2015年4月上海市浦东区第二学期高三二模数学练习卷(理)及参考答案

浦东新区2014学年第二学期高三教学质量检测数学试卷（理科）注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．不等式32x>的解为 .2．设i 是虚数单位，复数)1)(3(i i a -+是实数，则实数a = . 3．已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -= .4．已知数列{}n a 的前n 项和n n S n +=2，则该数列的通项公式=n a .5．已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数之和为1024，则含2x 项的系数为 .6．已知直线0243=++y x 与圆()2221r y x =+-相切，则该圆的半径大小为 .7．在极坐标系中，已知圆θρsin 2r =（0>r ）上的任意一点),(θρM 与点),2(πN 之间的最小距离为1，则=r .8．若对任意R x ∈，不等式0sin 22sin 2<-+m x x 恒成立，则m 的取值范围是 . 9．已知球的表面积为64π2cm ，用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm ，则截面与球心的距离是 cm .10．已知随机变量ξ分别取1、2和3，其中概率)1(=ξp 与)3(=ξp 相等，且方差13D ξ=，则概率)2(=ξp 的值为 .11．若函数223()4f x x x =+-的零点(),1,m a a a ∈+为整数.则所有满足条件a 的值为 .12．若正项数列{}n a 是以q 为公比的等比数列，已知该数列的每一项k a 的值都大于从2k a +开始的各项和，则公比q 的取值范围是 .13．等比数列{}n a 的首项1a ，公比q 是关于x 的方程2(1)2(21)0t x x t -++-=的实数解，若数列{}n a 有且只有一个，则实数t 的取值集合为 .14．给定函数()f x 和()g x ，若存在实常数,k b ，使得函数()f x 和()g x 对其公共定义域D 上的任何实数x 分别满足()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为函数()f x 和()g x 的“隔离直线”. 给出下列四组函数；① x x g x f xsin )(,121)(=+=； ② x x g x x f 1)(,)(3-==； ③ x x g x x x f lg )(,1)(=+=； ④ x x g x f x=-=)(,212)(其中函数()f x 和()g x 存在“隔离直线”的序号是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）； 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸相应位置上，选对得 5分，否则一律得零分. 15．已知,a b 都是实数,那么“0a b <<”是“11a b>”的 （ ） )(A 充分不必要条件 )(B 必要不充分条件 )(C 充分必要条件)(D 既不充分也不必要条件16．平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系为 （ ）)(A 平行 )(B 相交)(C 平行或重合 )(D 平行或相交17．若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(,)a b ，则过点P 的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点的个数为 （ ） )(A 0)(B 1)(C 2)(D 1或218．如图，若正方体12341234PP P P QQ Q Q -的棱长为1，设j i T S Q P x ⋅=11，},{,j i j i Q P T S ∈，（}4,3,2,1{,∈j i ）， 对于下列命题：①当i j i iS T PQ =时，1x =； ②当0x =时，(),i j 有12种不同取值； ③当1x =-时，(),i j 有16种不同的取值； ④x 的值仅为1,0,1-.其中正确的命题是 （ ）)(A ①②)(B ①④ )(C ①③④ )(D ①②③④三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤．19．（本题共有2个小题，满分12分）；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.已知函数(),(0),af x x x a x=+>为实数. （1）当1a =-时，判断函数()y f x =在()1,+∞上的单调性，并加以证明； （2）根据实数a 的不同取值，讨论函数()y f x =的最小值.20．（本题共有2个小题，满分14分）；共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面正方形ABCD 的边长为2， ⊥PA 底面ABCD , E 为BC 的中点，PC 与平面PAD 所成的角为22arctan． （1） 求异面直线AE 与PD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）； （2）求点B 到平面PCD 的距离．P 1P 2P 3P 4Q 1Q 2Q 3Q 4PA CD21．（本题共有2个小题，满分14分）；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.一颗人造地球卫星在地球表面上空沿着圆形轨道匀速运行，每2将地球近似为一个球体，半径为6370道所在圆的圆心与地球球心重合.点整通过卫星跟踪站A 点的正上空A '，通过C 点.间忽略不计）（1）求人造卫星在12:03（2）求此时天线方向AC 22．（本题共有3个小题，满分16分）；第小题满分6分.已知直线l 与圆锥曲线C 相交于,A B AD EA 1λ=、2λ=.（1）已知直线l 的方程为42-=x y ，抛物线C 的方程为x y 42=，求21λλ+的值；（2）已知直线l ：1+=my x （1>m ），椭圆C ：1222=+y x ，求2111λλ+的取值范围； （3）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>，22212ba =+λλ，试问D 是否为定点？