2019年北大清华数学金秋营完整试题及解析.pdf
北大金秋营试题-10份,正反精编版
……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 1 2016年北大金秋营试题1、在ABC ∆内部有一点P 满足4C A P CB PAB ∠+∠=∠=∠，L 在AC 上且BL 平分ABC ∠，延长PL 交APC ∆的外接圆于Q . 证明：BQ 平分AQC ∠.2、对于}2,,2,1{n 的一个排列},,,,,,,{2121n n b b b a a a ，定义函数∑-=++-=11112121||),,,,,,,(n i i i i i n n b a b a b b b a a a f ，求所有的排列中，),,,,,,,(2121n n b b b a a a f 的最小值.3、求所有正整数c b a ,,，满足对任意实数v u ,，10≤<≤v u ，存在正整数n ，使得),(}{2v u c bn an ∈++成立.4、设p 为奇素数，)4(mod 1≡p ，正整数b a ,满足122=-pb a . 设q 也为奇素数，1),(=bp q . 考虑同余方程)(m od 01224q ax x ≡+-. 证明下述3个论述等价：（1）p 为模q 的二次剩余；（2）同余方程存在一个解；（3）同余方程存在四个互不相同的解.5、记函数∑==40)(i i i x a x f ，且]1,1[-∈x 时1|)(|≤x f . 求||2a 的最大可能值.6、一个班里有50人，相互之间发短信. 若在三个人C B A ,,之间，仅有A 给B 发过短信，B 给C 发过短信，C 给A 发过短信，则称三个人C B A ,,构成一个“循环”. 试求这50人中“循环”个数的最大可能值.7、试求所有正整数a ，使得对任意正整数k ，都存在正整数n ，使得2016+an 是一个正整数的k 次方.8、对（0，1）中的实数，称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同. 是否可以将（0，1）中实数10染色，使得任意两个相邻的数颜色都不相同.。
2020年北京大学金秋营试题
年北京大学金秋营试题（考生回忆版）
第一天
1.对于非负实数，，，，考虑如下个实数
其中，记为这个数中所有正数之和，的条件下，求的
最小值
2.中，为的中点，，分别为，中点，
外接圆与射线，交于点，，交于点，证明：
若、、共点，则、交点在上
3.数列满足：，，已知求证：
4.求的最小值，使得将方格挖去个格后，剩余图形不存在字形（字形指一个方
格与其相邻的三个方格有公共边构成的图形）
第二天
，直线，，分别交对边于，，，若四边形，
，都有内切圆，求证：
6.若自然数可以写成若干个自己的不同的因数的和，其中有个为，就称为好数，证明：对任意大于，存在无穷个的正倍数为好数，且最小的倍数不大于，其中是最大的奇素因数（若为二的幂，则为）
7.为素奇数，
8.求所有的，使得平面上有个完全相同的凸多边形，且满足对任意个凸多边形，所有在他们之中且不在其余多边形中的点的集合为凸多边形（非退化）。
2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析
2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题一、选择题（本大题共8小题，共24分）1.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为()A. 200tan70°米B. 200tan70∘米 C. 200sin 70°米 D. 200sin70∘米2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−1,n)，其部分图象如图所示．以下结论错误的是()A. abc>0B. 4ac−b2<0C. 3a+c>0D. 关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根3.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12.将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H.给出以下结论：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF=75°，其中正确的结论共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.下列图中所有小正方形都是全等的．图(1)是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图(2)是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“L”形纸片放置在图(2)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图(3)中的4种不同放置方法．图(4)是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图(4)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是()A. 160B. 128C. 80D. 485.如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O.若AE=5，BF=3，则AO的长为()A. √5B. 3√5 C. 2√5 D. 4√526.将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度ℎ(cm)与注水时间t(min)的函数图象大致为图中的()A. B.C. D.7.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2−2x−3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O′A′B′，且点O′，A′落在抛物线的对称轴上，点B′落在抛物线上，则直线A′B′的表达式为()D. y=x+2A. y=xB. y=x+1C. y=x+128.已知P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是抛物线y=ax2−2ax上的点，下列命题正确的是()A. 若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2B. 若|x1−1|>|x2−1|，则y1<y2C. 若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2D. 若y1=y2，则x1=x2二、填空题（本大题共8小题，共24分）9.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．②分别以点D、E为圆心，大于12③作射线BF交AC于点G．如果AB=8，BC=12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为______．10.如图，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=10，BC=8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为______．得DF=1411.抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，下列四个结论：①一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2，x2=−4；②若点C(−5,y1)，D(π,y2)在该抛物线上，则y1<y2；③对于任意实数t，总有at2+bt≤a−b；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是______(填写序号)．12.如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB=1，AD=2.设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是______．第12题图第13题图13.如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N.已知∠BAC=⏜的长为π，则图中阴影部分的面积为______．120°，AB+AC=16，MN14.矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A′处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为______厘米．第14题图第15题图15.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC=______度．16.设A，B，C，D是反比例函数y=k图象上的任意四点，现有以下结论：x①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)三、计算题（本大题共1小题，共6分）17.某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y=kx2+m(k≠0)表示．求该抛物线的函数表达式；(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM=2m，求每个B型活动板房的成本是多少？(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？四、解答题（本大题共12小题，共46分）18. 如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．进货单商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．19. 阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x 、y 满足3x −y =5①，2x +3y =7②，求x −4y 和7x +5y 的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①−②可得x −4y =−2，由①+②×2可得7x +5y =19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题：(1)已知二元一次方程组{2x +y =7,x +2y =8,则x −y =______，x +y =______；(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？(3)对于实数x 、y ，定义新运算：x ∗y =ax +by +c ，其中a 、b 、c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3∗5=15，4∗7=28，那么1∗1=______．20.如图，已知点A(1,2)、B(5,n)(n>0)，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点P.小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”(1)当n=1时．①求线段AB所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．(2)若小明的说法完全正确，求n的取值范围．21.背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放(点E、A、D在同一条直线上)，发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：(1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转(如图1)，还能得到BE=DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；(2)把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图2)，试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；(3)把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG =ABAD=23，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图3)，连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．22.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．(1)求证：AD平分∠BAE；(2)若CD=DE，求sin∠BAC的值．23.某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y=ax2+bx+c.当x=10时，y=400；当x=20时，y=1000.B城生产产品的每件成本为70万元．(1)求a，b的值；(2)当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？(3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值(用含有m的式子表示)．24.实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．拓展延伸：(1)从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)(2)从3，4，5，…，n+3(n为整数，且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1<a<n+1)个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．25.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．特例感知：(1)将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B.通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF=CG.请给予证明．猜想论证：(2)当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．联系拓展：(3)当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，请你判断(2)中的猜想是否仍然成立？(不用证明)26.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…−2−1012…y…m0−3n−3…(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为______；(2)求抛物线的表达式及m，n的值；(3)请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y=m(m>−2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系______．27.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究(1)如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1=∠2=∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为______；推广验证(2)如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用(3)如图4，在五边形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105°，∠ABC=90°，AB=2√3，DE=2，点P在AE上，∠ABP=30°，PE=√2，求五边形ABCDE的面积．28.已知直线l1：y=−2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC=4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2．(1)求二次函数的表达式；(2)若直线l2：y=mx+n(n≠10)，求证：当m=−2时，l2//l1；(3)E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y=−2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：在Rt△PQT中，∵∠QPT=90°，∠PQT=90°−70°=20°，∴∠PTQ=70°，∴tan70°=PQPT，∴PT=PQtan70∘=200tan70∘，即河宽200tan70∘米，故选：B．在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：A.∵抛物线开口向下，∴a<0，∵对称轴为直线x=−b2a=−1，∴b=2a<0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc>0，故A正确；B.∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，即4ac−b2<0，故B正确；C.∵抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间，∴x=1时，y<0，即a+b+c<0，∵b=2a，∴3a+c<0，故C错误；D.∵抛物线开口向下，顶点为(−1,n)，∴函数有最大值n，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根，故D正确．故选：C．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B 进行判断；x=1时，y<0，可对C进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，可对D进行判断．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．3.【答案】C【解析】解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O，∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，∴EF垂直平分BG，∴EF⊥BG，BO=GO，BE=EG，BF=FG，故①正确，∵AD//BC，∴∠EGO=∠FBO，又∵∠EOG=∠BOF，∴△BOF≌△GOE(ASA)，∴BF=EG，∴BF=EG=GF，故②正确，∵BE=EG=BF=FG，∴四边形BEGF是菱形，∴∠BEF=∠GEF，当点F与点C重合时，则BF=BC=BE=12，∵sin∠AEB=ABBE =612=12，∴∠AEB=30°，∴∠DEF=75°，故④正确，由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等，故③错误；故选：C．