平面与平面之间地位置关系(附问题详解)
空间几何中的平面与平面的位置关系
空间几何中的平面与平面的位置关系在空间几何中，平面与平面的位置关系是一项重要的研究内容。
平面是一个无限大的二维空间，由无数个点组成，而两个平面之间的位置关系可以分为三种基本情况：平行、相交、重合。
本文将对这三种平面与平面的位置关系逐一进行说明。
一、平行的平面两个平行的平面是指在空间中永远不会相交的两个平面。
平行的平面具有以下特点：1. 平行平面之间的任意两个点之间的距离相等。
2. 平行的平面在空间中永远不会相交，它们之间始终保持一定的距离。
3. 平行平面之间的夹角为零度。
以图示的方式，可以更直观地理解平行平面的位置关系：（插入示意图）二、相交的平面两个相交的平面是指在空间中有一条直线可以同时属于这两个平面。
相交的平面具有以下特点：1. 相交平面之间的夹角不为零度，可以是锐角、直角或钝角。
2. 相交的平面在相交的直线上具有共同的点。
3. 相交的平面之间没有交点。
相交平面的位置关系可以通过以下图示来说明：（插入示意图）三、重合的平面两个重合的平面是指在空间中完全重合的两个平面，它们的所有点都是重合的。
重合的平面具有以下特点：1. 重合平面之间的夹角为零度。
2. 重合的平面在空间中完全重合，它们的每个点都是重合的。
3. 重合的平面在位置上无区别，可以互换位置。
重合平面的位置关系可以通过以下图示来说明：（插入示意图）综上所述，空间几何中的平面与平面的位置关系主要可以分为平行、相交和重合三种情况。
通过对这三种关系的理解，我们可以更好地理解和应用空间几何的知识，为实际问题的求解提供帮助。
平面与平面的位置关系ppt
判定方法二
利用向量的性质判断。如果两个平 面的法向量不共线，则它们一定相 交；如果法向量共线，则它们可能 重合或平行。
判定方法三
利用点积的性质判断。如果两个平 面的任意两个非零向量点积为零， 则它们相交；否则，它们平行或重 合。
相交的性质
性质一
两个平面相交时，它们有且仅有一条共同的直线。这条直线是两 个平面的交线，也是两个平面的边界。
详细描述
平面与平面重合是平面与平面之间的一种特殊位置关系。在这种情况下，两个平面的所有点都位于同一位置，即 它们完全重合。这意味着两个平面的方向向量平行且长度相等，同时它们的法向量也相同。此外，在这种位置关 系中，两个平面没有公共点。
平面与平面斜交
总结词
当两个平面不平行且不重合时，它们呈 斜交状态。
详细描述
在平面与平面分离的位置关系中，两 个平面的法向量不同且不共线。这意 味着它们不会相交或重合，而是完全 分离。在这种位置关系中，两个平面 没有公共点。
THANKS
感谢观看
VS
详细描述
平面与平面斜交是另一种常见的位置关系 。在这种情况下，两个平面的法向量不共 线，因此它们也不平行。这意味着一个平 面可以旋转到另一个平面上，但不会完全 重合。此外，在这种位置关系中，两个平 面会有一些公共点，这些点位于它们的交 线上。
平面与平面分离
总结词
当两个平面既不平行也不重合时，它 们处于分离状态。
Байду номын сангаас
平行的判定方法
总结词
根据平行的定义，可以通过判断两个平面是否有公共点来判断它们是否平行。
详细描述
在三维空间中，可以通过观察两个平面是否相交来判断它们是否平行。如果两 个平面没有交点，则它们平行；如果有交点，则它们不平行。
平面与平面之间的位置关系(附答案)
平面与平面之间的位置关系[学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示.知识点一 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系2.直线与平面的位置关系的分类 (1)按公共点个数分类⎩⎨⎧有无公共点⎩⎪⎨⎪⎧直线和平面相交——有且只有一个公共点直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行(2)按直线是否在平面内分类⎩⎨⎧直线在平面内——所有点在平面内直线在平面外⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交直线与平面平行思考 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？答 不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行.知识点二 两个平面的位置关系思考分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面.题型一直线与平面的位置关系例1下列命题中，正确命题的个数是()①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.A.0B.2C.1D.3答案 C解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC ⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C.跟踪训练1以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 A解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.题型二平面与平面的位置关系例2以下四个命题中，正确的命题有()①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行.A.③④B.②③④C.②④D.①④答案 A解析当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.跟踪训练2两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案 B解析①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确.