2016届数学一轮(理科)人教B版 第四章 三角函数、解三角形 第3讲 和角公式、倍角公式和半角公式
人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第5章三角函数、解三角形 第3节两角和与差的三角函数、二倍角公式
=
α- α
.
α+ α
2.两角和与差的正切公式的变形:
(1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);
(2)tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).
3.升幂公式:1±sin 2α=(sin α±cos α)2;1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α.
2
1-tan
1-( )
4
2×
又 tan B=2,所以 tan
2tan
2B=
1-tan2
=
2×2
4
2 =-3.
1-2
24-4
tan2+tan2
44
7
3
于是 tan(2A+2B)=
= 24 4 = 117.
1-tan2tan2
1- ×(- )
7
3
(方法二)在△ABC 中,由 cos
4
第3节 两角和与差的三角函数、二倍角公式
课标解读
1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二
倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系,能运用这些公式解决
相关的求值与化简问题.
目录索引
1 强基础 固本增分
知识梳理
4.sin
2 α
2α=
;cos
1+ 2
1- 2
2α=
.
1+ 2
5.在非直角三角形ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
届数学一轮复习第四章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式教学案含解析
第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3。
能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4。
能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.cos(α∓β）＝cos αcos β±sin αsin β。
tan(α±β)＝错误!。
2。
二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。
tan 2α＝错误!。
3.函数f（α）＝a sin α＋b cos α（a,b为常数），可以化为f（α）＝错误!sin（α＋φ)错误!或f(α)＝错误!·cos（α－φ)错误!.[常用结论与微点提醒]1。
tan α±tan β＝tan（α±β）(1∓tan αtan β)。
2。
cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝错误!。
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α）2，1－sin 2α＝(sin α－cos α）2，sin α±cos α＝错误!sin错误!。
诊断自测1。
判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(）(2）存在实数α,β,使等式sin(α＋β）＝sin α＋sin β成立.（)（3）公式tan(α＋β）＝错误!可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β）(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立。
（)（4）存在实数α，使tan 2α＝2tan α。
高三数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数 新人教B版
5．已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则 扇形的圆心角的弧度数是( C ) A．1 B．4 C．1 或 4 D．2 或 4
α＝
____3 ____.
解析 ∵α＝－23π＋2kπ，k∈Z且4π<α<6π， ∴取k＝3，即α＝－23π＋6π＝136π.
3．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α
的终边在第___二_____象限．
解析 tan α<0且cos α<0，所以α在第二象限．
4．若 α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则 α 在( A ) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
2．对三角函数的理解要透彻 三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角
(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数．也可以 看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有 意义的角的范围． 如tan α＝xy有意义的条件是角α终边上任一点P(x，y) 的横坐标不等于零，也就是角α的终边不能与y轴重 合，故正切函数的定义域为α|α≠kπ＋π2，k∈Z.
思维启迪 (1)从终边相同的角的表示入手分 析问题，先表示出所有与角 α 有相同终边的角， 然后列出一个关于 k 的不等式，找出相应的整 数 k，代入求出所求解； (2)可对整数 k 的奇、偶数情况展开讨论． 解 (1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°≤45°＋k×360°≤0°， 得－765°≤k×360°≤－45°， 解得－736650≤k≤－34650，从而 k＝－2 或 k＝－1， 代入得 β＝－675°或 β＝－315°.
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第4章 三角函数与解三角形 4.5 函数y=Asin(ω+φ)
(3)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)的最大值为 A,最小值为-A.( × )
(4)如果函数 y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的最小正周期为 T,那么函数图象的两个相邻
对称中心之间的距离为 .(
2
√ )
π
(5)若函数 y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则 φ=2kπ+2(k∈Z).(
π
因为 y=sin 2-2 + 4 的图象关于 y 轴对称,
π
π
π
π
所以-2φ+4=kπ+2(k∈Z),即 φ=- 2 − 8(k∈Z).
3π
当 k=-1 时,φ 的最小正值是 8 .
