第二章_点、直线、平面之间的位置关系_重难点解析

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高一数学第二章2.1.2

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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
∵F 是 AD 的中点，且 AD∥BC，AD＝BC， 1 ∴DF∥BC，DF＝ BC， 2 ∴EG∥DF，EG＝DF， ∴四边形 EFDG 是平行四边形，∴EF∥DG， ∴∠DGD1 (或其补角)是异面直线 CD1 与 EF 所成的角．又∵A1 A＝AB， ∴四边形 ABB1 A1，四边形 CDD1 C1 都是正方形，且 G 为 CD1 的中点， ∴DG⊥CD1 ，∴∠D1 GD＝90° ， ∴异面直线 CD1，EF 所成的角为 90° .
答案：90°
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点、直线、平面之间的位置关系
【方法感悟】
1．求证角相等也有两种方法，一是应用等角定理，在证明的过程中常用到公理4注意两角对应边方向的讨论；二是应用三角形全等或相似． 2．求两异面直线所成的角的一般步骤： ①作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角； ②证：证明作出的角就是要求的角； ③计算：求角的值，常利用解三角形，可用“一作二证三计算”来概括．如例3.
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点、直线、平面之间的位置关系
跟踪训练
1．(2013· 淮北高一检测)如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是( A．6 B．4 C．5 )
D．8
解析：选B.与AA1异面的棱有BC，B1C1，CD，C1D1 共4条．
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点、直线、平面之间的位置关系
题型二
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(2)连接AB1，B1D1， ∵AB1∥DC1， ∴AB1与AD1所成的夹角即为DC1与AD1所成的夹角．又AD1＝AB1＝B1D1， ∴△AB1D1为正三角形． ∴AD1与AB1所成的夹角为60°. ∴AD1与DC1所成的夹角为60°. 【名师点评】利用“平移角”的方法作角时，往往过其中一条直线的端点或中点，结合平行四边形或者三角

点、直线、平面之间的位置关系(解析版)

