专题23 因式分解-2016年中考数学考点总动员系列(解析版)
2016年全国中考数学真题分类 因式分解(习题解析)
2016年全国中考数学真题分类因式分解一、选择题1.(2016山东潍坊，8，3分)将下列多项式分解，结果中不含有因式a+1的是( ) A.2a -1 B. 2a +a C. 2a +a-2 D.2(2)a +-2(a+2)+1 答案：解：A ：原式=(a+1)(a-1)，不符合题意； B ：原式=a(a+1)，不符合题意； C ：原式=(a+2)(a-1)，符合题意； D ：原式=22(21)(1)a a +-=+，不符合题意. 故选C.4．（2016广东梅州，4，3分）分解因式32b b a - 结果正确的是 A ．))((b a b a b -+ B ．2)(b a b - C ．)(22b a b -D ．2)(b a b + 【答案】A.（2016吉林长春，5，3分）把多项式269x x -+分解因式，结果正确的是 （A ）2(3)x -．（B ）2(9)x -．（C ）(3)(3)x x +-． （D ）(9)(9)x x +-．【答案】A二、填空题9．（2016四川宜宾，9，3分）分解因式：ab 4﹣4ab 3+4ab 2= ab 2（b ﹣2）2 ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解． 【解答】解：ab 4﹣4ab 3+4ab 2 =ab 2（b 2﹣4b+4）=ab 2（b ﹣2）2．故答案为：ab 2（b ﹣2）2．2. （2016 镇江，3,2分）分解因式：x 2－9= . 答案：（x ＋3）（x －3）.3. （2016 苏州 11,3分）分解因式：21x -=_________ 答案：（x ＋1）（x －1）4．(2016湖北襄阳，11，3分）分解因式：2a 2-2= ． 【答案】)1)(1(2-+a a1．（2016甘肃定西，11，4分）因式分解：2a 2﹣8= ． 【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：2a 2﹣8=2（a 2﹣4）=2（a+2）（a ﹣2）．故答案为：2（a+2）（a ﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．2．（2016广西贺州，17，3分）将m 3(x －2)＋m (2－x )分解因式的结果是 ．【答案】m (x －2) (m ＋1) (m －1)3．（2016安徽，12，5分）因式分解：a 3﹣a= a （a+1）（a ﹣1） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】原式提取a ，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=a （a 2﹣1）=a （a+1）（a ﹣1）， 故答案为：a （a+1）（a ﹣1）4. （2016广东深圳，13，3分）分解因式：.________232=++b ab b a 【答案】()2b a b +5. 分解因式：4ax 2-ay 2=_______________________. 【考点】因式分解（提公因式法、公式法分解因式）.【分析】先提取公因式a ，然后再利用平方差公式进行二次分解．【解答】解：4ax2-ay2=a(4x2-y2)= a(2x-y)(2x+y).故答案为：a(2x-y)(2x+y).6. （2016浙江杭州，13,4分）若整式22x ky+（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则K的值可以是（写出一个即可）. 【答案】1-等7. （2016海南省，15，4分）因式分解：ax－ay =_________________．【答案】()-a x y8．（2016湖南衡阳，13，3分）因式分解：a2+ab= a（a+b）．【分析】直接把公因式a提出来即可．【解答】解：a2+ab=a（a+b）．故答案为：a（a+b）．9．（2016新疆生产建设兵团，10，5分）分解因式：x3﹣4x= x（x+2）（x﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x3﹣4x，=x（x2﹣4），=x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．10．（2016四川内江，13，5分）分解因式：ax2－ay2＝______．[答案]a(x－y)(x＋y)．[解析]先提取公因式a，再用平方差公式分解．原式＝a(x2－y2)＝a(x－y)(x＋y)．故选答案为：a(x－y)(x＋y)．11. (2016四川泸州，14，3分）分解因式：2++= .a a242【答案】()2a+2112．（2016湖南湘西，6，4分）分解因式：x2﹣4x+4= （x﹣2）2．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接用完全平方公式分解即可．【解答】解：x2﹣4x+4=（x﹣2）2．【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式．完全平方公式：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．13．（2016，10，4分）因式分解：6x2﹣3x= 3x（2x﹣1）．【考点】因式分解-提公因式法．菁优网版权所有【分析】根据提公因式法因式分解的步骤解答即可．【解答】解：6x2﹣3x=3x（2x﹣1），故答案为：3x（2x﹣1）．14. （2016江苏南京，9，2分）分解因式的结果是_______.答案：()(23)+-b c a考点：因式分解，提公因式法。
2016中考数学考点辅导：因式分解的一般步骤_考点解析
2016中考数学考点辅导：因式分解的一般步骤_考点解析
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如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法;若是四项或四项以上的多项式，
通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。
因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。
注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。
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中考数学备考专题复习因式分解含解析(2)
中考数学备考专题复习因式分解含解析(2)一、单选题1、（20__•梧州）分解因式：2_2﹣2=（）A、2（_2﹣1）B、2（_2+1）C、2（_﹣1）2D、2（_+1）（_﹣1）2、把多项式-8a2b3c+16a2b2c2-24a3bc3分解因式，应提的公因式是（）A、-8a2bcB、2a2b2c3C、-4abcD、24a3b3c33、下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ )A、_2+1B、_2+2_－1C、_2＋_＋1D、_2＋4_＋44、已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4 ，则它的形状为（）A、等边三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等腰三角形或直角三角形5、将多项式a（_-y）+2by-2b_分解因式，正确的结果是（）A、（_-y）（-a+2b）B、（_-y）（a+2b）C、（_-y）（a-2b）D、-（_-y）（a+2b）6、下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（）A、_2+5_-1=_（_+5）-1B、_2-4+3_=（_+2）（_-2）+3_C、_2-9=（_+3）（_-3）D、（_+2）（_-2）=_2-47、下列多项式中能用提公因式法分解的是（）A、_2+y2B、_2-y2C、_2+2_+1D、_2+2_8、多项式_2y2-y2-_2+1因式分解的结果是（）A、（_2+1）（y2+1）B、（_-1）（_+1）（y2+1）C、（_2+1）（y+1）（y-1）D、（_+1）（_-1）（y+1）（y-1）9、（20__•贵港）下列因式分解错误的是（）A、2a﹣2b=2（a﹣b）B、_2﹣9=（_+3）（_﹣3）C、a2+4a﹣4=（a+2）2D、﹣_2﹣_+2=﹣（_﹣1）（_+2）10、多项式﹣2_2﹣12_y2+8_y3的公因式是（）A、2_yB、24_2y3C、﹣2_D、以上都不对11、（20__•自贡）把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（）A、a（a﹣4）B、（a+2）（a﹣2）C、a（a+2）（a﹣2）D、（a﹣2）2﹣412、下列说法正确的是（）A、有意义，则_≥4B、2_2﹣7在实数范围内不能因式分解C、方程_2+1=0无解D、方程_2=2_的解为13、分解因式_2﹣m2+4mn﹣4n2等于（）A、（_+m+2n）（_﹣m+2n）B、（_+m﹣2n）（_﹣m+2n）C、（_﹣m﹣2n）（_﹣m+2n）D、（_+m+2n）（_+m﹣2n）14、（20__•贺州）n是整数，式子[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（）A、是0B、总是奇数C、总是偶数D、可能是奇数也可能是偶数15、（20__•杭州）设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2 ，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0②a@（b+c）=a@b+a@c③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．其中正确的是（）A、②③④B、①③④C、①②④D、①②③二、填空题16、（20__•大连）因式分解：_2﹣3_=________．17、（20__•福州）若_+y=10，_y=1，则_3y+_y3的值是________．18、把式子_2﹣y2+5_+3y+4分解因式的结果是________ ．19、如果_﹣3是多项式2_2﹣5_+m的一个因式，则m=________ ．20、已知实数_，y满足_y=5，_+y=7，则代数式_2y+_y2的值是________ ．三、计算题21、（20__•大庆）已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．四、解答题22、已知关于_的多项式3_2+_+m因式分解以后有一个因式为（3_﹣2），试求m的值并将多项式因式分解．23、若z=3_（3y﹣_）﹣（4_﹣3y）（_+3y）（1）若_，y均为整数，求证：当_是3的倍数时，z能被9整除；（2）若y=_+1，求z的最小值．24、有一个圆形的花园，其半径为4米，现要扩大花园，将其半径增加2米，这样花园的面积将增加多少平方米？25、在实数范围内分解因式：3_2﹣2_y﹣4y2 ．五、综合题26、常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中还要学习的十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，_2﹣4y2﹣2_+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：_2﹣4y2﹣2_+4y=（_+2y）（_﹣2y）﹣2（_﹣2y）=（_﹣2y）（_+2y﹣2）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：(1)分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；(2)△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判断△ABC的形状．答案解析部分一、单选题1、【答案】 D【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】【解答】解：原式=2（_2﹣1）=2（_+1）（_﹣1），故选D【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2、【答案】A【考点】公因式【解析】【解答】-8a2b3c+16a2b2c2-24a3bc3 ，=-8a2bc（ab2-2bc+3ac2)，公因式是-8a2bc．故选A．【分析】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2)字母取各项都含有的相同字母；（3)相同字母的指数取次数最低的．3、【答案】D【考点】因式分解-运用公式法【解析】【解答】根据完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b)2可得，选项A、B、C都不能用完全平方公式进行分解因式，D、_2+4_+4=（_+2)2 ．故选D【分析】完全平方公式是：a2±2ab+b2=（a±b）2由此可见选项A、B、C都不能用完全平方公式进行分解因式，只有D选项可以．4、【答案】D【考点】因式分解-运用公式法，等腰三角形的判定，勾股定理【解析】【解答】∵a2c2-b2c2=a4-b4 ，∴（a2c2-b2c2)-（a4-b4)=0，∴c2（a+b)（a-b)-（a+b)（a-b)（a2+b2)=0，∴（a+b)（a-b)（c2-a2-b2)=0，∵a+b≠0，∴a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2即它是等腰三角形或直角三角形．故选D．【分析】把式子a2c2-b2c2=a4-b4变形化简后判定则可．如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．5、【答案】 C【考点】因式分解-提公因式法【解析】【解答】a（_-y)+2by-2b_= a（_-y)-2b（_-y)=（_-y)（a-2b)，故选C.【分析】把（_-y)看作一个整体，提取公因式（_-y)即可.解题的关键是准确掌握公因式的定义以及公因式的确定方法，同时注意一个多项式有公因式首先提取公因式，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.6、【答案】C【考点】因式分解的意义【解析】【解答】A.右边不是积的形式，故A错误；B.右边不是积的形式，故B错误；C._2-9=（_+3）（_-3），故C正确．D.是整式的乘法，不是因式分解选C【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解7、【答案】D【考点】因式分解-提公因式法【解析】【解答】A._2+y2 ，无法分解因式，故此选项错误；B._2-y2=（_+y）（_-y），故此选项错误；C._2+2_+1 =（_+1）2 ，故此选项错误；D._2+2_ ，正确选：D．【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分别分解因式判断8、【答案】D【考点】因式分解-分组分解法【解析】【解答】_2y2-y2-_2+1=y2（_2-1）-（_2-1）=（y2-1）（_-1）（_+1）=（y-1）（y+1）（_-1）（_+1）选：D．【分析】直接将前两项提取公因式分解因式，进而利用平方差公式分解因式9、【答案】C【考点】因式分解-提公因式法，因式分解-运用公式法，因式分解-十字相乘法【解析】【解答】解：A、2a﹣2b=2（a﹣b），正确；B、_2﹣9=（_+3）（_﹣3），正确；C、a2+4a﹣4不能因式分解，错误；D、﹣_2﹣_+2=﹣（_﹣1）（_+2），正确；故选C．【分析】根据公式法分解因式的特点判断，然后利用排除法求解．10、【答案】C【考点】公因式【解析】【解答】解：多项式﹣2_2﹣12_y2+8_y3各项的公因式是：﹣2_．故选：C．【分析】根据公因式的定义，找出数字的最大公约数，找出相同字母的最低次数，直接找出每一项中公共部分即可．11、【答案】 A【考点】因式分解-提公因式法【解析】【解答】解：a2﹣4a=a（a﹣4），故选：A．【分析】直接提取公因式a即可．此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．12、【答案】C【考点】实数范围内分解因式，二次根式有意义的条件【解析】【解答】解：A、有意义，则4﹣_≥0，即_≤4；故本选项错误；B、2_2﹣7=（_+）（_﹣），故本选项错误；C、∵_2+1=0，∴_2=﹣1，∴方程_2+1=0无实数根，故本选项正确；D、∵_2=2_，∴_2﹣2_=0，∴_（_﹣2）=0，解得：_1=0，_2=2，故本选项错误．故选C．【分析】由二次根式有意义的条件，可得4﹣_≥0；由平方差公式可将2_2﹣7在实数范围内分解；由一元二次方程的解法，可求得答案．13、【答案】B【考点】提公因式法与公式法的综合运用，因式分解-分组分解法【解析】【解答】解：_2﹣m2+4mn﹣4n2=_2﹣（m2﹣4mn+4n2）=_2﹣（m﹣2n）2=（_+m﹣2n）（_﹣m+2n）．故选：B．【分析】首先将后三项利用完全平方公式分解因式，进而结合平方差公式分解因式．14、【答案】C【考点】因式分解的应用【解析】【解答】解：当n是偶数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）= [1﹣1]（n2﹣1）=0，当n是奇数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）= _（1+1）（n+1）（n﹣1）= ，设n=2k﹣1（k为整数），则 = =k（k﹣1），∵0或k（k﹣1）（k为整数）都是偶数，故选C．【分析】根据题意，可以利用分类讨论的数学思想探索式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果等于什么，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．15、【答案】C【考点】整式的混合运算，因式分解的应用，二次函数的最值【解析】【解答】解：①根据题意得：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=0，整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）=0，即4ab=0，解得：a=0或b=0，正确；②∵a@（b+c）=（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2=4ab+4aca@b+a@c=（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2=4ab+4ac，∴a@（b+c）=a@b+a@c正确；③a@b=a2+5b2 ， a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2 ，令a2+5b2=（a+b）2﹣（a﹣b）2 ，解得，a=0，b=0，故错误；④∵a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，（a﹣b）2≥0，则a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，∴a2+b2+2ab≥4ab，∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab=4ab，解得，a=b，∴a@b最大时，a=b，故④正确，故选C．【分析】根据新定义可以计算出啊各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查因式分解的应用、整式的混合运算、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．二、填空题16、【答案】 _（_﹣3）【考点】因式分解-提公因式法【解析】【解答】解：_2﹣3_=_（_﹣3）．故答案为：_（_﹣3）【分析】确定公因式是_，然后提取公因式即可．本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．17、【答案】98【考点】代数式求值，因式分解-提公因式法【解析】【解答】解：_3y+_y3=_y（_2+y2）=_y[（_+y）2﹣2_y]=1_（102﹣2_1）=98．故答案为：98．【分析】可将该多项式分解为_y（_2+y2），又因为_2+y2=（_+y）2﹣2_y，然后将_+y与_y的值代入即可．本题考查了因式分解和代数式变形．解决本类问题的一般方法：若已知_+y与_y 的值，则_2+y2=（_+y）2﹣2_y，再将_+y与_y的值代入即可．18、【答案】（_﹣y+4）（_+y+1）【考点】因式分解-分组分解法【解析】【解答】把原式变形成，（_2+4_+4）﹣（y2﹣4y+4）+_﹣y+4，前两部分可以写成完全平方的形式，利用平方差公式分解，然后利用提公因式法即可分解．_2﹣y2+5_+3y+4=（_2+4_+4）﹣（y2﹣4y+4）+_﹣y+4=（_+2）2﹣（y﹣2）2+_﹣y+4=（_+y）（_﹣y+4）+（_﹣y+4）=（_﹣y+4）（_+y+1）．故答案是：（_﹣y+4）（_+y+1）．【分析】本题考查了分组分解法分解因式，正确进行分组是关键．19、【答案】-3【考点】因式分解的意义，解一元一次方程【解析】【解答】解：把_=3代入方程2_2﹣5_+m=0中得18﹣15+m=0，解得：m=﹣3．故答案为：﹣3．【分析】_﹣3是多项式2_2﹣5_+m的一个因式，即方程2_2﹣5_+m=0的一个解是3，代入方程求出m的值．20、【答案】35【考点】公因式，因式分解-提公因式法，因式分解的应用【解析】【解答】解：∵_y=5，_+y=7，∴原式=_y（_+y）=35．故答案为：35．【分析】原式提取公因式，把_+y与_y的值代入计算即可求出值．三、计算题21、【答案】解：a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2 ，将a+b=3，ab=2代入得，ab（a+b）2=2_32=18．故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18【考点】代数式求值，提公因式法与公式法的综合运用【解析】【分析】先提取公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据进行计算即可得解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．四、解答题22、【答案】解：∵_的多项式3_2+_+m分解因式后有一个因式是3_﹣2，当_=时多项式的值为0，即3_+m=0，∴2+m=0，∴m=﹣2；∴3_2+_+m=3_2+_﹣2=（_+1）（3_﹣2）；故答案为：m=﹣2，（_+1）（3_﹣2）．【考点】因式分解的意义，因式分解-十字相乘法【解析】【分析】由于_的多项式3_2+_+m分解因式后有一个因式是3_﹣2，所以当_=时多项式的值为0，由此得到关于m的方程，解方程即可求出m的值，再把m的值代入3_2+_+m进行因式分解，即可求出答案．23、【答案】解：（1）证明：z=3_（3y﹣_）﹣（4_﹣3y）（_+3y）=9_y﹣3_2﹣（4_2+9_y﹣9y2）=9_y﹣3_2﹣4_2﹣9_y+9y2=﹣7_2+9y2∵_是3的倍数时，∴z能被9整除．（2）当y=_+1时，则z=﹣7_2+9（_+1）2=2_2+18_+9=2（_+）2﹣∵2（_+）2≥0∴z的最小值是﹣．【考点】提公因式法与公式法的综合运用，二次函数的最值【解析】【分析】（1）首先利用整式的乘法计算方法计算，进一步合并求证得出答案即可；（2）把y=_+1代入（1）中，整理利用二次函数的性质解决问题．24、【答案】解：由题意得：R=4+2=6（米），则S增=π（R2﹣r2）=3.14_（62﹣42）=62.8（平方米）．【考点】因式分解-运用公式法，因式分解的应用【解析】【分析】根据题意表示出增加后的半径，求出圆环的面积即为增加的面积．25、【答案】解：当3_2﹣2_y﹣4y2=0解得：_1=y，_2=y，则3_2﹣2_y﹣4y2=3（_﹣y）（_﹣y）．【考点】实数范围内分解因式【解析】【分析】首先解关于_的方程，进而分解因式得出即可．五、综合题26、【答案】（1）解：a2﹣4a﹣b2+4=a2﹣4a+4﹣b2=（a﹣2）2﹣b2=（a+b﹣2）（a﹣b﹣2）（2）解：a2﹣ab﹣ac+bc=0，∴a2﹣ab﹣（ac﹣bc）=0，∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）=0，∴（a﹣b）（a﹣c）=0，∴a﹣b=0，或者a﹣c=0，即：a=b，或者a=c∴△ABC是等腰三角形【考点】因式分解的应用，因式分解-分组分解法【解析】【分析】（1）首先将a2﹣4a+4三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．。
2016年中考数学知识点总结(最新完整版)
中考数学复习资料第一章实数考点一、实数的概念及分类 (1)考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 (1)考点三、平方根、算数平方根和立方根 (2)考点四、科学记数法和近似数 (2)考点五、实数大小的比较 (2)考点六、实数的运算 (3)第二章代数式考点一、整式的有关概念 (4)考点二、多项式 (4)考点三、因式分解 (5)考点四、分式 (6)考点五、二次根式 (6)第三章方程（组）考点一、一元一次方程的概念 (8)考点二、一元二次方程 (8)考点三、一元二次方程的解法 (8)考点四、一元二次方程根的判别式 (9)考点五、一元二次方程根与系数的关系 (9)考点六、分式方程 (9)考点七、二元一次方程组 (10)第四章不等式（组）考点一、不等式的概念 (11)考点二、不等式基本性质 (11)考点三、一元一次不等式 (11)考点四、一元一次不等式组 (11)第五章统计初步与概率初步考点一、平均数 (13)考点二、统计学中的几个基本概念 (13)考点三、众数、中位数 (14)考点四、方差 (14)考点五、频率分布 (15)考点六、确定事件和随机事件 (16)考点七、随机事件发生的可能性 (16)考点八、概率的意义与表示方法 (16)考点九、确定事件和随机事件的概率之间的关系 (16)考点十、古典概型 (17)考点十一、列表法求概率 (17)考点十二、树状图法求概率 (17)考点十三、利用频率估计概率 (17)第六章一次函数与反比例函数考点一、平面直角坐标系 (18)考点二、不同位置的点的坐标的特征 (18)考点三、函数及其相关概念 (19)考点四、正比例函数和一次函数 (20)考点五、反比例函数 (21)第七章二次函数考点一、二次函数的概念和图像 (24)考点二、二次函数的解析式 (24)考点三、二次函数的最值 (24)考点四、二次函数的性质 (25)第八章图形的初步认识考点一、直线、射线和线段 (27)考点二、角 (28)考点三、相交线 (29)考点四、平行线 (30)考点五、命题、定理、证明 (31)第九章三角形考点一、三角形 (33)考点二、全等三角形 (34)考点三、等腰三角形 (35)第十章四边形考点一、四边形的相关概念 (38)考点二、平行四边形 (38)考点三、矩形 (39)考点四、菱形 (40)考点五、正方形 (40)考点六、梯形 (41)第十一章解直角三角形考点一、直角三角形的性质 (43)考点二、直角三角形的判定 (43)考点三、锐角三角函数的概念 (44)考点四、解直角三角形 (44)第十二章圆考点一、圆的相关概念 (45)考点二、弦、弧等与圆有关的定义 (45)考点三、垂径定理及其推论 (45)考点四、圆的对称性 (46)考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 (46)考点六、圆周角定理及其推论 (46)考点七、点和圆的位置关系 (47)考点八、过三点的圆 (47)考点九、反证法 (47)考点十、直线与圆的位置关系 (47)考点十一、切线的判定和性质 (48)考点十二、切线长定理 (48)考点十三、三角形的内切圆 (48)考点十四、圆和圆的位置关系 (48)考点十五、正多边形和圆 (49)考点十六、与正多边形有关的概念 (49)考点十七、正多边形的对称性 (49)考点十八、弧长和扇形面积 (49)第十三章图形的变换考点一、平移 (51)考点二、轴对称 (51)考点三、旋转 (51)考点四、中心对称 (52)考点五、坐标系中对称点的特征 (52)第十四章图形的相似考点一、比例线段 (53)考点二、平行线分线段成比例定理 (54)考点三、相似三角形 (54)第十五章尺规作图考点一、尺规作图的要求 (57)考点2、五种基本尺规作图 (57)第一章 实数考点一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= - b ，反之亦成立。
整式乘法与因式分解 全章热门考点专练(2个概念3个运算2个公式3个应用4个技巧3种思想)解析版