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象及变换
例 1 某同学用“五点法”作函数 f(x)=Asin(ωx+φ) > 0, > 0,|| <
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)图象上所有
点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)
而得到.从而,函数y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A.
4.由函数y=sin x的图象变换到函数y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)的图象
π
得 g(x)=5sin 2 + 2- 6 .
,
因为 y=sin x 图象的对称中心为点(kπ,0)(k∈Z),
π
2x+2θ- =kπ(k∈Z),解得
2016届数学一轮(理科)人教B版 第四章 三角函数、解三角形 第3讲 和角公式、倍角公式和半角公式
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考点突破 考点一 三角函数式的化简与给角求值
(1)已知 α∈(0，π)，化简： α α （1＋sin α＋cos α）· （cos －sin ） 2 2 ＝________． 2＋2cos α 例1 (2)[2sin 50° ＋sin 10° (1＋ 3tan 10° )]· 2sin280° ＝______．
第9页
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考点突破 考点一 三角函数式的化简与给角求值
【训练 1】 (2)(2014· 临沂模拟)化简： 1 2 2 2 2 sin αsin β＋cos αcos β－ cos 2αcos 2β＝________． 2
解析 法四
(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)
2
1 原式＝(sin αsin β－cos αcos β) ＋2sin αsin β· cos αcos β－ cos 2αcos 2β 2
3 ＝2 2sin(50° ＋10° )＝2 2× ＝ 6. 2 答案 (1)cos α (2) 6
第4页
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考点突破 考点一 三角函数式的化简与给角求值
规律方法
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ①一看角之间的差别与联系， 把角进行合理的拆分， 正确使 用公式． ②二看函数名称之间的差异， 确定使用的公式， 常见的有“切 化弦”． ③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要 通分”，“遇到根式一般要升幂”等． (2)对于给角求值问题， 一般给定的角是非特殊角， 这时要善 于将非特殊角转化为特殊角．另外此类问题也常通过代数变形 (比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．
高三理数一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
-23-
(2)由题意,得 sin x≥√23,作直线 y=√23交单位圆于 A,B 两点,连 接 OA,OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 x 的终
Байду номын сангаас
边的范围,故满足条件的角 x 的集合为
������
2������π
+
π 3
≤
������
≤ 2������π +
2π 3
,������∈Z
考点1
考点2
考点3
-18-
(3)方法一(角的集合表示):
∵2kπ+π<α<2kπ+32π(k∈Z),
∴kπ+π2
<
������ 2
<kπ+34π
(k∈Z).
当
k=2n(n∈Z)时,2nπ+π2
<
������ 2
<2nπ+34π
,
������ 2
是第二象限角;
当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+3π < ������<2nπ+7π , ������是第四象限角.
-12-
知识梳理 双基自测
12345
5.(教材例题改编P13例3)若角θ同时满足sin θ<0,且tan θ<0,则角θ
的终边一定落在第
象限.
关闭
由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半 轴重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边
.
思考角的终边在一条直线上与在一条射线上有什么不同?已知角
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第4章三角函数与解三角形 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
√3
1
解得 x1= 2 ,x2=2,则
或
√3
1
cos =
cos = .
2
2
π
π
∵θ∈(0,2π),∴θ=3或 θ=6.
解题心得 1.通过平方,sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α 之间可建立联系,若令
2 -1
sin α+cos α=t,则 sin αcos α= 2 ,sin α-cos α=± 2- 2 (注意根据 α 的范围选取
√3
π
3
5π
(2)已知 tan - = ,则 tan
+ = -3
.
6
3
6
π
5π
∵ 6 - + 6 + =π,
√3
5π
5π
π
∴tan 6 + =-tan[π-( 6 +α)]=-tan 6 - =- 3 .
.
解题心得1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择
恰当公式化大角为小角;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形
sin2+cos2
2 +1
2
1
sin2 +cos2
tan
cos
(2) 2
=
=
=
.