点、直线、平面之间的位置关系【考纲要求】1、了解平面的基本性质即三条公理，能正确使用集合符号表示空间图形中的点线面的关系，2、掌握直线平面之间的位置关系，理解并掌握直线、平面之间垂直的判定定理与性质定理以及它们之间的转化，会求线面角及二面角.一、空间点、直线、平面之间的位置关系【思维导图】一、平面的基本性质(1)基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)基本事实2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．二、空间两直线的位置关系 1.位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．三、异面直线所成的角 1.异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：.2.异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．四、空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有三种情况：在平面内---有无数个公共点；相交---有且只有一个公共点；平行---没有公共点．后两种情况直线不在平面内，也称直线在平面外.(2)平面与平面的位置关系有两种情况：平行---没有公共点；相交---有一条公共直线．二、直线、平面平行的判定及性质【思维导图】]2,0(π【考点总结】一、空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件 a ∩α＝∅ a ⊂α，b ⊄α，a ∥b a ∥α a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b 结论a ∥αb ∥αa ∩α＝∅a ∥b2. 面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件 α∩β＝∅ a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ， a ∥α，b ∥α α∥β，α∩γ＝a ， β∩γ＝b α∥β，a ⊂β 结论α∥βα∥βa ∥ba ∥α3.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．二、平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 三、直线、平面垂直的判定及性质【思维导图】【考点总结】一、直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ，b ⊂αa ∩b ＝Ol ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α 性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b (1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°. (3)范围：[0,]2π.三、二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． (3)范围：[0，π]．四、平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl ⊂β⇒α⊥β 性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊂βα∩β＝a l ⊥a ⇒l ⊥α(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．【题型汇编】题型一：空间点、直线、平面之间的位置关系题型二：直线、平面平行的判定和性质题型三：直线、平面垂直的判定和性质【题型讲解】题型一：空间点、直线、平面之间的位置关系一、单选题1．（2022·上海长宁·二模）如图，已知A B C D E F 、、、、、分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（）．A ．直线AB B ．直线BC C ．直线CD D ．直线DA ．【答案】A 【解析】【分析】通过空间想象直接可得. 【详解】如图，易知,AFHG HG BE ，所以AF BE ∥，且12AF BE =，所以ABEF 为梯形，故AB 与EF 相交，A 正确；因为,,BCMH MH NL NL EF ，所以BC EF ∥，故B 错误；因为平面CDH 平面EFNL ，CD ⊂平面CDH ，EF ⊂平面EFNL ，所以直线CD 与直线EF 无公共点，故C 错误；因为AD ⊂平面ADF ，EF 平面ADF F =，故AD 与EF 异面，D 错误.故选：A2．（2022·江西萍乡·三模（理））如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，若11AA AC BC ===，则异面直线1,A C AB 所成角的大小是（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π2【答案】C 【解析】【分析】连接1B C ，则11B AC ∠即为异面直线1,A C AB 所成角，再分别求出11B A C 的边长即可求出11B AC ∠，得到答案【详解】如图所示，连接1B C11A B AB // ,11B A C ∴∠即为异面直线1,A C AB 所成角11AA AC BC ===，112,2AC BC ∴又AC BC ⊥，112AB A B ∴==在11B A C 中，11112A B AC BC === 11B A C ∴是正三角形11π3B AC ∴∠= 故选：C3．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1DD 上，过点C 作平面1BMC 的平行平面α，记平面α与平面11BCC B 的交线为l ，则1A C 与l 所成角的大小为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】D【解析】【分析】根据题意可知平面α与平面11BCC B 的交线为l ，与平面1BMC 与平面11BCC B 的交线平行，即求解平面1BMC 与平面11BCC B 的交线与1A C 所成角的大小即可.【详解】因为平面1//BMC 平面α，平面1BMC ⋂平面111BCC B BC =，平面α平面11BCC B l =，则1BC l ∥；在正方体中，易证1BC ⊥平面11A B CD ，故11BC A C ，所以1A C l ⊥，即1A C 与l 所成角的大小为2π. 故选:D .4．（2022·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，22AB AA AD '==，M 、N 分别是A B ''、D C ''的中点.则直线CN 与DM 是（）A ．相互垂直的相交直线B ．相互垂直的异面直线C ．相互不垂直的异面直线D ．夹角为60°的异面直线【答案】B【解析】【分析】连接,,,BM MN BD MD '，可证直线CN 与DM 为异面直线，并可求其所成的角.【详解】设222AB AA AD a '===，连接,,,BM MN BD MD '，因为NC ⊂平面CC D D ''，MD ⋂平面CC D D D ''=，D NC ∉，故直线CN 与DM 异面直线.在矩形A B C D ''''中，因为,M N 为所在棱的中点，故//,=MN B C MN B C ''''，而//,BC B C BC B C ''''=，故//,BC MN MN BC =，故四边形BCNM 为平行四边形，故//CN BM ，所以BMD ∠或其补角为异面直线CN 与DM 所成的角，在BMD 中，222,5,23BM a BD a MD a a a =+=，故222BD BM MD =+，故90BMD ∠=︒，故选：B5．（2022·上海黄浦·二模）如图，已知P 、Q 、R 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AB 、BC 和11C D 的中点，由点P 、Q 、R 确定的平面β截该正方体所得截面为（）．A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形【答案】D【解析】【分析】分别取1111、、A D A A CC 的中点F 、E 、M ，连接、、、、、RF FE EP PQ QM MR ，由正方体性质可得答案.【详解】如图，分别取1111、、A D A A CC 的中点F 、E 、M ，连接、、、、、RF FE EP PQ QM MR ，由正方体性质//RF PQ ，所以、、、∈R F P Q 平面α，且////RF PQ MN ，又、、QF RP EM 交于同一点O ，所以、∈E M 平面α，所以点P 、Q 、R 确定的平面β即为六边形RFEPQM 故选：D ．6．（2022·北京东城·三模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为CC 1，D 1C 1的中点，则下列直线中与直线BE 相交的是（）A ．直线1A FB ．直线1ADC ．直线11CD D ．直线1AA【答案】A【解析】【分析】利用正方体的性质可得111//,2EF A B EF A B =，进而可判断A ，根据经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线可判断BCD.【详解】连接11,,EF CD A B ，则111//,2EF CD EF CD =，由1111//,A D BC A D BC =，可得四边形11A D CB 为平行四边形，∴11//A B CD ，11A B CD =，所以111//,2EF A B EF A B =，即四边形1EFBA 为梯形，故直线1A F 与直线BE 相交，直线1AD 与直线BE 为异面直线，直线11C D 与直线BE 为异面直线，直线1AA 与直线BE 为异面直线. 故选：A.二、多选题1．（2022·重庆·三模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形ABCD 的中心，当点P 在线段1BC 上（不包含端点）运动时，下列直线中一定与直线OP 异面的是（）A ．1ABB ．1AC C ．1A AD ．1AD【答案】BCD【解析】【分析】对于A ，当P 为1BC 的中点时，1//OP AB ，故A 不正确；对于BCD ，根据异面直线的判定定理可知都正确.【详解】对于A ，当P 为1BC 的中点时，11////OP DC AB ，故A 不正确；对于B ，因为1AC ⊂平面11AAC C ，O ∈平面11AAC C ，O ∉1A C ，P ∉平面11AAC C ，所以直线1A C 与直线OP 一定是异面直线，故B 正确；对于C ，因为1A A ⊂平面11AAC C ，O ∈平面11AAC C ，O ∉1A A ，P ∉平面11AAC C ，所以直线1A A 与直线OP 一定是异面直线，故C 正确；对于D ，因为1AD ⊂平面1AD C ，O ∈平面1AD C ，O ∉1AD ，P ∉平面1AD C ，所以直线1AD 与直线OP 一定是异面直线，故C 正确；故选：BCD题型二：直线、平面平行的判定和性质一、单选题1．（2022·山西·一模（文））如图，正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F ，G 分别是棱AD ，1C C ，11B C 的中点，则下列结论中正确的是（）A ．BE ⊥平面DFGB ．1//A E 平面DFGC ．//CE 平面DFGD ．平面1//A EB 平面DFG【答案】C【解析】【分析】根据线面位置关系分别判断.【详解】由1111ABCD A B C D -为正方体，且F ，G 分别是棱1C C ，11B C 的中点，则1//FG A D ，则平面DFG 即为平面1A DFG ，A 选项，如图连接1D G ，由正方体可知1//D G BE ，又11D G AG ⊥不成立，所以1BE A G ⊥不成立，即A 选项错误；B 选项，由1A E 平面11A DFG A =，故1A E 与平面1A DFG 不平行，B 选项错误；C 选项，连接CE ，则1//CE A G ，又1AG ⊂平面1A DFG ，CE ⊄1A DFG ，所以//CE 平面1A DFG ，C 选项正确；D 选项，平面1A EB 与平面1A DFG 有公共点1A ，故D 选项错误；故选：C.2．（2022·浙江杭州·二模）设,αβ为两个不同的平面，则α∥β的充要条件是（） A ．α内有无数条直线与β平行B ．,αβ垂直于同一平面C ．,αβ平行于同一条直线D ．α内的任何直线都与β平行【答案】D【解析】【分析】根据面面平行、相交的知识确定正确选项.【详解】A 选项，α内有无数条直线与β平行，α与β可能相交，A 选项错误.B 选项，,αβ垂直于同一平面，α与β可能相交，B 选项错误.C 选项，,αβ平行于同一条直线，α与β可能相交，C 选项错误.D 选项，α内的任何直线都与β平行，则//αβ，D 选项正确.故选：D3．（2022·安徽马鞍山·三模（理））设α，β，γ是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下面四个命题：①若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥；②若m α⊥，m β⊥，则αβ∥；③若m α∥，n α⊥，则m n ∥；④若αβ⊥，a m β⋂=，n m ⊥，则n β⊥．其中所有正确命题的序号是（）A ．①②B ．②C ．④D ．②③【答案】B【解析】【分析】对①，α与β需考虑平行与相交两种情况；对②，线面垂直证面面平行；对③，线面平行得线线平行，线面垂直得线线垂直；对④，不符合面面垂直证线面垂直的条件【详解】对①，若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥或α与β相交，故①错；对②，若m α⊥，m β⊥，则αβ∥，②对；对③，若m α∥，n α⊥，则m n ⊥，③错；对④，若αβ⊥，a m β⋂=，n m ⊥，则n 不一定垂直β，④错故选：B4．（2022·上海奉贤·二模）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点，则下列结论中不正确的是（）A ．1CC ∥平面11A ABBB ．AF ∥平面111A BC C ．EF ∥平面11A ABBD ．AE ∥平面11B BCC【答案】D【解析】【分析】由线面平行的判定定理，面面平行的性质定理依次判断各选项即可得出结果.【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，因为1CC ∥1AA ,1CC ⊄平面11A ABB ,1AA ⊂平面11A ABB ,所以1CC ∥平面11A ABB ，A 正确；因为平面ABC //平面111A B C ，AF ⊂平面ABC ，所以AF ∥平面111A B C ，B 正确；取AB 中点G ,连接1,A G GF ,因为点G ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，所以12//GF AC ,且11//2A E AC ,所以1//GF A E ，四边形1GFEA 为平行四边形，所以EF ∥1A G ,EF ⊄平面11A ABB ，1AG ⊂平面11A ABB ,所以EF ∥平面11A ABB ,C 正确；取AC 中点H ,连接1C H ,可证得四边形1AHC E 为平行四边形，所以EA ∥1C H ,1C H 与平面11C CBB 相交,所以AE 与平面11C CBB 相交,D 不正确；故选:D.5．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形且//PQ AC ，则在下列说法中，错误的为（）A ．AC BD ⊥B ．//AC 截面PQMN C ．AC BD =D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°【答案】C【解析】【分析】 A 由题设易得//QM BD ，根据平行线的性质可证AC BD ⊥；B 由线面平行的判定可证//AC 截面PQMN ；C ：,P Q 为特殊位置的点时成立；D 将异面直线平移到截面上即可知夹角大小.【详解】A ：由题设，易知//QM BD ，又PQ QM ⊥，//PQ AC ，即有AC BD ⊥，正确；B ：由//PQ AC ，PQ ⊂截面PQMN ，AC ⊄截面PQMN ，则//AC 截面PQMN ，正确； C ：仅当,P Q 为中点时AC BD =，故错误；D ：由A 知：异面直线PM 与BD 所成的角为4PMQ π∠=，正确.故选：C二、多选题1．（2022·河北邯郸·一模）如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且::1:2BG GC DH HC ==，则（）A ．BD ∥平面EGHFB ．FH ∥平面ABC C ．AC ∥平面EGHFD ．直线GE ，HF ，AC 交于一点【答案】AD【解析】【分析】由条件可得GH BD ∥，FH 与AC 为相交直线，即可判断ABC ，EG 与FH 必相交，设交点为M ，然后可证明M AC ∈，即可判断D 正确.【详解】因为::BG GC DH HC =，所以GH BD ∥.又E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF BD ∥，且12EF BD =，则EF GH ∥. 易知BD ∥平面EGHF ，FH 与AC 为相交直线，即A 正确，B ，C 错误.因为EFHG 为梯形，所以EG 与FH 必相交，设交点为M ，所以EG ⊂平面ABC ，FH ⊂平面ACD ，则M 是平面ABC 与平面ACD 的一个交点，所以M AC ∈，即直线GE ，HF ，AC 交于一点，即D 正确.故选：AD2．（2022·辽宁葫芦岛·一模）如图所示，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足//MN 平面ABC 的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BC【解析】【分析】根据线面平行的判定定理或面面平行的性质定理，即可得解．【详解】解：对于A ，如图所示，点E ，F 为正方体的两个顶点，则////MN EF AC ，所以N 、M 、C 、A 四点共面，同理可证//AM BC ，即B 、C 、M 、A 四点共面，MN ∴⊂平面ABC ，故A 错误；对于B ，如图所示，D 为正方体的一个顶点，则//AC MD ，//BC ND ，AC ⊂平面ABC ，DM ⊄平面ABC ，所以//DM 平面ABC ，同理可证//DN 平面ABC又MD ND D =，MD 、ND ⊂平面DMN ，∴平面//ABC 平面DMN ，又MN ⊂平面DMN ，//MN ∴平面ABC ，故B 正确；选项C ，如图所示，G 为正方体的一个顶点，则平面//ABC 平面GMN ，MN ⊂平面GMN ，//MN ∴平面ABC ，故C 正确；对于D ，连接CN ，则//AB CN ，A ∴，B ，C ，N 四点共面，MN ∴平面ABC N =，与//MN 平面ABC 相矛盾，故D 错误．故选：BC ．题型三：直线、平面垂直的判定和性质一、单选题1．（2022·四川·石室中学三模（文））已知直线l 和平面α，β满足l α⊄，l β⊄.在l β，l a ⊥，αβ⊥这三个关系中，以其中两个作为条件，余下一个作为结论所构成的命题中，真命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】将l β，l a ⊥，αβ⊥三个关系分别以其中两个作为条件，余下一个作为结论判断命题的正误即可.【详解】当l β且l α⊥时，αβ⊥成立；当l β且αβ⊥时，l α⊥不一定成立；当l α⊥且αβ⊥时，结合l β⊄，得l β成立.故选：C.2．（2022·山西晋中·一模（文））如图所示，圆柱的轴截面是正方形ABCD ，母线4BC =，若点E 是母线BC 的中点，F 是AB 的中点，则下列说法正确的是（）A ．EF AC ∥B ．点F 到平面ABCD 的距离为2C ．BF ⊥ACD ．BF 与平面ABCD 所成的角的大小为3π 【答案】B【解析】【分析】证得OE AC ∥，即可判断A 选项；证得OF ⊥平面ABCD ，即可判断B 选项；证得∠ABF 是BF 与平面ABCD 所成的角，并求出角度，即可判断D 选项；由BF 与AB 不垂直，即可判断D 选项．【详解】如图所示，设O 是AB 的中点，连接OE ，OF ，在正方形ABCD 中，4BC =，可得2OB =，在△ABC 中，可得OE AC ∥，则EF 与AC 不平行，选项A 错误；因为F 是AB 的中点，所以OF ⊥平面ABCD ，所以点F 到平面ABCD 的距离为2，选项B 正确；∠ABF 是BF 与平面ABCD 所成的角，因为OF ⊥OB ，且OF =OB ，∠ABF =4π，选项D 错误； BF 与AB 不垂直，因此也推不出BF ⊥AC ，选项C 错误．故选：B.3．（2022·山东潍坊·三模）我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球O 的球面上，且该“鳖臑”的高为2，底面是腰长为2的等腰直角三角形．则球O 的表面积为（）A ．12πB ．43πC ．6πD ．26π【答案】A【解析】【分析】作出图形，设在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且2BC CD ==，2AB =，证明出该三棱锥的四个面均为直角三角形，求出该三棱锥的外接球半径，结合球体表面积公式可得结果.【详解】如下图所示：在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且2BC CD ==，2AB =，因为AB ⊥平面BCD ，BC 、BD 、CD ⊂平面BCD ，则AB BC ⊥，AB BD ⊥，CD AB ⊥，CD BC ⊥，AB BC B ⋂=，CD 平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC CD ∴⊥，所以，三棱锥A BCD -的四个面都是直角三角形，且2222BD BC CD +2223AD AB BD =+=设线段AD 的中点为O ，则12OB OC AD OA OD ====，所以，点O 为三棱锥A BCD -的外接球球心，设球O 的半径为R ，则132R AD ==O 的表面积为2412R ππ=. 故选：A.4．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是11B CD 内部（不包括边界）的动点，若BD AP ⊥，则线段AP 长度的取值不可能为（）A 5B 23C 6D 35 【答案】A【解析】【分析】根据点P 是11B CD 内部（不包括边界）的动点且BD AP ⊥，确定点P 的轨迹，然后求出线段AP 长度的取值范围即可.【详解】如图，连接11A C 交11B D 于点O ，连接OC由正方体1111ABCD A B C D -知BD ⊥平面11AAC C又因为点P 是11B CD 内部（不包括边界）的动点，所以点P 的轨迹为线段OC （不含端点），又因为6OA =2AC =A 到OC 23，所以线段AP 长度的取值范围是332⎡⎢⎣. 所以线段AP 5. 故选：A.5．（2022·北京·北师大二附中三模）如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的个数是（）①平面11D A P ⊥平面1A AP②1APD ∠的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦③三棱锥11B D PC -的体积为定值④11DC D P ⊥A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】根据线面位置关系进行判断．判断①，举反例判断②，利用体积公式，判断③，利用垂直关系的转化判断④.【详解】∵11D A ⊥平面1AA P ，∴平面11D A P ⊥平面1A AP ，①正确；若P 是1A B 上靠近1A 的一个四等分点，22129148D P ⎛=+= ⎝⎭，此时222111152cos 458AP AA A P AA A P =+-⨯⨯=，22211D P AP AD +<，此时1D PA ∠为钝角，②错；由于1//BP CD ，则//BP 平面11B D C ，因此11P B D C -的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，③正确；而11⊥D C DC ，11//D C A B ，所以11DC A B ⊥，且111DC A D ⊥,1111A B A D A =，所以1DC ⊥平面11A PD ,1D P ⊂平面11A PD ，因此11DC D P ⊥，④正确．故选：C ．二、多选题1．（2022·广东惠州·二模）已知正四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面边长分别为4，62，E 是11A B 的中点，则（）A ．正四棱台1111ABCD ABCD -522 B ．平面1BC D ⊥平面11AAC CC ．AE ∥平面1BC DD ．正四棱台1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为104π【答案】BCD 【解析】【分析】A.由题意，利用棱台体积公式求解；B.利用线面垂直和面面垂直的判定定理判断；C.取11D A 的中点F ，连接,AF EF ，且11EF AC G ⋂=，连接AG ，易知四边形12C GAO 是平行四边形，得到12//AG C O ，再由11//EF B D ，利用面面平行的判定定理判断； D. 由球心O 在12O O 上，分外接球的球心O 在正四棱台的内部和外部判断.【详解】如图所示：连接,AC BD 交于点2O ，连接1111,AC B D 交于点1O ，A.正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为()()11221176216163636233==+⨯=V S S S S h B.易知12,BD AC BD O O ⊥⊥，又122AC O O O ⋂=，则BD ⊥平面11AAC C ，又BD ⊂平面1BC D ，所以平面1BC D ⊥平面11AAC C ，故正确；C.如图所示：取11D A 的中点F ，连接,AF EF ，且11EF AC G ⋂=，连接AG ，易知2//CG AO ，232CG AO == 所以四边形12C GAO 是平行四边形，则12//AG C O ，又AG ⊄平面1BC D ，12⊂C O 平面1BC D ，则//AG 平面1BC D ，又11//EF B D ，EF ⊄平面1BC D ，11B D ⊂平面1BC D ，则//EF 平面1BC D ，又EF AG G ⋂=，所以平面//AEF 平面1BC D ，则AE ∥平面1BC D ，故正确；D. 如图所示：若外接球的球心O 在正四棱台的内部，则O 在12O O 上，因为122OO 4，6，则111121122,3222D O B D DO BD ==== 222221112D O D O DO DO O O -+-=， 228182--R R则若外接球的球心O 在正四棱台的外部，如图所示：228182--=R R 226=R ，所以外接球的表面积为24104ππ=R ，故正确；故选：BCD2．（2022·广东佛山·三模）如图，若正方体的棱长为2，点M 是正方体1111ABCD A B C D -在侧面11BCC B 上的一个动点（含边界），点P 是1AA 的中点，则下列结论正确的是（）A ．三棱锥1P DD M -的体积为定值B ．若5PM =，则点M 在侧面11BCC B 运动路径的长度为2πC ．若1D M DP ⊥，则1A M 的最大值为2D ．若1D M DP ⊥，则1A M 65 【答案】AD【解析】【分析】对于A ，三棱锥1P DD M -的体积11P DD M M PDD V V --=，由已知得三角形PDD 1的面积是定值，且点M 到面PDD 1的距离是正方体的棱长，由此可判断；对于B ，过点P 作1PQ BB ⊥，由已知有点M 的轨迹是以Q 为圆心，1为半径的半圆弧，根据圆的周长公式计算可判断；对于C 、D ，过点P 作1PQ BB ⊥，则点Q 是1BB 的中点，连接QC ，取BC 的中点N ，连接NC 1，A 1N ，A 1C 1，由线面垂直的判定和性质得点M 的轨迹是线段1C N ，解11A C M ，可求得1A M 的最大值和最小值，由此可判断C 、D 选项.【详解】解：对于A ，三棱锥1P DD M -的体积11P DD M M PDD V V --=，而因为点P 为1AA 的中点，所以三角形PDD 1的面积是定值，且点M 到面PDD 1的距离是正方体的棱长，所以三棱锥的体积是定值，故A 正确；对于B ，过点P 作1PQ BB ⊥，则由正方体的性质得PQ ⊥平面11BB C C ，所以PQ MQ ⊥，又5PM 2，所以()2222521MQ PM PQ =--，所以点M 的轨迹是以Q 为圆心，1为半径的半圆弧，所以点M 在侧面11BCC B 运动路径的长度为22ππ=，故B 不正确；对于C 、D ，过点P 作1PQ BB ⊥，则点Q 是1BB 的中点，连接QC ，取BC 的中点N ，连接NC 1，A 1N ，A 1C 1，则//QC PD ，1C N QC ⊥，因为1D M DP ⊥，所以1D M QC ⊥，11D C ⊥平面11BB C C ，所以11D C QC ⊥，又1111D C D M D =，所以QC ⊥平面11D C M ，所以1QC C M ⊥，所以点M 的轨迹是线段1C N ，在11A C M 中，221111225AC C N NC CC ==+，22211+3A N AA AB BN =+，所以1A M 的最大值为3，故C 不正确；在11A C M 中，22235225cos 235N +-∠=⨯⨯25sin N ∠= 所以点A1到C1N 有距离为12565sin 3d A N N =⋅∠==，所以1A M 65D 正确，故选：AD.。