第9章整式乘法与因式分解全章热门考点专练（2个概念3个运算2个公式3个应用4个技巧3种思想）【知识导图】【知识清单】2个概念【例题1】（22-23八年级上·山东威海·期末）多项式2324223126x y x y x y --的公因式是（）A ．23x y B ．233x y C ．223x y D ．3xy【答案】C【分析】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．根据多项式的公因式的确定方法，即可求解．【详解】解：多项式2324223126x y x y x y --的公因式是223x y ，故选C【变式1】（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）把多项式33128ab a b +分解因式，应提的公因式是（）A ．abB ．4abC ．2abD ．24a b【答案】B【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为4ab ，据此可得答案．【详解】解：()3322128432ab a b ab b a +=+，则多项式33128ab a b +分解因式，应提的公因式是4ab ，故选：B【变式2】（23-24七年级下·江苏徐州·期中）把多项式32612x x y -分解因式，应提取的公因式是．【答案】26x 【分析】本题考查了公因式，提公因式26x ，即可求解．【详解】解：把多项式32612x x y -分解因式，应提取的公因式是26x ，故答案为：26x 【变式3】（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）()218b a b -与()312a b -的公因式是．【答案】()26a b -【分析】本题考查了公因式；根据公因式的定义，找出系数的最大公约数6，相同因式的最低指数次幂，即可确定公因式．【详解】解：∵18和12的最大公约数是6，∴()218b a b -与()312a b -的公因式是()26a b -，故答案为：()26a b -【例题2】（2023·江苏无锡·模拟预测）下列因式分解正确的是（）A ．2243(2)1x x x -+=--B ．2232(2)()x xy y x y x y -+=--C ．42224(2)(2)x x x x x x -=+-D ．3244(2)x x x x ++=+【答案】B【分析】此题考查了十字相乘法因式分解，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．根据十字相乘因式分解，提公因式法与公式法因式分解逐项因式分解判断即可．【详解】解：A 、243(1)(3)x x x x -+=--，故本选项不符合题意；B 、2232(2)()x xy y x y x y -+=--，故本选项符合题意；C 、24222(4)(2(2)4)x x x x x x x =--=+-，故本选项不符合题意；D 、无法因式分解，故本选项不符合题意；故选：B【变式1】（2024·甘肃兰州·一模）因式分解：24a -=（）A ．()()44a a +-B ．()()42a a +-C ．()()24a a +-D ．()()22a a +-【答案】D【分析】本题考查了因式分解的定义以及运用平方差公式进行因式分解，把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式，据此即可作答．【详解】解：24a -=()()22a a +-故选：D【变式2】（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（）A ．()22326x x x x-=-B ．221234m n m n=⋅C ．22111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．()()22x y x y x y -=+-D 、()()22x y x y x y -=+-，是因式分解，故本选项符合题意；故选：D【变式3】（2024·广东中山·一模）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）A ．()2a ab a ab+=+B ．()233a ab a a b +-=+-C ．()222824ab a a b -=-D ．()()22824a a a a --=+-【答案】D【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，根据因式分解的定义逐项判断即可．【详解】解：A ．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B ．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；C ．()()()222824222ab a a b a b b -=-=+-，分解不彻底，故本选项不符合题意；D ．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．故选：D3个运算1.单项式乘单项式【例题3】（2024年上海市普陀区中考二模数学试题）下列运算正确的是（）A ．234a a a +=B ．32a a -=C ．233a a a ⋅=D ．32a a a÷=【答案】C【分析】本题主要考查合并同类项，单项式乘以单项式以及单项式除以单项式，运用相关运算法则求出各选项的结果，再进行判断即可【详解】解：A.34a a a +=，原选项计算错误，不符合题意；B.32a a a -=，原选项计算错误，不符合题意；C.233a a a ⋅=，计算正确，符合题意；D.33a a ÷=，原选项计算错误，不符合题意；故选：C【变式1】（23-24九年级下·甘肃庆阳·阶段练习）计算：()()326ab a --=．【答案】336a b 【分析】本题主要考查单项式乘单项式，直接根据运算法则进行计算即可．【详解】解：()()326ab a--()()()23=61a a b -⨯-⋅⋅⋅336a b =，故答案为：336a b 【变式2】（23-24七年级下·浙江·期中）计算：223a b a ⋅=．【答案】36a b【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案．【详解】解：23236a b a a b ⋅=．故答案为：36a b【变式3】（2024·甘肃陇南·一模）计算：232x x ⋅=．【答案】52x 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：23522x x x ⋅=，故答案为：52x2.单项式乘多项式【例题4】（2024·陕西汉中·一模）计算()()3221m m -⋅+的结果是（）A ．762m m --B ．662m m -+C ．752m m --D ．652m m --【答案】A【分析】本题考查了幂的乘方以及单项式乘多项式，先算幂的乘方，再算单项式乘多项式，即可作答．【详解】解：()()3221m m -⋅+()626m m =-+6621m m m =-⋅-⋅762m m =--，故选：A【变式1】（22-23七年级下·广西崇左·期中）计算：()21x x -=（）A ．31x -B ．3x x -C ．3x x+D ．2x x-【答案】B【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据单项式乘多项式法则（单项式与多项式的每一项都相乘）计算即可．【详解】解：()231x x x x-=-故选：B【变式2】（23-24七年级下·江苏泰州·期中）计算()2323⋅-=x x ．计算：()31x x -=．【答案】518x 233x x -/233x x -+【分析】此题考查了积的乘方和单项式乘以单项式运算，单项式乘以多项式运算，应用积的乘方和单项式乘以单项式运算法则进行计算；利用单项式乘以多项式运算法则求解即可．【详解】()2323x x ⋅-3229x x =⋅518x =；()31x x -233x x =-．故答案为：518x ，233x x-【变式3】（2024七年级下·江苏·专题练习）计算()()223235a ab ab =-⋅-．【答案】3233610a b a b -+【分析】根据单项式乘多项式的运算法则（把多项式的每一项都与单项式相乘），即可求解，本题考查了单项式与多项式的乘法，掌握计算法则是解题的关键．【详解】解：()()2233233235610a ab ab a b a b -⋅-=-+．故答案为：3233610a b a b -+．3.多项式乘多项式【例题5】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）定义()*1a b b a =+，例如()()()2*11121x x x x x x +=++=++．则()()2*2x x -+=（）A ．24x -B ．244x x +-C ．24x x +-D ．22x x +-【答案】D【分析】本题考查新定义运算，多项式乘多项式，根据定义()*1a b b a =+将()()2*2x x -+变形为()()221x x +-+，再按照多项式乘多项式运算法则计算即可．【详解】解：()()()()2*2221x x x x -+=+-+()()21x x =+-222x x x =-+-22x x =+-，故选D【变式1】（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）下列计算错误的是（）A ．()()21454x x x x ++=++B ．()()2236m m m m -+=+-C ．()()245920y y y y +-=+-D ．()()236918x x x x -=--+【答案】C【分析】本题主要考查多项式乘法的运算，掌握多项式乘法的运算法则是解题的关键．根据运算法则，逐一对选项进行分析即可．【详解】解：A ．2(1)(4)54x x x x ++=++，正确，故该选项不符合题意；B ．()()2236m m m m -+=+-，正确，故该选项不符合题意；C ．2(4)(5)20y y y y +-=--，错误，故该选项符合题意；D ．()()236918x x x x --=-+，正确，故该选项不符合题意．故选：C【变式2】．（22-23七年级下·四川成都·期中）若()()221222x x x mx -+=+-，则m 的值是．【答案】3【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，根据多项式与多项式的乘法法则把等号左边化简，然后与右边比较即可求解．【详解】解：∵()()22221224223222x x x x x x x x mx -++--=+-=+-＝，∴3m =．故答案为：3【变式3】（2024七年级下·江苏·专题练习）计算：()()34a b a b +-=．【答案】2212a ab b +-【分析】本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．根据多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加解答．【详解】解：2222(3)(342)1412a b a b a ab ab b a ab b +-=++=---故答案为：2212a ab b+-2个公式1.平方差公式【例题6】（22-23七年级下·四川成都·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式进行计算的是（）A ．()()22a b b a +-B ．()()m n m n -+-C ．()()22x y x y -+D ．()()11n n ++【答案】A【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是根据平方差公式()()22a b a b a b +-=-，逐项进行判断即可．【详解】解：A ．()()22224a b b a b a +-=-，则A 符合题意；B ．()()m n m n -+-不能用平方差公式计算，则B 不符合题意；C ．()()22x y x y -+不能用平方差公式计算，则C 不符合题意；D ．()()11n n ++不能用平方差公式计算，则D 不符合题意；故选：A【变式1】（20-21七年级下·浙江杭州·期中）一个长方形的宽为2x y -，长为2x y +，则这个长方形的面积是（）A ．224x y -B ．224x y +C ．222x y -D ．222x y +【答案】A【分析】本题主要考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据长方形的面积公式进行计算即可．【详解】解：由长方形的面积公式可得，22(2)(2)4x y x y x y +-=-．故选：A【变式2】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如果一个数()()222121a n n =+--，那么我们称这个数a 为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（）A ．56B ．82C ．94D ．126【答案】A【分析】本题考查了平方差公式的应用，首先化简()()2221218a n n n =+--=，再看四个选项中，能够整除8的即为答案．理解“奇差数”的定义，正确化简是解题关键．【详解】解： ()()()()222121212121218a n n n n n n n =+--=++-+-+=，∴“奇差数”是8的倍数，A ，7856=÷，能够被8整除，因此56是“奇差数”；B ，828102÷= ，不能够被8整除，因此82不是“奇差数”；C ，948116÷= ，不能够被8整除，因此94不是“奇差数”；D ，1268156÷= ，不能够被8整除，因此126不是“奇差数”；故选：A【变式3】（23-24九年级下·山东聊城·阶段练习）下列计算正确的是（）A ．235a b ab +=B ．()()22a b a b a b+-=-C ．2236a b ab ⋅=D ．()235a a =【答案】B【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，平方差公式，单项式乘单项式，幂的乘方的法则，逐一进行计算，判断即可．【详解】解：A 、2,3a b ，不是同类项，不能合并，不符合题意；B 、()()22a b a b a b +-=-，符合题意；C 、22236a b a b ⋅=，不符合题意；D 、()236a a =，不符合题意；故选：B2.完全平方公式【例题7】（23-24七年级下·江苏徐州·期中）下列计算正确的是（）A ．236a a a ⋅=B ．326()x x -=C ．632a a a ÷=D ．222()x y x y +=+【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，完全平方公式；根据以上运算法则进行计算即可求解．【详解】解：A.235a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意；B.326()x x -=，故该选项正确，符合题意；C.633a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意；D.222()2x y x xy y +=++，故该选项不正确，不符合题意；故选：B【变式1】（23-24八年级下·山东威海·期中）不论x ，y 取何实数，代数式224614x x y y -+-+总是（）A ．非负数B ．正数C ．负数D ．非正数【答案】B【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式把原式变形为()()22231x y -+-+，据此可得答案．【详解】解：224614x x y y -+-+()()2244691x x y y =-++-++()()22231x y =-+-+，∵()()222030x y -≥-≥，，∴()()222311x y -+-+≥，∴224614x x y y -+-+总是正数，故选：B【变式2】（23-24九年级下·河南郑州·期中）下列计算正确的是（）A ．321a a -=B ．()2236m m -=C ．2=D ．()222244a b a ab b -=-+【答案】D【分析】本题考查了完全平方公式，合并同类项，积的乘方等运算法则，熟练掌握这些法则是解此题的关键．根据合并同类项的法则、积的乘方、完全平方公式进行计算即可．故选D【变式3】（2024·广西桂林·一模）下列运算正确的是（）A ．()22420x x -=B ．()236x x x -⋅=C ．()222x y x y +=+D 92=故选：A 3个应用1.应用因式分解解决整除问题【例题8】（2024·浙江嘉兴·一模）若k 为任意整数，则()()222122k k +--的值总能（）A ．被2整除B ．被3整除C ．被5整除D ．被7整除【答案】B【分析】本题主要考查了因式分解的意义，利用平方差公式把()()222122k k +--因式分解为()341k -，据此可得答案．【详解】解：()()222122k k +--()()()()21222122k k k k =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()341k =-∵k 为任意整数，∴()341k -为整数，∴()341k -一定能被3整除，∴()()222122k k +--的值总能被3整除，故选：B【变式1】（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）对于任何整数()0a a ≠，多项式()2354a +-都能（）A ．被9整除B ．被a 整除C ．被1a +整除D ．被1a -整除【答案】C【分析】此题考查了因式分解，利用平方差公式分解，即可做出判断，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．【详解】解：原式()()()()3523523371a a a a =+++-=++，则对于任何整数a ，多项式()2354a +-都能被1a +整除．故选：C【变式2】（2024·河南郑州·一模）对任意整数n ，2(21)25n +-都能（）A ．被3整除B ．被4整除C ．被5整除D ．被6整除【答案】B【分析】根据平方差公式，分解因式后判断，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．【详解】∵()()()()()()2222125215215215432n n n n n n +-=+-=+++-=+-，∴故一定能被4整除，故选B【变式3】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知()()844414141-=+-= ，则按此规律推算841-的结果一定能（）A ．被12整除B ．被13整除C ．被14整除D ．被15整除【答案】D【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式进行因式分解，即可求解．【详解】解：()()()()()()()84442242414141414141414115-=+-=++-=++⨯，故选：D2.应用因式分解解决几何问题【例题9】（23-24七年级下·全国·假期作业）已知,,a b c 为三角形ABC 的三边长，且满足222244b c a c a b -=-，则三角形ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形【答案】A【详解】因为222244b c a c a b -=-，即()()()2222222c b a a b a b -=+-，所以()()()22222220a b a b c b a +---=，()()222220a b a b c -++=，()()()2220a b a b a b c +-++=．因为,,a b c 是三角形的三边长，所以2220,0a b a b c +>++>，所以0a b -=，即a b =，所以三角形ABC 为等腰三角形【变式1】（2024八年级·全国·竞赛）已知ABC 的三边为a 、b 、c ，且满足1111a b c a b c-+=-+，则ABC 的形状为．()()()0a b b c a c ∴--+=，∴a b =或b c =．故答案为：等腰三角形【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）若a ，b ，c 是三角形的三边长，且满足关系式2222a bc c ab -=-，试判断这个三角形的形状．（2）若a ，b ，c 是ABC 的三边长，且满足2220a b c ab bc ac ++---=，则ABC 是什么形状？【答案】（1）三角形是等腰三角形；（2）ABC 是等边三角形【分析】本题考查因式分解的应用；（1）把2222a bc c ab -=-通过因式分解求值即可；（2）通过把2222222220a b c ab bc ac ++---=配方后根据非负数的性质判断即可．【详解】（1）∵2222a bc c ab -=-，∴()22220a c ab bc -+-=，∴()()()20a c a c b a c +-+-=，∴()()20a c a c b -++=．∵20a c b ++≠，∴0a c -=，即a c =，∴这个三角形是等腰三角形．（2）∵2220a b c ab bc ac ++---=，∴2222222220a b c ab bc ac ++---=．∴()()()2222222220a b ab b c bc c a ac +-++-++-=，即222()()()0a b b c a c -+-+-=．∴0a b -=，0b c -=，0a c -=，∴a b =，b c =，a c =，∴a b c ==，∴ABC 是等边三角形【变式3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）已知ABC 的三边长a ，b ，c 满足22661830a b a b c +--++-=，试判断ABC 的形状．（2）已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，且满足2212852a b a b +=+-，求c 的取值范围．∴3.应用因式分解进行简便计算【例题10】（20-21八年级下·陕西汉中·期末）利用因式分解简便计算6999329999⨯+⨯-正确的是（）A ．()996932991019999⨯+=⨯=B ．()9969321991009900⨯+-=⨯=C ．()99693219910210098⨯++=⨯=D ．()99693299992198⨯+-=⨯=【答案】B【分析】利用提公因式分法将99提公因式进行计算即可判断．【详解】解：69×99+32×99-99=99（69+32-1）=99×100=9900．故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解【变式1】（22-23八年级下·贵州贵阳·期中）利用因式分解可以简便计算：5799449999⨯+⨯-分解正确的是()A ．()995744⨯+B ．()9957441⨯+-C ．()9957441⨯++D ．()99574499⨯+-【答案】B【分析】利用提取公因式法分解因式即可得．【详解】解：原式57994499199=⨯+⨯-⨯()9957441=⨯+-，故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法是解题关键【变式2】（22-23九年级上·广东惠州·开学考试）利用因式分解简便运算：2252.847.2-＝．【答案】560【分析】利用平方差法进行因式分解，再进行计算；【详解】原式＝()()52.847.252.847.2+⨯-＝100 5.6⨯＝560．故答案为：560．【点睛】本题考查利用公式法因式分解进行简便运算．熟练掌握公式法因式分解是解题的关键【变式3】（22-23七年级下·湖南怀化·期中）利用因式分解进行简便运算：(1)443424.7 1.365555-⨯+⨯-⨯；(2)22899202899101+⨯+【答案】(1)24-(2)610【分析】（1）运用提公因式法进行因式分解即可求解；（2）运用公式法进行因式分解即可求解．【点睛】本题主要考查因式分解，懂得运用提公因式法和公式法进行因式分解来进行简便运算是解题的关键4个技巧1.巧用乘法公式计算【例题11】（22-23八年级下·河南平顶山·阶段练习）代数式22494610x y x y ++-+中x ，y 取何值时代数式值最小？最小值是多少？【点睛】此题考查了配方法求最值，原式可化为两个完全平方式和一个常数和的形式．利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值，熟练掌握配方法是解题的关键【变式】（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）已知2610A x x =-+．(1)当2x =-、0、3时，分别求出A 的值；(2)证明：无论x 取什么值，A 的值都不小于1．【答案】(1)当2x =-时，26A =；当0x =时，10A =；当3x =时，1A =(2)见解析【分析】（1）根据题意可得()2261031A x x x =-+=-+，将2x =-、0、3，分别代入代数式，即可求解；（2）根据题意可得()2261031A x x x =-+=-+，根据平方的非负性，可得1A ≥,即可得证．【详解】（1）解：∵()2261031A x x x =-+=-+∴当2x =-时，()223125126A =--+=+=；当0x =时，()203110A =-+=；当3x =时，()23311A =-+=；（2）证明：∵()2261031A x x x =-+=-+，()230x -≥∴1A ≥,【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键2.先分组在分解【例题12】（21-22八年级下·陕西咸阳·阶段练习）阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如22424x y x y -+-，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：22424x y x y-+-()()22424x y x y =-+-…分组()()()2222x y x y x y =-++-…组内分解因式()()222x y x y =-++…整体思想提公因式这种分解因式的方法叫分组分解法．根据以上材料，解答下列问题：(1)按上述方法因式分解：①22428x y y x --+；②323927m m m --+；(2)已知a ，b ，c 为ABC 的三边，且2222b ab c ac +=+，试判断ABC 的形状并说明理由．【答案】(1)①()()()222y x x --+；②()2(3)3m m -+；(2)ABC 是等腰三角形，理由见解析；【分析】（1）①本题考查因式分解，根据例题分组提取公因式，再结合公式法因式分解即可得到答案；②本题考查因式分解，根据例题分组提取公因式，再结合公式法因式分解即可得到答案；（2）本题考查因式分解的应用，将2222b ab c ac +=+因式分解即可得到积等于0，即可得到答案；【详解】（1）解：①原式()()22424y x x =---()()()()22222y x x x x =-+--+()()()222y x x =--+；②原式()()2393m m m =---()()239m m =--()2(3)3m m =-+；（2）解：ABC 是等腰三角形，理由如下，2222b ab c ac +=+ ，22220b c ab ac ∴-+-=，()()()20b c b c a b c -++-=，()()20a b c b c ++-=，∵a ，b ，c 为ABC 的三边，0a ∴>，0b >，0c >，20a b c ∴++≠，0∴-=b c ，即b c =，ABC ∴ 是等腰三角形【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）因式分解：2221a ab b -+-．【答案】()()11a b a b -+--【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式，先根据完全平方公式进行因式分解，然后再用平方差公式进行因式分解．【详解】解：2221a ab b -+-()21=--a b ()()11a b a b =-+--【变式2】（23-24八年级上·四川眉山·期中）因式分解(1)224x y -；(2)2291839x xy y x y -++-．【答案】(1)()()22x y x y +-(2)()()363x y x y -++【分析】本题考查了因式分解：（1）运用平方差公式进行因式分解，即可作答．（2）先分组分解，再进行提公因式，即可作答．【详解】（1）解：224x y -()()22x y x y =+-（2）解：2291839x xy y x y-++-222693939x xy y x y xy y =++--++()()()233333x y x y y x y=+-+++()()3333x y y x y =+-++()()363x y x y =-++【变式3】（23-24八年级上·四川眉山·期中）因式分解：(1)2321025xy y x y -++；(2)3223a a b ab b +--．【答案】(1)2(5)y x y -(2)2()()a b a b +-【分析】本题考查的因式分解，熟知分组分解法与提取公因式法、公式法分解因式是解题的关键．（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；（2）利用分组分解法因式分解即可．【详解】（1）解：2321025xy y x y-++22(1025)y xy y x =-++2(5)y x y =-；（2）解：3223a ab ab b +--3223()()a ab ab b =+-+22()()a ab b a b =+-+22()()a b a b =+-2()()a b a b =+-3.拆项后用公式法【例题13】（22-23八年级上·贵州黔西·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法和十字相乘法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法，等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法.例如：()()()2222222424()222x xy y x xy y x y x y x y -+-=-+-=--=-+--．②拆项法，将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法.例如：()()()()222223214(1)2121213x x x x x x x x x +-=++-=+-=+-++=-+(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）22441x x y +-+；②（拆项法）268x x -+；(2)已知：a ，b ，c 为ABC 的三条边，222446170a b c a b c ++---+=，求ABC 的周长．【答案】(1)()()2121x y x y ++-+①；()()42x x --②(2)ABC 的周长为7【分析】本题主要考查公式法因式分解：（1）①将22441x x y +-+组成为()22441x x y ++-分解即可．②将268x x -+拆项为()2691x x -+-分解即可；（2）分组拆项配成完全平方式的和形式()()()2226944440a b a b c c ++--+++=-，利用非负性计算即可．【详解】（1）22441x x y +-+①()22441x x y =++-2221()x y =+-()()2121x y x y =++-+268x x -+②2691x x =-+-2(3)1x =--()()3131x x =---+()()42x x =--（2）222446170a b c a b c ++---+=Q ，()()()2224444690a a b b c c ∴-++-++-+=．222(2)(2)(3)0a b c ∴-+-+-=．2a ∴=，2b =，3c =．2237a b c ∴++=++=．ABC ∴ 的周长为7【变式1】（23-24八年级上·山东济宁·期末）观察下面因式分解的过程：432233x x x x +++-4322333x x x x x =+-++-()()222131x x x x x =+-++-()()2231x x x =++-上面因式分解过程的第一步把22x 拆成了223x x -+，这种因式分解的方法称为拆项法．请用上面的方法完成下列题目：(1)22268a b a b -++-；(2)42231x x -+．【答案】(1)()()24a b a b +--+(2)()()221515x x x x +++-【分析】本题考查因式分解，理解题中拆项法是解答的关键．（1）将8-拆成19-，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）将223x -拆成22225x x -，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：22268a b a b -++-222619a b a b =-+++-()()222169a a b b =++--+()()2213a b =+--()()1313a b a b =++-+-+()()24a b a b =+--+；（2）解：42231x x -+2242251x x x =+-+()4222125x x x =++-()()22215x x =+-()()221515x x x x =+++-【变式2】（23-24八年级上·河北张家口·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：()()()()2222222424222x xy y x xy y x y x y x y -+-=-+-=--=---+．