北京大学2017年优特(U-Test)数学测试真题
2017年北大附中优特数学竞赛试题选择题20题(word版 无答案)
数 学（满分 100 分，时间 60 分钟）1．数列{}n a 满足 123a =，12(21)1n n n a a n a +=++ ，则数列{}n a 的前 2017 项和2017S = A ．20162017 B ．20172018 C ． 40344035 D ． 403340342．若 x 1 是方程 xe x = e 2的解， x 2 是方程 x ln x = e 2 的解，则 x 1 x 2A ．1B ．eC ．e 2D ．e 43．9 tan10︒ + 2 tan 20︒ + 4 tan 40︒ - tan 80︒ =A ．0B ．3 C ．1 D ．4．若关于 x 的方程 a x 2 + bx + c = 0(ac ≠ 0) 有实数解，且 (a - b )2 + (b - c )2 + (a - c )2 ≥ rc 2 ，则 实数 r 的最大值是A ．1B ．98C ．916D ．2 5．设函数 f (x ) = x 2 + ax + b ，对于任意的 a ，b ∈R ，总存在 x ∈[0, 4] 使得()f x m ≥ ，则实数 m 的取值范围是A ．1(,]2-∞ B ．(,1]-∞ C ．(,2]-∞ D ．(,4]-∞6 ．已知数列{}n a 的通项公式是 2n n a = ，数列{}n b 的通项公式是52n b n =-，那么集合 {}1232019,,,...,a a a a {}1232019,,,...,b b b b 的元素个数为A ．503B ．504C ．505D ．5067．过原点的直线l 与双曲线 xy =-交于 P ，Q ，其中 P 在第二象限，现将上下两个半平 面折成直二面角，则 PQ 的最小值是A ．B ．4C ．D ．8．数列满足 11a = ，11n n na a a +=+，若 2017(,1)a k k ∈+，其中*k N ∈，则 k 的值是 A ．63 B ．64 C ．65 D ．66 9．i a R ∈(1,2,3,...,)i n =，212()a a -+223()a a -+234()a a -+245()1a a -=，则123522a a a a --+的最大值是 A． B ．C ．D ．10．设在 R 上可导函数()f x 满足()f x 31()3f x x --=，并且在(,0)-∞上'21()2f x x ，实数 a 满足(6)f a -321()1318363f a a a a -≥+-+，则实数 a 的取值范围是A ．(,3]-∞B ．[3,)+∞C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞11．桌面上有 3 个半径为 2017 的球两两相切，在其上方空隙里放一个球，使其顶点（最高点）与 3 个球的顶点在同一平面内，则该球的半径是A ． 20176B ．20174C ． 20173D ．2017212．60 支足球队两两比赛，且一定有胜负，每队赢的概率为 50%，设没有两队赢相同场数的概率为p q，其中 p ，q 互质，则 2n 可整除 p 的最大 n 值是 A ．1768 B ．1746 C ．1714 D ．1702 13．设椭圆 C 1： 22221(0)x y a b a b+=的左右焦点分别为F 1， F 2，离心率为34，双曲线 C 2：22221(0)x y c d c d-=的渐近线交椭圆 C 1于 P ， PF 1⊥ PF 2，则双曲线C 2的离心率是A ．BCD 14．设函数 f (x ) = x 2 - ln x ， g (x ) = x -1 ，直线 y = m 分别交曲线 y = f (x ) 和 y = g (x ) 于 P ，Q 两点，则 PQ 的最小值是A ．1B ．2C ．3D ．415．方程组324113012y y y x x y --+⎧=⎪⎨+=⎪⎩的各互异实数解的个数是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．616．设实数 0 < k 1 < k 2 ，并且 k 1k 2 = 4 ，两曲线 C 1 ， C 2 的渐近线分别是 1(2)24k y x =±-+和2(2)2y k x =±-+，且 C 1 ， C 2 都过原点，则曲线 C 1 ， C 2 离心率的比值是AB C ．1 D ．217．两圆均过点 (3, 4) ，且其半径之积为 80，两圆均以 x 轴为公切线，并且另一公切线过原 点，则其斜率为A ．B ．C ．．18．在△ABC 中， cos A cos B cos C 的最大值是A ． 12B ． 1C ．2D ．19．两个相同的正四面体，四面分别标有 1，2，3，4，某人每次同时投掷这两个正四面体，规定每次两底面数字之和为所得数字，共投掷 3 次，则 3 次所得数字之积能被 10 整除 的概率是A ． 12B ．38C ．1132D ． 153220．在圆锥中，M 是顶点，A 在底面圆周上，B 在底面圆内，6MA =，AB ⊥OB ，OH ⊥MB 于 H ， C 为 M A 中点，当四面体 O - CHM 体积最大时，HB =A ．B C D ．。
北京大学2017年数学分析试题及解答
4 ∑ ∞ f (x) ∼
1
sin(2n − 1)x.
π 2n − 1
n=1
记该 Fourier 级数的前 n 项和为 Sn(x), 则 ∀x ∈ (0, π), Sn(x)
Sn(x)
的最大值点是
π 2n
且
lim
n→∞
Sn
(
π 2n
)
=
2∫ π π0
sin t dt. t
=
2 π
∫x
0
sin 2nt sin t
lim
3
t2
t→+∞
e−tϕ(X)dX = 0.
Uδ \Uδ′
设 A 的特征值为 λ1, λ2, λ3, 并且 λ1 ⩾ λ2 ⩾ λ3 > 0. 对于任意事先给定的 ε ∈ (0, λ3), ∃δε′ 使得对于任意属 于球形邻域 Uδ′ε 的 X 有
(X − X0)T A (X − X0)−ε (X − X0)T (X − X0) < ϕ(X) < (X − X0)T A (X − X0)+ε (X − X0)T (X − X0)
x2 − x1
7. (20 分) 设 f 是 (0, +∞) 上的凹 (或凸) 函数且 lim f (x) 存在有限, 证明 lim xf ′(x) = 0 (仅在 f 可导
x→+∞
x→+∞
的点考虑极限过程).
8.
(20
分)
设
ϕ
∈
C 3 (R3 ), (
ϕ
及其各个偏导数 )
∂iϕ(i
=
1, 2, 3)
故 e ( ) −t (X−X0)TA(X−X0)+ε|X−X0|2 < e−tϕ(X) < e ( ) −t (X−X0)TA(X−X0)−ε|X−X0|2
2017年北京大学优特U-Test测试-物理学科试题及答案解析
2017年北京大学优特测试物理学科注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．客观题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
主观题用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上。
答在试卷上的无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4、本试题为考生回忆版，有部分缺题1、质量为m1的小球从光滑的半径为R的圆弧轨道A处滑下，撞上静置在B处，质量为m2的小球，碰撞恢复系数为e，之后两小球作平抛运动，平抛的高度为R。
两小球在地面上的落点为P1和P2。
（1）m1和m2满足什么关系时，PP1＝P1P2；（2）判断：P1是否一定是m1留下的。
2、30个质量相同的木块紧靠在一起，放置在光滑的水平地面上。
现在第1块左侧和第30块右侧分别施加水平力F1＝5N和F2＝2N，如图所示。
试求第7、22、28、29块左侧受到的支持力大小。
3、在光滑的地面上，有3个相同的滑块，A与B之间由劲度系数为k的弹簧相连。
初始时，弹簧处于原长位置，C紧贴着B，A以v0的初速度向右开始运动。
试求：（1）A和B第二次速度相同时，它们的速度；（2）B和C分离瞬间，C的速度；（3）弹簧的压缩量的最大值。
4、如图所示电路，若滑动变阻器R划片向下移，试分析电源输出功率和电流计指针如何变化。
（假定电流从a节点流向b节点，电流计指针右偏）5、已知空间中存在水平向左的匀强电场E 和匀强磁场B ，一电子质量为m ，电荷量为e ，以初速v 0、垂直于电磁场方向射入。
试求：1）回旋周期；2）回旋中心轨道；3）电场做功的功率变化；4）轨道的曲率半径。
6、空间中有匀强磁场垂直纸面向里，一带有-350e 的油滴初速沿y 轴正向从A 点入射，作半径为R 的圆周运动。
经历1/4圆周后，在C 点分裂成两个质量相同的小油滴，设分裂前后油滴速度不变。
2017年北大自主招生数学试题及答案
5
13
）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 无法确定
D. 前三个答案都不对
答案 A．
5
B.
20 5,
Å3 ã
3
C.