2
2
2
2
2
2
cos -sin
cos -sin
1-tan
cos -sin
cos2
4
∵tan α=-3,
2
4
- +1 25
1
2016届高考数学一轮复习课件 第四章 三角函数、解三角形4.1
关闭
依题意,得 2r+rθ=πr,则 θ=π-2.
1
2
1
2
故扇形的面积 S= r2θ= (π-2)r2.
知识梳理
核心考点
学科素养
6
双击自测
3.任意角的三角函数
(1)三角函数定义:设 P(x,y)是角 α 终边上任一点,且|PO|=r(r>0),则有
sin α= ,cos α= ,tan α= ,它们都是以角为 自变量 ,以比值为
函数值 的函数.
(2)三角函数符号:三角函数在各象限内的正值口诀是:一全正、二正弦、
A.sin α>0
B.cos α>0
C.sin 2α>0
D.cos 2α>0
)
关闭
由 tan α>0 知角 α 是第一或第三象限角,当 α 是第一象限角时,sin 2α=2sin αcos α>0;当 α
是第三象限角时,sin α<0,cos α<0,仍有 sin 2α=2sin αcos α>0,故选 C.
(1)小于 90°的角是锐角.(
)
(2)锐角是第一象限角,反之亦然.(
)
(3)若 sinα>0,则 α 是第一象限角或第二象限角.(
)
(4)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.(
)
(5)将表的分针拨快 5min,则分针转过的角度是 30°.(
)
(6)若角 α 为第一象限角,则 sinα+cosα>1.(
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核心考点
1
双击自测
学科素养
(北京专用)高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第三节 三角函数的图象与性质夯基提能作业本
第三节三角函数的图象与性质A组基础题组1.函数y=tan的定义域是( )A.B.C.D.2.(2016海淀期中)已知函数f(x)=cos4x-sin4x,下列结论错误的是( )A.f(x)=cos 2xB.函数f(x)的图象关于直线x=0对称C.f(x)的最小正周期为πD.f(x)的值域为[-,]3.函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )A.2-B.0C.-1D.-1-4.(2014石景山统测)下列函数中,最小正周期为π且函数图象关于直线x=对称的是( )A.y=2sinB.y=2sinC.y=2sinD.y=2sin5.(2015丰台二模)已知函数f(x)=|sin x|,x∈[-2π,2π],则方程f(x)=的所有根的和等于( )A.0B.πC.-πD.-2π6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),对于任意x都有f=f,则f的值为.7.(2017西城二模)已知函数f(x)=tan.(1)求f(x)的定义域;(2)设β是锐角,且f(β)=2sin,求β的值.8.(2017,16,13分)已知函数f(x)=cos-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈时, f(x)≥-.9.(2018东城期末)已知函数f(x)=2sin ax·cos ax+2cos2ax-1(0<a≤1).(1)当a=1时,求f(x)在区间上的最大值与最小值;(2)当f(x)的图象经过点时,求a的值及f(x)的最小正周期.B组提升题组10.若函数f(x)=sin(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,且该函数图象关于点(x0,0)中心对称,x0∈,则x0=( )A. B. C. D.11.(2014顺义第一次统练)已知函数f(x)=cos-cos 2x,x∈R,给出下列四个结论:①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数;②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x=;③函数f(x)图象的一个对称中心为;④函数f(x)的递增区间为,k∈Z.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.412.(2016某某二模)同时具有性质:“①最小正周期是π;②图象关于直线x=对称;③在区间上是单调递增函数”的一个函数可以是( )A.y=cosB.y=sinC.y=sinD.y=sin13.(2016海淀一模)已知函数f(x)=sin(2x+φ).若f-f=2,则函数f(x)的单调增区间为.14.(2018海淀期中)已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1.(1)求f的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间.15.(2016海淀二模)已知函数f(x)=-2sin x-cos 2x.(1)比较f, f的大小;(2)求函数f(x)的最大值.16.(2017东城一模)已知点在函数f(x)=2asin xcos x+cos 2x的图象上.(1)求a的值和f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在(0,π)上的单调减区间.