②拆项法：例如：()()()()()22222321412121213x x x x x x x x x +-=++-=+-=+-++=-+．仿照以上方法分解因式：(1)22441x x y +-+；(2)2223x xy y +-．(3)解决问题：已知a 、b 、c 、为ABC 的三边长，2254210a b ab b +--+=，且ABC 为等腰三角形，求ABC的周长．【答案】(1)()()2121x y x y +++-(2)()()3x y x y +-(3)ABC 的周长是5【分析】本题考查因式分解及其应用，分组分解法，拆项法因式等知识，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．（1）运用分别分组分解法将2441x x ++看出一组，再用平方差公式因式分解即可；（2）运用拆项法将23y -拆成224y y -，再运用（1）的方法因式分解即可；（3）将2254210a b ab b +--+=化成平方和等于0的形式，从而求出a 、b ，再运用等腰三角形的定义分类讨论即可得解．【详解】（1）解：22441x x y +-+22441x x y =++-()2221x y =+-()()2121x y x y =+++-；（2）2223x xy y +-22224x xy y y =++-()224x y y =+-()()22x y y x y y =+++-()()3x y x y =+-；（3）2254210a b ab b +--+= ，22244210a ab b b b --∴+++=，22(2)(1)0a b b ∴-+-=，20a b ∴-=，10b -=，2a ∴=，1b =，ABC 是等腰三角形，c 2∴=或1c =(不符合三角形三边关系，舍去)ABC ∴ 的周长2215=++=【变式3】（2023八年级上·全国·专题练习）利用拆项法，解决下列问题：(1)分解因式：265x x -+；(2)分解因式：2245a ab b +-．【答案】(1)()()15x x --；(2)()()5a b a b +-．【分析】（1）将5拆解成94-，再根据完全平方公式得()2232x --，然后利用平方差公式进一步分解；（2）将25b -拆解成2249b b -，再根据完全平方公式得()2229a b b +-，然后利用平方差公式进一步分解．【详解】（1）原式2694x x =-+-，()2232x =--，()()3232x x =---+，()()15x x =--；（2）原式222449a ab b b =++-，()2229a b b =+-，()()2323b a b a b b =+++-，()()5a b a b =+-．【点睛】此题考查了因式分解的应用，解题时要注意在拆项变形的过程中不要改变式子的值4.换元法【例题14】（23-24八年级上·福建福州·期中）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小胡同学用换元法对多项式()()2221234x x x x ---++进行因式分解的过程．解：设22x x y -=，原式()()134y y =-++（第一步）221y y =++（第二步）()21y =+（第三步）()2221x x =-+（第四步）请根据上述材料回答下列问题：(1)小胡同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______；A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法(2)老师说，小胡同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果；(3)请你用换元法对多项式()()22661881x x x x ++++进行因式分解．【答案】(1)C(2)()41x -(3)()43x +【分析】（1）根据利用完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±分解因式即可得；（2）括号里面可以再次用完全平方公式进行因式分解；（3）设26y x x =+，利用换元法和完全平方公式分解因式即可得．【详解】（1）解：()22211y y y ++=+，则第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法，故选：C ．（2）解：原式()2221x x =-+()221x ⎡=⎤⎣⎦-()41x =-，故答案为：()41x -；（3）解：设26y x x =+，()()22661881x x x x ++++则原式()1881y y =++21881y y =++()29y =+()2269x x =++()223x ⎡⎤=+⎣⎦()43x =+．【点睛】本题考查了因式分解——换元法和完全平方公式法，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键【变式1】（23-24八年级上·全国·课时练习）因式分解：(1)（添项）44x +；(2)（拆项）3234x x -+；(3)（换元）()()2221224x y x y +-+-+．【答案】(1)()()222222x x x x ++-+(2)()()221x x -+(3)()()2268x y x y +-+-【分析】根据分解因式的方法求解即可．【详解】（1）原式()2222222222x x x =+⨯+-⨯()()22222x x =+-()()222222x x x x =++-+．（2）方法一：原式32224x x x =--+()()32224x x x =---()()()2222x x x x =--+-()()222x x x =---()()()221x x x =--+()()221x x =-+．方法二：原式32244x x x =+-+()()()21411x x x x =+--+()()2144x x x =+-+()()212x x =+-．（3）设2x y a +=，则原式()()21224a a =--+21448a a =-+()()68a a =--()()2268x y x y =+-+-．【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等【变式2】（22-23七年级下·江苏镇江·阶段练习）【积累经验】小明在分解因式22(21)(23)4x x x x +-+++时，提出了如下的思路：小明：我发现223x x ++比221x x +-多4，若设221x x m +-=，那么223x x ++就可以表示为m +4.则222(21)(23)4(4)444x x x x m m m m +-+++=++=++=2(2)m +．因为221x x m +-=，所以原式=224(21)(1)x x x ++=+．在解决数学问题时，可以将某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化，这样的方法叫做换元法．换元法的关键是设元．上述问题中，不仅能设221x x m +-=，也可以将22x x +或223x x ++或……设为n ．请你任选一种设元的方法，分解因式；【灵活应用】（1）()()12320222342023A =+++⋯++++⋯+，()()1232023232022B =+++⋯+++⋯+，探究A 与B 的数量关系，并说明理由；(2)如图，一户人家有一块长方形土地ABCD ，30AB =，24AD =，其内部有一条宽度为a 的L 型种植区域①，其余部分(长方形)AEFG 为种植区域②，测量区域②的面积为340；阿凡提有两块正方形的土地AGHI 与AJKE 跟这户人家的种植区域②相邻，正方形土地的边长分别为AG 与AE ．这户人家对阿凡提的两块地垂涎已久，提出要将自己的土地与阿凡提交换，阿凡提有没有损失呢？请你运用所学的数学知识进行解释．【答案】积累经验：4(1)x +；灵活运用：(1)2023A B -=；(2)没有损失，见解析【分析】积累经验：可以设22x x n +=，将原式中的22x x +全部用n 表示，然后分解因式即可；灵活运用：(1)设2342022a +++⋯+=，把A 、B 各部分用a 表示，然后作差，即可求出A 、B 的关系；(2)设AE x =，AG y =，用含a 的式子分别表示出AE 、AG ，然后根据()2222x y x y xy +=+-表示出交换之后土地的面积，在进行比较即可求解．【详解】积累经验：解：设22x x n +=，则2211x x n +-=-，那么2233x x n ++=+.原式()()134n n =-++=2234n n +-+=2(1)n +因为22x x n +=，所以原式224(21)(1)x x x =++=+灵活运用：解：（1）设2342022a +++⋯+=()()21202320242023A a a a a =++=++()2120232024B a a a a=++=+所以2023A B -=.（2）由题意得，设30AE a x =-=，24AG a y =-=，.则6x y =-，340.xy =所以()222236680716x y x y xy +=+=+=-，即阿凡提的两块土地面积之和为716，而四边形ABCD 的面积为3024720716⨯=>.所以交换土地对阿凡提来说没有损失．【点睛】本题考查了因式分解—换元法、完全平方公式的应用，看懂和理解题例是求解的关键【变式3】（22-23八年级下·山东济南·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应任务：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式()()2241479x x x x +++++进行因式分解的过程．解：设24x x y +=，则原式()()179y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）()24y =+（第三步）()2244x x =++（第四步）请根据上述材料回答下列问题：(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：；请你用换元法对多项式()()229639614x x x x -+-+-进行因式分解．【答案】(1)C(2)()42x +，()431x -【分析】（1）根据利用完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±分解因式即可得；（2）利用完全平方公式分解因式即可得出最后结果；设296x x y -=，利用换元法和完全平方公式分解因式即可得．【详解】（1）解：()228164y y y ++=+，则第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法，故选：C ．（2）解：设24x x y +=，则原式()()179y y =+++2816y y =++()24y =+()2244x x =++()222x ⎡⎤=+⎣⎦()42x =+，故答案为：()42x +．对多项式()()229639614x x x x -+-+-，设296x x y -=，则原式()()314y y =+-+2234y y =+-+221y y =++()21y =+()22961x x -=+()2231x ⎡⎤=-⎣⎦()431x =-．【点睛】本题考查了因式分解——换元法和完全平方公式法，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键3种思想1：整体思想【例题15】（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：()()221x y x y ++++．解：将“()x y +”看成整体，令()x y A +=，则原式()22211A A A =++=+．再将“A ”还原，得原式()21x y =++．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：因式分解：()()44a b a b ++-+．【答案】()22a b +-【分析】本题主要考查整体思想的方法进行因式分解，掌握乘法公式，整体思想的方法是解题的关键．根据材料提示，令a b M +=，再结合完全平方公式进行因式分解即可求解．【详解】解：()()44a b a b ++-+令a b M +=，∴原式()44M M =-+。
中考数学考点总动员 第03讲 整式及其因式分解(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
第03讲整式及其因式分解1．代数式及求值(1)概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；(2)列代数式：找出数量关系，用表示已知量的字母表示出所求量的过程；(3)代数式求值：把已知字母的值代入代数式中，并按原来的运算顺序计算求值．2．整式及有关概念(1)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的_次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．单独的数、字母也是单项式；(2)多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数，一个多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项_；(3)整式：单项式和多项式统称为整式；(4)同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；所有的常数项都是同类项．4．整式的运算(1)整式的加减整式加减的实质是合并同类项．把多项式中同类项的系数相加，合并为一项，叫做合并同类项，其法则是：几个同类项相加，把它们的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的__指数_不变．(2)整式的乘法①单项式×单项式：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式；②单项式×多项式：m(a＋b)＝ma＋mb；③多项式×多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd；④乘法公式平方差公式：(a ＋b)(a －b)＝__a 2－b 2_； 完全平方公式：(a±b)2＝a 2±2ab ＋b 2(3)整式的除法①单项式÷单项式：将系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；②多项式÷单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 5．因式分解(1)定义：把一个多项式化成几个_整式乘积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法互为逆变形． (2)因式分解的方法 ①提取公因式法： ma ＋mb －mc ＝m(a ＋b －c)．公因式的确定：⎩⎪⎨⎪⎧系数：取各项系数的最大公约数字母：取各项相同的字母指数：取各相同字母的最低次数(3)因式分解的一般步骤①如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；②如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；④注意因式分解中的X 围：如在有理数X 围内分析解因式时x 4－4＝(x 2＋2)(x 2－2)．在实数X 围内分解因式时x 4－4＝(x 2＋2)(x ＋2)(x －2)，题目不作说明的，表明是在有理数X 围内分解因式．考点1： 整式的运算【例题1】（（2019•某某某某•8分）计算：（2x 2）3﹣x 2•x 4． 【分析】先算乘方与乘法，再合并同类项即可．【解答】解：（2x2）3﹣x2•x4＝8x6﹣x6＝7x6．归纳：整式的运算中需注意以下几点：(1)幂的乘方→转化为指数乘法运算．即(a2)3＝a2×3.(2)同底数幂的乘法→转化为指数的加法运算．即a2·a3＝a2＋3.(3)在算积的乘方时，若底数中含有数字，要记住对数字也要进行乘方．(4)在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形：①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；②a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.考点2：因式分解【例题2】把4a2添上1项或2项，使它能够进行因式分解．(1)写出3个且要用三种不同的分解方法；(2)若要求能进行2步或2步以上分解，如何添加？请写出一个即可．【解答】解：(1)答案不唯一，例如：4a2＋2a＝2a(2a＋1)；4a2＋4a＋1＝(2a＋1)2；4a2－1＝(2a－1)(2a＋1)．(2)答案不唯一，例如：①4a2－4b2＝4(a2－b2)＝4(a＋b)(a－b)；②4a2－a4＝a2(4－a2)＝a2(2－a)(2＋a)；③4a2－8ab＋4b2＝4(a2－2ab＋b2)＝4(a－b)2.归纳：公式法分解因式需注意以下几点：(1)公式中的“a”和“b”也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项；(2)灵活运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止．考点3：整式的综合运用【例题3】)嘉淇准备完成题目：化简：(x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)．发现系数“”印刷不清楚．(1)他把“”猜成3，请你化简：(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)；(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？【解析】：(1)(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)＝3x2＋6x＋8－6x－5x2－2＝－2x2＋6.(2)设“”是a，则原式＝(ax2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)＝ax2＋6x＋8－6x－5x2－2＝(a－5)x2＋6.∵标准答案的结果是常数，∴a－5＝0.解得a＝5.归纳：整式的化简是指通过去括号、合并同类项等将代数式化为最简形式一、选择题：1. （2019•某某株洲•3分）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（）A．2x5B．3x3y2C．﹣x2y3D．﹣y5【答案】C5与3x2y3不是同类项，故本选项错误；3y2与3x2y3不是同类项，故本选项错误；C.﹣x2y3与3x2y3是同类项，故本选项正确；D.﹣y5与3x2y3是同类项，故本选项错误；故选：C．2. （某某某某，4，3分）下列等式一定成立的是( )．A．2m+3n=5mn B．(m3)2=m6 C．m2·m3=m6 D．(m-n)2=m2-n2【答案】B．【解答】解：选项A中的两项不是同类项，不能合并；选项B是幂的乘方运，根据法则可知是正确的；选项C m2·m3=m5，错误；选项D，(m-n)2=m2-2mn+n2，错误，故选择B．3. （2019•某某株洲•3分）下列各选项中因式分解正确的是（）A．x2﹣1＝（x﹣1）2B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2【答案】D2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项错误；3﹣2a2+a＝a2（a﹣1），故此选项错误；C.﹣2y2+4y＝﹣2y（y﹣2），故此选项错误；2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2，正确．故选：D．4. （2018•某某）在矩形ABCD内，将两X边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两X正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两X正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2bD．﹣2b【答案】B【解答】S1=（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）=（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD﹣a），S2=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），∴S2﹣S1=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）=（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）=b•AD﹣ab﹣b•AB+ab=b（AD﹣AB）=2b．故选：B．5. （2018•某某）下面是一位同学做的四道题：①（a+b）2=a2+b2，②（﹣2a2）2=﹣4a4，③a5÷a3=a2，④a3•a4=a12．其中做对的一道题的序号是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C【解答】①（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；②（﹣2a2）2=4a4，故此选项错误；③a5÷a3=a2，正确；④a3•a4=a7，故此选项错误．故选：C．二、填空题：6. （2019•某某某某•4分）当a＝﹣1，b＝3时，代数式2a﹣b的值等于．【答案】-5【解答】解：当a＝﹣1，b＝3时，2a﹣b＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5，故答案为：﹣5．7. （2018某某荆州）（3.00分）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是 5 ．【答案】5【解析】：∵第1次输出的结果是25，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是5，第5次输出的结果是5，…，∴第2n次输出的结果是5，第2n+1次输出的结果是1（n为正整数），∴第2018次输出的结果是5．故答案为：5．8. （2019•某某某某•3分）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝．【答案】﹣3或4．【解答】解：根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，（2m﹣1）2﹣49＝0，（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，所以m1＝﹣3，m2＝4．故答案为﹣3或4．9. 2019•某某•4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3＝7则（1）用含x的式子表示m＝；（2）当y＝﹣2时，n的值为．【答案】1【解答】解：（1）根据约定的方法可得：m＝x+2x＝3x；故答案为：3x；（2）根据约定的方法即可求出nx+2x+2x+3＝m+n＝y．当y＝﹣2时，5x+3＝﹣2．解得x＝﹣1．∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1．故答案为：1．三、解答题：10. 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：(1)求所捂的二次三项式；(2)若x＝6＋1，求所捂二次三项式的值．解：(1)设所捂的二次三项式为A，根据题意，得A＝x2－5x＋1＋3x＝x2－2x＋1.(2)当x＝6＋1时，A＝(x－1)2＝(6)2＝6.11. （2018•某某）先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a=﹣2，b=．【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】：原式=a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2=4ab，当a=﹣2，b=时，原式=﹣4．12. 在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果．”(1)若小明同学心里想的是数5，请帮他计算出最后结果；(2)老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等．”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a(a≠0)，请你帮小明完成这个验证过程．解：(1)第一步：(5＋1)2－(5－1)2＝20；第二步：20×25＝500；第三步：500÷5＝100.∴小明计算出最后结果为100.(2)∵[(a＋1)2－(a－1)2]×25÷a＝(a＋1＋a－1)(a＋1－a＋1)×25÷a＝4a×25÷a＝100，∴结论成立．13. 如图，已知大正方形的边长为a＋b＋c，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc ＋2ac.当大正方形的边长为a＋b＋c＋d时，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab ＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd.一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．根据以上结论解决下列问题：(1)若a＋b＋c＝6，a2＋b2＋c2＝14，则ab＋bc＋ac＝11；(2)从－4，－2，－1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值．解：∵－4－2－1＋3＋5＝1，∴两边平方后得(－4－2－1＋3＋5)2＝(－4)2＋(－2)2＋(－1)2＋32＋52＋2m＝55＋2m＝1.∴m＝(1－55)÷2＝－54÷2＝－27.14. 如图，已知大正方形的边长为a＋b＋c，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc ＋2ac.当大正方形的边长为a＋b＋c＋d时，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab ＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd.一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．根据以上结论解决下列问题：(1)若a＋b＋c＝6，a2＋b2＋c2＝14，则ab＋bc＋ac＝11；(2)从－4，－2，－1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值．解：∵－4－2－1＋3＋5＝1，∴两边平方后得(－4－2－1＋3＋5)2＝(－4)2＋(－2)2＋(－1)2＋32＋52＋2m＝55＋2m＝1. ∴m＝(1－55)÷2＝－54÷2＝－27.。
2016年中考数学知识点分析
2016年潍坊中考数学真题试卷分析一、选择题第1小题是实数与幂的运算，考查0次幂，基础性题目第2小题是关于图形对称的题目，考查轴对称和中心对称的概念和区别，基础性题目第3题是关于几何立体图形的三视图问题，注意虚线和实线的画法，基础性题目第4题是科学记数法题目，本来是一道很基础的题目，结果考查的比较细，和小数点精确结合起来考查，难度中等。
第5题是关于数轴的代数式化简，需要弄明白绝对值和二次根式的意义，难度也不大，基础性题目第6题是一元二次方程判别式考查的题目，这次考查的比较基础，难度不大，基础性题目第7题这个题目的模型是直角三角形斜边的中线等于斜边一半，这个题目隐藏比较深，做起来难度大一些，正确率不太高，属于高难度题目。
第8题是因式分解的题目，一般因式分解在选择题中考查，都比较基础，难度不大第9题是关于圆的一道几何题目，重点考查垂径定理，借助垂径定理求出各个边长的关系，难度一般，属于圆中基础题目第10题考查分式方程，重点考查了分式方程的检验问题，要是忘记验根这个题目选错的可能性很大，难度中等第11题考查解直角三角形和圆中面积相结合的题目，综合型强一些，难度中等第12题是个新型题目，这个和高中数学中的程序框图结合起来，把高中的一些基础应用到中考中，让学生从中找出和初中知识相关联的，本质就是个不等式组，从中提炼出这个不等式组是关键，当然这个题目最简便的方法就是回带，在考试的限时条件下最合适。
难度中等。
总结：选择题还是以基础性题目占主导，中等题目辅助并不是太难，只是在基础性题目基础上稍微变化一点，让考生多考虑一些问题的角度，高难题目就一道，所以在考前备考中还是以基础性题目为基准，不要盲目追求高难题目。
二、填空题第13题是关于实数中二次根式简单计算的，题目比较基础，不难第14题是考查同类项和二元一次方程结合的题目，做练习练得很多，基础性题目第15题是数据统计中对加权平均数的考查，其实不用加权平均数也可以很快做出来，所以题目也比较基础第16题考查反比例函数的性质，这个题是从最表面去考查，没一点难度，很基础第17题这个题目比较难发现里面的数学模型，他其实就是“将军饮马”问题，但是他藏得很深，考生一般发掘不出来，所以错的很多，难度很大，高难题第18题这个是找规律的题目，还和一次函数结合起来考查，难度很大，大部分考生都空着。
专题04因式分解-2021年中考数学考点总动员系列(解析版)
专题04 因式分解2016年中考数学考点总动员系列 聚焦考点☆温习理解 1、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2、因式分解的常用方法（1）提公因式法：)(c b a ac ab +=+（2）运用公式法：))((22b a b a b a -+=-222)(2b a b ab a +=++222)(2b a b ab a -=+-（3）分组分解法：))(()()(d c b a d c b d c a bd bc ad ac ++=+++=+++（4）十字相乘法：))(()(2q a p a pq a q p a ++=+++3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