分类讨论思想例3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状.分析决定过A，Q，B1三点的截面图形的形状的因素是动点Q，所以要对点Q的位置进行分类讨论.解由于点Q是线段DD1上的动点，故①当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图：②当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图：③当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图：1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交2.下列命题中，正确的命题是()A.若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥αB.若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行C.若a⊂α，则a与α有无数个公共点D.若a⊄α，则a与α没有公共点3.下列命题中，正确的有()①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.A.1个B.2个C.3个D.4个4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A.都平行B.都相交C.在两个平面内D.至少与其中一个平面平行5.下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________.一、选择题1.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A.b∥αB.相交C.b⊂αD.b⊂α、相交或平行2.与同一平面平行的两条直线()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面3.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A.α内的所有直线均与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线均与a相交D.直线a与平面α有公共点4.以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①③5.过平面外一条直线作平面的平行平面()A.必定可以并且只可以作一个B.至少可以作一个C.至多可以作一个D.一定不能作6.下列命题正确的是()①两个平面平行，这两个平面内的直线都平行；②两个平面平行，其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面；③两个平面平行，其中一个平面内一条直线和另一个平面内的无数条直线平行；④两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交.A.①B.②③④C.①②③D.①④7.在长方体ABCDA1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题8.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线；②必相交于一点；③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线.9.下列命题正确的是________.①如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；②若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.10.给出下列几个说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.其中正确有________个.三、解答题11.如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论.12.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.当堂检测答案1.答案 D解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.2.答案 C解析对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，平面α内的直线和直线a 可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时有一个公共点，所以D错.3.答案 B解析②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误.4.答案 D解析这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行.5.答案①②解析对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.课时精练答案一、选择题1.答案 D解析如图所示，选D.2.答案 D解析与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.3.答案 D解析若直线a不平行平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确.4.答案 D解析对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错.所以正确的是①③.5.答案 C解析因为直线在平面外包含两种情况：直线与平面相交和直线与平面平行.当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出惟一的一个符合题意的平面.6.