连接BE，设EF与BG交于点O，由折叠的性质可得EF垂直平分BG，可判断①；由“ASA”可证△BOF≌△GOE，可得BF=EG=GF，可判断②；通过证明四边形BEGF是菱形，可得∠BEF=∠GEF，由锐角三角函数可求∠AEB=30°，可得∠DEF=75°，可判断④，由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等，即可求解．本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．4.【答案】A【解析】解：观察图象可知(4)中共有4×5×2=40个3×2的长方形，由(3)可知，每个3×2的长方形有4种不同放置方法，则n的值是40×4=160．故选：A．对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．此题考查了规律型：图形的变化类，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵矩形ABCD，∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，∴∠EFC=∠AEF，∴AE=AF=3，由折叠得，FC=AF，OA=OC，∴BC=3+5=8，在Rt△ABF中，AB=√52−32=4，在Rt△ABC中，AC=√42+82=4√5，∴OA =OC =2√5，故选：C ．由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AF =FC =AE =5，由勾股定理求出AB ，AC ，进而求出OA 即可． 本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识，根据图形直观，求出线段的长是得出答案的前提． 6.【答案】B【解析】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A 、D 一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h 不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h 随t 的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h 不再变化．故选：B ．根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度ℎ(cm)与注水时间t(min)的函数图象．本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．7.【答案】B【解析】解：如图，∵抛物线y =x 2−2x −3与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，令y =0，解得x =−1或3，令x =0，求得y =−3，∴A(3,0)，B(0,−3)，∵抛物线y =x 2−2x −3的对称轴为直线x =−−22×1=1，∴A′的横坐标为1，设A′(1,n)，则B′(4,n +3)，∵点B′落在抛物线上，∴n +3=16−8−3，解得n =2，∴A′(1,2)，B′(4,5)，设直线A′B′的表达式为y =kx +b ，∴{k +b =24k +b =5， 解得{k =1b =1∴直线A′B′的表达式为y =x +1，故选：B．求得A、B的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出A′(1,n)，则B′(4,n+3)，把B′(4,n+3)代入抛物线解析式求得n，即可求得A′、B′的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A′B′的表达式．本题考查了抛物线与x轴的交点，坐标和图形变换−平移，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意表示出A′、B′的坐标是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵抛物线y=ax2−2ax=a(x−1)2−a，∴该抛物线的对称轴是直线x=1，当a>0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2，故选项B错误；当a<0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1<y2，故选项A错误；若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2，故选项C正确；若y1=y2，则|x1−1|=|x2−1|，故选项D错误；故选：C．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9.【答案】27【解析】解：如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，根据作图过程可知：BG是∠ABC的平分线，∴GM=GN，∵△ABG的面积为18，∴1×AB×GM=18，2∴4GM=18，∴GM=9，2∴△CBG的面积为：12×BC×GN=12×12×92=27．故答案为：27．过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，根据作图过程可得AG是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质可得GM=GN，再根据△ABG的面积为18，求出GM的长，进而可得△CBG的面积．本题考查了作图−基本作图、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．10.【答案】9√3【解析】解：作CH⊥AB于点H，∵在▱ABCD中，∠B=60°，BC=8，∴CH=4√3，∵四边形ECGF是平行四边形，∴EF//CG，∴△EOD∽△GOC，∴EOGO =DOOC=EDGC，∵DF=14DE，∴DEEF =45，∴EDGC =45，∴EOGO =45，∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，当EO⊥CD时，EO取得最小值，∴CH=EO，∴EO=4√3，∴GO=5√3，∴EG的最小值是9√3，故答案为：9√3．根据题意和平行四边形的性质，可以得到BD和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．本题考查平行四边形的性质、三角形的相似、垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11.【答案】①③【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为x1=2，x2=−4，故①正确；该抛物线的对称轴为直线x=2+(−4)2=−1，函数图象开口向下，若点C(−5,y1)，D(π,y2)在该抛物线上，则y1>y2，故②错误；当x=−1时，函数取得最大值y=a−b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a−b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a−b，故③正确；对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则两个根为−3和1或−2和0或−1和−1，故p的值有三个，故④错误；故答案为：①③．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12.【答案】14t2−14t+1【解析】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，∵AE2+AM2=EM2，∴(2−x)2+t2=x2，解得x=t24+1，∴DE=t24+1，∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，∴EF⊥DM，∠ADM+∠DEF=90°，∵EG⊥AD，∴∠DEF+∠FEG=90°，∴∠ADM=∠FEG，∴tan∠ADM=AMAD =t2=FG1，∴FG=t2，∵CG=DE=t24+1，∴CF=t24−t2+1，∴S四边形CDEF =12(CF+DE)×1=14t2−14t+1．故答案为：14t2−14t+1．连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，由勾股定理得出(2−x)2+t2=x2，证得∠ADM=∠FEG，由锐角三角函数的定义得出FG，求出CF，则由梯形的面积公式可得出答案．本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握折叠的性质及方程的思想是解题的关键．13.【答案】3(8−√3−π)【解析】解：如图，连接OM、ON，∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．∴OM⊥AB，ON⊥AC，∵∠BAC=120°，∴∠MON=60°，∴∠MOB+∠NOC=120°，∵MN⏜的长为π，∴60πr180=π，∴r=3，∴OM=ON=r=3，连接OA，在Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，∴AN=√3，∴AM=AN=√3，∴BM+CN=AB+AC−(AM+AN)=16−2√3，∴S阴影=S△OBM+S△OCN−(S扇形MOE+S扇形NOF)=12×3×(BM+CN)−(120π×32360)=32(16−2√3)−3π=24−3√3−3π=3(8−√3−π)．故答案为：3(8−√3−π)．连接OM、ON，根据半圆分别与AB，AC相切于点M，N.可得OM⊥AB，ON⊥AC，由∠BAC=120°，可得∠MON=60°，得∠MOB+∠NOC=120°，再根据MN⏜的长为π，可得OM=ON=r=3，连接OA，根据Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，可得AM=AN=√3，进而可求图中阴影部分的面积．本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公式．14.【答案】4√33厘米或4√3厘米或8−4√3【解析】解：①当∠ABE=30°时，AE=AB×tan30°=4√33；②当∠AEB=30°时，AE=ABtan30∘=4√33=4√3；③∠ABE=15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，设AE=x，则EA′=x，EF=xsin60∘=2√3x3，∵AF=AE+EF=ABtan30°=4√33，∴x+2√3x3=4√33，∴x=8−4√3，∴AE=8−4√3．故答案为：4√33厘米或4√3厘米或8−4√3厘米．根据翻折可得∠ABE=∠A′BE，分3种情况讨论：当∠ABE=30°时或当∠AEB=30°时或当∠ABA′=30°时求AE的长．本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．15.【答案】30=120°，【解析】解：正六边形的每个内角的度数为：(6−2)⋅180°6所以∠ABC=120°−90°=30°，故答案为：30．由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．本题考查了多边形内角和定理．解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数．16.【答案】①④【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：(1)∵长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．∴OH=AB=3，∴EO=EH−OH=4−3=1，∴E(0,1)，D(2,0)，∴该抛物线的函数表达式y=kx2+1，把点D(2,0)代入，得k=−14，∴该抛物线的函数表达式为：y=−14x2+1；(2)∵GM=2，∴OM=OG=1，∴当x=1时，y=34，∴N(1,34)，∴MN=34，∴S矩形MNFG =MN⋅GM=34×2=32，∴每个B型活动板房的成本是：425+32×50=500(元)．答：每个B型活动板房的成本是500元；(3)根据题意，得w=(n−500)[100+20(650−n)10]=−2(n−600)2+20000，∵每月最多能生产160个B型活动板房，∴100+20(650−n)10≤160，解得n≥620，∵−2<0，∴n≥620时，w随n的增大而减小，∴当n=620时，w有增大值为19200元．答：公司将销售单价n(元)定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大，最大利润是19200元．【解析】(1)根据图形和直角坐标系可得点D和点E的坐标，代入y=kx2+m，即可求解；(2)根据M和N的横坐标相等，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，即可求解；(3)根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．18.【答案】解：设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为(1+50%)x元/件，依题意，得：7200(1+50%)x −3200x=40，解得：x =40，经检验，x =40是原方程的解，且符合题意，∴(1+50%)x =60，3200x =80，7200(1+50%)x =120． 答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件．【解析】设乙商品的进价为x 元/件，则甲商品的进价为(1+50%)x 元/件，根据数量=总价÷单价结合购进的甲商品比乙商品多40件，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出x 的值，再将其分别代入(1+50%)x ，3200x ，7200(1+50%)x 中即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19.【答案】−1 5 −11【解析】解：(1){2x +y =7 ①x +2y =8 ②． 由①−②可得：x −y =−1，由13(①+②)可得：x +y =5．故答案为：−1；5．(2)设铅笔的单价为m 元，橡皮的单价为n 元，日记本的单价为p 元，依题意，得：{20m +3n +2p =32 ①39m +5n +3p =58 ②， 由2×①−②可得m +n +p =6，∴5m +5n +5p =5×6=30．答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．(3)依题意，得：{3a +5b +c =15 ①4a +7b +c =28 ②， 由3×①−2×②可得：a +b +c =−11，即1∗1=−11．故答案为：−11．(1)利用①−②可得出x −y 的值，利用13(①+②)可得出x +y 的值；(2)设铅笔的单价为m 元，橡皮的单价为n 元，日记本的单价为p 元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m ，n ，p 的三元一次方程组，由2×①−②可得除m +n +p 的值，再乘5即可求出结论；(3)根据新运算的定义可得出关于a ，b ，c 的三元一次方程组，由3×①−2×②可得出a +b +c 的值，即1∗1的值．。
2019年清华附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析
2019年清华附中新高一分班考试数学试题-真题一、选择题（本大题共12小题，共36分）1.下表为小洁打算在某电信公司购买一支MAT手机与搭配一个号码的两种方案．此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下：若通话费超过月租费，只收通话费；若通话费不超过月租费，只收月租费．若小洁每个月的通话费均为x元，x为400到600之间的整数，则在不考虑其他费用并使用两年的情况下，x至少为多少才会使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜？()甲方案乙方案号码的月租费(元)400600MAT手机价格(元)1500013000注意事项：以上方案两年内不可变更月租费A. 500B. 516C. 517D. 6002.如图，矩形ABCD中，M、E、F三点在AD.上，N是矩形两对角线的交点．若AB.=24，AD.=32，MD.=16，ED.=8，FD.=7，则下列哪一条直线是A、C两点的对称轴？()A. 直线MNB. 直线ENC. 直线FND. 直线DN3.如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为()A. 1B. √2C. √3D. 24.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，下列结论：①abc>0；②b2−4ac>0；③8a+c<0；④5a+b+2c>0，正确的有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5.如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF.根据图中标示的角度，求∠EAF的度数为何？()A. 113B. 124C. 129D. 1346.如图，有一三角形ABC的顶点B、C皆在直线L上，且其内心为I.今固定C点，将此三角形依顺时针方向旋转，使得新三角形A′B′C的顶点A′落在L上，且其内心为I′.若∠A<∠B<∠C，则下列叙述何者正确？()#JYA. IC和I′A′平行，II′和L平行B. IC和I′A′平行，II′和L不平行C. IC和I′A′不平行，II′和L平行D. IC和I′A′不平行，II′和L不平行7.如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE//BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论：①DN=BM；②EM//FN；③AE=FC；④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.如图，点A，B的坐标分别为A(2,0)，B(0,2)，点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为()A. √2+1B. √2+12C. 2√2+1D. 2√2−129.如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为()A. 24√3−4πB. 12√3+4πC. 24√3+8πD. 24√3+4π10.如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？()A. 215B. 425C. 247D. 48711.如图，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与方程式y=2的图形交于B、C两点，△ABC为正三角形．