名师点睛☆典例分类考点典例一、提取公因式【例1】（2015宜宾）把代数式3231212x x x -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．23(44)x x x -+B ．23(4)x x -C ．3(2)(2)x x x +-D ．23(2)x x -【答案】D ．【解析】试题分析：原式=23(44)x x x -+=23(2)x x -，故选D ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．【点睛】将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，直接提取公因式m 即可.【举一反三】1.(2015·湖北武汉）把a 2－2a 分解因式，正确的是（ ）A ．a(a －2)B ．a(a ＋2)C ．a(a 2－2)D ．a(2－a)【答案】A【解析】试题分析：对于因式分解，首先进行提取公因式，然后再利用公式法或十字相乘法进行因式分解.原式=a(a －2).考点：因式分解.2.分解因式：a 2+ab=【答案】a （a+b ）．【解析】a 2+ab=a （a+b ）． 考点典例二、公式法【例2】（2015成都）因式分解：29x -=________．【答案】()()33x x +-．【解析】试题分析：()()2933x x x -=+-．故答案为：()()33x x +-． 考点：因式分解-运用公式法．【点睛】根据所给多项式可以看出是两个数的平方差，因此利用平方差公式进行分解即可.【举一反三】1．(2015·辽宁葫芦岛）（3分）分解因式：2249m n -= ．【答案】(23)(23)m n m n +-．【解析】试题分析：原式=(23)(23)m n m n +-．故答案为：(23)(23)m n m n +-．考点：因式分解-运用公式法． 2.(2015·湖北衡阳)已知3a b +=，1a b -=-，则22a b -的值为 ．【答案】 -3【解析】试题分析： 先将代数式根据平方差公式分解为：22a b -=()()a b a b +- ，再分别代入3a b +=，1a b -=-，得到原式=3×（﹣1）=﹣3.3.（2015巴中）分解因式：2242a a -+=．【答案】22(1)a -．【解析】试题分析：原式=22(21)a a -+=22(1)a -．故答案为：22(1)a -．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 考点典例三、提取公因式与公式法综合运用【例3】（2015·湖北鄂州）分解因式：a 3b －4ab = ．【答案】ab （a+2）（a-2）．【解析】试题分析：先提公因式ab ，然后把a 2-4利用平方差公式分解即可．试题解析：a 3b-4ab=ab （a 2-4）=ab （a+2）（a-2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．【点睛】首先提取公因式ab ，剩下的因式又是两个数的平方差，进而利用平方差公式进行分解即可．【举一反三】1．（2015·山东泰安）分解因式：329189x x x -+= ． 【答案】29(1)x x -．【解析】试题分析：原式=29(21)x x x -+=29(1)x x -．故答案为：29(1)x x -．考点：提公因式法与公式法的综合运用．2.（2015·辽宁丹东）分解因式:=+-121232x x .【答案】3）2-(2x . 【解析】试题分析：先提取公因式，再逆用完全平方公式，原式=3（x 2-4x ＋4)=3）2-(2x . 考点：把多项式分解因式.2.（2015·辽宁沈阳）分解因式：22ma mb -= ．【答案】()()m a b a b +-．【解析】考点：提公因式法与公式法的综合运用． 考点典例四、分解因式的应用【例5】若a b 1-=，则代数式22a b 2b --的值为 ．【答案】1.【解析】试题分析：∵a b 1-=，∴()()()22a b 2b a b a b 2b a b 12b a b 1--=+--=+⋅-=-=.【点睛】利用因式分解可以求代数式的值，先将代数式a 2-b 2-2b 进行因式分解含有（a-b ）的因式，再进行整体代入即可求出答案.【举一反三】1.已知x-2y=3，则代数式6-2x+4y 的值为（ ）A ． 0B ．-1C ．-3D ．3【答案】A ．【解析】试题分析：先把6-2x+4y 变形为6-2（x-2y ），然后把x-2y=3整体代入计算即可．试题解析：∵x-2y=3，∴6-2x+4y=6-2（x-2y ）=6-2×3=6-6=0故选A ．考点：代数式求值．2.（2015·山东枣庄，）如图边长为a 、b 的矩形的周长为14，面积为10，则a ²b+ab ²的值为A.140B.70C.35D.24【答案】【解析】试题分析：由题意可得a+b=7,ab=10,所以22()a b ab ab a b +=+=7×10=70.故选B.考点：分解因式；求代数式的值 课时作业☆能力提升一．选择题1.多项式ax 2﹣4ax ﹣12a 因式分解正确的是（ ）A ． a （x ﹣6）（x+2）B ． a （x ﹣3）（x+4）C ． a （x 2﹣4x ﹣12）D ． a （x+6）（x ﹣2）【答案】A.【解析】试题分析：ax 2﹣4ax ﹣12a=a （x 2﹣4x ﹣12）=a （x ﹣6）（x+2）．故选A.考点：因式分解-----提公因式法.2.下列因式分解中正确的个数为( )①()3222x xy x x x y ++=+； ②()22442x x x ++=+； ③()()22x y x y x y -+=+-。
浙江省2016年中考数学总复习 全程考点训练3 因式分解(含解析)
全程考点训练3 因式分解一、选择题1．下列多项式中，能因式分解的是(D)A．x2－y B．x2＋1C．x2＋y＋y2 D．x2－4x＋4【解析】x2－4x＋4＝(x－2)2.2．分解因式x2y－y3结果正确的是(D)A．y(x＋y)2 B．y(x－y)2C．y(x2－y2) D．y(x＋y)(x－y)【解析】x2y－y3＝y(x2－y2)＝y(x＋y)(x－y)．3．一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，其中分解不够彻底的是(A)A．x3－x＝x(x2－1)B．x2－2xy＋y2＝(x－y)2C．x2y－xy2＝xy(x－y)D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)【解析】x3－x＝x(x2－1)＝x(x＋1)(x－1)．4．若x2＋2(m－3)x＋16是完全平方式，则m的值是(D)A．－5 B．7C．－1 D．7或－1【解析】完全平方式为(x±4)2，故2(m－3)＝±8，m＝7或－1.5．多项式4x2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的平方，则加上的单项式不可能是(D)A．4x B．－4xC．4x4 D．－4x46．已知a－b＝3，b＋c＝－5，则代数式ac－bc＋a2－ab的值是(C)A．－15 B．－2C．－6 D．6【解析】a－b＝3，b＋c＝－5两式相加，得a＋c＝－2.ac－bc＋a2－ab＝c(a－b)＋a(a－b)＝(a＋c)(a－b)＝－2×3＝－6.7．由m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mc ，可得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3－a 2b ＋ab 2＋a 2b －ab 2＋b 3＝a 3＋b 3，即(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3＋b 3.我们把这个等式叫做多项式乘法的立方和公式．下列运用立方和公式进行的变形中，不正确的是(C )A ．(x ＋4y )(x 2－4xy ＋16y 2)＝x 3＋64y 3B ．(2x ＋y )(4x 2－2xy ＋y 2)＝8x 3＋y 3C ．(a ＋1)(a 2＋a ＋1)＝a 3＋1D ．x 3＋27＝(x ＋3)(x 2－3x ＋9)【解析】 (a ＋1)(a 2＋a ＋1)≠a 3＋1，应为(a ＋1)(a 2－a ＋1)＝a 3＋1.8．已知248－1可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个整数是(D )A ．61，63B ．61，65C ．61，67D ．63，65【解析】 248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)，26＋1＝65，26－1＝63.二、填空题9．分解因式：(1)x 2y 4－x 4y 2＝x 2y 2(y ＋x )(y －x )；(2)2x 2＋4x ＋2＝2(x ＋1)2．【解析】 (1)提取公因式x 2y 2，再用平方差公式，得原式＝x 2y 2(y 2－x 2)＝x 2y 2(y ＋x )(y －x )．(2)提取公因式2，再用完全平方公式，得原式＝2(x 2＋2x ＋1)＝2(x ＋1)2.10．在实数范围内分解因式：x 2－2x －4【解析】 原式＝(x 2－2x ＋1)－5＝(x －1)2－(5)2＝(x －1＋5)(x －1－5)．11．已知a (a －2)－(a 2－2b )＝－4，则a 2＋b 22－ab 的值为__2__． 【解析】 ∵a (a －2)－(a 2－2b )＝a 2－2a －a 2＋2b ＝－2a ＋2b ，∴－2a ＋2b ＝－4，∴a －b ＝2. 则a 2＋b 22－ab ＝a 2＋b 2－2ab 2＝（a －b ）22＝2. 12．如图，各块图形的面积和为a 2＋3ab ＋2b 2，分解因式的结果为(a ＋2b )(a ＋b )．(第12题)【解析】根据图示可看出大矩形是由2个边长为b的正方形，1个边长为a的小正方形和3个长为b、宽为a的小矩形组成，所以用大矩形的面积的两种求法作为相等关系，即可得a2＋3ab＋2b2＝(a＋2b)(a＋b)．13．在日常生活中，取款、网上支付等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆．原理是：对于多项式x4－y4，因式分解的结果是(x－y)(x＋y)(x2＋y2)，若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是：x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个由6个数字组成的密码．对于多项式4x3－xy2，若取x＝10，y＝10，则用上述方法产生的密码是：103010或101030或301010_(写出一个即可)．【解析】4x3－xy2＝x(4x2－y2)＝x(2x＋y)(2x－y)．三、解答题14．分解因式：(1)m(a－b)＋n(b－a)．【解析】原式＝m(a－b)－n(a－b)＝(a－b)(m－n)．(2)(a＋2b)2＋6(a＋2b)＋9.【解析】原式＝(a＋2b＋3)2.(3)(x2＋x＋1)2－x2.【解析】原式＝(x2＋x＋1－x)(x2＋x＋1＋x)＝(x2＋1)(x＋1)2.(4)(a2＋4b2)2－16a2b2.【解析】原式＝(a2＋4b2＋4ab)(a2＋4b2－4ab)＝(a＋2b)2(a－2b)2.15．在三个整式x2＋2xy，y2＋2xy，x2中，请你任意选出两个进行加(或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．【解析】方法一：(x2＋2xy)＋x2＝2x2＋2xy＝2x(x＋y)；方法二：(y2＋2xy)＋x2＝(x＋y)2；方法三：(x2＋2xy)－(y2＋2xy)＝x2－y2＝(x＋y)(x－y)；方法四：(y2＋2xy)－(x2＋2xy)＝y2－x2＝(y＋x)(y－x)．16．有7张如图①的长为a，宽为b(a>b)的小矩形纸片，按图②的方式不重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足什么关系？(第16题)【解析】 左上角阴影部分的长为AE ，宽为AF ＝3b ，右下角阴影部分的长为PC ，宽为CG ＝a. ∵AD ＝BC ，AD ＝AE ＋ED ＝AE ＋a ，BC ＝BP ＋PC ＝4b ＋PC ，∴AE ＋a ＝4b ＋PC ，∴AE ＝PC ＋4b －a ，∴阴影部分面积之差S ＝AE·AF－PC·CG＝3b·AE－a·PC＝3b(PC ＋4b －a)－a·PC＝(3b －a)PC ＋12b 2－3ab.∵S 保持不变，∴3b －a ＝0，即a ＝3b.17．(1)已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足关系式a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断△ABC 的形状．(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足关系式a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝0，试判断△ABC 的形状．(3)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ＝m 2－n 2，b ＝2mn ，c ＝m 2＋n 2(m ＞n ，m ，n 都是正整数)，则△ABC 是直角三角形吗？请说明理由．【解析】 (1)∵a 2c 2－b 2c 2＝c 2(a 2－b 2)＝a 4－b 4＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2)－c 2(a 2－b 2)＝0，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0，∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．(2)a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝0可配方成12[(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2]＝0，故a ＝b ＝c. ∴△ABC 为等边三角形．(3)是．理由：∵a 2＋b 2＝(m 2－n 2)2＋(2mn)2＝m 4－2m 2n 2＋n 4＋4m 2n 2＝m 4＋2m 2n 2＋n 4＝(m 2＋n 2)2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．18．设a 1＝32－12，a 2＝52－32，…，a n ＝(2n ＋1)2－(2n －1)2(n 为大于0的自然数)．(1)探究a n 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论．(2)若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a 1，a 2，…，a n，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a n为完全平方数(不必说明理由)．【解析】(1)∵a n＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n·2＝8n，n为大于0的自然数，∴8n 一定是8的倍数，即两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．(2)a2＝16，a8＝64，a18＝144，a32＝256.当n满足n＝2k2(k为正整数)时，a n为完全平方数．。
专题1.2 因式分解、分式、二次根式(全国中考23个考点真题训练)(解析版)
2023年中考数学考前30天迅速提分复习方案（全国通用）专题1.2 因式分解、分式、二次根式（全国中考23个考点真题训练）一．因式分解的意义（共1小题）1．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．x 2﹣x 1﹣＝x （x 1﹣）﹣1B ．x 21﹣＝（x 1﹣）2C ．x 2﹣x 6﹣＝（x 3﹣）（x +2）D ．x （x 1﹣）＝x 2﹣x【分析】根据因式分解的定义判断即可．【解答】解：A 选项不是因式分解，故不符合题意；B 选项计算错误，故不符合题意；C 选项是因式分解，故符合题意；D 选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C ．【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．二．因式分解-提公因式法（共1小题）2．（2022•青海）下列运算正确的是（ ）A ．3x 2+4x 3＝7x 5B ．（x +y ）2＝x 2+y 2C ．（2+3x ）（23﹣x ）＝9x 24﹣D ．2xy +4xy 2＝2xy （1+2y ）【分析】利用合并同类项法则、完全平方公式、平方差公式、提公因式法分别计算各题，根据计算结果得结论．【解答】解：A ．3x 2与4x 3不是同类项不能加减，故选项A 计算不正确；B ．（x +y ）2＝x 2+2xy +y 2≠x 2+y 2，故选项B 计算不正确；C ．（2+3x ）（23﹣x ）＝49﹣x 2≠9x 24﹣，故选项C 计算不正确；D ．2xy +4xy 2＝2xy （1+2y ），故选项D 计算正确．故选：D ．【点评】本题主要考查了整式的运算，掌握整式的运算法则和整式的提取公因式法是解决本题的关键．三．因式分解-运用公式法（共1小题）3．（2022•荆门）对于任意实数a ，b ，a 3+b 3＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）恒成立，则下列关系式正确的是（ ）A ．a 3﹣b 3＝（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）【分析】把所给公式中的b换成﹣b，进行计算即可解答．【解答】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），∴a3﹣b3＝a3+（﹣b3）＝a3+（﹣b）3＝[a+（﹣b）][（a2﹣a•（﹣b）+（﹣b）2]＝（a﹣b）（a2+ab+b2）故选：A．【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，把所给公式中的b换成﹣b是解题的关键．四．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）﹣xy2＝ 3x（x+2y）（x24．（2022•绵阳）因式分解：3x312﹣y） ．【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．﹣y2）【解答】解：原式＝3x（x24﹣y）．＝3x（x+2y）（x2故答案为：3x（x+2y）（x2﹣y）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．五．因式分解-十字相乘法等（共1小题）﹣） ．﹣＝ （a2+1）（a+2）（a2﹣a245．（2022•内江）分解因式：a43【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），﹣）．故答案为：（a2+1）（a+2）（a2【点评】本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解题的关键．六．因式分解的应用（共5小题）6．（2022•广安）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为 10 ．【分析】方法一：直接将a2﹣b2进行因式分解为（a+b）（a﹣b），再根据a+b＝1，可得a 2﹣b2＝a﹣b，由此可得原式＝a+b+9＝10．﹣b+1）+10，把前两部分利用平方差进行因式分方法二：将原式分为三部分，即a2﹣（b22﹣＝0．从而得出原式的值．解，其中得到一因式a+b1【解答】方法一：解：∵a2﹣b2+2b+9＝（a+b）（a﹣b）+2b+9又∵a+b＝1，∴原式＝a﹣b+2b+9＝a+b+9＝10．方法二：解：∵a2﹣b2+2b+9﹣b+1）+10＝a2﹣（b22﹣）2+10＝a2﹣（b1﹣）+10．＝（a﹣b+1）（a+b1又∵a+b＝1，∴原式＝10．【点评】本题考查了因式分解应用，用到的知识为平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．7．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：﹣b因式分解．﹣ab4+6将2a3【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：﹣b）解法一：原式＝（2a3﹣ab）﹣（46﹣b）＝a（23﹣b）﹣2（23﹣）﹣b）（a2＝（23﹣b）﹣）﹣（3ab6解法二：原式＝（2a4﹣）﹣）﹣3b（a2＝2（a2﹣b）﹣）（23＝（a2【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax +a 22﹣ab ﹣bx +b 2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a 和b （a ＞b ），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a 42﹣a 3b +2a 2b 22﹣ab 3+b 4因式分解，再求值．【分析】（1）用分组分解法将x 2﹣a 2+x +a 因式分解即可；（2）用分组分解法将ax +a 22﹣ab ﹣bx +b 2因式分解即可；（3）先将a 42﹣a 3b +2a 2b 22﹣ab 3+b 4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝（x 2﹣a 2）+（x +a ）＝（x +a ）（x ﹣a ）+（x +a ）＝（x +a ）（x ﹣a +1）；（2）原式＝（ax ﹣bx ）+（a 22﹣ab +b 2）＝x （a ﹣b ）+（a ﹣b ）2＝（a ﹣b ）（x +a ﹣b ）；（3）原式＝（a 4+2a 2b 2+b 4）﹣（2ab 3+2a 3b ）＝（a 2+b 2）2﹣2ab （a 2+b 2）＝（a 2+b 2）（a 2+b 2﹣2ab ）＝（a 2+b 2）（a ﹣b ）2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a 和b （a ＞b ），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a 2+b 2＝32＝9，（a ﹣b ）2＝1，∴原式＝9．【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．8．（2022•台湾）健康生技公司培养绿藻以制作「绿藻粉」，再经过后续的加工步骤，制成绿藻相关的保健食品．已知该公司制作每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞．请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：（1）假设在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞亦可继续分裂．今从1个绿藻细胞开始培养，若培养期间绿藻细胞皆未死亡且培养环境的光照充沛，经过15天后，共分裂成4k 个绿藻细胞，则k 之值为何？（2）承（1），已知60亿介于232与233之间，请判断4k个绿藻细胞是否足够制作8公克的「绿藻粉」？【分析】（1）由1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，可知经过15天，即360小时，分裂成418个绿藻细胞，故k之值为18；（2）根据每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞，60亿介于232与233之间，可得制作8公克的「绿藻粉」需要60×8亿个绿藻细胞，且235＜60×8亿＜236，又418＝（22）18＝2 36，即得418个绿藻细胞足够制作8公克的「绿藻粉」．【解答】解：（1）15天＝15×24小时＝360小时，∵1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，∴从1个绿藻细胞开始培养，经过20小时分裂成4个绿藻细胞，经过20×2＝40（小时），分裂成42个绿藻细胞，经过20×3＝60（小时），分裂成43个绿藻细胞，.....．经过20×18＝360（小时），分裂成418个绿藻细胞，∴k之值为18；（2）∵每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞，∴制作8公克的「绿藻粉」需要60×8亿个绿藻细胞，∵60亿介于232与233之间，∴232×8＜60×8亿＜233×8，即235＜60×8亿＜236，而418＝（22）18＝236，∴60×8亿＜418，∴418个绿藻细胞足够制作8公克的「绿藻粉」．【点评】本题考查有理数的乘方，解题的关键是读懂题意，根据已知找到规律求出k的值．9．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可；（2）根据“和倍数”的定义表示F（A）和G（A），代入中，根据为整数可解答．【解答】解：（1）∵357÷（3+5+7）＝357÷15＝23……12，∴357不是“和倍数”；∵441÷（4+4+1）＝441÷9＝49，∴441是9的“和倍数”；（2）由题意得：a+b+c＝12，a＞b＞c，由题意得：F（A）＝，G（A）＝，∴＝＝＝，∵a+c＝12﹣b，为整数，∴＝＝＝＝7+（1﹣b），∵1＜b＜9，∴b＝3，5，7，∴a+c＝9，7，5，①当b＝3，a+c＝9时，（舍），，则A＝732或372；②当b＝5，a+c＝7时，，则A＝516或156；③当b＝7，a+c＝5时，此种情况没有符合的值；综上，满足条件的所有数A为：732或372或516或156．【点评】本题考查了新定义问题，根据新定义问题进行计算是解题关键．﹣）会徽的主题图案有着丰富的数学10．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME14元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进﹣的举办年份．制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME14（1）八进制数3746换算成十进制数是 2022 ；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以80，81，82，83，再把所得结果相加即可得解；（2）根据n进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）3746＝3×83+7×82+4×81+6×80＝1536+448+32+6＝2022．故八进制数字3746换算成十进制是2022．故答案为：2022；（2）依题意有：n2+4×n1+3×n0＝120，解得n1＝9，n2＝﹣13（舍去故n的值是9．【点评】本题主要考查因式分解的应用，有理数的混合运算，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法．七．分式的定义（共1小题）11．（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式叫做分式判断即可．【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键，注意π是数字．八．分式有意义的条件（共1小题）12．（2022•无锡）分式中x的取值范围是（ ）﹣D．x≤2 A．x≠2B．x≠2﹣C．x≤2【分析】由分母不等于0列式计算即可．【解答】解：∵分式有意义，∴2﹣x≠0，解得x≠2，故选：A．【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义时，分母不等于0．九．分式的值为零的条件（共1小题）13．（2022•广西）当x＝ 0 时，分式的值为零．【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，可得2x＝0且x+2≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：2x＝0且x+2≠0，﹣，∴x＝0且x≠2∴当x＝0时，分式的值为零，故答案为：0．【点评】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．一十．分式的值（共1小题）14．（2022•湖州）当a＝1时，分式的值是 2 ．【分析】把a＝1代入分式计算即可求出值．【解答】解：当a＝1时，原式＝＝2．故答案为：2．【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．一十一．分式的乘除法（共1小题）15．（2022•德阳）下列计算正确的是（ ）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．＝1C．a÷a•＝a D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6【分析】根据分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，进行计算即可进行判断．【解答】解：A．（a﹣b）2＝a22ab+b2，故A选项错误，不符合题意；B.＝＝1，故B选项正确，符合题意；C．a÷a•＝1×＝，故C选项错误，不符合题意；D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6，故D选项错误，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，解决本题的关键是掌握以上知识熟练进行计算．一十二．分式的加减法（共2小题）16．（2022•天津）计算+的结果是（ ）A．1B．C．a+2D．【分析】按同分母分式的加减法法则计算即可．【解答】解：原式＝＝＝1．故选：A．【点评】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．17．（2022•襄阳）化简分式：+＝ m ．【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝＝＝m，故答案为：m．【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算，本题属于基础题型．一十三．分式的混合运算（共218．（2022•威海）试卷上一个正确的式子（+）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为（ ）A．B．C．D．【分析】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是（+）÷，再根据分式的运算法则进行计算即可；【解答】解：（+）÷★＝，∴被墨汁遮住部分的代数式是（+）÷＝•＝•＝；故选：A．【点评】本题考查了分式的化简，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．19．（2022•自贡）化简：•+ ．【分析】先将原分式的分子、分母分解因式，然后约分，再计算加法即可．【解答】解：•+＝+＝+＝，故答案为：．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确因式分解的方法和分式加法的运算法则．一十四．分式的化简求值（共7小题）20．（2022•玉林）若x是非负整数，则表示﹣的值的对应点落在如图数轴上的范围是（ ）A．①B．②C．③D．①或②【分析】原式第二项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，即可作出判断．