20 , 20
D. 前三个答案都不对
3
解析 C．
13. 正方形 ABCD 与点 P 在同一平面内，已知该正方形的边长为 1 ，且 |P A|2 + |P B|2 = |P C|2 ，则 |P D|
的最大值为（ ） √
A. 2 + 22 2 D. 前三个答案都不对
答案 A．
） B. −1.5 D. 前三个答案都不对
19. 动圆与两圆 x2 + y2 = 1 和 x2 + y2 − 6x + 7 = 0 都外切，则动圆的圆心轨迹是（ ）
A. 双曲线
B. 双曲线的一支
C. 抛物线
D. 前三个答案都不对
答案 B．
4
20.
在
△ABC
中， sin A = 4 ， cos B = 4 ，则该三角形是（
√ B. 2 6 D. 前三个答案都不对
答案 D．
6. 已知三角形三条中线长度分别为 9, 12, 15 ，则该三角形面积为（ ）
A. 64
B. 72
C. 90
D. 前三个答案都不对
答案 B．
7. 已知 x 为实数，使得 2, x, x2 互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的 2 倍，则这样的实数 x 的个
3π
ã
的值为（
）
5
5
A.
1 1+ √
5
C.
1+
1 √
2017年北京大学自主招生数学试题及其参考答案
2017年北京大学自主招生数学试题及其参考答案甘志国;张荣华【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2018(000)005【总页数】5页(P19-23)【作者】甘志国;张荣华【作者单位】北京丰台二中;山西临汾三中【正文语种】中文2017年北京大学自主招生数学试题，包含20道单项选择题,试题简洁基础,涵盖面广，对自主招生及高考复习备考都有极高的参考价值.本文将给出其详细解答.1. 若实数 a、b 满足 (a2+4)(b2+1)=5(2ab-1),则的值为( ).A 3/2;B 5/2;C 7/2;D 前3个答案都不对解法1 由题设,可得(a2b2-6ab+9)+(a2-4ab+4b2)=0,(ab-3)2+(a-2b)2=0, ab=3且a=2b,解法2 由题设,可得(a2+4)b2-10a·b+(a2+9)=0.①因为关于b的一元二次方程①有实数解,所以Δ=(-10a)2-4(a2+4)(a2+9)=-4(a2-6)2≥0,因为关于b的一元二次方程①有2个相等的实数解,由根与系数的关系可得所以ab=3,从而故选C.2. 函数在[-1,2]上的最大值与最小值的差所在的区间是( ).A (2,3);B (3,4);C (4,5);D 前3个答案都不对解法1 可得当时,f(x)的取值范围分别是可得f(x)在[-1,2] 上的值域是所以 f(x)在[-1,2] 上的最大值与最小值的差是再由可得选项为B.解法2 在解法1中,已得可知函数f(x)在每一段的图象都是抛物线段,最值只可能在端点处或对称轴处取到.而抛物线段的端点是对称轴分别是得其中的最大值最小值就分别是函数 f(x)在[-1,2] 上的最大值与最小值.所以函数 f(x)在[-1,2] 上的最大值与最小值的差是再由可得选项为B.3. 不等式组所表示的平面区域的面积为( ).A 6;B 33/5;C 36/5;D 前3个答案都不对图1可得题设中的平面区域即图1中的四边形ABCD,其中进而可求得四边形ABCD的面积为选项为C.的值为( ).前3个答案都不对由题意可得1+2coscos+coscos=1+coscos=选项为B.5. 在圆周上逆时针摆放了 4个点A、B、C、D,若BA=1,BC=2,BD=3,∠ABD=∠DBC,则该圆的直径为( ).前3个答案都不对图2解法1 如图2所示,可设∠ABD=∠DBC=θ(0<θ<π).由∠ABD=∠DBC,可得DA=DC.在△ABD,△BCD中,由余弦定理可得12+32-2·1·3cos θ=22+32-2·2·3cos θ,θ=π/3.连结AC,在△ABC中,由余弦定理可求得在△ABC中,由正弦定理可求得△ABC的外接圆直径为解法2 如图2所示,由托勒密定理AB·CD+AD·BC=AC·BD,可得CD+2AD=3AC.由∠ABD=∠DBC,可得CD=AD,所以CD=AD=AC,得正再由题设可得连结AC,在△ABC中,由余弦定理可求得在△ABC中,由正弦定理可求得△ABC的外接圆直径为故选项为D.6. 若三角形3条中线长度分别为 9,12,15,则该三角形面积为( ).A 64;B 72;C 90;D 前3个答案都不对设△ABC的3边长分别为AB=c,BC=a,CA=b,3条中线长分别为AD=9,BE=12,CF=15.由余弦定理,可证得“平行四边形各边的平方和对于其2条对角线的平方和”.由此结论,可得把它们相加后,可得3(a2+b2+c2)=(2·3)2(52+32+42)=2(2·3·5)2,a2+b2+c2=600.进而可求得再由余弦定理,得所以△ABC的面积为故选项为B.7. 若x 为实数,使得 2,x,x2 互不相同,且其中有一个数恰为另一个数的 2 倍,则这样的实数 x的个数为( ).A 3;B 4;C 5;D 前3个答案都不对由题设知,包括下面的6种情形: 1) 由2=2·x,得x=1,检验知,不满足题意；2) 由x=2·2,得x=4,检验知,满足题意；3) 由2=2·x2,得x=±1,经检验知,仅有x=-1满足题意；4) 由x2=2·2,得x=±2,经检验知,仅有x=-2满足题意；5) 由x=2·x2,得x=0或检验知,仅有满足题意；6) 由x2=2·x,得x=0或2,检验知,均不满足题意.综上,可得进而可知选B.8. 若整数 a,m,n 满足则这样的整数组 (a,m,n) 的组数为( ).A 0;B 1;C 2;D 前3个答案都不对已知|a|、m、n∈N*,m>n,且此时题中的等式等价于②进而可得③所以8(m+n-a2)=0,a2=m+n(否则式③左边是无理数,右边是整数,不可能).再由式②得mn=20 (m>n，m、n∈N*),所以20=mn>n2,n≤4,因而n=1,2或4.可得(n,m)=(1,20),(2,10)或(4,5).再由a2=m+n(|a|∈N*),可得(a,m,n)=(±3,5,4),进而可知选C.9. 若则不超过 S且与 S 最接近的整数为( ).A -5;B 4;C 5;D 前3个答案都不对可得又因为所以不超过 S且与 S 最接近的整数为[S]=-5.故选A.10. 若复数 z 满足是实数,则 |z+i|的最小值等于( ).C 1;D 前3个答案都不对可设z=r(cos θ+i sin θ)(r>0),得由是实数,得sin θ=0或即当sin θ=0时,可得z是非零实数,故|z+i|=|z-(-i)|,表示复平面xOy上的点-i与x轴上非原点O的点z之间的距离.由“垂线段最短”可得|z+i|>1.当即时,可得当且仅当时,因为所以故选D.11. 已知正方形A、B、C、D的边长为1,若P1、P2、P3、P4是正方形内部的4个点使得△ABP1,△BCP2,△CDP3和△DAP4都是正三角形,则四边形P1P2P3P4的面积等于( ).前3个答案都不对图3如图3所示,建立平面直角坐标系xOy后,可求得可得四边形P1P2P3P4的对角线互相垂直平分且相等,所以四边形P1P2P3P4是正方形,其面积为故选A.12. 已知某个三角形的2条高的长度分别为10和20,则它的第三条高的长度的取值范围是( ).前3个答案都不对设该三角形3边分别为a、b、c,这些边上的高分别为10,20,h(h>0),可得2S△ABC=10a=20b=ch, a=2b, c=20b/h，进而可得该三角形3边分别为这样的三角形存在的充要条件是即故选C.13. 已知正方形ABCD与点P在同一平面内,该正方形的边长为1,且|PA|2+|PB|2=|PC|2,则|PD| 的最大值为( ).前3个答案都不对以A为原点，建立平面直角坐标系xAy,可得A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1).设P(x,y),由|PA|2+|PB|2=|PC|2,可得(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=(x-1)2+(y-1)2,x2+y2=1-2y,因而|PD|2=x2+(y-1)2=x2+y2+1-2y=进而可得:当且仅当点P的坐标是时, 故选A.14. 方程log4(2x+3x)=log3(4x-2x)的实根个数为( ).A 0;B 1;C 2;D 前3个答案都不对可设log4(2x+3x)=log3(4x-2x)=t,得所以4t-3x=4x-3t, 3t+4t=3x+4x. 因为f(u)=3u+4u (u∈R)是增函数,所以t=x,得设可得它是减函数,且所以函数g(x)有唯一的零点,进而可知选B.15. 使得和都是整数的正实数x的个数为( ).A 1;B 2;C 无穷多;D 前3个答案都不对由及和都是整数,可得是正整数,因而可设由是整数,可得n=1或或1.再由是整数,可得x=1.进而可知选A.16. 满足f(f(x))=f4(x)的实系数多项式f(x)的个数为( ).A 2;B 4;C 无穷多;D 前3个答案都不对若f(x)是实数常数,则可设f(x)=k (k∈R),由题设得k=k4,k=0或1,得f(x)=0或f(x)=1.若f(x)不是实数常数,则可设f(x)=anxn+…+a2x2+a1x+a0(an,…,a2,a1,a0∈R;an≠0,n∈N*).再由题设,可得an(anxn+…+a2x2+a1x+a0)n+…+a1(anxn+…+a2x2+a1x+a0)+a0=(anxn+…+a2x2+a1x+a0)4.比较该等式两边的首项,得解得因而可设f(x)=x4+bx3+cx2+dx+e(b、c、d、e∈R),再由题设,可得(x4+bx3+cx2+dx+e)4+b(x4+bx3+cx2+dx+e)3+c(x4+bx3+cx2+dx+e)2+d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=(x4+bx3+cx2+dx+e)4.即b(x4+bx3+cx2+dx+e)3+c(x4+bx3+cx2+dx+e)2+d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=0.比较该等式两边x12的系数,可得b=0,所以c(x4+bx3+cx2+dx+e)2+d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=0.再比较该等式两边x8的系数,可得c=0,所以d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=0.又比较该等式两边x4的系数,可得d=0,所以e=0，所以f(x)=x4.检验知f(x)=x4满足题设，从而满足题设的f(x)有且仅有3个:f(x)=0或f(x)=1或f(x)=x4.故选D.17. 使得p3+7p2为完全平方数的不大于100的素数p的个数为( ).A 0;B 1;C 2;D 前3个答案都不对由已知,设p2(p+7)=a2 (a∈N*),因而p|a,设a=pb(b∈N*),得p+7=b2 (b∈N*).