若是，求出D 点坐标；若不是，说明理由.23．（本题共有3个小题，满分18分）；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.记数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a 的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,,n n a a ++的最小项为n B ，令n n n b A B =-．（1）若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，写出12b b 、，并求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式为12n b n =-，判断{}1n n a a +-是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；（3）若{}n b 为公差大于零的等差数列，求证：{}1n n a a +-是等差数列.浦东新区2014学年第二学期高三教学质量检测数学试卷（理科）注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．不等式32x>的解为 3l o g 2x >. 2．设i 是虚数单位，复数)1)(3(i i a -+是实数，则实数a = 3 . 3．已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -= 2 .4．已知数列{}n a 的前n 项和n n S n +=2，则该数列的通项公式=n a n 2 .5．已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数之和为1024，则含2x 项的系数为 210 .6．已知直线0243=++y x 与圆()2221r y x =+-相切，则该圆的半径大小为 1 .7．在极坐标系中，已知圆θρsin 2r =（0>r ）上的任意一点),(θρM 与点),2(πN 之间的最小距离为1，则=r23. 8．若对任意R x ∈，不等式0sin 22sin 2<-+m x x 恒成立，则m 的取值范围是),21(+∞+.9．已知球的表面积为64π2cm ，用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm ，则截面与球心的距离是 .10．已知随机变量ξ分别取1、2和3，其中概率)1(=ξp 与)3(=ξp 相等，且方差13D ξ=，则概率)2(=ξp 的值为23.11．若函数223()4f x x x =+-的零点(),1,m a a a ∈+为整数.则所有满足条件a 的值为1或2-.12．若正项数列{}n a 是以q 为公比的等比数列，已知该数列的每一项k a 的值都大于从2k a +开始的各项和，则公比q 的取值范围是 . 13．等比数列{}n a 的首项1a ，公比q 是关于x 的方程2(1)2(21)0t x x t -++-=的实数解，若数列{}n a 有且只有一个，则实数t 的取值集合为130,,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭.14．给定函数()f x 和()g x ，若存在实常数,k b ，使得函数()f x 和()g x 对其公共定义域D 上的任何实数x 分别满足()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为函数()f x 和()g x 的“隔离直线”. 给出下列四组函数；① x x g x f xsin )(,121)(=+=； ② x x g x x f 1)(,)(3-==； ③ x x g x x x f lg )(,1)(=+=； ④ x x g x f x=-=)(,212)(其中函数()f x 和()g x 存在“隔离直线”的序号是 ①③④ .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）； 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸相应位置上，选对得 5分，否则一律得零分. 15．已知,a b 都是实数,那么“0a b <<”是“11a b>”的 （ A ） )(A 充分不必要条件 )(B 必要不充分条件 )(C 充分必要条件)(D 既不充分也不必要条件16．平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系为 （ D ）)(A 平行 )(B 相交 )(C 平行或重合 )(D 平行或相交17．若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(,)a b ，则过点P 的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点的个数为 ( C ) )(A 0)(B 1)(C 2 )(D 1或218．如图，若正方体12341234PP P P QQ Q Q -的棱长为1， 设j i T S Q P x ⋅=11，},{,j i j i Q P T S ∈，（}4,3,2,1{,∈j i ）， 对于下列命题：①当i j i i S T PQ =时，1x =； ②当0x =时，(),i j 有12种不同取值； ③当1x =-时，(),i j 有16种不同的取值； ④x 的值仅为1,0,1-.其中正确的命题是 （ C ）)(A ①②)(B ①④ )(C ①③④ )(D ①②③④三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤．19．（本题共有2个小题，满分12分）；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.已知函数(),(0),af x x x a x=+>为实数. （1）当1a =-时，判断函数()y f x =在()1,+∞上的单调性，并加以证明； （2）根据实数a 的不同取值，讨论函数()y f x =的最小值.