答案 B解析①不正确，因为这两条直线可能是异面；②③④都正确，可根据线面平行的定义或面面平行的定义或观察几何体模型进行判断.7.答案 B解析如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.二、填空题8.答案①解析空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.9.答案①③解析对于①，如图，∴命题①正确；对于②，α、β也可能相交，②不正确；对于③，若a与b相交，则α与β相交与条件矛盾，③正确；对于④，当a与b重合时，a在β内；当a∥b时，a∥β；当a与b相交时，a与β相交，④不正确.10.答案 1解析①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错误；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错误；③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错误；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④正确.三、解答题11.解a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点.又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点.又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.12.解平面ABC与β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交.设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C 是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线，即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交.。
平面与平面的位置关系判定平面与平面的位置关系有哪些平面与平面垂直的性质定理
一、平面与平面的位置关系有且只有两种1、两个平面平行——没有公共点；2、两个平面相交——有一条公共直线。
二、面面垂直性质定理1.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
2.如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
3.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
4.如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
（判定定理推论1的逆定理）三、平面与平面垂直的性质如果两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。
平面与平面垂直有如下性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一个平面；如果两个平面垂直，那么与一个平面垂直的直线平行于另一个平面或在另一个平面内。
四、面面垂直定义若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。
五、线面垂直定义如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。
是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。
在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”。
六、线面垂直判定定理直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
两个平面的位置关系的符号语言及其图形如下表：。
解析几何中的平面与平面的位置关系
解析几何中的平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系在解析几何中起着重要的作用，它描述了不同平面之间的相对位置和相交情况。
本文将从平行关系、垂直关系以及倾斜关系三个方面来解析几何中的平面与平面的位置关系。
一、平行关系两个平面如果没有公共点，则它们是平行的。
换句话说，如果两个平面上的任意一点在另一个平面上都没有对应点，那么这两个平面就是平行的。
以直观的方式来理解，可以想象两张平行的桌面，桌面上的任意一点在另一张桌面上都没有对应的点。
在解析几何中，我们可以通过平面的方程来判断它们是否平行。
假设有两个平面，它们的方程分别为Ax+By+Cz+D1=0和Ax+By+Cz+D2=0，如果D1≠D2，那么这两个平面是平行的。
二、垂直关系两个平面如果它们的法向量垂直，则它们是垂直的。
法向量是垂直于平面的向量，它可以通过平面的法线方程得到。
如果两个平面的法向量相互垂直，那么这两个平面就是垂直的。
举个例子来说明，想象两面墙壁相互垂直，它们的法向量可以分别表示为(a1, b1, c1)和(a2, b2, c2)。
如果两个法向量的点积等于零，即a1*a2 + b1*b2 + c1*c2 = 0，那么这两个平面就是垂直的。
三、倾斜关系当两个平面既不平行也不垂直时，它们就是倾斜的。
倾斜的平面之间有两种情况，一种是相交，另一种是不相交。
相交的情况下，两个平面会在一条直线上相交。
这条直线称为它们的交线。
如果两个平面之间的距离不为零，那么它们交线的特点是同时包含于这两个平面。
不相交的情况下，两个平面之间没有公共点。
它们在空间中保持一定的距离，不会相交。
总结起来，解析几何中的平面与平面的位置关系可以分为平行关系、垂直关系和倾斜关系。
通过平面的方程和法向量，我们可以判断这些关系。