由p是不大于100的素数,可得9≤b2≤106,3≤b≤10,因而p+7=b2=9,16,25,36,49,64,81或100. p=2,9,18,29,42,57,64或93.再由p是素数,可得p=2或29,进而可得答案为C.18. 函数f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)的最小值为( ).A -1;B -1.5;C -2;D 前3个答案都不对由已知可得f(x)=x(x+3)·(x+1)(x+2)=(x2+3x)(x2+3x+2)=(x2+3x+1)2-1.设得进而可知选A.19. 若动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2-6x+7=0都外切,则动圆圆心的轨迹是( ).A 双曲线;B 双曲线的一支;C 抛物线;D 前3个答案都不对可得圆x2+y2=1的圆心是O(0,0),半径是1;圆x2+y2-6x+7=0的圆心是A(3,0),半径是设动圆圆心为M(x,y),半径是r.再由题设“……都外切”,可得因而所以动圆的圆心M的轨迹是以O、A为焦点,实半轴长为的双曲线的右支.故选B.20. 在△ABC中,若则该三角形是( ).A 锐角三角形;B 钝角三角形;C 无法确定;D 前3个答案都不对由题设,可得B是锐角,所以再由正弦定理,可得B>A,进而可得A是锐角,所以所以cosC=-cos(A+B)=sin AsinB-cos Acos B=得C是锐角,因而△ABC是锐角三角形.故选A.(本文系北京市教育学会“十三五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究”(课题编号FT2017GD003,课题负责人:甘志国)阶段性研究成果.)。
2017年北京大学(优特)U-Test测试-数学学科试题(解析)
2017北京大学优特测试数学部分1．已知x ，y ∈R ，且4(x -1)2+(y -1)2＝1，求yx的最大值。
2．已知f (x )＝x 2-ln x ，g (x )＝x -2，直线y ＝m 与f (x )和g (x )分别交于P ，Q ，求|PQ |的最小值。
3．已知a ，b ，c 成等差数列，点P (-1，0)在直线l :ax +by +c ＝0上的投影为M ，又已知N 的坐标为(0，3)，求|MN |的最小可能值。
4．已知正数数列{a n }满足a 1＝1，且112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（S n 为数列的前行项和），求S 9。
5．已知f (x )在R 上可导，且满足以下两个条件： ①当x ≠1时，(x -1)[f′(x )-f (x )]＞0 ②f (2-x )＝f (x )e 2-2x试比较f (1)与f (0)的大小关系；以及f (2)与f (0)的大小关系。
6．在△ABC 中，求cos A B C 的最大值。
7．求值：9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°。
8．已知(a 1-a 2)2+(a 2-a 3)2+(a 3-a 4)2+(a 4-a 5)2＝1，其中a i ∈R ，i ＝1，2，…，5。
求a 1-2a 2-a 3+2a 5的最大值。
9．已知54和128是某等比数列中的两项，问该数列中最多有多少项为正整数。
10．求不定方程x 2-xy -2x +3y ＝11的正整数解。
11．求22018888999⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦…被63除的余数，其中[x ]表示不超过x 的最大整数。
12．求y ＝x 2上任三点所确定的外接圆半径的取值范围。
13．已知()10)1010x x f x x −=+−+，求解集f (3x +1)+f (x )＞2014．60支球队两两比赛，任两支相互胜率均为50％，设有两支球队取胜场数相同的概率为pq ，(p ，q )＝1。
北大2月10日测试数学2017
2017年北京大学2.10优特测试数学试题数学学科注意事项：本题为回忆版本，故将部分选择题改编为填空题。
一、单项选择题1. 在三角形ABC 中，已知sin2A +sin2B =4sin A sin B ，问三角形的形状（ ）A. 等腰三角形B. 钝角三角形C.直角三角形D.无法确定2. 已知(x -2)2+(y -3)2=1，求y x 的最大值 ，y x 的最小值 。
3. 已知集合A ={z |4+4=10z i z i z C -+∈，}，B={z ||z|=5，z ∈C }，则A B ⋂的元素个數为( )A. 0B. 2C. 4D.无法确定4. 以下哪组大小顺序是正确的（ ） A. 201520162016log 2016log 20172015<< B. 201520162017log 2016log 20172016<< C.201620152017log 2017log 20162016<< D. 201620152016log 2017log 20162015<<5. 方程x 4-2x 3-754x 2+755x -756=0的实数解个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4二、解答题6. 已知ABCD -A 1B 1C 1D 1是边长为1的立方体，求异面直线AB 1和BD 的距离。
7. 已知a 1=1，b 1=2，1122n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩，求22ln lim ln n n na nb n →+∞--。
8. 已知集合A 为非空实数集，B ，C 为A 的非空真子集。
已知A ，B ，C 对于加减法和数乘运算封闭（集合A 关于加减法和数乘运算封闭的定义为：,a b A Q λ∀∈∈，，均有a +b ∈A ，a A λ∈）。
证明：存在a A ∈，而a B C ∉⋃。
9. 已知a ij (1,1i n j n ≤≤≤≤)满足a ij =a ji ，且对12,,...,n x x x R ∀∈，均有1,0ij i j i j n a x x ≤≤≥∑，等号成立当且仅当12...0n x x x ====。
(精品word版)2017年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学文
2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学文一、选择题1.已知全集U=R，集合A={x|x＜-2或x＞2}，则U A=( )A.(-2，2)B.(-∞，-2)∪(2，+∞)C.[-2，2]D.(-∞，-2]∪[2，+∞)解析：∵集合A={x|x＜-2或x＞2}=(-∞，-2)∪(2，+∞)，全集U=R，∴U A=[-2，2].答案：C.2.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )A.(-∞，1)B.(-∞，-1)C.(1，+∞)D.(-1，+∞)解析：复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限，可得1010aa+-⎧⎨⎩＜＞，解得a范围.答案：B.3.执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A.2B.3 2C.5 3D.8 5解析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.答案：C.4.若x，y满足32xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则x+2y的最大值为( )A.1B.3C.5D.9解析：画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可. 答案：D.5.已知函数f(x)=3x-(13)x，则f(x)( )A.是偶函数，且在R上是增函数B.是奇函数，且在R上是增函数C.是偶函数，且在R上是减函数D.是奇函数，且在R上是减函数解析：由已知得f(-x)=-f(x)，即函数f(x)为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=(13)x为减函数，结合“增”-“减”=“增”可得答案.答案：B.6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A.60B.30C.20D.10解析：由三视图可知：该几何体为三棱锥，如图所示.答案：D.7.设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ·n ＜0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：m ，n 为非零向量，存在负数λ，使得m =λn ，则向量m ，n 共线且方向相反，可得m ·n ＜0.反之不成立，非零向量m ，n 的夹角为钝角，满足m ·n ＜0，而m =λn 不成立.即可判断出结论. 答案：A.8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080，则下列各数中与MN最接近的是( ) (参考数据：lg3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093解析：根据对数的性质：a log TT a，可得：3=10lg3≈100.48，代入M 将M 也化为10为底的指数形式，进而可得结果. 答案：D.二、填空题9.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sin α=13，则sin β=_____. 解析：推导出α+β=π+2k π，k ∈Z ，从而sin β=sin(π+2k π-α)=sin α，由此能求出结果. 答案：13.10.若双曲线22y x m-=1m=_____.解析：利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可. 答案：2.11.已知x ≥0，y ≥0，且x+y=1，则x 2+y 2的取值范围是_____.解析：利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可. 答案：[12，1].12.已知点P 在圆x 2+y 2=1上，点A 的坐标为(-2，0)，O 为原点，则AO ·AP 的最大值为_____.解析：设P(cos α，sin α).可得AO =(2，0)，AP =(cos α+2，sin α).利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出. 答案：6.13.能够说明“设a ，b ，c 是任意实数.若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为_____.解析：设a ，b ，c 是任意实数.