方坯连铸凝固传热数学模型及其软件

图 2-2 网格划分示意图
由泰勒级数展开式知：
T in1 =T in (x i +Δx)= T in +Δx/1!(
T n ) i +(Δx) 2 /2!( x T n T in1 =T in (x i -Δx)= T in -Δx/1!( ) i +(Δx) 2 /2!( x
T n ) i +… (2-2) x x T n ) i -… (2-3) x x
选用如下两个经验公式[60]:
Tl=1539-(90%C+6.2%Si+1.7%Mn+28%P+40%S+2.6%Cu+2.9%Ni+1.8%Cr+5.1%Al) Ts=1536-(415.3%C+12.3%Si+6.8%Mn+124.5%P+183.9%S+1.4%Cr+4.1%Al) (2-16) (2-17)
2.3 凝固传热模块计算结果分析
在凝固传热模块部分，依据钢液在凝固过程的传热行为建立数学模型，通
过模型计算出铸坯表面温度曲线、 坯壳厚度曲线、 各个关键点的铸坯表面温度以 及坯壳厚度和液芯长度。
2.2 凝固过程数学模型计算程序
在所建立的方坯连铸凝固传热数学模型中，考虑了钢的热物性参数随温度 变化关系，并考虑了铸机的设备条件。这样，就做到了数学模型所用的边界条件 尽可能地与实际的连铸凝固过程的条件相符合，使模型更加精确和符合实际。 计算程序图 2-3 见图。连铸凝固传热模型总体结构如图 2-4 所示。
2.1.4 物性参数的确定
(1)钢的液相温度（Tl） 、固相温度（Ts） ： 钢的液、固相温度取决于化学成分，与 C、Si、Mn、P、S、Cu、Cr、Al 等 元素含量有关。
Tl = Tf-ΣΔT*i%
(2-15)
其中: Tl 液相线温度, Tf 纯铁熔点(1539),i%元素 i 的重量百分数，
ΔT 液中每加入 1%元素 i 使熔点降低值。
c
T T T ( ) ( ) t x x y y
(2-1)
在复杂的边界条件下要直接求解微分方程是很困难的， 通常的处理方法是针 对具体的连铸工艺条件作出一些合理的假设，以简化传热微分方程及其边界条 件。 本研究作出的假定包括： ⑴忽略拉坯方向上的传热，将凝固传热转化为二维非稳态问题； ⑵在稳定生产条件下，拉坯速度稳定，铸坯内部各点温度处于定态（准定 态） ； ⑶固相、液相温度和其它温度是稳定的； ⑷钢是各向同性的； ⑸连铸坯的凝固传热是对称的；
其中: 1 [
Ti 1, j Ti , j 2 Ti , j 1 Ti , j 2
] ]
2 [
Ti 1, j Ti , j 2 Ti , j 1 Ti , j 2
] ]
3 [
4 [
利用上述传热数学模型，计算结晶器内钢水的凝固传热，求出铸坯断面上 的节点温度。
2 方坯连铸凝固传热数学模型及其软件
2.1 铸坯凝固传热模型 2.1.1 有限差分法
[60]
在实际应用中，求得高精度近似解的数值方法主要有：有限差分法、有限元 法和边界元法。有限元法的原理基础是变分原理与剖分差值，特点是易于处理复杂 形状问题、便于三维计算、精度易于调整；边界元法的原理基础是积分变换，特点 是单元个数较少、便于三维计算；有限差分法的原理基础是离散数学、用差商代替 微商，特点是物理意义明确、适用于形状较简单的场合。本课题采用显式格式的有 限差分法。
λ
T x