答案精解精析A组基础题组1.Dy=tan=-tan,∴x-≠+kπ,k∈Z,即x≠π+kπ,k∈Z.2.Df(x)=cos4x-sin4x=cos2x-sin2x=cos 2x,易知A,B,C正确,D项,f(x)的值域是[-1,1],故选D.3.A∵0≤x≤9,∴-≤x-≤,∴sin∈,∴y∈[-,2],∴y max+y min=2-.4.B 选项A与D中函数的最小正周期为4π,所以A、D错误;对于选项B:当x=时,y=2sin=2sin=2,即x=时,y取到最大值,所以直线x=是函数y=2sin图象的一条对称轴,故选B.5.A f(x)=,即|sin x|=,∴sin x=或sin x=-.∵x∈[-2π,2π],∴x=±,±,±,±,∴所求的和为0.6.答案2或-2解析∵f=f,∴直线x=是函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象的一条对称轴,∴f=±2.7.解析(1)由x+≠kπ+,k∈Z,得x≠kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的定义域是.(2)依题意,得tan=2sin,所以=2sin.①因为β是锐角,所以<β+<,所以sin>0,①式可化简为cos=.所以β+=,所以β=.8.解析本题考查三角恒等变换,三角函数的性质.(1)f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明:因为-≤x≤,所以-≤2x+≤.所以sin≥sin=-.所以当x∈时, f(x)≥-.9.解析(1)当a=1时,f(x)=2sin x·cos x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin. 所以当x∈时,2x+∈.所以当2x+=,即x=时, f(x)max=2;当2x+=,即x=时, f(x)min=-1.(2)因为f(x)=2sin ax·cos ax+2cos2ax-1(0<a≤1),所以f(x)=sin 2ax+cos 2ax=2sin.因为f(x)的图象经过点,所以2sin=2,即sin=1.所以+=+2kπ(k∈Z).所以a=3k+(k∈Z).因为0<a≤1,所以a=,所以f(x)=2sin.所以f(x)的最小正周期T==2π.B组提升题组10.A 由题意得=,T=π,则ω=2.又由题意得2x0+=kπ(k∈Z),则x0=-(k∈Z),而x0∈,所以x0=.11.C f(x)=cos 2xcos-sin 2xsin-cos 2x=-sin,不是奇函数,故①错;当x=时,f=-sin=1,故②正确;当x=时, f=-sin π=0,故③正确;令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,故④正确.综上,正确结论的个数为3. 12.B 由①可排除D.由②知在x=处函数应取最值1或-1,选项A,y=cos=cos=,选项B,y=sin=sin=1,选项C,y=sin=sin=-1,由此排除A.由③可知B:y=sin的增区间为(k∈Z),当k=1时单调递增区间为,∴在上是增函数,故B正确.由③可知C:y=sin的增区间为-+kπ,-+kπ(k∈Z),当k=1,2时,单调递增区间为,.∴在上不是单调递增函数.故C错.故选B.13.答案,k∈Z解析解法一:∵f(x)=sin(2x+φ)且f-f=2,∴f=1, f=-1.∴sin=1,即sin=1.不妨取φ=,∴f(x)=sin.∴2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,∴2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z,∴kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故f(x)的单调增区间为,k∈Z.解法二:由题意知, f=1, f=-1, f(x)的值域为[-1,1],且最小正周期T=π,∴为函数f(x)的一个单调增区间,∴f(x)的单调增区间为,k∈Z.14.解析(1)f=2sin cos +-1=2××+2×-1=1.(2)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=sin.令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.15.解析(1)因为f(x)=-2sin x-cos 2x,所以f=-2sin-cos=-,f=-2sin-cos=-.因为->-,所以f>f.(2)f(x)=-2sin x-cos 2x=-2sin x-(1-2sin2x)=2sin2x-2sin x-1=2-.令t=sin x,t∈[-1,1],则f(t)=2-,t∈[-1,1],该函数图象的对称轴为直线t=,根据二次函数的性质知,当t=-1时,函数取得最大值3.故函数f(x)的最大值为3.16.解析(1)∵点在函数f(x)的图象上,∴f=2asin cos +cos=1.∴a=1.∴f(x)=2sin xcos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin. ∴f(x)的最小正周期T=π.(2)由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z.∴+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.∴函数f(x)的单调减区间为(k∈Z). ∴函数f(x)在(0,π)上的单调减区间为.。
2016届高考数学一轮复习课件 第四章 三角函数、解三角形4.7
或
3 3
解析
解析
关闭
答案
答案
第七页，编辑于星期五：二十点 四十二分。
4.7
第四章
正弦定理和余弦定理
考情概览
知识梳理
知识梳理
知识梳理
核心考点
1
双击自测
2
3
4
学科素养
8
5
4.(2014 福建,文 14)在△ABC 中,A=60°,AC=2,BC=√3,则 AB 等
于
.
