(衡水金卷)2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题三 文
河北省衡水金卷2020届高三数学12月第三次联合质量测评试卷 文(含解析)
河北衡水金卷2020年度高三第三次联合质量测评数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所在象限为A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】复数满足，∴，则复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.2.已知全集，集合为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合A、B，利用补集与交集运算即可得到结果.【详解】因为，所以或.所以.故选B.【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查不等式的解法，属于基础题.3.若命题p为：为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到结果.【详解】根据的构成方法得，为.故选C.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.4.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为A. 14B. 16C. 18D. 20【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可得到结果.【详解】根据题意设每天派出的人数组成数列，分析可得数列是首项.公差为8的等差数列，设1984人全部派遣到位需要n天，则.解得n=16.故选B.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题.5.若线段AB的长为3，在AB上任意取一点C，则以AC为直径的圆的面积不超过的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设的长为，由以AC为直径的圆的面积不超过，可得x的范围，根据长度比即可得到结果.【详解】设的长为，因为以为直径的圆的面积不超过，所以，解得。
2020-2021学年度衡水金卷高考模拟数学(文)试题(三)及答案
普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（三）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|13}A x x =<≤，{|02}B x x =≤<，则A B =U （ ）A ．{|02}x x ≤<B ．{|03}x x ≤≤C ．{|12}x x <<D ．{|13}x x <≤2.设函数1,0()1,02xx x f x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则[(1)]f f -=（ ）A ．32B1C ．1 D ．3 3.若向量(1,0)a =r ，(0,1)b =r ，2(2,3)c xa yb =+=r r r(,)x y R ∈，则x y +=（ ）A ．4B ．5C ．3D ．24.若实数x ，y 满足约束条件113x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则y x 的取值范围是（ ）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.命题p ：若复数21iz i=-（i 为虚数单位），则复数z 对应的点在第二象限，命题q ：若复数z 满足z z ⋅为实数，则复数z 一定为实数，那么（ ）A ．p q ∧是真命题B ．()p q ∧⌝是真命题C ．()p q ⌝∨是真命题D ．()p q ∨⌝是假命题6.执行如图所示的程序框图，若输入的40n =，则输出的S =（ ）A ．80B ．96C ．112D ．120 7.已知函数()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后，得到的图象对应的函数()g x 为奇函数，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．56π C ．3πD ．23π8.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，从A ，B ，C ，D 四点中任取三点和顶点P 所形成的四面体中，任取两个四面体，则其中一个四面体为鳖臑的概率为（ ）A ．14 B ．23 C ．35 D ．3109.如图，AB 为经过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的弦，点A ，B 在直线2px =-上的射影分别为1A ，1B ，且113AA BB =，则直线AB 的倾斜角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3πD ．512π10.一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的表面积为3242π++，则图中的x=（）A．1 B．2C．32D．211.已知数列{}na满足2*1232()nna a a a n N⋅⋅⋅=∈，且对任意的*n N∈都有12111nta a a++⋅⋅⋅+<，则t的取值范围为（）A．1,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12.若存在1,x ee⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式22ln30x x x mx+-+≥成立，则实数m的最大值为（）A．132ee+-B．32ee++C．4 D．21e-第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知{}na是等差数列，nS是其数列的前n项和，且4103S=-，1221a a+=，则3a=．14.已知圆C的方程为22(2)(1)1x y++-=，则圆上的点到直线0x y-=的距离的最小值为．15.观察三角形数组，可以推测：该数组第八行的和为．16.已知双曲线1C：2212xy-=，曲线2C：1y x=+，P是平面内一点，若存在过点P的直线与1C，2C 都有公共点，则称点P为“差型点”.下面有4个结论：①曲线1C的焦点为“差型点”；②曲线1C与2C有公共点；③直线y kx =与曲线2C 有公共点，则1k >； ④原点不是“差型点”. 其中正确结论的个数是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC ∆的外接圆半径为2，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b =. （1）若2cos cos cos a A c B b C =+，求角C ； （2）若B 为锐角，3a c +=，求ABC ∆的面积.18.已知某地区中小学生人数和近视情况如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生作为样本进行调查.（1）求样本容量和抽取的高中生近视人数分别是多少？（2）在抽取的n 名高中生中，平均每天学习时间超过9小时的人数为310n，其中有12名学生近视，请完成高中生平均每天学习时间与近视的列联表：平均学习时间不超过9小时 平均学习时间超过9小时总计 不近视 近视 总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20()P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 0k2.7063.8415.0246.63510.82819.如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，6DBC ∠=，2BD BC ==，32AB =，E 为AC 的中点，F 在棱CD 上，且BC EF ⊥.（1）求证：BF CF =； （2）求三棱锥A BEF -的体积.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点.（1）若直线AB 与椭圆的长轴垂直，12AB a =，求椭圆的离心率； （2）若直线AB 的斜率为1，3222a AB a b =+，求椭圆的短轴与长轴的比值.21.已知曲线()xmx m f x e -=在点(1,(1))f 处的切线斜率为1e-. （1）求函数()f x 的极小值； （2）当(0,)x π∈时，求证：21()cos sin f x x x x e+>-. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ，2C 的极坐标方程分别为4cos ρθ=，2sin ρθ=. （1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程，将2C 的极坐标方程化为参数方程； （2）当6πα=时，直线l 与1C 交于O ，A 两点，与2C 交于O ，B 两点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()23b cf x x a x =-+++的最小值为7（a ，b ，c 为正数）. （1）求222a b c ++的最小值；（2）求证：444222222a b c a b c b c a++≥++.文数（三）一、选择题1-5: BDAAB 6-10: DCBCA 11、12：DA二、填空题13. 43-14. 12 15. 1296 16. 3三、解答题17.解：（1）∵2cos cos cos a A c B b C =+，由正弦定理，可得2sin cos sin cos sin cos A A C B B C =+， 即2sin cos sin()sin A A B C A =+=. ∵sin 0A ≠，∴1cos 2A =. ∵0A π<<，∴3A π=.又2sin bR B=（R 为外接圆半径），2b =，R =∴sin 2B =，∴4B π=或34π（舍）. ∴5()12C A B ππ=-+=. （2）由（1）知，4B π=或34π， 又B 为锐角，∴4B π=.由余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-，即24()2a c ac =+-.∵3a c +=，∴49(2ac =-+，∴(25ac =， ∴ac =∴1sin24ABC S ac B ∆===. 18.解：（1）由图1可知，高中生占学生总数的20%，∴学生总数为300020%15000÷=人， ∴样本容量为150002%300⨯=.∵抽取的高中生人数为30002%60⨯=人， 由于近视率为60%，∴抽取的高中生近视人数为6060%36⨯=人. （2）列联表如下：平均学习时间不超过9小时 平均学习时间超过9小时总计 不近视 18 6 24 近视 24 12 36 总计421860（3）由列联表可知，260(1812246)0.47624364218K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， ∵0.476 3.841<，∴没有95%的把握认为高中生平均每天学习时间与近视有关. 