平面与平面之间的位置关系附答案
平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系【要点】一．平面与平面的位置关系两平面平行：平面与平面没有交点；两平面相交：平面和平面有一条公共直线。
二．两平面平行1．两平面平行的判定：（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线线平行，则线面平行）。
（2）垂直直于同一直线的两平面平行。
（3）平行于同一平面的两平面平行。
2．两平面平行的性质（1）两平行平面被第三个平面所截，则交线互相平行。
（2）直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个。
（3）过平面外一点，有且只有一个平面与之平行。
（4）两平面平行，则在其中一个平面内的所有直线必平行于另一个平面。
（5）两平行平面中的一个垂直于一个平面，则另一个也垂直于这个平面。
三．两平面垂直1．两平面垂直的定义：如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
2．平面与平面垂直的判定：（1）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
（2）一平面垂直于两平行平面中的一个，则必垂直于另一个。
3．平面和平面垂直的性质：（1）两平面互相垂直，则在其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。
（2）过一平面内一点而垂直于另一平面的直线必在这一平面（3）两相交平面同时垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面。
（3）过不垂直于平面的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。
【复习要求】平面与平面的位置关系两个平面的位置关系只有平行（没有公共点）和相交（有一条公共直线）两种情况。
（1）两个平面平行的判定和性质定理。
（2）两个平面垂直的判定和性质定理。
（3）二面角和二面角的平面角。
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做二面角的平面角。
这就是说，顶点在棱上，也分别在两个半面内，边与棱垂直是构成二面角的平面角的三个条件。
求二面角的平面角的大小步骤：首先，根据定义或其它办法做出二面角的平面角，要注意理论依据，不能凭印象或直观。
平面与平面之间的位置关系(附答案)
平面与平面之间的位置关系[学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示.知识点一 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系2.直线与平面的位置关系的分类 (1)按公共点个数分类⎩⎨⎧有无公共点⎩⎪⎨⎪⎧直线和平面相交——有且只有一个公共点直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行(2)按直线是否在平面内分类⎩⎨⎧直线在平面内——所有点在平面内直线在平面外⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交直线与平面平行思考 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？答 不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行.知识点二 两个平面的位置关系思考分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面.题型一直线与平面的位置关系例1下列命题中，正确命题的个数是()①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.A.0B.2C.1D.3答案 C解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC ⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C.跟踪训练1以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 A解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.题型二平面与平面的位置关系例2以下四个命题中，正确的命题有()①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行.A.③④B.②③④C.②④D.①④答案 A解析当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.跟踪训练2两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案 B解析①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确.分类讨论思想例3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状.分析决定过A，Q，B1三点的截面图形的形状的因素是动点Q，所以要对点Q的位置进行分类讨论.解由于点Q是线段DD1上的动点，故①当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图：②当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图：③当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图：1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交2.下列命题中，正确的命题是()A.若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥αB.若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行C.若a⊂α，则a与α有无数个公共点D.若a⊄α，则a与α没有公共点3.下列命题中，正确的有()①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.A.1个B.2个C.3个D.4个4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A.都平行B.都相交C.在两个平面内D.至少与其中一个平面平行5.下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________.一、选择题1.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A.b∥αB.相交C.b⊂αD.b⊂α、相交或平行2.