第二章_点、直线、平面之间的位置关系_重难点解析

人教版数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系重难点解析第二章课文目录2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2．2 直线、平面平行的判定及其性质 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质重难点:1、认识空间中点、直线、平面之间的位置关系。

2、通过对大量图形的观察、实验、操作和说理，进一步了解平行、垂直判定方法以及基本性质。

3、准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，体验公理化思想，培养逻辑思维能力，并解决简单的推理论证及应用问题。

4、在空间中实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。

空间平行、垂直之间的转化与联系：一、空间点、直线、平面之间的位置关系“空间点、直线、平面之间的位置关系”包括平面、空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面的位置关系，空间中平面与平面的位置关系。

推理依据的4个公理和定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。

定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

平行和垂直是空间中最重要的两种关系。

平行反映了空间的平直性，垂直反映了空间的对称性。

1、直线与直线：我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。

空间中两条直线的位置关系有三种：为了表示异面直线a,b 不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托。

公理四：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

用符号语言表示如下设a,b,c 是三条直线， a ∥ba ∥cc ∥ba,b,c 三条直线两两平行，可以记为a ∥ b ∥ c这个公理实质上就是说平行具有传递性，在平面内，在空间，这个性质都是不变的。

2、直线与平面：证线面平行的基本方法：线线平行线面平行证线线平行的基本方法：线面平行线线平行 3、平面与平面：共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点。

高一数学知识点总结_点、直线、平面之间的位置关系

高一数学知识点总结_点、直线、平面之间的位置关系高一数学怎么学?减少听课过程中的困难;有助于提高思维能力，预习后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平;今天小编在这给大家整理了高一数学知识点总结，接下来随着小编一起来看看吧!高一数学知识点总结(一)空间点、直线、平面之间的位置关系以下知识点需要我们去理解，记忆。

1、数学所说的直线是无限延伸的，没有起点，也没有终点。

2、数学所说的平面是无限延伸的，没有起始线，也没有终点线。

3、公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

4、过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

5、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一个过该点的公共直线。

6、平行于同一条直线的两条直线平行。

7、直线在平面内，因为直线上有无数多个点，平面上也有无数多个点，因此用子集的符号表示直线在平面内。

8、直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系是本节课的重点和难点。

9、做位置关系的题目，可以借助实物，直观理解。

一、直线与方程考试内容及考试要求考试内容：1.直线的倾斜角和斜率;直线方程的点斜式和两点式;直线方程的一般式;2.两条直线平行与垂直的条件;两条直线的交角;点到直线的距离;考试要求：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。

2.掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。

高一数学知识点总结(二)直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,;当时,;当时,不存在.②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.(3)直线方程①点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点,④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.⑤一般式：(A,B不全为0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：(4)平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)垂直直线系垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(三)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：,直线过定点;(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中。

(完整版)高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点

第二章点、直线、平面之间的地址关系空间点、直线、平面之间的地址关系一、平面1、平面及其表示2、平面的基本性质①公义 1：A lB llAB②公义 2：不共线的三点确定一个平面③公义 3：Pl 则P lP二、点与面、直线地址关系1、A1、点与平面有 2 种地址关系2、B1、A l2、点与直线有 2 种地址关系2、 B l三、空间中直线与直线之间的地址关系1、异面直线2、直线与直线的地址关系订交共面平行异面3、公义 4 和定理公义 4：l1 Pl3l1 Pl 2l 2 Pl3定理：空间中若是两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

4、求异面直线所成角的步骤：① 作：作平行线获取订交直线；② 证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角；③ 构造三角形求出该角。

提示： 1、作平行线常有方法有：直接平移，中位线，平行四边形。

2、异面直线所的角的范围是00 ,900。

四、空间中直线与平面之间的地址关系地址关系直线 a在平面内直线 a与平面订交直线 a与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a a I Aa P图形表示五、空间中平面与平面之间的地址关系地址关系两个平面平行两个平面订交公共点没有公共点有一条公共直线符号表示P I a图形表示直线、平面平行的判断及其性质一、线面平行1、判断：ba b Pb Pa（线线平行，则线面平行）2、性质：a PaPa b b（线面平行，则线线平行）二、面面平行1、判断：aba b P Pa Pb P（线面平行，则面面平行）2、性质 1：PI a a PbI b（面面平行，则线面平行）性质 2：Pm Pm（面面平行，则线面平行）说明（ 1）判断直线与平面平行的方法：① 利用定义：证明直线与平面无公共点。

② 利用判判定理：从直线与直线平行等到直线与平面平行。

③ 利用面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

（2）证明面面平行的常用方法①利用面面平行的定义：此法一般与反证法结合。

数学：第二章《点、直线、平面之间的位置关系》教案(新人教A版必修2)

点、直线、平面之间的位置关系复习（一）课型：复习课一、教学目标1、知识与技能（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。

2、过程与方法利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。

3情态与价值学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。

二、教学重点、难点重点：各知识点间的网络关系；难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。

三、教学设计（一）知识回顾，整体认识1、本章知识回顾（1）空间点、线、面间的位置关系；（2）直线、平面平行的判定及性质；（3）直线、平面垂直的判定及性质。

2、本章知识结构框图（二）整合知识，发展思维1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。

公理1——判定直线是否在平面内的依据；公理2——提供确定平面最基本的依据；公理3——判定两个平面交线位置的依据；公理4——判定空间直线之间平行的依据。

2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；3、空间平行、垂直之间的转化与联系：4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。

（三）应用举例，深化巩固1、P.73 A 组第1题2、P.74 A 组第6、8题（四）、课堂练习：1．选择题（1）如图BC 是R t ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是（）（A ）4个（B ）6个（C ）7个（D ）8个（2）直线a 与平面α斜交，则在平面α内与直线a 垂直的直线（）（A ）没有（B ）有一条（C ）有无数条（D ）α内所有直线答案：（1）D (2) C2．填空题（1）边长为a 的正六边形ABCDEF 在平面α内，PA ⊥α，PA =a ，则P 到CD 的距离为，P 到BC 的距离为 .（2）AC 是平面α的斜线，且AO =a ，AO 与α成60º角，OC ⊂α，AA ＇⊥α于A ＇，∠A ＇OC =45º，则A 到直线OC 的距离是， ∠AOC 的余弦值是 . 答案：（1）a a27,2; （2）42,414a 3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D .分析：A 1C 在上底面ABCD 的射影AC ⊥BD, A 1C 在右侧面的射影D 1C ⊥C 1D,所以A 1C ⊥BD, A 1C ⊥C 1D,从而有A 1C ⊥平面BC 1D .A A ′ CαOC1课后作业1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法；2、P.76 B组第2题。

人教版高一数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关》教案及教学反思

人教版高一数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关》教案及教学反思一、教学目标通过本次教学，学生将能够：1.掌握空间点、直线、平面之间的位置关系；2.学会使用空间几何中的基本概念和基本问题；3.进一步培养学生的数学思维，提高学生的空间想象能力和综合运用能力。

二、教学重点和难点教学重点：1.理解空间中点、直线、平面的概念和特征；2.掌握点与直线、点与平面的位置关系以及直线与平面的位置关系；3.运用三视图法和参考投影法解决平面与平面的位置关系。

教学难点：1.掌握点、直线、平面的共面关系；2.学会在空间中画出图形；3.掌握平面间的位置关系。

三、教学过程1. 导入环节（5分钟）引导学生通过生活实际情境，复习几何学中的点、线、面的概念，并对此进行概括，展现本课内容的片面性和局限性，进而引导学生思考如何通过分别考虑点、直线、平面的位置关系的方法来全面把握几何学中的空间图形。

同时，激发学生空间想象的能力。

2. 正式教学环节（40分钟）1）点与直线的位置关系教师介绍点与直线的位置关系，并用图形进行示范。

然后，让学生自己分析和总结，归纳出点与直线的位置关系的有关性质。

例如：•点在直线上；•点在直线上的外部；•点在线的两侧；•点与直线相离。

2）点与平面的位置关系引入点与平面的位置关系，老师同样先给出范例进行示范，帮助学生加深理解。

然后，再让学生自己探究和总结，归纳点与平面的位置关系的有关性质。

例如：•点在平面上；•点在平面上的内部；•点在平面上的外部。

3）直线与平面的位置关系讲述直线与平面的位置关系，为学生提供相关的图形，并进行实操。

教师同样应给学生提供足够多的机会，让学生自行探究总结，得出有关性质。

例如：•直线在平面上；•直线与平面交于一点；•直线与平面平行；•直线与平面垂直。

4）平面与平面的位置关系在学习与应用前面的知识点后，适当引入平面与平面的位置关系。

老师还是要以图形为依据，实践出多重案例，使学生理解平面与平面的位置关系的本质。

高中数学第二章直线与平面的位置关系知识点总结

P · α L β DC B A α 第二章直线与平面的位置关系 1.平面含义：平面是无限延展的2. 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3 . 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈αB ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 4. 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

5.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

6.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补7.注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

必修二2.1.空间点、直线、平面之间的位置关系(教案)