平面与平面的位置关系研究中，还可以进一步扩展到曲面与曲面的位置关系，尤其在三维图形建模和计算机图形学中有广泛应用。
本文仅涉及到解析几何中的基础内容，实际上在现实生活和科学研究中，平面与平面的位置关系是一个非常复杂且深入的话题。
空间几何中的平面与平面的位置关系知识点
空间几何中的平面与平面的位置关系知识点平面与平面的位置关系知识点在空间几何中，平面与平面的位置关系是一个重要的知识点。
理解和掌握平面与平面之间的位置关系，对于解决几何问题和应用于实际生活中的空间建模具有重要意义。
本文将介绍平面与平面的四种位置关系：平行、相交、重合和异面，并探讨它们的特性和应用。
1. 平行关系：当两个平面不存在交点时，它们被称为平行平面。
平行平面的特点是：它们的法向量垂直且相等。
简单来说，如果一个平面的法向量与另一个平面的法向量垂直且长度相等，那么这两个平面是平行的。
平行平面在实际问题中的应用非常广泛，例如建筑设计中的墙面或屋顶。
2. 相交关系：当两个平面存在且仅存在一条交线时，它们被称为相交平面。
相交平面的特点是：它们的法向量不相等。
相交平面可以形成各种不同的几何形状，如平行四边形、直角梯形等。
相交平面的研究有助于我们理解空间中不同几何体的关系，例如研究两个交叉的墙面如何构成室内空间的结构。
3. 重合关系：当两个平面的所有点完全重合时，它们被称为重合平面。
重合平面的特点是：它们的法向量相等且共线。
重合平面意味着这两个平面没有任何区别，它们在空间中完全重合。
在实际问题中，判断平面是否重合对于确定物体的位置和形状至关重要，例如在机械设计中，确保两个零件的平面配合要求是一致的。
4. 异面关系：当两个平面不存在任何交线时，它们被称为异面平面。
异面平面的特点是：它们的法向量不相等且不共线。
异面平面在几何学中是最常见的情况，例如地球表面上的各个大陆就可以看作是一组异面平面的集合。
异面平面的研究帮助我们理解空间中不同平面的分布和相对位置。
总结起来，平面与平面的位置关系涉及四种情况：平行、相交、重合和异面。
通过研究和理解这些位置关系，我们可以更准确地描述和解决空间几何问题。
在实际应用中，我们可以利用这些知识点来进行建模、设计和分析，例如建筑设计中的空间布局、机械设计中的零件配合等。
因此，掌握平面与平面的位置关系知识是学习几何学的重要一步，也对我们的日常生活具有实际应用的意义。
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系是几何学中的重要问题。
它描述了两个平面之间的相对位置，在设计和建造中都非常重要。
在这篇文章中，我们将探讨平面与平面之间的三种不同的位置关系：平行、交叉和重合。
1. 平行关系两个平面如果不相交，而且它们的法向量平行，则被称为平行平面。
两个平面之间存在平行关系，意味着它们在空间中始终保持相同的距离。
这种关系在工程、建筑、制造和设计等领域非常常见。
在计算机图形学中，两个平行平面可以通过平移、旋转或缩放等变换来转换成相同的平面。
这种关系可以用以下公式来表示：(Pl1 // Pl2) ⇔ n1 || n2其中，Pl1 和 Pl2 表示两个平面，n1 和 n2 分别表示它们的法向量。
符号“//”表示平行关系，符号“||”表示向量平行。
2. 交叉关系交叉关系是指两个不相交的平面在某一点处相交，但在这个点的邻域内仍然不相交。
这种关系在空间几何中非常常见，例如在两个不同的墙面相交的地方。
如果两个平面的法向量不平行，则它们必须相交，除非它们的法线在同一条直线上。
这种关系可以用以下公式来表示：其中，符号“∩”表示交叉关系，符号“≠ Ø”表示它们的交点不是空集。
3. 重合关系两个完全一致的平面被称为重合平面。
这种关系在空间中很少见，但在建筑、制造和设计等领域中经常发生。
其中，“≡”表示重合关系，而“d1”和“d2”分别表示两个平面与原点之间的距离。
总结平面与平面之间的位置关系是几何学中的重要问题。
它们可以被归为三类：平行、交叉和重合。
这些关系在工程、建筑、制造和设计等行业中非常重要。
掌握这些关系的几何公式和概念，可以帮助人们更好地理解和处理空间中的问题。
空间平面与平面的位置关系
空间平面与平面的位置关系在几何学中，空间平面与平面的位置关系是一个重要的研究课题。
正确认识空间平面与平面的位置关系，对于解决各类几何问题具有重要的指导意义。
本文将从不同的角度出发，探讨空间平面与平面的位置关系以及相应的几何定理和性质。
一、平行关系在空间几何中，两个平面若不相交，且它们的法向量平行，则称这两个平面是平行的。
平行的平面具有以下性质：1. 平行平面上的任意一点到另一平面的距离是相等的；2. 平行面之间的夹角是等于它们的法向量夹角的。
二、垂直关系在空间几何中，两个平面若它们的法向量相互垂直，则称这两个平面是垂直的。
垂直的平面具有以下性质：1. 垂直平面上的任意一条直线与另一平面的交线是垂直的；2. 垂直平面之间的夹角是直角。
三、相交关系在空间几何中，两个平面若有一条公共直线，则称这两个平面是相交的。
平面相交时，可以分为以下情况：1. 平面相交于一条直线，称为交线；2. 平面相交于一点，称为交点；3. 平面相交于无穷多点，称为部分重合。
四、位置关系除了平行、垂直、相交的关系外，空间平面与平面还可能存在其他的位置关系：1. 相互包含：一个平面完全位于另一个平面的内部，或者一个平面完全包含另一个平面的内部；2. 平行于同一直线：两个平面分别通过同一条直线，且这两个平面之间没有交点。
总结：空间平面与平面之间的位置关系是通过平行、垂直、相交等关系来刻画的。
这些关系以及相应的性质和定理，在解决几何问题时具有重要的应用价值。
通过以上对空间平面与平面的位置关系的讨论，我们可以看到几何学在研究和描述空间中各个图形的位置关系时，为我们提供了一种客观、明确的数学语言。
通过几何学的工具和方法，人们可以更好地理解和应用空间几何学，在解决实际问题中发挥着重要的作用。
本文提供了对空间平面与平面的位置关系的初步了解，但是由于篇幅和深度的限制，并未对每个关系进行详尽的论述和证明。