关闭
2
+2 -2
4+2 -3 1
第十五页，编辑于星期五：二十点 四十二分。
4.7
第四章
正弦定理和余弦定理
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考点二
知识梳理
核心考点
核心考点
学科素养
考点三
(2)∵A+B+C=180°,
∴B+C=180°-60°=120°.
由 sin B+sin C=√3,
得 sin B+sin(120°-B)=√3,
∴sin B+sin 120°cos B-cos 120°sin B=√3.
答案
第十二页பைடு நூலகம்编辑于星期五：二十点 四十二分。
4.7
第四章
正弦定理和余弦定理
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考点二
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核心考点
学科素养
考点三
3.在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2√3,则△ABC 的面积等于
.
关闭
2
+2 -2
2 +16-12
1
由题意及余弦定理得 cos A=
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第4章 三角函数与解三角形 4.3 三角函数的图象与性质
f(x)=√3sin ωx+cos
由函数 y=f(x)的图象与直线 y=2 的相邻两个交点的距离为 π,
知函数 y=f(x)的最小正周期 T=π,
又
令
得
2π
ω>0,所以 T= =π,解得 ω=2,即 f(x)=2sin
π
π
π
2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),
2
6
2
π
π
kπ-3 ≤x≤kπ+6(k∈Z).
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
【知识巩固】
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)y=cos x是减函数.( × )
(2)若y=ksin x+1(k∈R),则y的最大值是k+1.( × )
(3)若非零实数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周
3 7
的取值范围是 [2 , 4]
.
函数 y=cos x 的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ](k∈Z),
π π
+
≥
-π
+
2π,
5
1
2
4
则
(k∈Z),解得 4k-2 ≤ ≤2k-4(k∈Z),
π
π + ≤ 2π
又由
所以
4
5
1
4k-2-(2k-4)≤0(k∈Z),且
3 7
ω∈[2 , 4].
③当A>0(A<0)时,所列不等式的方向与y=sin x,y=cos x的单调区间对应的
不等式方向相同(反).
π
(2)对于函数 y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数),其周期 T=||,利用
2016届高考数学第一轮复习 第四章 三角函数与解三角形课件 理 北师大版
新概念的引入不仅要求能深入理解新概念的信息, 而且要能够调出已学习过的“旧”概念,进行相互对照.此 类考题的关键在于一个“新”字,即背景新、概念新、题型 新.解题时不要被“新”所迷惑,在理解与领会该概念后,掩 藏在“新”的外衣下的往往是极为简单的知识点.
(见学生用书 P68) 题型 三角函数定义的应用 一 (1)已知角α的终边过点 P(-8m,-6sin 30°),且 cos α=- ,则 m 的值为(
sin ������ cos ������
=tan α .