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝＝＝＝1，则表示﹣的值的对应点落在如图数轴上的范围是②．故选：B ．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（2022•菏泽）若a 22﹣a 15﹣＝0，则代数式（a ﹣）•的值是 15 ．【分析】利用分式的相应的法则对分式进行化简，再把相应的值代入运算即可．【解答】解：（a ﹣）•＝＝＝a 22﹣a ，∵a 22﹣a 15﹣＝0，∴a 22﹣a ＝15，∴原式＝15．故答案为：15．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．22．（2022•内蒙古）先化简，再求值：（﹣x 1﹣）÷，其中x ＝3．【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x＝3代入计算即可．【解答】解：原式＝•＝﹣•＝﹣，当x＝3时，原式＝﹣＝﹣5．【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，将所求式子化简．23．（2022•阜新）先化简，再求值：÷（1﹣），其中a＝4．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝4时，原式＝＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．24．（2022•资阳）先化简，再求值．，其中a＝﹣3．【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝＝＝，当a＝﹣3时，原式＝．【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．25．（2022•黑龙江）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a＝2cos30°+1．【分析】利用分式的减法法则和除法法则对分式进行计算化简，把特殊角的三角函数值代入计算求出a的值，代入化简后的分式进行计算，即可得出答案．【解答】解：（﹣1）÷＝÷＝×＝，当a＝2cos30°+1＝2×+1＝时，原式＝＝﹣．【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，掌握分式的混合计算及特殊角的三角函数值是解决问题的关键．26．（2022•黑龙江）先化简，再求值：（）÷，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出即可．【解答】解：原式＝•＝2x+8，分母不能为0，则x≠±2，除数不能为0，则x≠0，当x＝1时，原式＝2+8＝10．【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．一十五．零指数幂（共2小题）27．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（ ）A．5B．2C．1D．0【分析】首先根据定义运算提取公因式，然后利用定义运算计算即可求解．【解答】解：原式＝lg5（lg5+lg2）+lg2＝lg5×lg（5×2）+lg2＝lg5lg10+lg2＝lg5+lg2＝lg10＝1．故选：C．【点评】本题主要考查了定义运算，实际上是对数的运算，读懂题目意思是关键．28．（2022•百色）计算：32+（﹣2）017﹣．【分析】首先计算乘方、零指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．﹣【解答】解：32+（﹣2）017﹣＝9+117＝﹣7．【点评】此题主要考查了有理数的乘方的运算方法，以及零指数幂的运算，解答此题的关键是要明确：a0＝1（a≠0）．一十六．负整数指数幂（共2小题）29．（2022•南充）比较大小：22﹣30．（选填＞，＝，＜）【分析】先分别计算22﹣和30的值，再进行比较大小，即可得出答案．【解答】解：∵22﹣＝，30＝1，∴22﹣＜30，故答案为：＜．【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，掌握负整数指数幂的意义，零指数幂的意义是解决问题的关键．﹣（）﹣1﹣（）2+20350．30．（2022•长沙）计算：|4|+【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．﹣（）﹣1﹣（）2+20350【解答】解：|4|+﹣＝4+32+1＝6．【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，绝对值，实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．一十七．二次根式有意义的条件（共2小题）31．（2022•湘西州）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．﹣，【解答】解：∵3x6≥0∴x≥2，故选：D．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．32．（2022•菏泽）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x＞3 ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．﹣＞0，【解答】解：由题意得，x3解得x＞3．故答案为：x＞3．【点评】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．一十八．二次根式的性质与化简（共2小题）33．（2022•聊城）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）A．0.4×103m/s B．0.8×103m/s C．4×102m/s D．8×102m/s【分析】把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式v＝，再根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：v＝＝＝8×102（m/s），故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．34．（2022•桂林）化简的结果是（ ）A．2B．3C．2D．2【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2．【解答】解：＝2，故选：A．【点评】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．一十九．最简二次根式（共1小题）35．（2022•杭州）计算：＝ 2 ；（﹣2）2＝ 4 ．【分析】根据二次根式的性质、有理数的乘方法则计算即可．【解答】解：＝2，（﹣2）2＝4，故答案为：2，4．【点评】本题考查的是二次根式的化简、有理数的乘方，掌握二次根式的性质是解题的关键．二十．二次根式的乘除法（共2小题）36．（2022•随州）已知m为正整数，若是整数，则根据＝＝3可知m有最小值3×7＝21．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 3 ，最大值为 75 ．【分析】先将化简为10，可得n最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则n越大，当＝2时，即可求解．【解答】解：∵＝＝10，且为整数，∴n最小为3，∵是大于1的整数，∴越小，越小，则n越大，当＝2时，＝4，∴n＝75，故答案为：3；75．【点评】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词37．（2022•山西）计算：×的结果为 3 ．【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可．【解答】解：原式＝＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则＝（a≥0，b≥0）．二十一．二次根式的加减法（共1小题）38．（2022•哈尔滨）计算+3的结果是 2 ．【分析】先化简各二次根式，再根据混合运算的顺序依次计算可得答案．【解答】解：原式＝+3×＝＝2．故答案为：2．【点评】此题考查的是二次根式的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．二十二．二次根式的混合运算（共3小题）39．（2022•安顺）估计（+）×的值应在（ ）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．【解答】解：原式＝2+，∵3＜＜4，∴5＜2+＜6，故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，正确估算无理数是解题关键．40．（2022•天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于 18 ．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式＝（）212﹣＝191＝18，故答案为：18．【点评】本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．41．（2022•襄阳）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a2﹣b）+2a（b﹣a），其中a＝﹣，b＝+．【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．【解答】解：原式＝a2+4b2+4ab+a2﹣4b2+2ab﹣2a2＝6ab，∵a＝﹣，b＝+，∴原式＝6ab＝6×（﹣）（+）＝6．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．二十三．二次根式的化简求值（共1小题）42．（2022•内蒙古）已知x，y是实数，且满足y＝++，则．【分析】根据负数没有平方根求出x的值，进而求出y的值，代入计算即可求出值．【解答】解：∵y＝++，﹣，2﹣x≥0，∴x2≥0∴x＝2，y＝，则原式＝×＝＝，故答案为：【点评】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
因式分解-中考数学.doc
归纳1:因式分解的有关概念基础知识归纳：因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算. 注意问题归纳：1.符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式积的形式.2.因式分解与整式乘法是互逆运算.A.a2+4a-21 = a(a + 4)-21B. a2+4a-21 = (a-3)(a + 7)C. (a-3)(a + 7)= a2+4a-21D. a2+4a-21 = (a + 2)2-25归纳2:提取公因式法分解因式基础知识归纳：将多项式各项中的公因式提出来这个方法是提公因式法，公因式系数是各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幕.提取公因式法：ma+mb—mc-m (a+b-c)注意问题归纳：1.提公因式要注意系数；2.要注意查找相同字母，要提净.【例2】(2016贵州省黔南州)若ab=2,—,则代数式a2b-ab2的值等于____________________ .【例3】(2016 PH川省自贡市)多项式a2-4a分解因式，结果正确的是( )A. d(d —4)B. (Q +2)(Q-2)C. d(d + 2)(a-2)D. (a-2) — 4归纳3:运用公式法分解因式基础知识归纳：运用平方差公式：a2—b2= (o+b) (a~b);运用完全平方公式：cT±2ab+b1- (a士b) 2.注意问题归纳：首先要看是否有公因式，有公因式必须要先提公因式，然后才能运用公式，注意公式的特点，要选项择合适的方法进行因式分解.【例4】(2016 r西百色市)分解因式：16-X2=( )A. (4-x) (4+x)B. (x-4) (x+4)C. (8+x) (8-x)D. (4-x)2【例5】(2016内蒙古赤峰市)分解因式：4兀2-4xy+y2二___________________ .归纳4:综合运用多种方法分解因式基础知识归纳：.因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解.解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项.注意问题归纳：可以提取公因式的要先提取公因式，注意一定要分解彻底.【例6】（2016黑龙江省哈尔•滨市）把多项式做?+2夕兀+ /分解因式的结果是_________________ •【例7】分解因式：2cuc-lOay + 5by-bx.【例8]分解因式：（1）兀2 —）' + cix + ay；（2）— 2cib + — c2.【例9】分解因式：（1）x2 +5x4-6；（2）2x2 -7A）, + 6y2: （3）x2y2 -3xy+ 2 .歹2年中灌[2016年题组】一、选择题1.（2016吉林省长春市）把多项式X-6x + 9分解因式，结果正确的是（）A. （x-3）2B・（％一9）2 C・（兀+3）（兀・3） D.（无+9）（兀・9）2.（2016 111东省滨州市）把多项式F+s + b分解因式，得&+1）（x-3）则a, b的值分别是（）A. Q二2, b=3B. a= - 2, b= ■ 3C・a- - 2, b=3D・ a二2, b= ■ 33.（2016山东省潍坊市）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A. — 1B. 6T + aC. —2D. （a + 2）~ —2（a + 2） + l4.（2016山东省聊城市）把8/-8/ + 2d进行因式分解，结果正确的是（）A. 2^z（4tz2—4ci +1）B. 8（6Z — 1）C. 2d（2a —1）~D. 2Q（2Q +1）~1 .5.（2oi6r西贺州市）"是整数，式子-[i-（-ir]O22-i）计算的结果（）8A.是0 B•总是奇数C•总是偶数 D.可能是奇数也可能是偶数6.（2016湖北省宜吕市）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一-条信息：a-b, x-y, 兀+y, aAb, x2-y\ a2-b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美现将（x2 - y2）a2-（x2 - y2）b2A・我爱美 B.宜晶游 C.爱我宜昌 D.美我宜昌（2016福建省厦门市）设681 X 2019 - 681 X 2018=^7 , 2015 X 2016 - 2013 X 2018二b ,A. b<c<aB.a<c<bC.b<a<c D・c<b<a丁67* + 1358 + 690 + 678 二c,则°, 4 c 的大小关系是(二、填空题8.（2016云南省）因式分解：x2-l= _________________________9.（2016内蒙古巴彦淖尔市）分解因式：-2xy2 -^-Sxy-Sx= _______________10.（2016北京市）下图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式：________Q b11.（2016四川省宜宾市）分解因式：ab4 - + Aab2 = _____________________________ ..12.（2016四川省巴屮市）把多项式\6m3-mn2分解因式的结一果是_____________________ .13.（2016 ill东省威海市）分解因式：（2a + b）2—（a + 2b）2二____________________ .14.（2016 Lil东省烟台市）已知|x_y + 2| +Jx+y_2 =0,则x2-/的值为___________________ ・15.（.2016 r东省深圳市）分解因式：°铅+ 2°戾+戻二___________________ .16.（2016 /'■西贺州市）将m\x-2） + 2-x）分解因式的结果是 ________________________________ .17.（2016江苏省常州市）分解因式：X3-2X2-^X= _________________ .18.（2016江苏省南京市）分解因式：2a（Z?+c）・3 （b+c） = _______________________ .19.（2016浙江•省杭州市）若整式X2 + ky2以为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，贝打的值可以是 _______ （写出一个即可）.20.（2016湖南省株洲市）分解因式：&・8）（x+2） +6兀二 ____________________ .21.（2016贵州省黔东南州）分解因式：X3-X2-20X= ________________________22.（2016湖北省荆•门市）分解因式：（加+1）（/n-9） +8加二 ________________23. （2016贵州省毕节市）分解因式：3m 4-48 = ______________________________________三、解答题24. （2016黑龙江省大庆市）己知a+b 二3, ab 二2,求代数式erbla 2b 2 + ab 3的值.12015年题组】1. (2015北海)下列因式分解正确的是( )A. x 2 - 4 = (x + 4)(%-4)B. x 2 +2x+l = x(x + 2) + l C ・ 3mx - 6my = 3m(x - 6y)D ・ 2兀 + 4 = 2(兀 + 2)2. (2015贺州)把多项式4x 2y-4xy 2-x 3分解因式的结果是( )A. 4可'(％一『)一兀‘B. 一x(x-2y)2C. x(4xy-4y 2-x 2)3. （2015宜宾）把代数式3X 3-12X 2+12X 分解因式，结果正确的是（ ）5. (2015临沂)多项式mx 2-m 与多项式x 2-2x4-1的公因式是( ) A. x-1 B. x+l C. x 2 -1 D.(兀-I)'6. （2015枣庄）如图，边长为d, b 的矩形的周长为14,面积为10,则a 2h + ah 2的值为（）D. -x(-4xy^-4y 2+x 2)A. 3x(x 2-4%+ 4)B. 3x(x-4)24. (2015毕节)下列因式分解正确的是( A. a Ab-6crb + 9a 2b = a 2b(a 2-6a + 9)C. F — 2x +4 = (x — 2)~C. 3兀(兀+ 2)(兀一2)B.D. 3x(x-2)2D. 4x 2- y 2= (4x + y)(4x- y) X 7+才A. 140 B・ 70 C. 35 D・ 249. （2015南京）分解因式（a-b ）（a-4h ） + ab 的结果是 _______________ . 10. （2015 巴中）分解因式：2/—4a + 2= ___________________ .11. （2015绵阳）在实数范围内因式分解：x 2y-3y= ___________________________ . 12. （2015 内江）已知实数 g b 满足：612+1 = -, /?2+1=-,贝I J2015M '= ___________ ・a b 13. （2015 北京市）分解因式：5X 3-10X 2+5%= _________________ . 14. （2015 甘南州）知 0 — 1 = 0,则 o'—夕―d + 2015 二 _________________ . 15. （2015 株洲）因式分解：X 2（X -2）-16（X -2）= ________________ . 16. （2015 东营）分解因式：4 + 12（兀一 y ） + 9（x-）y 二 ___________________ ・ 17. （2015 荷泽）若x 2 + x4-m =（X-3）（x + /?）对兀恒成立，贝ij 川二 .18. （2015重庆市）如果把一个自然数各数位上的数字从最髙位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最 高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数〕例如自然数12321,从最高位 到个位依次排出的一串数字是：1, 2, 3, 2, 1,从个位到最高位依次排11!的一串数字仍是：1, 2, 3, 2,1,因此12321是一个“和谐数”，再加22, 545, 3883, 345543, 都是“和谐数”•（1） 请你直接写出3个四位“和谐数◎请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由； （2） 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字兀（1*4, x 为自然数），十位上的数字为 y,求y 与兀的函数关系式.宀4// =(a + 2b)(a_2b)X 2-4X + 3 = (X -2)2+1D. x -j-(%2 + x)= — 1xD. (-2a')2=4d（2015杭州）下列各式的变形屮, 止确的是（净=1年栈拟一、选择题1.（2016届安徽省“合肥十校”联考）下列因式分解错误的是（）A. 2a — 2b = 2（a — b）B. x2—9 =（无 + 3）（兀一3）C. c广 + 4G— 4 = （d + 2）2D. —x~— x + 2 = —（.x —1）（% + 2）二、填空题2.（2016北京市延庆县中考一模）分解因式：am2 -2amn + an2 = ____________________ .3.（2016 M川省遂宁市蓬溪县屮考一模）分解因式：2a2-4a + 2= _____________________.4.（2016广东省梅州市中考冲刺）分解因式：+_（3.14-龙）°=__________________________ .5.（2016 r东省深圳市北师大附中中考二模）分解因式：c/+2处・3“____________________________ .6.（2016江苏省苏州市中考预测）若对严5, xy=6,则+ 的值为_______________________ •7.（2016河北省石家庄市赵县屮考一模）分解因式：a3h-4a2h + 4ah= _______________________ ・8.（2016甘肃省中考押题）因式分解：6xy - 12x/+3x>- ___________________ .9.（2016辽宁省沈阳市和平区中考一模）分解因式：3ajc2-\2ay2= _____________________・10.（2016福建省龙岩市中考模拟）已知沪20152015X999,庆20142014X 1000,则a与"的大小关系：ab.。
专题23 勾股定理中的树折和梯子模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题23勾股定理中的树折和梯子模型【模型1】风吹树折模型如图，已知树干AB 垂直于地面，树干AC 被风吹倒后弯折在地，该模型通常转化为直角三角形，应用勾股定理进行求解。
（1）如果已知AB 和BC，可通过设AC=x ，根据勾股定理可得222x BC AB =+，求出x 的值，进而可求出树高。
（2）如果已知树高y 和BC，可通过设AB=x ，根据勾股定理可得()222x y BC x -=+，求出x 的值。
【模型2】梯子模型如图已知梯子AB 向下滑动了x 米，如图''B A 是滑落后的梯子。
如果已知梯子的长度和AC，可根据勾股定理先求出BC 的长度，在''CB A Rt ∆中，应用勾股定理：()()222222''''''B A x BC x AC B A C B C A =++-⇒=+可求出滑落的距离x ，【例1】如图，《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈=10尺）答：原处的竹子还有多少尺高．则高为（）A ．8120B ．9120C ．8119D ．9119【答案】B【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10-x ）尺．利用勾股定理解题即可．【解析】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10-x ）尺，根据勾股定理得：2223(10x)x +=-，解得x =9120．故选：B ．【例2】如图所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 上的位置上，如图，测得DB 的长0.5米，则梯子顶端A 下落了（）米．A ．0.5B ．0.4C ．0.6D ．1【答案】A 【分析】在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得：AC =2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE 中，根据勾股定理，得CE =1.5米，所以AE =0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．【解析】解：∵在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，∴222AC BC AB +=，∵AB =2.5米，BC =1.5米，∴AC 22AB BC -222.5 1.5-=2米．∵Rt △ECD 中，CE ⊥CD ，∴222CE CD DE +=，∵AB =DE =2.5米，CD =（1.5+0.5）米，∴EC 米，∴AE =AC ﹣CE =2﹣1.5=0.5米．故选：A ．【例3】一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米到A '，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】(1)这个梯子的顶端距地面有24米(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米【分析】（1）AC =25米，BC =7米，根据勾股定理即可求得AB 的长；（2）由题意得：BA '=20米，根据勾股定理求得BC '，根据BC BC '-即可求解．【解析】（1）解：由题意得：AC =25米，BC =7米，∠ABC =90°，24AB ==（米）答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA '=20米，15BC '==（米）则：CC 'BC BC '=-=15-7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．【例4】《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（其中丈、尺是长度单位，1丈=10尺．）【答案】折断处离地面的高度是4.55尺．【分析】首先由竹子垂直于地面，可知此三角形是直角三角形，设折断处离地面x 尺，则折断的度为（10−x ）尺，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求得答案．【解析】解：设折断处离地面x 尺，则折断的度为（10−x ）尺，根据题意得：x 2＋32＝（10−x ）2，解得：x ＝4.55，答：折断处离地面的高度是4.55尺．一、单选题1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m 的B 处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 的A 处，则旗杆折断部分AB 的高度是（）A ．5mB ．12mC ．13mD ．18m【答案】C 【分析】根据勾股定理求解即可．【解析】由题意得：5m,12m,90BC AC ACB ==∠=︒则222251213=+=+=AB BC AC （m ）故选：C ．2．如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2m 处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量AB ＝4m ，则树高为（）A ．25mB ．23mC ．()252mD ．()32m 【答案】C 【分析】在Rt △ACB 中，根据勾股定理可求得BC 的长，而树的高度为AC +BC ，AC 的长已知，由此得解．【解析】据题意，AC =2m ,∠CAB =90°，AB ＝4m ，由勾股定理得2225BC AB AC =+=∴AC +BC =252.即树高为252+故选：C ．3．如图，一旗杆离地面6m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m 处，则旗杆折断前的高度为（）A ．10mB ．12mC ．14mD ．16m【答案】D 【分析】先利用勾股定理求出旗杆顶部到折断处的长，再由旗杆折断之前的高度是折断的两部分的长度之和求解即可．【解析】如图，记旗杆顶部为点A ，折断处为点B ，旗杆底部为点C ，由题意得BC ⊥AC ，BC =6m ，AC =8m ，∴∠ACB =90°，∴10AB ===m ，∴BC +AB =6+10=16m ，∴旗杆折断之前的高度是16m ，故选：D ．4．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，间折者高几何？”翻译成数学问题；如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，10AB AC +=，3BC =，若设AC x =，则可列方程为（）A ．()222103x x +-=B ．()222310x x +=+C ．()222103x x -+=D ．()222310x x +=-【答案】D【分析】根据勾股定理建立方程即可．【解析】解： 90ACB ∠=︒，10AB AC +=，3BC =，222AC BC AB ∴+=设AC x =，则10AB x =-，则()222310x x +=-故选D 5．一架2.5米长的梯子，斜立在一坚直的墙上，这时梯子的底端离墙0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯子底部在水平方向上滑动（）A ．0.4米B ．0.5米C ．0.8米D ．0.9米【答案】C【分析】依题意画出图形，先利用勾股定理求出AC ，进而得出A C '，再利用勾股定理求出CB '即可解答．【解析】解：如图，在Rt △ABC 中，AB =2.5，BC =0.7，∠ACB =90°，∴AC = 2.4==，∴A C '=2.4-0.4=2，在Rt △A CB ''中，CB '= 1.5=，∴BB '=1.5-0.7=0.8，即梯子底部在水平方向上滑动0.8米，故选：C ．6．如图，一根长为2.5m 的梯子AB 斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端B 离墙根E 的距离为0.7m ，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动0.8m 至D 处，则梯子的顶端将沿墙向下移动的距离AC 为（）A ．0.4mB ．