读者可以基于本文的探讨，进一步深入学习和理解空间几何学的相关知识，探索更多有关空间图形位置关系的问题。
空间几何中的平面与平面的位置关系
空间几何中的平面与平面的位置关系在空间几何中，平面是一个基本的几何概念，而研究平面与平面之间的位置关系更是几何学中的重要内容。
本文将探讨平面与平面之间的几种常见位置关系，包括平行、交叉、相交和重合。
一、平行关系两个平面如果永远不相交，它们被称为平行的。
平行关系是最简单的一种平面位置关系。
例如，在一个立方体中，底面和顶面是平行的，它们永远不会相交。
二、交叉关系两个平面如果有交点，但交点不在任何一个平面上，它们被称为交叉的。
交叉关系可以分为两种情况：交叉于一点和交叉于一线。
1. 交叉于一点当两个平面相交于一个点时，它们被称为交叉于一点的。
例如，一对相交直线的垂直平分线与它们所在的平面相交于同一个点。
2. 交叉于一线当两个平面相交于一条线时，它们被称为交叉于一线的。
例如，两个相交的墙面所在的平面相交于一条线。
三、相交关系两个平面如果有公共部分，它们被称为相交的。
相交关系可以分为两种情况：相交于一点和相交于一线。
1. 相交于一点当两个平面相交于一个点时，并且交点同时存在于两个平面上，它们被称为相交于一点的。
例如，两个平面的法向量相互垂直，它们相交于一点。
2. 相交于一线当两个平面相交于一条线时，并且交线不在任何一个平面上，它们被称为相交于一线的。
例如，两个相交墙面的交线并不在任何一个墙面上。
四、重合关系如果两个平面重合，它们被称为重合的。
两个重合的平面完全相同，它们所有的点都重合在一起。
例如，两张完全相同的平桌面重合在一起。
总结：空间几何中，平面与平面之间的位置关系可以归纳为四种主要关系：平行、交叉、相交和重合。
平行的平面永远不会相交，交叉的平面有交点但不共面，相交的平面有公共部分且可能共面，而重合的平面完全相同。
通过研究平面与平面之间的位置关系，我们可以更好地理解和应用空间几何中的概念，例如在建筑设计、制图和几何证明中的应用。
掌握平面与平面的位置关系有助于我们在解决几何问题时更加准确和高效。
空间几何中的平面关系是几何学中重要的基础知识，对于提升我们的几何思维能力和解决实际问题都有着积极的影响。
空间几何中的平面与平面的位置关系
空间几何中的平面与平面的位置关系在空间几何中，平面与平面之间的位置关系是一项重要的研究内容。
平面是由无数个平行的直线构成的，它们之间没有交点，所以平面是没有厚度的。
平面可以通过两点确定，这两点和平面上的其他任意一点均在同一平面内。
那么在空间中，两个平面之间可以有不同的位置关系，如相交、平行、重合等。
一、相交当两个平面有一条公共线时，它们就是相交的。
这条公共线被称为交线。
相交的平面可以有不同的交线形式，如交于一点、交于一条直线、交于一条线段等。
当两个平面相交于一点时，这个点被称为交点，两个平面是不同的平面。
当两个平面相交于一条直线时，这个直线被称为交线，两个平面的其余部分是平行的。
当两个平面相交于一条线段时，这个线段是两个平面的公共部分，两个平面在该线段上是重合的。
二、平行当两个平面没有交点时，它们是平行的。
平行的平面在空间中始终保持相同的距离，永远不会相交。
平行平面的法线是平行的，法线是垂直于平面的直线。
平行平面可以是同一个平面的平行副本，也可以是不同平面的平行关系。
三、重合当两个平面重合时，它们是完全相同的，每一点都在两个平面上。
两个平面重合意味着它们的所有点、所有直线都重合，没有任何区别。
重合的平面有着相同的法线。
在空间几何中，还有一种特殊的平面位置关系，即垂直。
两个平面垂直时，它们的法线互相垂直。
垂直平面可以相交于一条直线，也可以平行。
两个平面垂直时，它们的交线是两个平面互相垂直的直线。
总结起来，空间几何中的平面与平面的位置关系可以分为相交、平行、重合以及垂直四种情况。
相交的平面可以有各种交线形式，平行的平面保持相同的距离，重合的平面完全相同，垂直的平面的法线互相垂直。
这些位置关系在空间几何的研究中具有重要的意义，对于解决实际问题、构建模型等都起着重要的作用。
通过对平面与平面的位置关系的研究，我们可以更好地理解和应用空间几何的知识。
平面与平面之间的位置关系解析课件
(对应学生用书31页)
• 典例 下列命题：①直线l与平面α内的无数条直线平行，则l∥α；②若 直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若 直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中真命 题的个数为( )
• A．1
B．2
C．3
D．4
第22页/共60页
• 其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________． 第23页/共60页
• 解析：若α与β相交，如图，可在α内找到A、B、C三个点到平面β的距离相等，所以排除②.容易证明①③都 是正确的．
答案：①③
第24页/共60页
• 要点二 平面与平面的位置关系 • 空间中的两个平面有且只有两种位置关系：两平面平行和两平面相交． • 1．画两个平行平面时，要注意把表示平面的平等四边形画成对应边平行，如图．
第25页/共60页
• 2．画两个相交平面时，要注意画出交线，被遮挡住的部分用虚线或者不画． 第26页/共60页
• 例2 α、β是两个不重合的平面，下面说法中正确的是( ) • A．平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥β • B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β • C．若直线a与平面α和平面β都成相等的角，那么α∥β
第43页/共60页
• 对于③，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内， • ∴a不一定平行于α，∴③是假命题． • 对于④，∵a∥b，b⊂a，那么a⊂α或a∥α， • ∴a与平面α内的无数条直线平行， • ∴④是真命题．综上，真命题的个数为1.答案为A.