与同一平面平行的两条直线()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面3.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A.α内的所有直线均与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线均与a相交D.直线a与平面α有公共点4.以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①③5.过平面外一条直线作平面的平行平面()A.必定可以并且只可以作一个B.至少可以作一个C.至多可以作一个D.一定不能作6.下列命题正确的是()①两个平面平行，这两个平面内的直线都平行；②两个平面平行，其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面；③两个平面平行，其中一个平面内一条直线和另一个平面内的无数条直线平行；④两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交.A.①B.②③④C.①②③D.①④7.在长方体ABCDA1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题8.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线；②必相交于一点；③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线.9.下列命题正确的是________.①如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；②若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.10.给出下列几个说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.其中正确有________个.三、解答题11.如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论.12.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.当堂检测答案1.答案 D解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.2.答案 C解析对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，平面α内的直线和直线a 可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时有一个公共点，所以D错.3.答案 B解析②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误.4.答案 D解析这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行.5.答案①②解析对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.课时精练答案一、选择题1.答案 D解析如图所示，选D.2.答案 D解析与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.3.答案 D解析若直线a不平行平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确.4.答案 D解析对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错.所以正确的是①③.5.答案 C解析因为直线在平面外包含两种情况：直线与平面相交和直线与平面平行.当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出惟一的一个符合题意的平面.6.答案 B解析①不正确，因为这两条直线可能是异面；②③④都正确，可根据线面平行的定义或面面平行的定义或观察几何体模型进行判断.7.答案 B解析如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.二、填空题8.答案①解析空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.9.答案①③解析对于①，如图，∴命题①正确；对于②，α、β也可能相交，②不正确；对于③，若a与b相交，则α与β相交与条件矛盾，③正确；对于④，当a与b重合时，a在β内；当a∥b时，a∥β；当a与b相交时，a与β相交，④不正确.10.答案 1解析①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错误；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错误；③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错误；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④正确.三、解答题11.解a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点.又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点.又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.12.解平面ABC与β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交.设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C 是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线，即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交.。
直线与平面、平面与平面之间的位置关系
2．直线 a 在平面 γ 外，则( A．a∥γ B．a 与 γ 至少有一个公共点 C．a∩γ＝A D．a 与 γ 至多有一个公共点
【答案】 D
)
(
3．直线 a∥直线 b，b⊂平面 α，则 a 与 α 的位置关系是 ) A．a∥α B．a⊂α C．a∥α 或 a⊂α D．a∥α 或 a⊂α 或 a 与 α 相交
思考讨论 分别指出下列各图中直线与平面的关系，并总结它们的 特点，用符号表示出来．
提示：(1)直线在平面内——有无数个公共点，符号表示 为：a⊂α； (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点，符号表示 为：a∩α＝A； (3)直线与平面平行——没有公共点，符号表示为：a∥α.
课前预习 1.直线与平面平行是指( ) A．直线与平面内的无数条直线都无公共点 B．直线上两点到平面的距离相等 C．直线与平面无公共点 D．直线不在平面内