解：（1）由条件：1()f x x x=-在()1,+∞上单调递增.…………………………2分任取()12,1,x x ∈+∞且12x x <1212121212111()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=--+=-+ ……………………4分 211x x >>，∴121210,10x x x x -<+> P 1P 2P 3P 4Q 12Q 3Q 4∴ 12()()f x f x < ∴ 结论成立 …………………………………………6分 （2）当0a =时，()y f x =的最小值不存在； …………………………………7分当0a <时，()y f x =的最小值为0；………………………………………9分当0a >时，()ay f x x x==+≥x =()y f x =的最小值为12分20．（本题共有2个小题，满分14分）；共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面正方形ABCD 的边长为2， ⊥PA 底面ABCD , E 为BC 的中点，PC 与平面PAD 所成的角为22arctan． （1） 求异面直线AE 与PD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）； （2）求点B 到平面PCD 的距离．解：方法１,（1）因为底面ABCD 为边长为2的正方形，⊥PA 底面ABCD , 则 ⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥CD A PA AD PA CD ADCD 平面PAD ，所以CPD ∠就是CP 与平面PAD 所成的角．……………………………………………2分 在CDP Rt ∆中，由22tan ==∠PD CD CPD ，得22=PD ，…………………………3分 在PAD Rt ∆中，2=PA ．分别取AD 、PA 的中点M 、N ，联结MC 、NC 、MN ， 则NMC ∠异面直线AE 与PD 所成角或补角．……………4分 在MNC ∆中，2=MN，MC =3NC =，由余弦定理得，2223cosNMC +-∠==， 所以NMC π∠=-，…………………………6分 即异面直线AE 与PD 所成角的大小为1010arccos ．……7分PA CDPA CD EMN（2）设点B 到平面PCD 的距离为h ，因为BCD P PCDB V V --=，…………………………9分 所以，11113232CD PD h BC CD PA ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅，得h =14分 方法２，（1） 如图所示，建立空间直角坐标系，同方法１，得2=PA ，……………3分 则有关点的坐标分别为()0,0,0A ，()2,1,0E ，()0,2,0D ，()2,0,0P ．………………………5分所以()2,1,0AE =，()2,2,0-=PD ．设θ为异面直线AE 与PD 所成角， 则()101085202102cos =⨯-⨯+⨯+⨯=θ， 所以，1010arccos=θ， 即异面直线AE 与PD 所成角的大小为1010arccos．…………………………………7分 （2）因为()2,2,0-=，()0,0,2=，()0,2,0=，设()w v u ,,=，则由⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=-=⋅w v u u CD n w v 002022，………………………………………………11分 可得()1,1,0=，所以2n BC d n⋅===14分 21．（本题共有2个小题，满分14分）；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.一颗人造地球卫星在地球表面上空沿着圆形轨道匀速运行，每2将地球近似为一个球体，半径为6370道所在圆的圆心与地球球心重合.点整通过卫星跟踪站A 点的正上空A '，通过C 点.间忽略不计）y（1）求人造卫星在12:03时与卫星跟踪站A 之间的距离（精确到1千米）； （2）求此时天线方向AC 与水平线的夹角（精确到1分）. 解：（1）设人造卫星在12:03时位于C 点处，AOC θ∠=，33609120θ=︒⨯=︒，…2分 在ACO ∆中，222=6370+8000-263708000cos93911704.327AC ⨯⨯⨯︒=, 1977.803AC ≈（千米），……………………………………………5分 即在下午12:03时，人造卫星与卫星跟踪站相距约为1978千米.…………………6分 （2）设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为ϕ，则90CAO ϕ∠=+︒，s i n 9s i n (90)19788000ϕ︒+︒=，8000sin(90)sin 90.63271978ϕ+︒=︒≈，…………………9分 即cos 0.6327ϕ≈，5045'ϕ≈︒，……………………………………………………11分 即此时天线瞄准的方向与水平线的夹角约为5045'︒.………………………………12分22．（本题共有3个小题，满分16分）；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知直线l 与圆锥曲线C 相交于,A B 两点，与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点，且满足AD EA 1λ=、2λ=.（1）已知直线l 的方程为42-=x y ，抛物线C 的方程为x y 42=，求21λλ+的值；（2）已知直线l ：1+=my x （1>m ），椭圆C ：1222=+y x ，求2111λλ+的取值范围； （3）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>，22212ba =+λλ，试问D 是否为定点？若是，求出D 点坐标；若不是，说明理由. 解：（1）将42-=x y ，代入x y 42=，求得点()2,1-A ，()4,4B ，又因为()0,2D ，()4,0-E ，…………………………………………………………………………2分由AD EA 1λ= 得到，()()2,12,11λ=()112,λλ=，11=λ，同理由BD EB 2λ=得，22-=λ所以21λλ+=1-.