若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c ”是假命题，则若a ＞b ＞c ，则a+b ≤c ”是真命题，举例即可，本题答案不唯一. 答案：-1，-2，-3.14.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (i)男学生人数多于女学生人数； (ii)女学生人数多于教师人数；(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_____. ②该小组人数的最小值为_____.解析：①设男学生女学生分别为x ，y 人，若教师人数为4，则424x y y x ⎧⎪⎨⎪⨯⎩＞＞＞，进而可得答案；②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ，则2x y y z z x ⎧⎪⎨⎪⎩＞＞＞，进而可得答案.答案：6，12.三、解答题15.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1，a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5.(Ⅰ)求{a n }的通项公式； (Ⅱ)求和：b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1.解析：(Ⅰ)利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{a n }的通项公式； (Ⅱ)利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可.答案：(Ⅰ)等差数列{a n }，a 1=1，a 2+a 4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2， 所以{a n }的通项公式：a n =1+(n-1)×2=2n-1. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得a 5=a 1+4d=9，等比数列{b n }满足b 1=1，b 2b 4=9.可得b 3=3，或-3(舍去)(等比数列奇数项符号相同). ∴q 2=3，{b 2n-1}是等比数列，公比为3，首项为1. b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1=()22113112n n q q --=-.16.已知函数3π)-2sinxcosx. (Ⅰ)求f(x)的最小正周期； (Ⅱ)求证：当x ∈[-4π，4π]时，f(x)≥-12.解析：(Ⅰ)根据两角差的余弦公式和两角和正弦公式即可求出f(x)sin(2x+3π)，根据周期的定义即可求出，(Ⅱ)根据正弦函数的图象和性质即可证明. 答案：(Ⅰ3π1212sin2x=sin(2x+3π)， ∴T=22π=π，∴f(x)的最小正周期为π，(Ⅱ)∵x ∈[-4π，4π]， ∴2x+3π∈[-6π，56π]，∴-12≤sin(2x+3π)≤1，∴f(x)≥-12.17.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：(Ⅰ)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(Ⅱ)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；(Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.解析：(Ⅰ)根据频率=组距×高，可得分数小于70的概率为：1-(0.04+0.02)×10；(Ⅱ)先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；(Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.进而得到答案.答案：(Ⅰ)由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1-(0.04+0.02)×10=0.4故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；(Ⅱ)已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1-(0.04+0.02+0.02+0.01)×10-0.05=0.05，估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为400×0.05=20人，(Ⅲ)样本中分数不小于70的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等.故分数不小于70的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，即女生的频率为：0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2.18.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积.解析：(1)运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；(2)要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由(1)运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；(3)由线面平行的性质定理可得PA∥DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值.答案：(1)证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B，可得PA⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD；(2)证明：由AB=BC，D为线段AC的中点，可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面ABC∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD⊂平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC；(3)PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，且平面PAC∩平面BDE=DE，可得PA∥DE，又D为AC的中点，可得E为PC的中点，且DE=12PA=1，由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，可得S△BDC=12S△ABC=12×12×2×2=1，则三棱锥E-BCD的体积为13DE·S△BDC=13×1×1=13.19.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2，0)，B(2，0)，焦点在x(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5.解析：(Ⅰ)由题意设椭圆方程，由a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得c，则b2=a2-c2=1，即可求得椭圆的方程；(Ⅱ)由题意分别求得DE和BN的斜率及方程，联立即可求得E点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得45BEBN =，因此可得△BDE 与△BDN 的面积之比为4：5. 答案：(Ⅰ)由椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆方程：2222x y a b+=1(a ＞b ＞0)，则a=2，e=c a =，则b 2=a 2-c 2=1，∴椭圆C 的方程224x y +=1； (Ⅱ)证明：设D(x 0，0)，(-2＜x 0＜2)，M(x 0，y 0)，N(x 0，-y 0)，y 0＞0，由M ，N 在椭圆上，则22004x y +=1，则220044x y =-， 则直线AM 的斜率0000022AM y y k x x -==++，直线DE 的斜率002DE x k y +=-， 直线DE 的方程：y=-002x y +(x-x 0)， 直线BN 的斜率002BN y k x -=-，直线BN 的方程y=002y x --(x-2)， ()()00000222x y x x y y y x x +⎧=--⎪⎪⎨-⎪=--⎪-⎩，解得：0042545x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 过E 做EH ⊥x 轴，△BHE ∽△BDN ， 则|EH|=45y ， 则45EH ND=， ∴△BDE 与△BDN 的面积之比为4：5.20.已知函数f(x)=e xcosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求函数f(x)在区间[0，2π]上的最大值和最小值. 解析：(1)求出f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程； (2)求出f(x)的导数，再令g(x)=f ′(x)，求出g(x)的导数，可得g(x)在区间[0，2π]的单调性，即可得到f(x)的单调性，进而得到f(x)的最值.答案：(1)函数f(x)=e x cosx-x 的导数为f ′(x)=e x(cosx-sinx)-1，可得曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为k=e 0(cos0-sin0)-1=0，切点为(0，e 0cos0-0)，即为(0，1)，曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=1；(2)函数f(x)=e x cosx-x 的导数为f ′(x)=e x(cosx-sinx)-1，令g(x)=e x(cosx-sinx)-1，则g(x)的导数为g ′(x)=e x (cosx-sinx-sinx-cosx)=-2e x·sinx ，当x ∈[0，2π]，可得g ′(x)=-2e x·sinx ≤0， 即有g(x)在[0，2π]递减，可得g(x)≤g(0)=0，则f(x)在[0，2π]递减，即有函数f(x)在区间[0，2π]上的最大值为f(0)=e 0cos0-0=1；最小值为f(2π)=2e πcos 2π-2π=-2π.。
北京大学2017年自主招生试题