【分析】 由题目可获取以下主要信息：本题主要考查 直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．解答本 题要考虑线线、线面、面面位置关系的特征与定义，结合空 间想象能力作出判断．
【解析】 由公理 4 知①正确；由直线与平面平行的位 置关系知⑤正确．从而选 A.其中②是错误的，因为平行于 同一平面的两条直线可能平行、可能相交，也可能异 面．③是错误的，因为当 a∥c，c∥α 时，可能 a∥α，也可能 a⊂α.对于④，α，β 可能平行，也可能相交． 【答案】 A
公共点情况 符号语言 ②有无数个 ③a⊂α 公共点 ⑤有且只有 ⑥a∩α＝ 一个公共点 A ⑧没有公共 ⑨a∥α 点
2.直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 3．平面与平面的位置关系 位置 图形语言 公共点情况 符号语言 关系 两平 ②无数个， 面相 ① 构成一条直 ③α∩β＝a 交 线 两平 面平 ⑤无公共点 ⑥α∥β 行 ④
平面与平面的位置关系判定平面与平面的位置关系有哪些平面与平面垂直的性质定理
一、平面与平面的位置关系有且只有两种1、两个平面平行——没有公共点；2、两个平面相交——有一条公共直线。
二、面面垂直性质定理1.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
2.如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
3.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
4.如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
（判定定理推论1的逆定理）三、平面与平面垂直的性质如果两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。
平面与平面垂直有如下性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一个平面；如果两个平面垂直，那么与一个平面垂直的直线平行于另一个平面或在另一个平面内。
四、面面垂直定义若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。
五、线面垂直定义如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。
是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。
在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”。
六、线面垂直判定定理直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
两个平面的位置关系的符号语言及其图形如下表：。
高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案
D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。
叫做垂足。
的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
所成的角。
2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。
三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系一、空间中直线与平面的位置关系 1．直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有___________种： ①直线在平面内——有___________个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③___________——没有公共点. 学*科网 直线与平面相交或平行的情况统称为___________. 2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示3．直线和平面位置关系的分类 （1）按公共点个数分类：⎧⎪⎨⎪⎩直线和平面相交—有且只有一个公共点直线和平面平行—没有公共点直线在平面内—有无数个公共点 （2）按是否平行分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线与平面平行直线与平面相交直线与平面不平行直线在平面内 （3）按直线是否在平面内分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线和平面相交直线不在平面内(直线在平面外)直线和平面平行二、平面与平面之间的位置关系 1．两个平面之间的位置关系两个平面之间的位置关系有且只有以下两种： （1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有___________条公共直线. 2．两个平面之间的位置关系的图形表示和符号表示3．两个平行平面的画法画两个平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行,且把这两个平行四边形上下放置.K 知识参考答案：一、1．三 无数 直线与平面平行 直线在平面外 二、 1．一K—重点了解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系K—难点会用图形语言、符号语言表示直线与平面、平面与平面之间的位置关系K—易错对概念理解不透彻致误1．直线与平面的位置关系空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．【例1】若直线a α,则下列结论中成立的个数是①α内的所有直线与a异面；②α内的直线与a都相交；③α内存在唯一的直线与a平行；④α内不存在与a 平行的直线A．0 B．1C．2 D．3【名师点睛】判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用的空间模型），另外，考虑问题要全面，即注意发散思维.2．平面与平面的位置关系判断两平面之间的位置关系时，可把自然语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系．【例2】已知α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β【答案】D【解析】不能保证α，β无公共点．如图：故A、B选项错误.当a∥α，a∥β时，α与β可能相交．如图：故C选项错误.平面α内所有直线都与平面β平行，说明α，β一定无公共点，则α∥β.故D选项正确.【名师点睛】两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形作出判断.【例3】如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系是A．