遵守同一律 免犯逻辑错

遵守同一律免犯逻辑错
数学是思维的体操，而没有严谨的思维则又是学好数学的硬伤. 学生在解题过程中，由于违反逻辑思维的规律而产生错误屡见不鲜．在同一个思维过程中，任一概念或判断与其自身应同一，反映同一个对象的思想是确定的，必须始终保持同一个含义，不能偷换它的含义，这人人皆知的朴素的规律，实际上就是逻辑学中的基础定律——同一律. 要避免产生逻辑性错误，首先必须遵守同一律，那么在数学解题中到底有哪些违反同一律而产生逻辑性错误呢？本文试通过举例加以说明．
一、以点代面
在数学思维过程中，共性的一般规律对个体而言必成立，但反之则未必然，特殊的个性特征不一定能反映出整体的一般规律，不能以点代面．
例1 已知函数f （x）=（a＋1）x2+a2x+a2-1为奇函数，求a的值．
错解1：由函数f （x）=（a＋1）x2+a2x+a2-1为奇函数得
f （0）=0，得a= ±1．故所求的a的值为±1．
错解2：因为函数f （x）=（a＋1）x2+a2x+a2-1为奇函数，故f （-1）=-f （1），即f （-1）+f（1）=0，2（a+1）+2（a2-1）=0，a2+a=0，故a=0或a=-1．
分析：a=1时， f （x）=2x2+x不合题意；a=0时，f （x）=x2+1，也不合题意；而a=-1时，f （x）=x，符合题意，因此所求a的值为-1．
评注：上述两个错解的原因均是以点代面，即以特殊来代替一般，奇函数虽然可以推出“f （0）=0、f （-1）+f（1）=0”成立，但反之不成立．即“函数f （x）=（a＋1）x2+a2x+a2-1为奇函数”是“f （0）=0、f （-1）+f（1）=0”的充分而非必要条件，故最后所求得的值必须进行验证．
二、扩大外延
在数学解题中，最常见的扩大外延错误就是将变量的范围扩大，原因常在于
增加了不必要的中间环节．
例2 已知二次函数f （x）=ax2+bx，满足1≤f （-1）≤2，3≤f （1）≤4，求f （-2）的取值范围．
分析：上述解答的错误在于扩大了外延：由1≤f （-1）≤2，3≤f （1）≤4先求出a，b的范围，再求出f （-2）的取值范围，结果范围被扩大了，而应这样解答：由待定系数法可得f （-2）=3f （-1）+f （1），再由1≤f （-1）≤2，3≤f （1）≤4可得所求的范围[6，10]．
三、类比错误
人们总习惯于把感悟到的信息与大脑中已有的类似信息进行比较，然后迅速进行内化并形成新知，这就要求必须合理选择类比对象，并搞清它们间的异与同．
例3 正方体容器中AC1盛满水，E，F，G分别是A1B1，BB1，B1C的中点，若三小孔分别位于E，F，G三点处，则正方体中的水最多会剩下原体积的
例 4 有两个命题：①如果一个二面角的两个面，分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角相等或互补；②如果一个二面角的两个面，分别平行于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角相等或互补．
则下列判断正确的为
A．①为真命题②为真命题
B．①为真命题②为假命题
C．①为假命题②为真命题
D．①为假命题②为假命题
错解：选A．
分析：由平面几何知，“如果一个角的两边，分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补”、以及“如果一个角的两边，分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补”均是真命题，难道在立体几何中这样的类比一定成立吗？不妨举反例：如图2，正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-AD-B 的两个面分别与二面角C-DD1-B的两面垂直，但它们的大小分别是90°与45°，
既不相等也不互补．因而本题的正确答案为C．
四、转化不当
数学解题是一个不断转化的过程，但要注意转化的等价性原则，转化不当是很多同学在解题时最常犯的逻辑性错误．
例5 已知向量a=（-2，-1），b=（λ，1）. 则a与b夹角θ为钝角时，λ的取值范围为
将n用n－１代换得：
a1b1+a2b2+…+an－１bn－１=２n（２n-３）－１
两式相减即得bn＝２n．故存在等比数列｛bn｝，bn＝２n，使a1b1+a2b2+…+anbn=２n+1（２n－１）－１成立．
分析：上述解答在于转化不当，由：a1b1+a2b2+…+anbn=２n+1（２n－１）－１及a1b1+a2b2+…+an－１bn－１=２n（２n-３）－１，两式相减即得bn＝２n．这里有一个前提条件，“n≥２”，
即n≥２时，bn＝２n，而在n＝１时，由a1b1+a2b2+…+anbn=２n+1（２n －１）＋１得，b１＝１，故存在数列｛bn｝，｛bn｝=
时，使得a1b1+a2b2+…+anbn=２n+1（２n－１）－１对一切正整数n都成立.
五、假设错误
当研究一个一时难以确定的问题时，常常会进行一些假设，借此增加解题条件，拓宽解题途径，但最后必须判断这个假设是否能够成立，否则就会犯假设错误．
分析：对于图3，由于此时BE+DE<BD，从而图3的情形不可能，应舍弃．因此本题实际上第一种假设是不存在的，是犯了假设错误，从而所求的正确答案为A．
六、偷换概念
把思想内容根本不同的两个概念，混为相同概念而互相代替或实际进行的判断与需要解决的判断不是一回事，这种错误可称为偷换概念．
例8函数f （x）在[a，b]上单调，且f （a）·f （b）<０，则方程f （x）＝０在区间[a，b]上
A．无实根B．至多有一实数根
C. 有且只有一实数根D．至少一实数根
错解：选答案C．。