若A点坐标为(−3,0)，则此抛物线与y轴的交点坐标为何？()A. (0,92)B. (0,272)C. (0,9)D. (0,19)12.如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？()A.1B. 2C. 2√3−2D. 4−2√3二、填空题（本大题共6小题，共18分）13.如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为______m.14.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为______．15.设A，B，C，D是反比例函数y=k图象上的任意四点，现有以下结论：x①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)16.矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A′处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为______厘米．17.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的y与x的部分对应值如下表：x−5−4−202y60−6−46下列结论：①a>0；②当x=−2时，函数最小值为−6；③若点(−8,y1)，点(8,y2)在二次函数图象上，则y1<y2；④方程ax2+bx+c=−5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是______.(把所有正确结论的序号都填上)18.如图，在矩形ABCD中，AB=√3+2，AD=√3.把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A′ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F.A′D″交AB于点G，连接AA′.有如下结论：①A′F的长度是√6−2；②弧D′D″的长度是5√312π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF.上述结论中，所有正确的序号是______．三、解答题（本大题共9小题，共46分）19.某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35．(1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？(2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．20.如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．(1)求∠BDE的度数；(2)F是EC延长线上的点，且∠CDF=∠DAC．①判断DF和PF的数量关系，并证明；②求证：EPPF =PCCF．21.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹)．(1)在图1中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′；(2)在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．22.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…−2−1012…y…m0−3n−3…(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为______；(2)求抛物线的表达式及m，n的值；(3)请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y=m(m>−2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系______．23.已知直线l1：y=−2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC=4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2．(1)求二次函数的表达式；(2)若直线l2：y=mx+n(n≠10)，求证：当m=−2时，l2//l1；(3)E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y=−2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．24.已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．(1)如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN=80°，求∠ACB的度数；(2)如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；(3)若PC交⊙O于点D，求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示)．25.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究(1)如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1=∠2=∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为______；推广验证(2)如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用(3)如图4，在五边形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105°，∠ABC=90°，AB=2√3，DE=2，点P在AE上，∠ABP=30°，PE=√2，求五边形ABCDE的面积．26.如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,−2)，在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点MAM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH 为圆心，大于12于点P.根据以上操作，完成下列问题．探究：(1)线段PA与PM的数量关系为______，其理由为：______．(2)在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：M的坐标…(−2,0)(0,0)(2,0)(4,0)…P的坐标…______ (0,−1)(2,−2)______ …猜想：(3)请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是______．验证：(4)设点P的坐标是(x,y)，根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：(5)如图3，点B(−1,√3)，C(1,√3)，点D为曲线L上任意一点，且∠BDC<30°，求点D的纵坐标y D的取值范围．27.小明将两个直角三角形纸片如图(1)那样拼放在同一平面上，抽象出如图(2)的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC=∠CDE=90°，连接BD，AB=BD，点F是线段CE上一点．探究发现：(1)当点F为线段CE的中点时，连接DF(如图(2))，小明经过探究，得到结论：BD⊥DF.你认为此结论是否成立？______.(填“是”或“否”)拓展延伸：(2)将(1)中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：(3)若AB=6，CE=9，求AD的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵x为400到600之间的整数，∴若小洁选择甲方案，需以通话费计算，若小洁选择乙方案，需以月租费计算，甲方案使用两年总花费=24x+15000；乙方案使用两年总花费=24×600+13000=27400．由已知得：24x+15000>27400，解得：x>51623，即x至少为517．故选C．由x的取值范围，结合题意找出甲、乙两种方案下两年的总花费各是多少，再由乙方案比甲方案便宜得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是结合题意找出关于x的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式(方程或方程组)是关键．2.【答案】C【解析】解：∵A、C两点的对称轴是线段AC的垂直平分线，∴连接AC，过点N作AC的垂直平分线PN交AD于点P，∵AB=24，AD=32，∴AC=√242+322=40，∴AN=20，∵∠PAN=∠CAD，∠ANP=∠ADC，∴△ANP∽△ADC，∴ANAD =APAC，即2032=AP40，解得，AP=25，∵M、E、F三点在AD上，AD=32，MD=16，ED=8，FD=7，∴AF=AD−FD=32−7=25，∴点P与点F重合．故选C．根据题意可知A、C两点的对称轴是线段AC的垂直平分线，画出合适的辅助线，然后根据题意可以求得AC和AN 的长，然后根据三角形相似的知识可以求得AP的长，从而可以得到P与哪一个点重合，本题得以解决．本题考查轴对称的性质、矩形的性质，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件．3.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB//CD，∠A=90°，∴∠EFD=∠BEF=60°，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，∴∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，∴∠AEB′=180°−∠BEF−∠FEB′=60°，∴B′E=2AE，设BE=x，则B′E=x，AE=3−x，∴2(3−x)=x，解得x=2．故选：D．由正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，设BE=x，则B′E=x，AE=3−x，由直角三角形的性质可得：2(3−x)=x，解方程求出x即可得出答案．本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．4.【答案】B【解析】解：由抛物线的开口向下可得：a<0，根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b>0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0，∴abc<0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故②正确；=1，可得b=−2a，∵直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴，所以−b2a由图象可知，当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0，∴4a−2×(−2a)+c<0，即8a+c<0，故③正确；由图象可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0；当x=−1时，y=a−b+c>0，两式相加得，5a+b+2c>0，故④正确；∴结论正确的是②③④3个，故选：B．根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．5.【答案】D【解析】解：连接AD，∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，∵∠B=62°，∠C=51°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°−62°−51°=67°，∴∠EAF=2∠BAC=134°，故选：D．连接AD，利用轴对称的性质解答即可．此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答．6.【答案】C【解析】解：作ID⊥BA′于D，IE⊥AC于E，I′F⊥BA′于F，如图所示：则ID//I′F，∵△ABC的内心为I，△A′B′C的内心为I′，∴ID=IE=IF，∠ICD−12∠ACB，∠I′A′C=12∠B′A′C，∴四边形IDFI′是矩形，∴II′//L，∵∠A<∠B<∠C，∴∠A′<∠B′<∠C，∴∠ICD>∠I′A′C，∴IC和I′A′不平行，故选：C．作ID⊥BA′于D，IE⊥AC于E，I′F⊥BA′于F，由内心的性质得出ID=IE=IF，∠ICD=12∠ACB，∠I′A′C=12∠B′A′C，证出四边形IDFI′是矩形，得出II′//L，证出∠ICD>∠I′A′C，得出IC和I′A′不平行，即可得出结论．本题考查了三角形的内心、平行线的判定、旋转的性质；熟练掌握三角形的内心性质和平行线的判定是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB//CD，∠DAE=∠BCF=90°，OD=OB=OA=OC，AD=BC，AD//BC，∴∠DAN=∠BCM，∵BF⊥AC，DE//BF，∴DE⊥AC，∴∠DNA=∠BMC=90°，在△DNA和△BMC中，{∠DAN=∠BCM ∠DNA=∠BMC AD=BC，∴△DNA≌△BMC(AAS)，∴DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；在△ADE和△CBF中，{∠ADE=∠CBF AD=BC∠DAE=∠BCF，∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴AE=FC，DE=BF，故③正确；∴DE−DN=BF−BM，即NE=MF，∵DE//BF，∴四边形NEMF是平行四边形，∴EM//FN，故②正确；∵AB=CD，AE=CF，∴BE=DF，∵BE//DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵AO=AD，∴AO=AD=OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO=∠DAN=60°，∴∠ABD=90°−∠ADO=30°，∵DE⊥AC，∴∠ADN=ODN=30°，∴∠ODN=∠ABD，∴DE=BE，∴四边形DEBF是菱形；故④正确；正确结论的个数是4个，故选：D．证△DNA≌△BMC(AAS)，得出DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；证△ADE≌△CBF(ASA)，得出AE=FC，DE=BF，故③正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出EM//FN，故②正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出∠ODN=∠ABD，则DE=BE，得出四边形DEBF是菱形；故④正确；即可得出结论．本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，取OD=OA=2，连接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=1CD，2当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB=OD=2，∠BOD=90°，∴CD=2√2+1，∴OM=12CD=√2+12，即OM的最大值为√2+12；故选：B．根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值是点C的位置是关键，也是难点．9.【答案】A【解析】解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．由题意，OA=OB=AB=4，∴S弓形AmB =S扇形OAB−S△AOB=60⋅π⋅42360−√34×42=83π−4√3，∴S阴=6⋅(S半圆−S弓形AmB)=6⋅(12⋅π⋅22−83π+4√3)=24√3−4π，故选：A．设正六边形的中心为O，连接OA，OB首先求出弓形AmB的面积，再根据S阴=6⋅(S半圆−S弓形AmB)求解即可．本题考查正多边形和圆，扇形的面积，弓形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10.【答案】D【解析】解：如图，设△ADE，△BDF，△CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1，S2，S3和S，过点D作DH//EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH≌△EGC，∴S△DFH=S3，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，DE=3，BC=7，∴S1S△ABC =949，∴S1=949×14，∴S△BDH：S=(12×4)：3=2：3，∴S△BDH=23S，∴23S+S=14−949×14，∴S=487．故选：D．如图，设△ADE，△BDF，△CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1，S2，S3和S，过点D作DH//EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH≌△EGC，利用面积比等于相似比的平方可求．本题是巧求面积的选择题，综合考查了平行四边形，相似三角形的性质等，难度较大．11.【答案】B【解析】解：设B(−3−m,2)，C(−3+m,2)，(m>0)∵A点坐标为(−3,0)，∴BC=2m，∵△ABC为正三角形，∴AC=2m，∠DAO=60°，∴m=2√3 3∴C(−3+23√3,2)设抛物线解析式y=a(x+3)2，a(−3+2√33+3)2=2，∴a=32，∴y=32(x+3)2，当x=0时，y=272；故选：B．设B(−3−m,2)，C(−3+m,2)，(m>0)，可知BC=2m，再由等边三角形的性质可知C(−3+23√3,2)，设抛物线解析式y=a(x+3)2，将点C代入解析式即可求a，进而求解；本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质；结合函数图象将等边三角形的边长转化为点的坐标是解题的关键．12.【答案】C【解析】解：如图，连接PF，QF，PC，QC，∵P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心，∴PF是∠AFC的角平分线，FQ是∠CFE的角平分线，∴∠PFC=12∠AFC=30°，∠QFC=12∠CFE=30°，∴∠PFC=∠QFC=30°，同理，∠PCF=∠QCF∴PQ⊥CF，∴△PQF是等边三角形，∴PQ=2PG；易得△ACF≌△ECF，且内角是30°，60°，90°的三角形，∴AC=2√3，AF=2，CF=2AF=4，∴S△ACF=12AF×AC=12×2×2√3=2√3，过点P作PM⊥AF，PN⊥AC，PQ交CF于G，∵点P是△ACF的内心，∴PM=PN=PG，∴S△ACF=S△PAF+S△PAC+S△PCF=12AF×PM+12AC×PN+12CF×PG=12×2×PG+12×2√3×PG+12×4×PG=(1+√3+2)PG=(3+√3)PG =2√3，∴PG=√33+√3=√3−1∴PQ=2PG=2(√3−1)=2√3−2．