x2
B. f (x)
e2
2
1
( x1)2
C. f (x)
e4
2 2
D.
f (x)
1
x2
e2
2
练习：
2、如图，是一个正态曲线， 试根据图象写出其正态分布 的概率密度函数的解析式， 求出随机变量的期望和方差。
y
正态分布 课件
；
• 特别地有：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0.6862 ；
• P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.9544 ；
• P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.9974 .
[答案] B
[解析] 仔细对照正态分布密度函数：f(x)＝ 21πσe－
(x－μ)2
2σ2 (x∈R)，注意指数 σ 和系数的分母上的 σ 要一致，以及
正态分布
• 1．当样本容量无限增大时，它的频率分 布直方图 无限接近于 一条总体密度曲 线，在总体所在系统相对稳定的情况下， 总体密度曲线就是或近似地是以下函数的 图象：
• 其中μ和σ(σ>0)为参数．我们称φμ，σ(x)的图 象为 正态分布密度曲线，简称 正态曲线 ．
• (4)曲线与x轴之间的面积为 1 ；
• (5) 当 σ 一 定 时 ， 曲 线 随 μ 的 变 化而沿 x 轴 平移；
• (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定：σ越小，
曲线越“
瘦高”，表示总体的分布越
集中 ；σ越大，曲线越“
矮胖 ”，表示
总体的分布越 分散 ．
• 4．若X～N(μ，σ2)，则对任何实数a>0，概
率P(μ－a<X≤μ＋a)＝
称 性 得 P(3<X≤4) ＝ P(6<X≤7) ， 所 以
P(6<X≤7)＝
＝0.1359.
• [点评] 解此类题首先由题意求出μ及σ的
值，然后根据三个特殊区间上的概率值及
正态曲线的特点(如对称性，与x轴围成的 面积是1等)进行求解．
• [例5] 某年级的一次信息技术测验成绩近 似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于 60分为不及格，求：
第七讲正态分布
e
x
2
2
2
N , 标准分以均值基点，以标准差为度量
2
，
N 0,1
• 某地家庭平均娱乐费支出为120元，标准差 为5元，如果某家庭的娱乐费支出为130元， 标准分为多少？
和标准正态分布N 0,1 二、正态分布 面积之间的对应关系
N ,
2
• 二者分布图的区别只在于对称轴不同，前者以µ 为轴，后者以0为轴。 三、几个典型取值区间
• 一、标准分——Z值： • 概率密度： • 当 ，
Z x
1 z 2
时
e
z 2
2
x
1 2
1 • 因此，标准正态分布可以看作一般正态分布的一个特例。
• 当 • • ， 时，记做
0 1 一般正态分布记做
0
x z
k1 k 2 2 k1 k 2 2 2 k 1 k2 k1 k 2 2 2
z k k1z k 2 z
2
k
2
k1 1
当z>0
1
2
k2
• F（ k1 ，k2 ）， k1为第一自由度（分子）， k2为 第二自由度（分母）。
p x
• 的tα值
• 已知：k=10，a=0.05，求 t0.05(10)=
三：F分布
• 1、设随机变量 与 独立，且都服从X2分布，自 由度分别为k1及k2。
• • • 则随机变量
F
的分布密度为：
k
1
F z
第七讲正态分布第七分布第七讲正态分布正态分布表
正态化标准分数
正态化标准分数
正态化标准分数是一种转换方式，可以将非正态分布的原始分数转换为正态分布的标准分数。
这个转换过程也被称为正态化转换。
具体的推导步骤如下：
对原始分数分组。
求各组频数的累积概率。
从正态分布表中查出每个累积概率的z分数。
最常用的一种正态化标准分数是T分数，用公式 T=50+10z计算。
标准分可以反映某考生在全体考生中的位置。
标准分的大小，既表明考生水平的高低，也表明该生在团体中的相对位置。
此外，标准分便于划录取分数线，如果已知录取人数，甚至在考试前就可以划出分数线。
同时，标准分便于成绩的比较，标准分表示考生在同一团体中的位置，故可据标准分大小直接比较考生的各科成绩水平。
教育统计学_第六章 正态分布的实际应用
正态分布的实际应用
❖ 基本步骤：
计算各等级人数比率 计算本组1/2面积与本组以下面积之和 计算本组面积的平分点至Z=0之间的面积 求各组中位数对应的Z值 求平均作比较
正态分布的实际应用
❖ 练习：表１是３ 位老师对100名 学生的学习能力 所作等级评定的 结果：
表1 3名教师对100名学生的评定结果
正态分布的实际应用
❖ 例1：某区拟对参加数学竞赛的2000人中前 500人予以奖励，考试的平均分为75，标准 差为9，请问授奖的分数线是多少？某个考生 在这次考试中得了86分，问这位考生是否获 奖？
正态分布的实际应用
❖ 例2：在某年的高考中某省的平均分为420， 标准差为100，分数呈正态分布，某考生得了 456分。设当年的该省的录取率为40%，问该 生的成绩是否上线？
等级 评定结果（人数） 教师甲 教师乙 教师丙
Ａ
5
10 20
Ｂ
25
20
25
Ｃ
40
40
35
Ｄ
25
20
15
Ｅ
5
10
5
正态分布的实际应用
❖ 表２是３名学生从３名 教师那里所获得的评定 等级，请问那一位学生 的得分最高？
表２ 学生 １
各学生所获得的评 定等级
教师 教师 教师 甲乙丙
ＢＡＡ
２ＡＢＡ
３ＤＣＣ
❖ ５、确定测验题目的难易度
❖ 变量X落在区间（4.00，4.50）内的概率；
❖ ３、设某城市大学录取率为４０％，求２０ 个大学生中至少有１０个人被录取的概率。
❖ ４、某市组织招工考试，考试成绩平均分为 ７０分，标准差为１２。若这次招工录取率 为１６％，查正态分布表确定最低录取分数。
《数学正态分布》PPT课件
A.f (x)
1
( x )2
e 22
2
C.f (x)
1
( x 1)2
e4
2 2
B.f (x)
2
e
x2 2
2
D.f (x)
1
x2
e2
2
2.设随机变量 ~ N (2,2),则 D( 1 )的值为( C ).
2
A. 1 B. 2 C. 1 D. 4 2
2。正态分布的图像
当时 0, 1，正态总体称为标准正态总体，相应的函数
F( 2 ) F( 2 ) (2) (2) 0.954 正态总体 N(, 2 )在( 3 , 3 )内取值的概率是
F( 3 ) F( 3 ) (3) (3) 0.997
上述计算结果可用下表来表示:
区间
取值概率
( , )
( 2 , 2 )
图
( 3 , 3 )
解:(Ⅰ）设此次参加竞赛得人数为N，竞赛成绩为x， 则x服从N（70，100）
设
z
x70 10
，则z服从标准正态分布N（0，1）
∴P（x≥90）=1-P（x＜90）191 0700=1-Φ(2)
查正态分布表知Φ(2)=
∴P（x≥90）=
12 ∴N=526 N
（Ⅱ）设设奖的分数线约为a分
p(xa)1p(xa)1 (a1 70)0
5 52 0 60.095 1a1 7000.9049
查正态分布表知Φ
a17001.31
∴a=
∴设奖的分数线约为分
4。标准正态分布 ~ N(0,1) 在标准正态分布表中相应于x0的值 ( x0 )是
指总体取值小于x0的概率，即 ( x0 ) P( x x0 )