平行B．相交C．平行或相交D．不确定【答案】C【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊂平面ABCD,C1D1⊂平面A1B1C1D1,C1D1⊂平面CDD1C1,AB∥C1D1,但平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD与平面CDD1C1相交.3．对直线与平面相交的概念理解不透彻致误【例4】已知：直线a∥b，a∩平面α=P，求证：直线b与平面α相交.【错解】如图，因为a∥b，所以a，b确定一个平面，设该平面为β.因为a∩平面α=P，所以P∈a，P∈α,所以P∈β,即点P为平面α与β的一个公共点，由此可知α与β相交于过点P的一条直线，记为c，即α∩β=c.在平面β内，a∥b，a∩c=P.由平面几何知识可得b与c也相交，设b∩c=Q,则Q∈b，Q∈c.因为c⊂α，所以Q∈α,所以直线b与平面α相交.【错因分析】错解中对直线与平面相交的概念理解不透彻，误认为直线和平面相交就是直线和平面有一个公共点.【名师点睛】直线与平面相交，要求直线与平面有且只有一个公共点，即直线与平面有一个公共点且直线不在平面内，也就是直线既不与平面平行，又不在平面内.1．已知直线与直线垂直，，则与的位置关系是A．//B．C．相交D．以上都有可能2．如果空间的三个平面两两相交，那么A．不可能只有两条交线B．必相交于一点C．必相交于一条直线D．必相交于三条平行线3．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么 A ．α∥β B ．α与β相交 C ．α与β重合D ．α∥β或α与β相交4．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是A ．α内的所有直线均与a 异面B ．α内不存在与a 平行的直线C ．α内直线均与a 相交D ．直线a 与平面α有公共点 5．以下命题（其中a b ，表示直线，α表示平面）： ①若∥a b ，b α⊂，则∥a α； ②若∥a α，b α⊂，则∥a b ； ③若∥a b ，∥b α，则∥a α. 其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．36．若M ∈平面α，M ∈平面β，则不同平面α与β的位置关系是 ． 7．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，试判断： （1）AM 所在的直线与平面ABCD 的位置关系； （2）CN 所在的直线与平面ABCD 的位置关系； （3）AM 所在的直线与平面CDD 1C 1的位置关系； （4）CN 所在的直线与平面CDD 1C 1的位置关系.8．三个平面,,αβγ，如果,,∥a b αβγαγβ==,且直线,∥c c b β⊂.（1）判断c 与α的位置关系,并说明理由; （2）判断c 与a 的位置关系,并说明理由.9．若a ，b 是异面直线，且a ∥平面α，则b 与α的位置关系是 A ．∥b α B ．相交C ．b α⊂D ．b α⊂、相交或平行 10．已知平面α和直线l ，则在平面α内至少有一条直线与直线lA ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上都有可能11．不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，给出以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α；②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.（填序号）12．如图所示，1111ABCD A B C D -是正方体，在图①中E ，F 分别是11D C ，1B B 的中点，画出图①、②中有阴影的平面与平面ABCD 的交线，并给出证明．1 2 3 4 5 9 10 DADDADB3．【答案】D【解析】如图，设α∩β＝l ，则在α内与l 平行的直线可以有无数条a 1，a 2，…，a n ，…，它们是一组平行线．这时a 1，a 2，…，a n ，…与平面β都平行，但此时α∩β＝l.另外也有可能αβ∥.故选D.4．【答案】D【解析】直线a 不平行于平面α，则a 在α内或a 与α相交，故A 错； 当a α⊂时，在平面α内存在与a 平行的直线，故B 错；α内的直线可能与a 平行或异面，故C 错；显然D 正确. 5．【答案】A【解析】若∥a b ，b α⊂，则∥a α或a α⊂，故①不正确； 若∥a α，b α⊂，则∥a b 或,a b 异面，故②不正确； 若∥a b ，∥b α，则∥a α或a α⊂，故③不正确．故选A ． 6．【答案】相交【解析】由公理3知，α与β相交．7．【解析】（1）AM 所在的直线与平面ABCD 相交．（2）CN所在的直线与平面ABCD相交．（3）AM所在的直线与平面CDD1C1平行．（4）CN所在的直线与平面CDD1C1相交．9．【答案】D【解析】三种情况如图（1）,（2）,（3）.10．【答案】B【解析】若直线l与平面α相交，则在平面α内不存在直线与直线l平行，故A错误；若直线l∥平面α，则在平面α内不存在直线与l相交，故C错误；对于直线l与平面α相交，直线l与平面α平行，直线l在平面α内三种位置关系，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，故选B.11．【答案】①【解析】如图，三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.证明：在图①中，因为直线EN ∥BF ，所以、、、B N E F 四点共面，又2EN BF ，因此EF 与BN 相交，设交点为M .因为M ∈EF ，且M ∈NB ，而EF ⊂平面AEF ，NB ⊂平面ABCD ，所以M 是平面ABCD 与平面AEF 的公共点．又因为点A 是平面AEF 和平面ABCD 的公共点，故AM 为两平面的交线． 在图②中，C 1M 在平面11CDD C 内，因此与DC 的延长线相交，设交点为M ，则点M 为平面11A C B 与平面ABCD 的公共点，又点B 也是这两个平面的公共点，因此直线BM 是两平面的交线．学！科网。
直线与平面、平面与平面间的位置关系
错解:因为 ∥ 所以l与 所成的角α,就是 就是l与 错解 因为BD∥B1D1,所以 与B1D1所成的角 就是 与BD 因为 所以 所成的角.在平面 内以P为顶点 底边在B 为顶点,底边在 所成的角 在平面A1C1内以 为顶点 底边在 1D1上作一个等 在平面 腰三角形,使底角为 则两腰所在直线就与 腰三角形 使底角为α,则两腰所在直线就与 1D1成等角 所 使底角为 则两腰所在直线就与B 成等角,所 以这样的直线有两条.应选 以这样的直线有两条 应选B. 应选 错因分析:错解中受定势思维的影响 只考虑了 错因分析 错解中受定势思维的影响,只考虑了 α ∈ (0, ) 错解中受定势思维的影响 2 π 时的一般情况,而忽略了特殊情况 而忽略了特殊情况.当 时的一般情况 而忽略了特殊情况 当 α = 0或 时, 这样的直 2 线只有一条. 线只有一条 正解: 正解