19.解：（1）取BC 的中点G ，连接EG ，GF .∵E 为AC 的中点，∴//EG AB . ∵AB ⊥平面BCD ，∴EG ⊥平面BCD ，∴EG BC ⊥. 又∵BC EF ⊥，EF EG E =I ， ∴BC ⊥平面EFG ，∴BC GF ⊥. 又∵G 是BC 的中点， ∴BF CF =.（2）由图可知，三棱锥A BEF -体积与三棱锥F ABE -体积相等. ∵FG BC ⊥，FG AB ⊥，AB BC B =I ， ∴FG ⊥平面ABC .∵150DBC ∠=o，且2BD BC ==，∴15BCD ∠=o.在Rt FGC ∆中，1CG =，∴tan152GF ==o∴13A BEF F ABE ABE V V S FG --∆-=⨯⨯11111232322ABC S FG ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯1(2(26⨯⨯=， 即三棱锥A BEF -的体积为16. 20.解：（1）由题意，直线AB 的方程为x c =-,∴2212b AB a a ==， 即224a b =，故2c e a ====. （2）设1(,0)F c -，则直线AB 的方程为y x c =+，联立22221y x c x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22222222()20a b c a cx a c a b +++-=，42222222444()()8a b a a b c b a b ∆=-+-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212222a c x x a b +=-+，2221222()a cb x x a b-=+.∴12AB x =-==22222242ab a a b a b ==++. ∴222a b =，∴2212b a =，∴b a =. 21.解：（1）由题得，()f x 的定义域为R ，(2)'()xm x f x e --=，∴'(1)mf e=.∵曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为1e-， ∴1m e e=-，∴1m =-. ∴1()x x f x e -=，2'()xx f x e-=， 当2x >时，'()0f x >，()f x 单调递增， 当2x <时，'()0f x <，()f x 单调递减， ∴()f x 的极小值为21(2)f e=-. （2）由（1）可知，21()f x e +在2x =处取得最小值0， 设()cos sin g x x x x =-，(0,)x π∈， 则'()cos sin cos sin g x x x x x x x =--=-， ∵(0,)x π∈，∴'()0g x <， ∴()g x 在区间(0,)π上单调递减， 从而()(0)0g x g <=， ∴21()cos sin f x x x x e+>-. 22.解：（1）由直线l 的参数方程cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），得直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 由曲线2C 的极坐标方程2sin ρθ=， 得直角坐标方程为22(1)1x y +-=，∴曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）.（2）当6πα=时，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈.当6πθ=时，4cos6OA π==2sin16OB π==，∴1AB OA OB =-=. 23.解：（1）∵2323b c b c x a x a -+++≥++（当且仅当()023b c x a x ⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭时取等号），由题意，得723b ca ++=. 根据柯西不等式，可知22222211()123a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦24923b c a ⎛⎫≥++= ⎪⎝⎭，∴22236a b c ++≥. ∴222a b c ++的最小值为36.（2）∵42222a b a b +≥，42222b c b c +≥，42222c a c a +≥，∴444222222a b c a b c b c a +++++2222()a b c ≥++， ∴444222222a b c a b c b c a++≥++.。
2020高考数学(文科)全国三卷高考模拟试卷(2)
则将韦恩图（ Venn）图中的阴影部分表示集合是（
）
A ．.{1 ， 5}
B ．{2 ， 3}
C． .{4 ， 5}
D． .{0 ， 6}
【解答】 解：由 Venn 图中阴影部分可知对应集合为 A∩（ ?UB）， ∵全集 U ＝ {0 ， 1，2， 3，4， 5， 6} ，集合 A＝ {1 ， 2， 3，5} ，B＝ {2 ， 3， 4} ，
5 万居民的光明社区采用
分层抽样方法得到年内家庭人均 GDP 与人均垃圾清运量的统计数据如表：
人均 GDPx（万
3
6
9
12
15
元 /人）
人均垃圾清运
0.13
0.23
0.31
0.41
0.52
量 y（吨 /人）
（ 1）已知变量 y 与 x 之间存在线性相关关系，求出其回归直线方程； （ 2）随着垃圾分类的推进，燃烧垃圾发电的热值大幅上升，平均每吨垃圾可折算成上网 电量 200 干瓦时，右图是光明社区年内家庭人均 GDP 的频率分布直方图，请补全 [15 ，
→→→
→
→
→
→→ →→
7．（ 5 分）若 ??，??， ??满足， |??| = |??| = 2|??| = 2 ，则 (??- ??) ?(??- ??)的最大值为（
）
A ．10
B ．12
8．（ 5 分）“ x2＞ y2”是“ x＞ y”的（
A ．充分不必要
C ．充分必要
C． 5 √3 ）条件
D． 6 √2
球的概率为（
）
3 A．
14
3 B．
7
6 C．
7
河北省衡水中学2020届高三押题卷III文数学试题(含解析答案)
2019-2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅲ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则为（）A. B. C. D.2. 已知是虚数单位，，且的共轭复数为，则在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知平面向量，的夹角为，且，，则（）A. 1B.C. 2D.4. 已知命题：“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5. 已知实数，满足则的最小值为（）A. 0B.C.D.6. 若表示不超过的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为（）A. 48920B. 49660C. 49800D. 518677. 数列满足，（），则（）A. B. C. D.8. 《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）A. 2B. 4C. 5D. 69. 某几何体的正视图和侧视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形（如图（2）），其中，，则该几何体的侧面积及体积为（）A. 24，B. 32，C. 48，D. 64，10. 已知函数（）的最小正周期为，且，则（）A. B. C. D.11. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且（），，双曲线的离心率为，则（）A. B. C. D. 学。
科。
网...12. 已知函数若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在锐角中，角，所对的边长分别为，，若，则_________．14. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于__________．15. 若，都是正数，且，则的最小值为__________．16. 已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角，，的对边分别是，，，且. （1）求角的大小；（2）已知等差数列的公差不为零，若，且，，成等比数列，求的前项和.18. 如图，将直角三角形绕直角边旋转构成圆锥，四边形是的内接矩形，为母线的中点，.（1）求证：平面；（2）当时，求点到平面的距离.19. 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生表二：女生（1）从表二的非优秀学生中随机抽取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）由表中统计数据填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.参考公式：，其中.参考数据：20. 已知椭圆：（）的上、下两个焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为8，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为坐标原点，直线：与椭圆有且仅有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值.21. 已知函数（，）.（1）如果曲线在点处的切线方程为，求，的值；（2）若，，关于的不等式的整数解有且只有一个，求的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，圆的极坐标方程为.（1）求直线被圆截得的弦长；（2）若的坐标为，直线与圆交于，两点，求的值.23. 选修4-5：不等式选讲已知（为常数）.（1）若，求实数的取值范围；（2）若的值域为，且，求实数的取值范围.2019-2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅲ）解析版第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题得：所以为2. 已知是虚数单位，，且的共轭复数为，则在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】故在复平面内对应的点在第一象限3. 已知平面向量，的夹角为，且，，则（）A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】根据条件：，∴，∴，故选A.4. 已知命题：“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】命题p：，为，又为真命题的充分不必要条件为，故5. 已知实数，满足则的最小值为（）A. 0B.C.D.【答案】D【解析】作出可行域：所以当取B时目标函数取得最小值-4-1=-56. 