第44页/共60页
第4页/共60页
• 观察图中的吊桥，说出立柱和桥面、水面的位置关系，铁轨和桥面、水面 的位置关系，两根立柱确定的平面和水面的位置关系．
空间几何的平面与平面的位置关系
空间几何的平面与平面的位置关系在空间几何中，平面与平面之间的位置关系经常被研究和应用。
平面与平面之间可以存在不同的位置关系，包括平行、相交、垂直等。
下面将分析这些位置关系的特点和性质。
一、平行平面平行平面是指在空间中没有交点的两个平面。
当两个平面上的所有直线都平行时，这两个平面是平行的。
平行平面具有以下特点：1. 平行平面之间的距离始终保持一致。
这是因为两个平行平面之间的任意两个平行线的距离是相等的。
2. 平行平面上的任意一条直线与另一个平面相交时，其所在的直线与这两个平面的交点也是平行的。
这个性质也适用于平行平面上的角度。
3. 平行平面可以用向量的方法来表示。
平行平面上的法向量是相等的，即两个平面的法向量是平行的。
二、相交平面相交平面是指在空间中有交点的两个平面。
相交平面具有以下特点：1. 相交平面上的交线称为交线。
交线可以是一条直线，也可以是一条曲线。
2. 相交平面上的任意两条直线的夹角可能不是固定的，取决于它们与交线的夹角。
3. 相交平面可以通过两个平面的法向量来判断它们是否相交。
如果两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交。
4. 相交平面上的点可能是一条直线上的点，也可能是曲线上的点。
这取决于两个平面的交线是直线还是曲线。
三、垂直平面垂直平面是指两个平面之间的特殊位置关系，即两个平面互相垂直。
垂直平面具有以下特点：1. 垂直平面上的直线与这两个平面的交线垂直。
这是垂直平面的最基本的性质。
2. 垂直平面上的直线与平面上的另一条直线垂直时，这两个平面是平行的。
垂直平面与平行平面之间存在一种特殊的关系。
3. 垂直平面可以通过两个平面的法向量来判断它们是否垂直。
两个平面的法向量的数量积为零时，这两个平面垂直。
综上所述，空间几何中的平面与平面之间存在着平行、相交、垂直等不同的位置关系。
这些位置关系的性质与特点对于空间几何的研究和应用具有重要的意义。
研究平面与平面之间的位置关系可以帮助我们更好地理解和解决相关的几何问题。
必修2第三第2节平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系知识要点： 一、两个平面1. 两个平面的位置关系（1）两个平面平行如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行． （2）两个平面相交如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，就称这两个平面相交． （3）两个平面的位置关系只有两种： ①两个平面平行——没有公共点． ②两个平面相交——有一条公共直线． （4）两个平面平行的画法画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行（图1，而不应画成图2那样）．平面α和β平行，记作βα//．图1图22. 两个平面平行的判定[两个平面平行的判定定理] 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：若,,a b a b A αα⊂⊂=I ，且//,//,a b ββ则//αβ。
3. 两个平面平行的性质（1）一个结论：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。
//αβ，//a a αβ⊂⇒． （2）两个平面平行的性质定理[两个平面平行的性质定理] 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
已知：//αβ，a αγ=I ，b βγ=I 。
求证：//a b ．简证：因为//αβ，所以α与β没有公共点，因而交线a,b 也没有公共点，又因为a,b 都在平面γ内，所以//a b .注：由符号语言知：两个平面平行的性质是由三个条件推出一个结论，在解题时请特别注意，不要漏写条件。
4. 两个平行平面的距离（1）两个平行平面的公垂线及公垂线段直线a 与两个平面α、β都垂直，我们把与两个平行平面都垂直的直线称作两个平行平面的公垂线。
公垂线夹在两个平行平面之间的线段称为这两个平行平面的公垂线段。
注意：两个平面不平行时，由于不可能存在同时与它们垂直的直线，因此此时没有公垂线可言，换句话说，当论及公垂线时，就隐含着两个平面平行。
（2）两个平行平面的距离我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离． 说明：两个平行平面的公垂线段都相等．二、二面角半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。
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平面与平面之间的位置关系[学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示.知识点一 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系2.直线与平面的位置关系的分类 (1)按公共点个数分类⎩⎨⎧有无公共点⎩⎪⎨⎪⎧直线和平面相交——有且只有一个公共点直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行(2)按直线是否在平面分类⎩⎨⎧直线在平面内——所有点在平面内直线在平面外⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交直线与平面平行思考 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？答 不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面这两种情况；而后者仅指直线与平面平行. 知识点二 两个平面的位置关系思考分别位于两个平行平面的两条直线有什么位置关系？答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面.题型一直线与平面的位置关系例1下列命题中，正确命题的个数是()①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.A.0B.2C.1D.3答案 C解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C.跟踪训练1以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案A解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.题型二平面与平面的位置关系例2以下四个命题中，正确的命题有()①在平面α有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α两条相交直线和平面β两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行.A.③④B.②③④C.②④D.①④答案A解析当两个平面相交时，一个平面有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.跟踪训练2两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：①a与β的所有直线平行；②a与β无数条直线平行；③直线a与β任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B解析①错误，a不是与β的所有直线平行，而是与β的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确.