0.5mC ．0.8mD ．0.7m【答案】A 【分析】在Rt △ABE 中求出AE ，在Rt △CDE 中求出CE ，继而可得出顶端将沿墙向下移动的距离．【解析】解：由题意得，AB ＝CD ＝2.5m ，BE ＝0.7m ，DE ＝1.5m ，在Rt △ABE 中， 2.4m AE ==，在Rt △CDE 中，CE ==2m ，∴梯子的顶端将沿墙向下移动的距离AC ＝2.4−2＝0.4m ，故选：A ．7．从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横章竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖若比门框高2尺．另一醉汉叫他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？若设竹竿的长为x 尺，则下列方程，满足题意的是（）A ．()()22224x x x ++-=B ．()()22224x x x +++=C ．()()22224x x x -+-=D ．()()22224x x x -++=【答案】C【分析】根据题意，门框的长，宽，以及竹竿长是直角三角形的三个边长，等量关系为：门框长的平方+宽的平方=门的两个对角长的平方，把相关数值代入即可求解．【解析】解：∵竹竿的长为x 尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．∴门框的长为（x -2）尺，宽为（x -4）尺，可列方程，()()22224x x x -+-=，故选C ．8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC 为0.7m ，梯子顶端到地面的距离AC 为2.4m ．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A D '为1.5m ，则小巷的宽为（）．A ．2.4mB ．2.5mC ．2.6mD ．2.7m【答案】D 【分析】在Rt △ABC 中，利用勾股定理计算出AB 长，再在Rt △A ′BD 中利用勾股定理计算出BD 长，然后可得CD 的长．【解析】解：在Rt △ABC 中，AB=，∴A ′B =2.5m ，在Rt △A ′BD 中，BD=，∴CD =BC +BD =2+0.7=2.7m ，故选：D ．二、填空题9．如图，一根旗杆在离地面9m 处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高为__________．【答案】24米【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．【解析】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12米，旗杆离地面9米折断，且旗杆与地面是垂直的，∴折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．15=米，∴旗杆折断之前高度为15+9=24米．10．如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高_____．【答案】【分析】过C作CD⊥AB于D，由题意知BC=10，CD=6，根据勾股定理可得BD=8，从而得到AD的长，再利用勾股定理可得AC的长，即可得到树原来的高度．【解析】解：如图作CD⊥AB交AB延长线于D，由题意知BC=10m，CD=6m，根据勾股定理得：BD=8m，∵AB=4m，∴AD=8+4=12m，，AC∴这棵数原来的高度=（m，故答案为：（m．11．云南省是我国乃至世界公认的竹类种质资源大省如图，有一根由于受虫伤而被风吹折断的竹子正好顶端着地，折断处离地面的高度为3米竹子的顶端落在离竹子根部距离4米处，则这根竹子原来的高度为______米．【答案】8【分析】由题意，根据勾股定理求出斜边的长度，即可求出竹子原来的高度．【解析】解：根据题意，如图：∵3AC =，4BC =，90C ∠=︒，∴AB 5==，∴这根竹子原来的高度为：358AC AB +=+=（米）；故答案为：8．12．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC 为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC 为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A D '为1.5米，则小巷的宽为_____米．【答案】2.7【分析】在Rt △ABC 中，利用勾股定理计算出AB 长，再在Rt A BD ' 中利用勾股定理计算出BD 长，然后可得CD 的长．【解析】解：在Rt △ABC 中， 2.5m AB ===，∴ 2.5m A B AB '==，在Rt A BD ' 中，2m BD ===，∴CD =BC +BD =2+0.7=2.7m ，故答案为：2.7．13．如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A '，使梯子的底端A '到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降至B '，那么BB '的值___1米（填>，<，=）【答案】<【分析】利用勾股定理求出AB ，OB '的长，可得BB '＝(7−)米，然后进行估算即可．【解析】解：由题意可知：∠AOB ＝90°，AB ＝A 'B '，在Rt △AOB 中，由勾股定理得222AB OA OB ＝＋，∴2222753AB ＝＋＝，在Rt △A 'OB '中，由勾股定理得：22253944OB A B OA ''''--＝＝＝，∴OB ′＝米，∴BB '＝OB −OB '＝(7−)米，∵34<<，∴6<<8，∴71-<，故答案为：<．14．如图，一架梯子AB 长10米，底端离墙的距离BC 为6米，当梯子下滑到DE 时，AD ＝3米，则BE ＝___________米．【答案】()36【分析】勾股定理先求AC 的长，继而得到CD 的长，根据AB =DE ，再次运用勾股定理计算CE 的长，根据BE =CE -CB 计算即可．【解析】∵AB =10，BC =6，∴AC 22221068AB BC -=-=，∵AD ＝3，∴CD =AC -AD =5，∴CE 222210553DE DC -=-=∴BE =CE -CB =()536米，故答案为：()36．三、解答题15．如图，∠AOB ＝90°，OA ＝8m ，OB ＝3m ，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？【答案】机器人行走的路程BC 为7316m ．【分析】根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC =AC ，设BC =AC =x m ，根据勾股定理求出x 的值即可．【解析】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，∴BC =AC ，设BC =AC =x m ，则OC =（8-x ）m ，在Rt △BOC 中，∵OB 2+OC 2=BC 2，∴32+（8-x ）2=x 2，解得7316x =．∴机器人行走的路程BC 为7316m ．16．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C 处吹折，竹子的顶端A 刚好触地，且与竹子底端的距离AB 是4米．求竹子折断处与根部的距离CB ．【答案】3米【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x 米，则斜边为（8-x ）米．利用勾股定理解题即可．【解析】解：由题意知BC ＋AC ＝8，∠CBA ＝90°，∴设BC 长为x 米，则AC 长为（8x -）米，∴在Rt △CBA 中，有222BC AB AC +=，即：2216(8)x x +=-，解得：3x =，∴竹子折断处C 与根部的距离CB 为3米．17．一个长13米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，梯子的顶端距离地面12米．(1)如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？（结果保留根号）(2)如果梯子的顶端下滑的距离等于底端滑动的距离，那么这个距离是多少?【答案】(1)()5米；(2)7米【分析】（1）利用勾股定理即可求解；（2）设该距离为x ，下滑后，有AB =13，AC =12-x ，BC =5+x ，利用勾股定理即可求解．【解析】（1）如图，根据题意，下滑前，有AB =13，AC =12，∠C =90°，∴5BC ===，下滑之后，有AB =13，AC =11，∠C =90°，∴此时的BC ===∴梯子底端滑动的距离为：()5米，答：梯子的底端下滑()5-米；（2）设该距离为x 米，根据（1）的结果，可知下滑前BC =5，根据题意，下滑后，有AB =13，AC =12-x ，BC =5+x ，∠C =90°，∴利用勾股定理有：222AB BC AC =+，即：()()22213512x x =++-，解方程得：x =7，（x =0不合题意，舍去），答：所求的距离为7米．18．一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子底端距墙底6m ．(1)若梯子的底端水平向外滑动1m ，梯子的顶端下滑多少米？(2)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？【答案】(1)（8m ；(2)2m【分析】（1）作出图形，根据梯子的底端水平向外滑动1m 得出BE 的长，根据勾股定理求出AC 和CD 的长，进而可得出结论；（2）设AD ＝BE ＝x ，再根据勾股定理即可得出结论．【解析】（1）如图，△ABC 中，AB ＝10m ，BC ＝6m ，∴8AC ==m ，∵梯子的底端水平向外滑动1m ，，∴BE ＝1m ，∴CE ＝6+1＝7m ，∴CD ==，∴AD =AC －CD =（8m ．答：梯子的顶端下滑（8m ；（2）∵梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，∴设AD ＝BE ＝x ，则2222BC AC CD CE +=+，即()()22226886x x -+=++，2210064163612x x x x =-++++2420x x -+=解得x ＝2或x =0（舍去）．答：滑动的距离是2米．19．如图，小磊将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA ，测得MA a =，梯子的底端P 保持不动，将梯子的顶端靠在对面墙上，此时90MPN ∠=︒，梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB ，测得NB b =，求A 、B之间的距离．【答案】a ＋b【分析】证明△AMP ≌△BPN ，从而得到MA ＝PB ＝a ，PA ＝NB ＝b ，即可求出AB ＝PA ＋PB ＝a ＋b ．【解析】解：∵∠MPN ＝90°，∴∠APM ＋∠BPN ＝90°，∵∠APM ＋∠AMP ＝90°，∴∠AMP ＝∠BPN ．在△AMP 与△BPN 中，90AMP BPN MAP PBN MP PN ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AMP ≌△BPN （AAS ），∴MA ＝PB ＝a ，PA ＝NB ＝b ，∴AB＝PA＋PB＝a＋b．20．如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C＝90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC 为0.7m（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；（2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的底端B在水平方向上向右滑动了多远？【答案】（1）2.4米；（2）1.3m【分析】（1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案；（2）直接利用勾股定理得出B′C，进而得出答案．【解析】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝2.5，BC＝0.7，=（米），∴AC 2.4答：此时梯顶A距地面的高度AC是2.4米；（2）∵梯子的顶端A下滑了0.9米至点A′，∴A′C＝AC−A′A＝2.4−0.9＝1.5（m），在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2＋B′C2＝A′B′2，∴1.52＋B′C2＝2.52，∴B′C＝2（m），∴BB′＝CB′−BC＝2−0.7＝1.3（m），答：梯子的底端B在水平方向滑动了1.3m．21．如图，一个梯子AB斜靠在一面墙上，梯子底端为A，梯子的顶端B距地面的垂直距离为BC的长．（1）若梯子的长度是10m，梯子的顶端B距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端A向外滑动多少米?（2）设AB c =，BC a =，AC b =，且a b >，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况?若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由．【答案】（16米；（2）存在，梯子的底端向外滑动的距离是()-a b 米．【分析】（1）已知AB 、BC ，在直角ABC 中即可计算AC 的长度，设梯子的底端向外滑动x 米，由题意得，222(81)(6)10x -++=，求解即可；（2）设存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，此时梯子的底端向外滑动x 米，由题意得，222()()a x b x c -++=，求解即可．【解析】（1）在Rt ABC △中，10AB = ，8BC =，6AC ∴=.设梯子的底端向外滑动x 米，由题意得，222(81)(6)10x -++=，解得16x =，26x =-（舍去）6x ∴=6米.（2）设存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，此时梯子的底端向外滑动x 米，由题意得，222()()a x b x c -++=，解得1x a b =-，20x =（舍去），x a b ∴=-，即梯子的底端向外滑动的距离是()-a b 米．22．如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C 落在第二象限．其斜边两端点A 、B 分别落在x 轴、y 轴上且AB ＝12cm（1）若OB ＝6cm ．①求点C 的坐标；②若点A 向右滑动的距离与点B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C 与点O 的距离的最大值是多少cm ．【答案】（1）①点C 的坐标为（－9）；②滑动的距离为61）cm ；（2）OC 最大值12cm ．【分析】（1）①过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，根据30°的直角三角形的性质解答即可；②设点A 向右滑动的距离为x ，根据题意得点B 向上滑动的距离也为x ，根据锐角三角函数和勾股定理解答即可；（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，证得△ACE∽△BCD，利用相似三角形的性质解答即可．【解析】解：（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，则sin∠BAO=1 2∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，又∵在Rt△ACB中，∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，BC=AB·sin30°=6∴BD=BC·sin30°=3，CD=BC∴OD=OB+BD=9∴点C的坐标为（﹣9）；②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：AO=12×cos∠BAO∴A'Ox，B'O=6+x，A'B'=AB=12在△A'O B'中，由勾股定理得，（x）2+（6+x）2=122，解得：x=61），∴滑动的距离为61）；（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3：则OE =﹣x ，OD =y ，∵∠ACE +∠BCE =90°，∠DCB +∠BCE =90°，∴∠ACE =∠DCB ，又∵∠AEC =∠BDC =90°，∴△ACE ∽△BCD ，∴CE AC CD BC =，即tan 603CE CD=︒=∴y =3，OC 2=x 2+y 2=x 2+3）2=4x 2，∴当|x |取最大值时，即C 到y 轴距离最大时，OC 2有最大值，即OC 取最大值，如图，即当C 'B '旋转到与y 轴垂直时．此时|x |=6，OC 22=124=x x ，故点C 与点O 的距离的最大值是12cm ．。
因式分解易因式分解易错必刷题—2023-2024学年八年级数学下册(北师大版)(解析版)
因式分解易错必刷题型专训（52题13个考点）【易错必刷一 判断是否是因式分解】1．（21-22八年级下·安徽淮北·期中）下列从左边到边的变形，是因式分解的是（ ）A ．()()2339a a a +−=−B ．331234x y x y −=−⋅C ．()()2211a b a b a b −=−+−−D ．()mR mr m R r +=+【答案】D【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式，叫做因式分解，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A ．()()2339a a a +−=−，是乘法运算，故该选项不符合题意；B ．331234x y x y −=−⋅是单项式变形，故该选项不符合题意； C ．()()2211a b a b a b −=−+−−，等号右边不是积的形式，故该选项不符合题意； D ．()mR mr m R r +=+，符合因式分解的定义，故该选项符合题意；故选：D ．2．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）在()()22x y x y x y +−=−中，从左到右的变形是 ，从右到左的变形是 ．【答案】 整式乘法 因式分解【分析】此题主要是考查了因式分解的意义，根据因式分解的定义、整式乘法的定义和平方差公式进行求解，紧扣因式分解的定义是解题的关键．【详解】解：在()()22x y x y x y +−=−中，从左到右的变形是整式乘法，从右到左的变形是因式分解，故答案为：整式乘法，因式分解．3．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？(1)22446x y x xy =⋅；(2)2(5)(5)25x x x +−=−；(3)223(3)(1)x x x x +−=+−；(4)29613(32)1x x x x −+=−+； (5)211()x x x x+=+． 【答案】(1)不是因式分解(2)不是因式分解(3)是因式分解(4)不是因式分解(5)不是因式分解【分析】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解是针对多项式而言的，因式分解后，右边是整式积的形式．根据分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式【详解】（1）解：因式分解是针对多项式来说的，故不是因式分解；（2）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解；（3）解：是因式分解；（4）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解；（5）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解．4．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列代数式从左到右的变形哪些不属于因式分解？请说明理由．(1) ()222a a a b ab =++；(2) ()21bx bx bx x −−=；(3) ()22121x x x x −+=−+；(4)2322423a bc a bc ⋅⋅=．【答案】(1)是整式的乘法，不是因式分解(2)一个多项式转化成几个整式积的形式，是因式分解(3)没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解(4)等式的左边不是多项式，不是因式分解【分析】（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此即可作答；（2）根据因式分解的定义判断即可得答案；（3）根据因式分解的定义判断即可得答案；（4）根据因式分解的定义判断即可得答案．【详解】（1）()222a a a b ab =++是整式的乘法，故（1）不是因式分解； （2）()21bx bx bx x −−=，一个多项式转化成几个整式积的形式，故（2）是因式分解； （3）()22121x x x x −+=−+，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故（3）不是因式分解； （4）2322423a bc a bc ⋅⋅=，等式的左边不是多项式，故（4）不是因式分解．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．【易错必刷二 已知因式分解的结果求参数】1．（2024八年级·全国·竞赛）若多项式212x mx ++因式分解得()()3x x n ++，则m n +=（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】D【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法运算．根据因式分解的定义，列出等式，利用等式性质分别求出m 和n 的值，再求解即可．【详解】解：由已知， ()()()223312=3x n x x x n x x n m ++++++=+故可得，3,312n m n +==，∴4n =，37m n =+=，∴4711m n +=+=，故选：D2．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）已知，多项式212x mx −−可因式分解为()()34x x +−，则m 的值为 ．【答案】1【分析】本题主要考查了多项式乘法与分解因式之间的关系，根据多项式乘以多项式的计算法则求出()()34x x +−的结果即可得到答案．【详解】解：∵，多项式212x mx −−可因式分解为()()34x x +−， ∴()()2221234341212x mx x x x x x x x −−=+−=+−−=−−，∴1m −=−，即1m =，故答案为：1．3．（23-24八年级上·山东济南·期末）已知2+−x y 是二元二次式2256x axy by x y ++−++的一个因式，求a ，b 的值．【答案】1a =−，2b =−．【分析】本题主要考查了因式分解与整式乘法之间的关系，设另一个因式为3x cy +−，利用多项式乘法得到()()22221523656x c xy cy x c y x axy by x y +++−−++=++−++，进而得到231c +=−，求出2c =−，则11a c =+=−，2b c ==−．【详解】解：2x y +−为2256x axy ky x y ++−++的一个因式， ∴可设另一个因式为3x cy +−∴()()222356x y x cy x axy by x y +−+−=++−++()()22221523656x c xy cy x c y x axy by x y ∴+++−−++=++−++231c ∴+=−， 2c ∴=−，∴11a c =+=−，2b c ==−．4．（23-24八年级上·山东济宁·期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式24x x m −+分解因式后有一个因式是()3x +，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得()()243x x m x x n −+=++，则()22433x x m x n x n −+=+++，343n m n +=−⎧∴⎨=⎩，解得：7n =−，21m =−，∴另一个因式为()7x −，m 的值为21−．请仿照上述方法解答下面问题：(1)若()()223x bx c x x ++=+−，则b =______，c =______；(2)已知二次三项式2814x x k −−分解因式后有一个因式是()23x −，求另一个因式以及k 的值；(3)已知二次三项式2642x ax ++有一个因式是()2x a +，a 是正整数，求另一个因式以及a 的值．【答案】(1)1−，6−(2)()41x −，3k =−(3)另一个因式是()31x +，a 的值是2【分析】（1）将()()223x bx c x x ++=+−，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解，（2）设另一个因式为：()4x b +，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， （3）设另一个因式是()3x m +，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， 本题考查了，根据因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算．【详解】（1）解：()()22236x x x x x bx c +−=−−=++，1b ∴=−，6c =−， 故答案为：1−，6−，（2）解：设另一个因式为：()4x b +，则()()()2222348212382123814x x b x bx x b x b x b x x k −+=+−−=+−−=−−，212143b b k −=−⎧∴⎨=⎩，解得：1b =-，3k =−，∴另一个因式是()41x −，故答案为：()41x −，3k =−，（3）解：设另一个因式是()3x m +，则()()()2223623642x a x m x m a x am x ax ++=+++=++则2342m a a am +=⎧⎨=⎩，解得：21a m =⎧⎨=⎩或21a m =−⎧⎨=−⎩，a 是正整数，2a ∴=，另一个因式是()31x +；2a =−（不符合题意舍去），∴另一个因式是()31x +，a 的值是2．【易错必刷三 公因式】1．（22-23八年级上·海南三亚·期中）多项式323226318a b ab a b −−分解因式时，应提取的公因式是（ ） A ．23a bB ．23abC ．333a bD ．223a b【答案】B【分析】本题考查了提公因式分解因式，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．【详解】解：323226318a b ab a b −−()223216ab a ab =−−， 故选B ．2．（22-23八年级上·山东威海·期末）多项式2324223126x y x y x y −−的公因式是（ ）A ．23x yB ．233x yC ．223x yD ．3xy 【答案】C【分析】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．根据多项式的公因式的确定方法，即可求解．【详解】解：多项式2324223126x y x y x y −−的公因式是223x y ， 故选C ．3．（21-22八年级下·陕西咸阳·阶段练习）多项式2223261812ab a b a b c +−的公因式是（ ）A ．226a bB ．26abC ．26ab cD ．326a b c【答案】B【分析】本题考查找公因式，找数字的最大公因式，字母找相同字母最低指数即可得到答案；【详解】解：由题意可得，2223261812ab a b a b c +−的公因式是：26ab ，故选：B ．4．（23-24八年级上·甘肃金昌·期末）232238612x y z xy z xy z −+分解因式时，应提取的公因式是（ ） A ．224x y zB ．22xy zC ．6xyD ．2【答案】B【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握以上知识点是解题的关键，找公因式的要点是：①公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；②字母取各项都含有的相同字母；③相同字母的指数取次数最低的．【详解】解：232238612x y z xy z xy z −+()22436xy z xyz z y =−+ 因此232238612x y z xy z xy z −+的公因式是22xy z 故选：B ．【易错必刷四 提公因式分解因式】1．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）把多项式33128ab a b +分解因式，应提的公因式是（ ） A ．abB ．4abC ．2abD ．24a b 【答案】B【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为4ab ，据此可得答案．【详解】解：()3322128432ab a b ab b a +=+，则多项式33128ab a b +分解因式，应提的公因式是4ab ， 故选：B ．2．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知()()()()221373713x x x x −−−−−可因式分解为()()3x a x b ++，其中a ，b 均为正整数，则3a b +的值为 ．【答案】31−【分析】本题考查的是因式分解的应用，先提取公因式37x −，得到()()()()3783x x x a x b −−=++，再求解a ，b 的值，代入计算即可． 【详解】解：()()()()221373713x x x x −−−−−()()3722113x x x =−−−+()()378x x =−−．∵()()()()221373713x x x x −−−−−可分解因式为()()3x a x b ++，∴()()()()3783x x x a x b −−=++，则7a =−，8b =−，故()373831a b +=−⨯−=−＋．故答案为31−．3．（23-24八年级下·全国·课后作业）用提公因式法将下列各式分解因式：(1)232224812x y x y z xy z +−；(2)()()3352202x x y y y x −−−．【答案】(1)()2423xy xy xz z +− (2)()()3524x y x y −+【分析】本题考查的是题公因式分解因式，掌握提公因式的方法是解本题的关键；（1）提取公因式24xy ，再分解因式即可；（2）提取公因式()352x y −，再分解因式即可；【详解】（1）解：232224812x y x y z xy z +−()2423xy xy xz z =+−．