北京大学2017年自主招生数学试卷选择题共20小题,在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填写在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分. 1.实数,a b 满足22(4)(1)5(21)a b ab ++=-，则1()b a a+的值为 () 1.5A () 2.5B () 3.5C ()D 前三个答案都不对解答：由柯西不等式()()()()()222221054126930ab a b ab ab ab ab -=++≥+⇒-+=-≤,所以13 3.5ab a b b a a ⎛⎫=⇒==⇒+= ⎪⎝⎭. 答案：C. 2.函数21212y x x x =--+-在区间[]1,2-上的最大值与最小值的差位于的区间是 5()32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 7()32B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 7()42C ⎛⎫⎪⎝⎭， ()D 前三个答案都不对解答：2222213,10233,011221121,12122x x x x x x y x x x x x x x x x ⎧--+-≤<⎪⎪⎪--+≤<⎪=--+-=⎨⎪-++≤<⎪⎪+-≤≤⎪⎩,当14x =-时，max 4916y =；当x =时，min 12y =-;最大值与最小值的差为6516-,在732⎛⎫⎪⎝⎭，内.3.由21y x ≥-和35y x ≤-+所围成的平面区域的面积为()6A 33()5B 36()5C ()D 前三个答案都不对解答：画出平面区域,由21y x ≥-和35y x ≤-+所围成的平面区域面积为：6366=55⨯，答案C. 4. 3(1cos)(1cos)55ππ++的值为(A 1()14B +()C ()D 前三个答案都不对解答：3331cos1cos 1cos cos cos cos 555555ππππππ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2221coscos2cos cos 1cos cos555555ππππππ=-+=+ 24sincoscossin1555551144sinsin 55ππππππ=+=+⋅=, 答案：B.5.在圆周上逆时针摆放了4个点,,,A B C D 已知1BA =，2BC =，3BD =，ABD DBC ∠=∠，则该圆的直径为()A()B()C ()D 前三个答案都不对解答：由ABD DBC ∠=∠，得AD DC =.在,ABD DBC ∆∆内，由余弦定理得:229194612AD CD AD CD +-+-=⇒==所以1cos 23ABD ABD π∠=⇒∠=,在ABD ∆内由正弦定理可得，2sin 3ADR ABD==∠, 答案：D. 6.已知三角形三条中线长度分别为9,12,15，则三角形的面积为()69A ()72B ()75C ()D 前三个答案都不对解答：在AIE ∆中，6,5AI IE ==，在AIE ∆中，8,5CI IE ==，AEI CEI π∠+∠=，由余弦定理可得222536256401010AE CE AE CE+-+-+=，其中AE CE =，得=5AE CE =，则10AC =，同理可得另外两条边长分别为所以三角形面积为72.答案B. 7.已知x 为实数，使得22,,x x 互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的2倍，则这样的实数x 的个数为()3A ()4B ()5C ()D 前三个答案都不对解答：2221,1x x x =⇒==，不符合题意；222211x x x =⇒=⇒=-符合题意；24,16x x ==，符合题意；242,2x x x =⇒==-，舍去2x =；2120,2x x x x =⇒==，舍去0x =；220,2x x x x =⇒==，舍；综上，x 的值可以为4，-2，-1，0.5. 答案B.8.设整数,,a m n=(,,)a m n 的个数为()A 无穷个 ()4B ()2C ()D 前三个答案都不对解答：=2a m n -=+-由于,,a m n 都是整数，所以20mn =，则2a m n =+，且m n >所以整数组(,,)a m n 可以为()()3,5,4,3,5,4-，答案C. 9.设111123571111log log log log S ππππ=+++，则不超过S 且与S 最接近的整数为 ()5A - ()4B ()5C ()D 前三个答案都不对解答：()11112357111111111log log 5,4log log log log 2357210S ππππππ⎛⎫=+++=⋅⋅⋅=∈-- ⎪⎝⎭,答案A.10.已知复数z 满足2z z+是实数，则z i +的最小值等于()3A()2B ()1C ()D 前三个答案都不对解答： 由2z z +是实数可得22z z z z +=+，即22z z z z+=+，整理得2()10z z z z ⎛⎫--= ⎪⋅⎝⎭，所以z z =或z =若z z =，则z 为实数，当0z =时，z i +有最小值1；若z =z i +1; 综上可得z i +1. 答案D. 11.已知正方形ABCD 的边长为1，1234,,,P P P P 是正方形内部的4个点使得1234,,ABP BCP CDP DAP ∆∆∆∆和都是正三角形，则四边形1234PP P P 的面积等于()2A()B()C ()D 前三个答案都不对解答：四边形1234PP P P为边长为)12的正方形，故面积为2.答案：A.12.已知某个三角形的两条高的长度分别为10和20，则它的第三条高的长度取值区间为10()53A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 20()5,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 20(),203C ⎛⎫ ⎪⎝⎭()D 前三个答案都不对解答： 由面积相等，两条高之比为1:2，所对应的底边之比为2:1，设为2,x x ，则第三条边长的取值范围为(,3)x x ，由面积相等可知第三条高的长度取值区间为20,203⎛⎫⎪⎝⎭，答案C. 13.正方形ABCD 与点P 在同一平面内，已知该正方形的边长为1,且222PA PB PC +=，则PD 的最大值为()2A +(B()1C +()D 前三个答案都不对解答：以点A 为坐标原点，AB 为x 轴正方向建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,1,0,1,1,0,1A B C D .设(),P x y ,由222PA PB PC +=得(),P x y 的轨迹方程为()2212x y ++=,所以PD的最大值为2答案A. 14.方程()()43log 23log 42x x x x +=-的实根个数为()0A ()1B ()3C ()D 前三个答案都不对解答：设()()43log 23log 42xxxxm +=-=234423x x mx x m⎧+=⎪⇒⎨-=⎪⎩两式相加得4343x x m m +=+，由函数34x x y =+单调递增，x m =；23413234124423x x x x xx x xx x x⎧+=⎪⎛⎫⎛⎫⇒+=⇒+=⎨ ⎪ ⎪-=⎝⎭⎝⎭⎪⎩，由介值定理易知其实根个数为1.答案A.15.使得2+x x 和222x x+都是整数的正实数x 的个数为 ()1A ()3B ()C 无穷多 ()D 前三个答案都不对解答：因为2+x x是整数，所以 22222222221111222224x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是整数， 又222x x+和4是整数，所以22x是整数，所以221,21,x x x x ==⇒=±=;当x =2+x x不是整数，所以1x =±，正实数x 的值为1. 答案A.16.满足()()()4ff x f x =的实系数多项式()f x 的个数为()2A ()4B ()C 无穷多 ()D 前三个答案都不对解答：()()()40,1,f x f x f x x ===, 答案D. 17.有多少个不大于100的素数p 满足327p p +为平方数.()0A ()1B ()2C ()D 前三个答案都不对解答：设()322277p p p p n +=+=，则7p +是完全平方数，所以2,29p p ==,答案C. 18.函数()(1)(2)(3)f x x x x x =+++的最小值为()1A - () 1.5B - ()2C - ()D 前三个答案都不对解答：()()()22(1)(2)(3)332f x x x x x x xxx =+++=+++,设223993244t x x x ⎛⎫=+=+-≥- ⎪⎝⎭，则()()222211y t t t t t =+=+=+-，min 1y =-, 答案A.19.动圆与两圆221x y +=和22670x y x +-+=都外切.则动圆的圆心的轨迹是()A 双曲线 ()B 双曲线的一支 ()C 抛物线 ()D 前三个答案都不对解答：设动圆圆心为点P ，半径为r ，已知两圆圆心为()()120,0,3,0F F .由已知得122112||1,||||||1||3PF r PF r PF PF F F =+=⇒-=<=，所以动圆圆心的轨迹为双曲线的一支. 答案B. 20.在三角形ABC 中，44sin ,cos 513A B ==，则该三角形是 ()A 锐角三角形 ()B 钝角三角形 ()C 无法确定 ()D 前三个答案都不对解答：sin sin 132B A A B π=>⇒<<，又3cos 5A =,()cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B =-+=-=>,所以为锐角三角形, 答案A.本文档由华夏园教育提供。
2017年北大自主招生数学试题及答案
答案 A．
14. 方程 log4(2x + 3x) = log3(4x − 2x) 的实根个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 前三个答案都不对
答案 B．
15. 使得
2 x+
x
和
x2
+
2 x2
都是整数的正实数
x
的个数为（
）
A. 1
B. 2
C. 无穷多
D. 前三个答案都不对
答案 A．
16. 满足 f (f (x)) = f 4(x) 的实系数多项式 f (x) 的个数为（ ）
√ B. 2 6 D. 前三个答案都不对
答案 D．
6. 已知三角形三条中线长度分别为 9, 12, 15 ，则该三角形面积为（ ）
A. 64
B. 72
C. 90
D. 前三个答案都不对
答案 B．
7. 已知 x 为实数，使得 2, x, x2 互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的 2 倍，则这样的实数 x 的个
5
13
）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 无法确定
D. 前三个答案都不对
答案 A．
5
, π
2
3
5
7
则不超过 S 且与 S 最接近的整数为（ ）
A. −5
B. 4
C. 5
D. 前三个答案都不对
答案 A．
10.