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）第二章点、直线、平面之间的位置关系2. 1空间点、直线、平面之间的位置关系教案 A第 1 课时教学内容： 2. 1. 1平面教学目标一、知识与技能1.利用生活中的实物对平面进行描述，掌握平面的表示法及水平放置的直观图；2.掌握平面的基本性质及作用，提高学生的空间想象能力.二、过程与方法在师生的共同讨论中，形成对平面的感性认识.三、情感、态度与价值观通过实例认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.教学重点、难点教学重点：1.平面的概念及表示；2.平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.教学难点：平面基本性质的掌握与运用.教学关键：让学生理解平面的概念，熟记平面的性质及性质的应用，使学生对平面的概念及其性质由感性认识上升到理性认识.教学突破方法：对三个公理要结合图形进行理解，清楚其用途.教法与学法导航教学方法：探究讨论，讲练结合法．学习方法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标.教学准备教师准备：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板．学生准备：直尺、三角板．教学过程教学教学内容师生互动设计过程意图创设什么是平面？师：生活中常见的如黑板、情境一些能看得见的平面实桌面等，给我们以平面的印象，形成平导入例 .你们能举出更多例子吗？那么面的概新课平面的含义是什么呢？这就是念我们这节课所要学习的内容 .1教师备课系统──多媒体教案续上表1.平面含义随堂练习判定下列命题是否正确：主题① 书桌面是平面；探究② 8 个平面重叠起来要比合作 6 个平面重叠起来厚；交流③ 有一个平面的长是50m，宽是 20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念 .师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说加强对知的平面，就是从这样的一些识的理解物体中抽象出来的，但是，培养，自几何里的平面是无限延展觉钻研的的 .学习习惯 . 数形结合，加深理解 .2.平面的画法及表示师：在平面几何中，怎（1）平面的画法：水平放样画直线？（一学生上黑板置的平面通常画成一个平行四画）边形，锐角画成 45°，且横边之后教师加以肯定，解说、画成邻边的 2 倍长（如图）．类比，将知识迁移，得出平面的画法：D CαA B如果几个平面画在一起，主题当一个平面的一部分被另一个探究平面遮住时，应画成虚线或不合作画（打出投影片）．交流（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC 、平面 ABCD等.（3）平面内有无数个点，平面可以看成点的集合 .点 A 在平面α内，记作：A ∈ α ; 点B 在平面α外，记作： Bα．β通过类比α探索，培养学生知识迁移能β力，加强知识的系统性 .α·B·Aα2续上表人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）3.平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．A Bα· C··教师引导学生思考教材P41 的思考题，让学生充分发表自己的见解 .师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出公理主题探究合作交流符号表示为A ∈ LB∈ L? L ? α．A ∈ αB∈ α公理 1：判断直线是否在平面内．公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 .A· Bα·L符号表示为： A 、B、C 三点不共线 ? 有且只有一个平面α，使A ∈ α、 B∈ α、 C∈ α.公理 2 作用：确定一个平面的依据 .公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 .βPα·L符号表示为： P∈ α∩β? α∩β =L，且P∈ L ．公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 .1．教师引导学生阅读教材P42 前几行相关内容，并加以解析．师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等．通过类比引导学生归纳出公理探索，培2．养学生知教师用正（长）方形识迁移能模型，让学生理解两个平力，加强面的交线的含义.知识的系注意：（ 1）公理中“有统性 .且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形唯一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“ 有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面 . ”引导学生阅读P42 的思考题，从而归纳出公理3．3教师备课系统──多媒体教案续上表拓展 4. 教材 P43 例 1教师及时评价和纠正同创新通过例子，让学生掌握图形学的表达方法，规范画图和巩固应用中点、线、面的位置关系及符号符号表示 .提高．提高的正确使用 .1．平面的概念，画法及表示方法 .培养学2．平面的性质及其作用．生归纳3．符号表示．整合知4．注意事项．学生归纳总结、教师给识能小结力，以予点拨、完善并板书 .及思维的灵活性与严谨性 .课堂作业1.下列说法中，（1）铺得很平的一张白纸是一个平面；（ 2）一个平面的面积可以等于 6cm 2；（ 3）平面是矩形或平行四边形的形状. 其中说法正确的个数为（）．A . 0 B . 1 C. 2 D . 32.若点 A 在直线 b 上，在平面内，则 A， b，之间的关系可以记作（）．A . A b B. A b C. A b D . A b3.图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（）．A B C D4.空间中两个不重合的平面可以把空间分成（）部分.答案： 1. A 2. B 3. D 4. 3 或 4第 2 课时教学内容2.1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中两条直线的位置关系；4人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2.理解异面直线的概念、画法，提高空间想象能力；3.理解并掌握公理 4 和等角定理；4.理解异面直线所成角的定义、范围及应用.二、过程与方法1.经历两条直线位置关系的讨论过程，掌握异面直线所成角的基本求法.2.体会平移不改变两条直线所成角的基本思想和方法.三、情感、态度与价值观感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学习兴趣.教学重点、难点教学重点1.异面直线的概念 .2.公理 4 及等角定理 .教学难点异面直线所成角的计算.教学关键提高学生空间想象能力，结合图形来判断空间直线的位置关系，使学生掌握两异面直线所成角的步骤及求法 .教学突破方法结合图形，利用不同的分类标准给出空间直线的位置关系，由两异面直线所成角的定义求其大小，注意两异面直线所成角的范围.教法与学法导航教学方法探究讨论法．学习方法学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成教学目标.教学准备教师准备投影仪、投影片、长方体模型、三角板．学生准备三角板 .教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计环节意图创设通过身边实物，相互设疑激情境异面直线的概念：不同在任何一个交流异面直线的概念．趣点出导入平面内的两条直线叫做异面直线.师：空间两条直线有主题．新课多少种位置关系？1. 空间的两条直线的位置关系教师给出长方体模多媒体5教师备课系统──多媒体教案相交直线：同一平面内，有且只有型，引导学生得出空间的演示提一个公共点；两条直线有如下三种关高上课平行直线：同一平面内，没有公共系．效率 .探索点；异面直线：不同在任何一个平面内，教师再次强调异面直新知没有公共点 .线不共面的特点．师生互异面直线作图时通常用一个或两个动，突平面衬托，如下图：破重点 .2. 平行公理师：在同一平面内，例 2 的思考：长方体ABCD-A'B'C'D' 中，如果两条直线都与第三条讲解让BB' ∥AA'， DD' ∥AA'，那么 BB' 与直线平行，那么这两条直学生掌DD' 平行吗？线互相平行 . 在空间中，是握了公否有类似的规律？理 4 的运用．生：是．强调：公理 4 实质上探索是说平行具有传递性，在新知公理 4：平行于同一条直线的两条平面、空间这个性质都适直线互相平行 .用．符号表示为：设a、b、c 是三条直线如果 a//b， b//c，那么 a//c.例 2 空间四边形ABCD 中， E、 F、G、 H 分别是AB 、BC 、 CD 、 DA 的中点．求证：四边形 EFGH 是平行四边形 .续上表3. 思考：在平面上，我们容易证明让学生观察、思考：等角定“如果一个角的两边与另一个角的两边理为异探索分别平行，那么这两个角相等或互补”.面直线新知空间中，结论是否仍然成立呢？所成的等角定理：空间中如果两个角的两角的概边分别对应平行，那么这两个角相等或念作准6人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）互补 .∠ ADC与A'D'C' 、备.∠ ADC与∠ A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ ADC = A'D'C' ，∠ ADC +∠ A'B'C' = 180°4.异面直线所成的角如图，已知异面直线 a、b，经过空探索间中任一点 O 作直线 a'∥ a、b'∥ b，我新知们把 a'与 b'所成的锐角（或直角）叫异面直线 a 与 b 所成的角（夹角）．教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下等角定理．师：① a'与 b'所成的角的以教师大小只由 a、b 的相互位置讲授为来确定，与 O 的选择无关，主，师为了简便，点 O 一般取在生共同两直线中的一条上；交流，② 两条异面直线所成的导出异角θ∈（ 0，π）；面直线2所成的③ 当两条异面直线所成角的概探索的角是直角时，我们就说念 .新知这两条异面直线互相垂例 3 让直，记作 a⊥ b；学生掌④ 两条直线互相垂直，有握了如共面垂直与异面垂直两种何求异情形；面直线⑤ 计算中，通常把两条异所成的例 3（投影）面直线所成的角转化为两角，从条相交直线所成的角 .而巩固了所学知识 .续上表充分调动学拓展生动手创新教材 P49 练习 1、 2．生完成练习，教师当的积极应用堂评价 .性，教提高师适时7教师备课系统──多媒体教案给予肯定 .本节课学习了哪些知识内容？小结知2．计算异面直线所成的角应注意什学生归纳，然后老师补识，形小结么？充、完善．成整体思维．课堂作业1. 异面直线是指（）．A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线2.如右图所示，在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）．A. 2 对 B . 3 对 C. 4 对 D. 6 对3.正方体 ABCD-A 1B1C1D1中与棱AA1平行的棱共有（）．A. 1 条 B . 2 条 C. 3 条 D. 4 条4.空间两个角、，且与的两边对应平行，若=60 °，则的大小为（）．.答案： 1. D 2.B 3. C 4. 60 °或 120°第 3 课时教学内容8人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2. 1. 3 空间中直线与平面之间的位置关系 2. 1. 4 平面与平面之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中直线与平面的位置关系，了解空间中平面与平面的位置关系；2.提高空间想象能力 .二、过程与方法1.通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；2.利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.三、情感、态度与价值观感受空间中图形的基本位置关系，形成严谨的思维品质.教学重点、难点教学重点空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.教学难点用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.教学关键借助图形，使学生清楚直线与平面，平面与平面的分类标准，并能依据这些标准对直线与平面、平面与平面的位置关系进行分类及判定.教学突破方法恰当地利用图形，用符号语言表述直线与平面、平面与平面的位置关系.教法与学法导航教学方法借助实物，让学生观察事物、思考关系，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标.学习方法探究讨论，自主学习法.教学准备教师准备多媒体课件，投影仪，三角板，直尺.学生准备三角板，直尺．教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计过程意图创设问题1：空间中直线和直线有几生 1：平行、相交、异复习9教师备课系统──多媒体教案情境种位置关系？面；回顾，导入问题 2：一支笔所在的直线和一生 2：有三种位置关系：激发新课个作业本所在平面有几种位置关（1）直线在平面内；学习系？（2）直线与平面相交；兴趣 .（3）直线与平面平行．师肯定并板书，点出主题 .1．直线与平面的位置关系 .师：有谁能讲出这三种（ 1）直线在平面内——有无数位置有什么特点吗？个公共点 .生：直线在平面内时二（ 2）直线与平面相交——有且者有无数个公共点 .仅有一个公共点 .直线与平面相交时，二（ 3）直线在平面平行——没有者有且仅有一个公共点 .公共点 .直线与平面平行时，三其中直线与平面相交或平行的者没有公共点（师板书）．情况，统称为直线在平面外，记作师：我们把直线与平面加强a.相交或直线与平面平行的对知直线 a 在面内的符号语言是情况统称为直线在平面外 .识的a. 图形语言是：师：直线与平面的三种理解位置关系的图形语言、符号培养，主题语言各是怎样的？谁来画自觉探究图表示一个和书写一下 .钻研合作学生上台画图表示 .的学交流直线 a 与面相交的 a∩ = A.师；好 . 应该注意：画习习图形语言是符号语言是：直线在平面内时，要把直线惯，数画在表示平面的平行四边形结形内；画直线在平面外时，合，加应把直线或它的一部分画深理在表示平面的平行四边形解 .外 .直线 a 与面平行的符号语言是a∥. 图形语言是：10人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）续上表2．平面与平面的位置关系师：下面请同学们思考以（ 1）问题 1：拿出两本书，看下两个问题（投影）．作两个平面，上下、左右移动和翻生：平行、相交 .转，它们之间的位置关系有几种？师：它们有什么特点？（ 2）问题 2：如图所示，围成生：两个平面平行时二者长方体 ABCD –没有公共点，两个平面相交A′B′C′D′的六个时，二者有且仅有一条公共直通过面，两两之间的线（师板书）．类比位置关系有几师：下面请同学们用图形探索，种？和符号把平面和平面的位置培养主题关系表示出来⋯⋯学生（ 3）平面与平面的位置关系探究——没有公师：下面我们来看几个例知识平面与平面平行合作子（投影例 1）．迁移共点 .交流能力 .平面与平面相交——有且只有一条公共直线 .加强平面与平面平行的符号语言知识是∥ . 图形语言是：的系统性 .11教师备课系统──多媒体教案续上表拓展创新应用提高例 1 下列命题中正确的个数是（ B ）．①若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l∥ .②若直线l 与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 .③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 .④若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线没有公共点 .A . 0B . 1 C. 2 D. 3例 2 已知平面∥，直线a，求证 a∥ .证明：假设 a 不平行，则 a在内或 a 与相交 .∴ a 与有公共点 .又 a.∴ a与有公共点，与面∥面矛盾 .∴∥ .学生先独立完成，然后讨例 1 通论、共同研究，得出答案. 教师过示范利用投影仪给出示范 .传授学师：如图，我们借助长方体生一个模型，棱 AA 1所在直线有无数点通过模在平型来研面究问题ABCD的方外，但法，加棱 AA 1深对概所在直线与平面ABCD 相交，所念的理以命题①不正确； A1B1所在直线解. 例 2平行于平面 ABCD ，A1B1显然不目标训平行于 BD，所以命题②不正确；练学生A1 B1∥AB，A1B1所在直线平行于思维的平面 ABCD ，但直线 AB平灵活，面 ABCD ，所以命题③不正确；并加深l 与平面平行，则 l 与无公对面面共点， l与平面内所有直线都平行、没有公共点，所以命题④正确，线面平应选 B .行的理师：投影例2，并读题，先解.让学生尝试证明，发现正面证明并不容易，然后教师给予引导，共同完成，并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解 .1．直线与平面、平面与平培养学面的位置关系 .生整合2．“正难到反”数学思想知识能与反证法解题步骤 .学生归纳总结、教师给予点力，以小结拨、完善并板书 .及思维3. “分类讨论”数学思想．的灵活性与严谨性 . 12人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）课堂作业1.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）．A ．一条直线不相交B．两条直线不相交C．任意一条直线都不相交 D ．无数条直线都不相交【解析】直线与平面平行，则直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C.2. “平面内有无穷条直线都和直线l 平行”是“l //”的（）．A．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选 B.3．如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线：（ 1）AB 没有被平面遮挡；（ 2）AB 被平面遮挡.答案：略4．已知，，直线a，b，且∥，a，b，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？【解析】平行或异面．5．如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.【解析】三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条.6.求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内 .已知： l ∥，点P∈，P∈ m，m∥ l，求证： m.证明：设 l 与 P 确定的平面为，且= m′，则 l ∥ m′.又知 l ∥ m， m m P ，由平行公理可知，m 与 m′重合 .所以 m.13教师备课系统──多媒体教案教案 B第 1 课时教学内容： 2. 1. 1 平面教学目标1.了解平面的概念，掌握平面的画法、表示法及两个平面相交的画法；2.理解公理一、二、三，并能运用它们解决一些简单的问题；3.通过实践活动，感知数学图形及符号的作用，从而由感性认识提升为理性认识，注意区别空间几何与平面几何的不同，多方面培养学生的空间想象力.教学重点：公理一、二、三，实践活动感知空间图形．教学难点：公理三，由抽象图形认识空间模型．学法指导：动手实践操作，由模型到图形，由图形到模型不断感知.教学过程一、引入在平面几何中，我们已经了解了平面图形都是由点和线构成的，我们所做的一切都是在一个无形的平面中进行，请同学谈谈到底平面是什么样子的？可以举实例说明.在平面几何中，我们也知道直线是无限延伸的，我们是怎样表示这种无限延伸的？那么你认为平面是否有边界？你又认为如何去表示平面呢？二、新课以上问题经过学生分小组充分讨论，由各小组代表陈述你这样表示的理由？教师暂不作评判，继续往下进行 .实践活动：1.仔细观察教室，举出空间的点、线、面的实例.2.只准切三刀，请你把一块长方体形状的豆腐切成形状、大小都相同的八块.3.请你准备六根游戏棒，以每根游戏棒为一边，设法搭出四个正三角形.以上这些问题已经走出了平面的限制，是空间问题. 今后我们将研究空间中的点、线、面之间的关系.图 1问题：指出上述活动中几何体的面，并想想如何在一张纸上画出这个几何体？至此我们应感受到画几何体与我们的视角有一定的关系.练习一：试画出下列各种位置的平面.1.水平放置的平面2.竖直放置的平面14人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）图 2（ 1）图2（2）3.倾斜放置的平面图 34.请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．图 4（1）图4（2）图4（3）图4（4）小结：平面的画法和表示法.我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示一个平面，如图 5.平行四边形的锐角通常画成45o，且横边长等于其邻边长的 2 倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图 6.βFA DA DααB E CB C图 5图 6图 7平面常用希腊字母, ,等表示（写在代表平面的平行四边形的一个角上），如平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或相对的两个顶点的大写英文字母作为平面的名称，图 5 的平面，也可表示为平面ABCD ，平面 AC 或平面BD .前面我们感受了空间中面与面的关系及画法，现在让我们研究一下点、线与一个平面会有怎样的关系？15教师备课系统──多媒体教案显然，一个点与一个平面有两种位置关系：点在平面内和点在平面外.我们知道平面内有无数个点，可以认为平面是由它内部的所有的点组成的点集，因此点和平面的位置关系可以引用集合与元素之间关系.从集合的角度，点 A 在平面内，记为A；点B在平面外，记为B （如图 7）.再来研究一下直线与平面的位置关系.将学生分成小组，并动手实践操作后讨论：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的整个边缘就落在桌面上吗？请同学们再试着想一下，如何用图形表示直线与平面的这些空间关系？由“两点确定一条直线”这一公理，我们不难理解如下结论：公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 .A l ,B l , 且 A, B,l．A l Bα图8例1 分别用符号语言、文字语言描述下列图形．AA aa图 9（ 1）图 9（ 2）图 9（ 3）例 2 识图填空（在空格内分别填上, , ,）．A____ a；A____ α，B____ a； B____ α，Aa____ α；a____ α = B，B bb____ α；B____ b．a图 10图 11问题情景：制作一张桌子，至少需要多少条腿？为什么？公理 2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平A面 .CB实践活动：取出两张纸演示两个平面会有怎样的位置关α图 12系，并试着用图画出来 .图 12试问：如图13 是两个平面的另一种关系吗？（相对于同学们得出的关系）由平面的无限延展性，不难理解如下结论：公理 3如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个公共点16人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）的直线 .βP l 且P l．αP l图 13例 3如图14用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.l【分析】根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.【解析】在（1）中，l , a A , a B .l , a, b, a l P , B l P .在（ 2）中，三、巩固练习教材 P43 练习 1— 4.四、课堂小结（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？（3）判断共面的方法 .五、布置作业P51 习题 A 组 1， 2．第 2 课时教学内容： 2. 1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标：一、知识目标1.了解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；3.理解并掌握公理 4．二、能力目标1.让学生在观察中培养自主思考的能力；17教师备课系统──多媒体教案2.通过师生的共同讨论培养合作学习的能力.三、情感、态度与价值观让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.教学重点、难点教学重点： 1.异面直线的概念； 2.公理 4.教学难点：异面直线的概念.学法与教学用具1.学法：学生通过观察、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标；2.教学用具：多媒体、长方体模型、三角板．教学过程一、复习引入1．平面内两条直线的位置关系有（相交直线、平行直线）．相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）．2．实例 . 十字路口——立交桥．立交桥中，两条路线 AB ， CD 既不平行，又不相交（非平面问题）．六角螺母DCA B二、新课讲解1.异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．练习：在教室里找出几对异面直线的例子．注1：两直线异面的判别一 : 两条直线既不相交、又不平行．两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内．合作探究一：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？答：不一定，它们可能异面，可能相交，也可能平行．空间两直线的位置关系：按平面基本性质分（1）同在一个平面内：相交直线、平行直线；（ 2）不同在任何一个平面内：异面直线．按公共点个数分（ 1）有一个公共点 : 相交直线；（ 2）无公共点：平行直线、异面直线．2．异面直线的画法说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托. 18。