故选：C．先判断出PQ⊥CF，再求出AC=2√3，AF=2，CF=2AF=4，利用△ACF的面积的两种算法即可求出PG，然后计算出PQ即可．此题是三角形的内切圆与内心，主要考查了三角形的内心的特点，三角形的全等，解本题的关键是知道三角形的内心的意义．13.【答案】13【解析】解：由题意得，阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，则扇形的弧长为：120π×1180，而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：2πr=120π×1180，解得，r=13，故答案为：13．求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．本题考查圆锥的有关计算，明确扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长是解决问题的关键．14.【答案】2√5−2【解析】解：如图，连接BE，BD．由题意BD=√22+42=2√5，∵∠MBN=90°，MN=4，EM=NE，∴BE=1MN=2，2∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为2√5−2．故答案为2√5−2．如图，连接BE，BD.求出BE，BD，根据DE≥BD−BE求解即可．本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】①④【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】4√3厘米或4√3厘米或8−4√33【解析】解：①当∠ABE =30°时，AE =AB ×tan30°=4√33； ②当∠AEB =30°时，AE =AB tan30∘=4√33=4√3；③∠ABE =15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD 于F ，如下图所示，设AE =x ，则EA′=x ，EF =xsin60∘=2√3x 3， ∵AF =AE +EF =ABtan30°=4√33， ∴x +2√3x3=4√33， ∴x =8−4√3，∴AE =8−4√3．故答案为：4√33厘米或4√3厘米或8−4√3厘米．根据翻折可得∠ABE =∠A′BE ，分3种情况讨论：当∠ABE =30°时或当∠AEB =30°时或当∠ABA′=30°时求AE 的长．本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．17.【答案】①③④【解析】解：将(−4,0)(0,−4)(2,6)代入y =ax 2+bx +c 得，{16a −4b +c =0c =−44a +2b +c =6，解得，{a =1b =3c =−4，∴抛物线的关系式为y =x 2+3x −4，a =1>0，因此①正确；对称轴为x =−32，即当x =−32时，函数的值最小，因此②不正确；把(−8,y 1)(8,y 2)代入关系式得，y 1=64−24−4=36，y 2=64+24−4=84，因此③正确；方程ax 2+bx +c =−5，也就是x 2+3x −4=−5，即方x 2+3x +1=0，由b 2−4ac =9−4=5>0可得x 2+3x +1=0有两个不相等的实数根，因此④正确；正确的结论有：①③④，故答案为：①③④．任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可．本题考查二次函数的图象和性质，理解和掌握二次函数的图象与系数的关系是正确判断的关键．18.【答案】①②④【解析】解：∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，∴∠D=∠AD′E=90°=∠DAD′，AD=AD′，∴四边形ADED′是矩形，又∵AD=AD′=√3，∴四边形ADED′是正方形，∴AD=AD′=D′E=DE=√3，AE=√2AD=√6，∠EAD′=∠AED′=45°，∴D′B=AB−AD′=2，∵点F是BD′中点，∴D′F=1，∴EF=√D′E2+D′F2=√3+1=2，∵将△AED′绕点E顺时针旋转α，∴AE=A′E=√6，∠D′ED′′=α，∠EA′D′′=∠EAD′=45°，∴A′F=√6−2，故①正确；∵tan∠FED′=D′FD′E =√3=√33，∴∠FED′=30°∴α=30°+45°=75°，∴弧D′D″的长度=75°×π×√3180°=5√312π，故②正确；∵AE=A′E，∠AEA′=75°，∴∠EAA′=∠EA′A=52.5°，∴∠A′AF=7.5°，∵∠AA′F≠∠EA′G，∠AA′E≠∠EA′G，∠AFA′=120°≠∠EA′G，∴△AA′F与△A′GE不全等，故③错误；∵D′E=D′′E，EG=EG，∴Rt△ED′G≌Rt△ED′′G(HL)，∴∠D′GE=∠D′′GE，∵∠AGD′′=∠A′AG+∠AA′G=105°，∴∠D′GE=52.5°=∠AA′F，又∵∠AFA′=∠EFG，∴△AFA′∽△EFG，故④正确，故答案为：①②④．由折叠的性质可得∠D=∠AD′E=90°=∠DAD′，AD=AD′，可证四边形ADED′是正方形，可得AD=AD′=D′E=DE=√3，AE=√2AD=√6，∠EAD′=∠AED′=45°，由勾股定理可求EF的长，由旋转的性质可得AE= A′E=√6，∠D′ED′′=α，∠EA′D′′=∠EAD′=45°，可求A′F=√6−2，可判断①；由锐角三角函数可求∠FED′= 30°，由弧长公式可求弧D′D″的长度，可判断②；由等腰三角形的性质可求∠EAA′=∠EA′A=52.5°，∠A′AF= 7.5°，可判断③；由“HL”可证Rt△ED′G≌Rt△ED′′G，可得∴∠D′GE=∠D′′GE=52.5°，可证△AFA′∽△EFG，可判断④，即可求解．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，弧长公式，等腰三角形的在，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．19.【答案】解：(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米，根据题意得：60x+2=60x⋅35，解得：x=3，经检验x=3是原方程的解，所以3+2=5，答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；(2)设建A摊位a个，则建B摊位(90−a)个，由题意得：90−a≥3a，解得a≤22.5，∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，此时最大费用为：22×40×5+30×(90−22)×3=10520，答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．【解析】(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35这个等量关系列出方程即可．(2)设建A摊位a个，则建B摊位(90−a)个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式并解答．本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系．20.【答案】解：(1)∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴AB=AD，∠BAD=90°，△ABC≌△ADE，在Rt△ABD中，∠B=∠ADB=45°，∴∠ADE=∠B=45°，∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°．(2)①DF=PF．证明：由旋转的性质可知，AC=AE，∠CAE=90°，在Rt△ACE中，∠ACE=∠AEC=45°，∵∠CDF=∠CAD，∠ACE=∠ADB=45°，∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD，即∠FPD=∠FDP，∴DF=PF．②证明：过点P作PH//ED交DF于点H，∴∠HPF=∠DEP，EPPF =DHHF，∵∠DPF=∠ADE+∠DEP=45°+∠DEP，∠DPF=∠ACE+∠DAC=45°+∠DAC，∴∠DEP=∠DAC，又∵∠CDF=∠DAC，∴∠DEP=∠CDF，∴∠HPF=∠CDF，又∵FD=FP，∠F=∠F，∴△HPF≌△CDF(ASA)，∴HF=CF，∴DH=PC，又∵EPPF =DHHF，∴EPPF =PCCF．【解析】(1)由旋转的性质得出AB =AD ，∠BAD =90°，△ABC≌△ADE ，得出∠ADE =∠B =45°，可求出∠BDE 的度数；(2)①由旋转的性质得出AC =AE ，∠CAE =90°，证得∠FPD =∠FDP ，由等腰三角形的判定得出结论； ②过点P 作PH//ED 交DF 于点H ，得出∠HPF =∠DEP ，EP PF =DH HF ，证明△HPF≌△CDF(ASA)，由全等三角形的性质得出HF =CF ，则可得出结论．本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，三角形内角与外角的关系，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 21.【答案】解：(1)如图1中，△A′B′C′即为所求．(2)如图2中，△AB′C′即为所求．【解析】(1)分别作出A ，B ，C 的对应点A′，B′，C′即可．(2)根据AB =2√5，BC =√5，AC =5，利用数形结合的思想解决问题即可．本题考查作图−旋转变换，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 22.【答案】上 直线x =1 A 1A 2=A 3A 4【解析】解：(1)根据表格信息，可知抛物线开口向上，对称轴为直线x =1；故答案为：上，直线x =1；(2)把(−1,0)，(0,−3)，(2,−3)代入y =ax 2+bx +c ，得：{a −b +c =0c =−34a +2b +c =−3，解得：{a =1b =−2c =−3，∴抛物线解析式为y =x 2−2x −3，当x =−2时，m =4+4−3=5；当x =1时，n =1−2−3=−4；(3)画出抛物线图象，如图1所示，描出P′的轨迹，是一条抛物线，如备用图中的红线所示，(4)根据题意及(3)中图象可得：A 1A 2=A 3A 4．故答案为：A 1A 2=A 3A 4．(1)观察表格中的数据，得到x =0和x =2时，y 值相等都为−3，且其他y 的值比−3大，可得出抛物线开口方向及对称轴；(2)把三点坐标代入抛物线解析式求出a ，b ，c 的值确定出解析式，进而求出m 与n 的值即可；(3)画出抛物线图象，确定出点P′运动的轨迹即可；(4)根据(3)中图象可得答案．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵直线l 1：y =−2x +10交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，∴点A(0,10)，点B(5,0)，∵BC =4，∴点C(9,0)或点C(1,0)，∵点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，当x 1>x 2≥5时，总有y 1>y 2．∴当x ≥5时，y 随x 的增大而增大，当抛物线过点C(9,0)时，则当5<x <7时，y 随x 的增大而减少，不合题意舍去，当抛物线过点C(1,0)时，则当x >3时，y 随x 的增大而增大，符合题意，∴设抛物线解析式为：y =a(x −1)(x −5)，过点A(0,10)，∴10=5a ，∴a =2，∴抛物线解析式为：y =2(x −1)(x −5)=2x 2−12x +10；(2)当m =−2时，直线l 2：y =−2x +n(n ≠10)，∴直线l 2：y =−2x +n(n ≠10)与直线l 1：y =−2x +10不重合，假设l 1与l 2不平行，则l 1与l 2必相交，设交点为P(x P ,y P )，∴{y P =−2x P +n y P =−2x P +10解得：n =10，∵n=10与已知n≠10矛盾，∴l1与l2不相交，∴l2//l1；(3)如图，、∵直线l3：y=−2x+q过点C，∴0=−2×1+q，∴q=2，∴直线l3，解析式为L：y=−2x+2，∴l3//l1，∴CF//AB，∴∠ECF=∠ABE，∠CFE=∠BAE，∴△CEF∽△BEA，∴S△CEFS△ABE =(CEBE)2，设BE=t(0<t<4)，则CE=4−t，∴S△ABE=12×t×10=5t，∴S△CEF=(CEBE )2×S△ABE=(4−tt)2×5t=5(4−t)2t，∴S△ABE+S△CEF=5t+5(4−t)2t =10t+80t−40=10(√t−2√2√t)2+40√2−40，∴当t=2√2时，S△ABE+S△CEF的最小值为40√2−40．【解析】(1)先求出点A，点B，点C坐标，利用待定系数法可求解析式；(2)利用反证法可得结论；(3)通过证明△CEF∽△BEA，可得S△CEFS△ABE =(CEBE)2，BE=t(0<t<4)，则CE=4−t，可求S△ABE=12×t×10=5t，S△CEF=5(4−t)2，利用二次函数的性质可求解．t本题是二次函数综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，利用待定系数法可求解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，利用数形结合思想和函数和方程的思想解决问题是本题的关键．24.【答案】解：(1)如图1，连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°，∴∠APB+∠AOB=180°，∵∠APB=80°，∴∠AOB=100°，∴∠ACB=50°；(2)如图2，当∠APB=60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由(1)可知，∠AOB+∠APB=180°，∵∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∴∠ACB=60°=∠APB，∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心，∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA=PB，∠APC=∠BPC=30°，又∵PC=PC，∴△APC≌△BPC(SAS)，∴∠ACP =∠BCP =30°，AC =BC ，∴∠APC =∠ACP =30°，∴AP =AC ，∴AP =AC =PB =BC ，∴四边形APBC 是菱形；(3)∵⊙O 的半径为r ，∴OA =r ，OP =2r ，∴AP =√3r ，PD =r ，∵∠AOP =90°−∠APO =60°，∴AD ⏜=60°π⋅r 180∘=π3r ， ∴阴影部分的周长=PA +PD +AD ⏜=√3r +r +π3r =(√3+1+π3)r ．【解析】(1)连接OA ，OB ，由切线的性质可求∠PAO =∠PBO =90°，由四边形内角和可求解；(2)当∠APB =60°时，四边形APBC 是菱形，连接OA ，OB ，由切线长定理可得PA =PB ，∠APC =∠BPC =30°，由“SAS ”可证△APC≌△BPC ，可得∠ACP =∠BCP =30°，AC =BC ，可证AP =AC =PB =BC ，可得四边形APBC 是菱形；(3)分别求出AP ，PD 的长，由弧长公式可求AD⏜，即可求解． 本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，弧长公式，菱形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．25.【答案】S 1+S 2=S 3【解析】解：类比探究(1)∵∠1=∠3，∠D =∠F =90°，∴△ADB∽△BFC ，∴S △ADBS △BFC =(AB BC )2，同理可得：S △AECS △BFC =(AC BC )2， ∵AB 2+AC 2=BC 2，∴S 1S 3+S 2S 3=(AB BC )2+(AC BC )2=AB 2+AC 2BC 2=1，∴S 1+S 2=S 3，故答案为：S 1+S 2=S 3．。
北京大学历年优秀中学生夏令营试题及解答
2010年北京大学优秀中学生夏令营试题2010年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2011年北京大学优秀中学生夏令营试题2011年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2012年北京大学优秀中学生夏令营试题2012年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2013年北京大学暑期体验营数学试题2013年北京大学暑期体验营数学试题参考解答5、最小的短信条数总数为2n−2。
对每个人而言，至少需要对外发一条短信告知自己的信息，共n条．而这n条短信至多只能让2个人获得所有信息，此时还需要n−2条短信去通知剩余的同学，于是短信总数不少于2n−2。
另一方面，n−1名同学都将信息发送给最后一名同学，然后由这名同学再给n−1名同学回复，就可以用2n−2条短信完成任务。
综上，最小的短信条数总数为2n−2。
2014年北京大学秋令营数学试题2014年11月14日18:30—22:301、已知△ABC 满足AB+AC=2R ，其中R 是外接圆的半径，且∠A 为钝角；A 与三角形外接圆圆心的连线交BC 于点D ，若△ABD 的内切圆半径为1，求△ADC 的内切圆半径。
2、证明：若a,b 是正整数，则()()()()22222323a b a b ++-+不是完全平方数。
3、已知ai,bi,ci (i=1,2,3,4)是实数，求证：2221111a b c ++≤ 4、令求所有的正整数n ，使得f(n)是素数5、对正整数n ，称正整数组（12s ，，...λλλ）为n 的一个（无序的）分拆，如果12s ++...+=n λλλ，12s ...0λλλ≥≥≥>并称每个i λ为分拆的项。
计0()P n 为项全为奇数的n 分拆的集合，()d P n 为项两两不等的n 的分拆的集合，试在0()P n 与()d P n 之间建立一个双射。
6、设d 是一个大于100的整数，M 是所有在十进制下数码和为d 的倍数的正整数的集合，a n 是将M 中的数从小到大排列后的第n 个数，求证：存在无穷多个n ，使得n a nd ->【部分试题参考解答】第一题可以猜到答案也是1（因为AB=AC 时答案是1），然后只需证ABD 和ACD 的内切圆半径相等，然后由于sinC+sinB=2，而ABD 和ACD 的内角可以用C 、B 表示，所以用三角算一算就可以了，另外，A 是钝角可以由AB+AC=2R 推出，所以是多余的条件。
2019年清华大学自主招生暨领军计划数学试题(解析版)