（2）()()3352202x x y y y x −−−()()3352202x x y y x y =−+−()()3524x y x y =−+；4．（23-24八年级上·青海海东·期末）已知x 、y 满足8xy =，2256x y xy −=．求下列各式的值：(1)x y −；(2)22x y +．【答案】(1)7x y −=，(2)2265x y +=．【分析】本题考查的是利用因式分解，完全平方公式的变形，求解代数式的值．（1）由2256x y xy −=，可得：()56xy x y −=，再利用8xy =，2256x y xy −=．从而可得答案； （2）由()2222x y x y xy +=−+，结合7x y −=，8xy =，可得答案．【详解】（1）∵2256x y xy −=，即()56xy x y −=，∵8xy =，∴7x y −=；（2）()2222272865x y x y xy +=−+=+⨯=．【易错必刷五 判断能否用公式法分解因式】1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（ ）A ．214a a +−B ．222−−+a b abC ．2225a b −+D ．249b −【答案】A【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键． 利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可．【详解】解：A 、214a a +−不能用公式法因式分解，故此选项符合题意； B 、()()2222222a b ab a ab b a b −−+=−−+=−−，故此选项不符合题意； C 、()()()222255525b a b a a a b b =−=++−−，故此选项不符合题意；D 、()()()22249232323b b b b −=−=+−，故此选项不符合题意． 故选：A ．2．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．222x xy y −+B ．222x xy y −+−C ．222x xy y −−+D ．2244x y xy ++【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟背完全平方公式是解决本题的关键．根据题意对各个选项逐个分析即可选出本题答案．【详解】解：∵2222()x xy y x y −+=−，∴A 选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；∵222222(2)()x xy y x xy y x y −+−=−−+=−−，∴B 选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；∵22222(2)x xy y x xy y −−+=−+−，即不符合完全平方公式， ∴C 选项不能用完全平方公式分解因式，符合题意；∵22244(2)x y xy x y ++=+，∴D 选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；故选：C ．3．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ） （1）224x y −+（2）22931a b ab −+（3）222−−−x xy y （4）22x y −−．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【分析】本题考查了因式分解中的公式法，涉及完全平方公式以及平方差公式，据此逐项分析，即可作答．【详解】解：()()22224242y y y x x x y x −==++−−，故（1）符合题意；22931a b ab −+不能运用公式法分解因式，故（2）不符合题意；()()()222222x xy y x xy y x y x y −+=−=−+−−++，故（3）符合题意； ()2222x y x y −−=−+，不能运用公式法分解因式，故（4）不符合题意；所以能运用公式法分解因式的有（1）和（3），故选：B4．（22-23八年级上·福建厦门·期末）要使多项式22x M x ++能运用平方差公式进行分解因式，整式M 可以是（ ）A ．1B ．1−C ．24x −+D ．24x −− 【答案】D【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【详解】解：A.()22211x x x ++=+是完全平方公式因式分解，不合题意；B.221x x +−不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；C.222424x x x x x −++=+，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；D. ()()22242422x x x x x x −−+=−=+−，能用平方差公式因式分解，故该选项正确，符合题意； 故选：D ．【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．【易错必刷六 运用平方差公式分解因式】1．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）若2212x y −=且2x y −=，则x y +的值是（ ）A ．12B ．24C ．6D ．14【答案】C【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；根据题意及平方差公式可直接进行求解．【详解】解：∵2212,2x y x y −=−=， ∴()()12x y x y +−=，∴6x y +=；故选C ．2．（2023·四川宜宾·模拟预测）分解因式：224169a b −= ．【答案】()()213213a b a b +−【分析】本题考查的是因式分解，熟记平方差公式是解题的关键．根据平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：224169a b −()()22213a b =−()()213213a b a b =+− 故答案为：()()213213a b a b +−3．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知9621−可以被在60至70之间的两个整数整除，求这两个整数是多少？【答案】65和63【分析】本题考查了用平方差公式进行因式分解，解题的关键是掌握()()22a b a b a b +−=−．根据平方差公式，将9621−进行因式分解，即可得出结论．【详解】解：9621−()248221=−()()48482121=+−()()()482424212121=++−()()()()4824121221212121=+++−()()()()()482412662121212121=++++− ()()()4824122121216563=+++⨯⨯，∴9621−能被65和63整除， ∴这两个整数是65和63．4．（21-22七年级下·广西桂林·期末）分解因式：21m −．【答案】()()11m m +−【分析】本题主要考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解题的关键．利用平方差公式分解即可．【详解】解：()()2111m m m −=+−．【易错必刷七 运用完全平方公式分解因式】1．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）已知20242023a x =+，20242024b x =+，20242025c x =+，则代数式222a b c ab ac bc ++−−−的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先根据已知条件式得到112a b b c a c −=−−=−−=−，，，再把原式变形为()22212222222a b c ab ac bc ++---，最后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵20242023a x =+，20242024b x =+，20242025c x =+，∴20242023202420241a b x x −=+−−=−，20242024202420251b c x x −=+−−=−，20242023202420252a c x x −=+−−=−，∴222a b c ab ac bc ++−−−()22212222222a b c ab ac bc =++---()()()22222212222a ab b b bc c a ac c éù=-++-++-+êúëû()()()22212a b b c a c =−+−+−⎡⎤⎣⎦ ()()()22211122⎡⎤=−+−+−⎣⎦ 3=，故选：D ．2．（2024·江苏南京·一模）代数式22222x y xy x +++的最小值是 ．【答案】2−【分析】本题考查了完全平方公式和非负数性质的应用能力，通过将原式变形为()()22112x y y +++−−，再运用非负数的性质进行求解，关键是能对原式进行准确变形配方．【详解】解：22222x y xy x +++ 2222221212x xy x y y y y =++++++−+−()()()2222121212x x y y y y y =++++++−+−()()221122x y y =+++−−≥−，故答案为：2−．3．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）下面是小刚同学解答一道题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．先化简，再求值：()()()252a a b a b a b b +−+−−，其中22a b +=−． 解：原式()22225522a ab a ab ab b b =+−−+−−……第一步22225522a ab a ab ab b b =+−+−+−……第二步2244a ab b =++．……第三步当22a b +=−时，原式()22a b =+……第四步()224=−=．……第五步 任务：(1)小刚在解答过程中，从第三步到第四步涉及到的乘法公式是______．（填“平方差公式”或“完全平方公式”）(2)小刚在解答过程中，第五步的运算体现的数学思想是（ ）．A ． 数形结合思想B ． 整体代入思想C ． 分类讨论思想D ． 转化思想(3)求式子()()261x x x ++−的值，其中22450x x +−=．【答案】(1)完全平方公式(2)B(3)6【分析】本题考查的是整式的混合运算，因式分解，化简求值，掌握完全平方公式与整体思想是解本题的关键；（1）由计算过程可得利用了完全平方公式分解因式；（2）由整体代入计算可得体现的是整体思想；（3）先计算整式的乘法运算，再合并同类项，最后整体代入求值即可．【详解】（1）解：从第三步到第四步涉及到的乘法公式是：完全平方公式；（2）小刚在解答过程中，第五步的运算体现的数学思想是：整体代入思想，故选B（3）()()261x x x ++−22621x x x x =++−+2241x x =++，∵22450x x +−=， ∴2245x x +=，∴原式516=+=；4．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）定义：,,a b c 为正整数，若222c a b =+，则称c 为“完美勾股数”，,a b 为c 的“伴侣勾股数”．如22213512=+，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．(1)数10_______“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；(2)已知ABC 的三边,,a b c 满足2226810500a b c a b c ++−−−+=．求证：c 是“完美勾股数”．【答案】(1)是(2)见解析【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用，完全平方公式，解题的关键是掌握配方法．（1）根据完美勾股数的定义可得答案；（2）利用完全平方公式，将已知式配成几个平方数和的形式，利用非负数性质进而求出c ，即可证明．【详解】（1）解：2221068=+，∴数10是“完美勾股数”，故答案为：是；（2）证明：2226810500a b c a b c ++−−−+=∴()()()2226981610250a a b a c c −++−++−+= 222(3)(4)(5)0a b c \-+-+-= 222(3)0;(4)0;(5)0a b c −≥−≥−≥3,4,5a b c ∴===，222c a b ∴=+，c ∴是“完美勾股数”；【易错必刷八 综合运用公式法分解因式】1．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）把()22214a a +−因式分解得（ ） A ．()2214a a +− B ．()2214a a +−C ．()()2211+−a aD ．()221a − 【答案】C 【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可.【详解】解：()()()()()222222214121112a a a a a a a a ==−+−++−++；故选：C. 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键.2．（2024·河南周口·二模）分解因式()222224a b a b +−= ．【答案】()()22a b a b +− 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解即可．【详解】()222224a b a b +− ()()22222b a b a =+−()()222222a b ab a b ab =+++− ()()22a b a b =+−．故答案为：()()22a b a b +−．3．（23-24八年级上·河南三门峡·期末）分解因式：(1)229()()m n m n +−−；(2)3221218a a a −+−．【答案】(1)()()422m n m n ++；(2)22(3)a a −−．【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．（1）先利用平方差公式，再利用提公因式法继续分解即可解答；（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．【详解】（1）解：229()()m n m n +−−()()()()33m n m n m n m n =++−+−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()4224m n m n =++ ()()422m n m n =++；（2）解：3221218a a a −+−()2269a a a =−−+22(3)a a =−−． 4．（22-23八年级上·贵州黔西·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法和十字相乘法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法，等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法.例如： ()()()2222222424()222x xy y x xy y x y x y x y −+−=−+−=−−=−+−−．②拆项法，将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法.例如： ()()()()222223214(1)2121213x x x x x x x x x +−=++−=+−=+−++=−+(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）22441x x y +−+；②（拆项法）268x x −+；(2)已知：a ，b ，c 为ABC 的三条边，222446170a b c a b c ++−−−+=，求ABC 的周长．【答案】(1)()()2121x y x y ++−+①；()()42x x −−②(2)ABC 的周长为7【分析】本题主要考查公式法因式分解：（1）①将22441x x y +−+组成为()22441x x y ++−分解即可．②将268x x −+拆项为()2691x x −+−分解即可； （2）分组拆项配成完全平方式的和形式()()()2226944440a b a b c c ++−−+++=−，利用非负性计算即可．【详解】（1）22441x x y +−+① ()22441x x y =++−2221()x y =+−()()2121x y x y =++−+268x x −+②2691x x =−+− 2(3)1x =−−()()3131x x =−−−+ ()()42x x =−−（2）222446170a b c a b c ++−−−+=Q ，()()()2224444690a a b b c c ∴−++−++−+=．222(2)(2)(3)0a b c ∴−+−+−=．2a ∴=，2b =，3c =．2237a b c ∴++=++=．ABC ∴的周长为7．【易错必刷九 综合提公因式和公式法分解因式】1．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列因式分解中，结果正确的有（ ）个．①()322221m m m m −=−；②()()2422x x x x x −=+−；③()()22416422x y x y x y −=+−；④()()2282222a b b b a b a b −=+−；⑤()22248422x xy y x y ++=+． A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 【分析】本题考查的知识点是因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解的计算方法．根据提公因式法、公式法分别对五个式子进行判断，综合所有结果即可求解．【详解】解：①()()()322221211m m m m m m m −=−=+−，因此①不正确； ②()244x x x x −=−，因此②不正确； ③()()()222241644422x y x y x y x y −=−=+−，因此③正确； ④()2228224a b b b a b −=−，因此④不正确； ⑤()()22222484424x xy y x xy y x y ++=++=+，因此⑤不正确；综上所述，结果正确的有③，故选：D ．2．（23-24九年级下·湖北荆州·阶段练习）分解因式：2231212ax axy ay −+= ．【答案】()232a x y −【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式3a ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：2231212ax axy ay −+()22344a x xy y =−+()232a x y =−，故答案为：()232a x y −．3．（22-23八年级下·广东深圳·期中）将下列多项式因式分解：(1)()()22162x x x −−−(2)()()269m n n m −−−+【答案】(1)()()()244x x x −−+(2)()23m n −+【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．（1）首先对各项提取公因式()2x −，再利用平方差公式进行因式分解，即可解答；（2）将原式转化为()()269m n m n −+−+，然后结合完全平方公式进行因式分解，即可解答． 【详解】（1）解：()()22162x x x −−− ()()2216x x =−−()()()244x x x =−−+；（2）解：()()269m n n m −−−+ ()()269m n m n =−+−+()23m n ⎡⎤=−+⎣⎦()23m n =−+．4．（23-24八年级上·贵州黔东南·阶段练习）下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．分解因式∶()()2233x y x y +−+．解∶原式()()3333x y x y x y x y =++++−−……第一步 ()()4422x y x y =+−……第二步()()8x y x y =+−……第三步()228x y =−．……第四步任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a ，b 表示为 ；任务二：以上分解过程第 步出现错误，具体错误为 ，分解因式的正确结果为 ．【答案】任务一：()()22a b a b a b −=+−；任务二：四，进行乘法运算，()()8x y x y +−【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．任务一：根据平方差公式求解即可；任务二：根据因式分解的概念求解即可．【详解】任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a ，b 表示为()()22a b a b a b −=+−；任务二：以上分解过程第四步出现错误，具体错误为进行乘法运算，分解因式的正确结果为()()8x y x y +−．【易错必刷十 因式分解在有理数简算中的应用】1．（21-22八年级下·陕西西安·期末）利用因式分解计算：22111021198⨯−⨯的结果是（ ）A ．44B ．800C ．2200D ．8800 【答案】D【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可．【详解】解：22111021198⨯−⨯()221110298=⨯−()()111029810298=⨯+− 112004=⨯⨯8800=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键．即22()()a b a b a b −=+−．2．（22-23八年级上·福建泉州·期中）计算：2202220222021−⨯= ．【答案】2022【分析】根据有理数的乘法运算律计算，即可求解．【详解】解：2202220222021−⨯()202220222021=⨯−20221=⨯2022=．故答案为：2022【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法运算律是解题的关键．3．（23-24八年级下·全国·课后作业）用简便方法计算：(1)222 023 4 044 2 023 2 022−⨯+；(2)222011.54011.59.5209.5⨯−⨯⨯+⨯．【答案】(1)1(2)80【分析】本题考查的是完全平方公式的灵活运用，熟记完全平方公式的特点是解本题的关键；（1）把原式化为2220232202220232022−⨯⨯+，再利用完全平方公式进行计算即可；（2）把原式化为()222011.5211.59.59.5⨯−⨯⨯+，再利用完全平方公式进行计算即可；【详解】（1）解：222023404420232022−⨯+2220232202220232022=−⨯⨯+()22023-2022=1=． （2）222011.54011.59.5209.5⨯−⨯⨯+⨯()222011.5211.59.59.5=⨯−⨯⨯+ ()22011.59.5=⨯−2202=⨯ 80=．4．（2023八年级上·全国·专题练习）利用乘法公式简便计算．(1)2202020222021⨯−(2)223.672 6.328 6.3287.344++⨯【答案】(1)1−(2)100【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知平方差公式和完全平方公式是解题的关键．（1）把原式变形为()()220211202112021−⨯+−，再利用平方差公式进行求解即可；（2）原式根据完全平方公式变形为()23.672 6.328+，据此求解即可． 【详解】（1）解：原式()()220211202112021=−⨯+−222202112021=−−1=−； （2）解：原式223.672 6.328 6.328 3.6722++⨯⨯=()23.672 6.328=+210=100=．【易错必刷十一 十字相乘法】1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）若23x −是多项式2212x mx +−（m 为系数）的一个因式，则m 的值是（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】本题考查了因式分解的十字相乘法，利用十字相乘法很容易确定m 的值，解题的关键是熟练掌握十字相乘法．【详解】解：∵多项式2212x mx +−分解因式后含有因式23x −，()()222122342512x mx x x x x ∴+−=−+=+−，则5m =，故选：C ． 2．（2023·山东菏泽·三模）分解因式：3223x x x −+= ．【答案】()()31x x x +−【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先提取公因式，再用十字相乘法分解因式即可．【详解】3223x x x +−()223x x x =+−()()31x x x =+−．故答案为：()()31x x x +−．3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）把2412m m +−分解因式．【答案】()()26m m −+【分析】本题主要考查了因式分解．运用十字相乘法进行分解因式，即可．【详解】解：()()241226m m m m +−=−+．4．（23-24七年级上·山西朔州·期末）阅读下列材料：材料1：将一个形如2x px q ++的二次三项式因式分解时，如果能满足q mn =且p m n =+，则可以把2x px q ++因式分解成()()x m x n ++．①()()24313x x x x ++=++；②()()241262x x x x −−=−+．材料2：分解因式：()()221x y x y ++++．解：将“x y +”看成一个整体，令x y A +=，则原式()22211A A A =++=+，再将“A ”还原，得原式()21x y =++．上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，结合材料1和材料2，完成下面小题：(1)分解因式：()()243x y x y −+−+．(2)分解因式：()()22223m m m m ++−−．【答案】(1)()()13x y x y −+−+(2)()()()2113m m m +−+【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式，（1）令A x y =−，仿照例题解答即可；（2）令22B m m =+，先计算乘法，再因式分解即可．【详解】（1）解：令A x y =−，则原式()()24313A A A A =++=++，∴()()()()24313x y x y x y x y −+−+=−+−+；（2）令22B m m =+，则原式()()()2232313B B B B B B =−−=−−=+−.∴原式()()()()()2222123113m m m m m m m =+++−=+−+.【易错必刷十二 分组分解法】1．（20-21八年级下·河南郑州·期中）将多项式2233x y x y −−+分解因式的结果为（）A ．()()3x y x y ++−B ．()()3x y x y −−−C ．()()3x y x y +−−D ．()()3x y x y −+−【答案】A【分析】先分组，然后根据提公因式法与平方差公式进行因式分解即可求解．【详解】解：2233x y x y −−+()()()3x y x y x y =+−+−()()3x y x y =++−，故选：A ．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．2．（22-23八年级上·广西南宁·期中）分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解多项式．例如：()()()()()()22222221m n mn m n m mn n m n m n m n m n m n +−+−=−++−=−+−=−−+．根据上述方法，解决问题：已知a b c 、、是ABC 的三边，且满足220a b ac bc −+−=，则ABC 的形状是 ． 【答案】等腰三角形【分析】利用平方差公式和提公因式法将所给条件式变形为()()0a b c a b ++−=，由此推出a b =，据此可得答案．【详解】解：∵220a b ac bc −+−=， ∴()()220a b ac bc −+−=， ∴()()()0a b a b c a b +−+−=， ∴()()0a b c a b ++−=，∵0a b c ++≠，∴0a b −=，即a b =，∴ABC 的形状是等腰三角形，故答案为：等腰三角形．【点睛】本题主要考查了分解因式的应用，等腰三角形的判定，正确利用分组分解法分解因式是解题的关键．3．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）先阅读下面的材料，再分解因式．要把多项式am an bm bn +++分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a ，再把它的后两项分成一组，并提出b ，从而得()()am an bm bn a m n b m n +++=+++．这时，由于()()a m n b m n +++中又有公因式m n +，于是可提公因式m n +，从而得到()()m n a b ++，因此有()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n m n a b +++=+++=+++=++．这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．(1)请用上面材料中提供的方法分解因式：①2ab ac bc b −+−；②222248x y x y y −−+．(2)已知ABC 的三边长为a ，b ，c ，并且2220a b c ab bc ca +−−+−=，试判断此三角形的形状．【答案】(1)①()()b c a b −−；②()()224y x y −−(2)等边三角形【分析】本题考查了因式分解、等边三角形的判定，熟练掌握分组分解法是解题关键．（1）①利用分组分解法分解因式即可得；②利用分组分解法分解因式即可得；（2）根据已知等式可得()22220a b c ab bc ca ++−−−=，再利用分组分解法分解等式的左边，然后根据偶次方的非负性求解即可得．【详解】（1）解：①2ab ac bc b −+−()()2ab ac b bc =−−−()()a b c b b c =−−−()()b c a b =−−； ②222248x y x y y −−+()()222248x y x y y =−−−()()2242x y y y =−−− ()()224y x y =−−．（2）解：2220a b c ab bc ca ++−−−=，()22220a b c ab bc ca ∴++−−−=，()()()2222222220a ab b b bc c a ca c ∴−++−++−+=， 即()()()2220a b b c a c −+−+−=，0,0,0a b b c a c ∴−=−=−=，a b c ==∴，∴ABC 是等边三角形．4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“222m mn m n −+−”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为()()()()()()22222222m mn m n m mn m n m m n m n m n m −+−=−+−=−+−=−+．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题：(1)因式分解：323618a a a −+−；(2)因式分解：222ax a ab bx b +−−+．【答案】(1)()()236a a −+(2)()()a b a b x −−+【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组分解是解题关键．（1）首先将前两项组合提取公因式，后两项组合提取公因式，然后提取新的公因式即可；（2）首先分别将222a ab b −+与ax bx −组合，利用完全平方公式分解因式，然后提取新的公因式即可．【详解】（1）解：323618a a a −+−()()2363a a a =−+−()()236a a =−+；（2）222ax a ab bx b +−−+()()222a ab b ax bx =−++−()()2a b x a b =−+−()()a b a b x =−−+．【易错必刷十三 因式分解的应用】1．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式44x y −，因式分解的结果是()()()22x y x y x y −++，若取9x =，9y =，则各个因式的值是：0x y −=，18x y +=，22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy −，取52x =，28y =，用上述方法产生的密码不可能是（ ）A ．528024B ．522824C ．248052D ．522480。