2－1.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相 － 如果在两个平面内分别有一条直线 如果在两个平面内分别有一条直线， 平行，那么这两个平面的位置关系是 平行，那么这两个平面的位置关系是( C ）
A．平行 ． C．平行或相交 ．平行或相交 B．相交 ． D．垂直相交 ．
解析：有平行、相交两种情况，如图
解析： 可能在平面α内 在平面α外有 解析：①错，l 可能在平面 内；②错，直线 a 在平面 外有 两种情况： ∥ 和 相交； 可能在平面α内 两种情况：a∥α和 a 与α相交；③错，直线 a 可能在平面 内； 相交 在平面α内或 ∥ ，在平面α内都有无数条直线 ④正确，无论 a 在平面 内或 a∥α，在平面 内都有无数条直线 正确， 与 a 平行． 平行．
2:如图 在长方体 如图,在长方体 的面A 上有一点P(P 如图 在长方体ABCD—A1B1C1D1的面 1C1上有一点 — ∉ B1D1),过P点在平面 1C1上作一直线 使l与直线 成α角, 点在平面A 上作一直线l,使 与直线 与直线BD成 角 过 点在平面 这样的直线l有 这样的直线 有( A.1条 条 B.2条 条 ) C.1条或 条 条或2条 条或 D.无数条 无数条
平面与平面的位置关系
专题：平面与平面的位置关系考点梳理一、平面与平面的位置关系平面与平面平行——没有公共点.平面与平面相交——有且只有一条公共直线.二、平面与平面平行符号语言是βα//.图形语言是：（一） 两个平面平行的判定定理一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.符号表示： β⊂a ，b β⊂，P b a = ，a α∥， b α∥αβ⇒∥（二）两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.用符号表示为：////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭题一题面：如图，已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心.（1）求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ；（2）求S △321G G G ∶S △ABC .题二题面：如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？三、两个平面互相垂直（一）二面角1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.2. 二面角的平面角.如图,在二面角α-l-β的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB. ∠AOB是二面角α-l-β的平面角.3. 直二面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的.（二） 两个平面互相垂直1.定义：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.直二面角的画法：如图2. 两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.⎭⎬⎫⊂⊥αβAB AB ⇒α⊥β. 3. 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于两一个平面.题三题面：如图，在立体图形V -ABC 中，∠VAB ＝∠VAC ＝∠ABC ＝90°，平面VAB 和平面VBC 有何种位置关系？请说明理由．,,,l m l m l m A l αβ⊥⊂=⊥=⇒⊥αβ，αβ题四题面：如图，把等腰Rt△ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC，求证：平面ABD⊥平面ABC.题五题面：如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）求点A到平面PBD的距离.课后练习注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.题一题面：下列命题中正确的是( )①平行于同一直线的两个平面平行②平行于同一平面的两个平面平行③垂直于同一直线的两个平面平行④与同一直线成等角的两个平面平行A.①②B.②③C.③④D.②③④题二题面：设α, β表示平面,a表示直线,且直线a不在平面α或β内,并有①α∥β;②a⊥α;③a⊥β.以其中任意两个为条件,另一个为结论,可构造出三个命题.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.0题三题面：已知平面α∥平面β，α、β之间的距离等于d，直线a α，则β内( )A.有且只有一条直线与a的距离等于dB.有无数条直线与a的距离等于dC.所有直线与a的距离都等于dD.仅有两条直线与a的距离等于d题四题面：如图,已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°,AD=AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.（1）求证：直线MF∥平面ABCD；（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1.题五题面：如图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且求证：平面SAD⊥平面SBC.AB=2，讲义参考答案题一答案：（1）略（2）1∶9题二答案：略题三答案：两平面垂直，证明略题四答案：略题五答案：（1）略（2）7212 课后练习题一答案：B详解：如图(1)，①错；如图(2)，④错。
平面与平面的位置关系
两个平面平行，它们没有公共点
两个平面平行，它们没有公共面
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两个平面平行，它们没有公共线
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两个平面平行，它们没有公共体
机械设计：平行平面可以保 证机械零件的精确配合
建筑设计：平行平面可以形 成对称、平衡的建筑结构
地图绘制：平行平面可以准 确表示地形、地貌
数学证明：平行平面是几何 证明中的重要概念
平面相交。
平面与平面相交，可以形成直线、点或面
平面与平面相交，可以形成两个平面的公共部分
平面与平面相交，可以形成两个平面的公共部分和两个平面的公共部分
平面与平面相交，可以形成两个平面的公共部分和两个平面的公共部分，以及两 个平面的公共部分和两个平面的公共部分
建筑设计：平面与平面相交可以形成各种空间结构，如楼梯、走廊等 机械设计：平面与平面相交可以形成各种机械零件，如齿轮、轴承等 电子设计：平面与平面相交可以形成各种电子元件，如电路板、芯片等 艺术设计：平面与平面相交可以形成各种艺术作品，如雕塑、绘画等
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01.