若表示不超过的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为（）A. 48920B. 49660C. 49800D. 51867【答案】C【解析】根据题意：表示不超过的最大整数，且所以该程序运行后输出的结果中是：39个0与40个1,40个2,40 个3，……，40个49，个50的和，所以输出的结果为学.科.网...7. 数列满足，（），则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为数列满足，（），所以所以是公比为2的等比数列，所以8. 《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】由题得：诗词达人有8人，诗词能手有16人，诗词爱好者有16人，分层抽样抽选10名学生，所以诗词能手有人9. 某几何体的正视图和侧视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形（如图（2）），其中，，则该几何体的侧面积及体积为（）A. 24，B. 32，C. 48，D. 64，【答案】C【解析】有三视图可知该几何体为一个四棱柱：因为它的的直观图时矩形，所以它的俯视图直观图面积为3，所以它的俯视图面积为，它的俯视图是边长为3的菱形，棱柱高为4，所以侧面积为，体积为10. 已知函数（）的最小正周期为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知：由最小正周期为2可得又代入可得：，，，则11. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且（），，双曲线的离心率为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，由双曲线的定义可知：，，由双曲线的离心率可得双曲线的焦距为，在中由勾股定理可得：得点睛：首先要熟悉双曲线的定义，求解离心率主要是建立等式关系，可根据几何关系一般是找勾股定理或代坐标或利用正余弦定理建立等式12. 已知函数若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出函数图像：又直线恒过（0，-0.5）当直线经过点A时恰好三个交点此时斜率k=0.5，当直线与lnx相切时为第二个临界位置，设切点为，故切线方程为：过（0，-0.5）得故选D点睛：本题解题关键是画出函数的草图，然后找到符合题意的临界值求解即可第Ⅱ卷（共90分）学.科.网...二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在锐角中，角，所对的边长分别为，，若，则_________．【答案】【解析】由正弦定理根据边化角可得：，所以14. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于__________．【答案】【解析】以AD,DC,DD1建立空间直角坐标系，则：得直线和所成角的余弦值等于15. 若，都是正数，且，则的最小值为__________．【答案】【解析】由题可知：，故==当且仅当x=y时取得等号16. 已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】作出函数图像可知：当时有三个交点，故实数的取值范围是点睛：本题关键是画出函数图形，结合图像可得符合题意的范围即从而得出结论三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角，，的对边分别是，，，且. （1）求角的大小；（2）已知等差数列的公差不为零，若，且，，成等比数列，求的前项和.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）根据正弦定理边化角：得从而求出A（2）由，，成等比数列得，然后根据等差数列通项公式和性质可得求出d然后再用裂项相消求和即可试题解析：（1）由正弦定理可得，从而可得，即.又为三角形的内角，所以，于是，又为三角形的内角，所以.（2）设的公差为，因为，且，，成等比数列，所以，且，所以，且，解得，所以，所以，所以.点睛：解三角形问题要注意多结合正弦定理的边角互化原理变形求解即可，对于本题第二问可以得到通项的形式可得求和方法为裂项相消法学.科.网...18. 如图，将直角三角形绕直角边旋转构成圆锥，四边形是的内接矩形，为母线的中点，.（1）求证：平面；（2）当时，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；（Ⅱ）借助题设条件运用等积法求解。
【精编】2020年衡水中学高三模拟(三)数学(文)试题(解析版)
2020年衡水中学高三模拟（三）数学（文）试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 满足:12a =，且125a a a ，，成等比数列,则数列{}n a 的前n 项和为（ ） A ．2n B ．22n C ．2n 或22n D ．2n 或42n -2．已知函数2()4,()f x x g x =-是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，当0x >时，2()log g x x =，则函数()()y f x g x =⋅的图象大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．3．已知集合{0,1,2,3,}I =集合{0,1},{0,3},M N ==则()I NM =（ ） A ．{0} B ．{3} C ．{0，2，3} D ．∅4．已知复数z 满足(1)2i z i +⋅=-，则复数z 的共轭复数为A ．1322i -B ．1322i +C ．13i +D ．13i -5．已知不等式220x x e e kx -+<在[)0,+∞上无解，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 6．已知函数()3f x x ax =+的图象在点()()1,1f 处的切线斜率为-3，则()f x 的极大值点为A ．B ．-2CD ．2 7．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知向量(2cos ,2sin ),(3cos ,3sin )a b ααββ==，若a 与b 的夹角为60，则直线2cos 2sin 10x y αα++=与圆22(cos )(sin )1x y ββ-+-=的位置关系是（ ）A ．相交但不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离9．下列说法：①分类变量A 与B 的随机变量2K 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大，②以模型kxy ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则,c k 的值分别是4e 和0.3，③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y a bx =+中，2b =，1x =，3y =，则1a =，④若变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，且变量y 与z 正相关，则x 与z 也正相关，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．设变量x ，y 满足约束条件{2x −y −3≥0x −2y −4≤0y ≥1，若目标函数z =ax +by(a >0,b >0)的最小值为1，则1a +1b 的最小值为（ ）A ．7+2√6B ．7+2√2C ．3+2√6D ．3+2√2 11．设抛物线()2 20y px p =>的焦点为F ，过F 的两条直线1l ，2l 分别交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且1l ，2l 的斜率1k ，2k 满足()121210,0k k k k +=>>，若 AB CD +的最小值为30，则抛物线的方程为( )A ．26y x =B ．23y x =C ．232y x =D ．22y x =12．“军事五项”是衡量军队战斗力的一种标志，从1950年开始，国际军体理事会每年组织一届军事五项世界锦标赛．“军事五项”的五个项目分别为200米标准步枪射击、500米障碍赛跑、50米实用游泳、投弹、8公里越野跑．已知甲、乙、丙共三人参加“军事五项”．规定每一项运动队的前三名得分都分别为a 、b 、c （a ＞b ＞c 且a 、b 、c ∈N*），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的投弹比赛获得了第一名，则50米实用游泳比赛的第三名是 A ．甲B ．乙C ．丙D ．乙和丙都有可能二、双空题13．已知数列{}n a 满足()112335212n n a a a n a ++++⋅⋅⋅+-=，则3a =______，若对任意的*N n ∈，()1n n a λ≥-恒成立，则λ的取值范围为______.三、填空题14．某住宅小区有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否安装宽带，调查结果如下表所示：则该小区已安装宽带的居民估计有______户．15．已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC 的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，则ABC 的最大边长为______16．已知函数()()1222x x a f x a R ++=∈-为奇函数，且()y f x =的图象和函数2x y m =-的图象交于不同两点A 、B ，若线段AB 的中点M 落在直线12y上，则实数m 的值为______.四、解答题17．已知ABC ∆是锐角三角形，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a B =.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若6a =，且ABC ∆的面积S =ABC ∆的周长.18．设椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，一个顶点坐标为()2,0. （1）求这个椭圆的方程； （2）若这个椭圆左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 且斜率为1的直线交椭圆于A B 、两点，求2ABF ∆的面积.19．在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的方程为1x =.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和2C 的极坐标方程；（2）已知射线OM 的极坐标方程是0,02πθαρα⎛⎫=><<⎪⎝⎭，且与曲线1C 和2C 交于P ，Q 两点，试确定α的值，使2OP OQ 达到最小.20．已知函数sin ()a x f x x-=，0πx <<． （1）若0x x =时，()f x 取得极小值()0f x ，求()0f x 的取值范围；（2）当a π=，0m π<<时，证明：()ln 0f x m x +>．21．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，ABCD 是平行四边形，45BCD ∠=︒，平面ABCD ⊥平面CDEF ，FB FC =.（1）求证：BF CD ⊥；（2）若22AB EF ==，BC =BF 与平面ABCD 所成角为45︒，求该五面体的体积. 22．某果农选取一片山地种植红柚，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位：kg )，获得的所有数据按照区间(]40,45，(]45,50，(]50,55，(]55,60进行分组，得到频率分布直方图如图。