y 0
φ为表面热流，其表达式为：
结晶器 二冷区 空冷区
φ=A-B t φ=h(Tb-Tw) φ=ξσ[(Tb+273)4-(T0+273)4]
假想在结晶器钢水弯月面以下铸坯 1/2 厚度的区域，取一薄片，将它分成 许多相等格子，如图 2-2 所示。每个格子中心代表一个节点，并具有均一温度， 两节点之间距离为Δx。设 e 为铸坯的 1/2 厚度，有 N 个节点，则Δx=e/（N-1） ： 同时薄片从结晶器随铸坯向下运动， 到切割处所经历的总时间分割为相等的时间 增量Δt，设拉速为 v，则每个格子的高度Δz= v×Δt，这就构成了矩形网格， 以便计算不同时刻的节点温度，其中Δx、Δt 分别为空间步长和时间步长，每 个小格子的中心温度代表整个格子温度， 对中心和边界的格子分法， 应使格子中 心温度恰好位于铸坯中心和表面。因为方坯属于二维传热，且其断面中心对称， 四面冷却条件基本相同，故断面上的温度分布也呈中心对称，只要分析其 1/8 断面上的温度分布，就可按中心对称性，推得整个断面的温度分布。
7) 边界上节点(i=1～N,j=N)
1 Ti,nN Ti,nN
n n n n n n t 21 (Ti,N 1 Ti,N ) 2 (Ti1,N Ti,N ) 1 (Ti1,N Ti,N ) 2qy [ ] c (y)(y) (x)(x) (x)(x) y
图 2-3 连铸凝固传热计算模型逻辑结构
选择钢种
连铸凝固传热数学模 解析模型 离散模型 计算模型
输
温度场
输入浇注参数
出
凝固参数
工艺指标
图 2-4 连铸凝固传热数学模型总体结构
该软件采用具有良好用户界面的 Viual Basic 语言进行编制，其主要特点 在于通用性[64]， 可以方便的进行参数输入及修改， 适用于多种连铸机， 界面清晰、 可视性强，查看结果方便等。
6)边界上节点(i=N,j=1-N)
n1 n TN , j TN , j n n n n n n t 21(TN1, j TN, j ) 3 (TN, j1 TN, j ) 4 (TN, j1 TN, j ) 2qx [ ] (2-11) c (x)(x) (y)(y) (y)(y) x
（2）凝固潜热 Lf,可以将潜热化作液、固两相等效比热：
Ceff=C+
Lf Tl Ts
，取 Lf =302～336kJ/kg(C=0.2～0.6%时)；
（3）钢导热系数λ（W/（m.k） ）[61]： 钢的导热系数与钢种、温度有关，对固相区的导热系数一般视为常数：λ =0.294W/cm℃（29.31W/（m.k） ） ；对低碳钢λ=13.82+0.011T W/cm℃；对液相
9) 中间节点(i=0,j=N)
n 1 n T0 , N T0 , N n n n n t 21 (T1, N T0, N ) ( 3 4 )(T0, N 1 T0, N ) 2 q y [ ] c ( x )( x ) ( y )( y ) y
(2-14)
(2-12)
8)中间节点(i=N,j=0)
T
n 1 N ,0
T
n N ,0
n n n n t 21 (TN 1, 0 TN , 0 ) (3 4 )(TN ,1 TN , 0 ) 2q x [ ] c (x)(x) (y )(y ) x

(2-13）
n n n n) n n n n
(2-6)
2)中心节点(i=0,j=0)；
1 T0n,0 T0n,0 n n n n 2t 1 (T1,0 T0,0 ) 2 (T0,1 T0,0 ) [ ] c ( x )( x ) ( y )( y )
(2-7)
3)X 轴节点(i=1～N-1,j=0)；
2.1.3 定解条件
(1)初始条件 开始时间 t=0 时，x=0,z=0 结晶器内弯月面处，微元体钢水温度 T=Tc (浇 注温度) (2)边界条件 铸坯中心线两边为对称传热，即：
T x 0
x b 0
T y
0
y b 0
即中心热流
T 0 x
铸坯表面有： λ
T x
x 0
(2-2)和(2-3)两式相加、相减得: (
T n ) i =( T in1 -2 T in + T in1 )/(Δx) 2 x x T n ( ) i =(T in 1 - T in )/Δt t
(2-4) (2-5)
将(2-4)、(2-5)式代入方坯传热方程(2-1)即可推导出 9 个差分方程: 1) 内部节点(i=1～N-1,j=1～N-1)；
(2-9)
5)角部节点(i=N,j=N)
T
n1 N ,N
T
n N ,N
n n n t 21 (TN 1, N TN , N ) 23 (TN , N 1 TN , N ) 2qx 2q y [ ] c (x)(x) (y)(y) x y
n
(2-10)
区，流动的钢液一般相当于静止钢液导热系数的 4～6 倍，取 5 倍；对于固液两 相区采用：
eff s
l s (T Ts ) Tl Ts
（2-18）
其中： l …液相导热系数， s …固相导热系数，
eff …两相区等效导热系数。
（4）比热容 C（kJ/kg·℃） ： 钢的比热容 C 与钢种、温度有关，一般来说，比热容随温度升高而增大，但 高温下比热容变化不大，故可以按常数处理： Cl= 0.7 + 0.00011× t(i, j) C s =0.60 KJ/Kg·℃； Csl = 0.7 + 0.00011× t(i, j) （5）密度ρ（kg/ m 3 ）[62]： 铸坯在凝固冷却中体积发生变化，其密度与钢种、温度、相变有关，但变 化不大可取 s 7600 ；ρl = 7.86 - 0.0002422× t(i, j) ；ρsl = 7200 （6）铸坯表面辐射率 s 0.8 [63]； （7）铸坯表面温度 Ts ：在最初时刻，取 t=0 时， Ts = Tc （浇注温度） ；
图 2-5 软件主界面