………………………………………4分 （2）联立方程组：⎩⎨⎧=-++=022122y x my x 得()012222=-++my y m ， 21,22221221+-=+-=+m y y m m y y ，又点()⎪⎭⎫ ⎝⎛-m E D 1,0,0,1，由AD EA 1λ= 得到1111y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11111y m λ， 同理由BD EB 2λ= 得到2221y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22111y m λ， 21λλ+=4212)(122121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-m m y y y y m ，即21λλ+4-=，……………6分 2121411λλλλ-=+12144λλ+=()42421-+=λ, …………………………………………8分 因为1>m ，所以点A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知 ()0,221-∈λ，所以()2,1121-∞-∈+λλ.…………………………………………10分（3）假设在x 轴上存在定点)0,(t D ，则直线l 的方程为t my x +=，代入方程12222=-b y a x 得到:()()022*******=-++-b a t mty b y a m b ()22222221222221,2a m b b a t y y a m b mt b y y ---=--=+, 2221211a t mt y y --=+ (1) 而由AD EA 1λ=、BD EB 2λ=得到：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+-2121112)(y y m t λλ (2) 22212ba =+λλ (3) ……………………………………………………………………12分 由（1）（2）（3）得到：2222222ba a t mt m t -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+，22b a t +±=， 所以点)0,(22b a D +±，………………………………………………………………14分 当直线l 与x 轴重合时，a t a +-=1λ，a t a -=2λ，或者a t a -=1λ，at a +-=2λ， 都有222222122ba a t a =-=+λλ 也满足要求，所以在x 轴上存在定点)0,(22b a D +±.……………………………16分23．（本题共有3个小题，满分18分）；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.记数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a 的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,,n n a a ++的最小项为n B ，令n n n b A B =-．（1）若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，写出12b b 、，并求数列{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n b 的通项公式为12n b n =-，判断{}1n n a a +-是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；（3）若{}n b 为公差大于零的等差数列，求证：{}1n n a a +-是等差数列. 解：（1）因为数列{}n a 从第2项起单调递增，1231,0,3a a a ===，所以112101b a a =-=-=；213132b a a =-=-=-；………………………2分 当3n ≥时，154n n n b a a n +=-=-()()2,254,13n n b n n n -=⎧⎪=⎨-=≥⎪⎩或 ……………………………………………………4分 （2）数列{}n b 的通项公式为12n b n =-，∴n b 递减且0n b <.由定义知，1,n n n n A a B a +≥≤……………………………………………………6分 10n n n n n b A B a a +>=-≥-∴1n n a a +>，数列{}n a 递增，即121n n a a a a +<<<<<………………8分 21112111()()()()()n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a b b b b ++++++++---=--+-=-+=-- ()()12122n n =-----=⎡⎤⎣⎦…………………………………………………10分 （3）①先证数列{}n a 递增，利用反证法证明如下：假设k a 是{}n a 中第一个使1n n a a -≤的项， 1221k k k a a a a a --<<<<≥，……………………………………………………12分 111,k k k k k A A a B B ---==≤111()()k k k k k k b b A B A B ----=---()()1110k k k k k k A A B B B B ---=-+-=-≤ 与数列{}n b 是公差大于0的等差数列矛盾. 故数列{}n a 递增.……………………………………………………………………14分 ② 已证数列{}n a 递增，即12n a a a <<<<， n n A a =；1n n B a +=，………………………………………………………………16分 设若{}n b 的公差为b，则 2111211111()()()()()()()n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a A B A B b b b b b ++++++++++---=--+-=--+-=-+=--=- 故{}1n n a a +-是等差数列.………………………………………………………18分。