已知复数
z
满足
2 z+
是实数，则
|z + i|
的最小值等于（
）
√
z
√
A. 3 3
B. 2 2
2017北京大学数学夏令营试题(部分含答案)
【简介】2017年8月13日—15日，北京大学举行中学生数学科学夏令营活动，活动包括专题讲座、专项测试。
本次夏令营专项测试包含2次学生测试，每次考试3个小时。
参加的营员在12月份数学冬令营中有以下对应优惠。
1、进入前50名集训队成员，直接保送北大（每年国决现场集训队选手基本都是保送清北）；
2、进入前120名，可降一本分数线录取。
3、数学联赛中进入省队，依据相关情况给予降20—60分录取。
第一天第1题参考解答
第一天第2题参考解答
分析
a增长，如首先，如果这个递推初始值稍微大一点，就可以忽略常数项，就会产生变成2k
果初始值太小，就会直接到后面变成负数，所以很可能只有唯一一个解或者无解，不然只能有无限个解（不太可能）。
所以猜对初始值非常关键，那么符合题意的初始值可能成为本数列的为数不多的闭合解之一。
因为我好久没做题了，所以费了点功夫，如果经常在做函数方程的同学，一下子可以看出闭合解可能是一次多项式，然后就可以猜到答案。
再反证明初始值唯一就可以了，使用不等式放缩即可，因为这个递推式对初始值非常敏感，所以不难用不等式导出矛盾。
2017年清华、北大自主招生数学模拟试卷(笔试试题附解析 )
2017年清华、北大自主招生数学模拟试卷（笔试试题附解析 ）一、填空题（共12小题，每题10分，计120分）． 1. 如图，在三棱锥中ABC D -中，已知AB =2，3-=⋅BD AC ．设AD =a ，BC =b ，CD =c ，则c 2ab +1的最小值为 ．2. 若四位数n abcd =的各位数码,,,a b c d 中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称n 为四位三角形数，则所有四位三角形数的个数为 ． 3. 已知函数b a 、满足21≤≤-a ，且1202≤-≤a b ，则ab b a w 8316322++= b a 34+-的取值范围是 ．4. 若存在满足下列三个条件的集合A 、B 、C ，则称偶数n 为“萌数”：⑴ 集合A 、B 、C为集合{}n M ，，，，⋅⋅⋅=321的3个非空子集，A 、B 、C 两两之间的交集为空集，且M C B A = ；⑵ 集合A 中所有数均为奇数，集合B 所有数均为偶数，所有的3的倍数都在集合C 中；⑶ 集合A 、B 、C 所有元素的和分别为321S S S 、、，且321S S S ==．对于以下4个说法：① 8是“萌数”；② 60是“萌数”；③ 68是“萌数”；④ 80是“萌数”；其中正确的是 ．（填所有正确的序号） 5. 若()n k m k =︒-∏=451212csc ，其中*∈N n m ,且2,≥n m ，则n m +的值是 ．13922=+y x 6. 如图，设斜率为()0 >k k 的直线l 与椭圆C ：交于A 、B 两点，OB OA ⊥．当A O B ∆面积取最大值时，直线l 的方程为 ．7. 若离散型随机变量Y X ,满足32≤≤X ，且1=XY ，则()()Y E X E 的取值范围为 ． 8. 已知0,≥b a ，1=+b a ，则229402213b a M +++=的最大值与最小值之和是 ．9. 已知z 是实部虚部均为正数的复数，则对于说法：① ()z z -2Re 被2整除；② ()z z -3Re 被3整除；③ ()z z -4Re 被4整除；④ ()z z -5Re 被5整除；正确的是 ．（填所有正确的序号）10. 在圆锥内部放有一个球，它与圆锥的侧面和底面都相切，则球的表面积与圆锥的表面积之比最大为 ．AB第1题DC第6题11. 六边形ABCDEF 内接于圆O ，且13+===CD BC AB ，1===FA EF DE ．则此六边形的面积为 ．12. 已知n x x x ，，，⋅⋅⋅21()4≥n 是满足121=+⋅⋅⋅++n x x x 的非负实数，则21432321x x x x x x x x x n +⋅⋅⋅++的最大值是 ． 二、解答题（共2小题，13题25分，14题35分，计60分）． 13. ⑴ 函数()()b x a x x x f +++--=1323()R b a ∈<，0．(Ⅰ) 令()()31++--=a b x f x h ，判断()x h 的奇偶性，并讨论()x h 的单调性． (Ⅱ) 若()()x f x g =，设()b a M ,为()x g 在[]02，-的最大值，求()b a M ,的最小值．⑵ 设Z ∈a ，已知定义在R 上的函数()a x x x x x f +--+=6332234在区间()21，内有一个零点0x ，()x g 为()x f 的导函数．(Ⅰ) 求()x g 的单调区间；(Ⅱ) 设[)(]2,,100x x m ∈，函数()()()()m f x m x g x h --=0，求证：()()00<x h m h ；(Ⅲ) 求证：存在大于0的常数A ，使得对任意的正整数p ，q ，且[)(]2,,100x x q p ∈，满足401Aqx q p ≥-．14. ⑴ 设数列{}n a 满足221=-+n n a a ，2≤n a ，⋅⋅⋅=，，，321n ． 证明：若1a 为有理数，则从某项后{}n a 为周期数列． ⑵ 数列{}n a 各项均为正数，且对任意*∈N n ，满足21n n n ca a a +=+（常数0>c ）．(Ⅰ) 求证：对任意正数M ，存在*∈N N ，当N n >时，有M a n >；(Ⅱ) 设，n S 为数列{}n b 的前n 项和，nn ca b +=11求证：对任意0>d ，存在*∈N n ，当N n >时，有d ca S n <-<110．参考答案一、填空题（共12小题，每题10分，计120分）． 1 考点：立体几何（三棱锥） {难度：★★☆☆☆}答案：22 考点：计数，排列 {难度：★★★☆☆}答案：16813 考点：代数式求值 {难度：★★☆☆☆}答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-574121， 4 考点：集合、数论、分类讨论 {难度：★★★☆☆}（ 2017年中学生学术能力测试 ）答案：①③④5 考点：三角函数（三倍角公式） {难度：★★★☆☆}答案：916 考点：解析几何（直线与椭圆） {难度：★★☆☆☆}答案：333+=x y 或333-=x y 7 考点：随机变量 {难度：★★★★☆}答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡24251，8 考点：导数，放缩 {难度：★★★☆☆}答案：11510433++9 考点：复数，费马小定理 {难度：★★★☆☆}（ 2017年中学生学术能力测试 ）答案：②④10 考点：立体几何（球与圆锥） {难度：★★☆☆☆}（ 2017年全国高中数学联赛 天津预赛 ）答案：2111 考点：平面几何（特征分析思想，转换法） {难度：★★★☆☆}答案：()3249+图1 → 图2（将小三角形重新组合）12 考点：基本不等式 {难度：★★★★☆}（ 2017年IMO ，中国国家队选拔考试 ）答案：161二、解答题（共2小题，13题25分，14题35分，计60分）．13考点：函数、导数讨论的应用{难度：★★★☆☆} (25分)①② 2017年天津高考数学（理）【解析】（Ⅰ）由432()2336f x x x x x a =+--+，可得32()()8966g x f x x x x '==+--， 进而可得2()24186g x x x '=+-.令()0g x '=，解得1x =-，或14x =. 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，()g x 的单调递增区间是(,1)-∞-，(,)4+∞，单调递减区间是(1,)4-. （Ⅱ）证明：由0()()()()h x g x m x f m =--，得0()()()()h m g m m x f m =--，000()()()()h x g x m x f m =--.（III ）证明：对于任意的正整数 p ，q ，且00[1)(,],2px x q∈， 令pm q=，函数0()()()()h g m x x x m f =--. 由（II ）知，当0[1),m x ∈时，()h x 在区间0(,)m x 内有零点； 当0(,2]m x ∈时，()h x 在区间0(),x m 内有零点.所以041|2|()p x q g q -≥.所以，只要取()2A g =，就有041||p x q Aq-≥.13考点：数列，数学归纳法{难度：★★★★☆} (35分)（2017年全国高中数学联赛浙江预赛）（2013年清华大学自主招生）。
2017年北京大学自主招生数学学科试题(含解析)
数学试题1．已知实数a ，b 满足(a 2+4)(b 2+1)＝5(2ab -1)，求1b a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
A ．1.5B ．2.5C ．3.5D ．以上答案均不正确2．在三角形ABC 中，已知4sin 5A =，4cos 13B =，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．无法确定D ．以上答案均不正确3．已知2x x +和222x x+均为整数，则正实数x 的可能取值有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．4 D ．以上答案均不正确4．复数z 满足2z z+为实数，求|z +i |的最小值（ ） 5的实数(a ，m ，n )有（ ）组6．圆上四点ABCD 逆时针排列，已知AB ＝1，BC ＝2，BD ＝3，∠DBC ＝∠DBA ，求圆的直径（ ）A． B． C． D ．以上答案均不正确7．已知p 为100以内的质数，且满足p 3+7p 2为完全平方数，求p 的个数（ ） 8．函数f (x )＝x (x +1)(x +2)(x +3)的最小值为（ ） A ．-1.5 B ．-1 C ．-2 D ．以上答案均不正确9．已知三角形的两条高为10和20，求第三条高的取值范围（ ） 10．已知三角形的三条中线为9，12，15，求三角形的面积（ ） 11．已知111123571111log πlog πlog πlog πS =+++，求不大于S 的最大整数（ ） 12．求方程log 4(2x +3x )＝log 3(4x -2x )整数解的个数（ ）13．求π31cos 1cos π55⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（ ）14．设ABCD 是边长为1的正方形，正方形所在平面上的点P 满足|P A |2+|PB |2＝|PC |2，求|PD |max （ ）数学 答案1、【解答】C ．对(a 2+4)(b 2+1)＝5(2ab -1) 直接展开，有a 2b 2+a 2+4b 2+4＝10ab -5。
2017年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷文科) 数学试题及答案(学生版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文科）数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题____分，共____分。