四、诱导公式 组数 一 二 2kπ+α(k 角 π+α ∈Z)
三
四 π-α
五
π
六
π 2
-α
-α 2
+α
正弦 余弦 正切 口诀
sin α cos α tan α
-sin α-sin α sin α cos α cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α tan α -tan α-tan α
(1)(2013 年广东卷)已知 sin(
5π 2
+α)=5,那么 cos α
1
=(
). A.2 5
B.-
1 5
C. D.
5
1
2 5
(2)(2012 年辽宁卷)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0, π),则 tan α=( A.-1 B.2 2
). C.
2 2
D.1
(1)sin(
2sin ������ cos ������
(1)点 P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动
2π 3
弧长到达点 Q,则点 Q 的坐标为( A.(- , ) C.(-2,- 2 )
2016届高考数学一轮复习课件 第四章 三角函数、解三角形4.5
两角和与差的正弦、余弦与正切公式
4.5
第四章
考情概览
考点一
知识梳理
核心考点
核心考点
学科素养
考点三
考点二
1
π
,
3
2
2 2
∴sin α= .
3
4 2
7
∴sin 2α= ,cos 2α=- .
9
9
1
又 cos(α+β)=- ,α+β∈(0,π),
3
2 2
∴sin(α+β)= .
3
(2)∵cos α= ,α∈ 0,
考点二
考点二含条件的求值、求角问题
1
13
7
14
1
1
α= ,cos(α+β)=- ,且
3
3
π
2
(1)已知 cos α= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,则 β=
(2)已知 cos
α,β∈ 0,
π
2
.
,则 cos(α-β)的值为
.
π
解析:(1)∵0<β<α< ,
2
π
4 3
∴0<α-β< ,sin α= .
两角和与差的正弦、余弦与正切公式
4.5
第四章
考情概览
考点一
考点二
知识梳理
核心考点
核心考点
学科素养
10
考点三
考点一非特殊角的三角函数式的化简、求值
1.4cos 50°-tan 40°=(
)
2+ 3
2
A. 2
B.
C. 3
D.2 2-1
高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.3三角函数的图象与性质课件文新人教B版
1 2 3 4
y=sin x y=cos x y=tan x 偶函数 奇偶性 奇函数 奇函数 π π 单调递 2������π- , 2������π + π π 2 2 [2kπ-π,2kπ] ������π- , ������π + (k∈Z) 2 2 增区间 (k∈Z) (k∈Z) 函数 单调递 2������π + 2 , 2������π + 减区间 3π (k∈Z)
π
关闭
由题意可知最小正周期 T= =π,故选 C.
2π 2
C
解析
关闭
答案
-10知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4 5
4.(2017湖南长沙一模)y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点 之间的距离是( )
A.√π2 + 4 C.2
B.π D.√π2 + 1
关闭
y=cos(x+1)的周期是 2π,最大值为 1,最小值为-1, ∴y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是
4.3
三角函数的图象与性质
-2知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4
1.周期函数的定义 对于函数f(x),如果存在一个 非零常数T ,使得当x取定义域内的 每一个值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做周期函数.非零 常数 T 叫做这个函数的周期;函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)
2 π
对称 中心
(kπ,0)(k∈Z)
π
[2kπ,2kπ+π] 无 (k∈Z) ������ k������ + ,0 ������π 2 ,0 (k∈Z) 2 (k∈Z) x=kπ(k∈Z)
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考点突破 考点一 三角函数式的化简与给角求值
(1)已知 α∈(0，π)，化简： α α （1＋sin α＋cos α）· （cos －sin ） 2 2 ＝________． 2＋2cos α 例1 (2)[2sin 50° ＋sin 10° (1＋ 3tan 10° )]· 2sin280° ＝______．