分类讨论思想例3在体ABCD－A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状.分析决定过A，Q，B1三点的截面图形的形状的因素是动点Q，所以要对点Q的位置进行分类讨论.解由于点Q是线段DD1上的动点，故①当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图：②当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图：③当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图：1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交2.下列命题中，正确的命题是()A.若直线a上有无数个点不在平面α，则a∥αB.若a∥α，则直线a与平面α任意一条直线都平行C.若a⊂α，则a与α有无数个公共点D.若a⊄α，则a与α没有公共点3.下列命题中，正确的有()①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.A.1个B.2个C.3个D.4个4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A.都平行B.都相交C.在两个平面D.至少与其中一个平面平行5.下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________.一、选择题1.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A.b∥αB.相交C.b⊂αD.b⊂α、相交或平行2.与同一平面平行的两条直线()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面3.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A.α的所有直线均与a异面B.α不存在与a平行的直线C.α的直线均与a相交D.直线a与平面α有公共点4.以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①③5.过平面外一条直线作平面的平行平面()A.必定可以并且只可以作一个B.至少可以作一个C.至多可以作一个D.一定不能作6.下列命题正确的是()①两个平面平行，这两个平面的直线都平行；②两个平面平行，其中一个平面任何一条直线都平行于另一平面；③两个平面平行，其中一个平面一条直线和另一个平面的无数条直线平行；④两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交.A.①B.②③④C.①②③D.①④7.在长方体ABCDA1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题8.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线；②必相交于一点；③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线.9.下列命题正确的是________.①如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面的无数条直线垂直；②若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.10.给出下列几个说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.其中正确有________个.三、解答题11.如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论.12.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.当堂检测答案1.答案D解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α的直线当然均无公共点.2.答案C解析对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，平面α的直线和直线a 可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时有一个公共点，所以D错.3.答案B解析②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面的直线，故③错误.4.答案D解析这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行.5.答案①②解析对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.课时精练答案一、选择题1.答案D解析如图所示，选D.2.答案D解析与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.3.答案D解析若直线a不平行平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确.4.答案D解析对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错.所以正确的是①③.5.答案C解析因为直线在平面外包含两种情况：直线与平面相交和直线与平面平行.当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出惟一的一个符合题意的平面.6.答案B解析①不正确，因为这两条直线可能是异面；②③④都正确，可根据线面平行的定义或面面平行的定义或观察几何体模型进行判断.7.答案B解析如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.二、填空题8.答案①解析空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.9.答案①③解析对于①，如图，∴命题①正确；对于②，α、β也可能相交，②不正确；对于③，若a与b相交，则α与β相交与条件矛盾，③正确；对于④，当a与b重合时，a在β；当a∥b时，a∥β；当a与b相交时，a与β相交，④不正确.10.答案1解析①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错误；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错误；③过棱柱的上底面的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错误；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④正确.三、解答题11.解a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点.又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点.又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.12.解平面ABC与β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交.设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C 是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线，即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交.。