专题02 整式与因式分解(讲义)(原卷版)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮(全国通用)
专题02整式与因式分解的核心知识点精讲1．能用幂的性质解决简单问题,会进行简单的整式乘法与加法的混合运算．2．能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算．3．了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，会用提公因式法和公式法进行因式分解．4．能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形，并通过代数式的适当变形求代数式的值．5．会列代数式表示简单的数量关系;能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义,会求代数式的值，并能根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律．考点1：代数式定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
考点2：整式的相关概念考点3：整式加减运算1.实质：合并同类项2.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
3.去括号（1）a+(b+c)=a+b+c；（2）a-(b+c)=a-b-c考点4：幂运算（1）幂的乘法运算口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即a m ×a n =a （m+n ）(a≠0,m,n 均为正整数，并且m>n)（2）幂的乘方运算口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即amnnm=)(a (m,n 都为正整数)（3）积的乘方运算口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即ba ab mnnnm=)(（m,n 为正整数）（4）幂的除法运算口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即a m ÷a n =a （m-n ）(a≠0,m,n 均为正整数，并且m>n)考点5：整式乘法运算（1）单项式乘单项式单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘多项式单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．（3）多项式乘多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．（4）乘法公式①平方差公式：22()()a b a b a b+--②完全平方公式：()222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-（5）除法运算①单项式的除法：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．考点6：因式分解【题型1：代数式及其求值】【典例1】（2023•南通）若a2﹣4a﹣12＝0，则2a2﹣8a﹣8的值为（）A．24B．20C．18D．161．（2023•雅安）若m2+2m﹣1＝0，则2m2+4m﹣3的值是（）A．﹣1B．﹣5C．5D．﹣3 2．（2023•常德）若a2+3a﹣4＝0，则2a2+6a﹣3＝（）A．5B．1C．﹣1D．0 3．（2023•巴中）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（）A．5B．7C．10D．﹣13【题型2：整式的相关概念及加减】【典例2】（2022•湘潭）下列整式与ab2为同类项的是（）A．a2b B．﹣2ab2C．ab D．ab2c1．（2021•河池）下列各式中，与a b为同类项的是（）A．﹣2a2b B．﹣2ab C．2ab2D．2a2 2．（2022•泰州）下列计算正确的是（）A．3ab+2ab＝5ab B．5y2﹣2y2＝3C．7a+a＝7a2D．m2n﹣2mn2＝﹣mn23．（2022•包头）若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为．【题型3：幂运算】【典例3】（2023•株洲）计算：（3a）2＝（）A．5a B．3a2C．6a2D．9a21．（2023•丹东）下列运算正确的是（）A．（3xy）2＝9x2y2B．（y3）2＝y5C．x2•x2＝2x2D．x6÷x2＝x32．（2023•陕西）计算：＝（）A．B．C．D．3．（2023•温州）化简a4•（﹣a）3的结果是（）A．a12B．﹣a12C．a7D．﹣a7【题型4：整式的乘除及化简求值】【典例4】（2023•盐城）先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．1．（2023•长沙）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣．2．（2023•常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣2（x+1），其中x＝．3．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．【题型5：因式分解】【典例5】（2023•北京）分解因式：x2y﹣y3＝．1．（2023•盐城）因式分解：x2﹣xy＝．2．（2023•陕西）分解因式：3x2﹣12＝．3．（2023•怀化）分解因式：2x2﹣4x+2＝．1．单项式mxy3与x n+2y3的和是5xy3，则m﹣n＝（）2．下列计算正确的是（）A．2ab+3ab＝5ab B．7y2﹣2y2＝5C．4a+2a＝6a2D．3m2n﹣2mn2＝mn23．如图是由连续的奇数1，3，5，7，……排成的数阵，用如图所示的T字框框住其中的四个数，设竖列中间的数为x，则这四个数的和为（）A．3x+1B．3x+2C．4x+1D．4x+24．某商品标价为m元，商店以标价7折的价格开展促销活动，这时一件商品的售价为（）A．0.3m元B．1.7m元C．7m元D．0.7m元5．如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的等边三角形组成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，…，照此规律，摆成第6个图案需要的三角形个数是（）A．19个B．22个C．25个D．26个6．若代数2x2+3x的值为5，则代数式4x2+6x﹣9的值是（）A．1B．﹣1C．4D．﹣47．下列计算正确的是（）A．（a3）2＝a8B．a2•a3＝a6C．（2ab2）3＝8a3b6D．8．多项式3x2﹣2x+5的各项分别是（）A．3x2，﹣2x，5B．x2，x，5C．3x2，2x，5D．3，2，59．下列各整式中是三次单项式的是（）A．5a3b B．32a2b C．﹣a2b3D．9a2+b310．如果二次三项式x2+ax﹣2可分解为（x﹣2）（x+b），那么a+b的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．011．将长、宽分别为x、y的四个完全一样的长方形，拼成如图所示的两个正方形，则这个图形可以用来解释的代数恒等式是（）A．（x+y）2＝x2+2xy+y2B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2C．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2D．（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy12．（﹣x3）2的运算结果是（）A．﹣x5B．﹣x6C．x6D．x913．单项式﹣的系数和次数分别是（）A．﹣，4B．﹣，5C．D．14．若M和N都是三次多项式，则M+N一定是（）A．次数低于三次的整式B．六次多项式C．三次多项式D．次数不高于三次的整式15．多项式x2+mx+25是完全平方式，那么m的值是（）A．10B．20C．±10D．±2016．要使多项式2x2﹣2（7+3x﹣2x2）+mx2化简后不含x的二次项，则m的值是（）A．2B．0C．﹣2D．﹣617．先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（1﹣a），其中a＝2023．18．甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．（1）填空：S1﹣S2＝（用含m的代数式表示）；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和．①设该正方形的边长为x，求x的值（用含m的代数式表示）；②设该正方形的面积为S3，试探究：S3与2（S1+S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由．1．已知有2个完全相同的边长为a、b的小长方形和1个边长为m、n的大长方形，小明把这2个小长方形按如图所示放置在大长方形中，小明经过推理得知，要求出图中阴影部分的周长之和，只需知道a、b、m、n中的一个量即可，则要知道的那个量是（）A．a B．b C．m D．n2．已知8m＝a，16n＝b，其中m，n为正整数，则23m+12n＝（）A．ab2B．a+b2C．ab3D．a+b33．比较344，433，522的大小正确的是（）A．344＜433＜522B．522＜433＜344C．522＜344＜433D．433＜344＜5224．若（a+2b）•_____＝a2﹣4b2，则横线内应填的代数式是（）A．﹣a﹣2b B．a+2b C．a﹣2b D．2b﹣a5．同号两实数a，b满足a2+b2＝4﹣2ab，若a﹣b为整数，则ab的值为（）A．1或B．1或C．2或D．2或6．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”设（a+b）n的展开式中各项系数的和为a n，若21010＝x，则a1+a2+a3+…+a2020的值为（）A．2x2B．2x2﹣2C．2020x﹣2D．2020x7．下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（）A．135B．170C．209D．252故选：C．8．定义运算“★”：a★b＝，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是．9．计算：已知：a+b＝3，ab＝1，则a2+b2＝．10．如图，边长分别为a、b的两个正方形并排放在一起，当a+b＝8，ab＝10时，阴影部分的面积为．11．因式分解：2x2﹣4x+2＝．12．已知xy＝2，x+y＝3，则x2y+xy2＝．13．如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝9，两正方形的面积和S1+S2＝51，则图中阴影部分面积为．14．若实数a，b满足a﹣b＝1，则代数式a2﹣b2﹣2b+5的值为．15．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了（a+b）n （n＝1，2，3，4，…）的展开式的系规律（按a的次数由大到小的顺序）．请根据规律，写出（x+1）2022的展开式中含x2021项的系数是．16．观察下列一组数：a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数a n＝（用含n的式子表示）17．先化简，再求值：（2a+1）（2a﹣1）﹣4a（a﹣1），其中a＝﹣1．18．已知多项式A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，A﹣2B中不含有x2项和y项，求n m+mn的值．19．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等．（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式．（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．20．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1，可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝9，ab+bc+ac＝26，求a2+b2+c2的值；（3）小明同学用2张边长为a的正方形、3张边长为b的正方形、5张边长为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？（4）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+7b）（2a+5b）长方形，求9x+10y+6．21．阅读理解：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．迁移应用：（1）若x满足（2020﹣x）2+（x﹣2022）2＝10，求（2020﹣x）（x﹣2022）的值；（2）如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DE＝k，BG＝k+1（k为常数，且k＞0），长方形AEFG的面积是，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求阴影部分的面积．22．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于；（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：方法一：；方法二：；（3）根据（2）写出（m﹣n）2，（m+n）2，mn这三个代数式之间的等量关系及推理过程．1．（2023•西藏）下列计算正确的是（）A．2a2b﹣3a2b＝﹣a2b B．a3•a4＝a12C．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3D．（a+b）2＝a2+b22．（2023•攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2022•永州）若单项式3x m y与﹣2x6y是同类项，则m＝．4.（2020•黔西南州）若7a x b2与﹣a3b y的和为单项式，则y x＝．5．（2023•丽水）分解因式：x2﹣9＝．6．（2023•淄博）分解因式：2a2﹣8b2＝．7．（2022•广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代数式6a﹣2b﹣1的值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是．8．（2023•长春）先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a），其中．9．（2023•邵阳）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b＝．10.（2023•河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S1，S2．表2表3（1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1+S2的值；（2）比较S1与S2的大小，并说明理由．。
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2016年中考数学考点总动员系列考点二十三：因式分解聚焦考点☆温习理解1．因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算．2．基本方法(1)提取公因式法：ma＋mb－mc=m(a+b-c)(2)公式法：运用平方差公式：a2－b2=(a+b)(a-b)；运用完全平方公式：a2±2ab＋b2=(a±b)2.3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；（2）如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；（3）分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；（4）注意因式分解中的范围，如x4-4=（x2+2）（x2-2）在实数范围内分解因式，继续进行分解：x4-4=（x2+2）（x2-2）=（x2+2）（）),题目不作说明，表明是在有理数范围内因式分解.（5）分解要彻底。
作为结果的代数式的最后运算必须是乘法；要分解到每个因式都不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，并且同类项合并完毕，若有重因式应写成幂的形式．这些统称分解彻底．考点典例一、因式分解的意义【例1】下列四个多项式中，能因式分解的是( )A．a2＋1 B．a2－6a＋9C．x2＋5y D．x2－5y【答案】B考点：因式分解的意义．【点睛】 因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分解，还要注意分解要彻底． 【举一反三】（山东菏泽第3题，3分）把代数式244ax ax a -+分解因式，下列结果中正确的是（ ） A ．2(2)a x - B ．2(2)a x + C ．2(4)a x - D ．(2)(2)a x x +- 【答案】A ． 【解析】试题分析：244ax ax a -+=2(44)a x x -+=2(2)a x -．故选A ． 考点：1．提公因式法与公式法的综合运用；2．因式分解．考点典例二、提取公因式法分解因式【例2】 阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：(1)am ＋an ＋bm ＋bn =(am ＋bm )＋(an ＋bn )=m (a ＋b )＋n (a ＋b )=(a ＋b )( m ＋n )； (2)x 2－y 2－2y －1=x 2－(y 2＋2y ＋1)=x 2－(y ＋1)2=(x ＋y ＋1)(x －y －1)． 试用上述方法分解因式：a 2＋2ab ＋ac ＋bc ＋b 2= ． 【答案】（a+b+c ）（a+b ）． 【解析】试题分析：原式第1，2，5项结合利用完全平方公式分解，3，4结合提取公因式，再提取公因式即可得到结果．试题解析：原式=（a 2+2ab+b 2）+（ac+bc ）=（a+b ）2+c （a+b ）=（a+b+c ）（a+b ）． 考点：提取公因式法分解因式【点睛】(1)首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正；(2)当某项正好是公因式时，提取公因式后，该项应为1，不可漏掉；(3)公因式也可以是多项式． 【举一反三】1.（2015.山东临沂第9题，3分）多项式2mx m -与多项式221x x -+的公因式是（ ） (A) 1x -. (B) 1x +. (C) 21x -.(D) ()21x -.【答案】A 【解析】试题分析：把多项式分别进行因式分解，多项式2mx m -=m （x+1）（x-1），多项式221x x -+=()21x -，因此可以求得它们的公因式为（x-1）. 故选A考点：因式分解2.(2015.山东莱芜第13题，3分)分解因式：=-+-x x x 232 ． 【答案】2)1(--x x考点：因式分解考点典例三、运用公式法分解因式【例3】①（2015成都）因式分解：29x -=________． 【答案】()()33x x +-． 【解析】试题分析：()()2933x x x -=+-．故答案为：()()33x x +-．考点：因式分解-运用公式法．②（2015·辽宁丹东）分解因式:=+-121232x x .【答案】3）2-(2x . 【解析】试题分析：先提取公因式，再逆用完全平方公式，原式=3（x2-4x ＋4)=3）2-(2x . 考点：把多项式分解因式.【点睛】 (1)用平方差公式分解因式，其关键是将多项式转化为a 2－b 2的形式，需注意对所给多项式要善于观察，并作适当变形，使之符合平方差公式的特点，公式中的“a ”“b ”也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项；(2)用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特征． 【举一反三】①（2015·湖南株洲）因式分解：2(2)16(2)x x x ---＝ 。
【答案】(x －2)(x+4)(x －4)考点：因式分解②(2015.宁夏，第9题，3分)分解因式：32x xy -= ． 【答案】()()x x y x y -+. 【解析】试题分析：先提公因式x 后再利用平方差公式因式分解. 考点：因式分解.考点典例四、综合运用多种方法分解因式【例4】分解因式：x 3－5x 2＋6x= 【答案】x （x-3）（x-2）． 【解析】试题分析：先提取公因式x ，再利用十字相乘法分解因式． 试题解析：x 3-5x 2+6x=x （x 2-5x+6）=x （x-3）（x-2）． 考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法．【点睛】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，注意一定要分解彻底． 【举一反三】1.（2015内江）分解因式：228x y y -= ． 【答案】2(2)(2)y x x +-． 【解析】试题分析：原式=22(4)y x -=2(2)(2)y x x +-．故答案为：2(2)(2)y x x +-． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 2.分解因式：x 3-6x 2+9x= 【答案】x （x-3）2考点：提公因式法与公式法的综合运用．考点典例四、因式分解的应用【例5】计算：852－152=( )A ．70B ．700C ．4900D ．7000 【答案】D ． 【解析】试题分析：直接利用平方差进行分解，再计算即可． 试题解析：原式=（85+15）（85-15） =100×70 =7000．故选：D ．考点：因式分解-运用公式法．【点睛】(1)利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值；(2)一个问题有两个未知数，只有一个条件，根据已知式右边等于0，若将左边转化成两个完全平方式的和，而它们都是非负数，要使和为0，则每个完全平方式都等于0，从而使问题得以求解． 【举一反三】1.（2015·辽宁大连）若a=49，b=109，则ab-9a 的值为：__________. 【答案】4900 【解析】试题分析：ab-9a=a(b-9)=49(109-9)=4900，故答案为4900. 考点：因式分解的应用.2. (2015·湖北衡阳，19题，3分)已知3a b +=，1a b -=-，则22a b -的值为 ． 【答案】 -3考点： 因式分解；整体代入思想一、选择题1．下列因式分解中正确的个数为( ) ①x 3＋2xy ＋x=x(x 2＋2y)； ②x 2＋4x ＋4=(x ＋2)2； ③－x 2＋y 2=(x ＋y)(x －y)．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】C ． 【解析】试题分析：直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式进而判断得出即可．试题解析：解：①x 3+2xy+x=x （x 2+2y+1），故原题错误； ②x 2+4x+4=（x+2）2；正确；③-x 2+y 2=（x+y ）（y-x ），故原题错误； 故正确的有1个． 故选：C ．考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．2.（2015宜宾）把代数式3231212x x x -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．23(44)x x x -+B ．23(4)x x -C ．3(2)(2)x x x +-D ．23(2)x x - 【答案】D ． 【解析】试题分析：原式=23(44)x x x -+=23(2)x x -，故选D ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．3.下列四个选项中，哪一个为多项式8x 2－10x ＋2的因式( )A ．2x －2B ．2x ＋2C ．4x ＋1D ．4x ＋2【答案】A ．考点：因式分解的意义．4.(2015·湖北武汉，3题，3分）把a 2－2a 分解因式，正确的是（ ） A ．a(a －2)B ．a(a ＋2)C ．a(a 2－2)D ．a(2－a)【答案】A 【解析】试题分析：对于因式分解，首先进行提取公因式，然后再利用公式法或十字相乘法进行因式分解.原式=a(a考点：因式分解.5.（2015.山东枣庄，第7题，3分）如图边长为a 、b 的矩形的周长为14，面积为10，则a ²b+ab ²的值为 A.140 B.70 C.35 D.24【答案】 【解析】试题分析：由题意可得a+b=7,ab=10,所以22()a b ab ab a b +=+=7×10=70.故选B. 考点：分解因式；求代数式的值6. 若分解因式x 2+mx-15=（x+3）（x-5），则m 的值为（ ） A ．-2 B ．2 C ．-5 D ．5【答案】A ．考点：因式分解的意义．7.把x 2y-4y 分解因式，结果正确的是（ ）A ．y （x 2-4） B ．y （x+2）（x-2） C ．y （x+2）2D ．y （x-2）2【答案】B ． 【解析】试题分析：先提取公因式y ，再利用平方差公式继续分解． 试题解析：x 2y-4y ， =y （x 2-4）， =y （x+2）（y-2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 8.把x 3-xy 2分解因式，正确的结果是（ ） A ．（x+xy ）（x-xy ） B ．x （x 2-y 2） C ．x （x-y ）2D ．x （x-y ）（x+y ）【答案】D ．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 二、填空题9.（2015.山东菏泽第12题，3分）若2(3)()x x m x x n ++=-+对x 恒成立，则n = ． 【答案】4． 【解析】试题分析：∵2(3)()x x m x x n ++=-+，∴22(3)3x x m x n x n ++=+--，故31n -=，解得：n =4．故答案为：4．考点：因式分解-十字相乘法等．10.（2015.山东潍坊，第15题，3分）因式分解：276ax ax a -+= . 【答案】a （x-1）（x-6） 【解析】试题分析：2276(76)(1)(6)ax ax a a x x a x x -+=-+=--. 考点：分解因式.11.（2015.山东东营第12题，3分）分解因式：=-+-+2)(9)(124y x y x ． 【答案】（3x-3y+2)2【解析】试题分析：原式＝［２+３（ｘ－ｙ）］２＝（3x-3y+2)2考点：分解因式.12.（2015内江）分解因式：228x y y -= ． 【答案】2(2)(2)y x x +-． 【解析】试题分析：原式=22(4)y x -=2(2)(2)y x x +-．故答案为：2(2)(2)y x x +-． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．13.（2015泸州）分解因式：222m -= ． 【答案】2(1)(1)m m +-． 【解析】试题分析：222m -=22(1)m -=2(1)(1)m m +-．故答案为：2(1)(1)m m +-． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 三、解答题14.分解因式：ax 4-81a ． 【答案】a （x 2+9）（x+3）（x-3）．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 15.分解因式：x 2y-4xy+4y ． 【答案】y （x-2）2． 【解析】试题分析：首先提取公因式y ，再把余下的式子用完全平方公式：（a 2-2ab+b 2）=（a-b ）2进行二次分解即可． 试题解析：x 2y-4xy+4y ， =y （x 2-4x+4），=y（x-2）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．。