－40° ）－sin 40° 2sin 80° －sin 40° 2sin（120° ＝ ＝ cos 40° cos 40°
3cos 40° ＋sin 40° －sin 40° ＝ cos 40°
3cos 40° ＝ ＝ 3，故选 C. cos 40°
第6页
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考点突破 考点一 三角函数式的化简与给角求值
考点突破
考点二
三角函数的给值求值、给值求角
α β π 1 2 例 2 (1)已知 0<β< <α<π，且 cos α－2 ＝－ ，sin 2 －β＝ ， 2 9 3 求 cos(α＋β)的值；
∴cos(α＋β)＝2cos
π π β π α π 解析 (1)∵0<β< <α<π,∴ <α－ <π,－ < －β< ， 深度思考 2 4 2 4 2 2 运用两角和(差) β β 4 5 2 ∴sinα－ ＝ 1－cos α－ ＝ ， 的三角函数公 2 2 9 α 式，其关键在于 5 2α cos －β＝ 1－sin －β＝ ， 2 3 构造角的和(差)， 2 α＋ β β α 在构造的过程 ∴cos ＝cosα－2－2－β 2 中，要尽量使其 β α β α 中的角为特殊角 ＝cosα－ cos －β＋sinα－ sin －β 2 2 2 2 或已知角，这样 1 5 4 5 2 7 5 ＝－ × ＋ ×＝ ， 的变角过程你掌 9 3 9 3 27 49× 5 239 握了吗？ 2α＋ β
解析 5π 3 2π 3 2π 3 (1)由 f 12 ＝ ，得 Asin ＝ ，又 sin ＝ ，∴A＝ 3. 3 2 2 3 2 3 π (2)由(1)得 f(x)＝ 3sinx＋4 ， 由 f(θ)＋f(－θ)＝2， π π 3 π 6 0， ， 得 3sinθ＋4 ＋ 3sin－θ＋4 ＝ ， 化简得 cos θ ＝ ，∵ θ ∈ 2 4 2
1 1 ＝cos2(α＋β)＋ sin 2α· sin 2β－ cos 2α· cos 2β 2 2 1 2 ＝cos (α＋β)－ cos(2α＋2β) 2 1 1 2 2 ＝cos (α＋β)－ [2cos (α＋β)－1]＝ . 2 2 1 答案 (1)C (2) 2
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第10页
3 ＝2 2sin(50° ＋10° )＝2 2× ＝ 6. 2 答案 (1)cos α (2) 6
第4页
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考点突破 考点一 三角函数式的化简与给角求值
规律方法
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ①一看角之间的差别与联系， 把角进行合理的拆分， 正确使 用公式． ②二看函数名称之间的差异， 确定使用的公式， 常见的有“切 化弦”． ③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要 通分”，“遇到根式一般要升幂”等． (2)对于给角求值问题， 一般给定的角是非特殊角， 这时要善 于将非特殊角转化为特殊角．另外此类问题也常通过代数变形 (比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．
第9页
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考点突破 考点一 三角函数式的化简与给角求值
【训练 1】 (2)(2014· 临沂模拟)化简： 1 2 2 2 2 sin αsin β＋cos αcos β－ cos 2αcos 2β＝________． 2
解析 法四
(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)
2
1 原式＝(sin αsin β－cos αcos β) ＋2sin αsin β· cos αcos β－ cos 2αcos 2β 2
【训练 1】 (2)(2014· 临沂模拟)化简： 1 2 2 2 2 sin αsin β＋cos αcos β－ cos 2αcos 2β＝________． 2
解析 (2)法一
(从“角”入手，复角化单角) 1 2 2 2 2 原式＝sin αsin β＋cos αcos β－ (2cos2α－1)(2cos2β－1) 2 1 2 2 2 2 ＝sin αsin β＋cos αcos β－ (4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1) 2 1 2 2 2 2 2 2 ＝sin αsin β－cos αcos β＋cos α＋cos β－ 2 1 2 2 2 2 2 ＝sin αsin β＋cos αsin β＋cos β－ 2 1 1 1 2 2 ＝sin β＋cos β－ ＝1－ ＝ . 2 2 2
第3讲
和角公式、倍角公式和半角公式
夯基释疑 考点一 概要 考点突破 考点二 考点三 课堂小结 例1 例2 例3 训练1
训练2
训练3
夯基释疑