清华大学自主招生暨领军计划数学试题（解析版）1．已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．取决于a 的值 【答案】C【解析】注意)()(/x g e x f x =，答案C ．2． 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,．下列条件中，能使得ABC ∆的形状唯一确定的有（ ）A ．Z c b a ∈==,2,1B ．B bC a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500=+= C ．060,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B AD ．060,1,3===A b a【答案】AD ．3．已知函数x x g x x f ln )(,1)(2=-=，下列说法中正确的有（ ） A ．)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线B ．存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行C ．)(),(x g x f 有且只有一个交点D ．)(),(x g x f 有且只有两个交点【答案】BD【解析】注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线，如图，因此答案BD ．4．过抛物线x y 42=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点．下列说法中正确的有（ ）A ．以线段AB 为直径的圆与直线23-=x 一定相离B ．||AB 的最小值为4C ．||AB 的最小值为2D ．以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 【答案】AB【解析】对于选项A ，点M 到准线1-=x 的距离为||21|)||(|21AB BF AF =+，于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切，进而与直线23-=x 一定相离；对于选项B ，C ，设)4,4(2a a A ，则)1,41(2a a B -，于是2414||22++=a a AB ，最小值为4．也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与||21BM 不一定相等，因此命题错误．5．已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．下列说法中正确的有（ ）A ．b a 2=时，满足02190=∠PF F 的点P 有两个B ．b a 2>时，满足02190=∠PF F 的点P 有四个C ．21F PF ∆的周长小于a 4D ．21F PF ∆的面积小于等于22a【答案】ABCD ．【解析】对于选项A ，B ，椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点；对于选项C ，21PF F ∆的周长为a c a 422<+；选项D ，21PF F ∆的面积为22212121212||||21sin ||||21a PF PF PF F PF PF =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∠⋅．6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD ．7．已知AB 为圆O 的一条弦（非直径），AB OC ⊥于C ，P 为圆O 上任意一点，直线PA 与直线OC 相交于点M ，直线PB 与直线OC 相交于点N ．以下说法正确的有（ ） A ．P B M O ,,,四点共圆 B ．N B M A ,,,四点共圆 C ．N P O A ,,,四点共圆D ．以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A ，OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得；对于选项B ，若命题成立，则MN 为直径，必然有MAN ∠为直角，不符合题意；对于选项C ，MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得．答案：AC ．8．C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】必要性：由于1cos sin )2sin(sin sin sin >+=-+>+B B B B C B π， 类似地，有1sin sin ,1sin sin >+>+A B A C ，于是C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++．不充分性：当4,2ππ===C B A 时，不等式成立，但ABC ∆不是锐角三角形．9．已知z y x ,,为正整数，且z y x ≤≤，那么方程21111=++z y x 的解的组数为（ ）A ．8B ．10C ．11D ．12【答案】B【解析】由于x z y x 311121≤++=，故63≤≤x ．若3=x ，则36)6)(6(=--z y ，可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(=z y ； 若4=x ，则16)4)(4(=--z y ，可得)8,8(),12,6(),20,5(),(=z y ；若5=x ，则6,5,320,211103=≤≤+=y y y z y ，进而解得)10,5,5(),,(=z y x ；若6=x ，则9)3)(3(=--z y ，可得))6,6(),(=z y ． 答案：B ． 10．集合},,,{21n a a a A =，任取Aa a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B11．已知000121,61,1===γβα，则下列各式中成立的有（ ）A ．3tan tan tan tan tan tan =++αγγββαB ．3tan tan tan tan tan tan -=++αγγββαC ． 3tan tan tan tan tan tan =++γβαγβα D ． 3tan tan tan tan tan tan -=++γβαγβα【答案】BD【解析】令γβαtan ,tan ,tan ===z y x ，则3111=+-=+-=+-zx zx yz y z xy x y ，所以)1(3),1(3),1(3zx z x yz y z xy z y +=-+=-+=-，以上三式相加，即有3-=++zx yz xy ．类似地，有)11(311),11(311),11(311+=-+=-+=-zx x z yz z y xy y x ，以上三式相加，即有3111-=++=++xyz zy x zx yz xy ．答案BD ．12．已知实数c b a ,,满足1=++c b a ，则141414+++++c b a 的最大值也最小值乘积属于区间（ ）A ．)12,11(B ．)13,12(C ．)14,13(D ．)15,14(【答案】B【解析】设函数14)(+=x x f ，则其导函数142)(/+=x x f ，作出)(x f 的图象，函数)(x f 的图象在31=x 处的切线321)31(7212+-=x y ，以及函数)(x f 的图象过点)0,41(-和)7,23(的割线7174+=x y ，如图，于是可得321)31(7212147174+-≤+≤+x x x ，左侧等号当41-=x 或23=x 时取得； 右侧等号当31=x 时取得．因此原式的最大值为21，当31===c b a 时取得；最小值为7，当23,41=-==c b a 时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为)169,144(37∈．答案B ．13．已知1,1,,,222=++=++∈z y x z y x R z y x ，则下列结论正确的有（ ） A ．xyz 的最大值为0B ．xyz 的最大值为274-C ．z 的最大值为32D ．z 的最小值为31-【答案】ABD14．数列}{n a 满足)(6,2,1*1221N n a a a a a n n n ∈-===++，对任意正整数n ，以下说法中正确的有（ ） A ．nn n a a a 221++-为定值 B ．)9(mod 1≡n a 或)9(mod 2≡n aC ．741-+n n a a 为完全平方数 D ．781-+n n a a 为完全平方数【答案】ACD 【解析】因为2112221122213226)6(++++++++++++-=--=-n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a nn n n n n n a a a a a a a 22121122)6(++++++-=+-=，选项A 正确；由于113=a ，故76)6(2121121221-=+-=--=-++++++n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ，又对任意正整数恒成立，所以211211)(78,)(74n n n n n n n n a a a a a a a a +=--=-++++，故选项C 、D 正确．计算前几个数可判断选项B 错误． 说明：若数列}{n a 满足nn n a pa a -=++12，则nn n a a a 221++-为定值．15．若复数z 满足11=+z z ，则z 可以取到的值有（ ）A ．21B ．21-C ．215-D ． 215+【答案】CD【解析】因为11||1||=+≤-z z z z ，故215||215+≤≤-z ，等号分别当i z 215+=和i z 215-=时取得．答案CD ．16． 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ）A ．6552B ．4536C ．3528D ．2016 【答案】C【解析】从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从2016个顶点中选出k 个构成正多边形，这样的正多边形有k 2016个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008．考虑到732201625⨯⨯=，因此所求正多边形的个数为352810082016)71)(931)(32168421(=--++++++++．答案C ．17．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与直线x y l x y l 21:,21:21-==，过椭圆上一点P 作21,l l 的平行线，分别交21,l l 于N M ,两点．若||MN 为定值，则=b a（ ）A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】C【解析】设点),(00y x P ，可得)2141,21(),2141,21(00000000y x y x N y x y x M +--++，故意2020441||y x MN +=为定值，所以2,1641422===b ab a ，答案：C ．说明：（1）若将两条直线的方程改为kx y ±=，则k b a 1=；（2）两条相交直线上各取一点N M ,，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或椭圆．18． 关于y x ,的不定方程yx 21652=+的正整数解的组数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．例如，三个实数c b a ,,相乘的时候，可以有 ),(),(,)(,)(ca b ab c c ba c ab 等等不同的次序．记n 个实数相乘时不同的次序有nI 种，则（ ）A ．22=IB ．123=IC ．964=ID ．1205=I【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义，可得1121221)!1(!1------=⋅==n n n n n n n n C n n C n A C I ．答案：AB ．关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》．20．甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军．4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4．那么甲刻冠军的概率是 ． 【答案】0.165【解析】根据概率的乘法公式 ，所示概率为165.0)8.05.03.05.0(3.0=⨯+⨯． 21．在正三棱锥ABC P -中，ABC ∆的边长为1．设点P 到平面ABC 的距离为x ，异面直线CP AB ,的距离为y ．则=∞→y x lim ．【答案】23【解析】当∞→x 时，CP 趋于与平面ABC 垂直，所求极限为ABC ∆中AB 边上的高，为23．22．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，中心为A A E A BC BF O 1141,21,==，则四面体OEBF 的体积为 ．【答案】196【解析】如图，EBF G EBF O OEBF V V V --==21961161212111=⋅==--B BCC E GBF E V V ．23．=+-⎰-dx x x n n )sin 1()(22012ππ ．【答案】0【解析】根据题意，有)sin 1()sin 1()(21222012=+=+-⎰⎰---dx x x dx x x n n n n ππππ．24．实数y x ,满足223224)(y x y x =+，则22y x +的最大值为 ．【答案】1【解析】根据题意，有22222322)(4)(y x y x y x +≤=+，于是122≤+y x ，等号当2122==y x 时取得，因此所求最大值为1．25．z y x ,,均为非负实数，满足427)23()1()21(222=+++++z t x ，则z y x ++的最大值与最小值分别为 ． 【答案】2322-【解析】由柯西不等式可知，当且仅当)0,21,1(),,(=z y x 时，z y x ++取到最大值23．根据题意，有41332222=+++++z y x z y x ，于是,)(3)(4132y z y x z y x +++++≤解得2322-≥++z y x ．于是z y x ++的最小值当)2322,0,0(),(-=yz x 时取得，为2322-． 26．若O 为ABC ∆内一点，满足2:3:4::=∆∆∆COA BOC AOB S S S ，设AC AB AO μλ+=，则=+μλ ． 【答案】23【解析】根据奔驰定理，有329492=+=+μλ．27．已知复数32sin 32cos ππi z +=，则=+++2223z z z z ．【答案】12i - 【解析】根据题意，有i z z z z z z 35sin 35cos 122223+=-=+=+++ππ28．已知z 为非零复数，z z 40,10的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形的面积为 .【答案】2003003π+-【解析】设),(R y x yi x z ∈+=，由于2||4040z z z =，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+≥≥,140,140,110,1102222y x y y x x y x 如图，弓形面积为1003100)6sin 6(20212-=-⋅⋅πππ，四边形ABCD 的面积为100310010)10310(212-=⋅-⋅. 于是所示求面积为30031003200)1003100()1003100(2-+=-+-ππ.29．若334tan =x ，则=+++x x x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin ．【解析】根据题意，有x x x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin +++38tan tan )tan 2(tan )2tan 4(tan )4tan 8(tan ==+-+-+-=x x x x x x x x ．30．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个44⨯的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法．【答案】44100031．设A 是集合}14,,3,2,1{ 的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值为 ．【答案】8【解析】一方面，设},,,{21k a a a A =，其中141,*≤≤∈k N k ．不妨假设k a a a <<< 21．若9≥k ，由题意，7,33513≥-≥-a a a a ，且1335a a a a -≠-，故715≥-a a ．同理759≥-a a ．又因为1559a a a a -≠-，所以1519≥-a a ，矛盾！故8≤k ．另一方面，取}14,13,11,10,5,4,2,1{=A ，满足题意．综上所述，A 中元素个数的最大值为8．。
2019北京大自主招生考试数学(网传试题与解析)
综上可知 x 2ab ab
法二：
2
2
考虑到
x2
2ax a2
x2
2bx b2 =
x
2 2
a
a2
2
x
2 2
b
b2 可视为 2
点
P
x,
0
到点
A
2 a, 2
2 2
a
与点
B
2 b, 2
2 2
b ຫໍສະໝຸດ 的距离之和.显然 OA a, OB b ， AB a2 b2
A
显然有 PA PB AB ，结合题意，故 PA PB = AB
即 P 在 AB 上。
2a 2b
2a
由 kPA kPB 可得
2 2 a
2 2b
2 2 ax
22
2
O
P‘
P
B
求得 x 2ab ab
2. 复数 z1, z2 满足 z1 3i 2, z2 8 1 ，则由复数 z1 z2 所确定区域的面积是
解析：考虑到 z1 3i z2 8 z1 z2 3i 8 z1 3i z2 8
即1 z1 z2 3i 8 3
5+
2
5 + 5
5 2 62 3 1 2sin2 sin
2 5+ 5 5 5
5
1 5
故 IP 1 5 sin
8.已知数列an 满足： ak1 ak 4k 3k 1, 2, ，求 a2 a2020
解析：
a2 a1 a3 a2 a4 a3 a2019 a2018 a2020 a2019 a1 a2020 41009+4 2019+3=4043
2019年北京大学自主招生数学试题及答案