《第二章点、直线、平面之间的位置关系》复习课(知识点回顾)

典型例题 1.如图所示，空间四边形如图所示，如图所示空间四边形ABCD中，E、F、中、、 G分别在、BC、CD上，且满足 ∶EB 分别在AB、、上且满足AE∶ 分别在 =CF∶FB=2∶1，CG∶GD= 3∶1，过E、 ∶ ∶ ， ∶ ∶ ，、 F、G的平面交于H，连接的平面交AD于，连接EH.求AH∶HD；、的平面交求 ∶ ；解平面EFGH， ∴EF∥平面 ∥平面ACD.而EF平面而平面，且平面EFGH∩平面平面ACD=GH，且平面平面， ∴EF∥GH.而EF∥AC， ∥ 而 ∥ ， ∴AC∥GH. ∥ ∴==3,即AH∶HD=3∶1. 即 ∶ ∶
“线线平行”与“线面平行”的转化问题线线平行” 线面平行” 线线平行典型例题 1．【06北京理】如图，在底面为平行四边形的北京·理如图，．北京四棱锥P-ABCD中，AB┴AC，PA ┴平面平面ABCD，四棱锥中，平面，的中点. 且PA=AB，点E是PD的中点，是的中点求证：平面AEC。求证：PB ∥平面。
直线与直线的位置关系
1. 异面直线的概念定义:我们把不同在任何一个平面内的两条定义我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 2.空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系 (1)相交直线在同一平面内有且仅有一个公共点相交直线—在同一平面内相交直线在同一平面内,有且仅有一个公共点 (2)平行直线平行直线——在同一平面内，没有公共点在同一平面内，平行直线在同一平面内 (3)异面直线异面直线——不同在任何一个平面内，没有公不同在任何一个平面内，异面直线不同在任何一个平面内共点 4.等角或补角定理空间中如果两个角的两边分等角或补角定理: 等角或补角定理别对应平行,那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补. 别对应平行那么这两个角相等或互补

必修2-第二章-点、直线、平面之间的位置关系知识点

第二章点、直线、平面之间的位置关系知识点一、空间点、线、面间的位置关系【课标要求】借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解公理1~4和空间等角定理。

【例题1】如图所示，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG=13BC，CH=13DC，求证：（1）E，F，G，H四点共面；（2）三直线FH，EG，AC共点.【解析】本题考查空间点、线、面间的位置关系，需要用公理1-3来解决；：]~】【答案】如图（1）连接EF，GH，由E，F分别为AB，AD中点，∴EF ∥12BD，由CG=13BC，CH= 13DC，∴HG∥13BD，∴EF∥HG且EF≠HG，∴EF，HG可确定平面α，∴E,F,G,H四点共面；（2）由（1）知EFHG为平面图形，且EF∥HG，EF≠HG.，∴四边形EFHG为梯形，设直线FH∩直线EG=O，∵点O∈直线FH，直线FH⊂面ACD，∴点O∈平面ACD，同理点O∈平面ABC，又面ACD∩面ABC=AC，∴点O∈直线AC（公理2），∴三直线FH，EG，AC共点.&【归纳拓展】1、证明点线共面的常用方法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；或者先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α,β重合；2、线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点，证明三线共点的依据是公理3，证明三线共点的方法是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点；把问题转化为证明点在直线上的问题，实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理。

【变式训练1】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由；\（1）直线AC1⊂平面CC1B1B；（2）设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，平面AA1C1C 平∩面BB1D1D=OO1；（3）点A，O，C可以确定一个平面；（4）由点A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；（5）由A，C1，B1确定的平面和由A，C1，D确定的平面是同一平面；【变式训练2】如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG: GD=3:1，过E，F，G的平面交AD于H，连接EH.—（1）求AH:HD；（2）求证：EH，FG，BD三线共点.二、直线、平面平行的判定与性质【课标要求】以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的判定与性质。

高一数学必修二第二章“点、直线、平面之间的位置关系”知识点总结

数学必修2第二章"点、直线、平面之间的位置关系”知识点1、平面的特征：平的，无厚度，可以无限延展.2、平面的基本性质：公理1、若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.,,,l l l αααA∈B∈A∈B∈⇒⊂《公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.,,,,,C C ααααA B ⇒A∈B∈∈三点不共线有且只有一个平面使公理3、若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.l l αβαβP∈⇒=P∈且推论1、经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3、经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行.—//,////a b b c a c ⇒3、等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.4、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.数学符号表示：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒&直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 数学符号表示：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒5、平面与平面平行的判定定理：（1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.数学符号表示：,,,//,////a b a b a b ββαααβ⊂⊂=P ⇒（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.符号表示：,//a a αβαβ⊥⊥⇒（3）：（4）平行于同一个平面的两个平面平行.符号表示：//,////αγβγαβ⇒ 面面平行的性质定理：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面. //,//a a αβαβ⊂⇒（2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.//,,//a b a b αβαγβγ==⇒【 6、直线与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 数学符号表示：,,,,m n m n l m l n l ααα⊂⊂=A ⊥⊥⇒⊥（2）若两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.//,a b a b αα⊥⇒⊥（3）若一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面.//,a a αβαβ⊥⇒⊥直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.} ,//a b a b αα⊥⊥⇒7、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.,a a βααβ⊥⊂⇒⊥8、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.数学符号表示：,,,b a a b a αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥，。

高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》33PPT课件

两种：平行和相交
思考讨论
①怎么样两个平面平行 ②两个平面平行的画法 ③什么叫做两个平面相交
①两个平面平行——没有公共点. ②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行。
③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.用符号语言表示为：P∈Α 且P∈ΒΑ∩Β=L,且P∈L.
复习旧知
1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面. 2.直线与平面的位置关系： ①直线在平面内——有无数个公共点, ②直线与平面相交——有且只有一个公共点, ③直线与平面平行——没有公共点.
Hale Waihona Puke 讲授新知观察长方体（图1），围成长方体ABCD— A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？
平面与平面之间的位置关系
学习目标
（1）了解空间中平面与平面的位置关系；（2）培养学生的空间想象能力. （3）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；（4）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.
重难点
1.了解空间两个平面的位置关系。 2.会判断两个平面的位置关系。 3.空间中三个平面之间的位置关系。
重难点
本节主要学习平面与平面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种：
①两个平面平行——没有公共点； ②两个平面相交——有一条公共直线. 另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.
重难点
作业布置： P56 习题2.1A组 4（4）（5）（6）
重难点
本节内容较少，与上一节课一样,教材没有讨论面面平行的判定和性质，只介绍了平面与平面的位置关系.平面与平面的位置关系是立体几何的重要位置关系，虽没有严格推理和证明，却正好发挥我们的空间想象能力和发散思维能力.