02.
03.
两个平面平行是指两个平面没有公共点，且没有公共线。 两个平面平行是指两个平面的法向量平行。 两个平面平行是指两个平面的法向量垂直于同一条直线。 两个平面平行是指两个平面的法向量垂直于同一条直线，且这条直线垂直于两个平面。
平面与平面平行的判定定理：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行。 平面与平面平行的判定定理：如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面平行。 平面与平面平行的判定定理：如果两个平面有两个公共点，那么这两个平面平行。 平面与平面平行的判定定理：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面平行。
人教版高中数学必修二 空间中直线与平面、平面与平面间位置关系 附答案解析
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系（课时过关·能力提升）基础巩固1.下图中表示两个相交平面正确的是()2.棱柱的任意两个侧面的位置关系是()A.相交B.平行C.平行或异面D.平行或相交3.已知M,N是点,l是直线,α是平面,M∈l,N∈l,N∉α,M∈α,则有()A.l∥αB.l⊂αC.l与α相交D.以上都有可能4.若直线a∥平面α,则下列说法比较准确的是()A.直线a与平面α内的一条直线不相交B.直线a与平面α内的两条相交直线不相交C.直线a与平面α内的无数条直线不相交D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交5.如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,那么这两个平面()A.一定平行B.一定相交C.平行或相交D.一定重合6.已知平面α,β平行,a⊂α,下列四个命题:①a与β内的所有直线平行;②a与β内无数条直线平行;③直线a与β内任何一条直线都不垂直;④a与β无公共点.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.47.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一个平面的位置关系是.8.若一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面的位置关系是.9.指出如图所示的图形的画法是否正确,若不正确,请你画出正确的图形.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中点,则下列直线与平面的位置关系是什么?(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系;(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系;(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系;(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系.能力提升1.如图,三棱台ABC-A'B'C'的一条侧棱AA'所在的直线与平面BCC'B'的位置关系是()A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内2.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a与b的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能★3.若直线l与平面α不平行,则下列结论正确的是()A.α内的所有直线都与直线l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内的直线与l都相交D.直线l与平面α有公共点4.过平面α外一点M,作直线l∥α,则这样的直线l有条.5.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系是.6.已知直线a⊂平面α,平面α∩平面β=b,a∥b,则a与β的位置关系是.7.下列命题正确的有.(只填序号)①若直线与平面有无数个公共点,则直线在平面内;②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;③若两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;⑤若平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,则直线a∥b.★8.一刀切豆腐将豆腐切成2块,两刀切豆腐最多可将豆腐切成4块,问三刀切豆腐最多可将豆腐切成几块,怎么切?试作出图形.参考答案一、基础巩固,也可能没有公共点,则它们平行或相交.α内的一条直线b与直线a相交,设交点为P,则P∈b,而b⊂α,所以P∈α.又P∈a,则a∩α=P,这与a∥平面α矛盾,即假设不成立.故直线a与平面α内的所有直线不相交.ABCD-A1B1C1D1中举例说明.如图,在平面A1B1C1D1内与A1B1平行的无数条直线平行于平面ABCD,平面A1B1C1D1∥平面ABCD;在平面ABB1A1内,与AB平行的无数条直线平行于平面ABCD,平面ABB1A1∩平面ABCD=AB,所以两个平面平行或相交.中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条平行,有一些是异面;②正确;③中直线a 与β内的无数条直线垂直;④根据定义a与β无公共点,正确.①②③的画法均不正确.正确的画法如图所示.AM所在的直线与平面ABCD相交;CN所在的直线与平面ABCD相交;(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行;(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交.