2020届河北衡水金卷新高考押题仿真模拟(三)文科数学
2020届河北衡水金卷新高考押题仿真模拟（三）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1.已知集合{|A x y =，2{|log 1}B x x =≤，则A B =I A. 1{|}3x x ≤≤- B. {}01x x <≤ C. {|32}-≤≤x x D. {|2}x x ≤【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域化简集合A ，利用对数函数的单调性化简集合B ，由交集的定义可得结果. 【详解】由二次根式有意义的条件可得(1)(3)0x x -+≥， 解得31x -≤≤，所以{|A x y =={|31}x x =-≤≤. 由对数函数的性质可得22log log 2x ≤， 解得02x <≤，所以2{|1}B x log x =≤{|02}x x =<≤， 所以A B =I {|01}x x <≤. 故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 2.已知31iz i-=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为( ) A. i - B. 1-C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，进而可得结果.【详解】因3(3)(1)4221(1)(1)2i i i iz i i i i --++====+--+, 所以2z i =-，故z 的虚部为1-，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3.在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ） A. 2n B. 3nC. 122n +-D. 31n -【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列{}1n a +的前三项成等比数列，求得1q =，再求数列{}n a 的前n 项和n S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q .因为数列{}1n a +也是等比数列，所以22213(1)(1)(1)210a a a q q +=++⇒-+=，解得：1q =，所以12n S na n ==.选A.【点睛】本题考查等比数列的性质、前n 项和n S ，考查基本量法求解问题.4.若4cos 5α=-,α是第三象限的角,则1tan21tan 2αα+=-（ ） A. 12-B. 12C. 2D. -2【答案】A 【解析】试题分析：∵4cos 5α=-，α为第三象限，∴3sin 5α=-, ∵2sin211tancos cossin (cossin)2222221tansin cossin(cossin)(cossin)222222221cos2αααααααααααααααα++++===---+-2231()1sin 1sin 154cos 2cos sin 225ααααα+-++====---． 考点：同角间的三角函数关系，二倍角公式． 【此处有视频，请去附件查看】5.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为( )A.2π332(π3)--B.32(π3)-C. 32(π3)+D.2π332(π3)-+【答案】B 【解析】 【分析】利用3个扇形面积减去2个正三角形面积可得勒洛三角形的面积，利用几何概型概率公式可得结果.【详解】如图：设2BC =，以B 为圆心的扇形面积是22263ππ⨯=， ABC ∆的面积是1322322⨯⨯⨯=所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积， 即23232233ππ⨯-=- 所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率是332232(3)ππ=-- B.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.6.已知51(1)(2)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A. 80- B. 40- C. 40 D. 80【答案】D 【解析】 【分析】51(1)(2)a x x x +-中，给x 赋值1求出各项系数和,列出方程求出a ，展开式中常数项为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项与x 的系数和，利用二项展开式的通项公式求出通项,进而可得结果 【详解】令二项式中的x 为1得到展开式的各项系数和为1a +，12a ∴+=1a \=551111212a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5511122x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开式中常数项为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项与x 的系数和512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为55215(1)2r r r r r T C x --+=-， 令521r -=得2r =;令520r -=，无整数解，展开式中常数项为25880C =，故选D.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.7.现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列统计结论是不．正确的是( ) A. 样本中的女生数量多于男生数量B. 样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C. 样本中的男生偏爱理科D. 样本中的女生偏爱文科 【答案】D 【解析】由条形图知女生数量多于男生数量，有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，男生偏爱理科，女生中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，所以选D.8.抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 3x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A. 4B. 33 C. 3 D. 8【答案】C 【解析】【详解】解：∵抛物线24y x =的焦点F （1，0），准线为l ：x=-1，经过F 且斜率为3的直线y=3 (x-1)与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A （3，23）， AK⊥l ，垂足为K （-1，23）， ∴△AKF 的面积是43故选C ．9.在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====uu u r uu u r uuu r uuu r 若CP C 12,Q ⋅=uu r uu u r则ADC ∠=( )A. 56πB. 34π C. 23π D. 2π【答案】C 【解析】 【分析】由23CP CB BP AD AB =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,利用平面向量的数量积运算,先求得,3BAD π∠=利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==u u u r u u u r u u u r u u u r，23CP CB BP AD AB ∴=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,因为12CP CQ ⋅=u u u r u u u r,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22214323AB AD AB AD =++⋅u u ur u u u r u u u r u u u r222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A.13B.23C.83D.32或83【答案】A 【解析】 【分析】 设()()0000,,,P x y Q x y --,结合(,0),(,0)A a F c ，求出M 坐标，利用MF QF k k =，消去00,x y ，进而可得结果. 【详解】如图设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M Q 三点共线,MF QF k k =000022y y x a c x c -∴=++-, 即00002y y c x x a c=++-, 002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A. 【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质以及椭圆的离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．11.设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( ) A. 1- B. 1 C. 2 D. 4【答案】C 【解析】【详解】试题分析：设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知（,y x --）在函数2x a y +=的图像上，∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a =--+，即2()log ()f x x a =--+，∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C ．考点：函数求解析式及求值 【此处有视频，请去附件查看】12.设O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于,S 与,PA PB 的延长线分别交于,,Q R 则111||||||PQ PR PS ++( ) A. 