2019年北京大学自主招生数学试题2019.061. 若,a b +∈R ≤x 的取值范围.2. 复数1z 、2z 满足1|3i |2z -=，2|8|1z -=，则由复数12z z -围成的面积是（ ）A. 4πB. 8πC. 10πD. 以上全错3. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出4个不同的数，分别记为a ，b ，c ，d ，求a b +和c d +奇偶性相同的概率.4. 正方形ABCD ，K 为△BCD 内一点，满足10KDB KBC ∠=∠=︒，则KAD ∠=（ ）A. 45°B. 60°C. 70°D. 以上全错5. 设,x y ∈Z ，若2222(1)(1)x x y y +++++为完全平方数，则数对(,)x y 有（ ）组A. 0B. 1C. 无穷多D. 以上全错6. 方程sin 13x x =根的个数为（ ） A. 3个 B. 7个 C. 1个 D. 以上全错7. 设P 为椭圆2212516x y +=上一点，1F 、2F 为椭圆的左右焦点，O 为△12PF F 的内心，若内切圆半径为1，求OP 的长度.8. 已知数列{}n a 满足：143k k a a k ++=+（1,2,k =⋅⋅⋅），求22020a a +.参考答案1. P=上式的几何意义为：平面直角坐标系xOy中，x轴上一动点到两个动点()22A、()22B的距离之和，设B关于x轴的对称点为B'，则P≥而P≤x为直线B A'与x轴交点的横坐标，则:()B Ab al y xb a'+=-，令0y=，解得：xa b=+.2. 设111iz x y=+，222iz x y=+，由题意可知：2211(3)4x y+-=，2222(8)1x y-+=，令112cos2sin3xyαα=⎧⎨=+⎩，22cos8sinxyββ=+⎧⎨=⎩，1212x x xy y y=-⎧⎨=-⎩，则22(8)(3)54cos()x yαβ++-=--，∴复数12z z-围成得面积为一个圆环的面积(91)8Sππ=-=，∴选B.3.422411114455544349241121A A A A C C C CPA+++==.4. 设正方形边长为1，在△BKD中，由正弦定理可知：sin35sin135DK=︒︒，则2sin35DK=︒，在△ADK中，由余弦定理可知：2214sin354sin35cos551AK=+︒-︒︒=，则△DAK为等腰三角形，∴70KAD∠=︒，∴选C.5. 令21A x x=++，21B y y=++，情形一：当x为奇数时，则A为奇数，情形二：当x为偶数时，则A也为奇数，同理可得：B也为奇数，而两个奇数的平方和一定不会是完全平方数，综上：选A.6. 令()sin f x x =，()13x g x =的图像可知，只有7个根，∴选B. 7. 设内切圆半径为r ，△12PF F 的面积为S ，12F PF α∠=，∵222S r a c =+，解得：8S =， 又2tan 2S b α=，解得：1tan 22α=，则sin 2α=，∴sin 2r IP α==8. ∵143k k a a k ++=+，则24n n a a +-=， 情形一：当n 为偶数时，则224(1)242n n a a n a =+-=+-， 情形二：当n 为奇数时，则1114(1)222n n a a n a +=+-=+-， ∴22020240362a a a +=+，∵2a 不确定，∴22020a a +也不确定.。
2019年北大附中新初一分班考试数学试题-真题-含详细解析
2019年北大附中新初一分班考试数学试题-真题一、选择题（本大题共7小题，共28分）1.若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是()A. 2cmB. 3cmC. 6cmD. 9cm2.生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为()A. 1.24米B. 1.38米C. 1.42米D. 1.62米3.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是()A. 205B. 250C. 502D. 5204.为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初二级部学生进行了问卷调查，其中一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图(不完整)如图．由图中信息可知，下列结论错误的是()A. 本次调查的样本容量是600B. 选“责任”的有120人C. 扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为64.8°D. 选“感恩”的人数最多5.七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板(如图①)切割七块，正好制成一副七巧板(如图②).已知AB=40cm，则图中阴影部分的面积为()cm2 C. 50cm2 D. 75cm2A. 25cm2B. 10036.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”.在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品--“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是()A. B.C. D.7.剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共9小题，共36分）8.某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌(假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多)，然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为______．9.暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如下，请你为广告牌填上原价．原价：______ 元暑假八折优惠，现价：160元10.如图①，某广场地面是用A，B，C三种类型地砖平铺而成的．三种类型地砖上表面图案如图②所示．现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块(A型)地砖记作(1,1)，第二块(B型)地砖记作(2,1)…若(m,n)位置恰好为A型地砖，则正整数m，n须满足的条件是______．11.如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第(n+1)个正方形比第n个正方形多______个小正方形．12.公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号(如图所示)，一个钉头形代表1，一个尖头形代表10.在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位．根据符号记数的方法，如图符号表示一个两位数，则这个两位数是______．13.观察下列各式的规律：．①1×3−22=3−4=−1；②2×4−32=8−9=−1；③3×5−42=15−16=−1．请按以上规律写出第4个算式______．用含有字母的式子表示第n个算式为______．14.如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面的值为______．积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1=S2，则nm15.某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么______将被录用(填甲或乙)．应聘者甲乙项目学历98经验76工作态度5716.如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．三、解答题（本大题共4小题，共36分）17.某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．(1)求每千克苹果和每千克梨的售价；(2)如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？18.今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：第一批第二批A型货车的辆数(单位：辆)12B型货车的辆数(单位：辆)35累计运输物资的吨数(单位：吨)2850备注：第一批、第二批每辆货车均满载(1)求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？(2)该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A种型号货车．试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？19.某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？20.小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：6−3<x<6+3，解得：3<x<9，故选：C．首先设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得6−3<x<6+3，再解不等式即可．此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．2.【答案】A【解析】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，=0.618，∴ab∵b为2米，∴a约为1.24米．故选：A．根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a的值．本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．3.【答案】D【解析】解：设较小的奇数为x，较大的为x+2，根据题意得：(x+2)2−x2=(x+2−x)(x+2+x)=4x+4，若4x+4=205，即x=201，不为整数，不符合题意；4，不为整数，不符合题意；若4x+4=250，即x=2464，不为整数，不符合题意；若4x+4=502，即x=4984若4x+4=520，即x=129，符合题意．故选：D．设较小的奇数为x，较大的为x+2，根据题意列出方程，求出解判断即可．此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．4.【答案】C【解析】解：本次调查的样本容量为：108÷18%=600，故选项A中的说法正确；选“责任”的有600×72°360∘=120(人)，故选项B中的说法正确；扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为360°×132600=79.2°，故选项C中的说法错误；选“感恩”的人数为：600−132−600×(16%+18%)−120=144，故选“感恩”的人数最多，故选项D中的说法正确；故选：C．根据条形统计图和扇形统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查条形统计图、扇形统计图、样本容量，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5.【答案】C【解析】解：如图：设OF=EF=FG=x，∴OE=OH=2x，在Rt△EOH中，EH=2√2x，由题意EH=20cm，∴20=2√2x，∴x=5√2，∴阴影部分的面积=(5√2)2=50(cm2)故选：C．如图：设OF=EF=FG=x，可得EH=2√2x=20，解方程即可解决问题．本题考查正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6.【答案】D【解析】解：最小的等腰直角三角形的面积=18×12×42=1(cm2)，平行四边形面积为2cm2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，则A、阴影部分的面积为2+2=4(cm2)，不符合题意；B、阴影部分的面积为1+2=3(cm2)，不符合题意；C、阴影部分的面积为4+2=6(cm2)，不符合题意；D、阴影部分的面积为4+1=5(cm2)，符合题意．故选：D．先求出最小的等腰直角三角形的面积=18×12×42=1cm2，可得平行四边形面积为2cm2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，再根据阴影部分的组成求出相应的面积即可求解．本题考查图形的剪拼、七巧板，解题的关键是求出最小的等腰直角三角形的面积，学会利用分割法求阴影部分的面积．7.【答案】A【解析】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：．故选：A．对于此类问题，只要依据翻折变换，将图(4)中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案．本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．8.【答案】7【解析】解：设每人有牌x张，B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后，则B同学有(x+2+3)张牌，A同学有(x−2)张牌，那么给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3−(x−2)=x+5−x+2=7．故答案为：7．本题是整式加减法的综合运用，设每人有牌x张，解答时依题意列出算式，求出答案．本题考查了整式的加减法，此题目的关键是注意要表示清A同学有(x−2)张．9.【答案】解：设广告牌上的原价为x元，依题意，得：0.8x=160，解得：x=200．故答案为：200．【解析】设广告牌上的原价为x元，根据现价=原价×折扣率，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．10.【答案】m、n同为奇数和m、n同为偶数【解析】解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，若用(m,n)位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数和m、n同为偶数．故答案为m、n同为奇数和m、n同为偶数．几何图形，观察A型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，从而得到m、n满足的条件．本题考查了坐标表示位置：通过类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．分析图形，寻找规律是关键．11.【答案】2n+3【解析】解：∵第1个正方形需要4个小正方形，4=22，第2个正方形需要9个小正方形，9=32，第3个正方形需要16个小正方形，16=42，…，∴第n+1个正方形有(n+1+1)2个小正方形，第n个正方形有(n+1)2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多(n+2)2−(n+1)2=2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可．此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，关键是通过图形找出规律，按规律求解．12.【答案】25【解析】解：由题意可得，表示25．故答案为：25．根据题意可知，这个两位数的个位上的数是5，十位上的数是2，故这个两位数我25．本题主要考查了用数字表示事件，理清题目中的符号表示的意义是解答本题的关键．13.【答案】4×6−52=24−25=−1n×(n+2)−(n+1)2=−1【解析】解：④4×6−52=24−25=−1．第n 个算式为：n ×(n +2)−(n +1)2=−1．故答案为：4×6−52=24−25=−1；n ×(n +2)−(n +1)2=−1．按照前3个算式的规律写出即可；观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于−1，根据此规律写出即可． 此题主要考查了数字变化规律，观察出算式中的数字与算式的序号之间的关系是解题的关键．14.【答案】√3−12【解析】解：设直角三角形另一条直角边为x ，依题意有2x 2=12m 2， 解得x =12m ，由勾股定理得(12m)2+(n +12m)2=m 2，m 2−2mn −2n 2=0，解得m 1=(−1−√3)n(舍去)，m 2=(−1+√3)n ，则n m 的值为√3−12．故答案为：√3−12．可设直角三角形另一条直角边为x ，根据S 1=S 2，可得2x 2=12m 2，则x =√22m ，再根据勾股定理得到关于m ，n 的方程，可求n m 的值．本题考查了勾股定理的证明，根据正方形的面积公式和三角形形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键． 15.【答案】乙【解析】解：∵x 甲−=9×2+7×1+5×32+1+3=203，x 乙−=8×2+6+7×32+1+3=436，∴x 甲−<x 乙−，∴乙将被录用，故答案为：乙．根据加权平均数的定义列式计算，比较大小，平均数大者将被录取．本题主要考查加权平均数，若n 个数x 1，x 2，x 3，…，x n 的权分别是w 1，w 2，w 3，…，w n ，则(x 1w 1+x 2w 2+⋯+x n w n )÷(w 1+w 2+⋯+w n )叫做这n 个数的加权平均数．16.【答案】丙、丁、甲、乙【解析】解：根据题意，丙第一个购票，只能购买3，1，2，4号票，此时，3号左边有6个座位，4号右边有5个座位，即甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排，①第二个丁可以购买3号左边的5个座位，另一侧的座位甲和乙购买，即丙(3,1，2，4)、丁(5,7，9，11，13)、甲(6,8)、乙(10,12)或丙(3,1，2，4)、丁(5,7，9，11，13)、乙(6,8)、甲(10,12)；②第二个由甲或乙购买，此时，只能购买5，7号票，第三个购买的只能是丁，且只能购买6，8，10，12，14号票，此时，四个人购买的票全在第一排，即丙(3,1，2，4)、甲(5,7)、丁(6,8，10，12，14)、乙(9,11)或丙(3,1，2，4)、乙(5,7)、丁(6,8，10，12，14)、甲(9,11)，因此，第一个是丙购买票，丁只要不是最后一个购买票的人，都能使四个人购买的票全在第一排，故答案为：丙、丁、甲、乙．先判断出丙购买票之后，剩余3号左边有6个座位，4号右边有5个座位，进而得出甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排，即可得出结论．此题主要考查了推理与论证，判断出甲、乙购买的票在丙的同侧是解本题的关键．17.【答案】解：(1)设每千克苹果的售价为x 元，每千克梨的售价为y 元，依题意，得：{x +3y =262x +y =22， 解得：{x =8y =6． 答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元．(2)设购买m 千克苹果，则购买(15−m)千克梨，依题意，得：8m +6(15−m)≤100，解得：m ≤5．答：最多购买5千克苹果．【解析】(1)设每千克苹果的售价为x 元，每千克梨的售价为y 元，根据“购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设购买m 千克苹果，则购买(15−m)千克梨，根据总价=单价×数量结合总价不超过100元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．18.【答案】解：(1)设A 种型号货车每辆满载能运x 吨生活物资，B 种型号货车每辆满载能运y 吨生活物资，依题意，得：{x +3y =282x +5y =50， 解得：{x =10y =6． 答：A 种型号货车每辆满载能运10吨生活物资，B 种型号货车每辆满载能运6吨生活物资．(2)设还需联系m 辆B 种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，依题意，得：10×3+6m ≥62.4，解得：m ≥5.4，又∵m 为正整数，∴m 的最小值为6．答：至少还需联系6辆B 种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．【解析】(1)设A 种型号货车每辆满载能运x 吨生活物资，B 种型号货车每辆满载能运y 吨生活物资，根据前两批具体运算情况数据表，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设还需联系m 辆B 种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据要求一次性运送62.4吨生活物资，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中最小的整数值即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．19.【答案】解：设中型汽车有x 辆，小型汽车有y 辆，依题意，得：{x +y =3015x +8y =324， 解得：{x =12y =18． 答：中型汽车有12辆，小型汽车有18辆．【解析】设中型汽车有x 辆，小型汽车有y 辆，根据“停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．20.【答案】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种，∴P(小颖)=36=12，P(小亮)=36=12，因此游戏是公平．【解析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出小亮、小颖去的概率，进而判断游戏是否公平．本题考查列表法或树状图法求随机事件的发生的概率，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的前提．。