二、能力提升,所以三条侧棱AA',BB',CC'的延长线交于一点,记为P,则直线AA'与平面BCC'B'相交于点P,且直线AA'在平面BCC'B'外.故选A.,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1∥平面AC,11平面AC,则有A1B1∩A1D1=A1;又D1C1∥平面AC,则有A1B1∥D1C1;取BB1和CC1的中点M,N,则MN∥B1C1,则MN∥平面AC,此时A1B1与MN异面,故选D.l与平面α不平行,则直线l与平面α相交或在平面α内.当直线l与平面α相交时,α内的直线与直线l相交或异面,所以选项A和C均不正确;当直线l在平面α内时,α内存在与l 平行的直线,所以选项B不正确.,可作该平面的无数条平行线,且这无数条直线都在过该点且与该平面平行的平面内..如图①②所示,分别为两个平面平行、相交的情形.a∥b,所以a与b无公共点.又因为a⊂α,且α与β的公共点都在直线b上,所以a与β无公共点.故a与β平行.显然是正确的;②中,直线l还可能与α相交,所以②是错误的;③中,异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定,它们可以相交,可以平行,还可以在该平面内,所以③是错误的;④中,直线l与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以④是正确的;⑤中,分别在两个平行平面内的直线可以平行,也可以异面,所以⑤是错误的.,前两刀竖切,刀口为十字形,且切口竖直,第三刀横切,将每小块一分为二,共得8块,即三刀最多将豆腐切成8块..。
平面与平面之间的位置关系
A 1个
C 3个
B 2个
D 4个
课后作业
课本52页 第7、8题
习题2.1
1 1 1 1 1 1 1
5、如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD ∥CE，且CE = CA = 2BD，M是EA中点。 求证：（1）DE = DA； （2）平面MBD⊥平面ECA； （3）平面DEA⊥平面ECA。
2、点P不在三角形ABC所在的平面内，过P作平面α，使 三角形ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面α共 有（ ）
两个平面平行－没有公共点 两个平面相交－有一条公共直线
1、以下七个命题： （1）垂直于同一条直线的两个平面平行； （2）平行于同一条直线的两个平面平行； （3）平行于同一个平面的两个平面平行； （4）一个平面内的两相交直线与另一个平面内的两条相交 个平面平行； （6）一个平面上不共线三点到另一平面的距离相等，则这 两个平面平行； （7）两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行， 则这两个平面平行。 其中正确命题的序号是_______________________。
2、A为直二面角α－l－β的棱l上一点，两条长等于 a的线段AB、AC分别在α、β内，且与都成45°， 则BC长为_______________。
3、若直线m⊥直线n，m⊥平面α，n⊥平面β，则
α与β的关系是（ ）
A 一定垂直
B 一定平行 C 相交或平行 D 一定相交，但不一定垂直
4、直三棱柱ABC-A B C 中，B C = A C ， AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1、AB的中点。 （1）求证：C1M⊥平面A1ABB1； （2）求证：A1B⊥AM： （3）求证：平面AMC1∥平面NB1C。
第一节 平面与平面的位置关系
9．若将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成60°的二
2
面角，则B，D两点间的距离等于____2____．
【提示】 连接BD可得一个正三角形， 其边长等于正方形对角线长的一半．
同步精练
10．在60°的二面角α-m-β中，若平面α内的一点A到平面
β的距离为 3 ，则A在平面β内的射影A1到平面α的距离为
【解析】 本题考查面面平行、面面垂直 的判定，要求学生具有良好的空间想象能力．
典例解析
【举一反三1】 给出下列命题： ①两个平行平面中的一个平面内的直线必平行于另一个 平面； ②分别在两个平行平面内的两条直线平行； ③若一条直线与两个平行平面中的一个相交，则这条直 线必与另一个平面相交； ④若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交 线平行； ⑤夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． 其中正确命题的序号是__①__③__④__⑤__．
3
____2____．
【提示】 如图所示，
过A做AA1⊥面β于 A1，在面α内过A做AO⊥m 于点O，连结A1O，
A．锐角 B．钝角 C．锐角或钝角 D．直角
【提示】 由平面与平面垂直的性质定理知PA⊥平 面β，所以PA⊥PB，所以∠APB是直角．
同步精练
8．α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，下列命
题中正确命题的个数是( C )
①若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β
②若m⊥α，n∥α，则m⊥n
③若α∥β，m⊂α，则m∥β
【思路点拨】 本题考查平面和平面平 行的判定定理的推论．
典例解析
【例4】 如图所示，已知四棱锥P－ABCD 的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°， PA⊥底面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PCD.