有最大值而无最小值 B. 有最小值而无最大值C. 既有最大值又有最小值，且两者不相等D. 是一个与平面QRS 无关的常数 【答案】D 【解析】 【分析】设正三棱锥P ABC -中,各侧棱两两夹角为α, PC 与面PAB 所成角为β,记O 到各面的距离为d ,利用S PQR O PQR O PRS O PQS V V V V ----=++化简可得111sin PQ PR PS dβ++=，从而可得结论. 【详解】设正三棱锥P ABC -中,各侧棱两两夹角为α, PC 与面PAB 所成角为β, 则111sin sin 332S PQR PQR S h PQ PR S V P αβ-⎛⎫=⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭V . 另一方面,记O 到各面的距离为d ,则S PQR O PQR O PRS O PQS V V V V ----=++,即11111sin sin 32333PQR PRS PQS PQ PR PS S d S d S d αβ⎛⎫⋅⋅⋅=⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭V V V 111sin sin sin 323232d d d PQ PR PS PR PQ PS ααα=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅⋅, 故有: sin ()PQ PR PS d PQ PR PR PS PQ PS β⋅⋅⋅=⋅+⋅+⋅,即111sin PQ PR PS dβ++==常数，故选D. 【点睛】本题主要考查正四面体的性质、棱锥的体积公式以及分割法的应用，属于中档题. （1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.二、填空题．13.在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，则2019a 的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】 由11,(*)(1)n n a a n N n n +=+∈+，可得1111(1)1n n a a n n n n +-==-++，利用“累加法”可得结果.【详解】因为11,(*)(1)n n a a n N n n +=+∈+所以1111(1)1n n a a n n n n +-==-++，2111,2a a -=-3211,23a a -=-...,201920181120182019a a -=-, 各式相加，可得20191112019a a -=-， 201911120192019a -=-，所以，20191a =，故答案为1.【点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.14.已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___． 【答案】35【解析】【分析】由函数()y f x =的图象关于直线x π=对称可得322f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得tan ϕ的值,再根据222222cos sin 1tan cos 2cos sin 1tan ϕϕϕϕϕϕφ--==++,计算可得结果. 【详解】因为函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,322f f ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即cos 2sin cos 2sin ϕϕϕϕ+=--,即cos 2sin ϕϕ=-, 即1tan 2ϕ=-, 则22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ϕϕϕϕϕϕϕ---====+++, 故答案为35.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用、考查了同角三角函数的关系以及二倍角公式的应用，属于中档题. 应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.15.在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC V 是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______． 【答案】48π 【解析】 【分析】在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设其中心为O，则23AO BO CO CF ====，再利用勾股定理可得23OP =，则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，利用球的表面积公式可得结果.【详解】如图，在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ， 设其中心为O ，由6AB =， 得2233AO BO CO CF ====， PAB ∆Q 是以AB 为斜边的等腰角三角形，PF AB ∴⊥,又因为平面PAB ⊥平面ABC ，PF ∴⊥平面 ABC ，PF OF ∴⊥， 2223OP OF PF =+=则O 为棱锥P ABC -的外接球球心， 外接球半径23R OC ==∴该三棱锥外接球的表面积为(24348ππ⨯=，故答案为48π.【点睛】本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.16.已知函数22,0,(),0,x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22- 【解析】 【分析】不妨设12x x < ，则2212x x e a ==，令(1)a t t =>，可得()12ln 2tx x t g t +=-=，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得结果.【详解】作出()f x 的函数图象如图所示， 由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得(),1f x a a =>， 即1a >，不妨设12x x < ，则2212x x e a ==，(1)a t t =>，则12,ln 2tx x t ==， 12ln 2t x x t ∴+=-()ln 2t g t t =，则42'()t g t -=， ∴当 18t <<时，()'0g t >，()g t 在()1,8上递增；当8t >时，()'0g t <，()g t 在()8,+∞上递减；∴当8t =时，()g t 取得最大值g(8)=ln82=3ln22--,故答案为3ln 22-.【点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4)判断()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.工程队将从A 到D 修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（,,,A B C D 在同一水平面内），求,A D 之间的距离.65123-【解析】 【分析】在直角ABC ∆中 ，求得cos 4141ACB ACB ∠=∠=，利用两角差的余弦公式可得cos ACD ∠的值，再由余弦定理可得结果. 【详解】连接AC,在ABC ∆中 224541AC =+=，cos 4141ACB ACB ∠=∠=21343cos cos 3224141241ACD ACB π⎛⎫⎛⎫∠=-∠=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在ACD ∆ 中，2435413241365123241AD -=+-⨯⨯=-【点睛】本题主要考查两角差的余弦公式以及余弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且//BD 平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，3PA PC AB ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值． 【答案】(1)见证明3【解析】 【分析】（1）连结AC 、BD 且AC BD O =I ，连结PO ，先证明BD ⊥平面PAC ，可得BD PC ⊥，再利用线面平行的性质定理证明//BD MN ，从而可得结论；（2）利用（1）可证明PO ⊥平面ABCD ,利用PA 与平面ABCD 所成的角为60︒求出线段间的等量关系，以OA u u u r ，OD uuu r ，OP uuu r分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求出3(AD =-u u u r，再利用向量垂直数量积为零列方程求出平面AMHN 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）连结AC 、BD 且AC BD O =I ，连结PO ． 因为，ABCD 为菱形，所以，BD AC ⊥， 因为，PD PB =，所以，PO BD ⊥，因为，AC PO O =I 且AC 、PO ⊂平面PAC ， 所以，BD ⊥平面PAC ，因为，AC ⊂平面PAC ，所以，BD PC ⊥， 因为，//BD 平面AMHN ， 且平面AMHN I 平面PBD MN =， 所以，//BD MN ， 所以，MN PC ⊥．（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以，PO AC ⊥，所以，PO ⊥平面ABCD ,所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以60PAO ∠=︒，所以，12AO PA =，PO PA =，因为，PA =，所以，BO PA =. 以OA u u u r ，OD uuu r ，OP uuu r分别为x ，y ，z 轴，如图所示建立空间直角坐标系 记2PA =，所以，(0,0,0)O ，(1,0,0)A，(0,3B -，(1,0,0)C -，(0,3D，P，1(2H -，所以，(0,,0)3BD =u u u r，3(,0,22AH =-u u u r，(1,3AD =-u u u r记平面AMHN 的法向量为(,,)n x y z =r ，所以，00n BD n AH ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v即0302y x z =⎨⎪-+=⎪⎩，令2x =，解得0y =，z =(2,0,n =r，记AD 与平面AMHN 所成角为θ，所以，sin |cos ,|||||||n AD n AD n AD θ⋅=<>==r u u u rr u u u r r u u u r .所以，AD 与平面AMHN所成角的正弦值为4. 【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理、线面垂直证明面面垂直以及利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.