新课标高中数学必修第二章点直线平面之间的位置关系精讲

第９讲 §２.1．１平面¤学习目标：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”;理解平面的无限延展性;正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化;理解可以作为推理依据的三条公理.¤知识要点：1. 点A 在直线上,记作A a ∈；点A 在平面α内,记作A α∈;直线a 在平面α内,记作a α⊂.2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下:公理1 公理2 公理３图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号语言 ,,A l B l l A B ααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭ ,,,,A B C A B C α⇒不共线确定平面 ,l P P P l αβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩ 推论１经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论２经过两条相交直线,有且只有一个平面；推论３经过两条平行直线,有且只有一个平面. ¤例题精讲：【例１】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面?(P 56 A 组5题）解：根据公理2的推论3，可知两条平行直线确定一个平面，又由公理1可知,与两条平行直线相交的第三条直线在这个平面内，所以一条直线与两条平行直线都相交时,这三条直线是共面的关系.【例2】空间四边形ＡB ＣD 中，E 、F 、G 、Ｈ分别是ＡB 、ＢC 、CD 、DA 上的点，已知EF 和GH 交于P 点，求证：EF 、GH 、A Ｃ三线共点. （同P ５8 Ｂ组3题）解：∵Ｐ∈EF ，E Ｆ⊂面ABC ，∴Ｐ∈面A ＢC . 同理P ∈面ADC . ∵ P 在面ABC 与面ＡD Ｃ的交线上,又 ∵面AB Ｃ∩面AD Ｃ＝A Ｃ, ∴Ｐ∈A Ｃ,即ＥF 、HG 、ＡC 三线共点．【例3】求证:两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内. 已知:直线,,AB BC CA 两两相交,交点分别为,,A B C ，求证：直线,,AB BC CA 共面.证明：因为A,Ｂ,C 三点不在一条直线上,所以过A ，B ，C 三点可以确定平面α. 因为A ∈α，Ｂ∈α,所以A Ｂ α．同理ＢＣ α,AC α. 所以A Ｂ，ＢC ，C Ａ三直线共面.点评：先依据公理2，由不共线的三点确定一个平面，再依据公理１, 证三条直线在平面内. 注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形,然后给出符号语言表述的已知与求证. 常根据三条公理，进行“共面”问题的证明.【例4】在正方体1111ABCD A B C D -中，(1)1AA 与1CC 是否在同一平面内?（2）点1,,B C D 是否在同一平面内? (3)画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线. 解：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，∵11//AA CC , ∴由公理2的推论可知,1AA 与1CC 可确定平面1AC ， ∴1AA 与1CC 在同一平面内.（2)∵点1,,B C D 不共线,由公理３可知，点1,,B C D 可确定平面1BC D , ∴ 点1,,B C D 在同一平面内． (3）∵ACBD O =，11D C DC E =, ∴点O ∈平面1AC ，O ∈平面1BCD ，又1C ∈平面1AC ，1C ∈平面1BC D ， ∴ 平面1AC 平面1BC D 1OC =，同理平面1ACD 平面1BDC OE =.αCBA点评：确定平面的依据有公理2(不在同一条直线上的三点)和一些推论（两条平行直线、两条相交直线、直线和直线外一点）. 对几条公理的作用,我们必须十分熟练.第９练 §2.1.1 平面※基础达标１.两个平面若有三个公共点，则这两个平面（Ｃ）.A ．相交 B.重合Ｃ.相交或重合Ｄ．以上都不对 2.下列推断中，错误的是( C ).Ａ.,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=C.,l A l A αα⊄∈⇒∉Ｄ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且A 、B 、C 不共线,αβ⇒重合3.Ｅ、Ｆ、G 、H 是三棱锥A-BCD 棱AB 、ＡD 、C Ｄ、ＣB 上的点，延长ＥF 、ＨG 交于Ｐ,则点P (B )． A. 一定在直线AC 上 B. 一定在直线BD 上 C. 只在平面BCD 内Ｄ. 只在平面ABD 内4.用一个平面截一个正方体,其截面是一个多边形，则这个多边形边数最多是（ C )． A ．三 B. 四 C. 六 D. 八５.下列说法中正确的是（ D ).A. 空间不同的三点确定一个平面B. 空间两两相交的三条直线确定一个平面C ．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D. 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内6．给出下列说法：① 梯形的四个顶点共面;② 三条平行直线共面;③ 有三个公共点的两个平面重合；④ 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面．其中说法正确的序号依次是 . ①④7.已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是 . 4 ※能力提高 8．正方体1111ABCD A B C D -中,Ｅ、F 、G 、H 、K 、L 分别是111DC DD A D 、、、 111A B BB BC 、、的中点. 求证:这六点共面．证明：连结BD 和KF ，因为 E L 、是CD CB 、的中点，所以 //EL BD ．又矩形11BDD B 中//KF BD ，所以 //KF EL ，所以 KF EL 、可确定平面α，所以 E F K L 、、、共面α，同理 //EH KL ，故 E H K L 、、、共面β. 又平面α与平面β都经过不共线的三点E K L 、、，故平面α与平面β重合,所以E 、F 、G 、H 、Ｋ、L 共面于平面α. 同理可证G α∈，所以,E 、F 、Ｇ、Ｈ、Ｋ、L 六点共面．（证明共面问题常有如下两个方法:直接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；间接法:先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合.)9.(1)ABC ∆在平面α外,AB P α=，BC Q α=，AC R α=,求证:P ，Q ，R 三点共线.（２）已知四边形AB ＣＤ中，AB ∥CD ,四条边AB ，ＢC ，DC ,AD (或其延长线）分别与平面α相交于E ,F ,Ｇ,Ｈ四点，求证：四点E ，F ,Ｇ，H 共线．证明:(１)根据公理2易知ABC ∆确定平面β，且与α有交线l ，根据公理3易知，P ，Ｑ，Ｒ三点都在直线l 上，即三点共线.(2)ＡB ∥CD ，∴AB ,CD 确定一个平面β,易知AB ，BC ,D Ｃ,ＡＤ都在β内，由平面的性质可知四点Ｅ，F ，G ，H 都在β上，因而,E ,G ,G ，H 必都在平面α与β的交线上，所以四点E ，Ｆ,G ，H 共线.※探究创新1０．在一封闭的正方体容器内装满水,M ，N 分别是AA 1与C 1D 1的中点,由于某种原因,在Ｄ，Ｍ,N 三点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多,问应将此容器如何放置?此时水的上表面的形状怎样?解：使过三点Ｍ，N ，Ｄ的平面成为水平面时，容器内存水最多,至于水表面的形状，实质上就是过Ｍ,N ,D 三点所作正方体的截面的形状. 连结DM 并延长DM 交D １A 1的延长线于P ，则点P 既在截面内又在底面A １B 1C 1Ｄ1内，连结P Ｎ交A １B 1于E ，连ME ，ND ，则过M ,N ,Ｄ的截面就是四边形D ＭEN ，易证ＭＥ∥ＤＮ且M Ｅ≠D Ｎ，因而它是一个梯形．C A A B B CD D EFG HKL1111第10讲 §２.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系¤学习目标:了解空间两条直线的三种位置关系,理解异面直线的定义,掌握平行公理，掌握等角定理,掌握两条异面直线所成角的定义及垂直．¤知识要点:1. 空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 2. 已知两条异面直线,a b ,经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，把,a b ''所成的锐角（或直角)叫异面直线,a b 所成的角(或夹角）. ,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关,为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90]︒,如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直，记作a b ⊥．求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.¤例题精讲:【例1】已知异面直线a 和b 所成的角为50°,P 为空间一定点,则过点P 且与a 、b 所成角都是３０°的直线有且仅有( )．Ａ． 1条 B. ２条 C. 3条 D. 4条解：过P 作a '∥a ，b '∥ｂ,若P ∈a ，则取a 为a ',若P ∈b ，则取b 为b '．这时a ',b '相交于P 点,它们的两组对顶角分别为５０°和１30°.记a '，b '所确定的平面为β,那么在平面β内，不存在与a ',b '都成30°的直线. 过点P 与a ',b '都成３0°角的直线必在平面β外,这直线在平面β的射影是a '，b '所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l 和l '，射影是13０°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B.【例2】如图正方体1111ABCD A B C D -中，Ｅ、Ｆ分别为Ｄ1Ｃ1和Ｂ1C 1的中点,P 、Q 分别为AC 与BD 、A 1Ｃ1与ＥF 的交点. (1)求证：D 、B 、F 、E 四点共面;（2）若A 1C 与面D ＢFE 交于点R ，求证：Ｐ、Q 、R 三点共线．证明:(1)∵ 正方体1111ABCD A B C D -中，1BB //1DD ，∴BD //11B D ．又 ∵ 111B D C 中，E 、F 为中点,∴ EF //1112B D . ∴ //EF BD , 即D 、B 、F 、E 四点共面. (2)∵ 1Q AC ∈平面，Q BE ∈平面,1P AC ∈平面,P BE ∈平面，∴ 1AC BE PQ =平面平面.又 1AC BE R =平面, ∴ 1R AC ∈平面，R BE ∈平面, ∴ R PQ ∈. 即P 、Q 、R 三点共线【例3】已知直线ａ／／b ／/ｃ,直线d 与ａ、b 、c 分别相交于A 、B 、Ｃ，求证:a 、b 、c 、ｄ四线共面．证明:因为a //ｂ，由公理２的推论，存在平面α，使得,a b αα⊂⊂. 又因为直线d 与a 、ｂ、c 分别相交于A 、B 、C ,由公理１，d α⊂. 假设c α⊄,则c C α=, 在平面α内过点C 作//c b '，因为b ／/c,则//c c ',此与c c C '=矛盾. 故直线c α⊂.综上述，a 、ｂ、c 、d 四线共面.点评:证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理２及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件. 此例拓展的证明先构建出一个平面,然后从假设出发,推出矛盾,矛盾的原因是假设不成立,这就是证明问题的一种反证法的思路.【例4】如图中，正方体ABC Ｄ—Ａ１Ｂ1Ｃ1D 1,E 、F 分别是ＡD 、AA 1的中点.(1）求直线AB １和C Ｃ1所成的角的大小; (2)求直线AB 1和E Ｆ所成的角的大小.解:（１)如图，连结DC １， ∵ＤＣ1∥ＡB 1,∴ D Ｃ1 和ＣC 1所成的锐角∠CC 1D 就是AB １和C Ｃ1所成的角. ∵ ∠ＣC 1Ｄ=４5°, ∴ ＡB 1 和ＣC 1所成的角是４５°. (２)如图,连结ＤA １、Ａ1C 1，∵ EF ∥A 1D ,AB 1∥DC 1，∴ ∠A 1DC 1是直线ＡＢ1和E Ｆ所成的角.∵ΔA 1ＤC 1是等边三角形, ∴ ∠A 1ＤC 1=60º,即直线AB 1和EF 所成的角是60º.点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想,发挥空间想象力，把两异面直线成角问题c'b a d c αCB APQ F E D 11B 1A 1DC B A转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题,运用化归思想将难化易. 解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路．第10练 §2.１.2 空间中直线与直线之间的位置关系※基础达标１.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ D ).A. 异面ﻩB. 平行C. 相交ﻩ D ．以上都有可能2.教室内有一把尺子，无论怎样放置,地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（Ｂ ). ﻩﻩA.平行 ﻩＢ.垂直 ﻩC.相交但不垂直 D ．异面3.两条直线a ，b 分别和异面直线ｃ， d 都相交，则直线a ,b 的位置关系是( D )． ﻩﻩA. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线ﻩﻩC. 可能是平行直线 D. 可能是异面直线,也可能是相交直线４.把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中,异面直线的对数为（Ｂ）. ﻩﻩA. 12 B ． 24 C. ３6 D. 485.正方体''''ABCD A B C D -中，ＡＢ的中点为M ,'DD 的中点为N ，异面直线'B M 与CN 所成的角是（ B ).Ａ．30° Ｂ．90° C.4５° D.6０°6.如图，正方体1111ABCD A B C D -中,直线1AB 与1BC 所成角为___＿__度. . 60°7.右图是正方体平面展开图，在这个正方体中：① BM 与ED 平行; ② CN 与BE 是异面直线； ③ ＣN 与BM 成60º角; ④ D Ｍ与ＢN 垂直．以上四个说法中，正确说法的序号依次是 . ③④※能力提高８.已知空间四边形ABC Ｄ各边长与对角线都相等,求AB 和CD 所成的角的大小.解:分别取AC 、AD 、ＢC 的中点P 、Ｍ、N . 连接P Ｍ、P Ｎ,由三角形的中位线性质知PN ∥ＡＢ，PM ∥CD ,于是∠ＭＰN 就是异面直线ＡB 和CD 成的角，如右图所示.连结MN 、ＤN ，设ＡB =２，∴ P Ｍ=ＰN =1．而ＡN ＝ＤＮ＝3,则MN ⊥ＡD ，ＡM =1，得MN =2,∴ ＭN ２=ＭＰ2＋ＮP ２，∴∠M ＰN =９0°，即异面直线ＡＢ、C Ｄ成90°角．9.空间四边形ＡB ＣD 中，E 、F 、Ｇ、H 分别是ＡB 、BC 、CD 、ＤA 上的点，已知E Ｆ和G Ｈ交于P 点,求证:ＥF 、ＧH 、A Ｃ三线共点.证明：∵Ｐ∈EF ,ＥF ⊂面ＡB Ｃ，∴Ｐ∈面ABC ，同理P ∈面ＡDC ,∴P 在面ＡBC 与面ＡDC 的交线上，又面ABC ∩面ADC ＝AC ，∴P ∈A Ｃ，即ＥF 、HG 、A Ｃ三线共点.※探究创新10.设异面直线a 与b 所成角为50°，Ｏ为空间一定点,试讨论,过点Ｏ与a 、b 所成的角都是θ(090)θ︒≤≤︒的直线l 有且仅有几条?解：过点O 作a １∥ａ,b 1∥b ,则相交直线ａ1、b 1确定一平面α. a 1与b 1夹角为５0°或1３0°，设直线ＯA 与a １、b １均为θ角,故当θ<25°时，直线l 不存在;当θ=２5°时，直线l 有且仅有1条; 当25°＜θ＜６５°时，直线l 有且仅有2条; 当θ=６5°时,直线ｌ有且仅有3条；当6５°<θ<９０°时,直线ｌ有且仅有4条；当θ=90°时，直线l 有且仅有1条.E AF B C M ND PGH F E CB A第11讲 §2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系¤学习目标:了解直线与平面的三种位置关系,理解直线在平面外的概念，了解平面与平面的两种位置关系.¤知识要点：1. 直线与平面的位置关系:(1）直线在平面内（有无数个公共点)；（2)直线与平面相交（有且只有一个公共点)；(3）直线与平面平行(没有公共点）．分别记作：l α⊂；l P α=；//l α.2．两平面的位置关系:平行(没有公共点）；相交(有一条公共直线）.分别记作//αβ;l αβ=.¤例题精讲:【例１】已知空间边边形ABCD 各边长与对角线都相等,求异面直线ＡB 和C Ｄ所成的角的大小.解：分别取AC 、ＡD 、BC 的中点Ｐ、M 、N 连接P Ｍ、PN ,由三角形的中位线性质知PN ∥ＡB ,PM ∥CD ,于是∠MPN 就是异面直线AB 和ＣD 成的角(如图所示）.连结MN 、DN ,设ＡB =2， ∴ＰＭ=PN =1.而AN =DN =3,由MN ⊥AD ,AM =1,得MN =2, ∴ＭN 2=MP 2+ＮＰ2，∴∠ＭＰＮ=9０°. ∴异面直线AB 、ＣＤ成90°角.【例2】在空间四边形AB ＣＤ中,E 、H 分别是A Ｂ、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 的中点,若AC + ＢD = a ，A Ｃ⋅BD =b ,求22EG FH +.解:四边形EF ＧH 是平行四边形，22EG FH +=222()EF FG +=22211()(2)22AC BD a b +=-.【例3】已知空间四边形ＡBC Ｄ中，E 、Ｈ分别是A Ｂ、A Ｄ的中点，Ｆ、G分别是ＢC 、ＣＤ上的点，且23CF CG CB CD ==.求证：（1）E 、F 、G 、H 四点共面；（2）三条直线E Ｆ、ＧＨ、AC 交于一点.证明：（1) 在△A ＢD 和△ＣBD 中，∵ E 、H 分别是A Ｂ和CD 的中点， ∴ ＥH //12BD . 又 ∵23CF CG CB CD ==， ∴ FG //23ＢD . ∴ EH ∥FG .所以,E 、Ｆ、G 、H 四点共面.（2)由(１）可知,E Ｈ∥FG ,且EH ≠ＦG ，即直线EF ,GH 是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点Ｐ．∵ AC 是ＥF 和GH 分别所在平面A ＢC 和平面ADC 的交线，而点P 是上述两平面的公共点， ∴ 由公理3知P ∈AC .所以，三条直线E Ｆ、G Ｈ、AC 交于一点．点评：一般地,证明三线共点，可证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线又往往是两平面的交线.【例4】如下图,设△ＡBC 和△A １B 1Ｃ１的三对对应顶点的连线AA 1、BB １、ＣＣ1相交于一点Ｏ，且1AO OA =1BO OB =1CO OC = 23.试求111ABC A B C S S ∆∆的值．解：依题意，因为AA 1、BB 1、C Ｃ１相交于一点O ,且1AO OA =1BO OB =1COOC ，所以A Ｂ∥A 1B 1，AC ∥Ａ1C 1，BC ∥B 1C 1.由平移角定理得∠BAC =∠B １A 1C 1，∠AB Ｃ=∠A １B 1Ｃ１,△ABC ∽△A 1B 1Ｃ1,BCDEHFG A BCD EFGH所以111ABC A B C S S ∆∆=(23)2=49.点评：利用平移角定理,可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等;利用平行公理,可证明空间两条直线平行,从而解决相关问题．第１1练 §２.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系※基础达标1.直线与平面α不平行,则（Ｃ）．Ａ．与α相交ﻩ B. ⊂α C ．与α相交或⊂α D ．以上结论都不对 2.正方体各面所在平面将空间分成（ D )个部分．A. ７ﻩﻩB. 15ﻩﻩC. ２1 ﻩ Ｄ. 273.若两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,则这两个平面的公共点个数（Ｄ ). Ａ. 有限个ﻩ B. 无限个 C. 没有 ﻩ D ．没有或无限个4.E 、F 、Ｇ、H 是棱锥A －BCD 棱ＡB 、AD 、CD 、C Ｂ上的点,延长E Ｆ、HG 交于Ｐ点，则点P （ B ）. A ．一定在直线AC 上 B. 一定在直线ＢD 上 C. 只在平面ＢCD 内 D. 只在平面AB Ｄ内５．一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面（Ｄ ). A. 平行 ﻩＢ. 相交 ﻩC. 平行或垂合 ﻩD. 平行或相交6.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一平面的位置关系是．平行、在平面内7．一个平面把空间分成部分，两个平面可以把空间分成部分,三个平面可以把空间分成部分．2;3、４； 4、6、7、8．※能力提高８.A 是△ＢC Ｄ平面外的一点,E 、F 分别是BC 、AD 的中点, （1）求证:直线EF 与BD 是异面直线;(2）若ＡＣ⊥ＢＤ，AC ＝B Ｄ，求EF 与ＢD 所成的角. 解：(１)证明：用反证法.设E Ｆ与B Ｄ不是异面直线,则EF 与B Ｄ共面,从而D Ｆ与BE 共面，即AD 与B Ｃ共面，所以Ａ、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△B ＣＤ平面外的一点相矛盾．故直线ＥF 与ＢD 是异面直线．(2)取C Ｄ的中点G ,连结EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线E Ｆ与EG 所成的锐角或直角即为异面直线E Ｆ与B Ｄ所成的角.在R ｔ△EGF 中,求得∠ＦE Ｇ=45°，即异面直线EF 与B Ｄ所成的角为45°.9.已知空间四边形ＡBCD ,E 、Ｈ分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、DC 的三等分点(如右图），求证：(1)对角线AC 、B Ｄ是异面直线;(２)直线EF 和HG 必交于一点，且交点在AC 上.证明:(1)假设对角线AC 、BD 在同一平面α内，则A 、B 、C 、D 都在平面α内，这与A ＢCD 是空间四边形矛盾,∴A Ｃ、ＢD 是异面直线．（２）∵E 、H 分别是A Ｂ、AD 的中点, ∴E Ｈ//12BD ．又F 、G 分别是BC 、D Ｃ的三等分点,∴F Ｇ//23B Ｄ.∴EH ∥FG ,且EH ＜FG . ∴ＦＥ与G Ｈ相交．设交点为O ,又O 在GH 上,GH 在平面ADC 内,∴Ｏ在平面ADC 内.同理，O 在平面ＡBC 内. 从而O 在平面ADC 与平面A ＢC 的交线A Ｃ上.※探究创新1０．空间四边形ABC Ｄ中，P 、Q 、R 、H 分别是ＡB 、BC 、C Ｄ、DA 的中点.(１)求证：四边形ＰQ ＲH 是平行四边形； (2）若ＡC =BD ,则四边形P ＱRH 是什么四边形? （3)若ＡＣ⊥BD ,则四边形PQRH 是什么四边形?(４)空间四边形ABCD 满足什么条件时,ＰＱRH 是正方形？解：(1)在△ABD 中,Ｐ、H 分别为ＡB 、AD 的中点，即PH 为中位线．ABC DE FGM O 1//2//1//2PH BD PH QR QR BD ⎫⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎭. ∴ 四边形PQRH 为平行四边形 (2)在△A ＢＣ中，P 、Q 为ＡＢ、B Ｃ中点,P Ｑ//12AC , 又PH //12BD ,ＡC =ＢD . ∴ ＰＨ=ＰQ ． ∴平行四边形P ＱR Ｈ为菱形．(3） ∵A Ｃ⊥B Ｄ, ∴异面直线AC 与B Ｄ所成角为直角.∵ ＰH ∥ＢD ,ＰQ ∥ＡC ， ∴∠HPQ 为ＡC 与ＢD 所成的角． ∴∠HPQ =90°, 即四边形PQRH 为矩形(４）由(2)、(3)的证明可知，当A Ｃ=BD 且AC ⊥BD 时，四边形ＰQRH 为正方形.第1２讲 §2.２．1 直线与平面平行的判定¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的判定,掌握直线与平面平行判定定理,掌握转化思想“线线平行⇒线面平行”.¤知识要点：1. 定义:直线和平面没有公共点,则直线和平面平行. ２. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 符号表示为:,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒. 图形如右图所示. ¤例题精讲:【例１】已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,E 、F 分别为AB 、P Ｄ的中点,求证：AF ∥平面P ＥC证明:设PC 的中点为G ，连接EG 、FG .∵ F 为ＰD 中点， ∴ GF ∥CD 且ＧF ＝12ＣＤ. ∵ ＡB ∥CD , A Ｂ=C Ｄ, E 为ＡB 中点，∴ G Ｆ∥ＡE , GF =ＡE ，四边形AEGF 为平行四边形． ∴ ＥG ∥ＡF ，又∵ ＡＦ⊄平面PEC ， EG ⊂平面P ＥC , ∴ A Ｆ∥平面PE Ｃ．【例2】在正方体ＡBC Ｄ-A １Ｂ1C 1D 1中，Ｅ、F 分别为棱ＢC 、C 1Ｄ1的中点. 求证:EF ∥平面ＢB 1Ｄ1D.证明：连接AC 交B Ｄ于Ｏ,连接OE ,则OE ∥DC ，ＯE =12D Ｃ． ∵ DC ∥D 1Ｃ1， DC =D 1Ｃ1 ，Ｆ为Ｄ1Ｃ1的中点,∴ OE ∥D １F , ＯE =D 1F ，四边形D 1FEO 为平行四边形. ∴ E Ｆ∥D 1Ｏ.又∵ ＥF ⊄平面ＢB 1D 1D ，Ｄ1O ⊂平面BB 1D 1D ， ∴ EF ∥平面BB 1D 1D .【例３】如图,已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC的中点,求证：AM ∥平面EFG ．证明：如右图,连结DM ,交GF 于O 点,连结OE ，在BCD ∆中,G 、F 分别是BD 、CD 中点， ∴//GF BC , ∵G 为BD 中点, ∴O 为MD 中点,在AMD ∆中，∵E 、O 为AD 、MD 中点, ∴//EO AM ，又∵AM ⊂平面EFG ，EO ⊂平面EFG , ∴AM ∥平面EFG .点评:要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用.【例４】如图,已知Ｐ是平行四边形ＡB ＣD 所在平面外一点，Ｍ、N 分别是AB 、PC 的中点（１)求证：MN ／/平面P ＡD ;(2）若4MN BC ==,43PA =，求异面直线P Ａ与ＭN 所成的角的大小. 解：（1)取PD 的中点H ,连接AH ,由N 是ＰＣ的中点,∴ 同理∴ N Ｈ//=12DC . 由M 是ＡB 的中点， ∴ NH //=AM ，即AMN Ｈ为平行四边形． ∴ //MN AH ．由,MN PAD AH PAD ⊄⊂平面平面, ∴ //MN PAD 平面. （2）连接A C 并取其中点为O ,连接O Ｍ、ＯN ，∴ O Ｍ//=12BC ,ON //=12P A ，所以ONM ∠就是异面直线P A 与M Ｎ所成的角，且MO ⊥ＮO . 由4MN BC ==，43PA =, 得ＯM =2,ON ＝23 所以030ONM ∠=，即异面直线P Ａ与MN 成３0°的角点评：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行,通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角,方法的关键也是平移其中一条或者两条直线,得到相交的线线角，通过解三角形而得.