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平面与平面之间的位置关系[学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示.知识点一直线与平面的位置关系1.直线与平面的位置关系(1)按公共点个数分类(2)按直线是否在平面内分类思考“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？答不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行.知识点二两个平面的位置关系答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面.题型一直线与平面的位置关系例1下列命题中，正确命题的个数是()①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.A.0B.2C.1D.3答案 C解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC?平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C.跟踪训练1以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b?α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b?α，则a∥b.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案A解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB?平面ABCD，但CD?平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.题型二平面与平面的位置关系例2以下四个命题中，正确的命题有()①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行.A.③④B.②③④C.②④D.①④答案A解析当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.跟踪训练2两平面α，β平行，a?α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B解析①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确.分类讨论思想例3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状.分析决定过A，Q，B1三点的截面图形的形状的因素是动点Q，所以要对点Q的位置进行分类讨论.解由于点Q是线段DD1上的动点，故①当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图：②当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图：③当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图：1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交2.下列命题中，正确的命题是()A.若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥αB.若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行C.若a?α，则a与α有无数个公共点D.若a?α，则a与α没有公共点3.下列命题中，正确的有()①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.A.1个B.2个C.3个D.4个4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A.都平行B.都相交C.在两个平面内D.至少与其中一个平面平行5.下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________.一、选择题1.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A.b∥αB.相交C.b?αD.b?α、相交或平行2.与同一平面平行的两条直线()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面3.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A.α内的所有直线均与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线均与a相交D.直线a与平面α有公共点4.以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a?平面α，直线b?平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若α∩β＝l，直线a?平面α，直线b?平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①③5.过平面外一条直线作平面的平行平面()A.必定可以并且只可以作一个B.至少可以作一个C.至多可以作一个D.一定不能作6.下列命题正确的是()①两个平面平行，这两个平面内的直线都平行；②两个平面平行，其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面；③两个平面平行，其中一个平面内一条直线和另一个平面内的无数条直线平行；④两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交.A.①B.②③④C.①②③D.①④7.在长方体ABCDA1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题8.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线；②必相交于一点；③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线.9.下列命题正确的是________.①如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；②若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；③若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∩β＝b，a?α，则a与β一定相交.10.给出下列几个说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.其中正确有________个.三、解答题11.如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论.12.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A?l，B?l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.当堂检测答案1.答案D解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.2.答案C解析对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，平面α内的直线和直线a 可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时有一个公共点，所以D错.3.答案B解析②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误.4.答案D解析这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行.5.答案①②解析对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.课时精练答案一、选择题1.答案D解析如图所示，选D.2.答案D解析与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.3.答案D解析若直线a不平行平面α，则a∩α＝A或a?α，故D项正确.4.答案D解析对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错.所以正确的是①③.5.答案C解析因为直线在平面外包含两种情况：直线与平面相交和直线与平面平行.当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出惟一的一个符合题意的平面.6.答案B解析①不正确，因为这两条直线可能是异面；②③④都正确，可根据线面平行的定义或面面平行的定义或观察几何体模型进行判断.7.答案B解析如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.二、填空题8.答案①解析空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.9.答案①③解析对于①，如图，∴命题①正确；对于②，α、β也可能相交，②不正确；对于③，若a与b相交，则α与β相交与条件矛盾，③正确；对于④，当a与b重合时，a在β内；当a∥b时，a∥β；当a与b相交时，a与β相交，④不正确.10.答案1解析①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错误；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错误；③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错误；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④正确.三、解答题11.解a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a?α且a?γ，由β∩γ＝b知b?β且b?γ，∵α∥β，a?α，b?β，∴a、b无公共点.又∵a?γ且b?γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点.又a?α，∴a与β无公共点，∴a∥β.12.解平面ABC与β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB?α，l?α，∴AB与l一定相交.设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB?平面ABC，l?β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C 是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线，即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交.。