在平面直角坐标系xOy2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点M ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线0x y m ++=上存在点G ，且过点G 的椭圆C 的两条切线相互垂直，求实数m 的取值范围．【答案】(1) 2213x y +=(2) [-【解析】 【分析】（1M ，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 即可得结果；（2）设000(,), G x y x ≠切线方程为00()y k x x y =-+，代入椭圆方程得2220000(31)6()3()30k x k kx y x kx y +--+--=，则201220113y k k x -==--，化为22004x y +=，利用直线0x y m ++=与圆224x y +=有公共点，即可得结果.【详解】（1）由题意，222,c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得223a b =，又221213a b +=，解得223,1,a b ⎧=⎨=⎩ 所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．（2）①当过点G 的椭圆C 的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于y轴，易得(1)G ± ②当过点G 的椭圆C的切线的斜率均存在时，设000(,), G x y x ≠ 切线方程为00()y k x x y =-+，代入椭圆方程得2220000(31)6()3()30k x k kx y x kx y +--+--=，2220000[6()]4(31)[3()3]0k kx y k kx y ∆=--+--=，化简得：2200()(31)0kx y k --+=，由此得2220000(3)210x k x y k y --+-=，设过点G 的椭圆C 的切线的斜率分别为12,k k ，所以20122013y k k x -=-．因为两条切线相互垂直，所以2020113y x -=--，即220004(x y x +=≠， 由①②知G 在圆22004x y +=上，又点G 在直线0x y m ++=上，所以直线0x y m ++=与圆224x y +=有公共点，所以211m +≤，所以2222m -≤≤．综上所述，m 的取值范围为[22,22]-．【点睛】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.20.某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据： 第x 年 12345678910旅游人数y（万人） 300 283 321 345 372 435 486 527 622 800该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程$50.8169.7y x =+； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程$bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w L ，其回归直线µµµwv αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为µµµ121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑． ②刻画回归效果的相关指数µ22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑ ．③参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑．【答案】(1) $0.11235x y e = (2)见解析 【解析】 【分析】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+， 设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，进而可得结果；（2）由表格中的数据， 30407>14607，可得101022113040714607()()iii i y y y y ==>--∑∑，从而得2212R R < ，进而可得结果.【详解】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+，设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，()()()10110219.000.10883iii ii x x u u bx x ==--==≈-∑∑$， 6.050.108 5.5 5.456 5.46cu bx =-≈-⨯=≈$$ $ 5.46235c a e e =≈≈$∴模型②的回归方程为$0.11235x y e =（2）由表格中的数据，有30407>14607，即101022113040714607()()iii i y y y y ==>--∑∑，即10102211304071460711()()iii i y y y y ==-<---∑∑，2212R R <模型①的相关指数21R 小于模型②的22R ，说明回归模型②的拟合效果更好.2021年时，13x =，预测旅游人数为$0.1113 1.43235235235 4.2987y e e ⨯==≈⨯=（万人）【点睛】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误. 21.已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k N +∈上有零点，求k 的值；（3）若不等式()(1)()x m x f x x-->对任意正实数x 恒成立，求正整数m 的取值集合．【答案】(1) 1y =- ；(2) k 的值为0或3 ；(3) {}1,2,3. 【解析】 【分析】（1）由()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）先利用导数判断函数的单调性，然后根据零点存在定理可判断()f x 在区间(0,1)、(3,4)上分别存在一个零点，从而可得结果；（3）当1x =时，不等式为(1)10g =>恒成立；当01x <<时，不等式可化为ln 1x x x m x +>-，可得1m x >，当1x >时，不等式可化为ln 1x x xm x +<-，可得2m x <，结合（2），综合三种情况，从而可得结果. 【详解】（1）1()1f x x'=-，所以切线斜率为()01f '=， 又(1)1f =-，切点为(1,1)-，所以切线方程为1y =-． （2）令1()1f x x'=-，得1x =， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 所以()f x 的极小值为(1)10f =-<，又22221111()ln 20e e e ef =--=>， 所以()f x 在区间(0,1)上存在一个零点1x ，此时0k =；因为(3)3ln321ln30f =--=-<，(4)4ln 4222ln 22(1ln 2)0f =--=-=->， 所以()f x 在区间(3,4)上存在一个零点2x ，此时3k =．综上，k 的值为0或3． （3）当1x =时，不等式为(1)10g =>．显然恒成立，此时m R ∈；当01x <<时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x x m x +>-，令ln ()1x x xg x x +=-，则22ln 2()()(1)(1)x x f x g x x x --'==--，由（2）可知，函数()f x 在(0,1)上单调递减，且存在一个零点1x ， 此时111()ln 20f x x x =--=，即11ln 2x x =-所以当10x x <<时，()0f x >，即()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当11x x <<时，()0f x <，即()0g x '<，函数()g x 单调递减． 所以()g x 有极大值即最大值1111111111ln (2)()11x x x x x x g x x x x +-+===--，于是1m x >．当1x >时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x x m x +<-，由（2）可知，函数()f x (3,4)上单调递增，且存在一个零点2x ，同理可得2m x <．综上可知12x m x <<．又因为12(0,1), (3,4)x x ∈∈，所以正整数m 的取值集合为{}1,2,3．【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C 的参数方程；（2）设点(2P -，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A B ，，求11PA PB+的值． 【答案】（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）12【解析】分析：（1）若将曲线1C 上的点的纵坐标变为原来的32，则曲线2C 的直角坐标方程，进而得到曲线的参数方程.（2）将直线l 的参数方程化为标准形式代入曲线2C ，得到1212,t t t t ''+''，进而可求解结论.详解：（1）若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，则曲线的直角坐标方程为22243x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 整理得22149x y +=，曲线2C 的参数方程2,3x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （2）将直线的参数方程化为标准形式为1223332x t y t ''⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数），将参数方程带入22149x y +=得22313322149t ⎛⎫⎛⎫ ⎪-- ⎪'⎭+'⎝⎭⎝= 整理得()27183604t t +''+=. 12727PA PB t t +=+=''，121447PA PB t t ''==， 72111714427PA PB PA PB PA PB++===．点睛：本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知实数正数x , y 满足1x y +=． （1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)1[,1)6.(2)见解析. 【解析】 【分析】（1）利用零点分段法即可求解.（2）利用“1”的转换，以及基本不等式即可证明.