）1.已知，集合，则（）A. B. C. D.2.若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.3.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 2B.C.D.4.若满足则的最大值为（）A. 1B. 3C. 5D. 95.已知函数，则（）A. 是偶函数，且在R上是增函数B. 是奇函数，且在R上是增函数C. 是偶函数，且在R上是减函数D. 是奇函数，且在R上是增函数6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. 60B. 30C. 20D. 107.设m, n为非零向量，则“存在负数，使得m=λn”是“m·n”（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A. 1033B. 1053C. 1073D. 1093二、填空题（本大题共6小题，每小题____分，共____分。
）9.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=，则sin=_________．10.若双曲线的离心率为，则实数m=__________．11.已知，，且x+y=1，则的取值范围是__________．12.已知点P在圆上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则的最大值为__．13.能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为______________________________．14.某学习小组由学生和学科网&教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．三、简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题____分，共____分。
2017年北京大学优特测试数学试题及答案
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15. 方程组
xy3 −4y2 −11y+30 = 1, x + y = 2 B ．4
的实数解的组数是
A ．3
C ．5
D ．6
16. 设实数 k1 ,k2 满足 k2 > k1 > 0，且 k1 k2 = 4，两双曲线 C1 ,C2 的渐近线分别是 k1 y = ± (x − 2) + 2 和 y = ±k2 (x − 2) + 2，且 C1 ,C2 都经过原点，则双曲线 4 C1 ,C2 的离心率 e1 ,e2 的比值 √ √ 2 2 16 + k1 16 + 16k1 A． B ． C ．1 D ．2 2 2 16 + 16k2 16 + k2 17. 已知圆 C1 ,C2 均过点 (3, 4)，且其半径之积 r1 r2 = 80．若 x 轴是 C1 ,C2 的公切 线，且 C1 ,C2 的另一条公切线 l 通过原点，则直线 l 的斜率为 √ √ √ √ 8 5 8 5 8 3 8 3 A ．± B ．− C ．± D ．− 11 11 15 15 √ √ 18. 在 △ABC 中，cos A + 2 cos B + 2 cos C 的最大值是 √ 1 A． 2 + 2 √ B ．2 2 − 1 C ．2 √ D ．2 2
班级
学校
√ 7. 过原点的直线 l 与双曲线 xy = −2 2 交于 P ,Q 两点，其中 P 在第二象限，Q 在第四象限，现将上下两个半平面沿 x 轴方向折成直二面角，则 |P Q| 的最小 值是
14. 设函数 f (x) = x2 − ln x,g (x) = x − 1，直线 y = m 分别交曲线 y = f (x) 和
北京大学2017年优特（U-Test）数学测试真题（华夏园教育）
北京大学2017年优特(U-Test)数学测试真题1. 数列{}n a 满足112,32(21)1n n n a a a n a +==++，则数列{}n a 的钱2017项的和2017S 等于（ ） A. 20162017 B. 20172018 C. 40344035 D. 40334034【解答】C 根据题意，有11142n n n a a +-=+，于是21122n n a =-，进而221111141222n a n n n ⎛⎫ ⎪==- ⎪- ⎪-+⎝⎭，于是1121n S n =-+，进而201740344035S =2. 若1x 是方程2xxe =e 的解，2x 是方程2ln x x =e 的解，则1x 2x 等于（） A. 1 B. e C. 2 e D. 4e 【解答】C考虑到1x 2x 分别是函数xy e =、函数ln y x =与函数2e y x=的图像的公共点A,B 的横坐标，且A,B 两点关于直线y x =对称，点（1x ，2x ）在反比例函数2e y x=的图像上，因此1x 2x =2e3. 9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°等于（）A. 0B.C. 1D. 【解答】A 由于12tan tan tan 2θθθ-=- 于是tan10°- tan80°= -2cot20°，2(tan20°- cot20°)= - 4cot40°，4(tan40°- cot40°)= - 8cot80° 三式相加即得9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°=0 9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°=0.4. 若对任意使得关于x 的方程()2ax +bx+c=0ac 0≠有实数解的a ，b ，c 均有()()()2222a -b +b -c +c -a rc ≥，则实数r 的最大值是（）A. 1B. 98C. 916D. 2 【解答】B设关于x 的方程()2ax +bx+c=0ac 0≠的实数解为m ，n ，则,b cm n mn a a+=-=， 于是()()()()()()2222222222222222222221111[(1)1](1)2(1)(1)11311322424222b bc c a -b +b -c +c -a a a a a r c c a m n mn m n mn m n n n m m m nm m n n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤=⎛⎫ ⎪⎝⎭++++++-=+++++=++++=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦等号右边代数式的最小值为98，因此所求实数r 的最大值为98。
2017年北京大学夏令营数学试卷-学生用卷
2017年北京大学夏令营数学试卷-学生用卷
1、【来源】 2017年北京北京大学自主招生夏令营第1题
高二上学期单元测试《解三角形与恒等式》自招第16题
在中，求证：．
2、【来源】 2017年北京北京大学自主招生夏令营第2题
高二下学期单元测试《整除与同余》自招
求实数，使得方程的解均为整数．
3、【来源】 2017年北京北京大学自主招生夏令营第3题
数列中，是否存在个数，使其为等差数列．
4、【来源】 2017年北京北京大学自主招生夏令营第4题
为整系数方程的无理根，求证：存在，使得任意互质正整数，满足．
5、【来源】 2017年北京北京大学自主招生夏令营第5题
已知正数满足，求证：．
1 、【答案】证明见解析．
;
2 、【答案】或．
;
3 、【答案】存在．
;
4 、【答案】证明见解析．;
5 、【答案】证明见解析．;。
北大2017自主数学试题
2017年自主数学试卷A选择题共20小题（51题至70题）；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.51.实数a,b满足(a2+4)(b2+1)=5(2ab−1)，则b(a+1a)的值为（）.A. 1.5B. 2.5C. 3.5D. 前三个答案都不对52.函数y=|x2−2|−12|x|+|x−1|在区间[−1,2]上的最大值与最小值的差位于的区间是（）.A. (52,3) B. (3,72) C. (72,4) D. 前三个答案都不对53.由y≥2|x|−1和y≤−3|x|+5所围成的平面区域的面积为（）.A. 6B. 335C. 365D. 前三个答案都不对54.(1+cosπ5)(1+cos3π5)的值为（）.A. 1√5B. 1+14C. 1√3D. 前三个答案都不对55.在圆周上逆时针摆放了4个点A,B,C,D，已知BA=1，BC=2，BD=3，∠ABD=∠DBC，则该圆的直径为（）.A. 2√5B. 2√6C. 2√7D. 前三个答案都不对56.已知三角形三条中线的长度分别为9,12,15，则该三角形面积为（）.A. 69B. 72C. 75D. 前三个答案都不对57.已知x为实数，使得2,x,x2互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的2倍，则这样的实数x的个数为（）.A. 3B. 4C. 5D. 前三个答案都不对58.设整数a,m,n满足√a2−4√5=√m−√n，则这样的整数组(a,m,n)的个数为（）.A. 无穷个B. 4C. 2D. 前三个答案都不对59.设S=1log12π+1log13π+1log15π+1log17π,则不超过S且与S最接近的整数为（）.A. −5B. 4C. 5D. 前三个答案都不对60.已知复数z满足z+2z是实数，则|z+i|的最小值等于（）.A. √33B. √22C. 1D. 前三个答案都不对61.已知正方形ABCD的边长为1，P1,P2,P3,P4是正方形内部的4个点，使得ΔABP1ΔBCP2ΔCDP3和ΔDAP4都是正三角形，则四边形P1P2P3P4的面积等于（）.A. 2−√3B. √6−√24C. 1+√38D. 前三个答案都不对62.已知某个三角形的两条高的长度分别为10和20，则它的第三条高的长度取值区间为（）.A. (103,5) B. (5,203) C. (203,20) D. 前三个答案都不对63.正方形ABCD与点P在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且|PA|2+|PB|2=|PC|2，则|PD|的最大值为（）.A. 2+√2B. 2√2C. 1+√2D. 前三个答案都不对64.方程log4(2x+3x)=log3(4x−2x)的实根的个数为（）.A. 0B. 1C. 3D. 前三个答案都不对65.使得x+2x 和x2+2x2都是整数的正实数x的个数为（）.A. 1B. 3C. 无穷多D. 前三个答案都不对66.满足f(f(x))=f4(x)的实系数多项式f(x)的个数为（）.A. 2B. 4C. 无穷多D. 前三个答案都不对67.有（）个不大于100的素数p满足p3+7p2为平方数.A. 0B. 1C. 2D. 前三个答案都不对68.函数f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)的最小值为（）.A. −1B. −1.5C. −2D. 前三个答案都不对69.动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2−6x+7=0都外切，则动圆的圆心的轨迹是（）.A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 抛物线D. 前三个答案都不对70.在三角形ABC中，sin A=45，cos B=413，则该三角形是（）.A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 无法确定D. 前三个答案都不对。