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、 余弦公式中的角 α， β 是任意的． ( ) (2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立( ) tan α＋tan β (3)公式 tan(α＋β)＝ 可以变形为 tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角 α，β 都成立．( (4)存在实数 α，使 tan 2α＝2tan α.( ) )
第5页
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考点突破 考点一 三角函数式的化简与给角求值
【训练 1】 (1)4cos 50° －tan 40° ＝( ) 2＋ 3 A. 2 B. C. 3 D．2 2－1 2
sin 40° 4cos 40° sin 40° －sin 40° 解析 (1)原式＝4sin 40° － cos 40° ＝ cos 40°
2 －1＝2× 729 －1＝－ . 729
第11页
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考点突破
考点二
三角函数的给值求值、给值求角
1 1 例 2 (2)已知 α， β∈(0， π),且 tan(α－β)＝ ,tan β＝－ ,求 2α－β 的值． 2 7 1 1 解析 － tan（α－β）＋tan β 2 7 1 (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ ＝ ＝ >0， 1 1 3 1－tan（α－β）tan β 1＋ × π 2 7 又 α∈(0，π)． ∴0<α< ， 2 1 由已知条件尽力缩小α的范围 2× ，以便将要求的2α－β准确定 2tan α 3 3 又∵tan 2α＝ ＝ >0， 位，从而不至于增解 2 ＝ 12 4 1－tan α 1－ 3 π ∴0<2α< ， 2 3 1 ＋ tan 2α－tan β 1 4 7 ∴tan(2α－β)＝ ＝ ＝1. ∵tan β＝－7<0， 3 1 1＋tan 2αtan β 1－ × 4 7 π 3π ∴ <β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－ . 2 4
解
(1)原式＝
α α 2cos2 ＋2sin cos 2 2
α cos cos α α π 2 因为 0＜α＜π，所以 0＜ ＜ ， ＝ 2 2 α . cos 2 α 所以 cos ＞0，所以原式＝cos α. 2
第3页
α α 2α α α α 2 · cos －sin cos cos 2－sin 2 2 2 2 2 ＝ α α 2 cos 4cos 2 2
第14页
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考点突破
例3 (1)求 A
考点三
三角变换的简单应用
3 ＝2.
5π π (2014· 广东卷)已知函数 f(x)＝Asinx＋ ，x∈R，且 f 4 12 3π π 3 的值；(2)若 f(θ)－f(－θ)＝ ，θ ∈0， ，求 f －θ . 2 2 4
第8页
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考点突破 考点一 三角函数式的化简与给角求值
【训练 1】 (2)(2014· 临沂模拟)化简： 1 2 2 2 2 sin αsin β＋cos αcos β－ cos 2αcos 2β＝________． 2
解析 法三
(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
1－cos 2α 1－cos 2β 1＋cos 2α 1＋cos 2β 1 原式＝ · ＋ · － cos 2α· cos 2β 2 2 2 2 2 1 1 ＝ (1＋cos 2α· cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋ (1＋cos 2α· cos 2β 4 4 1 ＋cos 2α＋cos 2β)－ cos 2α· cos 2β 2 1 1 1 ＝ ＋ ＝ . 4 4 2
第13页
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的给值求值、给值求角
1 13 π 训练 2 已知 cos α＝ ，cos(α－β)＝ ，且 0<β<α< ， 7 14 2 (1)求 tan 2α 的值；(2)求 β.
解析
1 π 4 3 (1)∵cos α＝ ，0<α< ， ∴sin α＝ ， ∴tan α＝4 3， 7 2 7
cos 10° ＋ 3sin 10° 解 50° ＋sin 10° · · 2sin 80° cos 10° 1 3 cos 10° ＋ sin 10° 2 2 ＝ · 2cos 10° 2sin 50° ＋2sin 10° · cos 10° ＝2 2[sin 50° · cos 10° ＋sin 10° · cos(60° －10° )] (2)原式＝ 2sin