【详解】（1）1,0,0x y x y +=>>Q 且0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩01011112121222x x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎛⎫-+≤-≤+-≤+ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩ 解得116x ≤<，所以不等式的解集为1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2）解法1： 1,x y +=Q 且0,0x y >>， ()()222222221111x y x x y y x y x y +-+-⎛⎫⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222xy y xy x x y ++=⋅ 222222y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 225x y y x =++59≥=. 当且仅当12x y ==时，等号成立. 解法2： 1,x y +=Q 且0,0x y >>，222222111111x y x y x y ⎛⎫--⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()221111x x y y x y +-+-=⋅ ()()2211x y y xx y ++=⋅ 1x y xyxy+++=21xy =+ 22192x y ≥+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭当且仅当12x y ==时，等号成立. 【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题.对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法.而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式.。
2020届河北省衡水金卷新高考原创精准仿真试卷(三)文科数学
2020届河北省衡水金卷新高考原创精准仿真试卷（三）文科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数满足，为虚数单位，则的共轭复数（）A. 1B.C. 2D.【答案】D【解析】【分析】由，化简后可求共轭复数【详解】解：由，所以z的共轭复数为，选D.【点睛】该题考查复数代数形式的乘除运算，属基础题，熟练掌握相关运算法则是解题关键．2.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式简化集合A、B，由B⊆A得等价不等式，从而可得实数a的取值范围．【详解】解：∵3x﹣a0，∴，∴A＝，∵log2（x﹣2）≤1＝log22，∴0＜x﹣2≤2，∴2＜x≤4，∴B＝（2，4]，∵B⊆A，∴≤2，∴a≤6，∴实数a的取值范围是（﹣∞，6]．故选：B．【点睛】本题主要考查了集合包含关系的应用及不等式的解法，属基础题．3.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由茎叶图求出甲的平均成绩，设被污损为x，由题意列不等式求出x的取值范围，再计算所求的概率值．【详解】解：由茎叶图知甲的平均成绩为×（88+89+90+91+92）＝90，∵甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，∴设被污损为x，则乙的平均成绩为×（83+83+87+99+90+x）≥90，解得x≥8，∴甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为P＝．故答案为：C．【点睛】本题考查了茎叶图、平均数、古典概型的概率计算应用问题。
2020年高考模拟试卷数学卷(3)及参考答案
2020年普通高校招生考试模拟卷数学试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页，选择题部分1至3页；非选择题部分3至6页.满分150分.考试用时120分钟. 考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么柱体的体积公式P (A +B )= P (A )+ P (B )V =Sh如果事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A •B )= P (A )•P (B )锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ， V =13Sh那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.k 次的概率球的表面积公式P n (k )=(1)(0,1,2,,)k k n k n C p p k n --=LS =4πR 2台体的体积公式球的体积公式V =13(S 1S 2) h V =43πR 3其中S 1、S 2表示台体的上、下底面积， 其中R 表示球的半径h 表示棱台的高.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}3P x x =-＞，104x Q xx ⎧-⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则()R C P Q =UA.(]3,1-B.(],4-∞-C.(]1-∞，D.[)1+∞，2.抛物线24y x =的焦点坐标 A.()1,0B.()0,1C.1016⎛⎫⎪⎝⎭，D.1016⎛⎫⎪⎝⎭，3.复数z 满足()122i z +=（i 为虚数单位），则z 的虚部是 A.45- B.45i-C.43D.43i 4.已知{}n a 是公比不为1的等比数列且公比为q ，前n 项和为n S ，则“10a ＞”是“4652S S S +＞” 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.函数sin ln 2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭的图像可能是ABCD6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.335333937.已知ξ为随机变量，则下列说法错误的是A.21122P P ξξ⎛⎫⎛⎫≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.()()()221D D ξξ=-211113C.()()1D D ξξ=-D.()()()22E E ξξ≤8.若0,0a b ≥≥，当11x y x y m ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，恒有1ax by +≤，且以,a b 为坐标点(),P a b 所形成的平面区域的面积为16，则m = A.136B.133C.3D.69.已知123,,e e e u r u u r u r为空间单位向量，1223311===2e e e e e e ⋅⋅⋅u r u u r u u r u r u r u r .若空间向量a r满足12=a e a e ⋅⋅r u r r u u r ，且对于任意,x y R ∈，()124a xe ye -+≥r u r u u r，则3a e λ-r u r 的最小值为10.三棱锥P ABC -中，三个侧面与底面所成角相等，三个侧面的面积分别为12,16,20且底面面积为24，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 A.193πB.793πC.763πD.3163π非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11.计算：3log = ，93log4log 43+= . 12.已知()()()sin sin cos sin 0x x x A wx b A ϕ⋅+=++＞，则A =，=b.13.已知多项式()()32234567012345671+12x x x a a x a x a x a x a x a x a x ++=+++++++，则3a =，7a =.14.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若4,3b c ==，3CD BD =，3cos 8A =，则=a，=AD.15.若a 为实数，且关于x的方程x =有实数解，则a 的取值范围是.16.某校共开设了六门选修课：物理、化学、生物、政治、历史、地理，要求每名学生选三门课，其中物。
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（衡水金卷）2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题三 文第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|13}A x x =<≤，{|02}B x x =≤<，则A B =U （ ）A ．{|02}x x ≤<B ．{|03}x x ≤≤C ．{|12}x x <<D ．{|13}x x <≤2.设函数1,0()1,02xx x f x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则[(1)]f f -=（ ）A ．32B1 C ．1 D ．3 3.若向量(1,0)a =r ，(0,1)b =r ，2(2,3)c xa yb =+=r r r(,)x y R ∈，则x y +=（ ）A ．4B ．5C ．3D ．24.若实数x ，y 满足约束条件113x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则y x 的取值范围是（ ）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.命题p ：若复数21iz i=-（i 为虚数单位），则复数z 对应的点在第二象限，命题q ：若复数z 满足z z ⋅为实数，则复数z 一定为实数，那么（ ）A ．p q ∧是真命题B ．()p q ∧⌝是真命题C ．()p q ⌝∨是真命题D ．()p q ∨⌝是假命题 6.执行如图所示的程序框图，若输入的40n =，则输出的S =（ ）A ．80B ．96C ．112D ．120 7.已知函数()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后，得到的图象对应的函数()g x 为奇函数，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．56π C ．3πD ．23π8.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，从A ，B ，C ，D 四点中任取三点和顶点P 所形成的四面体中，任取两个四面体，则其中一个四面体为鳖臑的概率为（ ）A ．14 B ．23 C ．35 D ．3109.如图，AB 为经过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的弦，点A ，B 在直线2px =-上的射影分别为1A ，1B ，且113AA BB =，则直线AB 的倾斜角为（ ）A ．