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北京大学2017年优特(U-Test)数学测试真题1. 数列{}n a 满足112,32(21)1n n n a a a n a +==++，则数列{}n a 的钱2017项的和2017S 等于（ ） A. 20162017 B. 20172018 C. 40344035 D. 40334034【解答】C 根据题意，有11142n n n a a +-=+，于是21122n n a =-，进而221111141222n a n n n ⎛⎫ ⎪==- ⎪- ⎪-+⎝⎭，于是1121n S n =-+，进而201740344035S =2. 若1x 是方程2x xe =e 的解，2x 是方程2ln x x =e 的解，则1x 2x 等于（ ） A. 1 B. e C. 2 e D. 4e【解答】C考虑到1x 2x 分别是函数xy e =、函数ln y x =与函数2e y x=的图像的公共点A,B 的横坐标，且A,B 两点关于直线y x =对称，点（1x ，2x ）在反比例函数2e y x=的图像上，因此1x 2x =2e3. 9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°等于（ ）A. 0B.C. 1D. 【解答】A 由于12tan tan tan 2θθθ-=-于是tan10°- tan80°= -2cot20°，2(tan20°- cot20°)= - 4cot40°，4(tan40°- cot40°)= - 8cot80° 三式相加即得9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°=0 9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°=0.4. 若对任意使得关于x 的方程()2ax +bx+c=0ac 0≠有实数解的a ，b ，c 均有()()()2222a -b +b -c +c -a rc ≥，则实数r 的最大值是（ ）A. 1B. 98C. 916D. 2 【解答】B设关于x 的方程()2ax +bx+c=0ac 0≠的实数解为m ，n ，则,b cm n mn a a+=-=， 于是()()()()()()2222222222222222222221111[(1)1](1)2(1)(1)11311322424222b bc c a -b +b -c +c -a a a a a r c c a m n mn m n mn m n n n m m m nm m n n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤=⎛⎫ ⎪⎝⎭++++++-=+++++=++++=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦等号右边代数式的最小值为98，因此所求实数r 的最大值为98。
5. 设函数()2f x =x +ax+b ，对于任意的a ，b ∈R ，总存在x ∈[0，4]使得()||f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. (),1-∞C. (],2-∞D. (],4-∞ 【解答】C一方面，令()()()024f f f =-=， 解得a= - 4，b=2，此时()242f x x x =-+，其在[0，4]上的最大值为2，因此m ≤ 2 另一方面，当m ≤ 2时，考虑()()()02244416f bf a b f a b ==++=++ 因此()()()()()()8|0224||0|2|2||4|f f f f f f =-+≤-+，于是()()()|0|,|2|,|4|f f f 中至少有一个不小于2，符合题意。
综上所述，实数m 的取值范围是(-∞，2]。
6. 已知数列{}n a 的通项公式是2nn a =，数列{}n b 的通项公式为52n b n =-，那么集合{}{}122019,,...,|*i a a a b i N ∈中的元素个数为（ ）A. 503个B.504个C.505个D.506个【解答】考虑到()()()()()()()()2mod5n 1mod44mod5n 2mod43mod5n 3mod41mod5n 0mod4n a ≡⎧⎪≡⎪≡⎨≡⎪⎪≡⎩，，，，，，，，而1，2，…，2019中模4余3的数有505个，因此所求的元素个数为505。
7. 过原点的直线l与曲线xy =-P ，Q 两点，其中点P 在第二象限，点Q 在第四象限，现将上下两个半平面沿x 轴方向折成直二面角，则|PQ|的最小值是（ ） 【解答】B根据题意，设P(-m ，n)，Q(m ，-n)，其中且m ，n>0.此时222|PQ |4216m n =+≥=，等号当nm 时取得，因此所求的最小值为4。
8. 数列{}n a 满足1111n n na =a =a +a +，，若()20171a k k +∈，，其中k ∈N*，则k 的值是（ ）A.63B.64C.65D. 66 【解答】A根据题意，221212n n na a a +=++， 于是2212n n a a +-> 进而可得221n a n ≥-所以201763a ≥=>=进而有2211221n n a a n +-≤+- 进而可得21212(1)11ln23n n a n -≤-+++，所以201764a <=<<=， 因此所求k 的值为63。
9. 已知实数(12345)i a i =，，，，满足()()()()2222122334451a a a a a a a a -+-+-+-=，则123522a a a a --+的最大值时（ ）A. C. D. 【解答】D设12233445,,,a a a b a a c a a d a a =-=-=-=-，则条件为()()()()22221a b c d +++=，所求代数式：12352222a a a a a b c d --+=---≤=等号当1122a b c d ===---且a > 010. 设在R 上可导的函数f (x )满足31()()3f x f x x --=，并且在( - ∞，0)上有()21'2f x <x ，实数a 满足321(6)()318363f a f a a a a --≥-+-+，则实数a 的取值范围是（ ）A. (-∞，3]B.[3，+∞)C. [4，+∞)D. (-∞，4] 【解答】A 设()()316g x =f x x -，则g (x )为偶函数，且在(-∞，0)上单调递减，题中不等式等价于 ()()6g 0g a a --≥，也即()226a a -≥解得a 的取值范围是(-∞，3]11. 桌面上有3个半径为2017的球两两相切，在其上方空隙里放一个球，使其顶点(最高点)与3个球的顶点(最高点)在同一平面内，则该球的半径是（ ）A.20176 B. 20174 C. 20173 D. 20172【解答】C根据题意，设所求球的半径为x ，记r =2017，则()()2223r x r x r ⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，于是201733r x ==12. 60支球队两两比赛，且一定有胜负，每队贏的概率均为0.5，设没有两队赢相同场数的概率为qp，其中,p q 为互质的正整数，则使得2n 可整除p 的最大正整数n 是（ ） A.1768 B.1746 C.1714 D.1702 【解答】C考虑用60个节点的有向完全图表示比赛结果，则可得260177060!60!22C q p ==。
而60!中含有因子2的个数为60606060603015731562481632⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++=++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 因此所求的最大整数为1770-56=171413. 设椭圆()22122C :10x y a >b a b +=>的左、右焦点分别为12F F 、，离心率为了曲线()22222C :1,0x y m n m n+=>的渐近线交椭圆1C 于点P ，12PF PF ⊥，则双曲线2C 的离心率是（ ）A. B.C. D. 【解答】B不妨设4,3,a c ==O 为坐标原点，则12132OP F F ==，记点P 的纵坐标为h ，根据椭圆的焦点三角形面积公式，有△12PF F 的面积212901tan22S b F F h =⋅=⋅⋅， 解得73h =， 因此双曲线2C的离心率，也即渐近线倾斜角的余弦值的倒数为8==。
14. 设函数()()2ln ,1f x x x g x x =-=-，直线y=m 分别交函数()()f x g x 和的图象于点P ，Q ，则PQ 的最小值为（ ）A.1B.2C. 3D.4 【解答】A设P 点的横坐标为a ，Q 点的横坐标为b ，则2ln 1a a b m -=-=， 于是2|||||ln 1|PQ b a a a a =-=-+-， 设()2ln 1a a a a ϕ=-+-，则()()()2111'21a a a a a aϕ+-=--=，于是当a =1时该函数取得极小值，亦为最小值，即()11ϕ=， 因此所求|PQ |的最小值为1。
15. 方程组的324113012y y y x x y --+⎧=⎪⎨+=⎪⎩实数解的组数是（ ）A.3组B.4组C.5组D.6组 【解答】B第一个方程即3232101,2|(21130)211300x x x y R y y y y y y =-≠=⎧⎧⎧⎨⎨⎨∈--+--+=⎩⎩⎩或或 因此所有的实数解为(x ，y )=(1，1)，(-1，3)，(5，-3)，(-3，5)，共有4组16. 设实数12k k ，满足21k >k 0>，且12k k 4=，两双曲线12C C ，的渐近线分别是()1224k y x =±-+和()222y k x =±-+，且12C C ，都经过原点，则双曲线12C C ，的离心率12e e ，的比值12e e 是（ ）C. 1D. 2 【解答】C 考虑到于是双曲线1C 有上下支，双曲线2C 有左右支，进而22212221161,1e e k k =+=+，于是2211222216111e k e k +==+17. 已知圆12C C ，均过点(3，4)，且其半径之积1280r r =，若x 轴是12C C ，的公切线，且12C C ，的另一条公切线l 通过原点，则直线l 的斜率为（ ）A.11±B. 11-C.15±D. 15- 【解答】B因为圆心12C C ，到点(3，4)的距离与它们到x 轴的距离相等，所以圆心12C C ，在抛物线()()2382x y -=-上，设直线12C C 的方程为x=my ，与抛物线方程联立，消去x 得()2268250m y m y -++=，于是有()()21642202580m m m=-+->⎧⎪⎨=⎪⎩，解得m =。