2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析
t a n70∘米si n70∘米2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题一、选择题（本大题共8小题，共24分）1.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为()A.200tan70°米B.200C.200sin70°米D.2002.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−1,n)，其部分图象如图所示．以下结论错误的是()A.abc>0B.4ac−b2<0C.3a+c>0D.关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根3.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12.将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H.给出以下结论：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK△和GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF=75°，其中正确的结论共有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.下列图中所有小正方形都是全等的．图(1)是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图(2)是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“L”形纸片放置在图(2)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图(3)中的4种不同放置方法．图(4)是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图(4)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是()B. 若|x − 1| > |x − 1|，则y < yD. 若y = y ，则x = xA. 160B. 128C. 80D. 485.如图，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 和点 A 重合，折痕为 EF ，EF 与 AC 交于点O.若AE = 5，BF = 3，则 AO的长为( )A. √5B. 3 √52C. 2√5D. 4√56.将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度ℎ(cm)与注水时间t (mi n )的函数图象大致为图中的()A.B.C. D.7.在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线y = x 2 − 2x − 3与 y 轴交于点 A ，与 x 轴正半轴交于点 B ，连接 AB ，将Rt △ OAB 向右上方平移，得到Rt △ O′A′B′，且点O′，A′落在抛物线的对称轴上，点B′落在抛物线上，则直线A′B′的表达式为()A. y = xB. y = x + 1C. y = x + 1D. y = x + 228.已知P 1(x 1, y 1)，P 2(x 2, y 2)是抛物线y = ax 2 − 2ax 上的点，下列命题正确的是()A. 若|x 1 − 1| > |x 2 − 1|，则y 1 > y 2 C. 若|x 1 − 1| = |x 2 − 1|，则y 1 = y 21 2 1 21 2 1 2⏜二、填空题（本大题共 8 小题，共 24 分）9.如图，在△ ABC 中，按以下步骤作图：①以点 B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB 、BC 于点 D 、E ．②分别以点 D 、E 为圆心，大于1 DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点 F ．2③作射线 BF 交 AC 于点 G ．如果AB = 8，BC = 12△，ABG 的面积为 18△，则 CBG 的面积为______．10. 如图，在▱ABCD 中，∠B = 60°，AB = 10，BC = 8，点 E 为边 AB 上的一个动点，连接 ED 并延长至点 F ，使得DF = 1 DE ，以 EC 、EF 为邻边构造▱EFGC ，连接 EG ，则 EG 的最小值为______．411. 抛物线y = ax 2 + bx + c(a,b ，c 为常数，a < 0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，下列四个结论：①一元二次方程ax 2 + bx + c = 0的根为x 1 = 2，x 2 = −4； ②若点C(−5, y 1)，D(π, y 2)在该抛物线上，则y 1 < y 2；③对于任意实数 t ，总有a t 2 + bt ≤ a − b ；④对于 a 的每一个确定值，若一元二次方程ax 2 + bx + c = p(p 为常数，p > 0)的根为整数，则 p 的值只有两个．其中正确的结论是______(填写序号)．12. 如图，折叠矩形纸片 ABCD ，使点 D 落在 AB 边的点 M 处，EF 为折痕，AB = 1，AD = 2.设 AM 的长为 t ，用含有 t 的式子表示四边形 CDEF 的面积是______．第 12 题图第 13 题图13. 如图，在△ ABC 中，O 为 BC 边上的一点，以 O 为圆心的半圆分别与 AB ，AC 相切于点 M ，N.已知∠BAC =120°，AB + AC = 16，MN 的长为π，则图中阴影部分的面积为______．14.矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A′处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为______厘米．第14题图第15题图15.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC=______度．16.设A，B，C，D是反比例函数y=k图象上的任意四点，现有以下结论：x①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)三、计算题（本大题共1小题，共6分）17.某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y=kx2+m(k≠0)表示．求该抛物线的函数表达式；(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM=2m，求每个B型活动板房的成本是多少？(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？(1)已知二元一次方程组{四、解答题（本大题共 12 小题，共 46 分）18. 如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．进货单商品甲乙进价(元/件) 数量(件) 总金额(元)72003200商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．王师傅：甲商品比乙商品的数量多 40 件．请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．19. 阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数 x 、y 满足3x − y = 5①，2x + 3y = 7②，求x − 4y 和7x + 5y 的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由① − ②可得x − 4y = −2，由① + ② × 2可得7x + 5y = 19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：2x + y = 7,x + 2y = 8,则x − y =______，x + y =______；(2)某班级组织活动购买小奖品，买 20 支铅笔、3 块橡皮、2 本日记本共需 32 元，买 39 支铅笔、5 块橡皮、3本日记本共需 58 元，则购买 5 支铅笔、5 块橡皮、5 本日记本共需多少元？(3)对于实数 x 、y ，定义新运算：x ∗ y = ax + by + c ，其中 a 、b 、c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3 ∗ 5 = 15，4 ∗ 7 = 28，那么1 ∗ 1 =______．20.如图，已知点A(1,2)、B(5,n)(n>0)，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=k(x>0)的图象经过点x P.小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”(1)当n=1时．①求线段AB所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．(2)若小明的说法完全正确，求n的取值范围．21.背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放(点E、A、D在同一条直线上)，发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：(1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转(如图1)，还能得到BE=DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；(2)把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图2)，试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；(3)把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AE=AB=2，AE=4，AB=8，将矩形AEFGAG AD3绕点A按顺时针方向旋转(如图3)，连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．22.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．(1)求证：AD平分∠BAE；(2)若CD=DE，求sin∠BAC的值．23.某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y=ax2+bx+c.当x=10时，y=400；当x=20时，y=1000.B城生产产品的每件成本为70万元．(1)求a，b的值；(2)当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？(3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值(用含有m的式子表示)．24.实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①所取的2个整数2个整数之和1，231，342，35如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②所取的2个整数2个整数之和1，231，341，452，352，463，47如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：果．归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．拓展延伸：(1)从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)(2)从3，4，5，…，n+3(n为整数，且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1<a<n+1)个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．25.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．特例感知：(1)将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B.通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF=CG.请给予证明．猜想论证：(2)当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．联系拓展：(3)当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，请你判断(2)中的猜想是否仍然成立？(不用证明)26. 已知抛物线y = ax 2 + bx + c(a,b ，c 是常数，a ≠ 0)的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表：x …−2−1 01 2… y… m−3n−3…(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为______；(2)求抛物线的表达式及 m ，n 的值；(3)请在图 1 中画出所求的抛物线．设点 P 为抛物线上的动点，OP 的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y = m(m > −2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A 1，A 2，A 3，A 4，请根据图象直接写出线段A 1A 2，A 3A 4之间的数量关系______．27. 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图 1 中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S 1，S 2，S 3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究(1)如图 2，在Rt △ ABC 中，BC 为斜边，分别以 AB ，AC ，BC 为斜边向外侧作Rt △ ABD ，Rt △ ACE ，Rt △BCF ，若∠1 = ∠2 = ∠3，则面积S 1，S 2，S 3之间的关系式为______；推广验证(2)如图 3，在Rt △ ABC 中，BC 为斜边，分别以 AB ，AC ，BC 为边向外侧作任意△ ABD △， ACE △， BCF ，满足∠1 = ∠2 = ∠3，∠D = ∠E = ∠F ，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用(3)如图 4，在五边形 ABCDE 中，∠A = ∠E = ∠C = 105°，∠ABC = 90°，AB = 2√3，DE = 2，点 P 在 AE上，∠ABP = 30°，PE = √2，求五边形 ABCDE 的面积．28. 已知直线l 1：y = −2x + 10交 y 轴于点 A ，交 x 轴于点 B ，二次函数的图象过 A ，B 两点，交 x 轴于另一点 C ，BC = 4，且对于该二次函数图象上的任意两点P 1(x 1, y 1 )，P 2(x 2, y 2 )，当x 1 > x 2 ≥ 5时，总有y 1 > y 2．(1)求二次函数的表达式；(2)若直线l 2：y = mx + n(n ≠ 10)，求证：当m = −2时，l 2//l 1；(3)E 为线段 BC 上不与端点重合的点，直线l 3：y = −2x + q 过点 C 且交直线 AE 于点 F △，求ABE △与 CEF 面积之和的最小值．t a n70∘=t a n70∘，即河宽t a n70∘米，2a =−1，答案和解析1.【答案】B【解析】解：在Rt△PQT中，∵∠QPT=90°，∠PQT=90°−70°=20°，∴∠PTQ=70°，∴tan70°=PQ，PT∴PT=PQ200200故选：B．在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：A.∵抛物线开口向下，∴a<0，∵对称轴为直线x=−b∴b=2a<0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc>0，故A正确；B.∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，即4ac−b2<0，故B正确；C.∵抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间，∴x=1时，y<0，即a+b+c<0，∴3a+c<0，故C错误；D.