6π B．4π C ．3πD ．512π10.一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的表面积为3242π++，则图中的x =（ ）A ．1B 2C ．32D ．2211.已知数列{}n a 满足2*1232()n n a a a a n N ⋅⋅⋅=∈，且对任意的*n N ∈都有12111nt a a a ++⋅⋅⋅+<，则t 的取值范围为（ ） A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12.若存在1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式22ln 30x x x mx +-+≥成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．132e e +- B ．32e e++ C ．4 D ．21e - 第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知{}n a 是等差数列，n S 是其数列的前n 项和，且4103S =-，1221a a +=，则3a = ．14.已知圆C 的方程为22(2)(1)1x y ++-=，则圆上的点到直线0x y -=的距离的最小值为 ．15.观察三角形数组，可以推测：该数组第八行的和为 ．16.已知双曲线1C ：2212x y -=，曲线2C ：1y x =+，P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C ，2C 都有公共点，则称点P 为“差型点”.下面有4个结论： ①曲线1C 的焦点为“差型点”； ②曲线1C 与2C 有公共点；③直线y kx =与曲线2C 有公共点，则1k >； ④原点不是“差型点”.其中正确结论的个数是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC ∆的外接圆半径为2，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b =. （1）若2cos cos cos a A c B b C =+，求角C ； （2）若B 为锐角，3a c +=，求ABC ∆的面积.18.已知某地区中小学生人数和近视情况如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生作为样本进行调查.（1）求样本容量和抽取的高中生近视人数分别是多少？（2）在抽取的n名高中生中，平均每天学习时间超过9小时的人数为310n，其中有12名学生近视，请完成高中生平均每天学习时间与近视的列联表：平均学习时间不超过9小时平均学习时间超过9小时总计不近视近视总计（3）根据（2）中的列联表，判断是否有95%的把握认为高中生平均每天学习时间与近视有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.2()P K k≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19.如图，在三棱锥A BCD-中，AB⊥平面BCD，6DBC∠=，2BD BC==，32AB=+，E为AC的中点，F在棱CD上，且BC EF⊥.（1）求证：BF CF=；（2）求三棱锥A BEF-的体积.20.已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左，右焦点分别为1F，2F，过1F的直线交椭圆于A，B两点.（1）若直线AB与椭圆的长轴垂直，12AB a=，求椭圆的离心率；（2）若直线AB 的斜率为1，3222a AB a b =+，求椭圆的短轴与长轴的比值.21.已知曲线()xmx m f x e -=在点(1,(1))f 处的切线斜率为1e-. （1）求函数()f x 的极小值； （2）当(0,)x π∈时，求证：21()cos sin f x x x x e +>-. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ，2C 的极坐标方程分别为4cos ρθ=，2sin ρθ=.（1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程，将2C 的极坐标方程化为参数方程； （2）当6πα=时，直线l 与1C 交于O ，A 两点，与2C 交于O ，B 两点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()23b cf x x a x =-+++的最小值为7（a ，b ，c 为正数）. （1）求222a b c ++的最小值；（2）求证：444222222a b c a b c b c a++≥++.文数（三）一、选择题1-5: BDAAB 6-10: DCBCA 11、12：DA 二、填空题13. 43-14. 12 15. 1296 16. 3三、解答题17.解：（1）∵2cos cos cos a A c B b C =+，由正弦定理，可得2sin cos sin cos sin cos A A C B B C =+， 即2sin cos sin()sin A A B C A =+=. ∵sin 0A ≠，∴1cos 2A =. ∵0A π<<，∴3A π=.又2sin bR B=（R 为外接圆半径），2b =，R =，∴sin 2B =，∴4B π=或34π（舍）. ∴5()12C A B ππ=-+=. （2）由（1）知，4B π=或34π， 又B 为锐角，∴4B π=.由余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-，即24()2a c ac =+--.∵3a c +=，∴49(2ac =-+，∴(25ac =， ∴ac =.∴1sin24ABC S ac B ∆==54=.18.解：（1）由图1可知，高中生占学生总数的20%，∴学生总数为300020%15000÷=人，∴样本容量为150002%300⨯=.∵抽取的高中生人数为30002%60⨯=人，由于近视率为60%，∴抽取的高中生近视人数为6060%36⨯=人.（2）列联表如下：平均学习时间不超过9小时平均学习时间超过9小时总计不近视18 6 24 近视24 12 36 总计42 18 60 （3）由列联表可知，2260(1812246)0.47624364218K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∵0.476 3.841<，∴没有95%的把握认为高中生平均每天学习时间与近视有关.19.解：（1）取BC的中点G，连接EG，GF.∵E为AC的中点，∴//EG AB.∵AB⊥平面BCD，∴EG⊥平面BCD，∴EG BC⊥.又∵BC EF⊥，EF EG E=I，∴BC⊥平面EFG，∴BC GF⊥.又∵G是BC的中点，∴BF CF=.（2）由图可知，三棱锥A BEF-体积与三棱锥F ABE-体积相等.∵FG BC ⊥，FG AB ⊥，AB BC B =I ， ∴FG ⊥平面ABC .∵150DBC ∠=o，且2BD BC ==， ∴15BCD ∠=o.在Rt FGC ∆中，1CG =，∴tan152GF ==o∴13A BEF F ABE ABE V V S FG --∆-=⨯⨯11111232322ABC S FG ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯1(2(26⨯+⨯=，即三棱锥A BEF -的体积为16.20.解：（1）由题意，直线AB 的方程为x c =-,∴2212b AB a a ==， 即224a b =，故c e a ====（2）设1(,0)F c -，则直线AB 的方程为y x c =+，联立22221y x c x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22222222()20a b c a cx a c a b +++-=，42222222444()()8a b a a b c b a b ∆=-+-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212222a c x x a b +=-+，2221222()a cb x x a b-=+.∴12AB x =-==22222242ab a a b a b ==++. ∴222a b =，∴2212b a =，∴2b a =，即椭圆的短轴与长轴之比为2. 21.解：（1）由题得，()f x 的定义域为R ，(2)'()x m x f x e --=，∴'(1)mf e=. ∵曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为1e-， ∴1m e e=-，∴1m =-. ∴1()x x f x e -=，2'()x x f x e-=，当2x >时，'()0f x >，()f x 单调递增， 当2x <时，'()0f x <，()f x 单调递减，∴()f x 的极小值为21(2)f e =-. （2）由（1）可知，21()f x e+在2x =处取得最小值0，设()cos sin g x x x x =-，(0,)x π∈， 则'()cos sin cos sin g x x x x x x x =--=-， ∵(0,)x π∈，∴'()0g x <， ∴()g x 在区间(0,)π上单调递减， 从而()(0)0g x g <=， ∴21()cos sin f x x x x e +>-. 22.解：（1）由直线l 的参数方程cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），得直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈.由曲线2C 的极坐标方程2sin ρθ=，得直角坐标方程为22(1)1x y +-=， ∴曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）. （2）当6πα=时，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈. 当6πθ=时，4cos 6OA π==2sin 16OB π==，∴1AB OA OB =-=.23.解：（1）∵2323b c b c x a x a -+++≥++（当且仅当()023b c x a x ⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭时取等号）， 由题意，得723b c a ++=. 根据柯西不等式，可知22222211()123a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦24923b c a ⎛⎫≥++= ⎪⎝⎭， ∴22236a b c ++≥.∴222a b c ++的最小值为36. （2）∵42222a b a b +≥，42222b c b c +≥，42222c a c a+≥， ∴444222222a b c a b c b c a+++++2222()a b c ≥++， ∴444222222a b c a b c b c a ++≥++.。