第12练 §2．2．1 直线与平面平行的判定※基础达标1．已知直线1l 、2l , 平面α, 1l ∥2l , 1l ∥α，那么2l 与平面α的关系是（ C ). Ａ． 1l ∥α B ． 2l ⊂α C. 2l ∥α或2l ⊂α D. 2l 与α相交2．以下说法(其中a ,b 表示直线,α表示平面)①若a ∥b ，b ⊂α,则ａ∥α ②若a ∥α,ｂ∥α，则ａ∥b ③若ａ∥b ,b ∥α，则ａ∥α ④若a ∥α，b ⊂α,则a ∥b 其中正确说法的个数是（ A ）. A. 0个ﻩ B. 1个 C. 2个ﻩ Ｄ. 3个３.已知ａ，ｂ是两条相交直线，ａ∥α，则ｂ与α的位置关系是( D ). A. ｂ∥α B. b 与α相交 C. b ⊂α Ｄ. ｂ∥α或b 与α相交 4．如果平面α外有两点A 、Ｂ,它们到平面α的距离都是a ,则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ C ). A. 平行ﻩ B ．相交 C. 平行或相交 D. AB ⊂α5．如果点M 是两条异面直线外的一点,则过点M 且与a ，b 都平行的平面（ A ）. ﻩ A. 只有一个 B ．恰有两个ﻩC ．或没有,或只有一个 D. 有无数个6．已知P 是正方体ＡＢCD -A 1Ｂ１C 1Ｄ1棱DD 1上任意一点,则在正方体的12条棱中,与平面ABP 平行的是．ＤＣ、D 1C 1、Ａ１B 17.过三棱锥A-ＢCD 的棱AB 、BC 、C Ｄ的中点M 、N 、P 作平面MNP ，三棱锥的六条棱中与平面MNP 平行的是 ;若AC 与BD 成9０°角，AC =６,BD =８，则截面四边形的面积是 . ＢD 、ＡＣ；１２.※能力提高8.平面α与△ＡBC 的两边A Ｂ、AC 分别交于D 、E ,且ＡD ∶DB ＝ＡE ∶E Ｃ,求证:BC ∥平面α．证明:在⊿AB Ｃ中,∵ AD ∶DB =ＡE ∶ＥC ， ∴ //BC DE .又 ∵ ,BC DE αα⊄⊂， ∴ //BC α.９．Ｐ是平行四边形A ＢCD 所在平面外一点,E 为P Ｂ的中点,O 为ＡC ,BD 的交点. (1）求证：EO ‖平面PCD ; (2）图中EO 还与哪个平面平行？解：(1)证明：∵ 在平行四边形A ＢCD 中,Ｏ为AC ,B Ｄ的交点, ∴ Ｏ为BD 的中点. 又 ∵ 在△P ＢD 中，E 为PB 的中点,∴ EO ／／ＰD ． ∵ ,EO PCD PD PCD ⊄⊂平面平面,∴ EO ‖平面P ＣD . (２)图中EO 还与平面P ＡＤ平行.※探究创新10．三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心,且到顶点的距离等于E D C B A α到对边中点距离的2倍. 这一结论叫做三角形的重心定理.在四面体ABC Ｄ中，M 、N 分别是面△ACD 、△B ＣＤ的重心，在四面体的四个面中，与MN 平行的是哪几个面?试证明你的结论.解:连结ＡM 并延长,交CD 于E ,连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点,且该点为ＣD 的中点Ｅ,由EM MA =EN NB =12得M Ｎ∥AB ，因此,MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .第１3讲 §2.2.２平面与平面平行的判定¤学习目标:以立体几何的定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中面面平行的判定,掌握两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想.¤知识要点：面面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行．用符号表示为:,,////,//a b a b P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭.¤例题精讲：【例1】如右图,在正方体ＡBCD —A 1B 1Ｃ１D 1中，M 、N 、P 分别是C 1C 、B 1Ｃ1、C 1D 1的中点,求证：平面MNP ∥平面A 1BD .证明:连结B 1D 1，∵P 、N 分别是D １C 1、B 1Ｃ1的中点，∴ PN ∥B 1D １. 又B １D １∥BD ，∴PN ∥B Ｄ.又P Ｎ不在平面Ａ1B Ｄ上,∴ＰＮ∥平面Ａ1BD ．同理,MN ∥平面A 1BD . 又P Ｎ∩MN =Ｎ， ∴平面PMN ∥平面A 1BD . 【例２】正方体ABCD —A １B １C １D 1中.（1)求证:平面Ａ1BD ∥平面B 1D 1C ；（２）若E 、Ｆ分别是AA １，CC 1的中点，求证:平面E Ｂ1D １∥平面F ＢD . 证明：(1)由B 1Ｂ//=DD １，得四边形BB 1D １Ｄ是平行四边形，∴Ｂ1D 1∥ＢD ,又B Ｄ ⊄平面B 1Ｄ1C ,B 1Ｄ1⊂平面B 1D １C ,∴ＢD ∥平面B 1Ｄ1C .同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．而A 1D ∩BD =D ,∴平面A １ＢＤ∥平面B 1CD .（2）由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB １D 1.取BB 1中点G ,∴ＡE ∥B 1G .从而得Ｂ1E ∥AG ，同理ＧF ∥A Ｄ．∴AG ∥DF .∴Ｂ1Ｅ∥ＤF ． ∴ＤF ∥平面EB 1D 1.∴平面ＥB 1D １∥平面ＦBD .【例3】已知四棱锥P －ABCD 中, 底面A ＢＣD 为平行四边形. 点M 、N 、Q 分别在ＰA 、ＢD 、PD 上，且PM ：M Ａ＝ＢＮ:ND =ＰQ :ＱD .求证：平面MNQ ∥平面ＰＢＣ. 证明: PM ：ＭＡ=ＢN ：N D=PQ ：QD ．∴ ＭQ /／AD ,NQ /／ＢP ，而BP ⊂平面ＰＢC ，NQ ⊄平面P ＢC ， ∴ N Ｑ//平面ＰＢＣ．又AB ＣＤ为平行四边形,BC //AD ， ∴ M Ｑ//BC ，而BC ⊂平面PBC ,M Ｑ ⊄平面PBC , ∴ MQ //平面PBC . 由MQ NQ =Q ,根据平面与平面平行的判定定理， ∴ 平面ＭＮQ ∥平面PBC ．点评:由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行,证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行．一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行．【例4】直四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面A ＢCD 为正方形,边长为2，侧棱13A A =，M 、N 分别为Ａ1B 1、Ａ1D 1的中点，Ｅ、F 分别是Ｂ1C 1、Ｃ1D １的中点.（1)求证:平面AM Ｎ∥平面EF ＤＢ；（２)求平面AMN 与平面ＥＦDB 的距离．证：（１)连接11A C ,分别交MN 、ＥF 于Ｐ、Q . 连接ＡC 交ＢD 于O ，连接AP 、ＯＱ.A 1AB 1C 1CD 1 D GEF N M P DCQB A由已知可得//MN EF , ∴ //MN EFDB 平面. 由已知可得,//PQ AO 且PQ AO =．∴ //AP OQ , ∴ //AP EFDB 平面. ∴平面AMN ∥平面E ＦDB . 解：(２）过1A 作平面AMN 与平面E ＦＤB 的垂线,垂足为H 、Ｈ’,易得111'2A H A P HH PQ ==．由22221122383()4AP A A A P =+=+=，根据11A AMN A A MN V V --=, 则 13821111233232A H ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得1319A H =．所以，平面ＡＭN 与平面EFDB 的距离为619. 点评:第（１)问证面面平行，转化途径为“线线平行→线面平行→面面平行”. 第(２)问求面面距离，巧妙将中间两个平面的距离，转化为平面另一侧某点到平面距离的比例，然后利用等体积法求距离. 等价转化的思想在本题中十分突出，我们可以用同样的转化思维,将此例中的两个平面的距离,转化为求点B 到平面ＡＢ’C 的距离.第13练 §2.2.2 平面与平面平行的判定※基础达标1.下列说法正确的是（ D ).A. 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行B. 平行于同一平面的两条直线平行Ｃ．如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行 D. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行 2．在下列条件中,可判断平面α与β平行的是( D ). Ａ. α、β都平行于直线lB. α内存在不共线的三点到β的距离相等C. l 、m 是α内两条直线,且l ∥β,m ∥βＤ．ｌ、ｍ是两条异面直线,且l ∥α，m ∥α,l ∥β,ｍ∥β 3.下列说法正确的是（ D ）.A. 垂直于同一条直线的两条直线平行Ｂ. 平行于同一个平面的两条直线平行 C ．平行于同一条直线的两个平面平行 D. 平行于同一个平面的两个平面平行 4．经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（Ｃ）． A. 0个Ｂ. 1个 C. 0个或1个Ｄ. 1个或2个５.不在同一直线上的三点A ，B ，Ｃ到平面α的距离相等,且A ∉α,则( B ）. A. α∥平面ABC Ｂ. △ＡB Ｃ中至少有一边平行于α C. △ABC 中至多有两边平行于α D. △ABC 中只可能有一条边与α平行６．已知直线ａ、b ，平面α、β, 且a // ｂ，a ／／α,α//β，则直线b 与平面β的位置关系为直线b //平面β或直线b 在平面β内；.7．已知a 、ｂ、c 是三条不重合直线，α、β、γ是三个不重合的平面，下列说法中： ⑴ ａ∥c ,ｂ∥c ⇒a ∥b ； ⑵ a ∥γ，b ∥γ⇒ａ∥b ； ⑶ c ∥α,ｃ∥β⇒α∥β； ⑷ γ∥α，β∥α⇒α∥β; ⑸ a ∥c ，α∥c ⇒ａ∥α； ⑹ ａ∥γ，α∥γ⇒a ∥α. 其中正确的说法依次是 . （1)、（４）. ※能力提高8．在棱长为a 的正方体ＡBC Ｄ-A 1Ｂ１C 1D 1中，E ，F ，G ，Ｍ,N ，Q 分别是棱A 1A ，A 1B 1,A 1Ｄ1,C Ｂ，CC 1，CD 的中点，求证:平面EF Ｇ∥平面MN Ｑ.证明:由已知EF ∥AB １，ＡＢ1∥DC １，ＤC 1∥ＱN ，⇒EF ∥ＱＮ,同理FG ∥MQ , 所以，平面ＥF Ｇ∥平面MNQ .9.两个全等的正方形ABCD 和ＡBE Ｆ所在平面相交于AB ，M ∈A Ｃ，N ∈F Ｂ，且AM =FN ,过Ｍ作M Ｈ⊥A Ｂ于H ，求证：（1)平面MNH ／／平面BCE ;(２）M Ｎ∥平面BCE .证明:（1)∵正方形ＡBCD 中， MH ⊥AB , ∴则MH ∥BC , ∴.连结NH ，由BF =AC ,FN =A Ｍ，得FN AHBF AB=， ∴ ＮH ／/ＡF //B Ｅ．由 MH /／B Ｃ,NH /／B Ｅ, ∴平面MNH //平面BCE .(2） ∵MN ⊂平面MNH ,平面MNH ／/平面BCE ， ∴ MN ∥平面BCE .※探究创新10.P 是ABC ∆所在平面外一点,'''A B C 、、分别是PBC PCA PAB ∆∆∆、、的重心, （1）求证:平面'''A B C ABC //平面; (2)求''':ABC A B C S S ∆∆.证明：分别连P A ’，PB ’，ＰC ’并延长分别交B Ｃ,A Ｃ，ＡB 于D ，E ,F .则D ,E ，Ｆ分别是ＢＣ，CA ,AB 的中点. ∴ '2'3PA PC PD PF==， ∴ A ’C ’／/ＦD . 同理''//A B DE , ∴ 平面'''A B C ABC //平面．(２) ∵ ''//A B DE ， ∴ '''23A B PA DE PD ==，又ＤE =12ＡB .∴ ''13A B AB =, 易证'''A B C ∆∽ABC ∆. ∴ ''':ABC A B C S S ∆∆=1:9.第1４讲 §２.２.3 直线与平面平行的性质¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的性质，掌握直线和平面平行的性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.¤知识要点：线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即:////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭.¤例题精讲：【例１】经过正方体AB ＣＤ-A 1Ｂ1Ｃ1D 1的棱BB 1作一平面交平面ＡA １Ｄ1D 于E 1E ，求证:E 1E ∥Ｂ１B 证明：∵ 11111111//,,AA BB AA BEE B BB BEE B ⊄⊂平面平面,∴ 111//AA BEE B 平面．又 11111111AA ADD A ADD A BEE B EE ⊂=平面，平面平面， ∴ 11//AA EE .则111111//////AA BB BB EE AA EE ⎫⇒⎬⎭. 【例2】如图，//AB α，//AC BD ,C α∈,D α∈,求证：AC BD =. 证明:连结CD , ∵//AC BD ，∴直线AC 和BD 可以确定一个平面,记为β, ∵,C D α∈，,C D β∈,∴CD αβ=,∵//AB α，AB β⊂,CD αβ=∴//AB CD , 又∵//AC BD ,∴ 四边形ACDB 为平行四边形， ∴AC BD =．【例3】如右图,平行四边形EF ＧH 的分别在空间四边形A ＢC Ｄ各边上，求证：BD /／平面ＥFGH . 证明：∵ //EH FG ，EH ⊄平面BCD ,FG ⊂平面BCD , ∴ //EH BCD 平面．又 ∵ EH ABD ⊂平面，BCD ABD BD =平面平面,∴ //EH BD .又 ∵ EH EFGH ⊂平面，BD EFGH ⊄平面, ∴ //BD EFGH 平面.D 11B 1BDA 1E 1E Aα B CDβ β a αb。

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