∵抛物线开口向下，顶点为(−1,n)，∴函数有最大值n，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根，故D正确．故选：C．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B 进行判断；x=1时，y<0，可对C进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，可对D进行判断．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．3.【答案】C【解析】解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O，∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，∴EF垂直平分BG，∴EF⊥BG，BO=GO，BE=EG，BF=FG，故①正确，∵AD//BC，∴∠EGO=∠FBO，又∵∠EOG=∠BOF，∴△BOF≌△GOE(ASA)，∴BF=EG，∴BF=EG=GF，故②正确，∵BE=EG=BF=FG，12=1，∴∠BEF=∠GEF，当点F与点C重合时，则BF=BC=BE=12，∵sin∠AEB=AB=BE 62∴∠AEB=30°，∴∠DEF=75°，故④正确，由题意无法证明△GDK△和GKH的面积相等，故③错误；故选：C．连接BE，设EF与BG交于点O，由折叠的性质可得EF垂直平分BG，可判断①；由“ASA”可证△BOF≌△GOE，可得BF=EG=GF，可判断②；通过证明四边形BEGF是菱形，可得∠BEF=∠GEF，由锐角三角函数可求∠AEB=30°，可得∠DEF=75°，可判断④，由题意无法证明△GDK△和GKH的面积相等，即可求解．本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．4.【答案】A【解析】解：观察图象可知(4)中共有4×5×2=40个3×2的长方形，由(3)可知，每个3×2的长方形有4种不同放置方法，则n的值是40×4=160．故选：A．对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．此题考查了规律型：图形的变化类，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵矩形ABCD，∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，∴∠EFC=∠AEF，∴AE=AF=3，由折叠得，FC=AF，OA=OC，∴BC=3+5=8，在Rt△ABF中，AB=√52−32=4，2×1 = 1， 解得{ ∴ OA = OC = 2√5，故选：C ．由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AF = FC = AE = 5，由勾股定理求出 AB ，AC ，进而求出 OA 即可．本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识，根据图形直观，求出线段的长是得出答案的前提．6.【答案】B【解析】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于 0，则可以判断 A 、D 一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间 h 不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h 随 t 的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度 h 不再变化．故选：B ．根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度ℎ(cm)与注水时间t (mi n )的函数图象．本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．7.【答案】B【解析】解：如图，∵抛物线y = x 2 − 2x − 3与 y 轴交于点 A ，与 x 轴正半轴交于点 B ，令y = 0，解得x = −1或 3，令x = 0，求得y = −3，∴ A(3,0)，B(0, −3)，∵抛物线y = x 2 − 2x − 3的对称轴为直线x = −∴ A′的横坐标为 1，设A ′(1, n)，则B′(4, n + 3)，∵点B′落在抛物线上，∴ n + 3 = 16 − 8 − 3，解得n = 2，∴ A′(1,2)，B′(4,5)，设直线A′B′的表达式为y = kx + b ，∴{ k + b = 2 ， 4k + b = 5k = 1−2故选：B．求得A、B的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出A′(1,n)，则B′(4,n+3)，把B′(4,n+3)代入抛物线解析式求得n，即可求得A′、B′的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A′B′的表达式．本题考查了抛物线与x轴的交点，坐标和图形变换−平移，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意表示出A′、B′的坐标是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵抛物线y=ax2−2ax=a(x−1)2−a，∴该抛物线的对称轴是直线x=1，当a>0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2，故选项B错误；当a<0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1<y2，故选项A错误；若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2，故选项C正确；若y1=y2，则|x1−1|=|x2−1|，故选项D错误；故选：C．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9.【答案】27【解析】解：如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，根据作图过程可知：BG是∠ABC的平分线，∴GM=GN，∵△ABG的面积为18，∴1×AB×GM=18，2∴4GM=18，∴△CBG的面积为：1×BC×GN=1×12×9=27．222故答案为：27．过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，根据作图过程可得AG是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质可得GM=GN，再根据△ABG的面积为18，求出GM的长，进而可得△CBG的面积．本题考查了作图−基本作图、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．10.【答案】9√3【解析】解：作CH⊥AB于点H，∵在ABCD中，∠B=60°，BC=8，∴CH=4√3，∵四边形ECGF是平行四边形，∴EF//CG，∴△EOD∽△GOC，∴EO=DO=ED，GO OC GC∵DF=1DE，4∴DE=4，EF5∴ED=4，GC5∴EO=4，GO5∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，当EO⊥CD时，EO取得最小值，∴CH=EO，∴EO=4√3，∴GO=5√3，∴EG的最小值是9√3，故答案为：9√3．根据题意和平行四边形的性质，可以得到BD和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．本题考查平行四边形的性质、三角形的相似、垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11.【答案】①③【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为x1=2，x2=−4，故①正确；该抛物线的对称轴为直线x=2+(−4)=−1，函数图象开口向下，若点C(−5,y1)，D(π,y2)在该抛物线上，则y1>y2，故②错误；当x=−1时，函数取得最大值y=a−b+c，故对于任意实数t，总有a t2+b t+c≤a−b+c，即对于任意实数t，总有at2+b t≤a−b，故③正确；对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则两个根为−3和1或−2和0或−1和−1，故p的值有三个，故④错误；故答案为：①③．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12.【答案】1t2−1t+144【解析】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，∵AE2+AM2=EM2，∴(2−x)2+t2=x2，解得x=t 2+1，4∴DE=t2+1，4∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，∴EF⊥DM，∠ADM+∠DEF=90°，∵EG⊥AD，∴∠DEF+∠FEG=90°，∴∠ADM=∠FEG，211⏜∴FG=t，2∵CG=DE=t2+1，4∴CF=t2−t+1，42∴S四边形CDEF=1(CF+DE)×1=4t2−4t+1．故答案为：1t2−1t+1．44连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，由勾股定理得出(2−x)2+t2=x2，证得∠ADM=∠FEG，由锐角三角函数的定义得出FG，求出CF，则由梯形的面积公式可得出答案．本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握折叠的性质及方程的思想是解题的关键．13.【答案】3(8−√3−π)【解析】解：如图，连接OM、ON，∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．∴OM⊥AB，ON⊥AC，∵∠BAC=120°，∴∠MON=60°，∴∠MOB+∠NOC=120°，∵MN的长为π，∴60πr=π，180∴r=3，∴OM=ON=r=3，连接OA，在Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，∴AN=√3，∴AM=AN=√3，∴BM+CN=AB+AC−(AM+AN)=16−2√3，⏜②当∠AEB=30°时，AE=t a n30∘=si n60∘=2√3x，1120π×32=×3×(BM+CN)−()23603=(16−2√3)−3π2=24−3√3−3π=3(8−√3−π)．故答案为：3(8−√3−π)．连接OM、ON，根据半圆分别与AB，AC相切于点M，N.可得OM⊥AB，ON⊥AC，由∠BAC=120°，可得∠MON=60°，得∠MOB+∠NOC=120°，再根据MN的长为π，可得OM=ON=r=3，连接OA，根据Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，可得AM=AN=√3，进而可求图中阴影部分的面积．本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公式．14.【答案】4√3厘米或4√3厘米或8−4√33【解析】解：①当∠ABE=30°时，AE=AB×tan30°=4√3；3AB4√3=4√3；3③∠ABE=15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，设AE=x，则EA′=x，EF=x3∵AF=AE+EF=ABtan30°=4√3，3∴x+2√3x=4√3，33∴x=8−4√3，∴AE=8−4√3．故答案为：4√3厘米或4√3厘米或8−4√3厘米．3根据翻折可得∠ABE=∠A′BE，分3种情况讨论：当∠ABE=30°时或当∠AEB=30°时或当∠ABA′=30°时求AE的长．本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．15.【答案】30【解析】解：正六边形的每个内角的度数为：(62)⋅180°=120°，6所以∠ABC=120°90°=30°，故答案为：30．由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．本题考查了多边形内角和定理．解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数．16.【答案】①④【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：(1)∵长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．∴OH=AB=3，∴EO=EH OH=43=1，∴E(0,1)，D(2,0)，32依题意，得：∴该抛物线的函数表达式y = kx 2 + 1，把点D(2,0)代入，得k = − 1，4∴该抛物线的函数表达式为：y = − 1 x 2 + 1；4(2) ∵ GM = 2，∴ OM = OG = 1，∴当x = 1时，y = 3，4∴ N(1, 3)，4∴ MN = 3，4矩形MNFG = MN ⋅ GM = 4 × 2 = 3，∴ S∴每个 B 型活动板房的成本是：425 + 3 × 50 = 500(元)．2答：每个 B 型活动板房的成本是 500 元；(3)根据题意，得w = (n − 500)[100 +20(650 − n)10]= −2(n − 600)2 + 20000，∵每月最多能生产 160 个 B 型活动板房，∴ 100 + 20(650−n) ≤ 160，10解得n ≥ 620，∵ −2 < 0，∴ n ≥ 620时，w 随 n 的增大而减小，∴当n = 620时，w 有增大值为 19200 元．答：公司将销售单价n(元)定为 620 元时，每月销售 B 型活动板房所获利润w(元)最大，最大利润是 19200 元．【解析】(1)根据图形和直角坐标系可得点 D 和点 E 的坐标，代入y = kx 2 + m ，即可求解；(2)根据 M 和 N 的横坐标相等，求出 N 点坐标，再求出矩形 FGMN 的面积，即可求解；(3)根据题意得到 w 关于 n 的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．18.【答案】解：设乙商品的进价为 x 元/件，则甲商品的进价为(1 + 50%)x 元/件，7200(1+50%)x− 3200 = 40，x第23页，共36页∴(1+50%)x=60，3200=80，(1+50%)x=120．x ，(1+50%)x中即可得出结论．解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，7200x答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件．【解析】设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为(1+50%)x元/件，根据数量=总价÷单价结合购进的甲商品比乙商品多40件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其分别代入(1+50%)x，32007200本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19.【答案】−15−112x+y=7 ①【解析】解：(1){．x+2y=8 ②由①−②可得：x−y=−1，由1(①+②)可得：x+y=5．3故答案为：−1；5．(2)设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，依题意，得：{20m+3n+2p=32 ①，39m+5n+3p=58 ②由2×①−②可得m+n+p=6，∴5m+5n+5p=5×6=30．答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．(3)依题意，得：{3a+5b+c=15 ①，4a+7b+c=28 ②由3×①−2×②可得：a+b+c=−11，即1∗1=−11．故答案为：−11．(1)利用①−②可得出x−y的值，利用1(①+②)可得出x+y的值；3(2)设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，由2×①−②可得除m+n+p的值，再乘5即可求出结论；(3)根据新运算的定义可得出关于a，b，c的三元一次方程组，由3×①−2×②可得出a+b+c的值，即1∗1的值．。
北京市清华大学附属中学2019届高三数学下学期第一次模拟考试试题文(含解析)
状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。
答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。
先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。
2. 先小后大。
先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。
3. 先局部后整体。
把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。
立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。
中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。
确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。
不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。
试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。
要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。
考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。
检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。
如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。
有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。
考试期间遇到这些事，莫慌乱！北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题注意事项：1.答题前，考生先将自已所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号和考生号填写清楚，将条形码粘贴在指定区域。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动用先橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。